Rachunek

prawdopodobieństwa

Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl

Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki.

2. Definicje prawdopodobieństwa.

3. Własności prawdopodobieństwa.

4. Zmienne losowe, parametry zmiennych losowych i rozkładu.

5. Rozkłady zmiennych losowych.

Kombinatoryka

Kombinatoryka - dział w matematyce, w którym zajmujemy się m.in.

obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w

określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria

zliczania).

=?

Oznaczenia

(ω1, . . . , ωk) - ciąg elementów, porządek odgrywa rolę np.

(zielony, czarny, czerwony) =(zielony, czarny, czerwony)

ale

(zielony, czarny, czerwony) ≠ (zielony, czerwony, czarny)

{ω1, . . . , ωk} - zbiór elementów, porządek nie odgrywa roli np.

{zielony, czarny, czerwony} = {zielony, czarny, czerwony}

i

{zielony, czarny, czerwony} = {zielony, czerwony, czarny}

Permutacja bez powtórzeń

Permutacją (bez powtórzeń) zbioru n-elementowego, nazywamy

każdy n-wyrazowy ciąg utworzony z wszystkich elementów tego

zbioru.

Permutację bez powtórzeń zapisujemy za pomocą:

𝑃𝑛 = 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3⋯ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁

(Mamy dowolny zbór elementów i musimy policzyć ile jest możliwych

ułożeń (kolejności) tych elementów)

Permutacja z powtórzeniami

Niech 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑘} oznacza dowolny zbiór n-elementowy.

Permutacją z powtórzeniami w której element 𝑎1 powtarza się 𝑛1

razy, …, element 𝑎𝑘 powtarza się 𝑛𝑘 razy, 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑘 = 𝑛

nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, w którym poszczególne elementy

zbioru A powtarzają się wskazaną liczbę razy.

Permutację z powtórzeniami zapisujemy za pomocą:

𝑃𝑛𝑛1,…, 𝑛𝑘 =

𝑛!

𝑛1! ∙ ⋯ ∙ 𝑛𝑘!

Permutacja bez powtórzeń

Przykład:

1. Ile różnych liczb trzycyfrowych można uzyskać z cyfr 2,3,5?

𝑃3 = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6

Te liczby to:235, 253, 325, 352, 523, 532

2. Ile różnych liczb trzycyfrowych można uzyskać z cyfr 2,3,5 jeśli

cyfra 2 powtarza się trzy razy, 3 – dwa razy a 5 jeden raz.

𝑃63,2,1 =

6!

3! ∙ 2! ∙ 1!=4 ∙ 5 ∙ 6

2= 60

Te liczby to np.: 222335, 22325,23225 ….

Wariacje bez powtórzeń

Wariacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego

nazywamy każdy ciąg różnowartościowy k-wyrazowy utworzony z

elementów danego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie).

Dla dowolnych k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-

elementowego jest:

𝑉𝑛𝑘 = 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ⋅ 𝑛 − 2 ∙ ⋯ ∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 =

𝑛!

𝑛 − 𝑘 !

𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 𝑘; 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑁

Wariacje bez powtórzeń

Przykład:

Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć używając dwóch różnych

cyfr ze zbioru { 2,4,5,7 }?

𝑉42 =

4!

4 − 2 !=4!

2!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4

1 ∙ 2= 3 ∙ 4 = 12

{24, 25, 27, 42, 45, 47, 52, 54, 57, 72, 74, 75} – kolejność jest ważna (24 jest różne od

42) i cyfry mają być różne więc nie może być np. 22, 44 itp..

Wariacja z powtórzeniami

Wariacją k-elementową z powtórzeniami zbioru n-elementowego

nazywamy każdy ciąg k-wyrazowy utworzony z elementów danego

zbioru.

Liczba wszystkich różnych k-elementowych wariacji z powtórzeniami

zbioru n-elementowego jest równa

𝑉 𝑛𝑘 = 𝑛𝑘 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑁

Wariacja z powtórzeniami

Przykład:

Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć używając cyfr ze zbioru

{2,4,5,7}?

𝑉 42 = 42= 16

{22, 24, 25, 27, 42, 44, 45, 47, 52, 54, 55, 57, 72, 74, 75, 77} – kolejność jest

ważna (24 jest różne od 42) i brak warunku, że cyfry mają być różne.

Kombinacja bez powtórzeń

Kombinacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n-

elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy danego

zbioru.

Liczba wszystkich różnych kombinacji k-elementowych zbioru n-

elementowego jest równa:

𝐶𝑛𝑘 =𝑛𝑘=

𝑛!

𝑘! ⋅ 𝑛 − 𝑘 ! 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 𝑘; 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑁

W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a

podzbiorem elementów, czyli m.in. kolejność nie ma znaczenia.

Kombinacja bez powtórzeń

Przykład:

Ile jest możliwości wyboru dwóch różnych liczb ze zbioru {2,4,5,7}?

𝐶42 =42=

4!

2! ⋅ 4 − 2 !=1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4

1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2= 6

{2,4}, {2,5}, {2,7}, {4,5}, {4,7}, {5,7} – kolejność nie jest ważna (zbiór {2,4} to

to samo co {4,2}), nie może być również elementów {2,2}, {4,4}, {5,5}, {7,7}

gdyż każda cyfra występuje w zbiorze {2,4,5,7} tylko jeden raz.

Kombinacja z powtórzeniami

Kombinacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n-

elementowego nazywamy każdy podzbiór k elementów różnych lub

nie różniących się między sobą wybranych z n-elementowego zbioru.

Liczba wszystkich różnych k-elementowych kombinacji z

powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa:

𝐶 𝑛𝑘 =𝑛 + 𝑘 − 1𝑘

=(𝑛 + 𝑘 − 1)!

𝑘! ⋅ 𝑛 − 1 ! 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 𝑘; 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑁

Kombinacja z powtórzeniami

Przykład:

Mamy cztery rodzaje owoców: jabłka, gruszki, morele i banany. Tworzymy

paczki po pięć owoców. Ile różnych paczek możemy otrzymać?

𝐶 45 =𝑛 + 𝑘 − 1𝑘

=4 + 5 − 15

=8!

5! ⋅ 8 − 5 !=8!

5! ⋅ 3!=6 ⋅ 7 ⋅ 8

1 ⋅ 2 ⋅ 3= 56

Sposób na zadanie Doświadczenie polega na wylosowaniu k-elementów ze zbioru n-elementowego.

Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów?

Czy elementy mogą się powtarzać?

Wariacja bez

powtórzeń.

Czy elementy mogą się powtarzać?

Wariacja z

powtórzeniami.

nie

tak

tak

nie tak nie

Kombinacja bez

powtórzeń.

Kombinacja z

powtórzeniami.

1. Elementy kombinatoryki.

2. Definicje prawdopodobieństwa. o Przestrzeń zdarzeń losowych

o Aksjomatyka rachunku prawdopodobieństwa

3. Własności prawdopodobieństwa.

4. Zmienne losowe, parametry zmiennych losowych i rozkładu.

5. Rozkłady zmiennych losowych.

Doświadczenie losowe

Doświadczenie losowe to realizacja określonego zespołu warunków,

wraz z góry określonym zbiorem wyników.

Możemy uznać, że doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie

powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z

góry przewidzieć

Przykładem doświadczenia losowego może być np. rzut kostką do gry czy

monetą i oczywiście obserwacja wyniku rzutu (liczba oczek na kostce, orzeł

czy reszka).

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Zbiór zawierający wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego

nazywamy zbiorem zdarzeń elementarnych i zazwyczaj oznaczamy

literą Ω. Pojedynczy element zbioru Ω nazywamy zdarzeniem

elementarnym i oznaczamy 𝜔.

Przykład

• Rzucamy jeden raz kostką.

Zbór zdarzeń elementarnych to Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Z talii 24 kart wybieramy losowo 5.

Tutaj możliwych wyników mamy dużo (𝑉524 = 5100480), wynikiem może być np.

{9♠,9♣,10♦, K♣, A♥},

Zdarzenie losowe

Zdarzenie losowe – pewien zbiór możliwych wyników danego

doświadczenia. Może to być zarówno zbiór składający się z

pojedynczego wyniku, jak i zbiór złożony z większej liczby

elementów.

Przykład. Rzucamy kostką do gry. Zdarzeniem losowym A określmy

sytuację gdy wypadła parzysta liczba oczek.

Ω 𝐴

Zbiór zdarzeń losowych Zbiorem zdarzeń losowych ℱ nazywamy klasę podzbiorów (czyli

zbiór zbiorów) nazywaną 𝝈-ciało zdarzeń taką, że

1. Cała przestrzeń zdarzeń elementarnych należy do tej klasy

Ω ∈ ℱ

2. Dopełnienie 𝐴′ dowolnego zbioru 𝐴 należącego do klasy ℱ jest

elementem tej klasy, czyli

𝐴 ∈ ℱ ⇒ 𝐴′ ∈ ℱ

3. Suma co najwyżej przeliczalnej liczby zbiorów należących do

klasy ℱ również należy do tej klasy:

𝐴1 ∈ ℱ,… , 𝐴𝑛 ∈ ℱ ⇒ (𝐴1 ∪ … ∪ 𝐴𝑛) ∈ ℱ

Działania na zdarzeniach

Na zdarzeniach wykonuje się analogiczne działania jak na zbiorach.

• Koniunkcją (iloczynem) zdarzeń 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ nazywamy zdarzenie 𝐴 ∩ 𝐵

składające się z wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą zarówno

do zdarzenia A jak i do zdarzenia B.

• Alternatywą (sumą) zdarzeń 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ nazywamy zdarzenie 𝐴 ∪ 𝐵

składające się z wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą do

zdarzenia A lub do zdarzenia B.

• Różnicą zdarzeń 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ nazywamy zdarzenie 𝐴\𝐵 składające się z

wszystkich zdarzeń elementarnych należących do zdarzenia A i nie

należących do zdarzenia B.

Działania na zdarzeniach

• Różnicę zdarzeń Ω\A nazywamy dopełnieniem zdarzenia 𝐴 i oznaczamy 𝐴′

• Zdarzenie 𝑨 pociąga zdarzenie 𝑩, co zapisujemy 𝐴 ⊂ 𝐵 jeśli każde

zdarzenie elementarne należących do zdarzenia A również należy do

zdarzenia B.

• Zdarzenia 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ wykluczają się, jeśli nie mają wspólnych zdarzeń

elementarnych, tj. gdy ich koniunkcja jest zdarzeniem niemożliwym

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

Własności działań na zdarzeniach

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶

𝐴 ∩ 𝐵𝑖𝑖∈𝑇

= (𝐴 ∩ 𝐵𝑖)

𝑖∈𝑇

𝐴 ∪ 𝐵𝑖𝑖∈𝑇

= (𝐴 ∪ 𝐵𝑖)

𝑖∈𝑇

(𝐴 ∩ 𝐵)′ = 𝐵′ ∪ 𝐴′ , (𝐴 ∪ 𝐵)′ = 𝐵′ ∩ 𝐴′

Prawdopodobieństwo

1. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

2. Własności prawdopodobieństwa

3. Przestrzeń probabilistyczna

4. Prawdopodobieństwo warunkowe

5. Prawdopodobieństwo całkowite

6. Twierdzenie Bayesa

7. Niezależność zdarzeń

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego,

ℱ - jego zbiorem zdarzeń losowych.

Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję 𝑃 przyporządkowująca

każdemu zdarzeniu 𝐴 ∈ ℱ liczbę 𝑃(𝐴) (prawdopodobieństwo zdarzenia A)

zgodnie z następującymi warunkami:

1. 𝑃 𝐴 ≥ 0 dla każdego zdarzenia 𝐴 ∈ ℱ,

2. 𝑃 Ω = 1,

3. Jeżeli 𝐴1, … , 𝐴𝑛, … jest dowolnym ciągiem parami rozłącznych zdarzeń ze

zbioru ℱ, to

𝑃 𝐴1 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 ∪⋯ = 𝑃 𝐴1 +⋯+ 𝑃 𝐴𝑛 +⋯

Elementarne własności prawdopodobieństwa

1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zeru:

𝑃 ∅ = 0

2. Jeżeli zdarzenie 𝐴 pociąga zdarzenie 𝐵 (𝐴 ⊂ 𝐵), to

𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵

3. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia 𝐴 jest nie większe od

jedności,

𝑃 𝐴 ≤ 1

Elementarne własności prawdopodobieństwa

4. Jeżeli zdarzenie 𝐴 pociąga zdarzenie 𝐵 (𝐴 ⊂ 𝐵), to

𝑃 𝐵\A = 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴)

5. Jeżeli zdarzenia 𝐴1, … , 𝐴𝑛 są rozłączne parami, to

𝑃 𝐴1 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 +⋯+ 𝑃(𝐴𝑛)

6. Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych równa się

jedności,

𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴′ = 1

Elementarne własności prawdopodobieństwa

7. Prawdopodobieństwo alternatywy dwóch dowolnych zdarzeń jest

równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o

prawdopodobieństwo ich koniunkcji, czyli

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

Czyli prawdopodobieństwo zajścia co najmniej jednego z tych zdarzeń jest równe

sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo zajścia

obydwu zdarzeń równocześnie.

Elementarne własności prawdopodobieństwa

8. Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest co najwyżej

przeliczalna i są określone prawdopodobieństwa 𝑝𝑖

poszczególnych zdarzeń jednoelementowych {𝜔𝑖}, czyli

𝑝𝑖 = 𝑃 𝜔𝑖 , 𝑝𝑖 ≥ 0

𝑝1 +⋯+ 𝑝𝑛 = 1, gdy przestrzeń Ω 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑜𝑛𝑎,

𝑝1 +⋯+ 𝑝𝑛 +⋯ = 1, 𝑔𝑑𝑦 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑠𝑡𝑟𝑧𝑒ń Ω 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑙𝑖𝑐𝑧𝑎𝑙𝑛𝑎,

to prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴, któremu sprzyjają zdarzenia

elementarne, 𝜔𝑖1 , … , 𝜔𝑖𝑘, jest dane równością

𝑃 𝐴 = 𝑝𝑖1 +⋯+ 𝑝𝑖𝑘

Elementarne własności prawdopodobieństwa

9. Jeżeli,

a) przestrzeń Ω składa się z n zdarzeń elementarnych,

b) zdarzenia jednoelementowe {𝜔𝑖}, są jednakowo

prawdopodobne, a więc

𝑃 𝜔1 = 𝑃 𝜔2 = ⋯ = 𝑃 𝜔𝑛 =1

𝑛

to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia 𝐴 składającego się z k

zdarzeń elementarnych wyraża się równością

𝑃 𝐴 =𝑘

𝑛

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, ℱ, 𝑃), gdzie

Ω- przestrzeń zdarzeń elementarnych,

ℱ- zbiór zdarzeń losowych,

𝑃 – prawdopodobieństwo.

Przestrzeń probabilistyczna danego doświadczenia losowego stanowi

matematyczny opis tego doświadczenia.

Prawdopodobieństwo warunkowe Niech 𝐵 będzie zdarzeniem takim, że 𝑃(𝐵) > 0.

Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia 𝐴 przy warunku 𝐵

nazywamy liczbę

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

Przykład:

Spośród liczb {2, 3, 5, 30} wybieramy losowo jedną liczbę. Rozważmy zdarzenia:

A – wylosowano liczbę parzystą,

B – wylosowano liczbę podzielną przez 3

Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej, wiedząc, że wylosowano

liczę podzielną przez 3.

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=

1412

=1

2

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Jeżeli

a) zdarzenia 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 są parami rozłączne (tzn. 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅, gdy

𝑖 ≠ 𝑗) oraz

b) 𝐵𝑖 = Ω𝑛𝑖=1 , 𝑃 𝐵𝑖 > 0 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑛,

to dla każdego zdarzenia 𝐴

𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐴|𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐵𝑖)

𝑛

𝑖=1

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Przykład:

Test ELISA na obecność wirusa HIV w organizmie (stosowany w USA w

połowie lat osiemdziesiątych) daje wynik pozytywny z

prawdopodobieństwem 0,98 i negatywny z prawdopodobieństwem

0,02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w organizmie nie

ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0,07. Zakłada

się, że 1% populacji jest zarażony tym wirusem.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że u losowo wybranej osoby z tej

populacji test da wynik pozytywny.

P(B1) – prawdopodobieństwo, że wirus jest w organizmie (0,01)

P(A|B1) – jest wirus i wynik pozytywny (0,98)

P(B2) - prawdopodobieństwo, że wirusa nie ma w organizmie (0,99)

P(A|B2) – wirusa nie ma i wynik pozytywny (0,07)

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝐵1 ∗ 𝑃 𝐵1 + 𝑃 𝐴 𝐵2 ∗ 𝑃 𝐵2

= 0,01 ∗ 0,98 + 0,99 ∗ 0,07 = 0,0791

Zadania

1. Płyty DVD są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Płyty z

fabryki X mają trwałość dłużej niż 30 lat w 99% procentach

przypadków, płyty z fabryki Y tylko w 95% przypadków.

Fabryka X dostarcza na rynek 60% płyt tej marki. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo płyta DVD będzie miała

trwałość dłuższą niż 30 lat?

2. Pierwsza urna zawiera 4 białe i 1 czarną kulę, druga – 2 białe i 3

czarne. Losujemy urnę tak, by szansa wybrania pierwszej urny była

dwukrotnie mniejsza niż drugiej. Następnie z wybranej urny

losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli

białej.

Twierdzenie Bayesa Jeżeli

a) zdarzenia 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 są parami rozłączne (tzn. 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅, gdy

𝑖 ≠ 𝑗),

b) 𝐵𝑖 = Ω𝑛𝑖=1 , 𝑃 𝐵𝑖 > 0 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

c) P 𝐴 > 0,

to dla 𝑘 = 1,2, … , 𝑛

𝑃 𝐵𝑘 𝐴 =𝑃(𝐴|𝐵𝑘) ∙ 𝑃 𝐵𝑘 𝑃(𝐴|𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐵𝑖)𝑛𝑖=1

Wzór Bayesa możemy odczytać następująco: jeśli możliwymi przyczynami zajścia zdarzenia A (skutku),

są zdarzenia B (B1, ..., Bn), to P(Bk|A) wyznacza prawdopodobieństwo, że przyczyną zajścia zdarzenia A

jest właśnie Bk.

Twierdzenie Bayesa - przykład Test ELISA na obecność wirusa HIV w organizmie (stosowany w USA w

połowie lat osiemdziesiątych) daje wynik pozytywny z

prawdopodobieństwem 0,98 i negatywny z prawdopodobieństwem

0,02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w organizmie nie

ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0,07. Zakłada

się, że 1% populacji jest zarażony tym wirusem.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest

rzeczywiście zarażona wirusem, jeśli wiadomo, że test dał wynik

pozytywny.

𝑃 𝐵𝑘 𝐴 =𝑃(𝐴|𝐵𝑘) ∙ 𝑃 𝐵𝑘 𝑃(𝐴|𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐵𝑖)𝑛𝑖=1

P(B1) – prawdopodobieństwo, że wirus jest w organizmie (0,01)

P(A|B1) – jest wirus i wynik pozytywny ((0,98)

P(B2) - prawdopodobieństwo, że wirusa nie ma w organizmie (0,99)

P(A|B2) – wirusa nie ma i wynik pozytywny (0,07)

𝑃 𝐵1 𝐴 =𝑃 𝐴 𝐵1 ∗ 𝑃(𝐵1)

𝑃 𝐴 𝐵1 ∗ 𝑃 𝐵1 + 𝑃 𝐴 𝐵2 ∗ 𝑃(𝐵2)

=0,98 ∗ 0,01

0,98 ∗ 0,01 + 0,99 ∗ 0,07= 0,123

Twierdzenie Bayesa - zadanie Pierwsza urna zawiera 4 białe i 1 czarną kulę, druga – 2 białe i 3

czarne. Losujemy urnę tak, by szansa wybrania pierwszej urny była

dwukrotnie mniejsza niż drugiej. Następnie z wybranej urny losujemy

kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo losowania z pierwszej urny gdy

wynikiem losowania była biała kula.

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi (parami niezależnymi), jeżeli

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

Zdarzenia 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 nazywamy wzajemnie niezależnymi, jeżeli dla

dowolnego wyboru wskaźników 1 ≤ 𝑖1 < 𝑖2 < ⋯ < 𝑖𝑟 ≤ 𝑛, 𝑟 = 2,3, … , 𝑛,

𝑃 𝐴𝑖𝑘

𝑟

𝑘=1

= 𝑃 𝐴𝑖𝑘

𝑟

𝑘=1

Niezależność zdarzeń

Przykład:

Spośród liczb {2, 3, 5, 30} wybieramy losowo jedną liczbę. Rozważmy

zdarzenia:

A – wylosowano liczbę parzystą,

B – wylosowano liczbę podzielną przez 3,

C – wylosowano liczbę podzielną przez 5.

Czy te zdarzenia są parami niezależne? Czy są wzajemnie niezależne?

𝑃 𝐴 =1

2, 𝑃 𝐵 =

1

2, 𝑃 𝐶 =

1

2, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =

1

4, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 =

1

4, 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 =

1

4,

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 =1

4

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 =1

2∗1

2=1

4

𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐶 =1

2∗1

2=1

4

𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐵 ∗ 𝑃(𝐶) =1

2∗1

2=1

4

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 ∗ 𝑃 𝐶 =1

2∗1

2∗1

2=1

8≠1

4

Zdarzenia są parami niezależne ale nie są wzajemnie niezależne

Własności zdarzeń niezależnych

1. Jeśli 𝐴 i 𝐵 są niezależne i 𝑃 𝐵 > 0 to 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴)

2. Jeśli 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, 𝑃 𝐴 > 0, 𝑃 𝐵 > 0 to 𝐴 i 𝐵 nie są

niezależne.

3. Jeśli 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝑃 𝐴 > 0, 𝑃 𝐵 < 1, to 𝐴 i 𝐵 nie są

niezależne.

4. Ω i dowolne zdarzenie 𝐴 są niezależne.

5. ∅ i dowolne zdarzenie 𝐴 są niezależne.

Dodatek – schemat Bernouliego

Schematem Bernoulliego nazywamy wieloetapowe doświadczenie

polegające na n-krotnym powtórzeniu tego samego doświadczenia

cząstkowego w niezmienionych warunkach i niezależnie od siebie,

przy czym każde doświadczenie cząstkowe może być zakończone

jednym z dwóch wyników: sukces lub porażka.

p – prawdopodobieństwo sukcesu

q – prawdopodobieństwo porażki

n – ilość prób

k – ilość prób zakończonych sukcesem

𝑃 𝑛, 𝑘, 𝑝 =𝑛𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘

Przykład

Rzucamy dziesięć razy symetryczną monetą. Niech sukcesem w tym

doświadczeniu będzie wyrzucenie orła O. Ponieważ moneta jest

symetryczna więc 𝑃 𝑂 =1

2. Zatem prawdopodobieństwo, że w 10

rzutach monetą uzyskamy 3 razy orła wynosi

𝑃 10,3,1

2=103

1

2

31

2

7

=10!

3! ∙ 7!∙1

8∙1

128=

=8 ∙ 9 ∙ 10

2 ∙ 3∙1

8∙1

128=15

128

Dziękuję za uwagę