647

Górnictwo i Geoin ynieria • Rok 34 • Zeszyt 2 • 2010

Bogumi Wrana*, Bart omiej Czado*

ZASTOSOWANIE TRANSFORMATY FALKOWEJ DO OKRE LENIA DEFEKTÓW PALI

1. Wst p

Do testowania d ugo ci pali i identyfi kacji uszkodze stosowane s techniki nienisz-cz ce NDT, w zakresie ma ych odkszta ce PIT (pile integrity testing), a w szczególno ci metoda echo sondy SE (sonic echo) oraz metoda odpowiedzi impulsowej [1]. Metody te pozwalaj na lokalizacj du ych defektów w palach przez obci enie impulsowe o ma ej energii, które generuje fal pod u n w palu w szerokim zakresie cz stotliwo ci. W tych metodach obci enie impulsowe generuje fale o niskich warto ciach napr e .

W celu zwi kszenia dok adno ci badania sygna u pomiarowego metody PIT, za-proponowano w artykule zastosowanie transformaty falkowej do analizy tego sygna u. Po raz pierwszy, zastosowanie transformaty falkowej do takiego sygna u zaproponowali badacze z Uniwersytetu w Edynburgu [2, 3]. Zauwa ono, e 20% uszkodzenia przekroju pala nie mo na zidentyfi kowa analizuj c sygna zapisany w dziedzinie czasu, natomiast przy zastosowaniu transformaty falkowej by o to mo liwe [4]. Analiz sygna u uzyska-nego metod PIT zajmowa si Niederleithinger [5], badaj c zmian sygna u w pierw-szych dniach dojrzewania betonu, a Sheng-Huoo [6] ze wspó pracownikami stosowatransformat falkow do sygna u uzyskanego z symulacji numerycznych pala.

2. Metoda Pile Integrity Testing PIT

Metoda PIT polega na analizie sygna u pr dko ci (lub przyspieszenia) zarejestro-wanego na g owicy pala od obci enia impulsowego przyk adanego te na g owicy pala (rys. 1).

* Zak ad Wspó dzia ania Budowli z Pod o em, Instytut Mechaniki Budowli, Wydzia In ynierii L dowej, Po-litechnika Krakowska, Kraków

gig_2010.indb 647 2010-02-21 20:29:46

648

Metoda jest efektywna wtedy, gdy sztywno pala (betonu) jest znacznie wy sza od sztywno ci pod o a wokó pala. D ugo pala L wyznaczana jest ze wzoru:

gdzie VL — pr dko fali pod u nej w palu i wyra ona jest wzorem:

Dok adno tej metody zale y od dok adno ci podawanych warto ci: E — modu uYounga, — g sto ci obj to ciowej betonu oraz t — opó nienia czasowego do powrotu fali pod u nej. Metoda polecana jest w wielu krajach i opisana jest w normach krajowych: niemieckiej [7], francuskiej [8] czy ameryka skiej [9].

Najcz ciej sygna jest fi ltrowany fi ltrem dolnoprzepustowym o cz stotliwo ci 50 kHz. D ugo pala wyznacza si ze wzoru:

gdzie:VL — pr dko fali pod u nej,

f — cz stotliwo próbkowania,n — liczba próbek.

Rys. 1. Metoda ma ych odkszta ce PIT: a) pomiar, b) przyk adowy sygna pomiarowy

a) b)

L V t21

LD= (1)

V EL

t= (2)

L Vfn

21 1

L= (3)

gig_2010.indb 648 2010-02-21 20:29:46

649

Uwagi:

analiza sygna u pr dko ci polega na odczytaniu opó nienia szczytowych warto ci zare-1)jestrowanych pr dko ci,w metodzie PIT nie stosuje si transformat z dziedziny czasu do dziedziny cz stotliwo-2)ci,

w wielu przypadkach wyst puje trudno w identyfi kacji ma ych uszkodze w betonie 3)ich rozmiarów.

3. Ci g a transformata falkowa

Transformata falkowa jest obecnie jednym z dynamicznie rozwijanych narz dzi analizy cz stotliwo ciowej sygna ów niestacjonarnych. Ci g a transformata falkowa sygna u x(t),w dziedzinie czasu, jest zdefi niowana w nast puj cy sposób [10]:

Równanie (4) prezentuje fi ltracj sygna u x(t) sygna em analizuj cym (t), przeskalo-wanym w dziedzinie czasu wspó czynnikiem skali a, przy czym w przypadku a > 1 sygnaanalizuj cy jest „wyd u any”, a dla a < 1 jest „skracany”.

Ci g a transformata w dziedzinie cz stotliwo ci jest okre lona wzorem:

Równanie (5) prezentuje odwrotne przekszta cenie Fouriera iloczynu widma sygna uX(f) i przeskalowanego widma falki *(af).

Synteza sygna u okre lona jest przez transformat odwrotn :

gdzie:

We wzorze (6) funkcja g(t) oznacza falk syntezuj c , we wzorze (4) *(t) — dualn ,sprz on do niej falk analizuj c , za *(f) w (5) jest jej widmami Fouriera. Dzielenie i mno enie przez ;

BaB;B ma zapewni niezmienno energii falek i ich widm po przeskalowa-

,CWT t aa

xat d1 x c x x= -

3

3

-

^ ^ `h h j# (4)

,CWT t a a X f af e df* 2xF j ftC=

3

3

P

-

^ ^ ^h h h# (5)

,x tc a

CWT a gat d da2 1

x2

00

x x x= -33

c

^ ^ `h h j8 B) 3## (6)

,Cf

fdf 0 0

2

31C

C= =3

3

c

-

^ ^h h# (7)

gig_2010.indb 649 2010-02-21 20:29:48

650

niu. Sygna analizuj cy (t), spe niaj cy rol funkcji bazowej, jest sygna em impulsowym zlokalizowanym w osi czasu wokó t = 0 i posiada ograniczone pasmowe widmo cz stotli-wo ciowe (f0 ± f/2).

Grafi czn prezentacj transformaty falkowej jest skalogram (mapa falkowa w osiach czas-skala) okre lona wzorem:

Zapis SxSCAL(t, a) w dziedzinie czas-skala jest równowa ny zapisowi Sx

SCAL(t, (f0 ± f/2)/a)w dziedzinie czas-cz stotliwo .

W praktycznej analizie czasowo-cz stotliwo ciowej sygna ów, kiedy odwracalnotransformaty nie jest wymagana, cz sto jako (t) przyjmuje si zespolony sygna harmonicz-ny z obwiedni gaussowsk , czyli tzw. „falk ” Morleta:

4. Przyk ady oblicze

Rozwa any jest pal elbetowy prefabrykowany (o znanej geometrii) o d ugo ci 6 m, o rednicy 0,3 m wraz z otaczaj cym go gruntem (rys. 2). Do g owicy pala zosta a przy o-ona si a impulsowa o charakterystyce w czasie i w cz stotliwo ciach przedstawionej na

rysunku 3. Na rysunku 4 przedstawiono sygna i skalogram przy zastosowaniu falki Morleta dla pala idealnie wykonanego, bez uszkodze , natomiast na rysunku 5 przedstawiono sygnai skalogram dla pala lokalnie pogrubionego. Na rysunku 6 przedstawiono skalogramy dla dwóch przypadków sztywno ci gruntu wokó pala: dla Es/Eg = 500, oraz Es/Eg = 1000, gdzie: Es — modu Younga pala, Eg — modu Younga otaczaj cego gruntu.

, ,S t a CWT t axSCAL

x2

=^ ^h h (8)

exp exptat

j ft2

2obwiednia Gaussowska

2

$c r= -zespolony sygnal harmoniczny

^ ^c ^h h m h (9)

Rys. 2. Pal prefabrykowany o d ugo ci 23,0 m, rednicy 1,0 m wraz z otaczaj cym go gruntem 3,0 m

gig_2010.indb 650 2010-02-21 20:29:49

651

Rys. 3. Charakterystyka obci enia impulsowego: a) w czasie, b) w cz stotliwo ci

Rys. 4. Pal elbetowy idealny nieuszkodzony: a) przyspieszenia, b) ci g a transformata falkowa

Rys. 5. Pal elbetowy pogrubiony lokalnie: a) przyspieszenia, b) ci g a transformata falkowa

gig_2010.indb 651 2010-02-21 20:29:51

652

5. Wnioski

Praca zawiera zastosowanie transformaty falkowej do analizy sygna u fali spr ystej,zarejestrowanej przez czujnik pr dko ci umieszczony na górnej p aszczy nie pala elbeto-wego. Sygna ten jest rejestracj odpowiedzi w palu na obci enie impulsowe przy o onete na górnej powierzchni pala. Na podstawie przedstawionych wyników analizy falkowej sygna u, mo na stwierdzi , e ten sposób analizy sygna u wnosi dodatkowe informacje o defektach w palu, oprócz informacji o d ugo ci pala.

W przedstawionych rezultatów wynika, e metoda jest efektywna do:okre lenia d ugo ci pala,—wnosi dodatkowe informacje o zmianie kszta tu pala.—Ponadto wyniki oblicze przedstawione w postaci mapy falkowej pokazuj , e cz sto-

tliwo sygna u odbitej fali od ko ca pala, zale y od stosunku sztywno ci pala i sztywno ciotaczaj cego gruntu.

LITERATURA

[1] Olson L.D., Wright C.C.: Non-destructive Testing of Deep Foundations with Sonic Methods. In: Proceedings found engineering congress: current principles and practice, vol. 2, Reston ASCE 1989, p. 1173–83

Rys. 6. Ci g e transformaty falkowe: a) Es/Eg = 500, b) Es/Eg = 1000,Es — modu Younga pala, Eg — modu Younga gruntu

gig_2010.indb 652 2010-02-21 20:29:53

[2] Addison P.S., Watson J.N.: Wavelet Analysis for Low-strain Integrity Testing of Foundation Piles. In: 5th International conference on inspection, appraisal, repairs, maintenance of buil-dings and structures, Singapore 1997, p. 15–6

[3] Addison P.S., Watson J.N., Feng T.: Low-oscillation Complex Wavelets. J. Sound Vib. 2002; 254 (4), p. 733–62

[4] Sedel J.P.: Presentation of Low-strain Integrity Testing in the Time-frequency Domain. The Application of Stress — Wave Theory to Piles, Rotterdam 2000, p. 193–200

[5] Niederleithinger E., Taffe A.: Early Stage Elastic Wave Velocity of Concrete Piles, Cement & Concrete Composites 28, 2006, p. 317–320

[6] Sheng-Huoo Ni, Kuo-Feng Lo, Lutz Lehmann,Yan-Hong Huang: Time–frequency Analyses of Pile-integrity Testing Using Wavelet Transform, Computers and Geotechnics 35, 2008, p. 600–607 German Society for Geotechniques, Working Group 2.1. Recommendations for static and [7] dynamic pile tests, 1998 NF P 94-160-2: Auscultation d’un element de fondation. Partie 2: Methode par refl exion. As-[8] sociation francaise de normalisation, 1993 ASTM: D5882-00. Standard test method for low strain integrity testing of piles. ASTM In-[9] ternational

[10] Bia asiewicz J.T.: Falki i aproksymacje, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2000[11] Wrana B.: Zastosowanie analizy falkowej w obliczeniach dynamicznych konstrukcji, Mate-

ria y Sympozjum Wp ywy Sejsmiczne i Parasejsmiczne na Budowle. Wydawnictwo Politech-niki Krakowskiej, Kraków 2003

gig_2010.indb 653 2010-02-21 20:29:54