Falki, transformata falkowa - Strona główna - … prezentacji Transformata Fouriera Czym są...

Plan prezentacjiTransformata Fouriera

Czym są falki?Transformata falkowa

Zastosowania transformaty falkowej do analizy sygnałówZastosowanie teorii falek w medycynie

Falki, transformata falkowa

Irena Herda, Maciej Łoziczonek

Instytut MatematykiUniwersytet Jagielloński w Krakowie

20 marca 2010

Irena Herda, Maciej Łoziczonek Falki, transformata falkowa




Transformata FourieraZalety i wady używania transformaty Fouriera

Czym są falki?Falki jako funkcjeRodzaje falek

Transformata falkowa

Zastosowania transformaty falkowej do analizy sygnałówZastosowanie transformaty falkowej do lokalizacji zaburzeńUsuwanie szumuKompresja obrazuKompresja - ciąg dalszy - ile współczynników możemy usunąć?

Zastosowanie teorii falek w medycynieWykrywanie naczyń wieńcowychWyniki końcowe





Zalety i wady używania transformaty Fouriera

Transformata Fouriera - przypomnienie

I pozwala na analizowanie sygnału na pewnym przedzialeczasowym

I sygnał jest analizowany ze względu na swoją częstotliwośćI współczynniki Fouriera reprezentują wkład każdej funkcji sinus

i cosinus do poszczególnych częstotliwościI wzór na transformatę:

f̂ (ξ) =∫ ∞−∞f (x)e−2πixξ dx

I wzór na transformatę odwrotną:

f (x) =∫ ∞−∞f̂ (ξ)e2πixξ dx







I Znamy rozkład częstotliwości, ale nie wiemy, jak rozkładająsię one w czasie

I Dobra do znajdowania cech globalnych sygnału

(a) funkcja f (b) transformata Fouriera funkcji f

Rysunek: Wykres funkcji f w zależności od czasu oraz wykrestransformaty f w zależności od częstotliwości






I Transformata Fouriera dobrze sobie radzi z sygnałamistacjonarnymi (np. okresowymi)

Rysunek: Wykres nadający się idealnie do analizy transformatą FourieraIrena Herda, Maciej Łoziczonek Falki, transformata falkowa




Falki jako funkcjeRodzaje falek

Czym są falki?

I Teoria falek jest celem zbliżona do teorii Fouriera;I Teoria falek pozwala na analizę sygnału ze względu na jego

cechy globalne i lokalne;






Falki jako funkcje

I falki w transformacie falkowej odpowiadają funkcjom sinus icosinus w transformacie Fouriera, jednak te pierwsze nie sąjednoznacznie zdefiniowane;

I rodzina falek użyta w danej transformacie musi spelniaćpewne warunki, tj. falki muszą być ortogonalne, ich średniacałkowa musi być równa 0(falka musi ”oscylować”), zaś wnieskończoności ich wartości dążą do zera;






(a) ”mexican hat” (b) falka Morleta

(c)falka Mayera (d) falka Haara

Rysunek: Rodzaje falek





Transformata falkowa

Wzór na transformatę falkową:

Wf (s, τ) =∫f (t)hs,τ (t)dt

hs,τ =1√sh(t − τs

)

h - funkcja ”matka”, s, s > 0 - czynnik skalującyτ - wektor translacjiTransfomata falkowa jest rozkładem funkcji na liniową kombinacjęfalek. Wzór na transformatę odwrotną:

f (t) =1ch

∫ ∫Wf (s, τ)

1√sh(t − τs

)dτdss2

Współczynniki Wf (s, τ) są iloczynem skalarnym funkcji f i falki, copozwala określić, jak dobrze dana falka przybliża funkcję.





Własności:I falka ”zwężona”, gdy s < 1, ”rozciągnięta”, gdy s > 1;

I falki mają ten sam kształt (z dokładnością do translacji iskalowania);

I normalizacja : ∫|hs,τ |2 dt =

∫|h(t)|2 dt = 1





Własności:I falka ”zwężona”, gdy s < 1, ”rozciągnięta”, gdy s > 1;I falki mają ten sam kształt (z dokładnością do translacji i

skalowania);

I normalizacja : ∫|hs,τ |2 dt =

∫|h(t)|2 dt = 1





Własności:I falka ”zwężona”, gdy s < 1, ”rozciągnięta”, gdy s > 1;I falki mają ten sam kształt (z dokładnością do translacji i

skalowania);I normalizacja : ∫

|hs,τ |2 dt =∫|h(t)|2 dt = 1





Rysunek: Falka macierzysta i falka przeskalowana





Transformata falkowa:I reprezentuje sygnał jednowymiarowy w przestrzeni i czasie;

I nadaje się przede wszystkim do analizy sygnałówniestacjonarnych

I zastosowanie w analizie sygnałów z radaru, sonaru,sejsmicznych, EKG, muzycznych





Transformata falkowa:I reprezentuje sygnał jednowymiarowy w przestrzeni i czasie;I nadaje się przede wszystkim do analizy sygnałów

niestacjonarnych

I zastosowanie w analizie sygnałów z radaru, sonaru,sejsmicznych, EKG, muzycznych





Transformata falkowa:I reprezentuje sygnał jednowymiarowy w przestrzeni i czasie;I nadaje się przede wszystkim do analizy sygnałów

niestacjonarnychI zastosowanie w analizie sygnałów z radaru, sonaru,

sejsmicznych, EKG, muzycznych





Zastosowanie transformaty falkowej do lokalizacji zaburzeńUsuwanie szumuKompresja obrazuKompresja - ciąg dalszy - ile współczynników możemy usunąć?

Zastosowania transformaty falkowej do analizy sygnałów

I Lokalizacja anomalii/zaburzeń w pracy silnika

I Usuwanie szumuI Analiza obrazków - kompresjaI Analiza obrazków - obróbka danych statystycznych







I Lokalizacja anomalii/zaburzeń w pracy silnikaI Usuwanie szumu

I Analiza obrazków - kompresjaI Analiza obrazków - obróbka danych statystycznych







I Lokalizacja anomalii/zaburzeń w pracy silnikaI Usuwanie szumuI Analiza obrazków - kompresja

I Analiza obrazków - obróbka danych statystycznych







I Lokalizacja anomalii/zaburzeń w pracy silnikaI Usuwanie szumuI Analiza obrazków - kompresjaI Analiza obrazków - obróbka danych statystycznych






Zastosowanie transformaty falkowej do lokalizacji zaburzeń

Na seminarium z 10 stycznia zanalizowano dane dot. silnika, przyużyciu transformaty Fouriera. Problem, jaki się pojawił, dotyczyłlokalizacji zaburzeń pracy uszkodzonego silnika. Na wykresietransformaty zauważono zaburzenia w pewnym miejscu, copozwoliło zawężyć analizę danych do pewnego przedziału.Transformata falkowa zawiera nie tylko informacje o częstotliwościsygnału, ale też o rozkładzie częstotliwości w czasie.






Rysunek: Współczynniki transformaty falkowej dla nieuszkodzonegosilnika






Rysunek: Współczynniki transformaty falkowej dla uszkodzonego silnika






(a) silnik nieuszkodzony (b) silnik uszkodzony

Rysunek: Porównanie współczynników transformaty falkowej dla silnikauszkodzonego i nieuszkodzonego






Wykresy przedstawiają współczynniki transformaty falkowej dlasilnika uszkodzonego i nieuszkodzonego. Na wykresie widać, żemiędzy 7500 a 8200 pomiarem natężenia prądu współczynniki sięróżnią (jasny kolor oznacza większą wartość bezwzględną danegowspółczynnika). Niska skala na wykresie określa, że mamy doczynienia ze współczynnikami odpowiadającymi wysokimczęstotliwościom, a więc cechom lokalnym sygnału (np. zszumem). Wysoka skala mówi, że mamy do czynienia z niskimiczęstotliwościami, a więc z cechami globalnymi sygnału (np. zokresowością).






Usuwanie szumu

Wysokie częstotliwości wykrywają cechy lokalne, niskieczęstotliwości - cechy globalne. Niewątpliwie, szum jest cechąlokalną. Aby się go pozbyć, wystarczy usunąć współczynniki”krótkich” falek. Na rysunku poniżej przedstawiono, jak zapomocą transformaty falkowej usunąć szum z sygnału.






Rysunek: Usuwanie szumu






Kompresja obrazu

Zerując współczynniki w transformacie falkowej, pozbywamy sięczęści informacji. Jednak, jak pokażemy poniżej, usunięcie bardzodużej części informacji pozostaje niezauważalnych dla ludzkiegooka.






Rysunek: Źródło oryginalnego obrazka: wikipedia.org






Kompresja - ciąg dalszy - ile współczynników możemyusunąć?

(a) Oryginalny obrazek (b) 66.37%






(c) 90.34% (d) 96.68%






(e) 99.01% (f) 99.66%

Rysunek: Źródło: Joachim Weickert





Wykrywanie naczyń wieńcowychWyniki końcowe

Budowa serca

Rysunek: Budowa serca






Wykrywanie naczyń wieńcowych

(a) przekrój (b) zaznaczenie wzdłuż naczynia






Wyniki końcowe


Falki, transformata falkowa - Strona główna - … prezentacji Transformata Fouriera Czym są...

Documents

Transcript of Falki, transformata falkowa - Strona główna - … prezentacji Transformata Fouriera Czym są...