Lf t)} = F sks.zut.edu.pl/pliki/wzto_w4_SN2.pdf · 2010. 12. 18. · 1 Stany nieustalone w obwodach...

1

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

Transformata Laplace'a (przekształcenie Laplace'a)

Transformatą Laplace'a oryginału funkcji f(t) nazywamy funkcję zespoloną F(s) zmiennej zespolonej s, określoną następującym wzorem całkowym:

F s=∫0

∞

f t e−st dt

L{f (t)} = F(s)

2

Skok jednostkowy 1(x)


3

Transformata skoku jednostkowego 1(t)

1s=∫0

∞

f t e−st dt=∫0

∞

1t e−st dt =∫0

∞

1e−st dt

=lima∞

∫0

a

1 e−st dt =lima∞ [ e

−st

−s ]0a

=−1s

lima∞ 1eas− 1e0 =1s


4

Najważniejsze własności przekształcenia Laplace'a

L[∫0t

f t dt]= F ss

Liniowość:L{a∙f(t) + b∙g(t)} = a∙L{f(t)} + b∙L{g(t)}

Różniczkowanie oryginału:L{f '(t)} = s∙F(s) – f(0)

Całkowanie oryginału:


5

Przesunięcie w dziedzinie oryginału:L{ f (t – t1) } = e-st1F(s)

Najważniejsze własności przekształcenia Laplace'a

Przesunięcie w dziedzinie obrazu:F(s – s0) = L{ e-s0t f (t) }

Mnożenie obrazu:F(s ) G(s) = L{ f (t) * g (t) }


6

Transformata funkcji eksponencjalnej

F s=∫0

∞

f t e−st dt=∫0

∞

e± t e−st dt =∫0

∞

e±−s t dt

=lima∞

∫0

a

e±−st dt =lima∞ [ e

±−st

±−s ]0a

= 1±−s

lima∞ 1e±−sa− 1e0 = −1s∓ lima∞ 1e±−sa− 1e0

= 1s∓


7

Transformaty funkcji trygonometrycznych

F s=∫0

∞

f t e−st dt=∫0

∞

sin t e−st dt =∫0

∞ e j t−e− j t

2je−st dt

= s22

F s=∫0

∞

f t e−st dt=∫0

∞

cos t e−st dt =∫0

∞ e j te− j t

2e−st dt

= ss22


8

Transformaty najczęściej używanych funkcji


9

Analiza stanów nieustalonych metodą operatorowąSchemat 1

1. Określamy warunek początkowy

2. Zapisujemy równanie dla obwodu (prawa Kirchhoffa, Ohma)

3. Przekształcamy równanie do postaci zależnej od s.

4. Rozwiązujemy równanie – wyznaczamy szukane wielkości.

5. Przekształcamy rozwiązanie do postaci czasowej.


10

Analiza stanów nieustalonych metodą operatorowąSchemat 2

1. Określamy warunek początkowy

2. Przekształcamy schemat do postaci zależnej od s.

3. Zapisujemy równanie dla obwodu (prawa Kirchhoffa, Ohma)

4. Rozwiązujemy równanie – wyznaczamy szukane wielkości.

5. Przekształcamy rozwiązanie do postaci czasowej.


11

Przekształcenie schematu


12

Odwrotna transformata Laplace'a

f t = 12 j ∫c− j∞

c j∞

F sest ds


f (t) = L -1{F(s)}

13

Zadanie 1


14

=Em

1T

ss 1T sL

L RLsU 1s=

E mT

1

s 1T 1

RLs

U 1s=E mT As 1T

BRLs Zadanie 1


A= 1RL−

1T

; B= −1RL−

1T

U 1s=E mT

1RL−

1T

1

s 1T

− 1RLs

U 1s=E m

RTL

−1 1s 1T −1

RLs

u1t =Em

RTL−1

e tT−e−RL t

15

Zadanie 2 (rozwiązane na laboratorium)


16

Zadanie 3


i 0= ER

, uC 0=0

RiL didt 1

C∫0t

i dt=E

RI sL [s I s−i 0] 1C [1s I s]= EsI s[RsL 1sC ]= Es ELRI s=

Es

ELR

RsL 1sC

=EL

EsR

s22

R2 LCZakładamy: I s=ER s s 22 E2L s 22i t = ER cos t E2 L sin te− ti t = E

RLCe− t cos t−

17

Zadanie 4 – przekształcenie schematu


18

Zadanie 5 – przekształcenie schematu


19

Zadanie 6


Narysować operatorowy schemat zastępczy i policzyć prąd I(s) oraz i(t)

Na podstawie schematu operatorowego układ najłatwiej można rozwiązać metodą potencjałów węzłowych.

20

Zadanie 7


21

Zadanie 8E = 10 VR = 1 ΩL = 1 HC = 1 F


22

Zadanie 9

Wykazać, że dla _ R1 = R2 = R = √ L / C Prąd i(t) = e(t) / R niezależnie od postaci napięcia zasilającego.


23

Zadanie 10


24

Zadanie 11

1) u1(t) = E2) u1(t) = Umcos(ωt)


25

Zadanie 12

u(t) = Umsin(ωt)


Lf t)} = F sks.zut.edu.pl/pliki/wzto_w4_SN2.pdf · 2010. 12. 18. · 1 Stany nieustalone w obwodach...

Documents

Transcript of Lf t)} = F sks.zut.edu.pl/pliki/wzto_w4_SN2.pdf · 2010. 12. 18. · 1 Stany nieustalone w obwodach...