Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela

PG – Katedra Systemów Mikroelektronicznych

ZASTOSOWANIE PROCESORÓW SYGNAŁOWYCH

Marek Wroński

Zastosowania DFT

Szereg Fouriera

Postać zespolona

Postać czasowa zespolonego szeregu Fouriera

Przekształcenie Fouriera

Dyskretna postać transformaty Fouriera: DFT i IDFT

Szybka transformata Fouriera - FFT

4 punktowa FFT (podział czasowy)

8 punktowa FFT

8 punktowa FFT (podział częstotliwościowy)

Wady obliczania FFT

  prowadzi do obliczenia wszystkich próbek transformaty DFT, podczas gdy czasem potrzebny jest jedynie niewielki ich podzbiór, np. te próbki, które odpowiadają częstotliwościom DTMF i ewentua1nie ich drugim harmonicznym[1]; algorytmy FFT mają więc w tym zastosowaniu nadmierną złożoność obliczeniową,   wymaga zgromadzenia pełnego bloku N próbek przed rozpoczęciem transformacji sygnału, co uniemożliwia realizację algorytmu analizy sygnału on line, tzn. próbka po próbce. • wymaga wyznaczania lub pamiętania wartości współczynników WN:

FFT dla sygnałów rzeczywistych

Widmo Fouriera X(k), k=0,1,2,...N-1, sygnału rzeczywistego x(n) jest symetryczne wzgl. k=N/2

Dwa N-punktowe sygnały rzeczywiste, jedno N -punktowe FFT

Tworzymy sygnał zespolony:

Odzyskujemy widma X1 i X2:

N-punktowy sygnał rzeczywisty, N/2-punktowe FFT

Wg. podziału w dziedzinie czasu widmo X(k) może być odtworzone wg. widma X2n(k) jego próbek parzystych i widma X2n+1(k) jego próbek nieparzystych na podstawie wzoru:

Tworzymy:

Dwuwymiarowa DFT

Wyznaczenie DCT metodą FFT

Transformacja kosinusowa stosowana jest w standardach kompresji obrazów nieruchomych JPEGi ruchomych MPEG oraz w algorytmie kompresji dźwięku MPEG audio. Zdefiniowana jest poprzezrównanie baz kosinusowych:

Sumując oddzielnie parzyste i nieparzystepróbki sygnału x(n) i oznaczając:

następnie łącząc połówki sum otrzymamy:

Algorytm Goertzela

Korzystając z zależności: można przez to pomnożyć prawą stronę równania DFT co da

12)/2( kjNkNjkn

NeeW

1

0

)()()(N

n

nNkNWnxkX

Wyrażenie to jest dyskretnym splotem ciągu x(n) o skończonej długości N i ciągu (WN-k)n,

n= 1,2,...,N także o długości N próbek. Wprowadzając oznaczenie:

1,...,1,0 ,)()( )(

0

NkWWvxny vnkN

n

v

kNk 1-Nnk (n) y X(k)

Ciąg yk(n) może być traktowany jako odpowiedź układu (filtru cyfrowego) o odpowiedzi

impulsowej (WN-k)n+1 na pobudzenie ciągiem wejściowym x(n).

Próbka X(k) jest N-tą próbką ciągu wyjściowego, tzn. próbką o indeksie n=N-1.

Graf realizujący algorytm Goertzela

W celu zmniejszenia liczby mnożeń omawiany algorytm można przekształcić zgodnie ze wzorem:

21

1

21

1

1 )/2cos(21)/2cos(21

)1(

)1()(

zzNk

zW

zzNk

zWW

zW

WzH

kN

kN

kN

kN

kN

k

Zalety algorytmu Goertzela

Aby zrealizować pętle sprzężenia zwrotnego tego układu, wystarczy wykonać tylko jedno mnożenie i dwa sumowania rzeczywiste. Ponieważ interesuje nas jedynie wyznaczenie próbki yk (N-1), więc mnożenie przez zespolony

współczynnik WN-k nie musi być wykonywane w każdym kroku, lecz jedynie w

ostatnim (N-1) kroku. Tak więc obliczenia związane z realizacją pętli sprzężenia zwrotnego wymagają wykonania N -1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2(N-1) sumowań liczb rzeczywistych, a obliczenie yk (N -1) jest związane z 2

dodatkowymi mnożeniami oraz 1 sumowaniem liczb rzeczywistych. Łącznie należy więc wykonać N+1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2N-1 sumowań liczb rzeczywistych.

Energia sygnału (kwadrat amplitudy prążka)

Wybór N alg. Goertzela dla DTMF

W celu unikania przecieków DFT jest pożądane aby częstotliwości wszystkich tonówpodlegających detekcji odpowiadały częstotliwością próbek DFT, tj. k(fs/N). Więc

Zagadnienie okna w DFT

Przeciek DFT i widmo fali sinusoidalnej dla niecałkowitej liczby okresów w oknie

Odpowiedzi częstotliwościowe DFT dla pobudzenia sinusoidalnego

Wartości prążków:(szerokość głównego fs/N) )(

)](sin[

2)(

mk

mkNmX

Powielenia widmowe

Zwiększenie czułości wykrywania sygnałów

Wygładzanie nieciągłości

Okna wygładzające końcowe nieciągłości