FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

FFTDyskretny splot

Zastosowanie w DSP Uniwersytet Śląski w Katowicach

Marcin [email protected]

Uniwersytet Śląski w KatowicachWydział Matematyki, Fizyki i Chemii

10 maja 2014

M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 FFT i dyskretny splot 1 / 17

FFTDyskretny splot

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera wyraża się wzorem

x(f ) =

∫ ∞−∞x(t)e−2πixf dt,

dla której odwrotna transformata wyraża się wzorem:

x(t) =1

∫ ∞−∞x(f )e2πixf df .

Transformata Fouriera pozwala na rozłożenie sygnału maposzczególne składowe częstotliwościowe sygnału.

FFTDyskretny splot

x(f ) =

x(t) =1

FFTDyskretny splot

x(f ) =

x(t) =1

FFTDyskretny splot

Dla dyskretnego sygnału określonego w N punktach xi ,i = 0, . . . ,N − 1 transformata Fouriera przyjmuje postać

Xk =N−1∑n=0

xne−2πiknN ,

a transformata do niej odwrotna

xn =1N

N−1∑n=0

Xke2πi knN .

Tak zdyskretyzowana tranformata Fouriera nazywa się DFT(Discrete Fourier Transform).

FFTDyskretny splot

Xk =N−1∑n=0

xne−2πiknN ,

xn =1N

N−1∑n=0

Xke2πi knN .

FFTDyskretny splot

Xk =N−1∑n=0

xne−2πiknN ,

xn =1N

N−1∑n=0

Xke2πi knN .

FFTDyskretny splot

Aby móc wykorzystać DFT w przetwarzaniu sygnałów potrzebnyjest algorytm pozwalający na stosunkowo szybkie obliczenie DFT.

Algorytm 1 DFT(x,N) (algorytm brutalny)Input: x : tablica zmiennych typu complex o długości NOutput: x : tablica zmiennych typu complex o długości N1: for k = 0 to N − 1 do2: sum← 03: for n = 0 to N − 1 do4: ω ← e−2πi

5: sum← sum + ωxn6: end for7: xk ← sum8: end for9: return x

FFTDyskretny splot

Jednak jego złożoność takiego algorytmu jest rzędu Θ(n2).

Stosunkowo łatwe spostrzeżenie pozwola na zredukowanie tegoczasu do Θ(n log n). Wzór na DFT można zapisać jako

Xk =N−1∑n=0

xne−2πiknN =

N2 −1∑n=0

x2ne−2πik(2n)N +

N2 −1∑n=0

x2n+1e−2πik(2n+1)N

N2 −1∑n=0

x2ne−2πi knN

2 +e−2πikN

N2 −1∑n=0

x2n+1e−2πi knN

= X ek + e−2πikNX ok , k = 0, . . . ,N − 1

FFTDyskretny splot

Jednak jego złożoność takiego algorytmu jest rzędu Θ(n2).Stosunkowo łatwe spostrzeżenie pozwola na zredukowanie tegoczasu do Θ(n log n). Wzór na DFT można zapisać jako

Xk =N−1∑n=0

xne−2πiknN

N2 −1∑n=0

x2ne−2πik(2n)N +

N2 −1∑n=0

x2ne−2πi knN

2 +e−2πikN

N2 −1∑n=0

x2n+1e−2πi knN

= X ek + e−2πikNX ok , k = 0, . . . ,N − 1

FFTDyskretny splot

Xk =N−1∑n=0

xne−2πiknN =

N2 −1∑n=0

x2ne−2πik(2n)N +

N2 −1∑n=0

x2ne−2πi knN

2 +e−2πikN

N2 −1∑n=0

x2n+1e−2πi knN

= X ek + e−2πikNX ok , k = 0, . . . ,N − 1

FFTDyskretny splot

Xk =N−1∑n=0

xne−2πiknN =

N2 −1∑n=0

x2ne−2πik(2n)N +

N2 −1∑n=0

x2ne−2πi knN

2 +e−2πikN

N2 −1∑n=0

x2n+1e−2πi knN

= X ek + e−2πikNX ok , k = 0, . . . ,N − 1

FFTDyskretny splot

Xk =N−1∑n=0

xne−2πiknN =

N2 −1∑n=0

x2ne−2πik(2n)N +

N2 −1∑n=0

x2ne−2πi knN

2 +e−2πikN

N2 −1∑n=0

x2n+1e−2πi knN

= X ek + e−2πikNX ok , k = 0, . . . ,N − 1

FFTDyskretny splot

Pozostaje jeszcze zauważyć, że Xk = X ek + e−2πikNX ok

Xk+N2= X ek − e

−2πi kNX ok0 ¬ k < N

Bez straty ogólności załóżmy, że N = 2m, m ∈ N. Jeżeli tak niejest to do ciągu xi , i = 0, . . . ,N − 1 można dopisać zera, aż donajbliżej potęgi 2.

Ponadto DFT ciągu składającego się z jednej próbki toidentyczność. Wobec tego można sformułować poniższy algorytm.

FFTDyskretny splot

Algorytm 2 FFT(x,N)Input: x : tablica zmiennych typu complex o długości N = 2m

Output: x : tablica zmiennych typu complex o długości N1: if N=1 then2: return x3: end if4: ω, ωN ← 1, e−i

5: xe , xo ← (x0, x2, . . . , xN−2), (x1, x3, . . . , xN−1)6: xe , xo ← FFT (xe , N2 ), FFT (xo , N2 )

7: for k = 0 to N2 − 1 do8: xk ← xek + ωxok9: xk+N2

← xek − ωxok10: ω ← ωωN11: end for12: return xM. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 FFT i dyskretny splot 7 / 17

FFTDyskretny splot

Złożoność powyższego algorytmu to Θ(n log n).

Zauważmy żedziałania wykonywane w liniach 7− 11 mają złożoność liniową.Wobec tego złożoność całego algrytmu wynosi

T (n) = 2T(n2

)+ Θ(n).

Po rozwikłaniu tej rekurencji (np. za pomocą tw. o rekurencjiuniwersalnej) dostajemy T (n) = Θ(n log n).

Jest to szybka metoda na obliczenie DFT, co pozwala nawykonywanie operacji na sygnale w dziedzinie częstotliwości.

FFTDyskretny splot

Złożoność powyższego algorytmu to Θ(n log n). Zauważmy żedziałania wykonywane w liniach 7− 11 mają złożoność liniową.Wobec tego złożoność całego algrytmu wynosi

T (n) = 2T(n2

)+ Θ(n).

FFTDyskretny splot

T (n) = 2T(n2

)+ Θ(n).

FFTDyskretny splot

T (n) = 2T(n2

)+ Θ(n).

FFTDyskretny splot

Dyskretny splot

Splot dwóch funkcji x i h definiujemy wzorem

(x ∗ h)(t) =

∫ ∞−∞x(τ)h(t − τ)dτ.

Jeśli sygnał określony jest w punktach xi , i = 0, . . . ,N − 1, todyskretnym analogiem powyższej definicji jest

(x ∗ h)n =N−1∑m=0

xmhn−m.

Bezpośrednie obliczenie takiej sumy ma złożoność Θ(n2). Istniejejednak szybszy sposób na obliczenie dyskretnego splotu dwóchfunkcji.

FFTDyskretny splot

Dyskretny splot

(x ∗ h)(t) =

∫ ∞−∞x(τ)h(t − τ)dτ.

(x ∗ h)n =N−1∑m=0

xmhn−m.

FFTDyskretny splot

Dyskretny splot

(x ∗ h)(t) =

∫ ∞−∞x(τ)h(t − τ)dτ.

(x ∗ h)n =N−1∑m=0

xmhn−m.

FFTDyskretny splot

Dyskretny splot

Korzystając z faktu, że

x ∗ h = x h

dyskretny splot można obliczyć w czasie Θ(n log n).

FFTDyskretny splot

Konwersja sygnału analogowego na cyfrowy

Wartości występujące w przyrodzie są na ogół ciągłe (analogowe).Aby móc korzystać z metod cyfrowego przetwarzania w celu ichobróbki należy dokonać wcześniejszej konwersji sygnałuanalogowego na cyfrowy. Odbywa się to w trzech etapach:

• próbkowania;

• kwantyzacji;

• kodowania;

FFTDyskretny splot

• próbkowania;

• kwantyzacji;

• kodowania;

FFTDyskretny splot

• próbkowania;

• kwantyzacji;

• kodowania;

FFTDyskretny splot

• próbkowania;

• kwantyzacji;

• kodowania;

FFTDyskretny splot

Próbkowanie

Próbkowanie polega napobieraniu próbek zsygnału analogowego zczęstotliwościąpróbkowania, w wynikuktórego z sygnałuciągłego uzyskuje się ciągpróbek w postaciimpulsów o wartościachokreślonych wdyskretnych punktach i oamplitudach równychamplitudom sygnałuanalogowego w tychpunktach.

FFTDyskretny splot

Kwantyzacja

Kwantyzacjadyskretnego sygnałuotrzymanego w procesiepróbkowania polega napodziale zakresuamplitud, jakie mogąprzybierać próbki, naokreśloną liczbęprzedziałów iprzyporządkowaniekażdej próbce numerupoziomu, do któregosięga jej amplituda.

FFTDyskretny splot

Kodowanie

Kodowanie skwantowanego sygnału polega na przekształceniu gow sygnał cyfrowy przez przyporządkowanie poszczególnympoziomom tego sygnału, wyrażonym w liczbach układudziesiętnego, numerów wyrażonych w systemie binarnym.

Na ogół zakres amplitud dzieli się na 65535 (216 − 1) przedziałów,pozwala to na zapisanie do 16-bitowych integerów.

FFTDyskretny splot

Kodowanie

Kodowanie skwantowanego sygnału polega na przekształceniu gow sygnał cyfrowy przez przyporządkowanie poszczególnympoziomom tego sygnału, wyrażonym w liczbach układudziesiętnego, numerów wyrażonych w systemie binarnym.

Na ogół zakres amplitud dzieli się na 65535 (216 − 1) przedziałów,pozwala to na zapisanie do 16-bitowych integerów.

FFTDyskretny splot

Filtry splotowe

Operacji na sygnałach można dokonywać za pomocą filtrówcyfrowych. W tym celu wyobraźmy sobie układ, który po podaniuna wejście sygnału na wyjściu podaje sygnał przetworzony przezten układ.

W teorii przetwarzania sygnałów stosuje się m.in. takie układy,które splatają sygnał z innym, określonym przez układ ciągiem.

Jeśli taki układ jest filtrem splotowym, to ciąg ten będziemynazywać współczynnikami filtra splotowego.

FFTDyskretny splot

Filtry FIR

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

Documents

Transcript of FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP