1

Przekształcenie Fouriera obrazów

FFT

2006 © P. Strumiłło, M. Strzelecki

2

( ) ( )∫∞

∞−

+= ωω ωdeFtf

tj

transformata Fouriera

Przekształcenie Fouriera

Fourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji

(sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką

reprezentację sygnału można uzyskać z odpowiednio

ważonej sumy funkcji harmonicznych o różnych

częstotliwościach

Joseph Fourier(1768-1830)

( ) ( )∫∞

∞−

−= dtetfFtjωω

odwrotna

prosta

3

Przekształcenie Fouriera - przykład

czas częstotliwość

( ) ( ) ( ) ( )( )000

2

1ωωδωωδωω ω ++−== ∫

+∞

∞−

−dtetcosX

tj

1/2

0ω

0ω−

t

0

2

ω

π=T

ω

X(ω)

4

Przekształcenie Fouriera - przykład

( )

>

<=

Tt,

Tt,tf

0

1

T

( ) 2

02

2T

jT

tje

Tsin

AdteAF

ωω ω

ωω

−−

== ∫

- 2π/T 2π/T

FT

A

AT

t

|F(ω)|=?

ω

5

Przekształcenie Fouriera - przykład

( ) ( ) ( )∑∑+∞

∞−

+∞

∞−

−↔−= 0ωωδωδδ kkTtt sT

ωt

-2T 0 2TT-T

1

-4π/T 0 4π/T2π/ T-2π/ T

2π/T

x(t) x(ω)FT

Ts

πω

2=

Szereg impulsów Diraca

6

Transformacja Fouriera obrazów

obraz monochromatyczny widmo Fouriera obrazu

7

W jakim celu stosuje się transformacje obrazów?

1. Uzyskanie bardziej zwartego (oszczędnego) sposobu

kodowania obrazów (ich kompresji,

np. standard kompresji obrazów JPEG)

2. Uwidocznienie cech obrazu niezauważalnych w dziedzinie

przestrzennej, np. zakłóceń okresowych

3. Projektowanie filtrów obrazów w dziedzinie częstotliwości

oraz realizacja szybkich metod filtracji obrazów

8

Transformacja Fouriera obrazu

1. Detekcja cech obrazu w dziedzinie widma, np.

zakłóceń okresowych

9

Transformacja Fouriera obrazu

( ) ( )

( ) ( )∫ ∫

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

++

∞

∞−

∞

∞−

+−

=

=

dudvev,uFy,xf

dxdyey,xfv,uF

)vyux(j

)vyux(j

π

π

2

2

odwrotna

prosta

10

Widmo amplitudowe i fazowe transformaty obrazu

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( )[ ]v,uFRe

v,uFImarctanv,uFarg

v,uFImv,uFRe|v,uF|

e|v,uF|v,uFv,uFargj

=

+=

= −

22

11

Dyskretna transformacja Fouriera obrazu

( ) ( )

( ) ( )

110

1

110

1

1

0

1

0

2

21

0

1

0

−=

=

−=

=

∑∑

∑∑

−

=

−

=

++

+−−

=

−

=

N,...,,y,xdla

ev,uFN

y,xf

N,...,,v,udla

ey,xfN

v,uF

N

u

N

v

N/)vyux(j

N/)vyux(jN

x

N

y

π

π

Liczba działań, np. dla

obrazu 512x512?

12

Przykład obliczeniowy dla funkcji jenowymiarowej

( ) ]4431[=xf

( ) ( )∑=−

=

−=31

0

21 N

x

N/uxjexf

NuF

π

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )j............................................................................F

............................................................................F

j............................................................................F

ffffexfN

FN

x

N/xj

+−==

−==

+−==

=+++=

=+++== ∑=−

=

−

34

13

24

12

34

11

344314

1

32104

110

31

0

02π

θθθsincos je

j +=

1350 100 150 200 250

50

100

150

200

250

10

20

30

40

50

60

Przykład widmaamplitudowego obrazu

MIT

14

FFT FFT

Przykłady widm obrazów

15

Detekcja zakłóceń harmonicznych

MIT

64 okresy sinusoidy64 okresy sinusoidy 256256

128128

6464

256 punktów256 punktów

6464

16

Widmo fazowe obrazu

MIT

( )[ ]v,uFarg

( )v,uF ( ){ }v,uF1−ℑ

17

f(x,y)

(64x64)

|F(u,v)|

log(1+|F(u,v)|)

18

Podstawowe własnościprzekształcenia Fouriera

Rozłączność transformacji dwuwymiarowej:

f(x,y)

(0,0) (N-1)

(N-1)

F(x,v)

(0,0) (N-1)

(N-1)

F(u,v)

(0,0) (N-1)

(N-1)

tr. wierszy tr. kolumn

Dwuwymiarową transformację Fouriera można wyznaczyć

obliczając transformacje jednowymiarowe, tj. przez wykonanie

transformacji wierszy a następnie kolumn obrazu.

19

Rozłączność dwuwymiarowegoprzekształcenia Fouriera

( )

∑

∑ ∑

−

=

−

−−

=

−

=

−

=

=

1

0

/2

/21

0

1

0

/2

,1

),(

),(1

),(

N

x

Nuxj

NvyjN

x

N

y

Nuxj

evxFN

vuF

eyxfeN

vuF

π

ππ

F(x,v)

NvyuxjN

x

N

y

eyxfN

vuF/)(2

1

0

1

0

),(1

),(+−

−

=

−

=∑ ∑= π

20

FT

Obrazy

Widma

amplitudowe

Przykład

21

FT

Obrazy

Widma

amplitudowe

( ) ( ) ( )

+−⇔−−

N

vyuxjexpv,uFyy,xxf 00

00

2π

Przesunięcie w dziedzinie przestrzennej

22

Transformata iloczynu i splotu

ℑℑℑℑ{f(x,y) g(x,y)} = F(u,v) ∗ G(u,v)

ℑℑℑℑ{f(x,y) ∗ g(x,y)} = F(u,v) G(u,v)

Druga własność jest szczególnie przydatna w

filtracji obrazów, jest ona również wykorzystywana

w projektowaniu filtrów obrazu w dziedzinie widma.

23

α2

1

f(α)

α1

1/2

g(α)

-1 α

1/2

g(-α)

x

3

1/2

f(x)*g(x)

0

Splot funkcji ciągłych

- przykład

α2

1/2

f(α)g(x-α)

x

1

α2

1/2

f(α)g(x-α)

x

1

α

1/2

g(x-α)

x-1

( ) ( ) ααα dxgfxgxf −=∗ ∫∞

∞−

)()(

24

Splot dwuwymiarowych funkcji dyskretnych

f(i,j), g(i,j) - funkcje dyskretne o okresie N

należy wydłużyć okres f(i,j) oraz g(i,j) do wartościM=2N-1 w następujący sposób:

−≤≤

−≤≤=

−≤≤

−≤≤=

10

10

10

10

Mj,iN

Nj,i)j,i(g)j,i(g

Mj,iN

Nj,i)j,i(f)j,i(f ee

∑∑−

=

−

=

−−=∗1

0

1

0

M

m

ee

M

n

ee )nj,mi(g)n,m(f)j,i(g)j,i(f

25

Korelacja funkcji ciągłych- przykład

α1

1/2

g(α)

α

1/2

f(α)g(x+α)

|x|

x1.5

1/2

f(x)◦g(x)

-1.5

α1

1/2

g(x+α)

|x|

α2

1/2

f(α)g(x+α)

( ) ( ) ααα dxgfxgxf += ∫∞

∞−

)()( o

α2

1

f(α)

2

|x|

26

Korelacja dwuwymiarowych funkcji dyskretnych

f(i,j), g(i,j) - funkcje dyskretne o okresie N

(dokonuje się tu analogicznego wydłużenia okresujak dla operacji splotu)

∑∑−

=

−

=

++=1

0

1

0

M

m

ee

M

n

ee )nj,mi(g)n,m(f)j,i(g)j,i(f o

27

Okresowość transformaty oraz symetria widma amplitudowego

F(u,v) =F(u+N,v) =F(u,v+N)=F(u+N,v+N)

Jeżeli f(x,y) jest funkcją rzeczywistą, to zachodzi:

oraz dla widma amplitudowego:

Dla transformaty F(u,v) o wymiarze NxN są prawdziwe tożsamości:

( ) ( )v,uFv,uF −−= ∗

( ) ( )v,uFv,uF −−=

28

f(x,y) f(x,y)

f(x,y)f(x,y)f(x,y)

f(x,y)

f(x,y) f(x,y) f(x,y)

Przyjmuje się, że

obraz jest funkcją

okresową o

okresie (N, N)

Okresowość transformaty Fouriera

29

Przesunięcie dziedzinie widma

( ) ( ) ( )00

002vv,uuF

N

yvxujexpy,xf −−⇔

+π

Własność ta jest nazywana również własnością

(lub twierdzeniem) o modulacji.

30

Przesuniecie w dziedzinie widma

N/2

N/2 N0

0N

jeden okres widmaMatlab: fftshift

|F(u)|

fftshift(|F(u)|)

31

Przesunięcie w dziedzinie widma

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )( ) yxy,xfyxjexpy,xf

N

yvxujexpy,xf

Nv,

NuF

Nvudla

vv,uuFN

yvxujexpy,xf

+−=+=

=

+

−−⇔==

−−⇔

+

1

2

222

2

00

00

00

00

π

π

π

32

Przesunięcie w dziedzinie widma

|F(u,v)|

fftshift(|F(u,v)|)N

(0,N-1)(0,0)

(N-1, N-1)(N-1,0)

(0,0)

33

θθθθ0 = 45°

θθθθ0 = 0°

Własność obrotu transformaty dwuwymiarowej

f(r, θ + θ0) ⇔ F(ω, φ + θ0)

34

Liniowość transformacji

ℑ{a f(x,y) + b g(x,y)} = a F(u,v) + b G(u,v)

f(x,y)

g(x,y)

FT

g(x,y) FT

f(x,y) FT

35

Twierdzenie o zmianie skali

ℑ{f(ax,by)} = |ab|-1 F(u/a, v/b) Rb,a ∈

36

Wartość średnia obrazu

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )001

100

1

1

0

1

0

1

0

1

02

,FN

y,xf

y,xfN

,F

y,xfN

y,xf

N

x

N

y

N

x

N

y

=

=

=

∑∑

∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

F(0,0)F(0,0)

37

Rozdzielczość transformacji Fouriera

f=zeros(30,30);

f(5:24,13:17)=1;

imshow(f,'notruesize')

F=fft2(f); %oblicz transformatę Fouriera

F1=log(abs(F)+1); %wyznacz widmo amplitudowe

imshow(F1,[0 5],'notruesize');

f |F1|

38

DyskretnaTransformacjaFouriera

1 30

1

15

Funkcje bazowe

30-punktowej

transformacji

Fouriera

(składowa

sinusoidalna)

39

Rozdzielczość transformacji Fouriera

%zwiększenie rozdzielczości

f=zeros(30,30);

f(5:24,13:17)=1;

F=fft2(f,256,256);

F2=log(abs(F)+1);

imshow(fftshift(F2),[0 5],'notruesize');

f

|F2|

40

Szybka transformacja Fouriera(ang. Fast Fourier Transform, FFT)

Jeżeli N=2n to N jest liczbą parzystą daną w postaci N=2*M. Można dla takich N wykazać, że:

MjM

uMenieparzystparzyste

uMenieparzystparzyste

M

x

uxMenieparzyst

M

x

uxMparzyste

eW

MuWuFuFMuF

MuWuFuFuF

WxfM

uFWxfM

uF

/2

2

2

1

0

1

0

1,...,0 ],)()([2

1)(

1,...,0 ],)()([2

1)(

)12(1

)( ,)2(1

)(

π−

−

=

−

=

=

−=−=+

−=+=

+== ∑∑

41

Nakład obliczeń transformaty Fouriera

N N2 (FT) NlogN(FFT)

ZyskN/logN

16 256 64 4

256 65535 2048 32

512 262144 4608 64

2048 ~4e6 22528 186

42

Transformacja Fouriera obrazów

Redukcja zakłóceń obrazu przeprowadzonaw dziedzinie częstotliwości

FFT

IFFT

43

( ) ( ) ( ) ( )

+

+= ∑∑

−

=

−

= N

yvcos

N

xucosy,xf

Nv,uF

N

i

N

k 2

12

2

122 1

0

1

0

ππ

Transformacja kosinusowa

121 −= N,,,v,u Kdla:

-N-N N-1

N-1

oryginałWidmo Fouriera funkcji

rzeczywistej i symetrycznej

posiada rzeczywiste

współczynniki, tj. tylko

współczynniki związane z

kosinusowymi wyrazami

szeregu Fouriera.

44

Transformacja kosinusowa

Funkcje bazowe

przekształcenia

kosinusowego

o wymiarze 8x8

45

obraz ‘autumn’ transformata kosinusowa

(0,0)

szybkie zanikanie

współczynników

Standard kompresji obrazów JPEG

wykorzystuje transformację kosinusową

Transformacja kosinusowa

46

Inne transformacje obrazów

� transformacja Karhunena-Loevego, zwana też transformacją PCA (ang. PrincipalComponent Analysis)

� transformacja falkowaobrazu, wykorzystywanaw nowym standardzie

kompresji JPEG-2000eigenfaces ©AT&T Labs

47

Inne transformacje obrazów

JPEG 0.1 JPEG 0.1 bppbpp8 8 bppbpp

Playboy Magazine

WaveletWavelet 0.1 0.1 bppbpp

JPEG-2000