Zastosowanie modelu trendu logistycznego do prognozowania

wska�nika motoryzacji w Polsce

JOLANTA �UROWSKA

Politechnika Krakowska

Wydział In�ynierii L�dowej

W artykule do opisu kształtowania si� wska�nika motoryzacji w Polsce w latach 1981-2004

zastosowano model trendu logistycznego. Omówiono metody wykorzystane do szacunku parame-

trów strukturalnych, przeprowadzono ocen� dopasowania modeli i ich weryfikacj� oraz analiz�dopuszczalno�ci i trafno�ci uzyskanych prognoz dla wybranego modelu.

1. Wska�nik motoryzacji w Polsce

Wska�nik motoryzacji okre�la si� liczb� samochodów osobowych przypadaj�cych

na 1000 mieszka�ców. Jego warto�ci w Polsce w latach 1981-2004, okre�lone na pod-

stawie Roczników Statystycznych GUS, przedstawiono w tabeli 1.

Tabela 1. Wska�nik motoryzacji w Polsce w latach 1981-2004.

Table 1. Motorization coefficient in Poland in years 1981-2004.

Rok Wska�nik Rok Wska�nik Rok Wska�nik

1981 73 1989 127 1997 221

1982 79 1990 138 1998 230

1983 87 1991 160 1999 240

1984 92 1992 169 2000 259

1985 98 1993 176 2001 272

1986 106 1994 185 2002 285

1987 112 1995 195 2003 294

1988 120 1996 208 2004 312

Wykorzystuj�c arkusz kalkulacyjny Excel sporz�dzono wykres kształtowania si�warto�ci wska�nika motoryzacji w Polsce yt dla momentów czasu t (t = 1, 2,...,24)

odpowiadaj�cych kolejnym latom (rys. 1).

ARCHIWUM MOTORYZACJI

2, pp. 143-158 (2007)

J. �urowska 144

y = 10,492t + 45,431

R 2 = 0,987

y = 0,1787t 2 + 6,0235t + 64,795

R 2 = 0,998

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

t

dane emp. Liniowy (dane emp.) Wielom. (dane emp.)

Rys. 1. Wska�nik motoryzacji w latach 1981-2004.

Fig. 1. Motorization coefficient in years1981-2004.

Ocena wzrokowa wykresu wskazuje, �e w badanym szeregu czasowym wyst�puje

wzrostowa tendencja rozwojowa i wahania przypadkowe.

Na wykresie wykre�lono linie trendu liniowego oraz wielomianowego stopnia 2.

Ponadto, wykorzystuj�c opcje linii trendu, wy�wietlono równania funkcji trendu oraz

warto�ci współczynników determinacji R2. Z uwagi na bliskie jedno�ci warto�ci

współczynników determinacji mo�na wst�pnie zało�y�, �e obie funkcje dobrze opisuj�kształtowanie si� tendencji rozwojowej analizowanej zmiennej.

Przeprowadzona weryfikacja modeli na poziomie istotno�ci = 0,05 wykazała

(patrz [12]), �e model trendu wielomianowego stopnia 2 dobrze opisuje kształtowanie

si� wska�nika motoryzacji w przeszło�ci, natomiast model trendu liniowego nale�y

odrzuci� ze wzgl�du na brak losowo�ci reszt.

Nale�y jednak zwróci� uwag�, �e wielomian stopnia 2, w przypadku, gdy parametr

stoj�cy przy t2 jest dodatni, wykorzystuje si� do opisu zjawisk charakteryzuj�cych si�

rosn�cym tempem wzrostu, Jak wynika z wykresu przedstawionego na rysunku 2 tem-

po wzrostu wska�nika motoryzacji wykazuje tendencj� malej�c�. Potwierdza to rów-

nie� nieparametryczny test Danielsa – wyznaczony dla zmiennej czasowej i tempa

wzrostu współczynnik korelacji rang Spearmana RS = -0,563 jest, co do warto�ci bez-

wzgl�dnej, wi�kszy od warto�ci krytycznej RS(=0,05; 23) = 0,351 [3].

Zastosowanie modelu trendu logistycznego do prognozowania wska�nika motoryzacji w Polsce 145

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

t

Rys. 2. Tempo wzrostu wska�nika motoryzacji. Fig. 2. Growth rate of motorization coefficient.

Podj�ta próba wykorzystania funkcji odpowiednich do opisu zjawisk o malej�cym

tempie wzrostu [2, 3, 10, 11] nie przyniosła poprawnych rezultatów. Przedstawione

w tabeli 2 warto�ci współczynnika zbie�no�ci 2 wskazuj�, �e �adna z analizowanych

funkcji nie opisuje dobrze analizowanego zjawiska.

Tabela 2. Warto�ci współczynników zbie�no�ci 2.

Table 2. Values of convergence coefficient 2.

Funkcja trendu 2

logarytmiczna 0,2201

pot�gowa 0,1041

wielomian odwroto�ciowy 0,3036

liniowo-odwrotno�ciowa 0,6207

ilorazowa 0,5722

Ze wzgl�du na to w artykule podj�to prób� wykorzystania funkcji logistycznej.

Posta� funkcji logistycznej jest nast�puj�ca:

( )t

tf⋅γ−⋅β+

α=

e1, (1)

gdzie:

, �, � parametry, przy czym:

0 , >γα ,

1>β .

J. �urowska 146

Jest to funkcja nieliniowa i nie mo�na jej sprowadzi� do postaci liniowej za

pomoc� transformacji stosowanych powszechnie w ekonometrii. Do punktu przegi�cia

(o współrz�dnych β⋅γ

ln1 dla zmiennej czasowej oraz 2

α dla zmiennej Y) funkcja

ro�nie w tempie przyspieszonym, po czym ro�nie w tempie malej�cym do asymptoty

poziomej y = .

Warto�ci teoretyczne zmiennej Y opisuje zale�no��:

tct

b

ay

⋅−⋅+=

e1ˆ , (2)

gdzie:

a - ocena parametru �,

b - ocena parametru �, c - ocena parametru �.

2. Metody szacowania parametrów funkcji logistycznej

2.1. Wprowadzenie

Obszerne omówienie metod estymacji parametrów funkcji logistycznej zawieraj�prace [4, 6, 9].

W artykule Piworowicz i Waszkiewicza [6] prezentowane s�: metody trzech

punktów i trzech sum (które autorzy zaliczaj� do metod uproszczonych), metody

klasyczne: Hottellinga i Fishera oraz metody Julla, Rhodesa i Naira. Autorzy

proponuj� ponadto: now� uproszczon� metod�, procedur� rekurencyjn� poprawiania

warto�ci ocen parametrów oraz now� metod� opart� na szukaniu punktu symetrii

wykresu funkcji, która jest wprawdzie do�� pracochłonna (zwłaszcza, �e powinna by�ona stosowana dla szeregów o du�ej liczebno�ci), ale jej zalet� jest mo�liwo�� jej

wykorzystania do dowolnej funkcji maj�cej punkt symetrii.

W artykule porównawczym Goryla i Walkosz [4] prezentowane s� metody:

- trzech punktów (trzech punktów Pearla-Reeda, trzech �rednich, trzech sum),

- oparte na pewnym równaniu ró�nicowym (Hotellinga, Tintnera,

Pawłowskiego),

- oparte na linearyzacji przez rozwini�cie w szereg Taylora (jednoiteracyjna

metoda Pearla-Reeda, metoda Gaussa-Newtona).

W publikacji Stanisza [9] autor obszernie omawia metody trzech punktów, trzech

sum i Hotellinga (zaliczane przez niego do metod uproszczonych), metody Tintnera

oraz Bonusa1 (metody zdaniem autora w pełni �cisłe) oraz metody Fishera, Julla,

1 Metoda ta jest zalecana dla szeregów o elementach mniejszych od 1, w innych przypadkach nale�y

przeprowadza� normalizacj�, co mo�e by� powodem niedokładno�ci oblicze�

Zastosowanie modelu trendu logistycznego do prognozowania wska�nika motoryzacji w Polsce 147

Naira, Piworowicz-Waszkiewicza, jak równie� zaproponowany przez Hellwiga2

algorytm LOGI.

Artykuł Bryniarskiej i Kota [1] zawiera propozycj� uproszczonej metody

momentów oraz dokładnej metody Marquardta.

W publikacji Snarskiej [8] przedstawiona jest bardzo prosta numeryczna metoda

szacunku parametrów oparta o Solver – narz�dzie optymalizacyjne Excela.

Z uwagi na fakt, �e w nowszych, szeroko dost�pnych publikacjach z zakresu

prognozowania ekonomicznego [2, 3, 10] brak jest szczegółowego omówienia

poszczególnych metod, poni�ej przedstawiono wybrane algorytmy. Metody

podzielono na uproszczone, które dostarczaj� jedynie ogólnej orientacji, co do

warto�ci parametrów oraz dokładne, które umo�liwiaj� opis statystycznych własno�ci

estymatorów [1].

Prezentacj� rozpocz�to od najbardziej rozpowszechnionej metody Hotellinga,

poniewa�, jak wykazał Smuga [7], warto�ci parametrów oszacowane t� metod� mog�by� dodatkowym sprawdzianem istnienia trendu logistycznego.

2.2. Metody uproszczone

Metoda Hotellinga [4, 6, 9] Oblicza si� wzgl�dne przyrosty analizowanej zmiennej:

t

ttt

y

yyz

−= +1 , 1,,2,1 −= nt � . (3)

Nast�pnie szacuje si� metoda najmniejszych kwadratów MNK parametry liniowej

funkcji trendu: tt yaaz ⋅+= 10 i na ich podstawie wyznacza si� oceny parametrów

i �:

1

0

a

aa −= , (4)

0ac = . (5)

Ocen� parametru � [4, 9] wyznacza si� na podstawie ci�gu tc

t

t ey

ab

⋅⋅���

����

�−= 1

okre�laj�c warto�� �redniej arytmetycznej:

tc

n

t t

ey

a

nb ⋅

=

⋅���

����

�−= �

1

11

, (6)

lub �redniej geometrycznej:

2 Hellwig Z.: Krzywa logistyczna i loglogistyczna i ich wykorzystanie do analizy i ekstrapolacji ekono-

micznych szeregów czasowych. „Folia Oeconomica Cracoviensia” 1990, t.XXXIII

J. �urowska 148

∏=

⋅−⋅���

����

�−=

n

t

tc

t

ey

ab

1

1 . (7)

Wg Goryla i Walkosz [4] warto�� b mo�na okre�li� MNK na podstawie modelu

liniowego bez stałej typu: ct

t

eby

a⋅=− 1 , czyli ze wzoru:

( )�

�

=

⋅−

=

⋅−⋅���

����

�−

=n

t

tc

n

t

tc

t

e

ey

a

b

1

2

1

1

. (8)

W literaturze [6, 9] mo�na spotka� jeszcze jeden sposób na oszacowanie parametru

�, na podstawie znanych ocen parametrów i �. Warto�� b okre�la si� na podstawie

wzoru:

0tceb

⋅= , (9)

gdzie:

n

ty

a

ct

n

t

�=

���

����

�+��

�

����

�−⋅

=1

0

1ln1

. (10)

W pracy [4] przedstawiono warunek konieczny i wystarczaj�cy, jaki musi spełnia�suma wzgl�dnych przyrostów, aby mo�na zastosowa� t� metod�, a mianowicie:

vy

yyzu

n

t t

ttn

t

t <−

=< ��−

=

+−

=

1

1

11

1

, (11)

gdzie:

( )

�−

=

−⋅−=

1

1

1

1n

t

t

n

y

nyyu ,

(12)

( )( )

��

�−

=

−

=

−

=

−⋅

−⋅−

⋅−=1

1

21

1

1

11

1

n

t

t

n

t

tn

n

t

tn

n

yyy

yyn

yyv (13)

Oznacza to, �e suma wzgl�dnych przyrostów nie mo�e by� ani zbyt mała ani zbyt

du�a.

Oszacowane warto�ci parametrów metod� Hotellinga mog� by� dodatkowym

sprawdzianem istnienia trendu logistycznego [7]. Szereg czasowy wykazuje du�o cech

trendu logistycznego, je�eli oszacowana warto�� parametru � jest bliska zeru. Wraz ze

Zastosowanie modelu trendu logistycznego do prognozowania wska�nika motoryzacji w Polsce 149

wzrostem warto�ci tego parametru ilo�� cech trendu logistycznego maleje. Je�eli

wyznaczone na podstawie tej metody oceny parametrów � oraz � spełniaj� zale�no�ci:

10 ≤< c oraz �>0, to ci�g }ˆ{ ty jest ci�giem rosn�cym, o wyrazach dodatnich oraz

aytt

=∞→

ˆlim , ponadto mo�e istnie� punkt przegi�cia. Punkt przegi�cia istnieje, je�eli

istnieje takie 0t , �e dla 0tt > funkcja jest rosn�ca, a dla 0tt ≤ malej�ca lub odwrotnie.

Jak wykazano w [7] punkt taki istnieje, je�eli tylko nierówno��2

ˆa

yt < jest spełniona

przynajmniej przez dwa wyrazy ci�gu }ˆ{ ty .

Metoda trzech punktów [4, 6, 9]

Z szeregu empirycznego wybiera si� trzy punkty, dla których ró�nice odci�tych s�odpowiednio równe [6, 9]. Oznaczmy wybrane punkty przez (0, y0), (h, y1) i (2h, y2).

Nast�pnie wylicza si� ró�nice:

10

1

11

yyd −= ,

21

2

11

yyd −= .

(14)

Na ich podstawie wyznacza si� kolejno oceny parametrów: �, i � (oznaczone

odpowiednio przez: c, a i b, na podstawie nast�puj�cych zale�no�ci:

( )21 lnln1

ddh

c −= , (15)

21

21

0

1

1

dd

d

y

a

−−

= , (16)

0

0

y

yab

−= . (17)

W pracy [4] przedstawiona jest pewna odmiana tej metody, zwana metod� trzech punktów Pearla-Reeda. Z szeregu empirycznego wybiera si� trzy równo, ale niezbyt

daleko odległe punkty oznaczone: (tI, yI), (tII, yII) oraz (tIII, yIII). Zale�no�ci na oceny

parametrów funkcji logistycznej s� nast�puj�ce:

( )

2

22

IIIIII

IIIIIIIIIIII

yyy

yyyyyya

−⋅

+−= , (18)

( )( )III

III

yay

yay

hc

−

−⋅= ln

1, (19)

III ct

II

ct

I

III

eyey

yyb

−− −

−= . (20)

J. �urowska 150

Metoda trzech sum [4, 6, 9]]

W metodzie tej bierze si� pod uwag� szereg czasowy yt (t = k, k+1,…, n) i dzieli si�go na trzy równe odcinki, ka�dy o długo�ci h okresów (h - cz��� całkowita z dzielenia

n przez 3), przy czym:

- k = 1, je�eli liczba obserwacji n jest podzielna bez reszty przez 3,

- k = 2 (odrzuca si� y1), je�eli reszta z dzielenia n/3 jest równa 1,

- k = 3 (odrzuca si� y1 i y2), je�eli reszta z dzielenia n/3 jest równa 2.

Dla ka�dego z podokresów wyznacza si� sumy odwrotno�ci obserwacji:

�−+

=

=1

1

1hk

kt tyS , (21)

�−+

+=

=12

2

1hk

hkt tyS (22)

�+=

=n

hkt tyS

2

3

1(23)

Nast�pnie oblicza si� ró�nice:

211 SSD −= , (24)

322 SSD −= . (25)

Na ich podstawie znajduje si� oceny parametrów wykorzystuj�c zale�no�ci:

( )21 lnln1

DDh

c −= , (26)

21

21

1DD

DS

ha

−−

= , (27)

21

21

DD

Dab

−⋅

δ= , (28)

gdzie: – pomocnicza wielko�� wyliczana z zale�no�ci:

c

hc

e

e−

−

−

−=δ

1

1. (29)

Metoda Piworowicz-Waszkiewicza [6, 9]

Metoda trzech sum ma dwie podstawowe wady. Po pierwsze wymaga zało�enia

równych odst�pów mi�dzy kolejnymi odci�tymi punktów empirycznych. Po drugie

obliczenia wykonuje si� dla odwrotno�ci rz�dnych punktów empirycznych, co

powoduje, �e przywi�zuje si� zbyt du�� wag� do wyrazów o warto�ciach bliskich zeru

oraz do bł�dów, którymi te warto�ci s� obci��one.

Zastosowanie modelu trendu logistycznego do prognozowania wska�nika motoryzacji w Polsce 151

Metoda zaproponowana w publikacji [6] i szeroko omówiona w pracy [9], jest

wolna od powy�szych wad. Jest ona oparta na całkowaniu metod� trapezów.

Poni�szy algorytm opracowano na podstawie [9] w wersji uproszczonej dla modelu

trendu. Za podstaw� przyjmuje si� dwa przedziały [t1, tk] oraz [tk, tn]3. Oceny

parametrów i � wyznacza si� na podstawie zale�no�ci:

III

IIIIII

uu

yuyua

−

⋅−⋅= , (30)

III

IIIIII

yy

yuyuc

−

⋅−⋅= , (31)

gdzie:

1

1lnln

tt

yyu

k

kI

−

−= , (32)

kn

knII

tt

yyu

−

−=

lnln, (33)

( )

( )�−

=

+ +−

=1

1

1

12

1k

j

jj

k

I yytt

y , (34)

( )

( )�−

=

+ +−

=1

12

1n

kj

jj

kn

II yytt

y . (35)

Ocen� parametru � wyznacza si� na podstawie wzorów (9) i (10).

Metoda Fishera [6, 9]

Sposób post�powania jest analogiczny jak w metodzie Hotellinga, przy czym

szereg zt okre�la si� na podstawie zale�no�ci:

1

1ln2

1

−

+⋅=t

tt

y

yz , 1,,3,2 −= nt � . (36)

Metoda Tintnera [4, 9]

W metodzie tej wyznacza si� odwrotno�ci obserwacji yt. Nast�pnie szacuje si�

MNK parametry liniowej funkcji trendu: tt y

aay

1110

1

⋅+=+

. Na ich podstawie

wyznacza si� oceny parametrów i �:

0

11

a

aa

−= , (37)

0ln ac −= . (38)

3 W obu publikacjach nie wspomina si� o długo�ci przedziałów

J. �urowska 152

Ocen� parametru � okre�la si� analogicznie jak w metodzie Hotellinga.

Metoda Julla [6, 9]

W metodzie tej, analogicznie jak w metodzie Hotellinga wyznacza si� warto�ci

wzgl�dnych przyrostów zt (3) [9]. Nast�pnie szacuje si� MNK parametry liniowej

funkcji trendu: 110 +⋅+= tt yaaz i na ich podstawie wyznacza si� oceny parametrów

i � :

1

0

a

aa −= , (39)

( )1ln 0 += ac . (40)

Ocen� parametru � okre�la si� analogicznie jak w metodzie Hotellinga.

Metoda Pawłowskiego [4]

W metodzie tej, podobnie jak w metodzie Tintnera wyznacza si� odwrotno�ci

obserwacji yt. Nast�pnie szacuje si� MNK parametry liniowej funkcji trendu:

ttt yaa

yy

11110

1

⋅+=−+

. Na ich podstawie wyznacza si� oceny parametrów i � :

0

1

a

aa −= , (41)

1ln 1 +−= ac . (42)

Ocen� parametru � okre�la si� na podstawie wzoru (8).

Jednoiteracyjna metoda Pearla-Reeda [4]

W metodzie tej znajduje si� ocen� parametru � (c0) dowoln� metod� uproszczon� a nast�pnie MNK szacuje si� parametry nast�puj�cej funkcji:

tc

tt

tc

t etyayaaey⋅−⋅− ⋅⋅⋅+⋅+=⋅ 00

210 . (43)

Na ich podstawie wyznacza si� oceny parametrów , � i � z nast�puj�cych

zale�no�ci:

1

0

a

aa −= , (44)

1

1

ab −= , (45)

20 acc += . (46)

Goryl [4] nie poleca stosowania tej metody, ze wzgl�du na niepewno�� wyniku

(znikoma poprawa albo pogorszenie aproksymacji).

Zastosowanie modelu trendu logistycznego do prognozowania wska�nika motoryzacji w Polsce 153

Metoda Snarskiej [8]

Metoda ta wykorzystuje narz�dzie arkusza kalkulacyjnego Excel – Solver, słu��ce

do znajdowania przybli�e� numerycznych. Po wprowadzeniu do arkusza warto�ci

empirycznych i formuł na warto�ci teoretyczne, w oknie dialogowym tego narz�dzia

nale�y zdefiniowa�: - komórk� celu: minimalizacja warto�ci w komórce zawieraj�cej sum�

kwadratów reszt,

- komórki zmieniane: adresy komórek zawieraj�cych parametry,

- warunki ograniczaj�ce: zakresy zmienno�ci parametrów.

-2.3. Metody dokładne

Metoda Gaussa-Newtona [1, 4, 5]

Zastosowanie metody Gaussa-Newtona wymaga znajomo�ci pocz�tkowych

przybli�e� ocen parametrów, które mo�na okre�li� dowoln� metod� uproszczon�. Metoda ta sprowadza si� do ci�gu zastosowa� MNK, w którym rol� macierzy

obserwacji zmiennych obja�niaj�cych pełni macierz Z(l) zawieraj�ca warto�ci

pierwszych pochodnych cz�stkowych funkcji (1) okre�lonych wzorami:

t

e

f⋅γ−⋅β+

=δα

δ

1

1, (47)

( )21 t

t

e

ef

⋅γ−

γ−

⋅β+

⋅α−=

δβ

δ, (48)

( )21 t

t

e

etf

⋅γ−

⋅γ−

⋅β+

⋅⋅β⋅α=

δγ

δ, (49)

obliczonych dla ustalonych przybli�e� parametrów (a(l)

, b(l)

, c(l)

) a rol� wektora

obserwacji zmiennej zale�nej pełni wektor e(l) (ró�nic pomi�dzy warto�ciami

empirycznymi yt i l-tymi przybli�eniami warto�ci teoretycznych ( )lty ). Wektor

poprawek ocen parametrów , � i � okre�la zale�no��:

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )llll

lc

l

b

la

d

d

d

eZZZ ⋅⋅�

�� ⋅=

���

���

�

−

T1

T. (50)

Poprawki te wykorzystuje si� do okre�lenia warto�ci ocen parametrów w kolejnej

iteracji wykorzystuj�c zale�no��:

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )���

���

�

+

+

+

=

����

����

�

+

+

+

lc

l

lb

l

la

l

l

l

l

dc

db

da

c

b

a

1

1

1

, (51)

J. �urowska 154

Post�powanie kontynuuje si� tak długo, a� warto�ci bezwzgl�dne wszystkich

poprawek b�d� równe zeru z ��dan� dokładno�ci� � (np. � = 10-6

). Je�eli zachodzi to

od pewnej iteracji L, to jako oceny parametrów przyjmuje si� oszacowania z tej

wła�nie iteracji. Macierz wariancji i kowariancji estymatorów parametrów wyznacza

si� z zale�no�ci:

( )( ) ( )1

T22−

�

�� ⋅⋅=

���

���

�

LL

s

c

b

a

D ZZ , (52)

gdzie: s2 – wariancja składnika resztowego.

Znajomo�� tej macierzy pozwala wyznaczy� bł�dy szacunku parametrów modelu

oraz bł�dy ex ante wyznaczanych prognoz.

Metoda Marquardta [1]

Przy korzystaniu w praktyce z metody Gaussa-Newtona cz�sto zdarza si�, �e

macierz ( )( ) ( )lTl ZZ ⋅ jest macierz� osobliw�. Ewentualn� osobliwo�� mo�na usun��poprzez dodanie na głównej przek�tnej macierzy pewnej stałej �(l)

. Wzór (50)

przyjmuje posta�:

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )lllll

l

l

l

d

d

d

eZIZZ ⋅⋅�

�� ⋅λ+⋅=

���

���

�

−

γ

β

αT

1T

, (53)

gdzie: I – macierz jednostkowa.

Dalsze post�powanie jest analogiczne, jak w metodzie Gaussa-Newtona.

3. Model trendu logistycznego dla wska�nika motoryzacji

3.1. Estymacja parametrów strukturalnych i struktury stochastycznej modeli

Punktem wyj�ciowym do estymacji modeli było sprawdzenie, czy suma

wzgl�dnych przyrostów analizowanego szeregu spełnia warunek konieczny i wystar-

czaj�cy, aby mo�na zastosowa� metod� Hotellinga (11). Wynik oblicze�: 743,1506,1400,1 =<<= vu potwierdził t� mo�liwo��. Oszacowane metod�

Hotellinga parametry wykazały, �e analizowany szereg czasowy wykazuje du�o cech

trendu logistycznego (a = 564,911787 > 0; 0 < c = 0,093853 < 1).

Estymacj� parametrów modelu trendu logistycznego przeprowadzono na podstawie

omówionych w punkcie 2 metod, wykorzystuj�c arkusz kalkulacyjny Excel.

Otrzymane wyniki, uporz�dkowane w kolejno�ci od najgorszej do najlepszej aproksy-

macji, przedstawia tabela 3. W tabeli tej oprócz ocen parametrów modeli (a w przy-

padku metody Gaussa-Newtona równie� bł�dów szacunku parametrów),

zamieszczono mierniki dopasowania modeli, tj. współczynnik zbie�no�ci 2, odchyle-

nie standardowe składnika resztowego s oraz współczynnik zmienno�ci losowej w.

Zastosowanie modelu trendu logistycznego do prognozowania wska�nika motoryzacji w Polsce 155

Tabela 3. Porównanie ocen parametrów i mierników dopasowania modeli.

Table 3. Comparison of assessment parameters and fitting measures of models.

Oceny parametrów Mierniki dopasowania Metoda

� � 2 s w [%]

Trzech punktów 542,907712 5,872250 0,094146 0,1098 25,898 14,67

Trzech sum 535,898809 6,426084 0,093788 0,0221 11,609 6,57

Hotellinga 564,911787 7,658229 0,093853 0,0023 3,785 2,14

Julla 634,036011 8,400475 0,087716 0,0022 3,635 2,06

Piworowicz-

Waszkiewicza 536,797131 7,084017 0,093933 0,0019 3,435 1,95

Tintnera 595,733969 7,831508 0,089317 0,0019 3,429 1,94

Pawłowskiego 585,016708 7,656712 0,089687 0,0019 3,427 1,94

Fishera 582,147491 7,627702 0,089936 0,0019 3,423 1,94

Jednoiteracyjna Pearla-

Reeda 575,620368 7,603742 0,091036 0,0019 3,391 1,92

Snarskiej 562,843581 7,432247 0,091945 0,0019 3,382 1,91

Gaussa-Newtona 562,905748

(41,247126)

7,432969

(0,494501)

0,091940

(0,003739)0,0019 3,382 1,91

Jak wynika z tabeli 3, wszystkie metody, za wyj�tkiem metody trzech punktów

(w < 10%), doprowadziły do oszacowania modeli, które mo�na uzna� za wystarczaj�-co dopasowane do danych empirycznych. Zgodnie z oczekiwaniem, najlepsze wyniki

otrzymano na podstawie metody Gaussa-Newtona. W zale�no�ci od metody uprosz-

czonej, przyj�tej do okre�lenia pocz�tkowych ocen parametrów, ��dan� dokładno��� = 10

-6 uzyskano w iteracji: trzeciej (Snarskiej), czwartej (Hotellinga i Fishera) lub

pi�tej (trzech sum i Pawłowskiego). Dla pozostałych metod uproszczonych metoda nie

była zbie�na.

3.2. Weryfikacja modeli

W tabeli 4 zamieszczono wyniki badania rozkładu reszt modeli [2, 3, 11, 12], dla

których współczynnik zmienno�ci losowej w > 10%.

Tabela 4. Wyniki badania rozkładu reszt.

Table 4. Results of residual distribution survey.

Własno�ci rozkładu reszt

Metoda Symetria

Loso-

wo��Nieza-

le�no��Nieobci�-�ono��

Stacjo-

narno��Normal-

no��Trzech sum - - - - - +

Hotellinga + - - + - +

Julla + - - + + +

J. �urowska 156

Cd. tabeli 4

Contd. table 4

Piworowicz-

Waszkiewicza + + + + + +

Tintnera + + - + + +

Pawłowskiego + + + + + +

Fishera + + + + + +

Jednoiteracyjna

Pearla-Reeda + + + + + +

Snarskiej + + + + + +

Gaussa-Newtona + + + + + +

Otrzymane wyniki wskazuj�, �e rozkłady reszt modeli oszacowanych metodami:

Piworowicz-Waszkiewicza, Pawłowskiego, Fishera, jednoiteracyjn� Pearla-Reeda,

Snarskiej oraz Gaussa-Newtona spełniaj� wszystkie badane własno�ci.

Podstawowym warunkiem weryfikacji modeli jest weryfikacja statystycznej

istotno�ci ocen parametrów strukturalnych [5]. Poniewa� wymaga ona znajomo�ci

�rednich bł�dów szacunku parametrów, wi�c mo�na j� przeprowadzi� tylko

w przypadku modelu oszacowanego metod� Gaussa-Newtona. Warto�ci statystyk t

(ta = 13,647; tb = 15,031; tc = 24,592) znacznie przewy�szaj� warto�� krytyczn�t=0,05; 21 = 2,08. Tak wi�c parametry oszacowane t� metod� s� statystycznie istotne.

Dopasowanie modelu trendu logistycznego oszacowanego metod� Gaussa-

Newtona do danych empirycznych obrazuje wykres na rysunku 3.

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

t

dane empiryczne model trendu logistycznego

Rys. 3. Ilustracja dopasowania modelu trendu logistycznego. Fig. 3. Illustration of logistic trend model fitting.

Zastosowanie modelu trendu logistycznego do prognozowania wska�nika motoryzacji w Polsce 157

4. Prognozy wska�nika motoryzacji

Prognozy wska�nika motoryzacji w Polsce dla kolejnych dwóch lat, tj. 2005-2006,

wyznaczono na podstawie ekstrapolacji modelu trendu logistycznego oszacowanego

metod� Gaussa-Newtona, spełniaj�cego wszystkie warunki weryfikacji. Prognozy te

wynosz� odpowiednio: 322,33 i 334,91.

4.1. Dopuszczalno�� prognoz

Dopuszczalno�� prognoz okre�lono na podstawie bł�dów ex ante. Bezwzgl�dne

bł�dy ex ante wynosz�: dla 2005 roku 4,38 oraz dla 2006 roku 4,85. Wzgl�dne bł�dy

ex ante wynosz� odpowiednio 1,36% i 1,45%, a wi�c poni�ej 2%, tak wi�c

wyznaczone prognozy mo�na uzna� za dopuszczalne.

Nale�y zauwa�y�, �e wzgl�dne bł�dy prognoz nie przekraczaj�: do roku 2009 -

2%, 2014 – 3%, 2019 - 4% i do 2025 – 5%. Je�eli wi�c w tym przedziale czasu posta�analityczna modelu oraz warto�ci ocen jego parametrów nie ulegn� zmianie, mo�na

spodziewa� si�, �e wska�nik motoryzacji w Polsce mo�e przekroczy� w 2012 roku

liczb� 400, a w 2025 roku 500 samochodów/1000 mieszka�ców.

4.2. Trafno�� prognoz

Na podstawie opublikowanego w Internecie dokumentu GUS Transport - Wyniki

działalno�ci w 2005 roku, wska�nik motoryzacji w tym roku wyniósł 323 samochody

na 1000 mieszka�ców. Poniewa� na dzie� dzisiejszy brak jest danych dotycz�cych

roku 2006, trafno�� prognoz okre�lono na podstawie bł�dów ex post dla 2005 roku.

Bł�dy te wyniosły: bezwzgl�dny – 0,67 i wzgl�dny – poni�ej 0,21%. Niska warto��wzgl�dnego bł�du ex post dla 2005 roku �wiadczy o tym, �e prognoza była trafna.

Wyznaczona dla tego roku warto�� współczynnika janusowego wynosi J2 = 0,045,

co oznacza, �e model mo�e by� wykorzystywany do prognozowania warto�ci

wska�nika motoryzacji na kolejny rok, czyli dla 2006 roku nale�y si� spodziewa�warto�ci wska�nika motoryzacji rz�du 335 samochodów.

5. Podsumowanie

Wyniki przeprowadzonego post�powania weryfikacyjnego pozwalaj� przyj��, �e

model trendu logistycznego o postaci: 432969,71

905748,562ˆ

091940,0 tte

y⋅−⋅+

= , oszacowany

metod� Gaussa-Newtona, bardzo dobrze opisuje kształtowanie si� wska�nika moto-

ryzacji w latach 1980-2004. Niewielki wzgl�dny bł�d ex post prognozy dla 2005 roku

wyznaczonej na podstawie ekstrapolacji tego modelu oraz mniejsza od 1 warto��współczynnika janusowego, pozwalaj� na stwierdzenie, �e w 2006 roku wska�nik

motoryzacji w Polsce wyniesie prawie 335.

J. �urowska 158

Literatura

[1] BRYNIARSKA Z., KOT S.M.: Estymacja parametrów funkcji typu logistycznego metod� momentów

i metod� Marquardta. Przegl�d Statystyczny, Rocznik XXXIV, zeszyt 3. 1987.

[2] CIE�LAK M. (red.): Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania. Wydanie drugie, rozsze-

rzone i poprawione. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 2002.

[3] DITTMANN P.: Prognozowanie w przedsi�biorstwie. Metody i ich zastosowanie. Oficyna Ekono-

miczna. Kraków 2003.

[4] GORYL A., WALKOSZ A.: Porównanie wybranych metod wyznaczania parametrów trendu logi-

stycznego. Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, nr 196. Kraków 1984.

[5] KUKUŁA K. (red.): Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach. Wydawnictwo Na-

ukowe PWN. Warszawa 2004.

[6] PIWOROWICZ I., WASZKIEWICZ J.: Nowe metody aproksymacji parametrów linii logistycznej. Prze-

gl�d Statystyczny, Rocznik XXVIII, zeszyt 3/4. 1981.

[7] SMAGA E.: Metoda H. Hotellinga jako kryterium istnienia trendu logistycznego. Zeszyty Naukowe

Akademii Ekonomicznej w Krakowie, nr 138. Kraków 1981.

[8] SNARSKA A.: Statystyka, ekonometria, prognozowanie. �wiczenia z Excelem. Wydawnictwo Placet,

Warszawa 2005.

[9] STANISZ T.: Funkcje jednej zmiennej w badaniach ekonomicznych. Wydanie drugie. Wydawnictwo

Naukowe PWN. Warszawa 1993.

[10] ZELIA� A., PAWEŁEK B., WANAT S.: Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania.

Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 2003.

[11] �UROWSKA J.: Prognozowanie przewozów. Modele, metody, przykłady. Podr�cznik dla studentów

wy�szych szkół technicznych. Politechnika Krakowska. Kraków 2005.

[12] �UROWSKA J.: Zastosowanie modelu trendu wielomianowego do opisu kształtowania si� wska�nika

motoryzacji w Polsce w latach 1980-2004. Transport Miejski i Regionalny, nr 12, 2005.

Application of logistic trend model for forecasting the motorization coefficient

S u m m a r y

The logistic trend model has been applied for description of motorization coefficient in Poland from

1981 to 2004 and described in the article. The methods used to estimate structural parameters have been

described, the assessment of model fitting and its verification has been made and the admissibility and

fittings of obtained forecasts has been analysed.