Analiza płyt i powłok MESZagadnienie wyboczeniaWykład 3 z MKwIL, kierunek Budownictwo

Jerzy Pamin i Marek Słoński

Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej

Politechnika Krakowska

Podziękowania:

M. Radwańska, J. Jaśkowiec, A. WosatkoADINA R&D, Inc.http://www.adina.comANSYS, Inc. http://www.ansys.comROBOT http://www.autodesk.com

MKwIL, Budownictwo II st.

Zakres wykładu

Elementy skończone dla płyt zginanych

Elementy skończone dla powłok

MES w symulacji wyboczenia

Zjawisko wyboczenia

Algorytm analizy wyboczenia MES

Zagadnienia nieliniowe

Katastrofy budowlane

MKwIL, Budownictwo II st.

Podręczniki

MKwIL, Budownictwo II st.

Klasyfikacja modeli i elementów skończonych

Obniżenie wymiarowości:I ustroje prętowe (geometrycznie jednowymiarowe)I ustroje powierzchniowe (dwuwymiarowe)I ustroje bryłowe (trójwymiarowe)

Elementy skończone dla mechaniki:I 1D - kratowy (truss)I 1.5D - belkowy (beam), ramowy (frame)I 2D - PSN (panel, plane stress), PSO (plane strain), symetria osiowa

(axial symmetry)I 2.5D - płytowy (plate/slab), powłokowy (shell)I 3D - bryłowy (volume)

MKwIL, Budownictwo II st.

Płyta zginana [1,2,7]

Podstawowa niewiadoma:ugięcie w(x , y)

Naprężenia (uogólnione)

Rysunki zaczerpnięte z podręcznika: G. Rakowski, Z. Kacprzyk, Metoda elementów skończonych

w mechanice konstrukcjiMKwIL, Budownictwo II st.

Zginanie - odkształcenia i naprężenia uogólnioneTeoria płyt cienkich Kirchhoffa-Love’a

Krzywizny i spaczenie

em = {κx , κy , κxy}

Momenty zginające i skręcające

m = {mx ,my ,mxy}

MKwIL, Budownictwo II st.

Prostokątny element skończony do analizy płyt [1,2,7]

Węzłowe stopnie swobody i siły

Funkcje kształtu Hermite’a

Uwaga na zadawanie warunków brzegowych(kinematycznych i statycznych)

MKwIL, Budownictwo II st.

Powłoka

Geometria powłokiMKwIL, Budownictwo II st.

Powłoka - naprężenia uogólnioneTeoria powłok cienkich mało wyniosłych

Stan naprężenia w powłoceSiły tarczowe + zginanie (wpływścianania poprzecznego pominięty)

MKwIL, Budownictwo II st.

Elementy skończone do analizy płyt i powłok [1,2,7]Teoria Reissnera-Mindlina powłok umiarkowanie grubych

Kąty obrotu są niezależnieaproksymowane

Element skończony Ahmada- zdegenerowane continuum

Uwzględniony wpływścinania poprzecznego

MKwIL, Budownictwo II st.

Zjawisko wyboczenia

Założenia liniowej analizy wyboczenia:

I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się proporcjonalnie doparametru obciążenia λ

P = λP∗

I obciążenie jest zachowawcze, tzn. nie zmienia kierunku podczasodkształcania się konstrukcji

I ustrój (pręt, tarcza, powłoka) jest idealny, bez geometrycznych,materiałowych czy obciążeniowych imperfekcji, które zaburzająidealny stan przedwyboczeniowy

MKwIL, Budownictwo II st.

Zjawisko wyboczenia c.d.

Obciążenie Pkr = λkrP∗ to obciążenie krytyczne, po osiągnięciuktórego następuje wyboczenie, gdzie przez P∗ oznaczono tzw. obciążeniekonfiguracyjne odpowiadające λ = 1.Cechą charakterystyczną utraty stateczności przez wyboczenie jestzasadnicza zmiana formy deformacji układu konstrukcyjnego znaprężeniami ściskającymi w całym układzie lub jego części.

Źródło: E. Ramm, Buckling of Shells, Springer-Verlag, Berlin 1982

MKwIL, Budownictwo II st.

Przykłady zjawiska wyboczenia

Kryterium statyczne utraty stateczności (przez wyboczenie) polega nabadaniu równowagi bliskich stanów przed- i powyboczeniowych. Zjawiskowyboczenia zostanie pokazane dla:

I pojedynczego pręta przegubowo podpartego,I wysokiej belki wspornikowej,I tarczy jednokierunkowo ściskanej, przegubowo podpartej na

obwodzie,I powłoki walcowej z ciśnieniem normalnym, utwierdzonej na dolnym

konturze.

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie pojedynczego pręta

Przed wyboczeniem:pręt:

I ma prostoliniową oś,I jest wyłącznie ściskany (nie

zginany).

Po wyboczeniu:pręt:

I ma zakrzywioną oś,I jest ściskany i zginany.

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej

Przed wyboczeniem:

I belka zginana w płaszczyźnie z obciążeniem siłą prostopadłą do osibelki, przyłożoną na swobodnym końcu

X

Y

Przemieszczenia belki w stanie przedwyboczeniowym

Po wyboczeniu:

I następuje zwichrzenie (giętno-skrętna deformacja)

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej c.d.

Z

X

Postacie wyboczenia

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej

Przed wyboczeniem:mamy idealny stan tarczowy:

I tarcza o idealnej płaszczyźnie środkowej,I obciążenie jednokierunkowo ściskające, działające idealnie w

płaszczyźnie środkowej.

Po wyboczeniu:powstaje stan giętny:

I z niezerowymi przemieszczeniami prostopadłymi do płaszczyznyśrodkowej,

I z krzywiznami i momentami zginającymi.

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej(ANSYS, [4])

Pierwsza i druga forma wyboczenia

Trzecia i czwarta forma wyboczenia

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie powłoki walcowejściskanej radialnym ciśnieniem zewnętrznym

Przed wyboczeniem:panuje w powłoce:

I stan osiowo symetryczny,I w większości obszaru powłoki długiej stan bezmomentowy,I w sąsiedztwie konturu utwierdzonego stan giętny.

Po wyboczeniu:następuje zasadnicze zaburzenie osiowej symetrii:

I powstają pofalowania w kierunku obwodowym,I liczba półfal jest różna dla kolejnych wartości mnożników

krytycznych obciążenia.

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie powłoki c.d. (ANSYS, [4])

Kolejne formy wyboczenia

MKwIL, Budownictwo II st.

Ogólna analiza wyboczenia [2,3]

Kryterium energetyczne wyboczeniaKryterium energetyczne polega na analizie przyrostu energii potencjalnejΠ przy przejściu od stanu przed- do powyboczeniowego. Rozważamy dwasąsiednie stany:

I stan (I) równowagi, dla którego:

δΠ(I ) = 0

I stan (II) równowagi, dla którego:

δΠ(II ) = δΠ(I ) + δ∆Π = 0

I energetyczne kryterium stanu krytycznego: δ∆Π = 0.

MKwIL, Budownictwo II st.

Algorytm analizy wyboczenia MES

Równanie macierzowe dla całego układu opisujące utratę statecznościprzez wyboczenie:

[K0 + λKσ(s∗)]v = 0

lub

{K0 + λ[Kσ(s∗) +Ku1(g∗)]}v = 0

gdzie:

I macierz liniowej sztywności układu K0

I macierz sztywności naprężeniowej Kσ(s∗) oraz macierz sztywnościprzemieszczeniowej Ku1(g∗)

I poszukiwany mnożnik krytyczny obciążenia λkrI poszukiwana postać deformacji powyboczeniowej, opisana za

pomocą wektora v = ∆d

MKwIL, Budownictwo II st.

Statyka stanu przedwyboczeniowego

Algorytm etapu I:

1. Obliczamy globalną macierz sztywności K0

2. Obliczamy wektor węzłowych zastępników obciążeniakonfiguracyjnego P∗, dla parametru obciążenia λ = 1, przy założeniuobciążenia jednoparametrowego P = λP∗

3. Uwzględnieniamy kinematyczne warunki brzegowe

4. Rozwiązujemy układ równań K0 · d∗ = P∗, otrzymującprzemieszczenia węzłowe w stanie przedwyboczeniowym:d∗ = K−1

0 · P∗

5. Na podstawie przemieszczeń całego układu d∗ i danego elementud∗e - obliczamy wewnątrz elementu:

I gradienty przemieszczeń g∗e orazI uogólnione naprężenia s∗e .

MKwIL, Budownictwo II st.

Analiza wyboczenia

Algorytm etapu II:

1. Generujemy:- macierze sztywności naprężeniowej dla wszystkich elementówKeσ(s∗e) i całej konstrukcji Kσ(s∗)- ewentualnie macierz sztywności przemieszczeniowej Ku1(g∗)

2. Formułujemy niestandardowy (uogólniony) problem własny,odpowiadającyproblemowi zlinearyzowanemu: [K0 + λ(Kσ +Ku1)]v = 0lub problemowi początkowemu: [K0 + λKσ]v = 0

3. Rozwiązujemy problem własny, wyznaczając pary(λ1, v1), . . ., (λN , vN)

gdzie:I N – liczba stopni swobody układuI λi – wartość własna - parametr krytycznego obciążeniaI vi = ∆di – wektor własny - postać powyboczeniowej deformacji

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie tarczy

Wyboczenie tarczy w stanie czystego zginania tarczowego

Założenia:I tarcza ma idealną płaszczyznę środkową,I obciążenie leży idealnie w płaszczyźnie środkowej,I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się przez parametr λ.

Obciążenie wywołujące stan czystego zginania tarczowegoObliczenia:

I numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżoneI analityczne: rozwiązania dokładne

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie idealnej tarczy - daneI wymiary: Lx = Ly = 1.16 m, h = 0.012 mI stałe materiałowe: E = 2.05 · 108 kN/m2, ν = 0.3I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe odpowiadające

płaskiemu zginaniu: |p∗x,max,min| = 1.0 kN/mI dwa przypadki warunków podparcia płyty na obwodzie:

a) przegubowe podparcie (na rysunku z prawej)b) utwierdzenie (na rysunku z lewej)

Dyskretyzacja MES, obciążenie i dwa przypadki warunków podparcia

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie przy zginaniu tarczowym

Obliczenie wartości obciążenia krytycznego:

Obciążenie i deformacja w stanie przedwyboczeniowym

Rozwiązania analityczne dla tarczy:I przegubowo podpartej: pzg,analitkr = 25.6·π2·Dm

L2x

= 6077 kN/m

I utwierdzonej: pzg,analitkr = 39.0·π2·DmL2x

= 9259 kN/m

Rozwiązania numeryczne (ANKA, siatka 8× 8 ES) dla tarczy:I przegubowo podpartej: pzg,MESkr = 6028 kN/mI utwierdzonej: pzg,MESkr = 11304 kN/m

Rozwiązania numeryczne (ROBOT, siatka 12× 12 ES) dla tarczy:I przegubowo podpartej: pzg,MESkr = 6241 kN/mI utwierdzonej: pzg,MESkr = 11666 kN/m

MKwIL, Budownictwo II st.

Zginanie tarczowe w stanie przedwyboczeniowym

Rozkład siły tarczowej nx dla tarczy przegubowo podpartej (z lewej) iutwierdzonej (z prawej)

MKwIL, Budownictwo II st.

Zginanie tarczowe, postacie powyboczeniowe

Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy przegubowo podpartej (ROBOT)

MKwIL, Budownictwo II st.

Zginanie tarczowe, postacie powyboczeniowe

Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy utwierdzonej (ROBOT)

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyboczenie blachownicy – dane i wariantyI wymiary: Lx = Ly = 1.16 m, hs = 0.012 m, hp = 0.018 mI stałe materiałowe: E = 2.05 · 108 kN/m2, ν = 0.3I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe:|p∗x,min,max | = 1.0 kN/m

I dwa warianty analizy wyboczenia blachownicy:wariant 1: badanie lokalnego wyboczenia środnikawariant 2: wyboczenie dźwigara składającego się ze środnika i dwóchpółek

MKwIL, Budownictwo II st.

Wariant 1: wyboczenie środnika

Lokalne wyboczenie środnika:

I wyizolowany środnik, współpracujący w rzeczywistości z półkami iżebrami, może mieć zadane różne warunki brzegowe na liniachpołączenia z półkami oraz z pionowymi żebrami

I w skrajnych przypadkach można na całym obwodzie przyjąć linie:a) przegubowo podparteb) zamocowane

I stan rzeczywisty jest stanem pośrednimI przykłady rozwiązane poprzednio służą ilustracji wyboczenia samego

środnika

MKwIL, Budownictwo II st.

Wariant 2: wyboczenie segmentu blachownicy

Analiza wyboczenia dźwigara:I wykonując obliczenia przy użyciu programu ROBOT zbudowano

model dyskretny:dźwigara składającego się ze środnika (12× 12) i dwu półek (4× 12)przy obciążeniu wywołującym zginanie dźwigara

I wyniki numeryczne (ROBOT):I pbl,MESkr = 9068 kN/m

I porównanie wartości sił krytycznych obliczonych MES (ROBOT):I dla wyizolowanego środnika:

- przegubowo podpartego (pp)- utwierdzonego (ut)

I całego dźwigara (bl)

pzg ,pp,MES < pbl,MES < pzg ,ut,MES

6241 kN/m < 9068 kN/m < 11666 kN/m

MKwIL, Budownictwo II st.

Zginanie blachownicy w stanie przedwyboczeniowym

Rozkład siły tarczowej nx dla blachownicy

MKwIL, Budownictwo II st.

Postacie powyboczeniowe blachownicy

Dwie postacie powyboczeniowe zginanej blachownicy (ROBOT)

MKwIL, Budownictwo II st.

Analiza wyboczenia powłoki walcowej stalowego zbiornikapakietem ABAQUS [6]

MKwIL, Budownictwo II st.

Źródła nieliniowości

Spowodowane zmianą geometrii ciała (odkształcalnego)I duże odkształcenia (np. guma, formowanie metali)I duże przemieszczenia (np. konstrukcje smukłe, cienkościenne)I kontakt (oddziaływanie stykających się ciał)I obciążenie śledzące (zależne od deformacji ciała)

Spowodowane nieliniowymi związkami konstytutywnymiI plastyczność (odkształcenia trwałe)I uszkodzenie (degradacja własności sprężystych)I zarysowanie (kontynualna reprezentacja rys)I . . .

MKwIL, Budownictwo II st.

Katastrofa platformy Sleipner A, Norwegia 1991I Żelbetowa platforma wirtnicza posadowiona na głębokości 82 m,

podstawa złożona z 24 komór o średnicy 12 m (4 wspierają pomost)

I Przyczyna zatonięcia konstrukcji podstawy podczas operacji posadowienia:błąd w obliczeniach MES trójnika łączącego komory (niedoszacowanie siłyścinającej o 47%) i niewystarczające zakotwienie zbrojenia w strefiekrytycznej

Rysunki z www.ima.umn.edu/∼arnold/disasters/sleipner.html

MKwIL, Budownictwo II st.

Sampoong Department Store, Seul, 1995I Zaprojektowany jako budynek biurowy (4 kondygnacje pod ziemią),

przeprojektowany na dom towarowy z atrium i lodowiskiem na dachu(usunięto część słupów)

I Otwarty w czerwcu 1990, potem nadbudowano 4. pietro z restauracjami iinstalacją klimatyzacyjną (obciążenie przekroczyło założoneczterokrotnie), obserwowano zarysowanie górnego stropu

I Przyczyny: zbyt słabe słupy - φ 60 (potrzebne φ 80); brak właściwegoprojektu przy zmianach funkcji, niedostateczny monitoring, brak wyobraźni

MKwIL, Budownictwo II st.

Airport Paris Charles de Gaulle, Terminal 2E, 2004

I Zespolona przeszklona konstrukcja powłokowa w kształcie rury, swobodniepodparte sklepienie osłabione licznymi otworami

I Zaprojektowany przez architekta Paula Andreu (zaprojektował równieżterminal 3 w Dubai International Airport, który zawalił się podczasbudowy), oddany w roku 2003

I Przyczyna: zbyt mały margines bezpieczeństwa w projekcie,prawdopodobnie także błedy wykonawcze i/lub niedostatecznie dobrybeton

Rysunki zaczerpnięte z www.equipement.gouv.fr

MKwIL, Budownictwo II st.

Wnioski z katastrof budowlanychI Konieczna wiedza i doświadczenie z (zaawansowanej) mechaniki i

zasad projektowaniaI Konieczny monitoring, szybka ocena stanów awaryjnychI Można było uniknąć części awarii budowlanych stosując lepsze

modele mechaniczne i symulacje komputerowe

Rysunki zaczerpnięte z www.architectureweek.com

Symulacje komputerowe stwarzają bezcenne możliwości, ale tylkoświadomemu użytkownikowi MES

MKwIL, Budownictwo II st.

Literatura

[1] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice kostrukcji.Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005.

[2] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwiązaniaanalityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009.

[3] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Stability of Structures by FiniteElements Methods. Elsevier, 1994.

[4] M. Bera. Analiza utraty stateczności wybranych tarcz i powłok sprężystych metodąelementów skończonych. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2006.

[5] M. Radwańska, E. Pabisek. Zastosowanie systemu metody elementów skończonychANKA do analizy statyki i wyboczenia ustrojów powierzchniowych. Pomoc dydaktyczna PK,Kraków 1996.

[6] M. Chojnacki. Projekt zbiornika stalowego i nieliniowa analiza wyboczenia powłoki zimperfekcjami. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2014.

[7] M. Radwańska, A. Stankiewicz, A. Wosatko, J. Pamin. Plate and ShellStructures. Selected Analytical and Finite Element Solutions. John Wiley & Sons, 2017.

MKwIL, Budownictwo II st.