Metoda elementów Metoda elementów skończonych dla skończonych dla

problemów nieliniowychproblemów nieliniowych

Piotr ChyłaPiotr Chyła Kraków 5.01.2011r.Kraków 5.01.2011r.

Plan prezentacjiPlan prezentacji WstępWstęp Podstawy teorii plastyczności:Podstawy teorii plastyczności:

nieliniowości fizycznenieliniowości fizyczne plastyczność na poziomieplastyczność na poziomie

punktupunktu przekrojuprzekroju konstrukcjikonstrukcji

Powierzchnia plastycznościPowierzchnia plastyczności Metody rozwiązywania równań nieliniowych:Metody rozwiązywania równań nieliniowych:

NewtonaNewtona bisekcjibisekcji siecznychsiecznych

22

Wykorzystanie analizy nieliniowej MES Wykorzystanie analizy nieliniowej MES pozwala na:pozwala na:

projektowanie konstrukcji bezpiecznych, projektowanie konstrukcji bezpiecznych, niezawodnych produktów,niezawodnych produktów, przygotowanie efektywnych procesów przygotowanie efektywnych procesów

wytwarzania.wytwarzania.

33

Wstęp:Wstęp:

ŹRÓDŁA NIELINIOWOŚCI W MECHANICE ŹRÓDŁA NIELINIOWOŚCI W MECHANICE KONSTRUKCJI:KONSTRUKCJI:

Nieliniowości natury geometrycznej:Nieliniowości natury geometrycznej:• • skończone odkształcenia i deformacjeskończone odkształcenia i deformacje• • skończone obrotyskończone obroty• • stateczność (wyboczenie)stateczność (wyboczenie)• • obciążenia wstępneobciążenia wstępne

44

Wstęp:Wstęp:

Nieliniowości materiałowe:Nieliniowości materiałowe:

• • plastyczność, uszkodzenie materiału i plastyczność, uszkodzenie materiału i mechanizmy zniszczenia,mechanizmy zniszczenia,

• • zależność właściwości materiałów od zależność właściwości materiałów od temperatury, zmiennych stanu oraz temperatury, zmiennych stanu oraz zmiennych zależnych od rozwiązań.zmiennych zależnych od rozwiązań.

55

Wstęp:Wstęp:

Zwiększająca się potrzeba przeprowadzania Zwiększająca się potrzeba przeprowadzania analizy nieliniowej wynika z:analizy nieliniowej wynika z:

• • wykorzystywania coraz bardziej złożonych wykorzystywania coraz bardziej złożonych materiałów,materiałów,

• • realistycznego modelowania procesów realistycznego modelowania procesów poprzez uwzględnienie coraz to większej poprzez uwzględnienie coraz to większej ilości zjawisk,ilości zjawisk,

• • zaawansowanej analizy dużych modeli zaawansowanej analizy dużych modeli zamiast modelowania poszczególnych jego zamiast modelowania poszczególnych jego części.części. 66

Wstęp:Wstęp:

Podstawy teorii plastyczności:Podstawy teorii plastyczności:W teorii ciał idealnie plastycznych definiujemy W teorii ciał idealnie plastycznych definiujemy

plastyczne płynięcie jako proces, w którym plastyczne płynięcie jako proces, w którym naprężenia nie zależą od skali czasu. Wynika z naprężenia nie zależą od skali czasu. Wynika z tego, że pojawienie się deformacji plastycznych tego, że pojawienie się deformacji plastycznych jest uwarunkowane spełnieniem zależności:jest uwarunkowane spełnieniem zależności:

Jeżeli ponadto przyjmiemy założenie, że:Jeżeli ponadto przyjmiemy założenie, że:

77

Podstawy teorii plastyczności:Podstawy teorii plastyczności:

Będziemy mogli wykazać, że prędkości Będziemy mogli wykazać, że prędkości odkształceń plastycznych zostaną wyrażone odkształceń plastycznych zostaną wyrażone przez tzw. stowarzyszone prawo płynięcia, przez tzw. stowarzyszone prawo płynięcia, które można zapisać następująco:które można zapisać następująco:

gdzie jest pewnym mnożnikiem skalarnym.gdzie jest pewnym mnożnikiem skalarnym.88

Podstawy teorii plastyczności:Podstawy teorii plastyczności:Powyższa równość pokazuje nam, że wektor Powyższa równość pokazuje nam, że wektor

prędkości odkształceń plastycznych jest prędkości odkształceń plastycznych jest prostopadły do powierzchni opisanej przez prostopadły do powierzchni opisanej przez warunek plastyczności. Graficznie możemy to warunek plastyczności. Graficznie możemy to

przedstawić przedstawić

następująco:następująco:

99

Podstawy teorii plastyczności:Podstawy teorii plastyczności:Stowarzyszenie polega na tym, że funkcja Stowarzyszenie polega na tym, że funkcja

odgrywa rolę potencjału dla prędkości odgrywa rolę potencjału dla prędkości odkształceń plastycznych .odkształceń plastycznych .

Przestawione równanie wiąże nam naprężenia Przestawione równanie wiąże nam naprężenia z prędkościami odkształceń, ma więc sens z prędkościami odkształceń, ma więc sens równania fizycznego dla ciał plastycznych.równania fizycznego dla ciał plastycznych.

1010

Nieliniowości fizyczneNieliniowości fizycznePrzyczyny nieliniowości leżące w istocie związku Przyczyny nieliniowości leżące w istocie związku konstytutywnegokonstytutywnego

Warunek plastyczności (warunek Hubera):Warunek plastyczności (warunek Hubera):

gdzie kgdzie k00 oznacza wartość graniczną oznacza wartość graniczną plastyczności.plastyczności.

Warunek ten jest obrazem używanego przez Warunek ten jest obrazem używanego przez nas zastępczego naprężenia:nas zastępczego naprężenia:

1111

Nieliniowości fizyczneNieliniowości fizycznePrzyczyny nieliniowości leżące w istocie związku Przyczyny nieliniowości leżące w istocie związku konstytutywnegokonstytutywnego

Omawianą tu plastyczność rozważać Omawianą tu plastyczność rozważać będziemy na poziomie:będziemy na poziomie:

1.1.punktu,punktu,2.2.przekroju,przekroju,3.3.konstrukcji.konstrukcji.

1212

Plastyczność na poziomie punktuPlastyczność na poziomie punktuZnany jest nam stan naprężeń punktu {σ}, jednak istotę Znany jest nam stan naprężeń punktu {σ}, jednak istotę

stanowi znalezienie stanu naprężeń w każdym stanowi znalezienie stanu naprężeń w każdym punkcie. Rozważmy najpierw zachowanie materiałów punkcie. Rozważmy najpierw zachowanie materiałów nieciągliwych, kruchych.nieciągliwych, kruchych.

• • warunek plastyczności dla betonuwarunek plastyczności dla betonu::

1313

Plastyczność na poziomie punktuPlastyczność na poziomie punktuW stanie plastycznym, po przekroczeniu pewnej W stanie plastycznym, po przekroczeniu pewnej

granicy, mimo odciążania pozostaną trwałe granicy, mimo odciążania pozostaną trwałe odkształcenia (oznaczone na rysunku jako εodkształcenia (oznaczone na rysunku jako εplpl):):

w przypadku rozciągania omawianych materiałów pojawiają się w przypadku rozciągania omawianych materiałów pojawiają się geometryczne nieliniowości. Stan plastyczny możemy jednak geometryczne nieliniowości. Stan plastyczny możemy jednak sprowadzić do jednego punktu.sprowadzić do jednego punktu.

1414

Plastyczność na poziomie przekrojuPlastyczność na poziomie przekrojuPlastyczność na poziomie przekroju możemy omówić Plastyczność na poziomie przekroju możemy omówić

na przykładzie symetrycznej belki. Wstępne na przykładzie symetrycznej belki. Wstępne wykresy naprężeń i odkształceń przybierają postać:wykresy naprężeń i odkształceń przybierają postać:

Jeśli zdecydujemy się naJeśli zdecydujemy się nadalsze odkształcaniedalsze odkształcaniebelki, to otrzymamybelki, to otrzymamywykres:wykres: 1515

Plastyczność na poziomie przekrojuPlastyczność na poziomie przekrojuσσ00 oznacza tu naprężenie sprężyste graniczne. oznacza tu naprężenie sprężyste graniczne.

Odkształcenia na tym etapie również są sprężyste, Odkształcenia na tym etapie również są sprężyste, podobnie jak moment w przekroju, który możemy podobnie jak moment w przekroju, który możemy wyznaczyć ze wzoru:wyznaczyć ze wzoru:

Odkształcając dalej:Odkształcając dalej:

1616

Plastyczność na poziomie przekrojuPlastyczność na poziomie przekrojuOstatnim etapem jest sytuacja, gdy cały Ostatnim etapem jest sytuacja, gdy cały

przekrój zostaje uplastyczniony:przekrój zostaje uplastyczniony:

Moment w tym przekroju obliczymy ze wzoru:Moment w tym przekroju obliczymy ze wzoru:

1717

Plastyczność na poziomie konstrukcjiPlastyczność na poziomie konstrukcjiPlastyczność na poziomie konstrukcji Plastyczność na poziomie konstrukcji

wyrazimy w obciążeniach:wyrazimy w obciążeniach:

1818

Plastyczność na poziomie konstrukcjiPlastyczność na poziomie konstrukcjiAnaliza plastyczna MES wymaga:Analiza plastyczna MES wymaga:• • sformułowania standardowej macierzy sformułowania standardowej macierzy

sztywności stycznej układu,sztywności stycznej układu,• • sformułowania macierzy konsystentnej do sformułowania macierzy konsystentnej do

procedur iteracyjnych N-R,procedur iteracyjnych N-R,• • całkowania związków konstytutywnych, aby całkowania związków konstytutywnych, aby

zmodyfikować stan naprężeń.zmodyfikować stan naprężeń.Dla materiałów nieliniowych:Dla materiałów nieliniowych:

gdzie:gdzie:1919

Plastyczność na poziomie konstrukcjiPlastyczność na poziomie konstrukcjiDokonamy teraz uaktualnienia naprężeń w Dokonamy teraz uaktualnienia naprężeń w

punkcie Gaussa:punkcie Gaussa:• • odkształcenia iteracyjne:odkształcenia iteracyjne:1)1)Obliczamy ∂d:Obliczamy ∂d:2)2)Na podstawie powyższego wzoru wyznaczamy Na podstawie powyższego wzoru wyznaczamy

∂ε:∂ε:

3)3)Obliczamy ∂σ:Obliczamy ∂σ:4)4)Dokonujemy modyfikacji naprężeń:Dokonujemy modyfikacji naprężeń:

gdzie σgdzie σ00 jest naprężeniem przed aktualną iteracją. jest naprężeniem przed aktualną iteracją.2020

Plastyczność na poziomie konstrukcjiPlastyczność na poziomie konstrukcji• • odkształcenia przyrostowe:odkształcenia przyrostowe:1)1)Obliczamy ∂d:Obliczamy ∂d:2)2)Modyfikujemy przyrostowe przemieszczenia (od Modyfikujemy przyrostowe przemieszczenia (od

ostatniego stanu równowagi):ostatniego stanu równowagi):

gdzie Δdgdzie Δd00 jest przyrostem przemieszczenia od ostatniej iteracji. jest przyrostem przemieszczenia od ostatniej iteracji.

3)3)Obliczamy przyrostowe odkształcenia:Obliczamy przyrostowe odkształcenia:

4)4)Wyznaczamy przyrostowe naprężenia:Wyznaczamy przyrostowe naprężenia:

5)5)Modyfikujemy naprężenia:Modyfikujemy naprężenia:

gdzie σgdzie σ00 jest naprężeniem na końcu ostatniego przyrostu. jest naprężeniem na końcu ostatniego przyrostu.2121

Powierzchnia plastycznościPowierzchnia plastycznościZałożenia:Założenia:1.1.Materiał zachowuje się sprężyście dopóki nie Materiał zachowuje się sprężyście dopóki nie

osiągnie powierzchni plastyczności.osiągnie powierzchni plastyczności.2.2.Dla materiału dana jest powierzchnia Dla materiału dana jest powierzchnia

plastyczności w przestrzeni naprężeń:plastyczności w przestrzeni naprężeń: bez wzmocnienia, (1)bez wzmocnienia, (1)

dla wzmocnienia, (2)dla wzmocnienia, (2)

gdzie σgdzie σ00 – granica plastyczności w próbie jednoosiowego ściskania, – granica plastyczności w próbie jednoosiowego ściskania,

κ - parametr wzmocnienia.κ - parametr wzmocnienia.2222

Powierzchnia plastycznościPowierzchnia plastyczności3.3. Całkowite odkształcenia jako superpozycja Całkowite odkształcenia jako superpozycja

odkształcenia sprężystego i plastycznego.odkształcenia sprężystego i plastycznego.

(3)(3)

gdzie:gdzie:

4.4. Prawo plastycznego płynięcia:Prawo plastycznego płynięcia: a) stowarzyszone prawo plastycznego płynięcia:a) stowarzyszone prawo plastycznego płynięcia:

2323

Powierzchnia plastycznościPowierzchnia plastycznościb) niestowarzyszone prawo plastycznego b) niestowarzyszone prawo plastycznego

płynięcia:płynięcia:

Powierzchnia plastycznościPowierzchnia plastyczności to powierzchnia to powierzchnia ograniczająca pole naprężeń w trakcie procesu ograniczająca pole naprężeń w trakcie procesu obciążania.obciążania.

(6)(6) 2424

Powierzchnia plastycznościPowierzchnia plastycznościRóżniczkując powyższą zależność:Różniczkując powyższą zależność:

(7)(7)

(8)(8)

Przyjmijmy oznaczenie:Przyjmijmy oznaczenie: (9)(9) 2525

Powierzchnia plastycznościPowierzchnia plastycznościPo podstawieniu do (2) mamy:Po podstawieniu do (2) mamy:

(10)(10)

Całkowite odkształcenie na powierzchni Całkowite odkształcenie na powierzchni plastycznej: (11)plastycznej: (11)

przyrost odkształcenia:przyrost odkształcenia: (12)(12)

Równania (3) i (4) w zapisie macierzowym:Równania (3) i (4) w zapisie macierzowym:

(13)(13)2626

Powierzchnia plastycznościPowierzchnia plastycznościZ powyższego układu należy wyznaczyć związek Z powyższego układu należy wyznaczyć związek

konstytutywny nie zawierający nieokreślonej konstytutywny nie zawierający nieokreślonej zmiennej dλ. W tym celu mnożąc lewostronnie zmiennej dλ. W tym celu mnożąc lewostronnie równanie pierwsze przez równanie pierwsze przez D D wyznaczamy dσ:wyznaczamy dσ:

(14)(14)

podstawiając następnie powyższe wyrażenie do podstawiając następnie powyższe wyrażenie do drugiego równania mamy:drugiego równania mamy:

(15)(15)

2727

Powierzchnia plastycznościPowierzchnia plastycznościI ostatecznie równanie konstytutywne dla stanu I ostatecznie równanie konstytutywne dla stanu

na powierzchnię plastyczności otrzymujemy na powierzchnię plastyczności otrzymujemy jeżeli do równania (5) podstawimy dλ, i tak:jeżeli do równania (5) podstawimy dλ, i tak:

(16)(16)gdzie:gdzie: (17)(17)

2828

Metody rozwiązywania równań Metody rozwiązywania równań nieliniowychnieliniowychJednym z zastosowań metod numerycznych Jednym z zastosowań metod numerycznych

jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje sie równania nieliniowego. W tym celu stosuje sie szereg metod obliczeniowych:szereg metod obliczeniowych:

metoda stycznych (Newtona),metoda stycznych (Newtona), metoda połowienia (bisekcji),metoda połowienia (bisekcji), metoda siecznych,metoda siecznych,Procedury te pozwalają uzyskać z zadaną Procedury te pozwalają uzyskać z zadaną

dokładnością miejsca zerowe równania.dokładnością miejsca zerowe równania.

2929

Metoda stycznych (Newtona)Metoda stycznych (Newtona)Obliczyć pierwiastek poniższego równania Obliczyć pierwiastek poniższego równania

z dokładnością z dokładnością e =e =1010-5-5..Jeżeli funkcja Jeżeli funkcja

ta ta spełnia spełnia warunek warunek f(a)*f(b) < 0, gdzie f(a)*f(b) < 0, gdzie

a i b to granice a i b to granice przedziału przedziału

lokalizacji lokalizacji pierwiastka, to pierwiastka, to

funkcja ta posiada funkcja ta posiada pierwiastek w tych pierwiastek w tych

granicach.granicach.

3030

Metoda stycznych (Newtona)Metoda stycznych (Newtona)Na rysunku pokazany jest sposób w jaki Na rysunku pokazany jest sposób w jaki

dążymy do wyznaczenia pierwiastka dążymy do wyznaczenia pierwiastka równania.równania.

3131

Metoda stycznych (Newtona)Metoda stycznych (Newtona)f(x) * f’’ (x) > 0f(x) * f’’ (x) > 0

f(x) = xf(x) = x77 + 3x + 3x44 – 3 = 0 – 3 = 0 f’(x) = 7xf’(x) = 7x66 + 12x + 12x33 = 0 = 0 f’’ (x) = 42xf’’ (x) = 42x55 + 36x + 36x22 = 0 = 0

Wartości dla x = 0,75 i x = 1 przedstawia tabela:Wartości dla x = 0,75 i x = 1 przedstawia tabela:

3232

Metoda stycznych (Newtona)Metoda stycznych (Newtona)

Podstawiając do powyższego wzoru x = 1 oraz Podstawiając do powyższego wzoru x = 1 oraz wartości funkcji i pierwszej pochodnej wartości funkcji i pierwszej pochodnej otrzymujemy wynik:otrzymujemy wynik:

Kolejnym krokiem jest obliczenie wartości funkcji i Kolejnym krokiem jest obliczenie wartości funkcji i pierwszej pochodnej dla pierwszej pochodnej dla xx11. Podstawiając do wzoru . Podstawiając do wzoru funkcji xfunkcji x77 + 3x + 3x44 – 3 = 0 i pierwszej pochodnej 7x – 3 = 0 i pierwszej pochodnej 7x66 + + 12x12x33 = 0 uzyskujemy wartości: = 0 uzyskujemy wartości:

f(x) = 0,101464184f(x) = 0,101464184 f’(x) = 15,26394678f’(x) = 15,26394678

3333

Metoda stycznych (Newtona)Metoda stycznych (Newtona)Następnie powtarzamy czynność Następnie powtarzamy czynność

obliczeniową, podstawiając do wzoruobliczeniową, podstawiając do wzoru nowe wartości.nowe wartości.Uzyskany w ten sposób xUzyskany w ten sposób x22 równa się równa się

0,940721111. Obliczona dla niego wartość 0,940721111. Obliczona dla niego wartość funkcji i pierwszej pochodnej wynoszą funkcji i pierwszej pochodnej wynoszą odpowiednio:odpowiednio:

f(x) = 0,001410404f(x) = 0,001410404 f’(x) = 14,84132251f’(x) = 14,84132251

3434

Metoda stycznych (Newtona)Metoda stycznych (Newtona)Cały tok obliczeń powtarzamy wielokrotnie uzyskując Cały tok obliczeń powtarzamy wielokrotnie uzyskując

następujące wyniki:następujące wyniki:

Obliczenia uznajemy za zakończone, a wynik za Obliczenia uznajemy za zakończone, a wynik za pierwiastek równania, gdy spełniony jestpierwiastek równania, gdy spełniony jest

warunek:warunek:

Najmniejsza wartość pierwszej pochodnej w przedziale Najmniejsza wartość pierwszej pochodnej w przedziale <0,75;1> wynosi A = 6,30835.<0,75;1> wynosi A = 6,30835.

Podstawiając do wzoru :Podstawiając do wzoru :3535

Metoda bisekcjiMetoda bisekcjiObliczyć pierwiastek poniższego równania Obliczyć pierwiastek poniższego równania

metoda bisekcji z dokładnością metoda bisekcji z dokładnością e =10e =10−5−5 ..3x + sinx – e3x + sinx – exx = 0 = 0

3636

Metoda bisekcjiMetoda bisekcjiPoniższy rysunek obrazuje proces Poniższy rysunek obrazuje proces

poszukiwania pierwiastków.poszukiwania pierwiastków. f (0) * f (0,5) < 0f (0) * f (0,5) < 0 − −1* 0,33070427 < 0 1* 0,33070427 < 0 zatem zatem

można przystąpić do można przystąpić do obliczenia obliczenia

pierwszego kroku pierwszego kroku iteracyjnego.iteracyjnego.

Ogólny wzór tej metody wygląda następująco:Ogólny wzór tej metody wygląda następująco:3737

Metoda bisekcjiMetoda bisekcjiPamiętając cały czas, iż do powyższego wzoru Pamiętając cały czas, iż do powyższego wzoru

wybieramy te najbliższe xwybieramy te najbliższe x ii dla których wartości dla których wartości spełniają warunek:spełniają warunek:

I tak: xI tak: x00 = 0 a x = 0 a x11 = 0,5 = 0,5

Pamiętając o powyższym warunku do obliczenia xPamiętając o powyższym warunku do obliczenia x33 wybieramy x wybieramy x22 = 0,25 i = 0,25 i xx11 = 0,5 ponieważ iloczyn ich wartości jest ujemny. = 0,5 ponieważ iloczyn ich wartości jest ujemny.

I znowu do obliczenia xI znowu do obliczenia x44 wybieramy x wybieramy x33 = 0,375 i x = 0,375 i x22 = 0,25 ponieważ iloczyn = 0,25 ponieważ iloczyn ich wartości daje wynik ujemny.ich wartości daje wynik ujemny.

3838

Metoda bisekcjiMetoda bisekcjiPowyższa sekwencje obliczeń powtarzamy do Powyższa sekwencje obliczeń powtarzamy do

momentu uzyskania wyniku dla którego momentu uzyskania wyniku dla którego spełniony jest warunek:spełniony jest warunek:

Reszta obliczeń została Reszta obliczeń została zebrana w tabeli. zebrana w tabeli.

Pierwszy sposób Pierwszy sposób zakończeniazakończenia obliczeń: obliczeń:

lub drugi sposób: lub drugi sposób:3939

Metoda siecznychMetoda siecznychObliczyć pierwiastek poniższego równania Obliczyć pierwiastek poniższego równania

uproszczoną metodą siecznych uproszczoną metodą siecznych z z dokładnością e = 10dokładnością e = 10 -4 -4 . .

xx33 – e – e-x-x – 2 = 0 – 2 = 0

4040

Metoda siecznychMetoda siecznych xx11 = 1 = 1 f (1) = - 1,367879 f (1) = - 1,367879 xx22 = 2,5 = 2,5 f (2,5) = 13,54292 f (2,5) = 13,54292 f (1) * f (2,5) < 0f (1) * f (2,5) < 0Następnym krokiem w obliczaniu pierwiastka Następnym krokiem w obliczaniu pierwiastka

równania jest znalezienie przybliżenia równania jest znalezienie przybliżenia zerowego, które dla metody siecznych ma zerowego, które dla metody siecznych ma postać:postać:

f (x) * f``(x) < 0f (x) * f``(x) < 0

4141

Metoda siecznych (Metoda siecznych (reguła falsi)reguła falsi)Jak widać ze wzoru będą nam potrzebne Jak widać ze wzoru będą nam potrzebne

wartości funkcji i jej drugiej pochodnej na wartości funkcji i jej drugiej pochodnej na krańcach przedziału:krańcach przedziału:

f(x) = xf(x) = x33 – e – e-x-x – 2 = 0 – 2 = 0f`(x) = 3xf`(x) = 3x22 + e + e-x-x = 0 = 0f``(x) = 6x - ef``(x) = 6x - e-x-x = 0 = 0Do wyznaczenia kolejnych przybliżeń pierwiastka Do wyznaczenia kolejnych przybliżeń pierwiastka

równania wykorzystamy wzór:równania wykorzystamy wzór:

4242

Metoda siecznych (Metoda siecznych (reguła falsi)reguła falsi)Pierwszy xPierwszy x11 obliczamy dla danych: obliczamy dla danych:

podstawiając do wzoru otrzymujemy wynik:podstawiając do wzoru otrzymujemy wynik:

Następnie operacja sie powtarza dla nowych Następnie operacja sie powtarza dla nowych danych:danych:

podstawiając je do wzoru uzyskujemy wartość xpodstawiając je do wzoru uzyskujemy wartość x224343

Metoda siecznych (Metoda siecznych (reguła falsi)reguła falsi)Dalsze obliczenia zostały zgromadzone w tabeli:Dalsze obliczenia zostały zgromadzone w tabeli:

Zakończenie obliczeń:Zakończenie obliczeń:

4444

PodsumowaniePodsumowanieObliczyć pierwiastek funkcji:Obliczyć pierwiastek funkcji:

x – sinx – 0,25 = 0x – sinx – 0,25 = 0poznanymi metodami z dokładnością poznanymi metodami z dokładnością e = 10e = 10-5-5

4545

PodsumowaniePodsumowanieLokalizacja miejsca zerowego:Lokalizacja miejsca zerowego:

Do dalszych obliczeń przydadzą się nam formy Do dalszych obliczeń przydadzą się nam formy pierwszej i drugiej pochodnej funkcji:pierwszej i drugiej pochodnej funkcji:

4646

Podsumowanie – metoda NewtonaPodsumowanie – metoda NewtonaPrzybliżenie zerowe: f(xPrzybliżenie zerowe: f(x00) * f”(x) * f”(x00) > 0 dla ) > 0 dla

przedziału <1;2>.przedziału <1;2>.

Oba krańce przedziału mogą być przybliżeniem Oba krańce przedziału mogą być przybliżeniem zerowym, do dalszych obliczeń wybieramyzerowym, do dalszych obliczeń wybieramyxx0 0 = 2.= 2.

Wykorzystując wzór:Wykorzystując wzór:

Obliczamy pierwiastek równania, tok obliczeń Obliczamy pierwiastek równania, tok obliczeń przedstawia poniższa tabela:przedstawia poniższa tabela: 4747

Podsumowanie – metoda NewtonaPodsumowanie – metoda Newtona

Zakończenie obliczeń:Zakończenie obliczeń:

4848

Podsumowanie – metoda bisekcjiPodsumowanie – metoda bisekcji Przedział <1;2>Przedział <1;2>

Zakończenie obliczeń:Zakończenie obliczeń:

4949

Podsumowanie – metoda siecznychPodsumowanie – metoda siecznychPrzedział <1;2>, przybliżenie zerowe:Przedział <1;2>, przybliżenie zerowe:

f(xf(x00) * f”(x) * f”(x00) < 0) < 0

Punktem startowym będzie x = 1. Tok obliczeń, Punktem startowym będzie x = 1. Tok obliczeń, przy pomocy wzoru:przy pomocy wzoru:

przedstawia poniższa tabela:przedstawia poniższa tabela:5050

Podsumowanie – metoda siecznychPodsumowanie – metoda siecznych

Zakończenie obliczeń:Zakończenie obliczeń:

5151

PodsumowaniePodsumowanie

Wszystkie wyniki zostały wyznaczone z Wszystkie wyniki zostały wyznaczone z dokładnością e = 10dokładnością e = 10-5-5, , dokładne rozwiązanie dokładne rozwiązanie tego równania dla y = 0 to x = 1,1712296525. tego równania dla y = 0 to x = 1,1712296525. Wyniki uzyskane poszczególnymi metodami i Wyniki uzyskane poszczególnymi metodami i błędy ich wyznaczenia względem wartości błędy ich wyznaczenia względem wartości prawdziwej zostały zgromadzone w poniższej prawdziwej zostały zgromadzone w poniższej tabeli:tabeli:

5252

PodsumowaniePodsumowanie

Widać, iż najbardziej dokładna metoda jest Widać, iż najbardziej dokładna metoda jest metoda Newtona, a ponadto wynik uzyskuje się metoda Newtona, a ponadto wynik uzyskuje się w kilku krokach iteracyjnych. Najmniej dokładną w kilku krokach iteracyjnych. Najmniej dokładną i najbardziej pracochłonną z metod jest metoda i najbardziej pracochłonną z metod jest metoda bisekcji, różnica między wynikiem uzyskanym bisekcji, różnica między wynikiem uzyskanym najdokładniejszą metodą a najmniej dokładną najdokładniejszą metodą a najmniej dokładną jest ponad sto razy większa.jest ponad sto razy większa.

5353

Dziękuję za uwagęDziękuję za uwagę

5454