1

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

ZMĘCZENIE MATERIAŁÓW

ObniŜanie się własności wytrzymałościowych materiału poddanego obciąŜeniom

zmiennym prowadzącym w konsekwencji do zniszczenia, po określonej liczbie

zmian obciąŜenia, nazywa się zmęczeniem.

Przebieg obciąŜeń zmiennych ma zazwyczaj charakter losowy, podyktowany

warunkami eksploatacji urządzenia. Istnieją jednak przebiegi obciąŜeń o identycznie powtarzających się wielkościach i częstościach występowania

w stałych przedziałach czasu. Najprostszym przypadkiem tego rodzaju

obciąŜenia jest obciąŜenie sinusoidalnie zmienne. W cyklu napręŜeń zmiennych

sinusoidalnie wyróŜniamy (rys. 1):

− napręŜenie maksymalne cyklu σmax i napręŜenie minimalne cyklu σmin

− amplitudę napręŜenia cyklu σa

− napręŜenie średnie cyklu σm

− okres zmiany napręŜeń T lub jego odwrotność - częstotliwość f

Wymienione napręŜenia powiązane są następującymi zaleŜnościami:

22

minmaxminmax σσσ

σσσ

−=

+= am

Zakres zmiany napręŜeń minmax2 σσσσ −==∆ a

W cyklu jednostronnym napręŜenia zmieniają swoją wartość, ale zachowują ten

sam znak. Szczególnym przypadkiem tego cyklu jest cykl odzerowo tętniący,

dla którego σmax lub σmin =0 oraz σm = σa. W cyklu dwustronnym napręŜenia

zmieniają wartość i znak. Szczególnym przypadkiem jest tu cykl wahadłowy,

w którym σmax = ׀σmin ׀ = σa, a zatem σm = 0. Jest to cykl symetryczny.

Wszystkie inne cykle jednostronne i dwustronne są cyklami niesymetrycznymi

o róŜnych co do wartości σmax i σmin, czyli o σm ≠ 0. Niesymetryczność cyklu

opisuje współczynnik asymetrii cyklu R.

2

max

min

σ

σ=R

W obliczeniach konstrukcyjnych i w badaniach zmęczeniowych uŜywa się takŜe

współczynnika stałości obciąŜenia

a

m

σ

σκ =

przy czym 1

1lub

1

1

+

−=

−

+=

κ

κκ R

R

R

Cykle o jednakowych współczynnikach R nazywają się cyklami podobnymi.

Wszystkie podane wzory obowiązują równieŜ dla zmiennego skręcania, jeŜeli

zamiast napręŜenia normalnego σ wstawi się napręŜenia styczne (skręcające) τ.

Rys. 1. Sinusoidalny przebieg napręŜeń zmiennych.

3

Za miarę wytrzymałości zmęczeniowej przyjmuje się pojawienie złomu

zmęczeniowego. Wytrzymałość zmęczeniowa nieograniczona jest taką wartością cyklu zmęczeniowego, która nie spowoduje złomu, mimo iŜ liczba cykli wzrasta

nieograniczenie. Granicą zmęczenia lub wytrzymałością zmęczeniową ZG

nazywa się największe napręŜenie σmax, przy którym próbka czy element nie

ulegną zniszczeniu po osiągnięciu umownej granicznej liczby cykli NG. Ta

liczba cykli, zwana równieŜ bazową liczbą cykli, wynosi 10 × 106 cykli dla stali

i innych stopów Ŝelaza i 100 × 106 cykli dla stopów metali nieŜelaznych.

Granicę zmęczenia przy wahadłowym zginaniu oznacza się jako Zgo, przy

odzerowo tętniącym zginaniu Zgj, przy skręcaniu odpowiednio jako Zso i Zsj, przy

wahadłowym rozciaganiu-ściskaniu jako Zrc, przy odzerowo tętniącym

rozciąganiu Zrj, przy odzerowo tętniącym ściskaniu Zcj.

WYKRESY WÖHLERA

Wykresy wytrzymałości zmęczeniowej Wöhlera uzyskuje się doprowadzając

określoną liczbę próbek wzorcowych do zniszczenia, zmieniając σa dla ustalonej

wartości σm lub rzadziej zachowując stałość współczynnika asymetrii cyklu R.

KaŜdej wartości σa lub σmax = σa + σm odpowiada liczba cykli niszczących N,

jeśli napręŜenie σa nie obniŜy się do poziomu granicy zmęczenia ZG przy

osiągnięciu bazowej liczby cykli NG. W najczęściej stosowanym układzie

współrzędnych σ, logN wykres zmęczeniowy jest linią prostą łamaną (rys. 2a).

Punkt załamania lub punkt przecięcia się obydwóch odcinków wykresu

wyznacza teoretyczną, graniczną liczbę cykli NO, która w róŜnym stopniu moŜe

odbiegać od przyjętej bazowej liczby cykli NG. Podobny charakter ma wykres

we współrzędnych logσ, logN (rys. 2b). Niezbędne do konstrukcji wykresów

wyniki badań zmęczeniowych opracowywane są statystycznie.

4

Rys. 2. Wykresy zmęczeniowe Wöhlera dla obrotowo zginanych próbek z normalizowanej

stali 45 w układzie σ, logN (a) i logσ, logN (b).

Lewa gałąź wykresu Wöhlera zamyka obszar napręŜeń większych od granicy

zmęczenia: obszar ograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej; obszar poniŜej

poziomu granicy zmęczenia bywa nazywany obszarem nieograniczonej

wytrzymałości zmęczeniowej.

Na omówionych wykresach brakuje ich początkowej części. Na pełnym

wykresie Wöhlera początek układu odpowiada ¼ cyklu i zakłada się równość napręŜenia niszczącego dla tej części cyklu z wytrzymałością przy obciąŜeniu

statycznym (rys. 3).

Rys. 3. Pełny wykres Wöhlera (a) oraz wykres plastycznych wydłuŜeń próbek λ (b) w ujęciu

schematycznym.

5

Obszar I w przedziale liczby cykli od ¼ do około 103÷10

4 nazwa się obszarem

pękania quasi-statycznego lub wytrzymałości quasi-statycznej. W obszarze II

i III zniszczenie elementów następuje poprzez sukcesywne narastanie zmian

i uszkodzeń zmęczeniowych. W obszarze II w zakresie od około 104 do 10

5

cykli pękanie zachodzi przy wysokich napręŜeniach (istotne odkształcenia

plastyczne). Obszar II określa się jako obszar wytrzymałości niskocyklowej lub

niskocyklowego zmęczenia. W obszarze III pękanie występuje przy małych

napręŜeniach w przedziale większych liczb cykli (105÷10

7) przy zanikających

odkształceniach plastycznych (w sensie makro). Stąd nazwa obszaru III jako

obszaru wytrzymałości wysokocyklowej lub wysokocyklowego zmęczenia.

Obszar ten odpowiada lewej części klasycznego wykresu Wöhlera.

WYKRES SMITHA, WYKRES HAIGHA

Średnie napręŜenie cyklu σm (ustalone na wykresie Wöhlera) wywierające

istotny wpływ na granicę zmęczenia, uwzględnia między innymi wykres

Smitha. Jest to wykres granicznych napręŜeń cyklu w układzie σmax i σmin, σm,

lub granicznych amplitud cyklu σa, σm. Konstrukcję wykresu Smitha

z dodatkową osią l nachyloną względem osi σm pod kątem 45° przedstawiono na

rysunku 4.

Rys. 4. Wykres Smitha.

6

Na podstawie wykresu Wöhlera określamy wartości σm, σa odpowiadające

granicy trwałej wytrzymałości zmęczeniowej dla danego cyklu. Na osi x

odkładamy wartość σm(A), przez ten punkt prowadzimy odciętą aŜ do przecięcia

się z osią pomocniczą, otrzymując punkt B. Od punktu B odkładamy odcinki BC

i BD proporcjonalnie do wartości σa. Z zaleŜności geometrycznych

stwierdzamy, Ŝe rzędne punktów C i D określają na osi y wartości σmin i σmax,

gdyŜ σmin = σm − σa, zaś σmax = σm + σa.

Na wykresie Smitha łatwo zauwaŜyć cykle charakterystyczne. I tak punkty EF

wyznaczają cykl wahadłowy ׀σm = 0׀, zaś punkty GH – cykl pulsujący

(odzerowo tętniący) ׀σm׀ = ׀σa׀. Z punktu widzenia praktyki konstrukcyjnej,

musimy ograniczyć wykres Smitha wartościami napręŜeń, dla których

σm + σa = Re, gdyŜ wejście w stan plastyczny jest dla większości konstrukcji

niedopuszczalne. Dokonując dalszych uproszczeń, a mianowicie zastępując

słabo wypukły odcinek wykresu między wytrzymałością wahadłową a tętniącą odcinkiem prostym, dochodzimy do praktycznego wykresu Smitha,

zbudowanego na podstawie znajomości, np. Zrc, Zrj, Re (rys. 5).

Rys. 5. Praktyczny wykres Smitha.

Wykres Haigha jest zbudowany w sposób identyczny jak wykres Smitha, z tym

Ŝe osiom x i y przyporządkowujemy bezpośrednio wartości σm, i σa (rys. 6), jest

on zatem jak gdyby połową wykresu Smitha leŜącą ponad linią wartości

średnich.

7

Rys. 6. Wykres Higha.

CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA WYTRZYMAŁOŚĆ ZMECZENIOWĄ

Współczynnik kształtu αk

W miejscu zmiany kształtu lub wymiarów obciąŜonych elementów następuje

zmiana rozkładu napręŜeń określona tzw. współczynnikiem kształtu αk

n

kσ

σα max=

gdzie: σmax – jest napręŜeniem maksymalnym związanym z istnieniem zmian

kształtu,

σn – jest napręŜeniem nominalnym obliczonym z konwencjonalnych

wzorów wytrzymałościowych dla najbardziej osłabionego

przekroju przedmiotu.

Odpowiednio w przypadku skręcania

n

kτ

τα max=

Wartości współczynnika kształtu αk dla zmian przekroju najczęściej

spotykanych w budowie maszyn, ujęte są najczęściej w formie wykresów

(przykład – rys. 7 i 8).

8

Rys. 7. Współczynnik kształtu αk przy skręcaniu próbki okrągłej z odsadzeniem.

Rys. 8. Współczynnik kształtu αk przy rozciąganiu płaskiej próbki z otworem.

9

Aby wyznaczyć współczynnik kształtu αk za pomocą wyŜej pokazanych

wykresów, naleŜy między innymi znać promień dna karbu, tj. minimalny

promień w miejscu nagłej zmiany kształtu przedmiotu. W przypadku ostrych

podcięć promień ρ oblicza się ze wzoru mk ρρρ += , przy czym ρk jest

promieniem rzeczywistym (konstrukcyjnym) dna karbu, ρm – promień minimalny dna karbu (wartość tego promienia naleŜy odczytać z wykresu –

rysunek 9).

Rys. 9. Promień minimalny (graficzny) ρm dla stali konstrukcyjnej.

Dla dostatecznie duŜych promieni dna karbu, gdy ρk > 5mm, promienia

minimalnego ρm moŜna nie uwzględniać, przyjmując kρρ = .

Współczynnik działania karbu βk

Działanie karbu w konkretnych elementach konstrukcyjnych musi być inne, niŜ w materiale modelowym o liniowej spręŜystości. Dlatego teŜ wprowadzono

praktyczną miarę wpływu spiętrzenia napręŜeń na wytrzymałość zmęczeniową, która jest współczynnikiem działania karbu βk, zwanym współczynnikiem karbu.

Współczynnik βk jest stosunkiem wytrzymałości zmęczeniowej próbki gładkiej

Zgł do wytrzymałości zmęczeniowej próbki z karbem Zk

k

gl

kZ

Z=β

10

Współczynnik βk powiązany jest z łatwiej wyznaczalnym współczynnikiem αk

zaleŜnością

( )11 −+= kkk αηβ

gdzie ηk – współczynnik wraŜliwości materiału na działanie karbu.

Współczynnik ten wynosi:

− dla szkła ηk = 1

− dla stali w stanie ulepszonym cieplnie ηk = 0,7÷1,0

− dla stali w stanie surowym ηk = 0,5÷0,9

− dla stali w stanie wyŜarzonym ηk = 0,4÷0,8

− dla Ŝeliwa szarego ηk ≈ 0

Wartości liczbowe współczynnika ηk dla stali moŜna odczytać np. z wykresu

(rys. 10)

Rys. 10. Współczynnik wraŜliwości na działanie karbu ηk dla stali konstrukcyjnych.

11

Współczynnik stanu powierzchni βp

Współczynnik stanu powierzchni βp charakteryzuje zmianę wytrzymałości

próbki polerowanej Zp w porównaniu z wytrzymałością Znp elementu po róŜnej

obróbce skrawaniem

np

p

pZ

Z=β

Wartości liczbowe współczynnika stanu powierzchni βp odczytać moŜna

z wykresów (przykład – rys. 11).

Rys. 11. Współczynnik stanu powierzchni dla stalowych części rozciąganych i zginanych βp

oraz skręcanych βps, 1 – obróbka szlifowaniem 2 – staranne toczenie, 3 – zwykłe toczenie,

4 – ostry karb o kącie rozwarcia 60° i głębokości 0,1mm na próbce o średnicy 7,5mm,

5 – cześć pokryta naskórkiem walcowniczym.

W przypadku skręcania współczynnik stanu powierzchni jest dla stali znacznie

mniejszy niŜ dla pozostałych przypadków obciąŜeń. Dla części toczonych moŜna przyjąć:

− dla Ŝeliwa (po usunięciu naskórka odlewniczego) βp = 1

− dla duraluminium βp = 1,1÷1,2

− dla stopów magnezu βp = 1,25÷1,4

12

Współczynnik spiętrzenia napręŜeń β

Łączny wpływ działania karbu i stanu powierzchni danego elementu maszyn

uwzględnia współczynnik spiętrzenia napręŜeń β, określony jako iloczyn

współczynników cząstkowych pk βββ = lub określony zaleŜnością

1−+= pk βββ

W przypadku ostrych karbów współczynnik βp moŜna całkowicie pominąć.

Współczynnik wielkości przedmiotu γ

Wpływ wielkości przedmiotu charakteryzuje współczynnik

d

w

Z

Z=γ

gdzie Zd jest wytrzymałością próbki o dowolnej średnicy, a Zw – próbki z tego

samego materiału o średnicy 7÷10mm.

Wartości liczbowe współczynnika γ moŜna odczytać z wykresów (przykład –

rys. 12).

Rys. 12. Współczynnik wielkości przedmiotu γ dla elementów stalowych.

13

LITERATURA

[1] S. Kocańda, J. Szala: Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN,

Warszawa 1985.

[2] M. E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: Obliczenia zmęczeniowe

elementów maszyn, PWN, Warszawa 1973.

[3] Praca zbiorowa (Tłumaczył A. Turno): Zmęczenie metali, Wydawnictwa

Naukowo-Techniczne, Warszawa 1962.

[4] Normy: PN-H-04662:1984 – śeliwo i staliwo - Badania na zmęczenie.

PN-H-04327:1974 – Badanie metali na zmęczenie - Próba osiowego

rozciągania-ściskania przy stałym cyklu obciąŜeń zewnętrznych. PN-H-

04326:1976 – Badanie metali na zmęczenie - Próba zginania. PN-H-

04325:1976 – Badanie metali na zmęczenie - Pojęcia podstawowe

i ogólne wytyczne przygotowania próbek oraz przeprowadzenia prób. PN-

EN 1993-1-9:2007 – Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych -

Część 1-9: Zmęczenie. PN-EN 1999-1-3:2007 Eurokod 9 - Projektowanie

konstrukcji aluminiowych - Część 1-3: Konstrukcje naraŜone na

zmęczenie.

14

PODSTAWY OBLICZEŃ ZMĘCZENIOWYCH (W ZAKRESIE NIEOGRANICZONEJ WYTRZYMAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ)

Obliczenia wytrzymałościowe dla prostego stanu napręŜenia

Obliczenia te sprowadzają się do spełnienia następujących warunków:

1. W przypadku symetrycznego cyklu obciąŜenia

)1(zw

a

O

z xZ

x ≥=βγσ

2. W przypadku niesymetrycznych cykli obciąŜenia

a) dla schematu wzrostu obciąŜeń σa/σm = const

)2(

12

zw

j

Oma

O

z x

Z

Z

Zx ≥

−+

=

σβγσ

b) dla schematu wzrostu obciąŜeń przy stałych napręŜeniach średnich

σm = const

)3(

12

zw

ma

j

OmO

z xZ

ZZ

x ≥+

−+

=σβγσ

σ

,

przy czym w obu powyŜszych przypadkach a) i b) musi być spełniony warunek

)4(zw

ma

e

z xR

x ≥+

=σβγσ

15

gdzie:

xz – zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa;

ZO – wytrzymałość zmęczeniowa przy napręŜeniach dwustronnie

zmiennych (cykl symetryczny oscylujący) i danego rodzaju napręŜeń (dla rozciągania – ściskania Zrc, dla zginania Zgo, dla skręcania Zso);

Zj – wytrzymałość zmęczeniowa dla cyklu jednostronnie zmiennego

i danego rodzaju napręŜeń (tj. Zrj, Zgj, lub Zsj);

σm – średnia wartość napręŜeń nominalnych (średnie napręŜenie cyklu);

σa – amplituda zmian napręŜeń obliczona dla obciąŜeń nominalnych;

β – współczynnik spiętrzenia napręŜeń;

γ – współczynnik wielkości przedmiotu;

Re – granica plastyczności materiału dla danego rodzaju napręŜeń (tj. Rer,

Reg, Res);

xzw – wymagany zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa (z braku

bliŜszych danych moŜna go obliczyć jako iloczyn współczynników

cząstkowych):

4321 xxxxxzw =

x1 = 1,1÷2,0 współczynnik pewności załoŜeń, x2 = 1,1÷1,5 współczynnik waŜności przedmiotu,

x3 = 1,1÷1,7 współczynnik jednorodności materiału,

x4 = 1,1÷1,2 współczynnik zachowania wymiarów,

W innych przypadkach jednostronnych cykli obciąŜeń (nie objętych schematem

a i b), w których wzrost obciąŜeń przebiega w sposób dowolny, określony

ogólną funkcją σ = f(σm) – zmęczeniowy wsp. bezpieczeństwa xz naleŜy

obliczać wg schematu b).

16

Obliczenia wytrzymałościowe dla złoŜonego stanu napręŜenia

Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku zmęczeniowego rozciągania

i zginania.

W przypadku występowania nakładających się (tj. jednakowo skierowanych)

napręŜeń normalnych od rozciągania i od zginania wyznaczamy amplitudę σaw

cyklu wypadkowego ze wzoru empirycznego:

(*)arrr

rc

go

agggawZ

Zσγβσγβσ +=

.

W przypadku cyklu obustronnie zmiennego (symetrycznego) zmęczeniowy

współczynnik bezpieczeństwa wyrazi się wzorem

zw

aw

go

z xZ

x ≥=σ

Dla dowolnego cyklu napręŜenie średnie cyklu wypadkowego przyjmuje się

mgmrmw σσσ +=,

a współczynnik bezpieczeństwa określony jest zaleŜnościami:

a) dla przypadku, gdy przy wzroście obciąŜeń amplitudy napręŜenia są proporcjonalne do napręŜeń średnich σa/σm = const

zw

gj

go

mwaw

go

z x

Z

Z

Zx ≥

−+

=

12

σσ

b) dla przypadku, gdy napręŜenia średnie cykli są stałe przy wzroście

obciąŜeń (σm = const), oraz dla przypadków, gdy nie ma pewności, Ŝe

słuszny jest schemat a)

17

zw

mwaw

gj

go

mwgo

z xZ

ZZ

x ≥+

−+

=σσ

σ 12

,

przy czym w obu powyŜszych przypadkach naleŜy równieŜ sprawdzić warunek

zw

mwaw

eg

z xR

x ≥+

=σσ .

W przypadku gdy amplitudy napręŜeń od rozciągania σar są znacznie większe

od σag, zamiast wzoru (*) moŜna stosować analogiczny wzór przybliŜony,

redukujący napręŜenia od zginania do napręŜeń od rozciągania:

aggg

go

rcarrraw

Z

Zσγβσγβσ +=

,

a następnie przeprowadzić obliczenia według powyŜszych wzorów, w których

zamiast własności dotyczących zginania podstawić odpowiednio Zrc, Zrj, Rer,

gdzie: σar – amplituda napręŜeń nominalnych przy rozciąganiu,

σag – amplituda napręŜeń nominalnych przy zginaniu,

σmr, σmg – nominalne napręŜenie średnie przy rozciąganiu, zginaniu,

βr, βg – współczynnik spiętrzenia β napręŜeń rozciągających, zginających,

γr, γg – współczynnik wielkości przedmiotu (na ogół γg = γr = γ), Zgo, Zgj – wytrzymałość zmęczeniowa materiału na zginanie

obukierunkowe, jednokierunkowe),

Zrc, Zrj – wytrzymałość zmęczeniowa materiału na symetryczne

rozciąganie-ściskanie i na jednokierunkowe rozciąganie,

σaw, σmw – amplituda i napręŜenie średnie cyklu wypadkowego

Rer, Reg – granica plastyczności (na rozciąganie, zginanie),

xzw – wymagany zmęczeniowy wsp. bezpieczeństwa.

18

Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku zmęczeniowego działania napręŜeń normalnych i napręŜeń stycznych.

W przypadku jednoczesnego zmęczeniowego działania napręŜeń normalnych od

rozciągania (ściskania, zginania) oraz napręŜeń tnących od skręcania (ścinania)

zmęczeniowy wsp. bezpieczeństwa xz wyznacza się ze wzoru

22

zszr

zszr

z

xx

xxx

+=

gdzie:

xzr – współczynnik bezpieczeństwa dla rozciągania (lub zginania czy

ściskania) liczony wg wzoru (1) gdy występuje cykl symetryczny, lub wg

wzorów (2-4) dla cyklu niesymetrycznego;

xzs – współczynnik bezpieczeństwa dla skręcania (lub ścinania), liczony ze

wzorów (1-4), w których zamiast napręŜeń normalnych σ naleŜy wstawić napręŜenia tnące τ.

19

PRZYKŁADY

Zadanie 1.

Obliczyć wymaganą średnicę D pręta osłabionego otworem jak na rysunku,

rozciąganego siłą osiową, zmienną od 0 do 50kN. Pręt wykonany został w piątej

klasie chropowatości (∆5), ze stali St3. Wymagany zmęczeniowy współczynnik

bezpieczeństwa wynosi xzw = 1,5.

Rozwiązanie

Obliczenia wstępne

Niebezpiecznym przekrojem pręta jest przekrój A-A, którego pole wynosi

dDD

A −=4

2π

Średnicę pręta wyznaczamy z warunku, aby napręŜenie maksymalne nie

przekroczyło wartości napręŜeń dopuszczalnych przy cyklu jednostronnie

zmiennym (tętniącym)

rjk

dDD

P≤

−4

2

max

π

stąd

P P

D

d = 30mm

A

A

20

++=

rjkd

PdD

2

max112 π

π

Dla stali St3 wartości napręŜeń dopuszczalnych krj znajdujemy w tabelach (krj =

65÷100MPa). Do obliczeń wstępnych przyjmujemy wartość krj = 65MPa, zatem

mmD 566530

5000014,311

14,3

3022

=

⋅

⋅++

⋅=

oraz

22

7,7814

mmdDD

A =−=π

Maksymalne napręŜenia w przekroju A-A wynoszą

MPa

dDD

P64

56304

5614,3

50000

4

22

maxmax =

⋅−⋅

=

−

=π

σ

NapręŜenie minimalne σmin = 0MPa, a napręŜenie średnie

MPam 322

064

2

minmax =+

=+

=σσ

σ

Amplituda cyklu napręŜeń ma wartość

MPaa 322

064

2

minmax =−

=−

=σσ

σ

21

Obliczenia sprawdzające

PoniewaŜ siła obciąŜająca pręt, wzrastająca od zera do Pmax, jest siłą tętniącą, jest oczywiste, Ŝe obciąŜenie pręta przez wzrost siły P zachodzi z zachowaniem

wartości minimalnej równej zeru. Natomiast przy zmianie (wzroście) obciąŜenia

zmienia się zarówno wartość σmax, jak teŜ wartość napręŜeń średnich σm oraz

amplitudy σa, natomiast stosunek σm / σa = 1 pozostaje wartością stałą i σm / σa

= const.

Jest to więc cykl o stałym stosunku napręŜeń średnich do amplitudy i do

obliczenia zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa skorzystamy ze

wzoru

zw

j

Oma

O

z x

Z

Z

Zx ≥

−+

=

12

σβγσ

Wartości wytrzymałości zmęczeniowej dla stali St3 przy róŜnych cyklach

obciąŜenia znajdujemy w tablicach (Zrc = 130MPa, Zrj = 210MPa, Zgo =

170MPa, Rm = 430MPa, Re = 240MPa).

Obliczamy wartość współczynnika spiętrzenia napręŜeń ze wzoru

( )pkk βαηβ ]11[ −+=

Współczynnik stanu powierzchni βp dla stali St3 o wytrzymałości doraźnej na

rozciąganie Rm = 430MPa i dla 5 klasy chropowatości powierzchni βp = 1,1

(odczytane z odpowiedniego wykresu). Współczynnik wraŜliwości materiału na

działanie karbu ηk dla stali St3 o Zgo = 170MPa, w stanie surowym ηk = 0,66

(odczytane z odpowiedniego wykresu).

Współczynnik kształtu αk znajdujemy z wykresu. Promień minimalny dla stali

Rm = 430MPa wynosi (odczytane z odpowiedniego wykresu) ρm = 0,73mm, więc

obliczeniowa średnica otworu jest równa sumie średnicy konstrukcyjnej d

i podwojonego promienia minimalnego

mmdd mo 5,3173,02302 =⋅+=+= ρ

22

Dla stosunku do/D = 0,59 wsp. αk = 1,9. Współczynnik spiętrzenia napręŜeń wynosi więc

( ) 68,11,1]19,166,01[ =−+=β

Współczynnik wielkości przedmiotu γ dla stali o Zgo = 170MPa, αk = 1,9 oraz

dla pola powierzchni przekroju poprzecznego A = 781,7mm2, odczytany

z wykresu wynosi γ = 1,28.

Po podstawieniu danych, zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa ma

wartość

5,17,1

1210

1302323228,168,1

130>=

−

⋅+⋅⋅

=zx

Jednocześnie sprawdzenia wymaga drugi warunek, określony wzorem

zw

ma

e

z xR

x ≥+

=σβγσ

gdzie Re = 240MPa – granica plastyczności przy rozciąganiu.

38,2323228,168,1

240=

+⋅⋅=zx

Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa, jako równy mniejszej z dwu

obliczonych powyŜej wielkości, wynosi xzw = 1,7 i jest większy od wymaganego

zmęczeniowego wsp. bezpieczeństwa xzw = 1,5, zatem pręt moŜe pracować bezpiecznie.

Wykonajmy ponowne obliczenia zmęczeniowego wsp. bezpieczeństwa na

podstawie wykresu Smitha. Sporządzimy uproszczony wykres Smitha na

rozciąganie dla stali St3. Dane do wykresu: Zrc = 130MPa, Zrj = 210MPa,

Re = 240MPa.

23

W prostokątnym układzie współrzędnych na osi poziomej odkładamy

napręŜenie średnie cyklu σm, a na osi pionowej napręŜenia maksymalne σmax

i minimalne σmin cyklu.

Konstrukcja wykresu Smitha.

Na wykresie nanosimy następujące punkty i linie:

1. punkty A i G, odpowiadające wytrzymałości zmęczeniowej na rozciąganie

przy cyklu symetrycznym (σm = 0);

2. punkty B i F, odpowiadające cyklowi jednostronnemu (tętniącemu);

poniewaŜ przy cyklu jednostronnym napręŜenia średnie mają wartość połowy napręŜeń maksymalnych, zatem odcięta tych punktów wynosi

0,5 Zrj, a rzędna odpowiednio Zrj i zero: OF = 0,5 Zrj, FB = Zrj;

3. przez punkty A i B oraz G i F prowadzimy proste, które stanowią odpowiednio górną i dolną gałąź wykresu Smitha;

4. prowadzimy z punktu 0 pod katem 45° prostą OD;

D

F

B

C

E

A

σm

σmax [MPa]

G

200

Re

200 100

Zrc

N

M

K

O

L

Z=

17

1M

Pa

σm=32MPa

σm

σ

az

24

5. prowadzimy prostą poziomą o rzędnej równej granicy plastyczności Re; na

przecięciu tej linii z prostą AB powstaje punkt C, z prostą zaś nachyloną pod katem 45° punkt D;

6. na prostej GF znajdujemy punkt E o odciętej równej odciętej punktu C;

7. łączymy punkt E oraz D i otrzymujemy wykres Smitha ACDEG.

Na wykres ten nanosimy punkty odpowiadające danemu cyklowi obciąŜeń. NapręŜenie średnie cyklu wynosi σm = 32MPa i wartość ta określa połoŜenie

punktów K i L; OK = KL = σm = 32MPa. Amplituda napręŜeń zmęczeniowych

σaz (z uwzględnieniem wpływu karbu i wielkości przedmiotu) wynosi

MPaaaz 8,683228,168,1 =⋅⋅== σγβσ

NapręŜeniu temu odpowiada odcinek LM, a maksymalnemu napręŜeniu

z uwzględnieniem zmęczenia

MPamazaz 8,100328,68max =+=+= σσσ

odpowiada odcinek KM.

Wytrzymałość zmęczeniową dla tego cyklu znajdziemy przy omówionym

poprzednio załoŜeniu, Ŝe stosunek amplitudy do napręŜeń średnich jest stały

σm/σa = const. W tym celu przez punkt O i M prowadzimy prostą, aŜ do

przecięcia z prostą AB otrzymując punkt N, którego rzędna odpowiada wartości

wytrzymałości zmęczeniowej Z = 171MPa.

Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa jest równy stosunkowi

wytrzymałości zmęczeniowej do napręŜeń maksymalnych z uwzględnieniem

zmęczenia

7,18,100

171

max

===z

z

Zx

σ

Otrzymaliśmy wartość zmęczeniowego wsp. bezpieczeństwa taką samą jak

poprzednio. PoniewaŜ linia ON przecina odcinek AC, więc dla danego

przypadku obciąŜeń o wytrzymałości pręta decyduje wytrzymałość zmęczeniowa Z (a nie granica plastyczności Re, jak byłoby to w przypadku,

gdyby prosta ON przecinała odcinek CD). Obliczanie zmęczeniowego wsp.

bezpieczeństwa względem granicy plastyczności jest więc w danym przypadku

zbędne.