Wymiana ciepła w żebrach i prętach - is.pw.edu.plmichal_strzeszewski/ioiw/zebro.pdf · Wymiana...

Strona 1

dr inż. Michał Strzeszewski, 2005-2009

Wymiana ciepła w żebrach i prętach Materiały do zajęć z wymiany ciepła v. 0.96

1. Wprowadzenie

W technice mamy do czynienia z dwoma podstawowymi typami zagadnień wymiany ciepła:

ograniczanie wymiany ciepła – np. izolacja przegród budowlanych,

intensyfikacja wymiany ciepła – np. w wymiennikach ciepła.

Żebra mają za zadanie intensyfikację konwekcyjnej wymiany ciepła.

Strumień ciepła przejmowanego na drodze konwekcji z powierzchni ciała stałego można zapisać:

W,wf ttFQ (1)

gdzie: α – współczynnik przejmowania ciepła, W/m2K,

F – pole powierzchni wymiany ciepła, m2,

tf – temperatura płynu, ºC,

tw – temperatura powierzchni (ścianki), ºC.

Jak wynika z powyższego równania, wymianę ciepła przejmowanego na drodze konwekcji można zintensyfikować,

zwiększając:

współczynnik przejmowania ciepła α, np. zastę-

pując konwekcję naturalną poprzez konwekcję

wymuszoną i zwiększając prędkość przepływu

płynu,

różnicę temperatury tf – tw,

powierzchnię wymiany ciepła F.

Powierzchnię wymiany ciepła można zwiększyć poprzez

zastosowanie żeber. W technice żebra stosuje się przede

wszystkim w przypadku przejmowania ciepła przez ga-

zy, dla których współczynnik przejmowania ciepła jest

stosunkowo niski. Żebra wykorzystywane są m.in. do

zwiększenia ilości ciepła wymienianego w grzejnikach

konwekcyjnych1 i nagrzewnicach powietrza oraz w celu

intensyfikacji chłodzenia urządzeń np. korpusów silni-

ków samochodowych, motocyklowych i lotniczych, jak

również układów elektronicznych (rys. 1)2.

2. Stopień ożebrowania

W wyniku zastosowania ożebrowania, wzrasta powierzchnia ścianki. Stosunek powierzchni ożebrowanej do powierzch-

ni płaskiej określa się jako stopień (krotność) ożebrowania:

1 Grzejniki konwekcyjne o bardzo rozbudowanej powierzchni wymiany ciepła przyjęto nazywać grzejnikami konwek-

torowymi.

2 Powierzchnia ożebrowana umieszczana na układach elektronicznych jest często z angielskiego nazywana radiatorem,

chociaż z uwagi na dominujący proces wymiany ciepła bardziej właściwym określeniem jest konwektor.

Fo

t. M

ich

ał

Str

zesz

ew

ski

Rys. 1. Przykład powierzchni ożebrowanej.

Konwektor układu elektronicznego

Michał Strzeszewski: Materiały do zajęć z wymiany ciepła

Strona 2

1

2

F

F (2)

gdzie: F1 – pole powierzchni płaskej, m2,

F2 – pole powierzchni ożebrowanej, m2.

Równanie (1) mówi, że przy stałym współczynniku przejmo-

wania ciepła i stałej różnicy temperatury, strumień przejmo-

wanego ciepła jest wprost proporcjonalny do powierzchni.

Jednak w praktyce wzrost intensywności wymiany ciepła w

wyniku zastosowania ożebrowania jest niższy niż krotność

ożebrowania. Wynika to z faktu, że średnia temperatura po-

wierzchni żebra jest niższa niż temperatura powierzchni

ścianki, w przypadku, gdyby nie była ożebrowana. A więc

różnica temperatury w równaniu (1) jest niższa w przypadku

ścianki ożebrowanej w porównaniu ze ścianką bez żeber.

3. Założenia upraszczające

W celu analitycznego rozwiązania wymiany ciepła w żebrze

prostym przyjęto następujące założenia upraszczające:

Temperatura w przekroju poprzecznym żebra jest

stała, tzn. temperatura jest tylko funkcją długości.

Współczynnik przejmowania ciepła jest stały.

4. Bilans ciepła

Dla elementu żebra można sporządzić bilans ciepła:

dQQQ dxxx (3)

gdzie: Qx – strumień ciepła dopływający do elementu

żebra na drodze przewodzenia, W,

Qx+dx – strumień ciepła odpływający z elementu

żebra na drodze przewodzenia, W,

dQα – różniczka strumienia ciepła, odpływającego z elementu żebra na drodze konwekcji, W.

Powyższe równanie oznacza, że różnica pomiędzy strumieniem ciepła dopływającym do i odpływającym z żebra, jest

rozpraszana na drodze konwekcji.

Poszczególne składowe bilansu ciepła można zapisać w następujący sposób:

x

tAQx

d

d (4)

xx

QQQ x

xdxx dd

d (5)

xx

x

tA

x

tAQ dxx d

d

d

dd

d

d

(6)

xx

tA

x

tAQ dxx d

d

d

d

d2

2

(7)

x

x

t

x

tAQ dxx d

d

d

d

d2

2

(8)

xttUdQ f d22 (9)

Zastosowanie ożebrowania zwiększa

intensywność wymiany ciepła.

Chociaż w praktyce wzrost ten jest

niższy niż krotność ożebrowania.

tf2 2

Qx Qx+dx

dQ

dx

h

x

podstawa żebra

powierzchniaczołowa

t2

Rys. 2. Schemat do sformułowania

równania różniczkowego


Strona 3

gdzie: λ – współczynnik przewodzenia ciepła materiału żebra, W/mK.

A – pole powierzchni przekroju poprzecznego żebra, m2,

t – temperatura, ºC,

x – współrzędna geometryczna (długość), m,

α2 – współczynnik przejmowania ciepła od strony ożebrowanej, W/m2K,

U – obwód przekroju żebra, m,

tf2 – temperatura płynu od strony ożebrowanej, ºC.

xttUxx

t

x

tA

x

tA f dd

d

d

d

d

d

d222

2

(10)

xttA

Ux

x

t

x

t

x

tf dd

d

d

d

d

d

d2

2

2

2

(11)

22

2

2

fttA

U

x

t

d

d (12)

Następnie po wprowadzeniu nadwyżki temperatury w danym przekroju żebra nad temperaturą otoczenia 2ftt ,

otrzymujemy:

02

2

2

A

U

xd

d (13)

Następnie oznaczamy:

1-m ,A

Um

2 (14)

Wielkość m jest stała dla danego żebra prostego i nosi nazwę współczynnika temperaturowego żebra. Po podstawie-

niu m otrzymujemy:

02

2

2

mxd

d (15)

Równanie to posiada rozwiązanie ogólne postaci:

K ,mxmx eCeCx 21 (16)

lub

K ),cosh()sinh( mxDmxDx 21 (17)

gdzie: C1, C2, D1, D2 – stałe całkowania,

m – współczynnik temperaturowy żebra prostego:

1-m ,

222 22

l

l

A

Um (18)

gdzie: δ – grubość żebra, m,

l – długość w trzecim wymiarze, m,

U – obwód przekroju żebra (dla żebra płaskiego U ≈ 2l), m.

Natomiast współczynnik m dla żebra o przekroju kołowym (pręta):


Strona 4

1-m ,

dd

d

A

Um

2

2

22 4

4

(19)

gdzie: d – średnica żebra (pręta), m.

5. Warunki brzegowe

1. Warunek brzegowy u podstawy żebra ma postać:

22 000 : ttx (20)

gdzie: 222 ftt

2. Warunek brzegowy na końcu żebra (na powierzchni czołowej) może mieć różne postacie w zależności od przyjętych

założeń:

a. Wymiana ciepła z powierzchni czołowej żebra jest pomijalnie mała lub czoło żebra jest zaizolowane cieplnie:

0

hxxhx

d

d :

(21)

b. Żebro jest bardzo długie i w związku z tym temperatura na końcu żebra jest równa temperaturze otoczenia:

02 hththx f : (22)

c. Zachodzi konwekcyjna wymiana ciepła z powierzchni czołowej żebra:

hAhQhx : (23)

W praktyce zazwyczaj z wystarczającą dokładnością spełniony jest warunek brzegowy 2a, ponieważ powierzchnia czo-

łowa żebra jest znacznie mniejsza od jej powierzchni bocznej. Czasami dla żeber płaskich wymianę ciepła przez po-

wierzchnię czołową uwzględnia się w sposób przybliżony, poprzez przyjęcie w obliczeniach długości żebra powiększo-

nej o połowę jego grubości.

Do dalszych rozważań przyjmiemy warunek brzegowy 2a.

6. Wyznaczenie stałych całkowania

Po podstawieniu do równania (16) warunku brzegowego 1, otrzymujemy:

212 CC (24)

Następnie uwzględniamy warunek brzegowy 2a:

021 mhmh emCemC (25)

mheCC 2

12 (26)

Z kolei z równania (24) wyznaczamy C1:

221 CC (27)

i podstawiamy do równania (26):

mheCC 2

222 (28)

mhmh eCeC 2

2

2

22 (29)

mhmh eeCC 2

2

2

22 (30)

mhmh eeC 2

2

2

2 1 (31)

mhmh

mh

mh

mh

ee

e

e

eC

22

2

221

(32)


Strona 5

Następnie wyznaczamy stałą C1 z równań (27) i (32):

mhmh

mh

ee

eC

221 (33)

mhmh

mh

ee

eC 121 (34)

mhmh

mhmhmh

ee

eeeC

21 (35)

mhmh

mh

ee

eC

21 (36)

7. Temperatura żebra prostego

Temperaturę w danym punkcie żebra prostego można wyznaczyć na podstawie równania ogólnego (16), podstawiając

wyznaczone stałe całkowania C1 i C2:

mx

mhmh

mhmx

mhmh

mh

eee

ee

ee

ex

22 (37)

mhmh

mxmhmxmh

ee

eeeex

2 (38)

mhmh

mxmhmxmh

ee

eex

2 (39)

mhmh

xhmxhm

ee

eex

2 (40)

Uwzględniając definicję cosinusa hiperbolicznego:

2

xx eex

cosh (41)

uzyskujemy:

mh

xhmx

cosh

cosh 2 (42)

C ,cosh

cosh

hm

xhmtttxt ff 222 (43)

Przykład 1

Sporządź rozkład temperatury żebra o wysięgu h = 50 mm

i grubości δ = 5 mm. Współczynnik przejmowania ciepła α2 = 50

W/m2K, a współczynnik przewodzenia ciepła materiału żebra

λ = 58,15 W/mK. Temperatura u podstawy żebra t2 = 70ºC, a tem-

peratura płynu tf2 = –10ºC.

Rozwiązanie:

Rozkład temperatury na podstawie równania (43) przedstawiono

na rysunku 3.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

x, m

t(x),

ºC

Rys. 3. Rozkład temperatury żebra płaskiego

dla danych z przykładu 1


Strona 6

8. Strumień ciepła

Całkowity strumień ciepła oddawany przez żebro można określić m.in. na podstawie strumienia ciepła przewodzonego

przez podstawę żebra:

0 xQQ (44)

0

xdx

dAQ

(45)

Przy czym:

212121

0

CCmmCmCmeCmeCdx

d mxmx

x

(46)

W związku z tym otrzymujemy:

21 CCAmQ (47)

Następnie podstawiamy stałe całkowania:

mhmh

mh

mhmh

mh

ee

e

ee

eAmQ 22 (48)

mhmh

mhmh

ee

eeAmQ 2 (49)

Uwzględniając definicję tangensa hiperbolicznego:

xx

xx

ee

eex

tanh (50)

uzyskujemy:

mhAmQ tanh2 (51)

9. Pozorny współczynnik przejmowania ciepła dla żebra

Jednym ze sposobów obliczania ilości ciepła oddawanego

przez żebro jest założenie myślowe, że ciepło wymieniane

jest przez podstawę żebra na drodze konwekcji (tak jak by

żebra nie było) – rys. 4. W związku z tym należy znaleźć taki

współczynnik przejmowania ciepła α*, aby po podstawieniu

go do równania (1), uzyskać strumień ciepła zgodny z rów-

naniem (51):

mhm tanh* (52)

Współczynnik ten określa się jako pozorny lub równoważ-

ny współczynnik przejmowania ciepła.

Aby żebro spełniało swój cel, tzn. intensyfikowało wymianę

ciepła, pozorny współczynnik przejmowania ciepła powinien

być większy od współczynnika rzeczywistego.

tf2ż*

t2

t1

A

Rys. 4. Myślowe zastąpienie ścianki ożebrowanej

przez ściankę płaską (tak, jakby żebra nie było)


Strona 7

Przykład 2

Określ pozorny współczynnik przejmowania ciepła oraz strumień ciepła dla żebra z przykładu 1. Długość w trzecim

wymiarze przyjmij l = 1 m.

Rozwiązanie:

Wsółczynnik temperaturowy żebra wynosi:

1-m ,,,

551815580050

5022 2

m

Pozorny współczynnik przejmowania ciepła wynosi:

K W/m,,,tanh,,tanh 2* 5786050551855181558 mhm

Jak widać, pozorny współczynnik przejmowania ciepła jest znacznie wyższy od rzeczywistego.

Powierzchnia podstawy żebra wynosi:

2m ,, 005010050 lA

Znając pozorny współczynnik przejmowania ciepła, strumień ciepła można obliczyć w następujący sposób :

W,,,* 631410700050578622 fttAQ

10. Efektywność żebra

Efektywnością żebra χż określa się stosunek ilości ciepła przejmowanego z jego powierzchni, do ilości, która byłaby

przejmowana z powierzchni, równej powierzchni podstawy żebra, gdyby żebra nie było.

o

rzż

Q

Q (53)

gdzie: Qrz – strumień ciepła, przejmowanego przez płyn omywający żebro, W,

Qo – strumień ciepła, który byłby przejmowany z powierzchni, równej powierzchni podstawy żebra, gdyby

żebra nie było, W.

Po podstawieniu odpowiednich strumieni ciepła dla żebra prostego otrzymujemy:

mh

A

Umh

A

Umhm

A

mhAmż tanhtanh

tanhtanh

2

2

2222

2

(54)

Aby żebro spełniało swój cel, tzn. intensyfikowało wymianę ciepła, jego efektywność powinna być większa od jedności.

Przykład 3

Określ efektywność żebra. Pozostałe dane, jak w poprzednich przykładach.

Rozwiązanie:

lAlU 2

715

0505518005050

1558222

222

,

,,tanh,

,tanhtanhtanh

mhmh

l

lmh

A

Uż

Zastosowanie żebra spowoduje ponad piętnastokrotny wzrost wymienianego strumienia ciepła, w porównaniu z sytuacją,

gdyby żebra nie było.

Efektywność żebra można również obliczyć na podstawie pozornego współczynnika przejmowania ciepła:

71550

4786

2

,,*

ż


Strona 8

11. Sprawność żebra

Sprawnością żebra ηż określa się stosunek ilości ciepła przejmowa-

nego z jego powierzchni w rzeczywistości, tzn. przy średniej tempe-

raturze powierzchni żebra tś, do ilości, która byłaby przejmowana,

gdyby temperatura żebra była taka, jak u podstawy.

maxQ

Qrzż (55)

22

2

222

22

f

fś

żf

żfś

żtt

tt

Ftt

Ftt

(56)

gdzie: Qrz – rzeczywisty strumień ciepła, przejmowanego przez płyn omywający żebro, W,

Qmax – maksymalny strumień ciepła, przejmowanego przez płyn omywający żebro, przy jego temperaturze

wynoszącej t2, W,

α2 – współczynnik przejmowania ciepła od strony ożebrowanej, W/m2K,

tś – średnia temperatura żebra, ºC,

t2 – temperatura u podstawy żebra, ºC,


Powyższa definicja odnosi rzeczywistą ilość oddawanego ciepła do warunków, gdyby nie następował spadek temperatu-

ry wzdłuż żebra. Sytuacja taka miałaby miejsce dla materiału doskonale przewodzącego ciepło (λ = ∞). Ponieważ

w praktyce żebra wykonuje się z materiałów dobrze przewodzących ciepło (m.in. stal, aluminium), osiągane wartości

sprawności żebra mogą być bliskie jedności, ale jednak od niej mniejsze.

Przy założeniu stałej wartości współczynnika przejmowania ciepła α2 oraz pominięciu przejmowania ciepła z po-

wierzchni czołowej żebra (powierzchnia ta jest w praktyce znacznie mniejsza od powierzchni bocznej) można zapisać:

2

2

Uh

mhAmż

tanh (57)

hm

mhmż 2

tanh (58)

mh

mhż

tanh (59)

A więc o wartości sprawności żebra prostego decyduje jego geometria (wysięg i grubość lub średnica) oraz właściwości

cieplne (współczynnik przejmowania ciepła i współczynnik przewodzenia ciepła).

Zależność sprawności żebra prostego od iloczynu mh przedstawiono na rys. 6. Dla małych wartość mh, sprawność żebra

jest bliska jedności. Oznacza to, że średnia temperatura żebra tś jest bliska temperaturze u jego podstawy t2. Sytuacja

taka ma miejsce w przypadku krótkich żeber oraz żeber, wykonanych z materiału dobrze przewodzącego ciepło.

Natomiast dla dużych wartości iloczynu mh, sprawność żebra maleje asymptotycznie do zera. Oznacza to, że średnia

temperatura żebra dąży do temperatury otoczenia.

Jednocześnie na rys. 6 pokazano bezwymiarowy strumień ciepła, czyli stosunek strumienia ciepła dla danego wysięgu h

do strumienia ciepła dla wysięgu nieskończenie dużego. Dla wartości mh = 3,0 strumień ciepła osiąga ok. 99,5% swojej

wartości maksymalnej i dalsze zwiększanie wysięgu nie powoduje zauważalnego wzrostu strumienia ciepła, a więc jest

niecelowe.

tś

t2

t1

Rys. 5. Rozkład temperatury w przekroju

płaskiej ścianki ożebrowanej


Strona 9

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

mh

Bezwymiarowy strumień ciepła

Sprawność żebra

Rys. 6. Sprawności żebra prostego i bezwymiarowy strumień ciepła (stosunek strumienia do strumienia ciepła dla żebra

o nieskończenie dużym wysięgu) w zależności od iloczynu mh

Przykład 4

Określ sprawność żebra. Dane, jak w poprzednich przykładach.

Rozwiązanie:

7870

92730

92730

0505518

0505518,

,

,tanh

,,

,,tanhtanh

hm

hmż

W tym przypadku ilość ciepła oddawanego przez żebro będzie o ok. 21% mniejsza w porównaniu z sytuacją, jeśli żebro

na całej powierzchni posiadałoby taką temperaturę, jak u jego podstawy (λ = ∞).

Przykład 5

Określ średnią temperaturę żebra. Dane, jak w poprzednich przykładach..

Rozwiązanie:

Z równania

22

2

222

22

f

fś

żf

żfś

żtt

tt

Ftt

Ftt

można wyznaczyć średnią temperaturę żebra:

C ,, 92521070787010222 fżfś tttt


Strona 10

Przykład 6

Oblicz strumień ciepła oddawanego przez żebro. Pozostałe dane, jak w poprzednich przykładach.

Rozwiązanie:

2m ,, 10105022 hlFż

Maksymalny strumień ciepła, przejmowanego z żebra, przy jego temperaturze wynoszącej t2, wynosi:

W,max 40010701050222 fż ttFQ

Strumień przejmowanego ciepła, przy jego rzeczywistej temperaturze wynoszącej tś, wynosi:

W,,max 63144007870 QQ ż

Znając średnią temperaturę żebra, możemy również obliczyć strumień ciepła na podstawie prawa Newtona:

W,,, 6314109252105022 fśż ttFQ

Strumień ciepła oddawany przez żebro, można również wyznaczyć z matematycznie równoważnych wzorów:

W,,,tanh,,,tanh 63140505518107055181005015582 mhAmQ

lub

W,

,,tanh,,tanh

6314

050551810701005015585022 222

hmttlQ f

Poza tym strumień ciepła można obliczyć, znając pozorny współczynnik przejmowania ciepła (patrz przykład 2):

W,,,* 631410700050578622 fttAQ

12. Sprawność ścianki ożebrowanej

Sprawnością ścianki ożebrowanej ηść określa się stosunek

ilości ciepła, jaką przejmuje w rzeczywistości płyn omywają-

cy ściankę, do ilości, jaką przejmowałby, gdyby temperatura

powierzchni ścianki była jednakowa i równa t2.

maxQ

Qrzść (60)

gdzie: Qrz – rzeczywisty strumień ciepła przejmowanego

przez płyn omywający ściankę, W,

Qmax – maksymalny strumień ciepła przejmowanego

przez płyn omywający ściankę, przy stałej

temperaturze jej powierzchni wynoszącej t2,

W.

Ftt

FttFtt

f

żfśśćf

ść

2222

22222

)(

)()(

(61)

gdzie: α2 – współczynnik przejmowania ciepła od strony

ożebrowanej, W/m2K,

tś – średnia temperatura żebra, ºC,

t2 – temperatura u podstawy żebra, ºC,


F1

t1

tf1

1

tf2

2

Fśćt2

M

e

h

Fżtś

F2

Rys. 7. Ścianka płaska ożebrowana


Strona 11

F

F

F

F ż

ż

ść

ść

22

(62)

F

F

F

FF ż

ż

ż

ść

22

2

(63)

F

F

F

F

F

F ż

ż

ż

ść

222

2 (64)

F

F ż

żść

2

11 (65)

)( ż

ż

śćF

F 11

2

(66)

Przykład 7

Określ sprawność ścianki ożebrowanej o module M = 4 cm. Pozostałe dane, jak w poprzednich przykładach.

Rozwiązanie:

2m ,,,

,,,

1350100350

035010050040

2

FFF

lMF

żść

ść

8420787011350

10111

2

,),(,

,)( ż

ż

śćF

F

Wynika z tego, że ilość ciepła oddawanego przez ściankę ożebrowaną

będzie o ok. 16% mniejsza w porównaniu z sytuacją, jeśli cała po-

wierzchnia ścianki od strony ożebrowanej posiadałaby temperaturę t2.

Jak widać, sprawność ścianki ożebrowanej jest wyższa od sprawności

żebra. Wynika to z faktu, że powierzchnia ścianki ożebrowanej składa

się zarówno z powierzchni żeber, jak i z powierzchni międzyżebrowej

o temperaturze t2.

Sprawność ścianki jest średnią ważoną ze sprawności żebra i sprawno-

ści powierzchni międzyżebrowej, wynoszącej 100%.

Przykład 8

Oblicz strumień ciepła oddawanego przez ściankę ożebrowaną. Dane, jak w poprzednich przykładach.

Rozwiązanie:

Maksymalny strumień ciepła, przejmowanego ze ścianki ożebrowanej, przy stałej temperaturze jej powierzchni wyno-

szącej t2:

W,max 54010701350502222 fttFQ

Rzeczywisty strumień ciepła, przejmowanego ze ścianki ożebrowanej:

W,,max 64545408420 QQ ść

Sprawność ścianki

ożebrowanej jest wyższa

od sprawności żebra.


Strona 12

13. Przenikanie ciepła przez płaską ściankę ożebrowaną

Rozpatrzmy procesy składowe przenikania ciepła przez ściankę ożebrowaną:

przejmowanie ciepła po stronie gładkiej:

W,1111 ttFQ f (67)

przewodzenie ciepła w ściance:

W,211 ttFe

Q

(68)

przejmowanie ciepła po stronie ożebrowanej:

W,śćfttFQ 2222 (69)

Odnosząc strumień ciepła do powierzchni ścianki po stronie ożebrowanej, można zapisać ogólne równanie przenikania

ciepła przez ściankę ożebrowaną:

W,FttkQ ffż 221 (70)

gdzie: kż – współczynnik przenikania ciepła przez ściankę ożebrowaną, odniesiony do powierzchni ścianki po stronie

ożebrowanej, W/m2K.

Km

W ,

2

ść

że

k

21

11

1 (71)

Opór przejmowania po stronie gładkiej i opór przewodzenia w ściance odniesione są standardowo do powierzchni stro-

ny gładkiej F1. Jednak współczynnik przenikania ciepła odniesiony jest do powierzchni strony ożebrowanej F2. Dlatego

w celu przeliczenia dwóch pierwszych oporów cieplnych na powierzchnię F2, w powyższym wzorze występuje dwa razy

stopień ożebrowania φ. Natomiast opór przejmowania po stronie ożebrowanej z założenia odniesiony jest do po-

wierzchni F2 i w związku z tym nie wymaga przeliczania.

Przykład 9

Oblicz gęstość strumienia ciepła przenikającego przez ściankę ożebrowaną (gęstość strumienia ciepła odnieś do po-

wierzchni ożebrowanej). Współczynnik przejmowania ciepła od strony gładkiej α1 = 577 W/m2K. Grubość ścianki e =

1,5 mm. Temperatura płynu po stronie gładkiej tf1 = 90ºC. Współczynnik przewodzenia ciepła dla ścianki przyjąć taki

sam, jak dla żebra. Pozostałe dane, jak w poprzednich przykładach.

Rozwiązanie:

2m ,, 04010401 lMF

3753040

1350

1

2 ,,

,

F

F

K W/m,

,,

,

,,

26833

842050

13753

1558

001503753

577

1

1

11

1

21

ść

że

k

2 W/m, ,)( 8367310906833212

ttkq ffżF


Strona 13

Przykład 10

Określ gęstość strumienia ciepła (odniesioną do powierzchni płaskiej), przenikającego przez ściankę ożebrowaną. Dane,

jak w poprzednich przykładach.

Rozwiązanie:

2 W/m, ,, 33661137538367321

FF qq

Przykład 11

Oblicz temperatury t1 i t2. Dane, jak w poprzednich przykładach.

Rozwiązanie:

Temperaturę na powierzchni ścianki od strony gładkiej można obliczyć, znając temperaturę omywającego płynu, współ-

czynnik przenikania ciepła i gęstość strumienia ciepła, odniesioną do powierzchni gładkiej:

C,, 1

370577

3366190

1

111

F

f

qtt

Podobnie, znając temperaturę t1 można obliczyć temperaturę t2:

C0,7015,58

0015,03,366 113,70

112

eqtt F

Temperaturę t2 można również obliczyć, wychodząc od temperatury tf2. Przy czym w tym przypadku, w obliczeniach

należy uwzględnić wartość gęstości strumienia ciepła, odniesioną do powierzchni ożebrowanej F2.

C,,

,

070

842050

8367310

2

222

ść

F

f

qtt

14. Pozorny współczynnik przejmowania ciepła dla ścianki ożebrowanej

Inną metodą obliczania strumienia ciepła przenikającego przez ścianki

ożebrowane jest myślowe zastąpienie ścianki ożebrowanej ścianką

płaską i wyznaczenie pozornego (równoważnego) współczynnika

przejmowania ciepła ścianki, który, w przypadku przejmowania z

powierzchni ścianki płaskiej, zapewniałby taki sam strumień ciepła,

jaki przejmowany jest ze ścianki ożebrowanej.

Ponieważ powierzchnia ożebrowana składa się z żeber i powierzchni

międzyżebrowych, to pozorny współczynnik przejmowania ciepła dla

ścianki jest średnią ważoną pozornego współczynnika przejmowania

dla żebra i wartości rzeczywistej dla powierzchni międzyżebrowych:

K W/m, 2

**

M

M

FA

FA

ść

ść

22

(72)

Po wyznaczeniu pozornego współczynnika przejmowania ciepła ścianki po stronie ożebrowanej, dalej traktujemy ścian-

kę jak ściankę płaską, a obliczona gęstość strumienia ciepła będzie odniesiona do powierzchni ścianki po stronie gład-

kiej.

Dzięki pozornemu współczyn-

nikowi przejmowania ciepła,

możemy traktować ściankę

ożebrowaną jak ściankę

płaską.


Strona 14

Przykład 12

Oblicz pozorny współczynnik przejmowania ciepła dla ścianki ożebrowanej i gęstość strumienia ciepła. Dane, jak w

poprzednich przykładach.

Rozwiązanie:

K W/m,

,

,,,, 2*

1142040

005004050005057862

M

M

K W/m,

,,

,27113

1142

1

1558

00150

577

1

1

11

1

1

ek

Obliczona powyżej wartość współczynnika przenikania ciepła odniesiona jest do powierzchni gładkiej i w związku

z tym jest inna niż w przypadku korzystania z metodyki „sprawności ścianki ożebrowanej”. Przy czym stosunek tych

współczynników przenikania ciepła równy jest krotności ożebrowania.

2 W/m,66 ,)( 331110907113211

ttkq ffF

15. Przenikanie ciepła przez cylindryczną ściankę ożebrowaną

Ożebrowane ścianki cylindryczne, czyli rury ożebro-

wane (rys. 8), stosuje się m.in. w nagrzewnicach po-

wietrza.

Na postawie bilansu ciepła w elemencie żebra w wa-

runkach ustalonych można sformułować następujące

równanie różniczkowe:

Frr

Ar

ddd

d

d

d

2

(73)

gdzie: A – pole walcowej powierzchni izotermicz-

nej, m2,

r – współrzędna walcowa, m,

θ – nadwyższka temperatury nad tempera-

turą otoczenia 2ftt , K,

α2 – współczynnik przejmowania ciepła od

strony ożebrowanej, W/m2K,

dF – pole powierzchni przejmowania ciepła, m2.

Przy czym:

rA 2 (74)

rrF dd 4 (75)

W związku z tym zakładając, że współczynnik przejmowania ciepła jest stały, otrzymujemy:

rrdrr

rr

dd

d

d

d

242

(76)

i po uporządkowaniu równania:

021 2

2

rrr d

d

d

d2

(77)

Jest to równanie Bessela zerowego rzędu. Równanie to posiada następujące rozwiązanie ogólne:

K ,oo mrKCmrICr 21 (78)

tf2

2

tf1

1 Qx Qx+dr

dr

r1

h

ro

r

r2

t2

t1dF

dQ

Rys. 8. Ścianka cylindryczna ożebrowana


Strona 15

gdzie: Io, Ko – zmodyfikowane funkcje Bessela (dostępne w Excelu i w tablicach – załącznik 1),

C1, C2 – stałe całkowania,

m – współczynnik temperaturowy żebra (tak jak dla żebra prostego o przekroju prostojątnym):

1-m ,

22m (79)

Po uwzględnieniu warunków brzegowych:

1. 111 rrr : (80)

2. 02

hrrrrr

d

d :

(81)

otrzymuje się rozkład nadwyżki temperatury wzdłuż promienia żebra nad temperaturą otoczenia:

K ,o11o

o11o

1221

221

mrKmrImrKmrI

mrKmrImrKmrIr

(82)

gdzie: θ1 – nadwyżka temperatury u podstawy żebra nad temperaturą otoczenia, 221 ftt , K.

Strumień ciepła przepływający przez podstawę żebra, a następnie przejmowany przez omywający płyn wynosi:

W,o11o

1111

1221

2112112

mrKmrImrKmrI

mrKmrImrKmrImrQ

(83)

W związku z tym sprawność żebra wynosi:

1221

2112

2

1

2

2

12

mrKmrImrKmrI

mrKmrImrKmrI

rrm

r

Q

Qż

o11o

1111

)max(

(84)

Zależność sprawności żebra od iloczynu mh pokazano na rys. 9. Dla r2/ r1 = 1,00 uzyskuje się wartości sprawności żebra

prostego.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

mh

Spra

wność ż

ebra

r 2/r 1=1,00 (żebra proste)

r 2/r 1=1,25

r 2/r 1=1,50

r 2/r 1=2,00

r 2/r 1=3,00

r 2/r 1=4,0

0

Rys. 9. Zależność sprawności żebra od iloczynu mh


Strona 16

Sprawność żebra można również obliczyć w sposób przybliżony, korzystając z równania aproksymującego Schmidta

[5]:

1

1

mr

mrż

tanh (85)

gdzie:

1

2

1

2 35011r

r

r

rln, (86)

Sprawność żebra pierścieniowego można również wyznaczyć znając sprawność żebra prostego, po uwzględnieniu

współczynnika korygującego ε”, wyznaczanego z wykresu (rys. 10).

,,żprż

(87)

Współczynnik ε” jest funkcją stosunku nadwyżek temperatury na końcu żebra θ2 i u jego podstawy θ1 oraz stosunku

promieni żebra r2 do r1.

mhr

rf

cosh gdzie ,,,, 1

1

2

1

2

1

2

(88)

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

2/1

”

r 2/r 1=1,00 (żebra proste)

1,25

1,50

2,00

3,00

4,00

Rys. 10. Współczynnik poprawkowy ε” dla żeber pierścieniowych

Przykład 13

Oblicz sprawność żebra pierścieniowego. Promienie żebra r1 = 40 mm, r2 = 80 mm, grubość δ = 1 mm. Współczynnik

przejmowania ciepła α2 = 50 W/m2K. Współczynnik przewodzenia ciepła żebra λ = 50,3 W/mK.

Rozwiązanie:

1-m ,,,

59440010350

5022 2

m


Strona 17

I sposób (rozwiązanie dokładne):

784104059441 ,,, mr

567308059442 ,,, mr

4400

0400805944

0402

2

22

1221

2112

2

1

2

2

1

,0,14906,59320,02061,9680

0,02061,29660,18686,5932

,,,

,

o11o

1111

mrKmrImrKmrI

mrKmrImrKmrI

rrm

rż

II sposób (wg równania Schmidta):

2431040

08035011

040

080,

,

,ln,

,

,

4410

24310405944

24310405944

1

1 ,,,,

,,,tanhtanh

mr

mrż

III sposób (z wykorzystaniem wykresu):

m ,,, 04004008012 rrh

7810405944 ,,, mh

002040

080

1

2 ,,

,

r

r

Dla mh = 1,78 i r2/ r1 = 2,00 odczytujemy z wykresu wartość sprawności żebra ηż = 0,44.

IV sposób (z wykorzystaniem współczynnika ε”):

5300

7841

7841

0405944

0405944,

,

,tanh

,,

,,tanhtanh

hm

hmż

3270

7841

11

1

2 ,,coshcosh

mh

002040

080

1

2 ,,

,

r

r

Z wykresu (rys. 10) odczytujemy wartość ε” = 0,82.

43508205300 ,,,,, żprż

Wartości sprawności żebra określone czterema metodami są zbliżone. W przypadku posługiwania się wykresami, natu-

ralnym ograniczeniem jest dokładność odczytu z wykresu.

16. Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Określ pozorny współczynnik przejmowania ciepła dla żebra o wysięgu h = 50 mm, grubość δ = 5 mm. Współczynnik

przejmowania ciepła α2 = 50 W/m2K. Materiał żebra:

a) korek (λ = 0,045 W/mK);

b) stal (λ = 50,3 W/mK);

c) aluminium (λ = 206 W/mK);

d) miedź (λ = 386 W/mK).


Strona 18

W których przypadkach żebro będzie intensyfikowało wymianę ciepła?

Odpowiedzi:

a) α* = 30 W/m

2K; b) α

* = 763 W/m

2K; c) α

* = 926 W/m

2K; d) α

* = 959 W/m

2K.

Zadanie 2

Dla danych z zadania 1. określ efektywność żebra płaskiego.

Odpowiedź:

a) χż = 0,6; b) χż = 15,3; c) χż = 18,5; d) χż = 19,2.

Zadanie 3

Określ sprawność żebra płaskiego. Wysięg żebra h = 70 mm, grubość δ = 3 mm. Współczynnik przejmowania ciepła

α2 = 50 W/m2K. Materiał żebra:

a) tytan (λ = 15,12 W/mK);

b) stal (λ = 50,3 W/mK);

c) aluminium (λ = 206 W/mK);

d) miedź (λ = 386 W/mK).

Odpowiedzi:

a) ηż = 0,303; b) ηż = 0,526; c) ηż = 0,799; d) ηż = 0,879.

Zadanie 4

Określ temperaturę u podstawy żebra płaskiego t2. Wysięg żebra h = 70 mm, grubość δ = 3 mm. Współczynnik przej-

mowania ciepła α2 = 50 W/m2K, a współczynnik przewodzenia ciepła materiału żebra λ = 58,15 W/mK. Średnia tempe-

ratura żebra tś = 7,82ºC, a temperatura omywającego płynu tf2 = –20ºC.

Odpowiedź:

m = 23,94 m–1

; ηż = 0,556; t2 = 30ºC.

Zadanie 5

Określ efektywność żebra płaskiego, którego sprawność wynosi 0,776. Wysięg żebra h = 40 mm, grubość δ = 3 mm.

Odpowiedź:

χż = 20,7.

Zadanie 6

Oblicz wysięg żebra płaskiego h. Grubość żebra δ = 1 mm. Współczynnik przejmowania ciepła α2 = 50 W/m2K,

a współczynnik przewodzenia ciepła materiału żebra λ = 58,15 W/mK. Temperatura u podstawy żebra t2 = 35ºC, a tem-

peratura omywającego płynu tf2 = –15ºC. Długość w trzecim wymiarze l = 1 m. Strumień ciepła oddawany przez żebro

wynosi 93,64 W.

Odpowiedź:

m = 41,47 m–1

; ηż = 0,749; h = 25 mm.

Zadanie 7

Określ średnią temperaturę tś i temperaturę na końcu tk żebra

prostego o przekroju kołowym (pręta). Wysięg żebra h = 150

mm, średnica d = 5 mm. Współczynnik przejmowania ciepła

α2 = 50 W/m2K, a współczynnik przewodzenia ciepła mate-

riału żebra λ = 58,15 W/mK. Temperatura u podstawy żebra

t2 = 80ºC. Temperatura omywającego płynu tf2 = 25ºC.

Odpowiedź:

m = 26,23 m–1

; ηż = 0,254; tś = 38,97ºC; tk = 27,15ºC.

tf2

2

d

t2

h

tk


Strona 19

Zadanie 8

Określ temperaturę żebra płaskiego w punktach o współrzędnych x = 2 cm i x = 4 cm. Wysięg żebra h = 60 mm, grubość

δ = 4 mm. Współczynnik przejmowania ciepła α2 = 50 W/m2K, a współczynnik przewodzenia ciepła materiału żebra

λ = 58,15 W/mK. Temperatura u podstawy żebra t2 = 60ºC. Temperatura omywającego płynu tf2 = –24ºC.

Odpowiedź:

m = 20,74 m–1

; ηż = 0,681; t(2 cm) = 36,98ºC; t(4 cm) = 24,60ºC.

Zadanie 9

Dla żebra płaskiego określ współrzędną punktu, którego

temperatura równa jest temperaturze średniej żebra. Wysięg

żebra h = 50 mm, grubość δ = 2,5 mm. Współczynnik przej-

mowania ciepła α2 = 50 W/m2K, a współczynnik przewodze-

nia ciepła materiału żebra λ = 58,15 W/mK. Temperatura

u podstawy żebra t2 = 50ºC. Temperatura płynu omywające-

go żebro tf2 = –10ºC.

Odpowiedź:

m = 26,23 m–1

; ηż = 0,659; x = 2,06 cm.

Zadanie 10

Oblicz strumień ciepła oddawanego przez żebro proste o przekroju prostokątnym. Wysięg żebra h = 45 mm, grubość

δ = 2 mm. Współczynnik przejmowania ciepła α2 = 50 W/m2K, a współczynnik przewodzenia ciepła materiału żebra

λ = 206 W/mK. Temperatura u podstawy żebra t2 = 110ºC. Temperatura płynu omywającego żebro tf2 = 20ºC. Długość

w trzecim wymiarze l = 650 mm.

Odpowiedź:

m = 15,58 m–1

; ηż = 0,863; Q = 227 W.

Zadanie 11

Dobierz wysięg żebra prostego o przekroju kołowym (pręta),

tak aby było w stanie oddawać strumień ciepła Q = 4,2 W.

Średnica żebra d = 7 mm. Współczynnik przejmowania cie-

pła α2 = 50 W/m2K, a współczynnik przewodzenia ciepła

materiału żebra λ = 52,2 W/mK. Temperatura u podstawy

żebra t2 = 110ºC. Temperatura omywającego płynu

tf2 = 20ºC.

Odpowiedź:

m = 23,40 m–1

; ηż = 0,354; h = 120 mm.

Zadanie 12*

Dobierz średnicę żebra prostego o przekroju kołowym (pręta), tak aby było w stanie oddawać strumień ciepła Q = 7 W.

Wysięg żebra h = 104 mm. Współczynnik przejmowania ciepła α2 = 50 W/m2K, a współczynnik przewodzenia ciepła

materiału żebra λ = 52,5 W/mK. Temperatura u podstawy żebra t2 = 110ºC. Temperatura omywającego płynu tf2 = 20ºC.

Odpowiedź:

m = 19,52 m–1

; ηż = 0,476; d = 10 mm. Zadanie można rozwiązać iteracyjnie.

Zadanie 13

Pręt miedziany o współczynniku przewodzenia ciepła 320 W/mK i o przekroju 12 x 16 mm umieszczono w piecu, z

którego wystaje odcinek pręta o długości 80 cm. Temperatura na końcu pręta wynosi 69,3ºC, a temperatura omywające-

go go powietrza 45ºC. Współczynnik przejmowania ciepła wynosi 15 W/m2K. Oblicz temperaturę pręta w drzwiach

pieca oraz strumień ciepła odprowadzany przez pręt do otoczenia.

Odpowiedź:

m = 3,698 m–1

; ηż = 0,336; t2 = 279,6ºC; Q = 53,0 W.

x

tś

t2

tf2

2

d

t2

h

tk


Strona 20

Zadanie 14

Temperatura głowicy grzejnej lutownicy wynosi

500ºC. Głowica ta jest umieszczona na rurce stalo-

wej o współczynniku przewodzenia ciepła 58,15

W/mK i średnicach dz/dw = 8/6 mm. Wewnątrz rurki

znajduje się wkład ceramiczny z przewodami elek-

trycznymi. Temperatura otoczenia wynosi 30ºC,

a współczynnik przejmowania ciepła 25 W/m2K.

Oblicz jaka powinna być minimalna długość rurki,

aby temperatura jej końca, na którym znajduje się

drewniana rączka, nie przekraczała 60ºC, jeśli wkład

ceramiczny można traktować jako izolację idealną.

Odpowiedź:

m = 22,17 m–1

; mh = 3,203; hmin = 15,54 cm.

Zadanie 15

Dane jest żebro płaskie o grubość δ = 2 mm. Współczynnik przejmowania ciepła α2 = 30 W/m2K. Współczynnik prze-

wodzenia ciepła żebra λ = 50,3 W/mK.

Określ wysięg żebra płaskiego, dla którego strumień oddawanego ciepła osiągnie:

a) 90,0%;

b) 95,0%,

c) 99,5%

wartości maksymalnej (dla wysięgu nieskończenie dużego).

Odpowiedź:

m = 24,42 m–1

; a) mh = 1,472; h = 6,03 cm; b) mh = 1,832; h = 7,50 cm; c) mh = 2,99; h = 12,26 cm.

Dla mh > 3,0 nie obserwuje się zauważalnego wzrostu strumienia oddawanego ciepła.

Zadanie 16

Określ bezwymiarowy strumień ciepła oddawanego przez żebro i skomentuj poprawność doboru wysięgu żebra. Gru-

bość δ = 1 mm. Współczynnik przejmowania ciepła α2 = 50 W/m2K. Współczynnik przewodzenia ciepła żebra λ = 50,3

W/mK. Wysięg żebra:

a) 10 mm

b) 35 mm,

c) 100 mm.

Odpowiedź:

m = 44,59 m–1

;

a) mh = 0,45; Q/Q(h=∞) = 0,419; żebro niedowymiarowane – zwiększenie wysięgu może istotnie zwiększyć

strumień oddawanego ciepła;

b) mh = 1,56; Q/Q(h=∞) = 0,916; wysięg dobrany prawidłowo – dalsze zwiększenie wysięgu spowoduje sto-

sunkowo mały przyrost strumienia oddawanego ciepła;

c) mh = 4,46; Q/Q(h=∞) = 1,000; żebro znacznie przewymiarowane – można znacznie zmniejszyć wysięg bez

zauważalnego zmniejszenia strumienia oddawanego ciepła, duża część żebra ma temperaturę zbliżoną do tem-

peratury omywającego płynu i nie uczestniczy w wymianie ciepła.

Zadanie 17*

W rurociągu zaizolowanym korkiem płynie solanka. Temperatura zewnętrznej powierzchni rury w miejscu mocowania

ta = –20ºC. Temperatura otaczającego powietrza tf2 = 20ºC. Rurociąg przymocowany jest do stropu za pomocą płasko-

wnika o przekroju 30 x 5 mm i długości L = 320 mm. Grubość izolacji rurociągu δiz = 50 mm. Współczynnik przejmo-

wania ciepła z powierzchni płaskownika α2 = 6 W/m2K. Współczynnik przewodzenia ciepła płaskownika λ = 50,3

W/mK.

h min = ?

dw dz

500 Cºmax 60 Cº


Strona 21

Oblicz:

strumień ciepła przepływający przez płaskownik do rurociągu Q;

temperaturę płaskownika na wysokości zewnętrznej powierzchni izolacji rurociągu tb.

Założenia:

Temperatura w przekroju poprzecznym płaskownika jest stała (jednowymiarowe przewodzenie ciepła).

Strumień ciepła wymieniany pomiędzy płaskownikiem i stropem Qs oraz pomiędzy płaskownikiem i izolacją

rurociągu Qiz są pomijalnie małe.

Wskazówka: Płaskownik należy potraktować jako dwa systemy (dwa opory cieplne) połączone szeregowo.

tf2

2

iz

L

30

5

ta

Qs=

0Q

Qiz=0

tb

Odpowiedź:

m = 7,461 m–1

; Q = 1,60 W; tb = –9,41ºC.

Zadanie 18

Dana jest płaska ścianka ożebrowana. Wysięg żebra h = 45 mm. Grubość żebra δ = 1 mm. Grubość ścianki e = 4 mm.

Długość w trzecim wymiarze l = 750 mm. Moduł żebra M = 4,2 mm. Ilość żeber n = 120 szt.

Współczynnik przewodzenia ciepła materiału, z którego wykonane są ścianka i żebra λ = 50,3 W/mK. Współczynnik

przejmowania ciepła od strony gładkiej α1 = 600 W/m2K, współczynnik przejmowania ciepła od strony ożebrowanej

α2 = 65 W/m2K. Temperatura płynu po stronie gadkiej tf1 = 130ºC, a po stronie ożebrowanej tf2 = 30ºC.

Oblicz:

strumień przenikającego ciepła,

gęstości strumienia ciepła, odniesione do powierzchni gładkiej i ożebrowanej,

temperatury powierzchni ścianki,

średnią temperaturę żebra.

Odpowiedź:

I sposób:

m = 50,84 m–1

; ηż = 0,428; ηść = 0,448; kż = 13,68 W/m2K; Q = 11 474 W; qF2 = 1 368 W/m

2;

qF1 = 30 356 W/m2; t1 = 79,4ºC; t2 = 77,0ºC; tś = 50,12ºC.

II sposób:

α* = 2 505 W/m

2K; = 646 W/m

2K; k = 303,6 W/m

2K; pozostałe wyniki jw.

Posłużenie się pozornym współczynnikiem przejmowania ciepła uwzględnia wymianę ciepła przez żebro w „sposób

syntetyczny” i dlatego metoda ta umożliwia szybkie obliczenie strumienia ciepła, ale nie umożliwia bezpośredniego

wyznaczenia średniej temperatury żebra.


Strona 22

Zadanie 19

Dana jest płaska ścianka ożebrowana. Grubość żebra δ = 2 mm. Grubość ścianki e = 4 mm. Długość w trzecim wymia-

rze l = 50 cm. Moduł żebra M = 4,2 mm. Ilość żeber n = 80 szt.

Współczynnik przewodzenia ciepła materiału, z którego wykonane są ścianka i żebra λ = 50,3 W/mK. Współczynnik

przejmowania ciepła od strony gładkiej α1 = 500 W/m2K, współczynnik przejmowania ciepła od strony ożebrowanej

α2 = 60 W/m2K. Temperatura płynu po stronie gadkiej tf1 = 130ºC, a po stronie ożebrowanej tf2 = 30ºC.

Dobierz wysięg żebra h, tak aby przez ściankę przenikał strumień ciepła 5 kW.

Odpowiedź:

m = 34,54 m–1

; mh = 1,505; h = 0,0436 m.

Zadanie 20

Oblicz sprawność żebra pierścieniowego. Współczynnik przejmowania ciepła α2 = 50 W/m2K. Współczynnik przewo-

dzenia ciepła żebra λ = 58,15 W/mK.

a) r1 = 20 mm, r2 = 30 mm, δ = 1 mm;

b) r1 = 20 mm, r2 = 60 mm, δ = 1 mm;

c) r1 = 20 mm, r2 = 60 mm, δ = 2 mm.

Odpowiedzi:

a) ηż = 0,926; b) ηż = 0,389; c) ηż = 0,542.

Zadanie 21*

Dana jest rura ożebrowana. Współczynnik przej-

mowania ciepła od strony wewnętrznej α1 = 650

W/m2K, a od strony zewnętrznej α2 = 20 W/m

2K.

Współczynnik przewodzenia ciepła materiału rury

i żebra λ = 50,3 W/mK. Moduł M = 3 mm. Gru-

bość żebra δ = 1 mm. Średnice rury

dz/dw = 16/14 mm. Średnica żebra D = 30 mm.

Temperatura wody wewnątrz rury tf1 = 90ºC.

Temperatura powietrza na zewnątrz rury

tf2 = 20ºC.

Oblicz liniową gęstość strumienia przenikającego

ciepła ql oraz temperatury na powierzchni rury t1

i t2.

Odpowiedzi:

m = 28,20 m–1

; α* = 395,5 W/m

2K;

= 145,15 W/m2K; k = 5,798 W/mK;

ql = 405,9 W/m; t1 = 75,80ºC; t2 = 75,63ºC.

Literatura

1. Boszko M.: Wymiana ciepła. Politechnika Warszawska. Skrypt do wykładów. 2004. (http://ap.pw.plock.pl/boszko)

2. Kneer R.: Vorlesung Wärme- und Stoffübertragung, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen. 2004.

(http://www.wuek.rwth-aachen.de/de/html/download/skripte.html)

3. Kostowski E. et al.: Zbiór zadań z przepływu ciepła. Politechnika Śląska. Gliwice 1978.

4. Lienhard J. H. IV, Lienhard J. H. V: A Heat Transfer Textbook. Third Edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts,

U.S.A. (http://web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html)

5. Schmidt Th. E.: Die Wärmeleistung von berippten Oberflächen, Abb. des Deutschen Kältetechnischen Vereins 4/1950.

6. Weigand B., von Wolfersdorf J.: Wärmeübertragung. Manuskript zur Vorlesung. Universität Stuttgart. 2002.

7. Wereszko D.: Wybrane zagadnienia z techniki cieplnej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej. 1999.

8. Wiśniewski S., Wiśniewski T. S.: Wymiana ciepła. WNT. Warszawa, 2000.

9. Zeller M.: Wärme- und Stoffübertragung. Übungsaufgaben und Lösungen, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule

Aachen. 2002. (http://www.wuek.rwth-aachen.de/de/html/download/skripte.html)

tf2

2

tf1

1

dz

M

dw

D

t2

t1

http://ap.pw.plock.pl/boszko

http://www.wuek.rwth-aachen.de/de/html/download/skripte.html

http://web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html

http://www.wuek.rwth-aachen.de/de/html/download/skripte.html


Strona 23

Załącznik 1. Zmodyfikowane funkcje Bessela

x Io(x) I1(x) Ko(x) K1(x) x Io(x) I1(x) Ko(x) K1(x)

0,0 1,0000 0,0000 ∞ ∞ 5,0 27,240 24,336 3,6911∙10–3 4,0446∙10–3

0,1 1,0025 0,0501 2,4271 9,8538 5,1 29,789 26,680 3,3083∙10–3 3,6192∙10–3

0,2 1,0100 0,1005 1,7527 4,7760 5,2 32,584 29,254 2,9657∙10–3 3,2393∙10–3

0,3 1,0226 0,1517 1,3725 3,0560 5,3 35,648 32,080 2,6591∙10–3 2,8999∙10–3

0,4 1,0404 0,2040 1,1145 2,1844 5,4 39,009 35,182 2,3846∙10–3 2,5966∙10–3

0,5 1,0635 0,2579 9,2442∙10–1 1,6564 5,5 42,695 38,588 2,1387∙10–3 2,3256∙10–3

0,6 1,0920 0,3137 7,7752∙10–1 1,3028 5,6 46,738 42,328 1,9185∙10–3 2,0832∙10–3

0,7 1,1263 0,3719 6,6052∙10–1 1,0503 5,7 51,173 46,436 1,7212∙10–3 1,8665∙10–3

0,8 1,1665 0,4329 5,6535∙10–1 8,6178∙10–1 5,8 56,038 50,946 1,5444∙10–3 1,6726∙10–3

0,9 1,2130 0,4971 4,8673∙10–1 7,1653∙10–1 5,9 61,377 55,900 1,3860∙10–3 1,4992∙10–3

1,0 1,2661 0,5652 4,2102∙10–1 6,0191∙10–1 6,0 67,234 61,342 1,2440∙10–3 1,3439∙10–3

1,1 1,3262 0,6375 3,6560∙10–1 5,0976∙10–1 6,1 73,663 67,319 1,1167∙10–3 1,2050∙10–3

1,2 1,3937 0,7147 3,1851∙10–1 4,3459∙10–1 6,2 80,718 73,886 1,0025∙10–3 1,0805∙10–3

1,3 1,4693 0,7973 2,7825∙10–1 3,7255∙10–1 6,3 88,462 81,100 9,0014∙10–4 9,6911∙10–4

1,4 1,5534 0,8861 2,4366∙10–1 3,2084∙10–1 6,4 96,962 89,026 8,0831∙10–4 8,6931∙10–4

1,5 1,6467 0,9817 2,1381∙10–1 2,7739∙10–1 6,5 106,29 97,735 7,2593∙10–4 7,7989∙10–4

1,6 1,7500 1,0848 1,8795∙10–1 2,4063∙10–1 6,6 116,54 107,30 6,5202∙10–4 6,9978∙10–4

1,7 1,8640 1,1963 1,6550∙10–1 2,0936∙10–1 6,7 127,79 117,82 5,8570∙10–4 6,2798∙10–4

1,8 1,9896 1,3172 1,4593∙10–1 1,8262∙10–1 6,8 140,14 129,38 5,2618∙10–4 5,6362∙10–4

1,9 2,1277 1,4482 1,2885∙10–1 1,5966∙10–1 6,9 153,70 142,08 4,7275∙10–4 5,0592∙10–4

2,0 2,2796 1,5906 1,1389∙10–1 1,3987∙10–1 7,0 168,59 156,04 4,2480∙10–4 4,5418∙10–4

2,1 2,4463 1,7455 1,0078∙10–1 1,2275∙10–1 7,1 184,95 171,38 3,8174∙10–4 4,0779∙10–4

2,2 2,6291 1,9141 8,9269∙10–2 1,0790∙10–1 7,2 202,92 188,25 3,4308∙10–4 3,6617∙10–4

2,3 2,8296 2,0978 7,9140∙10–2 9,4982∙10–2 7,3 222,66 206,79 3,0836∙10–4 3,2884∙10–4

2,4 3,0493 2,2981 7,0217∙10–2 8,3725∙10–2 7,4 244,34 227,17 2,7718∙10–4 2,9535∙10–4

2,5 3,2898 2,5167 6,2348∙10–2 7,3891∙10–2 7,5 268,16 249,58 2,4918∙10–4 2,6530∙10–4

2,6 3,5533 2,7554 5,5398∙10–2 6,5284∙10–2 7,6 294,33 274,22 2,2402∙10–4 2,3833∙10–4

2,7 3,8417 3,0161 4,9255∙10–2 5,7738∙10–2 7,7 323,09 301,31 2,0142∙10–4 2,1412∙10–4

2,8 4,1573 3,3011 4,3820∙10–2 5,1113∙10–2 7,8 354,68 331,10 1,8111∙10–4 1,9239∙10–4

2,9 4,5027 3,6126 3,9006∙10–2 4,5286∙10–2 7,9 389,41 363,85 1,6287∙10–4 1,7288∙10–4

3,0 4,8808 3,9534 3,4740∙10–2 4,0156∙10–2 8,0 427,56 399,87 1,4647∙10–4 1,5537∙10–4

3,1 5,2945 4,3262 3,0955∙10–2 3,5634∙10–2 8,1 469,50 439,48 1,3173∙10–4 1,3964∙10–4

3,2 5,7472 4,7343 2,7595∙10–2 3,1643∙10–2 8,2 515,59 483,05 1,1849∙10–4 1,2552∙10–4

3,3 6,2426 5,1810 2,4611∙10–2 2,8117∙10–2 8,3 566,26 530,96 1,0658∙10–4 1,1283∙10–4

3,4 6,7848 5,6701 2,1958∙10–2 2,4999∙10–2 8,4 621,94 583,66 9,5880∙10–5 1,0143∙10–4

3,5 7,3782 6,2058 1,9599∙10–2 2,2239∙10–2 8,5 683,16 641,62 8,6258∙10–5 9,1197∙10–5

3,6 8,0277 6,7927 1,7500∙10–2 1,9795∙10–2 8,6 750,46 705,38 7,7606∙10–5 8,2000∙10–5

3,7 8,7386 7,4357 1,5631∙10–2 1,7628∙10–2 8,7 824,45 775,51 6,9827∙10–5 7,3736∙10–5

3,8 9,5169 8,1404 1,3966∙10–2 1,5706∙10–2 8,8 905,80 852,66 6,2831∙10–5 6,6309∙10–5

3,9 10,369 8,9128 1,2482∙10–2 1,3999∙10–2 8,9 995,24 937,54 5,6540∙10–5 5,9635∙10–5

4,0 11,302 9,7595 1,1160∙10–2 1,2483∙10–2 9,0 1093,6 1030,9 5,0881∙10–5 5,3637∙10–5

4,1 12,324 10,688 9,9800∙10–3 1,1136∙10–2 9,1 1201,7 1133,6 4,5792∙10–5 4,8245∙10–5

4,2 13,442 11,706 8,9275∙10–3 9,9382∙10–3 9,2 1320,7 1246,7 4,1214∙10–5 4,3399∙10–5

4,3 14,668 12,822 7,9880∙10–3 8,8722∙10–3 9,3 1451,4 1371,0 3,7096∙10–5 3,9042∙10–5

4,4 16,010 14,046 7,1491∙10–3 7,9233∙10–3 9,4 1595,3 1507,9 3,3391∙10–5 3,5124∙10–5

4,5 17,481 15,389 6,3999∙10–3 7,0781∙10–3 9,5 1753,5 1658,5 3,0058∙10–5 3,1602∙10–5

4,6 19,093 16,863 5,7304∙10–3 6,3250∙10–3 9,6 1927,5 1824,1 2,7059∙10–5 2,8435∙10–5

4,7 20,858 18,479 5,1321∙10–3 5,6538∙10–3 9,7 2118,9 2006,5 2,4360∙10–5 2,5587∙10–5

4,8 22,794 20,253 4,5972∙10–3 5,0552∙10–3 9,8 2329,4 2207,1 2,1932∙10–5 2,3025∙10–5

4,9 24,915 22,199 4,1189∙10–3 4,5212∙10–3 9,9 2561,0 2428,0 1,9747∙10–5 2,0721∙10–5

5,0 27,240 24,336 3,6911∙10–3 4,0446∙10–3 10,0 2815,7 2671,0 1,7780∙10–5 1,8649∙10–5

Wymiana ciepła w żebrach i prętach - is.pw.edu.plmichal_strzeszewski/ioiw/zebro.pdf · Wymiana...

Documents

Transcript of Wymiana ciepła w żebrach i prętach - is.pw.edu.plmichal_strzeszewski/ioiw/zebro.pdf · Wymiana...