Dariusz MikielewiczDariusz MikielewiczPolitechnika GdaPolitechnika Gdańńskaska

WydziaWydziałł MechanicznyMechaniczny

Katedra Techniki CieplnejKatedra Techniki Cieplnej

RADIACYJNA WYMIANA CIEPRADIACYJNA WYMIANA CIEPŁŁAA

WYKWYKŁŁAD 10AD 10

Nośniki energii - fale elektromagnetyczne, w których widmie wyróżniamy przede wszystkim zakres promieniowania podczerwonego, promieniowania widzialnego i mikrofal radiowych, rozchodzą się w próżni z prędkością światła

c = 2.998×108 m/si charakteryzują się długością fali λ oraz częstością drgań ν, przy czym wielkości te związane są ze sobą zależnością

c =λν

WstWstęępp

W nagrzanym ciele zachodzi szereg złożonych procesów molekularnych i atomowych, w wyniku których energia wewnętrzna ciała zamienia się w energię promieniowaniarozumianą jako energia fotonów lub fal elektromagnetycznych.

Promieniowanie cieplne przenoszone jest przez fale o długościach 0.8 μm ÷ 400 μm.

WstWstęępp

promieniowanie gamma

promieniowanie widzialne

promieniowanie fioletowe

promieniowanie cieplne

Ciała stałe wypromieniowują i pochłaniają energię przy każdej częstotliwości, stąd też mówi się, iżposiadają one ciągłe spektrum promieniowania. W odróżnieniu od nich, gazy promieniują i pochłaniająenergię jedynie przy pewnych określonych częstościach, mają więc selektywny charakter widma promieniowania. Ponadto, ciała stałe promieniują i pochłaniają energię powierzchnią (cienkąwarstwą), natomiast gazy - objętością.

Promieniowanie posiada, oprócz natury falowej, także i naturę korpuskularną, w związku z czym można je traktować jako strumień cząstek fotonów, których energia związana jest z częstotliwością drgań ekwiwalentnego pola elektromagnetycznego:

E = hνgdzie h jest stałą Plancka h = 6.63×10-34 Js. Fale elektromagnetyczne (fotony), poza energią, posiadają również pęd równy hν/c.

WstWstęępp

Nagrzane ciało, emitując moc promienistą (strumień energii) uzyskuje równowagętermodynamiczną z otoczeniem.

Wyróżniamy przy tym dwa rodzaje emisji - emisję (promieniowanie) temperaturową, rozumianą jako emisję ciała nagrzanego do temperatury wyższej od zera bezwzględnego, oraz emisję (promieniowanie) luminescencyjną, będącą nadwyżkąenergii promienistej nad emisją temperaturową, pobudzoną w różny sposób.

Jeśli temperatury ciał są jednakowe, T1 = T2, energia wewnętrzna i temperatura ciałwskutek emisji i pochłaniania energii od drugiego ciała nie będą ulegały zmianie.

Fale elektromagnetyczne niosą różne wielkości energii w zależności od częstości drgań. Ilość przenoszonej energii uzależniona jest także od temperatury i własności ciała promieniującego energię. Ciało, które przy danej temperaturze wypromieniowuje i pochłania największą energię, taką samą przy każdej częstotliwości, jest idealizacjąciała rzeczywistego i nosi nazwę ciała czarnego.

WstWstęęppWymiana ciepła przez promieniowanie między dwoma ciałami o temperaturach T1 i T2to emisja przez każde z ciał do otoczenia energii w postaci fal elektromagnetycznych, a zatem i fotonów, które z kolei przenoszą je do drugiego ciała, gdzie zachodzi zamiana energii promieniowania na energię wewnętrzną. Temperatura ciała odbierającego, przy tym, podwyższa się. Taki proces to pochłanianie (absorpcja).

Definicja gęstości strumienia energii, różni się natomiast od poprzednich.W przypadku radiacyjnej wymiany ciepła, gęstość strumienia promieniowania energii (inaczej: całkowita emitancja promienista) wychodzącą z jednostki powierzchni we wszystkich możliwych kierunkach w przedziale półsferycznego kąta bryłowego wyraża się:

PojPojęęcia podstawowecia podstawowePodstawowymi pojęciami w zagadnieniach promieniowania, podobnie jak w innych procesach wymiany ciepła, są strumień energii i jego gęstość.Strumień energii (inaczej: strumień promienisty bądź całkowita moc promienista) definiuje się tu jako ilość energii wypromieniowaną przez ciało w jednostce czasu

gdzieQp - energia wypromieniowana w jednostce czasu,A - powierzchnia ciała promieniującego.

&QdQdp

p=τ

[W].

,mW

dAdtQd

=dAQd

E2

p

2

p

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

&

Rozróżnia się również promieniowanie monochromatyczne (promieniowanie przy określonej częstości) oraz całkowite - promieniowanie dla wszystkich możliwych częstości.

Gęstość strumienia promieniowania o określonym kierunku, którego osią jest wektor przechodzący przez jednostkową powierzchnię do niego prostopadłą nazywamy intensywnością lub też jasnościąpromieniowania i określamy wyrażeniem

W przypadku promieniowania objętościowego, gęstość strumienia promieniowania jednostki objętości V we wszystkich kierunkach wyraża się

gdzie V oznacza objętość ciała promieniującego.

PojPojęęcia podstawowecia podstawowe

ητ

=dQdV

d QdVd

p p&

= ,2

J d QdA d

d QdA dS

S=

2 2

1

& &

cosΩ Ω= ,

θ

ddAr

Ω = 22 .

rθ

θ

dΩ

dA1

dA2

JA

JS

dAS

gdzie dΩ jest elementarnym kątem bryłowym, który można określićjako stosunek elementarnej powierzchni dA2, wyznaczonym elementarnym kątem bryłowym na kuli do kwadratu jej promienia r, a zatem

Powyższy związek przedstawia zależność między gęstością strumienia promieniowania E i intensywnością półsferycznego promienia dyfuzyjnego J. Ilość energii promienistej wypromieniowanej przez jednostkę powierzchni ciała w granicach jednostkowego kąta bryłowego w jednostce czasu można wyrazić jako

Promieniowanie, którego intensywność nie zależy od miejsca, czyli współrzędnych powierzchni dA1 ani od kierunku (kąta ) nazywamy dyfuzyjnym

PojPojęęcia podstawowecia podstawowe

, tzn. JS ≡ JW przyrodzie jednak nie spotyka się ciał, które promieniują dyfuzyjnie.Zależności dla promieniowania dyfuzyjnego można zapisać w postaci:

Dla promieniowania dyfuzyjnego Jθ można wyrazić poprzez ilość energii wypromieniowanej w kierunku normalnym do powierzchni Jn

∫ Ω=π

θ2

cos dJE S .cossin2

0

2

0

JddJE πθθθππ

=Φ= ∫∫

J d QdAθ =2

1Ω,

J Jnθ θ= cos .

Stanowi to treść prawa Lamberta (prawa cosinusów), które mówi, iż ilość energii wypromieniowanej w kierunku tworzącym kąt θ z normalną do płaszczyzny promieniującej jest równa iloczynowi energii wypromieniowanej w kierunku normalnej i cosinusa kąta θ. Prawo to słuszne jest dla idealnie dyfuzyjnie promieniujących ciałczarnych, ale spełnione jest także dla wielu ciał szarych.. Dla ciał rzeczywistych, wielkośćpromieniowania dyfuzyjnego Jθ zależy od kąta θ i wyznaczana jest doświadczalnie.

gdzie εθ - względna intensywność promieniowania, Jcz - promieniowanie ciała idealnie czarnego.

PojPojęęcia podstawowecia podstawoweWyniki eksperymentów dla takich przypadków przedstawia się z w postaci zależności

Prawo Lamberta potwierdza się eksperymentalnie w przypadku ciał o powierzchni niepolerowanej w zakresie kąta = 60o, natomiast dla powierzchni polerowanych istnieją większe rozbieżności. Metale, na przykład wykazują dość znaczne odchylenia od wspomnianego prawa.

W ogólności, strumień promieniowania padający na dowolne ciało Qpad może rozdzielić się na trzy części, a mianowicie pochłoniętą przez ciało- QA, odbitą- QR oraz tę, która przechodzi przez ciało- QD. W związku z tym, zgodnie z zasadą zachowania energii możemy zapisać:

Następnie wprowadzając oznaczenia

gdzie:

a - zdolność absorpcyjna (pochłaniania),

r - zdolność refleksyjna,

d - zdolność przenikania,

( ),θε θθ f

JJ

cz

==

Q Q Q Qpad A R D= + + .

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

dQQ

rQQ

aQQ

pad

D

pad

R

pad

A

a r d+ + = 1.

PojPojęęcia podstawowecia podstawoweW szczególnych przypadkach mamy do czynienia z:- ciałem doskonale czarnym, pochłaniającym całą padającą na niego energię, gdy

a = 1, r = 0, d = 0,- ciałem doskonale białym (zwierciadlanym), odbijającym całą padającą energię

a = 0, r = 0, d = 0- ciałem doskonale przezroczystym (przepuszczalnym), które całkowicie przepuszcza przez siebie całą padającą energię, gdy

a = 0, r = 0, d = 1

Są to jednakże modele idealne, bowiem w przyrodzie nie ma ciał doskonale białych, czarnych bądź przepuszczalnych. Współczynniki a, r, d zależą od struktury ciała, jego temperatury oraz długości fali promieniowania. Niektóre ciała przepuszczają pewien rodzaj promieniowania, zaś pochłaniają inny, czego przykładem może być kwarc, który jest praktycznie nieprzepuszczalny dla promieni cieplnych, a przepuszczalny dla promieniowania świetlnego i ultrafioletowego.

Zarówno zjawiska pochłaniania i odbicia, w dużym stopniu zależą od charakteru powierzchni, a zatem między innymi od jej gładkości. Właściwość tę wykorzystuje sięczęsto, kiedy istotne jest powiększenie zdolności pochłaniania, wtedy bowiem powierzchnię pokrywa się ciemną chropowatą farbą. Stąd też pojęcie ciała doskonale czarnego, którego powierzchnia nie odbija promieniowania ma istotne znaczenie. Ponadto, jego wymiary muszą być takie, aby przenikanie promieniowania było niemożliwe.

PojPojęęcia podstawowecia podstawowe

Odbicie energii może być zarówno zwierciadlane, rys.a, jak i idealnie rozproszone, rys.b.Jednakże, ciała rzeczywiste odbijają energię w sposób pośredni między oba tymi skrajnymi przypadkami.

Bliższym, od przedstawionych modeli, rzeczywistości jest model ciała szarego, dla którego zdolność absorpcyjna nie zależy od długości fali λ. Taki model ciała obejmuje zarówno ciała białe, jak i ciała czarne, wówczas a = aλ.

α α

Rys.5.3.b. Idealnie rozproszone odbicie energii.

Prawa promieniowania cieplnegoPrawa promieniowania cieplnegoIlość energii wypromieniowanej przez jednostkę powierzchni we wszystkich kierunkach w jednostce czasu, dla całego zakresu długości fal = 0 nazywamy natężeniem promieniowania.Jednakże promieniowanie posiada widmo, tzn. dla każdego kierunku w którym promieniuje jest zależne od długości fali λ lub częstotliwości ν.

Określa się zatem pojęcie intensywności spektralnej Jλ stosunek energii wypromieniowanej z jednostkowej powierzchni i z jednostkową długością fali

J d QdA dS

λ λ=

2.

Planck w 1900 r., w oparciu o hipotezę kwantów energii, znalazł teoretyczną zależnośćintensywności spektralnej promieniowania J0,λ od długości fali elektromagnetycznej λdla ciał doskonale czarnych

,1

25

2

,0

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=kTh

e

hcJ νλ

λ

gdzie k= 1.38×10-23 J/K jest stałą Boltzmanna.

Prawa promieniowania cieplnegoPrawa promieniowania cieplnegoGęstość półsferycznego monochromatycznego promieniowania (monochromatyczna emitancja promienista) ciała czarnego, dla danej długości fali λ w postaci

Powyższa zależność, teoretycznie wynikająca z prawa Plancka, została uzyskana eksperymentalnie przez Wiena, stąd też nazywana jest prawem Wiena. Wienstwierdził również, iż iloczyn gęstości promieniowania E0,λ dla długości fali λm - i piątej potęgi temperatury bezwzględnej ciała jest wartością stałą:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

==1

25

2

,0,0kTh

e

hcJE νλλ

λ

ππ ,1

25

1,0,0

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

==T

C

e

CJEλ

λλ

λπ

C hc C hck1

2 162

22 3 74 10 1 44 10= = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅− −π . , . W m m K.2

E T const 1.28 10 Wm m K

5 1120, .λ μm

− −= = ⋅⋅ ⋅

Jak wynika z rozkładu funkcji Plancka, całkowita gęstość promieniowania wzrasta wraz z temperaturą dla każdej długości fali, maksymalna wartość intensywności promieniowania J0,λ (gęstości promieniowania E0,λ) przemieszcza się w kierunku krótszych fal wraz ze wzrostem temperatury, przy czym E0,λ osiąga maksimum dla długości fali λm, λm T = 2.89103 mK.

Prawa promieniowania cieplnegoPrawa promieniowania cieplnegoGęstość strumienia promieniowania własnego E0 powierzchni doskonale czarnej dla danej temperatury T

Doświadczenia wykazują, że jest ono słuszne także dla ciał szarych. Mimo, iż równanie Plancka otrzymano 30 lat później, po jego scałkowaniu można uzyskać równanie na E0. Emisyjność -zdolność do maksymalnej emitancji niezależnie od kierunku i długości fali, i pochłanialność

dowolnego ciała związane są ze sobą prawem Kirchoffa.

gdzie C0 = σ0×108 = 8.67 W/m2K nosi nazwę technicznej stałej promieniowania ciała doskonale czarnego. Zależność na E0 została otrzymana najpierw eksperymentalnie przez Stefana, a dwa lata później teoretycznie przez Boltzmanna, dlatego też nazywana jest prawem Stefana - Boltzmanna, zaś stała σ0 - stałąBoltzmanna (stałą promieniowania ciała doskonale czarnego).Prawo Stefana-Boltzmanna w zasadzie obowiązuje dla ciała doskonale czarnego.

,4

00

,00 TdEE σλλ == ∫∞

115

,0 101.28constTE −− ⋅==mλ

Prawa promieniowania cieplnegoPrawa promieniowania cieplnegoZakładamy, że dwa ciała o jednakowej temperaturze znajdują się w równowadze termodynamicznej i tworzą układ odosobniony. W takim przypadku, dla każdego z nich promieniowanie własne jest równe promieniowaniu pochłoniętemu z zewnątrz. Stosunek gęstości monochromatycznego strumienia promieniowania własnego Eλ do ilości energii promieniowania pochłoniętej aλ nie zależy od natury ciała, lecz jedynie od długości fali λ i temperatury T, i równa jest emisyjnej zdolności promieniowania ciała doskonale czarnego:

Równanie pierwsze jest treścią wspomnianego prawa Kirchoffa i spełnione jest tylko wtedy, gdy istnieje równowaga termodynamiczna. W przeciwnym przypadku, tzn. przy braku równowagi termodynamicznej, obliczenia znacznie się komplikują, ponieważzdolność pochłaniania energii cieplnej ciała jest zależna nie tylko od temperatury i od długości fali. Dlatego też, dla uproszczenia obliczeń stosuje się model ciała szarego, którego zdolność pochłaniania nie zależy od długości fali (a=aλ).

dla promieniowania całkowitego stosunek ten zależy jedynie od temperatury

( ),,,0 λλ

λ

λ TEaE

=

( ).0 TEaE=

Prawa promieniowania cieplnegoPrawa promieniowania cieplnegoWprowadza się także pojęcie stopnia czarności ciała, zwanego inaczej zdolnościąpromieniowania (emisyjnością), który określa się jako stosunek intensywności promieniowania własnego ciała rzeczywistego w kierunku do promieniowania ciała doskonale czarnego dla tej samej temperatury i długości fali

Z kolei dla ciał rzeczywistych stopień czarności ε = ε (T) zawsze jest mniejszy od jedności, ε 1, i wyznacza się go doświadczalnie. Poniższa tablica zawiera wartości emisyjności dla niektórych ciał.

Dla ciał szarych stopień czarności nie zależy od długości fali, a jedynie od temperatury i równy jest całkowitemu stopniowi czarności ε

( )( ) .

,,,

0 TJSTJ

λλελ =

( ) ,4

0TTE

σεελ ==

wobec czego prawo Stefana-Boltzmanna można zapisać w postaci

.100

4

0

4

0 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

TCTE εεσ

Prawa promieniowania cieplnegoPrawa promieniowania cieplnego

Materiał Temperatura ε metale:

chrom 100÷1000 0.08÷0.26 miedź polerowana 80÷115 0.012÷0.023

platyna polerowana 225÷625 0.054÷0.104 stal utleniona 200÷600 0.8

żelazo utlenione 100 0.736 inne:

azbest 40÷370 0.93÷0.945 cegła czerwona 20 0.93

drewno 20 0.895 kwarc 20 0.932

porcelana 22 0.924 woda 0÷100 0.95÷0.963

W.c. w oW.c. w ośśrodkach przezroczystychrodkach przezroczystychRozpatrzmy dwie równoległe płaszczyzny 1 i 2, będące ciałami szarymi o nieograniczonych wymiarach i stałych temperaturach odpowiednio T1 i T2 (T1>T2), o zdolnościach absorpcji a1 i a2, rozdzielonych ośrodkiem przeźroczystym, a więc nie pochłaniającym i nie odbijającym, lecz jedynie przepuszczającym promieniowanie, rys. Załóżmy, że wymiana ciepła na drodze przewodnictwa cieplnego i konwekcji jest pomijalna, i zachodzi wyłącznie na drodze promieniowania (radiacji).

W przypadku rozpatrywanych płaszczyzn zachodzą związki

W celu wyznaczenia gęstości strumienia ciepła q1-2, przejmowanego od płaszczyzny 1 do płaszczyzny 2, wprowadza się pojęcie strumienia efektywnego energii promieniowania (bądźteż jasnością powierzchni), będącego sumą promieniowania własnego i odbitego

q1-2

T1a1

T2a2

( ) .1 padpadE EaErEEE −+=+=

( ) ,1 2111 EE EaEE −+= ( ) .1 1222 EE EaEE −+=

W.c. w oW.c. w ośśrodkach przezroczystychrodkach przezroczystychZ bilansu energii przechodzącej przez osłonę diatermiczną 1 wynika, iż gęstość strumienia ciepła netto, przechodząca w kierunku płaszczyzny 2 wynosi

lub z bilansu dla osłony diatermicznej 2

( ) 12121 1 EEaq E +−=−

.1221 EE EEq +−=−

W przypadku rozpatrywanych płaszczyzn zachodzą związki( )

( )( ) ,1111

21

2111 aa

EaEE E −−−−+

= ( )( )( )21

1222 111

1aaEaEE E −−−

−+=

E1

1 2

(1-a1)E2E

E1E

a1E2E

(1-a1)E2E

(1-a1)E2E

E2E

E1E= E1+(1-a1)E2EE 1

W.c. w oW.c. w ośśrodkach przezroczystychrodkach przezroczystychgęstość strumienia ciepła w postaci

Wykorzystując prawo Stefana-Boltzmanna dla ciał szarych (nieprzepuszczalnych):

gdzie ε1-2 jest zastępczą emisyjnością układu ciał, wyrażającą się wzorem

qa

Ea

E

a a

1 21

12

2

1 2

1 1

1 1 1− =

−

+ −

,100100

4

2

4

102121 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

TTCq ε

ε

ε ε

1 2

1 2

11 1 1

− =+ −

,a a1 1 2 2= =ε ε , .

Ten sam rezultat uzyskuje się przy zastosowaniu metody wielokrotnych odbićstrumieni własnych między rozpatrywanymi ścianami i obliczaniu ilości energii pochłanianej przez każdą z nich przy kolejnych odbiciach. Metoda ta może byćstosowana przy bardziej złożonych przypadkach, gdzie pierwszym przybliżeniem może być pierwsze odbicie energii.

WspWspóółłczynniki konfiguracjiczynniki konfiguracjiJeśli wymiana ciepła następuje między płaszczyznami o skończonych wymiarach, to wówczas wprowadza się współczynnik opromieniowania (inaczej: kierunkowy, kątowy lub konfiguracji) ϕ1-2, zależny od kształtu powierzchni, ich wymiarów, wzajemnego położenia oraz odległości między nimi, który uwzględnia jaka część energii ciała 1 pada na ciało 2:

Jak widać postać współczynnika jest dość skomplikowana, dlatego też zwykle wybiera się tę powierzchnię, dla której łatwiej go obliczyć. Ilość ciepła wypromieniowana przez ciało czarne o powierzchni A1 w kierunku ciała czarnego 2 można zapisać w postaci

ilość ciepła, jaka zostaje wypromieniowana przez ciało czarne 2 w kierunku ciała czarnego 1 w postaci

.coscos11 2

2

2121

1

21 ∫ ∫=−

A A rdAdA

A πααϕ

,100 211

4

10211011 −− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== ϕϕ ATCAEQ

.100 121

4

20121022 −− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== ϕϕ ATCAEQ

n1

n2

α1

dΩ1

α2

rdA2

WspWspóółłczynniki konfiguracjiczynniki konfiguracjiIlość ciepła netto, przechodząca od ciała 1 do ciała 2 wynosi zatem

W przypadku równowagi termodynamicznej pomiędzy obu ciałami,

Ilość ciepła przechodzącą na drodze radiacji między dwoma ciałami doskonale czarnymi

.100100

121

4

20211

4

10

12102211012121

−−

−−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=−=−=

ϕϕ

ϕϕ

ATCATC

AEAEQQQ

T T Q1 2 1 2 0= ⇒ =− ,

A A1 1 2 2 2 1ϕ ϕ− −=

.100100

4

2

4

1211021 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

TTACQ ϕ

Z kolei w przypadku ciał szarych przy dyfuzyjnym odbiciu podlegającemu prawu Lamberta, współczynnik opromieniowania ϕ1-2 jest wielkością geometryczną. Wówczas ilość ciepła wymieniana między powierzchniami wynosi

Q Q QE E1 2 1 1 2 2 2 1− − −= −ϕ ϕ ,

WspWspóółłczynniki konfiguracjiczynniki konfiguracjisą wartościami średnimi współczynników opromieniowania obu powierzchni 1 i

2, zaś strumienie efektywne określa się z zależności

Rozwiązując powyższy układ względem QE1 i QE2 uzyskuje się

przybliżona zależność na ilość ciepła wymienioną między dwoma powierzchniami szarymi

Z reguły

ϕ ϕ1 2 2 1− −,

( ) ,1 2111 EE QaQQ −+= ( ) .1 1222 EE QaQQ −+=

( )( )( ) ,111

1

21

2111 aa

QaQQE −−−−+

=( )

( )( ) ,1111

21

1222 aa

QaQQE −−−−+

=

( )( ).

11121

122121

21

122022110121

aaaa

aa

AEAEQ−−

−−

−

−−−

−= ϕϕ

ϕϕϕ ϕ1 2 2 1− −= ,

ϕ ϕ1 2 2 1− −≠ .

WspWspóółłczynniki konfiguracjiczynniki konfiguracjiPrzy rozpatrywaniu powierzchni zakrzywionych mamy do czynienia z tzw. lokalnym współczynnikiem opromieniowania (współczynnikiem konfiguracji) . W takim przypadku rozważa się dwie elementarne powierzchnie dA1 i dA2, rys., wymieniające między sobąciepło na drodze radiacyjnej, którego ilość określa zależność

Z drugiej strony, z prawa Lamberta wiemy, że

Porównując dwie powyższe zależności

Średni współczynnik konfiguracji dla powierzchni skończonych wynosi

d Q E dAE dA dA2

1 2 1 1 1 2− = ϕ .

d Q E dA dE

21 2 1 1 1− =

Ωπ

αcos .

ϕπ

αα α

πdA dAd

rdA

1 2 11 2

2 2= =Ω cos

cos cos.

n1

n2

α1

dΩ1

α2

rdA2

,11 2

221121 ∫ ∫=A A

dAdAAA dAdAA

ϕϕ

WspWspóółłczynniki konfiguracjiczynniki konfiguracji

Dla uproszczenia obliczeń korzysta się z pewnych własności tego współczynnika:- prawo wzajemności wynikające z prawa Kirchoffa

- związek dla powierzchni otwartych, będących częściąpowierzchni zamkniętej, gdzie wτ uwzględnia opromieniowaniepowierzchni własnej,

- zależność dla powierzchni zamkniętych, wynikająca z bilansu energii

- związek dla przypadku zamknięcia powierzchni otwartej A1 powierzchniami A’2 i A’’2

A A1 1 2 2 2 1ϕ ϕ− −= ,

ϕ ϕ τ0 1= − w ,

ϕ ϕ ϕ ϕ1 1 1 2 1 3 1 1− − − −+ + + + =... .n

A1 A2A3

An

ϕ ϕA A A A1 2 1 2′ ′′= . A1

A2'

A2"

WspWspóółłczynniki konfiguracjiczynniki konfiguracji

- związek, zachodzący w przypadku powierzchni A1

podzielonej na kilka części A1, A2 ...,

- zależność dla przypadku, kiedy między powierzchniami o nieskończonych wymiarach umieszczony jest ekran,

Można wykazać, na podstawie przedstawionych własności, iż w przypadku dwu powierzchni określających zamknięty układ, z których jedna nie ma wklęsłości, zachodzą związki

A2

A1

Δ A1 Δ A2 Δ A3Δ A4

ϕ ϕ1 2 2− = ΔA Ai.

ϕ ϕ1 2− −=e e .A1 A2

Ae

ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 2 11

22 2 2 1

1

21 1 1− − − −= = = − = − , ,

AA

AA

.A2

A1

WspWspóółłczynniki konfiguracjiczynniki konfiguracjiPrzypadek ten pozwala w praktyce zaanalizować zagadnienie przejmowania ciepła pomiędzy dwoma kulami, strumień ciepła wynosi

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy

Bądź w innej postaci, gdzie wobec a1 = ε1 oraz a2 = ε2

A1 A2

Q Q QE E1 2 1 2 2 1− −= − ϕ , ϕ2 11

2− =

AA

,

12

21

122

4

21

4

10

21

111100100

−

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=ϕ

ϕ

aa

ATATCQ

,100100

4

2

4

1102121 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

TTACQ ε

,111

1

22

1

1

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=−

εε

ε

AA

Dla bardziej złożonych przypadków zagadnienie przejmowania ciepła, ze względu na ich trudność, rozwiązuje się metodami przybliżonymi.

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcychDotychczas rozważano zagadnienia radiacyjnej wymiany ciepła w układzie, w którym dwie powierzchnie rozdzielone są ośrodkiem przeźroczystym. W rzeczywistości, środowisko pomiędzy dwoma powierzchniami wymieniającymi ciepło nie jest przeźroczyste, a zatem należy wówczas uwzględniać zdolności pochłaniania energii przez takie ośrodki.

Rozróżnia się ośrodki:- osłabiające - takie, w których zachodzi pochłanianie i rozpraszanie energii promieniowania,- pochłaniające (absorbujące) - takie, w których zachodzi pochłanianie i generowanie energii,- rozpraszające - takie, w których zachodzi rozpraszanie enregii w różnych kierunkach oraz przy różnych częstotliwościach fal promieniowania.

Z punktu widzenia radiacyjnej wymiany ciepła, rozpatrzenia wszystkich własności optycznych ośrodka jednocześnie jest złożonym zagadnieniem. Z tego względu, jako szczególnie istotne w praktyce rozpatrzymy jedynie pochłanianie promieniowaniaprzez ośrodek, które na ogół występuje w gazach.

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcychRozważmy zatem zjawisko radiacyjnej wymiany ciepła między dwoma równoległymi płaszczyznami 1 i 2 o nieograniczonych wymiarach rozdzielonych ośrodkiem pochłaniającym. Temperatury płaszczyzn wynoszą odpowiednio T1 i T2, T1 > T2, a ich zdolności pochłaniania (absorpcyjności) określają liczby a1 i a2.

Spektralna intensywność promieniowania Jλ(x,θ) posiada składową Jλ+(x,θ), skierowaną w kierunku dodatnim osi x oraz składową Jλ-(x,θ) skierowaną przeciwnie, tzn. w kierunku ujemnym osi x.

Spektralna intensywność promieniowania Jλ+ przechodząc przez elementarną warstwę dx, zmieni się o wartość dJλ+. Zmiana następuje wskutek promieniowania własnego warstwy oraz wskutek pochłaniania energii przez warstwę, co można zapisać w formie

dJx E x dx x J dx

λλ λ λ λκ

π θκ

θ+

+

= −( ) ( )

cos( )cos

,0

κλ(x) - spektralny współczynnik pochłaniania promieniowania.

1 2

x dx

l

Jλ++ dJλ+

θ

Jλ+

dΩ

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcychUzyskujemy równanie różniczkowe dla intensywności Jλ+(x,θ)

W analogiczny sposób otrzymuje się równanie różniczkowe dla intensywności Jλ-(x,θ)

gęstość strumienia ciepła qr dla całego widma promieniowania

cos( )

( ) ( ) .θκπ

κλ λλ λ λ

dJdx

xE x x J

++= −0

cos( )

( ) ( ) .θκπ

κλ λλ λ λ

dJdx

xE x x J

−−= −0

qx

Txr x, ( )

,= −4

30

4σκ

∂∂λ

gdzie jest średnim współczynnikiem pochłaniania.κλ

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcychNa granicy rozdziału faz gaz - ciało stałe (ścianka) istnieje uskok temperatury, który określa się z równania

skąd, na podstawie równania opisującego strumień cieplny, przy warunku znajdujemy rozkład temperatury w ośrodku w postaci

gdzie T′ jest temperaturą ośrodka na płaszczyźnie 1, a stąd dla x = 1 mamy

gdzie z kolei T′′ jest temperaturą ośrodka na płaszczyźnie 2.

,211

0

44

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

w

rw a

qTTσ

κ κλ = = const

,211

0

44

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

w

rw a

qTTσ

( ) ( ) ,43

0

44 lqTT r σκ

=′′−′

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcychSkoki temperatury na obu powierzchniach, będą wynosić odpowiednio

gęstość strumienia ciepła q1-2, przechodzącego od powierzchni 1 do powierzchni 2

( )

W przypadku, dla κl = 0, uzyskuje się zależność jak dla ośrodka przezroczystego.

Jeśli promieniowanie własne ośrodka jest znacznie mniej intensywne od promieniowania zewnętrznego, równanie przenoszenia się energii przyjmuje postać

,211

10

44

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=′−

aqTT r

σ( ) ,

211

20

4

2

4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−′′

aqTT r

σ

( ) .

43111

21

4

2

4

1021

laa

TTqqr

κ

σ

+−+

−−==

−

dJdx

Jλλ λκ= − i wyraża prawo Bugera. Posługując się nim

można określić zdolność pochłaniania energii przez ośrodek

aJ J

JJJλ

λ λ

λ

λ

λ

=−

= −0

0 01 ,

gdzie oznacza intensywność promieniowania na wejściu do warstwy, zaśJλ - na wyjściu z niej.

Jλ0

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcychZapisując teraz prawo Bugera w postaci

i całkując je dla jednorodnego ośrodka ze stałym wzdłuż długości l współczynnikiem pochłaniania otrzymujemy

skąd, przy warunku brzegowym postaci l = 0 , C = otrzymuje się rozwiązanie

Porównując równania na a i dJ /J można zapisać związek określający zdolnośćλ λ λ

pochłaniania ośrodka o grubości l w postaci:

Ponadto, jeśli warstwa rozpatrywanego ośrodka znajduje się w równowadze termodynamicznej, a zatem zachodzi równanie to stosując prawo Kirchoffaotrzymamy

gdzie ελ oznacza spektralny stopień czarności warstwy w tym kierunku, co spektralna zdolność pochłaniania.

dJJ

dxλ

λλκ= −

,ln0

CldxJl

+−=−= ∫ λλλ κκ

Jλ0

JJ

e lλ

λ

κλ0 = − .

a e lλ

κλ= − −1 .

a e lλ

κλ= − −1 .

dqdx

r = 0,ελ λ

κλ= = − −a e l1 ,

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcychPara i gaz rzeczywisty pochłaniają i emitują promieniowanie selektywnie, a więc w określonych pasmach zmienności długości fali. Na przykład, pasma promieniowania H2O

leżą w obszarach λ= 2.24÷3.27 μm , λ= 4.8 ÷ 8.5 μm , λ = 12 ÷ 25 μm

pasma promieniowania CO2 w obszarach λ=2.36÷3.02 μm, λ=4.01÷4.80 μm, λ=12.5÷16.5 μm

Energię promieniowania gazów oblicza się z zależności

Gazy trzyatomowe (o niesymetrycznej budowie cząstek tak jak np.: CO2 czy H2O) bądźwęglowodory i alkohole, wypromieniowują i pochłaniają znaczną ilość energii, która nie może być pomijana. Natomiast gazy jedno- i dwuatomowe są w zasadzie przepuszczalne dla energii promieniowania, stąd też w zakresie spotykanych w zagadnieniach technicznych temperatur można je traktować jako przezroczyste.

a e lλ

κλ= − −1 .

E E i

n= ∑ Δλ, ,

1.

2

1∫=Δ

λ

λ

λλ λdEE

Jak wykazują eksperymenty, gazy rzeczywiste nie stosują się do prawa Stefana-Boltzmanna, lecz do równań otrzymanych z doświadczenia, w których temperatura bezwzględna występuje w potędze niższej od 4 oraz pojawia się wpływ kształtu masy gazu (grubości warstwy l) i ciśnienia p promieniującego gazu.

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcychDla przykładu, dla dwutlenku węgla równanie takie przyjmuje postać

Dla przykładu, dla dwutlenku węgla równanie takie przyjmuje postać

W równaniach tych E wyrażone jest w kcal/m2h, natomiast ciśnienie p jest ciśnieniem cząstkowym promieniującego gazu w mieszaninie i wyrażone jest w atmosferach. Wymiar liniowy l oznacza grubość równoległościennej warstwy gazu i wyrażony jest w m.

a e lλ

κλ= − −1 .

( )

W przypadku, gdy bryła promieniującego gazu ma inny kształt, wprowadza sięzastępczą grubość (patrz tabela)

Należy zwrócić uwagę, iż zarówno (1), jak i (2) dotyczą przypadków, kiedy rozpatrywany gaz zawiera tylko jeden składnik promieniujący, znajdujący się w mieszaninie gazów przezroczystych. Natomiast, w przypadku istnienia więcej niż jednego gazu promieniującego w mieszaninie, zasada addytywności nie obowiązuje.

,100Tpl3.5E

3.5

1/3

2CO ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

.100

5.33

6.08.0

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

TlpE OH

l VAE = 3 6. ,

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcych

a e lλ

κλ= − −1 .

Kształt ciała L kula ośrednicy d 0.60d sześcian o boku a 0.60a walec nieskończony o średnicy d 0.90d walec o wysokości h=d, przy promieniowaniu na powierzchnię boczną 0.60d walec o wysokości h=d, przy promieniowaniu na środek podstawy 0.77d warstwa o grubości δ znajdująca się między dwoma nieskończenie dużymi płytami

1.8 δ

przestrzeń znajdująca się między pęczkami rur o średnicy d, których środki znajdują się w narożach trójkąta równobocznego; średnica rury równa jest odległości między ściankami

2.8 x

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcych

Przy wyznaczaniu strumienia ciepła wymienianego między masą gazu a ścianką zakłada się, że gaz i ścianka są izotermiczne. Przyjmuje się także, iż gaz posiada temperaturę T1, średni stopień czarności ε1(T1) oraz pochłanialność a1(T1), a ścianka - powierzchnię A, temperaturę T2, średni stopień czarności ε2(T2) oraz pochłanialność a2(T2).

Ilość ciepła przechodzącego od gazu do ścianki wyraża się

gdzie

a e lλ

κλ= − −1 .

Q Q QE E1 2 1 2

Przyjmując dodatkowo, że

Przyjmując dalej uproszczenia

− = − ,( ),1 121111 aQQQQQ odbwE −+=+= τ ( ).1 2121 aQQQ E −+=

Q E A Q A T= ⋅ ⇒ = εσ04 ,

( ) ( ).

111)()(

)()(

1221

4

20

12

224

10

21

11

21

−+

−=

−

TaTa

TTaTT

TaT

AQσεσε

Otrzymuje się

( ) ( ) ( ) ( ), , 12222111 TaTTaT ≈≈ εε

( ),4

2

4

102121 TTAaQ −=−−σOtrzymujemy

a

a a

1 2

1 2

11 1 1

− =+ −

.

Stopień czarności gazu εg występujący w powyższych równaniach jest funkcją temperatury, ciśnienia p i drogi optycznej l i znajduje się go na drodze eksperymentalnej.

W. ciepW. ciepłła w oa w ośśrodkach pochrodkach pochłłaniajaniająącychcychW przypadku, gdy mamy do czynienia z konwekcyjno-radiacyjną wymianą ciepła pomiędzy masą gazu o temperaturze T1 a izotermiczną powierzchnią (ścianką) o temperaturze T2, operuje się zastępczym współczynnikiem wnikania ciepła αz

Gdzie αk to konwekcyjny, a αr współczynnik przejmowania ciepła

a e lλ

κλ= − −1 .

lub

Metodę tę można stosować także w przypadku, kiedy gaz jest przezroczysty, a ścianka napromieniowana od innej powierzchni o tej samej temperaturze co gaz.

α α αz k r= + ,

( )21

21

TTAQ

r −= −α

( )( ).2

2

2

121021

21

4

2

4

1021 TTTT

TTTT

r ++=−−

=−−σεσεα

Analogie prAnalogie prąądowedoweW praktyce przemysłowej mamy z zasady do czynienia z układami zamkniętymi np.: piecami, gdzie w wymianie ciepła biorą udział więcej jak dwie powierzchnie napromieniowujące się wzajemnie. Określając zatem pojęcie mocy promienistej (ciepło wypromieniowane z powierzchni) jako

gdzie oczywiście A jest powierzchnią, w przypadku istnienia większej ilości powierzchni wymieniających ciepło na drodze radiacji, możemy wyznaczyć, przy zastosowaniu prawa wzajemności, na przykład różnicę mocy promienistej Q1 emitowanej przez powierzchnięA1 i otrzymywanej od pozostałych powierzchni układu A2,A3 ...Ai

a e lλ

κλ= − −1 .

Q T Ao= σ 4 ,

( ) .11

44

1111

4

1

4

11 i

N

iioi

N

iioio TTATAATQ

−=

−=

∑∑ −=−=Δ ϕσϕσσ

Jeśli w układzie zamkniętym ciał czarnych znajduje się okno, to układ taki można traktować także jako ciało czarne o temperaturze otoczenia będącej zewnętrznątemperaturą układu. Natomiast w przypadku przestrzeni zamkniętej z atmosferągazową, jak już wspominaliśmy, gdzie ośrodek gazowy jest mało aktywny optycznie, zjawisko emisji i absorpcji gazu można pominąć.

Analogie prAnalogie prąądowedoweZagadnienie radiacyjnej wymiany ciepła w przestrzeni zamkniętej powierzchniami czarnymi można rozwiązać nie tylko analitycznie, ale i przy zastosowaniu analogu elektrycznego. Jeśli bowiem przyjmiemy, że układ zamknięty tworzą dwie powierzchnie czarne A1 i A2, to z równania różnicy mocy promienistej ΔQ1 uzyskujemy

Z drugiej strony mamy równanie przepływu prądu elektrycznego

a e lλ

κλ= − −1 .

Pomiędzy powyższymi równaniami istnieje analogia, gdyż można przypisaćpodobieństwo między wielkościami: różnica mocy promienistej jest analogiem prądu stałego, iloczyn powierzchni A1 i współczynnika napromieniowania 1-2 - analogiem odwrotności rezystancji (przewodności elektrycznej), zaś iloczyn stałej Stefana-Boltzmanna i różnicy czwartych potęg temperatur - analogiem różnicy potencjałów prądu

( ).4

2

4

12111 TTAQ o −=Δ−

ϕσ

( ).121 VV

RI −=

( ) ( ). , 1 , 21

4

2

4

102111 VVTTR

AIQ −≡−≡≡Δ−

σϕ

Analogie prAnalogie prąądowedoweSchemat powyższego analogu elektrycznego

a e lλ

κλ= − −1 .

W przypadkach, kiedy układ składa się z trzech powierzchni biorących udział w radia-cyjnej wymianie ciepła, to stosuje się analog elektryczny jak na rys. b. Przy większej ilości powierzchni w układzie, opis radiacyjnej wymiany ciepła jest dość skomplikowany, gdyżnależy uwzględniać fakt wymiany ciepła nie tylko między bezpośrednio sąsiadującymi, ale i między bardziej oddalonymi od siebie powierzchniami. Dla przykładu na rys. c. pokazano analogię prądową dla układu zamkniętego złożonego z czterech powierzchni.

V1 V2

R

σT14 σT2

4(A1ϕ1-2)

σT14

σT24

σT34

1/(A1ϕ1-2)

1/(A3ϕ2-3)1/(A1ϕ1-3)

σT44

1/(A2ϕ2-3)

1/(A3ϕ3-4)1/(A2ϕ2-4)

1/(A1ϕ1-4)σT14

σT24

1/(A1ϕ1-2)

1/(A1ϕ1-3 )

σT34

Techniczne ciaTechniczne ciałło czarneo czarne

który określa się wnękowością. W technice najczęściej stosuje się wnęki o kształcie cylindrycznym, stożkowym bądź też kulistym.

a e lλ

κλ= − −1 .

Techniczne ciało czarne stanowi model ciała czarnego. Najczęściej jest to ciało wykonane z metali i stopów żaroodpornych lub ceramiki.

Jak wspominano wcześniej, emisyjność każdego ciała występującego w naturze, a więc ciała rzeczywistego jest zawsze mniejsza od jedności. W związku z tym, przy wykonywaniu technicznego ciała czarnego dąży się do tego, aby efektywna emisyjnośćjego powierzchni emitującej była jak najbliższa jedności. W tym celu, w praktyce wykorzystuje się tzw. efekt wnęki (mały otwór w ściance wydrążonego wewnątrz ciała), kiedy energia promieniowania wpadającego przez otwór zostaje, poprzez wielokrotne odbicie, praktycznie całkowicie pochłonięta wewnątrz. Powierzchnia otwarta emitującego otworu A0 ma znacznie większą emisyjność niż powierzchnia rzeczywista Arz wnęki i rośnie wraz ze wzrostem ich stosunku

γwrzA

A=

0,

Techniczne ciaTechniczne ciałło czarneo czarne

a e lλ

κλ= − −1 .

Istotnym jest kierunek padania strumienia promieniowania do wnęki, gdyż jak wykazujądoświadczenia, emisja wnęki nie jest jednakowa, ponieważ stopień czarności każdego punktu zależy od jego położenia we wnęce. Stąd też emisyjność efektywna zależy od odległości pomiędzy otworem promieniującym a układem detekcyjnym.

Ponadto, wnęki powinny mieć wymiary bardzo duże w stosunku do długości emitowanych fal. Rozważania teoretyczne i eksperymenty potwierdziły, iż mikrownęki, dla których przynajmniej jeden z wymiarów nie spełnia tego wymagania, nie stosują się do praw Stefana-Boltzmanna i Plancka. Dla warunku T l << 1, gdzie T jest temperaturą wnęki w K, a l - najmniejszym wymiarem wnęki w cm, mogą pojawić się odchylenia od promieniowania temperaturowego.

A0

Arz

A0

Arz

A0

Arz

Techniczne ciaTechniczne ciałło czarneo czarne

a e lλ

κλ= − −1 .

Rozróżnia się trzy grupy technicznych ciał czarnych, a mianowicie ciała:

400 ÷ 1000 K, wysokich - 1000 ÷ 2000 K i bardzo wysokich - ok. 2000 ÷ 3000 K),

- do pracy w stałej temperaturze (przy wykorzystaniu m. in. stałości temperatury topnienia niektórych metali i niemetali),

- o dużej powierzchni emitującej (szerokie zastosowanie w termowizji jako ciała referencyjne).

- do pracy w określonym zakresie temperatur (niskich rzędu 200÷400 K, średnich -