Wykłady z mikroekonomii dla doktorantów zaocznych

1-2 MDZ

Elementarz

Rynek – forma organizacji działań gospodarczych oparta na dobrowolnych

wymianach tytułów własności

Zasada optymalności (racjonalności) – podmioty gospodarcze (agents)

wybierają najlepsze dla siebie kombinacje tytułów własności, jakie umożliwia

im rynek

Zasada równowagi – ceny dostosowują się dopóty, dopóki popyt nie zrówna

się z podażą

1-2 MDZ

Elementarz (c.d.)

Optymalność Pareto – poprawa położenia dobrowolnego podmiotu

gospodarczego może się dokonać tylko w drodze pogorszenia położenia

innemu podmiotowi

Cena graniczna (reservation price) – najwyższa cena możliwa do akceptacji

przez nabywcę lub najniższa cena możliwa do akceptacji przez sprzedawcę

Nadwyżka ekonomiczna (składająca się z tzw. nadwyżek producenta i

konsumenta) – suma różnic pomiędzy cenami granicznymi nabywców i

sprzedawców kolejnych jednostek towaru wymienianych na rynku

1-2 MDZ

Elementarz (c.d.)

p MC

p*

x* x

MB

0

1-2 MDZ

Ćwiczenia

1. Wymiana rynkowa pozwala na

[a] osiągnięcie dodatniego zysku przez te przedsiębiorstwa, które potrafią zmniejszyć koszty

[b] zmaksymalizowanie nadwyżki ekonomicznej

[c] osiągnięcie optimum Pareto pomimo niezaspokojenia popytu na pewne towary

[d] wyeliminowanie tych podmiotów, które nie umieją dokonywać innowacji technologicznych

[e] żadne z powyższych

2. Proszę obliczyć podaż i popyt, jakie ukształtują się w równowadze na rynku opisanym przez krzywą popytu p=a-bx oraz

krzywą podaży p=c+dx, gdzie a,b,c,d są dodatnimi parametrami (p – cena, x – ilość). Proszę również znaleźć cenę

równowagi. Jakie warunki powinny spełniać te parametry, aby znalezione rozwiązania miały sens ekonomiczny? Wyniki

proszę zilustrować na wykresie.

3-4 MDZ

Aksjomaty preferencji

Koszyk X – zbiór konsumowanych dóbr

Relacja preferencji X ≥k Y – "konsument k preferuje koszyk X względem koszyka Y"

Zupełność: dla dowolnych X i Y, albo X ≥k Y albo Y ≥k X

Przechodniość: dla dowolnych X, Y, Z, jeśli X ≥k Y i Y ≥k Z, to X ≥k Z

Monotoniczność: jeśli X=(x1, x2, …, xn), Y=(y1, x2, …, xn) i x1 ≥ y1, to X ≥k Y

(analogicznie dla występujących w obu koszykach dóbr nr 2, 3, …, n)

Równoważność (indyferencja): X =k Y wtedy i tylko wtedy gdy X ≥k Y oraz Y ≥k X

Wypukłość: jeśli X =k Y, zaś λ[0,1], to λX + (1-λ)Y ≥k X

(również λX + (1-λ)Y ≥k Y)

3-4 MDZ

Aksjomaty preferencji (c.d.)

Krzywa obojętności – zbiór koszyków wzajemnie sobie równoważnych

(pomiędzy którymi konsument pozostaje indyferentny)

3-4 MDZ


Wypukłość preferencji:

3-4 MDZ


Preferencje nazywane są racjonalnymi, jeśli są zupełne i przechodnie.

Konsument nazywany jest racjonalnym, jeśli jego preferencje są racjonalne.

3-4 MDZ

Ćwiczenia

3. Jeśli preferencje są monotoniczne, to

[a] konsument jest racjonalny

[b] postulat wypukłości może być spełniony tylko w przypadku dóbr, których ilości są wyrażane w identycznych jednostkach

[c] konsument może być indyferentny tylko pomiędzy koszykami, które są identyczne

[d] znaczy, że istnieje pułap każdego dobra, powyżej którego konsumpcja nie powoduje zwiększenia satysfakcji

[e] żadne z powyższych.

4. Czy krzywe obojętności mogą się przecinać? Innymi słowy, czy możliwa jest sytuacja, że określony koszyk należy do dwóch

różnych krzywych obojętności?

5-6 MDZ

Funkcja użyteczności

Funkcja użyteczności – funkcja zachowująca porządek preferencji, tj.

u(X) ≥ u(Y) wtedy i tylko wtedy, gdy X ≥k Y

Krańcowa stopa substytucji (Marginal Rate of Substitution, MRS) – zmiana w

ilości jednego dobra, aby po zmianie ilości innego dobra o jednostkę, nowy

koszyk był równoważny staremu

Krańcowa użyteczność (koszyka) – MUi(x1,x2,…,xn) = u(x1,x2,…,xn)/xi

5-6 MDZ

Funkcja użyteczności (c.d.)

5-6 MDZ


Twierdzenie.

MRS12 = - MU1:MU2 = -u(x1,x2)/x1:u(x1,x2)/x2.

Dowód: (1) Notacja. Ekonomiści (i inżynierowie) stosują symbol "dy", aby oznaczyć tzw. różniczkę y. Powyższa notacja była powszechnie używana przez matematyków w XVIII wieku, kiedy odkrywano rachunek różniczkowy. Później używano jej już tylko w takich symbolach jak "dy/dx", bo znane były przykłady nonsensownych wyników uzyskiwanych po rozdzieleniu "dy" od "dx". Rzeczywiście takie rozdzielenie może być nonsensowne. Tym niemniej, jeśli je stosować uważnie, może upraszczać pewne wyprowadzenia. Będziemy stosować tę notację (dy) zamiast zwykłych pochodnych. W praktyce, aby obliczyć df(x), oblicza się df(x)/dx=g(x) i "mnoży" obie strony równości przez dx.

5-6 MDZ


Dowód (c.d.)

(2) Zastosowanie. Krańcowa stopa substytucji podaje zmianę w ilości jednego dobra, aby po zmianie ilości innego dobra o jednostkę, nowy koszyk był równoważny staremu. Innymi słowy, wymaga się, aby użyteczność starego i nowego koszyka była identyczna (przyrostu użyteczności ma nie być). Zapisujemy to jako du(x1,x2)=0. Ze wzoru na tzw. różniczkę zupełną (du(x1,x2) =

u(x1,x2)/x1.dx1 + u(x1,x2)/x2

.dx2) można więc zapisać: u(x1,x2)/x1.dx1 +

u(x1,x2)/x2.dx2 = 0, czyli u(x1,x2)/x1

.dx1 = -u(x1,x2)/x2.dx2. Stosując zaś

powyższą notację: dx2/dx1 = -u(x1,x2)/x1:u(x1,x2)/x2. A skoro dx2/dx1 właśnie informuje o tym jak się zmienia x2 pod wpływem zmiany x1, to otrzymaliśmy właśnie wzór na MRS12.

5-6 MDZ


Liniowa funkcja użyteczności:

uk(x1, …, xn) = a1x1 + a2x2 +…+ anxn

MRSij = -ai/aj = const

Leontiewa funkcja użyteczności:

uk (x1, …, xn) = min{a1x1, a2x2, …, anxn}

MRSij nie jest określona

Cobba-Douglasa funkcja użyteczności:

uk (x1, …, xn) = x1a1 . x2

a2 . . xnan

MRSij = -(ai/aj)(xj/xi)

5-6 MDZ


Obliczanie krańcowej stopy substytucji dla Cobba-Douglasa funkcji

użyteczności. Skoro u(x1,x2) = x1a1 . x2

a2, to na mocy twierdzenia wystarczy

obliczyć krańcowe użyteczności.

MU1=u(x1,x2)/x1= a1 x1a1-1 . x2

a2,

MU2=u(x1,x2)/x2= a2 x1a1 . x2

a2-1.

Dzieląc zaś, otrzymujemy MU1:MU2 = (a1 x1a1-1 . x2

a2):(a2 x1a1 . x2

a2-1) =

(a1/a2)(x2/x1). I wreszcie, zmieniając znak: MRS12 = -(a1/a2)(x2/x1)

5-6 MDZ

Ćwiczenia

5. Jeśli preferencje konsumenta scharakteryzowane są Leontieva funkcją użyteczności, to znaczy, że

[a] zmniejszenie konsumpcji jednego dobra może być zrekompensowane tylko przez wielokrotne zwiększenie konsumpcji

drugiego dobra

[b] wszystkie dobra muszą się znaleźć w koszyku w identycznych ilościach

[c] nie jest możliwa substytucja jednego dobra przez inne

[d] jedyne koszyki, pomiędzy którymi konsument jest indyferentny muszą być identyczne


6. Proszę wykazać, że jeśli u jest funkcją użyteczności, to również jej transformacja za pomocą dowolnej funkcji ściśle rosnącej

zachowuje ten sam porządek preferencji. Wyprowadzić z tego wniosek, że preferencje typu Cobba-Douglasa mogą być

"zlinearyzowane".

7-8 MDZ

Wybór optymalny konsumenta

Zbiór budżetowy – zbiór koszyków, które konsument może nabyć na rynku (przy

danych cenach rynkowych) za posiadane pieniądze

7-8 MDZ

Wybór optymalny konsumenta (c.d.)

Z danego zbioru budżetowego wybrać koszyk najbardziej preferowany

X nie może być najbardziej preferowany, bo

w zbiorze budżetowym znajdzie się lepszy

X nie może być wybrany, bo nie znajduje

się w zbiorze budżetowym

7-8 MDZ


Optimum bez warunków pierwszego rzędu

Liniowa funkcja użyteczności:

jeśli a1/a2 > p1/p2, to x1* = m/p1, x2

* = 0;

jeśli a1/a2 < p1/p2, to x1* = 0, x2

* = m/p1;

jeśli a1/a2 = p1/p2, to każdy punkt z odcinka [m/p1,0; 0,m/p2] jest

optymalny

Leontiewa funkcja użyteczności:

X* = (a2m/(p1a2+p2a1),a1m/(p1a2+p2a1))

7-8 MDZ


Optimum z warunkami pierwszego rzędu

Cobba-Douglasa funkcja użyteczności:

x1* = a1m/((a1+a2)p1), x2

* = a2m/((a1+a2)p2)

Wniosek:

udziały wydatków na dobra x1, x2, tj. pixi*/m = ai/(a1+a2), są stałe

7-8 MDZ

Ćwiczenia

7. Jeśli preferencje konsumenta są opisane przez liniową funkcję użyteczności, to

[a] optymalny wybór jest zawsze jednoznaczny

[b] koszt zakupu każdego z dóbr jest identyczny

[c] konsument nie powinien kupować dobra, dla którego proporcja krańcowej użyteczności do ceny jest niższa niż dla innego

dobra

[d] udziały wydatków na poszczególne dobra są stałe


8. Załóżmy, że preferencje konsumenta opisane są przez funkcję użyteczności u(x1,x2)=min{x1,3x2}, zaś ceny dóbr wynoszą,

odpowiednio, p1=2, p2=1. Konsument ma do wydania 28. Jaki koszyk powinien optymalnie wybrać?

9-10 MDZ

Ujawnianie preferencji

Dobro normalne – popyt rośnie wraz ze wzrostem dochodu

Dobro poślednie (inferior) – popyt maleje wraz ze wzrostem dochodu

Dobro zwyczajne – popyt maleje wraz ze wzrostem ceny

Dobro Giffena – popyt rośnie wraz ze wzrostem ceny

Twierdzenie. Dobro Giffena jest poślednie

9-10 MDZ

Ujawnianie preferencji (c.d.)

Równanie Słuckiego

∆xi = xi(pi1,m) - x i(pi

0,m) =

= xi(pi1,m') - x i(pi

0,m) + xi(pi1,m) - x i(pi

1,m') =

= ∆xis + ∆xi

m =

= efekt substytucyjny + efekt dochodowy,

gdzie m' dowolny dochód; w szczególności m' może być taki sam jak m

(wtedy całą zmianę popytu rozumiemy jako 'efekt substytucyjny'), albo m'

może być tak dobrany, żeby dawny popyt (mimo zmiany ceny) mógł

zostać zakupiony

9-10 MDZ


Efekt substytucyjny (∆xi

s) działa na rzecz zmniejszenia popytu, zaś efekt

dochodowy (∆xim)na rzecz jego zwiększenia, ale przeważa pierwszy; a więc w

sumie popyt spada (∆xi<0). Nie dochodzi do paradoksu Giffena.

9-10 MDZ


Efekt substytucyjny (∆xi

s) działa na rzecz zmniejszenia popytu, zaś efekt

dochodowy (∆xim)na rzecz jego zwiększenia i przeważa drugi. Dochodzi do

paradoksu Giffena.

9-10 MDZ

Ujawnianie preferencji (c.d.) Indeksy

Indeks ilości Laspeyres'a

Lq = (p10x1

1 + p20x2

1) / (p10x1

0 + p20x2

0)

Indeks ilości Paasche'go

Pq = (p11x1

1 + p21x2

1) / (p11x1

0 + p21x2

0)

Indeks cen Laspeyres'a

Lp = (p11x1

0 + p21x2

0) / (p10x1

0 + p20x2

0)

Indeks cen Paasche'go

Pp = (p11x1

1 + p21x2

1) / (p10x1

1 + p20x2

1)

Indeks wydatków

M = (p11x1

1 + p21x2

1) / (p10x1

0 + p20x2

0)

9-10 MDZ


9-10 MDZ


Wnioski

Jeśli Pq ≥ 1, to X1 ≥k X0,

Jeśli Lq ≤ 1, to X0 ≥k X1,

Jeśli Pp ≥ M, to X0 ≥k X1,

Jeśli Lp ≤ M , to X1 ≥k X0,

9-10 MDZ

Ćwiczenia

9. Dobro Giffena

[a] musi być poślednie

[b] wymaga, aby rynek nie działał sprawnie

[c] nie może wystąpić na rynku, który jest kontrolowany przez centralnego planistę

[d] występuje w gospodarce, w której nie istnieje popyt na dobra luksusowe


10. Przeciętne gospodarstwo emeryckie rozdysponowywało cały swój miesięczny dochód pomiędzy chleb, kupując go po cenie

p1=4 w ilości x1=25 bochenków oraz krzyżówki, kupując je po cenie p2=2 w ilości x2=40 sztuk. Na skutek ruchu cen obecnie

kupuje te towary po cenach, odpowiednio p'1=5 oraz p'2=1,5 w ilościach x'1=18 oraz x'2=72, ponieważ w wyniku działania

ustawy rewaloryzacyjnej miesięczny dochód gospodarstwa został zwiększony o 10%, tj. ze 180 do 198. Czy w nowej sytuacji

gospodarstwo ma się lepiej, czy gorzej?

11-12 MDZ

Popyt rynkowy

Qi – ilość zapotrzebowywana (popyt rynkowy) dobra i

Cenowa elastyczność popytu (prosta) dobra i: εi = ∂Qi/∂pi : Qi/pi

Przychód (dostawcy pewnego dobra w ilości Q): R = pQ

Przychód krańcowy: MR = dR/dQ

11-12 MDZ

Popyt rynkowy (c.d.)

Twierdzenie.

dR/dQ = p dQ/dQ + Q dp/dQ = p + Q dp/dQ = p(1 + (Q/p) dp/dQ = p(1+1/ε)

Twierdzenie.

dR/dp = p dQ/dp + Q dp/dp = p dQ/dp + Q = Q(p(dQ/dp)/Q + 1) = Q(1 + ε)

(reakcja przychodu na zmianę ceny)

11-12 MDZ

Ćwiczenia

11. Prosta elastyczność cenowa popytu na energię

[a] informuje o tym, czy konsument jest wrażliwy na potrzeby ochrony środowiska

[b] jest dodatnia

[c] jest bliższa zeru w długim okresie, aniżeli w krótkim

[d] jest bliższa zeru w krótkim okresie, aniżeli w długim


12. Drugie z twierdzeń przytoczonych w bieżącym wykładzie przewiduje, że dR/dp = Q(1 + ε). Proszę zinterpretować fakt, że

wzrost ceny o jednostkę może nie spowodować analogicznego wzrostu przychodów z całej sprzedaży.

13-14 MDZ

Produkcja

Zbiór możliwości produkcyjnych – zbiór wszystkich kombinacji nakładów i

wyników, jakie dana technologia może urzeczywistnić: (x1, …, xn, y) Y

Funkcja produkcji – zależność pomiędzy nakładami a najlepszym możliwym

wynikiem, jaki się z tych nakładów da uzyskać y = f(x1, …, xn)

Izokwanta I(y) – zbiór kombinacji nakładów pozwalających na otrzymanie wyniku

y, tj. I(y) = {(x1, …, xn): y = f(x1, …, xn)}

13-14 MDZ

Produkcja (c.d.)

Przykłady technologii (funkcji produkcji)

Pełna komplementarność (Leontiewa):

f(x1, x2, …, xn) = min{a1x1, a2x2, …, anxn}

Doskonała substytucja (liniowa):

f(x1, x2, …, xn) = a1x1 + a2x2 +…+ anxn

Cobba-Douglasa:

f(x1, x2, …, xn) = x1a1 . x2

a2 . . xnan

13-14 MDZ

Produkcja (c.d.)

Postulaty technologiczne

Monotoniczność:

Jeśli X = (x1, x2,…, xn), Z = (z1, x2,…, xn) i x1 ≥ z1, to f(X) ≥ f(Z);

analogicznie dla nakładu 2, 3, …,n

Wypukłość:

Jeśli f(X) = f(Z) = y, zaś λ[0,1], to f(λX + (1-λ)Z) ≥ y

Przychody ze skali:

rosnące, jeśli dla α>1 f(αX) > αf(X)

stałe, jeśli f(αX) = αf(X)

malejące, jeśli dla α>1 f(αX) < αf(X)

13-14 MDZ

Produkcja (c.d.)

Produkt krańcowy (nakładu i): MPi = ∂ f(x1, …, xn)/∂xi

Techniczna stopa substytucji (Technical Rate of Substitution, TRS) –

współczynnik kierunkowy stycznej do izokwanty funkcji produkcji

Twierdzenie. Dla dowolnej różniczkowalnej funkcji produkcji:

TRSij = -MPi:MPj

(TRSij- współczynnik kierunkowy stycznej do izokwanty przy założeniu, że

nakład i odmierzany jest na osi poziomej, zaś j na osi pionowej)

Dowód może być analogiczny jak dla twierdzenia MRSij = - MUi:MUj

13-14 MDZ

Ćwiczenia

13. W technologii Cobba-Douglasa stałe przychody względem skali

[a] występują, jeśli a1 + a2 +…+ an > 1

[b] występują, jeśli a1 + a2 +…+ an < 1

[c] wymagają tylko stałości współczynników a1, a2, …, an

[d] wymagają tylko, by nakłady pozostawały w stałych proporcjach


14. Załóżmy, że technologia jest liniowa. Proszę obliczyć krańcowe produkty czynników produkcji i techniczną stopę substytucji.

15-16 MDZ

Koszty

Funkcja kosztów:

c(w1,…,wn,y) = minx1,…xn {w1x1 + … + wnxn: f(x1,…,xn) = y, (x1,…,xn, )Y},

gdzie w1,…,wn – ceny jednostkowe nakładów (czynników produkcji) 1,…,n

Linia jednakowego kosztu (isocost) – wykres rozwiązań równania

w1x1 + … + wnxn = c = const

Warunki pierwszego rzędu minimalizacji kosztów:

TRSij = wi/wj

(koszt produkcji jest zminimalizowany, jeśli izokwanta jest styczna do linii

jednakowego kosztu)

15-16 MDZ

Koszty (c.d.)

Twierdzenie. Jeśli przychody ze skali są stałe, to funkcja kosztów jest liniowa

względem produktu

Koszt całkowity (dla ustalonych w1,…,wn): TC(y) = c(w1,…,wn,y)

Koszt przeciętny (dla ustalonych w1,…,wn): AC(y) = c(w1,…,wn,y)/y

Koszt krańcowy (dla ustalonych w1,…,wn): MC(y) = ∂c(w1,…,wn,y)/∂y

Koszt stały (dla ustalonych w1,…,wn): FC = TC(0) = c(w1,…,wn,0)

Koszt zmienny (dla ustalonych w1,…,wn): VC(y) = c(w1,…,wn,y) - FC

Przeciętny koszt zmienny (dla ustalonych w1,…,wn): AVC(y) = VC(y)/y

15-16 MDZ

Koszty (c.d.)

Twierdzenie. Jeśli AC(y0) = MC(y0), to AC(y0) ≤ AC(y) dla wszystkich y

Optimum techniczne przedsiębiorstwa: y*, dla której AC(y*) jest minimalny

15-16 MDZ

Ćwiczenia

15. Definicja kosztu stałego opiera się wydatkach, które należałoby ponieść nawet wówczas, gdyby nie było produkcji. Nie muszą

one wynosić zero, ponieważ

[a] nawet zaniechanie produkcji może nie pozwalać na uniknięcie pewnych kosztów

[b] zwiększenie skali produkcji wymaga sięgnięcia po droższe rozwiązania

[c] zmniejszenie produkcji wymaga ponoszenia odpowiedzialności z tytułu już sprzedanych towarów

[d] tzw. długi okres może być wielokrotnie dłuższy niż krótki


16. Czy jest możliwe, żeby krzywa kosztu krańcowego znajdowała się całkowicie poniżej krzywej kosztu przeciętnego?

17-18 MDZ

Konkurencja doskonała

Warunek wejścia.

p > AC(y*)

Firma realizuje zysk dodatni, co może przyciągać na rynek nowych dostawców

Warunek wyjścia.

p < AC(y*)

Firma realizuje zysk ujemny. Wówczas:

Jeśli AVC(y*) < p < AC(y*), to firma powinna produkować aż do

zakończenia krótkiego okresu i dopiero wtedy wyjść z rynku;

Jeśli p < AVC(y*), to firma powinna wyjść z rynku natychmiast

Długookresowe optimum firmy: p = MC(y*) = AC(y*)

17-18 MDZ

Konkurencja doskonała (c.d.)

Model branży z identycznymi przedsiębiorstwami

Krótkookresowa funkcja podaży n przedsiębiorstw: y = nS(p)

Krótkookresowa krzywa podaży n przedsiębiorstw: p = MC(y/n)

(określona tam, gdzie funkcja MC jest rosnąca)

Długookresowa krzywa podaży: p = MC(y*) = AC(y*)

Twierdzenie. W branży doskonale konkurencyjnej długookresowe zyski

ekonomiczne firm znikają:

π = (p-AC(y*)) y* = 0

17-18 MDZ

Ćwiczenia

17. W branży, w której istnieje bariera wyjścia, spadek ceny rynkowej poniżej przeciętnego kosztu zmiennego

[a] spowoduje uruchomienie mechanizmu wzrostu ceny

[b] spowoduje zrekompensowanie firmom utraty zysków

[c] spowoduje zmianę definicji kosztu zmiennego tak, by uwzględnić w nim amortyzację środków trwałych

[d] nasili tendencję do wzrostu bezrobocia


18 W modelu branży z identycznymi przedsiębiorstwami, koszt produkcji u pojedynczego wytwórcy wynosi TC(y)=y3-20y2+101y,

gdzie y – wielkość produkcji. Krzywa popytu dana jest wzorem p=200-Y, gdzie p – cena, zaś Y – podaż pochodząca łącznie

ze wszystkich przedsiębiorstw. Proszę obliczyć, ile przedsiębiorstw może na takim rynku funkcjonować.

19-20 MDZ

Monopol

Maksymalizacja zysku: maxy{p(y)y-TC(y)} = maxy{R(y)-TC(y)}

Warunek pierwszego rzędu:

MR(y*) = MC(y*),

gdzie MR = dR/dy – krańcowy przychód.

MR(y) = p(y) + dp(y)/dy y = p(y)(1 + (dp(y)/dy):(p/y)) = p(y)(1 + 1/ε(y))

Polityka cenowa monopolisty:

Marża (mark-up): p(y*) = MC(y*)/(1+1/ε(y*))

19-20 MDZ

Monopol (c.d.)

Różnicowanie cen (price discrimination)

Pierwszego stopnia (doskonałe) – sprzedaż po cenach granicznych

Drugiego stopnia – różne ceny dla różnych jednostek towaru

Trzeciego stopnia – różne ceny dla różnych kategorii nabywców

19-20 MDZ

Ćwiczenia

19. Różnicowanie cen pierwszego stopnia

[a] może być praktykowane tylko przez cenobiorców

[b] pozwala na równy podział nadwyżki ekonomicznej pomiędzy nabywców i sprzedawców

[c] pozwala monopoliście na przejęcie całej nadwyżki ekonomicznej

[d] nie pozwala na osiągnięcie takiej nadwyżki ekonomicznej, jak na rynku doskonale konkurencyjnym


20. Proszę przeanalizować kryteria różnicowania cen w internetowych systemach zakupu biletów transportowych. Czy te kryteria

wiążą się z niedostatkami konkurencji?

21-22 MDZ

Rynek czynników produkcji

Maksymalizacja zysku firmy:

Maxx1,x2{pf(x1,x2)-(w1x1+w2x2)},

p – cena produktu, w1, w2 – ceny czynników produkcji.

Warunki pierwszego rzędu (dla cenobiorcy):

pMPi(x1*,x2

*) = wi

(krzywe popytu na czynniki)

Krańcowy produkt w ujęciu wartościowym (Marginal Revenue Product, MRP):

MRPi = ∂R/∂xi = ∂(pf(x1,x2)/∂xi = (d(py)/dy)∂y/∂xi = MR MPi = p(1+1/ε)MPi

21-22 MDZ

Rynek czynników produkcji (c.d.)

Monopson na rynku czynników – warunki pierwszego rzędu (dla cenobiorcy na

rynku produktu):

pMPi(x1*,x2

*) = wi(1+1/εi),

gdzie εi = dxi/dwi : xi/wi (elastyczność podaży czynnika produkcji i)

Wniosek: popyt na czynniki produkcji na rynku monopsonistycznym jest

mniejszy niż na rynku konkurencyjnym (krzywa popytu na rynku

konkurencyjnym, pMPi(x1*,x2

*) = wi, ma po prawej stronie liczbę mniejszą)

21-22 MDZ


21-22 MDZ


Lc – zatrudnienie na konkurencyjnym rynku pracy

Lu – zatrudnienie na uzwiązkowionym rynku pracy

Lm – zatrudnienie na rynku pracy kontrolowanym przez monopson

wc – płaca na konkurencyjnym rynku pracy

W przypadku monopsonu i jednoczesnego uzwiązkowienia należy się

spodziewać płacy w przedziale [wm,wu], zależnie od siły przetargowej

pracodawcy i związków zawodowych

21-22 MDZ

Ćwiczenia

21. Monopson na "uzwiązkowionym" rynku siły roboczej

[a] umożliwia wynegocjowanie płacy wyższej, aniżeli byłaby wystarczająca dla wchłonięcia danej ilości siły roboczej

[b] pozwala na zmniejszenie skali bezrobocia

[c] polega na narzuceniu odpowiednio zaostrzonych standardów bezpieczeństwa i higieny pracy

[d] jest możliwy tylko wówczas, gdy po stronie pracodawcy istnieje odpowiednio silna reprezentacja


22. Dlaczego wyprowadzone na wykładzie warunki pierwszego rzędu dla maksymalizacji zysku, pMPi(x1*,x2*) = wi obowiązują

tylko dla cenobiorcy.

23-24 MDZ

Równowaga ogólna a cząstkowa

Zasób początkowy (alokacja początkowa) konsumenta i: ωi1, ωi2,

Popyt brutto (alokacja końcowa) konsumenta i: xi1, xi2,

Popyt nadwyżkowy konsumenta i: xi1-ωi1, xi2-ωi2,

Alokacja osiągalna – spełniająca układ równań:

x11+x21 = ω11+ω21,

x12+x22 = ω12+ω22.

Prostokąt Edgewortha (Edgeworth box)

Dwóch konsumentów i dwa dobra

szerokość prostokąta = ω11+ω21,

wysokość prostokąta = ω12+ω22.

23-24 MDZ

Równowaga ogólna a cząstkowa (c.d.)

Twierdzenie. Na rynku doskonale konkurencyjnym, jeśli konsumenci mają

wypukłe krzywe obojętności, równowaga ustali się w prostokącie Edgewortha w

punkcie styczności krzywych obojętności tych konsumentów. Współczynnik

kierunkowy stycznej w tym punkcie równa się (co do wartości bezwzględnej)

proporcji cen równowagi p*1/p*2.

23-24 MDZ


OA

OB

10

5

8

2

IB(8)

6

IA(18)

X*

X0

3

23-24 MDZ


Rysunek ilustruje następującą sytuację. Krzywe obojętności konsumenta A,

IA(), dane są wzorem x2A=/x1A, zaś krzywe obojętności konsumenta B, IB(),

dane są wzorem x2B=/x1B (,>0 – parametry); dodatkowo zakładamy, że

całkowita ilość dobra pierwszego wynosi 10, zaś drugiego – 5. Ponadto

zakładamy, że wykres odpowiada początkowej alokacji dobra pierwszego 8:2,

zaś drugiego – 2:3 (punkt X0). Przechodzą przez niego dwie krzywe obojętności:

x2A=16/x1A (=16) oraz x2B=6/x1B (=6). Konsument A preferowałby znaleźć się

na wyższej krzywej obojętności, powiedzmy w punkcie (9,3), czyli na krzywej

obojętności x2A=27/x1A (=27). Ale równocześnie konsument B też chciałby mieć

więcej wszystkiego, powiedzmy (3,4), a więc na krzywej obojętności x2B=12/x1B

(=12). Nie jest jednak możliwe jednoczesne spełnienie tych preferencji.

23-24 MDZ


Rozwiązaniem, które mogłoby umieścić obu konsumentów w położeniu, które

byłoby przez nich obu jednocześnie preferowane (należy w tym celu rozwiązać

układ równań) jest: x1A*=6, x2A*=3, x1B*=4, x2B*=2, =18, =8, p= p1/p2 =0,5.

Konsumenci A i B są, odpowiednio, na krzywych obojętności IA(18) i IB(8), i jest

to dla każdego z nich położenie preferowane w stosunku do X0. Widać również z

rysunku, że nie mogą jednocześnie poprawić swej sytuacji. Innymi słowy,

(6,4,3,2) stanowi optimum Pareto. Jest wiele cen równowagi, które umożliwiają

takie rozwiązanie, np. p1=1, p2=2, albo p1=7, p2=14, albo p1=0,5, p2=1 itd., byleby

p1/p2=p=0,5.

23-24 MDZ

Ćwiczenia

23. Modele równowagi cząstkowej znajdują zastosowanie przy analizie gospodarki

[a] tylko w długim okresie czasu

[b] w odniesieniu do stosunkowo wyizolowanego sektora

[c] zagregowanej do sektorów, które są od siebie nawzajem zależne

[d] istotnie zależnej od handlu międzynarodowego


24. Na wykresie wykorzystywanym na wykładzie alokacja wyjściowa scharakteryzowana jest czwórką (8;2;2;3), zaś optimum

Pareto czwórką (6;4;3;2). Proszę uzasadnić że alokacja (7;3,2,5;2,5) jest przez obydwu konsumentów preferowana

(względem alokacji wyjściowej), ale nie stanowi równowagi rynkowej, ani optimum Pareto.

25-26 MDZ

Ekonomia dobrobytu

Alokacja osiągalna w gospodarce z produkcją:

x11+x21 = ω11+ω21+y1,

x12+x22 = ω12+ω22+y2,

gdzie y2 suma produkcji netto (tj. po potrąceniu zużycia w procesie produkcji)

dobra i.

25-26 MDZ

Ekonomia dobrobytu (c.d.)

Pierwsze twierdzenie ekonomii dobrobytu. Równowaga na rynku doskonale

konkurencyjnym może się ustalić tylko w położeniu optymalnym w sensie

Pareto.

Drugie twierdzenie ekonomii dobrobytu. Jeśli podmioty występujące na rynku

są cenobiorcami, konsumenci mają wypukłe krzywe obojętności, a producenci

wypukłe zbiory produkcyjne, to każde optimum Pareto może być osiągnięte

jako punkt równowagi rynkowej przy pewnej proporcji cen i pewnej alokacji

początkowej.

25-26 MDZ

Ćwiczenia

25. Twierdzenia ekonomii dobrobytu ustalają nieomalże równoważność równowagi rynkowej i optimum Pareto. Głębokość tych

twierdzeń wynika stąd, iż

[a] ekonomiści podkreślają znaczenie założeń o wypukłości relacji gospodarczych

[b] ekonomiści zauważają, że nawet na rynku niekonkurencyjnym możliwe jest osiągnięcie równowagi

[c] optimum Pareto określone jest bez odwoływania się do kategorii rynkowych

[d] istotna jest tylko proporcja cen, a nie absolutny ich poziom


26. Proszę sprawdzić, że przejście od alokacji (8;2;2;3) do (7;3,2,5;2,5) jest możliwe po cenach równoważących sprzedaż i zakup

(p1/p2=0,5), ale nie stanowi równowagi rynkowej.

27-28 MDZ

Efekty zewnętrzne

Efekt zewnętrzny (externality) –

gdy zysk firmy zależy nie tylko od podejmowanych przez nią decyzji;

albo

gdy użyteczność konsumenta zależy nie tylko od podejmowanych

przez niego decyzji (ilości i cen nabywanych produktów)

Efekt zewnętrzny powstaje, jeśli nie ma rynku na obrót jego nośnikiem (np. na

skutek niezdefiniowania praw własności)

27-28 MDZ

Efekty zewnętrzne (c.d.)

Koszt (efekt) społeczny = koszt (efekt) prywatny + koszt (efekt) zewnętrzny

Optimum Pareto: max{TSB-TSC}, gdzie TSB Total Social Benefits, TSC Total

Social Cost. Warunki pierwszego rzędu: MSB=MSC, gdzie MSB=TSB' oraz

MSC=TSC'. Krańcowy koszt zewnętrzny (Marginal External Cost), MEC=MSC-

MPC; MPC – Marginal Private Cost.

Jeśli popyt nie jest sztywny, zaś MPC<MSC (tj. MEC>0), to x*<x0, gdzie x*

optimum społeczne (Pareto), zaś x0, optimum prywatne. Równowaga rynkowa

nie ustali się w optimum Pareto (rynek nie będzie efektywny, tzw. Market

Failure; na rysunkach zakreskowano utratę nadwyżki ekonomicznej).

Ujemny efekt zewnętrzny (koszt): x0 < x*

p

x 0 x0

MSC

MPC

MB

x*

MSC(x0)

MPC(x0)

p

x 0

MC

MPB

x* x0

MSB

MPB(x0)

MSB(x0)

Dodatni efekt zewnętrzny: x0 > x*

p

x 0

MC

MSB

x0 x*

MPB

MSB(x0)

MPB(x0)

p

x 0 x*

MPC

MSC

MB

x0

MPC(x0 )

MSC(x0 )

27-28 MDZ

Efekty zewnętrzne (c.d.)

Twierdzenie Coase'a. Jeśli prawa własności są dobrze zdefiniowane a koszty

transakcyjne są dostatecznie małe, to efekt zewnętrzny może stać się

przedmiotem wymiany i nieefektywność rynku zostanie wyeliminowana.

Jeśli twierdzenie Coase'a nie ma zastosowania, to eliminacja nieefektywności

wymaga jakiegoś rodzaju ingerencji w rynek, np.:

regulacja ilościowa, tj. nakaz, by x≤ x* (jeśli efekt zewnętrzny jest

ujemny); lub

podatek Pigou (Pigouvian Tax, PT), PT(x)=MEC(x*)x.

27-28 MDZ

Ćwiczenia

27. Z twierdzenia Coase'a można wywnioskować, że

[a] stawka podatku Pigou powinna być równa krańcowym szkodom powodowanym przez efekt zewnętrzny

[b] reakcja emitujących zanieczyszczenia jest niezależna od tego, czy naliczane za nie opłaty stanowią koszt produkcji, czy też

są potrącane z zysku po opodatkowaniu

[c] działalność powodująca zanieczyszczenia powinna być opodatkowana na ogólnych zasadach

[d] przy pewnych założeniach, uzasadniony ekonomicznie poziom ochrony środowiska może być osiągnięty bez podatku Pigou


28. Funkcje całkowitych prywatnych i społecznych kosztów produkcji wynoszą, odpowiednio, TPC(x) = x2+x+6, TSC(x) = 2x+2x2.

Natomiast funkcja prywatnych i społecznych korzyści z tytułu produkcji wynosi TPB(x) = TSB(x) = 20xx2. (a) Proszę podać

stawkę podatku Pigou PT(x) mającego na celu eliminację nieefektywności rynku spowodowanej istnieniem kosztów

zewnętrznych. (b) Proszę również podać, jak zmieni się produkcja x pod działaniem takiego podatku. (c) Czy podatek trzeba

nałożyć na wszystkie produkowane jednostki? Jeśli odpowiedź byłaby "nie" – to dlaczego?

29-30 MDZ

Dobra publiczne

Zasada niewykluczalności (non-exclusion) – nikogo nie można wykluczyć z

możliwości wykorzystania dobra

Zasada niekonkurencyjności (non-rivalry) – jednostka dobra może być

jednocześnie wykorzystywana przez więcej niż jeden podmiot

Dobro publiczne – spełnia zasadę niewykluczalności i niekonkurencyjności

"Jazda na gapę" (free-riding) – darmowe wykorzystanie dobra publicznego

spowodowane zasadą niewykluczalności

29-30 MDZ

Dobra publiczne (c.d.)

Warunek pierwszego rzędu: MRS112+MRS2

12+=-p1/p2, gdzie 1 – dobro

publiczne, 2 – dobro prywatne, zaś MRSi12 – krańcowa stopa substytucji i-tego

konsumenta pomiędzy dobrem publicznym a prywatnym

Jeśli jako dobro 2 przyjąć zagregowane dobro prywatne o cenie jednostkowej

(np. pieniądz), to warunek pierwszego rzędu redukuje się do:

MB1+MB2=MC

29-30 MDZ

Dobra publiczne (c.d.)

29-30 MDZ

Ćwiczenia

29. Przykładem "jazdy na gapę" jest

[a] kupowanie warzyw, korzystając z rabatu

[b] udział w referendum sfinansowanym z podatków płaconych przez kogoś innego

[c] korzystanie z dobra, którego podaż została sfinansowana przez kogoś innego

[d] jazda samochodem kierowanym przez kogoś innego


30. Dobrem klubowym nazywa się dobro spełniające zasadę niekonkurencyjności, ale nie spełniające zasady niewykluczalności.

Proszę podać przykłady takich dóbr i zaproponować sposoby wyeliminowania "jazdy na gapę".

Odpowiedzi do pytań o numerach parzystych

2. Dla liniowych krzywych popytu i podaży x*=(a-c)/b+d) oraz p*=(ad+bc)/(b+d). Aby te rozwiązania miały sens ekonomiczny,

a>c (w przeciwnym razie krzywe podaży i popytu nie przetną się dla dodatniego x).

4. Nie mogą się przecinać. Gdyby istniał XI1 oraz XI2, przy czym I1 I2, to z pierwszej relacji i z definicji krzywej obojętności

wynika, że dla każdego YI1 o ma miejsce: X Y. Ale z drugiej relacji i z definicji krzywej obojętności wynika, że dla każdego

ZI2 ma miejsce: X Z. Z przechodniości indyferencji wynika więc również, że dla wszelkich koszyków YI1 oraz ZI2

zachodzi: Y Z. Innymi słowy I1 oraz I2, składają się z identycznych punktów. Jeśli więc mają chociaż jeden punkt wspólny,

to muszą to identyczne.

6. Niech f będzie ową dowolną funkcją ściśle rosnącą. Z definicji funkcji użyteczności, u(X) ≥ u(Y) wtedy i tylko wtedy, gdy X ≥k

Y. Żeby zakończyć dowód, wystarczy wykazać, że u(X) ≥ u(Y) wtedy i tylko wtedy, gdy f(u(X)) ≥ f(u(Y)) (bo wtedy złożona

funkcja f(u(.))też będzie zachowywała ten sam porządek preferencji). Ale z definicji funkcji rosnącej wynika, że u≥v pociąga

za sobą f(u)≥f(v). Z kolei ze ścisłej monotoniczności wynika, że f jest różnowartościowa. Stąd zaś wynika, że istnieje do niej

funkcja odwrotna f-1. Ta funkcja odwrotna jest także różnowartościowa. A jako również rosnąca, musi być ściśle rosnącą.

Wykażemy teraz, że f(u)≥f(v) pociąga za sobą u≥v. Wystarczy w tym celu dla obu stron pierwszej nierówności obliczyć

wartość f-1(.); ze ścisłej monotoniczności będzie wynikać, że nierówność zostanie zachowana. Ale f-1f(u)=u oraz f-1f(v)=v, co

kończy dowód. Zauważmy teraz, że logarytm (przy podstawie większej od 1, np. logarytm naturalny lub dziesiętny) jest

funkcją ściśle rosnącą. Stosując więc do niego udowodnione przed chwilą twierdzenie, wnioskujemy, że zlogarytmowanie

dowolnej (dodatniej) funkcji użyteczności wyznacza inną funkcję użyteczności zgodną z tymi samymi preferencjami.

8. Stosując oznaczenia z wykładu, m=28, p1=2, p2=1 oraz u(x1,x2)=min{x1,3x2}. Funkcja użyteczności jest więc funkcją

Leontieva, implikującą, że oba dobra są ściśle komplementarne; konsument powinien je nabywać w stałej proporcji – na 1

jednostkę dobra nr 2 wypadają 3 jednostki dobra nr 1. Tak więc zakup x2 wymaga zakupu 3x2 jednostek dobra nr 1. Koszt

zakupu takiego "kompletu" wynosi 6x2+1x2 czyli 7x2. Aby znaleźć x2 Wystarczy rozwiązać równanie 7x2=28. Stąd x2=4, zaś

x1=3x2, czyli 12.

10. Rewaloryzacja o 10% pozwoliła na wzrost wydatków mierzony indeksem M=1,1 (oznaczenia jak na wykładzie). Indeks cen

Laspeyres'a wynosi Lp=185/180=1,03. Na podstawie kryterium podanego na wykładzie, skoro Lp≤M, to nowy koszyk nie jest

gorszy od starego. Ten sam wynik otrzyma się na mocy następującego rozumowania, które nie wymaga znajomości

indeksów. Nowy koszyk nie był możliwy do kupienia w dawnej sytuacji, bo był za drogi (4x18+2x72=216 > 180=2x50+4x20),

ale stary koszyk jest możliwy do kupienia w nowej sytuacji (5x25+1,5x40=185 < 198=5x18+1,5x72); a jednak został wybrany

nie stary, tylko nowy, co oznacza, że w nowej sytuacji gospodarstwo na pewno nie ma się gorzej.

12. Zgodnie ze wzorem podanym na wykładzie, dR/dp = Q(1 + ε). Innymi słowy, przyrost przychodu wynosi nie Q, tylko jest

zmodyfikowany przez (1 + ε). Nawiasem mówiąc, elastyczność cenowa jest zazwyczaj ujemna, a więc 1 + ε<1, czyli przyrost

jest mniejszy niż można byłoby oczekiwać na skutek wzrostu ceny. Dzieje się tak dlatego, że wzrost ceny spowoduje spadek

popytu, a więc zmniejszenie liczby jednostek, które można sprzedać.

14. Dla technologii liniowej, a więc dla funkcji produkcji wyznaczonej wzorem f(x1, x2, …, xn) = a1x1 + a2x2 +…+ anxn, krańcowe

produkty wynoszą MPi=ai. Z kolei z podanego na wykładzie twierdzenia otrzymujemy TRSij = -MPi/MPj=-aj/ai.

16. Jest możliwe. Zauważając, że wykres MC leży poniżej wykresu AC tam, gdzie AC jest malejącą funkcją oferowanej podaży

(zaś powyżej tam, gdzie AC jest rosnącą funkcją oferowanej podaży), należy postawić pytanie, czy jest możliwe, że koszt

przeciętny spada cały czas wraz ze wzrostem produkcji. Ma to miejsce przy założeniu, że produkcja charakteryzuje się

rosnącymi przychodami ze skali.

18. Skoro TC(y)=y3-20y2+101y, to AC(y)= y2-20y+101. AC jest więc funkcją malejącą dla y<10 i rosnącą dla y>0; dla y=10 osiąga

minimum, które wynosi 1. W modelu branży z identycznymi przedsiębiorstwami, długookresowa krzywa podaży jest stała i

odpowiada cenie p=1. Biorąc pod uwagę krzywą popytu daną wzorem p=200-Y, równowaga nastąpi dla podaży Y=199.

Skoro pojedyncze przedsiębiorstwo oferuje w równowadze podaż y=10, to na rynku teoretycznie może się utrzymać 19,9

przedsiębiorstw. Jednak ich liczba musi być całkowita. A zatem model przewiduje funkcjonowanie 19 lub 20 przedsiębiorstw;

jeśli będzie ich 19, to ich podaż będzie nieco niższa od równowagowej, cena nieco wyższa, co spowoduje zachętę, żeby

doszło jeszcze kolejne; jeśli zaś będzie ich 20, to podaż będzie nieco wyższa od równowagowej, cena nieco niższa, co

spowoduje zachętę, żeby jedno z tych przedsiębiorstw opuściło rynek.

20. Monopolizacja rynku umożliwia różnicowanie cen i niektóre przypadki przedsprzedaży biletów w internecie na tym właśnie

polegają. Klienci o niższych cenach granicznych mają – być może – tendencję do ustalenia daty podróży z dużym

wyprzedzeniem, więc warto im zaoferować cenę niższą. Jednak w innych przypadkach przeważają zapewne inne motywy

polityki cenowej. Na przykład można oferować niewielkiej liczbie klientów cenę znacznie niższą od równowagowej (i

uzasadnionej kosztami) po to, aby zainteresować klientów swoją firmą i skłonić ich, żeby pamiętali jej nazwę przy

kontemplowaniu jakiejś podróży w przyszłości.

22. Wyprowadzenie warunków pMPi(x1*,x2*) = wi polega na przyrównaniu do zera pochodnych cząstkowych funkcji zysku

pf(x1,x2)-(w1x1+w2x2). W otrzymanym wzorze zakłada się, że wszystkie ceny p oraz w1 i w2 są parametrami (nie

kontrolowanymi przez producenta).

24. Skoro krzywe obojętności odpowiadają izokwantom x2A=/x1A (dla konsumenta A) i x2B=/x1B (dla konsumenta B), to funkcje

użyteczności mogą być dane przez uA(x1A,x2A)=x1Ax2A oraz uB(x1B,x2B)=x1Bx2B (proszę zauważyć, że to nie są jedyne możliwe

wzory; np. można te iloczyny podnieść do kwadratu, zlogarytmować, albo poddać jakiejkolwiek ściśle rosnącej transformacji).

Alokacja (7;3,2,5;2,5) jest preferowana przez obydwu konsumentów względem (8;2;2;3), ponieważ A ma (7;2,5) zaś B –

(3;2,5), co pierwszemu pozwala na przyrost użyteczności z 16 do 16,5, a drugiemu z 6 do 7,5. Nie stanowi jednak równowagi

rynkowej; gdyby bowiem dokonać odpowiedniej wymiany, to jednostka pierwszego dobra musiałaby być warta połowie

jednostki drugiego: (p2/p1)=2. Tymczasem przy takiej proporcji cen konsument A chciałby rzeczywiście przejść z (8;2) do

(7;2,5), ale B wolałby przejść z (2;3) do (4:2). Do równowagi zatem by nie doszło (bo ich zamierzenia nie są zgodne).

Alokacja (7;3,2,5;2,5) nie stanowi również optimum Pareto. Ta realizuje się przy alokacji (6;4;3;2), która stanowi równowagę

rynkową przy wyjściowej alokacji (8;2;2;3). Powyższe konkluzje można obliczyć arytmetycznie, ale są również widoczne w

diagramie Edgewortha.

26. Rzeczywiście przejście od alokacji (8;2;2;3) do (7;3,2,5;2,5) jest możliwe po cenach p1/p2=0,5, bo wtedy jednostka dobra

drugiego jest warta tyle, co dwie jednostki dobra pierwszego. Nie są to jednak ceny równowagi (zob. odp. do pyt. 24).

Również nie zostaje osiągnięte optimum Pareto (zob. odp. do pyt. 24).

28. Przy podanych wzorach: (a) MPT = 7 (tyle bowiem wynosi MSC-MPC dla x*=3); (b) Produkcja spadnie z xM=4,75 do x*=3; (c)

Nie. Stawka podatku ma wynosić MPT=7. Natomiast może on być naliczany od dowolnego progu, np. xthreshold=3; wtedy kwota

podatku do zapłacenia przez producenta operującego na poziomie społecznie optymalnym wyniesie 0.

30. Jeżeli dobro spełnia zasadę niekonkurencyjności, to znaczy, że ta sama jego jednostka może być jednocześnie

wykorzystywana przez różnych użytkowników. Gdyby jeszcze spełniało zasadę niewykluczalności (a więc byłoby dobrem

publicznym), to w następstwie "jazdy na gapę" jego podaż byłaby niedostateczna. Jednak możliwość wykluczenia likwiduje

"jazdę na gapę". Od użytkowników można pobierać opłaty za dostęp, będące warunkiem wykorzystania (tak jakby to było

sprzedawane dobro prywatne). W ten sposób reguluje się dostęp np. do pływalni; wstęp mają członkowie "klubu", a ich

liczebność może być jednorazowo ograniczona tak, aby obecni pozwalali na wykorzystanie infrastruktury także przez innych

obecnych.

Wykłady z mikroekonomii dla doktorantów zaocznych

Documents

Transcript of Wykłady z mikroekonomii dla doktorantów zaocznych