1

Wykład VZderzenia

2

III zasada dynamiki Newtona

3

III zasada dynamiki Newtona

4

Zasada zachowania pędu

Jeśli układ cząstek jest izolowany, to całkowity pęd układu nie zmienia się

.t constP

dt

dP

bo

i

pidt

d i

p

dt

d i

i

iwyp,F

i ij

ijF

0

5

Zasada zachowania pędu

2112 FF

F21

F12

1

2

Z III zasady dynamiki Newtona:

dt

d 112

pF

dt

d 221

pF

0

0)(

0

21

21

21

dt

ddt

ddt

d

dt

ddt

d

dt

d

p

pp

pp

pp

constp

6

• Zderzenia nie zmieniają całkowitego pędu układu cząstek.

Zderzenia

nieelastyczne elastyczne(maksimum strat

energii kinetycznej)(nie ma strat

energii kinetycznej)

7

Jeśli cząstki przed lub po zderzeniu mają te same prędkości to zderzenie jest nieelastyczne.

f11i22i11 mmmm vvv

Jeśli całkowita energia nie zmienia się to zderzenie jest elastyczne.

f22f11i22i11 mmmm vvvv

2

vm

2

vm

2

vm

2

vm 2f22

2f11

2i22

2i11

8

Zagadka. Jaki jest kąt miedzy kierunkami ruchu kul bilardowych pozderzeniu?

v1f

v1i

v2f

v v v1 1 2i f f

2

m

2

m

2

m 2f2

2f1

2i1 vvv

v v v1

212

22

i f f

(1)

(2)

podstawiając v v v v v v1

222

1 2 12

222f f f f f f

Zasada zachow. pędu

Zasada zachow. energiistąd

v v1 2 0f f

90°

9

Zderzenia sprężyste centralne-przykład

)v)(vv(vm)v(vmvm

)v(vmvm

vm21

vm21

vm21

vmvmvm

aaa2a

2a

2bb

aabb

2bb

2aa

2a

bbaaa

b a a a

b a

m (v v ) m (v v )

v (v v )

vmm

2mv

vmm

mmv

ba

ab

ba

baa

v vama mb vb

10

Przykład 1ma<<mb

vv

vv

b

a

ma>>mb

v2v

vv

b

a

11

Przykład 2

ma= mb

vv

0v

b

a

Ciało, które się poruszało zatrzymuje się : oddaje cały swój pęd i energię kinetyczną ciału spoczywającemu.

12

Wnioski

)v(vv ab

vb-va - prędkość względna po zderzeniu;

v – jest równa prędkości B względem A przed zderzeniem, ale ze znakiem minus;

Wniosek:Prędkości względne przed i po zderzeniu są takie same co do

wartości bezwzględnej, ale mają przeciwne zwroty.

)vv(vv a1b1a2b2

Powyższe jest prawdziwe nawet jeśli obydwa ciała poruszają się przed zderzeniem.

13

)vv(vv a1b1a2b2

6.294.106.96.9vvvv a1b1b2a2

Efekt procy

14

Ruch ciał o zmiennej masie - rakieta

Rys.a) Skladowa x –owapedu rakiety w chwili t: P1= mv

Rys b) vex – prędkość wypływu gazów względem rakiety;

W czasie dt masa rakiety maleje o dm; ( dm<0 ); -dm (-dm>0 – masa wypływających gazów);

Składowa x-owa gazów vfuel względem obserwatora na ziemi:

vfuel= v + (-vex)= v - vex

15

Ruch ciał o zmiennej masie - rakieta Składowa x – owa pędu wypływających gazów:

(-dm)vfuel = (-dm)(v – vex)

Po czasie dt, prędkość rakiety i paliwa ( niezużytego) wzrasta do v + dv, zaś masa maleje do m + dm (pamiętamy, że dm<0). Pęd rakiety wynosi wówczas:

(m + dm)(v + dv)

Całkowity pęd P2 rakiety i wyrzuconych gazów w chwili t + dt:

P2= (m + dm)(v + dv) + (-dm)(v – vex)

Rakieta wraz z paliwem stanowi uklad izolowany, więc pęd całkowity musi być zachowany:

P1= P2

mv = (m + dm)(v + dv) + (-dm)(v – vex)Po uproszczeniu mamy:

mdv = -dmvex – dmdv

~0

16

Ruch ciał o zmiennej masie - rakieta

mdv = -dmvex (1)

Dzieląc (1) przez dt:

F = mdv/dt = -vexdm/dt

F nazywa się siłą ciągu.

Jeśli dodatkowo działa jakaś siła zewnętrzna

Przyśpieszenie rakiety:

a = dv/dt = -(vex /m)dm/dt >0

Masa rakiety maleje w sposób ciągły w miarę zużywania się paliwa. Jeśli vex i dm/dt są stałe to przyśpieszenie rośnie aż do wyczerpania zapasu paliwa.

zewndt

dm

dt

dm Fu

v

17

Ruch ciał o zmiennej masie - rakieta

mm

lnvmm

lnvvv 0ex

0ex0

Niech vex = const, i dla t = 0 m = m0 oraz v = v0. Z (1):

dv = -vex dm/m

Po scałkowaniu:

v

v

m

m

m

m

exex

0 00m'

dm'v

m'dm'

vdv'

Równanie Ciołkowskiego