Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 1

Wykład 29

WARIANT ROBOCZY

Względność.

Teoria względności składa się właściwie z dwóch różnych teorii: szczególnej teorii względności i

ogólnej teorii względności. Szczególna teoria względności przedstawiona przez Einsteina i innych w

1905 roku dotyczy porównania pomiarów wykonanych w dwóch różnych układach inercjalnych

poruszających się ze stałą prędkością względem siebie. Wnioski z niej wynikające, wyprowadzone

na bazie prostych przekształceń matematycznych mają zastosowanie w szeregu sytuacji w fizyce i

inżynierii. Z drugiej strony ogólna teoria względności przedstawiona około 1916 roku przez

Einsteina dotyczy układów podlegających przyspieszeniu i grawitacji. Dokładne zrozumienie tej

teorii wymaga znajomości zaawansowanej matematyki, a jej zastosowania dotyczą głównie dziedzin

związanych z grawitacją. Ma ona ogromne znaczenie w kosmologii, jednak rzadko spotykana jest w

innych dziedzinach fizyki i inżynierii. W wykładzie tym głównie zajmiemy się szczególną teorią

względności.

29.1 Zasada względności Galileusza.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że nie ma różnicy między cząstką znajdującą się w

spoczynku i poruszającą się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Jeżeli nie działają zewnętrzne

siły, to cząstka pozostanie w swoim pierwotnym stanie – albo w spoczynku, albo poruszając się ze

stałą prędkością. Cząstka pozostająca w spoczynku względem ciebie, porusza się względem

obserwatora, który porusza się względem ciebie. Jak można określić czy cząstka i ty znajdujecie się

w spoczynku, a drugi obserwator porusza się, lub odwrotnie; drugi obserwator pozostaje w

spoczynku, a ty i cząstka poruszacie się?

Rozważmy prosty eksperyment. Załóżmy, że mamy wagon kolejowy poruszający się po prostych

torach kolejowych ze stałą prędkością V. Pamiętamy, że jeżeli piłka znajduje się w spoczynku

względem wagonu to pozostaje w spoczynku. Jeżeli puścimy piłkę, to spadnie ona pionowo

podlegając przyspieszeniu ziemskiemu g. Oczywiście jeżeli patrzymy z układu związanego z torami,

to piłka będzie poruszać się po paraboli, ponieważ ma prędkość początkową V w kierunku

poziomym. Żaden eksperyment mechaniczny na przykład mierzenie okresu wahadła, obserwowanie

zderzenia dwóch ciał, itp., nie odpowie nam, czy wagon się porusza, a tory są w spoczynku, czy tory

się poruszają, a wagon jest w spoczynku. Jeżeli mamy jeden układ współrzędnych związany z

wagonem, i drugi związany z torami, to zasady dynamiki Newtona będą spełnione w obu układach.

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 2

Układy współrzędnych związane z danymi ciałami (wagon, tory) nazywamy układami

odniesienia. Układ odniesienia, w którym spełnione są zasady dynamiki Newtona nazywamy

układem inercjalnym odniesienia. Wszystkie układy odniesienia poruszające się względem układu

inercjalnego ze stałą prędkością (oczywiście pamiętamy, że prędkość jest wektorem) są również

inercjalne. Jeżeli mamy dwa układy inercjalne poruszające się względem siebie ze stałą prędkością,

to nie istnieje żaden mechaniczny eksperyment, który byłby w stanie stwierdzić, który z dwu

układów spoczywa, a który się porusza lub czy oba się poruszają. Ten wniosek zwany jest jako

zasada względności Galileusza:

Nie można zaobserwować ruchu absolutnego.

Zasada względności Galileusza.

Zasada ta była znana już w siedemnastym wieku. Pod koniec dziewiętnastego wieku pogląd ten

uległ jednak zmianie. Zaczęto wtedy sądzić, że zasada względności Galileusza nie jest słuszna i ruch

absolutny może być zmierzony poprzez pomiar prędkości światła.

Eter i prędkość światła.

Z wcześniejszych wykładów wiemy, że prędkość fali zależy od własności ośrodka, w którym

rozchodzi się fala, a nie od prędkości źródła fali. Na przykład prędkość dźwięku względem

nieruchomego powietrza zależy od temperatury powietrza. Światło i inne fale elektromagnetyczne

(fale radiowe, promieniowanie rentgena, itp.) poruszają się w próżni z prędkością 𝑐 ≈ 3 ∙ 108𝑚/𝑠,

zostało to przewidziane przez teorię elektromagnetyzmu Maxwella. Ale względem czego jest to

prędkość? Co jest ekwiwalentem nieruchomego powietrza w próżni? Zaproponowany ośrodek dla

propagacji fal nazwano eterem; sądzono, że wypełnia całą przestrzeń. Prędkość światła względem

eteru przyjmowano jako równą c, tak jak to przewidywały równania Maxwella. Prędkość dowolnego

obiektu względem eteru przyjmowano jako prędkość absolutną.

W 1887 Albert Michelson i Edward Morley przedstawili pomiar prędkości Ziemi względem eteru

za pomocą genialnego eksperymentu, w którym prędkość światła względem Ziemi była

porównywana z dwoma promieniami ; jeden w kierunku ruchu Ziemi względem Słońca i drugi w

kierunku prostopadłym do kierunku ruchu Ziemi. Pomimo wyjątkowo dokładnych pomiarów nie

zaobserwowali żadnych różnic. Ich eksperyment był wielokrotnie powtarzany wiele razy w różnych

warunkach i przez różnych ludzi i mimo tego nigdy nie zarejestrowano najmniejszych różnic.

Absolutnego ruchu Ziemi względem eteru nie można było zarejestrować.

29.2 Postulaty Einsteina.

W 1905 roku Albert Einstein opublikował artykuł na temat elektrodynamiki poruszających się

ciał. W artykule tym wysunął postulat, że ruch absolutny nie może być zaobserwowany za pomocą

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 3

żadnego eksperymentu. Oznacza to, że nie ma żadnego eteru. Ziemia mogłaby być nieruchoma, a i

tak prędkość światła byłaby taka sama we wszystkich kierunkach. Jego postulaty można

sformułować w prosty sposób:

Postulat 1. Nie można zarejestrować prędkości absolutnej.

Postulat 2. Prędkość światła jest niezależna od prędkości źródła.

Postulaty Einsteina.

Postulat 1. Jest po prostu rozszerzeniem zasady względności Galileusza uwzględniającym wszystkie

typy pomiarów fizycznych (nie tylko mechaniczne). Postulat 2. Opisuje dobrze znaną własność

wszystkich fal. Na przykład prędkość dźwięku nie zależy od ruchu źródła dźwięków.

Mimo, iż oba postulaty wyglądają na całkiem

sensowne, to wiele wniosków z nich wynikających

jest całkiem zaskakująca i przeciwstawia się temu

co nazywamy zdrowym rozsądkiem. Na przykład,

jedną z ważnych implikacji tych postulatów jest

fakt, że każdy z obserwatorów zawsze zmierzy taką

samą wartość prędkości w próżni, bez względu czy się porusza czy znajduje w spoczynku. Weźmy

pod uwagę źródło światła S i obserwatora R1 nieruchomego względem S i obserwatora R2

poruszającego się w kierunku S z prędkością v jak pokazuje to rysunek 29.1a. Prędkość zmierzona

przez obserwatora R1 wynosi 𝑐 = 3 ∙ 108𝑚/𝑠. Jaka jest prędkość zmierzona przez obserwatora R2?

Odpowiedzią nie jest c+v. Na podstawie postulatu 1. rysunek 29.1a musi być ekwiwalentny

rysunkowi 29.1b, na którym R2 znajduje się w spoczynku, a źródło S i R1 poruszają się z prędkością

v. Jest tak ponieważ prędkość absolutna nie może wykryta, nie jest możliwe stwierdzenie, który z

obserwatorów porusza się, a który spoczywa. Na podstawie postulatu 2. Wynika, że prędkość

światła jest niezależna od tego, czy źródło porusza się czy nie. Tak więc patrząc na rysunek 29.1b,

widzimy, że R2 zmierzy taką samą prędkość światła c, taką zmierzy obserwator R1. Wniosek ten

często używany jest jako alternatywne sformułowanie drugiego postulatu:

Postulat 2: We wszystkich układach inercjalnych prędkość światła ma tę samą wartość c.

Postulat ten stoi w sprzeczności z naszym intuicyjnym pojęciem względności ruchu. Jeżeli samochód

oddala się z prędkością 50km/h, a drugi porusza się w tym samym kierunku z prędkością 80km/h, to

prędkość drugiego samochodu względem pierwszego wynosi 30km/h. Jednak, zgodnie z postulatami

Einsteina, jeżeli promień światła porusza się w kierunku ruchu samochodów, to obserwatorzy w obu

Rysunek 29.1

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 4

samochodach zmierzą te same prędkości promienia świetlnego. Nasze intuicyjne pojęcie na temat

tego jak zachowują się prędkości jest usprawiedliwione tylko gdy prędkości są małe w porównaniu z

prędkością światła.

29.3. Transformacja Lorentza.

Z postulatów Einsteina wynikają ważne wnioski dotyczące

pomiaru odstępów czasu, odcinków przestrzeni i względnych

prędkości. Zajmiemy się porównaniem pomiarów położeń i czasów

zdarzeń (takich jak błysk światła) wykonanych przez obserwatorów

poruszających się względem siebie. Będziemy używać prostokątnego

układu współrzędnych xyz z początkiem w O zwanego układem

odniesienia S i układu x’y’z’ z początkiem w O’ zwanego układem

odniesienia S’, który porusza się względem układu S z prędkością V

.

Względem układu S’ układ S porusza się ze stałą prędkością -V

. Dla

uproszczenia będziemy zakładać, że układ S’ porusza się wzdłuż

dodatniego kierunku x względem S. Będziemy również zakładać, że

w każdym układzie znajduje się nieodzowna ilość obserwatorów

potrzebnych do dokonania odpowiednich pomiarów i każdy z nich wyposażony jest takie przyrządy

jak zegary i linijka, które są identyczne, jeżeli porównać je w stanie spoczynku (Rysunek 29.2).

Zastosujemy postulaty Einsteina w celu znalezienia ogólnego związku między współrzędnymi x, y,

z i czasem t zdarzenia widzianego w układzie S, a współrzędnymi x’, y’, z’ i czasem t’ tego samego

zdarzenia widzianym w układzie S’, który porusza się ze stałą prędkością względem S. Zakładamy, że

w chwili początkowej t = t’ = 0. Klasyczny związek między tymi współrzędnymi dany jest

transformacją Galileusza:

x = x’ + Vt, y = y’, z = z’, t = t’ 29.1a.

Trasformacja odwrotna ma postać :

x’ = x - Vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t 29.1b.

Równania te są zgodne z danymi doświadczalnymi, jeżeli V jest dużo mniejsza niż c. Otrzymujemy z

nich dobrze znaną klasyczną zależność łączącą prędkości. Jeżeli cząstka ma prędkość ux = dx/dt w

układzie S, to jej prędkość w układzie S’ wynosi:

Rysunek 29.2

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 5

VuVdt

dx

dt

dx

dt

dxu xx

'

'

'' 29.2.

Po zróżniczkowaniu otrzymujemy, że przyspieszenia w obu układach są takie same:

xx

x adt

du

dt

dua '

'

Widać, że transformacja Galileusza nie zgadza się z postulatami Einsteina. Jeżeli światło porusza się

wzdłuż osi x z prędkością ux’ = c w układzie S’, to z równań tych otrzymujemy, że prędkość światła w

układzie S wynosi ux = c + V, a nie ux = c, co zgadza się z postulatem Einsteina i doświadczeniem.

Zatem transformację Galileusza należy tak zmodyfikować, aby była zgodna z postulatem Einsteina.

Zastanówmy się jak to zrobić.

Załóżmy, że transformacja dla x w szczególnej teorii względności jest taka sama jak klasyczna

(równanie 1a.) oprócz stałego mnożnika po prawej stronie:

x = γ(x’ + Vt’) 29.3.

gdzie γ jest stałą zależną od V i c ale nie zależy od współrzędnych. Transformacja odwrotna będzie

miała postać:

x’ = γ(x - Vt) 29.4.

Rozważmy błysk światła, który ma miejsce w początku układu współrzędnych S w chwili t = 0.

Ponieważ zakładamy, że układy pokrywają się w chwili początkowej t = t’ = 0, to błysk również ma

miejsce w początku układu S’ w t’ = 0. Postulaty Einsteina wymagają, aby równanie dla współrzędnej

x frontu fali pochodzącego od błysku światła wynosiło x = ct w układzie S i x’ = ct’ w układzie S’.

Podstawiając za x ct i za x’ ct’ do równań 29.3. i 29.4. otrzymujemy:

ct = γ(ct’ +Vt’) = γ(c + V)t’ 29.5.

I

ct’ = γ(ct -Vt) = γ(c - V)t 29.6.

Po pozbyciu się t i t’ otrzymujemy wyrażenie na γ:

22 c/V1

1

29.7.

Zwróćmy uwagę, że γ jest zawsze większe od 1 i kiedy V jest dużo mniejsze od c, to 1 . W

rezultacie w szczególnej teorii względności transformacja współrzędnych dana jest równaniami 29.3. i

29.4., gdzie γ dane jest równaniem 29.7. Możemy otrzymać równania na t i t’ podstawiając x = γ(x’ +

Vt’) do równania 29.4. otrzymujemy:

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 6

x’ = γ[γ(x’ + Vt’) - Vt], 29.8.

z czego możemy wyliczyć t.

Ostateczna postać transformacji w szczególnej teorii względności ma postać:

'Vt'xx , y = y’, z = z’ 29.9

2

2

c

Vx'tt

29.10

Transformacja Lorentza.

Transformacja odwrotna ma postać:

Vtx'x , y’ = y, z’ = z 29.11

2

2

c

Vxt't

29.12

Powyższe transformacje noszą nazwę transformacji Lorentza. Podają one związek między

współrzędnymi przestrzennymi x, y, z i czasem t zdarzenia w układzie S, a współrzędnymi

przestrzennymi x’, y’, z’ i czasem t’ zdarzenia w układzie S’, który porusza się z prędkością V

względem S.

Przyjrzymy się zastosowaniom transformacji Lorentza.

Dylatacja czasu.

Rozważmy dwa zdarzenia zachodzące w punkcie x0’ w chwilach t1’ i t2’ w układzie S’. Z równania

29.10. możemy znaleźć chwile t1 i t2 dla tych wydarzeń w układzie S:

2

011

c

'Vx'tt

i

2

022

c

'Vx'tt

W rezultacie:

t2 – t1 = γ(t2’ – t1’)

Czas między dwoma wydarzeniami, które miały miejsce w tym samym miejscu układu współrzędnych

nazywa się czasem własnym tp. W tym konkretnym przypadku czasem własnym jest przedział czasu

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 7

t2’ – t1’ zmierzony w układzie S’. Przedział czasu Δt zmierzony w każdym innym układzie

współrzędnych jest zawsze dłuższy niż czas własny. To wydłużenie czasu nazywa się dylatacją czasu:

2/1 cV

ttt p

29.13

Dylatacja czasu.

Przykład 1.

Dwa zdarzenia zachodzą w tym samym punkcie x0’ w chwilach t1’ i t2’ w układzie S’, który porusza

się z prędkością V względem S. Jaka jest odległość przestrzenna między tymi wydarzeniami w

układzie S?

Rozwiązanie. Odległość tę x2 – x1 w układzie S znajdziemy podstawiając równanie 9.

1. Położenie x1 w układzie S w chwili t1’ dane jest równaniem x1 = γ(x0’ + Vt1’)

2. Analogicznie, w chwili t2’ x2 = γ(x0’ + Vt2’)

3. Odejmując stronami otrzymujemy x2 –x1 = γV(t2’ – t1’) = V(t2 – t1)

Uwaga. Odległość przestrzenna tych dwóch wydarzeń w układzie S jest równa odległości, jaką

pokonuje pojedynczy punkt, taki jak x0’ w układzie S’, poruszający się w układzie S w ciągu

przedziału czasu między tymi zdarzeniami.

Dylatację czasu możemy zrozumieć bezpośrednio z postulatów Einsteina, bez odwoływania się do

transformacji Lorentza. Rysunek 29.3a. przedstawia obserwatora A’ w odległości D od zwierciadła.

Obserwator i zwierciadło znajdują się w statku kosmicznym, który znajduje się w spoczynku w

układzie S’. Obserwator wywołuje błysk światła i mierzy odstęp czasu Δt’ między jego powstaniem a

powrotem po odbiciu od zwierciadła. Ponieważ światło porusza się z prędkością c, to czas ten wynosi:

c

D2't

Rozpatrzmy teraz te same dwa wydarzenia obserwowane w układzie S, w którym obserwator A’ i

zwierciadło poruszają się z prędkością V jak pokazano na rysunku 29.3b. Zdarzenia te wydarzą się w

dwóch różnych miejscach x1 i x2 w układzie S. W ciągu przedziału czasu Δt (mierzonego w S) między

powstaniem błysku, a jego powrotem, obserwator A’ i jego statek przebędą w kierunku poziomym

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 8

drogę V Δt. Widzimy, że droga przebyta przez światło w układzie S jest większa niż w układzie S’.

Jednak, zgodnie z postulatem Einsteina światło porusza się z taką samą prędkością c zarówno w

układzie S, jak i Układzie S’. Ponieważ w układzie S przebywa dłuższą drogę poruszając się z tą samą

prędkością, to więcej czasu upłynie aż osiągnie zwierciadło i powróci do obserwatora. Przedział czasu

w układzie S jest zatem dłuższy niż w układzie S’. Z trójkąta na rysunku 29.3c. mamy:

2

2

2

2

tVD

2

tc

lub

2222 c/V1

1

c

D2

Vc

D2t

Podstawiając Δt’ = 2D/c otrzymamy:

'tc/V1

'tt

22

Skrócenie długości.

Zjawiskiem ściśle powiązanym z dylatacją czasu jest zjawisko relatywistycznego skrócenia długości.

Długość obiektu mierzonego w układzie odniesienia, w którym obiekt znajduje się w spoczynku

nazywa się długością własną Lw. W układzie odniesienia, w którym obiekt porusza się zmierzona

długość jest mniejsza niż długość własna. Rozpatrzmy pręt znajdujący się w spoczynku w układzie S’,

którego współrzędne końców wynoszą x2’ i x1’. Długość własna pręta w tym układzie wynosi Lw = x2’

– x1’. Należy uważnie podejść do zagadnienia badając długość pręta w układzie S. W tym układzie

pręt porusza się z prędkością układu S’ V. Długość pręta w układzie S zdefiniowana jest jako L = x2 –

x1, gdzie x2 jest położeniem jednego końca w pewnym momencie t2, a x1 jest położeniem drugiego

końca w tej samej chwili t1 = t2 zmierzonej w układzie S. Wygodnie jest użyć równanie 29.11, aby

obliczyć x2 – x1 dla tej samej chwili:

𝑥2′ = 𝛾 𝑥2 − 𝑉𝑡2

i

Rysunek 29.3

zwierciadło

zwierciadło

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 9

𝑥1′ = 𝛾 𝑥1 − 𝑉𝑡2

Ponieważ t1 = t2, to otrzymamy:

𝑥2′ − 𝑥1

′ = 𝛾 𝑥2 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1 =1

𝛾 𝑥2

′ − 𝑥1′ = 1 − 𝑉2/𝑐2 𝑥2

′ − 𝑥1′

lub

L =1

γLP = 1 − V2/c2LP 29.24

Skrócenie długości.

Tak więc, długość pręta jest mniejsza kiedy jest mierzony w układzie, w którym się porusza.

Przed publikacją artykułu Einsteina Lorenz i Fitzgerald próbowali zerowy wynik doświadczenia

Michelsona – Morleya poprzez założenie, że odległości w kierunku ruchu ulegają skróceniu zgodnie z

zależnością 29.14. To skrócenie nazywa się obecnie skróceniem Lorentza – Fitzgeralda.

Ciekawym przykładem dylatacji czasu lub skrócenia długości jest obecność mionów w

promieniowaniu kosmicznym. Miony zanikają zgonie ze statystycznym prawem zaniku:

𝑁 𝑡 = 𝑁0𝑒−𝑡/𝜏 29.25

gdzie N0 jest początkową liczbą mionów w chwili t = 0, N(t) jest ich ilością pozostającą po czasie t, a

τ jest średnim czasem życia, który wynosi około dla mionów w spoczynku. Ponieważ miony

powstają (z rozpadu pionów) wysoko w atmosferze, zwykle kilka tysięcy metrów powyżej poziomu

morza, to bardzo mała ich ilość powinna osiągnąć poziom morza. Typowy mion poruszający się z

prędkością 0,9978c powinien przebyć jedynie 600m w ciągu 2μs. Jednak ich średni czas mierzony w

układzie odniesienia związanym z Ziemią ulega zwiększeniu razy czynnik 1/ 1 − 𝑉2/𝑐2, który jest

równy w przypadku tej prędkości. Dlatego też średni czas życia mierzony w układzie związanym z

Ziemią wynosi 30μs i w związku z tym mion

poruszający się z prędkością 0,9978c przebędzie

w tym czasie około 9000m. Z punktu widzenia

mionu, żyje on tylko 2μs, jednak względem nich

atmosfera porusza się do tyłu z prędkością

0,9978c. Odległość 9000m w układzie związanym

z Ziemią ulega skróceniu do 600m w układzie

związanym z mionem. Pokazuje to rysunek 29.4.

Łatwo policzyć ze wzoru 29.25, że po czasie t potrzebnym do dotarcia mionów do powierzchni

Ziemi, gdyby nie było efektu relatywistycznego powinna przetrwać ich około 31 z początkowej ich

ilości 100 milionów. Tymczasem obserwuje się ich około 37 milionów docierających do poziomu

morza. Ta liczba dobrze zgadza się teorią, jeżeli uwzględnić efekty relatywistyczne opisane wyżej.

Mion

Mion

Rysunek 29.4

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 10

29.4 Synchronizacja zegarów i jednoczesność.

Jak było wcześniej wspomniane czas własny, to czas między dwoma zdarzeniami, które zachodzą

w tym samym punkcie układu odniesienia. Dlatego może być on zmierzony za pomocą pojedynczego

zegara. Jednak w innym układzie odniesienia poruszającym się względem pierwszego te same

zdarzenia zachodzą w różnych miejscach, dlatego potrzebne są dwa zegary do zapisu czasów. Czas

każdego zdarzenia jest mierzony na innym zdarzeniu i przedział czasu znajduje się poprzez odjęcie

czasów wskazanych przez oba zegary. Taka procedura wymaga aby zegary były zsynchronizowane.

Pokażemy, że:

Dwa zegary, które są zsynchronizowane w jednym układzie odniesienia, nie są

zsynchronizowane w żadnym innym układzie poruszającym się względem pierwszego układu.

Wnioskiem z tego jest:

Dwa zdarzenia, które są jednoczesne w jednym układzie odniesienia, nie są jednoczesne w innym

układzie poruszającym się względem pierwszego.

Zrozumienie tych faktów zwykle rozwiązuje wszystkie paradoksy szczególnej teorii względności.

Niestety, intuicyjna (i nieprawidłowa) wiara, że jednoczesność jest absolutnym związkiem jest trudna

do przezwyciężenia.

Załóżmy, że mamy dwa zegary w spoczynku w punkcie A i B w odległości L od siebie w układzie

S. W jaki sposób możemy zsynchronizować te dwa zegary? Jeżeli obserwator przy zegarze A patrzy

na zegar B i ustawi swój zegar, tak aby wskazywał ten sam czas co B, to zegary nie będą

zsynchronizowane, z powodu czasu L/c jaki upłynie zanim światło dotrze z jednego zegara do

drugiego. Aby zsynchronizować zegary obserwator A musi ustawić swój zegar do przodu o czas L/c.

Wtedy będzie on widział, że zegar B wskazuje czas, który późni się w stosunku do jego zegara o L/c,

jednak obliczy, że oba zegary są zsynchronizowane po uwzględnieniu czasu L/c, który jest potrzebny

aby światło dotarło do niego. Każdy inny obserwator, oprócz równooddalonych od tych zegarów,

stwierdzą, że oba zegary wskazują różne czasy, jednak również mogą obliczyć, że oba zegary są

zsynchronizowane, jeżeli uwzględnią czas jaki upłynie zanim światło dotrze do nich. Równoważnym

sposobem synchronizacji dwóch zegarów może być taki, że obserwator znajduje się w punkcie C

pośrodku między tymi zegarami i wysyła jednocześnie sygnał świetlny do obserwatorów przy

zegarach A i B. Gdy sygnał dociera do obserwatorów oba zegary są ustawiane na z góry zaplanowaną

godzinę.

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 11

Zbadajmy teraz problem jednoczesności. Załóżmy, że A i B uzgodnili, iż wystrzelą z pistoletu

sygnalizacyjnego w chwili t0 (mając wcześniej zsynchronizowane swoje zegary). Obserwator C

zobaczy światło z obu wystrzałów i ponieważ jest on równoodległy od A i B i stwierdzi, że oba błyski

są równoczesne. Inni obserwatorzy w układzie S będą widzieć najpierw błysk z A lub B, w zależności

od ich położenia, jednak po uwzględnieniu poprawek na czas jaki światło potrzebuje na dotarcie do

nich, również stwierdzą, że oba błyski były równoczesne. Możemy w związku z tym zdefiniować

jednoczesność jako:

Dwa zdarzenia w danym układzie odniesienia są jednoczesne, jeżeli sygnały świetlne z tych

zdarzeń osiągają obserwatora równoodległego od nich w tym samym czasie.

Definicja jednoczesności.

W celu pokazania, że dwa zdarzenia, które są

jednoczesne w układzie S nie są jednoczesne w

układzie S’ poruszającym się względem układu S

posłużymy się przykładem przedstawionym przez

Einsteina. Pociąg porusza się z prędkością V

względem peronu. Załóżmy, że pociąg jest w

spoczynku w S’ i peron jest w spoczynku w S.

Mamy obserwatorów A’, B’ i C’ na początku

końcu i pośrodku pociągu. Załóżmy teraz, że

pociąg i peron zostają uderzone przez piorun z

przodu i tyłu pociągu i, że oba błyski są

jednoczesne w układzie związanym z peronem

S (Rysunek 29.5). Oznacza to, że obserwator

stojący po środku peronu widzi między

punktami A i B, w które uderzają oba pioruny,

widzi oba błyski jednocześnie. Wygodnie jest

założyć, że oba pioruny nadpalają i pociąg i

peron, dzięki czemu oba zdarzenia można

łatwo zlokalizować. Ponieważ C’ jest w

połowie drogi między miejscami w pociągu,

gdzie zostały wypalone znaki, to te zdarzenia

są jednoczesne w S’, tylko w tym wypadku,

Rysunek 29.5

S S’

A

LP

V

B C

A’ B’ C’

Pociąg

Rysunek 29.6

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 12

jeżeli C’ widzi te zdarzenia jednocześnie. Jednak błysk na początku pociągu jest obserwowany przez

C’ przed błyskiem na końcu pociągu Można to zrozumieć analizując ruch C’ obserwowany z układu

S (Rysunek 29.6). Zanim światło z przedniego błysku osiągnie C’, C’ zdąży przebyć pewną

odległość w kierunku przedniego błysku i oddali się o pewną odległość od tylnego błysku. Tak więc,

światło z tylnego błysku nie zdąży dotrzeć do C’ tak jak to widać na rysunku. Dlatego też obserwator

C’ musi w związku z tym wywnioskować, że zdarzenia te nie są jednoczesne i, że w początek

pociągu piorun uderzył wcześniej niż w tył. Co więcej, wszyscy obserwatorzy w S’ w pociągu

zgodzą się z C’ kiedy uwzględnią poprawkę na czas potrzebny, aby światło dotarło do nich.

Rysunek 29.7 przedstawia sytuację uderzeń piorunów widzianą w układzie odniesienia pociągu

(S’). W układzie tym peron porusza się, w rezultacie czego odległość między uderzeniami piorunów

w peron ulega skróceniu. Peron jest krótszy niż układzie S i ponieważ pociąg znajduje się w

spoczynku, pociąg jest dłuższy niż jego skrócona długość w układzie S. Kiedy piorun uderza w

początek pociągu w A’, początek pociągu jest w punkcie A, a tył pociągu nie dotarł jeszcze do B.

Później, kiedy piorun uderza w tył pociągu w B’, jego tył osiąga punkt B na peronie.

Niezgodność dwóch zegarów zsynchronizowanych w układzie S, a obserwowane w układzie S’

można policzyć wykorzystując równania transformacji Lorentza. Załóżmy, że mamy dwa zegary w

punkcie x1 i x2, które są zsynchronizowane w S. Jaki jest czas t1 i t2 wskazywany przez te zegary,

jeżeli są one obserwowane w układzie S’ w chwili t1’? Z równania 29.12 otrzymujemy:

𝑡0′ = 𝛾 𝑡1 −

𝑉𝑥1

𝑐2

i

𝑡0′ = 𝛾 𝑡2 −

𝑉𝑥2

𝑐2

Wtedy

𝑡2 − 𝑡1 =𝑉

𝑐2 𝑥2 − 𝑥1

Zwróćmy uwagę, że spieszący się zegar (w x2) wyprzedza pierwszy (w x1) o wielkość, która jest

proporcjonalna do długości własnej Lp = x2 – x1.

Rysunek 29.7

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 13

Jeżeli dwa zegary są zsynchronizowane w układzie, w którym znajdują się w spoczynku, to nie

będą zsynchronizowane w innym układzie. W układzie odniesienia, w którym zegary poruszają

się spieszący się zegar spieszy się (pokazujący późniejszy czas) o

𝚫𝐭𝐒 = 𝐋𝐏𝐕

𝐜𝟐 , 29.16

gdzie LP długością własną między zegarami.

Przykład liczbowy pozwoli lepiej zrozumieć dylatację czasu, synchronizację czasu i wewnętrzną

spójność otrzymanych wyników.

Przykład 1.

Obserwator w statku kosmicznym ma lampę błyskową i zwierciadło jak pokazane jest na rysunku

29.3. Odległość między lampą a zwierciadłem wynosi 15 minut świetlnych i statek porusza się w

układzie S’ z prędkością V = 0,8c względem bardzo długiego peronu w układzie S, który posiada

dwa zsynchronizowane zegary, jeden w położeniu x1 statku, kiedy obserwator wytwarza błysk lampą

i drugi w położeniu x2 statku, kiedy światło wraca do lampy odbite od lustra. Znajdź przedział czasu

między tymi zdarzeniami (błyskiem i powrotem do lampy) (a) w układzie odniesienia statku i (b) w

układzie platformy. (c) Znajdź odległość przebytą przez statek i (d) o ile zegary na peronie nie są

zsynchronizowane z punktu widzenia statku.

(a) 1. W statku kosmicznym światło porusza się z lampy ∆𝑡′ =𝐷

𝑐=

30𝑐∙𝑚𝑖𝑛

𝑐= 30𝑚𝑖𝑛

do zwierciadła i z powrotem, całkowita odległość

wynosi D = 30c∙min. Czas wynosi D/c

2. Ponieważ zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu, ∆𝑡𝑃 = 30𝑚𝑖𝑛

to otrzymany przedział czasu jest czasem własnym:

(b) 1. W układzie S czas między zdarzeniami jest dłuższy: ∆𝑡 = 𝛾∆𝑡′ = 𝛾 ∙ 30𝑚𝑖𝑛

2. Oblicz γ 𝛾 =1

1−𝑉2 𝑐2 =

1

1− 0,8 2=

5

3

3. Użyj wartości γ do obliczenia czasu między

Zdarzeniami w układzie S ∆𝑡 = 𝛾∆𝑡𝑃 =5

3∙ 30𝑚𝑖𝑛 = 50𝑚𝑖𝑛

(c) 1. Odległość przebyta przez statek w układzie S

Poruszający się z prędkością V w czasie Δt: 𝐷 = 𝑉 ∙ ∆𝑡 = 0,8𝑐 50𝑚𝑖𝑛 = 40𝑐 ∙ 𝑚𝑖𝑛

2. Odległość jest odległością własną między

zegarami na peronie: 𝐿𝑃 = 𝐷 = 40𝑐 ∙ 𝑚𝑖𝑛

(d) Wartość czasu, o którą różnią się zegary na

peronie od zegarów zsynchronizowanych,

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 14

a które znajdują się w odległości LP ∆𝑡𝑆 = 𝐿𝑃𝑉

𝑐2=

40𝑐∙𝑚𝑖𝑛 0,8𝑐

𝑐2= 32𝑚𝑖𝑛

Uwagi. Obserwatorzy na peronie powiedzą, że zegar statku kosmicznego spóźnia się ponieważ

wskazuje czas tylko 30min między zdarzeniami, podczas gdy czas zmierzony na peronie wynosi

50min. Rysunek 29.8 przedstawia sytuację widzianą ze statku kosmicznego w S’. Peron porusza się

w kierunku tyłu statku Z prędkością 0,8C. Jeden zegar znajduje się w punkcie x1, który pokrywa się

ze statkiem w momencie gdy lampa błyskowa błyska, a drugi znajduje się w x2, który pokrywa się ze

statkiem gdy światło wraca po odbiciu od zwierciadła. Załóżmy, że zegar w punkcie x1 wskazuje

12:00 w momencie kiedy następuje błysk światła. Zegary w x1 i x2 są zsynchronizowane w S ale nie

są w S’. W S’ zegar w x2,

który spieszy się,

wyprzedza zegar w x1 o

32min, czyli będzie

wskazywać 12:32

odczytaną przez

obserwatora w S’. W

momencie gdy statek

pokrywa się z x2, zegar

wskaże 12:50. Dlatego też czas między zdarzeniami wynosi 50min w układzie S. Zwróć uwagę, że

według obserwatora w S’ zegar ten odmierzy 50min – 32min = 18min rejestrując drogę, która trwa w

S’ 30min. W rezultacie obserwatorzy w S’ widzą zegary, które chodzą wolniej 30/18 = 5/3 razy.

Każdy obserwator w jednym układzie widzi, że zegary w drugim układzie odniesienia chodzą

wolniej. Według obserwatorów w S, którzy zmierzą 50-cio minutowy przedział czasu, przedział

czasu w S’ (30min) jest zbyt mały, czyli widzą pojedynczy zegar w S’, który spóźnia się 5/3 razy.

Według obserwatorów w układzie S’, obserwatorzy w S mierzą czas, który jest zbyt długi pomimo

faktu, że ich zegary chodzą zbyt wolno ponieważ zegary w S nie są zsynchronizowane. Zegary

odmierzą jedynie 18min, ale drugi wyprzedza pierwszy o 32min, czyli przedział czasu wynosi 50min.

29.5 Transformacja prędkości.

Możemy znaleźć transformację prędkości z jednego układu do drugiego poprzez zróżniczkowanie

równań transformacji Lorentza współrzędnych. Załóżmy, że cząstka ma prędkość 𝑢𝑥′ =

𝑑𝑥 ′

𝑑𝑡 ′ w

układzie S’, który porusza się w prawo z prędkością V względem układu S. Prędkość cząstki w

układzie S wynosi:

𝑢𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡

Z równań 29.9 i 29.10 mamy:

Zwierciadło Zwierciadło

Rysunek 29.8

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 15

𝑑𝑥 = 𝛾(𝑑𝑥′ + 𝑉𝑑𝑡′)

i

` 𝑑𝑡 = 𝛾(𝑑𝑡′ +𝑉𝑑𝑥 ′

𝑐2 )

Zatem prędkość w S jest równa:

𝑢𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝛾 𝑑𝑥 ′ +𝑉𝑑𝑡 ′

𝛾 𝑑𝑡 ′ +𝑉𝑑𝑥 ′

𝑐2 =

𝑑𝑥 ′

𝑑𝑡 ′+𝑉

1+𝑉

𝑐2𝑑𝑥 ′

𝑑𝑡 ′

=𝑢𝑥′ +𝑉

1+𝑉𝑢𝑥

′

𝑐2

Jeżeli cząstka ma składowe wzdłuż osi y lub z, to podobnie możemy policzyć składowe prędkości:

𝑢𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑𝑦′

𝛾 𝑑𝑡′ +𝑉𝑑𝑥′𝑐2

=

𝑑𝑦′𝑑𝑡′

1 +𝑉𝑐2

𝑑𝑥′𝑑𝑡′

=𝑢𝑦′

1 +𝑉𝑢𝑥

′

𝑐2

i

𝑢𝑧 =𝑢𝑧′

1+𝑉𝑢𝑥

′

𝑐2

Ostatecznie transformacja prędkości ma postać:

𝐮𝐱 =𝐮𝐲′ +𝐕

𝟏+𝐕𝐮𝐱

′

𝐜𝟐 29.17a

𝐮𝐲 =𝐮𝐲′

𝛄 𝟏+𝐕𝐮𝐱

′

𝐜𝟐 29.17b

𝐮𝐳 =𝐮𝐳′

𝛄 𝟏+𝐕𝐮𝐱

′

𝐜𝟐 29.17c

Transformacja odwrotna prędkości:

𝐮′𝐱 =𝐮𝐱−𝐕

𝟏−𝐕𝐮𝐱

𝐜𝟐 29.17a

𝐮′𝐲 =𝐮𝐲

𝛄 𝟏−𝐕𝐮𝐱

𝐜𝟐 29.17b

𝐮′𝐳 =𝐮𝐳

𝛄 𝟏−𝐕𝐮𝐱

𝐜𝟐 29.17c

Równania te różnią się od intuicyjnych klasycznych równań ponieważ mianowniki nie są równe 1.

Jeżeli V i ux’ są małe w porównaniu z prędkością światła c, to 𝛾 ≈ 1 i 𝑉𝑢𝑥′ /𝑐2 ≪1. Wtedy

relatywistyczne i klasyczne wyrażenia są takie same.

Przykład 2.

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 16

Jedna rakieta porusza się z prędkością V = 0,8c względem nas wzdłuż osi x, a druga rakieta porusza

się wzdłuż osi x w tym samym kierunku co pierwsza z prędkością 0,8c względem pierwszej rakiety.

Jak szybko porusza się druga rakieta względem nas?

Należy użyć transformacji 29.17a: ux =uy′ +V

1+V u x

′

c 2 =

0,8c+0,8c

1+ 0,8c (0,8c )

c 2 = 0,98c

Jak widać wynik ten jest zupełnie inny o intuicyjnego klasycznego rezultatu. Jak zobaczymy dalej,

musi tak być, ponieważ do rozpędzenia ciała do prędkości światła potrzeba nieskończenie wielkiej

energii.

Przykład 3.

Dwa statki kosmiczne każdy mający

100m długości zmierzonej kiedy

znajdują się w spoczynku poruszają

się naprzeciw siebie z prędkościami

0,85c względem Ziemi. (a) Ile wynosi

długość każdego ze statków mierzona

przez kogoś na Ziemi? (b) Jak szybko

porusza się każdy ze statków

względem obserwatora na jednym ze

statków? (c) Jaka jest długość każdego ze statków jeżeli mierzona jest przez obserwatora na statku?

(d) W chwili t = 0 na Ziemi początki statków pokrywają się – zaczynają się wymijać. Po jakim czasie

na Ziemi wyminą się.

Analiza. (a) Długość statków zmierzona na Ziemi ulega skróceniu i wynosi L = 1 − V2/c2LP . Aby

rozwiązać (b) przyjmijmy, że Ziemia jest w układzie odniesienia S i statek po lewej stronie znajduje

się w układzie S’ i porusza się z prędkością V = 0,85c względem Ziemi. Drugi statek po prawej

stronie porusza się z prędkością ux = -0,85c względem Ziemi (Rysunek 29.9). (c) Długość każdego ze

statków widziana z drugiego jest równa L = 1 − V22/c2LP gdzie V2 jest prędkością jednego statku

względem drugiego.

(a) Długość każdego ze statków widziana z układu L = 1 − V2/c2LP = związanego

z Ziemią jest równa długości własnej podzielonej = 1 − (0,85c)2/c2 100m =

przez γ: = 52,7𝑚

(b) Użyj transformacji prędkości, aby znaleźć u′x =ux−V

1−V u xc 2

=−0,85c−0,85c

1− 0,85c (−0,85c )

c 2 =

prędkość ux’ statku po prawej zmierzonej w układzie S’: = −0,987𝑐

(c) W układzie statku, prawy statek porusza się z L = 1 −V2

2

c2 LP 1 −(0,987c)2

c2 100m

Ziemia

Rysunek 29.9

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 17

prędkością V2 = -0,987c. Użyj jej do obliczenia długości = 16,1𝑚

statku prawego:

(d) Jeżeli początki statków pokrywają się w chwili t = 0 na 𝑡 =𝐿

𝑉=

52,7𝑚

0,85𝑐= 2,07 ∙ 10−7𝑠.

Ziemi, to ich końce pokryją się po czasie jaki zajmie

każdemu ze statków przebycie drogi równej długości

statku jaki jest widziany z Ziemi:

29.6 Relatywistyczny pęd.

Jak widzieliśmy postulaty Einsteina wymagają istotnej modyfikacji pojęcia jednoczesności i

pomiaru długości i czasu. Równie ważnej modyfikacji wymagają pojęcia masy, pędu, czy energii. W

mechanice klasycznej pęd cząstki jest iloczynem masy i prędkości 𝑝 = 𝑚𝑢 , gdzie 𝑢 jest prędkością.

W izolowanych układach, w których nie działają żadne siły pęd układu pozostaje stały.

Za pomocą prostego myślowego eksperymentu możemy się przekonać, że 𝑝 = 𝑚𝑢 nie jest

zachowany. Rozważmy dwóch

obserwatorów: obserwator A w

układzie S i obserwator B w układzie

S’, który porusza się na prawo w

kierunku x z prędkością V względem

układu S. Każdy z nich ma piłkę o

masie m. Piłki są jednakowe, jeżeli

porównywać, je w spoczynku. Jeden

obserwator rzuca swoją piłkę do góry z

prędkością u0 względem siebie, a drugi

rzuca swoją piłkę do dołu z prędkością u0 względem siebie. Obie piłki przebywają odległość L,

następuje zderzenie sprężyste i powrót. Rysunek 29.10 pokazuje jak wygląda zderzenie w każdym z

układów. Klasyczne każda piłka ma pęd o wartości mu0. Ponieważ pionowe składowe pędów są

równe i przeciwnie skierowane, to całkowity pęd w kierunku pionowym jest równy zero przed

zderzeniem. Zderzenie jedynie zmieni pędy na przeciwne, a zatem całkowity pęd pozderzaniu

również będzie równy zero.

Relatywistycznie, jednak, pionowe składowe prędkości tych dwóch piłek widziane przez każdego

obserwatora nie będą równe i przeciwne. Rozważmy zderzenie widziane przez A w układzie S.

Prędkość jego piłki wynosi uAy – u0. Ponieważ, prędkość piłki B w układzie S’ jest uBx’ = 0, uBy’=

= -u0, to składowa pionowa prędkości piłki B w układzie S będzie równa uBy = - u0/γ. W rezultacie

jeżeli wziąć klasyczną definicję pędu 𝑝 = 𝑚𝑢 , wtedy pionowe składowe pędu tych dwóch piłek nie

będą jednakowe dla obserwatora A. Ponieważ po zderzeniu ruch piłek zostaje odwrócony, to pęd

Rysunek 29.10

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 18

układu nie zostanie zachowany. Oczywiście ten sam wynik uzyska obserwator B. Dla przypadku

klasycznego, gdy u jest znacznie mniejsze od c, γ praktycznie równa się jeden i pęd w obu układach

jest zachowany.

Powód, dla którego całkowity pęd układu jest ważny w mechanice klasycznej, jest fakt, że jest

zachowany, jeżeli nie działają siły zewnętrzne, jak to ma miejsce w przypadku zderzenia. Jednak

widzieliśmy, że 𝑚𝑢 jest tylko zachowana, gdy 𝑢 ≪ 𝑐. Zdefiniujemy pęd relatywistyczny 𝑝 jako

wielkość posiadającą następujące własności:

1. W zderzeniach, 𝑝 jest zachowany.

2. Gdy u/c dąży do zera, to𝑝 dąży 𝑚𝑢 do .

Zobaczymy poniżej, że wielkość

𝑝 =𝑚𝑢

1−𝑢2/𝑐2 29.18

Jest zachowana w zderzeniu sprężystym pokazanym na rysunku 29.10. Ponieważ ta wielkość

również dąży do 𝑚𝑢 gdy u/c dąży do zera, to możemy przyjąć to wyrażenie jako definicją

relatywistycznego pędu cząstki.

Jedną z interpretacji 29.18 jest to, że masa obiektu wzrasta wraz z prędkością. Wielkość

𝑚/ 1 − 𝑢2/𝑐2 jest nazywana masą relatywistyczną. Masa cząstki kiedy znajduje się w spoczynku

w danym układzie odniesienia nazywa się masą spoczynkową m0. Masa spoczynkowa jest taka

sama we wszystkich układach odniesienia. W rezultacie możemy zapisać wzór definicyjny dla pędu

relatywistycznego w postaci:

𝐩 =𝐦𝟎𝐮

𝟏−𝐮𝟐/𝐜𝟐 29.19

Ilustracja zasady zachowania pędu relatywistycznego.

Policzmy składową y-ową relatywistycznego pędu każdej z cząstek w układzie S w zderzeniu z

rysunku 29.10 pokażmy, że y-owa składowa całkowitego pędu relatywistycznego wynosi zero.

Prędkość piłki A w S wynosi u0, zatem jej składowa y-owa pędu:

pAy =m 0u0

1−uo2 /c2

.

Prędkość piłki B w układzie S jest bardziej skomplikowana. Jej składowa x-owa jest równa V,

a składowa y-owa jest równa −u0/γ. Czyli:

uB2 = uBx

2 + uBy2 = V2 + − 1 − V2 c2 = V2 + u0

2 −u0

2V2

c2

Wykorzystując ten wynik, aby obliczyć 1 − uB2 /c2, otrzymujemy:

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 19

1 −uB

2

c2= 1 −

V2

c2−

u02

c2+

u02V2

c4= 1 −

V2

c2 1 −

u02

c2

i

1 − uB2 c2 = 1 − V2 c2 1 − u0

2 c2 = 1 γ 1 − u02 c2

Składowa y-owa relatywistycznego pędu piłki B widziana z układu S jest w rezultacie równa

pBy =muBy

1−uB2 c2

=−mu0/γ

1 γ 1−u02 c2

=−mu0

1−u02 c2

Ponieważ pBy = −pAy składowe y-owe całkowitego momentu pędu tych dwóch piłek jest równa

zero. Jeżeli prędkość każdej z piłek zmieni się na przeciwną po zderzeniu, to całkowity pęd

pozostanie zero i pęd ulegnie zachowaniu.

29.7 Energia relatywistyczna.

W mechanice klasycznej praca wykonana przez niezrównoważoną siłę działająca na cząstkę jest

równa zmianie energii kinetycznej cząstki. W mechanice relatywistycznej przyrównuje się

niezrównoważoną siłę do szybkości zmian pędu relatywistycznego cząstki. Można wtedy obliczyć

pracę wykonaną przez taką siłę i przyrównać ją do zmiany energii kinetycznej.

Tak samo jak w mechanice klasycznej, zdefiniujemy energię kinetyczną jako pracę wykonaną

przez niezrównoważoną siłę podczas przyspieszania cząstki od stanu spoczynku do pewnej

prędkości. Rozpatrując zagadnienie tylko w jednym wymiarze otrzymujemy:

𝐾 = 𝐹 𝑑𝑠𝑢

𝑢=0=

𝑑𝑝

𝑑𝑡𝑑𝑠 = 𝑢𝑑𝑝 = 𝑢𝑑

𝑚0𝑢

1−𝑢2 𝑐2

𝑢

0

𝑢

0

𝑢

𝑜, 29.20

Gdzie u =ds./dt. Różniczkując mamy:

𝑑 𝑚0𝑢

1−𝑢2 𝑐2 = 𝑚0 1 −

𝑢2

𝑐2 −3/2

𝑑𝑢

Jeżeli podstawimy to pod całkę w wyrażeniu 29.20, to otrzymamy

𝐾 = 𝑚0 1 −𝑢2

𝑐2 −3/2

𝑢𝑑𝑢 = 𝑚0𝑐2𝑢

0

1

1−𝑢2 𝑐2 − 1 29.21

lub

𝐊 =𝐦𝟎𝐜

𝟐

𝟏−𝐮𝟐 𝐜𝟐 −𝐦𝟎𝐜

𝟐 29.22

Relatywistyczna energia kinetyczna.

Wyrażenie na energię kinetyczną składa się z dwu czynników. Pierwszy czynnik zależy od

prędkości cząstki. Drugi, 𝐦𝟎𝐜𝟐 jest niezależny od prędkości. Wielkość m0c

2 nazywa się energią

spoczynkową E0 cząstki:

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 20

𝐄𝟎 = 𝐦𝟎𝐜𝟐 29.23

Energia spoczynkowa.

Całkowita energia relatywistyczna E jest zdefiniowana jako suma energii kinetycznej i energii

spoczynkowej:

𝐄 = 𝐊 + 𝐦𝟎𝐜𝟐 =

𝐦𝟎𝐜𝟐

𝟏−𝐮𝟐 𝐜𝟐 29.24

Energia relatywistyczna.

Tak więc praca wykonana przez niezrównoważoną siłę zwiększa energię od energii spoczynkowej

m0c2 do końcowej energii 𝑚𝑜𝑐

2/ 1 − u2 c2 = mrc2, gdzie mr = m0/ 1 − u2 c2 jest masą

relatywistyczną. Możemy otrzymać pożyteczne równanie na prędkość cząstki poprzez pomnożenie

równania 29.19 na pęd relatywistyczny przez c2 i porównanie wyniku z 29.24. Otrzymujemy

𝑝𝑐2 =m0c2u

1−u2 c2 = Eu

lub

𝐮

𝐜=

𝐩𝐜

𝐄 29.25

Energie w fizyce atomowej lub w jądrowej są wyrażane na ogół w jednostkach elektronowoltach

(eV) lub megaelektronowoltach (MeV):

1𝑒𝑉 = 1,6 ∙ 10−19𝐽

Wygodną jednostką dla mas jest eV/c2 lub MeV/c

2. W tabeli przedstawione są energie

spoczynkowe dla kilku cząstek elementarnych.

Energia spoczynkowa cząstek elementarnych

Cząstka Symbol Energia spoczynkowa, MeV

Foton γ 0

Elektron e 0,5110

Mion μ+

105,7

Pion π0 135

π+ 139,6

Proton p 938,280

Neutron n 939,573

Deuteron 2H lub d 1875,628

Tryton 3H lub t 2808,944

Hel-3 3He 2808,41

Cząstka α

4He lub α 3727,409

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 21

Wyrażenie na energię kinetyczną dane równaniem 29.22 nie jest zbyt podobne do klasycznego

równania 1

2𝑚0𝑢

2. Jednak kiedy u jest znacznie mniejsze od c możemy zapisać wartość przybliżoną

1/ 1 − u2 c2 stosując rozłożenie w szereg:

1 + 𝑥 𝑛 = 1 +𝑛𝑥

1!+

𝑛 𝑛−1 𝑥2

2!+ ⋯ ≈ 1 + 𝑛𝑥 29.26

Wtedy

1

1−u2 c2 = 1 −

u2

c2 −1/2

≈ 1 +1

2

u2

c2

Tak więc, kiedy u jest dużo mniejsze od c wzór na relatywistyczną energię kinetyczną przybiera

postać:

m0c2 1

1−u2 c2 − 1 ≈ m0c2 1 +

1

2

u2

c2 − 1 =1

2m0u2

Widać, że dla małych prędkości wyrażenie relatywistyczne ma taką samą postać jak klasyczne.

Zwróćmy uwagę, że jeżeli prędkość zbliża się do prędkości

światła c, to wyrażenie na energię cząstki staje się bardzo duże

(równanie 29.24). Dla u = c energia jest nieskończona. Prosta

interpretacja tego, że potrzeba nieskończenie dużej energii do

przyspieszenia cząstki do prędkości światła jest taka, że żadna

cząstka, która jest zawsze w spoczynku w dowolnym inercyjnym

układzie odniesienia nie może poruszać się tak szybko, lub

szybciej niż prędkość światła. Jak było pokazane w przykładzie 2, jeżeli prędkość cząstki jest

mniejsza od c w jednym układzie odniesienia, to jest mniejsza we wszystkich układach odniesienia

poruszających się względem danego z prędkością mniejszą niż c.

W zastosowaniach praktycznych pęd lub energia cząstki jest częściej używana niż prędkość.

Równanie 29.19 i równanie 29.24 mogą zostać do wyeliminowania u. W rezultacie otrzymamy:

𝐄𝟐 = 𝐩𝟐𝐜𝟐 + 𝐦𝟎𝐜𝟐 𝟐 29.27

Związek między pędem, całkowitą energią i energią spoczynkową.

Ten pożyteczny związek łatwo zapamiętać jeżeli posłużyć się trójkątem prostokątnym jak na

rysunku 29.11. Jeżeli drugi składnik jest znacznie większy od energii spoczynkowej m0c2,

otrzymamy użyteczny przybliżenie:

𝐄 ≈ 𝐩𝐜 dla 𝐄 ≫ 𝐦𝟎𝐜𝟐 29.28

E2 = (pc)

2 + (m0c

2)

2

E

m0c2

pc

Rysunek 29.11

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 22

Przybliżenie 29.28 jest dokładną równością między energią, a pędem dla cząstek nie mających

masy spoczynkowej takich jak fotony.

Masa spoczynkowa i energia.

Einstein traktował równanie 29.23 wiążące energię cząstki z jej masą jako najważniejszy wniosek

szczególnej teorii względności. Energia i bezwładność, które wcześniej stanowiły dwie odrębne

pojęcia, są powiązane przez to słynne równanie. Jak było już wspominane w wykładzie

wcześniejszym, zamiana energii spoczynkowej w energię kinetyczną z towarzyszącym jej ubytkiem

masy spoczynkowej jest typowym zjawiskiem w rozpadach promieniotwórczych i reakcjach

jądrowych, włączając w to rozszczepienie i syntezą jądrową. Można to zilustrować na przykład

rozpatrując deuteron, którego masa spoczynkowa wynosi 2,22MeV/c2 i jest mniejsza niż masa

spoczynkowa jego składowych – protonu i neutronu. Kiedy proton i neutron ulegają połączeniu, to

energia jest uwalniana. Rozbicie deuteronu na proton i neutron wymaga użycia energii 2,22MeV.

Czyli proton i neutron są związane z sobą energią wiązania 2,22MeV. Dowolna złożona cząstka,

taka jak deuteron lub jądro helu, która jest zbudowana z innych cząstek ma masę spoczynkową i

energię spoczynkową mniejszą niż suma mas spoczynkowych i energii spoczynkowych składników.

Ta różnica mas spoczynkowych jest właśnie energią wiązania składowych cząstek./Energie wiązania

atomów i cząstek chemicznych są rzędu kilku elektronowoltów, co powoduje, że możemy zaniedbać

różnicę między masą całości, a masą części składowych. Energie wiązania jąder atomowych są

rzędu MeV, z czym wiąże się znaczna różnica mas. Niektóre bardzo ciężkie jądra mają, takie jak

rad, są radioaktywne i rozpadają się na lżejsze jądra plus cząstka alfa. W takim przypadku pierwotne

jądro ma energię spoczynkową większą niż energia spoczynkowa produktów rozpadu. Nadmiar

energii przejawia się w energii kinetycznej produktów rozpadu.

W celu dalszego zilustrowania związku

między masą spoczynkową, a energią

rozpatrzmy idealnie niesprężyste

zderzenie. W podejściu klasycznym cała

energia jest tracona w takim zderzeniu.

Relatywistycznie strata energii

kinetycznej przejawia się we wzroście energii spoczynkowej, czyli całkowita energia systemu jest

zachowana. Weźmy cząstkę o masie spoczynkowej m0,1 poruszającą się z prędkością u1, która zderza

się z cząstką o masie spoczynkowej m0,2 poruszającą się z prędkością u2. Cząstki zderzają się i

ulegają zlepieniu tworząc cząstkę o masie spoczynkowej M0, która porusza się z prędkością uf, tak

jak widać to na rysunku 29.12. Początkowa energia całkowita cząstki 1wynosi

Rysunek 29.12

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 23

𝐸1 = 𝐾1 + 𝑚0,1𝑐2

gdzie K1 jest początkową energią kinetyczną Podobnie energia całkowita drugiej cząstki:

𝐸2 = 𝐾2 + 𝑚0,2𝑐2

Energia całkowita układu wynosi:

𝐸𝑖 = 𝐸1 + 𝐸2 = 𝐾1 + 𝑚0,1𝑐2 + 𝐾2 + 𝑚0,2𝑐

2 = 𝐾𝑖 + 𝑚0,1 + 𝑚0,2 𝑐2

Gdzie Ki = K1 + K2 jest całkowitą początkową energią kinetyczną układu. Całkowita energia

końcowa układu wynosi:

𝐸𝑓 = 𝐾𝑓 + 𝑀0𝑐2

Jeżeli Ei = Ef, to:

𝐾𝑓 + 𝑀0𝑐2 = 𝐾𝑖 + 𝑚0,1 + 𝑚0,2 𝑐

2

W związku z tym zmiana energii kinetycznej wynosi:

𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑀0 − 𝑚0,1 + 𝑚0,2 𝑐2 = ∆𝑚0 𝑐

2

Gdzie ∆𝑚0 = 𝑀0 − 𝑚0,1 + 𝑚0,2 jest wzrostem masy spoczynkowej układu.

Przykład 4.

Cząstka o masie spoczynkowej 2MeV/c2 i energii kinetycznej 3MeV zderza się z cząstką w

spoczynku o masie spoczynkowej 2MeV/c2. Po zderzeniu obie cząstki sklejają się. Znajdź (a)

początkowy pęd układu, (b) końcową prędkość układu i (c) masę spoczynkową układu dwu cząstek.

Rozwiązanie.

(a) 1. Pęd początkowy nadlatującej cząstki E2 = p2c2 + m0c2 2

związany jest z energią: 𝑝𝑐 = 𝐸12 − 𝑚0𝑐2 2

2. Całkowita energia nadlatującej cząstki,

to jej energia kinetyczna i energia spoczynkowa: E1 = 3MeV + 2MeV = 5MeV

3. Użyj wzór powyżej do obliczenia pędu: 𝑝𝑐 = 𝐸12 − 𝑚0𝑐2 2 = 5𝑀𝑒𝑉 2 − 2𝑀𝑒𝑉 2 =

= 21𝑀𝑒𝑉

𝑝 = 4,28𝑀𝑒𝑉/𝑐

(b) 1. Można znaleźć prędkość końcową układu u

c=

pc

E

korzystając z równania 29.25:

2. Z zasady zachowania energii całkowitej, Ef = Ei = E1 + E2 = 5MeV + 4MeV = 9MeV

energia końcowa jest równa sumie energii

całkowitych obu cząstek

3. Z zasady zachowania pędu pęd końcowy 𝑝 = 4,28𝑀𝑒𝑉/𝑐

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz 24

Układu równy jest pędowi początkowemu:

4. Możemy wyliczyć u z 1. : u

c=

pc

E=

4,58MeV

9MeV= 0,509

(c) Możemy znaleźć masę spoczynkową układu 9MeV 2 = 4,58MeV 2 + M0c2 2

Obu cząstek z równania 29.27 podstawiając M0 = 7,75MeV/c2

pc = 4,58MeV, E = 9MeV:

Uwaga. Zwróć uwagę, że energia spoczynkowa wzrosła z 6MeV do 7,75MeV. Ten wzrost razy c2

jest równy stracie energii kinetycznej układu.

Ćwiczenie. (a) Znajdź końcową energię kinetyczną układu sklejonych dwu cząstek z powyższego

przykładu. (b) Znajdź stratę energii kinetycznej w zderzeniu. (c) Pokaż, że Kstrac = ΔMc2, gdzie ΔM

jest wzrostem masy układu. (Odpowiedzi: (a) Kf = 1,25MeV, (b) Kstrac = 1,75MeV, (c) ΔMc2 = M0c

2

– Mic2 = 1,75MeV = Kstrac.