Analiza matematyczna I - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/~witek/materialy/analizaI/amI.pdf · M. Gewert,...
-
Upload
nguyenhanh -
Category
Documents
-
view
233 -
download
2
Transcript of Analiza matematyczna I - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/~witek/materialy/analizaI/amI.pdf · M. Gewert,...
Analiza matematyczna I
De�nicje, twierdzenia
21 pazdziernika 2012
Literatura
� K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiówtechnicznych, cz. 1, HELPMATH, ×ódz 2007
� M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna I, O�cyna Wydawnicza GiS, Wroc÷aw2000
� A. Just, Matematyka dla studentów politechnik, Wydawnictwo P×, ×ódz 2012
� K. Kuratowski, Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy, PWN, Warszawa 1964
� F. Leja, Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy, PWN, Warszawa 1963
� W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1976
1 Zbiory ograniczone, kresy zbiorówDe�nicja 1.1 Mówimy, ·ze zbiór A � R jest ograniczony z góry, je·zeli istnieje taka liczbaM , ·ze ^
x2Ax �M ;
M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A.
De�nicja 1.2 Mówimy, ·ze zbiór A � R jest ograniczony z do÷u, je·zeli istnieje taka liczbam, ·ze ^
x2Am � x;
m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A.
De�nicja 1.3 Mówimy, ·ze zbiór A � R jest ograniczony, gdy A jest ograniczony z góry iz do÷u, czyli istniej ¾a takie liczby m i M , ·ze^
x2Am � x �M
1
1. ZBIORY OGRANICZONE, KRESY ZBIORÓW
Uwaga 1.4 1. Zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej liczby Mzachodzi ^
x2Ajxj �M:
2. W powy·zszych de�nicjach nierównosc s÷ab ¾a mo·zna zast ¾apic nierównosci ¾a ostr ¾a.
De�nicja 1.5 Niech A � R. Element a 2 A nazywamy elementem najmniejszym w A,gdy ^
x2Aa � x:
Element najmniejszy w A oznaczamy przez minA;
a = minA:
De�nicja 1.6 Niech A � R. Element a 2 A nazywamy elementem najwi ¾ekszym w A,gdy ^
x2Ax � a:
Element najwi ¾ekszy w A oznaczamy przez maxA;
a = maxA:
De�nicja 1.7 Mówimy, ·ze liczba d jest kresem dolnym zbioru A, je·zeli
1.Vx2A
d � x (tzn. d jest ograniczeniem dolnym zbioru A)
2.V">0
Wx2A
x < d+ " (tzn. d jest najwi ¾ekszym z ograniczen dolnych zbioru A).
Kres dolny zbioru A oznaczamy symbolem inf A:
De�nicja 1.8 Mówimy, ·ze liczba g jest kresem górnym zbioru A, je·zeli
1.Vx2A
x � g
2.V">0
Wx2A
g � " < x
Kres górny zbioru A oznaczamy symbolem supA.
Uwaga 1.9 1. Je·zeli a = minA, to a = inf A; je·zeli a = maxA, to a = supA.
2. Je·zeli A nie jest zbiorem ograniczonym z góry, to piszemy
supA = +1;
jesli A nie jest ograniczony z do÷u, to piszemy
inf A = �1:
Twierdzenie 1.10 (Aksjomat ci ¾ag÷osci) Ka·zdy niepusty zbiór ograniczony z góry (z do÷u)ma kres górny (dolny).
2
2. CI ¾AGI LICZBOWE
2 Ci ¾agi liczboweDe�nicja 2.1 Ci ¾agiem (nieskonczonym) o wyrazach w zbiorze A nazywamy ka·zd ¾a funkcj ¾ea : N! A. Wartosc funkcji a dla liczby naturalnej n oznaczamy przez
an = a (n) 2 A:
Element an 2 A nazywamy n-tym wyrazem ci ¾agu a. Ci ¾ag o wyrazach an oznaczamy sym-bolem (an)n2N. Zbiór jego wyrazów oznaczamy przez fangn2N, tzn.
fangn2N = fan 2 A : n 2 Ng.
De�nicja 2.2 Niech a : N!A. Je·zeli A � R, to ci ¾ag a nazywamy ci ¾agiem liczbowym.Je·zeli A jest zbiorem funkcji, to ci ¾ag a nazywamy ci ¾agiem funkcyjnym.
De�nicja 2.3 Niech (an) b ¾edzie ci ¾agiem liczbowym. Ci ¾ag (an) nazywamy
� rosn ¾acym, gdyVn2N
an < an+1
� niemalej ¾acym, gdyVn2N
an � an+1
� malej ¾acym, gdyVn2N
an > an+1
� nierosn ¾acym, gdyVn2N
an � an+1
Ci ¾agi te nazywamy ci ¾agami monotonicznymi. Ci ¾agi malej ¾ace i rosn ¾ace nazywamyscisle monotonicznymi, zas niemalej ¾ace i nierosn ¾ace � monotonicznymi w szerszym sensie.
Twierdzenie 2.4 Jesli an > 0, to ci ¾ag (an) jest rosn ¾acy wtedy i tylko wtedy, gdy^n2N
an+1an
> 1:
De�nicja 2.5 � Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest ograniczony z do÷u, gdy zbiór jego wyrazówfang jest ograniczony z do÷u, tzn _
m2R
^n2N
m � an:
� Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest ograniczony z góry, gdy zbiór jego wyrazów fang jestograniczony z góry, tzn. _
M2R
^n2N
an �M
� Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest ograniczony, gdy jest ograniczony z góry i z do÷u, czyli_m;M2R
^n2N
m � an �M:
3
2. CI ¾AGI LICZBOWE
Stwierdzenie 2.6 Ci ¾ag (an) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy_M>0
^n2N
janj �M:
De�nicja 2.7 Liczb ¾e a nazywamy granic ¾a (w÷asciw ¾a) ci ¾agu (an), gdy^">0
_k2N
^n>k
jan � aj < ";
czyli w dowolnym przedziale (a� "; a+ "), " > 0; le·z ¾a prawie wszystkie wyrazy ci ¾agu (an)(prawie wszystkie = wszystkie poza skonczon ¾a ilosci ¾a). Ci ¾ag (an) nazywamy zbie·znym, gdyma granic ¾e. Granic ¾e ci ¾agu (an) oznaczamy przez lim
n!1an;
limn!1
an = a:
Twierdzenie 2.8 Ka·zdy ci ¾ag zbie·zny ma dok÷adnie jedn ¾a granic ¾e.
De�nicja 2.9 Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest
� rozbie·zny do +1 (ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1), gdy^M2R
_k2N
^n>k
an > M ;
piszemy wtedy limn!1
an = +1;
� rozbie·zny do �1 (ma granic ¾e niew÷asciw ¾a �1), gdy^m2R
_k2N
^n>k
an < m;
piszemy wtedy limn!1
an = �1;
� rozbie·zny, gdy nie posiada granicy (w÷asciwej lub niew÷asciwej)
Twierdzenie 2.10 Je·zeli limn!1
an = a i limn!1
bn = b, a; b 2 R, to
1. limn!1
(an + bn) = a+ b;
2. limn!1
(an � bn) = a� b;
3. limn!1
(anbn) = ab;
4. limn!1
anbn= a
b o ile b 6= 0 i bn 6= 0.
Uwaga 2.11 Skreslenie lub dodanie do ci ¾agu skonczonej ilosci wyrazów nie wp÷ywa na jegozbie·znosc.
Twierdzenie 2.12limn!1
an = 0, limn!1
janj = 0:
4
2. CI ¾AGI LICZBOWE
Twierdzenie 2.13 Je·zeli limn!1
an = +1 oraz limn!1
bn = b > �1 lub limn!1
bn = +1, tolimn!1
(an + bn) = +1 i st ¾ad przyjmujemy umow ¾e
1+ b =1; b 2 R;1+1 =1:
Twierdzenie 2.14 Je·zeli limn!1
an = +1 oraz limn!1
bn > 0, to limn!1
(anbn) = +1; je·zelilimn!1
bn < 0, to limn!1
(anbn) = �1 i st ¾ad przyjmujemy umow ¾e
1�1 =1; 1� b =1; b > 0;1� (�1) = �1; 1� b = �1; b < 0:
Twierdzenie 2.15 Je·zeli limn!1
an = +1 (�1), to limn!1
1an= 0. St ¾ad umowa
1�1 = 0:
Twierdzenie 2.16 Je·zeli limn!1
an = 0, to
limn!1
1
an=
�+1; gdy an > 0 dla prawie wszystkich n�1; gdy an < 0 dla prawie wszystkich n:
St ¾ad przyjmujemy umow ¾e
10+ =1;
10� = �1:
Twierdzenie 2.17
limn!1
qn =
8>><>>:+1 q > 11 q = 10 jqj < 1nie istnieje q � �1
Twierdzenie 2.18
limn!1
n� =
8<: 0 � < 01 � = 0+1 � > 0
Twierdzenie 2.19 Za÷ó·zmy, ·ze limn!1
an = +1.
� Je·zeli 0 < limn!1
bn � +1, to limn!1
(an)bn = +1.
� Je·zeli �1 � limn!1
bn < 0, to limn!1
(an)bn = 0:
St ¾ad przyjmujemy umow ¾e
11 =1 1b =1; b > 0;1�1 = 0 1b = 0; b < 0:
5
2. CI ¾AGI LICZBOWE
De�nicja 2.20 Poni·zsze wyra·zenia nazywamy symbolami nieoznaczonymi
1�1 11
00 0 �1
11 00 10
Twierdzenie 2.21 Je·zeli ci ¾agi (an) i (bn) s ¾a zbie·zne oraz an < bn lub an � bn dla prawiewszystkich n, to
limn!1
an � limn!1
bn:
Twierdzenie 2.22 Za÷ó·zmy, ·ze dla prawie wszystkich wryazów ci ¾agów (an) i (bn) zachodzinierównosc
an � bn:
� Jesli limn!1
an = +1, to limn!1
bn = +1:
� Jesli limn!1
bn = �1, to limn!1
an = �1:
Twierdzenie 2.23 (o trzech ci ¾agach) Je·zeli dla ci ¾agów (an), (bn) i (cn) zachodzi nierównosc
an � bn � cn
oraz limn!1
an = limn!1
cn = a, to wówczas limn!1
bn = a.
Wniosek 2.24 Je·zeli limn!1
an = 0 i ci ¾ag (bn) jest ograniczony, to limn!1
anbn = 0.
Twierdzenie 2.25 1. limn!1
npn = 1:
2. limn!1
npa = 1; a > 0:
3. Je·zeli an � 0 i limn!1
an = a > 0, to limn!1
npan = 1.
Twierdzenie 2.26 Ka·zdy ci ¾ag zbie·zny jest ograniczony.
Twierdzenie 2.27 Ka·zdy ci ¾ag monotoniczny i ograniczony jest zbie·zny. Dok÷adniej, jesli(an) jest ci ¾agiem rosn ¾acym (niemalej ¾acym) i ograniczonym z góry, to
limn!1
an = supfan : n 2 Ng;
jesli (an) jest ci ¾agiem malej ¾acym (nierosn ¾acym) i ograniczonym z do÷u, to
limn!1
an = inffan : n 2 Ng:
De�nicja 2.28 Mo·zna wykazac, ·ze ci ¾ag�1 + 1
n
�njest monotoniczny i ograniczony, a wi ¾ec
jest zbie·zny. Jego granic ¾e oznaczamy przez e
edef= lim
n!1
�1 +
1
n
�n:
Liczba e jest liczb ¾a niewymiern ¾a
e = 2; 7182818284:::
6
3. GRANICE FUNKCJI
De�nicja 2.29 Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oz-naczamy symbolem ln
lnxdef= loge x; x > 0:
Twierdzenie 2.30 Je·zeli limn!1
an = +1 (�1), to limn!1
�1 + 1
an
�an= e.
De�nicja 2.31 Niech b¾edzie dany ciag (an). Podci ¾agiem ci ¾agu (an) nazywamy ka·zdy ci ¾agpostaci
(ank) ;
gdzie (nk) jest rosn ¾acym ci ¾agiem liczb naturalnych.
Twierdzenie 2.32 Je·zeli ci ¾ag (an) jest zbie·zny do a, to wszystkie podci ¾agi ci ¾agu (an) s ¾azbie·zne do a.
Twierdzenie 2.33 (Bolzano-Weierstrassa) Z ka·zdego ci ¾agu ograniczonego mo·zna wybracpodci ¾ag zbie·zny. Z ka·zdego ci ¾agu nieograniczonego mo·zna wybrac podci ¾ag rozbie·zny do +1lub �1.
3 Granice funkcji
3.1 Podstawowe de�nicjeDe�nicja 3.1 Otoczeniem punktu x0 2 R nazywamy ka·zdy przedzia÷postaci
U (x0) = (x0 � �; x0 + �) ; gdzie � > 0:
S ¾asiedztwem punktu x0 nazywamy ka·zdy zbiór postaci
S (x0) = (x0 � �; x0) [ (x0; x0 + �) = (x0 � �; x0 + �)� fx0g; gdzie � > 0:
S ¾asiedztwem prawostronnym punktu x0 nazywamy ka·zdy przedzia÷
S+ (x0) = (x0; x0 + �) ;
zas lewostronnym � ka·zdy przedzia÷
S� (x0) = (x0 � �; x0) :
De�nicja 3.2 Niech X � R b ¾edzie zbiorem niepustym. Mówimy, ·ze x0 2 R jest punktemskupienia zbioru X, je·zeli istnieje ci ¾ag (xn) taki, ·ze
fxng � X � fx0g oraz limn!1
xn = x0:
Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru X oznaczamy symbolem Xd. Je·zeli dodatkowojest spe÷niony warunek
x0 < xn; (xn < x0)
dla wszystkich n, to x0 nazywamy prawostronnym (lewostronnym) punktem skupi-enia. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów skupienia zbioru X oznaczamy przezXd+ (X
d�). Punkty x 2 X, które nie s ¾a punktami skupienia zbioru X nazywamy punktami
izolowanymi.
7
3. GRANICE FUNKCJI
Uwaga 3.3 ×atwo widac, ·ze
� x0 2 S (x0)d ;
� x0 2 S+ (x0)d+ ;
� x0 2 S� (x0)d� :
De�nicja 3.4 (Cauchy�ego granicy funkcji w punkcie) Niech f : X ! R oraz niechx0 2 Xd. Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji f w punkcie x0, cozapisujemy przez
limx!x0
f (x) = g;
je·zeli ^">0
_�>0
^x2Xnfx0g
(jx� x0j < � ) jf (x)� gj < ") :
Mówimy, ·ze funkcja f ma granic¾e niew÷asciw ¾a +1 w punkcie x0, co zapisujemyjako
limx!x0
f (x) = +1;
je·zeli ^M>0
_�>0
^x2Xnfx0g
(jx� x0j < � )M < f (x)) :
Analogicznie de�niujemy poj¾ecie granicy niew÷asciwej �1 w punkcie x0:
limx!x0
f (x) = �1
ozacza, ·ze ^m<0
_�>0
^x2Xnfx0g
(jx� x0j < � ) f (x) < m) :
De�nicja 3.5 (Heinego granicy funkcji w punkcie) Niech f : X ! R oraz niech x0 2Xd. Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji f w punkcie x0, je·zeli
limn!1
f (xn) = g
dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X n fx0g i limn!1
xn = x0. Mówimy, ·ze funkcja f
ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1 (�1) w punkcie x0, je·zeli
limn!1
f (xn) = +1 (�1)
dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X n fx0g i limn!1
xn = x0.
De�nicja 3.6 (Cauchy�ego granicy funkcji w 1) Niech f : X ! R i za÷ó·zmy, ·ze Xnie jest zbiorem ograniczonym z góry. Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji fw +1, co zapisujemy
limx!+1
f (x) = g;
8
3. GRANICE FUNKCJI
je·zeli jest spe÷niony warunek^">0
_R2R
^x2X
(R < x) jf (x)� gj < ") :
Mówimy, ·ze funkcja f ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1 w +1, co zapisujemy
limx!+1
f (x) = +1;
je·zeli jest spe÷niony warunek^M>0
_R2R
^x2X
(R < x)M < f (x)) :
Analogicznie de�niujemy poj¾ecie granicy niew÷asciwej �1 w +1:
limx!+1
f (x) = �1
oznacza, ·ze ^m<0
_R2R
^x2X
(R < x) f (x) < m) :
Zadanie 1 Zde�niowac poj¾ecia granicy w÷asciwej i niew÷asciwej funkcji f : X ! R w �1,przy za÷o·zeniu, ·ze X nie jest ograniczony z do÷u.
De�nicja 3.7 (Heinego granicy funkcji w +1) Niech f : X ! R i za÷ó·zmy, ·ze zbiórX nie jest ograniczony z góry. Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji f w +1,je·zeli
limn!1
f (xn) = g
dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X oraz limxn = +1.Mówimy, ·ze funkcja f ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1 (�1) w +1, je·zeli
limn!1
f (xn) = +1 (�1)
dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X i limxn = +1:
Twierdzenie 3.8 De�nicje granic Heinego i Cauchy�ego pokrywaj ¾a si ¾e.
De�nicja 3.9 (Heinego granicy prawostronnej) Niech f : X ! R i x0 2 Xd+. Mówimy,
·ze g (g 2 R, g = �1) jest granic ¾a prawostronn ¾a (w÷asciw ¾a lub nie) funkcji f w punkciex0, co zapisujemy przez
limx!x+0
f (x) = g;
jesli jest spe÷niony waruneklimn!1
f (xn) = g
dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X, limn!1
xn = x0 oraz xn > x0.
9
3. GRANICE FUNKCJI
De�nicja 3.10 (Heinego granicy lewostronnej) Niech f : X ! R i x0 2 Xd_ . Mówimy,
·ze g (g 2 R, g = �1) jest granic ¾a lewostronn ¾a (w÷asciw ¾a lub nie) funkcji f w punkciex0, co zapisujemy przez
limx!x�0
f (x) = g;
jesli jest spe÷niony waruneklimn!1
f (xn) = g
dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X, limn!1
xn = x0 oraz xn < x0.
Zadanie 2 Sformu÷owac de�nicje granic jednostronnych w sensie Cauchy�ego.
Twierdzenie 3.11 Niech f : X ! R oraz x0 2 Xd+ \ Xd
�. Wówczas granica funkcji f wpunkcie x0 jest równa g wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾a granice jednostronne w x0 i s ¾arówne g, tzn.
limx!x0
f (x) = g , limx!x+0
f (x) = g = limx!x�0
f (x)
Twierdzenie 3.12 (o arytmetyce granic w÷asciwych) Je·zeli f; g : X ! R, x0 2 Xd
oraz limx!x0
f (x) = a, limx!x0
g (x) = b, przy czym a; b 2 R, to
1. limx!x0
(f (x)� g (x)) = a� b;
2. limx!x0
(f (x) � g (x)) = a � b;
3. limx!x0
f(x)g(x) =
ab ; o ile b 6= 0;
4. limx!x0
(f (x))g(x)
= ab, o ile a � 0; jesli a = 0, to zak÷adamy, ·ze b 6= 0.
Twierdzenie 3.13 (o arytmetyce granic niew÷asciwych)
1+1 =1; 1+ a =1; a 2 R;
1 �1 =1; a � 1 =1; a > 01 � (�1) = �1; a � 1 = �1; a < 0
a1 = 0; a 2 R;
a0+ =1; a > 0;
a0� = �1; a > 0;
b1 =
�0; 0 � b < 1;1; 1 < b � 1
1a =
�0; �1 � a < 0;1; 0 < a � 1:
10
3. GRANICE FUNKCJI
Twierdzenie 3.14 (o granicy funkcji z÷o·zonej) Niech f : X ! Y � R i g : Y ! R.Jesli spe÷nione s ¾a warunki:
1. limx!x0
f (x) = y0 2 Y d;
2. limy!y0
g (y) = a;
to limx!x0
g (f (x)) = a.
Twierdzenie 3.15 (o trzech funkcjach) Je·zeli funkcje f; g; h : X ! R spe÷niaj ¾a warunki:
1.V
x2S(x0)f (x) � g (x) � h (x) dla pewnego s ¾asiedztwa S (x0) ;
2. istniej ¾a granice limx!x0
f (x) = a = limx!x0
h (x) ;
to limx!x0
g (x) = a.
Twierdzenie 3.16 (o dwóch funkcjach) Niech funkcje f; g : X ! R spe÷niaj ¾a warunek^x2S(x0)
f (x) � g (x) :
Wówczas
� je·zeli limx!x0
f (x) = +1, to limx!x0
g (x) = +1;
� je·zeli limx!x0
g (x) = �1, to limx!x0
f (x) = �1.
Uwaga 3.17 Powy·zsze twierdzenia pozostaj ¾a prawdziwe, je·zeli zamiast granicy w punkciex0 wyst¾epuj ¾a granice jednostronne lub granice w �1.
Twierdzenie 3.18limx!0
sin xx = 1
limx!0
(1 + x)1=x
= e:
3.2 Asymptoty funkcjiDe�nicja 3.19 Niech f : X ! R i x0 2 Xd. Prost ¾a o równaniu x = x0 nazywamyprawostronn ¾a asymptot ¾a pionow ¾a wykresu funkcji f , je·zeli
limx!x+0
f (x) = �1 albo limx!x+0
f (x) = +1:
Prost ¾a o równaniu x = x0 nazywamy lewostronn ¾a asymptot ¾a pionow ¾a wykresu funkcjif , je·zeli
limx!x�0
f (x) = �1 albo limx!x�0
f (x) = +1:
Prost ¾a o równaniu x = x0 nazywamy obustronn ¾a asymptot ¾a pionow ¾a wykresu funkcjif , je·zeli jest asymptot ¾a prawostronn ¾a i lewostronn ¾a.
11
4. CI ¾AG×OSC FUNKCJI
De�nicja 3.20 Niech f : X ! R. Je·zeli X nie jest zbiorem ograniczonym z góry, to prost ¾ao równaniu y = ax+ b nazywamy asymptot ¾a ukosn ¾a wykresu funkcji f w +1, gdy
limx!+1
(f (x)� (ax+ b)) = 0:
Je·zeli X nie jest zbiorem ograniczonym z do÷u, to prost ¾a o równaniu y = ax+ b nazywamyasymptot ¾a ukosn ¾a wykresu funkcji f w �1, gdy
limx!�1
(f (x)� (ax+ b)) = 0:
Je·zeli a = 0, to odpowiedni ¾a asymptot ¾e ukosn ¾a nazywamy asymptot ¾a poziom ¾a.
Uwaga 3.21 Prosta y = b jest asympot ¾a poziom ¾a wykresu funkcji f w �1 wtedy i tylkowtedy, gdy lim
x!�1f (x) = b.
Twierdzenie 3.22 Prosta o równaniu y = Ax+ B jest asymptot ¾a ukosn ¾a wykresu funkcjif w +1 wtedy i tylko wtedy, gdy
limx!+1
f (x)
x= A i lim
x!+1(f (x)�Ax) = B
(o ile te granice istniej ¾a i s ¾a skonczone). Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptot ¾aukosn ¾a wykresu funkcji f w �1 wtedy i tylko wtedy, gdy
limx!�1
f (x)
x= a i lim
x!�1(f (x)� ax) = b:
4 Ci ¾ag÷osc funkcjiDe�nicja 4.1 (Heine) Niech f : X ! R, x0 2 X i za÷ó·zmy, ·ze U (x0) � X. Mówimy, ·zefunkcja f jest ci ¾ag÷a w punkcie x0, je·zeli
limx!x0
f (x) = f (x0) :
Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a w ka·zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ·ze jest ci ¾ag÷a.
Uwaga 4.2 Podobnie mo·zna zde�oniowac ci ¾ag÷osc funkcji w punktach zbioru X, które s ¾apunktami skupienia X. Przyjmujemy wtedy dodatkowo, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a w punktachizolowanych.
De�nicja 4.3 (Cauchy) Niech f : X ! R, x0 2 X i za÷ó·zmy, ·ze U (x0) � X. Mówimy,·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a w punkcie x0, je·zeli^
">0
_�>0
^x2X
(jx� x0j < � ) jf (x)� f (x0)j < ") :
Twierdzenie 4.4 De�nicje Heinego i Cauchy�ego ci ¾ag÷osci funkcji w punkcie pokrywaj ¾a si ¾e.
De�nicja 4.5 Niech f : X ! R, x0 2 X i za÷ó·zmy, ·ze U+ (x0) 2 X. Mówimy, ·ze funkcjaf jest ci ¾ag÷a prawostronnie w punkcie x0, je·zeli
limx!x+0
f (x) = f (x0) :
Analogiczne de�niujemy lewostronn ¾a ci ¾ag÷osc funkcji w punkcie.
12
4. CI ¾AG×OSC FUNKCJI
Uwaga 4.6 Powiemy, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], je·zeli jest ci ¾ag÷a naprzedziale (a; b) oraz jest prawostonnie ci ¾ag÷a w a i jest lewostronnie ci ¾ag÷a w b.
Twierdzenie 4.7 Niech f : X ! R, x0 2 X i U (x0) � X. Funkcja f jest ci ¾ag÷a w x0wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawostronnie i lewostronnie ci ¾ag÷a w x0.
De�nicja 4.8 Niech f : X ! R, x0 2 X i U (x0) � X. Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f nie jestci ¾ag÷a w x0. Mówimy, ·ze funkcja f ma w punkcie x0 nieci ¾ag÷osc
� pierwszego rodzaju, je·zeli istniej ¾a skonczone granice limx!x+0
f (x) i limx!x�0
f (x) oraz
limx!x+0
f (x) 6= f (x0) lub limx!x�0
f (x) 6= f (x0) ;
� drugiego rodzaju, je·zeli jedna z granic jednostronnych
limx!x+0
f (x) ; limx!x�0
f (x)
jest niew÷asciwa lub nie istnieje.
Twierdzenie 4.9 Je·zeli funkcje f i g s ¾a ci ¾ag÷e w x0, to
1. funkcje f � g s ¾a ci ¾ag÷e w x0;
2. funkcja fg jest ci ¾ag÷a w x0;
3. funkcja fg jest ci ¾ag÷a w x0, o ile g(x0) 6= 0.
Twierdzenie 4.10 Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a w x0 i g jest ci ¾ag÷a w f (x0), to g � f jestci ¾ag÷a w x0.
De�nicja 4.11 Funkcjami elementarnymi podstawowymi nazywamy funkcje sta÷e,pot ¾egowe, wyk÷adnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne. Funkcje, któremo·zna z nich otrzymac za pomoc ¾a skonczonej ilosci dzia÷an arytmetycznych oraz z÷o·zeniafunkcji, nazywamy funkcjami elementarnymi.
Twierdzenie 4.12 Funkcje elementarne s ¾a ci ¾ag÷e na swoich dziedzinach.
Twierdzenie 4.13 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f : [a; b]! R jest ró·znowartosciowa i ci ¾ag÷a. Wów-czas f jest monotoniczna oraz funkcja odwrotna f�1 : f [[a; b]]! R jest te·z ci ¾ag÷a i monoton-iczna.
Twierdzenie 4.14 (Weierstrass) Je·zeli funkcja f : [a; b]! R jest ci ¾ag÷a, to jest ogranic-zona, co wi ¾ecej osi ¾aga swoje kresy na przedziale [a; b], tzn._
c2[a;b]
f (c) = supx2[a;b]
f (x) ;_
d2[a;b]
f (d) = infx2[a;b]
f (x) :
Twierdzenie 4.15 (Darboux) Je·zeli funkcja f : [a; b] ! R jest ci ¾ag÷a oraz f (a) < f (b),to ^
y2(f(a);f(b))
_x2(a;b)
f (x) = y.
13
5. POCHODNA FUNKCJI
Uwaga 4.16 Je·zeli w powy·zszym twierdzeniu za÷o·zymy, ·ze f (b) < f (a), to^y2(f(b);f(a))
_x2(a;b)
f (x) = y.
Wniosek 4.17 Je·zeli f : [a; b]! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a i f (a) f (b) < 0, to istnieje x 2 (a; b),·ze f (x) = 0.
5 Pochodna funkcji
5.1 Podstawowe poj ¾ecia i w÷asnosciDe�nicja 5.1 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a rzeczywist ¾a okreslon ¾a na pewnym otoczeniu U (x0; r) =(x0 � r; x0 + r) punktu x0. Ilorazem ró·znicowym odpowiadaj ¾acym przyrostowi h takiemu,·ze 0 < jhj < r, nazywamy
f (x0 + h)� f (x0)h
:
Geometrycznie jest to wspó÷czynnik kierunkowy prostej przechodz ¾acej przez punkty (x0; f (x0)),(x0 + h; f (x0 + h)).
De�nicja 5.2 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a rzeczywist ¾a okreslon ¾a na pewnym otoczeniu U (x0; r).Pochodn ¾a (w÷asciw ¾a) funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic ¾e
f 0 (x0) = limh!0
f (x0 + h)� f (x0)h
;
o ile ta granica istnieje i jest skonczona.
De�nicja 5.3 Mówimy, ·ze funkcja f : X ! R jest ró·zniczkowalna, je·zeli jest ró·zniczkowalnaw ka·zdym punkcie swojej dziedziny. Funkcj ¾e
X ! Rx 7! f 0 (x)
nazywamy pochodn ¾a funkcji f i oznaczamy przez f 0.
Twierdzenie 5.4 (Pochodne podstawowych funkcji elementarnych) 1. (c)0 = 0dla dowolnej funkcji sta÷ej f (x) = c, gdzie c 2 R jest ustalone;
2. (xn)0 = nxn�1 dla x 2 R i n 2 N;
3. (x�)0 = �x��1; � 6= 0;
4. (ex)0 = ex;
5. (ax)0 = ax ln a, a > 0, a 6= 1;
6. (lnx)0 = 1x , x > 0;
7. (loga x)0= 1
x ln a , x > 0, a > 0, a 6= 1;
8. (sinx)0 = cosx;
14
5. POCHODNA FUNKCJI
9. (cosx)0 = � sinx;
10. (tg x)0 = 1cos2 x ;
11. (ctg x)0 = � 1sin2 x
;
12. (arcsinx)0 = 1p1�x2 , x 2 (�1; 1) ;
13. (arccosx)0 = � 1p1�x2 , x 2 (�1; 1) ;
14. (arctg x)0 = 11+x2 ; x 2 R;
15. (arcctg x)0 = � 11+x2 , x 2 R.
Twierdzenie 5.5 (Warunek konieczny ró·zniczkowalnosci) Je·zeli funkcja f jestró·zniczkowalna w punkcie x0, to jest ci ¾ag÷a w x0.
De�nicja 5.6 (Pochodne jednostronne) Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest okreslona na zbiorzeU+ (x0; r) = [x0; x0 + r), gdzie r > 0. Pochodn ¾a prawostronn ¾a funkcji f w punkcie x0nazywamy granic ¾e
f 0+ (x0) = limh!0+
f (x0 + h)� f (x0)h
;
o ile ta granica istnieje i jest skonczona.Analogicznie, je·zeli f jest okreslona na zbiorze U� (x0; r) = (x0 � r; x0], gdzie r > 0, to
pochodn ¾a lewostronn ¾a funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic ¾e
f 0� (x0) = limh!0�
f (x0 + h)� f (x0)h
;
o ile ta granica istnieje i jest skonczona.
Ró·zniczkowalnosc funkcji f : [a; b] ! R oznacza, ·ze f ma pochodn ¾a na przedziale (a; b)oraz ma pochodn ¾a prawostronn ¾a w a i lewostronn ¾a w b.
Twierdzenie 5.7 Funkcja f ma pochodn ¾a w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
f 0� (x0) = f0+ (x0) .
Je·zeli spe÷niony jest powy·zszy warunek, to pochodna f w punkcie x0 jest równa tej wspólnejwartosci.
De�nicja 5.8 Niech f : X ! R b ¾edzie ci ¾ag÷a na pewnym otoczeniu punktu x0 2 X.Mówimy, ·ze prosta l jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie x0, je·zeli przy h ! 0prosta przechodz ¾aca przez punkty (x0; f (x0)) i (x0 + h; f (x0 + h)) ma po÷o·zenie granicznerówne l.
Twierdzenie 5.9 Je·zeli funkcja f jest ró·zniczkowalna w punkcie x0, to równanie stycznejdo wykresu funkcji f w punkcie x0 ma postac
y = f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) ;
czyli geometrycznie f 0 (x0) jest wspó÷czynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu fw punkcie x0.
15
5. POCHODNA FUNKCJI
Twierdzenie 5.10 (o arytmetyce pochodnych) Je·zeli funkcje f i g s ¾a ró·zniczkowalnew punkcie x0, to
1. (f � g)0 (x0) = f 0 (x0)� g0 (x0) ;
2. (fg)0 (x0) = f 0 (x0) g (x0) + f (x0) g0 (x0), w szczególnosci (cf)0(x0) = cf
0 (x0) ;
3.�fg
�0(x0) =
f 0(x0)g(x0)�f(x0)g0(x0)(g(x0))
2 , o ile g (x0) 6= 0.
Twierdzenie 5.11 (o pochodnej funkcji z÷o·zonej) Je·zeli funkcja f jest ró·zniczkowalnaw punkcie x0 oraz g jest ró·zniczkowalna w punkcie f (x0), to z÷o·zenie g�f jest ró·zniczkowalnew x0 przy czym
(g � f)0 (x0) = g0 (f (x0)) � f 0 (x0) .
Twierdzenie 5.12 (Rolle�a) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], ró·zniczkowalnana (a; b) oraz f (a) = f (b), to istnieje taki punkt x0 2 (a; b), ·ze f 0 (x0) = 0.
Twierdzenie 5.13 (Lagrange�a o przyrostach) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale[a; b] i ró·zniczkowalna na (a; b), to istnieje taki punkt x0 2 (a; b), ·ze
f 0 (x0) =f (b)� f (a)
b� a :
Wniosek 5.14 Niech f b ¾edzie ró·zniczkowalna na przedziale (a; b). Wówczas
� je·zeli f 0 (x) = 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest sta÷a na (a; b);
� je·zeli f 0 (x) > 0 (f 0 (x) � 0) dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest rosn ¾aca (niemale-j ¾aca) na (a; b) ;
� je·zeli f 0 (x) < 0 (f 0 (x) � 0) dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest malej ¾aca (nieros-n ¾aca) na (a; b):
Twierdzenie 5.15 (Cauchy�ego o przyrostach) Je·zeli funkcje f i g s ¾a ci ¾ag÷e na przedziale[a; b], ró·zniczkowalne na (a; b) i g0 (x) 6= 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to istnieje x0 2 (a; b), ·ze
f (b)� f (a)g (b)� g (a) =
f 0 (x0)
g0 (x0):
Uwaga 5.16 Twierdzenie Lagrange�a o przyrostach jest szczególnym przypadkiem twierdzeniaCauchy�ego, gdy g (x) = x, x 2 [a; b].
Twierdzenie 5.17 Je·zeli funkcja f
1. jest ró·zniczkowalna na przedziale (a; b)
2.V
x2(a;b)f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0);
to istnieje funkcja odwrotna f�1 oraz�f�1
�0(f (x)) = 1
f 0(x) dla ka·zdego x 2 (a; b).
Twierdzenie 5.18 (regu÷a de l�Hospitala) Je·zeli funkcje f i g spe÷niaj ¾a warunki:
16
5. POCHODNA FUNKCJI
1. limx!x0
f (x) = limx!x0
g (x) = 0 lub limx!x0
f (x) = limx!x0
g (x) = +1;
2. istnieje granica limx!x0
f 0(x)g0(x) (w÷asciwa lub nie)
to
limx!x0
f (x)
g (x)= lim
x!x0
f 0 (x)
g0 (x):
Uwaga 5.19 Powy·zsze twierdzenie jest prawdziwe tak·ze dla granic jednostronnych i granicw +1 lub w �1.
Uwaga 5.20 Zamiana symboli nieoznaczonych 0 � 1, 1�1, 00, 11, 10 na 00 lub
11 .
� Je·zeli limx!x0
f (x) = 0� i limx!x0
g (x) = �1, to wówczas limx!x0
1g(x) = 0 i limx!x0
1f(x) = �1;
st ¾ad
limx!x0
f (x) g (x) = [0 � 1] =
= limx!x0
f (x)1
g(x)
=
�0
0
�= lim
x!x0
g (x)1
f(x)
=
��1�1
�;
� Je·zeli limx!x0
f (x) = limx!x0
g (x) = +1, to
limx!x0
(f (x)� g (x)) = [1�1]
= limx!x0
11
f(x)
� 11
g(x)
!
= limx!x0
1g(x) �
1f(x)
1f(x)g(x)
=
�0
0
�;
� W przypadku, gdy limx!x0
f (x)g(x) daje jeden z symboli nieoznaczonych 11; 00; 10
stosujemy przekszta÷cenie
f (x)g(x)
= eln f(x)g(x)
= eg(x) ln(x);
5.2 Badanie funkcjiDe�nicja 5.21 (Ekstrema lokalne) Niech f : X ! R, X � R oraz x0 2 X. Mówimy, ·zefunkcja f ma w punkcie x0
� minimum lokalne, je·zeli _r>0
^x2S(x0;r)
f (x) � f (x0)
17
5. POCHODNA FUNKCJI
� maksimum lokalne , je·zeli_r>0
^x2S(x0;r)
f (x) � f (x0) :
Je·zeli w powy·zszych warunkach zachodz ¾a nierównosci ostre f (x) > f (x0) (f (x) <f (x0)), to mówimy o minimum (maksimum) lokalnym w÷asciwym.
De�nicja 5.22 Niech f : X ! R. Mówimy, ·ze funkcja f ma
� wartosc najmniejsz ¾a m na zbiorze A � X, je·zeli_x02A
f (x0) = m i^x2A
f (x) � m;
� wartosc najwi ¾eksz ¾a M na zbiorze A � X, je·zeli_x02A
f (x0) =M i^x2A
f (x) �M:
Twierdzenie 5.23 (Fermata � warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)Je·zeli funkcja f ma ekstermum lokalne w punkcie x0 oraz f jest ró·zniczkowalna w x0, tof 0 (x0) = 0.
Uwaga 5.24 Warunek f 0 (x0) = 0 nie jest warunkiem wystarczaj ¾acym do istnienia ek-stremum lokalnego w x0, np. niech f (x) = x3; wtedy f 0 (x) = 3x2 oraz f 0 (0) = 0, ale wx0 = 0 funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.
Twierdzenie 5.25 (I warunek wystarczaj ¾acy istnienia maksimum lokalnego) Niechf : (a; b)! R b ¾edzie funkcj ¾a ró·zniczkowaln ¾a na (a; b) oraz x0 2 (a; b). Je·zeli f 0 (x0) = 0 i
_r>0
0@ ^x2(x0�r;x0)
f 0 (x) > 0 ^^
x2(x0;x0+r)
f 0 (x) < 0
1A ;to funkcja f ma maksimum lokalne w÷asciwe w punkcie x0.
Uwaga 5.26 Analogicznie formu÷ujemy warunek wystarczaj ¾acy istnienia minimum lokalnegow÷asciwego.
Twierdzenie 5.27 (II warunek wystarczaj ¾acy istnienia ekstremum) Je·zeli istniejeliczba parzysta n � 2 taka, ·ze
1. f 0 (x0) = f 00 (x0) = ::: = f (n�1) (x0) = 0;
2. f (n) (x0) < 0�f (n) (x0) > 0
�,
to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne w÷asciwe.
18
5. POCHODNA FUNKCJI
De�nicja 5.28 Mówimy, ·ze funkcja f jest wypuk÷a na przedziale (a; b), je·zeli^x1;x22(a;b)
^t2(0;1)
f (tx1 + (1� t)x2) � tf (x1) + (1� t) f (x2) :
Mówimy, ·ze funkcja f jest wkl ¾es÷a na przedziale (a; b), je·zeli^x1;x22(a;b)
^t2(0;1)
f (tx1 + (1� t)x2) � tf (x1) + (1� t) f (x2) :
Je·zeli w powy·zszych warunkach zachodz ¾a nierównosci ostre, to mówimy o scis÷ej wy-puk÷osci (wkl ¾es÷osci).
Twierdzenie 5.29 Za÷ó·zmy, ·ze f jest funkcj ¾a ró·zniczkowaln ¾a na przedziale (a; b). Funkcjaf jest wypuk÷a (wkl ¾es÷a) na (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu x0 2 (a; b)
f (x) � f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) ; x 2 (a; b)
(f (x) � f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) ; x 2 (a; b))
tzn. wykres funkcji f na przedziale (a; b) le·zy "powy·zej"("poni·zej") stycznej do wykresufunkcji w punkcie (x0).
Twierdzenie 5.30 Je·zeli f 00 (x) > 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest wypuk÷a na(a; b). Je·zeli f 00 (x) < 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to f jest wkl ¾es÷a na (a; b).
De�nicja 5.31 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest okreslona na pewnym otoczeniu U (x0) punktux0 i f jest ci ¾ag÷a w x0. Mówimy, ·ze funkcja f ma pochodn ¾a niew÷asciw ¾a w x0 je·zeli
limh!0
f (x0 + h)� f (x0)h
= +1 lub limh!0
f (x0 + h)� f (x0)h
= �1.
De�nicja 5.32 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest okreslona na pewnym otoczeniu U (x0) punktu x0i ·ze ma pochodn ¾a w x0 (w÷asciw ¾a lub nie). Punkt (x0; f (x0)) nazywamy punktem przegi ¾e-cia wykresu funkcji, je·zeli dla pewnego � > 0 funkcja f jest scisle wypuk÷a na (x0 � �; x0) iscisle wkl ¾es÷a na (x0; x0 + �) lub odwrotnie.
Twierdzenie 5.33 (Warunek konieczny istnienia punktu przegi ¾ecia) Je·zeli (x0; f (x0))jest punktem przegi ¾ecia funkcji f oraz istnieje f 00 (x0), to f 00 (x0) = 0.
Uwaga 5.34 Warunek f 00 (x0) = 0 nie jest warunkiem wystarczaj ¾acym istnienia punktuprzegi¾ecia w x0. Je·zeli f (x) = x4, to f 00 (x) = 12x2, f 00 (0) = 0, ale funkcja f nie ma punktuprzegi¾ecia w (0; 0); f jest wypuk÷a.
Twierdzenie 5.35 (I warunek wystarczaj ¾acy istnienia punktu przegi ¾ecia) Je·zeli funkcjaf ma w punkcie x0 pochodn ¾a (w÷asciw ¾a lub nie) oraz
_�>0
0@ ^x2(x0��;x0)
f 00 (x) > 0 ^^
x2(x0;x0+�)
f 00 (x) < 0
1A ;to punkt (x0; f (x0)) jest punktem przegi ¾ecia wykresu funkcji f .
19
6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA
Uwaga 5.36 Powy·zsze twierdzenie jest prawdziwe, gdy na zbiorach (x0 � �; x0), (x0; x0 + �)s ¾a nierównosci odwrotne.
Twierdzenie 5.37 (II warunek wystarczaj ¾acy istnienia punktu przegi ¾ecia) Je·zeli ist-nieje liczba nieparzysta n � 3 taka, ·ze
1. f 00 (x0) = f 000 (x0) = ::: = f (n�1) (x0) = 0;
2. f (n) (x0) 6= 0,
to (x0; f (x0)) jest punktem przegi ¾ecia wykresu funkcji f .
6 Ca÷ka nieoznaczona i oznaczona
6.1 Ca÷ka nieoznaczonaDe�nicja 6.1 Funkcj ¾e F nazywamy funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f na przedziale I, je·zeli Fjest ró·zniczkowalna i
F 0 (x) = f (x)
dla ka·zdego x 2 I.
Twierdzenie 6.2 Je·zeli F jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f na przedziale I, to
1. G (x) = F (x) + c, gdzie c 2 R, jest funkcj ¾a pierwotn ¾a f na I;
2. ka·zda funkcja pierwotna funkcji f na przedziale I jest postaci F (x) + c dla pewnejsta÷ej c.
Twierdzenie 6.3 Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a na przedziale I ma funkcj ¾e pierwotn ¾a.
De�nicja 6.4 Niech f : I ! R b ¾edzie ustalon ¾a funkcj ¾a. Zbiór wszystkich funkcji pierwot-nych funkcji f nazywamy ca÷k ¾a nieoznaczon ¾a funkcji f i oznaczamy przezZ
f (x) dx:
Jesli F jest funkcj ¾a pierwotn ¾a f na przedziale I, toZf (x) dx = fF (x) + c : c 2 Rg:
Uwaga 6.5 Ogólniej, powiemy, ·ze F jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f : X ! R je·zeli F jestró·zniczkowalna na X oraz
F 0 (x) = f (x)
dla ka·zdego x 2 X (nie wymagamy teraz, ·zeby dziedzina funkcji f by÷a jednym przedzia÷em).Je·zeli f (x) = 0 dla x 6= 0, to funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f jest ka·zda funkcja postaci
F (x) =
�C1; x < 0;C2; x > 0;
gdzie C1 i C2 s ¾a dowolnymi sta÷ymi.
20
6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA
Ca÷ki nieoznaczone pewnych funkcji elementarnych
1.R0dx = C; x 2 R,
2.Rxndx = 1
n+1xn+1 + C; x 2 R, n 2 N [ f0g, w szczególnosci
R1dx = x+ C;
3.Rxpdx = 1
p+1xp+1 + C, gdzie p 2 f�2;�3;�4; :::g, x 2 (�1; 0) lub x 2 (0;1),
4.Rx�dx = 1
�+1x�+1 + C, � 2 R� Z,
5.R1xdx = ln jxj+ C, gdzie x 2 (�1; 0) lub x 2 (0;1),
6.Rexdx = ex + C
7.Raxdx = 1
ln aax + C;
8.Rsinxdx = � cosx+ C;
9.Rcosxdx = sinx+ C;
10.R
dxcos2 x = tg x+ C, gdzie x 2
���2 + k�;
�2 + k�
�i k 2 Z jest ustalone,
11.R
dxsin2 x
= � ctg x+ C;
12.R
dx1+x2 = arctg x+ C;
13.R
dxp1�x2 = arcsinx+ C, jxj < 1:
Twierdzenie 6.6 Je·zeli f i g maj ¾a funkcje pierwotne na przedziale I, to
1.R(f (x)� g (x)) dx =
Rf (x) dx�
Rg (x) dx;
2.R�f (x) dx = �
Rf (x) dx dla dowolnej liczby � 2 R.
Twierdzenie 6.7 (o ca÷kowaniu przez cz¾esci) Je·zeli funkcje f i g s ¾a ró·zniczkowalne ijedna z funkcji fg0 lub f 0g ma funkcj ¾e pierwotn ¾a, to druga z nich te·z ma, przy czymZ
f (x) g0 (x) dx = f (x) g (x)�Zf 0 (x) g (x) dx:
Twierdzenie 6.8 (o ca÷kowaniu przez podstawienie) Je·zeli:
1. f : I ! J jest ró·zniczkowalna,
2. g : J ! R ma funkcj ¾e pierwotn ¾a G,
to wówczas funkcja (g � f) f 0 jest ca÷kowalna przy czymZ(g (f (t))) f 0 (t) dt = G (f (t)) + C:
Twierdzenie 6.9 1.R f 0(x)
f(x) dx = ln jf (x)j+ C;
2.R f 0(x)p
f(x)dx = 2
pf (x) + C:
21
6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA
6.2 Ca÷ka oznaczonaDe�nicja 6.10 Podzia÷em przedzia÷u [a; b] nazywamy zbiór P = fxi 2 [a; b] : i =0; 1; :::; ng taki, ·ze
a = x0 < x1 < ::: < xn = b:
Zbiór wszystkich podzia÷ów przedzia÷u [a; b] oznaczamy przez P [a; b].Wartosciowaniem podzia÷u P nazywamy zbiór T = fti 2 [a; b] : i = 1; :::; ng taki, ·ze
ti 2 [xi�1; xi] ; i = 1; :::; n:
Zbiór wszystkich wartosciowan podzia÷u P oznaczamy przez T (P ).Srednic ¾a podzia÷u P nazywamy liczb ¾e
� (P ) = maxfxi � xi�1 : i = 1; :::; ng:
De�nicja 6.11 Niech f : [a; b] ! R. Sum ¾a Riemanna dla funkcji f , podzia÷u P = fxi :i = 0; :::; ng przedzia÷u [a; b] i jego wartosciowania T = fti : i = 1; :::; ng nazywamy liczb ¾e
S (f; P; T ) =nXi=1
f (ti) (xi � xi�1) :
De�nicja 6.12 Ci ¾ag podzia÷ów (Pk), k 7! Pk 2 P [a; b] nazywamy normalnym, je·zeli
limk!1
� (Pk) = 0.
De�nicja 6.13 Liczb ¾e S (f) nazywamy ca÷k ¾a Riemanna z funkcji f na przedziale [a; b],je·zeli dla dowolnego normalnego ci ¾agu podzia÷ów (Pk) przedzia÷u [a; b] i dowolnego ci ¾aguwartosciowan (Tk) (Tk 2 T (Pk))
S (f) = limk!1
S (f; Pk; Tk) :
Liczb ¾e S (f) w dalszym ci ¾agu oznaczac b ¾edziemy przez
S (f) =
Z b
a
f (x) dx:
De�nicja 6.14 Funkcj ¾e f , dla której istnieje ca÷ka Riemanna na przedziale [a; b] nazywamyfunkcj ¾a ca÷kowaln ¾a na [a; b]. Przyjmujemy dodatkowo, ·zeZ a
a
f (x) dx = 0
i dla funkcji ca÷kowalnej f na [a; b]Z a
b
f (x) dx = �Z b
a
f (x) dx:
Interpretacja geometryczna ca÷ki oznaczonej.Niech f b¾edzie ca÷kowalna na [a; b]. Je·zeli f (x) � 0 dla x 2 [a; b] oraz
D = f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] ^ 0 � y � f (x)g;
22
6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA
to Z b
a
f (x) dx = jDj ;
je·zeli f (x) � 0 dla x 2 [a; b] i
D = f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] ^ f (x) � y � 0g;
to Z b
a
f (x) dx = � jDj :
Twierdzenie 6.15 Je·zeli funkcje f i g s ¾a ca÷kowalne na [a; b], to wówczas f+g i �f , � 2 R,s ¾a ca÷kowalne, przy czym
1.R ba(f (x) + g (x)) dx =
R baf (x) dx+
R bag (x) dx;
2.R ba�f (x) dx = �
R baf (x) dx:
Twierdzenie 6.16 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na przedziale [a; b] i c 2 (a; b), toZ b
a
f (x) dx =
Z c
a
f (x) dx+
Z b
c
f (x) dx:
Twierdzenie 6.17 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na [a; b], to wówczas jf j jest te·z ca÷kowalnana [a; b] i �����
Z b
a
f (x) dx
����� �Z b
a
jf (x)j dx:
Twierdzenie 6.18 Je·zeli f i g s ¾a ca÷kowalne na [a; b] i f (x) � g (x) dla ka·zdego x 2 [a; b],to Z b
a
f (x) dx �Z b
a
g (x) dx:
Twierdzenie 6.19 Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a f : [a; b]! R jest ca÷kowalna na [a; b].
Uwaga 6.20 Zachodzi fakt ogólniejszy: je·zeli f : [a; b]! R jest ograniczona i ma skonczon ¾aliczb ¾e punktów nieci ¾ag÷osci pierwszego rodzaju, to f jest ca÷kowalna.
Twierdzenie 6.21 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na [a; b], to jest ograniczona.
Przyk÷ad 6.22 Funkcja Dirichleta f : [0; 1]! R
f (x) =
�1; x 2 Q;0; x =2 Q
jest ograniczona, ale nie jest ca÷kowalna w sensie Riemanna.
23
6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA
Twierdzenie 6.23 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na [a; b] i istniej ¾a liczby m;M takie, ·ze^x2[a;b]
m � f (x) �M;
to wówczas
m (b� a) �Z b
a
f (x) dx �M (b� a) :
Twierdzenie 6.24 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a ca÷kowaln ¾a na przedziale [a; b] i niech x0 2 [a; b]b ¾edzie dowolnym punktem. Wówczas funkcja
F (x) =
Z x
x0
f (t) dt
jest ci ¾ag÷a. Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a w x, to F jest ró·zniczkowalna w x, przy czymF 0 (x) = f (x) :
Twierdzenie 6.25 (Newtona-Leibniza, zasadnicze tw. rachunku ca÷kowego) Je·zelif : [a; b]! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, toZ b
a
f (x) dx = F (b)� F (a) ;
gdzie F jest dowoln ¾a funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f .
Uwaga 6.26 Przyjmujemy nast¾epuj ¾ace oznaczenie
F (x) jba = F (b)� F (a) :
Uwaga 6.27 Za÷ó·zmy, ·ze a > 0 i f jest ca÷kowalna na przedziale [�a; a].
� Je·zeli f jest parzysta, toR a�a f (x) dx = 2
R a0f (x) dx:
� Je·zeli f jest nieparzysta, toR a�a f (x) dx = 0:
Twierdzenie 6.28 (o ca÷kowaniu przez cz¾esci) Je·zeli funkcje f i g maj ¾a ci ¾ag÷e pochodnena [a; b], to Z b
a
f 0 (x) g (x) dx = [f (x) g (x)]ba �
Z b
a
f (x) g0 (x) dx:
Twierdzenie 6.29 (o ca÷kowaniu przez podstawienie) Je·zeli ' : [�; �] �! [a; b] maci ¾ag÷¾a pochodn ¾a, ' (�) = a, ' (�) = b oraz f jest ci ¾ag÷a na [a; b], toZ b
a
f (x) dx =
Z �
�
f (' (t))'0 (t) dt:
Twierdzenie 6.30 (o wartosci sredniej) Je·zeli f : [a; b]! R jest ci ¾ag÷a, to istnieje takipunkt c 2 (a; b), ·ze Z b
a
f (x) dx = f (c) (b� a) :
24
6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA
Zastosowania geometryczne ca÷ek
� Niech dane b¾ed ¾a funkcje ci ¾ag÷e f; g : [a; b]! R. Wówczas pole obszaru ograniczonegowykresami funkcji f i g na przedziale [a; b] wyra·za si¾e wzoremZ b
a
jf (x)� g (x)j dx
� Niech (t) = (x (t) ; y (t)), t 2 [a; b] b¾edzie parametryzacj ¾a krzywej �. Powiemy,·ze � jest ÷ukiem zwyk÷ym, gdy funkcje x i y s ¾a ci ¾ag÷e i krzywa nie ma punktówwielokrotnych, tzn. (t1) 6= (t2) dla t1 6= t2. Mówimy, ·ze � jest krzyw ¾a zamkni¾et ¾a,gdy (a) = (b). Je·zeli � jest (zamkni¾etym) ÷ukiem zwyk÷ym, przy czym pochodnefunkcji x i y s ¾a ci ¾ag÷e, to d÷ugosc krzywej � jest równa
l =
Z b
a
q(x0 (t))
2+ (y0 (t))
2dt:
� Za÷ó·zmy, ·ze f : [a; b] ! R jest funkcj ¾a nieujemn ¾a. Niech V oznacza obj¾etosc bry÷ypowsta÷ej przez obrót trapezu krzywoliniowego
f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] ^ 0 � y � f (x)g
wokó÷osi OX. Wówczas obj¾etosc V jest równa
jV j = �Z b
a
f2 (x) dx:
Pole powierzchni bocznej otrzymanej bry÷y jest równe
jSj = 2�Z b
a
f (x)
q1 + (f 0 (x))
2dx:
6.3 Ca÷ki niew÷asciweDe�nicja 6.31 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest ca÷kowalna na ka·zdym przedziale [a; �] dla ka·zdejliczby � > a. Je·zeli istnieje granica w÷asciwa
lim�!+1
Z �
a
f (x) dx;
to nazywamy j ¾a ca÷k ¾a niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale [a;+1) i oznaczamy symbolemZ +1
a
f (x) dx:
St ¾ad Z +1
a
f (x) dxdef= lim
�!+1
Z �
a
f (x) dx:
Je·zeli powy·zsza granica istnieje i jest w÷asciwa, to mówimy, ·ze ca÷ka funkcji f na przedziale[a;+1) jest zbie·zna. Je·zeli granica ta nie istnieje lub jest niew÷asciwa, to mówimy, ·ze ca÷kaniew÷asciwa jest rozbie·zna. Ca÷k ¾e niew÷asciw ¾a na przedziale nieograniczonym nazywamyca÷k ¾a niew÷asciw ¾a pierwszego rodzaju.
25
6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA
W podobny sposób okreslamy ca÷k¾e niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale (�1; a]:Z a
�1f (x) dx
def= lim
�!�1
Z a
�
f (x) dx:
De�nicja 6.32 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na ka·zdym przedziale [a; b], to ca÷k ¾e funkcjif na przedziale (�1;+1) de�niujemy jako sum ¾eZ +1
�1f (x) dx
def= lim
�!�1
Z 0
�
f (x) dx+ lim�!+1
Z �
0
f (x) dx:
Mówimy, ·ze ca÷ka funkcji f na przedziale (�1;+1) jest zbie·zna, gdy zbie·zne s ¾a ca÷kiR 0�1 f (x) dx i
R10f (x) dx.
Uwaga 6.33 Ca÷ki niew÷asciwejR +1�1 f (x) dx nie nale·zy mylic z granic ¾a
lim�!1
Z �
��f (x) dx
(jest to tzw. wartosc g÷ówna ca÷ki). Je·zeli ca÷ka niew÷asciwaR +1�1 f (x) dx jest zbie·zna, to
istnieje skonczona wartosc g÷ówna ca÷ki. Odwrotnie byc nie musi. Dla przyk÷adu
lim�!+1
Z �
��sinx dx = 0
(bo funkcja sin jest nieparzysta), ale ca÷kaR +1�1 sinx dx jest rozbie·zna.
Przyk÷ad 6.34 Ca÷ka Z +1
1
dx
x�
jest rozbie·zna dla � � 1 i zbie·zna dla � > 1.
Twierdzenie 6.35 (Kryterium porównawcze) Za÷ó·zmy, ·ze funkcje f; g : [a;+1) ! Rs ¾a ca÷kowalne na ka·zdym przedziale [a; �] dla � > a oraz^
x�a0 � f (x) � g (x) :
� Je·zeli ca÷kaR +1a
g (x) dx jest zbie·zna, to zbie·zna jest ca÷kaR +1a
f (x) dx.
� Je·zeli ca÷kaR +1a
f (x) dx jest rozbie·zna, to ca÷kaR +1a
g (x) dx jest rozbie·zna.
De�nicja 6.36 Mówimy, ·ze ca÷kaR +1a
f (x) dx jest bezwzgl ¾ednie zbie·zna, gdy zbie·zna jest
ca÷kaR +1a
jf (x)j dx. Je·zeli ca÷kaR +1a
f (x) dx jest zbie·zna, ale nie bezwgl ¾ednie, to mówimy,·ze jest warunkowo zbie·zna.
Twierdzenie 6.37 Je·zeli dla ka·zdego � > a funkcja f jest ca÷kowalna na przedziale [a; �] ica÷ka
R +1a
jf (x)j jest zbie·zna, to ca÷kaR +1a
f (x) dx jest zbie·zna, przy czym����Z +1
a
f (x) dx
���� � Z +1
a
jf (x)j :
26
7. SZEREGI
De�nicja 6.38 Niech f : [a; b)! R b ¾edzie funkcj ¾a nieograniczon ¾a i ca÷kowaln ¾a na ka·zdymprzedziale [a; �], gdzie a < � < b. Je·zeli istnieje granica w÷asciwa
lim�!b�
Z �
a
f (x) dx;
to nazywamy j ¾a ca÷k ¾a niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale [a; b]. Oznaczamy j ¾a symbolemR baf (x) dx i st ¾ad Z b
a
f (x) dx = lim�!b�
Z �
a
f (x) dx:
Podobnie, je·zeli f : (a; b] ! R jest funkcj ¾a nieograniczon ¾a i ca÷kowaln ¾a na ka·zdymprzedziale [�; b], gdzie a < � < b, to ca÷k ¾a niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale [a; b] nazywamygranic¾e Z b
a
f (x) dxdef= lim
�!a+
Z b
�
f (x) dx;
przy za÷o·zeniu, ·ze powy·zsza granica istnieje i jest skonczona.Ca÷k¾e niew÷asciw ¾a z funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym nazywamy ca÷k ¾a
niew÷asciw ¾a drugiego rodzaju. Je·zeli ca÷ka ta istnieje, to mówimy, ·ze jest zbie·zna, w przeci-wnym wypadku mówimy, ·ze jest rozbie·zna.
Przyk÷ad 6.39 Ca÷kaR 10dxx� jest zbie·zna dla � < 1 i rozbie·zna dla � � 1.
Je·zli istniej ¾a ca÷ki niew÷asciwe drugiego rodzaju funkcji f na przedzia÷ach [a0; a1], [a1; a2],:::,[an�1; an],to przyjmujemy Z an
a0
f (x) dx =nXi=1
Z ai
ai�1
f (x) dx:
7 SzeregiDe�nicja 7.1 Niech b¾edzie dany ci ¾ag (an) liczb rzeczywistych. Ci ¾agiem sum cz ¾esciowychodpowiadaj ¾acych ci ¾agowi (an) nazywamy ci ¾ag (sn), gdzie
sn = a1 + :::+ an:
Szeregiem o wyrazie ogólnym an nazywamy par¾e uporz ¾adkowan ¾a ((an) ; (sn)) i oznaczamyprzez
1Xn=1
an:
De�nicja 7.2 Mówimy, ·ze szeregP1
n=1 an jest zbie·zny, je·zeli zbie·zny jest ci ¾ag sum cz ¾es-ciowych (sn) dla ci ¾agu (an). Je·zeli s = lim
n!1sn, to s nazywamy sum ¾a szeregu
P1n=1 an i
piszemy
s =1Xn=1
an.
Mówimy, ·ze szeregP1
n=1 an jest rozbie·zny, je·zeli ci ¾ag sum cz ¾esciowych (sn) dla ci ¾agu (an)jest rozbie·zny.
27
7. SZEREGI
Twierdzenie 7.3 (Warunek konieczny zbie·znosci szeregów) Je·zeli szereg1Pn=1
an jest
zbie·zny, to limn!1
an = 0.
Twierdzenie 7.4 Je·zeli szereg1Pn=1
an jest zbie·zny do a oraz szereg1Pn=1
bn jest zbie·zny do
b, to wówczas szeregi1Pn=1
(an + bn) oraz1Pn=1
�an s ¾a zbie·zne (� 2 R jest dowoln ¾a liczb ¾a) przyczym
1Xn=1
(an + bn) = a+ b;
1Xn=1
�an = �a:
Twierdzenie 7.5 (kryterium porównawcze) Za÷ó·zmy, ·ze dla prawie wszystkich n za-chodzi nierównosc
0 � an � bn:
� Je·zeli szeregPbn jest zbie·zny, to szereg
Pan jest zbie·zny.
� Je·zeli szeregPan jest rozbie·zny, to szereg
Pbn jest rozbie·zny.
De�nicja 7.6 Szeregiem harmonicznym rz ¾edu � nazywamy szereg postaci
1Xn=1
1
n�:
Twierdzenie 7.7 Szereg harmoniczny1Pn=1
1n� jest:
� zbie·zny, gdy � > 1;
� rozbie·zny, gdy � � 1:
Twierdzenie 7.8 (kryterium d�Alemberta) Za÷ó·zmy, ·ze an > 0 dla ka·zdego n i niech
g = limn!1
an+1an
:
� Je·zeli g < 1, to szereg1Pn=1
an jest zbie·zny.
� Je·zeli g > 1, to szereg1Pn=1
an jest rozbie·zny.
Twierdzenie 7.9 (kryterium Cauchy�ego) Za÷ó·zmy, ·ze an � 0 dla ka·zdego n i niech
g = limn!1
npan:
� Je·zeli g < 1, to szeregP1
n=1 an jest zbie·zny.
� Je·zeli g > 1, to szeregP1
n=1 an jest rozbie·zny.
28
7. SZEREGI
Uwaga 7.10 Je·zeli an > 0 dla ka·zdego n i limn!1
an+1an
= g, to limn!1
npan = g (granica g mo·ze
byc niew÷asciwa). Przyk÷ad ci ¾agu 1; 1; 12 ;12 ;
14 ;
14 ; ::: wskazuje, ·ze istnieje granica lim
n!1npan
(=p22 ) mimo, ·ze nie istnieje granica lim
n!1an+1an: Jesli wi¾ec szereg spe÷nia za÷o·zenia kryterim
d�Alemberta, to spe÷nia te·z za÷o·zenia kryterium Cauchy�ego.
Twierdzenie 7.11 (Leibniza) Je·zeli ci ¾ag (an) spe÷nia warunki:
1. a1 � a2 � a3 � :::: � 0;
2. limn!1
an = 0,
to szereg1Pn=1
(�1)n an jest zbie·zny.
Przyk÷ad 7.12 Szereg1Pn=1
(�1)n 1n jest zbie·zny (jest to tzw. szereg anharmoniczny)
De�nicja 7.13 Mówimy, ·ze szereg1Pn=1
an jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny, gdy szereg1Pn=1
janj
jest zbie·zny. Mówimy, ·ze szereg1Pn=1
an jest warunkowo zbie·zny, gdy jest zbie·zny, ale nie
jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny.
Twierdzenie 7.14 Je·zeli szereg1Pn=1
an jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny, to jest zbie·zny.
Przyk÷ad 7.15 Szereg1Pn=1
(�1)n 1n jest warunkowo zbie·zny.
Twierdzenie 7.16 (o mno·zeniu szeregów) Je·zeli szeregPan jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny
i szeregPbn jest zbie·zny, to szereg
Pcn, gdzie
c1 = a1b1;
c2 = a2b1 + a1b2;
c3 = a3b1 + a2b2 + a1b3;
:::
cn = anb1 + an�1b2 + :::+ a2bn�1 + a1bn
::
jest te·z zbie·zny, przy czym Xan �
Xbn =
Xcn:
Uwaga 7.17 Wyst¾epuj ¾acy powy·zej szeregPcn nazywamy iloczynem szeregów
Pan iP
bn.
Twierdzenie 7.18 (Cauchy � Maclaurina) Niech f : [a;1)! R b ¾edzie funkcj ¾a nieu-jemn ¾a, nierosn ¾ac ¾a i ca÷kowaln ¾a na ka·zdym przedziale [a; �], dla � > a. Ca÷ka
R1af (x) jest
zbie·zna wtedy i tylko wtedy, gdy szeregP1
n=1 f (a+ n) jest zbie·zny.
29
8. CI ¾AGI I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POT ¾EGOWE
8 Ci ¾agi i szeregi funkcyjne. Szeregi pot ¾egowe
8.1 Ci ¾agi funkcyjneNiech F oznacza zbiór funkcji f : X ! R, gdzie X � R. Ci ¾agiem funkcyjnym nazywamyka·zdy ci ¾ag (fn) funkcji ze zbioru F , tzn. dla ka·zdego n 2 N jest przyporz ¾adkowana pewnafunkcja fn : X ! R. Dla przyk÷adu
fn (x) = nx; gn (x) = 1 + xn; hn (x) =
px sinnx:
De�nicja 8.1 Mówimy, ·ze ci ¾ag funkcyjny (fn), fn : X ! R, jest zbie·zny punktowo dofunkcji f : X ! R, je·zeli dla ka·zdego x 2 X zachodzi równosc
limn!1
fn (x) = f (x) :
Piszemy wtedy fn ! f .
De�nicja 8.2 Mówimy, ·ze ci ¾ag (fn) funkcji f : X ! R jest jednostajnie zbie·zny dofunkcji f : X ! R, je·zeli ^
">0
_k2N
^n>k
^x2X
jfn (x)� f (x)j < ":
Piszemy wówczas fn � f .
Uwaga 8.3 Zauwa·zmy, ·ze je·zeli ci ¾ag (fn) jest zbie·zny jednostajnie do funkcji f , to jest te·zzbie·zny punktowo do f . Odwrotnie byc nie musi. Ci ¾ag fn (x) = 1
nx jest zbie·zny punktowodo funkcji sta÷ej f (x) = 0 dla x 2 R, ale nie jest to zbie·znosc jednostajna. Niech " = 1.Wówczas dla dowolnego n 2 N mamy
fn (("+ 1)n) =1
n("+ 1)n = "+ 1 � ":
Twierdzenie 8.4 Je·zeli ci ¾ag (fn) funkcji ci ¾ag÷ych fn : X ! R jest jednostajnie zbie·zny dofunkcji f : X ! R, to f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a.
De�nicja 8.5 Niech (fn) b ¾edzie ci ¾agiem funkcyjnym fn : X ! R. Ci ¾agiem sum cz ¾es-ciowych dla ci ¾agu (fn) nazywamy ci ¾ag funkcyjny (un)
un (x) = f1 (x) + :::+ fn (x) :
Szeregiem funkcyjnymPfn o wyrazie ogólnym fn nazywamy par¾e uporz ¾adkowan ¾a ((fn) ; (un)),
gdzie (un) jest ci ¾agiem sum cz ¾esciowych dla ci ¾agu (fn). Mówimy, ·ze szereg funkcyjnyPfn
jest zbie·zny, je·zeli dla ka·zdego x 2 X ci ¾ag (un (x)) jest zbie·zny do pewnej liczby f (x).Funkcj ¾e f nazywamy wtedy sum ¾a szeregu
Pfn i piszemyX
fn (x) = f (x) :
Mówimy, ·ze szereg funkcyjnyPfn jest zbie·zny jednostajnie do funkcji f : X ! R, je·zeli
ci ¾ag sum cz ¾esciowych (un) jest jednostajnie zbie·zny na X do funkcji f .
Twierdzenie 8.6 Suma jednostajnie zbie·znego szeregu funkcji ci ¾ag÷ych jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a.
30
8. CI ¾AGI I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POT ¾EGOWE
Twierdzenie 8.7 (Weierstrassa) Je·zeli szeregPan jest zbie·zny i dla (prawie) ka·zdego
n spe÷niona jest nierównosc ^x2X
jfn (x)j � an;
to szereg funkcyjnyPfn jest zbie·zny jednostajnie i bezwzgl ¾ednie.
8.2 Szeregi pot ¾egoweDe�nicja 8.8 Szeregiem pot ¾egowym o wyrazie ogólnym an nazywamy szereg postaci
a0 + a1x+ a2x2 + :::+ anx
n + ::: =1Xn=0
anxn;
przy czym przyjmujemy, ·ze 00 = 1.
Uwaga 8.9 Szereg pot¾egowyPanx
n jest zawsze zbie·zny dla x = 0 � jego suma równa si¾ewtedy a0.
Twierdzenie 8.10 Je·zeli szereg pot ¾egowyPanx
n jest zbie·zny dla pewnego x0 2 R, to jestzbie·zny dla wszystkich x takich, ·ze jxj < jx0j.
De�nicja 8.11 Promieniem zbie·znosci szeregu pot ¾egowegoPanx
n nazywamy liczb ¾e
r = supfjx0j : szereg1Xn=0
anxn0 jest zbie·znyg
W szczególnosci, jesli r = +1, to szereg pot ¾egowy jest zbie·zny dla ka·zdego x; gdy zas r = 0,to jest zbie·zny tylko dla x0 = 0. Przedzia÷(�r; r) nazywamy przedzia÷em zbie·znosci szeregu(gdy r = +1, to przedzia÷em zbie·znosci jest R).
Twierdzenie 8.12 Szereg pot ¾egowy jest jednostajnie i bezwzgl ¾ednie zbie·zny w ka·zdym przedzialedomkni ¾etym po÷o·zonym wewn ¾etrz przedzia÷u zbie·znosci.
Wniosek 8.13 Ka·zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a w przedziale (�r; r), gdzie r jestjego promieniem zbie·znosci.
Twierdzenie 8.14 (Hadamarda-Cauchy�ego) Je·zeli
g = limn!1
npjanj lub g = lim
n!1
����an+1an
���� ;to promien zbie·znosci szeregu pot ¾egowego
Panx
n jest równy
r =
8<:+1; g = 01g ; 0 < g < +10; g = +1:
Twierdzenie 8.15 Ka·zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj ¾a ró·zniczkowaln ¾a wewn ¾atrz przedzia÷uzbie·znosci, przy czym 1X
n=0
anxn
!0=
1Xn=1
nanxn�1:
31
8. CI ¾AGI I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POT ¾EGOWE
Twierdzenie 8.16 Ka·zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj ¾a ca÷kowaln ¾a wewn ¾atrz przedzia÷u zbie·znosci,przy czym Z x
0
1Xn=0
antn
!dt =
1Xn=1
an�1xn
n
Twierdzenie 8.17 (Abela) Szereg pot ¾egowy zbie·zny w jednym z kranców przedzia÷u zbie·znoscijest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a (jednostronnie) w tym punkcie.
8.3 Szeregi TayloraDe�nicja 8.18 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f ma w punkcie x0 pochodn ¾a rz ¾edu n 2 N. Wielomian
fn;x0 (x) = f (x0) +f 0 (x0)
1!(x� x0) +
f 00 (x0)
2!(x� x0)2 + :::
:::+f (n) (x0)
n!(x� x0)n
=nXk=0
f (k) (x0)
k!(x� x0)k
nazywamy wielomianem Taylora rz ¾edu n funkcji f w punkcie x0. Je·zeli x0 = 0, towielomian ten nazywamy wielomianem Maclaurina
fn;0 (x) =nXk=0
f (k) (0)
k!xk:
Twierdzenie 8.19 (wzór Taylora z reszt ¾a Lagrange�a) Je·zeli funkcja f jest n krotnieró·zniczkowalna na przedziale [x0; x], to istnieje c 2 (x0; x), ·ze
f (x) = fn�1;x0 (x) +Rn;x0 (x) :
gdzie
Rn;x0 (x) =f (n) (c)
n!(x� x0)n
� jest to tzw. n-ta reszta Lagrange�a. Zatem
f (x) = f (x0) +f 0 (x0)
1!(x� x0) +
f 00 (x0)
2!(x� x0)2 + :::
:::+f (n�1) (x0)
(n� 1)! (x� x0)n�1 +f (n) (c)
n!(x� x0)n :
Uwaga 8.20 Reszt¾e Lagrange�a mo·zna zapisac w nast¾epuj ¾acej postaci: je·zeli h = x � x0,to
Rn;x0 (x) =f (n) (x0 + �h)
n!hn;
gdzie � 2 (0; 1).
Je·zeli x0 = 0, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina
f (x) = f (0) + f 0 (0)x+ :::+f (n�1) (0)
(n� 1)! xn�1 +
f (n) (�x)
n!xn:
32
8. CI ¾AGI I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POT ¾EGOWE
Uwaga 8.21 Je·zeli limn!1
Rn;x0 (x) = 0 na pewnym otoczeniu punktu x0, to wówczas ze
wzoru Taylora dostajemy
f (x) =1Xn=0
f (n) (x0)
n!(x� x0)n :
Jest to tzw. rozwini¾ecie w szereg Taylora funkcji f w otoczeniu punktu x0. W szczegól-nosci, jesli we wzorze Maclaurina lim
n!1Rn;0 (x) = 0 na otoczeniu 0, to
f (x) =1Xn=0
f (n) (0)
n!xn
� rozwini¾ecie funkcji f w szereg Maclaurina.
Przyk÷ad 8.22 Przyk÷adowe rozwini¾ecia funkcji w szereg Maclaurina:
1.
ex =1Xn=0
xn
n!;
2.
sinx =1Xn=0
(�1)n x2n+1
(2n+ 1)!;
3.
cosx =1Xn=0
(�1)n x2n
(2n)!;
4.
ln (x+ 1) =1Xn=1
(�1)n+1 xn
n; jxj < 1;
5.
(1 + x)�=
1Xn=0
� (�� 1) ::: (�� n+ 1)n!
xn; jxj < 1:
33