WYKŁAD 3

METODY OBLICZANIA PRZEPŁYWU

POMIĘDZY DWOMA ZBIORNIKAMI,

OPORNOŚĆ HYDRAULICZNA,

CHARAKTERYSTYKA PRZEPŁYWU

p1

1

z1

p1

rg

e2

p2

p2

rg

z2v3

l1, d1, l1, v1, z1=z11+z12+z13+z14

z11z12 z13

∆z

e1

1

33

2 2z21 z31

z32

z33

z35

z14

l2, d2, l2, v2, z2=z21

l3, d3, l3, v3, z3a=z31+z32+z33+z34

z3b=z31+z32+z33+z34+z35 z34

1. Równanie Bernoulliego dla zagadnienia przepływu pomiędzy 1. Równanie Bernoulliego dla zagadnienia przepływu pomiędzy

dwoma zbiornikami dwoma zbiornikami

Zagadnienie przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu rzeczywistego można rozwiązać pisząc równanie Bernoulliego dla•przekroju na powierzchni cieczy zbiornika zasilającego oraz przekroju na końcu ostatniego przewodu albo,•przekrojów położonych na powierzchniach cieczy zbiorników.

31 21 1 2 2 3 3

1 2 3

.... a

ll l

d d dz l z l z l

1.1. Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-3 ma postać

po oznaczeniu

oraz podstawieniu równania ciągłości przepływu

otrzymamy

23 3 31 1 2 21 2 34 4 5 4 5 4 5 2

3 1 1 2 2 3 3

8av

ll le q

d d d d d d d g

zz zl l l

po przekształceniu

22 23 31 1 2 2

1 1 2 2 3 31 2 3

...2 2 2a

ll l

d g d g d g

z l z l z l

równanie przybiera postać

Strumień objętości wynosi

Od jakich wielkości zależy oporność hydrauliczna R* ?

Po wprowadzeniu pojęcia oporności hydraulicznej w R* w postaci:

* 3 3 31 1 2 21 2 34 4 5 4 5 4 5 2

3 1 1 2 2 3 3

8a ll lR

d d d d d d d g

zz zl l l

Jeżeli znamy wartości współczynników strat to znamy oporność hydrauliczną i możemy obliczyć strumień objętości jako

Widać, że wyznaczenie strumienia objętości wymaga znajomości oporności hydraulicznej, która to z kolei wielkość zależy od współczynników strat zależnych od strumienia objętości.

Przy braku znajomości współczynników strat do wyznaczenia oporności hydraulicznej i strumienia objętości konieczne jest zastosowanie metody kolejnych przybliżeń (opis w dalszej części).

Alternatywne równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2 leżących na powierzchniach cieczy w zbiornikach ma postać

22 23 31 1 2 2

1 1 2 2 31 2 3

....2 2 2

ll l

d g d g d g

z l z l l

Po analogicznych przekształceniach i podstawieniach zdefiniowanych wielkości otrzymujemy

231 1 2 21 2 34 5 4 5 4 5 2

1 1 2 2 3 3

8v

ll le q

d d d d d d g

z zl l l

1.2. Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2

* 3 31 1 2 21 2 34 5 4 5 4 5 2

1 1 2 2 3 3

8b ll lR

d d d d d d g

zz zl l l

Gdzie oporność hydrauliczna układu wynosi

równanie przybiera postać

Strumień masy jest zatem wynosi

Równania Bernoulliego dla przekrojów 1-2 oraz 1-3 sprowadzają się do tej samej postaci, gdy

2. Charakterystyka przewodu2. Charakterystyka przewodu

2.1. Charakterystyka prostego odcinka przewodu o wymiarach l, d

gdzie *2 5

8L

lR

gd

l

jest opornością hydrauliczną liniową przewodu o wymiarach l, d.

W ruchu laminarnym , więc

Czyli w ruchu laminarnym straty liniowe zależą wprost proporcjonalnie od strumienia objętości.

W ruchu turbulentnym, dla Re>Regr, współczynnik stratliniowych l zależy tylko od chropowatości przewodu, natomiast nie zależy od Re, a więc nie zależy też od qv. Równanie przybiera więc postać:

Czyli w rozwiniętym ruchu turbulentnym straty liniowe zależą od kwadratu strumienia objętości.

c1qvn

1<n≤2

Rys.3. Charakterystyka przepływu przewodu

Należy zauważyć, że w ruchu laminarnym strata energii zależy od d4, a w ruchu turbulentnym od d5.

2.2. Charakterystyka oporu miejscowego

_

Wysokości straty energii na oporze miejscowym obliczamy ze wzoru:

gdzie z jest współczynnikiem strat miejscowych, a średnią prędkością przepływu za przeszkodą.

W ogólnym przypadku współczynnik strat miejscowych z zależy od geometrii oporu miejscowego i liczby Reynoldsa, ale powyżej granicznej liczby Re, zwykle dla Re>104, nie ma ona już wpływu na z, zatem w tym przypadku współczynnik z konkretnego oporu miejscowego jest stały.

Po podstawieniu równania ciągłości przepływu

otrzymamy

gdzie: *2 4

8mR

g d

z

jest opornością hydrauliczną oporu miejscowego.

2.3. Ekwiwalentny współczynnik oporu liniowego

2 2

2 2e

lh

d g g

l z

stąd

ze - jest ekwiwalentnym (równoważnym) współczynnikiem oporu liniowego.

W jaki sposób zastąpić przewód o znanych parametrach d, l, l przeszkodą lokalną o równoważnym współczynniku oporu miejscowego ze ?

2.4. Charakterystyka przepływowa szeregowego systemu hydraulicznego

Na podstawie uogólnionego równania Bernoulliego, zapisanego dla przekrojów 1-2, otrzymamy:

214 2 4 2

1

8 8nv

n

e qd g d g

gdzie *

2 5 41

8 1ni

i ii i i

lR

g d dl z

natomiast *' 14 4 2 5 4 2

11

8 1 8nn i

i iin i i

lR

d d g d d g

l z

jest opornością hydrauliczną zastępczą szeregowego systemu hydraulicznego.

Charakterystyka przepływu przybiera więc postać:

Oporność hydrauliczna zastępcza dla k-tego przewodu wynosi

* 12 4 4 2 5 4

1

8 8 1k k kk k

k k k k

lR

g d d g d d

l z

gdzie : k = 1, 2, 3, …, n jest numerem elementu systemu, a Rk opornością hydrauliczną k-tego odcinka tworzącego system hydrauliczny.

Charakterystyka przepływu k-tego odcinka systemu ma postać

, (k = 1, 2, …, n)

Ponieważ

4 4*

2 5 41

5 41

8 11

1

n I

nn I i

i ini i ii

i ii i i

d d lR

g d dl

d d

l z

l z

Oporność hydrauliczną można zapisać w prostszej postaci:

oraz

1 2 ...e e e

lub graficznie (na przykładzie dwóch przewodów):

qv

e

e 1

e 2

e 2e

1

2.5. Charakterystyki przepływowe, oporność hydrauliczna i jej jednostki

3

2* *

22 5,I I

mv s

h m sR R

q m

2

2

3 3

* *2 22 7

,

m

skg

mIII III

m mv s s

p Pa kgR R

q m

2

2* *2 22

1,

m

skg

mIV IV

kg kgm s s

p PaR R

q kg m

2

* *22 2

,II IIkg

m s

h m m sR R

q kg

3. Energia rozporządzalna na początku lub końcu systemu

Oznaczając

gdzie Δe jest różnicą wysokości energii na początku e1 i końcu systemu e2

„+” dla wlotu do zbiornika

„-” dla wylotu ze zbiornika

pb

pb

rg

z2

e2

e1=e

2+R*qv

2

R*q

v02

R*

e1

Wlot do zbiornika

pb

pb

rg

z2

e2

R*q

v02

R*

e1

*2

2

1

v

ee

R q

Wylot ze zbiornika

4. Metoda graficzna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami

p1

1

z1

p1

rg

e2

p2

p2

rg

z2v3

l1, d1, l1, v1, z1=z11+z12+z13+z14

z11z12 z13

∆z

e1

1

00

2 2z21

z31

z32

z33

z35

z14

l2, d2, l2, v2, z2=z21

l3, d3, l3, v3, z3a=z31+z32+z33+z34

z3b=z31+z32+z33+z34+z35 z34

Przekrój 0-0 dzieli układ hydrauliczny na dwie części

Energia rozporządzalna w przekroju 0 wynosi:

-od strony przekroju 1

-od strony przekroju 2

GdzieRA – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 1-0RB – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 0-2

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

Przedstawiając powyższy układ równań w formie graficznej otrzymujemy

e

qv

e1

e2

*2

0

1

Av

ee

R q

*2

02

Bv

ee

R q

e0

qv0

*2 0

Av

Rq

*2 0

Bv

Rq

5. Metoda iteracyjna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami

Metoda iteracyjna stosowana jest przy braku znajomości współczynników strat (liniowych lub miejscowych).

21 2 4 5 2

1

1 2

4 5 21

8

8

ni i

i vi i i

v ni i

ii i i

le e q

d d g

e eq

l

d d g

z l

z l

Krok 1. Wybór wartości początkowej l dla każdego przewodu-poprzez przyjęcie dowolnej wartości z przedziału zmienności współczynnika strat liniowych,-poprzez rozwiązanie zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu idealnego.

Krok 2. Obliczenia strumienia objętości (masy) dla l z kroku 1.

Krok 3. Obliczenia na podstawie wybranej formuły współczynników l dla strumienia z kroku 2.

Krok 4. Obliczenia strumienia objętości (masy) dla l z kroku 3.

Krok 5. Sprawdzenie zbieżności strumienia objętości (masy).-brak zbieżności - powtórzenie kroków 3-4,-zbieżność wartości oznacza wynik.

Wybórl

początkowej

START

- założenie

wartości l

- rozwiązanie zagadnienia

dla płynu idealnego

Obliczenieqv

Wyznaczeniez formuł l

Obliczenieqv

Zbieżność qvi = qv(i-1)

KONIEC

TAK

NIE

Ilość potrzebnych iteracji zależy:•dokładności rozwiązania•wyboru punktu, startowego (w małym stopniu).

Wszystkie wielkości należy zawsze zapisywać z tą samą dokładnością (ilością miejsc po przecinku)!

Przykład 1. Metoda iteracyjnaInne dane: r=1000 kg/m3, =1,128 10-3Pa·s (w 15°C)

• Określenie kierunku przepływu

1 3

1 3

b n

n

p pe h

g

pe h

g

r

r

3 1 2

3 1 2

bpe h h

g

e h h

r

pn=200kPa

h 3=5

m

D=50mm

h 1=5

mh 2

=5m

l1=20m l2=10m l3=10m

x1=0,5xp=0,5

xk=0,25

xk=0,25xz=0,5x2=1

3 3

32

2

1 1d=

10m

m

• Uogólnione równania Bernoulliego1-2

3

2 23 1 1 2 2 2

1

...

... 22 2

b n

D k p Z d

p ph

g g

l l l h

D g d g

r r

z l z z z l

lub dla 1-3

3 1 2

2 23 1 1 2 2 2

1

...

... 22 2

b n

D k p Z d

p ph h h

g g

l l l h

D g d g

r r

z l z z z l

Po podstawieniu do równania ciągłości przepływu i obliczeniu strumienia objętości otrzymujemy

3 1 2

231 1 2 24 5 4 5 2

2 8

n

vk p Z

D d

ph h h

gq

l l l hD D d d g

rz z z zz l l

Jeśli współczynniki l są znane obliczamy strumień objętości. W przeciwnym wypadku należy zastosować metodę iteracyjną.

• Określimy l początkową na podstawie rozwiązania przykładu dla płynu idealnego. Równanie Bernoulliego dla ma wówczas postać

3 2b np p

h hg gr r

Stąd po podstawieniu równania ciągłości przepływu oraz obliczeniu strumienia objętości otrzymujemy

21 2

3 2

2 4

3 1 2

2 4

2

8

200000 9,81 0,015 5 5

1000 9,81 8

b n b

nv

v

p p p ghh h

g g g

p gdq h h h

g

q

r r r

r

• Wyznaczenie liczb Reynoldsa

3

3

3

3

4 4 1,365 10 1000Re

0,01 1,128 10

4 4 1,365 10 1000Re

0,05 1,128 10

vd

vD

qvd vd

d

q

D

rr

r

• Wyznaczenie l (w zakresie rur hydraulicznie gładkich)dla Re<105 zastosowana zostanie formuła Blasiusa,dla Re<106 zastosowana zostanie formuła Schillera.

0,3 0,3

0,25 0,25

0,054 0,396Re 0,054 0,396 154 075

(100Re) (100 30 815)

d

D

l

l

• Wyznaczenie strumienia objętości

4 5 4 5 2

2000005 5 5

1000 9,810,5 10 2 0,25 0,5 0,5 1 20 10 5 8

0,0239 0,06500,05 0,01 0,01 0,01

v

v

q

g

q

Iteracja 1

• Obliczenie liczb Re

• Obliczenie l

3

3

3

3

4 4 0,09 10 1000Re

0,01 1,128 10

4 4 0,09 10 1000Re

0,05 1,128 10

vd

vD

q

d

q

D

r

r

0,25 0,25(100Re) (100 10150)

64 64

Re 2030

d

D

l

l

przypadek?

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 120000.02

0.03

0.04

0.05

0.060.0533

0.0278

λ.1 Re.1

λ.2 Re.2

120000 Re.1 Re.2,

• Wyznaczenie strumienia objętości

vq

Iteracja 2

• Obliczenie liczb Re

• Obliczenie l

3

3

3

3

4 4 0,129 10 1000Re

0,01 1,128 10

4 4 0,129 10 1000Re

0,05 1,128 10

vd

vD

q

d

q

D

r

r

0,25 0,25

0,25 0,25

(100Re ) (100 14 500)

(100Re ) (100 2 900)

d d

D D

l

l

• Wyznaczenie strumienia objętości

vq

Iteracja 3

• Obliczenie liczb Re

• Obliczenie l

3

3

3

3

4 4 0,134 10 1000Re

0,01 1,128 10

4 4 0,134 10 1000Re

0,05 1,128 10

vd

vD

q

d

q

D

r

r

0,25 0,25

0,25 0,25

(100Re ) (100 15150)

(100Re ) (100 3 030)

d d

D D

l

l

• Wyznaczenie strumienia objętości

vq

Iteracja 4

• Obliczenie liczb Re

• Obliczenie l

3

3

3

3

4 4 0,135 10 1000Re

0,01 1,128 10

4 4 0,135 10 1000Re

0,05 1,128 10

vd

vD

q

d

q

D

r

r

0,25 0,25

0,25 0,25

(100Re ) (100 15150)

(100Re ) (100 3 030)

d d

D D

l

l

• Wyznaczenie strumienia objętości

vq

l takie jak …

Dochodzimy do …

Iteracja 5

Przykład 2. Obliczenie strumienia objętości na podstawie oporności hydraulicznych

Dla danych z poprzedniego przykładu obliczono oporności hydrauliczne przewodów

* 31 2 4 2 4

* 1 2 22 2 4

2 4

8 10 80,5 0,0426

0,05 0,05

82

20 10 5 82 0,25 0,5 0,5 0,5 0,0285

0,01 0,01

D D

d k p Z d

lR

D D g g

l l hR

d d g

g

z l

z z z z l

* 2 * 20 1 0 2 0

1 20 * * 8

25,38 10

119 200 8,439 10

D v d v

vd D

e e R q e R q

e eq

R R

Przykład 3. Metoda graficzna

* 20 1 D ve e R q

* ** *

2A B

A B

R RR R

*2

01

Av

ee

R q

*2

02

Bv

ee

R q

*2

0

2

dv

ee

Rq

* *A BR R