Reinhard Kulessa 1

Wykład 159.8 Najprostsze obwody elektryczne

A. Dzielnik napięcia. B. Mostek Wheatstone’a C. Kompensacyjna metoda pomiaru siły elektromotorycznej D. Prosty układ RC

10. Prąd elektryczny w cieczach10.1 Dysocjacja elektrolityczna10.2 Prawa elektrolizy Faraday’a10.3 Teoria przewodnictwa elektrolitycznego

Reinhard Kulessa 2

9.8 Najprostsze obwody elektryczneW tej części omówimy krótko kilka najprostszych obwodów elektrycznych.

A. Dzielnik napięcia.

A

V

R

Rx

UR

UI I

xx RIU

R

RUU x

x

(9.29)

Reinhard Kulessa 3

AR

R1

UI’

RA

R2

IA

UA’

W przypadku gdy obciążymy dzielnik oporem RA napięcie Ua

ulegnie zmianie na UA’ , przy czym '

1' RIU AA gdzie

)/(

)(

2'1

'

11'1

RRUI

RRRRR AA

Napięcie UA’ będzie więc równe:

A

AA

A

A

AA

RR

RRRU

RR

RR

RR

RRR

URIU

1

121

1

1

12

'2

'' )(

1

Reinhard Kulessa 4

B. Mostek Wheatstone’a

Mostek Wheatstone’a jest najbardziej znanym układem do pomiaru oporu elektrycznego.

G

A B

R0 Rx

C

U

I1

I D

I1

I=0

I2 I2

R1 R2

Opór mierzony wpinamy pomiędzy punktami C i B. R0 jest znanym oporem.

Reinhard Kulessa 5

Suwak na oporze AB przesuwamy tak długo, aż w gałęzi CD niepopłynie prąd. Oznacza to równość potencjałów w punktach C i D.Rozważając oczko ACD otrzymujemy;

2110

2110 0

IRIR

IRIR

.

Z kolei rozważając oczko CBD otrzymujemy;

221

221 0

IRIR

IRIR

x

x

.

Dzieląc drugą linijkę tych równań przez siebie, otrzymujemy;

1

20 R

RRRx (9.29)

Reinhard Kulessa 6

G

A BC

I02

I0

D

I02

I01 I0

R1 R2

C. Kompensacyjna metoda pomiaru siły elektromotorycznej

U0

Ux Rwx

Ix

Ix

Ix2

Ix1Ix2

Metoda ta jest podobna do wyznaczania oporów w oparciu o mostek Wheatstone’a.

Ux – szukana SEM U0 – znana SEM

Rg

Rw0-+

Reinhard Kulessa 7

Zmieniamy ustawienie suwaka na oporze AB tak długo, aż w galwanometrze przestanie płynąć prąd. Wtedy wiemy, że;

02II x Prąd w każdej gałęzi jest algebraiczną sumą prądów pochodzących od każdej siły elektromotorycznej oddzielnie, przy czym muszą zostać uwzględnione opory wewnętrzne wszystkich ogniw. Musimy również uwzględnić opór galwanometru.

Dla prądów związanych z szukaną siłą elektromotoryczną otrzymamy w oparciu o Prawa Kirchoffa;

0)(

)(

11022

11

21

RIRRI

URIRRI

III

xwx

xxwxgx

xxx

.

Reinhard Kulessa 8

Dla prądów wywołanych przez siłę elektromotoryczną U0

otrzymamy;

0101020

10102

02010

)(

0)(

URIRRI

RIRRI

III

w

wxg

Z układu podanych równań można znaleźć Ix1 i Ix2 w funkcji oporów i Ux , oraz I01 i I02 w funkcji tych samych oporów i U0.Z warunku znikania prądu w galwanometrze

xII 02otrzymujemy,

0210

1 URRR

RU

wx (9.30)

.

.

Gdy Rw0 << R=R1+R2, metoda ta jest dokładna.

Reinhard Kulessa 9

G

A BC

I2

I0

DI2

I1 I0

R1 R2

U0

Ux Rwx

U0 – znana SEM

Rg

Rw0+ -

Zakładając kierunki prądu takie jak na rysunku, oraz że opór wewnętrzny galwanometru Rg = 0, możemy napisać

Zakładając wypadkowe prądy w poszczególnych gałęziach mamy;

Reinhard Kulessa 10

xwx

w

URIRI

URIRRI

III

112

011020

210

)(

Ustawiając suwak w punkcie D tak, aby przez galwanometr nie płynął prąd, czyli I2 = 0, mamy

0

10

021

01

11

10

)(

wx

w

x

RR

RUU

RRR

UI

RIU

II

Reinhard Kulessa 11

D. Prosty układ RC

G

R

UC

K

I

Jeśli zamykamy obwód kluczem K, to w chwili t=0 łączymy nie naładowany kondensator ze źródłem siły elektromotorycznej U.

W oparciu o II Prawo Kirchoffa mamy;

U

0 IRUU C

Oznaczając chwilowe natężeniePrądu w obwodzie I, oraz chwilowe napięcie na okładkach kondensatora przez UC, otrzymamy:

-+

+ -

Reinhard Kulessa 12

C

QU

dt

dQI C

0dt

dQR

C

QU

Po przekształceniu i podzieleniu przez R otrzymamy:

Rozwiązanie tego równania ma postać:

01

R

UQ

RCdt

dQ

Po podstawieniu do poprzedniego równania otrzymamy:

)1(1t

RCC eCUQ

Reinhard Kulessa 13

Ponieważ :

CQU CC /

napięcie na kondensatorze, będzie się więc zmieniało zgodnie z równaniem:

tRC

C eUU1

1 (9.31)

Iloczyn RC ma wymiar czasu i jest nazwany czasem relaksacji.

,

.

Wstawiając wyrażenie na czasową zależność napięcia na kondensatorze do naszego wyjściowego równania, otrzymamy wzór na czasową zależność natężenia prądu ładującego kondensator.

Reinhard Kulessa 14

tRCe

R

UI

1

U

t

Przebieg napięcia na kondensatora w czasie ładowania.

UC I

t

U/R

Przebieg natężenia prądu w obwodzie w czasie ładowania kondensatora.

Reinhard Kulessa 15

10. Prąd elektryczny w cieczach10.1 Dysocjacja elektrolityczna

Powszechnie znany jest fakt, że wiele czystych cieczy źle przewodzi prąd elektryczny. Do wody destylowanej np.. wystarczy dodać roztworu NaCl czy H2SO4 , aby stała się ona dobrym przewodnikiem. Jeśli w takim roztworze umieścimy elektrody, to będą się na nich wydzielały składniki roztworów. Takie przewodniki nazywamy elektrolitami. Przepływ prądu w elektrolicie polega na poruszaniu się jonów pod wpływem przyłożonego pola elektrycznego.

Rozpad związków chemicznych na cząsteczki składowe pod wpływem rozpuszczalnika nazywamy dysocjacją elektrolityczną.

Reinhard Kulessa 16

Najbardziej znane są elektrolity następujących soli:

-

-2442

-24

24

ClNa NaCl

S0 2HSOH

SOCuCuSO

Ilościowo rozpad cząsteczek na jony określa współczynnik dysocjacji elektrolitycznej . Należy pamiętać, że w roztworze cząsteczki nie tylko ulegają dysocjacji, lecz również rekombinacji, tak, że zwykle dochodzi do stanu równowagi.Jeżeli w jednostce objętości roztworu znajduje się n0 cząsteczek, a n1 z nich jest zdysocjowanych na jony, to

01 nn (10.1)

gdzie jest współczynnikiem dysocjacji.

Reinhard Kulessa 17

Dla czystej wody współczynnik dysocjacji = 1.7·10-9.

Dla 0.0001 mola/litr roztworu KCl, = 0.993, a dla 1 mola/litr KCl, =0.757.

10.2 Prawa elektrolizy Faraday’a

anion

kation

-

+

+ -

elektrolit

Reinhard Kulessa 18

I Prawo Faraday’a mówi, że masa wydzielającej się substancji m jest proporcjonalna do przepływającego przez elektrolit ładunku Q.

tIkm

Qkm

(10.2)

Stała k jest równoważnikiem elektrochemicznym, równym liczbowo masie wydzielonej przy przepływie przez elektrolit ładunku 1 kulomba w czasie 1 sek. Stała ta ma wymiar [kg/As].

II Prawo Faraday’a mówi, że równoważniki elektrochemiczne k pierwiastków są proporcjonalne do ich równoważników chemicznych(obecnie jest to wielkość nielegalna).

iW

M

Fk

1 (10.3)

Reinhard Kulessa 19

W poprzednim wzorze M jest masą jonu, Wi jest wartościowością jonu, a F jest stałą Faraday’a (F=96485 C/mol), czyli ładunkiem mola elektronów.

Łącząc I i II prawo Faraday’a otrzymujemy:

QW

M

Fm

i

1

10.3 Teoria przewodnictwa elektrolitycznego

W elektrolicie jony poruszają się pod wpływem dwóch przyczynków. Pierwszy pochodzi od ukierunkowanego ruchu związanego z przyłożonym polem elektrycznym, a drugi od ruchów termicznych.

Reinhard Kulessa 20

Ze względu na to, że jony są znacznie większe od elektronów, nie możemy zaniedbać oporu ośrodka.Równanie ruchu jonu dodatniego będzie następujące:

vkEqam

gdzie m oznacza masę jonu, a – przyśpieszenie jonu, v – prędkość jonu, k – współczynnik tarcia, E – natężenie pola elektrycznego.

Dla pewnej prędkości v, qE – k+v+ = 0, więc prędkość jony przyjmuje stałą wartość.

k

Eqv

(10.4)

Reinhard Kulessa 21

v+ ma kierunek wektora natężenia pola elektrycznego. Analogicznie określamy prędkość jonów ujemnych.Prąd w elektrolicie jest sumą prądów jonów dodatnich i ujemnych.

Liczba jonów każdego znaku w jednostce objętości jest równa:

0nn

Całkowita gęstość prądu j jest sumą

)(0

00

vvnq

vnqvnqjjj

Wyrażenie to możemy również napisać następująco:

)( vvFj

(10.5).

Reinhard Kulessa 22

W równaniu (10.5) F jest stałą Faraday’a, a jest tzw. stężeniem równoważnym , równym ilości gramorównoważników rozpuszczonej substancji przypadającej na jednostkę objętości roztworu.

Jeśli przez N’ oznaczymy liczbę cząsteczek w gramorównoważniku substancji, to stała Faraday’a F=qN’, a = n0/N’. Wtedy qn0 = F.

Podstawiając do wzoru (10.5) wyrażenie na prędkość jonów (wzór (10.4)), otrzymamy:

Ek

q

k

qFj

)(

Reinhard Kulessa 23

Możemy jeszcze wprowadzić do ostatniego równania wyrażenie na ruchliwość jonów, ± = q/k± , otrzymujemy:

EFj

)( (10.6)

W oparciu o ostatnie wyrażenie otrzymujemy na wspólczynnik przewodnictwa elektrolitu wyrażenie:

)( F (10.7)

Odwrotność przewodnictwa właściwego daje nam wyrażenie na opór właściwy.