Witold BołtTaduesz Andrzej Kadłubowski

Logika matematyczna

wersja 0.94 (1 września 2005)

Spis treści

Wstęp 2

1 Systemy relacyjne 2

2 Język, termy i formuły 32.1 Język . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Termy i wartościowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Formuły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Zmienne wolne, związane i zdania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5 Prawdziwość formuły w systemie relacyjnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Izomorfizmy systemów relacyjnych 5

4 Teoria i model 64.1 Pojęcie teorii i modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Przykłady teorii i ich modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Aksjomaty logiki, definicja dowodu 95.1 Przykłady twierdzeń logiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Zbiór konsekwencji teorii T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Twierdzenie o dedukcji 13

7 Twierdzenie Lindenbauma, zdania nierozstrzygalne 137.1 Pojęcie sprzeczności i niesprzeczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.2 Pojęcie rozstrzygalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.3 Pojęcie zupełności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.4 Twierdzenie Lindenbauma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8 Twierdzenie o pełności oraz twierdzenie o zwartości 158.1 Twierdzenie Godla o pełności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.2 Wnioski z twierdzenia Godla o pełności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168.3 Twierdzenie Godla o zwartości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9 Arytmetyka Peano 179.1 Aksjomaty arytmetyki Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179.2 Standardowy model arytmetyki Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179.3 Niestandardowe modele arytmetyki Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.4 Zupełność i definiowalność a arytmetyka Peano i ZFC . . . . . . . . . . . . 18

10 Twierdzenia Skolema–Lowenheima i inne twierdzenia o mocach modeli 19

A Przykłady zadań 19

B Klasyczny rachunek zdań 21B.1 Oznaczenia i terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21B.2 Aksjomatyka klasycznego rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21B.3 Przykłady zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

Wstęp

Opracowanie „Logika matematematyczna”, powstało w oparciu o wykład prowadzony w se-mestrze letnim roku akademickiego 2004/2005, na wydziale Mat–Fiz–Inf Uniwersytetu Gdań-skiego, przez prof. dr hab. Ireneusza Recława dla II roku informatyki. Autorzy opracowaniaw żaden sposób nie zamierzali naruszyć praw autorskich lub jakichkolwiek innych, należącychdo wykładowcy (lub kogokolwiek innego).Opracowanie to jest udostępnione w stanie „jak jest”, tzn. autorzy dołożyli starań,

by opracowanie to było przyzwoite i rzetelne, jednak nie mogą udzielić żadnej gwaran-cji. W szczególności nie gwarantują merytorycznej poprawności, zgodności z treścią wy-kładu, użyteczności do jakichkolwiek celów, czy w końcu sensowności matematycznej zawar-tych tu treści. W przypadku znalezienie jakichkolwiek błędów, niejasności lub fragmentówktóre są zupełnie niezrozumiałe, prosimy o kontakt na adres e–mail: houp@tlen.pl, lubtkadlubo@manta.math.univ.gda.pl. Aktualną wersje skryptu można zawsze znaleźć nastronie: http://manta.univ.gda.pl/~wbolt/logic/.

1 Systemy relacyjne

Cała logika matematyczna o jakiej będziemy tutaj mówić, zajmuje się opisem i badaniemróżnych, tzw. systemów relacyjnych. Zaczniemy więc od zdefiniowania tego pojęcia.

Definicja 1.1 (system relacyjny). Systemem relacyjnym A nazywamy uporządkowany układzbiorów:

A = 〈A, {rAi }i∈I , {fA

j }j∈J , {cAk }k∈K〉,

gdzie: A to pewien niepusty zbiór1, {rAi }i∈I to zbiór relacji określonych na zbiorze A, {fA

j }j∈Jto zbiór funkcji:Anj → A, natomiast zbiór {cA

k }k∈K to zbiór wyróżnionych stałych należącychdo A.

Zbiory relacji, funkcji i stałych, o których mowa w powyższej definicji, mogą być puste.

Przykład 1.2. Oto kilka przykładów systemów relacyjnych:

• 〈R,¬〉, czyli zbiór liniowo uporządkowanych liczb rzeczywistych,

• 〈R,+, ∗, 0, 1〉, czyli ciało liczb rzeczywistych,

• 〈świat matematyczny,∈〉.

Aby móc opisywać systemy relacyjne, musimy w jakiś sposób je charakteryzować. Wpro-wadzamy więc pojęcie typu systemu relacyjnego.

Definicja 1.3 (typ systemu relacyjnego). Typ systemu relacyjnego, to uporządkowana trójkafunkcji, postaci:

τ = (τ1, τ2, τ3),

gdzie: τ1(i) to liczba argumentów i-tej relacji w systemie relacyjnym, τ2(j) to liczba argu-mentów j-tej funkcji w systemie relacyjnym, τ3(k) jest równe zero, dla każdego k ∈ K, dziękiτ3 dostajemy wiec tylko informację ile jest stałych w danym systemie.

1Zdaniem niektórych, w tym prof. Mostowskiego, dodanie warunku A 6= ∅ więcej szkodzi, niż pomaga.

2

2 Język, termy i formuły

2.1 Język

Definicja 2.1 (język). Językiem L typu τ nazywamy uporządkowaną piątkę zbiorów sym-boli:

L (τ) = 〈R,F,C,X, S〉,

gdzie:

• zbiór R to zbiór symboli relacyjnych: R = {ri : i ∈ I},

• zbiór F to zbiór symboli funkcyjnych: F = {fj : j ∈ J},

• zbiór C to zbiór symboli stałych: C = {ck : k ∈ K},

• zbiór X to zbiór symboli zmiennych: X = {xn : n ∈ N} (uwaga: jest to zawsze zbiórnieskończony!),

• zbiór S to zbiór symboli logicznych: S = {¬,→,∀,=, (, )}.

Język należy rozumieć jako zbiór symboli, które nie muszą mieć jakiegokolwiek znaczenia- jest to po prostu coś z czego składać będziemy jakieś napisy, które dopiero, gdy będą miałyjakiś model, nabiorą znaczenia. Napisy, które dalej nazywać będziemy formułami, budujemyz mniejszych „klocków”, które nazywać będziemy termami. Poniżej podajemy definicję zbioruwszystkich termów języka L .

2.2 Termy i wartościowanie

Definicja 2.2 (zbiór termów). Zbiór wszystkich termów oznaczamy przez Tm. Jest on po-staci:

Tm =⋃n

Tmn ,

gdzie Tm0 = X ∪ C, Tmn+1 = Tmn ∪ {fj(t1, . . . , tnj) : j ∈ J, t1, . . . , tnj ∈ Tmk , k ¬ n}.

Zgodnie z tą definicją, termami są zmienne i stałe z języka L , oraz wszystkie symbolefunkcji „liczone” na wcześniej zdefiniowanych termach. Zauważmy, że symbole relacyjne niesą termami!

Definicja 2.3 (podstawienie). Podstawieniem (lub inaczej wartościowaniem) nazywamy do-wolną funkcję p : X → A.

Aby zdefiniować wartość termu, musimy rozszerzyć funkcję p tak aby jej dziedziną byłzbiór Tm. Przyjmujemy więc dodatkowo: p(ck) = cA

k dla każdego k ∈ K, oraz p(fj(t1, . . . , tnj)) =fAj (p(t1), . . . , p(tnj)) dla każdego j ∈ J . W ten sposób możemy wyliczyć wartość dowolnegotermu t. Wartość tą oznaczamy przez p(t) lub t[p].

2.3 Formuły

Podobnie jak w przypadku termów, zdefiniujemy zbiór wszystkich formuł.

Definicja 2.4 (zbiór formuł). Zbiór wszystkich formuł języka L , który określamy przez Fm,jest zbiorem postaci: Fm =

⋃n Fmn , gdzie Fm0 = {t1 = t2, ri(t1, . . . , tni) : t1, . . . , tni ∈ Tm, i ∈

I}, Fmn+1 = Fmn ∪ {(F → G), (¬F ), (∀xF ) : F,G ∈ Fmn}.

3

Zbiór Fm0 z powyższej definicji, zawiera tak zwane formuły atomowe. Jak łatwo moż-na zauważyć, w definicji tej zakładamy, że wszystkie formuły powstają wyłącznie z formułatomowych, implikacji, negacji i kwantyfikatora ogólnego. Często w dowodach twierdzeńmetamatematycznych trzeba rozpatrzyć wszystkie możliwości łączenia formuł prostszych wbardziej skomplikowane. Właśnie dlatego tylko tyle sposobów na konstruowanie nowych for-muł w powyższej definicji się znalazło — lepiej mieć mniej możliwości.Oczywiście w praktyce stosuje się również inne spójniki i operatory logiczne niż te z

naszej definicji. Można udowodnić, że ten zestaw, który wybraliśmy wystarczy, aby skon-struować wszystkie inne spójniki logiczne. Należy wiedzieć, że gdy używamy innych symbolido konstruowania formuł, to traktujemy je jedynie jako skróty pojęć z powyższej definicji.:

• Zapis F ∨G należy rozumieć jako ¬F → G.

• Zapis F ∧G odpowiada zapisowi ¬(F → ¬G).

• Zapis F ⇐⇒ G to tak naprawdę (F → G) ∧ (G → F ), czyli w myśl poprzedniegonapisu ¬((F → G)→ ¬(G→ F )).

• Zapis ∃xF zastępujemy natomiast przez ¬∀x¬F .

2.4 Zmienne wolne, związane i zdania

Nieformalnie można powiedzieć, że zmienne wolne to takie które nie są „związane” żadnymkwantyfikatorem2. Na przykład w formule ∀xx + y < x, zmienna y jest zmienną wolną,natomiast x jest zmienną związaną. W związku z tym, że w termach nie występują kwanty-fikatory, przyjmuje się, że wszystkie zmienne w termie są wolne. Zbiór wszystkich zmiennychwolnych termu bądź formuły oznaczamy odpowiednio przez V (t) lub V (F ). Zmiennymi wol-nymi formuły, zależnie od jej postaci, są:

• V (t1 = t2) = V (t1) ∪ V (t2),

• V (ri(t1, . . . , tni)) = V (t1) ∪ . . . ∪ V (tni),

• V (F → G) = V (F ) ∪ V (G),

• V (¬F ) = V (F ),

• V (∀xF ) = V (F )\{x}.

Bardzo często rozważać będziemy formuły w których nie ma zmiennych wolnych. Zewzględu na swoją wagę i powszechność, takie formuły mają swoją własną nazwę.

Definicja 2.5 (zdanie). Formułę F nazywamy zdaniem, jeśli V (F ) = ∅.

2.5 Prawdziwość formuły w systemie relacyjnym

Definicja spełniania formuły w systemie relacyjnym, przy danym podstawieniu, musi obejmo-wać wszystkie możliwe postaci formuły F . W definicji będziemy używać oznaczenia A |= F [p],które należy czytać „formuła F jest spełniona w modelu A przy podstawieniu p”.Obok definicji wartościowania termów jest to tak naprawdę jedyne miejsce, gdzie warstwa

języka L styka się z prawdziwymi obiektami matematycznymi. Formuły to tylko ustawianieliterek obok siebie, dopiero tutaj przypisujemy im znaczenie.2Uwaga: pojęcie zmiennej wolnej i związanej jest tutaj potraktowane bardzo nieformalnie, gdyż mogą

zdażyć się formuły w których zmienna jest wolna w jednym miejscu formuł, a związana w innym – tzn. gdyzasięg jakiegoś kwantyfikatora jest ograniczony przez nawiasy. W takim przypadku ogólnie przyjmujemy, żezmienna jest wolna. Tak czy inaczej, aby pozbyć się takich problemów, zawsze możemy założyć, że na samympoczątku zamieniamy oznaczenia zmiennych które mogłby powodować kontrowersje – mamy do dyzpozycjinieskończenie wiele symboli zmiennych, więc nie ma z tym problemu.

4

Definicja 2.6 (spełnianie formuły w systemie relacyjnym). Zależnie od postaci formuły Fdefiniujemy kiedy A |= F [p].

• Mówimy, że A |= (t1 = t2)[p], jeśli wartości tych dwóch termów są sobie równe, czylit1[p] = t2[p].

• Mówimy, że A |= ri(t1, . . . , tn)[p], jeśli zachodzi pomiędzy wartościami tych termówrelacja rA

i (t1[p], . . . , tn[p]).

• Mówimy, że A |= (F → G)[p], jeśli A |= F [p] implikuje A |= G[p].

• Mówimy, że A |= (¬F )[p], jeśli nieprawda, że A |= F [p].

• Mówimy, że A |= (∀xF )[p], jeśli dla każdego elementu a ∈ A zachodzi A |= F [p(a/x)],

gdzie p(a/x)(y) ={a y = xp(y) y 6= x .

3 Izomorfizmy systemów relacyjnych

Definicja 3.1 (izomorfizm systemów relacyjnych3). Niech A i B będą systemami relacyjnymitych samych typów. Funkcja h : A→ B jest izomorfizmem, jeśli:

1. h jest bijekcją, tzn. jest różnowartościowa i „na”,

2. dla każdego i ∈ I zachodzi rAi (x1, . . . , xk) ≡ rB

i (h(x1), . . . , h(xk)),

3. dla każdego j ∈ J zachodzi h(fAj (x1, . . . , xn)) = f

Bj (h(x1), . . . , h(xk)),

4. dla każdego k ∈ K zachodzi h(cAk ) = c

Bk .

Twierdzenie 3.2. Niech A i B systemy relacyjne tych samych typów, oraz h : A → B izo-morfizm. Niech p będzie dowolnym podstawieniem. Wtedy, dla każdej formuły F , zachodzi:

A |= F [p] ≡ B |= F [h ◦ p].

A gdy F jest zdaniem, zachodzi:A |= F ≡ B |= F.

Dowód: Aby podać dowód tegoż twierdzenia, najpierw udowodnimy lemat.

Lemat 3.3. Dla dowolnego termu t, podstawienia p i izomorfizmu h, zachodzi: h(t[p]) =t[h ◦ p].

Dowód lematu: Dowód będzie indukcyjny w zależności od najmniejszego indeksu n takiego,że t ∈ Tmn . Pierwszy krok to t ∈ Tm0 . Czyli t jest albo zmienną albo stałą. Jeśli t = xm ∈ X,to h(xm[p]) = h(p(xm)) = h ◦ p(xm) = xm[h ◦ p]. Jeśli natomiast t = c ∈ C, to h(c[p]) =h(cA) = cB. Stała oczywiście nie zależy od podstawienia, więc możemy napisać cB = c[h ◦ p].Pierwszy krok indukcji mamy w ten sposób za sobą. Załóżmy więc, że jeśli term t należydo Tmn to lemat jest prawdziwy. Zastanówmy się co się dzieje, jeśli term t należy do Tmn+1 .Jest on wtedy na pewno postaci f(t1, . . . , tn), gdzie dla termów t1, . . . , tn możemy korzystaćz założenia indukcyjnego. Mamy więc

h(f(t1, . . . , tn)[p]) = h(fA(t1[p], . . . , tn[p])) =

Z definicji izomorfizmu mamy dalej:

= fB(h(t1[p]), . . . , h(tn[p])) =

3To zagadnienie nie zostało zawarte w spisie zagadnień na egzamin pisemny z Logiki.

5

Korzystająć z założenia indukcyjnego mamy:

= fB(t1[h ◦ p], . . . , tn[h ◦ p]) =

No a z definicji wartościowania termu mamy:

= f(t1, . . . , tn)[h ◦ p]. �

W ten sposób udowodniliśmy nasz lemat. Przejdźmy do dowodu właściwego twierdzenia.Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na postać i rozbudowanie formuły, to znaczyze względu na n – indeks Fmm do którego należy F . W pierwszym kroku indukcyjnymrozważamy formuły F z Fm0 . Wobec tego, F może być postaci t1 = t2 lub r(t1, . . . , tn).

• Niech F będzie postaci: t1 = t2. Wówczas A |= F [p] jest spełnione wtedy i tylko wtedy,gdy t1[p] = t2[p]. Korzystając z definicji izomorfizmu h możemy napisać równoważnie:h(t1[p]) = h(t2[p]). No ale zgodnie z udowodnionym lematem, jest to równoważne: t1[h◦p] = t2[h ◦ p], co z godnie z definicją spełniania równości, jest równoważne warunkowi:B |= (t1 = t2)[h ◦ p].

• Niech F będzie postaci: r(t1, . . . , rn). Wtedy A |= F [p] jest spełnione tylko i wyłącznie,gdy rA(t1[p], . . . , tn[p]). Korzystając z definicji h mamy: rB(h(t1[p]), . . . , h(tn[p])), cona mocy lematu daje nam: rB(t1[h ◦ p], . . . , tn[h ◦ p]). Z definicji spełniania formuły,dostajemy: B |= r(t1, . . . , rn)[h ◦ p].

W ten sposób zakończyliśmy pierwszy krok indukcyjny. Załóżmy więc, że twierdzenie jestpoprawne dla formuł F , które należą do Fmn dla pewnego n. Pokażemy, że wynika z tegorównież jego prawdziwość dla G ∈ Fmn+1 . Ograniczymy się do przypadku, gdy G jest postaci∀xF (pozostałe przypadki przebiegają bowiem analogicznie): A |= (∀xF )[p] zachodzi wtedyi tylko wtedy, gdy dla każdego a ∈ A zachodzi A |= F [p(a/x)]. Korzystając z założeniaindukcyjnego, warunek ten jest równoważny warunkowi: dla każdego a ∈ A zachodzi B |=F [(h◦p(a/x))]. To natomiast możemy równoważnie przestawić w postaci: dla każdego a ∈ Azachodzi B |= F [(h ◦ p)(h(a)/x)]. No a z tego, że h jest bijekcją, możemy również napisać:dla każdego b ∈ B zachodzi B |= F [(h ◦ p)(b/x)], co znaczy dokładnie B |= (∀xF )[h ◦ p]. �

Wniosek 3.4. Jeśli A oraz B są izomorficzne, to są w nich prawdziwe te same zdania.

4 Teoria i model

4.1 Pojęcie teorii i modelu

Zakładamy, że mamy dany język L (τ).

Definicja 4.1 (teoria). Teorią nazywamy dowolny zbiór zdań, będący podzbiorem zbioruformuł Fm języka L . Zazwyczaj ten zbiór oznaczmy literą T .

Definicja 4.2 (model). Modelem teorii T nazywamy dowolny system relacyjny A typu τ ,taki że dla każdego zdania F ∈ T zachodzi:

A |= F.

Zauważmy, że w powyższych definicjach zakładaliśmy, że teoria jest zbiorem zdań, a nieogólnie formuł. Często jednak rozszerzamy tę definicje, tak aby teoria była ogólnie zbioremformuł.

6

Definicja 4.3 (teoria i model – rozszerzone dla formuł). Teorią T nazywamy dowolny zbiórformuł, będący podzbiorem zbioru Fm językaL . Modelem takiej teorii T nazywamy dowolnysystem relacyjny A wraz z podstawieniem p, jeśli dla każdej formuły F ∈ T zachodzi:

A |= F [p].Mówimy wówczas, że modelem jest para 〈A, p〉.Uwaga 4.4. O elementach zbioru T często mówimy, iż są to aksjomaty teorii T .

W dalszych rozważaniach za definicję teorii i modelu, przyjmujemy wersje rozszerzonedla formuł.

4.2 Przykłady teorii i ich modeli

Przykład 4.5 (teoria ciał). Rozpatrzmy teorię ciał. Nasz język zawiera dwa symbole stałych0, 1 oraz dwa symbole działań dwuargumentowych: + i ∗. Aksjomaty teorii ciał to:

∀x,y,z((x+ y) + z = x+ (y + z))∀x,y,z((x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z))

∀x,yx+ y = y + x∀x,yx ∗ y = y ∗ x∀xx+ 0 = x∀xx ∗ 1 = x∀x∃yx+ y = 0∀x 6=0∃yx ∗ y = 1

∀x,y,zx ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ zPrzykład 4.6 (modele teorii ciał). Modelami teorii ciał, są na przykład:

1. 〈Q, 0, 1,+, ∗〉, czyli ciało liczb wymiernych ze standardowymi działaniami.

2. 〈R, 0, 1,+, ∗〉, czyli podobne ciało liczb rzeczywistych.

3. 〈Zp, 0, 1,+, ∗〉, czyli ciało reszt modulo p, gdzie p jest liczbą pierwszą, a wszystkiedziałania są „modulo p”.

Przykład 4.7 (teoria porządków częściowych i liniowych). Rozparzmy teorię porządkówczęściowych. Język zawiera jedynie jeden symbol relacyjny {¬}. Aksjomatami teorii porząd-ków częściowych są:

∀xx ¬ x∀x∀y∀z(x ¬ y ∧ y ¬ z → x ¬ z)∀x∀y(x ¬ y ∧ y ¬ x→ x = y)

W tym samym języku możemy wyrazić również teorię porządków liniowych. Do podanychwyżej aksjomatów należy wówczas dodać jeszcze:

∀x∀y(x ¬ y ∨ y ¬ x).Przykład 4.8 (modele teorii porządków częściowych i liniowych). Rozważmy modele:

1. 〈R,¬〉, czyli zbiór liczb rzeczywistych ze standardową relacją „mniejszy–równy”, jestmodelem zarówno dla teorii porządków częściowych, jak i liniowych.

2. 〈P (N),⊂〉, czyli zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych z relacją bycia pod-zbiorem, jest modelem dla teorii porządków częściowych. Nie jest to jednak model dlateorii porządków liniowych.

Przykład 4.9 (teoria mnogości). Teoria mnogości (która oznaczać będziemy dalej ZFC4)4Zermelo-Frankel set theory with the axiom of Choice.

7

jest bardzo ważna i dość specyficzna, gdyż logika korzysta z niej również jako z tzw. metateorii– czyli teorii w której uprawiamy logikę matematyczną. Można uznać, że teoria mnogościjest to podstawowa teoria całej matematyki. Do jej opisu używamy języka z jednym tylkosymbolem relacyjnym {∈} – relacją należenia. Oto aksjomaty teorii mnogości (nie wszystkiebędą zapisane formalnie):

1. Ekstensjonalność: zbiory są równe, jeśli mają te same elementy.

2. Istnieje zbiór pusty, tzn.∃x∀y¬(y ∈ x).

Zbiór pusty oznaczamy dalej jako ∅.

3. Aksjomat pary: istnieje zbiór {x, y} dla dowolnych x i y.

4. Aksjomat sumy: istnieje⋃x dla dowolnego x.

5. Aksjomat zbioru potęgowego5: istnieje zbiór P (x) dla dowolnego x.

6. Aksjomat nieskończoności: istniej zbiór A taki, że ∅ ∈ A, oraz jeśli jakiś x należy do Ato również x ∪ {x} należy do A, co formalnie można zapisać:

x ∈ A→ x ∪ {x} ∈ A.

Zbiór A można sobie wyobrazić jako zbiór postaci:

A = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, . . .}.

Najmniejszym takim zbiorem A jest zbiór liczby naturalnych N – czyli do zdefiniowaniazbioru liczb naturalnych nie potrzebujemy żadnych liczb, wystarczy nam tylko zbiórpusty.

7. Aksjomat wyboru: z każdej rodziny zbiorów niepustych, parami rozłącznych, możnawybrać tzw. „selektor”, czyli zbiór, który ma po jednym punkcie wspólnym z każdymze zbiorów rodziny.

8. Aksjomat ufundowania: w każdym zbiorze istnieje element z nim rozłączny, czyli:

∀x∃yy ∈ x ∧ y ∩ x = ∅.

Wyklucza to sytuację x ∈ x.

9. Aksjomat wyróżniania: jeśli Z jest pewnym zbiorem, oraz ϕ(x) pewną formułą, toistnieje zbiór {x : x ∈ Z ∧ ϕ(x)}. Zapis ten należy traktować jako schemat aksjomatu,opisujący nieskończenie wiele aksjomatów – dla każdej możliwej formuły ϕ jest to innyaksjomat.

10. Aksjomat zastępowania6: jeśli dla pewnej formuły F (x, y) spełniony jest warunek, żedla każego x ∈ X istnieje y ∈ Y taki, że F (x, y), to dla każdego zbioru A ⊂ X istniejezbiór B ⊂ Y , którego elementami są te i tylko te elementy y, dla których przy pewnymx ∈ A, zachodzi F (x, y).

Uwaga 4.10 (model teorii mnogości). Nie można udowodnić, że istnieje model teorii mno-gości. Być może, można udowodnić, że taki model nie istnieje.

5Zbiór potęgowy to zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru. Zbiór ten oznaczamy również przez 2X .6Na wykładzie aksjomat ten został inaczej sformułowany, w tym opracowaniu podano jednak sformułowa-

nie bardziej zrozumiałe dla autora – znalezione na stronie: http://www.mif.pg.gda.pl/kmd/ami/cz2.pdf.

8

5 Aksjomaty logiki, definicja dowodu

Poniżej zebrano schematy aksjomatów logiki. Ogólnie aksjomatów jest nieskończenie wiele.Podajemy je jednak w skończenie wielu schematach. Język jakim się posługujemy opisująclogikę nie pozwala nam tak naprawdę używać kwantyfikatora „dla każdej formuły”. Dlategoteż wszelkie aksjomaty zawierające w sobie „dowolną formułę F”, należy rozumieć jako sche-mat z którego powstaje nieskończenie wiele aksjomatów przez podstawianie każdej możliwejformuły w miejsce F .

Aksjomaty logiki:

• Aksjomaty rachunku zdań. Dla dowol-nych formuł F,G,H mamy:

F → (G→ F ),

F → (G→ H)→ ((F → G)→ (F → H)),

(¬G→ ¬F )→ (F → G).

• Aksjomaty podstawienia:

∀xF → F (t/x),

gdzie F (t/x) to podstawienie właści-we7.

• Aksjomat o rozdzielczości:

∀x(F → G)→ (∀xF → ∀xG).

• Jeśli x nie jest zmienną wolną w F , tozachodzi:

F → ∀xF.

• Aksjomaty równości8 . Dla dowolnychtermów t1, t2, t3:

t1 = t1,

t1 = t2 → t2 = t1,

t1 = t2 → (t2 = t3 → t1 = t3),

t1 = s1 → (. . .→ (tn = sn →

(r(t1, . . . , tn)→ r(s1, . . . , sn)) . . .),

t1 = s1 → (. . .→ (tn = sn →

(f(t1, . . . , tn) = f(s1, . . . , sn)) . . .).

Uwaga 5.1. Do wszystkich aksjomatów logiki można dopisać dowolną liczbę kwantyfikato-rów ogólnych.

Poza aksjomatami logiki, które oznaczać będziemy przez Log używać też będziemy re-guły wnioskowania zwanej „regułą odrywania” lub „modus ponens”. Reguła ta mówi, żejeśli formuły F → G oraz F uznaliśmy za prawdziwe, formułę G też powinniśmy uznać zaprawdziwą. Korzystając z tej reguły będziemy budować dowody twierdzeń logiki.

Definicja 5.2 (dowód). Dowodem formuły F w oparciu o teorię T nazywamy dowolnyskończony ciąg formuł F1, . . . , Fn, taki, że Fn = F , a każda inna formuła tego ciągu jestalbo aksjomatem (tzn. należy do Log ∪ T ) albo powstała z reguły odrywania z poprzednichwyrazów ciągu.

Z definicji dowodu nie wynika wcale, że powinien on mieć jakiś większy sens czy porządek.Wszystko się dzieje w warstwie syntaktycznej, nie wnikamy w matematyczne znaczenie,lecz tylko interesuje nas wygląd napisów. Dowód logiczny może być całkiem „nielogiczny”,wystarczy tylko by spełniał warunki definicji i już jest poprawnym dowodem.

Wniosek 5.3. Jeśli formuła F ma jakiś dowód w oparciu o T , to ma nieskończenie wieleróżnych dowodów.7Podstawienie jest właściwe, kiedy wszystkie zmienne z termu t który podstawiamy w miejsce x są wolne

w formule F .8Relacja równości jest tak specyficzna, że bardzo często traktuje się ją jako coś dodatkowego, niezależnego

od systemu relacyjnego. Równie dobrze moglibyśmy po prostu dodać do zbioru relacji jeszcze jedną relację= (t1, t2), i punkt o równości wyrzucić z tej definicji. Nie robimy tego trochę dla wygody, a pewnie też trochęze względów historycznych, a pewnie jeszcze i innych subtelności, których studenci nie są sobie w staniewyobrazić.

9

Definicja 5.4. Twierdzenie teorii T , to formuła, która ma dowód w oparciu o teorię T .

Jeśli formuła F ma dowód w oparciu o teorię T , piszemy T ` F . Jeśli jakaś formuła Fma dowód w każdej teorii, to znaczy jeśli wynika z aksjomatów logiki, piszemy ` F . FormułyF o których możemy napisać ` F , nazywamy twierdzeniami logiki.

Uwaga 5.5. Od tej pory wszystkie twierdzenia logiki będziemy traktować w miarę na równiz aksjomatami logiki. Dla uproszczenia, gdy w dowodzie będziemy chcieli wykorzystać jakieśtwierdzenie logiki, to będziemy pomijali fragment polegający na dowodzie tego twierdzenia.

Twierdzenie 5.6. Jeśli w T da się udowodnić formułę F , to istnieje skończony podzbiórT0 ⊂ T , taki, że T0 ` F .

Dowód: Skoro w T da się udowodnić formułę F to istnieje jakiś dowód. Niech dowodemtym będzie ciąg F1, . . . , Fn. Możemy zbudować teorię T0, korzystając z wyrazów tego ciągu,a dokładniej:

T0 = {Fi : Fi jest aksjomatem}.

Takie T0 jest na pewno zbiorem skończonym, na pewno jest podzbiorem T i na pewnozachodzi T0 ` F . �

5.1 Przykłady twierdzeń logiki

Podamy dwa przykłady twierdzeń logiki w raz z ich formalnymi dowodami rozumianymi wkontekście naszej definicji dowodu.

Fakt 5.7. Dla dowolnej formuły F mamy: ` F → F .

Dowód: Żeby wyraźniej pokazać, iż dowód logiczny może być zupełnie nie jasny i niezro-zumiały, podamy najpierw po prostu ciąg formuł który będzie już kompletnym dowodem –bez żadnych komentarzy. Następnie każdy wyraz ciągu opatrzymy stosownym komentarzem,jednak z formalnego punktu widzenia komentarz ten jest zbędny. Oto pełny dowód naszegofaktu:

F → ((F → F )→ F )

(F → ((F → F )→ F ))→ ((F → (F → F ))→ (F → F ))

(F → (F → F ))→ (F → F )

F → (F → F )

F → F �

Dowód ten, mimo że kompletny i poprawny, dla większości czytelników może okazać sięnieco niezrozumiały (dla autorów również). Dlatego teraz każdą linijkę dodatkowo opatrzonokomentarzem.

Korzystamy z aksjomatu F → (G→ F ), gdzie za G podstawiamy F → F :

F → ((F → F )→ F )

Drugi aksjomat rachunku zdań:

(F → ((F → F )→ F ))→ ((F → (F → F ))→ (F → F ))

Tą formułę otrzymujemy z dwóch poprzednich, korzystając z reguły odrywania.

(F → (F → F ))→ (F → F )

10

Ponownie korzystamy z aksjomatu F → (G→ F ), gdzie za G podstawiamy F .

F → (F → F )

Z reguły odrywania otrzymujemy formułę (korzystając z dwóch poprzednich linijek), którakończy dowód – jest właśnie tą formułą którą chcieliśmy udowodnić:

F → F �

Fakt 5.8. Niech F (x) będzie formułą w której nie występuje zmienna y. Wtedy:

{∀xF (x)} ` ∀yF (y/x).

Dowód:

1. Korzystamy z aksjomatu:∀xF (x)→ F (y/x)

2. Aksjomaty możemy „domykać” kwantyfikatorami ogólnymi:

∀y (∀xF (x)→ F (y/x))

3. Korzystamy z aksjomatu o rozdzielczości:

∀y (∀xF (x)→ F (y/x))→ (∀y∀xF (x)→ ∀yF (y/x))

4. Z reguły odrywania mamy:

∀y∀xF (x)→ ∀yF (y/x)

5. Zapisujemy kolejny aksjomat:

∀xF (x)→ ∀y∀xF (x)

6. Zapisujemy aksjomat naszej teorii, którą założyliśmy w treści twierdzenia:

∀xF (x)

7. Z reguły odrywania dostajemy:∀y∀xF (x)

8. Ponownie z reguły odrywania, mamy:

∀yF (y/x) �

5.2 Zbiór konsekwencji teorii T

Kiedy znamy już aksjomaty logiki, z których korzystamy przy dowodzeniu twierdzeń, może-my podać konstrukcję zbioru konsekwencji danej teorii.

Definicja 5.9 (zbiór konsekwencji teorii T ). Zbiór konsekwencji teorii T , który oznaczamyT ∗, to zbiór postaci:

T ∗ =⋃n

Tn,

gdzie T0 = Log ∪ T , Tn+1 = Tn ∪ {G : ∃F (F ∈ Tn ∧ F → G ∈ Tn)}.

11

Zbiór T ∗ również jest pewną teorią (zgodnie z definicją teorii jako dowolnego podzbioruzbioru formuł). Co więcej zachodzą następujące fakty.

Fakt 5.10. Dla dowolnej teorii T , mamy:

T ∗ = T ∗∗.

Innymi słowy, jeśli T ∗ ` F , to T ` F .

Dowód: Niech F1, F2, · · · , Fn będzie dowodem F w T ∗. Każdy element F ∗ z definicji madowód w F . Ciąg będący dowodem formuły F w T otrzymamy, gdy zamiast każdego formułyciągu Fi nie otrzymanej w wyniku użycia reguły odrywania, lecz będącej aksjomatem teoriiT ∗ podstawimy dowód tejże formuły. �

Fakt 5.11. Formuła F należy do zbioru T ∗ wtedy i tylko wtedy, gdy ma dowód w oparciu oT .

Dowód: Implikacja „⇐”: Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na długość dowoduformuły F . Pierwszy krok indukcyjny jest spełniony, bo gdy długość dowodu wynosi jeden,to znaczy, że F musi być aksjomatem, czyli należeć do T a co za tym idzie do T ∗. Załóżmy,więc że jeśli dowód jest długości n to twierdzenie jest spełnione. Zobaczymy co dzieje się,gdy F ma dowód długości n + 1. Niech dowodem tym będzie: F1, . . . , Fn, Fn+1. Zauważmy,że na mocy założenia indukcyjnego, wszystkie wyrazy od F1 do Fn muszą należeć do T ∗.Co więcej istnieje takie k, że wszystkie te wyrazy należą do Tk. Rozparzmy dwa przypadkiw zależności od postaci Fn+1. Jeśli Fn+1 jest aksjomatem (a może tak być), to na pewnonależy do T czyli tym bardziej do T ∗. Jeśli Fn+1 nie jest aksjomatem, to musiało powstaćz reguły odrywania. Wśród formuł F1, . . . , Fn muszą więc istnieć formuły Fi = G → Fn+1oraz Fj = G, które należą do Tk. Zgodnie z definicją zbioru T ∗, Fn+1 należy w takim razie napewno do Tk+1, czyli do T ∗. Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej, udowodniliśmyjedną część naszego twierdzenia.Implikacja „⇒”: Musimy pokazać, że jeśli F należy do T ∗ to ma dowód. Przeprowadzimy

dowód indukcyjny ze względu na n takie, że F ∈ Tn oraz F 6∈ Tn−1. Pierwszy krok indukcyjnyjest spełniony, ze względu na to, że jeśli F ∈ T0 to dowodem F jest po prostu samo F .Załóżmy więc, że twierdzenie jest prawdziwe dla formuł które należą do Tn. Pokażemy, żejest też dobre dla tych, które należą do Tn+1 a nie należą do Tn. Jeśli formuła F należy do Tn+1to istnieją formuły G→ F oraz G, które należą do Tn. Zgodnie z założeniem indukcyjnym,mają one swoje dowody. Niech H1, . . . , Hm będzie dowodem G→ F , oraz G1, . . . , Gk będziedowodem G. Wówczas ciąg: H1, . . . , Hm, G1, . . . , Gk, F jest dowodem F w oparciu o T . �

Twierdzenie 5.12. Jeśli F ∈ T ∗, to F jest prawdziwe w każdym modelu teorii T .

Dowód: Przeprowadzimy indukcję ze względu na indeks n zbiorów Tn taki, że F ∈ Tn+1\Tn.Jeśli F należy do T0, to jest aksjomatem logiki lub aksjomatem teorii T , więc na pewno jestspełnione w każdymmodelu tej teorii. Załóżmy więc, że twierdzenie jest prawdziwe dla formułktóre należą do Tn. Pokażemy że również dla formuł należących do Tn+1\Tn jest poprawne.Niech F będzie taką formułą. Wtedy na pewno istnieją formuły G i G → F , które należądo Tn. Zgodnie z założeniem indukcyjnym w każdym modelu A teorii T zachodzi: A |= G[p]oraz A |= (G→ F )[p]. Zgodnie z definicją spełniania symbolu „→”, skoro w A jest spełnionezarówno G[p] jak i (G→ F )[p], musi też być spełnione F [p]. �

Uwaga 5.13. Odwrotne twierdzenie jest również prawdziwe. Jest ono omówione później.

12

6 Twierdzenie o dedukcji

Twierdzenie 6.1 (o dedukcji). Niech T – dowolna teoria, F,G – formuły. Wtedy zachodzi:T ∪ {F} ` G wtedy i tylko wtedy, gdy T ` (F → G).

Dowód:Wynikanie „⇐”: Niech ciąg F1, . . . , Fn będzie dowodem zdania F → G w T . Oczy-wiście Fn musi być równe F → G. Wówczas ciąg F1, . . . , Fn−1, F → G,F,G jest dowodemzdania G w teorii T ∪ {F}.Wynikanie „⇒”: Zakładamy, że T ∪{F} ` G, co znaczy, że G należy do zbioru konsekwencji(T∪{F})∗. No a to znaczy, że G ∈ ⋃n(T∪{F})n. Dalsza część dowodu to indukcja, względemn. Musimy rozpatrzeć wiele przypadków, zależnie od tego w którym (T ∪{F})n znajduje sięG.

I Niech G ∈ (T ∪{F})0, czyli G ∈ Log∪T ∪{F}. Rozpatrzymy oddzielnie dwa przypadki:

(a) Jeśli G ∈ Log ∪ T , wówczas zachodzi T ` G → (F → G) (zgodnie z aksjomatemlogiki). Ciąg: G → (F → G), G, F → G jest więc dowodem zdania F → G woparciu o T .

(b) Jeśli G = F to też jest „dobrze” bo w każdej teorii da się udowodnić, że F → F .

II Załóżmy, że jeśli H ∈ (T ∪{F})n to zachodzi T ` F → H. Pokażemy, że z tego wynika,że jeśli G ∈ (T ∪ {F})n+1 to T ` F → G. Wiemy na pewno, że G powstało z regułyodrywania, tak więc istnieje jakieś H1, takie, że: H1 ∈ (T ∪ {F})n oraz H1 → G ∈ (T ∪{F})n. Z założenia indukcyjnego mamy więc, że T ` F → H1 oraz T ` F → (H1 → G).Niech więc teraz ciąg K1, . . . , Kn będzie dowodem F → H1, natomiast J1, . . . , Jm będziedowodem F → (H1 → G). Wtedy ciąg:

K1, . . . , Kn, J1, . . . , Jm, (F → (H1 → G))→ ((F → H1)→ (F → G)),

(F → H1)→ (F → G), F → G

jest dowodem zdania F → G w oparciu o T , innymi słowy: T ` F → G.

Na mocy zasady indukcji matematycznej, twierdzenie o dedukcji jest prawdziwe dla do-wolnego zdania G. �

Wniosek 6.2. Jeśli T ∪ {¬G} ` ¬F to T ` F → G.

Dowód wniosku: Z tw. o dedukcji otrzymujemy, że T ` ¬G→ ¬F . Niech F1, . . . , Fn będziedowodem zdania ¬G → ¬F w oparciu o T . Wtedy ciąg: F1, . . . , Fn, (¬G → ¬F ) → (F →G), F → G jest dowodem F → G w oparciu o T . �

7 Twierdzenie Lindenbauma, zdania nierozstrzygalne

7.1 Pojęcie sprzeczności i niesprzeczności

Definicja 7.1. Teoria T jest sprzeczna, jeśli istnieje taka formuła F , że zarazem T ` F iT ` ¬F .

Fakt 7.2. W teorii sprzecznej da się udowodnić wszystko, czyli ∀G∈FmT ` G.

Dowód: Nie będzie dowodu ultra-formalnego. Jeżeli mamy dowody F i ¬F , to możemy znich zrobić dowód F ∧¬F , co jest zawsze fałszem. Potem dokładamy (F ∧¬F )→ G, która toimplikacja jest twierdzeniem logiki, bo ma fałszywy poprzednik, więc jest zawsze prawdziwa.Potem stosujemy regułę odrywania i dostajemy G.

13

Definicja 7.3. Teoria niesprzeczna to teoria, która nie jest sprzeczna.

Fakt 7.4. Jeśli teoria ma model, to jest ona niesprzeczna.

Dowód: W modelu o wszystkim możemy powiedzieć, czy jest prawdą, czy nie. W teoriisprzecznej da się udowodnić wszystko, więc wszystko należy uznać za prawdę, bo do tegodowody służą. Model nie może spełniać wszystkich zdań. Zawsze mamy albo M |= ψ, alboM |= ¬ψ. Oba na raz nie mają sensu wobec definicji prawdziwości zdań w modelu. �

Fakt 7.5. Teoria jest niesprzeczna, jeśli każda jej skończona podteoria jest niesprzeczna.Innymi słowy: jeśli istnieje skończona podteoria sprzeczna, to cała teoria jest sprzeczna.

Szkic dowodu, albo komentarz Sprzeczność zawsze objawia się w skończonym zbiorzeaksjomatów. Chodzi o to, że jeżeli teoria T jest sprzeczna, to bierzemy dowolną formułę F irobimy dowód F1, F2, · · · , Fn formuły F i dowód G1, G2, · · · , Gm formuły ¬F . Zarówno ciągFi, jak i Gj są skończone, korzystają więc ze skończonej ilości aksjomatów z teorii T . Więcmamy skończoną podteorię T ∩ ({Fi} ∪ {Gj}), która zawiera wszystko, czego potrzebujemy,by przeprowadzić dowód zarówno F , jak i ¬F , jest więc sprzeczna. �

Fakt 7.6. Jeśli teoria T jest niesprzeczna, to zbiór konsekwencji T ∗ jest również niesprzecz-ny.

Twierdzenie 7.7 (reductio ad absurdum9). T ∪ {¬F} jest sprzeczna wtedy i tylko wtedy,gdy T ` F .

Dowód: Implikacja „⇒” : Albo T jest sprzeczna sama w sobie, wtedy na mocy definicjisprzeczności dowód T ` F istnieje. Jeżeli T jest niesprzeczna, zaś dołożenie do niej jednegoaksjomatu ¬F tą niesprzeczność popsuje, to na pewno T ` F .Implikacja „⇐”: Albo T jest sprzeczna sama w sobie, więc powiększona o jeden aksjomat

tym bardziej — wtedy implikacja jest zawsze prawdziwa, bo ma następnik prawdziwy. JeżeliT jest niesprzeczna i istnieje dowód T ` F , to po powiększeniu teorii o dodatkowy aksjomatto tym bardziej mamy T ∪ {¬F} ` F , co jest jawną oznaką sprzeczności. �

Przykład 7.8 (teorie sprzeczne i niesprzeczne). Przykładem najprostszej teorii sprzecznejmoże być teoria {F,¬F}, gdzie F to dowolna formuła.Przykładem teorii niesprzecznej może być teoria grup. Teoria ta jest niesprzeczna, ponie-

waż istnieje model – istnieją przecież grupy w matematyce.

7.2 Pojęcie rozstrzygalności

Definicja 7.9. Mówimy, że formuła F jest rozstrzygalna w teorii T , jeżeli T ` F alboT ` ¬F .

Przykład 7.10. Istnieją zarówno grupy przemienne, jak i nieprzemienne, czego teoria grupnie rozstrzyga, co opiszemy formalnie. Aksjomaty teorii grup to:

∀x,y,z((x+ y) + z = x+ (y + z))

∀x(x+ e = e+ x = x)∀x∃z(x+ z = e)

Istnieje model 〈Z,+〉, w którym też jest prawdziwe dodatkowe zdanie:

∀x,y((x+ y) = (y + x))Istnieje jednak model 〈Sn, ◦〉, czyli permutacje zbioru n-elementowego z operacją składa-

nia w roli działania „+”, w którym to dodatkowe zdanie nie jest spełnione.9Z łac. reduction ad absurdum znaczy sprowadzenie do niedorzeczności. Twierdzenie to używane jest

właśnie do konstruowania dowodów „przez zaprzecznie”.

14

7.3 Pojęcie zupełności

Definicja 7.11 (zupełny zbiór twierdzeń). Mówimy, że niesprzeczny zbiór formuł T jestzupełny, jeżeli dla każdej formuły F albo zachodzi F ∈ T albo ¬F ∈ T .

Definicja 7.12 (zupełny zbiór aksjomatów). Mówimy, że zbiór aksjomatów T jest zupełnymzbiorem aksjomatów, jeśli zbiór T ∗ jest zupełny.

7.4 Twierdzenie Lindenbauma

Twierdzenie 7.13 (Lindenbauma). Każdą teorię niesprzeczną T można rozszerzyć do teoriizupełnej T ′.

Dowód: Dowód będzie uproszczony tylko dla języków przeliczalnych, czyli gdy |L | = ℵ0.Wtedy też |Fm| = ℵ0, czyli można formuły ustawić w ciąg: Fm = {Fn : n ∈ N}. Należyprzeprowadzić indukcję po tym ciągu.

(1) (a) Jeśli T ∪ {¬F0} jest sprzeczna, to wtedy T ` F0, więc T ∪ {F0} ⊂ T ∗ będzieniesprzeczny. T ∪ {F0} oznaczmy jako T0′.

(b) Jeśli T ∪ {¬F0} jest niesprzeczna, to po prostu przyjmujemy T0′ := T ∪ {¬F0}.Czyli możemy rozbudować teorię T tak, by rozstrzygała również F0, a przy tym nadalbyła niesprzeczna.

(2) Możemy dokładnie tak samo, w oparciu o niesprzeczną teorię Tn′ zbudować Tn+1′, którabędzie nadal niesprzeczna, a przy tym będzie rozstrzygała również Fn+1.

Przy pomocy indukcji matematycznej możemy w ten sposób rozstrzygnąć wszystkie Fi. Do-stajemy teorię T ′ rozstrzygającą wszystkie formuły:

T ′ =⋃i

Ti′.

Takie T ′ jest niesprzeczne, dlatego, że ciąg teorii Ti jest wstępujący, tzn. ∀i,j(i < j)Ti ⊂ Tj,przy czym każdy element tego ciągu jest niesprzeczny. To jest trochę tak, jakby brać granicęw nieskończoności, ale granica to pojęcie z analizy matematycznej, tutaj go nie mamy, alesuma teorio-mnogościowa nam w zupełności wystarczy.Dowód dla języków dowolnie dużej mocy opiera się na lemacie Kuratowskiego–Zorna. �

8 Twierdzenie o pełności oraz twierdzenie o zwartości

8.1 Twierdzenie Godla o pełności

Twierdzenie 8.1 (Godla o pełności). Każda teoria niesprzeczna T ma model.

Szkic dowodu: Niech T będzie teorią pewnego językaL . Chcemy zbudować model dla teoriiT . Zbudujemy go z termów języka będącego rozszerzeniemL . Dowód bazuje na rozszerzeniuteorii T do teorii T ′, oraz języka L do języka L ′, tak aby spełniony był warunek: dlakażdej formuły F i zmiennej x istnieje stała c taka, że formuła ∃xF → F (c/x) należydo T ′. Potrzebować będziemy więc dodatkowych stałych w języku. Budujemy język L1 zjęzyka L dokładając tam odpowiednio dużo stałych c(F, x) (dla każdej formuły i zmiennejpotrzebujemy stałą - czyli stałe te zależą od formuły F i zmiennej x; będzie ich tyle ilewszystkich formuł z T i zmiennych zL ). Budujemy też teorię T1 na bazie teorii T dorzucającwłaśnie odpowiednie formuły. Mamy więc:

T1 = T ∪ {∃xF → F (c(F, x)/x) : x ∈ X,F ∈ Fm} .

15

Należałoby udowodnić, że T1 jest również niesprzeczna - dowód pomijamy.Powyższe postępwanie możemy powtarzać w nieskończoność budując kolejne teorie Tn

na bazie teorii Tn−1 oraz języki Ln na bazie Ln−1. Ostatecznie, przyjmując, że L = L0 orazT = T0 mamy:

T ′ =⋃n

Tn, L′ =⋃n

Ln.

Teorię T ′ rozszerzamy do teorii zupełnej, która rozstrzyga wszystkie formuły (możemyto zrobić na mocy twierdzenia Lindenbauma). Dla takiej teorii T ′ zbudujemy model. Modelten będziemy budować z termów. Aby to zrobić, zdefiniujemy relację równoważności termów.Relacja określimy bardzo intuicyjnie:

t1 ∼ t2 wtedy i tylko wtedy gdy forumła: t1 = t2 ∈ T ′.Relacja ∼ mówi więc, że dwa termy są w relacji równoważności, jeśli w teorii T ′, rzeczywiściejest formuła mówiąc, że te dwa termy są równe (dość oczywiste, prawda?). Ze względu na to,że T ′ jest zupełna, to dla każdych dwóch termów t1 i t2 w T ′ jest zdanie t1 = t2 lub t1 6= t2,więc relacja jest dobrze zdefiniowana.Nasz model A będzie oparty na zbiorze postaci:

A = {[t]∼ : t ∈ Tm} .Czyli zbiórA jest zbiorem wszystkich klas abstrakcji relacji∼. Musimy jeszcze, aby dokładniezdefiniować model A podać definicje relacji, funkcji i stałych w zbiorze A oraz definicjępodstawienia:

• Dla każdego symbolu relacyjnego r z języka L ′, definiujemy relację rA:

rA([t1], . . . , [tn]) zachodzi, wtedy i tylko wtedy, gdy r(t1, . . . , tn) ∈ T ′.

• Dla każdego symbolu funkcyjnego f z języka L ′, definiujemy funkcję fA:

fA([t1], . . . , [tn]) = [f(t1), . . . , f(tn)].

• Dla każdego symbolu stałej c z języka L ′, definiujemy stałą cA:

cA = [c].

• Definiujemy też podstawienie p : X → A:p(x) = [x].

Model 〈A, p〉 jest modelem teorii T ′. Jest on również modelem teorii T , co należałobyjeszcze pokazać (dowód pomijamy). �

Uwaga 8.2. Model A z dowodu jest mocy co najwyżej równej mocy języka. Jeśli więc językL jest przeliczalny, to również model jest przeliczalny.

8.2 Wnioski z twierdzenia Godla o pełności

Wniosek 8.3. Jeśli ZFC (teoria mnogości) jest niesprzeczna, to ma model przeliczalny.

Wniosek 8.4. Niech T = {F : R |= F} – zbiór wszystkich zdań spełnionych w zbiorzeliczb rzeczywistych. Istnieje jakiś model A dla teorii T który jest przeliczalny. Innymi słowyistnieje przeliczalny zbiór który spełnia wszystkie te same zdania co zbiór liczb rzeczywistych.

Wniosek 8.5. Jeśli zdanie F jest spełnione w każdym modelu teorii T to da się je udowodnićw oparciu o teorię T .

Dowód wniosku: Załóżmy przeciwnie, że ¬(T ` F ). Wówczas teoria T ∪ {¬F} jest nie-sprzeczna. No ale wtedy istnieje model dla T ∪{¬F}. Czyli istnieje model teorii T w którymnie zachodzi F , co jest sprzeczne z założeniem, że F jest spełnione w każdym modelu teoriiT . �

16

8.3 Twierdzenie Godla o zwartości

Twierdzenie 8.6 (Godla o zwartości). Jeśli każda skończona podteoria teorii T ma model,to również cała teoria T ma model.

Dowód: Jeśli każda skończona podteoria ma model, to znaczy że jest niesprzeczna, w związ-ku z czym cała teoria T jest niesprzeczna. Zgodnie z twierdzeniem o pełności, teoria T musiwięc mieć model. �

9 Arytmetyka Peano

9.1 Aksjomaty arytmetyki Peano

(1)∀x∀yx+ y = y + x

(2)∀x∀yx · y = y · x

(3)∀x∀y∀z(x+ y) + z = x+ (y + z)

(4)∀x∀y∀z(x · y) · z = x · (y · z)

(5)∀x∀y∀zx · (y + z) = (x · y) + (x · z)

(6)∀xx+∆0 = x

(7)∀xx ·∆1 = x

(8)∀x∀y∀zx+ y = x+ z → y = z

(9) Każda liczba różna od zera jest następnikiem:

∀xx 6= ∆0 → ∃yy +∆1 = x.

(10) Zasada indukcji matematycznej. Podamy tu schemat aksjomatu opisujący nieskończeniewiele aksjomatów – oddzielny dla każdej formuły. Niech F będzie formułą a x zmienną:

(F (∆0/x) ∧ ∀x (F (x)→ F (x+∆1/x)))→

→ ∀xF (x)

9.2 Standardowy model arytmetyki Peano

Standardowym modelem arytmetyki Peano jest 〈N,+, ·, 0, 1〉, przy czym oczywiście liczba 0odpowiada symbolowi ∆0, liczba 1 symbolowi ∆1, standardowe działanie dodawania symbo-lowi +, oraz standardowe działanie mnożenia symbolowi ·. Istnieją jednak niestandardowemodele arytmetyki Peano.

17

9.3 Niestandardowe modele arytmetyki Peano

Podamy konstrukcję niestandardowego modelu arytmetyki Peano. Niech symbolowi ∆0 od-powiada liczba 0, symbolowi ∆1 liczba 1. A symbolom ∆n+1 odpowiednio ∆n +∆1.Niech Fn to będą formuły postaci: ∃yx = ∆n+ y, co w skrócie można by zapisać x ­ ∆n,

gdybyśmy mieli relację większy równy (ale nie mamy). Niech T będzie zbiorem wszystkichzdań które są spełnione w arytmetyce Peano (w liczbach N):

T = {F : N |= F ∧ F jest zdaniem}.

Niech teoria T ′ będzie postaci:

T ′ = T ∪ {Fn : n ∈ N}.

Niech T0 będzie skończoną podteorią T ′. Wówczas na pewno T0 jest postaci:

T0 = (T0 ∩ T ) ∪ {Fn1 , . . . , Fnk}.

Modelem dla teorii T0 są liczby naturalne z podstawieniem p takim, że element p(x) jestwiększy od liczb ni dla każdego i od 1 do k. W związku z tym, że T0 ma model, również T ′

musi mieć model. Niech tym modelem będzie 〈A, p〉. Zauważmy jednak, że w tym modeluelement p(x) musi być większy od wszystkich elementów ∆i tego modelu, bo dla każdego iA |= Fi. Modelem A nie może więc być zbiór liczb naturalnych, gdyż tam nie ma takiegoelementu. Taki model jest niestandardowym modelem arytmetyki Peano. Spełnia te samezdania co model 〈N,+, ·, 0, 1〉. Zauważmy też, że na mocy aksjomatu 9 ten dodatkowy elementma swoje następniki, poprzedniki pewnie też. Pojawia się więc dużo więcej dodatkowychelementów, niż tylko ten jeden.

Uwaga 9.1. Niestandardowy model arytmetyki Peano, którego konstrukcje podano wyżej,może być przeliczalny.

9.4 Zupełność i definiowalność a arytmetyka Peano i ZFC

Aksjomaty matematyki, które określamy często przez ZFC stanowią niezupełny zbiór ak-sjomatów, gdyż istnieje chociażby hipoteza continuum CH10, która jest niezależna od ak-sjomatów. Nie jest to jednak jedyne niezależne zdanie, tzn. nie da się tak uzupełnić ZFCaby był to zbiór zupełny. 11 Podobnie jest z arytmetyką Peano. Co więcej zachodzą poniższefakty (podajemy je bez dowodów).

Twierdzenie 9.2 (Godla). Każde „definiowalne” rozszerzenie arytmetyki Peano lub ZFCjest niezupełne.

Twierdzenie 9.3 (Tarskiego o niedefiniowalności prawdy). Niech T będzie rozszerzeniemarytmetyki Peano (lub ZFC) oraz A niech będzie modelem teorii T . Wówczas zbiór {F :A |= F} jest niedefiniowalny w A.

Twierdzenie 9.4 (Godla). W ZFC nie można udowodnić, że ZFC jest niesprzeczny o ilejest niesprzeczny.

10Hipoteza ta mówi, że nie ma żadnej liczby kardynalnej pomiędzy ℵ0 a C. Przyjęcie tej hipotezy lubjej zaprzeczenia jako aksjomatu nie powoduje żadnej sprzeczności, czyli z już przyjętych założeń nic na tentemat nie wiadomo.11Uwaga: Twierdzenie Lindenbauma mówi, że takie uzupełnienie istnieje, ale absolutnie nie mówi nam nico tym, jak je zdefiniować.

18

10 Twierdzenia Skolema–Lowenheima i inne twierdze-nia o mocach modeli

Twierdzenie 10.1. Jeśli teoria T ma modele skończone, dowolnie duże, to ma model nie-skończony.

Dowód: Niech zdania Fn będą zdaniami „istnieje co najmniej n różnych elementów”12.Niech T ′ = T ∪ {Fn : n ∈ N}. Każda skończona podteoria T ′ ma model, ponieważ wśródzdań z tej podteorii da się znaleźć Fi gdzie i jest największe, więc wystarczy wziąć modelteorii T który ma przynajmniej i elementów (a zgodnie z założeniami twierdzenia taki modelistnieje). Skoro każda skończona podteoria T ′ ma model, to na mocy tw. o zwartości, teoriaT ′ ma model. Model ten musi być nieskończony. Co więcej jest to również model teorii T . �

Twierdzenie 10.2 (Skolema–Lowenheima). Jeśli teoria T ma model nieskończony, to marównież model dowolnej mocy większej równej od mocy języka.

Dowód: Pokażemy jak skonstruować model dowolnej mocy większej równej mocy języka.Niech zbiór I będzie zbiorem szukanej mocy. Zdefiniujmy stałe {Ci : i ∈ I} i dodajmy je dojęzyka. Niech T = {F : A |= F}. Stwórzmy teorię T ′ = T ∪ {¬(Ci = Cj) : i, j ∈ I ∧ i 6= j}.Teoria T ′ ma model, bo każda skończona podteoria T ′ ma model tym modelem jest A. Askoro T ′ ma model to w modelu tym musi być co najmniej tyle stałych ile moc I. Modelteorii T ′ jest również modelem teorii T . �

Wniosek 10.3. Jeśli istnieje model nieskończony, to istnieją przynajmniej dwa modele nie-izomorficzne.

Przykład 10.4. Niech T = {F : R |= F} – teoria składająca się ze wszystkich zdańspełnionych w zbiorze liczb rzeczywistych. Zgodnie z twierdzeniem Skolema–Lowenheimaistnieje na przykład model mocy 2C dla takiej teorii T . Innymi słowy istnieje zbiór mocy 2C

o własnościach liczb rzeczywistych.

Uwaga 10.5. Z dowodu tw. Godla o pełności, wynika również fakt na temat mocy modelu.Model który się tam pojawia jest co najwyżej mocy języka. Ma to duże znaczenie, gdyż za-zwyczaj używamy przeliczalnych języków – istnieją więc wtedy modele przeliczalne. (Więcejznajdziesz w odpowiedniej uwadze po twierdzeniu o pełności.)

A Przykłady zadań

Zadanie 1. Pokazać, że formuła:

∃x∀y∃z[F (y, z)→ F (x, z)]→ [F (x, x)→ F (y, x)]

a) jest spełniona w każdym modelu skończonym,

b) nie jest tautologią – wskazać model nieskończony, w którym nie jest spełniona.

Zadanie 2. Niech w języku będą dostępna dwa symbole funkcyjne {+, ·} oraz dwie stałe{0, 1}.

a) Podaj aksjomatykę ciał o charakterystyce13 0.

12Można podać konstrukcję takiego zdania. Na przykład zdanie F3 ma postać: ∃x∃y∃z(x 6= y) ∧ (y 6=z) ∧ (x 6= z). Oczywiście dla dużych n zdania te są dość długie.13Charakterystyka ciałaK oznaczana symbolicznie χ(K) to najmniejsza liczba „jedynek” z tego ciała, którapo „dodaniu” da w tym ciele „zero”. Jeśli przez „dodawanie jedynek” nie da się osiągnąć zera, przyjmujemy,że charakterystyka równa się zero.

19

b) Udowodnij, iż teoria ta (z punktu poprzedniego) nie jest skończenie aksjomatyzowana.

c) Pokazać, że jeśli ϕ jest zdaniem tego języka, to: jeśli zdanie to jest spełnione w każdymciele K o charakterystyce χ(K) = 0, to istnieje taka stała k, iż zdanie to jest spełnionewe wszystkich ciałach o charakterystyce większej od k.

Zadanie 3. Mając dowody F → G oraz G → H, dowieść F → H, gdzie F,G,H to pewneformuły.

Zadanie 4. Dane są struktury:

1. 〈Z,+, 0〉, 〈R,+, 0〉.

2. 〈Z,+, 0〉, 〈Q,+, 0〉.

Rozstrzygnąć czy struktury te są:

a) izomorficzne (jeśli tak to podań izomorfizm, jeśli nie, to wykazać, ze go nie ma),

b) mają te same zbiory zdań w nich prawdziwych (jeśli tak, to to wykazać, jeśli nie, to podaćzdanie rozróżniające).

Rozwiązanie: Zaczniemy od pokazania, że w 〈Z,+, 0〉 nie są spełnione te same zdania cow 〈R,+, 0〉 i 〈Q,+, 0〉. Rozważmy bowiem zdanie:

∀x∃yy + y = x,

co słownie można by zapisać: „dla każdej liczby istnieje jej połowa”, lub po prostu „dzielnieprzez dwa jest wykonalne zawsze”. Oczywiście w zbiorze liczb całkowitych tak nie jest, bo naprzykład dla x = 3 nie istnieje żaden y należący do Z, który spełniałby y+y = x. Czyli punktb) mamy w ten sposób rozwiązany. Okazuje się jednak, że to wystarcza również na dowód,że struktury te nie mogą być izomorficzne, bo gdyby były to, zgodnie z udowodnionym wtym opracowaniu twierdzeniem, musiałby być w nich spełnione te same zdania.Dla zestawu pierwszego można podać również inne uzasadnienie, że struktury nie są

izomorficzne. Wiadomo bowiem, że zbiory Z oraz R nie są równoliczne, czyli nie istniejeżadna bijekcja Z→ R, a co za tym idzie nie może być mowy o izomorfizmie (który musi byćbijekcją w myśl definicji).

Zadanie 5. Wykazać niezależność podanych zdań od aksjomatów teorii porządków częścio-wych (TPC). Zdania do rozstrzygnięcia to:

a) ∃x∀yp(x, y)

b) ∀x∃yp(x, y) ∧ ¬p(y, x)

Rozwiązanie: Dla każdego ze zdań wystarczy podać dwa modele TPC: jeden w którymdane zdanie jest spełnione, a drugi w którym nie jest spełnione.Dla punktu a) mogą to być 〈N,¬〉, w którym zdanie jest prawdziwe (istnieje jeden x

taki, że wszystkie inne elementa są od niego mniejsze bądź równe - jest to oczywiście 0), oraz〈R,¬〉, w którym to zdanie jest fałszywe (bo nie istnieje element najmniejszy).Dla punktu b) modelem w którym zdanie jest prawdziwe może być również 〈N,¬〉, po-

nieważ dla każdej liczby naturalnej, istnieje liczba która jest od niej większa i która zarazemnie jest mniejsza równa od niej. Modelem w którym zdanie to nie jest spełnione może byćza to model 〈P (N),⊆〉, czyli zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych z relacją byciapodzbiorem. Zauważmy bowiem, że dla x = N, który jest oczywiście elementem P (N), nieistnieje taki zbiór który jednoczenie zawierałby się w P (N), zawierał całe N i sam nie zawierałsię w N.W obu przypadkach widzimy więc, że zdania są niezależne od aksjomatów TPC. W

niektórych modelach są spełnione, w innych nie, czyli zależą od doboru modelu, a nie odteorii jako takiej.

20

B Klasyczny rachunek zdań

W tym dodatku zawarto aksjomaty klasycznego rachunku oraz przykłady zadań wraz zrozwiązaniami.

B.1 Oznaczenia i terminologia

W klasycznym rachunku zdań wszystkie zmienne są wolne, nie występuje bowiem pojęciekwantyfikatora. Stąd nie ma rozgraniczenia na zdania i formuły. Teoretycznie, gdybyśmychcieli trzymać się poprzednich definicji (z rachunku predykatów) musielibyśmy mówić tylkoo formułach klasycznego rachunku zdań, jednak przyjęło się, że można o niech również mówićzdania.Definicje zbiorów zupełnych, niesprzecznych, dowodu, spełniania itp., są niemależe iden-

tyczne jak w rachunku predykatów, z tą różnicą, że formuły są tutaj dużo prostszej postaci(nie ma predykatów ani kwantyfikatorów, a jedynie spójniki logiczne). Intuicyjny sens tychwszystkich pojęć pozostaje jednak niezmieniony, tak więc pomijamy wszelkie definicje.

B.2 Aksjomatyka klasycznego rachunku zdań

Możliwe są różne układy systemu aksjomatów. Prezentujemy tutaj jeden z możliwych, niekoniecznie najlepszy, jednak na pewno poprawny. Poniższe zapisy to schematy aksjomatów,których jest nieskończenie wiele. Symbole F,G,H oznaczają dowolne formuły klasycznegorachunku zdań.

1. Reguła symplifikacji:F → (G→ F )

2. Reguła Fregego:[F → (G→ H)]→ [(F → G)→ (F → H)]

3. Reguła Claviusa:(¬F → F )→ F

4. Reguła Dunsa Scotusa:¬F → (F → G)

Wszystkie tautologie klasycznego rachunku zdań, można udowodnić w oparciu o tenzestaw aksjomatów i znaną już z rachunku predykatów, regułę odrywania.

B.3 Przykłady zadań

Zadanie 6. Niech zbiór A zawiera wszystkie te zdania klasycznego rachunku zdań, które sąprawdziwe przy pewnym, ustalonym, wartościowaniu (tj. podstawieniu) w. Niech też zbiór Bzawiera wszystkie te zdania klasycznego rachunku zdań, które przy tym samym podstawieniusą fałszywe. Sprawdzić czy zbiory A i B są zupełne i niesprzeczne.

Rozwiązanie: Zauważmy najpierw, że zbiory A i B na pewno są zupełne. Załóżmy bowiem,że tak nie jest, tzn. na przykład, że zbiór A jest niezupełny. Znaczyło by to, że istnieje jakaśformuła ϕ klasycznego rachunku zdań, która nie należy do A, oraz ¬ϕ nie należy do tegożzbioru. Zauważmy jednak, że przy podstawieniu w albo ϕ jest prawidziwa, albo ¬ϕ jestprawidziwa, wobec czego albo pierwsza, albo druga musi należeć do A. Dowód, że B jestzupełny, jest identyczny.Zastanówmy się teraz, czy zbiory te są niesprzeczne. Zaczniemy od pokazania, że zbiór

B jest sprzeczny. Zauważmy, że do zbioru B należą w szczególności również, wszystkie za-przecznia tautologii, czyli formuły które są fałszywe przy każdym podstawieniu. No ale z

21

drugiej strony tautologie są uniwersalne. Tak więc, jeśli ϕ jest tautologią klasycznego ra-chunku zdań, to na pewno B ` ϕ oraz B ` ¬ϕ. No a to dokładnie znaczy, że zbiór B jestsprzeczny. Zajmijmy się więc zbiorem A.Zbiór A zawiera wszystkie formuły, które są prawdziwe przy pewnym podstawieniu. Udo-

wodnimy indukcyjnie twierdzenie, że jeśli jakaś formuła ϕ daje się udowodnić w A, to napewno ¬ϕ nie da się udowodnić w A, a dokładniej pokażemy, że nie istnieje dowód formuły¬ϕ jeśli istnieje dowód ϕ w oparciu o A. Na początku zauważmy, że jeśli ϕ jest prawdziwaprzy podstawieniu w to należy po prostu do A, więc sama jest swoim dowodem. Jeśli ϕ jestfałszywa przy podstawieniu w, to za to ¬ϕ jest prawidziwa i możemy „odwrócić” sytuację.Zakładamy więc, że ϕ jest prawdziwa przy podstawieniu w (co czynimy bez utraty ogólno-ści). Jeśli istniałby dowód formuły ¬ϕ w oparciu o A to przynajmniej raz musiałaby zostaćużyta reguła odrywania. Indukcję przeprowadzimy więc po liczbie użyć reguły odrywania wdowodzie i pokażemy że można używać jej nieskończenie wiele razy, ale to i tak nie pomo-że. Pierwszy krok indukcji mamy już właściwie za sobą, bo wiemy, że dla zera jest dobrze.Możemy jednak jeszcze pokazać, że jak zastosujemy tylko raz regułę odrywania, to nic tonie pomoże. Gdyby ¬ϕ dało się uzyskać stosując raz regułę odrywania, to musiałaby istniećjakaś formuła F , taka, że zarówno F jaki i F → ¬ϕ dają się wywieść bez stosowania regułyodrywania. No ale to znaczy, że zarówno F jak i F → ¬ϕ musiałby należeć do A, co jestniemożliwe (gdyby F → ¬ϕ było prawdziwe przy podstawieniu w, to F musiałoby być fał-szywe, więc nie mogłoby należeć do A i odwrotnie, gdyby A należało to, ta druga formuła niemogłaby należeć). Załóżmy więc, że przy użyciu n razy reguły odrywania nie da się otrzymać¬ϕ z A. Pokażemy że reguła odrywania zastosowana jeszcze raz nic nie pomoże. Załóżmy,że budujemy dowód ¬ϕ i użyliśmy w nim już n razy regułę odrywania. Chcielibyśmy użyćją ponownie. W dowodzie tym musiałaby istnieć formuła F oraz F → ¬ϕ, które albo należądo F albo powstały z reguły odrywania zastosowanej co najwyżej n razy (ale razem – tzn.łączna liczba reguł odrywania musi wynosić n – co szczerze mówić nie wiele zmienia). Wzwiązku z tym, zdania F oraz F → ¬ϕ nie mogą być (zgodnie z założeniem indukcyjnym)fałszywe przy podstawieniu w. Nie jest to jednak możliwe, bo przecież ¬ϕ jest przy podsta-wianiu w fałszywe, czyli gdyby F było prawdziwe, bo F → ¬ϕ byłoby fałszywe i na odwrót.Czyli dwie formuły F oraz F → ¬ϕ nie mogą istnieć. Czyli zastosowanie reguły odrywaniapo raz n + 1 nic nie pomoże. Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej, możemyregułę odrywania stosować bez końca, a i tak nie pomoże nam to w uzyskaniu formuły ¬ϕ.Co za tym idzie zbiór A jest niesprzeczny. Co ciekawe, w ten sposób pokazaliśmy też, że ówzbiór A jest równy A∗, tzn. nie da się z niego wywieść nic więcej poza to co sam zawiera.

22