Witold Bołt na podstawie wykładu Prof. dr hab. Andrzeja ...aszczepa/geom-iso.pdf · Deﬁnicja...

Witold Bołtna podstawie wykładuProf. dr hab. Andrzeja Szczepańskiego

Geometria różniczkowa

2 października 2013

Uwaga! Jeśli zauważysz jakieś błędy to pisz: Witold Bołt 〈[email protected]〉.Aktualną wersję tego dokumentu można zawsze znaleźć w Internecie na stroniedomowej autora: http://www.hope.art.pl/skrypty/geom/.

Dziękuję wszystkim, którzy swoją cierpliwością i jakąkolwiek pomocą przyczynilisię do powstania tego tekstu.

Witold Bołt

[email protected]

http://www.hope.art.pl/skrypty/geom/

Spis treści

1 Teoria krzywych 51.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Podstawowe własności, wzory Freneta . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Wzory Freneta w Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Krzywe w przestrzeni R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Teoria powierzchni 132.1 Rozmaitości różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Równania różniczkowe geodezyjnych . . . . . . . . . . . . . 162.4 Krzywizna powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1 Krzywizna Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Druga forma kwadratowa i przekroje normalne . . . . . . . . 182.4.3 Lokalny układ współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Twierdzenie Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Twierdzenie Gaussa–Bonneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.1 Płaszczyzna hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6.2 Współrzędne geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6.3 Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta . . . . . . . . . . . . . 34

Bibliografia 39

3

Rozdział 1

Teoria krzywych

Oznaczenia. Literą I będziemy oznaczać przedziały (zazwyczaj domknięte) [a, b]w R. Niech dana będzie funkcja różniczkowalna f : I → Rn, oraz niech t0 ∈ I. Po-chodną f w punkcie t0 oznaczamy f ′(t0) i rozumiemy jako wektor: limh→0

f(t0+h)−f(t0)h

.

1.1 Podstawowe definicje

Definicja 1.1.1 (krzywa i parametryzacja krzywej). Krzywą γ w przestrzeni Rn

nazywamy dowolny ciągły obraz odcinka I = [a, b].Funkcję ciągłą c : I → Rn nazywamy parametryzacją krzywej γ, o ile γ = c(I).

W dalszej części tego opracowania będziemy utożsamiać (tam gdzie to możliwe)krzywą i jej opis parametryczny (na obie te rzeczy będziemy mówić krzywa). Krzyweoznaczać będziemy literami c lub γ.

Będziemy zakładać (jeśli nie napisano inaczej), że rozważane przez nas krzywesą klasy Cm dla pewnego m > 0.

Definicja 1.1.2 (krzywa regularna). Mówimy, że krzywa γ jest regularna (ma opisregularny), gdy:

∀t∈Iγ′(t) 6= 0.

Przykład 1.1.3. Niech dane będą krzywe, zadane przez parametryzacje: γ1(t) =(cos t, sin t), t ∈ [0, 2π]; γ2(t) = (cos−2t, sin−2t), t ∈ [0, π]. Obie parametryzacjeopisują tą samą krzywą. Z drugiej strony, zauważmy, że γ1(0) = γ2(0) = (1, 0), orazγ′1(0) = (0, 1), γ′2(0) = (0,−2). Pochodne wyznaczają tutaj wektory styczne. W obuprzypadkach są one równoległe, jednak różnią się, zależnie od parametryzacji.

Definicja 1.1.4 (długość krzywej). Niech γ : [α, β]→ Rn będzie krzywą. Długośćkrzywej γ oznaczamy przez L(γ) i definiujemy:

L(γ) =∫ β

α|γ′(t)|dt

5

6 ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

Definicja 1.1.5 (parametryzacja łukowa). Parametryzacja krzywej γ : I → Rn jestłukowa o ile:

∀t1<t2∈I L(γ|[t1,t2]) = t2 − t1

1.2 Podstawowe własności, wzory Freneta

Stwierdzenie 1.2.1. 1. Regularny opis parametryczny jest opisem łukowym, wte-dy i tylko wtedy gdy ∀t∈I |γ′(t)| = 1.

2. Każda krzywa regularna klasy C1 ma łukowy opis parametryczny.

Dowód. 1. Załóżmy, że krzywa ma parametryczny opis łukowy. Wówczas:

|γ′(t)| = d

dt

∫ t

t0|γ′(s)|ds =

d

dt|t− t0| = 1

czyli rzeczywiście dla dowolnego t ∈ I zachodzi |γ′(t)| = 1.

Załóżmy, teraz że zachodzi ∀t∈I |γ′(t)| = 1 i sprawdzimy, czy krzywa γ ma opisłukowy. Ustalmy t0 ∈ I. Dla t t0 mamy:

L(γ|[t0,t]) =∫ t

t0|γ′(s)|ds =

∫ t

t01ds = t− t0

czyli krzywa ma parametryzacje łukową.

2. Niech c(t) krzywa regularna, oraz t0 ∈ I. Zdefiniujmy funkcję s : I → Rwzorem:

s(t) = sgn(t− t0)∫ t

t0|c′(τ)|dτ.

Funkcja s jest różniczkowalna, ponadto zachodzi: dsdt

=∣∣∣dcdt

∣∣∣. Pochodna c niezeruje się, więc pochodna s jest zawsze dodatnia, stąd s monotoniczna (ro-snąca). Istnieje więc funkcja odwrotna t(s) = s−1(t). Niech γ(s) = c(t(s)).Sprawdzimy, że taka γ(s) ma opis łukowy.

∣∣∣∣∣dγds∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣dcdt∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣ dtds

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣dsdt∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣ dtds

∣∣∣∣∣ = 1.

Przykład 1.2.2. 1. Krzywa (odcinek) c(t) = (αt+x0, βt+ y0) jest łukowo spa-rametryzowana wtedy i tylko wtedy, gdy α2 + β2 = 1.

2. Łukowy opis parametryczny okręgu o środku (0, 0) i promieniu R ma postać:

c(s) =(R cos

s

r, R sin

s

R

)s ∈ [0, 2πR]

1.2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI, WZORY FRENETA 7

Stwierdzenie 1.2.3. Jeżeli c : I → Rn jest krzywą różniczkowalną oraz f : Rn →Rm jest odwzorowaniem różniczkowalnym, to:

∀t0∈I(f ◦ c)′(t0) = dfc(t0)(c′(t0)).

Dowód. Niech f = (f1, . . . , fm), gdzie fi : Rn → R. Podobnie niech c = (x1, . . . , xn).Zachodzi wówczas: (f ◦ c)′ = ((f1 ◦ c)′, . . . , (fm ◦ c)′). Ustalmy 1 ¬ k ¬ m. Mamy:(

d

dt(fk ◦ c)

)(t0) =

k∑i=0

∂fk∂xi

(c(t0))dxidt

(t0),

z czego wynika, że:

(f ◦ c)′(t0) =[∂fi∂xj

(c(t0))]i,j

x′1(t0)

...x′n(t0)

= dfc(t0)(c′(t0)).

Definicja 1.2.4 (orientacja dodatnia i ujemna). Układ v1, . . . , vn ∈ Rn ma orien-tację ujemną (dodatnią), gdy det(v1, . . . , vn) < 0 (det(v1, . . . , vn) > 0).

Wniosek 1.2.5. W przypadku gdy n = 1 wybór orientacji, to wybór kierunkuporuszania się po prostej.

Zakładamy, że dane są krzywa c : I → R2, c(s0) = p. Oznaczmy kąt mię-dzy wektorami stycznymi do krzywej c w punktach s0 i s0 + ∆s przez: ∆pϕ =^(c(s0), c(s0 + ∆s)), gdzie c oznacza pierwszą pochodną c względem s.

Definicja 1.2.6 (krzywizna krzywej). Jeśli c jest zorientowaną krzywą płaską klasyC2, to wielkość:

Kc(p) = lim∆s→0

∆pϕ

∆s,

nazywamy krzywizną krzywej c w punkcie p.

Definicja 1.2.7 (reper Freneta). Niech c będzie sparametryzowaną łukowo płaskąkrzywą zorientowaną dodatnio, a e1(t), e2(t) dodatnio zorientowaną bazą ortonor-malną w R2, taką, że e1(t) = c′(t). Wtedy układ e1(t), e2(t) nazywamy reperemFreneta krzywej c w punkcie c(t).

Przykład 1.2.8. Niech c : I → R2 krzywa sparametryzowana łukowo, dana wzoremc(t) = (x(t), y(t)). Przyjmijmy e1(t) = (x(t), y(t)), oraz e2(t) = (−y(t), x(t)). Układe1, e2 jest reperem Freneta krzywej c, ponieważ 〈e1, e2〉 = 0 oraz det[e1, e2] = 1.

Twierdzenie 1.2.9. Niech c krzywa płaska klasy C2 sparametryzowana łukowo.Wówczas:


1. Krzywizna jest określona w każdym punkcie.

2. Jeśli e1, e2 reper Freneta, to zachodzi:

Kc(c(t))e2(t) = c(t)Kc(c(t)) = 〈c(t), e2(t)〉|Kc(c(t))| = |c(t)|

3. Reper Freneta e1, e2 spełnia: c = e′1 = Kce2

e′2 = −Kce1

co można zapisać w postaci macierzowej jako:

d

dt

[e1

e2

]=[

0 Kc

−Kc 0

] [e1

e2

]

Dowód. Wektory e1(s), e2(s) stanowią bazę ortonormalną R2. Zapiszmy więc wektore1(s+ ∆s) w tej bazie:

e1(s+ ∆s) = 〈e1(s+ ∆s), e1(s)〉e1(s) + 〈e1(s+ ∆s), e2(s)〉e2(s).

Niech ∆ϕ oznacza kąt ^(e1(s), e1(s + ∆s)). Wektory e1(s), e2(s) są ortonormalne(dla każdego s), czyli w szczególności mają długość 1. Stąd iloczyn skalarny wekto-rów e1(s) i e1(s+ ∆s) równy jest kosinusowi kąta między nimi:

〈e1(s+ ∆s), e1(s)〉 = cos ∆ϕ.

Podobnie:〈e1(s+ ∆s), e2(s)〉 = cos^(e1(s+ ∆s), e2(s)).

Zauważmy również, że:

^(e1(s+ ∆s), e2(s)) = ^(e1(s), e2(s))− ^(e1(s+ ∆s), e1(s)) = π/2−∆ϕ

Mamy więc, że:〈e1(s+ ∆s), e2(s)〉 = sin ∆ϕ.

Czyli ostateczne:

e1(s+ ∆s) = cos ∆ϕe1(s) + sin ∆ϕe2(s).

Sprawdzamy warunki z punktu 2 w treści twierdzenia. Policzmy drugą pochodnąkrzywej c. Z definicji e1(s) wiemy, że c = e′1. Policzymy więc pierwszą pochodną e1:

de1

ds= lim

∆s→0

e1(s+ ∆s)− e1(s)∆s

=

1.2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI, WZORY FRENETA 9

Stosujemy teraz wyliczoną wcześniej postać e1(s+ ∆s):

= lim∆s→0

cos ∆ϕe1(s) + sin ∆ϕe2(s)− e1(s)∆s

= lim∆s→0

cos ∆ϕ− 1∆s

e1(s) + lim∆s→0

sin ∆ϕ∆s

e2(s)

=(

lim∆ϕ→0

cos ∆ϕ− 1∆ϕ

lim∆s→0

∆ϕ∆s

)e1(s) +

(lim

∆ϕ→0

sin ∆ϕ∆ϕ

lim∆s→0

∆ϕ∆s

)e2(s)

= 0 · e1(s) +Kc(c(s))e2(s)

Mamy więc:〈c′′, e1〉 = 〈Kce2, e2〉 = Kc,

co daje:|c′′|2 = 〈c′′, c′′〉 = K2

c 〈e2, e2〉 = K2c

W ten sposób udowodniliśmy punkt 2. Przechodzimy do dowodu punktu 3.Wektory e1, e2 stanowią bazę, więc wektor ei możemy zapisać w tej bazie:

ei(t) = wi1(t)e1(t) + wi2(t)e2(t)

gdzie wij(t) ∈ R. Korzystamy teraz z faktu, że 〈ei, ej〉 = δij =

1 i = j

0 i 6= j. Licząc

obustronnie pochodną w tej równości otrzymujemy:

0 =d

dt〈ei, ej〉 = 〈ei, ej〉+ 〈ei, ej〉

Podstawimy teraz do powyższego wzoru, e1 przedstawione w bazie e1, e2:

0 = 〈w11e1 + w12e2, e2〉+ 〈e1, w21e1, w22e2〉 = w12 + w21

Podobnie wyliczamy ddt〈e1, e1〉:

0 = 〈e1, e1〉+ 〈e1, e1〉 = w11 + w11 = 2w11 = 0

Z powyższych rozważań wynika, że:w21 = −w12

w11 = w22 = 0

Co daje nam: e1 = w12e2

e2 = −w12e1

Z wcześniej udowodnionych własności wynika, że e1 = c = Kce2 = w12e2, czyliw12 = Kc.


1.3 Wzory Freneta w Rn

Definicja 1.3.1 (krzywa niezdegenerowana). Krzywa regularna jest niezdegenero-wana jeśli ∀t∈I wektory c′(t), c′′(t), . . . , c(n)(t) ∈ Rn są liniowo niezależne.

Definicja 1.3.2 (reper Freneta). Reperem Freneta regularnej, niezdegenerowanejkrzywej c : I → Rn nazywamy układ funkcji e1, . . . , en : I → Rn, taki, że funkcjee1, . . . , en−1 powstają z układu c′, . . . , c(n−1) przez jego ortonormalizację, a funkcjęen wybieramy tak, aby cały układ był ortonormalny i zorientowany dodatnio.

Uwaga 1.3.3. Można pokazać, że:

d

dt

e1...en

=

0 K1 0 . . . 0−K1 0 K2 0 . . .

......

......

...0 0 . . . −Kn−1 0

e1...en

,

gdzie Ki jest i-tą krzywizną krzywej c.

1.4 Krzywe w przestrzeni R3

Dana jest krzywa w przestrzeni R3 z parametryzacją łukową c : I → R3. Układ wek-torów stanowiący reper Freneta tej krzywej obliczamy zgodnie z definicją podaną wpoprzednim punkcie. Zauważmy, że skoro układ ten musi być zorientowany dodat-nio, to mając dwa pierwsze wektory, możemy wyznaczyć trzeci z wzoru: e3 = e1×e2.

Wzory Freneta w przypadku trój-wymiarowym mają postać:

d

dt

e1

e2

e3

=

0 k 0−k 0 τ0 −τ 0

e1

e2

e3

Liczby k oraz τ nazywamy odpowiednio krzywizną i skręceniem krzywej.

Definicja 1.4.1 (trójścian Freneta). Niech c krzywa w R3, p ∈ R3, oraz e1, e2, e3

reper Freneta krzywej c w punkcie p. Definiujemy następujące płaszczyzny:

• ściśle styczna – rozpięta na wektorach e1, e2,

• normalna – rozpięta na wektorach e1, e3,

• prostująca – rozpięta na wektorach e2, e3.

Sumę tych trzech płaszczyzn nazywamy trójścianem Freneta.

Definicja 1.4.2. krzywa płaska Jeśli krzywa c : I → R3 leży w pewnej płaszczyźnie,to mówimy, że jest to krzywa płaska.

1.4. KRZYWE W PRZESTRZENI R3 11

Fakt 1.4.3. Niech c : I → R3 sparametryzowana łukowo, niezdegenerowana krzywa.Jeśli wektor e3 w układzie Freneta jest stały, to c jest krzywą płaską.

Dowód. Zakładamy, że e3 stały. Korzystamy z wzoru na różniczkowanie iloczynuskalarnego:

〈c, e3〉′ = 〈c′, e3〉+ 〈c, e′3〉

Zauważmy, że z wzorów Freneta mamy w szczególności, że:

〈c′, e3〉 = 0

natomiast z założeń wiemy, że e3 jest stały, więc e′3 = 0. Wiemy więc, że:

〈c, e3〉′ = 0⇒ 〈c, e3〉 = D ∈ R– stała.

Załóżmy, że daną mamy jakąś parametryzację c postaci:

c(t) = (x(t), y(t), z(t))

oraz, że wektor e3 jest postaci:

e3(t) = (A,B,C).

Wiemy więc, że:

〈c, e3〉 = 〈(x(t), y(t), z(t)), (A,B,C)〉 = D

a to dokładnie oznacza, że:

Ax(t) +By(t) + Cz(t) = D

co dowodzi, że każdy punkt krzywej c leży na płaszczyźnie danej równaniem:

Ax+By + Cz = D

Stwierdzenie 1.4.4. Niech c : I → R3 będzie łukowo sparametryzowaną krzywąniezdegenerowaną. Następujące warunki są równoważne:

(i) c jest krzywą płaską,

(ii) τ = 0,

(iii) c leży w płaszczyźnie równoległej do swej płaszczyzny stycznej,

(iv) wszystkie płaszczyzny styczne do c pokrywają się.


Dowód. Części (iii) ⇐⇒ (iv) oraz (iii)⇒ (i) są oczywiste.Udowodnimy teraz (i)⇒ (ii). Z wzorów Freneta mamy, że:

e′3 = −τe2.

Zakładamy, że c jest krzywą płaską. Wiemy więc, że e3 stały, czyli e′3 = 0. Ponieważe2 nie jest wektorem zerowym to natychmiast dostajemy, że τ = 0.

Wynikanie (ii)⇒ (i) otrzymujemy wprost z udowodnionego wcześniej faktu i zrówności e′3 = −τe2.

Pozostało do pokazania, że z punktu (i) wynika (iii). Załóżmy, że t0 ∈ I. Jeśli cjest krzywą płaską, to płaszczyzna P zawierająca c i płaszczyzna Π równoległa dopłaszczyzny ściśle stycznej w punkcie c(t0) i zawierająca ten punkt są równoległe(wektor e3(t0) jest prostopadły do obu tych płaszczyzn). Ponieważ c(t0) ∈ P ∩ Π,oraz P i Π równoległe, to P = Π.

Uwaga 1.4.5. Do obliczenia krzywizny i skręcenia krzywej w przestrzeni R3 możnakorzystać z wzorów:

k =|c′ × c′′||c′|3

τ =〈c′ × c′′, c′′′〉|c′ × c′′|2

=det[c′, c′′, c′′′]|c′ × c′′|2

Rozdział 2

Teoria powierzchni

2.1 Rozmaitości różniczkowe

Definicja 2.1.1 (mapa). Niech X będzie przestrzenią topologinczą. Mapą na Xnazywamy dowolny homeomorfizm Φα : Uα → Wα, gdzie Uα jest otwartym podzbio-rem X, a Wα jest otwartym podzbiorem Rn.

Definicja 2.1.2 (atlas). Atlasem nazywamy zbiór map pewnej przestrzeni topolo-gicznej X:

{Φα : Uα → Wα}α∈Itaki, że

⋃α∈I Uα = X.

Mówimy, że atlas jest gładki (klasy Cr) jeśli funkcje Φβ ◦ Φ−1α : Φα(Uα ∩ Vβ) →

Φβ(Uα ∩ Vβ) są gładkie (klasy Cr).

Definicja 2.1.3. Niech {Uα,Φα}, {Vβ, ηβ} będą atlasami odpowiednio na przestrze-ni topologicznej na X i Y . Odwzorowanie f : X → Y jest gładkie (klasy Cr) jeślifunkcje: ηβ ◦ f ◦ Φ−1

α |Φα(Uα∩f−1(Vβ)) są gładkie (klasy Cr).

Definicja 2.1.4 (atlasy równoważne). Dwa atlasy na przestrzeni topologicznej X:{Φα}, {Ψβ} są równoważne jeśli identyczność na X jest funkcją gładką.

Definicja 2.1.5 (rozmaitość). Gładką (klasy Cr) n-wymiarową rozmaitością nazy-wamy przestrzeń topologiczną z zadaną na niej klasą atlasów równoważnych. Klasyrównoważności atlasów nazywamy strukturą różniczkową na rozmaitości X.

Uwaga 2.1.6. Z reguły rozmaitość definiuje się jako przestrzeń, która jest lokal-nie homeomorficzna (lub dyfeomorficzna) z przestrzenią euklidesową. Ogólny senswszystkich tych definicji jest taki sam i sprowadza się do tego, że w analizie rozma-itości możemy lokalnie patrzeć na nią jak na fragment „zwykłej” przestrzeni Rn.

Przykład 2.1.7. Typowe rozmaitości, to: Rn, Sn,RP n,CP n,Hn, Dn, torus.

13

14 ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

2.2 Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna

Definicja 2.2.1 (powierzchnia). Powierzchnia jest to dowolna, zwarta i spójnarozmaitość 2-wymiarowa.

W dalszej części tego opracowania, jeśli nie zaznaczono inaczej, rozpatrujemypowierzchnie zanurzone w przestrzeni R3.

Definicja 2.2.2 (wektor styczny i przestrzeń styczna). Wektorem stycznym dopowierzchni M w punkcie p nazywamy każdy wektor styczny w tym punkcie dopewnej krzywej różniczkowalnej c : I → M . Zbiór wektorów stycznych do M wpunkcie p nazywamy przestrzenią styczną i oznaczamy przez TpM .

Przykład 2.2.3. 1. Niech p ∈ R2. Wówczas TpR2 = R2.

2. Niech M pewna powierzchnia, oraz niech U ⊂ M otwarty, oraz p ∈ U . Wów-czas zachodzi: TpU = TpM .

3. Załóżmy, że powierzchnia jest sparametryzowana w następujący sposób:

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

gdzie (u, v) ∈ U ⊂ R2, zbiór U jest otwarty, a funkcje x, y, z są różniczkowalne.Wprowadźmy oznaczenia:

xu = ∂x∂u

(u, v) yu = ∂y∂u

(u, v) zu = ∂z∂u

(u, v)xv = ∂x

∂v(u, v) yv = ∂y

∂v(u, v) zv = ∂z

∂v(u, v)

Wówczas wektory dr(e1) = [xu, yu, zu], dr(e2) = [xv, yv, zv] stanowią bazęprzestrzeni stycznej.

Definicja 2.2.4 (pierwsza forma kwadratowa). Pierwszą formą kwadratową po-wierzchni M w punkcie p nazywamy iloczyn skalarny:

〈, 〉 : TpM × TpM → R

Definicja 2.2.5 (metryka Riemanna). Metryką Riemanna na powierzchni M na-zywamy różniczkowe przyporządkowanie każdemu punktowi p ∈M iloczynu skalar-nego na przestrzeni TpM .

Standardową bazą przestrzeni stycznej TpM jest ∂∂xi

. Rozważmy macierz [gij]i,j=1,2,zdefiniowaną jako: gij = 〈 ∂

∂xi, ∂∂xj〉 (gdzie iloczyn skalarny 〈, 〉 to standardowy iloczyn

skalarny z Rn). Z symetrii iloczynu skalarnego mamy gij = gji. Macierz ta wyznaczajednoznacznie metrykę Riemanna. Załóżmy bowiem, że mamy dwie krzywe c, d wM. Ustalmy dowolny punkt p ∈M . Wtedy oczywiście:

c′(p) = c′1(p)∂(p)∂x1

+ c′2(p)∂(p)∂x2

2.3. GEODEZYJNE 15

d′(p) = d′1(p)∂(p)∂x1

+ d′2(p)∂(p)∂x2

Aby policzyć iloczyn skalarny (wyznaczony przez metrykę Riemanna) wystarczypoliczyć:

〈c′(p), d′(p)〉 =⟨c′1∂(p)∂x1

+ c′2∂(p)∂x2

, d′1∂(p)∂x1

+ d′2∂(p)∂x2

⟩=

= g11c′1d′1 + g12c

′1d′2 + g21c

′2d′1 + g22c

′2d′2 =

2∑i,j=1

gijc′id′j

Wobec tego iloczyn skalarny wyznaczony przez metrykę Riemanna odpowiada for-mie dwuliniowej o macierzy [gij]i,j=1,2.

Definicja 2.2.6 (pierwsza forma kwadratowa). Macierz [gij] zdefiniowana powyżejwyznacza formę kwadratową, którą będziemy nazywać pierwszą formą kwadratową.

Tradycyjnie jej macierz oznacza się:[E FF G

].

Określenie metryki Riemanna, pozwala nam zdefiniować długość krzywej napowierzchni. Niech c : [a, b] → U ⊂ M będzie dowolną krzywą różniczkowalną,wtedy długość tej krzywej wynosi:

L(c) =∫ b

a〈c′(t), c′(t)〉

12dt =

∫ b

a

2∑i,j=1

(gij(c(t))c′i(t)c

′j(t)

) 12 dt2.3 Geodezyjne

Definicja 2.3.1 (geodezyjna). Niech c : I → M będzie parametryzacją krzywej,proporcjonalną do długości. Jeśli dla każdego t0 ∈ I istnieje δ > 0 taka, że każdyodcinek c|[t0,t1] długości mniejszej niż δ jest najkrótszą krzywą łączącą c(t0) z c(t1),to mówimy, że c jest krzywą geodezyjną.

Przykład 2.3.2. Rozważmy sferę dwuwymiarową w R3. Pomiędzy dwoma punkta-mi leżącymi na antypodach możemy poprowadzić nieskończenie wiele geodezyjnych.Jeśli natomiast wybierzemy dwa punkty leżące na równiku to istnieje dokładnie jed-na geodezyjna łącząca te punkty.

Przykład 2.3.3. W przestrzeni R2 geodezyjne to odcinki.

Twierdzenie 2.3.4. Niech M będzie powierzchnią, wówczas:

(i) dla każdego p ∈M i v ∈ TpM istnieje ε > 0 i dokładnie jedna, sparametryzo-wana łukowo geodezyjna c : (−ε, ε)→M taka, że c(0) = p i c′(0) = v;

(ii) dwa dowolne, dostatecznie bliskie punkty M można połączyć dokładnie jedną,sparametryzowaną łukowo geodezyjną.


2.3.1 Równania różniczkowe geodezyjnych

Niech [gij] oznacza macierz pierwszej formy kwadratowej. Przez [gij] będziemy ozna-czać macierz odwrotną do [gij].

Definicja 2.3.5 (symbole Christoffela). W poniższych wzorach i, j, k, s = 1, 2.

1. Symbole Christoffela pierwszego rodzaju Γkij = ∂gij∂xk

+ ∂gjk∂xi− ∂gki

∂xj,

2. Symbole Christoffela drugiego rodzaju: Γkij = 12

∑2s=1 g

ksΓjis.

Uwaga 2.3.6. Γkij = Γkji.

Twierdzenie 2.3.7. Niech r : U →M będzie lokalną parametryzacją (lokalną ma-pą), niech c będzie krzywą leżącą w r(U) i niech r−1(c(t)) = (x1(t), x2(t)). Następu-jące warunki są równoważne:

(i) c jest geodezyjną sparametryzowaną łukowo,

(ii) c jest rozwiązaniem następującego układu równań różniczkowych:

d2xkdt2

+2∑

i,j=1

Γkijdxidt

dxjdt

= 0

dla k = 1, 2.

2.4 Krzywizna powierzchni

2.4.1 Krzywizna Gaussa

Definicja 2.4.1 (odwzorowanie sferyczne). Odwzorowaniem sferycznym nazywamyciągłe przekształcenie n : M → S2, które każdemu punktowi powierzchni M ⊂ R3

przyporządkowuje wektor normalny do M .

Jeśli dla danej powierzchni M istnieje odwzorowanie sferyczne n, to mówimy, żepowierzchnia M jest zorientowana.

Definicja 2.4.2. Niech c : I → M dowolna krzywa, p ∈ M . Definiujemy odwzoro-wanie dnp : TpM → Tn(p)S

2 wzorem dnp(c′(p)) = (n ◦ c)′(p).

Uwaga 2.4.3. Odwzorowanie dnp jest liniowe.

Definicja 2.4.4 (krzywizna powierzchni). Niech M powierzchnia, p ∈ M . Niech{Ak}∞k=1, będzie ciągiem otoczeń punktu p, których średnice dążą do zera. Liczbę:

KM(p) = sgn(det dnp) limk→∞

polen(Ak)poleAk

nazywamy krzywizną powierzchni M (krzywizną Gaussa) w punkcie p.

2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI 17

Przykład 2.4.5. 1. Krzywizna płaszczyzny wynosi zero, ponieważ każdemu punk-towi płaszczyzny odwzorowanie n przyporządkowuje jeden, ten sam wektor,więc pole n(Ak) zawsze wynosi 0.

2. Krzywizna sfery o promieniu R wynosi 1R2

, ponieważ dla dowolnego punktu psfery dwuwymiarowej o promieniu R, n(p) = 1

Rp, a co za tym idzie pole(Ak) =

1R2

polen(Ak).

Twierdzenie 2.4.6. Jeśli M jest rozmaitością dwuwymiarową klasy C2, to:

∀p∈MKM(p) = det dnp.

Lemat 2.4.7. Jeśli L : V → V jest przekształceniem liniowym przestrzeni dwuwy-miarowej, v, w ∈ V , to:

det[L(v), L(w)] = detL det[v, w].

Dowód. Niech α będzie bazą przestrzeni V , oraz niech dana będzie macierz L w tejbazie: Mαα(L) = [αij]. Niech v = (v1, v2), w = (w1, w2). Wtedy:

det[Lv, Lw] = det(

[αij][v1 w1

v2 w2

])= detL det[v, w].

Lemat 2.4.8. Załóżmy, że U jest otwartym, spójnym podzbiorem Rn. Funkcjef, g : U → R są ciągłe. Ponadto rodzina {∆k}k∈N podzbiorów U jest ciągiem otwar-tych, spójnych i ograniczonych otoczeń punktu p. Jeżeli diam ∆k = δ(∆k) → 0,to:

limk→∞

∫∆kfdx∫

∆kgdx

=f(p)g(p)

.

Dowód. Niech mk,Mk oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą wartośćfunkcji f, g na zbiorze ∆k oraz niech m(A) oznacza miarę Lebesguea zbioru A.Wtedy: ∫

∆kfdx

m(∆k)∈ [mk,Mk] = f(∆k).

Z twierdzenia o wartości pośredniej (własność Darboux) istnieje xk ∈ ∆k takie, że:∫∆kfdx

m(∆k)= f(xk).

Analogicznie, dla g istnieje yk takie, że:

g(yk) =∫

∆kgdx

m(∆k).

Ponieważ δ(∆k)→ 0, oraz p ∈ ⋂k∈N ∆k, więc xk → p i yk → p, a stąd:

limk→∞

∫∆kfdx∫

∆kgdx

= limk→∞

∫∆kfdx

m(∆k)· m(∆k)∫

∆kgdx

= limk→∞

f(xk)g(yk)

=f(p)g(p)


Dowód twierdzenia 2.4.6. Zauważmy, że sgn(det(dnp)) = sgnKM(p), więc aby udo-wodnić twierdzenie, wystarczy sprawdzić, że |KM(p)| = | det(dnp)|. Niech r : D →M będzie lokalną mapą w otoczeniu punktu p. Niech {Dk}k∈N będzie ciągiemotwartych, spójnych, ograniczonych podzbiorów D takich, że δ(Dk) → 0. Wtedyr−1(p) ∈ ⋂k∈NDk. Z definicji iloczynu wektorowego |ru× rv| jest polem równoległo-boku rozpiętego na ru i rv i jest ono równe |det[ru, rv]|.

Zauważmy, że pole n(r(Dk)) można wyrazić przez całkę:∫∫Dk

| det[(n ◦ r)u, (n ◦ r)v]|dudv =∫∫

Dk

| det[dn(u,v)(ru), dn(u,v)(rv)]|dudv.

Niech f(u, v) = |det[dn(u,v)(ru), dn(u,v)(rv)]|. Z lematu 2.4.7 wynika:

f(u, v) = det dn(u,v)|det[ru, rv]|.

Niech g(u, v) = | det[ru, rv]|.

|KM(p)| = limk→∞

polen(r(Dk))pole r(Dk)

= limk→∞

∫∫Dkf(u, v)dudv∫∫

Dkg(u, v)dudv

=f(p)g(p)

= | det dnp|.

2.4.2 Druga forma kwadratowa i przekroje normalne

Definicja 2.4.9 (druga forma kwadratowa). Odwzorowanie, które każdemu punk-towi p ∈M przyporządkowuje formę kwadratową:

TpM 3 x 7→ 〈−dnp(x), x〉 ∈ R

nazywamy drugą formą kwadratową.

Poza zdefiniowaną wyżej formą kwadratową, będziemy rozpatrywać też wyzna-czoną przez nią, formę dwulinową:

Π: TpM × TpM 3 (x, y) 7→ 〈−dnp(x), y〉 ∈ R

Definicja 2.4.10 (przekrój normalny). Niech p ∈ M , x ∈ STpM = {v ∈ TpM :||v|| = 1}. Niech Px oznacza płaszczyznę rozpiętą na wektorach n(p) oraz x. Prze-krojem normalnym M w kierunku x nazywamy sparametryzowaną łukowo krzywąpłaską c powstałą w wyniku przecięcia powierzchni M płaszczyzną Px taką, żec′|p = x oraz c(0) = p.

Krzywiznę Kc(p) nazywamy krzywizną przekroju normalnego i oznaczamy Kx.Aby jednoznacznie określić krzywiznę przekroju normalnego należy ustalić orienta-cję płaszczyzny Px. Jest ona zadana przez dodatnio zorientowaną bazę x, n(p), tzn.układ x, n(p) ma być reperem Freneta krzywej c w punkcie p.


Stwierdzenie 2.4.11. Jeżeli p ∈M , x ∈ STpM , to Π(x, x) = Kx.

Dowód. Niech c oznacza przekrój normalny w kierunku x taki, że c(0) = p. Wówczasc′(0) = x. Ponieważ c leży na M więc 〈c′, n ◦ c〉 = 0. Różniczkując ostatnią równośćotrzymujemy:

〈c′′(0), (n ◦ c)(0)〉+ 〈c′(0), (n ◦ c)′(0)〉 = 0

Ponieważ Kx = 〈c′′(0), (n ◦ c)(0)〉, mamy:

Kx = −〈c′(0),d(n ◦ c)dt

(0)〉 = −〈c′(0), dnp(dc

dt(0))〉 = Π(c′(0), c′(0)) = Π(x, x)

Definicja 2.4.12 (przekształcenie samosprzężone). Niech V dowolna przestrzeń ziloczynem sklaranym, oraz A : V → V pewien operator. Przez A? oznaczmy takioperator, że: A? : V → V oraz ∀x,y∈V 〈Ax, y〉 = 〈x,A?y〉. Jeśli A = A?, to mówimy,że A jest operatorem (przekształceniem) samosprzężonym.

Fakt 2.4.13. Jeśli A : V → V odwzorowanie liniowe, samosprzężone, posiada dwieróżne wartości własne λ1, λ2 oraz v1, v2 są wektorami własnymi odpowiadającymitym wartościom własnym, to 〈v1, v2〉 = 0.

Dowód. Odwzorowanie A jest samosprzężone, więc 〈Av1, v2〉 = 〈v1, Av2〉. Z definicjiAvi = λivi, czyli mamy 〈λ1v1, v2〉 = 〈v1, λ2v2〉. Stąd λ1

λ2〈v1, v2〉 = 〈v1, v2〉, co znaczy,

że albo λ1 = λ2, albo 〈v1, v2〉 = 0, ale pierwsza możliwość jest wykluczona, bozakładamy λ1 6= λ2.

Stwierdzenie 2.4.14. a) Niech U 3 (x1, x2) 7→ r(x1, x2) ∈ M będzie lokalną pa-rametryzacją M , p ∈ M . Niech N : U r−→ M

n−→ S2 ↪→ R3 i α = (rx1 , rx2) będziebazą Tr(x1,r2)M . Ponadto oznaczmy przez Mα(Π) macierz Π w bazie α. WówczasMα(Π) ma postać:

Mα(Π) = [〈N , rxixj〉].

b) Π: TpM × TpM → R jest formą dwuliniową symetryczną.

c) dnp : TpM → TpM jest przekształceniem samosprzężonym.

Dowód. a) Ponieważ wektory rx1 i rx2 są wektorami stycznymi, a wartości N sąwektorami normalnymi, więc 〈N , rxj〉 = 0 dla j = 1, 2. Stąd:

0 =∂

∂xi〈N , rxj〉 = 〈Nxi , rxj〉+ 〈N , rxjxi〉.

Zatem:〈N , rxjxi〉 = −〈Nxi , rxj〉 = −〈dn(rxi), rxj〉 = Π(rxi , rxj).

b) Ponieważ rx1x2 = rx2x1 , więc z punktu poprzedniego: Π(rx1 , rx2) = Π(rx2 , rx1).Liniowość wynika natomiast z liniowości pochodnej.


c) Niech v, w ∈ Tr(x1,x2)M , p = r(x1, x2).

〈dnp(v), w〉 = −Π(v, w) = −Π(w, v) = 〈dnp(w), v〉 = 〈v, dnp(w)〉.

Uwaga 2.4.15. a) Odwzorowanie N : U → R3 opisane w poprzednim stwierdze-niu, nazywa się odwzorowaniem Weingartena.

b) Tradycyjnie przyjmuje się oznaczenia (pochodzą one od Gaussa): L = 〈N , rx1x1〉,M = 〈N , rx1x2〉, N = 〈N , rx2x2〉. Przy powyższych oznaczeniach macierz drugiej

formy kwadratowej ma postać:[L MM N

].

Definicja 2.4.16 (krzywizny, wektory i kierunki główne). Niech M powierzchnia,p ∈ M . Liczby K1 = miny∈STpM Ky, K2 = maxy∈STpM Ky nazywamy krzywiznamigłównymi powierzchni M w punkcie p. Wektory v1, v2 ∈ STpM takie, że Kvi = Ki

nazywamy wektorami głównymi, a kierunki wyznaczone przez te wektory nazywamykierunkami głównymi.

Definicja 2.4.17 (krzywizna średnia). Liczbę H = 12(K1 +K2) nazywamy krzywi-

zną średnią powierzchni M w punkcie p.

Twierdzenie 2.4.18. a) Krzywizny główne K1 i K2 są wartościami własnymi od-wzorowania −dnp : TpM → TpM , a wektory główne są unormowanymi wektora-mi własnymi.

b) Zachodzi równość KM(p) = K1K2.

c) Jeśli y ∈ STpM i układ y1, y2 jest bazą ortonormalną wektorów głównych, orazϕ = ^(y, y1), to: Ky = K1 cos2 ϕ+K2 sin2 ϕ.

Dowód. Niech λ1 ¬ λ2 to wartości własne przekształcenia samosprzężonego −dnp,oraz y1, y2 wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym. Ponieważ−dnpjest samosprzężone, więc y1, y2 są ortogonalne. Możemy więc zakładać, że są oneortonormalne. Niech y ∈ STpM , oraz ai = 〈y, yi〉. Wtedy oczywiście y = a1y1+a2y2.Ponieważ y ∈ STpM , mamy:

|y|2 = 1 =2∑

i,j=1

a2i 〈yi, yi〉 = a2

1 + a22

A stąd:

Ky = Π(y, y) = Π(a1y1 + a2y2, a1y1 + a2y2) =2∑

i,j=1

aiaj〈−dnpyi, yj〉 =

=2∑

i,j=1

aiaj〈λiyi, yj〉 = a21λ1 + a2

2λ2.


Z powyższego wzoru i definicji Ky wynika w szczególności: Kyi = λi, oraz Ky ¬max(λi)(a2

1+a22) = λ2 = Ky2 , Ky min(λi)(a2

1+a22) = λ1 = Ky1 . Czyli rzeczywiście:

Kyi zdefiniowane jako λi spełniają definicję 2.4.16, co kończy dowód a).

Macierz −dnp w bazie y1, y2 ma postać:[K1 00 K2

]=[λ1 00 λ2

]. Korzystając z

twierdzenia 2.4.6, dostajemy natychmiast KM(p) = K1K2, co kończy dowód b).Niech ϕ = ^(y, y1). Wiemy, że ^(y1, y2) = π

2 , stąd: ^(y, y2) = π2 − ϕ. Z wzoru

cos^(x, y) = 〈x,y〉|x||y| i z faktu, że |y| = |y1| = |y2| = 1 mamy: 〈y, y2〉 = cos(π2 − ϕ) =

sinϕ. Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami: y = 〈y, y1〉y1 + 〈y, y2〉y2 = cosϕy1 +sinϕy2. Ponieważ Ky = a2

1Ky1 + a22Ky2 , wiec Ky = cos2 ϕK1 + sin2 ϕK2.

2.4.3 Lokalny układ współrzędnych

Twierdzenie 2.4.19. Niech M będzie powierzchnią, p ∈M oraz niech r będzie pa-rametryzacją pewnego otoczenia p. Ponadto, niech [gij] i [lij] oznaczają odpowiedniomacierze pierwszej i drugiej formy kwadratowej w bazie x1 = ∂

∂x1, x2 = ∂

∂x2. Wtedy:

(i) KM(p) = det[Π(xi,xj)]det[〈xi,xj〉] = det[lij ]

det[gij ],

(ii) w = |rx1 × rx2| =√

det[gij], lij = 1w〈rx1 × rx2 , rx1x2〉 = 1

wdet[rx1 , rx2 , rx1x2 ],

(iii) niech f : R2 → R bedzie funkcja klasy C2 i niech powierzchnia M dana jestwzorem M = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x3 = f(x1, x2)}, oraz Λ =

√1 + f 2

x1+ f 2

x2,

wtedy:

lij =fxixj

Λ, KM =

det[fxixj ]Λ4

.

Dowód. Niech β = (y1, y2) będzie bazą ortonormalną w TpM , składającą się z wek-torów własnych operatora −dnp. Z poprzedniego twierdzenia wiemy, że są to teżwektory główne. Dla dowolnego k = 1, 2 zachodzi oczywiście:

xk = 〈xk, y1〉y1 + 〈xk, y2〉y2. (?)

Ponadto Π(yi, yj) = 〈−dnp(yi), yj〉 = Ki〈yi, yj〉 = Kiδij. Wiemy już z poprzed-nich rozważań, że: det[Π(yi, yj)] = KM(p). Niech Mα(Π) = [Π(xi, xj)], Mβ(Π) =[Π(yi, yj)] będą macierzami Π w bazach α = (xi, xj) i β = (yi, yj). Zgodnie z wzo-rem (?) macierz C = [〈xi, yj〉]T jest macierzą przejścia z bazy α do β. Stąd

detMα(Π) = det(CMβ(Π)CT ) = KM(p) detC2 (??)

Podobnie dla pierwszej formy kwadratowej (którą oznaczamy przez I):

detMα(I) = det[〈xi, xj〉] = det[〈yi, yj〉] detC2 = detC2

Z wzoru (??) mamy: KM(p) = det[Π(xi,xj)]detC2 = det[Π(xi,xj)]

det[〈xi,xj〉] co kończy dowód punktu (i).


Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego oraz elementów gij, mamy równości:w = |rx1 × rx2 | =

√det[gij] =

√| det[〈rxi , rxj〉]|. Ponieważ odwzorowanie sferyczne

wyraża się wzorem: n(u, v) = ru×rv|ru×rv | , odwzorowanie Weingartena spełnia:

N = |rx1 × rx2|−1(rx1 × rx2) = w−1(rx1 × rx2).Pokazaliśmy wcześniej, że lij = 〈N , rxixj〉, wobec czego:

lij =1w〈rx1 × rx2 , rxixj〉 =

1w

det[rx1 , rx2 , rxixj ],

co kończy dowód punktu (ii).Policzmy teraz pochodne rx1 i rx2 i rxixj :

rx1 = (1, 0, fx1), rx2 = (0, 1, fx2), rxixj = (0, 0, fxixj)

Zgodnie ze wzorem na N , mamy:

N =(rx1 × rx2)|rx1 × rx2|

=(−fx1 ,−fx2 , 1)|(−fx1 ,−fx2 , 1)|

= Λ−1(−fx1 ,−fx2 , 1).

Podstawiając ten wynik do wzoru na lij otrzymujemy:

lij = 〈N , rxixj〉 = Λ−1〈(−fx1 ,−fx2 , 1), (0, 0, fxixj)〉 = Λ−1fxixj .

Korzystając teraz ze wzoru gij = 〈rxi , rxj〉 uzyskujemy:

det[gij] = det[1 + f 2

x1fx1fx2

fx1fx2 1 + f 2x2

]= (1 + f 2

x1)(1 + f 2

x2)− f 2

x1f 2x2

= Λ2.

Podstawiając otrzymane wyniki do wzoru na KM z punktu (i) otrzymujemy:

KM =det[lij]det[gij]

=Λ−2 det[fxixj ]

Λ2=

det[fxixj ]Λ4

.

Uwaga 2.4.20. Jeśli przyjmiemy tradycyjne oznaczenia macierzy pierwszej i dru-

giej formy kwadratowej, odpowiednio:[E FF G

]i[L MM N

], wzór na krzywiznę ma

postać:

KM =LN −M2

EG− F 2,

gdzie

E = 〈ru, ru〉, F = 〈ru, rv〉, G = 〈rv, rv〉

L =1w〈ru × rv, ruu〉 =

1w

det[ru, rv, ruu],

M =1w〈ru × rv, ruv〉 =

1w

det[ru, rv, ruv],

N =1w〈ru × rv, rvv〉 =

1w

det[ru, rv, rvv],

w = |ru × rv| =√EG− F 2.

2.5. TWIERDZENIE EGREGIUM 23

Przykład 2.4.21 (płaszczyzna z ujemną krzywizną). Płaszczyzna M zadana jestrównaniem z = x2 − y2, czyli f(x, y) = x2 − y2, a dowolny punkt powierzchni mawspółrzędne (x, y, x2 − y2). Wtedy fxx = 2, fyy = −2, fxy = 0 i mamy:

KM =det

[2 00 −2

](√

1 + 4x2 + 4y2)4 =

−4(√1 + 4x2 + 4y2

)4 < 0

2.5 Twierdzenie Egregium

Definicja 2.5.1 (dyfeomorfizm). Odwzorowanie gładkie nazywamy dyfeomorfi-zmem o ile jest bijekcją i odwzorowanie odwrotne jest również gładkie.

Definicja 2.5.2 (izomorfizm). Niech M,N powierzchnie z metrykami Riemanna〈, 〉M i 〈, 〉N . Dyfeomorfizm f : M → N nazywamy izometrią jeżeli:

∀p∈M∀v,w∈TpM〈dfp(v), dfp(w)〉N = 〈v, w〉M

Fakt 2.5.3. Dla izomorfizmów f : Rn → Rn następujące warunki są równoważne:

(i) ∀x,y∈Rnd(f(x), f(y)) = d(x, y), gdzie d to metryka Euklidesowa,

(ii) dla każdej krzywej różniczkowalnej c : I → Rn zachodzi: L(c) = L(f ◦ c),

(iii) ∀x∈Rn∀v,w∈TxRn〈dfx(v), dfx(w)〉 = 〈v, w〉.

Twierdzenie 2.5.4 (egregium, Gauss, 1828). Niech M,N powierzchnie. Jeżelif : M → N jest izometrią, to ∀p∈MKM(p) = KN(f(p)).

Twierdzenie egregium udowodnimy w nieco innej wersji. Aby ją sformułować,wprowadzimy najpierw kilka definicji. Niech [gij] i [hij] to macierze odpowiedniopierwszej i drugiej formy kwadratowej pewnej powierzchni M . Przez [gij] oznaczamymacierz odwrotną do [gij]. Symbol gij,k oznacza pochodną względem zmiennej k zgij.

Definicja 2.5.5 (tensor krzywizny). Tensor krzywizny powierzchni M jest zbioremfunkcji:

Riljk =∑m

glmRmijk 1 ¬ i, j, k, l ¬ 2

gdzie:Rmijk = Γmij,k − Γmik,j +

∑l

(ΓlijΓmlk − ΓlikΓ

mlj ) 1 ¬ i, j, k,m ¬ 2


Rozważmy powierzchnię M sparametryzowaną przez funkcję f : R2 → R3. Niechu ∈ R2, wtedy p = f(u) jest pewnym punktem powierzchni M , a na punkt u może-my patrzeć jak na lokalne współrzędne punktu p. Wektory f1(u), f2(u), n(u) stano-wią bazę przestrzeni R3, przy czym przez fi(u) rozumiemy wektory styczne do Mw punkcie p, wyznaczone za pomocą i-tej pochodnej cząstkowej f , natomiast wek-tor n(u) to wektor normalny zaczepiony w p. Wektory f1, f2 wyznaczają przestrzeństyczną do M w p.

Twierdzenie 2.5.6 (Egregium, Gauss - 1828). Przy powyższych założeniach i ozna-czeniach, zachodzi wzór:

KM(u) =R1212(u)

det[gij(u)]

Zanim podamy dowód twierdzenia egregium udowodnimy kilka faktów pomoc-niczych.

Fakt 2.5.7. Zachodzą następujące wzory:

fik(u) =∑l

Γlik(u)fl(u) + hik(u)n(u),

ni(u) = −∑l,k

hilglkfk(u),

gdzie:

Γlik =∑j

glj〈fik, fj〉 =12

∑j

glj(gij,k + gjk,i − gki,j).

Uwaga 2.5.8. Zakładamy, że wektory f1, f2, n stanowią układ ortonormalny.

Dowód. Z algebry liniowej wiadomo, że:

fik = fki =∑l

Γlikfl + aikn,

przy czym aik = 〈n, fik〉 = hik. Obie strony powyższej równości pomnóżmy skalarnieprzez fj:

〈fik, fj〉 = 〈∑l

Γlikfl, fj〉 =∑l

Γlikglj = [Γlik][gjl]

Stąd mamy:Γlik =

∑j

glj〈fik, fj〉 = Γlki.

Ponieważ gij,k = 〈fi, fj〉k, to z uzyskanych wyżej wzorów (i z wzoru na pochodnąiloczynu skalarnego) mamy:

gij,k = 〈fik, fj〉+ 〈fi, fjk〉 ==∑l Γlikglj +

∑l Γljkgli (α)

gki,j =∑l Γlkjgli +

∑l Γlijglk (β)

gjk,i =∑l Γljiglk +

∑l Γlkiglj (γ)

2.5. TWIERDZENIE EGREGIUM 25

Policzmy teraz (α)− (β) + (γ):∑l

Γlikglj +∑l

Γljkgli −∑l

Γlkjgli −∑l

Γlijglk +∑l

Γljiglk +∑l

Γlkiglj = 2∑l

Γlikglj

A stąd:

Γlik =∑j

glj〈fik, fj〉 =12

∑j

glj(gij,k + gjk,i − gki,j)

Twierdzenie 2.5.9. Równości fijk = fikj oraz nij = nji są równoważne następu-jącym zależnościom między gik, hik, gik,l oraz Γkij,l:

(i) Γmij,k − Γmik,j +∑l(ΓlijΓ

mlk − ΓlikΓ

mlj ) =

∑l(hijhkl − hikhjl)glm,

(ii)∑l Γlijhlk −

∑l Γlikhlj + hij,k − hik,j = 0.

Równania (i) nazywa się równaniami Gaussa, natomiast równania (ii) nazywa sięrównaniami Codazzi–Mainardiego.

Dowód. Niech fijk =∑mA

mijkfm + Bijkn. Na mocy faktu 2.5.7, możemy wyrazić

Amijk jako1:Amijk = Γmij,k +

∑l

ΓlijΓmlk −

∑l

hijhklglm.

Z założenia fijk = fikj, więc Amijk = Amikj, skąd natychmiast (wystarczy zapisaćwzory na Amijk i Amikj i przenieść niektóre składniki na drugą stronę w równaniuAmijk = Amikj) otrzymujemy (i).

Ponownie, korzystając z faktu 2.5.7 możemy napisać:

Bijk =∑l

Γlijhlk + hij,k.

Ponieważ Bijk = Bikj, to zachodzi (ii).

Lemat 2.5.10. Tensory krzywizny Riljk spełniają:

Riljk = hijhkl − hikhjl.

Uwaga 2.5.11. Będziemy wykorzystywać jedynie fakt:

R1212 = det[hij],

który jest wnioskiem z powyższego lematu.

1Fakt 2.5.7 daje wzór na fij , który trzeba zróżniczkować względem k-tej współrzędnej, a następ-nie skorzystać z wzoru na ni i ostatecznie napisać wzór na współczynnik przy fm dla ustalonegom. Jest to techniczny „szczegół”, który pomijamy w tym opracowaniu.


Dowód. Z definicji:

Riljk =∑m

glmRmijk =

∑m

glm

(Γmij,k − Γmik,j +

∑l

(ΓlijΓmlk − ΓlikΓ

mlj ))

=

Stosujemy teraz punkt (i) z poprzedniego twierdzenia:

=∑m

glm

(∑l

(hijhkl − hikhjl)glm)

(?)

Z definicji [gij] jako macierzy odwrotnej do [gij], mamy:

gl1g11 + gl2g

12 =

1 gdy l = 10 gdy l = 2

gl1g21 + gl2g

22 =

0 gdy l = 11 gdy l = 2

Rozpisując sumę z wzoru (?) i grupując odpowiednio składniki, oraz stosując po-wyższe zależności, otrzymujemy tezę lematu.

Dowód twierdzenia egregium. Zauważmy, że dowód powyższego lematu jest właści-wie dowodem twierdzenia egregium. Z twierdzenia 2.4.19 mamy bowiem:

KM =det[hij]det[gij]

,

a z lematu det[hij] = R1212, czyli rzeczywiście:

KM =R1212

det[gij].

2.6 Twierdzenie Gaussa–Bonneta

Twierdzenie 2.6.1 (elegantissimus Gaussa). Niech D będzie trójkątem geodezyj-nym, αi, i = 1, 2, 3 jego kątami zewnętrznymi, a βi = π − αi. Wtedy:

3∑i=1

βi = π +∫∫

DKdσ.

Definicja 2.6.2 (defekt trójkata geodezyjnego). Liczbę π−∑3i=1 βi nazywamy de-

fektem trójkąta geodezyjnego.

Twierdzenie 2.6.1 jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego twierdzeniaGaussa–Bonneta.

2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA 27

Twierdzenie 2.6.3 (Gaussa–Bonneta, 1848). Jeżeli D jest podzbiorem dwuwymia-rowej rozmaitości, ograniczonym łamaną geodezyjną γ = γ1∪γ2∪. . .∪γr, a α1, . . . , αrto kąty zewnętrzne D, to:

∫∫DKdσ +

r∑j=1

αj = 2π

Istnieje również tzw. globalna wersja tego twierdzenia. Aby ją sformułować na-leży wprowadzić pojęcie triangulacji powierzchni. Okazuje się (czego nie udowod-nimy), że dowolną powierzchnię M można przedstawić jako sumę (pokryć sumą)trójkątów krzywoliniowch, takich, że część wspólna każdych dwóch z nich to: zbiórpusty, pojedynczy wierzchołek lub krawędź.

Definicja 2.6.4 (charakterystyka Eulera). Niech M powierzchnia z wprowadzonątriangulacją. Wtedy liczbę:

χ(M) = liczba wierzchołków− liczba krawędzi + liczba trójkątów

nazywamy charakterystyką Eulera powierzchni M .

Uwaga 2.6.5. Liczba χ(M) jest niezmiennikiem topologicznym.

Twierdzenie 2.6.6 (Gaussa–Bonneta (globalne)). Niech M powierzchnia. Wtedy:∫∫MKdσ = 2πχ(M).

Twierdzenie 2.6.7 (Harriot, 1603). Dla dowolnego trójkąta na sferze o kątachα, β, γ, funkcja f(α, β, γ) = α + β + γ − π jest proporcjonalna do powierzchnitrójkąta i stąd niezerowa.

Dowód. 1. Pole sektora kąta α pomiędzy dwoma kołami wielkimi sfery wynosiα2π powierzchni całej sfery S2.

2. Pole jest niezmiennikiem izometrii.

3. Pole jest funkcją addytywną, tzn. P (∆1 + ∆2) = P (∆1) + P (∆2).

4. Niech ∆αβγ będzie dowolnym trójkątem na S2. Przedłużając boki tego trójkątado kół wielkich, otrzymujemy podział S2 na 8 trójkątów. Niech ∆α, ∆β i ∆γ

oznaczają odpowiednio trójkąty przylegające do jednego z wierzchołków ∆αβγ

przy odpowiednim kącie. Wówczas na mocy punktu 1 mamy:

P (∆αβγ) + P (∆α) = α2πP (S2),

P (∆αβγ) + P (∆β) = β2πP (S2),

P (∆αβγ) + P (∆γ) = γ2πP (S2),


A stąd wynika, że:

3P (∆αβγ) + P (∆α) + P (∆β) + P (∆γ) =α + β + γ

2πP (S2) (?).

Cztery trójkąty ∆αβγ, ∆α, ∆β, ∆γ są izomorficzne z czterema pozostałymitrójkątami powstałymi w kroku 4. Z punktu 2 mamy więc, że:

P (∆αβγ) + P (∆α) + P (∆β) + P (∆γ) =12P (S2) (??).

Z równości (?) i (??) wynika:

3P (∆αβγ)− P (∆αβγ) +12P (S2) =

α + β + γ

2πP (S2).

A stąd:

2P (∆αβγ) =12P (S2)

(α + β + γ

π− 1

),

2P (∆αβγ) =1

2πP (S2) (α + β + γ − π) .

Czyli mamy:

P (∆αβγ) =1

4πP (S2)f(α, β, γ).

2.6.1 Płaszczyzna hiperboliczna

W drodze do dowodu twierdzenia Gaussa–Bonneta, które sformułowano na począt-ku tego rozdziału, przyjrzymy się bliżej trójkątom na płaszczyźnie hiperbolicznej,która w pewnym sensie będzie ilustracją zagadnień, którymi się tu zajmujemy.

Płaszczyznę hiperboliczną będziemy oznaczać przez H2. Jako zbiór jest to poprostu część płaszczyzny R2, a mianowicie: H2 = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}. MetrykaRiemanna na powierzchni hiperbolicznej określona jest w następujący sposób:

〈, 〉(x,y) =1y2

(d2x + d2

y).

Macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać:

[gij] =[ 1y2

00 1

y2

].

Powierzchnia hiperboliczna ma stałą krzywiznę równą −1.


Geodezyjne na płaszczyźnie hiperbolicznej. Aby scharakteryzować geode-zyjne na płaszczyźnie hiperbolicznej, rozwiążemy równania różniczkowe geodezyj-nych, opisane w podrozdziale 2.3.1:

d2x1dt2

+∑2i,j=1 Γ1

ijdxidt

dxjdt

= 0d2x2dt2

+∑2i,j=1 Γ2

ijdxidt

dxjdt

= 0

Wyliczymy najpierw Γkij. Ponieważ gij = δijy2, to mamy (z wzoru na Γkij):

Γkij =12gkk(gik,j + gjk,i − gij,k) =

12gkk

gkk,i gdy j = k

−gii,k gdy j = i, k 6= i

Co daje nam wzory:

Γ211 =

12g22

(−g11,2) =12y2

(−1y2

)′y

=12y2 2yy4

=1y,

Γ112 = Γ1

21 = Γ222 =

12y2

(−2yy4

)=−1y,

a pozostałe Γkij = 0. Otrzymane wyniki wstawiamy do rozpatrywanych równańróżniczkowych:

d2xdt2− 2

ydxdtdydt

= 0d2ydt2

+ 1ydxdtdxdt− 1

ydydtdydt

= 0

Zamiast pisać x1, x2 stosujemy standardowe oznaczenia x, y. Nasze równania mająpostać: Aby rozwiązać ten układ równań zastosujemy podstawienie:

p =dx

dy=dx

dt

dt

dy,

co daje nam:dx

dt= p

dy

dt.

Powyższą równość różniczkujemy obustronnie po t:

d2x

dt2=dp

dt

dy

dt+ p

d2y

dt2.

Ponieważ dpdt

= dpdy

dydt

, to mamy:

d2x

dt2=dp

dy

(dy

dt

)2

+ pd2y

dt2.

Podstawiając powyższe do pierwszego równania naszego układu równań, mamy:

dp

dy

(dy

dt

)2

+ pd2y

dt2=

2y

dx

dt

dy

dt.


Teraz podstawiamy drugie równanie z układu równań za(dydt

)2:

dp

dy

(dy

dt

)2

+ p

1y

(dy

dt

)2

− 1y

(dx

dt

)2 =

2y

dx

dt

dy

dt.

Z definicji p mamy:

dp

dy

(dy

dt

)2

+p

y

(dy

dt

)2

− p3

y

(dy

dt

)2

=2py

(dy

dt

)2

.

Otrzymane równanie dzielimy obustronnie przez(dydt

)2i otrzymujemy:

dp

dy+p

y− p3

y=

2py

dp

dy=p+ p3

y

dp

p+ p3=dy

y

Otrzymane równanie możemy obustronnie scałkować:∫ dp

p+ p3=∫ dy

y,

co daje nam:ln p− ln

√p2 + 1 = ln y + c, c ∈ R,

lnp√p2 + 1

= ln c1y, c1 ∈ R.

Z różnowartościowości funkcji logarytm mamy, że:

p√p2 + 1

= c1y

p2

p2 + 1= c2

1y2

p2 = c21y

2(p2 + 1)

p2(1− c21y

2) = c21y

2

Zakładamy, że y 6= 1c1

i dzielimy obustronnie przez (1− c21y

2):

p2 =c2

1y2

1− c21y

2p =

c1y√1− c2

1y2.


Z definicji p, mamy więc, że:

dx

dy=

c1y√1− c2

1y2.

Rozważmy dwa przypadki. Przypadek 1, gdy c1 = 0, wtedy dxdy

= 0, czyli x = a,a ∈ R. Przypadek 2, gdy c1 6= 0. Podstawmy wtedy c1 = 1

a, gdzie a ∈ R+. Wtedy:

dx

dy=

ya√

1−(ya

)2.

Stąd mamy:

dx =ya√

1−(ya

)2dy,

co możemy obustronnie scałkować:∫dx =

∫ ya√

1−(ya

)2dy

i stąd:x = −

√a2 − y2 + b, b ∈ R

(x− b)2 = a2 − y2

(x− b)2 + y2 = a2

Wniosek 2.6.8. Geodezyjne w H2 to albo półproste {(a, y) : y > 0, a ∈ R ustalone},albo górne półokręgi ze środkiem na osi OX.

Trójkąty asymptotyczne. Zajmiemy się teraz trójkątami asymptotycznymi, czy-li takimi, których jeden kąt wewnętrzny wynosi 0.

Twierdzenie 2.6.9. Pole trójkąta asymptotycznego ∆αβ o kątach α, β jest równeπ − (α + β).

Dowód. Niech λ = cos(π − α), µ = cos(β).

P (∆αβ) =∫∫

∆αβ

dxdy

y2=∫ µ

λdx∫ ∞√

1−x2

dy

y2=∫ µ

λ

dx√1− x2

=

Stosujemy podstawienie x = cos θ:

=∫ β

π−α

− sin θsin θ

dθ =∫ β

π−α−1 dθ = −β + π − α = π − α− β.

Wniosek 2.6.10. Pole ∆αβγ jest równe π − (α + β + γ) < π.


2.6.2 Współrzędne geodezyjne

Definicja 2.6.11 (pole wektorowe wzdłuż krzywej). Niech M powierzchnia, c : I →M pewna krzywa. Funkcję gładką, która każdemu punktowi t ∈ I przyporządkowujewektor v(t) ∈ Tc(t)M nazywamy polem wektorowym określonym wzdłuż c. Zbiór pólwektorowych określonych wzdłuż c oznaczać będziemy Xc.

Przykład 2.6.12. Najbardziej naturalnym polem wektorowym wzdłuż krzywej róż-niczkowalnej jest:

t 7→ c′(t),

czyli pole wektorów stycznych do c.

Definicja 2.6.13 (pochodna kowariantna). Niech X ∈ Xc oraz niech projekcjaprc(t) : R3 → Tc(t)M jest rzutem ortogonalnym. Wtedy wektor:

DX

dt(t) = prc(t)

dX

dt(t),

nazywamy pochodną kowariantną pola X w punkcie c(t).

Twierdzenie 2.6.14. Jeżeli krzywa u jest gładka, X, Y ∈ Xu, a, b ∈ R, funkcjaf : M → R jest klasy C∞, to pochodna kowariantna ma następujące własności:

(i) D(aX+bY )dt

= aDXdt

+ bDYdt,

(ii) D(fX)dt

= dfdtX + f DX

dt,

(iii) ddt〈X, Y 〉 = 〈DX

dt, Y 〉+ 〈X, DY

dt〉.

Dowód. Punkt (i) wynika wprost z liniowości pochodnej i rzutowania. Przejdźmydo dowodu (ii). Z definicji:

D(fX)dt

= pr

(d(fX)dt

)=

Zgodnie z wzorem na pochodną iloczynu, mamy:

= pr

(df

dtX + f

dX

dt

)=

Co z liniowości projekcji ortogonalnej równe jest:

= pr

(df

dtX

)+ pr

(fdX

dt

)=

Ponieważ dfdtX jest elementem Tu(t)M , mamy:

=df

dtX + f

DX

dt.


W ten sposób udowodniliśmy punkt (ii). Przejdźmy do dowodu (iii). Zauważmy popierwsze, że:

d

dt〈X, Y 〉 = 〈dX

dt, Y 〉+ 〈X, dY

dt〉.

Wektor dXdt

można zapisać jako:

dX

dt= pru(t)

(dX

dt

)+ V,

gdzie V to wektor normalny do Tu(t)M . Stąd:

〈dXdt, Y 〉 = 〈DX

dt, Y 〉+ 〈V, Y 〉︸︷︷︸

=0

Analogicznie pokazujemy, że 〈X, dYdt〉 = 〈X, DY

dt〉, co w rezultacie daje punkt (iii).

Definicja 2.6.15 (pole wektorowe równoległe). Pole wektorowe X ∈ Xc jest rów-noległe, jeżeli DX

dt= 0 dla każdego t ∈ I.

Uwaga 2.6.16. Jeżeli pola X, Y są równoległe, to:

d

dt〈X, Y 〉 = 〈DX

dt, Y 〉+ 〈X, DY

dt〉 = 0,

stąd 〈X, Y 〉 = const. W szczególności więc, pola równoległe mają stałą długość.Stały jest też kąt między nimi.

Lemat 2.6.17. Przypuśćmy, że M to powierzchnia sparametryzowana tak, że g12 =0. Wtedy gii = 1

giioraz Γkik = gkk,i

2gkk.

Dowód lematu wynika wprost z wcześniejszych rozważań (z poprzednich pod-rozdziałów).

Twierdzenie 2.6.18. Krzywa c(t) jest geodezyjną o ile pochodna kowariantna polawektorów stycznych jest równa zero.

Twierdzenie 2.6.19 (istnienie ortogonalnych współrzędnych geodezyjnych). Niechc(s) będzie krzywą na powierzchni M . Ustalmy s0 ∈ I, takie, że c′(s0) 6= 0. Istniejezamiana zmiennych (map) φ : U → V ′ ⊂ M , gdzie V ′ jest otwartym otoczeniemc(s0), taka, że spełnione są poniższe warunki.

(i) c(s) = φ(u1(s), u2(s)) dla |s − s0| dostatecznie małych, ma parametryzacjęu1 = 0, u2 = s.

(ii) Krzywe u2 = const są geodezyjnymi sparametryzowanymi przez długość łuku.Krzywe u1 = const przecinają się z nimi ortogonalnie.


(iii) Parametryzacja u = (u1, u2) jest ortogonalnym układem współrzędnych dla φ,tzn. g12 = 0, g11 = 1, g22 > 0.

Odwrotnie, jeżeli macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać[1 00 g22

], to punkt

(ii) jest prawdziwy.

Definicja 2.6.20 (współrzędne geodezyjne). Współrzędne spełniające warunki (i),(ii) z powyższego twierdzenia nazywamy współrzędnymi geodezyjnymi.

Twierdzenie 2.6.21. Niech powierzchnia M ma współrzędne geodezyjne. Wtedygeodezyjna dana wzorem:

c = {c(t) = f(t, u0) : t0 ¬ t ¬ t1}

jest krótsza od każdej krzywej b = {b(s) = f(x(s), y(s)) : s0 ¬ s ¬ s1} prowadzącejz punktu p0 = f(t0, u2

0) do p1 = f(t1, u20). Innymi słowy: L(b) L(c).

Dowód.

L(b) =∫ s1

s0

√(x′(s))2 + g22(x(s), y(s))y′(s)2 ds

∫ s1

s0|x′(s)| ds

x(s1)− x(s0) = t1 − t0 = L(c).

Twierdzenie 2.6.22 (Levi–Civita). Niech U , c = ∂S, będą kolejno mapą na po-wierzchni M , obszarem i jego brzegiem, przy czym c : I = [0, α] → M jest para-metryzacją ∂S. Niech p ∈ ∂S, oraz niech c jest krzywą gładką, zamkniętą. Niechρ(0) ∈ TpM takie, że |ρ(0)| = 1, oraz ρ(t) = ζt(ρ(0)) będzie przesunięciem porównoległym polu wektorowym wzdłuż c. Jeśli c leży w U i ogranicza obszar home-omorficzny kołu, to kąt pomiędzy ρ(0) a ρ(α) jest równy:

∫∫SKds.

Definicja 2.6.23 (krzywizna geodezyjna). Niech M powierzchnia, c krzywa na M ,oraz niech e1(t), e2(t) pola wektorowe wyznaczające reper Freneta wzdłuż c. Wtedykrzywizną geodezyjną w punkcie c(t) nazywamy liczbę:

kg(t) = 〈De1

dt(t), e2(t)〉,

gdzie iloczyn skalarny liczony jest zgodnie z metryką Riemanna w punkcie c(t).

2.6.3 Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta

Przejdziemy teraz do dowodu twierdzenia Gaussa–Bonneta. Udowodnimy je w niecoogólniejszej postaci niż ta, która została podana wcześniej, a mianowicie:


Twierdzenie 2.6.24 (Gaussa–Bonneta, 1848). Niech M powierzchnia, F wielokątgeodezyjny ograniczający obszar w M , αi kąty zewnętrzne F , P : F → M pewneodwzorowanie. Wtedy: ∫∫

PK dM +

∫∂Pkgdt+

∑j

αj = 2π.

Zanim rozpoczniemy dowód, wprowadzimy kilka oznaczeń i wyprowadzimy kilkadodatkowych faktów. Zakładamy, że w M mamy współrzędne geodezyjne (x, y),

macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać:[1 00 g

], oraz:

E1 =∂

∂xE2 =

1√g

∂

∂y.

Lemat 2.6.25. Jeśli c : [a, b] → R2 jest krzywą regulrną, oraz e1(t), e2(t) stanowiąukład Freneta dla tej krzywej, to istnieje funkcja θ : [a, b]→ R, taka, że:

e1(t) = (cos θ(t), sin θ(t)),

oraz różnica θ(b)− θ(a) nie zależy od wyboru θ.

Dowód. Podzielmy przedział [a, b] na podprzedziały:

a = t0 < t1 < . . . < tk = b

tak, że e1|[tk−1,tk] ⊂ S1. Jest to możliwe ponieważ e1(t) ciągła. Niech θ(a) będzietakie, że e1(a) = (cos θ(a), sin θ(a)). Z ciągłości e1(t) możemy określić θ na [t0, t1].Następnie poprzez indukcję możemy rozszerzać θ na kolejnych przedziałach [tj−1, tj],korzystając wciąż z ciągłości.

Przypuśćmy, że mamy dwa odwzorowania θ i φ spełniające warunki lematu.Wtedy φ(t)−θ(t) = 2πk(t), gdzie k(t) ∈ Z i k funkcja ciągła, co jest możliwe tylko,gdy k stała. Stąd φ(a)− θ(a) = φ(b)− θ(b), co daje natychmiast, że:

θ(b)− θ(a) = φ(b)− φ(a).

Z powyższego lematu i definicji Ei wynika:

e1(t) = cos θ(t)E1 + sin θ(t)E2

e2(t) = − sin θ(t)E1 + cos θ(t)E2

Lemat 2.6.26. Przy powyższych oznaczeniach i założeniach, zachodzi wzór:

kg(t) = θ(t) +√g1y

2(t)


Dowód. Wiadomo, że: 〈Ei, Ek〉 = δik. Różniczkując tą równość i stosując twierdze-nie 2.6.14, otrzymujemy:

〈DEidt

, Ek〉+ 〈Ei,DEkdt〉 = 0,

co oznacza, że w szczególności jest spełnione: 〈DEidt, Ek〉 = −〈DEk

dt, Ei〉.

Z poprzedniego lematu oraz twierdzenia 2.6.14, mamy:

De1

dt=D(cos θ(t)E1 + sin θ(t)E2)

dt=D(cos θ(t)E1)

dt+D(sin θ(t)E2)

dt

= − sin θ(t)E1θ(t) + cos θ(t)DE1

dt+ cos θ(t)E2θ(t) + sin θ(t)

DE2

dt

Wykorzystując powższe zależności wyliczymy teraz kg zgodnie z definicją:

〈De1

dt, e2〉 = 〈θ(t)(− sin θ(t)E1 + cos θ(t)E2), e2〉+ 〈cos θ(t)

DE1

dt+ sin θ(t)

DE2

dt, e2〉

= θ(t)− cos θ(t) sin θ(t)〈E1,DE1

dt〉+ cos2 θ(t)〈DE1

dt, E2〉

− sin2 θ(t)〈DE2

dt, E1〉+ sin θ(t) cos θ(t)〈DE2

dt, E2〉

= θ(t) + cos2 θ(t)〈DE1

dt, E2〉 − sin2 θ(t)〈DE2

dt, E1〉

= θ(t) + (cos2 θ(t) + sin2 θ(t))〈DE1

dt, E2〉

= θ(t) + 〈DE1

dt, E2〉 = θ(t) +

√g1y

2(t)

Twierdzenie 2.6.27 (o dywergencji). Niech M zorientowana powierzchnia z me-tryką Riemanna, X pole wektorowe na M , F wielokąt w M , P : F →M . Wtedy:∫∫

P(divX) dM =

∫∂PiX dM,

gdzie: X = ξ1e1 + ξ2e2, divX = 1√g

∑i

(∂∂xi

)√gξi, ix dM = −ξ2√gdx1 + ξ1√gdx2.

Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta. Wcześniej pokazaliśmy, że:

K =R1212

det[gij]=−√g11√

g

Niech X = −√g1√ge1, wtedy mamy dalej:

K =1√g

(∂

∂x1

(√g−√g1√

g

)+

∂

∂x2· 0)

= divX.

Z twierdzenia o dywergencji (ξ2 = 0), mamy:∫∫pK dM =

∫∂P

√gξ1dx2 −√gξ2dx1 = −

∫∂P

√g1dx

2.

Zakładamy, że możemy łukowo sparametryzować i dodatnio zorientować brzeg ∂P .Niech u(t) = (u1(t), u2(t)) będzie taką właśnie parametryzacją. Niech Ij = [aj, bj]będzie podziałem dziedziny powyższej parametryzacji takim, że parametryzacja tajest gładka na każdym z tych odcinków. Z lematu 2.6.26 mamy:

−∫∂P

√g1dx

2 =∑j

(∫Ijθ(t)dt−

∫Ijkg(t)dt

).

Lemat 2.6.28. ∑j

∫Ijθ(t)dt+

∑j

αj = 2π

Lemat podajemy bez dowodu. Mamy teraz:

∫∫PK dM = −

∫∂P

√g1dx

2 =∑j

(∫Ijθ(t)dt−

∫Ijkg(t)dt

).

No a stąd dostajemy:∫∫PK dM +

∑j

∫Ijkg(t) dt = 2π −

∑j

αj,

co natychmiast daje tezę twierdzenia.

37

Bibliografia

Większość tekstu została napisana w oparciu o notatki z wykładu dr. hab. AndrzejaSzczepńskiego, prof. UG, który odbywał się w semestrze letnim roku akademickie-go 2006/2007 na Uniwersytecie Gdańskim. Dodatkowo, niektóre fragmenty zostałyrozbudowane na podstawie poniższych źródeł.

1. M. Sadowski – Geometria różniczkowa, Gdańsk, 1998.

2. W. Klingenberg – A course in differential geometry, Nowy Jork, 1978.

3. J. Oprea – Geometria różniczkowa i jej zastosowania, Warszawa 2002.

W internecie można też znaleźć inne opracowania wykładów z Geometrii Róż-niczkowej z różnych uczelni. Poniżej zebrano najciekawszych z nich. Wszystkie po-dane odnośniki działały poprawnie dnia 14 czerwca 2007.

1. A. Altland – Differential Geometryhttp://www.thp.uni-koeln.de/alexal/PDF_DOCUMENTS/diff_geo.pdf

2. A. Białynicki-Birula – Geometria różniczkowa IIhttp://www.mimuw.edu.pl/~bbirula/matdyd/g_roz99_00/wyk1.pdf

3. B. Csikós – Differential Geometryhttp://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html

4. P. Michor – Topics in Differential Geometryhttp://www.mat.univie.ac.at/~michor/dgbook.pdf

5. R. Sharipov – Course of differential geometry, The Textbookhttp://babbage.sissa.it/PS_cache/math/pdf/0412/0412421v1.pdf

6. P. Walczak – Geometria różniczkowa 2http://math.uni.lodz.pl/~pawelwal/Difgeo.pdf

7. P. Walczak – Wstęp do Geometrii Różniczkowejhttp://math.uni.lodz.pl/~pawelwal/Dg-wstep.pdf

8. G. Weinstein – Elementary Differential Geometry: Lecture Noteshttp://www.math.uab.edu/weinstei/notes/dg.pdf

39

http://www.thp.uni-koeln.de/alexal/PDF_DOCUMENTS/diff_geo.pdf

http://www.mimuw.edu.pl/~bbirula/matdyd/g_roz99_00/wyk1.pdf

http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html

http://www.mat.univie.ac.at/~michor/dgbook.pdf

http://babbage.sissa.it/PS_cache/math/pdf/0412/0412421v1.pdf

http://math.uni.lodz.pl/~pawelwal/Difgeo.pdf

http://math.uni.lodz.pl/~pawelwal/Dg-wstep.pdf

http://www.math.uab.edu/weinstei/notes/dg.pdf

9. S. Yakovenko – Lecture notes for the course in Differential Geometryhttp://www.wisdom.weizmann.ac.il/~yakov/Geometry/

10. D. Zaitsev – Diffential Geometry: Lecture Noteshttp://www.maths.tcd.ie/~zaitsev/ln.pdf

40

http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~yakov/Geometry/

http://www.maths.tcd.ie/~zaitsev/ln.pdf

Witold Bołt na podstawie wykładu Prof. dr hab. Andrzeja ...aszczepa/geom-iso.pdf · Deﬁnicja...

Documents

Transcript of Witold Bołt na podstawie wykładu Prof. dr hab. Andrzeja ...aszczepa/geom-iso.pdf · Deﬁnicja...