Wielokąty foremne

Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny – trójkąt, który ma wszystkie boki równej długości. Jego własności:• wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°,• wysokość wynosi• wysokość trójkąta równobocznego dzieli

go na dwa przystające trójkąty prostokątne,

• wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta,

• obwód wynosi L=3a,

2

3ah

KwadratKwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i cztery kąty proste. Jego własności:• przekątne kwadratu są wzajemnie

prostopadłe oraz mają jednakową długość;

• punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na dwie równe części;

• punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii kwadratu;

• przekątne kwadratu zawarte są w dwusiecznych jego kątów;

• każde dwa kwadraty są do siebie podobne.

Pięciokąt foremnyPięciokąt foremny – to pięciokąt wypukły o wszystkich bokach tej samej długości i wszystkich kątach równych (108˚).Konstrukcja:• Rysujemy okrąg o środku S.• Rysujemy średnicę okręgu i

prostopadły do niej promień BS.• Wyznaczamy połowę jednego z

promieni zawierających się w średnicy – punkt A.

• Odmierzamy odległość AB tworząc łuk od punktu A, wyznaczający punkt C jego przecięcia na średnicy.

• Odcinek BC jest długością boku pięciokąta.

Sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny - sześciokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych (120˚). Jego własności:• Kąt środkowy okręgu

opisanego, oparty na boku, ma miarę

• Promień okręgu opisanego: R=a• Promień okręgu wpisanego:• Pole powierzchni sześciokąta

foremnego: • Obwód ma długość: 6a

603

23ar

222

59808,275,62

33 aaaS

Siedmiokąt foremnySiedmiokąt foremny - wielokąt foremny o siedmiu równych bokach oraz kątach wewnętrznych o mierze 128,(571428)°. Niemożliwy do skonstruowania za pomocą cyrkla i linijki. Ma dwa razy więcej przekątnych niż boków. Własności:• Obwód: L=7a• Pole powierzchni:

• Miara kąta środkowego okręgu opisanego, opartego na boku:

• Miara kąta wewnętrznego:

22 63391,374

7 actgaP

)428571(,517

360

)571428(,1287

360180

Ośmiokąt foremnyOśmiokąt foremny - figura wypukła, która ma wszystkie 8 boków równej długości i 8 kątów równej wielkości. Własności• Pole powierzchni:

• Obwód: L=8a• Długość promienia okręgu opisanego na

ośmiokącie foremnym:

• Długość promienia okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny:

Ośmiokąt foremny można skonstruować również rysując dwie proste prostopadłe przecinające się w środku okręgu oraz dwusieczne otrzymanych kątów prostych. Punkty przecięcia się tych prostych z okręgiem są wierzchołkami ośmiokąta foremnego.

222 82843,4)21(28

2 aactgaS

2)21(

ar

222

aR

Siedemnastokąt foremnySiedemnastokąt foremny to siedemnastokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych (mają po 180°(17-2)/17 ≈ 158.82°).Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił Carl Friedrich Gauss w 1796, pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później. Składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne, z których jedną z elegantszych jest konstrukcja podana przez H. W. Richmonda w 1893 roku:

Twierdzenie Gaussa-Wantzela

Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci , gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata.

Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 i nie wiadomo czy jest ich więcej.

sk ppp ...2 21

sppp ,..., 21

Twierdzenie Gaussa-Wantzela

Z twierdzenia wynika, że możliwe jest skonstruowanie wielokątów foremnych o następującej liczbie boków:3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, …

W roku 1894 nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes przedstawił klasyczną konstrukcję 65537-kąta foremnego (65537 jest największą znaną liczbą pierwszą Fermata). Pracował nad nią 10 lat, jej opis zajmuje 200 stron.

Wielokąty foremne w przestrzeni

Wielokąty foremne są ścianami wielu wielościanów. Wśród nich możemy wyróżnić:- wielościany foremne (platońskie), których jest 5- wielościany półforemne (archimedesowe), w liczbie 13- graniastosłupy prawidłowe o kwadratowych ścianach bocznych- antygraniastosłupy, których ściany boczne są trójkątami równobocznymi- wielościany Johnsona, w liczbie 92

Wielokąty foremne w przestrzeni

Wielościany foremne:

Wielokąty foremne w przestrzeniPrzykładowewielościanypółforemne:

Wielokąty foremne w przestrzeni

PrzykładowewielościanyJohnsona: