CZĘŚĆ 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI - Helionedukacja.helion.pl/uploads/pdf/2014/PODRG3.pdf10 Rozdział...
Transcript of CZĘŚĆ 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI - Helionedukacja.helion.pl/uploads/pdf/2014/PODRG3.pdf10 Rozdział...
11 Okrąg opisany na wielokącie (s 10)
Zadania utrwalające (s 22)
12 Okrąg wpisany w wielokąt (s 24)
Zadania utrwalające (s 35)
13 Wielokąty foremne (s 37)
Zadania utrwalające (s 43)
Zadania do rozwiązywania w grupie (s 45)
14 Krok do egzaminu (s 46)
1 WIELOKĄTY I OKRĘGIIK
ON
Y kalkulatorzadanie trudniejsze
CZĘŚĆ I
10 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
11 Okrąg opisany na wielokącie
Moja klasa organizuje biwak i mamy problem jak rozstawić
nasze namioty aby z każdego namiotu była taka sama
odległość do wspoacutelnego namiotu ktoacutery nazwaliśmy świetlicą
Jeżeli odległość ma być taka sama należy narysować okrąg ktoacuterego
środkiem będzie namiot świetlica a namioty uczestnikoacutew trzeba
umieścić na tym okręgu Odległość między każdym namiotem
a świetlicą będzie roacutewna długości promienia narysowanego okręgu
Wszyscy będą mieli do pokonania taką samą odległość
świetlica
namiot 1
namiot 3
namiot 2
namiot 5
namiot 4
Przykład 11 Narysuj trzy niewspoacutełliniowe punkty K L M Znajdź punkt T
ktoacuterego odległość od każdego z punktoacutew K L i M jest taka sama
K
L
M
Zaznaczyliśmy punkty K L i M Te punkty nie są wspoacuteł-
liniowe
Musimy znaleźć punkt T ktoacuterego odległość od każdego
z punktoacutew K L i M będzie taka sama
K
L
M
Rysujemy odcinek KM a następnie symetralną tego odcinka
Na symetralnej odcinka KM leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od punktu K jest roacutewna odległości od punktu M
1111 Okrąg opisany na wielokącie
K
L
M
K
L
T
M
K
L
T
M
K
L
T
M
Rysujemy odcinek KL oraz symetralną tego odcinka Na sy-
metralnej odcinka KL leżą wszystkie punkty ktoacuterych odle-
głość od punktu K jest roacutewna odległości od punktu L
Wyznaczyliśmy punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew K
M i L jest taka sama
Możemy zauważyć że symetralna odcinka ML też prze-
chodzi przez punkt T
Punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew
K L i M jest taka sama jest środkiem
koła opisanego na troacutejkącie KLM
Punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew K
L i M jest taka sama jest środkiem okręgu
opisanego na troacutejkącie KLM
Jeżeli wszystkie wierzchołki troacutejkąta leżą
na okręgu to moacutewimy że okrąg jest opi-
sany na tym troacutejkącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki troacutejkąta leżą
na okręgu to możemy powiedzieć że
troacutejkąt jest wpisany w ten okrąg
12 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 12 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg opisany na tym
troacutejkącie
Konstruujemy symetralne dwoacutech bokoacutew troacutejkąta ABC Punkt przecięcia symetralnych bokoacutew oznaczamy li-terą S Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na tym troacutejkącie
K
L
T
M
Jeżeli punkt T jest środkiem okręgu
opisanego na troacutejkącie KLM to długość
promienia tego okręgu jest roacutewna
odległości każdego z punktoacutew K L i M
od punktu T
Jeżeli punkt T jest środkiem koła
opisanego na troacutejkącie KLM to
długość promienia tego koła
jest roacutewna odległości każdego
z punktoacutew K L i M od punktu T
K
L
T
M
K
L
T
M
Jeżeli odległość wszystkich wierzchołkoacutew
troacutejkąta od środka koła jest roacutewna pro-
mieniowi tego koła to moacutewimy że koło
jest opisane na troacutejkącie
Jeżeli odległość wszystkich wierzchołkoacutew
troacutejkąta od środka koła jest roacutewna pro-
mieniowi tego koła to możemy powie-
dzieć że troacutejkąt jest wpisany w to koło
1311 Okrąg opisany na wielokącie
a) b) c)
Środek okręgu opisa-nego na troacutejkącie ostro-kątnym leży wewnątrz tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie prostokąt-nym leży na przeciwpro-stokątnej tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie rozwartokąt-nym leży na zewnątrz tego troacutejkąta
Przykład 13 Narysuj troacutejkąt a) ostrokątny b) prostokątny c) rozwartokątnyNarysuj symetralne bokoacutew w każdym z tych troacutejkątoacutew Wyznacz promień okręgu opisanego na danym troacutejkącie i narysuj ten okrąg
Na każdym troacutejkącie można opisać okrąg
Punkt S łączymy z wierzchołkiem B Odcinek BS jest promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie ABC
Kreślimy okrąg o środku w punkcie S opisany na troacutej-kącie ABC
14 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
rO
rO
rO
r
r
rr
rr
Przykład 14 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz pole
i obwoacuted koła opisanego na tym troacutejkącie
6 cm
r
6 cm6 cm
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 6 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Narysowałem troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłem
środek koła opisanego na tym troacutejkącie
a następnie narysowałem koło
Poprowadzone symetralne
bokoacutew tego troacutejkąta
zawierają wysokości troacutejkąta
60deg 60deg
30deg 30deg
a
h
a
a
2
a
2
x
3xx
60deg
30deg
2x
x
x 3
Promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie jest odcinek łączący
środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem tego troacutejkąta
1511 Okrąg opisany na wielokącie
60deg
30deg
6 cm
r
6 cm6 cm
Wysokość troacutejkąta roacutewnobocznego
zawiera się w dwusiecznej kąta
wewnętrznego tego troacutejkąta
Korzystając ze wskazanej wyżej zależności między długościami
bokoacutew troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 30o 60o
wyznaczyłam długość przeciwprostokątnej tego troacutejkąta
ktoacutera jest długością promienia koła opisanego na tym troacutejkącie
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r3 cm
60deg
30deg
r
Jeżeli w troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg 60deg długość przeciwprostokątnej
jest roacutewna r woacutewczas długości przyprostokątnych są odpowiednio roacutewne 1
32r i
1
2r
13 3 2
2r = sdot
3 6 3r = sdot
3 6 3 3r =
2 3r =
Długość promienia koła opisanego na tym troacutejkącie roacutewnobocznym jest roacutewna 2 3 cm
Korzystając z wzoru oraz pamiętając że obwoacuted
wynosi obliczymy pole i obwoacuted koła
16 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 15 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości a
1
2
60deg
30deg
r
a 1
2a
aa
Wykorzystujemy zależność między dłu-
gościami bokoacutew troacutejkąta prostokątnego
o kątach ostrych 30 60deg deg do wyznaczenia
długości promienia okręgu opisanego na
troacutejkącie roacutewnobocznym
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r
1 13 2
2 2r a= sdot
3 3r a= sdot
3 3 3r a=
3
3
ar = Długość promienia okręgu
opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym o boku
długości a jest roacutewna 3
3
a
Pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
6 cm jest roacutewne 12π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 4π 3 cm
2P rπ=
( )2
P 2 3π=
P 12π=
obwoacuted 2 rπ=
obwoacuted 2 2 3π= sdot
obwoacuted 4 3π=
1711 Okrąg opisany na wielokącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na
tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-
rokąt ten jest wpisany w okrąg
Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie
Czworokąt Czworokąt i symetralne
jego bokoacutew
Wniosek
S Na tym kwadracie
można opisać okrąg
S Na tym prostokącie
można opisać okrąg
Na tym roacutewnoległo-
boku nie można
opisać okręgu
Na tym rombie
nie można opisać
okręgu
Na tym trapezie
nie można opisać
okręgu
Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
10 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
11 Okrąg opisany na wielokącie
Moja klasa organizuje biwak i mamy problem jak rozstawić
nasze namioty aby z każdego namiotu była taka sama
odległość do wspoacutelnego namiotu ktoacutery nazwaliśmy świetlicą
Jeżeli odległość ma być taka sama należy narysować okrąg ktoacuterego
środkiem będzie namiot świetlica a namioty uczestnikoacutew trzeba
umieścić na tym okręgu Odległość między każdym namiotem
a świetlicą będzie roacutewna długości promienia narysowanego okręgu
Wszyscy będą mieli do pokonania taką samą odległość
świetlica
namiot 1
namiot 3
namiot 2
namiot 5
namiot 4
Przykład 11 Narysuj trzy niewspoacutełliniowe punkty K L M Znajdź punkt T
ktoacuterego odległość od każdego z punktoacutew K L i M jest taka sama
K
L
M
Zaznaczyliśmy punkty K L i M Te punkty nie są wspoacuteł-
liniowe
Musimy znaleźć punkt T ktoacuterego odległość od każdego
z punktoacutew K L i M będzie taka sama
K
L
M
Rysujemy odcinek KM a następnie symetralną tego odcinka
Na symetralnej odcinka KM leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od punktu K jest roacutewna odległości od punktu M
1111 Okrąg opisany na wielokącie
K
L
M
K
L
T
M
K
L
T
M
K
L
T
M
Rysujemy odcinek KL oraz symetralną tego odcinka Na sy-
metralnej odcinka KL leżą wszystkie punkty ktoacuterych odle-
głość od punktu K jest roacutewna odległości od punktu L
Wyznaczyliśmy punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew K
M i L jest taka sama
Możemy zauważyć że symetralna odcinka ML też prze-
chodzi przez punkt T
Punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew
K L i M jest taka sama jest środkiem
koła opisanego na troacutejkącie KLM
Punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew K
L i M jest taka sama jest środkiem okręgu
opisanego na troacutejkącie KLM
Jeżeli wszystkie wierzchołki troacutejkąta leżą
na okręgu to moacutewimy że okrąg jest opi-
sany na tym troacutejkącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki troacutejkąta leżą
na okręgu to możemy powiedzieć że
troacutejkąt jest wpisany w ten okrąg
12 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 12 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg opisany na tym
troacutejkącie
Konstruujemy symetralne dwoacutech bokoacutew troacutejkąta ABC Punkt przecięcia symetralnych bokoacutew oznaczamy li-terą S Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na tym troacutejkącie
K
L
T
M
Jeżeli punkt T jest środkiem okręgu
opisanego na troacutejkącie KLM to długość
promienia tego okręgu jest roacutewna
odległości każdego z punktoacutew K L i M
od punktu T
Jeżeli punkt T jest środkiem koła
opisanego na troacutejkącie KLM to
długość promienia tego koła
jest roacutewna odległości każdego
z punktoacutew K L i M od punktu T
K
L
T
M
K
L
T
M
Jeżeli odległość wszystkich wierzchołkoacutew
troacutejkąta od środka koła jest roacutewna pro-
mieniowi tego koła to moacutewimy że koło
jest opisane na troacutejkącie
Jeżeli odległość wszystkich wierzchołkoacutew
troacutejkąta od środka koła jest roacutewna pro-
mieniowi tego koła to możemy powie-
dzieć że troacutejkąt jest wpisany w to koło
1311 Okrąg opisany na wielokącie
a) b) c)
Środek okręgu opisa-nego na troacutejkącie ostro-kątnym leży wewnątrz tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie prostokąt-nym leży na przeciwpro-stokątnej tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie rozwartokąt-nym leży na zewnątrz tego troacutejkąta
Przykład 13 Narysuj troacutejkąt a) ostrokątny b) prostokątny c) rozwartokątnyNarysuj symetralne bokoacutew w każdym z tych troacutejkątoacutew Wyznacz promień okręgu opisanego na danym troacutejkącie i narysuj ten okrąg
Na każdym troacutejkącie można opisać okrąg
Punkt S łączymy z wierzchołkiem B Odcinek BS jest promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie ABC
Kreślimy okrąg o środku w punkcie S opisany na troacutej-kącie ABC
14 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
rO
rO
rO
r
r
rr
rr
Przykład 14 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz pole
i obwoacuted koła opisanego na tym troacutejkącie
6 cm
r
6 cm6 cm
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 6 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Narysowałem troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłem
środek koła opisanego na tym troacutejkącie
a następnie narysowałem koło
Poprowadzone symetralne
bokoacutew tego troacutejkąta
zawierają wysokości troacutejkąta
60deg 60deg
30deg 30deg
a
h
a
a
2
a
2
x
3xx
60deg
30deg
2x
x
x 3
Promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie jest odcinek łączący
środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem tego troacutejkąta
1511 Okrąg opisany na wielokącie
60deg
30deg
6 cm
r
6 cm6 cm
Wysokość troacutejkąta roacutewnobocznego
zawiera się w dwusiecznej kąta
wewnętrznego tego troacutejkąta
Korzystając ze wskazanej wyżej zależności między długościami
bokoacutew troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 30o 60o
wyznaczyłam długość przeciwprostokątnej tego troacutejkąta
ktoacutera jest długością promienia koła opisanego na tym troacutejkącie
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r3 cm
60deg
30deg
r
Jeżeli w troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg 60deg długość przeciwprostokątnej
jest roacutewna r woacutewczas długości przyprostokątnych są odpowiednio roacutewne 1
32r i
1
2r
13 3 2
2r = sdot
3 6 3r = sdot
3 6 3 3r =
2 3r =
Długość promienia koła opisanego na tym troacutejkącie roacutewnobocznym jest roacutewna 2 3 cm
Korzystając z wzoru oraz pamiętając że obwoacuted
wynosi obliczymy pole i obwoacuted koła
16 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 15 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości a
1
2
60deg
30deg
r
a 1
2a
aa
Wykorzystujemy zależność między dłu-
gościami bokoacutew troacutejkąta prostokątnego
o kątach ostrych 30 60deg deg do wyznaczenia
długości promienia okręgu opisanego na
troacutejkącie roacutewnobocznym
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r
1 13 2
2 2r a= sdot
3 3r a= sdot
3 3 3r a=
3
3
ar = Długość promienia okręgu
opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym o boku
długości a jest roacutewna 3
3
a
Pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
6 cm jest roacutewne 12π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 4π 3 cm
2P rπ=
( )2
P 2 3π=
P 12π=
obwoacuted 2 rπ=
obwoacuted 2 2 3π= sdot
obwoacuted 4 3π=
1711 Okrąg opisany na wielokącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na
tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-
rokąt ten jest wpisany w okrąg
Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie
Czworokąt Czworokąt i symetralne
jego bokoacutew
Wniosek
S Na tym kwadracie
można opisać okrąg
S Na tym prostokącie
można opisać okrąg
Na tym roacutewnoległo-
boku nie można
opisać okręgu
Na tym rombie
nie można opisać
okręgu
Na tym trapezie
nie można opisać
okręgu
Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
1111 Okrąg opisany na wielokącie
K
L
M
K
L
T
M
K
L
T
M
K
L
T
M
Rysujemy odcinek KL oraz symetralną tego odcinka Na sy-
metralnej odcinka KL leżą wszystkie punkty ktoacuterych odle-
głość od punktu K jest roacutewna odległości od punktu L
Wyznaczyliśmy punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew K
M i L jest taka sama
Możemy zauważyć że symetralna odcinka ML też prze-
chodzi przez punkt T
Punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew
K L i M jest taka sama jest środkiem
koła opisanego na troacutejkącie KLM
Punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew K
L i M jest taka sama jest środkiem okręgu
opisanego na troacutejkącie KLM
Jeżeli wszystkie wierzchołki troacutejkąta leżą
na okręgu to moacutewimy że okrąg jest opi-
sany na tym troacutejkącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki troacutejkąta leżą
na okręgu to możemy powiedzieć że
troacutejkąt jest wpisany w ten okrąg
12 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 12 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg opisany na tym
troacutejkącie
Konstruujemy symetralne dwoacutech bokoacutew troacutejkąta ABC Punkt przecięcia symetralnych bokoacutew oznaczamy li-terą S Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na tym troacutejkącie
K
L
T
M
Jeżeli punkt T jest środkiem okręgu
opisanego na troacutejkącie KLM to długość
promienia tego okręgu jest roacutewna
odległości każdego z punktoacutew K L i M
od punktu T
Jeżeli punkt T jest środkiem koła
opisanego na troacutejkącie KLM to
długość promienia tego koła
jest roacutewna odległości każdego
z punktoacutew K L i M od punktu T
K
L
T
M
K
L
T
M
Jeżeli odległość wszystkich wierzchołkoacutew
troacutejkąta od środka koła jest roacutewna pro-
mieniowi tego koła to moacutewimy że koło
jest opisane na troacutejkącie
Jeżeli odległość wszystkich wierzchołkoacutew
troacutejkąta od środka koła jest roacutewna pro-
mieniowi tego koła to możemy powie-
dzieć że troacutejkąt jest wpisany w to koło
1311 Okrąg opisany na wielokącie
a) b) c)
Środek okręgu opisa-nego na troacutejkącie ostro-kątnym leży wewnątrz tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie prostokąt-nym leży na przeciwpro-stokątnej tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie rozwartokąt-nym leży na zewnątrz tego troacutejkąta
Przykład 13 Narysuj troacutejkąt a) ostrokątny b) prostokątny c) rozwartokątnyNarysuj symetralne bokoacutew w każdym z tych troacutejkątoacutew Wyznacz promień okręgu opisanego na danym troacutejkącie i narysuj ten okrąg
Na każdym troacutejkącie można opisać okrąg
Punkt S łączymy z wierzchołkiem B Odcinek BS jest promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie ABC
Kreślimy okrąg o środku w punkcie S opisany na troacutej-kącie ABC
14 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
rO
rO
rO
r
r
rr
rr
Przykład 14 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz pole
i obwoacuted koła opisanego na tym troacutejkącie
6 cm
r
6 cm6 cm
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 6 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Narysowałem troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłem
środek koła opisanego na tym troacutejkącie
a następnie narysowałem koło
Poprowadzone symetralne
bokoacutew tego troacutejkąta
zawierają wysokości troacutejkąta
60deg 60deg
30deg 30deg
a
h
a
a
2
a
2
x
3xx
60deg
30deg
2x
x
x 3
Promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie jest odcinek łączący
środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem tego troacutejkąta
1511 Okrąg opisany na wielokącie
60deg
30deg
6 cm
r
6 cm6 cm
Wysokość troacutejkąta roacutewnobocznego
zawiera się w dwusiecznej kąta
wewnętrznego tego troacutejkąta
Korzystając ze wskazanej wyżej zależności między długościami
bokoacutew troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 30o 60o
wyznaczyłam długość przeciwprostokątnej tego troacutejkąta
ktoacutera jest długością promienia koła opisanego na tym troacutejkącie
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r3 cm
60deg
30deg
r
Jeżeli w troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg 60deg długość przeciwprostokątnej
jest roacutewna r woacutewczas długości przyprostokątnych są odpowiednio roacutewne 1
32r i
1
2r
13 3 2
2r = sdot
3 6 3r = sdot
3 6 3 3r =
2 3r =
Długość promienia koła opisanego na tym troacutejkącie roacutewnobocznym jest roacutewna 2 3 cm
Korzystając z wzoru oraz pamiętając że obwoacuted
wynosi obliczymy pole i obwoacuted koła
16 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 15 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości a
1
2
60deg
30deg
r
a 1
2a
aa
Wykorzystujemy zależność między dłu-
gościami bokoacutew troacutejkąta prostokątnego
o kątach ostrych 30 60deg deg do wyznaczenia
długości promienia okręgu opisanego na
troacutejkącie roacutewnobocznym
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r
1 13 2
2 2r a= sdot
3 3r a= sdot
3 3 3r a=
3
3
ar = Długość promienia okręgu
opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym o boku
długości a jest roacutewna 3
3
a
Pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
6 cm jest roacutewne 12π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 4π 3 cm
2P rπ=
( )2
P 2 3π=
P 12π=
obwoacuted 2 rπ=
obwoacuted 2 2 3π= sdot
obwoacuted 4 3π=
1711 Okrąg opisany na wielokącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na
tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-
rokąt ten jest wpisany w okrąg
Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie
Czworokąt Czworokąt i symetralne
jego bokoacutew
Wniosek
S Na tym kwadracie
można opisać okrąg
S Na tym prostokącie
można opisać okrąg
Na tym roacutewnoległo-
boku nie można
opisać okręgu
Na tym rombie
nie można opisać
okręgu
Na tym trapezie
nie można opisać
okręgu
Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
12 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 12 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg opisany na tym
troacutejkącie
Konstruujemy symetralne dwoacutech bokoacutew troacutejkąta ABC Punkt przecięcia symetralnych bokoacutew oznaczamy li-terą S Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na tym troacutejkącie
K
L
T
M
Jeżeli punkt T jest środkiem okręgu
opisanego na troacutejkącie KLM to długość
promienia tego okręgu jest roacutewna
odległości każdego z punktoacutew K L i M
od punktu T
Jeżeli punkt T jest środkiem koła
opisanego na troacutejkącie KLM to
długość promienia tego koła
jest roacutewna odległości każdego
z punktoacutew K L i M od punktu T
K
L
T
M
K
L
T
M
Jeżeli odległość wszystkich wierzchołkoacutew
troacutejkąta od środka koła jest roacutewna pro-
mieniowi tego koła to moacutewimy że koło
jest opisane na troacutejkącie
Jeżeli odległość wszystkich wierzchołkoacutew
troacutejkąta od środka koła jest roacutewna pro-
mieniowi tego koła to możemy powie-
dzieć że troacutejkąt jest wpisany w to koło
1311 Okrąg opisany na wielokącie
a) b) c)
Środek okręgu opisa-nego na troacutejkącie ostro-kątnym leży wewnątrz tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie prostokąt-nym leży na przeciwpro-stokątnej tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie rozwartokąt-nym leży na zewnątrz tego troacutejkąta
Przykład 13 Narysuj troacutejkąt a) ostrokątny b) prostokątny c) rozwartokątnyNarysuj symetralne bokoacutew w każdym z tych troacutejkątoacutew Wyznacz promień okręgu opisanego na danym troacutejkącie i narysuj ten okrąg
Na każdym troacutejkącie można opisać okrąg
Punkt S łączymy z wierzchołkiem B Odcinek BS jest promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie ABC
Kreślimy okrąg o środku w punkcie S opisany na troacutej-kącie ABC
14 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
rO
rO
rO
r
r
rr
rr
Przykład 14 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz pole
i obwoacuted koła opisanego na tym troacutejkącie
6 cm
r
6 cm6 cm
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 6 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Narysowałem troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłem
środek koła opisanego na tym troacutejkącie
a następnie narysowałem koło
Poprowadzone symetralne
bokoacutew tego troacutejkąta
zawierają wysokości troacutejkąta
60deg 60deg
30deg 30deg
a
h
a
a
2
a
2
x
3xx
60deg
30deg
2x
x
x 3
Promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie jest odcinek łączący
środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem tego troacutejkąta
1511 Okrąg opisany na wielokącie
60deg
30deg
6 cm
r
6 cm6 cm
Wysokość troacutejkąta roacutewnobocznego
zawiera się w dwusiecznej kąta
wewnętrznego tego troacutejkąta
Korzystając ze wskazanej wyżej zależności między długościami
bokoacutew troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 30o 60o
wyznaczyłam długość przeciwprostokątnej tego troacutejkąta
ktoacutera jest długością promienia koła opisanego na tym troacutejkącie
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r3 cm
60deg
30deg
r
Jeżeli w troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg 60deg długość przeciwprostokątnej
jest roacutewna r woacutewczas długości przyprostokątnych są odpowiednio roacutewne 1
32r i
1
2r
13 3 2
2r = sdot
3 6 3r = sdot
3 6 3 3r =
2 3r =
Długość promienia koła opisanego na tym troacutejkącie roacutewnobocznym jest roacutewna 2 3 cm
Korzystając z wzoru oraz pamiętając że obwoacuted
wynosi obliczymy pole i obwoacuted koła
16 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 15 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości a
1
2
60deg
30deg
r
a 1
2a
aa
Wykorzystujemy zależność między dłu-
gościami bokoacutew troacutejkąta prostokątnego
o kątach ostrych 30 60deg deg do wyznaczenia
długości promienia okręgu opisanego na
troacutejkącie roacutewnobocznym
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r
1 13 2
2 2r a= sdot
3 3r a= sdot
3 3 3r a=
3
3
ar = Długość promienia okręgu
opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym o boku
długości a jest roacutewna 3
3
a
Pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
6 cm jest roacutewne 12π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 4π 3 cm
2P rπ=
( )2
P 2 3π=
P 12π=
obwoacuted 2 rπ=
obwoacuted 2 2 3π= sdot
obwoacuted 4 3π=
1711 Okrąg opisany na wielokącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na
tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-
rokąt ten jest wpisany w okrąg
Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie
Czworokąt Czworokąt i symetralne
jego bokoacutew
Wniosek
S Na tym kwadracie
można opisać okrąg
S Na tym prostokącie
można opisać okrąg
Na tym roacutewnoległo-
boku nie można
opisać okręgu
Na tym rombie
nie można opisać
okręgu
Na tym trapezie
nie można opisać
okręgu
Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
1311 Okrąg opisany na wielokącie
a) b) c)
Środek okręgu opisa-nego na troacutejkącie ostro-kątnym leży wewnątrz tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie prostokąt-nym leży na przeciwpro-stokątnej tego troacutejkąta
Środek okręgu opisanego na troacutejkącie rozwartokąt-nym leży na zewnątrz tego troacutejkąta
Przykład 13 Narysuj troacutejkąt a) ostrokątny b) prostokątny c) rozwartokątnyNarysuj symetralne bokoacutew w każdym z tych troacutejkątoacutew Wyznacz promień okręgu opisanego na danym troacutejkącie i narysuj ten okrąg
Na każdym troacutejkącie można opisać okrąg
Punkt S łączymy z wierzchołkiem B Odcinek BS jest promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie ABC
Kreślimy okrąg o środku w punkcie S opisany na troacutej-kącie ABC
14 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
rO
rO
rO
r
r
rr
rr
Przykład 14 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz pole
i obwoacuted koła opisanego na tym troacutejkącie
6 cm
r
6 cm6 cm
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 6 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Narysowałem troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłem
środek koła opisanego na tym troacutejkącie
a następnie narysowałem koło
Poprowadzone symetralne
bokoacutew tego troacutejkąta
zawierają wysokości troacutejkąta
60deg 60deg
30deg 30deg
a
h
a
a
2
a
2
x
3xx
60deg
30deg
2x
x
x 3
Promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie jest odcinek łączący
środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem tego troacutejkąta
1511 Okrąg opisany na wielokącie
60deg
30deg
6 cm
r
6 cm6 cm
Wysokość troacutejkąta roacutewnobocznego
zawiera się w dwusiecznej kąta
wewnętrznego tego troacutejkąta
Korzystając ze wskazanej wyżej zależności między długościami
bokoacutew troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 30o 60o
wyznaczyłam długość przeciwprostokątnej tego troacutejkąta
ktoacutera jest długością promienia koła opisanego na tym troacutejkącie
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r3 cm
60deg
30deg
r
Jeżeli w troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg 60deg długość przeciwprostokątnej
jest roacutewna r woacutewczas długości przyprostokątnych są odpowiednio roacutewne 1
32r i
1
2r
13 3 2
2r = sdot
3 6 3r = sdot
3 6 3 3r =
2 3r =
Długość promienia koła opisanego na tym troacutejkącie roacutewnobocznym jest roacutewna 2 3 cm
Korzystając z wzoru oraz pamiętając że obwoacuted
wynosi obliczymy pole i obwoacuted koła
16 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 15 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości a
1
2
60deg
30deg
r
a 1
2a
aa
Wykorzystujemy zależność między dłu-
gościami bokoacutew troacutejkąta prostokątnego
o kątach ostrych 30 60deg deg do wyznaczenia
długości promienia okręgu opisanego na
troacutejkącie roacutewnobocznym
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r
1 13 2
2 2r a= sdot
3 3r a= sdot
3 3 3r a=
3
3
ar = Długość promienia okręgu
opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym o boku
długości a jest roacutewna 3
3
a
Pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
6 cm jest roacutewne 12π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 4π 3 cm
2P rπ=
( )2
P 2 3π=
P 12π=
obwoacuted 2 rπ=
obwoacuted 2 2 3π= sdot
obwoacuted 4 3π=
1711 Okrąg opisany na wielokącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na
tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-
rokąt ten jest wpisany w okrąg
Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie
Czworokąt Czworokąt i symetralne
jego bokoacutew
Wniosek
S Na tym kwadracie
można opisać okrąg
S Na tym prostokącie
można opisać okrąg
Na tym roacutewnoległo-
boku nie można
opisać okręgu
Na tym rombie
nie można opisać
okręgu
Na tym trapezie
nie można opisać
okręgu
Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
14 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
rO
rO
rO
r
r
rr
rr
Przykład 14 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz pole
i obwoacuted koła opisanego na tym troacutejkącie
6 cm
r
6 cm6 cm
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 6 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Narysowałem troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłem
środek koła opisanego na tym troacutejkącie
a następnie narysowałem koło
Poprowadzone symetralne
bokoacutew tego troacutejkąta
zawierają wysokości troacutejkąta
60deg 60deg
30deg 30deg
a
h
a
a
2
a
2
x
3xx
60deg
30deg
2x
x
x 3
Promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie jest odcinek łączący
środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem tego troacutejkąta
1511 Okrąg opisany na wielokącie
60deg
30deg
6 cm
r
6 cm6 cm
Wysokość troacutejkąta roacutewnobocznego
zawiera się w dwusiecznej kąta
wewnętrznego tego troacutejkąta
Korzystając ze wskazanej wyżej zależności między długościami
bokoacutew troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 30o 60o
wyznaczyłam długość przeciwprostokątnej tego troacutejkąta
ktoacutera jest długością promienia koła opisanego na tym troacutejkącie
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r3 cm
60deg
30deg
r
Jeżeli w troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg 60deg długość przeciwprostokątnej
jest roacutewna r woacutewczas długości przyprostokątnych są odpowiednio roacutewne 1
32r i
1
2r
13 3 2
2r = sdot
3 6 3r = sdot
3 6 3 3r =
2 3r =
Długość promienia koła opisanego na tym troacutejkącie roacutewnobocznym jest roacutewna 2 3 cm
Korzystając z wzoru oraz pamiętając że obwoacuted
wynosi obliczymy pole i obwoacuted koła
16 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 15 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości a
1
2
60deg
30deg
r
a 1
2a
aa
Wykorzystujemy zależność między dłu-
gościami bokoacutew troacutejkąta prostokątnego
o kątach ostrych 30 60deg deg do wyznaczenia
długości promienia okręgu opisanego na
troacutejkącie roacutewnobocznym
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r
1 13 2
2 2r a= sdot
3 3r a= sdot
3 3 3r a=
3
3
ar = Długość promienia okręgu
opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym o boku
długości a jest roacutewna 3
3
a
Pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
6 cm jest roacutewne 12π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 4π 3 cm
2P rπ=
( )2
P 2 3π=
P 12π=
obwoacuted 2 rπ=
obwoacuted 2 2 3π= sdot
obwoacuted 4 3π=
1711 Okrąg opisany na wielokącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na
tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-
rokąt ten jest wpisany w okrąg
Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie
Czworokąt Czworokąt i symetralne
jego bokoacutew
Wniosek
S Na tym kwadracie
można opisać okrąg
S Na tym prostokącie
można opisać okrąg
Na tym roacutewnoległo-
boku nie można
opisać okręgu
Na tym rombie
nie można opisać
okręgu
Na tym trapezie
nie można opisać
okręgu
Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
1511 Okrąg opisany na wielokącie
60deg
30deg
6 cm
r
6 cm6 cm
Wysokość troacutejkąta roacutewnobocznego
zawiera się w dwusiecznej kąta
wewnętrznego tego troacutejkąta
Korzystając ze wskazanej wyżej zależności między długościami
bokoacutew troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 30o 60o
wyznaczyłam długość przeciwprostokątnej tego troacutejkąta
ktoacutera jest długością promienia koła opisanego na tym troacutejkącie
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r3 cm
60deg
30deg
r
Jeżeli w troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg 60deg długość przeciwprostokątnej
jest roacutewna r woacutewczas długości przyprostokątnych są odpowiednio roacutewne 1
32r i
1
2r
13 3 2
2r = sdot
3 6 3r = sdot
3 6 3 3r =
2 3r =
Długość promienia koła opisanego na tym troacutejkącie roacutewnobocznym jest roacutewna 2 3 cm
Korzystając z wzoru oraz pamiętając że obwoacuted
wynosi obliczymy pole i obwoacuted koła
16 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 15 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości a
1
2
60deg
30deg
r
a 1
2a
aa
Wykorzystujemy zależność między dłu-
gościami bokoacutew troacutejkąta prostokątnego
o kątach ostrych 30 60deg deg do wyznaczenia
długości promienia okręgu opisanego na
troacutejkącie roacutewnobocznym
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r
1 13 2
2 2r a= sdot
3 3r a= sdot
3 3 3r a=
3
3
ar = Długość promienia okręgu
opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym o boku
długości a jest roacutewna 3
3
a
Pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
6 cm jest roacutewne 12π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 4π 3 cm
2P rπ=
( )2
P 2 3π=
P 12π=
obwoacuted 2 rπ=
obwoacuted 2 2 3π= sdot
obwoacuted 4 3π=
1711 Okrąg opisany na wielokącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na
tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-
rokąt ten jest wpisany w okrąg
Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie
Czworokąt Czworokąt i symetralne
jego bokoacutew
Wniosek
S Na tym kwadracie
można opisać okrąg
S Na tym prostokącie
można opisać okrąg
Na tym roacutewnoległo-
boku nie można
opisać okręgu
Na tym rombie
nie można opisać
okręgu
Na tym trapezie
nie można opisać
okręgu
Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
16 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 15 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości a
1
2
60deg
30deg
r
a 1
2a
aa
Wykorzystujemy zależność między dłu-
gościami bokoacutew troacutejkąta prostokątnego
o kątach ostrych 30 60deg deg do wyznaczenia
długości promienia okręgu opisanego na
troacutejkącie roacutewnobocznym
1
2
60deg
30deg
rr
31
2r
1 13 2
2 2r a= sdot
3 3r a= sdot
3 3 3r a=
3
3
ar = Długość promienia okręgu
opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym o boku
długości a jest roacutewna 3
3
a
Pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
6 cm jest roacutewne 12π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 4π 3 cm
2P rπ=
( )2
P 2 3π=
P 12π=
obwoacuted 2 rπ=
obwoacuted 2 2 3π= sdot
obwoacuted 4 3π=
1711 Okrąg opisany na wielokącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na
tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-
rokąt ten jest wpisany w okrąg
Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie
Czworokąt Czworokąt i symetralne
jego bokoacutew
Wniosek
S Na tym kwadracie
można opisać okrąg
S Na tym prostokącie
można opisać okrąg
Na tym roacutewnoległo-
boku nie można
opisać okręgu
Na tym rombie
nie można opisać
okręgu
Na tym trapezie
nie można opisać
okręgu
Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
1711 Okrąg opisany na wielokącie
Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na
tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-
rokąt ten jest wpisany w okrąg
Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie
Czworokąt Czworokąt i symetralne
jego bokoacutew
Wniosek
S Na tym kwadracie
można opisać okrąg
S Na tym prostokącie
można opisać okrąg
Na tym roacutewnoległo-
boku nie można
opisać okręgu
Na tym rombie
nie można opisać
okręgu
Na tym trapezie
nie można opisać
okręgu
Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
18 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia
okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm4 cm
r45deg
45deg
4 cm
S
Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie
to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości
każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S
Narysowałam okrąg opisany na kwadracie
mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu
z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest
promieniem tego okręgu
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S
okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest
punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu
Punkt S jest środkiem koła
opisanego na tym kwadracie
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
d
a
2a
45deg
45deg
45deg
45deg
a
a a
a
a 2
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
1911 Okrąg opisany na wielokącie
Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości a
Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam
długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
a
45deg
45deg
aa 2
4 cm
r45deg
45deg
4 cm
Długość promienia okręgu opisanego
na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm
a
a
r45deg
45deg
a1
2
a1
2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem
tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek
okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu
r45deg
45deg
a1
2
a1
2
Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-
ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew
troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-
nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-
dracie jest roacutewna
2
2
a
d
r
r
Długość średnicy okręgu opisanego
na kwadracie jest roacutewna długości
przekątnej tego kwadratu
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a
jest roacutewna
2
2
a
2
2
r d
dr
=
=
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
20 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone
do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-
kąty roacutewnoramienne
r
r
r
r
Okrąg jest opisany na czworokącie
jeżeli wszystkie wierzchołki
czworokąta leżą na tym okręgu
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą
na okręgu to można też powiedzieć że ten
wielokąt jest wpisany w okrąg
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta
leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg
jest opisany na tym wielokącie
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
2111 Okrąg opisany na wielokącie
W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych
miarach
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +
Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych
kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +
r
r
α
αβ
βγ
γ
δ
δ
r
r
Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy
miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy miar
przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne
to na tym czworokącie można opisać okrąg
Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na
ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-
stokątem nie można opisać okręgu
W roacutewnoległoboku miary prze-
ciwległych kątoacutew są roacutewne
180α β= deg minus
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
22 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Zadania utrwalające
1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +
( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
180 180β β β βdeg minus + deg minus = +
360 2 2β βdeg minus =
4 360β = deg
90β = deg
Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest
roacutewna deg180
180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg
Z obliczeń wynika że miara każdego kąta
roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg
można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku
ktoacutery jest prostokątem
Na roacutewnoległoboku
ktoacutery nie jest prostokątem
nie można opisać okręgu
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
2311 Okrąg opisany na wielokącie
2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm
3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości
3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE
b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą
30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta
TAK NIE
4 Oceń prawdziwość poniższych zdań
a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku
długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-
bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm
TAK NIE
c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-
gości 4 cm i 8 cm wynosi
π8 10 cmTAK NIE
d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm
TAK NIE
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym
a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm
8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym
a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm
9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
24 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości
a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm
11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości
a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm
12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości
a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm
13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-
szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg
14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz
pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej
15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-
nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg
Oblicz pole czworokąta KLMN
16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-
gości bokoacutew jest roacutewny 1
13
Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta
17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew
jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg
18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg
12 Okrąg wpisany w wielokąt
GDYNIA
Y
Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego
mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe
logo mojego klubu
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
2512 Okrąg wpisany w wielokąt
9 cm 4 cm
3 cm 10 cm
5 cm 8 cm
60deg
60deg
45deg
Logo ma kształt koła Aby na
troacutejkątnym żaglu to logo było jak
największe musi być styczne do
wszystkich brzegoacutew tego żagla
Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych
odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama
A
C
B
Jeżeli koło jest styczne do wszystkich
bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest
wpisane w ten troacutejkąt
Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi
być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
A
C
B
Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-
rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama
A
C
S
B
Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-
kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama
Jeżeli koło jest styczne do
wszystkich bokoacutew troacutejkąta
moacutewimy że troacutejkąt jest
opisany na kole
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
26 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
A
C
S
B
Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-
chodzi przez punkt S
Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu
wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego
okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S
i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta
Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek
ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten
troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt
A
C
S
r
B A
C
S
r
B A
C
S
r
B
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
2712 Okrąg wpisany w wielokąt
Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności
są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta
Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-
gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt
Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt
od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta
Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten
troacutejkąt
Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta
Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
S
C
A
B
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC
konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew
troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-
sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-
cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku
S
C
A
B
Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC
S
C
A
B
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
28 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
a) b) c)
Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-
gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg
Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego
troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta
3 3 3r = sdot
3 3 3 3r =
3r =
Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam
środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt
Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta
Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie
prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość
drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego
Długość promienia okręgu
wpisanego w ten troacutejkąt
roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm
Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt
a) ostrokątny
b) prostokątny
c) rozwartokątny
Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
2912 Okrąg wpisany w wielokąt
Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie
S
a a
a
rw
S
ro
a a
a
rw
S
ro
a a
a
W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt
Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym
W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej
Zatem 2o wr r=
1
2w
o
r
r=
Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego
w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu
opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość
troacutejkąta na dwie części
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
30 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-
mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu
opisanego na tym troacutejkącie
Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości a
Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie
roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego
w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta
w or r h+ =
2o wr r=
2w wr r h+ =
3 3wr h=
1
3wr h=
2
3or h=
Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom
wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość
promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość
promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są
zależne od długości boku tego troacutejkąta
rw
S
a a
1
2a 1
2a
2sdot
2 3 3wr a= sdot
3
6w
ar =
Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt
roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3
6
a
32
wr
a=
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
3112 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten
czworokąt
Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym
punkcie
CzworokątCzworokąt
i dwusieczne jego kątoacutewWniosek
W ten kwadrat można
wpisać okrąg
W ten prostokąt nie
można wpisać okręgu
W ten roacutewnoległobok
nie można wpisać okręgu
W ten romb można
wpisać okrąg
W ten trapez nie można
wpisać okręgu
Przykład 117 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź
w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
32 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie
8 cm
8 cm
4 cmrw
Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek
okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek
jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew
wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie
punktem przecięcia przekątnych kwadratu
Długość promienia koła wpisanego
w kwadrat jest roacutewna połowie
długości boku tego kwadratu
1
2or d=
1
2wr a=
2
22
2
1
2
1 aadr
o=sdot==
11 2 2 1222 2 2 2 2
2
w
o
ar aa
r a a a= = sdot = =
1
2
w
o
r
r=
a
a
a a S
rw
ro
d
Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm
jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm
P = πr2 obwoacuted = 2πr
P = π 42 obwoacuted = 2π 4
P = 16π obwoacuted = 8π
Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła
wpisanego w ten kwadrat
Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku
długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości
przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest
roacutewna połowie długości boku tego kwadratu
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
3312 Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu moacutewimy że
okrąg jest wpisany w ten wielokąt
Można roacutewnież powiedzieć że
jeżeli wszystkie boki wielokąta
są styczne do okręgu to ten
wielokąt jest opisany na okręgu
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy
że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież
powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne
do koła to ten wielokąt jest opisany na kole
Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy
długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do
wszystkich bokoacutew tego czworokąta
Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są
prostopadłe do bokoacutew czworokąta
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
34 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
AB a d= +
BC c d= +
CD c b= +
AD a b= +
AB CD a d c b+ = + + +
AD BC a b c d+ = + + +
AB CD AD BC + = +
b a
r
Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości
przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne
Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew
czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
3512 Okrąg wpisany w wielokąt
Zadania utrwalające
1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź
a) b) c)
d) e) f)
2 Wpisz okrąg w troacutejkąt
a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm
b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm
c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm
3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań
a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku
długości 3 dm jest roacutewny 3 dm
TAK NIE
b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-
boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m
TAK NIE
c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-
gości 13 2 cm wynosi 13π cm
TAK NIE
d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-
wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku
długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
36 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu
roacutewnym
a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm
6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm
7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym
a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm
8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm
9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości
a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm
10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm
11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości
a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm
12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-
prostokątnej długości 12 2 cm
13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych
długości 6 cm i 8 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
3713 Wielokąty foremne
Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany
na planie pięciokąta foremnego
Wieża widokowa w Do-
bromierzu została zbudo-
wana na planie ośmiokąta
foremnego
Plaster miodu przypomina
ułożone obok siebie gra-
niastosłupy o podstawie
będącej sześciokątem fo-remnym
Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość
po niemieckiej zabudo-
wie przemysłowej mdash zo-
stał zbudowany na planie
wielokąta foremnego
Oczka w siatce bramki
mają kształt sześciokąta
foremnego
Wielokątem foremnym
nazywamy taki wielokąt ktoacuterego
wszystkie boki są jednakowej
długości i wszystkie kąty
wewnętrzne mają roacutewne miary
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny
można wpisać okrąg
W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt
jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie
13 Wielokąty foremne
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
38 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają
się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają
środek okręgu wpisanego i opisanego)
Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego
Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg
Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne
( )180 45 2 6752
α= deg minus deg = deg
Kąt α ma miarę 135deg
360180
nα
deg= deg minus
360180
20α
deg= deg minus
180 18α = deg minus deg
162α = deg
Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg
Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna
360180
n
degdeg minus gdzie n
oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta
Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego
Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny
ma miarę 150deg
360180
nα
deg= deg minus
n
degminusdeg=deg
360180150
360150 180
n
degdeg minus deg = minus
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
3913 Wielokąty foremne
36030 n
n
degminus deg = minus sdot
( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg
12n =
Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew
Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a
A B
C
72deg
72deg
A B
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
C
A B
C
72deg
72deg72deg
72deg
72deg
Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających
troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg
Odmierzamy odcinek AB
o długości a
Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny
ABC o podstawie AB i kącie
przy podstawie o mierze 54deg
Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg
o wierzchołku C i ramieniu CB
Rysujemy kolejne trzy kąty
o mierze 72deg
Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-
gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-
cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew
Łączymy odcinkami kolejne
wierzchołki pięciokąta
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
40 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-
struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg
Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych
Wierzchołki ośmiokąta
foremnego wpisanego
w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem
prostopadłe średnice a następnie
dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych
Narysowane odcinki i proste przecinają
okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są
wierzchołkami ośmiokąta
r r
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-
kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta
rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-
znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem
sześciokąta
a
a
a
a a
a a a
a a
a a A
Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk
okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi
wierzchołek sześciokąta (B)
A
B
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
4113 Wielokąty foremne
W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-
chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-
gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C
D i E
Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta
Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)
AD BE CF 6 cm= = =
Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 6 cm
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-
kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-
ciokąt foremny
3 3
2h =
3 3 AE 2 2 3 3
2h= = sdot =
Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego
jest roacutewna 3 3 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
42 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających
troacutejkątoacutew roacutewnobocznych
Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4
36
2a
sdot
Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a
Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm
Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego
2 3P 6
4
a= sdot
212 3 144 3
P 6 6 6 36 3 216 34 4
= sdot = sdot = sdot =
obwoacuted 6 12 72= sdot =
Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2
a jego obwoacuted wynosi 72 cm
Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
o boku długości 6 cm
r
Długość promienia okręgu wpisanego
w sześciokąt foremny o boku długości a
jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta
roacutewnobocznego o boku długości a
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
4313 Wielokąty foremne
Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny
3
6w
ar =
3
3o
ar =
1
2wr a=
2
2o
ar =
3
2w
ar =
or a=
Zadania utrwalające
1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych
a) pięciokąta foremnego
b) dwunastokąta foremnego
c) piętnastokąta foremnego
2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę
a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg
3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 27 cm
r h=
3
2
ah =
6 3 3 3
2r = =
Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt
foremny jest roacutewna 3 3 cm
Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego
wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu
opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu
wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
44 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku
długości
a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm
5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm
6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm
7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości
a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm
8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym
a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ
9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu
roacutewnym
a) 224 3 cm b) 227 3 cm
2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm
10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm
11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm
12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu
a) 216 cmπ b) 2144 cmπ c) 280 cmπ d) 236 cmπ
13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 2 cmπ b) 8 cmπ c) 12 cmπ d) 16 cmπ
14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości
a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
4513 Wielokąty foremne
15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest
roacutewna
a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm
16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-
gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna
a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm
17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest
roacutewna
a) 10 cmπ b) 26 cmπ c) 12 cmπ d) 25 cmπ
18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu
a) 29 cmπ b) 264 cmπ c) 224 cmπ d) 2108 cmπ
19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości
a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm
20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-
nym
a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm
2 d) 2144 3 cm
21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-
gości
a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm
22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym
wielokącie gdy wielokąt jest
a) kwadratem o boku długości b
b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b
c) sześciokątem foremnym o boku długości b
Zadania do rozwiązywania w grupie
Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-
kąt foremny
a) Wykonajcie odpowiedni rysunek
b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew
c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
46 Rozdział CZĘŚĆ I
14 Krok do egzaminu
Zadania powtoacuterzeniowe
1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego
2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego
3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm
4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm
5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2
6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm
7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm
8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm
9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła
wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego
10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym
z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny
5
12
Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta
11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma
długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny
12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz
a) pole powstałego pierścienia kołowego
b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła
14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu
Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
47
60deg
14 Krok do egzaminu
15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury
a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny
6 cm
15 cm
16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu
17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314
18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm
19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg
Test
1 Oceń prawdziwość zdań
a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta
TAK NIE
b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta
TAK NIE
d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta
TAK NIE
e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu
TAK NIE
2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość
A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm
3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna
A 16 3
cm3
B 4 3 cm C
8 3 cm
3D 64 3 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm
48 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi
4 Pole koła jest roacutewne
A 27π cm2
B 36π cm2
C 144π cm2
D 48π cm2
5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna
A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm
6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia
okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna
A 10 3 cm B 15 cm C
15 3 cm
2D
13 cm
2
7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak
że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta
jest roacutewne
A 60 cm2
B 80 cm2
C 96 cm2
D 192 cm2
8 Na kwadracie o polu 196 cm2
opisano koło Długość okręgu jest roacutewna
A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm
9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego
troacutejkąta ma długość
A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm
10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-
nego w ten sześciokąt jest roacutewna
A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm
11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości
2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła
12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia
okręgu wpisanego w ten kwadrat
13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości
mdash ta długość wynosi 6 cm
a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur
b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat
do pola koła wpisanego w sześciokąt
12 cm
12 cm12 cm
10 cm
16 cm