W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf ·...

56
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Transcript of W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf ·...

Page 1: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

MECHANIKA 2

Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Page 2: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

PLAN WYKŁADÓW1. Podstawy kinematyki2. Ruch postępowy i obrotowy bryły3. Ruch płaski bryły4. Ruch złożony i ruch względny5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły6. Podstawy dynamiki7. Dynamiczne równania ruchu8. Drgania punktu materialnego9. Dynamika układu punktówmaterialnych10.Momenty bezwładności11.Praca, moc, sprawność, zasady zachowania12. Zasady pracy i energii13.Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego14.Teoria uderzenia

Page 3: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

LITERATURA

1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna,Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa1985.

2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 1985 .

3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa 1998 .

4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956.

Page 4: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Wykład 1

Podstawy kinematyki

Page 5: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

WPROWADZENIE

� KINEMATYKA – (kineo z greckiegoporuszam)jest to dział mechaniki opisujący ruch punktulub bryły, bez uwzględniania masy i przyczynwywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu).

� RUCH – określamy jako zmianę położenia ciałamaterialnego względem układu odniesienia (tj.względem innego ciała lub zbioru ciałuważanych za pozostające w spoczynku) wjednostce czasu.

Page 6: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

WPROWADZENIE

W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy

pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale

sztywne, kinematykę możemy podzielić na:

• Kinematykę punktu materialnego

• Kinematykę ciała sztywnego.

Page 7: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejnepołożenia poruszającego się punktu.Tor punktu mo że być lini ą prostą lub dowolną krzywą.

Rys. 1

Tor punktu

y

x

l

lTor krzywoliniowy

Page 8: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Droga, odległo ść

W mechanice przez drogę rozumiemy odcinek toru.

Odległość – długość odcinkałączącegodwa punkty .

Page 9: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Podział ruchu

� Ruch prostoliniowy jednostajny� Ruch prostoliniowy zmienny� Ruch krzywoliniowy jednostajny� Ruch krzywoliniowy zmienny

Page 10: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t).

Rys. 2

Położenie poruszającego się punktu P w przyjętymukładzie współrzędnych można określić przez x, y, z.Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t(czasu), to otrzymujemy:

Kinematyczne równania ruchu punktu

OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU

Page 11: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Jeżeli początek promienia rpokrywa się z początkiemukładu współrzędnych toskładowe wektora są równewspółrzędnym punktu P

Równania ruchu w postaci wektorowej

Rys. 3r x = x(t), r y = y(t), r z = z(t)

(t)r rρρ =

Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora

r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:

Page 12: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu∆t = t2 - t1, w

którympunkt przebył drogę ∆s = P1P2 .

Prędkość punktu materialnego

Przyrost wektora promienia wynosi∆r

zatem”

Rys. 4

Page 13: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Prędkość średnia

Prędkość średnia punktu jest ilorazem

przyrostu wektora ∆r do czasu ∆t w

którym ten przyrost nastąpił.

=vρ

Page 14: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Prędkość chwilową określagranica przy ∆t dążącym do zera

=vρ

Przyrost ∆r ma składowe ∆x, ∆y, ∆z stąd

Prędkość chwilowa

Page 15: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Wektor pr ędkości można zapisać w postaci:

kjivρ

&ρzyx ++=

222 zyx &&& ++=v

którego moduł wynosi:

Prędkość chwilowa

Page 16: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

W czasie∆t = t2 - t1, wektor pr ędkości zmienia się z v1 na v2 .

Przyspieszenie punktu materialnego

Przyrost wektora prędkościwynosi ∆v, zatem

Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenieśrednie punktu wyraża się jako ilorazprzyrostu pr ędkości ∆v przez przyrost czasu∆t.

Page 17: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Przyspieszenie chwilowe punktu

=aρ

Wiedząc, że przyrost prędkości ∆v ma składowe ∆vx, ∆vy, ∆vz,

stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać

Page 18: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Wektor przy śpieszenia można zapisać w postaci :

a jego moduł

Przyspieszenie chwilowe punktu

Page 19: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Ruchem prostoliniowym jednostajnymjest ruch punktu po torze prostoliniowym, który

odbywa się w taki sposób, że w jednakowych

przedziałach czasu t punkt przebywa takie same

odcinki drogi.

Ruch prostoliniowy jednostajny

Page 20: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Droga s jest liniową funkcj ą czasu, zatem

czyli

Stąd po scałkowaniu otrzymujemy

Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego

Page 21: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Rys. 6

czyli

Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego

Page 22: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Jeżeli prędkość jest liniową funkcj ą czasu, to ruch punktu jestjednostajnie zmienny.

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

Ruch prostoliniowy zmiennyJest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki

sposób,że w jednakowych przedziałach czasut punkt przebywa różne

odcinki drogi.

Page 23: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Równania ruch u prostoliniowego jednostajniezmienn ego

a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony

a < 0 ruch jednostajnie opóźniony

Przyśpieszenie

Prędkość

Droga

Page 24: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Ruch krzywoliniowy jednostajny

Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym

wektor pr ędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a

jego wartość nie zmienia się z czasem(zmienia się tylko jego

kierunek).

Page 25: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt α (ostry lub rozwarty).

Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którymwektor

prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek.

Ruch krzywoliniowy zmienny

Page 26: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Z rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego anprostopadłego do prędkości ma postać:

Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora pr ędkości.

Przyśpieszenie normalne

Page 27: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Składowa przyspieszenia w kierunku wektora

prędkości nazywana jest przyspieszeniemstycznym i

związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości.

Wartość at jest określona w postaci:

Przyśpieszenie styczne

Page 28: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego

a wartość tego wektora obliczamy z zależności

Wektor przy śpieszenia

Page 29: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem punktu materialnego mamy do czynienia:

an≠0, at ≠0 - Przyspieszenie całkowite jest nachylone

pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek pr ędkości.

an=0, at ≠0 - Całkowite przyspieszenie jest styczne do

toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.

Page 30: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

an≠0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek

prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym.

an=0, at =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru.

Wektor pr ędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.

Page 31: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Ruch jednostajny po okr ęguW ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem

jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych

odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P1P2, P2P3, P3P4,).

v

v

v

P3

P4

αr r

vP1

P2an

Rys. 13

Prędkość średnia punktu wyraża sięjako

Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii

czyli

P1 P2

P3

P4

Page 32: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Stosunek kąta α wyrażonego w radianach doczasu t, w którym ten kąt został zatoczony,nazywamy prędkością kątową.

Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia

Prędkość kątowa

Page 33: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy

liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty

Prędkość obrotowa

Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością obrotową [obr/min] zachodzi zależność

Page 34: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna at oznaczana przez ε ) określa zmianę wektora prędkości kątowej.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru.Występuje tylko składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:

Ruch zmienny po okręgu – przyśpieszenie kątowe

Page 35: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Przykład 1. Tarcza ośrednicy d=2r=20cmzaczyna obracać się

ruchemjednostajnie przyspieszonymz przyspieszeniemkątowym

ε=5 rad/s2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów

leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu.

ω

a

at

r

v

an

Rozwiązanie:

Dane: ε=5 rad/s2; r=0,1m Obliczyć : at i an po 10 sek. ruchu

Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi:

Przyśpieszenie normalne i styczne

Page 36: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jestrównaniami: x=40t, y=5t2. Obliczyć wartości przyspieszeniastycznego i normalnego w chwili t=3s.

Rozwiązanie:

dla t=3s

Składowe prędkości:

Składowe przyśpieszenia

Moduł wektora prędkości wynosi:

Moduł wektora przyśpieszenia:

Page 37: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

dla t=3s

Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności

dla t=3s

Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne

Page 38: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Przykład 3Narysować wykres s(t), v(t) oraz a(t) ilustrujący ruch ciała rzuconego pionowo w górę z prędkością początkową v0.

v0

Dane: v0, h0.

h0

Page 39: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

RozwiązanieWychodzimy z podstawowego równania:

v0

– przez cały czas trwania ruchu.

x

y

Ruch jednostajnie opó źniony.

Page 40: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Rozwiązanie

2twt

tw–g

0

a(t)

tw 2tw

v(t)

t

v0

0

–v0

Page 41: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Rozwiązanie

tw 2twt

s(t)

h0

hmax

Page 42: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

RozwiązanieObliczymy ponadto czas wznoszenia:

v0

Wyjdziemy z równania:

x

y

Page 43: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

RozwiązanieWysokość rzutu obliczymy z zależności:

v0

h max

Zatem:

x

y

Page 44: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Przykład 4Ruch ciała po gładkiej równi pochyłej, a następnie po gładkim torze poziomym.

a(t) = g a(t) = 0

parabola prosta

gładkie przejście (funkcja różniczkowalna)!!!

t

s(t)

Page 45: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Jak odczytywa ć z wykresu?1. Ruch jednostajny prostoliniowy:

v(t)

t

v0 > 0

0t0

v(t)

t

v0 < 0

0 t0

prędkość dodatnia – punkt oddala się od obserwatora.

prędkość ujemna – punkt zbliża się do obserwatora.

Page 46: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Jak odczytywa ć z wykresu?1. Ruch jednostajny prostoliniowy:

funkcja drogi rosnąca – punkt oddala się od obserwatora.

s(t)

t0t0

α

tgα > 0

s(t)

t0t0

α

tgα < 0

funkcja drogi malejąca – punkt zbliża się do obserwatora.

Page 47: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Jak odczytywa ć z wykresu?1. Ruch jednostajny prostoliniowy:

wartości funkcji drogi dodatnie –punkt porusza się po jednej stronie obserwatora.

s(t)

t0t0

α

s(t) > 0

wartości funkcji drogi ujemne –punkt porusza się po przeciwnej stronie obserwatora.

s(t)

t0 t0

s(t) < 0

Page 48: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Jak odczytywa ć z wykresu?2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó źniony):

funkcja prędkości rosnąca – punkt przyspiesza.

v(t)

t

tg α > 0

0t0

α

v(t)

t

tg α < 0

0t0

α

funkcja prędkości malejąca – punkt zwalnia.

Page 49: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Jak odczytywa ć z wykresu?2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó źniony):

wartość prędkości dodatnia – punkt oddala się od obserwatora.

v(t)

t

v(t) > 0

0t0

v(t)

t

v(t) < 0

0 t0

wartość prędkości ujemna – punkt zbliża się od obserwatora.

Page 50: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Jak odczytywa ć z wykresu?

Reguły są analogiczne jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Dodatkowo:

2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó źniony):

parabola wypukła – punkt przyspiesza.

α1

α2

α2

α1

parabola wklęsła – punkt zwalnia.

Page 51: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Przykład 5Mając dany wykres prędkości od czasu, narysować wykresa(t) oraz s(t). Wyznaczyć:� wartość przyspieszenia w każdymz przedziałów;� przebytą drogę na końcu każdego przedziału.Dane dodatkowe: s(0) = v1t1/2.

Page 52: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

RozwiązanieObliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytejdrogi w każdymz przedziałów:

0 < t < t1

α1

Prędkość ujemna, zatem punktzbliża się do obserwatora.

Page 53: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Rozwiązanie

t1 < t < 2t1

α1

Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytejdrogi w każdymz przedziałów:

α2

Page 54: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Rozwiązanie

Dla 2t1:

α1

Wartość położenia na końcu każdego z przedziałów:

α2

Dla t1:

prędkość malejąca –parabola wklęsła

prędkość rosnąca –parabola wypukła

Page 55: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Rozwiązanie

Wykres drogi od czasu:

t1 2t1

t

s(t)

0

2

v 11t

2

v 11t−

s1(t)

s2(t)

Page 56: W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności]fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~zmp/Dodatki/Mech/W01.pdf · LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Rozwiązanie

Wykres przyspieszenia od czasu:

t1 2t1t

a(t)

0

1

1v

t−

1

1v

t