w optyce rentgenowskiej - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w11_2015.pdf ·...

Problem fazowyw optyce rentgenowskiej

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015


Poprzednie wykłady

Na poprzednich wykładach pokazaliśmy, że dla pewnej geometrii rozpraszania zespolona amplituda fali rozproszonej na obiekcie E(q) jest proporcjonalna

do transformaty Fouriera jego gęstości elektronowej r(r)

k

rR

r(r) q=k-k’

Problem fazowy: sformułowanie*

*Dla prostoty zapisu, na tym wykładzie, znak proporcjonalności zamienimy na równość: jest to możliwe poprzez dobór odpowiednich jednostek.

Dlatego używamy symbolu F(q) a nie E(q)

Związek między amplitudą rozproszenia i strukturą obiektu

W eksperymencie mierzymy tylko natężenie.Informacja o fazach zostaje utracona.

Dysponujemy tylko modułem amplitudy:

Możemy odzyskać strukturę:

Odwracalności transformacji Fouriera:Nie możemy odzyskać struktury obiektu!

Obliczanie obrazu dyfrakcji dla znanej struktury jest proste.

Wyznaczenie struktury na podstawnie obrazu rozproszenia jest trudne!

Amplituda jest zespolona!


Problem fazowy

Im r

Re r

1) Bez faz nie wiemy jak dodać wszystkie wektory2) Pewne ułatwienie: w rezultacie musimy

wylądować w dodatniej części osi rzeczywistej

r(0)

Dla kryształu:(periodyczność)


Informacja zawarta w fazieCo tracimy ? przykład 1

Obiekt

moduł

faza

tylko moduł

tylko faza

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2010

obiekt

Informacja zawarta w fazieCo tracimy ? przykład 2

zamieniamytylko fazy

moduł faza

rekonstrukcja obiektu


Metody rozwiązywania problemu fazowy

Metody

matematycznenumeryczne

[dodatkowa wiedza o strukturze]

fizyczne[bezpośredni pomiar faz]

Obiekty

periodyczne[kryształy]

nieperiodyczne[nanostruktury

układy biologiczne]

Często inne podejście!


Q. Shen, Q. Hao, S.M. Gruner, Macromolecular Phasing, Physics Today 59, 46 (2006)

Rozwiązania problemu fazowego - kryształy

Bragg, Nobel 1915

Kendrew, Perutz, Nobel 1962

Hauptman, Karle, Nobel 1985

D. Hodkin, Nobel 1964

Autokorelacja i funkcja PattersonaZobaczmy co przyniesie bezpośrednia transformacja obrazu rozproszenia [natężeń]

Pamiętamy, że:

Nazwijmy nasze wyrażenie P(r)

Teraz je rozpiszmy:

Po uporządkowaniu:

Wykonujemy całkę po d3q

Ostatecznie:Jest to tzw. funkcja autokorelacji

(w krystalografii jest ona nazywana funkcją Pattersona i ma periodyczność sieci)



Autokorelacja i funkcja Pattersona - interpretacja

4-5

2-1

2-5

4-52-1

2-53

45

6

1 2

Prosta molekuła

Molekuła i jej kopia przesunięta o r

Niektóre punkty funkcji Pattersona

1) Piki w funkcji P(r) odpowiadają wektoromłączącym parę atomów.

2) Intensywność: iloczyn liczb atomowych pary. Niektóre piki odpowiadają wielu parom.

3) Bardzo silne maksimum dla r=0. Suma kwadratów liczb atomowych wszystkich atomów

(0,0)


Autokorelacja i funkcja Pattersona - interpretacja

Dla prostych struktur znajomość funkcji Pattersona pozwala na odgadnięciestruktury. Liczba pików dla molekuły składającej się z N atomów wynosi N2.Dla skomplikowanych struktur jest to mission-impossible. Dodatkowo dladużych molekuł funkcja Pattersona staję się kompletnie rozmyta – zbytdużo wektorów między atomowych.

Autokorelacja P(r)Molekuła r(r) |F(q)|2


Autokorelacja – skomplikowany obiekt

Autokorelacja P(r)Molekuła r(r)


Ciężki atom

Molekuła r(r) Autokorelacja P(r)

Zwiększony kontrast

Dla pojedynczego ciężkiego atomu (w małej molekule)funkcja Pattersona jest w przybliżeniu obrazem molekuły widzianym z pozycji ciężkiego atomu(+ jej punktowym odbiciem)

Ciężkie atomy

Autokorelacja P(r)Molekuła r(r)

Prosta molekuła z ciężkimi atomami

W takim przypadkudominującymi pikami w autokorelacji są piki ciężki-cięzki. Można od razu wyznaczyć ich względne położenia



MIR – Multiple isomorphous replacementwielokrotne podstawienie izomorficzne

Natywna molekuła (P) Ciężkie atomy (H) Pochodna izomorficzna (PH)

Do molekuły dodajemy ciężkie atomy lub kompleksy molekularne zawierające atomy [np. Au, Hg, U] i krystalizujemy .

Uwaga: nazwa ‘zamiana’ jest nieco myląca.

Zakładamy (lub oczekujemy), że nie zmienia to struktury molekuły. Stąd przymiotnik ‘izomorficzny’. Pomiary możemy wykonać dla kryształów

zawierających natywne i pochodne molekuły.

Przykład: mioglobina. Kendrew&Perutz, Nobel z Chemii 1962

MIR – pozycja ciężkich atomów

W pierwszym kroku musimy wyznaczyć położenia ciężkich atomów. Ponieważ ciężkich atomów jest niewiele to wystarczy wyznaczyć ich funkcję Pattersona.

Molekuła natywna Funkcja Pattersona

ciężkie atomy

Molekuła pochodna Funkcja Pattersona

Ponieważ liczba atomów w naszej molekule jest duża to w funkcji Pattersona PPH nie można zazwyczaj zidentyfikować pików ciężki-cięzki

Różnica funkcji Pattersona

Widoczne piki dla wektorów:atom molekuły – atom molekuły

Widoczne piki dla wektorów:atom molekuły – atom molekuły

atom ciężki – atom ciężkiatom ciężki – atom molekuły

Widoczne piki dla wektorów:atom ciężki – atom ciężki

atom ciężki – atom molekuły

Taka jakośćnie zawsze wystarcza!

Różnicowa mapa Pattersona

Na podstawie zmierzonych obrazów dyfrakcji, tworzymy następującą funkcję:

Wyraźne prążki + „szum”

Następnie definiujemy różnicową mapę Pattersona:

W wyniku otrzymaliśmy nieco zaszumioną funkcję Pattersona PH ciężkich atomów . Na jej postawie możemy stosunkowo łatwo wyznaczyć względne pozycje ciężkich atomów a w efekcie zespoloną amplitudę FH.

Uwaga nie jest to trywialne [patrz Drenth]:

Widzimy, że:


MIR- Różnicowa mapa Pattersona

Papainaenzym trawienny+ 1 atom Hg

natywna

pochodna izomorficzna

Principles of protein x-ray crystallographyJ. Drenth [pewna część dostępnaprzez googlebooks]


MIR- wyznaczenie struktury molekuły

Do pełnego wyznaczenia struktury musimy znać

Z pomiarów dyfrakcyjnych znamy:

Potrafimy wyznaczyć:

Jak wyznaczyć ?

Wiemy, że:

Zatem:

Dlatego:

Rozpisujemy:

kosinus to funkcja parzysta = nie znamy znaku tej różnicy


MIR- wyznaczenie struktury molekuły (obrazowo)

Im

Re

|FP| |FPH|

FH

diagram Arganda

Im

Re

|FP|

|FPH|-FH

-FH

Dwa przecięcia –dwie możliwe fazy


M(ultiple!)IR

Potrzebujemy jeszcze jedną pochodną izomorficzną

Im

Re-FH

-FH2

Jedno przecięcie!


Wymuszony, tłumiony oscylator harmoniczny •elektron w atomie jest związany•tłumienie np. promieniste

Dyspersja - przypomnienie

Poprawki dyspersyjne do amplitudy rozpraszaniana związanym elektronie.

Na tym wykładzie zakładaliśmy, że rozproszenie na krysztale jest spójną superpozycją rozproszenia na swobodnych elektronach opisanym

przez Thomsona.

Dla pojedynczego oscylatora

Całkowitą poprawkę uzyskuje się traktując atom jako zespół oscylatorów


MAD – multiple-wavelength anomalous diffraction

Niezwykle ważna metoda „fazowania” wykorzystująca dyspersję.

Poprawki dyspersyjne do amplitudy rozpraszania są ważne w pobliżu krawędzi absorpcji. Makromolekuły (białka itp) są zwykle złożone z lekkich pierwiastków

Metionina – jeden z aminokwasów budujących białka [zawiera siarkę]

Można w niej podmienićselen za siarkę bez znacznejzmiany w strukturzebiałka

Popularny przykład

http://pl.wikipedia.org/wiki/Grafika:Metionina.png

http://pl.wikipedia.org/wiki/Grafika:Metionina.png


Krawędź K selenu Z=34

MAD – multiple-wavelength anomalous diffraction

Idea metody: Przez zmianę energii w pobliżu krawędzi absorpcji możemy zmieniać fazę fal rozproszonych na atomach selenu. Powoduje to zmianę intensywności i faz

obserwowanych refleksów!


MAD – anomalna dyfrakcja - równania

Nierezonansowy czynnik struktury wszystkich atomów

Nierezonansowy czynnik struktury „anomalnych” atomów

Szereg Fouriera dla kryształu

wszystkie „normalne” atomy„anomalne”

Współczynniki szeregu [czyli zespolone amplitudy refleksów] liczymy sumując po wszystkich atomach


1

2

3

Nierezonansowy czynnik struktury wszystkich atomów

Nierezonansowy czynnik struktury „anomalnych” atomów

J.Als-Nielsen, Modern x-ray physics

MAD – anomalna dyfrakcja - pomiar

Wykonując pomiary dla trzech energii (długości fali) możemy jednoznacznie wyznaczyć 3 niewiadome. Później trochę podobnie jak z ciężkimi atomami w MIR.

Metodę można stosować jedynie na synchrotronach . Potrzeba przestrajalnego źródła X a sygnał jest mały.

znane nieznane


Inne metody „fazowania” dla kryształów

1) METODY BEZPOŚREDNIE Karle & Haumptman Nobel Chemia 1985czysto matematyczno/statystyczne –małe molekuły

2) Molecular Replacement -wielkie molekułyznamy mały fragment struktury. Próbujemy go obracać i przesuwać w obrębie molekuły. Przestrzeń poszukiwań 6D. Na szczęście można odseparować translację od rotacji.


Dyfrakcyjna mikroskopia rentgenowska„fazowanie spekli”


Twierdzenie Shannona o próbkowaniu

0

If an function f(r) (object) is known to vanish outside the interval (-a,a) then its Fourier transform is completely specified by the values sampled at kn=nDk , where Dk=p/a,

n=0,±1,.., ± . Hence, we can reconstruct the object from disretely sampled Fourier transform Fn=F(nDk). Sampling with Dk is reffered to as Nyquist ctitical sampling.


rmax=p/Dk

2kmax

Dk

Dk= DkNqst=p/rmax

FFT-1

2rmax

Próbkowanie nadmiarowe

Obraz dyfrakcyjny [zespolony] ObiektPróbkując obraz dyfrakcyjny zgodnie z kryterium Nyquistajesteśmy w stanie go w pełni odtworzyć.

Pamiętamy, że stosują próbkowanie niedomiarowe jesteśmy narażeni na aliasing

Co się stanie jeżeli zastosujemybardziej gęste próbki tj. próbkowanie nadmiarowe?

Odtwarzamy obiekt i „pusty” obszar wokół niego!

Dk= DkNqst/2

FFT-1

Tu zero!


Skończony nośnik

Jeżeli wiemy, że nasz obiekt ma skończony nośnik (tj. ograniczony do pewnego) obszaru. To ta dodatkowa informacja, przy zastosowaniu , nadmiarowego próbkowania może posłużyć do rozwiązania problemu fazowego. Strata części informacji o obiekcie , zawartej w fazie, jest rekompensowana przez dodatkową informacje o jego nośniku!

Warunki:

1) Nadpróbkowanie powinno być znaczne. [tym większe im większy szum]2) Musimy użyć koherentnego promieniowania. Droga koherencji musi być

większa niż obiekt + cała pusta przestrzeń wokół obiektu.3) Metody tej nie da się zastosować dla kryształów. Okazuje się, że piki

Bragga odpowiadają próbkowaniu Nyqista, komórki elementarnej.

przestrzeń odwrotna

przestrzeń rzeczywista

przestrzeń odwrotna

przestrzeń rzeczywista

S

S

Przykładowy iteracyjny algorytm odzyskiwania fazy

W każdej iteracji zerujemy ten obszar!

Wiemy, że obiekt zajmuje obszar

Demonstracja


„Spekle” rentgenowskie –koherentna dyfrakcja na obiektach nieperiodycznych

Układy biologiczne. Nie wszystko da się skrystalizować!

Bakteria [E.Coli] Eukariota [drożdże] Ludzki chromosom


Najbardziej obiecująca i rozwijana metoda obrazowania

rentgenowskiego w ciągu ostanich lat kilku lat

Ptychografia

Ptychochrafia


KONIEC

w optyce rentgenowskiej - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w11_2015.pdf ·...

Documents

Transcript of w optyce rentgenowskiej - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w11_2015.pdf ·...