VII siedlecki turniej wiedzy matematycznejZoty podzia od geometrii do algebryod algebry do geometriiOddzia Siedlecki Stowarzyszenia Nauczycieli MatematykiPracownia Dydaktyki Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczo Humanistyczny w SiedlcachSamorzdowe Centrum Doradztwa i Doskonalenia Nauczycieli w Siedlcachwww.scdidn.siedlce.plkonkursy

Ktry prostokt jest najadniejszy

Zoty poddzia odcinkaMoliwoci podziau odcinka jest bardzo wiele, lecz wrd nich jest jeden ktry by znany ju w staroytnoci.

Grecy uznali ten podzia za najbardziej estetyczny i nazwali go zotym podziaem odcinka.

Punkt dzielcy odcinek ley na nim w takim miejscu, e cay odcinek ma si do swojej wikszej czci jak wiksza cz do mniejszej czci odcinka.

a + b dugo odcinka a dugo duszej czcib dugo krotszej czci =(a+b):a=a:b

PentagramPentagram gwiazda pitagorejska, znany by ju staroytnym Grekom i Pitagorejczykom. Ju wtedy by uznawany za symbol doskonaoci.Dla pierwszych chrzecijan by on znakiem piciu ran Chrystusa, ze wzgldu na pi wierzchokw.Od XIV w. uwaany jest za symbol szatana.Niektrzy uwaaj, e pentagram jest symbolem bogini Wenus Uwaano, e pi wierzchokw symbolizuje pi ywiow

Waciwoci pentagramustosunek dugoci przektnej i boku piciokta foremnego opisanego na pentagramie jest zoty

Zoty prostokt Zoty prostokt to taki prostokt w ktrym stosunek duszego boku do krtszego jest liczb zot. Co ciekawe prostokt po odciciu od niego najwikszego moliwego kwadratu pozostaje nadal zoty. Po odciciu kwadratu dugo boku pozostaego prostokta wynosi a-x.

Stosunek bokw duego prostokta wynosi a maego . Jeli porwnamy te stosunki otrzymujemy zot proporcj.

Zota spirala Powtarzajc wielokrotnie operacj odcinania kwadratw ze zotego prostokta, otrzymujemy nieskoczenie wiele maych kwadratw. Kiedy wpiszemy w kwadraty wiartki okrgw otrzymujemy zot spiral.

Zota proporcja w przyrodzie i sztuce Wielu filozofw Greckich twierdzio, e zota liczba fi ( ) jest liczb bosk, zmierzon przez samego stwrc. Zota proporcja jest wszechobecna wokoo nas!

Zota proporcja w przyrodzieLiczba pszcz pci eskiej do trutni jakiegokolwiek ula na wiecie to liczba

Nasiona sonecznika rosn w dwch przeciwnych sobie spiralach. Stosunek rednic obrotu kolejnych spirali wynosi

Spiralnie ukadajce si patki szyszki sosny, ukad lici na odygach rolin, segmentacja owadw to wszystko wykazuje niesamowite posuszestwo liczbie To nie s jedyne przykady

Zota proporcja w sztuceLeonardo da Vinci by zafascynowany liczb . Umieszcza j praktycznie w kadym obrazie. Szczeglnym tego przykadem jest blado ty rysunek z nagim mczyzn Czowiek witruwiaski

Zot proporcj kierowali si take znani artyci tacy jak Micha Anio, Albrecht Durera i wielu innych

Sawne budowle w ktrych wystpuje zota proporcja to rzymski Pantenon, egipskie piramidy, Parntenon w Atenach

Zota proporcja w ciele czowiekaOdlego od czubka gowy do podogi podzielona przez odlego od ppka do podogi

Odlego midzy ramieniem a czubkiem palcw, podzielona przez odlego midzy okciem a czubkiem palcw

Odlego od biodra do podogi podzielona przez odlego od kolan do podogiStawy doni, palce u ng odlego midzy krgami wszystko to jest posuszne zotej proporcji, boskiej proporcji.

Ile wynosi

Zrozdzielnociw powyszej rwnoci dzielenia wzgldem dodawania wynika czyli1 + 1/=Mnoc obustronnie przezi przegrupowujc wyrazy, otrzymujemy rwnanie kwadratowe 1 = 0Ma ono dwa rozwizaniarzeczywiste

jedno z nich jest dodatnie: =(a+b):a=a:b

Jeszcze troch o przyrodzie

Konary i licie zachowuj zaleno1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55Cig Fibonaciego:

Co ma wsplnego Fibonacci ze zot liczb

Arkusz1

LpLiczby cigu FibonaciegoIloraz an/an-1

111

212

321.5

431.6666666667

551.6

681.625

7131.6153846154

8211.619047619

9341.6176470588

10551.6181818182

11891.6179775281

121441.6180555556

132331.6180257511

143771.6180371353

156101.6180327869

169871.6180344478

1715971.6180338134

1825841.6180340557

1941811.6180339632

2067651.6180339985

21109461.618033985

22177111.6180339902

23286571.6180339882

24463681.618033989

750251.6180339887

1213930

Zote proporcje w muzyce

Konstrukcja

DowdZ twierdzenia Pitagorasa

zatem b wynosi

zatem a/b daje

Konstrukcja prowadzi zatem do zotego podziau

Dzikuj za uwag