VI.1 Redukcja ruchu dwóch ciał w polu siły centralnej do...
Transcript of VI.1 Redukcja ruchu dwóch ciał w polu siły centralnej do...
Jan Królikowski Fizyka IBC 1
r. akad. 2005/ 2006
VI.1 Redukcja ruchu dwóch ciał w polu siły centralnej do ruchu jednego ciała w zewnętrznym polu siłyVI.2 Grawitacyjna energia potencjalna powłoki
kulistej i kuli
Jan Królikowski Fizyka IBC 3
r. akad. 2005/ 2006
Siła kulombowska
Siła działająca na ładunek Q2 ze strony ładunku Q1:
1 2 1221 2
0 12 12
1 Q Q rF4 r r
=πε
1r
2r12r
12F
1 12 2r r r+ =
21F
0
Q1
Q2
12 21F F= −
Jan Królikowski Fizyka IBC 4
r. akad. 2005/ 2006
Siła powszechnego ciążenia Newtona
Siła grawitacji działająca na ciało 2 ze strony ciała 1:
1r
2r12r
12F
1 12 2r r r+ =
21F
0
m1
m2
1 2 1221 2
12 12
Gm m rFr r
= −
12 21F F= −
12 2 1 21 12; = − = −r r r r r
Jan Królikowski Fizyka IBC 5
r. akad. 2005/ 2006
Równania ruchu środka masy
Dodając stronami uzyskujemy równanie ruchu środka masy:
( )( )
1 1 12 12
2 2 12 12
=
= −
m r F r
m r F r
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
0
+ += =
+
=
m r m r m r m rR
m m M
MR
Jan Królikowski Fizyka IBC 6
r. akad. 2005/ 2006
Równanie ruchu względnego
daje nam po odjęciu stronami:( )( )
1 1 12 12 2
2 2 12 12 1
= ⋅
= − ⋅
m r F r m
m r F r m
( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 122
12
21 1 1
1 222
− = +
=+
µ =
dm m r r m m F
d
r
t
rm m
Fm m
Ruch względny jest to ruch ciała o masie zredukowanej µw zewnętrznym polu siły
Jan Królikowski Fizyka IBC 7
r. akad. 2005/ 2006
Równanie toru jest stożkową w zmiennej r=r21
Z Cz. V.4 wiemy, ze równanie toru w polu siły grawitacyjnej jeststożkową:
Ognisko stożkowej znajduje sięw Środku Masy układu dwóchciał.
( )
( )
0
0
1 1 cos
1 cos
ε= + φ−φ
=+ ε φ−φ
r p pp
r
2 11 21 2 21
1 2 1 2
; = = −+ +
m mr r r r
m m m m
1r
2r12r
12F
1 12 2r r r+ =
21F
0
m1
m2
ŚM
R
Jan Królikowski Fizyka IBC 8
r. akad. 2005/ 2006
Całkowanie wzoru Bineta dla siły grawitacyjnejMamy:
Wzór Bineta:
Ma rozwiązanie w postaci krzywej stożkowej ogniskiem w centrum siły:
Charakter stożkowej zależy od wartości mimośrodu ε:
1. ε < 1‐ elipsa2. ε = 1 parabola‐ krzywa zmierza do nieskończoności dla φ = φ 0+π
3. ε > 1‐ hiperbola‐ krzywa zmierza do nieskończoności dla φ = φ 0+arccos(1/ ε)
( ) 2 2
α= − = −
GmMF r
r r
2
2 2
1 1 1µα⎛ ⎞ + = =⎜ ⎟φ ⎝ ⎠dd r r L p
( )
( )
0
0
1 1 cos
1 cos
ε= + φ−φ
=+ ε φ−φ
r p pp
r
2
2
2 2= 1 1ε + = +µα α
L pEE
Jan Królikowski Fizyka IBC 9
r. akad. 2005/ 2006
Stożkowe
Problem Keplera: ruch w ŚM dla ciała o różnych E ale tym samym L
Jan Królikowski Fizyka IBC 10
r. akad. 2005/ 2006
Elipsa E<0
1 2max min 2
2
221 2
2221
ε =
= + = =− ε
= =µ− ε
rAB
p Gm ma r r
E
p Lb
E
Jan Królikowski Fizyka IBC 12
r. akad. 2005/ 2006
VI.2
Pokażemy, że siła grawitacyjna pochodzącą od jednorodnej powłoki kulistej lub kuli jest na zewnątrz powłoki taka sama jak pochodząca od punktu materialnego o masie powłoki lub kuli umieszczonego w środku.Obliczymy grawitacyjną energię potencjalną dla powłoki/ kuli. Rachunki będziemy prowadziliwe współrzędnych sferycznych.
R
θRsin θ
θd θRd
Jan Królikowski Fizyka IBC 14
r. akad. 2005/ 2006
cd
Powierzchnia pierścienia pomiędzy kątami biegunowymiθ a θ+dθwynosi:
Zaś objętość powłoki o grubości dR jest:
R
θRsin θ
θd θRd
2 22 sin 2 sin 2 cos= π⋅ θ⋅ θ = π⋅ θ θ = π⋅ θdA R Rd R d R d
22 cos= ⋅ = π ⋅ θdV dA dR R dR ddR
RsinθRdθ
Jan Królikowski Fizyka IBC 15
r. akad. 2005/ 2006
cd
r
Będziemy obliczać energię potencjalną w punkcie P odległym od środka powłoki o promieniu R o a. W P umieszczamy masę m.Masa powłoki M=4πR2σ, gdzie σ jest gęstością powierzchniowąmasy.Punkt na powłoce umieszczony pod kątem θ od linii OA znajduje się w odległości r od P; z tw. cosinusów:
Rachunki trzeba przeprowadzić osobno wewnątrz i na zewnątrz powłoki.
a
R
2 2 2 cos= + − θr a R aR
θP
Jan Królikowski Fizyka IBC 16
r. akad. 2005/ 2006
cd. Na zewnątrz powłoki
Wkład do energii potencjalnej elementu powierzchni dA wynosi:
( )
( )
2
2 2
2 2
2 20
1 22 2
2 21
2 cos2 cos
2 cos2 cos
2 42 22
π
−
σ σ π θ= − = −
+ − θσ π θ
= − =+ − θ
π σ= −
= = −
π σ = − π σ = −+ −
= −
∫
∫
p
p
p
dA Gm R ddE Gm
r a R aRGm R d
E aa R aR
dx RR Gm R Gm G
E GMV a
ma aa R aR
M
m
xG m
a
a
Pole jest takie jak od punktu materialnegoo masie M w początku układu
Jan Królikowski Fizyka IBC 17
r. akad. 2005/ 2006
cd. Wewnątrz powłoki
Dostajemy bardzo podobne wyrażenie tylko całka po kątach wynosi nie 2/a, a 2/R. Potencjał wewnątrz powłoki jest więc stały i wynosi:
Oznacza to, że siła przyciągania grawitacyjnego wewnątrz jednorodnej powłoki kulistej znika!
( ) = −GMV a
R