PESEL:

Uniwersytet Warszawski

Wydziaª Matematyki, Informatyki

i MechanikiEgzamin wst¦pny na studia II stopnia

na kierunku INFORMATYKA

30 czerwca 2012 roku

Czas rozwi¡zywania: 150 minut

W ka»dym spo±ród 30 zada« podane s¡ trzy warianty: (a), (b) oraz (c). W kratce przy ka»dymz wariantów nale»y odpowiedzie¢, czy jest on prawdziwy, wpisuj¡c drukowanymi literami TAKalbo NIE. W przypadku omyªkowego wpisu kratk¦ nale»y przekre±li¢ i napisa¢ jedno z tych sªówpo jej lewej stronie.

Przykªad poprawnego rozwi¡zania zadania

4. Ka»da liczba caªkowita postaci 10n − 1, gdzie n jest caªkowite i dodatnie,

(a)TAK dzieli si¦ przez 9;

(b)NIE jest pierwsza;

(c)TAK jest nieparzysta.

Na stronach testu mo»na pisa¢ wyª¡cznie we wskazanych wy»ej miejscach i jedynie sªowa TAK

oraz NIE. Pisa¢ nale»y dªugopisem lub piórem.

Zasady punktacji

Zdaj¡cy zdobywa punkty "du»e"(od 0 do 30) i punkty "maªe"(od 0 do 90):

• jeden punkt "du»y" kandydat uzyskuje za zadanie, w którym poprawnie wskazaª prawdzi-wo±¢ albo faªsz ka»dego z trzech zwi¡zanych z tym zadaniem wariantów odpowiedzi;

• jeden punkt "maªy" kandydat uzyskuje za ka»de poprawne wskazanie prawdziwo±ci albofaªszu pojedynczego wariantu odpowiedzi. Oznacza to, »e 3 "maªe" punkty uzyskane w jed-nym zadaniu skªadaj¡ si¦ na jeden "du»y" punkt.

Ostatecznym wynikiem egzaminu jest liczba

W = D +m/100

gdzie D oznacza liczb¦ "du»ych", a m liczb¦ "maªych" punktów. Na przykªad: 5,50 oznacza,»e kandydat poprawnie wskazaª w caªym te±cie prawdziwo±¢ albo faªsz ª¡cznie 50 wariantówodpowiedzi, w tym ka»dego z trzech wariantów dla pewnych pi¦ciu zada«.

Zasadnicz¡ rol¦ w ostatecznym wyniku testu maj¡ punkty "du»e". Punkty "maªe" zwi¦k-szaj¡ rozdzielczo±¢, je±li wielu kandydatów dostaªo tyle samo "du»ych" punktów.

Powodzenia!

1. Ci¡g okre±lony dla n ≥ 1 wzorem

(1 +

1

4n

)(2n)

jest

(a) zbie»ny do 1;

(b) rosn¡cy, pocz¡wszy od pewnego miejsca;

(c) ograniczony.

2. Funkcja f : (0; 1) −→ R zadana wzorem f(x) =√| sinx|

(a) jest ró»niczkowalna;

(b) jest ci¡gªa i osi¡ga swój kres górny;

(c) ma pochodn¡ ograniczon¡.

3. Funkcja f : R→ R jest zadana wzorem f(x) =∑∞

n=1sin(nx)

n3 . Wynika z tego, »e

(a) funkcja f jest ograniczona na R;

(b) funkcja f jest ró»niczkowalna na R;

(c) speªniona jest nierówno±¢ 16 > f ′(0) > 116.

4. W przestrzeni liniowej P3|R wielomianów rzeczywistych stopnia mniejszego ni» 3 dane s¡

wielomianyp1(t) = 1, p2(t) = 1 + t2, p3(t) = 1 + t+ t2.

Wynika z tego, »e

(a) ukªad (p1, p2, p3) stanowi baz¦ przestrzeni P3|R;

(b) je±li q(t) jest wielomianem stopnia pierwszego, to ukªad (p1, p2, q) jest liniowoniezale»ny;

(c) macierz A = (pi(j))3i,j=1 jest nieosobliwa.

5. Niech R3 b¦dzie przestrzeni¡ euklidesow¡ ze zwykªym iloczynem skalarnym (~x, ~y) =x1y1 + x2y2 + x3y3 i niech Y b¦dzie podprzestrzeni¡ wszystkich ~x ∈ R3 speªniaj¡cychukªad równa«

x1 − x2 = 0x2 − x3 = 0

Wynika z tego, »e

(a) zbiór wektorów prostopadªych do Y jest podprzestrzeni¡ o wymiarze 1;

(b) istnieje prostopadªy do Y wektor ~z 6= ~0, dla którego z1 = z3;

(c) rzutem prostopadªym wektora [1, 0,−1]T na podprzestrze« Y jest wektor ze-rowy.

6. Niech A b¦dzie dowolnym zbiorem i niech s, r ⊆ A× A b¦d¡ relacjami. Je±li s i r s¡

(a) zwrotne, to s ∪ r jest relacj¡ zwrotn¡;

(b) symetryczne, to s ∪ r jest relacj¡ symetryczn¡;

(c) przechodnie, to s ∪ r jest relacj¡ przechodni¡.

7. Zbiór A ma moc ℵ0. Wynika z tego, »e w cz¦±ciowym porz¡dku 〈P(A),⊆〉

(a) ka»dy podzbiór ma kres górny;

(b) istnieje ªa«cuch o mocy continuum;

(c) istnieje antyªa«cuch o mocy continuum.

8. Niech f : A → B b¦dzie funkcj¡ na B i niech sA b¦dzie relacj¡ równowa»no±ci naA. Przez f−1(X) oznaczamy przeciwobraz X przy f . Nast¦puj¡ca relacja r jest relacj¡równowa»no±ci na B:

(a) b r b′ wtedy i tylko wtedy, gdy f−1(b)∪f−1(b′) jest pewn¡ klas¡ abstrakcjirelacji sA;

(b) b r b′ wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¡ a, a′ ∈ A takie, »e a ∈ f−1(b)i a′ ∈ f−1(b′) oraz a sA a′;

(c) b r b′ wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dych a, a′ ∈ A takich, »e a ∈ f−1(b)i a′ ∈ f−1(b′), zachodzi a sA a′.

9. Funkcj¡ tworz¡c¡ A(x) ci¡gu 〈(n+ 1)2n〉∞n=0 jest

(a)1

(1− 2x)(1− x);

(b)d

dx

1

1− 2x;

(c)

∫ x

0

dt

1− 2t.

10. Graf G ma cykl Eulera, ale nie ma cyklu Hamiltona. Wynika z tego, »e

(a) dopeªnienie grafu G ma cykl Hamiltona;

(b) G ma ±cie»k¦ Hamiltona;

(c) G ma wi¦cej ni» jedn¡ dwuspójn¡ skªadow¡.

11. Istnieje przestrze« probabilistyczna Ω i zdarzenia A,B ⊆ Ω takie, »e P (A) = P (B) = 23

oraz

(a) A i B s¡ niezale»ne;

(b) P (A|B) = 13;

(c) P (A|B) 6= P (B|A);

12. Ci¡g δ = 〈δ1, δ2, . . . , δn〉 nazywamy k-uporz¡dkowanym rosn¡co, gdy ka»dy jego podci¡gzªo»ony z elementów odlegªych o k jest uporz¡dkowany rosn¡co, tzn. δi < δi+k dlai = 1, 2, . . . , n− k. Ci¡g δ mo»na uporz¡dkowa¢ wykonuj¡c O(n) porówna«, gdy jest on

(a) jednocze±nie 2- i 3-uporz¡dkowany;

(b) 2012-uporz¡dkowany;

(c) blog nc-uporz¡dkowany.

13. W zbiorze AVL-drzew o 10 w¦zªach

(a) istnieje drzewo o wysoko±ci (czyli najwi¦kszej liczbie kraw¦dzi od korzenia doli±cia) równej 4;

(b) ka»de drzewo ma wysoko±¢ co najmniej 3;

(c) maksymalna ró»nica liczb w¦zªów podrzew korzenia wynosi 5.

14. Relacja R ma kolumny A,B,C,D,E i zale»no±ci funkcyjne A→ BC, CA→ D, B → E.Wynika z tego, »e

(a) relacja R ma dokªadnie trzy klucze;

(b) relacja R jest w trzeciej postaci normalnej;

(c) schemat relacji R daje si¦ sprowadzi¢ do postaci Boyce'a-Codda z zachowaniemzale»no±ci funkcyjnych i informacji.

15. Dane s¡ relacje R i Q, ka»da zawieraj¡ca dokªadnie n krotek. Wynika z tego, »e relacjaR ./ Q (zª¡czenie naturalne R i Q) ma

(a) co najmniej n krotek;

(b) co najwy»ej n2 krotek;

(c) dokªadnie 2n krotek.

16. Regularny jest j¦zyk nad alfabetem a, b zªo»ony ze wszystkich sªów, w których ka»depodsªowo

(a) dªugo±ci trzy wyst¦puje parzyst¡ liczb¦ razy;

(b) dªugo±ci wi¦kszej ni» trzy wyst¦puje parzyst¡ liczb¦ razy;

(c) wyst¦puje równie» jako preks.

17. Problem stopu dla maszyn Turinga jest

(a) w klasie NP;

(b) cz¦±ciowo rozstrzygalny;

(c) rozstrzygalny.

18. Dla j¦zyka L, niech Ψ(L) oznacza zbiór dªugo±ci sªów z j¦zyka L. Istnieje taki j¦zykbezkontekstowy L, dla którego Ψ(L) jest zbiorem

(a) liczb naturalnych podzielnych przez 11;

(b) kwadratów liczb naturalnych;

(c) sze±cianów liczb naturalnych.

19. W grae przydziaªu zasobów istnieje cykl. Wynika z tego, »e

(a) system jest w stanie blokady;

(b) system jest w stanie bezpiecznym;

(c) istnieje proces oczekuj¡cy na zasoby.

20. Procesy P1 i P2 s¡ synchronizowane algorytmem Petersona. Wynika z tego, »e

(a) P1 i P2 wchodz¡ do sekcji krytycznej na zmian¦;

(b) P1 wejdzie kiedy± do sekcji krytycznej;

(c) w dowolnym momencie w sekcji krytycznej przebywa co najwy»ej jeden proces.

21. Zmienna x jest zmienn¡ globaln¡ o warto±ci pocz¡tkowej 0. W systemie wykonuj¡ si¦wspóªbie»nie dwa procesy o nast¦puj¡cej tre±ci:

process P;

var i: integer;

begin

for i := 1 to 5 do x := x + 1;

end;

Po zako«czeniu wykonania obu procesów warto±¢ zmiennej x jest

(a) równa 10;

(b) niemniejsza ni» 5;

(c) mniejsza ni» 10.

22. Dany jest program w C++:

1 #include <iostream>using namespace std ;

3 class A public :

5 void m1( ) cout << 'A ' ; virtual void m2( ) cout << 'B ' ;

7 virtual void m3( ) cout << 'C ' ; ;

9class B: public A

11 public :void m1( ) cout << 'D' ;

13 void m2( ) cout << 'E ' ; ;

15class C: public B

17 public :void m3( ) cout << 'F ' ;

19 ;

21 int main ( ) A∗ a = new B() ;

23 a−>m1( ) ;a−>m2( ) ;

25 a−>m3( ) ;

(a) Wywoªanie metody a->m1() spowoduje wypisanie znaku A.

(b) Wywoªanie metody a->m2() spowoduje wypisanie znaku B.

(c) Wywoªanie metody a->m3() spowoduje wypisanie znaku C.

23. Rozwa»amy programy napisane w Javie. Je»eli klasa A jest nadklas¡ B, to w tre±ciklasy B

(a) trzeba zdeniowa¢ wszystkie metody zdeniowane w klasie A;

(b) mo»na zdeniowa¢ metody o innych nagªówkach ni» metody zdeniowane w kla-sie A;

(c) mo»na zdeniowa¢ metod¦ o takim samym nagªówku jak metoda zdeniowanaw klasie A, ale z w¦»sz¡ widoczno±ci¡ ni» byªa podana w metodzie z klasy A.

24. W strukturze relacyjnej, której no±nikiem jest zbiór liczb caªkowitych, a wszystkie sym-bole operacji i relacji maj¡ standardowe znaczenie, formuªa logiki Hoare'a

x < a while x 6= 0 do x := x + 1 x = 0

(a) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy a = 1;

(b) jest prawdziwa dla a = 1;

(c) jest prawdziwa dla ka»dego a.

25. Dana jest funkcja

function coto(n:Integer):Integer;

begin

if n=0 then coto := 1

else if n>0 then coto := coto(n-1)+coto(-n)

else coto:=coto(n+1)-1

end;

Przypisanie y:=coto(x) spowoduje, »e b¦dzie zachodzi¢ zale»no±¢

(a) |y| ≥ |x|;

(b) y ≤ 1;

(c) je±li x = −2012, to y = −2011.

26. Dla danego stylu (nie s¡ stosowane »adne inne style):

div color: yellow;

div p color: red;

div.p color: green;

p#id color: green;

.x#id color: black;

i fragmentu HTML

<body><div class="x"><p id="id">XXX</p><p>YYY</p>ZZZ</div></body>

(a) napis XXX ma kolor zielony;

(b) napis YYY ma kolor czerwony;

(c) napis ZZZ ma kolor »óªty.

27. W czterech kolejnych bajtach pami¦ci, pocz¡wszy od adresu X, znajduj¡ si¦ odpowiedniowarto±ci 1, 3, 5 i 7. Procesor cienkoko«cówkowy (ang. little-endian) wczytaª 32-bitow¡liczb¦ spod adresu X, odj¡ª od niej (16)10 i zapisaª wynik pod adresem X. Po tychoperacjach bajt o adresie

(a) X zawiera warto±¢ (F1)16;

(b) X + 1 zawiera warto±¢ (03)16;

(c) X + 2 zawiera warto±¢ (05)16.

28. Pewien procesor u»ywa jednopoziomowego mechanizmu stronicowania. Rozmiar tablicystron jest równy rozmiarowi strony. Jeden wpis w tablicy stron zajmuje 4 bajty. Adreswirtualny ma 32 bity. Wynika z tego, »e w tym procesorze

(a) strona ma rozmiar 4 KiB;

(b) górne ograniczenie na rozmiar pami¦ci zycznej wynosi 4 GiB;

(c) procesowi mo»na przydzieli¢ co najwy»ej 32768 stron.

29. W nagªówku TCP znajduje si¦

(a) numer portu nadawcy;

(b) adres IP odbiorcy;

(c) 32-bitowy numer kolejny pakietu.

30. Od kryptogracznej funkcji skrótu f wymagamy, aby dla danego x trudne obliczeniowobyªo znalezienie takiego y 6= x, »e

(a) f(f(y)) = x;

(b) f(x) = f(y);

(c) f(y) = x.