Układy dynamicznena miarach

Wykłady

nr 95

Andrzej Lasota

Układy dynamicznena miarach

Wykłady

Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2008

Redaktor serii: Matematyka

Roman Ger

Recenzent

Józef Myjak

Z maszynopisudla Wydawnictwa Uniwersytetu Śląskiego

przygotował

Doktor Henryk Gacki

Spis treści

Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Rozdział 1. Miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1. Podstawowe pojęcia, oznaczenia i fakty . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Twierdzenie Riesza–Skorochoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. Słaba zbieżność ciągów miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4. Twierdzenie Aleksandrowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5. Metryki w przestrzeni miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.6. Słaba zbieżność miar a zbieżność ich nośników . . . . . . . . . . . . . . 55

Rozdział 2. Multifunkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1. Przegląd podstawowych faktów dotyczących multifunkcji orazmultifunkcji mierzalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2. Twierdzenia Kuratowskiego–Rylla-Nardzewskiego . . . . . . . . . . . . 702.3. Multifunkcje półciągłe z dołu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4. Repetytorium topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5. Twierdzenia Michaela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Rozdział 3. Operatory Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1. Podstawowe pojęcia i ich własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2. Operatory Fellera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3. Podstawowe wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa . . . . . . . 1083.4. Operatory przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5. Nośniki funkcji przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.6. Własności wiążące operatory Markowa i nośniki funkcji przejścia . . . 145

5

Rozdział 4. Stabilność zbiorów i operatorów Markowa . . . . . . . . . . 157

4.1. Semistabilność i asymptotyczna stabilność zbiorów . . . . . . . . . . . 1574.2. Kryteria semistabilności i asymptotycznej stabilności . . . . . . . . . . 1634.3. Metryka Wassersteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.4. Dodatkowe wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa . . . . . . . . 1894.5. Procesy Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Rozdział 5. Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.1. Zupełność przestrzeni miar skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.2. Preliminaria topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Przedmowa

Układy dynamiczne na miarach to zapis wykładów zmarłego w grudniu2006 roku matematyka Andrzeja Lasoty. Profesor A. Lasota był nie tylko wy-bitnym uczonym – profesorem Uniwersytetu Śląskiego, członkiem rzeczywi-stym Polskiej Akademii Nauk, czynnym członkiem Polskiej Akademii Umie-jętności, doctorem honoris causa Uniwersytetu Śląskiego, by wspomnieć kilkazaszczytnych wyróżnień – lecz także znakomitym wykładowcą, wychowawcąwielu pokoleń polskich matematyków. Swych uczniów hojnie obdarzał nowymipomysłami i matematycznymi ideami, zachęcając tym samym do precyzji i kla-rowności wywodu. Każdą z uprawianych przez siebie dziedzin matematyki:teorię równań różniczkowych, teorię prawdopodobieństwa czy zastosowań ma-tematyki, ubogacił głębokimi wynikami, które, co zgodnie przyznają wnikliwiczytelnicy prac Profesora, cechuje prostota i pomysłowość. Ogromna kulturaosobista i inteligencja – jak celnie zauważył w swej recenzji w związku z przy-znaniem Profesorowi A. Lasocie tytułu doctora honoris causa UniwersytetuŚląskiego Profesor Stanisław Łojasiewicz – pozwoliły Mu dostrzec proste roz-wiązania problemów, z którymi zmagali się matematycy na całym świecie.Stylu pracy Profesora, a więc połączenia klarowności wykładu z ogromnąpomysłowością, doświadczą czytelnicy Układów dynamicznych na miarach.Wykłady Profesora przyciągały liczne rzesze studentów i doktorantów Uni-wersytetu Śląskiego, a dziś za sprawą Jego uczniów: Doktor J. Jaroszewskieji Doktora H. Gackiego, którzy podjęli się trudu przygotowania niniejszegoskryptu do druku, będą mogły trafić do szerszego kręgu odbiorców. GorącoIm dziękuję za podjęcie inicjatywy wydania wykładów Profesora A. Lasoty.Serdeczne podziękowania kieruję także na ręce Pana prof. dr. hab. RomanaGera za życzliwość i pomoc, które doprowadziły do realizacji tego przedsię-wzięcia.

Tomasz Szarek

7

Wprowadzenie

Niniejszy podręcznik omawia związki dynamiki miar i zbiorów. Przykładypodejmowanej tematyki ilustruje następująca tabela.

ZBIORY MIARYzbieżność

Kuratowskiegozbieżność słaba

multifunkcje mierzalne

twierdzeniao selekcji

−−−−−−−−−−−−−−→Kuratowskiego–Rylla-

-Nardzewskiego

mierzalne operatoryMarkowa (regularne)

multifunkcje mierzalnepółciągłe z dołu

twierdzeniao selekcji−−−−−−−−→Michaela

operatoryMarkowa–Fellera

multifunkcjesemistabilne

teoria−−−−−−−−−−→Oxtoby′ego

stabilne operatoryMarkowa (kontrprzykłady)

Materiał podzielony został na pięć rozdziałów. Pierwszy rozdział omawiasłabą zbieżność ciągów miar, zbieżność ciągów zbiorów, a także relacje międzyasymptotycznym zachowaniem ciągów miar i ciągów ich nośników. Drugi roz-dział porusza tematykę związaną z multifunkcjami. Formułujemy w nim kryte-ria istnienia selekcji spełniających pewne dodatkowe warunki. Trzeci rozdziałjest wprowadzeniem do teorii operatorów Markowa, natomiast w czwartympodjęto problematykę semistabilności i asymptotycznej stabilności multifunk-cji oraz asymptotycznej stabilności operatorów Markowa.

9