Henryk Paw³owski

Zadania dla uczniówszkó³ podstawowychi gimnazjów

Olimpiady i konkursy

matematyczne

strona – 1 — czarny

Henryk Paw³owski

Olimpiady i konkursy matematyczne

Zadania dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów

Redaktor wydania:

Zdzis³aw G³owacki

Korekta merytoryczna:

Pawe³ Rochman, Tomasz Szumny

Redakcja techniczna, opracowanie graficzne, ³amanie i przygotowanie do druku:

Robert Ciechanowski, RC PRO (www.rc-pro.eu)

Projekt ok³adki:

Miros³aw G³odkowski, Zdzis³aw G³owacki

Ilustracja na ok³adce:

Katarzyna Danielewska

Korekta:

Iwona Cieœlak

Ksi¹¿ka ta jest kontynuacj¹ wydanego wczeœniej zbioru Na olimpijskim szlaku. Zadania dla

kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i w gimnazjach. Przeznaczona jest g³ówniedla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów, chocia¿ niektóre jej rozdzia³y mog¹ okazaæ siêpomocne równie¿ w pracy pozalekcyjnej z licealistami.

Wszystkie prezentowane w niniejszym zbiorze zadania pochodz¹ z olimpiad i konkursówmatematycznych organizowanych w wielu krajach dla uczniów szkó³ podstawowych — tak¿ew klasach najm³odszych. Maj¹ ró¿ny stopieñ trudnoœci, niektóre charakter ³amig³ówek. ¯adnezaœ nie wymaga wiedzy wykraczaj¹cej poza obowi¹zuj¹cy program szkolny matematyki.

© Copyright by Oficyna Wydawnicza „Tutor”

Wydanie III. Toruñ 2011 r.

Oficyna Wydawnicza „Tutor”

87-100 Toruñ, ul. Warszawska 14/2, tel./fax 56 65-999-55, 56 66-408-66Wysy³kowa Ksiêgarnia Internetowa: www.tutor.edu.pl

ISBN 978-83-89563-48-4

strona – 2 — czarny

Spis treœci

Od Autora 5

Rozdzia³ 1Zadania — figielki 7

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 1Zadania — figielki 10

Rozdzia³ 2Zadania arytmetyczne 13

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 2Zadania arytmetyczne 21

Rozdzia³ 3Dzia³ania na u³amkach 31

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 3Dzia³ania na u³amkach 40

Rozdzia³ 4W³asnoœci liczb 57

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 4W³asnoœci liczb 65

Rozdzia³ 5Diagramy, rebusy i inne ³amig³ówki 83

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 5Diagramy, rebusy i inne ³amig³ówki 94

Rozdzia³ 6Zadania geometryczne 107

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 6Zadania geometryczne 130

strona – 3 — czerwonystrona – 3 — czarnystrona – 3 — niebieski

Rozdzia³ 7Nierównoœci 164

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 7Nierównoœci 169

Rozdzia³ 8Zadania ró¿ne 182

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 8Zadania ró¿ne 186

Ma³e vademecum pocz¹tkuj¹cego olimpijczyka 197

1. Arytmetyka i algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1.1. Elementy teorii podzielnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1.2. Przydatne to¿samoœci i nierównoœci . . . . . . . . . . . . . . 201

1.3. Symbol Newtona, dwumian Newtona i trójk¹t Pascala . . . . . . . 203

1.4. Wartoœæ bezwzglêdna liczby rzeczywistej . . . . . . . . . . . . 205

1.5. Czêœæ ca³kowita (cecha) i czêœæ u³amkowa (mantysa)

liczby rzeczywistej x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

2. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

2.1. Elementy geometrii trójk¹ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

2.2. Okr¹g i prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

2.3. W³asnoœci ³uków i ciêciw okrêgu . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.4. K¹ty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

2.5. Czworok¹ty wpisane w okr¹g . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

2.6. Dwa okrêgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

2.7. Kilka faktów o trapezie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

2.8. n-k¹ty (n ³ 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

2.9. Twierdzenie Talesa i doñ odwrotne . . . . . . . . . . . . . . . 224

2.10. Geometryczny dowód zale¿noœci miêdzy œrednimi

dwóch liczb dodatnich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

2.11. Bry³y Platona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Literatura 227

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Ksi¹¿ki, po które warto siêgn¹æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

strona – 4 — czerwony strona – 4 — czarny strona – 4 — niebieski

Ksi¹¿ka ta jest kontynuacj¹ wydanego wczeœniej zbioru Na olimpijskim szlaku.

Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i w gimnazjach. Prze-znaczona ona jest g³ównie dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów, chocia¿niektóre jej rozdzia³y mog¹ okazaæ siê pomocne równie¿ w pracy pozalekcyjnejz licealistami.

Wszystkie prezentowane w niniejszym zbiorze zadania pochodz¹ z zagranicznycholimpiad i konkursów matematycznych organizowanych w wielu krajach dla uczniówszkó³ podstawowych — tak¿e w klasach najm³odszych. Maj¹ ró¿ny stopieñ trudnoœci.Wiele z tych zadañ ma charakter ³amig³ówek. ¯adne zaœ nie wymaga wiedzy wykra-czaj¹cej poza obowi¹zuj¹cy program szkolny matematyki.

W ksi¹¿ce tej znajdziemy zadania, które nie tylko znakomicie przygotuj¹ ucznia doudzia³u w olimpiadzie, ale tak¿e uatrakcyjni¹ lekcje czy zajêcia ko³a.

Pozwalam sobie mieæ tak¿e nadziejê, ¿e praca z t¹ ksi¹¿k¹ rozbudzi zainteresowa-nia matematyczne ucznia oraz rozwijaæ bêdzie jego uzdolnienia w tym zakresie.

Na koniec pragnê serdecznie podziêkowaæ Panu Zdzis³awowi G³owackiemuza podjêcie siê trudu wydania tej ksi¹¿ki, moim uczniom: Paw³owi Rochmanowii Tomaszowi Szumnemu za wnikliw¹ korektê oraz tym wszystkim, którym zawdziêczaona swój ostateczny kszta³t.

Toruñ, 18 czerwca 2001 r.

Od Autora

Henryk Paw³owski

strona – 5 — niebieski strona – 5 — czarny

Zadanie 1.1

Dwaj ch³opcy grali w szachy 4 godziny. Ile godzin gra³ ka¿dy z nich?

Zadanie 1.2

Ka¿dy z siedmiu braci ma po jednej siostrze. Ile jest wszystkich dzieci?

Zadanie 1.3

Lecia³ klucz gêsi: 1 gêœ na przodzie, a 2 z ty³u; 1 z ty³u, 2 na przodzie; 1 miêdzydwiema i 3 w jednym rzêdzie. Ile by³o wszystkich gêsi?

Zadanie 1.4

Pokój ma 4 k¹ty. W ka¿dym k¹cie siedzi kot. Naprzeciw ka¿dego kota siedz¹3 koty. Ile jest wszystkich kotów w pokoju?

Zadanie 1.5

Ojciec kupi³ na rynku 2 sto³ki i zap³aci³ za nie 80 z³. Ile trzeba zap³aciæ za 5 takichsto³ków?

Zadanie 1.6

U r¹k jest 10 palców. Ile palców jest u 10 r¹k?

Zadanie 1.7

Ile koñców maj¹ 3 kije? 5 kijów? 5 i pó³ kija?

Zadanie 1.8

Œlimak wspina siê na drzewo wysokie na 10 m. W ci¹gu dnia podnosi siê o 4 m,a w ci¹gu nocy obsuwa siê o 3 m. Po ilu dniach œlimak dostanie siê na wierzcho³ekdrzewa?

Zadanie 1.9

G¹sienica pe³za po pniu lipy. W nocy posuwa siê o 4 m do góry, a w dzieñ opusz-cza siê o 2 m na dó³. Ósmej nocy g¹sienica dotar³a na wierzcho³ek drzewa. Jakajest wysokoœæ lipy?

Rozdzia³ 1Zadania — figielki

strona – 7 — czerwonystrona – 7 — czarnystrona – 7 — niebieski

Zadanie 1.10

Mamy dwie patelnie. Na ka¿dej zmieœcimy tylko jednego kotleta. Jedna stronakotleta sma¿y siê w ci¹gu 1 minuty. W jakim najkrótszym czasie usma¿ymy natych patelniach 3 kotlety?

Zadanie 1.11

Ceg³a wa¿y 1 kg i jeszcze pó³ ceg³y. Ile wa¿y ta ceg³a?

Zadanie 1.12

5 paj¹ków ³apie 5 much w ci¹gu 5 godzin. Ile much ³apie 100 paj¹ków w ci¹gu 100godzin?

Zadanie 1.13

Dwaj ojcowie i dwaj synowie zjedli razem trzy jab³ka, ka¿dy po ca³ym jab³ku. Jakto mo¿liwe?

Zadanie 1.14

U³ó¿ z trzech zapa³ek liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11 i 17.

Zadanie 1.15

Napisz 2 za pomoc¹ trzech pi¹tek.

Zadanie 1.16

Napisz 5 za pomoc¹ trzech pi¹tek.

Zadanie 1.17

Napisz 31 za pomoc¹ piêciu pi¹tek.

Zadanie 1.18

Napisz 28 za pomoc¹ piêciu dwójek.

Zadanie 1.19

Napisz 23 za pomoc¹ czterech dwójek.

Zadanie 1.20

Napisz 100 za pomoc¹ czterech jednakowych cyfr.

Zadanie 1.21

Napisz 100 za pomoc¹ piêciu jedynek, piêciu trójek, piêciu pi¹tek.

Zadanie 1.22

Napisz 100 za pomoc¹ szeœciu jednakowych cyfr.

strona – 8 — czarny strona – 8 — niebieski

8 Rozdzia³ 1

Zadanie 1.23

Napisz 100 za pomoc¹ 9 ró¿nych cyfr.

Zadanie 1.24

7 ludzi ma po 7 kotów, ka¿dy kot zjada po 7 myszy, ka¿da mysz zjada po 7 k³osówjêczmienia, a z ka¿dego k³osa mo¿e wyrosn¹æ 7 miar ziarna.Ile by³oby wszystkich miar ziarna?

Zadanie 1.25

Postaw znaki dzia³añ arytmetycznych i nawiasy, aby otrzymaæ prawdziwe równoœci:

4 4 4 4 = 5

4 4 4 4 = 10

4 4 4 4 = 17

4 4 4 4 = 20

4 4 4 4 = 32

4 4 4 4 = 64

4 4 4 4 = 48

Zadanie 1.26

Postaw nawiasy tak, aby otrzymaæ prawdziwe równoœci:

Zadanie 1.27

Za pomoc¹ 4 siódemek i byæ mo¿e znaków dzia³añ arytmetycznych oraz nawiasówprzedstaw wszystkie liczby ca³kowite od 0 do 10.

6 8 20 4 2 58

3248 16 3 315 156 2 600

350 15 104 1428 14 320

× + - =

- × - × =

- × - =

: ,

: ,

: .

strona – 9 — czarnystrona – 9 — niebieski

Zadania — figielki 9

Rozwi¹zanie 1.1

4 godziny.

Rozwi¹zanie 1.2

Oœmioro.

Rozwi¹zanie 1.3

Lecia³ klucz sk³adaj¹cy siê z 3 gêsi. (Ale klucz!?)

Rozwi¹zanie 1.4

4 koty (zob. rys.).

Rozwi¹zanie 1.5

200 z³.

Rozwi¹zanie 1.6

50 palców.

Rozwi¹zanie 1.7

6, 10, 12.

Rozwi¹zanie 1.8

Po up³ywie 7 dni (bo 6 · 1 + 4 = 10).

Rozwi¹zanie 1.9

18 m (bo 2 · 7 + 4 = 18).

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 1Zadania — figielki

strona – 10 — czerwonystrona – 10 — czarnystrona – 10 — niebieski

Rozwi¹zanie 1.10

3 minuty. W pierwszej minucie mamy usma¿one po jednej stronie dwa kotlety.

W drugiej — jednego ca³ego i trzeciego z jednej strony. W trzeciej minucie koñ-

czymy sma¿enie dwóch kotletów usma¿onych z jednej strony.

Rozwi¹zanie 1.11

Z treœci zadania wynika, ¿e pó³ ceg³y wa¿y 1 kg, st¹d ca³a wa¿y 2 kg.

Rozwi¹zanie 1.12

2000 much. 1 paj¹k ³apie muchê w ci¹gu 5 godz., a wiêc 20 much w ci¹gu 100

godzin. Zatem 100 paj¹ków ³apie 2000 much w ci¹gu 100 godzin.

Rozwi¹zanie 1.13

Byli to: dziadek, ojciec i syn.

Rozwi¹zanie 1.14

Rozwi¹zanie 1.15

Rozwi¹zanie 1.16

Rozwi¹zanie 1.17

Rozwi¹zanie 1.18

Rozwi¹zanie 1.19

2 5 5 5= +( ) :

5 5 5´ :

5 5 5 5 5´ + + :

2 2 2 22+ + +

22 2 2+ :

10

7

6= 2 ==

=

3 = 4 =

9 10 11 17= = = =

=

strona – 11 — czerwony strona – 11 — czarny

Zadania — figielki 11

Rozwi¹zanie 1.20

Rozwi¹zanie 1.21

Rozwi¹zanie 1.22

Rozwi¹zanie 1.23

Rozwi¹zanie 1.24

16807 miar.

Rozwi¹zanie 1.25

Rozwi¹zanie 1.26

Rozwi¹zanie 1.27

100 99 9 9= + :

100 111 11 3 33 3 3 5 5 5 5 5= - = × + = × × - ×:

100 99 99 99= + :

100 1 2 3 4 5 6 7 8 9

100 74 253

6

9

18

100 975 3

8

6

4

1

2

= + + + + + + + ×

= + + +

= +

+

+ +

,

,

.

5 4 4 4 4

10 44 4 4

17 4 4 4 4

20 4 4 4 4

= × +

= -

= × +

= + ×

( ) : ,

( ) : ,

: ,

( : ) ,

32 4 4 4 4

64 4 4 4 4

48 4 4 4 4

= × + ×

= + × +

= + + ×

,

( ) ( ),

( ) .

6 8 20 4 2 58

16 3 156 2 600

350 15 104 1428 14 320

× + - =

- × - × =

- × - =

: ( ) ,

(3248 : ) (315 ) ,

( : ) .

0 77 77

1 7 7 7 7 77 77

2 7 7 7 7

3 7 7 7 7

= -

= + - =

= +

= + +

,

: ( ) : ,

: : ,

( ) : ,

4 77 7 7

5 7 7 7 7

6 7 7 7 7

7 7 7 7 7

= -

= - +

= × -

= + - ×

: ,

( ) : ,

( ) : ,

( ) ,

8 7 7 7 7

9 7 7 7 7

10 77 7 7

= × +

= + +

= -

( ) : ,

( ) : ,

( ) : .

strona – 12 — czerwonystrona – 12 — czarny

12 Rozwi¹zania — Rozdzia³ 1