TRYGONOMETRIA TRYGONOMETRIA SFERYCZNASFERYCZNA

Wykład 0Wykład 0(definicje, oznaczenia)(definicje, oznaczenia)

Materiały dydaktyczne Materiały dydaktyczne ©© Leszek Smolarek Leszek Smolarek

GEOMETRIA SFERYCZNAGEOMETRIA SFERYCZNA

Dział geometrii zajmujący się badaniem właściwości figur należących do powierzchni kuli;

-w geometrii sferycznej rolę prostych odgrywają koła wielkie sfery (pow. kuli)

-na sferze przez dwa punkty nie będące końcami jej średnicy przechodzi tylko jedno koło wielkie (podobnie jak w planimetrii przez dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta);

-w geometrii sferycznej bada się takie figury, jak dwukąty, trójkąty i wielokąty sferyczne (ich bokami są łuki kół wielkich mniejsze niż półokręgi);

-związkami między bokami i kątami trójkątów sferycznych zajmuje się trygonometria sferyczna. www.interia.pl

TRYGONOMETRIATRYGONOMETRIA

Trygonometrią płaską zajmowali się al-Battani (IX-X w.), Abu'l-Wefa, A. Bhaskara, Nasir ad-Din, później M. Kopernik, Tycho de Brahe, J. Kepler;

Trygonometria sferyczna powstała wcześniej niż płaska (znajdując zastosowanie w astronomii); zajmowali się nią Menelaos z Aleksandrii, Ptolemeusz Klaudiusz;

Pełny zestaw wzorów trygonometrii sferycznej podał L. Euler, który też nadał ostateczny kształt t. płaskiej;

Trygonometria istnieje także w geometriach nieeuklidesowych - w geometrii hiperbolicznej (Łobaczewskiego) i eliptycznej (Riemanna).

www.interia.pl

Dział matematyki zajmujący się własnościami funkcji trygonometrycznych i ich zastosowaniami w geometrii płaskiej i sferycznej (w szczególności do rozwiązywania trójkątów).

TRYGONOMETRIA PŁASKATRYGONOMETRIA PŁASKA

Trygonometria płaska (euklidesowa) bada związki w trójkątach (także wielokątach) na płaszczyźnie.

Podstawowe wzory trygonometrii płaskiej to:

• wzór sinusów - (Nasir ad-Din, XIII w),

• wzór cosinusów - (po raz pierwszy w Elementach Euklidesa),

• wzory tangensów (oraz analogiczne wzory dla tgβ i tgγ),

• wzory na pola trójkąta,

• wzory wiążące kąty trójkąta z jego bokami.

www.interia.pl

TRYGONOMETRIA SFERYCZNATRYGONOMETRIA SFERYCZNA

Trygonometria sferyczna zajmuje się związkami w trójkątach na powierzchni kuli.

Dla trójkąta sferycznego prawdziwe są wzory:

• wzór sinusów (Abu'l-Wefa, X w.),

• wzór cosinusów dla boków (Regiomontanus, XV w.),

• wzór cosinusów dla kątów (F. Viète, 2 poł. XVI w.),

• wzór cotangensów,

• wzór na pole trójkąta.

www.interia.pl

Euler LeonhardEuler Leonhard (1707-83)(1707-83)

matematyk i fizyk szwajcarski, jeden z twórców nowoczesnej matematyki; matematyk i fizyk szwajcarski, jeden z twórców nowoczesnej matematyki;

studiował w Bazylei, od 1727 przebywał w Petersburgu (od 1730 prof. uniw. studiował w Bazylei, od 1727 przebywał w Petersburgu (od 1730 prof. uniw. tamże); 1733-41 prof. uniw. w Bazylei, 1741-66 prof. Akad. Nauk w Berlinie tamże); 1733-41 prof. uniw. w Bazylei, 1741-66 prof. Akad. Nauk w Berlinie (od 1759 jej faktyczny kierownik), następnie ponownie prof. uniw. w (od 1759 jej faktyczny kierownik), następnie ponownie prof. uniw. w Petersburgu; czł. szeregu tow. naukowych, m.in. Royal Society; Petersburgu; czł. szeregu tow. naukowych, m.in. Royal Society;

napisał ponad 900 prac (w tym ok. 550 z matematyki), choć od 1738 nie widział napisał ponad 900 prac (w tym ok. 550 z matematyki), choć od 1738 nie widział na prawe oko, a 1766 prawie utracił wzrok w drugim (prace dyktował synowi na prawe oko, a 1766 prawie utracił wzrok w drugim (prace dyktował synowi i uczniom); zajmował się m.in. teorią liczb, fizyką matematyczną, geometrią i uczniom); zajmował się m.in. teorią liczb, fizyką matematyczną, geometrią różniczkową, rachunkiem wariacyjnym; jest autorem szeregu twierdzeń i różniczkową, rachunkiem wariacyjnym; jest autorem szeregu twierdzeń i wzorów stosowanych do dziś.wzorów stosowanych do dziś.

www.interia.pl

R R ≈≈ 6370 km 6370 km

Kąty przyległe

Kąty wierzchołkowe

Kąty przeciwległe

Trójkąt

Punkty nie współliniowe

Prosta

Odległość dwóch punktów

ARC_CALC_3Spherical Triangle Calculator    ©2000 by James Q. Jacobs.

http://www.jqjacobs.net/astro/·ls/arc_calc_3.·ls

http://www.angelfire.com/nt/navtrig/

In a right spherical triangle, that is with angle C being a 90° angle the following hold true:

sin a = sin A · sin csin b = sin B · sin c

tan a = cos B · tan ctan a = tan A · sin btan b = cos A · tan ctan b = tan B · sin a

cos A = sin B · cos acos B = sin A · cos bcos c = cos a · cos bcos c = cot B · cot A

The University of Michigan historic books collection has following books on-line, which can be useful in geometry class:

Casey, John A treatise on spherical trigonometry, and its application to geodesy and astronomy, with numerous examples.

Chauvenet, William A treatise on plane and spherical geometry.

Church, Albert E. (Albert Ensign) Elements of descriptive geometry; with its applications to spherical projections, shades and shadows, perspective and isometric projections.

Coddington, Emily, A brief account of the historical development of pseudospherical surfaces from 1827 to 1887 ...

Granville, William Anthony Plane and spherical trigonometry, and Four-place tables of logarithms.

Lobachevskii, N. I. Geometrical researches on the theory of parallels,... tr. from the original by George Bruce Halsted ... .

Lyman, Elmer A. Plane and spherical trigonometry,

Newman, Francis William The difficulties of elementary geometry, especially those which concern the straight line, the plane, and the theory of parallels.

Passano, Leonard M. Plane and spherical trigonometry.

Taylor, T. U. The elements of plane and spherical trigonometry.

Wentworth, G. A. Plane and spherical trigonometry, surveying and tables.

OKRĘGI WIELKIE I MAŁE Okrąg wielki (koło wielkie) – część wspólna sfery i płaszczyzny przechodzącej przez środek sfery

Okrąg wielki

Okrąg mały

KĄT PRZECIĘCIA OKRĘGÓW WIELKICH

Kąt przecięcia łuków dwóch kół wielkich jest wyznaczony przez kąt jaki tworzą styczne do tych łuków poprowadzone w punkcie przecięcia.

Jest on równy kątowi dwuściennemu wyznaczonemu przez płaszczyzny w których zawarte są oba koła wielkie.

Trójkąt sferycznyTrójkąt sferyczny

Pomiar łuków i kątów na sferze.Pomiar łuków i kątów na sferze.

Długość łuku koła wielkiego o kącie środkowym ( w radianach) jest równa iloczynowi promienia koła i kąta środkowego.

Dlatego dla kuli (sfery) o ustalonym promieniu (np. używanej w nawigacji jako model powierzchni ziemi) możemy kąt środkowy przyjąć jako miarę łuku na nim rozpiętego.

Geometria na powierzchni kuli (sfery)Geometria na powierzchni kuli (sfery)

Przez każde dwa punkty na powierzchni kuli (sfery), nie będące końcami tej samej średnicy, przechodzi dokładnie jedno koło wielkie.

Mniejszy z łuków tego koła, o końcach w danych punktach, jest najkrótszą krzywą łączącą te punkty, a jego długość nazywamy odległością pomiędzy punktami na kuli (sferze).

Elementy trójkąta - oznaczeniaElementy trójkąta - oznaczenia

KĄTYABC

BOKIabc

Trójkąty sferyczne - Eulera.Trójkąty sferyczne - Eulera.

Trójkątem sferycznym nazywamy figurę której bokami są odcinki kół wielkich, mającą trzy wierzchołki.

Do celów nawigacyjnych rozważmy ten z trójkątów, który ma wszystkie boki i kąty mniejsze od 180° (trójkąt Eulera, nazywany trójkątem sferycznym). Boki trójkąta oznaczamy małymi literami, zaś jego wierzchołki i kąty dużymi.

Współrzędne na sferze.Współrzędne na sferze.

Dysponując współrzędnymi sferycznymi punktów A(λ1 ,φ1) i B(λ2,φ2) na powierzchni Ziemi, możemy obliczyć ich wzajemne odległości: kątową i liniową.

Funkcje trygonometryczneFunkcje trygonometryczne

secans – odwrotność cosinusa

cosecans – odwrotność sinusa

semiversus – kwadrat sinusa kąta połówkowego

xx

cos1sec

sinx1 x cosec

2sin

2cosx-1 x sem 2 x

Podstawowe własności elementów trójkąta sferycznego Podstawowe własności elementów trójkąta sferycznego

• Każdy element trójkąta sferycznego jest mniejszy od 180°

• Suma boków trójkąta sferycznego jest mniejsza od 360°; 0° < a + b + c < 360°

• Suma kątów A+B+C trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180° i mniejsza od 540°;

180° < A + B + C < 540°

• Bok każdego trójkąta sferycznego jest większy od wartości bezwzględnej różnicy dwóch pozostałych boków i mniejszy od ich sumy;

b – c < a < b + c

W trójkącie sferycznym suma dwóch kątów jest mniejsza od trzeciego kąta powiększonego o 180°;

A + B < C + 180°

Podstawowe własności elementów trójkąta sferycznegoPodstawowe własności elementów trójkąta sferycznego

• Jeżeli dwa boki trójkąta sferycznego są równe to przeciwległe do nich kąty też są równe

• Naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt; a < b A < B

• Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok, A < B a < b

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘDZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ