Trygonometria · 2020. 3. 28. · 5.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego...

5 TrygonometriaSkocznia narciarska składa się z rozbiegu, buli (czyli grzbietu skoczni) orazzeskoku (miejsca, w którym skoczkowie lądują). Ustawienie belki startowejreguluje długość rozbiegu, który kończy się progiem. Natomiast za zeskokiemznajduje się wybieg, na którym zawodnicy hamują. Nachylenie poszczególnychczęści skoczni można podawać w procentach (patrz zad. 5, s. 163). Aby jeobliczyć, korzystamy z funkcji trygonometrycznej tangens.

5. Trygonometria 155

Trójkąty prostokątne – powtórzenie

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długo-ści przyprostokątnych jest równa kwadratowi długościprzeciwprostokątnej.

a2 + b2 = c2 a

bc

TWIERDZENIE PITAGORASA

1. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przypro-stokątnych a i b.

a) a = 15, b = 20 b) a = 3, b = 9 c) a =√2− 1, b = √2 + 1

2. Oblicz obwód prostokąta, którego jeden bok ma długość a, a przekątnama długość d.

a) a = 10, d = 26 b) a =√7, d = 4 c) a =

√5+2, d = 2

√5+1

3. Oblicz obwód trójkąta ABC.

a) b)

12 10

44√ 10

A B

C

3 7 4,5

√85

A B

C

4. Oblicz obwód kwadratu, którego przekątna:a) jest równa 12,

b) jest o 2 większa od boku. Przekątna kwadratu o bokudługości a jest równa a

√2.

5. Oblicz obwód równoramiennego trójkąta prostokątnego o polu rów-nym: a) 16, b) 18, c) 24.

6. Oblicz obwód trójkąta ABC i wysokość opuszczoną na przeciwprosto-kątną.

a) b) c)

45◦√6A B

C

4√2

4√2A B

C

45◦

16

A B

C

Odpowiedzi do zadań

1. a) 25 b) 3√10 c)

√6

2. a) 68b) 2(3 +

√7)

c) 2(√5 + 2

√3 + 2)

3. a) 2(11 +√41 + 2

√13)

b) 2(11 +√34)

4. a) a√2 = 12

a = 6√2

Ob = 24√2

b) a√2 = a+ 2

a = 2(√2 + 1

)Ob = 8

(√2 + 1

)

5. Niech a – długość przypro-stokątnej, a

√2 – długość

przeciwprostokątnej.

a) P = a2

2 = 16

a = 4√2

a√2 = 8

Ob = 8(√2 + 1)

b) P = a2

2 = 18

a = 6

a√2 = 6

√2

Ob = 6(√2 + 2)

c) P = a2

2 = 24

a = 4√3

a√2 = 4

√6

Ob = 4(2√3 +√6)

6. Niech h – szukana wysokość.a) |AC| = |AB| = √6,|BC| = √6 + 6 = 2√3Ob = 2(

√6 +√3)

P = 12 (√6)2 = 12 · 2

√3 · h

h =√3

b) |BC| = √32 + 32 = 8Ob = 8(

√2 + 1)

P = 12 (4√2)2 = 12 · 8 · h

h = 4

c) |AC| = |AB| = 16√2= 8√2

Ob = 16(√2 + 1)

P = 12 (8√2)2 = 12 · 16 · h

h = 8

156 5. Trygonometria

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a jest równa a√32.

7. a) Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o obwodzie równym 48.

b) Oblicz obwód trójkąta równobocznego o wysokości równej 12.

8. Oblicz obwód trójkąta ABC.

a) b) c)

36

A B

C

60◦8

A B

C

30◦

10

A B

C

9. W trójkącie prostokątnym, którego przeciwprostokątna ma długość c,jeden z kątów ostrych ma miarę 30◦. Oblicz wysokości tego trójkąta.

a) c = 8 b) c = 4√2 c) c = 2

√6

10. Oblicz obwód i pole trapezu ABCD.

a) b)

4√6

A B

CD

45◦ 15◦60◦

h

8

10

A B

CD

30◦ 45◦

11. Oblicz obwód i pole trójkąta ABC, jeśli:

a)

5.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostregoStosunki długości boków trójkąta prostokątnego są tak powszechnie stoso-wane, że otrzymały własne nazwy.

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwkokąta do długości przeciwprostokątnej nazywamysinusem kąta.

sinα = ac

αA

B

C

a

b

c

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciw-prostokątnej nazywamy cosinusem kąta.

cosα = bc

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długościprzyprostokątnej leżącej przy tym kącie nazywamy tangensem kąta.

tgα = ab

DEFINICJA

Rozpatruje się też stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długościprzyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta. Jest to cotangens kąta: ctgα = b

a.

Stosunki te nazywamy funkcjami trygonometrycznymi kąta α.

Zauważmy, że nie zależą one od wielkości rozpa-trywanego trójkąta, a jedynie od kąta α. Z podo-bieństwa trójkątów: AB1C1, AB2C2, AB3C3 wy-nikają równości:

αA C1 C2 C3

B1

B2

B3

sinα = |B1C1||AB1| =|B2C2||AB2| =

|B3C3||AB3|

Przykład 1Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α(rysunek obok).

sinα = 1√10=√1010 , cosα =

3√10= 3√1010 , tgα =

13

α

√10

3

1

Ćwiczenie 1Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokąt-nego o podanych bokach:

a) 3, 4, 5, b) 6, 8, 10, c) 2, 3,√13.

Ćwiczenie 1We wszystkich podpunktach α < β.

a, b) sinα = cosβ = 35 , cosα = sin β =45 , tgα =

34 , tg β =

43

c) sinα = cos β = 2√1313 , cosα = sin β =

3√1313 , tgα =

23 , tg β =

32


Przykład 2Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 45◦.

Rozpatrzmy połowę kwadratu o boku 1.

sin 45◦ = 1√2=√22

cos 45◦ = 1√2=√22

tg 45◦ = 11= 1

1

1

√2

45◦


Rozpatrzmy połowę trójkąta równobocznego o boku 1.

sin 30◦ =121= 12

cos 30◦ =√321=√32

tg 30◦ =12√32

= 12· 2√3= 1√3=√33

√32

1 12

30◦

Ćwiczenie 2Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 60◦.

ZADANIA

1. Przerysuj tabelę do zeszytu i ją uzupełnij.

α

sinα

cosα

tgα

30◦ 45◦ 60◦

12

1

√22

√32

√32

√22

12

√33

√3

Skrót sin pochodzi od łacińskiego słowasinus – zagięcie, zatoka;cos to skrót od complementi sinus, czylisinus dopełnienia;tg to skrót słowa tangens oznaczającegostyczną.

2. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta pro-stokątnego o podanych bokach.

a) 15, 20, 25 b) 8, 15, 17 c) 7, 24, 25 d) 28, 96, 100

3. Dla trójkąta ABC przedstawionego na rysunku obokoblicz wartości:

a) sinα, cosα, tgα,

b) sinβ, cosβ, tgβ. A

B

C

513

α

β

Ćwiczenie 2sin 60◦ =

√32 , cos 60

◦ = 12 ,

tg 60◦ =√3


2. a) sinα = cos β = 35 ,cosα = sin β = 45 ,

tgα = 34 , tg β =43

b) sinα = cos β = 817 ,

cosα = sin β = 1517 ,

tgα = 815 , tg β =158

c), d) sinα = cos β = 725 ,

cosα = sin β = 2425 ,

tgα = 724 , tg β =247

3. a) sinα = 513 , cosα =1213 , tgα =

512

b) sin β = 1213 , cos β =513 , tg β =

125

5.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 159

4. Przekątna prostokąta o bokach długości 1 dm i 2 dm dzieli prostokąt nadwa trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrychtych trójkątów.

5. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta pro-stokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest cztery razy dłuższa oddrugiej.

6. W rombie ABCD o obwodzie równym 60 przekątne przecinają się w punk-cie O, a jedna z nich ma długość równą 24. Oblicz wartości funkcji trygo-nometrycznych kątów ostrych trójkąta AOB.

7. Dany jest równoległobok niebędący prostokątem o bokach długości 10 cmi 9 cm. Jedna z przekątnych dzieli równoległobok na dwa trójkąty pro-stokątne. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tychtrójkątów.

8. W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 6 cm i 10 cm, a wy-sokość – 5 cm. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta zawartegomiędzy dłuższą podstawą trapezu oraz jego:

a) przekątną, b) ramieniem.

9. Dany jest sześcian o krawędzi a. Oblicz wartościfunkcji trygonometrycznych kątów ostrych trój-kąta:

a) BDD′,

b) DD′O, gdzie O jest środkiem odcinka BD. A

A′

B

B′

C

C ′

D

D′

POWTÓRZENIE

1. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta pro-stokątnego o przyprostokątnych a i b.

a) a = 2, b = 6 b) a = 2, b =√3 c) a = 2, b =

√5

2. Dany jest prostokąt ABCD o bokach długości 6 i 8. Wierzchołek A połą-czono ze środkami przeciwległych boków i w ten sposób podzielono pro-stokąt na czworokąt i dwa trójkąty prostokątne. Oblicz wartości funkcjitrygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.

3. Przekątne rombu o długościach 10 cm i 14 cm dzielą romb na cztery trój-kąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trój-kątów.

4. sinα = cos β =√55 ,

cosα = sin β = 2√55 ,

tgα = 12 , tg β = 2

5. sinα = cos β =√1717 ,

cosα = sin β = 4√1717 ,

tgα = 14 , tg β = 4

6. sinα = cos β = 35 ,cosα = sin β = 45 ,

tgα = 34 , tg β =43

7. sinα = cos β = 910 ,

cosα = sin β =√1910 ,

tgα = 9√1919 , tg β =

√199

8. a) sinα = 5√8989 ,

cosα = 8√8989 , tgα =

58

b) sinα = 5√2929 ,

cosα = 2√2929 , tgα =

52

9.

D O B

D′

αγ

δ

a) β =

5.2. Trygonometria – zastosowania

Wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wielkości trójkąta pro-stokątnego, a jedynie od wielkości odpowiedniego kąta. Wykorzystuje się tow sytuacjach praktycznych.

Przykład 1Wierzchołek latarni morskiej znajduje się 25 mnad poziomem morza i widać go z jachtu pod ką-tem α, którego tangens wynosi 0,0875. Jaka jestodległość jachtu od podnóża skarpy, na której stoilatarnia?

αx

25m

tgα = 25x, czyli x = 25

tgα= 250,0875

≈ 286 [m]

Jeśli chcemy znaleźć wartości funkcji trygonometrycznych, to korzystamy z od-powiedniego kalkulatora lub tablic matematycznych (zarówno kalkulator, jaki tablice podają wartości przybliżone). Tabela wartości funkcji trygonome-trycznych znajduje się na str. 260.

Przykład 2Obserwator widzi czubek drzewa odległegoo d = 65 m pod kątem α = 29◦ (oczy mana wysokości 1,5 m nad ziemią). Jak wysokiejest drzewo?

tg 29◦ = x65

αd

x

Z tablic odczytujemy tg 29◦ ≈ 0,5543, czyli x ≈ 65 · 0,5543 ≈ 36 [m].Wysokość drzewa jest więc równa około 36 + 1,5 = 37,5 [m].

Ćwiczenie 1Przyjmując, jak w przykładzie 2., że obserwator ma oczy na wysokości 1,5 mnad ziemią, oblicz wysokość drzewa, jeśli:

a) α = 40◦, d = 22 m, b) α = 14◦, d = 100 m.

Uwaga. W podręczniku dlaucznia tabela wartości funk-cji trygonometrycznych znaj-duje się na str. 260, natomiastw podręczniku nauczyciela –na str. 234.

Ćwiczenie 1Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku w przykładzie 2.

a) x22 = tg 40◦ ≈ 0,8391, czyli x ≈ 18,5 m

Wysokość drzewa: h ≈ 18,5 + 1,5 = 20 [m]b) x100 = tg 14

◦ ≈ 0,2493, czyli x ≈ 24,9 mWysokość drzewa: h ≈ 24,9 + 1,5 = 26,4 [m]

5.2. Trygonometria – zastosowania 161

Przykład 3Przekątna prostokątnej działki budowlanej ma długość 30 m i tworzy z krót-szym bokiem działki kąt α taki, że cosα = 0,6. Ile metrów bieżących siatkipotrzeba na jej ogrodzenie, jeżeli na bramę wjazdową należy zostawić 3 m?

Obliczamy długość jednego boku działki:y30= cosα = 0,6, czyli y = 30 · 0,6 = 18 [m].

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

x2 = 302 − y2 = 900− 324 = 576x =√576 = 24 [m]

Zatem obwód działki: 2x+ 2y = 48 + 36 = 84 [m].

Czyli siatki potrzeba 84− 3 = 81 [m].

30m

y

x

α

Ćwiczenie 2Oblicz obwód prostokąta, którego przekątna długości d tworzy z jednym z bo-ków kąt o mierze α.

a) d = 15, cosα = 15 b) d = 8, cosα =√154

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych może posłużyć do znajdowa-nia miar kątów trójkąta.

Ćwiczenie 3Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych (s. 260), podaj przy-bliżoną miarę kąta α, dla którego:

a) sinα = 0,4067, b) sinα = 0,4226, c) tgα = 0,5735, d) cosα = 0,9200.

Przykład 4Drabinę o długości 5 m oparto o ścianę budynku tak, że dotykaściany na wysokości 4,8 m. Jaki kąt tworzy drabina z ziemią?

sinα = 4,85 = 0,96. Z tablic odczytujemy: α ≈ 74◦.α

4,8 m5 m

Ćwiczenie 4Jaki kąt tworzy z ziemią drabina o długości:

a) 6,5 m, jeśli oparta o ścianę budynku sięga na wysokość 5,5 m,

b) 4,5 m, jeżeli jej koniec opierający się o ziemię jest odległy o 1 m od ścianybudynku?

Ćwiczenie 2yd= cosα, czyli y = d cosαoraz x =

√d2 − y2

a) y = 3, x = 6√6

Ob = 12√6 + 6

b) y = 2√15, x = 2

Ob = 4√15 + 4

Ćwiczenie 3a) α ≈ 24◦b) α ≈ 25◦c) α ≈ 30◦d) α ≈ 23◦

Ćwiczenie 4a)

α

5,5 m

6,5m

sinα = 5,56,5 ≈ 0,8462α ≈ 58◦

b)

α

1 m

4,5m

cosα = 14,5 ≈ 0,2222α ≈ 77◦


ZADANIA

1. Budynek (rysunek obok) rzuca cień długości 19 m wmo-mencie, gdy promienie słoneczne tworzą z powierzchniąziemi kąt α = 55◦. Oblicz wysokość tego budynku.

2. Oblicz długość cienia rzucanego przez budynek o wyso-kości 25 m w momencie, gdy promienie słoneczne two-rzą z powierzchnią ziemi kąt 40◦.

α

3. Czubek drzewa widać z odległości 80 m pod kątem 25◦ (z poziomu ziemi).Jaka jest wysokość drzewa? Jaka jest długość cienia rzucanego przez todrzewo, jeśli promienie słoneczne tworzą z powierzchnią ziemi kąt 70◦?

4. Naciągnięty sznurek długości 20 m, na którego końcu zamocowany jestlatawiec, tworzy z poziomem kąt 70◦. Jak wysoko nad ziemią znajduje sięlatawiec?

5. Przeczytaj informację w ramce.Ile wynosi kąt α (rysunek obok),jeśli nachylenie drogi jest równe:

a) 10%, b) 30%, c) 100%?

Nachylenie drogi jest zwykle podawanew procentach:

n = hd · 100%Zauważ, że hd = tgα.

hαd

6. Podjazd dla wózków jest nachylony do poziomu pod kątem α. Wyraźw procentach nachylenie tego podjazdu. Czy spełnia on wymóg, że na-chylenie podjazdu ma być mniejsze od 8%?

a) α = 3◦ b) α = 4◦ c) α = 5◦

7. Drabina wozu strażackiego może byćrozsunięta na długość 20 m i podnie-siona pod kątem 72◦. Na jaką wysokośćsięgnie drabina, jeśli jest zamocowana2,4 m nad ziemią?

8. Wierzchołek komina widać z punktuApod kątem 26◦, a z punktu B podkątem 40◦. Podstawa komina orazpunkty A i B leżą na jednej prostej.Komin ma wysokość 20 m. Jaka jestodległość między punktami A i B?Rozpatrz dwa przypadki (pomiń gru-bość komina).


1. około 27,13 m

2. około 29,79 m

3. drzewo: około 37,3 m,cień: około 13,58 m

4. Oznaczmy wysokość, na ja-kiej znajduje się latawiec,przez h.

70◦

h

20m

h20 = sin 70

◦

h ≈ 20 · 0,9397 ≈ 18,8 [m]5. a) około 5,7◦

b) około 16,7◦

c) 45◦

6. a) około 5,2%, spełniab) około 7%, spełniac) około 8,8%, nie spełnia

7.

72◦

x

20m

Oznaczmy wysokość, na ja-ką sięgnie drabina, przez h.x20 = sin 72

◦ ≈ 0,9511czyli x ≈ 19,02 m. Zatem:h ≈ 19,02 + 2,4 == 21,42 [m].

8. Podstawę komina oznaczmy przez O.I przypadek. Punkty A i Bznajdują się po tej samejstronie komina.

26◦40◦

20 m

O B A

20|OB| = tg 40

◦ ≈ 0,8391zatem |OB| ≈ 23,84 m

20|OB|+|AB| = tg 26

◦ ≈ 0,4877czyli |AB| ≈ 17,17 m

II przypadek. Punkty A i B znajdują siępo przeciwnych stronach komina.

26◦40◦

20 m

OB AJak w przypadku 1◦ mamy |OB| ≈ 23,84 m.20|OA| = tg 26

◦ ≈ 0,4877, czyli |OA| ≈ 41 mStąd |AB| = |OA|+ |OB| ≈ 64,84 m.

5.2. Trygonometria – zastosowania 163

9. Pilot lecący samolotem na wysokości 50 m widzi początek pasa startowegopod kątem α = 30◦, a jego koniec pod kątem β = 10◦. Samolot nadlatujewzdłuż pasa startowego. Jaka jest długość tego pasa?

α

β

A BC

D

10. Samolot zbliżający się do lotniska leci na wysokości 2400 m. Do lądowaniamusi schodzić pod kątem 4◦. Jak daleko od początku pasa startowegopowinien rozpocząć ten manewr?

11. Startujący samolot wznosi się pod kątem 15◦ z prędkością 80 m/s. Jakąwysokość osiągnie samolot po 2 minutach od momentu oderwania się odziemi?

12. Dwaj obserwatorzy stojący w punk-tach A i B w odległości 200 mod siebie widzą nadlatujący wzdłużkierunku AB samolot pod kątami

α β

A B

h

x

α = 25◦ i β = 15◦. Na jakiej wysokości leci samolot?

POWTÓRZENIE

1. Jaki kąt z powierzchnią ziemi tworzą promienie słoneczne, jeśli budyneko wysokości 30 m rzuca cień długości: a) 20 m, b) 30 m, c) 60 m?

2. W celu obliczenia wysokości drzewa uczeń ustawił się tak, że koniec jegocienia pokrywał się z końcem cienia drzewa.Jaka jest wysokość drzewa, jeśli uczeń ma180 cm wzrostu, |BC| = 18 m, a pro-mienie słoneczne padają podkątem 31◦ do powierz-chni ziemi? CBA

9. Przyjmijmy oznaczenia jakna rysunku, wówczas:

tg 30◦ = 50|CA|zatem:

|CA| ≈ 500,5774 ≈ 86,6 [m]tg 10◦ = 50|AB|+|CA|

zatem:|AB|+ |CA| ≈ 500,1763 ≈

≈ 283,6 [m]|AB| ≈ 283,6− 86,6 =

= 197 [m]

Długość pasa startowegowynosi około 197 m.

10.

4◦2400

x

tg 4◦ = 2400x

zatem:

x ≈ 24000,0699 ≈ 34334,8 [m]Około 34,3 km.

11.

15◦hs

Obliczamy drogę, jaką po-kona samolot: v = s

t, czyli

s = 80 · 120 = 9600 [m]Obliczamy wysokość, jakąosiągnie samolot:hs= sin 15◦ ≈ 0,2588, czylih ≈ 2484 m

12. Przyjmijmy oznaczenia jakna rysunku.hx= tg 25◦ ≈ 0,4663, czylix ≈ 2,1445h.h

x+200 = tg 15◦ ≈ 0,2679,

czyli x ≈ 3,7327h − 200.Zatem:

3,7327h − 200 = 2,1445hh ≈ 125,93 m

Samolot leci na wysokościokoło 125,93 m. Powtórzenie

1. a) około 56,3◦ b) 45◦ c) około 26,6◦

2. Oznaczmy wysokość drzewa przez h.tg 31◦ = 1,8|AB|zatem:|AB| ≈ 1,80,6009 ≈ 3 [m]|AC| ≈ 18 + 3 = 21 [m]tg 31◦ ≈ h21 , czyli h ≈ 21 · 0,6009 ≈ 12,62 [m].


5.3. Rozwiązywanie trójkątówprostokątnych

Rozwiązaniem trójkąta nazywamy wyznaczenie długości jego trzech bokówi wyznaczenie miar jego trzech kątów. Aby rozwiązać trójkąt prostokątny,wystarczy znać:– długości dowolnych dwóch boków,– długość dowolnego boku i miarę jednego z kątów ostrych.

Przykład 1Rozwiąż trójkąt prostokątny, mając dane długości jego przyprostokątnych4 cm i 10 cm.

Długość przeciwprostokątnej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

c =√102 + 42 =

√116 = 2

√29 [cm]

tg β = 410 = 0,4. Z tablic odczytujemy: β ≈ 22◦i stąd α = 90◦ − β ≈ 68◦. β

α

B C

A

10 cm

4 cmc

Przykład 2Rozwiąż trójkąt prostokątny, jeśli długość przyprostokątnejleżącej naprzeciwko kąta 50◦ jest równa 8 cm.

α = 90◦ − 50◦ = 40◦8c= sin 50◦ ≈ 0,7660, stąd c ≈ 10,44 cm.8a= tg 50◦ ≈ 1,1918, stąd a ≈ 6,71 cm. 50◦

α

B C

A

a

8 cmc

Ćwiczenie 1Rozwiąż trójkąt prostokątny, jeśli:a) dwa jego dłuższe boki mają długości 9 cm i 10 cm,b) długości przyprostokątnych są równe 5 cm i 13 cm,c) przeciwprostokątna ma długość 15 cm, a jeden z kątów ma miarę 37◦,d) długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta 54◦ jest równa 8 cm.

Jeśli potrzebna jest większa dokładność, to miarę kąta możemy podawaćw stopniach i minutach, a nawet w sekundach, np. 36◦45′17′′.

Przykład 3Wyraź w minutach i sekundach 11000 kąta 45

◦.

45◦

1000= 451000

· 3600′′ = 162′′ = 120′′ + 42′′ = 2′42′′

1◦ = 60′

1′ = 60′′

1◦ = 3600′′

Ćwiczenie 1a)

α

β

9

10

Boki: 9 cm, 10 cm,√102 − 92 = √19 [cm]Kąty: cosα = 910 , czyliα ≈ 26◦,β ≈ 90◦ − 26◦ = 64◦, γ = 90◦

b)

α

β

13

5

Boki: 5 cm, 13 cm,√52 + 132 =

√194 [cm]

Kąty: tgα = 513 ≈ 0,3846,czyli α ≈ 21◦,β ≈ 90◦ − 21◦ = 69◦, γ = 90◦

c) Kąty: 37◦, 53◦, 90◦

b

a

37◦

53◦

15

Boki: a = 15 sin 37◦ ≈ 9 [cm],b = 15 sin 53◦ ≈ 12 [cm],c = 15 cm

d) Kąty: 36◦, 54◦, 90◦

54◦

36◦

8

b

c

Boki: c = 8sin54◦ ≈ 9,9 [cm],a = 8 cm,

b ≈√(9,9)2 − 82 =

=√34,01 ≈ 5,8 [cm]

5.3. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych 165

Ćwiczenie 2Wyraź w stopniach, minutach i sekundach 1100 kąta:

a) 360◦, b) 4◦, c) 15◦, d) 12◦, e) 42◦.

Poniżej zamieszczono fragment tablic wartości funkcji trygonometrycznychdla kątów podanych z dokładnością do 10′.

α sinα cosα tgα ctgα α sinα cosα tgα ctgα

25◦00′ 0,4226 0,9063 0,4663 2,1445 27◦00′ 0,4540 0,8910 0,5095 1,962625◦10′ 0,4253 0,9051 0,4699 2,1283 27◦10′ 0,4566 0,8897 0,5132 1,948625◦20′ 0,4279 0,9038 0,4734 2,1123 27◦20′ 0,4592 0,8884 0,5169 1,934725◦30′ 0,4305 0,9026 0,4770 2,0965 27◦30′ 0,4617 0,8870 0,5206 1,921025◦40′ 0,4331 0,9013 0,4806 2,0809 27◦40′ 0,4643 0,8857 0,5243 1,907425◦50′ 0,4358 0,9001 0,4841 2,0655 27◦50′ 0,4669 0,8843 0,5280 1,8940

26◦00′ 0,4384 0,8988 0,4877 2,0503 28◦00′ 0,4695 0,8829 0,5317 1,880726◦10′ 0,4410 0,8975 0,4913 2,0353 28◦10′ 0,4720 0,8816 0,5354 1,867626◦20′ 0,4436 0,8962 0,4950 2,0204 28◦20′ 0,4746 0,8802 0,5392 1,854626◦30′ 0,4462 0,8949 0,4986 2,0057 28◦30′ 0,4772 0,8788 0,5430 1,841826◦40′ 0,4488 0,8936 0,5022 1,9912 28◦40′ 0,4797 0,8774 0,5467 1,829126◦50′ 0,4514 0,8923 0,5059 1,9768 28◦50′ 0,4823 0,8760 0,5505 1,8165

α sinα cosα tgα ctgα α sinα cosα tgα ctgα

25◦00′ 0,4226 0,9063 0,4663 2,1445 27◦00′ 0,4540 0,8910 0,5095 1,962625◦10′ 0,4253 0,9051 0,4699 2,1283 27◦10′ 0,4566 0,8897 0,5132 1,948625◦20′ 0,4279 0,9038 0,4734 2,1123 27◦20′ 0,4592 0,8884 0,5169 1,934725◦30′ 0,4305 0,9026 0,4770 2,0965 27◦30′ 0,4617 0,8870 0,5206 1,921025◦40′ 0,4331 0,9013 0,4806 2,0809 27◦40′ 0,4643 0,8857 0,5243 1,907425◦50′ 0,4358 0,9001 0,4841 2,0655 27◦50′ 0,4669 0,8843 0,5280 1,8940

26◦00′ 0,4384 0,8988 0,4877 2,0503 28◦00′ 0,4695 0,8829 0,5317 1,880726◦10′ 0,4410 0,8975 0,4913 2,0353 28◦10′ 0,4720 0,8816 0,5354 1,867626◦20′ 0,4436 0,8962 0,4950 2,0204 28◦20′ 0,4746 0,8802 0,5392 1,854626◦30′ 0,4462 0,8949 0,4986 2,0057 28◦30′ 0,4772 0,8788 0,5430 1,841826◦40′ 0,4488 0,8936 0,5022 1,9912 28◦40′ 0,4797 0,8774 0,5467 1,829126◦50′ 0,4514 0,8923 0,5059 1,9768 28◦50′ 0,4823 0,8760 0,5505 1,8165

Przykład 4Rozwiąż trójkąt prostokątny ABC (rysunek obok).

3. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnychdługości 6 i 8 (rysunek obok).

a) Rozwiąż trójkąty ABC i BCD.

b) Rozwiąż trójkąt ABD.

B C

A

D

8

3

3

4. Przekątne rombu mają długości 12 cm i 20 cm.Oblicz kąty rombu i jego obwód.

5. a) Trapez równoramienny ma podstawy długości 6 dm i 10 dm, a jegoobwód jest równy 32 dm. Oblicz miary kątów tego trapezu.

b) Trapez równoramienny ma podstawy długości 2 dm i 10 dm, a jegoprzekątna ma długość 8 dm. Oblicz miary kątów tego trapezu.

6. W trapezie równoramiennym o wysokości 5 cm odcinek łączący środkiramion ma długość 6 cm. Oblicz miarę kąta, jaki przekątna trapezu tworzyz jego podstawą.

7. Oblicz długości boków AB i AD oraz miarękąta DCA trapezu prostokątnego ABCD (ry-sunek obok).

54◦

15

10

A B

CD

8. Przekątne deltoidu mają długości 20 cm i 30 cm. Punkt przecięcia przekąt-nych dzieli dłuższą z nich w stosunku 2 : 1. Oblicz miary kątów deltoidu.

POWTÓRZENIE

1. Zapisz w minutach i sekundach:

a) 120 kąta 15◦, b) 1100 kąta 90

◦, c) 1300 kąta 5◦.

2. W trapezie prostokątnym ABCD (rysunek obok) kątADB ma miarę 43◦46′25′′, a kątABC – miarę 73◦42′10′′.

a) Wyznacz miary kątów trójkąta BCD.

b) Wyznacz miary kątów trójkąta ABP , jeśli punkt Pleży na dwusiecznej kąta ABC. A B

CD

P

3. Rozwiąż trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości:

a) 5, 12, b) 8, 15, c) 12, 16.

4. W równoległoboku o bokach długości 10 cm i 30 cm krótsza przekątnatworzy z jednym bokiem kąt 90◦. Oblicz miary kątów równoległoboku.

3. a) |AB| = 10, |BD| = √73,

5.4. Związki między funkcjamitrygonometrycznymi

αA

B

C

a

b

cPrzypomnijmy, że w trójkącie prostokątnym:

sinα = ac, cosα = b

c, tgα = a

b

Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są zależności:

sin2 α+ cos2 α = 1 tgα = sinαcosα

PODSTAWOWE TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE

Tożsamość sin2 α+ cos2 α = 1 nazywamy jedynką trygonometryczną.

Ćwiczenie 1Udowodnij, że dla dowolnego kąta ostrego α:

a) sin2 α+ cos2 α = 1, b) tgα = sinαcosα.

Jeżeli dana jest wartość jednej funkcji trygonometrycznej, to – korzystającz podanych wyżej tożsamości – można wyznaczyć wartości pozostałych funkcjitrygonometrycznych.

Przykład 1Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeślisinα = 35 .

Wartość cosα obliczymy, korzystając z jedynki trygonometrycznej:(35

)2+ cos2 α = 1

cos2 α = 1625

cosα = 45

wartości funkcji trygonometrycznychkąta ostrego są dodatnie

Obliczamy wartość tgα:

tgα = sinαcosα

=3545= 34

Ćwiczenie 1W dowodzie jedynki trygonometrycznej korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

a2 + b2 = c2

a) sin2 α+ cos2 α =(ac

)2+(bc

)2= a

2+b2

c2= c

2

c2= 1

b) sinαcosα =ac: bc= ab= tgα


Ćwiczenie 2a) Wiadomo, że sinα = 0,8 oraz α jest kątem ostrym. Oblicz cosα i tgα.

b) Wiadomo, że cosα = 1213 oraz α jest kątem ostrym. Oblicz sinα i tgα.

Aby obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych, możemy wykorzystać od-powiedni trójkąt prostokątny.

Ćwiczenie 3Przeczytaj podany w ramce przykład.

Przykład

Wiadomo, że tgα = 724 oraz α jest kątem ostrym. Oblicz sinα i cosα.

Rysujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnycha = 7 i b = 24. Długość przeciwprostokątnejobliczamy, korzystając z twierdzeniaPitagorasa:

c =√72 + 242 = 25

αA

B

C

a

b

c

Zatem:sinα = 725 , cosα =

2425

Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α.

a) tgα = 2120 b) tgα =√22 c) tgα =

√2 d) tgα = 2

Przykład 2Rozważmy trójkąt prostokątny ABC.

W tym trójkącie β = 90◦ − α. Zauważmy, że:sinβ = sin(90◦ − α) = b

c

α

β

A

B

C

a

b

c

i jednocześnie cosα = bc, zatem sin(90◦ − α) = cosα.

1. sin(90◦ − α) = cosα3. tg(90◦ − α) = 1

tgα2. cos(90◦ − α) = sinα

TWIERDZENIE

Ćwiczenie 4Uzasadnij podane wyżej tożsamości trygonometryczne 2. i 3. Oblicz wartościfunkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli:

a) sin(90◦ − α) = 310 , b) cos(90◦ − α) =√55 , c) tg(90

◦ − α) = 13 .

Ćwiczenie 2a) cosα = 35 , tgα =

43

b) sinα = 513 , tgα =512

Ćwiczenie 3a)

α20

2129

sinα = 2129 , cosα =2029

b)

α2

√2

√6

sinα =√33 , cosα =

√63

c)

α1

√2

√3

sinα =√63 , cosα =

√33

d)

α1

2√5

sinα = 2√55 , cosα =

√55

Ćwiczenie 4Uzasadnienie tożsamości trygonometrycznych:

α

ββ = 90◦ − α

b

ac2. cos(90◦ − α) = a

c= sinα

3. tg(90◦ − α) = ba= 1tgα

a) cosα = 310 , sinα =√9110 , tgα =

√913

b) sinα =√55 , cosα =

2√55 , tgα =

12

c) tgα = 3, sinα = 3√1010 , cosα =

√1010

5.4. Związki między funkcjami trygonometrycznymi 169

ZADANIA

1. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α,jeśli:

a) cosα = 0,8, c) sinα = 13 , e) cosα =√137 , g) tgα =

45 ,

b) cosα = 35 , d) sinα = 0,4, f) tgα =32 , h) tgα = 2,4.

2. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli:

a) sin(90◦ −α) =√32 , c) cos(90

◦ − α) = 14 , e) tg(90◦ −α) = 25 ,b) sin(90◦ − α) = 513 , d) cos(90◦ − α) =

√33 , f) tg(90

◦ − α) = 2.3. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C.Oblicz obwód tego trójkąta.

a) |AC| = 12, sin

5.5. Funkcje trygonometrycznekąta wypukłego (1)

Dla uproszczenia obliczeń, kąty umieszcza się często w układzie współrzędnychw ten sposób, że początek układu jest wierzchołkiem kąta. Jedno z ramionkąta, zwane jego ramieniem początkowym, zawiera się w dodatniej półosiOX. Drugie ramię będziemy nazywać ramieniem końcowym. Kąt odłożonyjest od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchuwskazówek zegara.

X

Y

60◦

O

150◦

X

Y

O

330◦

X

Y

O

Ćwiczenie 1Ile jest równa miara kąta, do którego ramienia końcowego należy punkt P ?Podaj współrzędne innego punktu należącego do ramienia końcowego tegokąta.

a)

X

Y

α

O

P (2, 2)

b)

α

X

Y

O

P (0, 2)c)

α

X

Y

O

P (−2, 2)

Przykład 1Do ramienia końcowego kąta α należy punkt (3, 2). Oblicz wartości funkcjitrygonometrycznych tego kąta.

W układzie współrzędnych prowadzimy półprostąOP(ramię końcowe kąta) oraz rysujemy trójkąt prosto-kątny POA (rysunek obok).Mamy |OA| = 3, |AP | = 2 oraz:

|OP | = √22 + 32 = √13 11

O X

Y

αA

P (3, 2)

Zatem sinα = 2√13= 2√1313 , cosα =

3√13= 3√1313 i tgα =

23 .

Ćwiczenie 2Do ramienia końcowego kąta α należy punkt P . Oblicz wartości funkcji try-gonometrycznych tego kąta.

a) P (3, 4) b) P (6, 8) c) P (√3, 1) d) P (3, 3

√3)

Ćwiczenie 1a) 45◦, Q(1, 1)

b) 90◦, Q(0, 1)

c) 135◦, Q(−1, 1)

Ćwiczenie 2a) |OP | = 5, sinα = 45 , cosα = 35 , tgα = 43b) |OP | = 10, sinα = 45 , cosα = 35 , tgα = 43c) |OP | = 2, sinα = 12 , cosα =

√32 , tgα =

√33

d) |OP | = 6, sinα =√32 , cosα =

12 , tgα =

√3

5.5. Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (1) 171

Jeśli P (x, y) jest dowolnym punktem leżącym na ramieniu końcowym kątaostrego α, różnym od początku układu współrzędnych, to:

sinα = yr, tgα = y

x, x �= 0,

cosα = xr,

gdzie r = |OP | =√x2 + y2.

X

Y

αy

x

P (x, y)

r

O

Podane powyżej wzory służą również do zdefiniowania funkcji trygonome-trycznych dowolnego kąta α ∈ 〈0◦; 180◦〉.

Niech P (x, y) będzie dowolnym punktem leżącym na ramieniu końcowymkąta α ∈ 〈0◦; 180◦〉, różnym od początku układu współrzędnych. Wtedy:sinα = y

r, cosα = x

r, gdzie r =

√x2 + y2,

tgα = yx(x �= 0, czyli α �= 90◦).

X

Y

αr

x

yP (x, y)

O

DEFINICJA

Uwaga. Każdy ze stosunków: yr ,xr ,

yx zależy wyłącznie od położenia ramienia

końcowego kąta, a nie zależy od wyboru punktu P .

Przykład 2Do ramienia końcowego kąta α należy punkt P (−3, 4).Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.

tgα = yx= −43

r =√(−3)2 + 42 = √25 = 5, zatem sinα = 45 , cosα = −35 . 1 X

Y

α

P (−3, 4)

O

Dla α ∈ (0◦; 90◦) zachodzą nierówności: sinα > 0, cosα > 0, tgα > 0.Dla α ∈ (90◦; 180◦) zachodzą nierówności: sinα > 0, cosα < 0, tgα < 0.

Ćwiczenie 3Do ramienia końcowego kąta α należy punkt P . Przedstaw ten kąt na rysunkui oblicz wartości jego funkcji trygonometrycznych.

a) P (−4, 3) b) P (−8, 6) c) P (−1, 3) d) P (−2, 6)

Ćwiczenie 4Do ramienia końcowego kąta α należy punkt P (−3, 1). Oblicz wartości funkcjitrygonometrycznych tego kąta. Sprawdź, czy dla obliczonych wartości zacho-dzi równość: a) sin2 α+ cos2 α = 1, b) sinαcosα = tgα.

Ćwiczenie 3a)

1

1

O X

Y

α

P (−4, 3)

r = 5, sinα = 35 ,

cosα = − 45 , tgα = − 34b)

1

1

O X

Y

α

P (−8, 6)

r = 10, sinα = 35 ,

cosα = − 45 , tgα = − 34c)

1

1

O X

Y

α

P (−1, 3)

r =√10, sinα = 3

√1010 ,

cosα = −√1010 , tgα = −3

d)

1

1

O X

Y

α

P (−2, 6)

r = 2√10, sinα = 3

√1010 ,

cosα = −√1010 , tgα = −3

Ćwiczenie 4r =√10 , sinα =

√1010 , cosα = − 3

√1010 , tgα = − 13

a) sin2 α+ cos2 α = 110 +910 = 1

b) sinαcosα =√1010 :(− 3√1010

)= − 13 = tgα


Ćwiczenie 5Uzasadnij podane obok twierdzenie. Dla dowolnego kąta α ∈ 〈0

◦; 180◦〉prawdziwe są zależności:

1. sin2 α+ cos2 α = 1

2. sinαcosα

= tgα dla α �= 90◦

ZADANIA

1. Podaj wartości funkcji trygonometrycznychpodanego kąta (rysunek obok).

a)

5.6. Funkcje trygonometrycznekąta wypukłego (2)

Rozpatrzmy punkt P (x, y) należący do ramienia końcowego kąta α oraz punktP1(−x, y) należący do ramienia końcowego kąta 180◦ − α (rysunek poniżej).Zauważmy, że |OP1| = |OP | = r,zatem:

sin(180◦ − α) = yr= sinα

cos(180◦ − α) = −xr= − cosα

tg(180◦ − α) = y−x = − tgαrr

α180◦ − α

X

Y

P (x, y)P1(−x, y)

O

Przykład 1Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów α i 180◦ − α, jeżeli punktP (4, 3) należy do ramienia końcowego kąta α, a punkt P1(−4, 3) – do ramieniakońcowego kąta 180◦ − α.|OP1| = |OP | = 5, zatem:sinα = 35 , sin(180

◦ − α) = 35cosα = 45 , cos(180

◦ − α) = −45tgα = 34 , tg(180

◦ − α) = −34 11

O X

Y

α

180◦ − α

P (4, 3)P1(−4, 3)

Ćwiczenie 1Narysuj w układzie współrzędnych kąt α, do którego ramienia końcowegonależy punkt P (4, 2), oraz kąt 180◦ − α. Oblicz wartości funkcji trygonome-trycznych kątów α i 180◦ − α.


sin(180◦ − α) = sinαcos(180◦ − α) = − cosαtg(180◦ − α) = − tgα

sin 120◦ = sin(180◦ − 60◦) = sin 60◦ =√32

cos 120◦ = cos(180◦ − 60◦) = − cos 60◦ = −12tg 120◦ = tg(180◦ − 60◦) = − tg 60◦ = −√3

Ćwiczenie 2Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α.

a) α = 135◦ b) α = 150◦

Ćwiczenie 1P (4, 2), P1(−4, 2)

1

1

O X

Y

α

180◦ − α PP1

r = 2√5,

sinα =√55 ,

cosα = 2√55 ,

tgα = 12 ,

sin(180◦ − α) =√55 ,

cos(180◦ − α) = − 2√55 ,

tg(180◦ − α) = − 12Ćwiczenie 2a) sin 135◦ = sin(180◦ − 45◦) = sin 45◦ =

√22 ,

cos 135◦ = cos(180◦ − 45◦) = − cos 45◦ = −√22 ,

tg 135◦ = tg(180◦ − 45◦) = − tg 45◦ = −1b) sin 150◦ = sin(180◦ − 30◦) = sin 30◦ = 12 ,cos 150◦ = cos(180◦ − 30◦) = − cos 30◦ = −

√32 ,

tg 150◦ = tg(180◦ − 30◦) = − tg 30◦ = −√33


Przykład 3Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych (s. 260), oblicz przy-bliżone wartości sin 125◦ i cos 168◦.

sin 125◦ = sin(180◦ − 55◦) = sin 55◦ ≈ 0,8192cos 168◦ = cos(180◦ − 12◦) = − cos 12◦ ≈ −0,9781

Ćwiczenie 3Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, oblicz przybliżonąwartość:

a) sin 105◦, b) sin 165◦, c) cos 130◦, d) cos 175◦, e) tg 142◦, f) tg 163◦.

ZADANIA

1. Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, sprawdź, czyprawdziwa jest podana nierówność.

a) sin 160◦ + cos 130◦ < 0 b) sin 105◦ + cos 145◦ > 0

2. Korzystając z podanych obok informacji, oblicz:

a) sin(180◦ − α) + cos(180◦ − β),b) 2 sin(180◦ −α)− cos(180◦ −β)+ tg(180◦ − γ).

sinα = 13tg γ = 56

cosβ = 23

3. Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, wyznacz przy-bliżoną miarę kąta rozwartego β.

a) sinβ = 0,9397 c) cosβ = −0,9613 e) tgβ = −0,7265b) sinβ = 0,4695 d) cosβ = −0,4226 f) tgβ = −2,9042

4. Przerysuj poniższą tabelę do zeszytu i ją uzupełnij.

α

sinα

cosα

tgα

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦√22√22

1

√32

− 12−√3×

0

1

0

12√32√33

√3212√3

1

0

√22

−√22

−1

12

−√32

−√33

0

−10

5. Oblicz.

a) sin 120◦ + sin 60◦ c) sin 135◦ · sin 150◦ e) 4 cos 150◦ − 3 tg 135◦b) cos 150◦ − cos 30◦ d) cos 120◦ · cos 150◦ f) 8 tg 120◦ + 6 tg 150◦

6. Oblicz.

a) sin 120◦−cos 150◦

3 tg150◦b) tg 150

◦−tg 120◦sin120◦

c) cos 135◦+cos 150◦

sin 120◦+sin135◦

Ćwiczenie 3a) sin 105◦ = sin(180◦−75◦) == sin 75◦ ≈ 0,9659b) sin 165◦ = sin(180◦−15◦) == sin 15◦ ≈ 0,2588c) cos 130◦ = cos(180◦−50◦) == − cos 50◦ ≈ −0,6428d) cos 175◦ = cos(180◦−5◦) == − cos 5◦ ≈ −0,9962e) tg 142◦ = tg(180◦ − 38◦) == − tg 38◦ ≈ −0,7813f ) tg 163◦ = tg(180◦ − 17◦) == − tg 17◦ ≈ −0,3057


1. a) sin 160◦ + cos 130◦ == sin 20◦ − cos 50◦ ≈≈ 0,3420 − 0,6428 < 0b) sin 105◦ + cos 145◦ == sin 75◦ − cos 35◦ ≈≈ 0,9659 − 0,8192 > 0

2. a) − 13 b) 12

3. a) β ≈ 110◦b) β ≈ 152◦c) β ≈ 164◦d) β ≈ 115◦e) β ≈ 144◦f ) β ≈ 109◦

5. a)√3 b) −√3

c)√24 d)

√34

e) 3− 2√3 f ) −10√3

6. a) sin60◦+cos30◦

−3tg 30◦ =√32 +

√32

−√3 = −1

b) − tg 30◦+tg60◦

sin60◦ =−√33 +√3√

32

= 43

c)− cos 45◦−cos 30◦

sin60◦+sin45◦=−√22 −√32√

32 +

√22

= −1

5.6. Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (2) 175

7. Przeczytaj podany w ramce przykład.

PrzykładOblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 150◦.Zauważmy, że 150◦ = 90◦ + 60◦.Rozpatrzmy trójkąt równoboczny POA (ry-sunek obok) o boku długości 1, wówczas:

|OP ′| = 12 , |PP ′| =√32

Zatem punkt P należący do ramienia końco-wego kąta 150◦ ma współrzędne

(−√32 ,12

),

60◦1

X

Y

P (x, y) P ′

A

O

a stąd:

sin 150◦ = y|OP | =12 , cos 150

◦ = x|OP | = −√32 , tg 150

◦ = yx= −

√33

Uzasadnij, że punkt P(−√22 ,√22

)należy do ramienia końcowego kąta 135◦

i oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Na rysunku obok przedstawiono wykres funk-cji f , która kątowi x ∈ 〈0◦; 180◦〉 przyporząd-kowuje sinus tego kąta: f(x) = sin x. Zauważ,że dla dowolnego x zachodzi równość:

sin(180◦ − x) = sinx

f1

X

Y

30◦ 60◦ 90◦ 120◦150◦180◦O

Na rysunku obok przedstawiono wykres funk-cji g, która kątowi x ∈ 〈0◦; 180◦〉 przyporząd-kowuje cosinus tego kąta: g(x) = cosx. Za-uważ, że dla dowolnego x zachodzi równość:

cos(180◦ − x) = − cosx

g1

X

Y

30◦ 60◦ 90◦ 120◦150◦180◦O

POWTÓRZENIE

1. Jaki kąt należy wpisać w miejsce ? , aby, korzystając z tabeli wartościfunkcji trygonometrycznych (s. 260), można było podać przybliżoną war-tość funkcji? Podaj tę wartość.

a) sin 111◦ = sin(180◦ − ? ) c) cos 123◦ = − cos(180◦ − ? )b) sin 132◦ = sin(180◦ − ? ) d) cos 107◦ = − cos(180◦ − ? )

2. Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, oblicz przybli-żoną wartość:

a) sin 160◦, b) sin 95◦, c) cos 100◦, d) cos 147◦, e) tg 102◦.

7. Zauważmy, że:135◦ = 90◦ + 45◦

Rozpatrzmy trójkąt pro-stokątny równoramiennyPOA o bokach długości:1, 1,

√2.

45◦1

X

Y

P (x, y) P ′

A

O

|OP ′| =√22 , |PP ′| =

√22

Zatem punkt P należącydo ramienia końcowego ką-ta 135◦ ma współrzędne:(−√22 ,√22

),

a stąd:

sin 135◦ =√22 ,

cos 135◦ = −√22 ,

tg 135◦ = −1

Powtórzenie

1. a) sin 69◦ ≈ 0,9336b) sin 48◦ ≈ 0,7431c) cos 123◦ = − cos(180◦ − 123◦) = − cos 57◦ ≈ −0,5446d) cos 107◦ = − cos(180◦ − 107◦) = − cos 73◦ ≈ −0,2924

2. a) 0,3420 b) 0,9962 c) −0,1736 d) −0,8387 e) −4,7046


5.7. Zagadnienia uzupełniające

Współczynnik kierunkowy prostej

Rozpatrzmy prostą y = ax, gdzie a �= 0.a > 0 a < 0

O X

Y

α

y =ax

P (x, y)

O X

Y

α

y = ax

P (x, y)

Niech punkt P (x, y) należy do prostej y = ax i leży w I lub II ćwiartceukładu współrzędnych. Wówczas zgodnie z definicją funkcji tangens:yx= tgα, czyli y = tgα · x. Wynika stąd poniższe twierdzenie.

Współczynnik kierunkowy a prostej y = ax jest równy tangensowikąta α, jaki ta prosta tworzy z osią OX: a = tgα.

Przykłada) b)

1

1

O X

Y

α

y =25x

1

1

O X

Y

α

y = − √33 x

Prosta y = 25x tworzy z osią OX kątα taki, że tgα = 25 , zatem α ≈ 22◦.

Prosta y = −√33 x tworzy z osią OX

kąt α taki, że tgα = −√33 , zatem

α = 150◦.

1. Wyznacz miarę kąta, który dana prosta tworzy z osią OX.

a) y =√33 x b) y =

√3x c) y = −√3x d) y + x = 0

2. Wyznacz przybliżoną miarę kąta, który dana prosta tworzy z osią OX.

a) y = 19x b) y = −25x c) 10y − 3x = 0 d) 10y + x = 0


1. a) 30◦ b) 60◦

c) 120◦ d) 135◦

2. a) 87◦ b) 158◦12′

c) 16◦42′ d) 174◦17′

5.7. Zagadnienia uzupełniające 177

Zauważ, że dla dowolnego współczynnika b prosta y = ax + b tworzyz osią OX taki sam kąt jak prosta y = ax.

a > 0 a < 0

O X

Y

α α

y=ax

y=ax+b

O X

Y

ααy=ax

y=ax+b

Współczynnik kierunkowy a prostej y = ax + b jest równy tangesowikąta α, jaki ta prosta tworzy z osią OX: a = tgα.

3. Wyznacz przybliżoną miarę kąta, który dana prosta tworzy z osią OX.

a) y = 35x− 6 b) y − 4x+ 8 = 0 c) 2y + 6x+ 14 = 04. Przeczytaj podany w ramce przykład.

PrzykładWyznacz miarę kąta między prostymi y = −

√33 x

i y = −√3x.Prosta y = −

√33 x tworzy z osią OX kąt α taki,

że tgα = −√33 , czyli α = 150

◦.

Prosta y = −√3x tworzy z osią OX kąt β taki,że tg β = −√3, czyli β = 120◦.Kąt między tymi prostymi jest więc równy:

α− β = 150◦ − 120◦ = 30◦

O X

Y

α

β

y = − √33 x

y=− √3x

Wyznacz miarę kąta między prostymi:

a) y = −√3x i y = x, b) y = 2x+ 1 i y = −4x+ 1.5. Wyznacz miary kątów trójkąta ograniczonego prostymi o równaniach:

a) y = x+ 4, y =√3x− 1, y = −2,

b) y =√33 x− 2, y =

√3x+ 3, x = 6.

6. Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt (0, 3) i tworzą-cych z osią OX kąt: a) 30◦, b) 60◦, c) 120◦.

3. a) 30◦58′

b) 75◦58′

c) 108◦26′

4. a) tgα = −√3, czyliα = 120◦

tg β = 1, czyli β = 45◦

Zatem α− β = 75◦.b) tgα = 2, czyliα ≈ 63◦26′tg β = −4, czyliβ ≈ 180◦ − 75◦58′ = 104◦2′Zatemβ − α ≈ 104◦2′ − 63◦26′ == 40◦36′.

5. a)

1

1

X

Y

α β

γ

tgα = 1, czyli α = 45◦

tg(180◦ − β) = √3, czyli180◦ − β = 60◦, β = 120◦γ = 180◦ − (α+ β) = 15◦b)

1

1O X

Y

α

β

γ

tg(β − 90◦) =√33 , czyli

β − 90◦ = 30◦, β = 120◦tg(90◦ − γ) = √3, czyli90◦ − γ = 60◦, γ = 30◦α = 180◦ − (β + γ) = 30◦

6. a) y =√33 x+ 3 b) y =

√3x+ 3 c) y = −√3x+ 3


Zestawy powtórzeniowe

Zestaw I

1. Uzasadnij, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnego kąta ostrego α.

a) sinα < 1 b) cosα < 1 c) sinα < tgα

2. Wyznacz kąt ostry α, dla którego spełnione jest równanie.

a) 4− 2 sinα = 3 c) 2√6 sinα = 3√2b) 3−√2 cosα = 2 d) √2 cosα−

√22 =

√6−√22

3. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta pro-stokątnego o przyprostokątnych a i b.

a) a = 2, b = 4 b) a = 2, b = 2√3

4. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznychkątów α1 i α2 w trójkącie ABC(rysunek obok).

5. Oblicz wartości funkcji trygonometry-cznych kątów ostrych trójkąta ABC.

α1 α2A D B

C

12

912

a) A(−2, 0), B(4, 0), C(4, 8) c) A(−6,−1), B(6, 4), C(6,−1)b) A(−2,−2), B(8,−2), C(−2, 4) d) A(−1,−5), B(4, 5), C(−1, 5)

6. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α,jeśli wiadomo, że:

a) cosα = 56 , c) cosα =13 , e) sinα =

15 , g) tgα =

158 ,

b) sinα = 0,9, d) sinα =√33 , f) cosα =

√26 , h) tgα =

√5.

7. Dany jest trapez prostokątny o dłuższej podstawie a, krótszej podstawie bi wysokości h. Oblicz miary kątów, jakie przekątne tego trapezu tworząz jego podstawami.

a) a = 8 cm, b = 4 cm, h = 6√3 cm b) a = 10 cm, b = 6 cm, h = 4 cm

8. Dany jest trapez prostokątny o wysokości równej 6, krótszej podstawierównej 4 i kącie ostrym α takim, że cosα = 0,8. Oblicz obwód tego trapezu.

9. Podstawy trapezu mają długości 10 i 4, a jego ramiona tworzą z dłuższąpodstawą kąty 45◦ i 60◦. Oblicz obwód tego trapezu.


1. a < c oraz b < c

α

a

b

c

a) sinα = ac< cc= 1

b) cosα = bc< cc= 1

c) sinα = ac< ab= tgα

2. a) α = 30◦ b) α = 45◦

c) α = 60◦ d) α = 30◦

3. a) sinα = cos β =√55 ,

cosα = sin β = 2√55 ,

tgα = 12 , tg β = 2

b) sinα = cos β = 12 ,

cosα = sin β =√32 ,

tgα =√33 , tg β =

√3

4. sinα1 = 35 , cosα1 =45 ,

tgα1 = 34 , sinα2 =34 ,

cosα2 =√74 , tgα2 =

3√77

5. a) sinα = cos β = 45 ,cosα = sin β = 35 ,

tgα = 43 , tg β =34

b) sinα = cos β = 3√3434 ,

cosα = sin β = 5√3434 ,

tgα = 35 , tg β =53

c) sinα = cos β = 513 ,

cosα = sin β = 1213 ,

tgα = 512 , tg β =125

d) sinα = cos β =√55 ,

cosα = sin β = 2√55 ,

tgα = 12 , tg β = 2

6. a) sinα =√116 , tgα =

√115

b) cosα =√1910 ,

tgα = 9√1919

c) sinα = 2√23 , tgα = 2

√2

d) cosα =√63 , tgα =

√22

e) cosα = 2√65 , tgα =

√612

f ) sinα =√346 , tgα =

√17

g) sinα = 1517 , cosα =817

h) sinα =√306 , cosα =

√66

7. a) α ≈ 68◦54′, β ≈ 52◦24′b) α ≈ 33◦42′, β ≈ 21◦48′

8. 32

9.

45◦ 60◦

A E F x B

CD|CD| = 4, |AB| = 10Niech |FB| = x. Wtedy:|BC| = 2x, |FC| = x√3|AE| = |DE| = |FC| = x√3|AD| = |AE| · √2 = x√6|AE|+ |EF |+ |FB| = |AB|,czyli x

√3 + 4 + x = 10. Stąd x = 3(

√3− 1).

Zatem Ob = 10 + 6(√3− 1) + 4 + 3√6(√3− 1) = 8 + 6√3 + 9√2− 3√6.

Zestawy powtórzeniowe 179

Zestaw II

1. Uzasadnij, że dla dowolnego kąta α ∈ 〈0◦; 180◦〉 spełniony jest warunek:a) 0 sinα 1, b) −1 cosα 1.

2. Uzasadnij, że nie istnieje kąt α ∈ 〈0◦; 180◦〉 spełniający równanie:a) 5− 23 sinα = 3, c)

√5 sinα = 5−√5,

b) 13 cosα+14 =

12 cosα, d) 3 cosα + 6 =

√3.

3. Oblicz.

a) sin 30◦(cos 0◦ − 2 cos 135◦) e) cos 135◦ · sin 90◦ − sin 135◦ · cos 90◦b) (cos 30◦ + cos 150◦) · tg 75◦ f) sin 15◦ · (tg 135◦ + 1)c) sin150

◦−2 sin30◦cos 45◦ g)

tg 60◦

sin 30◦−cos 150◦

d) sin45◦+cos 150◦

tg 45◦h) tg 120

◦+tg150◦

sin60◦

4. Uzasadnij, że podane wyrażenie przyjmuje wartość 1.

a) sin2 37◦ + sin2 53◦ c) sin 20◦ · cos 70◦ + cos2 20◦

b) sin2 18◦ + sin2 72◦ d) sin2 26◦ + sin 64◦ · cos 26◦Wskazówka. Skorzystaj z zależności cosα = sin(90◦ − α).

5. Narysuj w układzie współrzędnych kąt α, do którego ramienia końcowegonależy punkt P . Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.

a) P (1, 4) b) P (−1, 4) c) P (−3, 2) d) P (−2, 3)

6. Współrzędne punktu P (x, y), który leży na ramieniu końcowym kąta α,spełniają podane niżej warunki. Wyznacz współrzędne punktu P oraz ob-licz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α.

a) x = −2, y = 3− x c) x = y + 3, y = −x+ 6b) x = 13y, y = x+ 4 d) x

2 + 9 = 6x, 4y2 − 4y + 1 = 0

7. Dany jest trójkąt o kątach: α, β i γ. Korzystając z tablic, oblicz wartościfunkcji trygonometrycznych kąta γ.

a) α = 17◦, β = 30◦ b) α = 28◦, β = 45◦

8. Kąty α i β spełniają warunki: α < β i α + β = 180◦. Oblicz wartościfunkcji trygonometrycznych kąta β, jeśli:

a) sinα = 14 , b) cosα =1213 , c) tgα =

25 .

1. Niech P (x, y) – punkt le-żący na ramieniu końco-wym kąta α ∈ 〈0◦; 180◦〉,r =√x2 + y2.

a) y � 0, czylisinα = y

r� 0

y =√y2 �

√x2 + y2 = r,

czyli sinα = yr� rr= 1.

Zatem 0 � sinα � 1.b) |x| =

√x2 ��√x2 + y2 = r,

więc |x|r� 1, czyli

| cosα| � 1.Zatem −1 � cosα � 1.

2. a) 5− 23 sinα = 3, czylisinα = 3 > 1, zatem takikąt α nie istnieje.

b) 13 cosα+14 =

12 cosα,

czyli cosα = 32 > 1, zatemtaki kąt α nie istnieje.

c)√5 sinα = 5−√5, czyli

sinα =√5− 1 > 1, zatem

taki kąt α nie istnieje.

d) 3 cosα+ 6 =√3, czyli

cosα =√33 −2 < −1, zatem

taki kąt α nie istnieje.

3. a)√2+12 b) 0 c) −

√22

d)√2−√32 e) −

√22 f ) 0

g) 3−√3 h) − 834. a) sin2 37◦ + sin2 53◦ == sin2(90◦ − 53◦)++ sin2 53◦ == cos2 53◦ + sin2 53◦ = 1

c) sin 20◦ · cos 70◦++cos2 20◦ == sin 20◦ · cos(90◦ − 20◦)++ cos2 20◦ == sin2 20◦ + cos2 20◦ = 1

5. a) sinα = 4√1717 , cosα =

√1717 , tgα = 4

b) sinα = 4√1717 , cosα = −

√1717 , tgα = −4

c) sinα = 2√1313 , cosα = − 3

√1313 , tgα = − 23

d) sinα = 3√1313 , cosα = − 2

√1313 , tgα = − 32

6. a) P (−2, 5), sinα = 5√2929 , cosα = − 2

√2929 , tgα = − 52

b) P (2, 6), sinα = 3√1010 , cosα =

√1010 , tgα = 3

c) P ( 92 ,32 ), sinα =

√1010 , cosα =

3√1010 , tgα =

13

d) P (3, 12 ), sinα =√3737 , cosα =

6√3737 , tgα =

16

7. a) sin γ ≈ 0,7314, cos γ ≈ −0,6820, tg γ ≈ −1,0724b) sin γ ≈ 0,9563, cos γ ≈ −0,2924, tg γ ≈ −3,2709

8. a) sin β = 14 , cos β = −√154 , tg β = −

√1515

b) sin β = 513 , cos β = − 1213 , tg β = − 512c) sin β = 2

√2929 , cosβ = − 5

√2929 , tg β = − 25


Przed obowiązkową maturą z matematykiTestRozwiąż zadania i zapisz odpowiedzi w zeszycie. W każdym zadaniu tylkojedna odpowiedź jest prawidłowa.

1. Sinus kąta ostrego α jest równy 15 . Wynika stąd, że:

A. cosα = 15 , C. cosα =√65 ,

B. cosα = 45 , D. cosα =2√65 .

2. Jeśli α jest kątem ostrym oraz cosα = 13 , to:A. α ∈ (0◦; 30◦), C. α ∈ (45◦; 60◦),B. α ∈ (30◦; 45◦), D. α ∈ (60◦; 90◦).

3. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 50 cm, a sinusjednego z kątów ostrych jest równy 2425 . Obwód tego trójkąta jest równy:

A. 112 cm, B. 108 cm, C. 100 cm, D. 98 cm.

4. Jeśli kąt α jest ostry i tgα = 13 , to wyrażenie sinα · cosα jest równe:A. 13 , B. 1, C.

310 , D. 3.

5. Istnieje kąt ostry α taki, że:

A. sinα = 12 i cosα =12 , C. sinα =

√53 i cosα =

23 ,

B. sinα =√32 i tgα =

√33 , D. sinα =

13 i cosα =

23 .

6. Dany jest trójkąt prostokątny (rysunek obok), w którym|BC| = 6 oraz sinα = 23 . Wówczas:A. |AC| = 6, C. |AC| = 5√3,B. |AC| = 3√5, D. |AC| = 9.

A B

C

α

7. Wartość wyrażenia cosα+ cos(90◦ − α) dla α = 60◦ jest równa:A. 1√

3−1 , B.√3+14 , C.

√32 , D.

12 .

8. Wskaż wyrażenie, którego wartość jest równa 1.A. sin 61◦ + cos 151◦ C. sin 151◦ · cos 61◦B. sin 151◦ − cos 61◦ D. sin 151◦ : cos 61◦

9. Wartość wyrażenia (sin 150◦ + tg 135◦) · tg 120◦cos 150◦ jest liczbą przeciwną do

liczby:

A. −1, B. 1, C. √3, D. −√3.

3.α

24x

b25x

b =√(25x)2 − (24x)2 =

= 7x

25x = 50

x = 2

Ob = 56x = 112 [cm]

4.

α

x

3x

c

c =√(3x)2 + x2 =

√10x

sinα = 1√10,

cosα = 3√10

sinα · cosα = 3105. A. sin2 α+ cos2 α == 14 +

14 =

12

B. α = 60◦ i α = 30◦, czylisprzeczność

C. sin2 α+ cos2 α == 59 +

49 = 1

D. sin2 α+ cos2 α == 19 +

49 =

59

7. cos 60◦ + cos 30◦ = 12 +√32 =

1+√3

2

A. 1√3−1 ·

√3+1√3+1=√3+12

8. A. sin(90◦ − 29◦) + cos(180◦ − 29◦) = cos 29◦ − cos 29◦ = 0B. sin(180◦ − 29◦)− cos(90◦ − 29◦) = sin 29◦ − sin 29◦ = 0C. sin(180◦ − 29◦) · cos(90◦ − 29◦) = sin 29◦ · sin 29◦ = sin2 29◦ = 1D. sin(180◦ − 29◦) : cos(90◦ − 29◦) = sin 29◦ : sin 29◦ = 1

9. (sin 150◦ + tg 135◦) · tg 120◦cos 150◦ = (sin 30◦ − tg 45◦) · − tg 60◦

− cos 30◦ =(12 − 1

) ·√3√32

= −1−(−1) = 1

Przed obowiązkową maturą z matematyki 181

Zadania z krótką odpowiedzią

Zadanie 1 (2 pkt)Oblicz cosinus kąta ostrego, jeśli kwadrat odwrotności sinusa tego kąta jestrówny 5.

Zadanie 2 (2 pkt)Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokąt-nych

√2 i 2√2 oraz kątach ostrych α i β. Oblicz

sinα · sin β.Zadanie 3 (2 pkt)Dany jest okrąg o środku O i promieniu 6 (ry-sunek obok). Oblicz długość cięciwy AB, jeślisinα = 0,8.

α

O

A BD

Zadanie 4 (2 pkt)Uzasadnij, że dla dowolnego kąta α ∈ 〈0◦; 90◦) ∪ (90◦; 180◦〉 prawdziwa jestrówność 1

cos2 α= tg2 α+ 1.

Zadania z rozszerzoną odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)Oblicz obwód trójkąta ABC (rysunek obok) orazwartości funkcji trygonometrycznych kąta α.

A

B

C2x

x−2,5

2x+0,5

α

Zadanie 6 (4 pkt)Długości boków trójkąta prostokątnego o kątach ostrych α i β są kolejnymiliczbami parzystymi. Oblicz wartość wyrażenia (sinα+ sin β)2.

Zadanie 7 (4 pkt)Dany jest trapez o podstawach długości 4 cm i (7 + 3

√3) cm oraz wysokości

3 cm. Jego kąty ostre przylegają do dłuższej podstawy, a jeden z nich mamiarę równą 45◦. Oblicz iloczyn cosi-nusów kątów rozwartych tego trapezu.

Zadanie 8 (4 pkt)W celu obliczenia szerokości rzeki (dłu-gość odcinka CE na rysunku obok) do-konano pomiarów w terenie: α = 32◦,β = 8◦, |AC| = 120 m. Oblicz szero-kość rzeki z dokładnością do 1 m. A B

E

C

α

β

1. 1sin2α = 5, czyli sin2 α = 15

cos2 α = 1− sin2 α == 1− 15 = 45cosα = 2

√55

2. 25

3. sinα = |OD||AO| , czyli

|OD| = 0,8 · 6 = 4,8|AD| =√62 − 4,82 = 3,6|AB| = 2|AD| = 7,2

4. 1cos2 α =sin2α+cos2 αcos2α =

= sin2 α

cos2 α + 1 = tg2 α+ 1

5. (2x+ 0,5)2 = (x− 2,5)2++(2x)2 i x > 2,5

x2 − 7x+ 6 = 0 i x > 2,5,czyli x = 6

Ob = 5x− 2 = 28,sinα = 3,512,5 =

725 ,

cosα = 1212,5 =2425 ,

tgα = 3,512 =724

6.

α

β

2n

2n+ 2

2n+4

(2n)2 + (2n+ 2)2 == (2n+ 4)2, gdzie n > 0Stąd n = 3 oraz długościboków trójkąta: 6, 8, 10

(sinα+ sin β)2 =

=(35 +

45

)2 = 4925

7.

45◦ β3 4

4

3√3

3 3

tg β =√33 , zatem β = 30

◦

cos(180◦ − 45◦) · cos(180◦ − 30◦) == − cos 45◦ · (− cos 30◦) =

√22 ·

√32 =

√64

8. |BC|120 = sin 32◦, czyli |BC| = 120 · sin 32◦

|AB|120 = cos 32

◦, czyli |AB| = 120 · cos 32◦|BE||AB| = tg 40

◦, czyli |BE| = 120 · cos 32◦ · tg 40◦|CE| = |BE| − |BC| = 120 · (cos 32◦ · tg 40◦ − sin 32◦) ≈

≈ 120 · (0,848 · 0,8391 − 0,5299) ≈ 22 [m]


Trygonometria · 2020. 3. 28. · 5.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego...

Documents

Transcript of Trygonometria · 2020. 3. 28. · 5.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego...