Trójkąty

Co to jest trójkąt...? Trójkąt – Wielokąt o trzech bokach. Jest to

najmniejsza figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami.

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności

Rodzaje Trójkątów...

Rodzaje

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

A, B, C – wierzchołkia, b, c – bokiα, β, γ – kąty

Podział ze względu na boki...

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:•trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;

•trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości;

•trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.

różnoboczny równoramienny równoboczny

Podział ze względu na kąty...

trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre;

• trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;

• trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

ostrokątny prostokątny rozwartokątny

Ważne elementy...

Wysokość trójkąta:Wysokość trójkąta – najkrótszy odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok trójkąta, zwany podstawą. Słowem wysokość określa się również długość tego odcinka.

Każdy trójkąt ma trzy wysokości. W trójkącie ostrokątnym wszystkie mają odcinek wspólny z wnętrzem trójkąta, w trójkącie prostokątnym dwie z jego wysokości zawierają przyprostokątne, a w trójkącie rozwartokątnym wysokości poprowadzone z kątów ostrych przecinają go tylko w wierzchołku. W trójkącie równobocznym o boku a długości wszystkich wysokości są równej miary, która wynosi:

Środkowa trójkąta:

Środkowa trójkąta – odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe.

Każda ze środkowych dzieli trójkąt na dwie części o równych polach. Korzystając z twierdzenia Carnota można dowieść, że w trójkącie o bokach a,b,c, długość środkowej d opadającej na bok c wynosi:

Symetralna Trójkąta...

Symetralna odcinka – prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Równoważnie - prosta będąca zbiorem punktów równo oddalonych od obu końców odcinka. Poprawność drugiej definicji wynika z twierdzenia mówiącego, że taki zbiór punktów faktycznie tworzy prostą.

Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka.

symetralne i okrąg opisany

Dwusieczne kąta: Dwusieczna kąta – półprosta, która

dzieli kąt na dwie figury przystające. Dwusieczna jest zbiorem punktów

równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii.

Opis konstrukcji dwusiecznej: Aby narysować dwusieczną, należy:• Z wierzchołka O danego kąta

dowolnym promieniem zakreślić łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach A, B

• Z punktów A i B większą rozwartością cyrkla zakreślić łuki, które przetną się w punkcie C

• Półprosta OC jest dwusieczną

Nierówności trójkąta:

W każdym trójkącie o bokach  ,   i   zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

i analogicznie:

Trójkąt o bokach  ,   i   istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

Dziękujemy za uwagę:Dominik i Adrian