Technika Mikroprocesorowa 1

Technika Mikroprocesorowa 1

Kody binarne

Wykład 2 2/52

Kody binarne w technice mikroprocesorowej

Arytmetyka binarnych liczb całkowitych

Arytmetyka liczb stałopozycyjnych

Arytmetyka liczb zmiennopozycyjnych

Kody binarne - NB 3/52

NB

BIN DEC HEX0000 0 00001 1 10010 2 20011 3 30100 4 40101 5 50110 6 60111 7 71000 8 81001 9 91010 10 A1011 11 B1100 12 C1101 13 D1110 14 E1111 15 F

wagi bitów w bajcie:27 26 25 24 23 22 21 20

128 64 32 16 8 4 2 1

10

2N..i

iiNB bL

Przykładowo:30 = 16+8+4+2 = 24+23+22+21 00011110

binarnie dziesiętnie szesnastkowona 1 tetradzie(ang. nibble):0000..1111 0..15 0..0Fhna 1 bajcie:00000000.. 0..255 00..0FFh..11111111

na 2 bajtach:0000000000000000.. 0.. 0000....1111111111111111 ..65535 ..0FFFFh

Kody binarne - NB 4/52

zakresy wartości:

Zastosowania:arytmetyka liczb dodatnich, indeksowanie tablic, zliczanie zdarzeń

Kody binarne - ZM 5/52

ZM

BIN DEC HEX0000 0 00001 1 10010 2 20011 3 30100 4 40101 5 50110 6 60111 7 71000 - 81001 -1 91010 -2 A1011 -3 B1100 -4 C1101 -5 D1110 -6 E1111 -7 F

wagi bitów w bajcie:b.z. 26 25 24 23 22 21 20

0/1 64 32 16 8 4 2 1

2021 1

N..i

ii

bZM b)(L N

Przykładowo:-30 = -1(16+8+4+2) = -1(24+23+22+21) 10011110

Kody binarne - ZM 6/52

binarnie dziesiętnie szesnastkowona 1 tetradzie:

1111..0111 -7..7 0Fh..7na 1 bajcie:11111111.. -127..127 0FFh..7Fh..01111111

na 2 bajtach:1111111111111111.. -32767.. 0FFFFh....0111111111111111 ..32767 ..7FFFh

zakresy wartości:

Zastosowania:reprezentacja mantys liczb w zapisie zmiennopozycyjnym,niektóre przetworniki A/C

Kody binarne - U2 7/52

U2

BIN DEC HEX1000 -8 81001 -7 91010 -6 A1011 -5 B1100 -4 C1101 -3 D1110 -2 E1111 -1 F0000 0 00001 1 10010 2 20011 3 30100 4 40101 5 50110 6 60111 7 7

wagi bitów w bajcie:-27 26 25 24 23 22 21 20

-128 64 32 16 8 4 2 1

20

12 2128N..i

iiNU bbL

Przykładowo:30 = 16+8+4+2 = 24+23+22+21 00011110-30 = -128+64+32+2 = -(27)+26+21 11000010


binarnie dziesiętnie szesnastkowona 1 tetradzie:

1000..0111 -8..7 8..7na 1 bajcie:10000000.. -128..127 80h..7Fh..01111111

na 2 bajtach:1000000000000000.. -32768.. 8000h....0111111111111111 ..32767 ..7FFFh

zakresy wartości:

Zalety:prosta arytmetyka, prawidłowy znak sumy lub różnicy liczb powstaje automatycznieZastosowania:arytmetyka liczb ze znakiem, cechy liczb w zapisie zmiennopozycyjnym

Reguła negacji znaku w U2: L LU U2 2 1

Przykłady:17 00010001 -17 11101111 1 00000001 256 0000000100000000

11101110 00010000 11111110 1111111011111111+1 +1 +1 +1

-17 11101111 17 00010001 -1 11111111 -256 1111111100000000

Metoda mnemotechniczna:256 0000000100000000 0 1 0 0h

negacja-256 1111111100000000 0 F F 0 0h

dopełnienie do 15-stu dopełnienie do 16-stu



U1

BIN DEC HEX1000 -7 81001 -6 91010 -5 A1011 -4 B1100 -3 C1101 -2 D1110 -1 E1111 -0 F0000 0 00001 1 10010 2 20011 3 30100 4 40101 5 50110 6 60111 7 7

wagi bitów w bajcie:1-27 26 25 24 23 22 21 20

-127 64 32 16 8 4 2 1

20

11 2127N..i

iiNU bbL

Przykładowo:33 = 32+1 = 25+20 00100001-33 = -127+64+16+8+4+2 = (1-27)+26+24+23+22+21 11011110

Wady:„podwójne zero”, trudniejsza arytmetyka liczb o różnych znakach

Kody binarne - BCD 11/52

BCD

BIN DEC HEX0000 0 00001 1 10010 2 20011 3 30100 4 40101 5 50110 6 60111 7 71000 8 81001 9 9

Przykładowo:33 = 10(2+1) + 1(2+1) = 10(21 + 20) + 1(21 + 20) 00110011

3..0i

i

D..0d

dBCD )2b10(L di

Wady:słabe wykorzystanie dostępnych bitów, brak znaku.

Zastosowania:arytmetyka liczb w zapisie BCD, obsługa wyświetlaczy, jako kod pośredni międzyzapisem binarnym liczby a jej reprezentacją tekstową (w kodzie ASCII).

wagi bitów w bajcie (tzw. kodu spakowanego:1023 1022 1021 1020 23 22 21 20

80 40 20 10 8 4 2 1

d=0d=1

Kody binarne - kod Gray’a 12/52

kod Gray’a

BIN DEC0000 00001 10011 30010 20110 60111 70101 50100 41100 121101 131111 151110 141010 101011 111001 91000 8

0 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0

tworzeniekolejnych słów kodu:

Zaleta:dowolne dwa kolejne kody (także pierwszy i ostatni)różnią się tylko na jednej pozycji!Zastosowanie:tarcze kodowe do kontroli położenia obracających się elementów

Kody binarne - pierścieniowy 13/52

kod pierścieniowy

Zastosowanie:dekodery wybierające np. 1 z N urządzeń, ukł. pamięci

kod 1z N kod 1 z Nprzykłady dla N=8

binarnie szesnastkowo binarnie szesnastkowo00000001 01 11111110 FE00000010 02 11111101 FD00000100 04 11111011 FB00001000 08 11110111 F700010000 10 11101111 EF00100000 20 11011111 DF01000000 40 10111111 BF10000000 80 01111111 7F


kod pseudopierścieniowy

przykład dla 8 bitówbinarnie szesnastkowo

00000000 0000000001 0100000011 0300000111 0700001111 0F00011111 1F00111111 3F01111111 7F11111111 FF11111110 FE11111100 FC11111000 F811110000 F011100000 E011000000 C010000000 80


kod Aikena (2421)

binarnie szesnastkowo0000 00001 10010 20011 30100 41011 B

oś symetrii kodu

1100 C słowa binarne położone symetrycznie względem tej osi1101 D są wzajemnie swoimi negacjami1110 E1111 F

Kody binarne - ASCII 16/52

ASCII128 kodów binarnych (0..127) reprezentujących: 33 kody sterujące i 95 podstawowych znaków alfanumerycznych

Zastosowanie:komunikacja znakowa (tekstowa), obsługa wyświetlaczy mozaikowych, drukarek, klawiatur autonomicznych, itd.ASCII rozszerzony - dodatkowe 128 kodów (128..255) reprezentujących różne znaki pisarskie i semigrafikę.

ASCII podstawowy

0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_

_0 NUL DLE 0 @ P ` p

_1 SOH DC1 ! 1 A Q a q

_2 STX DC2 ‘’ 2 B R b r

_3 ETX DC3 # 3 C S c s

_4 EOT DC4 $ 4 D T d t

_5 ENQ NAK % 5 E U e u

_6 ACK SYN & 6 F V f v

_7 BEL ETB ‘ 7 G W g w

_8 BS CAN ( 8 H X h x

_9 HT EM ) 9 I Y i y

_A LF SUB * : J Z j z

_B VT ESC + ; K [ k {

_C FF FS , < L \ l |

_D CR GS - = M ] m }

_E SO RS . > N ^ n ~

_F SI US / ? O _ o DEL

Arytmetyka - NB 17/52

Dodawanie i odejmowanie liczb w NB

01011100+ 10010011 11101111

5Ch + 93h 0EFh

92 + 147 239

10001000+ 10100000 1 00101000

88h + 0A0h 128h

136+ 160 296=256+40

0 10 01110111- 00101010 01001101

77h - 2Ah 4Dh

119 - 42 77

1 0 10 10 10 10 1 10|1

01010000- 01100100 1 11101100

50h - 64h 0ECh U2 14h

80 - 100 - 20

Przeniesienie (CY) sygnalizuje: nadmiar przy dodawaniu NB pożyczkę przy odejmowaniu w NB

Arytmetyka - U2 18/52

Dodawanie i odejmowanie liczb w U2

Zał. S1, S2, S - znaki argumentów i wyniku (ich najstarsze bity)Nadmiar: przy dodawaniu w U2 występuje gdy S1=S2S przy odejmowaniu w U2 występuje gdy S1S2 i CY=S

01011100+ 00100011 01111111

5Ch + 23h 7Fh

92 + 35 127

01011000+ 10100000 11111000

58h + 0A0h 0F8h

88+ (-96) -8

0 10 01110111- 00101010 01001101

77h - 2Ah 4Dh

119 - 42 77

1 0 10 10 10 10 1 1 01010000- 10000100 1 11001100

50h - 84h 0CCh U2 34h

80 -(-124) 204

! nadmiar !

Arytmetyka - BCD 19/52

Dodawanie i odejmowanie liczb w BCD

01010100+ 00110011 10000111

54h + 33h 87h

54 + 33 87

10001000+ 01100001 11101001+ 01100000 1 01001001

88h + 61h 0E9h + 60h 149h

88+ 61 149 korekcja

01010100- 00110011 00100001

54h - 33h 21h

54 - 33 21

01010010- 01100100 00011110- 00000110 0 00011000

52h - 34h 1Eh - 06h 18h

52- 34 18 korekcja

Przeniesienie (CY) po korekcji sygnalizuje: nadmiar przy dodawaniu BCD pożyczkę przy odejmowaniu w BCD

Arytmetyka - długie liczby 20/52

L1[0]...

L1[m-1]i:=0

CY:=0

Lw[ i ]:=L1[ i ]+L2[ i ]+CYi:=i+1

i < m ?T

N

L2[0]...

L2[m-1]

Lw[0]...

Lw[m-1]

i:=0CY:=0

Lw[ i ]:=L1[ i ]-L2[ i ]-CYi:=i+1

i < m ?T

N

LW: XXX

L1:8002

L2:

88

C200

35

i=X CY=x


i=0 CY=0

88h + 35h + 0 = 0BDh

BDCY=0i=1

80h + C2h + 0 = 142h

CY=1

42

i=202h + 00h + 1 = 03h

03

CY=0i=3 (>= m=3)


L1[0]...

L1[m-1]i:=0

CY:=0

Lw[ i ]:=L1[ i ]+L2[ i ]+CYkorekcja BCD

i:=i+1

i < m ?T

N

L2[0]...

L2[m-1]

Lw[0]...

Lw[m-1]

i:=0CY:=0

Lw[ i ]:=L1[ i ]-L2[ i ]-CYkorekcja BCD

i:=i+1

i < m ?T

N

Arytmetyka - mnożenie bez znaku 23/52

UWAGA: ilość bitów potrzebnych do reprezentacji iloczynu równa się sumie liczby bitów czynników

złożoność obliczeniowa:L2=0 i L1=x:ZOMIN=2+1=3

L2=255 i L1=x:ZOMAX=2+(1+2+1)*255+1=1023

ZOSR = 513

L1...L2...

LWL

LWH

LW:=0

LW:=LW+L1L2:=L2-1

L2 = 0 ?T

N

[2]

[1]

[2][1]

1. Mnożenie przez wielokrotne dodawanie

Zał: L1,L2 - 1-bajtowe czynniki, LW - 2-bajtowy iloczyn


2. Mnożenie restytucyjne

1215 10101 (21) x 204 x 110 (6) 4860 101010 2430 10101 247860 1111110 (126)

złożoność obliczeniowa:L2=0 i L1=x:ZOMIN=2+1+(1+2+1+1)*8=43

L2=11111111b i L1=x:ZOMAX=2+1+(1+2+2+1+1)*8=59

ZOSR = 51

poprzedni algorytm wymaga 51 operacji dlaL2=13 tzn. jest tylkow 4% (statystycznie) przypadkówszybszy od mnożenia restytucyjnego

L1...L2...

LWL

LWH

LW:=0i:=0

LW:=LW+L1

L2i = 0 ?T

N

[2][1]

[1]

[2]

[2][1]

[1]

L1:=SHL(L1)i:=i+1

i < 8 ? T

N

Zał: L1,L2 - 1-bajtowe czynniki, LW - 2-bajtowy iloczyn


3. Przykłady mnożenia w asemblerze Z80

3.1. Mnożenie przez wielokrotne dodawanie

tekst programu: czasy wykonania rozkazów [okresy CLK]

; zał: E=L1, B=L2, HL=LW LD HL,0 ;LW:=0 LD D,H ;L1H:=0 INC B JR kon powt: ADD HL,DE ;dodawanie kon: DJNZ powt ;skok gdy L20

[10] [4] [4] [12] [11] [8/13]

złożoność obliczeniowa:

L2=0: ZOMIN=10+4+4+12+8=38 L2=255: ZOMAX=10+4+4+12+(13+11)*255+8=6158 ZO=38+24*L2 ZOSR=3098


3.2. Mnożenie restytucyjne I

tekst programu 1: czasy wykonania rozkazów[okresy CLK]

; zał: E=L1, C=L2, HL=LW LD B,8 ;licznik petli LD HL,0 ;LW:=0 LD D,H ;L1H:=0spraw: BIT 0,C ;test bitu L2 JR Z,niedod ADD HL,DEniedod:EX DE,HL ADD HL,HL ;SHL(L1) EX DE,HL RR C ;nast. bit L2 DJNZ spraw

[7] [10] [4] [8] [7/12] [11] [4] [11] [4] [8] [8/13]

złożonośćobliczeniowa:

L2=0: ZOMIN=7+10+4+(8+12+4+11+4+8)*8+13*7+8=496L2=255: ZOMAX=7+10+4+(8+7+11+4+11+4+8)*8+13*7+8=544ZOSR=520


3.3. Mnożenie restytucyjne II

tekst programu 2 zoptymalizowanego: czasy wykonania rozkazów[okresy CLK]

; zał: E=L1, H=L2, HL=LW LD B,8 ;licznik petli LD D,0 ;L1H:=0 LD L,Dpowt: ADD HL,HL ;test bitu L2 JR NC,niedod ADD HL,DE ;dodawanieniedod:DJNZ powt ;nast.bit

[7] [7] [4] [11] [7/12] [11] [8/13]


L2=0: ZOMIN=7+7+4+(11+12)*8+13*7+8=301L2=255: ZOMAX=7+7+4+(11+7+11)*8+13*7+8=349ZOSR=325


4. Mnożenie długich liczb

• operowanie dłuższymi ciągami bitów;

• wykorzystanie procedur pomocniczych mnożących np. bajtbajt:

4 mnożenia 4 dodawania

xy = x1y1

256256 + x0y1

256 + x1y0

256 + x0y0

x1 x0

y1 y0

x:

y:

x0y0

x0y1

x1y0

x1y1

• mnożenie tetrad jako cyfr szesnastkowych przy użyciu tabliczki mnożenia - opłacalne tylko dla liczb w BCD;

• mnożenie przyśpieszone.


• mnożenie przyśpieszone:

zał: x = Bx1 + x0 y = By1 + y0 (B=256)

w = xy = (Bx1 + x0)(By1 + y0) - 4 mnożenia 4 dodawania

niech: u = x1 - x0 i v = y1 - y0 wtedy:

uv = x1y0 + x0y1 - x1y1 - x0y0 x1y0 + x0y1 = uv + x1y1 + x0y0

w = BBx1y1 + B(x1y0 + x0y1) + x0y0 =

= BBx1y1 + Buv + Bx1y1 + Bx0y0 + x0y0 =

= (BB + B)x1y1 + Buv + (B + 1)x0y0

2 odejmowania 3 mnożenia 4 dodawania

x1 x0

y1 y0

x:

y:

x0y0

x0y0

uvx1

y1

x1y1

5. Mnożenie przez stałą Zał: wartość stałej jest znana na etapie pisania programu.

Każda stała K ma n-bitowe rozwinięcie binarne: K =

Jeżeli ilość bitów ki = 1 jest niewielka (1..4) to można zastosować regułę:

L K = L 2i1 + L 2i2 + L 2i3 + L 2i4

gdzie i1, i2, i3, i4 oznaczają potęgi 2 dla których kiX = 1.Jeżeli K=2m to mnożenie jest równoważne m-krotnemu przesunięciu arytmetycznemu w lewo liczby L.


1n

0i

ii 2k

Można to zrealizować dwojako:

LD L,liczbaLD H,0ADD HL,HL ;HL=liczba*2ADD HL,HL ;HL=liczba*4ADD HL,HL ;HL=liczba*8LD (iloczyn),HL

LD L,liczba LD H,0 SLA L RL H ;HL=liczba*2 SLA L RL H ;HL=liczba*4 SLA L RL H ;HL=liczba*8 LD (iloczyn),HL


Mnożenie przez stałą nie będącą potęgą 2

Przykłady:

K = 10 = 2 + 8L K = L 2 + L 8 = L 2 + (L 2) 4

K = 15 = 12 + 3 = 3 4 + 3 = (2 + 1) 4 + (2 + 1)L K = (L 2 + L) 4 + (L 2 + L)

LD L,liczba LD H,0 ADD HL,HL ;HL=liczba*2 LD D,H LD E,L ADD HL,HL ;HL=liczba*4 ADD HL,HL ;HL=liczba*8 ADD HL,DE ;HL=liczba*10 LD (iloczyn),HL

LD L,liczba LD H,0 LD E,L LD D,H ;DE=liczba ADD HL,HL ;HL=liczba*2 ADD HL,DE ;HL=liczba*3 LD D,H LD E,L ADD HL,HL ;HL=liczba*6 ADD HL,HL ;HL=liczba*12 ADD HL,DE ;HL=liczba*15 LD (iloczyn),HL

Arytmetyka - dzielenie bez znaku 32/52

1. Dzielenie przez wielokrotne odejmowaniezał: L1,L2 - 1-bajtowa dzielna i dzielnik, LW - 1-bajtowy iloraz

zł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a :L 1 < L 2 :Z O M I N = 1 + 1 + 1 = 3

L 1 = 2 5 5 i L 2 = 1 :Z O M A X = 1 + 1 + ( 1 + 1 + 1 ) * 2 5 5 + 1 = 7 6 8

Z O S R :

( ( n d i v i ) 3 + 3 )2 5 5

in 10

2 5 57 0 7 1 7 2

Z O S R = 7 0 7 1 7 2 : 2 5 5 : 2 5 6 = 1 0 , 8

L 1. . .

L 2. . .

L W

L W : = 0

L W : = L W + 1L 1 : = L 1 - L 2

L 1 L 2 ?N

T

[ 1 ]

[ 1 ]

[ 1 ]

[ 1 ][ 1 ]

L 2 = 0 ?T

N

s y g n a l i z a c j abł ę d u

L W = i l o r a zL 1 = r e s z t a

Przy dzieleniu 2B/1B:ZOMIN=5 ZOMAX=5+65535*6=393215

ZOSR: ((n div i) 6 + 5)255

in 10

65535105 96 10, ZOSR = 3567


2. Dzielenie przez potęgę 2

równoważne przesunięciu o odpowiednią ilość bitów w prawo

złożoność obliczeniowa:ZO=1+1+(1+1+1)*k=2+3kogólnie zależy od:- długości liczby w bitach;- wartości potęgi;- dostępnych rejestrów roboczych;- dostępnych rozkazów mikroprocesora.Przykład:kolejne stany L1 przy dzieleniu L1=31 przez 2 3=8

[1]

[1]

[1][1]

L1:=SHRA(L1)i:=i-1

i > 0 ?

T

N

i:=k

0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1


3. Dzielenie restytucyjne

25 127 : 5 10 27 25 2 = R

11001 1111111 : 101 101 101 101 0111 101 10 = R

zał: L1,L2 - 1-bajtowa dzielna i dzielnik, LW - 1-bajtowy iloraz LD - 2-bajtowa zmienna pomocnicza (rejestr)

złożoność obliczeniowa:L1=0 i L2=x:ZOMIN=1+1+1+(2+1+1+1)*8=43

L2=11111111b i L1=x:ZOMAX=1+1+1+(2+1+1+1+1+1)*8=59

ZOSR = 51

UWAGA:przy L2=0 uzyskuje się LW=255

LD:=2LD

i:=i-1

LDH L2 ?N

T

[1][1][1]

[2]

[1]

[1][1]

[1]

[1]

LDH:=LDH -L2LDL0:=1

i > 0 ? T

N

i:=8LDH:=0

LDL:=L1


Przykład:

kolejne stany LD przy dzieleniu L1=31 przez L2=7

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1LD:

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1L2:

0 0 0 0 0 1 1 1-L2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 reszta iloraz


4. Przykłady dzielenia w asemblerze Z80

4.1. Dzielenie przez wielokrotne odejmowanie

tekst programu: czasy wykonania rozkazów[okresy CLK]

; zał: A=L1, B=L2, C=LW=L1:L2 LD C,A ;przechowanie L1 LD A,B ;sprawdzenie L2 AND A JR Z,kon ;skok gdy L2=0 LD A,C ;odtworzenie L1 LD C,0 ;iloraz:=0powt: SUB B ;L1:=L1-L2 JR C,kon ;skok gdy L1<L2 INC C ;iloraz +1 JR powtkon: ADD B ;A=reszta C=iloraz

[4] [4] [4] [7/13] [4] [7] [4] [7/13] [4] [12] [4]


L2=0: ZOERR=4+4+4+13+4=29L1<L2: ZOMIN=4+4+4+7+4+7+4+13+4=51L1=255 i L2=1: ZOMAX=4+4+4+7+4+7+(4+7+4+12)*255+4+13+4=6936


4.2. Dzielenie restytucyjne

tekst programu: czasy wykonania rozkazów[okresy CLK]

; zał: L=L1, E=L2, L:=LW=L1:L2 LD B,8 ;licznik petli LD H,0 ;LDH:=0et1: ADD HL,HL ;SHL(L1) LD A,H SUB E ;A:=LDH-L2 JR C,et2 ;skok gdy LDH<L2 LD H,A ;LDH:=LDH-L2 INC L ;zerowy bit LDL:=1et2: DJNZ et1 ;H=reszta L=iloraz

[7] [7] [11] [4] [4] [7/12] [4] [4] [8/13]


L1<L2: ZOMIN=7+7+(11+4+4+12+13)*7+11+4+4+12+8=361L1=255 i L2=1:ZOMAX=7+7+(11+4+4+7+4+4+13)*7+11+4+4+7+4+4+8=385ZOSR=373

Arytmetyka - liczby ze znakiem 38/52

Można stosować przedstawione algorytmy mnożenia i dzielenia uwzględniając znak wyniku operacji zgodnie z regułami matematycznymi

wyznaczenie znaku Z wyniku

nadanie wynikowi znaku Z

L1:=-L1Z:=1

L1 < 0 ?

T

Z:=0

L2:=-L2Z:=(Z+1)mod 2

L2 < 0 ?

T

N

N

LW:=-LW

Z = 1 ?

T

N

Arytmetyka - liczby ze znakiem 39/52

wyznaczenie znaku Z wyniku na podstawie znaków argumentów operacji

A - akumulator procesora (1-bajtowy)L1H,L2H - najstarsze bajty argumentówA7 - najstarszy bit akumulatora

negacja znaku liczby m-bajtowej (argumentu lub wyniku)

A:=L1H

A:=A L2H

Z:=A7

i:=0CY:=0

L[ i ]:=0-L[ i ]-CYi:=i+1

i < m ?T

N

2. Można stosować przedstawione algorytmy mnożenia i dzielenia po tzw. rozszerzeniu znakowym argumentów operacji

Rozszerzenie znakowe zapisu liczby w kodzie U2 polega na podwojeniu długości reprezentacji binarnej poprzez poprzedzenie jej bitami ‘0’ gdy jest dodatnia albo bitami ‘1’ gdy jest ujemna. Przykładowo:

-100: 0FF9Ch 0FFFFFF9Ch

1000: 03E8h 000003E8h

Na tak „wydłużonych” liczbach realizuje się przedstawione wcześniej algorytmy działań, ograniczając uzyskany wynik do właściwej długości(np. 32 bitów po mnożeniu dwóch liczb 16-bitowych przed rozszerzeniem, 16 bitów po dzieleniu dwóch takich liczb, itp.).

Jednak działania na tak wydłużonych liczbach skutkują zdwojonym zapotrzebowaniem na pamięć danych i znacznie dłuższym czasem obliczeń.

Arytmetyka – mnożenie i dzielenie liczb ze znakiem 40/52

Arytmetyka - zapis stałopozycyjny 41/52

1. Format stałopozycyjny liczby binarnej

wagibitów 2m-1 2m-2 . . . 21 20 2-1 2-2 . . . 2-(n+1) 2-n

bitów części całkowitej n bitów części ułamkowej

zakres reprezentowanych wartości: 0 .. 2m-2-n

przykładowe reprezentacje wartości rzeczywistych przy m=8 i n=4:

10,25 00001010.0100 10,20 00001010.0011 = 10,1875

ilość pozycji części całkowitej (m) i ułamkowej (n) zależy od:

wymaganej dokładności reprezentacji liczb rzeczywistych;

zakresu użytkowego liczb rzeczywistych.

Do reprezentacji liczb ze znakiem stosuje się kod U2.


Przykładowe formaty stałopozycyjne i osiągane w nich zakresy liczb:

format wartości ujemne wartości dodatnie rozdzielczośćm.n min max min max

8.8 NB - - 0 28-2-8

255,9962-8

3,9E-38.8 U2 -(27)

-128-(2-8)

-3,9E-30 27-2-8

127,9962-8

3,9E-316.8 U2 -(215)

-32768-(2-8)

-3,9E-30 215-2-8

32767,9962-8

3,9E-316.16 U2 -(215)

-32768-(2-16)

-1,526E-50 215-2-16

32767,999982-16

1,526E-5

2. Dodawanie i odejmowanie liczb stałopozycyjnych

Operacje te przeprowadza się tak jak na liczbach całkowitych


3. Mnożenie liczb stałopozycyjnych

Przykłady przy zał. formatu 4.2 (m=4, n=2):

A) 2,5 0010.10 2,5 0010.10 1 2 5 00101 00 iloczyny cząstkowe 5 0 001010 6,2 5 00000110.0100 suma iloczynów cząstkowych, m’=8, n’=4 0110.01 iloczyn po normalizacji części ułamkowej

B) 6,2 5 0110.01 1,5 0001.10 3 1 2 5 0110010 iloczyny cząstkowe 6 2 5 011001 9,3 7 5 00001001.0110 suma iloczynów cząstkowych, m’=8, n’=4 iloczyn po normalizacji części ułamkowej: 1001.01 = 9,25 - błąd zaokrąglenia w dół albo 1001.10 = 9,50 - błąd zaokrąglenia w górę


4. Dzielenie liczb stałopozycyjnych

Realizuje się je tak jak dla liczb całkowitych.Przykład (format 4.2):2,00 : 1,25 = 1,60 1.1001 0001.10 = 1,50 - błąd zaokrąglenia 001000 : 101 - 101 110 - 101 1000 - 101 11

WNIOSKI:1. Przy operacjach dzielenia i mnożenia (szczególnie) mogą pojawiać się błędy

zaokrągleń i błędy reprezentacji.2. Format zapisu (długości części całkowitej i ułamkowej) musi być dobrany do

wartości liczbowych występujących w obliczeniach, do ilości operacji ‘*’ i ‘:’oraz wymaganej dokładności reprezentacji liczb.

Arytmetyka - zapis zmiennopozycyjny 45/52

1. Zasada zapisu zmiennopozycyjnego

Dowolną liczbę rzeczywistą L można przedstawić jako:L = m p C

gdzie:m - mantysa o wartości z przedziału < 0 , p 0 );p - podstawa zliczania (np. 10);c - cecha całkowitaZwykle m {0} {< p-1 , p0 )} i jest to tzw. mantysa znormalizowana.

Dla liczb binarnych (p=2):m {0} {< 1/2 , 1 )}

Przykłady konwersji:0,75 = 2-1 + 2-2 0.11 = .1100 20 (=0,75 1)2,75 = 21 + 2-1 + 2-2 10.11 = .1011 22 (=0,6875 4)


Mantysa jest pamiętana zwykle w kodzie ZM (wyróżniony bit znaku).Cecha jest przechowywana wprost w kodzie U2 lub w tzw. przesuniętym U2:

cecha c: cU2 cU2+80h LNB(cU2+80h)127 01111111 11111111 255... ... ... ...2 00000010 10000010 1301 00000001 10000001 1290 00000000 10000000 128-1 11111111 01111111 127-2 11111110 01111110 126... ... ... ...

-127 10000001 00000001 1-128 10000000 00000000 0

Zastosowanie przesuniętego U2 upraszcza algorytmy arytmetyki,ale wymaga ostrożności przy operacjach mnożenia i dzielenia liczb.


2. Wzory podstawowych operacji arytmetycznych

p r z y z ał : L 1 = m 1 p C 1 , L 2 = m 2 p C 2 z a c h o d z i :

d l a c e c h y w U 2 d l a c e c h y w U 2 p r z e s u n ię ty m o

L 1 L 2 = m 1 m 2 p C 1 + C 2 L 1 L 2 = m 1 m 2 p C 1 + C 2 -

L 1 : L 2 = m 1 : m 2 p C 1 - C 2 L 1 : L 2 = m 1 : m 2 p C 1 - C 2 +

L 1 L 2 = ( m 1 j e ż e l i c 1 > c 2

( m 1 j e ż e l i c 1 = c 2

( ( m 1 j e ż e l i c 1 < c 2

( : ) )

)

: ) )

m p p

m p

p m p

c c c

c

c c c

2

2

2

1 2 1

1

2 1 2


3. Przykłady formatów zmiennopozycyjnych

A)

mNB

cU2m {0} {< 1/2 , 255/256 >} c < -128 , 127 >zakres wartości:0 , 2-129 , ... , 255 2119

0 , 1,47 10-39 , ... , 1,69 1038

B)

m0ZM

Z cU2+40h

m1ZM

7 6 0 m {0} {< 1/2 , 1-2-16 >} c < -64 , 63 >zakres wartości:-65535 247 ... -(2-65) ,0,2-65 ... 65535 247

-9,221018...-2,7110-20,0,2,7110-20...9,221018

C)

Z m2ZM

m0ZM

cU2+80h

m1ZM

2322 16

m {0} {< 1/2 , 1-2-23 >} c < -128 , 127 >zakres wartości:-(223-1)2104 ... -2-129 ,0, 2-129 ...(223-1) 2104

-1,71038...-1,4710-39 ,0 , 1,4710-39...1,71038


D)m0ZM

Z cU2+80h

m1ZM

31|30 23|22 16

m2ZM

I8087 liczba rzeczywista krótka|| - domyślny 7 bit m2 ZM z założenia zawsze =1zakres wartości:-(224-1)2103 ... -2-129 ,0, 2-129 ...(224-1) 2103

-1,71038...-1,4710-39 ,0 , 1,4710-39...1,71038

wartość 0 m=0 i c=0

E)m0ZM

Z cU2+400h

m1ZM

63|62 68|67 64

m6ZM

m4ZMm5ZM

m2ZMm3ZM

I8087 liczba rzeczywista długa|| - domyślny 4 bit m6 ZM z założenia zawsze =1zakres wartości:-(229-1)2995 ... -2-1025 ,0, 2-1025 ...(229-1)2995

-1,810308...-2,7810-309 ,0 ,2,7810-309...1,810308


F)m0ZM

Z cU2+4000h

m1ZM

79|78 64

m6ZM

m4ZMm5ZM

m2ZMm3ZM

m7ZM

I8087 liczba rzeczywista rozszerzonazakres wartości:-(264-1)216319 ... -2-16385,0,2-16385 ...(264-1) 216319

-5,95104931...-4,210-4933 , 0 , 4,210-4933 ...5,95104931



4. Przykładowe algorytmy

4.1. Dodawanie i odejmowanie

Lw = mw p CW = L1 L2 =

=

(m1 jeżeli c1 > c2

(m1 jeżeli c1 = c2

((m1 jeżeli c1 < c2

( : ))

)

: ) )

m p p

m p

p m p

c c c

c

c c c

2

2

2

1 2 1

1

2 1 2

<0 >0

=0

c:=c1-c2

c ?

cw:=c1

m2:=m2:pCm1:=m1:p|C|

cw:=c2

mw:=m1m2

mw > p0 ? NT

mw = 0 ?

N

T

mw < p-1 ?N

T

mw:=mwpcw:=cw-1

mw:=mw : pcw:=cw+1


4.2. Mnożenie

Lw = mw p CW = L1 L2 = m1 m2 p C1+C2

zależnie od stanu mantys

m1 i m2znormalizowane

cw:=c1+c2mw:=m1 m2

mw = 0 ?T N

mw < p-1 ?

cw:=cw-1mw:=mw p

T

N

m1 lub m2nieznormalizowana


4.3. Dzielenie

Lw = mw p CW = L1 : L2 = m1 : m2 p C1-C2

W zależności od stanu mantys m1,m2:

zn

zn

cw:=c1-c2mw:=m1 : m2

mw = 0 ?T N

cw:=cw-1mw:=mw p

mw < p-1 ?

T

N

nzn

m2 = 0 ? TN sygnalizacjabłędu

mw > p0 ?

T

N

cw:=cw+1mw:=mw : p

nzn

zn - m1 i m2 znormalizowane nzn - m1 lub m2 nieznormalizowana

Technika Mikroprocesorowa 1

Documents

Transcript of Technika Mikroprocesorowa 1