T7 Algebra de Boole

TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA (Digital):

TEMA 7

ALGEBRA DE BOOLE Y FUNCIONES LÓGICAS

FLORIDA Universitària. Departament d´Enginyeria

ÍNDICE DE APARTADOS

1. Lógica positiva y lógica negativa.2. Algebra de Boole. Operaciones.3. Algebra de Boole. Propiedades y Leyes.4. Algebra de Boole. Funciones lógicas.5. Algebra de Boole. Simplificación.6. Fuentes didácticas.Una vez terminado el tema, has de ser capaz de:

Operar con funciones lógicas booleanas Aplicar las leyes y teoremas del algebra booleana Expresar una función lógica en forma de tabla de verdad, primera y segunda forma

canónica Simplificar funciones lógicas usando los métodos: algebraico, Karnaugh y Quine-

McCluskey

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1. Lógica positiva y lógica negativa

Lógica positiva y lógica negativa: Los circuitos digitales pueden trabajar con lógica positiva o negativa. En el primer caso, el nivel de tensión para el estado lógico uno es mayor que para el estado cero. Sin embargo, en el caso de la lógica negativa es al contrario. También suele hablarse de entradas o salidas activas a nivel alto o bajo respectivamente.

LÓGICA POSITIVA

LÓGICA NEGATIVA

Los niveles TTL asignan 5 voltios para el

digito ’1’ y 0 voltios para el digito ’0’ y

al contrario si los dispositivos son activos

a nivel bajo.

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2. Algebra de Boole. Operaciones (1)

Para describir un circuito digital utilizaremos ecuaciones con variables y números que NO SON REALES, por lo que es necesario usar operaciones y propiedades, definidas en el ALGEBRA DE BOOLE.

Las variables que aparecen en las ecuaciones del algebra de Boole se representan a través de las letras mayúsculas o minúsculas, preferiblemente las primeras letras del alfabeto.

En el álgebra de Boole sólo existen 3 operaciones:Suma “+”

EQUIVALE A UNA CONEXIÓN PARALELO

ELEMENTO NEUTRO

4

SÍMBOLO

OR


2. Algebra de Boole. Operaciones (2)

• Multiplicación “•”• EQUIVALE A UNA CONEXIÓN SERIE

• Complementación, negación o inversión “¯”

ELEMENTO NEUTRO

AA

5

SÍMBOLO

AND

SÍMBOLO

AF ANOT


PROPIEDADES LEYES

Conmutativa Ley de absorción

Distributiva Ley de DeMorgan

Ejemplos de aplicación:Asociativa

Idempodencia

3. Algebra de Boole. Propiedades y Leyes 6


4. Algebra de Boole. Funciones Lógicas (1)

Sea una función real:

Podemos sustituir infinitos valores, obteniendo infinitos resultados con valores distintos:

…………….

• Sea la función booleana:

Solo podemos sustituir 2n valores distintos, obteniendo solo dos posibles resultados, “0” o “1”:

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• Para expresar de manera completa una función suele utilizarse su correspondiente tabla de verdad, donde se recogen todos los valores de la salida para cada combinación de entrada. En el ejemplo anterior, puesto que las variables de entrada A y B, sólo pueden tomar los valores ’0’ y ’1’, hay 4 casos distintos.

TABLA DE VERDAD

• Por tanto las funciones booleanas las podemos expresar mediante tabla de verdad (para más de 5 variables se hace poco operativa; número de casos 2n, donde n es el número de variables) o mediante su forma algebraica (ecuación).

A B F

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 0

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• Las formas algebraicas (ecuaciones) pueden estar simplificadas o completamente definidas. En las primeras no aparecen todas las variables de entrada en cada uno de los términos de la ecuación, en las segundas si. Ejemplo:

• Las funciones completamente definidas o formas canónicas se pueden obtener directamente de la tabla de verdad de la función.

cbacbaabccbaF

cbacbaaacbcb

cbabccbaF

),,(

)(

),,( (FUNCIÓN SIMPLIFICADA)

(FUNCIÓN COMPLETAMENTE DEFINIDA)

EL TÉRMINO INCOMPLETO SE MULTIPLICA POR LA UNIDAD, EN FORMA

DE SUMA DE LA VARIABLE QUE FALTA Y SU COMPLEMENTARIA.

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• Obtención de la primera forma canónica, suma de productos o minterms a partir de la tabla de verdad: • Tomamos la tabla de verdad y sólo nos fijamos en las filas en las que la función vale ’1’, olvidándonos del resto.

• Por cada una de estas filas tendremos un sumando, constituido por el producto de todas las variables, aplicando la siguiente regla:Si una variable está a ’0’, en la fila escogida, usaremos la variable negada, y si está a ’1’usaremos la variable sin negar.

Ejemplo:


PRIMERA FORMA CANÓNICA O MINTERMS

)6,5,0(3

n

f

(Expresión algebraica)

(Expresión numérica equivalente)

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• Obtención de la segunda forma canónica, producto de sumas o maxterms a partir de la tabla de verdad: • Tomamos la tabla de verdad y sólo nos fijamos en las filas en las que la función vale ’0’, olvidándonos del resto.

• Por cada una de estas filas tendremos un término, constituido por la suma de todas las variables, aplicando la siguiente regla:Si una variable está a ’1’, en la fila escogida, usaremos la variable negada, y si está a ’0’usaremos la variable sin negar.

Ejemplo:


SEGUNDA FORMA CANÓNICA O MAXTERMS

)6,5,4,3,0(3

n

f

(Expresión algebraica)

(Expresión numérica equivalente)

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• Para pasar de Minterms a Maxterms o viceversa, sin usar la tabla de verdad será necesario:• Expresar la ecuación en forma numérica. Ej:

• Hallar la función inversa:

• Aplicar la fórmula Mi=2n-1-i donde i es el valor decimal de cada término de “ “

M1=23-1-1=6

M2=23-1-2=5

M7=23-1-7=0

)6,5,4,3,0(3

n

f

)7,2,1(3

n

f

f

)6,5,0(3

n

f

NOTA: Cuando la función tenga pocos términos, será preferible anteponer la obtención de cada término mediante la fórmula

a la realización de la función inversa

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• Existe una operación muy usada en electrónica llamada suma exclusiva o directa y se denota por el símbolo

. Su tabla de verdad y símbolo son:

• devuelve ’0’ cuando los dos bits son iguales (paridad par) y ’1’ cuando son distintos (paridad impar).

• Las siguientes equivalencias son muy interesantes para ahorrar puertas lógicas:

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SÍMBOLO


4. Algebra de Boole. Funciones Lógicas (8)14


• “En general, las funciones booleanas se deben simplificar al máximo, para diseñar los circuitos con el menor número de componentes electrónicos.”

• Esta simplificación la podemos realizar de dos maneras diferentes:1. Aplicando los leyes y teoremas booleanos2. Usando métodos tabulares (Karnaugh o Quine-McCluskey)

1. Respecto al primer método, no existe regla alguna que nos garantice llegar a una expresión simplificada. Se trata de un método puramente intuitivo (por tanto será poco usado).

Ejemplo: Simplificar

Tanto la función inicial, como la simplificada son funciones equivalentes, es decir tienen la misma tabla de verdad.

5. Algebra de Boole. Simplificación (1) 15


5. Algebra de Boole. Simplificación (2)

2. En cuanto a los métodos tabulares, tenemos fundamentalmente dos: el método de Karnaugh, recomendable hasta 5 variables y el método de Quine-McCluskey, recomendable a partir de 6 variables de entrada.

• Método de KarnaughPara su aplicación es necesario construir un cuadrilátero que a su vez se divide en 2n cuadrados elementales, siendo n el número de variables de entrada de la función. Observar que las filas y columnas están numeradas con el código Gray.

MAPAS DE KARNAUGH PARA 2, 3 Y 4 VARIABLES

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• Método de Karnaugh (Continuación)Este método consiste fundamentalmente en agrupar casillas o celdas adyacentes algebraicamente y estas son:

• Las situadas una junto a otra en el mapa de Karnaugh, teniendo en cuenta que nunca deben considerarse las diagonales.

• Las celdas de los laterales de los mapas son adyacentes con el lateral opuesto.

• En el mapa de 4 variables las 4 esquinas son adyacentes si se agrupan a la vez.

ADYACENCIA GRÁFICA EN MAPAS DE KARNAUGH PARA 2, 3 Y 4 VARIABLES

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• Método de Karnaugh (Continuación)REGLAS BÁSICAS:• La función a reducir debe proceder de la tabla de verdad o estar expresada en forma canónica (maxterms o minterms)

• Se deben situar todos los valores de F para cada combinación de entrada tal como muestra la figura:

• Conformar grupos cuadrados o rectangulares de unos o ceros.

• Formar grupos lo más grande posible pero potencias de 2.• Un mismo elemento puede ser agrupado por grupos distintos, pero todo grupo debe tener al menos un elemento que sólo agrupe él.

a) TÉRMINOS MINTERMS

b) TÉRMINOS MAXTERMS

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• Método de Karnaugh (Continuación)• Ejemplo: Simplificar mediante Karnaugh, la función:

SIMPLIFICACIÓN PARA OBTENER SUMA DE PRODUCTOS

SIMPLIFICACIÓN PARA OBTENER PRODUCTO

DE SUMAS

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• Método de Karnaugh (Continuación)• Ejemplo Karnaugh 5 variables, la función:

2,4,6,7,8,9,12,13,15,16,23,24,25,28,29,31)

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𝐹 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷 ,𝐸 )=𝐵𝐷+𝐶𝐷𝐸+𝐴𝐵𝐷𝐸+𝐴𝐶 𝐷𝐸+A𝐶𝐷𝐸



• Método de Karnaugh (Continuación)• RECUERDA!!!

SEGUNDA FORMA CANÓNICA O MAXTERMS

)6,5,4,3,0(3

n

f

OJO!! AL PASAR DE ECUACIÓN EN MAXTERMS A TABLA DE VERDAD O A TABLA DE

KARNAUGH Y VICEVERSA, YA QUE LOS CEROS REPRESENTAN VARIABLES NO NEGADAS

MIENTRAS QUE LOS UNOS REPRESENTAN LAS VARIABLES NEGADAS Y ADEMÁS LOS

TÉRMINOS REPRESENTAN CEROS Y NO UNOS.

(NOTA: EL PASO DE TABLA DE VERDAD A TABLA DE KARNAUGH ES DIRECTO) ab

c 00 01 11 10

0 1 0 1 0

1 0 0 0 1

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• Método de Quine-McCluskeyAdecuado para simplificar funciones de más de cinco

variables.• Propuesto por Quine en 1952 y mejorado por McCluskey.• Aunque su aplicación implica un proceso largo, es

informatizable.• Podemos partir de la función expresada en cualquiera

de las dos formas canónicas.I. Tabla de agrupamientos base (se clasifica cada

término según el número de unos)

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• Método de Quine-McCluskey (Continuación)II. Tablas de agrupamientos de orden

Comparar uno a uno los términos de grupos adyacentes en los que haya un bit de diferencia:

• los bits diferentes se sustituyen por ‘-‘, los bits iguales se mantienen tal cual

• los términos repetidos sólo se incluyen 1 vez• repetir el proceso hasta que no puedan reducirse

más términos

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dcba 0 1 2 5 7 8 9 10 13 15

-00- x x x x

-0-0 x x x x

--01 x x x x

-1-1 x x x x


• Método de Quine-McCluskey (Continuación)III.Tabla final

Seleccionar los términos empezando por la última tabla reductora hacia atrás para cubrir todos los términos de la ecuación inicial:

PODEMOS ELIMINAR CUALQUIERA DE LOS

DOS TÉRMINOS, PUESTO QUE NO TIENEN

ELEMENTOS EXCLUSIVOS (PRIMOS

ESENCIALES)

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6. Fuentes didácticas

Electrónica general. Dispositivos y sistemas digitales• Antonio J. Gil Padilla y otros.• Ed. Mc Graw Hill

Dispositivos y sistemas digitales.Antonio J. Gil Padilla.Ed. Mc Graw Hill

Electrónica digital y microprogramable.Antonio J. Gil Padilla y otros.Ed. Mc Graw Hill

Schaum. Electrónica digital.Luis Cuesta y otros.Ed. Mc Graw Hill

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