JL 2015 Algebra

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ALGEBRA

ING. JORGE LOYA SIMBAÑA

Quito, Diciembre 2015

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Que es el álgebra?

• Rama de lasmatemáticas en la que

se utilizan letras pararepresentar relacionesaritméticas.

• El Álgebra es el

idioma de lasmatemáticas

• Sus operacionesfundamentales son

adición, sustracción,multiplicación,división y cálculo deraíces.

Ing. Jorge Loya Simbaña, MGCP2

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SÍMBOLOS

LETRAS NÚMEROS SIGNOS

Representan constantesy variables

Son Constantes S. de agrupaciónS. De operaciones

básicas

Paréntesis ( ) ,corchetes [ ]

Llaves,

y rayas horizontales

Adición +Sustración –

Multiplicación X

División :

Símbolos

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Definiciones

• Término: expresiónalgebraica que solo

contiene productos deconstantes y variables

2x, -a, 5zy...

• Expresión algebraica

– Es la relación entre

términosalgebraicos,separados solo porla adición y/o

sustracción. – Ejemplos:

5m2 +2ab3 – 4p+3q

4

coeficiente

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Definiciones

Monomio:

Expresión algebraica queconsta de un términoalgebraico.

• 36x5,

• 8ab3,

• 73p4

q2

• Binomio: Polinomio queconsta de dos términos.

2m3n4 + 7ab

• Trinomio: Polinomio queconsta de tres términosalgebraicos.

3a6 b2 + 8ab – 5a7

Polinomio

Expresión algebraica que

consta de dos o mástérminos algebraicos.

3x – 2y + 3yx – 4z + 6

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Términos Semejantes

• Son aquellos términos algebraicos,o monomios que tienen los mismos

factores literales.


- Los términos y son semejantes.

- Los términos y NO son semejantes.

7m3n 2m3n

3p2

9p5

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Conjunto de los números reales

• Conjunto de losnúmeros reales

(denotado por ℝ)incluye tanto a los

• números racionales(positivos, negativos y

el cero) como a los• números irracionales


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Clasificación de los números

reales

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Conjuntos de números reales

• Un conjunto es una colección de objetos.

• Números Naturales (N) son los enteros

positivos N={1;2;3;4;5;....}• Números Enteros (Z) son los enteros

negativos y positivos incluido el cero

Z={...;-2;-1;0;1;2;....}


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Conjuntos de números reales• Números Racionales (Q) son la razón o cociente (

)de

dos enteros Q={...;-2;-1;-

;0;

;

; 1;

4

;2;....}, los enteros

son racionales puesto que 2=

. Pueden representarse pordecimales que terminan

4 = 0.75

• Números Irracionales (I) se representan como decimales

periódicos que no terminan (

= 0.1333 … . . )

I={...; 2; 3 ; π ;....}

• Números Reales (R) son los racionales e irracionales juntos.


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Recta de números reales

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ProblemasClasifique los enunciados 1 a 12 como verdaderos o falsos. Si es falso, dé

una razón.RESPUESTAS1. Verdadero. -13 es entero negativo

2. Verdadero, -2 y 7 es un cociente con denominadordiferente de cero

3. Falso. Porque los naturales son los enteros positivos4. Falso. 0=

5. Verdadero. 5=

6. Falso. La división para cero no existe.

7. Falso. 25 es irracional y 5 si es un entero positivo.

8. Verdadero. 2 es un número irracional

9. Falso. No se puede dividir para cero

10. Falso. Los números naturales son los enteros

negativos y 3 está entre el 1 y 2.Ing. Jorge Loya Simbaña, MGCP12

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Propiedades delos números reales


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Propiedades de los números

reales


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Propiedades delos números reales


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Problemas

Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes expresiones.


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Exponentes y radicales


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Exponentes y radicales


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Problemas 0.3 Exprese todas las respuestas en términos de exponentes positivos.

Racionalice el denominador donde sea necesario

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Operaciones con expresiones

algebraicas• Resta de expresiones

algebraicas• Eliminación de

símbolos de

agrupación. Primerodeben eliminarse lossímbolos de agrupaciónmás internos


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Productos especiales


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• Multiplicación de multinomios

• División de un multinomio entre unmonomio


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Factorización

• Cuando se multiplican entre sí dos o másexpresiones, éstas reciben el nombre de

factores del producto.• Por lo que si c = ab, entonces a y b son

factores del producto c.

• Al proceso por el cual una expresión seescribe como el producto de sus factores sele llama factorización.


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Factorización


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Ejemplos


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Fracciones

• Simplificación de fracciones


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Multiplicación y división de

fracciones• Multiplicación de

fracciones• División de

fracciones


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• Racionalización dedenominadores

• Suma y resta defracciones


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Ecuaciones lineales

• Una ecuación es una proposición que indica

que dos expresionesson iguales. Las dosexpresiones queforman una ecuación

se denominan lados (omiembros), y estánseparadas por el signode igualdad, .

• La ecuación contieneuna variable. Variable

x y variable y que sonlas incógnitas

• x2 +3 x +2 = 0

•

−4 = 6• Ecuación de la variables w

y z. Son dos incógnitas

• W= 7 - z 30

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Ecuaciones lineales

• DEFINICIÓN

• Una ecuación l ineal en lavariable x es una ecuaciónque puede escribirse en laforma ax + b = 0

• donde a y b son constantesy a ≠0.

• También llamada

ecuación de primer grado

o grado uno porque la

potencia de la variable es

uno

• Resolución de unaecuación lineal


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Resolución de una ecuación

lineal


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Ecuaciones fraccionarias

• Una ecuación fraccionaria es una ecuaciónen la que hay una incógnita en un

denominador


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Ecuaciones con radicales

• Una ecuación con radicales es aquélla enla que una incógnita aparece en un

radicando.


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Ecuaciones cuadráticas

• DEFINICIÓN

• Una ecuación

cuadrática en lavariable x es unaecuación que puedeescribirse de la forma

• ax2 + bx + c = 0• donde a, b y c son

constantes y a ≠0.

• Solución porfactorización

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Resolución de ecuaciones de grado superiorpor factorización


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Fórmula cuadrática

• Las raíces de laecuación cuadrática

ax

2

+ bx + c = 0,donde a, b y c sonconstantes y a ≠ 0,están dadas por


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Aplicaciones de ecuaciones

• Un químico debe preparar 350 ml de una solución compuesta por dos partes de

alcohol y tres partes de ácido. ¿Cuántodebe utilizar de cada una?


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Recordando

• Costo fijo es la suma de todos los costos que son independientes delnivel de producción, como renta, seguros, etcétera. Este costo debe

pagarse independientemente de que la fábrica produzca o no.

•

Costo variable es la suma de todos los costos dependientes del nivelde producción, como mano de obra y materiales.

• Costo total es la suma de los costos variable y fijo:

costo total = costo variable + costo fijo• Ingreso total es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su

producción:ingreso total = (precio por unidad) (número de unidades

vendidas)• Utilidad es el ingreso total menos el costo total:

utilidad = ingreso total - costo total 39

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Ejercicio

• La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el

costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo de$80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10.

Determine el número de artículos que deben venderse paraobtener una utilidad de $60,000.

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Ejercicio

Sportcraft produce ropa deportiva

para dama y planea vender su

nueva línea de pantalones a las

tiendas minoristas. El costo para

ellos será de $33 por pantalón. Para mayor comodidad del

minorista, Sportcraft colocará una

etiqueta con el precio en cada par

de pantalones. ¿Qué cantidad debe

ser impresa en las etiquetas demodo que el minorista pueda

reducir este precio en un 20%durante una venta y aún obtener

una ganancia de 15% sobre el

costo? Ing. Jorge Loya Simbaña, MGCP41

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Desigualdades lineales

• DEFINICIÓN

• Una desigualdad es un

enunciado queestablece que unnúmero es menor queotro.

• Una desigualdad lineal enla variable x es unadesigualdad que puede

escribirse en la forma ax +b 0, donde a y b sonconstantes y a 0.

• Deben encontrarse los

valores de la variable paralos cuales la desigualdades verdadera.


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Reglas para las desigualdades

1. Suma o resta en ambos lados, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido quela original. si a b, entonces a + c b + c y a - c b - c.

2. Multiplicación o división por el mismo número positivo, la desigualdad resultantetendrá el mismo sentido que la original. si a b y c 0, entonces ac bc y

3. Multiplicación o división por el mismo número negativo , entonces la desigualdadresultante tendrá el sentido contrario de la original. si a b y c 0, entonces a(c) b(c) y

4. Cualquier lado de una desigualdad puede reemplazarse por una expresiónequivalente a ella. si a b y a= c, entonces c b.

5. Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, y se toma elrecíproco de cada lado, entonces resulta otra desigualdad con sentido contrario a laoriginal. si 0 a b o bien a b 0, entonces 1/a 1/b

6. Si ambos lados de una desigualdad son positivos y se eleva cada lado a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la

original.si 0

a

b y n 0, entonces an

bn

. 43

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Resumen

• Tres operaciones básicas que al ser aplicadas a unadesigualdad garantizan una desigualdad

equivalente son:• 1. Sumar (o restar) el mismo número a (o de)ambos lados.

• 2. Multiplicar (o dividir) ambos lados por el

mismo número positivo.• 3. Multiplicar (o dividir) ambos lados por el

mismo número negativo e invertir el sentido de la

desigualdad.Ing. Jorge Loya Simbaña, MGCP

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Resolución de una desigualdad

lineal

Ing. Jorge Loya Simbaña, MGCP

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Intervalos.


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Aplicaciones de las

desigualdades• Para una compañía que

fabrica calentadores para

acuarios, el costo combinado

de mano de obra y material esde $21 por calentador. Loscostos fijos (costos en que se

incurre en un periodo dado,

sin importar la producción) son $70,000. Si el precio deventa de un calentador es $35 ,¿cuántos debe vender para

que la compañía genere

utilidades?Ing. Jorge Loya Simbaña, MGCP

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Deben venderse al menos

5001 calentadores para que la

compañía genere utilidades

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Valor absoluto

• El valor absoluto deun número real es suvalor cuando no setoma en cuenta susigno

• Propiedades delvalor absoluto


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Valor absoluto


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Notación de sumatoria

• DEFINICIÓN

• Si, para cada entero positivo

i, se da un número único ai,y m y n son enteros positivos, donde m ≤ n,entonces la suma de los

números ai , donde i tomasucesivamente los valores

desde m hasta n se denota


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De ser necesario enviar susinquietudes a

[email protected]

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