Teorie Algebra Bac

8/10/2019 Teorie Algebra Bac

1/25

1

SINTEZE DE ALGEBR(teorie)

Prof . Claudia Horvat

Cuprins

I) Funciielementare-grafic i proprieti.......................................................3

1.Funcia de gradul al doilea ..3

2.Funcia exponenial.8

3.Funcia logaritmic9

4.Funcia sinus..10

5.Funcia cosinus.11

6.Funcia arcsinus12

7.Funcia arccosinus..13

8.Funcia tangent14

9.Funcia arctangent...15

10.Funcia cotangent..16

11.Funcia arccotangent.17

II)Progresii aritmetice i geometrice 18


2/25

2

III)Elemente de combinatoric19

1.Permutri...19

2.Aranjamente .19

3.Combinri.19

4.Binomul lui Newton .20

5.Identiti in calculul cu combinri.20

IV)Mulimea numerelor complexe .21

1.Forma algebrica numerelor complexe.21

2.Numere complexe conjugate.21

3.Modulul unui numr complex...22

4.Numere complexe sub formtrigonometric..23

5.Operaii cu numere complexe scrise sub formtrigonometric..23


3/25

3

I) Funciielementare- grafic i proprieti

1. Funcia de gradul al doilea

:

,

(

) =

+

+

,

,

,

,

.

Graficul funciei de gradul al doilea1)punctul de intersecie al graficului cu axa Oy este(0,f(0))

2)determinarea interseciei dintre graficul funciei i axa Ox

ax +bx+c=0 ,= 4,dac> 0, atunci graficul intersecteazaxa Ox in doupuncte (,0)i (,0)dac= 0, atunci graficul intersecteazaxa Ox intr-un punct ,0.dac< 0, atunci graficul nu intersecteazaxa Ox3)vrful parabolei este punctul , Axa de simetrie a parabolei este dreapta verticalde ecuaie: = Alura graficului in cele ase situaii posibile ,dupcum sunt a i :

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-2 0 2 4 6

y

x

Functia de gradul II ,a>0,delta>0

Series1


4/25

4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-2 -1 0 1 2 3 4

y

x

Functia de gradul II ,a>0,delta=0

Series1

Series2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -2 0 2 4

y

x

Functia de gradul II ,a>0,delta


5/25

5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 2 4 6

y

x

Functia de gradul II ,a0

Serie

s1Serie

s2

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 2 4 6

y

x

Functia de gradul II ,a


6/25

6

Mulimea valorilor funciei degradul al doilea =f(R)={f(x)|x R}.Aceastmulime reprezintimaginea funciei i se mai noteaz.I) Daca>0 , atunci f(R)=

,+

)

II) Daca 0 i x,xsuntrdcinileecuaiei ataate funciei,

atuncif(x)are semnul lui ain afara rdcinilor,semn contrar lui ain intervalul dintre rdcini.

)< 0x +

f(x) semnul lui a

)= x +f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

)>0x +f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a


7/25

7

Intervalele de monotonie ale funciei de gradul al doilea

Teorem

Fief:R

R, f(x) = ax +bx+c, a,b,c

R, a

0.

I) Daca>0, atunci f este strict descresctoare pe (, if este strict cresctoare pe ,+).

II) Daca a0

x +f(x)

minim

Cazul : a


8/25

8

2.Funcia exponenial

f : R(0,+), f(x)= , a>0 ,a 1.Cazul I: a>1 (baz supraunitar)

f strict cresctoare ()

, ,

< < .

f mrginit inferior, f nemrginit superior: inf f(x)=0, x ; sup f(x)=+, x .f nu este periodic.f este convex pe R.

f bijectiv ()y(0,+),()! a. =y . > 0 > 1 < 0 0 < < 1Cazul II : 0 1 > 0 0 < < 1


9/25

9

3.Funcia logaritmic

f : (0,) , f(x)=log , a>0 , a 1Cazul I. a>1 (bazsupraunitar)

f strict cresctoare (), (0,), < log 0Cazul II. 0 0 (1,) log < 0


10/25

10

4.Funcia sinus

sin:R [1,1]t sint = y = ordonatapunctuluiM C= cercul trigonometricProprieti:1) sin este periodic, cuperioadele2k, k Z:sin(x+2k) = sin(x),()x R,()k Z. =2 = perioada principal2)sin este impar sin(x) = sinx()x R.Graficul este simetric fade origine.

3)Reducerea la primul cadran:

II I : sin = sin( ) ,() ( ,)III I : sin = sin( ),( ) ,IV I : sin = sin(2 ) ,() ( ,2)4)sin este strict cresctoare pe intervalele de forma : +2,+ +2 ,

sin este strict descresctoare pe intervalele : +2 , +2 , Studiulfunciei sinuspeintervalul[0,2]

X0 2sinx 0 1 0 -1 0

Graiculfunciei sinuspeintervalul[0,2]


11/25

11

5.Funcia cosinus

cos:R [1,1]t cost = x = abscisa punctuluiM C=cercul trigonometricProprieti1)coseste periodic,cuperioadele 2k , k Z

cos(x+2k) = cos(x),()x R,()k Z. = 2 =perioada principal.2) cos este par: () = (),() .Graicul estesimetricfa deoy.3)Reducerea la primul cadran

II I: cos = cos( ), () ,III I: cos = cos( ), () (, )IV I: cos = cos(2 ), () ( ,2)4) cos este strict cresctoare pe intervalele de forma : [ +2 ,2 +2],

cos este strict descresctoare pe intervalele : [0+2 , +2], Studiul funciei cosinus pe intervalul [0,2]

X 0

2

cosx 1 0 -1 0 1Graficul funciei cosinus pe intervalul [0,2]


12/25

12

6.Funcia arcsinus

Fi restricia sn ,afunciei sin,laintervalul[ ,], : , [1,1],snx=sinx ()x [ ,].Tabelul

de

variaieal

restricieilui

sinus

la

[

,

]:

X - - - 0 sinx -1 -

0 1sn este bijectiv sn inversabil ()(sn) = arcsin.arcsin [1,1] [

2,2

]arcsin

=

sin

=

Proprieti.1)arcsin(x) = arcsinx()x [1,1]2) sin(arcsinx) = x,()x [1,+1]3) arcsin(sinx) = x,()x ,+ 4) arcsin este strict cresctoare ()x,x [1,+1],x < x arcsin(x) < (x)

5) Graficele funciilor i arcsin sunt simetrice fade prima bisectoare.


13/25

13

7.Funcia arccosinus

Fierestricia cos afunciei coslaintervalul [0,],cos :[0,] [1,1]cos

x= cosx

(

)x

[0,

].

Tabeluldevariaie alrestriciei luicosinusla[0,]X 0 cosx 1 0 - -1

Funcia cos este bijectiv cos inversabil ()(cos) = arccosarccos:[1,1] [0,]arccos = cos = Proprieti1)arccos(x) = arccosx ()x [1,1]2)cos(arccosx) = x,()x [1,+1]3)arccos(cosx) = x,()x [0,+]4)arccos este strict descresctoare ()x ,x[1,+1], x < x arccos(x) > (x)5)Graicele funciilor cos i arccos sunt simetrice fade prima bisectoare.


14/25

14

8.Funcia tangent

tg:R +kkZ R , tgx= Proprieti

1)tgesteperiodic ,cuperioadele k ,k Z:tg(x+k) = tg(x),()x R +kkZ,()k ZT = =perioada principal.2)tg esteimpar tg(x) = tgx ( )x R +kkZ .3) tgstrict cresctoare pe intervalele: +k,+ +k,k Z.4)Studiulfunciei tangent peintervalul ,

X - - 0 tgx /- 3 -1 - 0 1 3 /

5) Graficul funciei tangentpe intervalul ,


15/25

15

9.Funcia arctangent

Fi restricia tg afunciei tg,laintervalul , , : , ,tg x=tgx ()x ,.Tabelul de variaie al restriciei funciei tangentla

,

x ( - - 0 )tgx /- 3 -1 - 0 1 3 /

Funcia tg este bijectiv tg inversabil ()(tg ) = arctgarctg:R

2,2

arctgx = y

tg

y = x

Proprieti1)arctg(x) = arctgx,()x R.2)tg(arctgx) = x,()x R3)arctg(tgx) = x,()x ,+4) arctg este strict cresctoare (),R , < arctg


16/25

16

10.Funcia cotangent

ctg R {k|kZ} R , ctgx= Proprieti

1)ctg este periodic, cu perioadelek,kZ

:

ctg(x+k) = ctgx,()x R {k|k Z},()k ZT = = perioadaprincipal.2)ctgesteimpar ctg(x) = ctgx()x R {k|k Z}.Graficul e simetric fade origine.

3) ctg este strict descresctoare pe intervalele (0+k, +k),k Z.4)

Studiulfunciei ctgpeintervalul(0,)

X 0 ctgx /+3 1 0 -13-/

4) Graficul funciei cotangent pe intervalul (0,) :


17/25

17

11.Funcia arccotangent

S consider restricia ctg afunciei ctg,laintervalul(0,), ctg :(0,) Rctgx= ctgx ()x(0,).

Tabelul

de

variaieal

restricieictg

, a funciei ctg, la intervalul (0,

)

X 0 ctgx /+3 1 0 -1 3 -/

Funcia ctgestebijectiv ctg inversabil ()(ctg) = arcctgarcctg:R (0,)arcctgx = y ctgy = xProprieti:

1)arcctg(x) = arcctgx ()x R.2) ctg(arcctgx)=x , ()x R3) arcctg(ctgx)=x, ()x (0,)4) arcctg este strict descresctoare (),R ,x < x arcctg>arcctg5) arcctg este concavpe (,0)i convexpe (0,+).6) Graficele funciilor ctg i arcctg sunt simetrice fade prima bisectoare.


18/25

18

II) 1.Progresii aritmetice

Fie ()un ir de numere(N,Z,Q,R,C).irul () s.n. progresie aritmetic a = a +r,()k 2. Notm .P1) Dac , atunci = +( 1) ,() 1.P2)a a = , ()n 2.P3) Fie numerele a,a,,a.Dac a,a,,a suntinprogresiearitmetic,atunci a +a = a +a()k = 1,n .P4) Dac a inotm S = a +a + .a,atunci S

=

( )

sau S

=

[()]

.

P5) = ()() 2.Sunt adevrate egalitile:

1+2+3++n=()

;1 +2+3 + +n = ()() ;1 +2 + +n = () ;1 +2 +3 +

+

= ()()()

.

II)2.Progresii geometrice

Fie () un ir de numere ,(N , Z , Q , R ,C) cu 0.irul(a)s.n.progresiegeometric a = a q , ()k2 , q0 .P1) Dac (a)este progr.geometric curaia q,atuncia = aq ()n 1.P2) Fie (

)

,

,

> 0. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

(a)este progresiegeometric a = a a, ()n2 .P3)Dac(a)este progr.geometric inotm S = a +a + +a,

atunci S = a n , dac q=1.S = a 1 q1 q ,dac q 1.


19/25

19

III) Elemente de combinatoric

1.Permutri

Fie A o mulime finitnevidcu n elemente. Se numete ordine pe A , o funcie

bijectivf: {1,2,,n}

,

(

) =

.

S.n. mulime ordonat(formatcu elementele mulimii A), mulimea A luat

impreun cu o ordine pe A. Se noteaz (f(1),f(2),,f(n)).

S.n. permutare a mulimii A,oricare dintre mulimile ordonate formate cu cele n

elemente ale lui A.

Numrul permutrilor lui A se noteaz cu .P) Fie A mulime finitnevidcu n elemente. Atunci P

= n!

,n

1.

Convenie: 0!=1.

Definiie. n!=1 2 , n1 .2.Aranjamente

Fie A o mulime finitnevidcu n elemente i fie kN , 0kn...aranjamentedenelementeluatectek,submulimile ordonate de k elementeale lui A. Numrul lor se noteaz cu.

1)

=

(

1)(

2) ..(

+1) , (

)n,k

N , 0


20/25

20

4.Binomul lui Newton

Teorem

()a,b Ci()n N(a+b) = Ca +Cab ++C

ab +

+C

ab +

+C

b.

Terminologie;Observaii

1) Coeficienii binomiali=numereleC,C,C,,C2) In dezvoltarea (a+b), sunt(n+1)termenia) n=par,n=2k 2k+1termeni

,

,,

,,

,

b) n=impar,n=2k+1 n+1=2k+2 termeniC C ,C C

3) exponenii luiadescrescdelanla0exponenii luibcrescdela 0lan 4) Termenul general al dezvoltrii sau termenul de rang (k+1)

este:T

= C

a

b

, 0kn

5) =

.

, 0kn-1

5.Identiti in calculul cu combinri

1) Formula combinrilor complementare : = , 0 .2) Formula de recurenin calculul cu combinri :

= + ,1 1 , , 3) = ; = ; =

1 , , 4) = + + + +


21/25

21

5) = ; 0 1 , , 6) + +. + + = 27) + + +(1) = 08) + + + = 29) + +. + = 210) + + + + = .

IV)Numere complexe

1.Forma algebrica unui numr complexeste:z = a+b i, a,b R, i = 1 , undea=Re(z) = partea real aluizb=Im(z) = coeicientul priiimaginarealuizb i = partea imaginar aluizi = unitateimaginarNum

rul

z = b i

,b

R

,s.n.num

r

complex

pur

imaginar.

Numere complexe egalez,z C ,z = a + i b ,z = a +ib , a,a,b,b Rz = z a = ab = b.2.Numere complexe conjugateDac z C, z = a+b i,a,b R , i = 1,atunci

nr.complex

z

= a

bi

s.n.

conjugatul

lui

z.

Proprieti ale numerelor complexe conjugate

1. Dintre toate nr. complexe, numerele reale (i numai ele) sunt egale cuconjugatele lor, adic:

z C , z Rz = z


22/25

22

2. (z) = z,()z C3. z +z = z +z ,()z,z C4. z

z

=

z

z

,(

)z

,z

C

5. () = ,()z,z C,z 0

6. z +z =2Re(z) R , z z R7. Re(z) = , Im(z) = ,()z C

3.Modulul unui numr complex

Dacz C, z = a+i b,a,b R, i = 1,atunci numrul real pozitiv:|z| a +b, senumete modululluiz.Proprieti

1. |z| 0,()z C2. |z| = 0 z=03.

|z| = |z| = |z|,()z C4. |z z| = |z| |z|,()z,z C5. = |||| ,()z,z C,z 06. |z +z| |z| +|z|,()z,z C7. |z

z

|

|z

| +|z

|,(

)z

,z

C

8. |z| |z| |z z|,()z,z C9. |z| = z z,()z C10. R (z) |z| , Im(z) |z|, ()z C


23/25

23

4.Forma trigonometrica unui numr compleDac z C, z = +i y, ,y R , atunci forma trigonometrica lui zeste: z = |z| (cost+isint),unde:|z| = x +y = rt

[0,2

)

a.i.

x=rcost

i

y=rsint

t = arg(z) = argumentulredusalluiz .Arg(z) = {arg(z) +2k|k Z}= mulimea argumentelorluiz.Egalitatea numerelor complexe scrise trigonometricDac z = r(cost +isint),t = arg(z)

z = r(cost +isint),t = arg(z)Atunci

z = z

r = ri arg(z) = arg(z)

Dac z = r(cost +isint),t Arg(z)z = r(cost +isint),t Arg(z)

Atunci z = zr = ri t t = 2k, k Z

5.Operaii cu numere complexe scrise sub formtrigonometricDac z

,z

C,

z = |z| (cost +isint),t Arg(z)z = |z| (cost +isint),t Arg(z)atunci:

1. z z = |z| |z| (cos(t +t) +i sin(t +t))2. z = |z| (cosn t +isinnt)3.

=|||| (cos(t t) +i sin(t t)),z 0

Rdcinile de ordinul n ale unui numr complexFie z

C

,n

N,n

2.

Se numete rdcinde ordinul n a lui z, orice nr complex u , astfel inct: u = z.Dac z=0, singura rdcinde ordinul n este 0.TeoremDacz C,n N,n 2, z = r(cost+isint),r = |z|, t [0,2) ,Atunci z admite n rdcini distincte de ordinul n, care au forma:

z =r (co t+2kn +isint+2kn ),k =


24/25

24


25/25

25

Teorie Algebra Bac

Documents

Transcript of Teorie Algebra Bac