SUMA WYRAZÓW CIĄGU ARYTMETYCZNEGO

Carl Friedrich Gauss

CARL FRIEDRICH GAUSS- (żył w latach 1777- 1855) niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta. Jeden z twórców geometrii nieeuklidesowej. Gauss wcześnie objawił niepospolity talent matematyczny. Podobno już w wieku trzech lat znalazł błąd w rachunku ojca, który obliczał wypłatę pracownikom. Gauss szczególnie cenił arytmetykę, którą nazwał

KRÓLOWĄ MATEMATYKI.Przez współczesnych sobie nazywany był

KSIĘCIEM MATEMATYKÓW.

PRZYKŁAD 1.

Zgodnie z anegdotą mały Gauss, gdy otrzymał od nauczyciela zadanie: obliczyć sumę 1 + 2 + 3+...+ 98 + 99 + 100, zrobił to błyskawicznie, korzystając z prostego chwytu. Przepiszmy tę sumę dwukrotnie 1 + 2 + 3 +...+ 98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 +...+ 3 + 2 + 1.Zauważcie, że w każdej ze stu kolumn górny i dolny wyraz dają w sumie 101. Oznaczymy szukaną sumę przez S. Otrzymamy wówczas:

2S = 101 · 100, czyli

101 · 100 S= --------------- = 5050. 2

ZADANIE 1.

Stosując metodę młodego Gaussa, oblicz sumę :

a) 1+2+3+...+58+59+60

b) 1+2+3+...+78+79+80

c) 1+2+3+...+68+69+70

d) 1+2+3+...+88+89+90.

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego dana jest wzorem:

a1 +an

Sn= ----------- · n.. 2

ZADANIE 2.Rysunek przedstawia stos puszek.

a) Ile puszek zawiera ten stos?

b)Ile puszek zawierałby podobny stos złożony z 15 warstw?

c) Ile puszek zawierałby podobny stos złożony z 20 warstw?

d) Ile puszek zawierałby podobny stos złożony z 25 warstw?

PRZYKŁAD 2.Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie początkowym a1 = 7 oraz różnicy r = 3. Znajdź sumę wyrazów od a101 do a200.Rozważany ciąg jest ciągiem arytmetycznym 100- wyrazowym o pierwszym wyrazie a101 i ostatnim wyrazie a200. Ze wzoru na n-ty wyraz mamy a101 = a1 + 100r = 7 + 100 · 3 = 307, a200 = a1 + 199r = 7 + 199 · 3= 604.

Wobec tego szukana suma ma wartość

307 + 604 S = -------------- · 100 = 911 · 50 = 45550.

2

ZADANIE 3.

Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych.

ZADANIE 4.

Znajdź sumę wszystkich liczb trzycyfrowych.

ZADANIE 5.

Znajdź sumę wszystkich liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2.

PRACA W DOMU ZADANIE 22 i 23 STRONA 27