Struktury układów logicznych
43
ZPT Struktury układów logicznych f Gate Array Standard Cell Programmable Logic Devices 1 Omówione do tej pory metody syntezy dotyczą struktur bramkowych…
description
Struktury układów logicznych. f. Omówione do tej pory metody syntezy dotyczą struktur bramkowych…. Gate Array. Standard Cell. Programmable Logic Devices. 1. Struktury układów logicznych. FPGA. Ale w dzisiejszych technologiach układy logiczne to nie tylko bramki!. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Struktury układów logicznych
ZPT
Struktury układów logicznych
f
Gate Array Standard Cell
Programmable Logic Devices
1
Omówione do tej pory metody syntezy dotyczą struktur bramkowych…
ZPT
Struktury układów logicznych
FPGA
Field Programmable Gate Array
Ale w dzisiejszych technologiach układy logiczne to nie tylko bramki!
Coraz większego znaczenia nabierają technologie, w których podstawowym elementem konstrukcyjnym są komórki logiczne
Logic Cell
… a dla takich struktur omówione do tej pory metody syntezy - w szczególności minimalizacja - są nieskuteczne
2Jedyną skuteczną metodą jest…
Komórka logiczna realizuje każdą funkcję boolowską zmiennych doprowadzonych do jej wejść
ZPT
Dekompozycja jest metodą znaną od dawna, ale jej intensywny rozwój dokonuje się od niedawna.
Sytuacja jest podobna do rozwoju nowoczesnych metod minimalizacji, który to rozwój zapoczątkowany został pojawieniem się układów scalonych z milionami bramek logicznych.
Jedyną różnicą jest fakt, że technologie struktur komórkowych pojawiły się znacznie później i metody ich syntezy nie są jeszcze wbudowane do systemów komercyjnych.
3
ZPT 4
Dekompozycja…
…to rozbicie dużego problemu
… na mniejsze komponenty
ZPT 5
F
Y = F(X)
X
U
G
H G
X
W przypadku układów logicznych to „rozbicie” dużego układu na mniejsze bloki,
Dekompozycja …
…przy czym nazywamy ten proces dekompozycją funkcjonalną, gdyż realizujemy go na poziomie
abstrakcyjnych funkcji boolowskich
ZPT
Dekompozycję funkcjonalną od razu omówimy w ujęciu nowoczesnym - dostosowanym do złożoności dzisiejszych technologii.
Metodę klasyczną omówimy szkicowo, koncentrując się na jej mankamentach…
6
Dekompozycja funkcjonalna
Skuteczność dekompozycji funkcjonalnej jest tak ogromna, że mimo jej braku w narzędziach komercyjnych należy się z tymi metodami zapoznać i stosować w praktyce projektowania układów cyfrowych za pośrednictwem narzędzi uniwersyteckich.
ZPT 7
V U
G
H
Y = F(X)
W
czyli U V X
Dekompozycja metodą rachunku podziałów
X
Ponadto dopuszczamy powiększenie zbioru argumentów bloku G
U, V są rozłącznymi podzbiorami X,
ale U V niekoniecznie = X
W jest podzbiorem właściwym U W U
ZPT 8
… w ujęciu rachunku podziałów
Funkcję F: Bn {0,1}m można zrealizować w strukturze:
F = H(U,G(V,W))
Twierdzenie o dekompozycji
U
G
HG
PF
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podział G PVW taki, że:
PU · G PF
ZPT 9
Twierdzenie o dekompozycji - interpretacja
G PVW taki, że: PU · G PF
F
Y = F(X)
X
Y = H(U,G(V,W))
U
G
HG
X
G
PU PVW (PV)
PF
to podziały indukowane przez argumenty zbiorów U, V W, (V)
Podział wyjściowy funkcji F
Trzeba obliczyć!!!
ZPT 10
Przykład ilustrujący metodę dekompozycji
Zgodnie z Tw. dekompozycję liczymy przy zadanych (niestety!) zbiorach U, V: przyjmujemy
U = {x1,x2}, V = {x3,x4,x5}
) ,116,7,8,9,10 ;1,2,3,4,5 (Pf =
Funkcja f:
G
H
x1 x2 x3
f
x5x4
Nie wiemy ile jest wyjść z bloku G
x1 x2 x3 x4 x5 f
1 0 0 0 0 0 0
2 0 1 0 1 1 0
3 0 0 1 0 1 0
4 0 1 1 1 1 0
5 0 0 1 1 0 0
6 0 1 0 0 1 1
7 0 0 1 0 0 1
8 0 1 1 1 0 1
9 1 0 1 0 1 1
10 1 1 0 0 1 1
11 1 0 0 0 1 1
ZPT 11
Przykład…obliczanie podziałów PU, PV
),116,7,8,9,10 ;1,2,3,4,5 (Pf =
PU |PU·Pf =
PU = ;1,3,5,7 (
PV = ) 7 ;6,10,11 ;5,8 ;4 ;3,9 ;2;1 (
U = {x1,x2}
Bardzo ważny w dalszych obliczeniach jest…
;2,4,6,8 ) 10 ;9,11
) ,116,7,8,9,10 ;1,2,3,4,5 (Pf =
;(1,3,5)(7) ( ;(2,4)(6,8) )(10);(9,11)
x1 x2 x3 x4 x5 f
1 0 0 0 0 0 0
2 0 1 0 1 1 0
3 0 0 1 0 1 0
4 0 1 1 1 1 0
5 0 0 1 1 0 0
6 0 1 0 0 1 1
7 0 0 1 0 0 1
8 0 1 1 1 0 1
9 1 0 1 0 1 1
10 1 1 0 0 1 1
11 1 0 0 0 1 1
PU = ;1,3,5,7 ( ;2,4,6,8 ) 10 ;9,11
V = {x3,x4, x5}
ZPT 12
Przykład…obliczanie ПG
1
3,9
ПG =
PV = ) 7 ;6,10,11 ;5,8 ;4 ;3,9 ;2;1 (
5,86,10,11
7
2
4
; 9,10,111,3,5,6,8, (
;(1,3,5)(7) ( ;(2,4)(6,8) )(10);(9,11)PU |PU·Pf =
G PV
PU · G PF
Podział G składamy z bloków podziału PV,
ale tak aby zapewnić warunki „rozdziału”
zapisane w podziale PU |PU·Pf
G:
) 2,4,7
Sklejanie, małe bloki
podziału PV sklejamy w
większe bloki G
ZPT 13
Komentarz
H
x1 x2 x3
f
x5x4
ПG = ; 9,10,111,3,5,6,8, ( ) 2,4,7
GZatem dopiero teraz wiemy ile jest
wyjść z bloku G. Tylko jedno wyjście!
Obliczony ΠG jest dwublokowy…
ZPT 14
Przykład…tworzenie tablicy funkcji g
x1 x2 x3 x4 x5 f
1 0 0 0 0 0 0
2 0 1 0 1 1 0
3 0 0 1 0 1 0
4 0 1 1 1 1 0
5 0 0 1 1 0 0
6 0 1 0 0 1 1
7 0 0 1 0 0 1
8 0 1 1 1 0 1
9 1 0 1 0 1 1
10 1 1 0 0 1 1
11 1 0 0 0 1 1
x3 x4 x5 g
1 0 0 0 0
2 0 1 1 1
3 1 0 1 0
4 1 1 1 1
5 1 1 0 0
6 0 0 1 0
7 1 0 0 1
8 1 1 0 0
9 1 0 1 0
10 0 0 1 0
11 0 0 1 0
x3 x4 x5 g
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 1
1 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
ПG = ; 9,10,111,3,5,6,8, ( ) 2,4,7
g
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
f
G
H
x1 x2 x3 x5x4
ZPT 15
x1 x2 x3 x4 x5 f
1 0 0 0 0 0 0
2 0 1 0 1 1 0
3 0 0 1 0 1 0
4 0 1 1 1 1 0
5 0 0 1 1 0 0
6 0 1 0 0 1 1
7 0 0 1 0 0 1
8 0 1 1 1 0 1
9 1 0 1 0 1 1
10 1 1 0 0 1 1
11 1 0 0 0 1 1
x1 x2 g h
1 0 0 0 0
2 0 1 1 0
3 0 0 0 0
4 0 1 1 0
5 0 0 0 0
6 0 1 0 1
7 0 0 1 1
8 0 1 0 1
9 1 0 0 1
10 1 1 0 1
11 1 0 0 1
x1 x2 g h
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
ПG = ; 9,10,111,3,5,6,8, ( ) 2,4,7
g
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
Przykład…tworzenie tablicy funkcji h
h=f
G
H
x1 x2 x3 x5x4
g
ZPT 16
Przykład (TL27) ilustrujący skuteczność dekompozycji
.type fr
.i 10
.o 1
.p 250010111010 01010010100 00100011110 01011101011 01100010011 00100010110 01110100110 00100110000 00101000010 00111111011 10000010100 11101110011 10100100000 10100011111 10010000110 11111010001 11111101001 11111111111 10010000000 11101100111 10010001111 11111100010 11010111101 10110000110 10100111000 1.e
Można wykazać, że funkcja ta jest zależna od 7 argumentów
X = {x3, x5, x6, x7, x8, x9, x10}
Przykład 6.2, str. 137 Synteza logiczna
Dalej wszystkie obliczenia będą wykonywane na podziałach
P3, P5, P6, P7, P8, P9, P10
Celem przykładu jest pokazanie, że cały proces dekompozycji (łącznie z obliczeniem tablic prawdy)
można wykonać wyłącznie na podziałach
Są to podziały na zbiorze ponumerowanych wektorów 1,…,25
ZPT 17
Specyfikacja funkcji – podziałami
P3 = ;25,20,14,13,12,11,9,8,6,5,3{ }24,23,22,21,19,18,17,16,15,10,7,4,2,1
P5 = ;24,21,19,16,15,14,11,9,6,5,3,2{ }25,23,22,20,18,17,13,12,10,8,7,4,1
P6 = ;24,22,21,20,19,17,15,13,9,7,4{ }25,23,18,16,14,12,11,10,8,6,5,3,2,1
Pf = ;9,...,2,1{ }25,...,10
P7 = ;24,22,20,19,16,15,13,12,11,9,8,7,6,5,2{ }25,23,21,18,17,14,10,4,3,1
P8 = ;25,22,19,17,16,13,12,10,9,8,5,4,1{ }24,23,21,20,18,15,14,11,7,6,3,2
P9 = ;25,23,19,17,16,13,11,8,2{ }24,22,21,20,18,15,14,12,10,9,7,6,5,4,3,1
P10 = ;25,24,22,19,15,13,11,9,8,7,6,3,2,1{ }23,21,20,18,17,16,14,12,10,5,4
ZPT 18
Ustalenie zbiorów U i V
X = {x3, x5, x6, x7, x8, x9, x10}
U = {x7, x8, x9}V = {x3, x5, x6, x10}
f
G
H
x7 x8 x9
x3 x5 x6 x10
Przyjmujemy arbitralnie…
Nie wiemy ile jest wyjść z bloku G
ZPT 19
Obliczenie podziałów PU, PV
)23 ; 17,25 ; 8,13,16,19 ; 246,7,15,20, ; 5,9,12,22; 3,14,18,21 ; 2,11 ; 1,4,10(
PV= )21 ; 20 ; 16 ; 15,19,24 ;13 ;12; 10,18,23 ;9; 8,25; 7,22;5,14;4,17; 3,6,11 ; 2 ; 1(
PU =
PU=P7•P8•P9
PV=P3•P5•P6•P10
Można je wyznaczyć bezpośrednio z tablicy funkcji, ale tym razem przy zastosowaniu rachunku podziałów:
…obliczenia są żmudne, ale proste
U = {x7, x8, x9} V = {x3, x5, x6, x10}
ZPT 20
)23 ; 17,25 ; 8,13,16,19
; 246,7,15,20, ; 5,9,12,22; 3,14,18,21 ; 2,11 ; 1,4,10(
((1,4)(10)
PU =
Pf = ; 1,2,...,9{ 10,...,25}
Podział ilorazowy Pu|Pu•PF
; (2)(11)
(6,7)(15,20,24) ; (8)(13,16,19) ; (17,25) ; (23))
; (3)(14,18,21) ; (5,9)(12,22)Pu|Pu•Pf =
Przy liczeniu podziału ilorazowego po prostu rozdzielamy elementy bloków PU między różne bloki podziału Pf
W każdym bloku Pu|Pu• Pf są co najwyżej dwa elementy (nawiasy), zatem liczba bloków podziału ΠG musi być co najmniej dwa.
ZPT 21
Obliczenie ΠG
)24 23, 21, 20, 19, 18, 4,15,16, 13,1 10, 2,5,9, ; 25 22, 17, 11,12, 7,8, 6, 1,3,4,(Πg
Pu|Pu · Pf = ((1,4)(10) ; (2)(11) ; (3)(14,18,21) ; (5,9)(12,22) ;
(6,7)(15,20,24) ; (8)(13,16,19) ; (17,25) ; (23))
PV= )21 ; 20 ; 16 ; 15,19,24 ;13 ;12; 10,18,23 ;9; 8,25; 7,22;5,14;4,17; 3,6,11 ; 2 ; 1(
4,171 10,18,23
3,6,11 2 5,14
12 7,22
8,25
9 15,19,24 20
13 16
21
G:
ZPT 22
Liczba wyjść bloku G
f
G
H
x7 x8 x9
x3 x5 x6 x10
Liczba wyjść z bloku G = 1
Skoro ΠG jest dwublokowy
f
G
H
x7 x8 x9
x3 x5 x6 x10
W tym momencie już wiemy na pewno, że założona dekompozycja istnieje
ZPT 23
Co dalej …
W obu przypadkach najwygodniejsze do procesu syntezy są tablice prawdy funkcji G i H
f
G
H
x7 x8 x9
x3 x5 x6 x10 Inżynier musi tę funkcję zrealizować:
•albo na bramkach•albo na komórkach
ZPT 24
Funkcja G
x3 x5 x6 x10 g
PV= )21 ; 20 ; 16 ; 15,19,24 ;13 ;12; 10,18,23 ;9; 8,25; 7,22;5,14;4,17; 3,6,11 ; 2 ; 1(
1 1 1 0 0
1 0 1 0 1
0 0 1 0 0
)24 23, 21, 20, 19, 18, 4,15,16, 13,1 10, 2,5,9, ; 25 22, 17, 11,12, 7,8, 6, 1,3,4,(Πg
P3 = ;25,20,14,13,12,11,9,8,6,5,3{ }24,23,22,21,19,18,17,16,15.10,7,4,2,1
P5 = ;24,21,19,16,15,14,11,9,6,5,3,2{ }25,23,22,20,18,17,13,12,10,8,7,4,1
P6 = ;24,22,21,20,19,17,15,13,9,7,4{ }25,23,18,16,14,12,11,10,8,6,5,3,2,1
P10 = ;25,24,22,19,15,13,11,9,8,7,6,3,2,1{ }23,21,20,18,17,16,14,12,10,5,4
Wektory (wiersze) tablicy funkcji g są wyznaczane przez bloki PV, a wartości tej funkcji przez bloki ΠG
ZPT 25
Funkcja H
x7 x8 x9 g h
...) 14,18,21; 3 ; 11; 2 ; 10 ; 1,4( PU G < PF
1 0 1 0 01 0 1 1 1
0 1 0 1 0…P7 = ;24,22,20,19,16,15,13,12,11,9,8,7,6,5,2{ }25,23,21,18,17,14,10,4,3,1
P8 = ;25,22,19,17,16,13,12,10,9,8,5,4,1{ }24,23,21,20,18,15,14,11,7,6,3,2
P9 = ;25,23,19,17,16,13,11,8,2{ }24,22,21,20,18,15,14,12,10,9,7,6,5,4,3,1
)24 23, 21, 20, 19, 18, 4,15,16, 13,1 10, 2,5,9, ; 25 22, 17, 11,12, 7,8, 6, 1,3,4,(Πg
Wektory (wiersze) tablicy funkcji h są wyznaczane przez bloki PU G , a wartości tej funkcji przez bloki PF
ZPT 26
Co uzyskaliśmy…
f
G
H
x7 x8 x9
x3 x5 x6 x10
Tylko 2 komórki typowej struktury FPGA
QUARTUS
Uzyskaliśmy wynik dziesięciokrotnie razy lepszy od wyniku systemu Quartus amerykańskiej firmy
Altera
23 kom.
ZPT 27
Dekompozycja zespołu funkcji
X
F
X
G
H
Y
U
V
Y = y1, y2,…, ym
Twierdzenie w ujęciu rachunku podziałów jest ogólne, obliczenia są niezależne od liczby wyjść funkcji F.
Dekompozycja
ZPT 28
x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 y3
1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 1 1 0 1 0
3 0 0 0 1 0 1 0 0
4 0 1 1 0 0 0 1 1
5 0 1 1 0 1 0 0 1
6 0 1 1 1 0 0 1 0
7 0 1 0 0 0 0 0 1
8 1 1 0 0 0 0 0 1
9 1 1 0 1 0 0 0 0
10 1 1 1 0 0 1 0 0
11 1 1 1 1 1 0 1 1
12 1 1 1 1 0 0 1 0
13 1 0 0 0 1 0 0 1
14 1 0 0 1 1 0 0 0
15 1 0 0 1 0 1 0 0
)15,14,13,12,11,10,9,8;7,6,5,4,3,2,1(1 P
;14,9,1(
Przykład dekompozycji zespołu funkcji
)12,11,10,9,8,7,6,5,4;15,14,13,3,2,1(2 P
)12,11,10,6,5,4;15,14,13,9,8,7,3,2,1(3 P
)15,14,12,11,9,6,3,2;13,10,8,7,5,4,1(4 P
)14,13,11,5,2;15,12,10,9,8,7,6,4,3,1(5 P
Niezależnie od liczby funkcji wszystkie wyjścia opisujemy jednym! podziałem
;15,10,3 )11,4;13,8,7,5;12,6,2
v
v
v
v
v
v
FP
(Przykład 6.11, str. 140: Synteza logiczna)
ZPT 29
Przykład…wyznaczanie podziałów PU, PV
U = {x3,x4} V = {x1,x2,x5}
6,11,12;4,5,10;52,3,9,14,1 ;1,7,8,13PU
3,10,15;4,11;2,6,12;5,7,8,13 ;1,9,14PF
;)(1)(7,8,13
PU = P3•P4 PV=P1•P2•P5
FUU PP|P ;3,15)(2)(9,14)( (11)(6,12) ;(4)(5)(10)
15 ;13,14 ;11 ;8,9,10,12 ;5 ;4,6,7 ;2 ;1,3PV
x3 x4 x1 x2 x5
g
h
• • •
Szukamy dekompozycji
ZPT 30
Przykład…obliczanie G
(2) (9,14) (3,15)
212,10,9,8
14,13
3,1
15
7,6,4 5
11
51,3,5,11,1 ;13,14 8,9,10,12, ;2,4,6,7ΠG
(11)(6,12) ;(4)(5)(10) ;3,15)(2)(9,14)( ;)(1)(7,8,13P|P FU
15 ;13,14 ;11 ;8,9,10,12 ;5 ;4,6,7 ;2 ;1,3PV
Jak wyznaczyć G ???
Trochę inny zapis
ZPT 31
Przykład…kodowanie ΠG
51,3,5,11,1 ;; 13,14 8,9,10,12, 2,4,6,7G
Należy zakodować bloki ΠG
01 10 00
Kodowanie jest dowolne
Aktualna teoria nie podaje rozwiązania problemu kodowania
W przypadku zespołu funkcji liczba bloków podziału ΠG jest większa.
Kodowanie jest potrzebne do wyznaczenia tablic prawdy funkcji G i H
Blok G ma dwa wyjścia!
ZPT 32
Tablica prawdy G
)14,13,11,5,2;15,12,10,9,8,7,6,4,3,1(
)12,11,10,9,8,7,6,5,4;15,14,13,3,2,1(
)15,14,13,12,11,10,9,8;7,6,5,4,3,2,1(
5
2
1
P
P
P x1 x2 x5 g1 g2
. . . . . .
3,1
27,6,4
51,3,5,11,1 ;; 13,14 8,9,10,12, 2,4,6,7G
01 10 00
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0
0 1
0 1
5 0 1 1 0 0
15 ;13,14 ;11 ;8,9,10,12 ;5 ;4,6,7 ;2 ;1,3PV
ZPT 33
Tablica prawdy H
x3 x4 g1 g2 y1 y2 y3
. . . . . .
1
7
13,8
15,3
)15,14,12,11,9,6,3,2;13,10,8,7,5,4,1(
)12,11,10,6,5,4;15,14,13,9,8,7,3,2,1(
4
3
P
P
PU G =
51,3,5,11,1 ;; 13,14 8,9,10,12, 2,4,6,7G
01 10 00
0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
;7 ;13,8 ;15,3 …;1(
PU G < PF
6,11,12;4,5,10;52,3,9,14,1 ;1,7,8,13PU
ZPT 34
Co uzyskaliśmy…
Ale dla struktur FPGA wystarczy schemat dekompozycji i tablice prawdy.
Funkcje g i h można obliczyć jawnie…z tablic prawdymożna uzyskać realizacje na bramkach.
x3 x4 x1 x2 x5
g
h
Proces minimalizacji jest niepotrzebny!!!
ZPT 35
Obliczanie podziału ΠG metodą przenoszenia bloków PV na podstawie podziału ilorazowego PU│PU•ΠG jest trudne do zalgorytmizowania.
Komputerowy algorytm dekompozycji
Algorytm komputerowy musi być zrealizowany wg całkowicie innych zasad.
ZPT 36
W obliczeniach komputerowych korzysta się z pojęcia zgodnych (alboniezgodnych) par bloków podziału
Wtedy algorytm obliczania ΠG można sprowadzić do algorytmu obliczania MKZ lub do algorytmu kolorowania grafu.
Komputerowy algorytm dekompozycji
PV =( B1,…,Bi,…,Bj,…,BN)
ZPT 37
Komputerowy algorytm dekompozycji
Dwa bloki Bi i Bj podziału PV są zgodne, jeśli podział ij
uzyskany z PV przez sklejenie Bi oraz Bj w jeden blok i
pozostawienie pozostałych bloków bez zmiany
W przeciwnym przypadku Bi oraz Bj są niezgodne.
PV =( B1,…,Bi,…,Bj,…,BN) ij =( B1,…,BiBj,…,BN)
spełnia warunek Twierdzenia o dekompozycji: PU ij PF.
ZPT 38
Przykład (ten sam co poprzednio)
6,11,12;4,5,10;52,3,9,14,1 ;1,7,8,13PU
3,10,15;4,11;2,6,12;5,7,8,13 ;1,9,14PF
15 ;13,14 ;11 ;8,9,10,12 ;5 ;4,6,7 ;2 ;1,3PV
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
(11)(6,12) ;(4)(5)(10) ;3,15)(2)(9,14)( ;)(1)(7,8,13PP|P FUU
57 =
12 = ;1,2,3 15 ;13,14 ;11 ;8,9,10,12 ;5 ;4,6,7
;13,148,9,10,12, ;5 ;4,6,7 ;2 ;1,3 15 ;11
U = {x3,x4} oraz V = {x1,x2,x5}
Numerujemy bloki PV
ZPT 39
Przykład …
Ale do wyznaczenia zgodnych (lub sprzecznych) par (Bi, Bj)
niekoniecznie musimy się posługiwać skomplikowaną nierównością PU ij PF
Można sprawdzić, że
PU 12 PF,
PU 57 PF
(B1, B2) jest sprzeczna
(B5, B7) jest zgodna
Wystarczy w tym celu obliczyć iloczyn zbioru Bi Bj
z blokami podziału PU i sprawdzić, czy każdy „niepusty
iloczyn” jest zawarty w jakimś bloku PF
ZPT 40
Przykład …
6,11,12;4,5,10;52,3,9,14,1 ;1,7,8,13PU
3,10,15;4,11;2,6,12;5,7,8,13 ;1,9,14PF
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
(B1,B2) jest sprzeczna
15 ;13,14 ;11 ;8,9,10,12 ;5 ;4,6,7 ;2 ;1,3PV
B1 B2 = 1,2,3
1,2,3 PU )( 2,3 ;1 PF
B5 B7 = 13,148,9,10,12,
13,148,9,10,12, PU 12;10;9,14 ;8,13 PF
(B5, B7) jest zgodna
ZPT 41
Przykład c.d.
Pary zgodne: (B1,B4), (B1,B6), (B1,B8), (B2,B3), (B2,B4), (B2,B6), (B3,B7), (B3,B8), (B4,B6), (B4,B7), (B4,B8), (B5,B7), (B6,B7), (B6,B8).
Doskonale wiemy jak obliczać Maksymalne Klasy Zgodne
MKZ
15 ;13,14 ;11 ;8,9,10,12 ;5 ;4,6,7 ;2 ;1,3PV
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
G ; {B1,B4, B6, B8};{B2, B3} {B5, B7}
Klasy maksymalne:
{B1,B4, B6, B8}
{B4, B6, B7}
{B2, B4, B6}
{B3, B7}
{B3, B8}
{B2, B3}
{B5, B7}
ZPT 42
Przykład c.d.
51,3,5,11,1 ;13,14 8,9,10,12, ;2,4,6,7G
15 ;13,14 ;11 ;8,9,10,12 ;5 ;4,6,7 ;2 ;1,3PV
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
Ten sam rezultat co poprzednio
G ; {B1,B4, B6, B8};{B2, B3} {B5, B7}
ZPT 43
Interpretacja na grafie niezgodności
Pary sprzeczne Bi, Bj, gdzie i,j: (1,2), (1,3), (1,5), (1,7), (2,5), (2,7), (2,8), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (5,6), (5,8), (7,8)
1
2
3
4
5
8
7
6
Graf niezgodności z minimalną liczbą chromatyczną
1, 4, 6, 8 kolor A
2, 3 kolor B
5, 7 kolor C
