Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii

Instrukcja do zajęć laboratoryjnych

Tytuł ćwiczenia

STANY NIEUSTALONE W OBWODACH I i II RZĘDU

Numer ćwiczenia

E16

Opracowanie: Robert Bycul

Białystok 2009

- 2 -

Spis treści

1. CEL ĆWICZENIA ..................................................................................3

2. UWAGI OGÓLNE ..................................................................................3

3. UKŁAD PIERWSZEGO RZĘDU .........................................................4

4. UKŁAD DRUGIEGO RZĘDU...............................................................7

5. OPIS UKŁADU LABORATORYJNEGO..........................................11

6. BADANIE UKŁADU PIERWSZEGO RZĘDU.................................12

7. BADANIE UKŁADU DRUGIEGO RZĘDU ......................................14

8. SPRAWOZDANIE Z WYKONANEGO ĆWICZENIA....................16

9. LITERATURA.......................................................................................17

10. PYTANIA KONTROLNE....................................................................17

11. WYMAGANIA BHP .............................................................................17

_____________ Materiały dydaktyczne przeznaczone dla studentów Wydziału Elektrycznego PB.

© Wydział Elektryczny, Politechnika Białostocka, 2009

Wszelkie prawa zastrzeżone. Żadna część tej publikacji nie może być kopiowana i

odtwarzana w jakiejkolwiek formie i przy użyciu jakichkolwiek środków bez zgody

posiadacza praw autorskich.

- 3 -

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wizualna ilustracja przebiegów nieustalonych

w prostych obwodach elektrycznych oraz obserwacja wpływu zmiany wartości

parametrów obwodu na przebiegi prądów i napięć w stanie nieustalonym.

2. Uwagi ogólne

Układ elektryczny o stałych skupionych można opisać przez jego

transmitancję, będącą funkcją wymierną zmiennej zespolonej s:

)(

)(

)(

)()(

sB

sA

sX

sYsK == (1)

gdzie:

X(s) – transformata Laplace’a wymuszenia x(t),

Y(s) – transformata Laplace’a odpowiedzi układu y(t)

A(s), B(s) – wielomiany zmiennej zespolonej s.

Rys. 1. Układ elektryczny: z zaznaczonymi sygnałami: wejściowym (wymuszeniem) x(t),

wyjściowym (odpowiedzią) y(t), oraz odpowiedzią impulsową k(t), z zaznaczonymi

transformatami Laplace’a wymuszenia X(s), odpowiedzi Y(s) oraz transmitancją K(s)

Stopień wielomianu B(s) określa tzw. rząd układu. W ćwiczeniu analizowane

są stany nieustalone w układach pierwszego (układy inercyjne) i drugiego rzędu.

Identyfikacja układu (określenie jego transmitancji), gdy nie są znane jego

elementy składowe, może być dokonana przez zbadanie jego odpowiedzi

impulsowej lub skokowej.

- 4 -

Odpowiedzią impulsową k(t) układu nazywamy przebieg wyjściowy

y(t), wywołany przez sygnał wejściowy x(t)=δ(t), przy zerowych

warunkach początkowych.

Odpowiedzią skokową h(t) nazywamy przebieg y(t) wywołany przez

sygnał x(t)=1111(t), przy zerowych warunkach początkowych.

Sygnał δ(t) nazywany jest deltą Diraca. Jest to sygnał teoretyczny, będący

impulsem o nieskończenie krótkim czasie trwania i nieskończenie dużej

amplitudzie. Jedną z możliwych reprezentacji tego sygnału przedstawia rys. 1.

Gdy T→ 0, to impuls przedstawiony na rysunku będzie deltą Diraca. Pole

ograniczone krzywą impulsu i osią odciętych jest równe jedności.

( ) 1=∫∞+

∞−

dttδ (2)

δδδδ

t-T/2

(t)

1/T

T/2

Rys. 2. Jedna z możliwych reprezentacji delty Diraca

Sygnał 1(t) jest sygnałem skoku jednostkowego, przyjmującym wartość 0 dla

)0,(−∞∈t oraz 1 dla ),0 ∞∈<t .

Związki między transmitancją operatorową układu K(s), a transformatami

Laplace’a przebiegów k(t) i h(t) mają postać:

[ ] [ ] )()(

)(),()( sHs

sKthsKtk === L L (3)

3. Układ pierwszego rzędu

Dla układu pierwszego rzędu, badanego w ćwiczeniu (rys. 9), można napisać

następujące równania:

- 5 -

.

,

,

21

2

RC

R

C

ii

R

uui

dt

duCi

=

−=

=

(4)

Zależności te po uporządkowaniu zapisać można w postaci następującego

równania różniczkowego:

122 11

uRC

uRCdt

du =+ (5)

Jest to równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego o stałych

współczynnikach, które w formie ogólnej może być zapisane jako:

)()(1)(

tAxtydt

tdy =+τ (6)

Z prostego porównania (5) i (6) wynika, że w przypadku układu z rys. 9 RC=τ

oraz RC

A1= , przy czym u2(t)=y(t) oraz u1(t)=x(t).

Stosując do równania (6) przekształcenie Laplace’a przy zerowych warunkach

początkowych, otrzymujemy:

)()(1

)( sAXsYssY =+τ (7)

Stąd transmitancja operatorowa:

τ1)(

)()(

+==

s

A

sX

sYsK (8)

Transformaty odpowiedzi impulsowej i skokowej oraz ich oryginały mają

postać:

τ

τ

t

Aetk

s

AsK

−=↔

+= )(

1)( (9)

- 6 -

−=↔

+==

−ττ

τ

t

eAth

ss

A

s

sKsH 1)(

1

)()( (10)

Przebiegi odpowiedzi impulsowej i skokowej przedstawiono na rys 2. Stałą τ

występującą w zależnościach (6) – (10) nazywamy stałą czasową, a jej

odwrotność τ1

– stałą tłumienia.

Stałą czasową określamy jako czas, po upływie którego składowa

przejściowa odpowiedzi maleje e-krotnie względem swojej wartości

początkowej.

δ(t), δ(t), k(t)

h(t)

Rys. 3. Przykładowe przebiegi odpowiedzi impulsowej k(t) i skokowej h(t) układu I rzędu.

- 7 -

Na rysunku zaznaczono stałą czasową τ. W przypadku odpowiedzi impulsowej,

lub skokowej będącej skutkiem zaniku wymuszenia, stała czasowa jest czasem,

w którym odpowiedź osiąga wartość A/e, czyli ok. 0,368 wartości początkowej.

W przypadku odpowiedzi skokowej przy załączeniu wymuszenia będzie to czas

w którym odpowiedź osiąga wartość A(1-1/e), czyli ok. 0,632 wartości

ustalonej. Z rys. 3 wynika również, że:

stałą czasową można wyznaczyć graficznie, jako odciętą punktu

przecięcia stycznej do wykresu odpowiedzi przy t=0 z wartością

ustaloną odpowiedzi dla t→∞.

W praktyce szacuje się, że stan nieustalony zanika po czasie równym

ok. 4-5 stałych czasowych (w chwili t≈5τ odpowiedź układu różni się

nie więcej niż 1% od wartości ustalonej).

4. Układ drugiego rzędu

Układ drugiego rzędu można opisać równaniem różniczkowym [1]:

)()()()( 2

2

2

tAxtydt

tdya

dt

tyd =++ ω (11)

Jeżeli rozważymy np. szeregowy obwód RLC przy wymuszeniu stałym

i zerowych warunkach początkowych, to stałe w równaniu (11) przyjmą

odpowiednio wartości: L

Ra = ,

LC

1=ω , L

UA = , gdzie U – napięcie stałe

załączone w układzie w chwili t=0.

Dla zerowych warunków początkowych równanie (11) możemy zapisać w

następującej postaci operatorowej:

)()()()( 22 sXAsYsYsasYs ⋅=+⋅⋅+ ω (12)

Stąd:

22)(

)()(

ω+⋅+==

sas

A

sX

sYsK (13)

Miejsca zerowe mianownika wyliczamy z zależności:

- 8 -

2

2

2,122

ω−

±−= aas (14)

a) dla a > 2ω (wyróżnik mianownika ∆ = a2 – 4 ω

2 > 0) oba bieguny (miejsca

zerowe mianownika) transmitancji K(s) są liczbami rzeczywistymi ujemnymi.

Odpowiedź impulsowa k(t) (oryginał funkcji K(s)) ma charakter aperiodyczny

(nieokresowy).

( )tstsee

ss

Atk

ssss

AsK 21

2121

)())((

)( −−

=↔−−

= (15)

b) dla a = 2ω (∆ = 0) otrzymujemy biegun podwójny 2

210

asss −=== .

Odpowiedź impulsowa układu ma charakter aperiodyczny krytyczny.

( )ts

etAtkss

AsK 0)()(

2

0

⋅⋅=↔−

= (16)

c) dla a < 2ω (∆ < 0) bieguny transmitancji K(s) są liczbami zespolonymi

sprzężonymi:

βαβα

ω

js

js

aj

as

−−=+−=

−±−=

2

1

22

2,1

,

22

(17)

Odpowiedź k(t) ma w tym przypadku charakter oscylacyjny tłumiony:

( )

( )

)sin(2

2

)( 21

21

teA

j

eee

A

eeeej

A

eess

Atk

ttjtj

t

tjttjt

tsts

βββ

β

αββ

α

βαβα

−−

−

−−−

=−=

=−=

=−−

=

(18)

Podobne trzy przypadki można wyróżnić dla odpowiedzi skokowej h(t).

- 9 -

Rys. 4 przedstawia przebiegi odpowiedzi impulsowej w przypadku

aperiodycznym oraz aperiodycznym krytycznym. Rys. 5 przedstawia przebieg

odpowiedzi impulsowej w przypadku oscylacyjnym. Rys. 6 i 7 przedstawiają

przebiegi odpowiedzi skokowej h(t) dla przypadków a), b) i c).

t

k(t) k(t) – przypadekaperiodyczny

k(t) – przypadekaperiodycznykrytyczny

Rys. 4. Przebiegi odpowiedzi impulsowej k(t) układu II rzędu, w przypadku aperiodycznym

i aperiodycznym krytycznym

t

k(t)

Rys. 5. Przebieg odpowiedzi impulsowej k(t) układu II rzędu, w przypadku oscylacyjnym

- 10 -

0

h(t)

t

A

Rys. 6. Przebieg odpowiedzi skokowej układu II rzędu w przypadku aperiodycznym (linia

ciągła) i aperiodycznym krytycznym (linia przerywana)

t

h(t)

T

Rys. 7. Przebieg odpowiedzi skokowej układu II rzędu w przypadku oscylacyjnym

tłumionym

βA

A +

βA

A −

- 11 -

5. Opis układu laboratoryjnego

W ćwiczeniu badany jest czwórnik RLC o elementach, których wartości

zmieniane są skokowo. Poszczególne pozycje przełączników na obudowie

czwórnika odpowiadają następującym wartościom parametrów RLC:

Tabela 1. Wartości parametrów RLC badanego czwórnika

Pozycja przeł. R kΩ L mH C µF

0 0 0

1 0,1 10 0,01

2 0,3 50 0,05

3 0,5 0,1

4 1,4

5 2

6 6

Rwy=600

Generator

Ω

Obwód badany Oscyloskop

Rys. 8. Schemat blokowy układu pomiarowego

Przyrządy używane w ćwiczeniu:

1. Generator dekadowy RC typu PW-11:

Ustawić częstotliwość generowanego napięcia o przebiegu prostokątnym na

ok. 500 Hz, amplitudę Eg na 15V.

Uwaga: przy obserwacji przebiegów uwzględnić fakt, że rezystancja

wyjściowa generatora (Rwy=600Ω) może mieć wpływ parametry otrzymanych

przebiegów.

2. Oscyloskop – wskazany przez prowadzącego. Należy samodzielnie dobrać

właściwe ustawienia oscyloskopu tak, aby otrzymać najlepszą reprezentację

obserwowanych przebiegów. Zaobserwowane przebiegi należy zapisać na

dyskietce lub nośniku USB, w zależności od zastosowanego oscyloskopu.

- 12 -

6. Badanie układu pierwszego rzędu

Badany jest czwórnik RC o schemacie przedstawionym na rys 9.

C

R

U1 U2

Rys. 9. Schemat ideowy analizowanego układu pierwszego rzędu

Uwaga: przełącznik indukcyjności na obudowie układu powinien być

ustawiony w pozycji 0 (wciśnięty czerwony klawisz).

a) obliczyć odpowiedź układu u2(t) na pobudzenie skokiem napięcia

u1(t) = 1(t),

b) wyznaczyć rezystancję wyjściową generatora Rg w układzie pomiarowym

z rys. 10. Przy rezystancji opornika dekadowego R = Rg napięcie na

wyjściu generatora ma wartość równą połowie napięcia występującego

w stanie jałowym (R → ∞) – wyjaśnić, dlaczego,

Rwy=600

Generator

Ω

Oscyloskop

R

Rys. 10. Pomocniczy układ pomiarowy

c) obliczyć przebieg odpowiedzi układu (wg punktu a) dla R=100Ω,

C=0,05µF, z uwzględnieniem rezystancji wyjściowej generatora

(Rcałk=R+Rg),

d) zmierzyć przebieg odpowiedzi na pobudzenie skokiem napięcia przy

pomocy oscyloskopu dla powyższych parametrów, w układzie jak na

- 13 -

rys. 8. Wyniki obliczeń z punktu c i wykonanych pomiarów zestawić

w formie tabeli i wykresów – patrz tabela 2.

Tabela 2. Tabela do porównania wyników pomiaru z wynikami obliczeń

odpowiedzi układu pierwszego rzędu na sygnał skoku

t µs

Uobl V

Uzm V

Usym V

e) przeprowadzić obserwację wpływu zmian parametrów R i C na kształt

przebiegu napięcia wyjściowego. Wyniki obserwacji wybranych

przypadków zapisać na dyskietkę lub nośnik USB. Przykładowe

parametry RC, dla których można zarejestrować przebiegi: C = 0,05µF,

R = 100Ω, 1,4kΩ, 6kΩ; R = 500Ω, C = 0,01µF, 0,05µF, 0,1µF,

f) na podstawie pomiarów z punktu e wyznaczyć metodą graficzną stałą

czasową dla każdego z zarejestrowanych przebiegów. Porównać

uzyskane wartości ze stałą czasową obliczoną z zależności τ = (R + Rg)C

Wyniki obliczeń i pomiarów przedstawić w formie tabeli (Tabela 3).

Tabela 3. Porównanie wyników pomiarów oraz obliczeń stałej czasowej

układu pierwszego rzędu

R kΩ C µF τobl µs τzm µs τsym µs

g) dokonać symulacji układu w programie PSpice. Schemat układu

przedstawia rys. 11, natomiast parametry elementów obwodu oraz

nastawy symulacji – tabela 4. Ustawić napięcie źródła (DC) na 15V oraz

zerowe warunki początkowe (IC) na kondensatorze. Dzięki zastosowaniu

elementu Vprint1, przebieg napięcia na kondensatorze zostaje zapisany

do pliku wyjściowego symulacji. Porównać otrzymane wyniki symulacji

dla przypadku małej stałej czasowej (tabela 4) z obliczeniami

(podpunkt c) oraz wynikami pomiarów (podpunkt d).

- 14 -

Rys. 11. Schemat układu I rzędu w programie Schematics pakietu PSpice

Tabela 4. Dane elementów obwodu I rzędu oraz parametry symulacji

w programie PSpice

Przypadek R Ω C µF Print Step

µs

Final Time

µs

Step

Ceiling µs

mała stała

czasowa 100 0,05 2 200 2

średnia

stała

czasowa

1400 0,05 5 500 2

duża stała

czasowa 6000 0,05 20 2000 2

7. Badanie układu drugiego rzędu

Badanym układem drugiego rzędu jest czwórnik RLC, którego schemat

ideowy przedstawia rys. 11.

C

R

U1 U2

L

Rys. 12. Schemat ideowy analizowanego układu drugiego rzędu

- 15 -

a) obliczyć odpowiedź skokową h(t) układu, jako funkcję parametrów RLC.

Rozpatrzyć trzy przypadki: aperiodyczny, aperiodyczny krytyczny,

oscylacyjny. Czy możliwe jest uzyskanie wszystkich trzech typów

odpowiedzi w badanym układzie? Wyprowadzić poniższy wzór na

częstotliwość drgań tłumionych ω0 i okres T0 tych drgań (pamiętać o

uwzględnieniu rezystancji wyjściowej generatora)

20

0

2

1

22

+−

==

L

RR

LC

T

g

πω

π (19)

b) przeprowadzić obserwację wpływu parametrów RLC na odpowiedź

skokową układu, w układzie pomiarowym wg rys. 8. Obserwację

przeprowadzić dla wartości podanych w tabeli 5. Zaobserwowane przebiegi

należy zarejestrować,

Tabela 5. Parametry RLC układu II rzędu, dla których należy dokonać

obserwacji odpowiedzi skokowej

Parametry stałe Parametry zmienne

L = 10mH C = 0,01µF R = 0,1kΩ 1,4kΩ 0,5kΩ 2kΩ 6kΩ

R = 300Ω C = 0,01µF L = 10mH 50mH

R = 300Ω L = 10mH C = 0,01µF 0,05µF 0,1µF

L=10mH C=0,05µF R = 2kΩ

L=50mH C = 0,01µF R=300Ω

c) na podstawie pomiarów wykonanych w punkcie b, wyznaczyć dla

każdego przypadku oscylacyjnego okres drgań tłumionych. Porównać tę

wartość z obliczoną na podstawie wzoru wyprowadzonego w punkcie a. Do

porównania wykorzystać tabelę 6.

Tabela 6. Tabela do porównania wyników pomiarów oraz obliczeń okresu

drgań tłumionych odpowiedzi skokowej układu II rzędu

R kΩ L mH C µF Tobl µs Tzm µs Tsym µs

d) dokonać symulacji układu w programie PSpice. Schemat układu

przedstawia rys. 13, natomiast parametry elementów obwodu oraz nastawy

symulacji – tabela 7. Ustawić napięcie źródła (DC) na 15V oraz zerowe

warunki początkowe (IC) na kondensatorze i w cewce. Dzięki zastosowaniu

- 16 -

elementu Vprint1, przebieg napięcia na kondensatorze zostaje zapisany do

pliku wyjściowego symulacji. Porównać otrzymane wyniki symulacji dla

przypadku oscylacyjnego (trzeci wiersz tabeli 7) z wynikami pomiarów

(podpunkt b oraz c).

Rys. 13. Schemat układu II rzędu w programie Schematics pakietu PSpice

Tabela 7. Dane elementów obwodu II rzędu oraz parametry symulacji

w programie PSpice

Przypadek R Ω L mH C µF Print Step

µs

Final

Time µs

Step

Ceiling

µs

przypadek

najbliższy

krytycznemu

1400 10 0,01 1 75 2

przypadek

aperiodyczny 2000 10 0,05 8 800 2

przypadek

oscylacyjny 300 50 0,01 8 800 1

8. Sprawozdanie z wykonanego ćwiczenia

Sprawozdanie powinno zawierać w szczególności:

- schematy układów pomiarowych oraz badanych układów,

- zadane w instrukcji obliczenia i wyprowadzenia,

- wydrukowane przebiegi, zarejestrowane w trakcie ćwiczenia,

z naniesionymi liniami pomocniczymi do wyznaczenia stałej czasowej

bądź okresu drgań tłumionych,

- komentarze do wykonywanych zadań pomiarowych i obliczeniowych,

- wnioski.

- 17 -

9. Literatura

1. Bolkowski S., Teoria obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa, 2006.

2. Baranowski K., Welo A., Symulacja układów elektronicznych, Mikom,

Warszawa, 1996.

3. Król A., Moczko J., Symulacja i optymalizacja układów elektronicznych,

Nakom, Poznań, 2000.

10. Pytania kontrolne

1. Wyjaśnij pojęcia: odpowiedź skokowa i impulsowa układu.

2. Wyjaśnij pojęcia: składowa ustalona, składowa przejściowa.

3. Wyjaśnij pojęcie transmitancji operatorowej układu.

4. Co to jest stała czasowa i stała tłumienia? Podaj metody ich wyznaczania.

5. Oblicz trzy charakterystyczne przypadki odpowiedzi impulsowej układu

drugiego rzędu.

6. Oblicz i naszkicuj przebiegi napięć i prądów w obwodzie RL przy

włączeniu napięcia stałego.

7. Oblicz i naszkicuj przebiegi napięć i prądów w obwodzie RC przy

włączeniu napięcia stałego.

8. Omów prawa komutacji. W jaki sposób należy uwzględniać niezerowe

warunki początkowe przy obliczaniu stanów nieustalonych w obwodach

elektrycznych?

9. Wyprowadź wzór określający częstotliwość drgań tłumionych w obwodzie

RLC.

10. Podaj przynajmniej jedną definicję dystrybucji Diraca δ(t) oraz jej

najważniejsze właściwości.

11. Omów metodę wyznaczenia rezystancji wyjściowej generatora

sygnałowego zastosowaną w ćwiczeniu.

11. Wymagania BHP

Warunkiem przystąpienia do praktycznej realizacji ćwiczenia jest zapoznanie

się z instrukcją BHP i instrukcją przeciwpożarową oraz przestrzeganie zasad

w nich zawartych. Wybrane urządzenia dostępne na stanowisku laboratoryjnym

mogą posiadać instrukcje stanowiskowe. Przed rozpoczęciem pracy należy

zapoznać się z instrukcjami stanowiskowymi wskazanymi przez prowadzącego.

W trakcie zajęć laboratoryjnych należy przestrzegać następujących zasad:

- sprawdzić, czy urządzenia dostępne na stanowisku laboratoryjnym są

w stanie kompletnym, nie wskazującym na fizyczne uszkodzenie,

- 18 -

- sprawdzić prawidłowość połączeń urządzeń,

- załączenie napięcia do układu pomiarowego może się odbywać po

wyrażeniu zgody przez prowadzącego,

- przyrządy pomiarowe należy ustawić w sposób zapewniający stałą

obserwację, bez konieczności nachylania się nad innymi elementami

układu, znajdującymi się pod napięciem,

- zabronione jest dokonywanie jakichkolwiek przełączeń oraz wymiany

elementów składowych stanowiska pod napięciem,

- zmiana konfiguracji stanowiska i połączeń w badanym układzie może się

odbywać wyłącznie w porozumieniu z prowadzącym zajęcia,

- w przypadku zaniku napięcia zasilającego należy niezwłocznie wyłączyć

wszystkie urządzenia,

- stwierdzone wszelkie braki w wyposażeniu stanowiska oraz

nieprawidłowości w funkcjonowaniu sprzętu należy przekazywać

prowadzącemu zajęcia,

- zabrania się samodzielnego włączania, manipulowania i korzystania

z urządzeń nie należących do danego ćwiczenia,

- w przypadku wystąpienia porażenia prądem elektrycznym należy

natychmiast wyłączyć zasilanie stanowisk laboratoryjnych za pomocą

wyłącznika bezpieczeństwa, dostępnego na każdej tablicy rozdzielczej

w laboratorium. Przed odłączeniem napięcia nie dotykać porażonego.