Spis - Uniwersytet Śląski

Fizyka w ekonomii: metody i

modele

Krzysztof Domino

Polite hnika �l¡ska

Jerzy Dajka

Uniwersytet �l¡ski

Katowi e, 2014

Spis tre± i

1 Prolog 5

2 Metody prakty zne 7

2.1 Wst�p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Transak je na GPW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Modele rynku ak ji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Model VaR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Modele mikroskopowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Metody sto hasty zne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Centralne Twierdzenie Grani zne, rozkªad Gaussa i Lévy'ego. 24

2.4.2 Model bª¡dzenia przypadkowego, rozkªad Gaussa oraz

ru hy Browna w kontek± ie analizy dany h �nansowy h. 29

2.4.3 Ru hy Browna i i h uogólnienia: dyfuzja, subdyfuzja i

superdyfuzja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.4 Wy ena op ji: model Bla ka - S holesa i jego wybrane

uogólnienia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.5 Rozkªady Lévy'ego oraz i h zastosowanie do modelo-

wania kursów ak ji. Funk ja harakterysty zna oraz

stabilno±¢ rozkªadów Lévy'ego. Rozkªad q- Gaussa. . . 46

2.4.6 Model perkola yjny: przykªad ukªadu, u którego mo»e

wyst�powa¢ zarówno normalna jak i anomalna dyfuzja. 53

2.4.7 Cz¡stkowe ru hy Browna: wykªadnik (Hursta) dyfuzji

- H , zale»no±¢ ±redniego kwadratowego od hylenia od

zasu oraz aspekt samopodobie«stwa. . . . . . . . . . . 55

2.4.8 Lokalna analiza beztrendowa (DFA): wyli zanie lokal-

nego wykªadnika dyfuzji (H) u»ywanego do badania

dany h �nansowy h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.9 Wykorzystanie anomalnej dyfuzji w elu przewidywa-

nia zaªama« na rynku oraz zmian trendów. . . . . . . . 66

2.5 Teoria haosu: dynamika w dyskretnym zasie. . . . . . . . . . 101

3

4 SPIS TRE�CI

2.5.1 Zagadnienia fraktali, wymiaru fraktalnego oraz ano-

malnej dyfuzji na fraktala h. . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.5.2 Zagadnienia momentów rozkªadów prawdopodobie«stwa,

wykªadników hierar hi zny h, multifraktali oraz i h za-

stosowanie do analizy GPW. . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.6 Przej± ia fazowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.7 Model Isinga oraz jego zastosowanie. . . . . . . . . . . . . . . 116

3 Podstawy �zy zne 125

3.1 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.2 Dynamika haoty zna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.2.1 Dynamika liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2.2 Stabilno±¢ puntów sta jonarny h . . . . . . . . . . . . 131

3.2.3 Niehiperboli zne poªo»enia równowagi . . . . . . . . . . 133

3.2.4 Dynamika liniowa wy»szego rz�du . . . . . . . . . . . . 133

3.2.5 Ekonomi zne ukªady dynami zne: exempla . . . . . . . 136

3.2.6 Termodynamika haosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.2.7 Entropia Koªmogorowa�Sinaja . . . . . . . . . . . . . . 147

3.2.8 Dynami zne entropie Rényi . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.2.9 Równowa»ne ukªady spinowe . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.3 Termodynamika ekonomi zna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.3.1 Termodynamika fenomenologi zna w piguª e . . . . . . 152

3.3.2 Termodynamika modelu Solowa . . . . . . . . . . . . . 155

3.4 Ma ierze losowe w ekono�zy e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.4.1 Analiza portfela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.4.2 Naprawd� du»e ma ierze . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.4.3 Ma ierz korela ji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.5 Sie i zªo»one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.5.1 Empiria: ±wiat jest maªy . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.5.2 Grafy: harakterystyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.5.3 Perkola je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.5.4 Przykªad: sie i na polski h rynka h . . . . . . . . . . . 168

4 Epilog 171

Rozdziaª 1

Prolog

Ekono�zyka to jedna z najnowszy h poddziedzin szeroko rozumniej �zyki.

Pewne wyobra»enie o przedmio ie zainteresowa« ekono�zyków mo»na wyro-

bi¢ sobie na podstawie bodaj jedynego przetªuma zonego na polski opra owa-

nia

1

. Próba zde�niowania zakresu bada« ekono�zyki sprowadza si� zwykle

do stwierdzenia, »e dziedzina ta pozwala na badanie szeroko rozumiany h

zjawisk rynkowy h przy u»y iu metod �zyki i modeli w �zy e wykorzysty-

wany h. Inspira ja dla poszukiwa« analogii staje si� jasna, gdy porównamy

harakterystyki zasowe niemal dowolny h instrumentów �nansowy h i zja-

wisk �zy zny h opisywany h przy pomo y modelu ru hów Browna lub ty h,

które przejawiaj¡ e hy haoty zne. Istotn¡ e h¡ ekonomii skªaniaj¡ ¡ ba-

da zy do si�gania do �zyki jest zªo»ono±¢ badanego problemu. Jakkolwiek

wspóª zesna �zyka w swej warstwie epistemologi znej zasadza si� na, za-

sem mo»e zbyt ortodoksyjnym, reduk jonizmie, nale»y podkre±li¢, »e istniej¡

dziaªy �zyki stawiaj¡ e sobie za el badanie zjawisk w swej isto ie emer-

gentny h. Mo»emy ªatwo zaak eptowa¢ podobie«stwo elów stawiany h so-

bie przez ekonomistów i �zyków, je±li zdamy sobie spraw� ogromnej li zby

konie zny h do uwzgl�dnienia zynników wpªywaj¡ y h na badane zjawisko

rynkowe b¡d¹ �zy zne. Podejrzewamy wi� , »e metody �zy zne u»yte zne

dla ekonomii to pewnie te, które okazaªy ju» si� skute zne w �zy e staty-

sty znej.

W odró»nieniu od materiaªów dydakty zny h dost�pny h dzi± w stosun-

kowo niewielkiej li zbie, literatura z naukowa z zakresu ekono�zyki obejmu-

j¡ a pra e badaw ze oraz zaawansowane pra e przegl¡dowe jest niezwykle

dzi± bogata. Niestety, bardzo rzadko pra e badaw ze mog¡ sªu»y¢ jako sku-

te zna pomo dydakty zna w nau zaniu studentów. Jest to tym istotniejsze,

»e ekono�zyka nie jest zarezerwowana dla jedynie wyksztaª ony h sªu ha zy

1

R.N. Mantegna, H.E. Stanley, Ekono�zyka - wprowadzenie, PWN

5

6 ROZDZIA� 1. PROLOG

studiów doktoran ki h. Na Uniwersyte ie �l¡skim w Katowi a h ekono�-

zyka, jako spe jalno±¢ i kierunek studiów, jest obe na od ponad dziesi� iu

lat.

Potrzeba zebrania nau zany h zagadnie« do posta i skryptu dla studen-

tów wyrosªa z do±wiad ze« autorów zebrany h w trak ie prowadzenia zaj�¢ z

�zy zny h modeli w ekonomii, ekono�zyki oraz metod �zyki dla rynków kapi-

taªowy h na obu stopnia h studiów ekono�zy zny h w Katowi a h. Starszy

z autorów (JD) pozostaje zwi¡zany z katowi k¡ ekono�zyk¡ od jej po z¡tku,

mªodszy za± (KD) prowadzi aktywne badania naukowe w dziedzinie gaª�zi

ekono�zyki opisany h w skryp ie. Do±wiad zenia autorów zebrane zarówno

w trak ie nau zania jak i bada« prowadzony h w trak ie wspóªrealiza ji przez

jednego z autorów (JD) projektu badaw zego DEC-2011/01/B/ST6/07197,

zaowo owaªy przygotowaniem podr� znika zawieraj¡ ego rdze« wspóª zesnej

ekono�zyki wykorzystuj¡ ej modele �zy zne do opisu zjawisk ekonomii. Ni-

niejszy skrypt stanowi w zamierzeniu jego autorów pomo dydakty zn¡ dla

studentów studiuj¡ y h ekono�zyk� oraz wykªadów ów ekono�zyki nau za-

j¡ y h. Wymaganie jasno± i wykªadu skªoniªo autorów do odrzu enia rygo-

ryzmu typowego dla pra badaw zy h. W sz zególno± i wyst�puja e w toku

wykªadu powtórzenia maj¡ el dwojaki. Po pierwsze pozwalaj¡ na za ho-

wanie naturalnego w nau zaniu liniowego porz¡dku wykªadu, po drugie za±,

daj¡ zytenikowi�studentowi mo»liwo±¢ wilostronnego wgl¡du w studiowany

temat.

Skrypt skªada si� z dwu zasadni zy h z�± i. Podziaª ten pokrywa si�

z zainteresowaniami i spe jalno± iami autorów skryptu. Pierwszy rozdziaª,

obejmuj¡ y prakty zne aspekty przedmiotu, wyrósª z do±wiad ze« badaw-

zy h pierwszego autora (KD), drugi za±, nie o bardziej teorety zny, od-

zwier iedla pasje i nadzieje, sz zególnie te z zwi¡zane z rol¡ termodynamiki

w ekono�zy e, drugiego z autorów (JD).

Rozdziaª 2

Metody prakty zne

2.1 Wst�p

W rozdziale omówiono nast�puj¡ e zagadnienia.

Rodzaje transak ji na GPW oraz okre±lanie en transak ji, po-

pyt i poda» jako zynniki ksztaªtuj¡ e en� transak ji. Modele

rynków ak ji, model VaR (�Value at Risk�), modele mikroskopowe

(model �Bak - Pa zuski - Szubik�, model hierar hi zny �Sornete -

Johansen� oraz model perkola yjny �Cout - Bau hau�). Przedsta-

wiono, w kontek± ie analizy dany h �nansowy h, model bª¡dze-

nia przypadkowego, rozkªad Gaussa oraz Ru hy Browna. Nawi¡-

zano do pro esu Wienera, Caªek It� oraz Geometry zny h Ru hów

Browna. Omówiono rozkªady Lévy'ego (w tym rozkªad Lorentza

/ Caushiego) oraz i h zastosowanie do modelowania kursów ak ji.

Zwró ono uwag� na rozkªad q-Gaussa, u»ywany w ostatnim zasie

do modelowania dany h �nansowy h. Przedstawiono zagadnienia

fraktali, wymiaru fraktalnego oraz anomalnej dyfuzji na frakta-

la h (wspomniano o modelu perkola yjnym jako narz�dziu u»ytym

do omówienia anomalnej dyfuzji). Omówiono Cz¡stkowe ru hy

Browna i wykªadnik dyfuzji (H). Zwró ono uwag� na wykorzy-

stanie anomalnej dyfuzji w elu przewidywania zaªama« na rynku

oraz zmian trendów. Przedstawiono lokaln¡ analiz� beztrendow¡

(DFA), lokalny wykªadnik dyfuzji (H) wraz z zastosowaniem do

7

8 ROZDZIA� 2. METODY PRAKTYCZNE

badania dany h �nansowy h. Wprowadzono zagadnienia multi-

fraktali omawiaj¡ i h zastosowanie do analizy GPW. Omówiono

równie» wykorzystanie modelu Isinga do badania baniek spekula-

yjny h i zaªama« na GPW w analogii do przej±¢ fazowy h.

2.1.1 Literatura

1. http://bossa.pl/eduka ja

2. www.gpw. om.pl

3. M.F.M Osborne �The Sto k Market and the Finan e from a

Physi ist's Viewpoint"

4. J. M. W. Tadion �Rozszyfrowa¢ rynek - Prognozowanie, In-

westowanie, Wska¹niki i Dane Statysty zne� Wiley (1996)

5. P. Best �Warto±¢ nara»ona na ryzyko� (model VaR) Wiley

(1998).

6. U. Cherubini, E. Lu iano, W. Ve hiato �Copula Methods in

�nan e� Wiley �nan e (2012).

7. G.L. Vas on elos �A Guided Walk Down Wall Street: an

Introdu tion to E onophysi s� Brazilian Journal of Physi s

34 (2004) 1039

8. S.Havlin, D.Ben-Avraham �Difusion in disordered media� Ad-

van es in Physi s Vol. 51 - No. 1, (2002).

9. D. Gre h, G.Pamuªa �The Lo al Fra tal Properties of the

Finan ial Times Series on the Polish Sto k Ex hange Market�

Physi a A 387 (2008) 4299

10. K. Domino �The Use of the Hurst Exponent to Predi t Chan-

ges in Trends on the Warsaw Sto k Ex hange� Physi a A 390

(2011) 98�109

2.2. TRANSAKCJE NA GPW. 9

11. K. Domino �The use of the Hurst exponent to investigate

the global maximum of the Warsaw Sto k Ex hange WIG20

index� Physi a A 391 (2012) 156�169

12. M.Gligor, M.Ignat �E onophysi s: a New Field for Statisti al

Physi s� Interdis iplinary S ien e Reviews, VOL. 26, NO. 4

(2001)

13. L. Kristoufek, �o al S aling Properties and Market Turning

Points at Prague Sto k Ex hange", A ta Physi a Poloni a B,

Vol. 41 (2010) No. 6

2.2 Transak je na GPW.

Notowanie jednolite (podwójny �xing).

Notowania w systemie kursu jednolitego opieraj¡ si� na pro edu-

rze tzw. �xingu, zyli wyzna zenia eny papieru warto± iowego na

podstawie zle e« zªo»ony h przed rozpo z� iem notowa«. W tym

systemie notowane s¡ ak je o maªej pªynno± i. Przebieg notowa«

jednolity h (od 15 kwietnia 2013) obrazuje nast�puj¡ e zestawie-

nie:

1. 8:30 - 11:00 faza przed otwar iem (przyjmowanie zle e« na

pierwsze otwar ie),

2. 11:00 - wyzna zenie kursu jednolitego, pierwszy �xing,

3. 11:00 - 11:30 - dogrywka,

4. 11:30 - 15:00 - faza przed otwar iem (przyjmowanie zle e« na

drugie otwar ie),

5. 15:00 - wyzna zenie kursu jednolitego, drugi �xing,

6. 15:00 - 15:30 - dogrywka,



pierwsze otwar ie - na nast�pn¡ sesje).

Faza przed otwar iem.

Rodzaje zle e« przyjmowany h pod zas fazy przed otwar iem.

1. Po ka»dej enie (PKC) - zle enie do wykonania bez wzgl�du

na en�.

2. Po enie rynkowej na otwar ie (PCRO) - zle enie do wyko-

nania po ustalonej enie rynkowej.

3. Z limitem eny - zle enie do wykonania po enie równej limi-

towi lub lepszej (wy»szej dla sprzeda»y i ni»szej dla zakupu).

Kolejno±¢ realiza ji zle e«:

1. W pierwszej kolejno± i musz¡ by¢ zrealizowane zle enia (PKC)

a nast�pnie zle enia z limitem lepszym ni» ustalony kurs.

2. Potem mog¡ by¢ zrealizowane zle enia (PCRO) a nast�pnie

zle enia z limitem równym ustalonemu kursowi.

3. Zle enia z limitem gorszym ni» ustalony kurs nie s¡ realizo-

wane.

W fazie przed otwar iem wraz z wprowadzaniem ka»dego kolej-

nego zle enia do entralnego arkusza zle e«, kalkulowany jest na

bie»¡ o Teorety zny Kurs Otwar ia (TKO). Ostatni znany kurs

(TKO) staje si� kursem otwar ia i po tym kursie przeprowadzane

s¡ transak je pod zas �xingu. Wyzna zaj¡ warto±¢ Teorety z-

nego Kursu Otwar ia kieruje si� kolejno zasadami:

1. maksymaliza ji wolumenu obrotu,

2. minimaliza ji ró»ni y mi�dzy li zb¡ papierów warto± iowy h

w zle enia h sprzeda»y i kupna mo»liwy h do zrealizowania

przy danym kursie,


3. minimaliza ji ró»ni y mi�dzy kursem okre±lanym i kursem

odniesienia.

Wyzna zony kurs musi by¢ kursem równowagi (zapewnia reali-

za j� wszystki h zle e« (PKC) oraz z limitem lepszym od eny

transak ji).

Notowania i¡gªe.

Notowania i¡gªe rozpo zynaj¡ si� ogªoszeniem kursu otwar ia, a

ko« z¡ ogªoszeniem kursu zamkni� ia - w tym systemie notowane

s¡ ak je o du»ej pªynno± i. Przebieg notowa« i¡gªy h (od 15

kwietnia 2013) obrazuje nast�puj¡ e zestawienie:


otwar ie),

2. 9:00 - �xing na otwar iu, rozpo z� ie fazy notowa« i¡gªy h,

3. 9:00 - 16:50 - notowania i¡gªe,

4. 16:50 - 17:00 - faza przed zamkni� iem (przyjmowanie zle e«

na zamkni� ie),

5. 17:00 - �xing na zamkni� iu,

6. 17:00 - 17:05 - dogrywka.

Rodzaje zle e« przyjmowany h pod zas notowa« i¡gªy h:

1. Zle enia po ka»dej enie (PKC) jest zle eniem do naty h-

miastowego wykonania, nie zawiera limitu eny, musi zosta¢

zrealizowane w aªo± i, gdy w arkuszu nie ma zle e« prze iw-

stawny h zapewniaj¡ y h aªkowit¡ realiza j�, rozpo zyna

si� pro es równowa»enia rynku.


2. Zle enia po enie rynkowej (PCR), nie zawiera limitu eny,

realizowane naty hmiast po wprowadzeniu, po enie najlep-

szego o zekuj¡ ego zle enia prze iwstawnego, je±li nie zosta-

nie zrealizowane w aªo± i, z�±¢ niezrealizowana staje si� zle-

eniem z limitem równym kursowi ostatniej zawartej trans-

ak ji.

3. Zle enie z limitem eny. Limit okre±la najwy»sz¡ en� na jak¡

godzi si� skªadaj¡ y zle enie (zle . kupna) lub najni»sz¡ en�

na jak¡ godzi si� skªadaj¡ y zle enie (zle . sprzeda»y).

4. Inne (Wmin, WUJ, LimAkt, WuA).

Ustalanie eny transak ji pod zas notowa« i¡gªy h obrazuje na-

st�puj¡ e zestawienie.

• Transak je zawierane s¡ po kursie najlepszego zle enia o ze-

kuj¡ ego na rynku.

• W przypadku braku prze iwstawnego zle enia zgodnego e-

nowo zle enie tra�a do arkusza zle e« i zeka na pojawienie

si� zle enie prze iwstawnego o odpowiedniej enie.

• Przy realiza ji zle e« zawsze obowi¡zuj¡ dwa priorytety: ena

oraz zas zªo»enia zle enia.

Popyt i poda».

Krzywa popytu i poda»y okre±la en� P w funk ji popytu D i po-

da»y S. Prze i� ie krzywy h popytu i poda»y okre±la en� trans-

ak ji oraz ilo±¢ sprzedany h i zakupiony h artykuªów Q - rysunek

2.1.

Zamienimy teraz osie miejs ami - zaªo»ymy, i» to popyt D i

poda» S s¡ funk j¡ eny P , pozwoli to matematy znie spójnie

przeprowadzi¢ analiz� - rysunek 2.2.


Rysunek 2.1: Cena w funk ji popytu D i poda»y S.

Rysunek 2.2: Popyt D i poda» S w funk ji eny P .

Transak je na GPW.

Zaªó»my, »e pod zas notowa« i¡gªy h inwestor skªada zle enie

kupna 10 ak ji z limitem eny 10 zª. Popyt wynosi 10 ak ji za

en� od 0 do 10 zª wª¡ znie, oraz 0 ak ji za en� powy»ej 10 zª.

Posiada z ak ji skªada zle enie sprzeda»y 10 ak ji z limitem eny

8 zª. Poda» wynosi 10 ak ji za en� od 8 zª wzwy» - rysunek 2.3.


Na rysunku 2.4 przedstawiono natomiast sum� popytu D i poda»y

S dla wielu zle e« z limitem eny.

Rysunek 2.3: Pojedy« ze zle enie na GPW.

Rysunek 2.4: Suma popytu D i poda»y S dla wielu zle e« z limitem eny.

Po przeprowadzonej transak ji popytD i poda» S ulegaj¡ zmia-

nie - rysunek 2.5. Ogólnie, je»eli b�d¡ skªadane gªównie zle enia

kupna ena b�dzie rosªa (wzrost popytu), natomiast je±li b�d¡

2.3. MODELE RYNKU AKCJI. 15

Rysunek 2.5: Zamiana popytu i poda»y po przeprowadzonej transak ji.

skªadane gªównie zle enia sprzeda»y ena b�dzie malaªa (wzrost

poda»y). Jednak»e mog¡ pojawi¢ si� wyj¡tki od tej zasady. Po-

nadto jak mo»na zauwa»y¢ na rysunku 2.3 i 2.4, wybór eny jest w

pewnym sensie arbitralny (w naszym przypadku w przedziale 8-10

zª) i zale»y nie tylko od fundamentalny h praw rynku ale równie»

od opisany h w ze±niej zasad.

2.3 Modele rynku ak ji.

�Ceny papierów warto± iowy h zale»¡ ra zej od kolektywnego za-

howania wielu oddziaªuj¡ y h gra zy, ni» od fundamentalny h

warto± i wynikaj¡ y h z obe nej i przyszªej kondy ji �rm"

1

.

2.3.1 Model VaR.

VaR - �Value at risk� jest to metoda statysty zna, sªu»¡ a do po-

miaru ryzyka rynkowego zwi¡zanego z portfelem aktywów. Me-

toda ta polega na wykorzystywaniu modeli statysty zny h (tzw.

1

John M. Keynes �Ogólna teoria zatrudnienia, pro entu i pieni¡dza�


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4Procentowe stopy zwrotu.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40C

zest

osc

.

Rysunek 2.6: Rozkªad normalny.

modeli VaR) umo»liwiaj¡ y h osza owanie maksymalnej straty,

któr¡ mo»na ponie±¢ z powodu spadku en rynkowy h instrumen-

tów �nansowy h znajduj¡ y h si� w portfelu inwesty yjnym, przy

zaªo»eniu okre±lonego poziomu ufno± i oraz okresu w jakim ta

strata mo»e zosta¢ poniesiona. W modelu VaR stosuje si� nast�-

puj¡ e metody obli ze«:

• metoda kowarian ji,

• metoda symula ji history znej,

• metoda symula ji Monte Carlo.

Metoda kowarian ji zakªada rozkªad normalny zmian warto± i port-

fela - rysunek 2.6 (przy danym poziomie ufno± i maksymalny spa-

dek warto± i portfela jest okre±lony przez rozkªad normalny). Np.

przy poziomie ufno± i 97, 5% maksymalny spadek warto± i port-

fela to 2σ (2 od hylenia standardowe).


Wyzna zanie VaR dla pojedyn zego papieru warto± iowego - dzienne

zmiany en.

Zgodnie z zaªo»eniami modelu VaR zmiana eny papieru warto-

± iowego wynosi∆P = r±σ gdzie r to ±redni dryf (staªy niewielki

wzrost kursów ak ji zwi¡zany z pro esami makroekonomi znymi

np. wzrostem PKB) a σ to od hylenie standardowe. Przy dzien-

ny h zmiana h eny stosuje si� uprosz zenie r ≈ 0. Nale»y wy-

zna zy¢ warto±¢ od hylenia standardowego - σ =√

E(x− x)2 -

np. u»ywaj¡ dany h history zny h. Symbol E ozna za warto±¢

przewidywan¡, x to kolejne zmiany kursów ak ji (stopy zwrotu),

natomiast x to ±rednia stopa zwrotu, z�sto zakªada si�, »e x ≈ 0.Otrzymujemy VaR = α · σ · Q - gdzie Q to warto±¢ ak ji (przy

poziomie ufno± i 97, 5% α = 2). VaR to wielko±¢ o jak¡ mo»e

spa±¢ warto±¢ portfela przy zaªo»onym poziomie ufno± i.

Wyzna zanie VaR dla portfela.

1. W przypadku 2 spóªek X i Y w portfelu inwesty yjnym ko-

rzystamy z nast�puj¡ ej rela ji:

V aRXY =√

(V aRX)2 + (V aRY )2 + 2V aRXV aRYR.

2. Nale»y wyzna zy¢ parametry V aRx = αQxσx, V aRy = αQyσy

oraz R - wspóª zynnik korela ji.

3. RXY = COVXY

σXσY, COVXY = 1

n

∑ni=1(xi − x)(yi − y).

4. W przypadku wielu spóªek V aR =√V × C × V T

, gdzie:

V = [V aR1, V aR2, V aR3...] = [αQ1σ1, αQ2σ2, αQ3σ3...] to wek-

tor warto± i VaR,


−0.003 −0.002 −0.001 0.000 0.001 0.002 0.003Procentowe stopy zwrotu.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Cze

stosc

.

Rysunek 2.7: Stopy zwrotu z ka»dej transak ji dla spóªki PEKAO - kwie ie«

2013r oraz dopasowany rozkªad normalny.

C =

1 R1,2 · · · R1,n

R1,2.

.

.

.

.

.

R1,n 1

to ma ierz korela ji, natomiast

V T =

V aR1

V aR2

V aR3

...

to wektor transponowany. Podstawow¡ wad¡

modelu jest fakt, »e dane �nansowe nie zawsze s¡ dobrze opisane

przez rozkªad normalny, zego przykªad obrazuje rysunek 2.7.

Model VaR, metoda symula ji history znej - dzienne zmiany en.

Zaªó»my, »e mamy portfel który skªada si� z n papierów warto-

± iowy h o warto± ia h Q1, Q2, ..., Qn. Warto±¢ portfela w zasie

t ( hwila obe na) wynosi QP (t) =∑n

i=1Qi. Aby wyzna zy¢ war-

to±¢ VaR metod¡ symula ji history znej stosujemy nast�puj¡ ¡

pro edur�:

1. wyzna zamy history zne warto± i portfela -QP (t−1), QP (t−


2), ..., QP(t−m).

2. okre±lamy history zne zmiany warto± i portfela

∆QP (t− 1) = QP (t)−QP (t− 1), ...,∆QP(t−m) = QP (t−m+ 1)−QP (t−m),

3. sporz¡dzamy empiry zny rozkªad prawdopodobie«stwa∆QP ,

4. wyzna zamy maksymaln¡ strat� stosuj¡ w/w rozkªad i za-

ªo»ony poziom ufno± i.

Metoda symula ji history znej ma ograni zone zastosowania po-

niewa» wymaga du»y h mo y obli zeniowy h (ka»da zmiana skªadu

portfela wymaga ponownego wyli zenia warto± i Qi oraz przepro-

wadzenia opisanej pro edury).

model VaR - dyskusja

Model VaR jest bardzo szeroko stosowany w o enie ryzyka. Jego

podstawow¡ wad¡ jest stosowanie rozkªadu normalnego. Na rynku

mo»liwe s¡ du»e zmiany kursów ak ji - wi�ksze ni» te przewidy-

wane przez rozkªad normalny - np. ba«ki spekula yjne, kra hy.

Model VaR nale»y uzupeªni¢ o metody testowania napi�¢ - identy-

�ka ji ekstremalny h zdarze« (subiektywna o ena kierowni twa).

Model VaR mo»na ponadto udoskonali¢ zast�puj¡ rozkªad nor-

malny przez inne rozkªady prawdopodobie«stwa oraz zast�puj¡

ma ierz korela ji przez funk je Kopuªy

2

. Funk je Kopuªy ª¡ z¡

jednowymiarowe rozkªady prawdopodobie«stwa w rozkªad wie-

lowymiarowy i pozwalaj¡ na analiz� ryzyka wieloskªadnikowego

portfela.

Uzupeªnienie o modele nie gaussowskie.

Model zakªadaj¡ y inny ni» gaussowski rozkªad

prawdopodobie«stwa zmian en - rozkªad Lévy'ego.

2

U. Cherubini, E. Lu iano, W. Ve hiato �Copula Methods in �nan e�, Wiley �nan e

(2012)


Rysunek 2.8: Rozkªad prawdopodobie«stwa stóp zwrotu z indeksu na gieªdzie

w Saõ Paulo (r = ∆P (ti) = P (ti)− P (ti−1)) w skali logarytmi znej - ¹ródªo

- G.L. Vas on elos �A Guided Walk Down Wall Street: an Introdu tion to

E onophysi s�, Brazilian Journal of Physi s 34 (2004) 1039.

W roku 1963 Mandelbrot badaj¡ eny baweªny na ró»ny h

rynka h w Stana h Zjedno zony h jako pierwszy zakwestionowaª

gaussowski rozkªad prawdopodobie«stwa zmian en (∆P (ti) =P (ti) − P (ti−1)), który dla skrajny h warto± i za howywaª si�

jak funk ja wykªadni za - prawdopodobie«stwo du»ej zmiany byªo

zna znie wi�ksze, ni» to przewidziane przez rozkªad Gaussa - ry-

sunek 2.8. Obe nie prowadzi si� badania nad zastosowaniem roz-

kªadu Lévy'ego do opisu dany h �nansowy h. Przykªadem roz-

kªadu Lévy'ego jest rozkªad Lorentza / Cau hyego.

ρ(x) =2a

π

1

x2 + 4a2. (2.1)

Model dyfuzji anomalnej

Model zakªada:

• autokorela j� zmian en;


• analogi� pomi�dzy rynkiem �nansowym i dynami znym ukªa-

dem zªo»onym;

• analogi� pomi�dzy zaªamaniem si� rynku i przej± iem fazo-

wym;

Model znajduje zastosowanie w próba h przewidywania kra hów

na rynku.

2.3.2 Modele mikroskopowe.

Model �Bak - Pa zuski - Shubik�.

Model ten zakªada dwie kategorie gra zy: gra ze tworz¡ y szum i

gra ze ra jonalni prowadz¡ y analiz� fundamentaln¡, oraz posiada

nast�puj¡ e zaªo»enia:

• gra ze tworz¡ y szum maj¡ indywidualne strategie, ponadto

kieruj¡ si� obe nym trendem na rynku na±laduj¡ za howanie

inny h;

• gra ze obserwuj¡ rynek i doª¡ zaj¡ do grupy gra zy tworz¡-

y h szum lub ra jonalny h w zale»no± i od tego, która grupa

wypra owuje wi�kszy zysk;

• ena papieru warto± iowego jest modelowana jako funk ja

nadwy»ki popytu nad poda»¡.

Wyniki.

• Je»eli przewa»aj¡ gra ze ra jonalni - wahania kursów ak ji s¡

ograni zone.

• Je»eli przewa»aj¡ gra ze tworz¡ y szum - wyst�puj¡ du»e wa-

hania kursów.


Model hierar hi zny �Sornete - Johansen�.

Indywidualni gra ze (stopnia 0) organizuj¡ si� w m grup gra-

zy (tworz¡ gra za stopnia 1) które organizuj¡ si� w m grup

(tworz¡ gra za stopnia 2), które organizuj¡ si� w kolejne grupy.

Model bada kooperatywne za howanie gra zy i przewiduje punkt

kryty zny po którym nast�puje zaªamanie rynku, analogi zne do

przej± ia fazowego. Przej± ie fazowe jest zjawiskiem gwaªtownej

zmiany pewny h wielko± i �zy zny h je±li zostanie osi¡gni�ta tem-

peratura kryty zna Tc (np. gwaªtowna zmiana obj�to± i wody

w temperaturze wrzenia). Za howanie si� wielko± i �zy zny h w

okoli a h temperatury kryty znej jest opisane przez wykªadniki

kryty zne.

Opisany model przewiduje podobne za howanie si� kursów ak-

ji P (t), w pewnym zasie kryty znym tc nast�puje kra h (gwaª-

towny spadek kursów ak ji P (t)). Ponadto w pobli»u kra hu war-

to±¢ P (t) mo»e by¢ opisane w sposób analogi zny do wielko± i

�zy zny h z u»y iem �wykªadnik kryty znego�. Niestety analogia

pomi�dzy temperatur¡ w ukªadzie �zy znym a zasem w ukªa-

dzie �nansowym jest du»ym uprosz zeniem i i�»ko jest znale¹¢

wªa± iwe uzasadnienie tej analogii.

Model perkola yjny �Cont - Bou hau� (model sie iowy).

Zaªo»enia:

1. zakªada si� istnienie du»ej sie i - ka»dy w�zeª tej sie i jest

zajmowany przez gra za, lub wolny;

2. zaj� ie jednego w�zªa mo»e spowodowa¢ zaj� ie kolejny h

(jest to intui yjne porównywalne z po»arem lasu);

3. s¡siaduj¡ y gra ze tworz¡ spóªk� która losowo kupuje (z praw-

dopodobie«stwem a), sprzedaje (z prawdopodobie«stwem a)lub zeka (z prawdopodobie«stwem 1− 2a);


4. ró»ni a pomi�dzy popytem i poda»¡ ksztaªtuje en�.

Przy pewny h parametra h model ten mo»e wytªuma zy¢ du»e

zmiany en, odbiegaj¡ e od ty h przewidywany h przez rozkªad

Gaussa (tzw. grube ogony).

Modele wywodz¡ e si� z teorii gier.

Jako przykªad podamy równowag� Nasha, w której »aden gra z nie

mo»e poprawi¢ swojej strategii a wszys y gra ze za howuj¡ si� ra-

jonalnie. Ch iaªbym przyto zy¢ teraz �dylemat wi�¹nia". Dwó h

podejrzany h zostaªo zatrzymany h przez poli j�, która nie ma

wystar zaj¡ y h dowodów do postawienia zarzutów. Wi�¹niowie

zostaj¡ rozdzieleni a nast�pnie ka»demu z ni h zostaje przedsta-

wiona ta sama oferta: je±li b�dzie zeznawa¢ prze iwko drugiemu, a

drugi b�dzie mil ze¢, to wyjdzie na wolno±¢, a drugi dostanie dzie-

si� ioletni wyrok. Je±li obaj b�d¡ mil ze¢, obaj dostan¡ ro zny

wyrok za inne przewinienia. Je±li obaj b�d¡ zeznawa¢, obaj do-

stan¡ pi� ioletnie wyroki. Ka»dy z ni h musi podj¡¢ de yzj� i nie

dowie si� zy drugi mil zy zy zeznaje, a» do momentu wydania

wyroku. Niezale»nie od tego o robi prze iwnik, zawsze bardziej

opªa a si� zeznawa¢ ni» mil ze¢. Je±li drugi wi�zie« mil zy, pierw-

szy zeznaj¡ skró i wyrok z roku do zera. Je±li drugi wi�zie«

zeznaje, pierwszy zeznaj¡ skró i wyrok z dziesi� iu lat do pi� iu.

Ka»dy ra jonalny wi�zie« b�dzie zatem zeznawaª (taka sytua ja

jest nazywana równowag¡ Nasha). Dylemat polega na tym, »e

obaj zyskaj¡ mniej, ni» gdyby wspóªpra owali.

Gra ze gieªdowi równie» maj¡ swoje indywidualne strategie

oraz z�sto nie znaj¡ strategii inny h gra zy. Dlatego teorie gier

mo»na u»ywa¢ w elu badania za howania si� gra zy gieªdowy h

które ma wpªyw na za howanie si� rynku papierów warto± iowy h.


2.4 Metody sto hasty zne.

W ogólnej analizie zmienny h sto hasty zny h zakªadamy nast�-

puj¡ a nota j� -X - zmienna losowa, x - warto±¢ zmiennej losowej.

2.4.1 Centralne Twierdzenie Grani zne, rozkªad Gaussa

i Lévy'ego.

Centralne Twierdzenie Grani zne.

Je»eli X1, X2...Xn s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jedna-

kowym rozkªadzie maj¡ ym warto±¢ o zekiwan¡ µ i sko« zon¡

warian j� σ2, to dla du»y h n, ±rednia Sn =

∑n

i=1 Xi

n ma rozkªad

prawdopodobie«stwa zbie»ny z rozkªadem Gaussa o ±redniej µ i

od hyleniu standartowym

σ√n.

• Sn ∼ N (µ, σ2

n) (rozkªad normalny ze ±redni¡ µ oraz warian j¡

σ2

n ).

Natomiast suma X1 +X2 + ...Xn

• ∑ni=1Xi ∼ N (nµ, nσ2).

Wielowymiarowe Centralne Twierdzenie Grani zne.

Nie h [X1], [X2], [X3], ..., [Xn] b�d¡ niezale»nymi wektorami na

Rk, o takim samym rozkªadzie, ze ±redni¡ opisan¡ wektorem µ =

E[X] i ma ierz¡ kowarian ji Σ, przy zym:

[Xi] =

Xi(1).

.

.

Xi(k)

. Je±li zsumujemy wektory, otrzymany wek-

tor b�dzie miaª rozkªad zbie»ny z wielowymiarowym rozkªadem

Gaussa.

X1(1).

.

.

X1(k)

+ ...+

Xn(1).

.

.

Xn(k)

=

∑ni=1

[

Xi(1)

]

.

.

.

∑ni=1

[

Xi(k)

]

=∑n

i=1 [Xi]

2.4. METODY STOCHASTYCZNE. 25

• 1n

∑ni=1 [Xi] =

1n

∑ni=1

[

Xi(1)

]

.

.

.

∑ni=1

[

Xi(k)

]

,

•∑n

i=1[Xi]n ∼ N (nµ, Σn ),

• ∑ni=1 [Xi] ∼ N (µ, nΣ).

Wielowymiarowy rozkªad Gaussa ze ±redni¡ µ i ma ierz¡ kowa-

rian ji Σ jest opisany równaniem:

ρ([xi] |µ,Σ) = 1

(2π)n2 |Σ| 12

exp

(

− 12([xi] − µ)TΣ−1([xi] − µ)

)

gdzie: Σ =

σ2X(1)

Cov(X(1),X(2)) · · · Cov(X(1),X(k))

Cov(X(2),X(1)) σ2X(2)

· · · Cov(X(2),X(k))

Cov(X(3),X(1)) Cov(X(3),X(2)) · · · Cov(X(3),X(k)).

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Cov(X(k),X(1)) Cov(X1(k),X1(2)) · · · σ2X(k)

Zaªó»my, »e [Xi] to wektor dzienny h zmian en n papierów war-

to± iowy h nale»¡ y h do portfela inwesty yjnego w i-tym dniu.

Mo»na zastosowa¢ w/w analiz� oraz wyzna zy¢ ma ierz kowarian-

ji, która znajduje zastosowanie w modelu VaR.

Centralne Twierdzenie Grani zne a autokorela je - dygresja.

Je»eli X1, X2...Xn s¡ zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªa-

dzie maj¡ ym warto±¢ o zekiwan¡ µ = 0 i sko« zon¡ warian j�

σ posiadaj¡ ymi krótkozasi�gowe autokorela je wów zas: σ2 =E[X2

1 ]+2∑∞

k=1E[X1X1+k]. Je»eli E[X1X1+k] (miara autokorela-

ji) odpowiednio szybko d¡»y do zera ze wzrostem k wów zas ±red-

nia: Sn =∑n

i=1 Xi

nd¡»y do rozkªadu normalnego Sn ∼ N (0, σ

2

n).


Rysunek 2.9: Rozkªadu Gaussa - ¹ródªo Wikipedia.

Rozkªad Gaussa.

G�sto±¢ prawdopodobie«stwa ρµσ(x) dla rozkªadu Gaussa (rysu-

nek 2.9) opisana jest wzorem.

ρµσ(x) =1√2πσ

exp

(

− (x− µ)2

2σ2

)

(2.2)

ρ ∼ N (µ, σ2) (2.3)

Dystrybuanta Φµσ(x) to prawdopodobie«stwo (p), »e zmienna X

ma warto± i mniejsze b¡d¹ równ¡ x. Dystrybuanta jest opisana

równaniem:

Φµσ(x) = p(X ≤ x) =

∫ x

−∞

1√2πσ

exp

(

−(u− µ)2

2σ2

)

du (2.4)

Je±li zmienna X jest opisana przez rozkªad Gaussa ze ±red-

ni¡ µ i od hyleniem standartowym σ, wów zas zmienna Z ma

standartowy rozkªad normalny po przeprowadzonej transforma ji


z = x−µσ , opisany równaniem:

ρ(z) =1√2π

exp

(

− z2

2

)

(2.5)

Wªasno± i rozkªadu Gaussa:

• Je±li X ∼ N(µ, σ2), oraz a, b, s¡ li zbami rze zywistymi, to

aX + b ∼ N(aµ+ b, (aσ)2) .

• Je±li X1 ∼ N(µ1, σ21) i X2 ∼ N (µ2, σ

22) oraz zmienne X1 ,

X2 s¡ niezale»ne, to X1 +X2 ∼ N (µ1 + µ2, σ21 + σ2

2).

Rozkªad Lévy'ego.

W roku 1963 Mandelbrot badaj¡ eny baweªny na ró»ny h ryn-

ka h w Stana h Zjedno zony h jako pierwszy zakwestionowaª Gaus-

sowski rozkªad prawdopodobie«stwa zmian en, który dla skraj-

ny h warto± i za howywaª si� jak funk ja wykªadni za - sªabiej

malaª ni» funk ja Gaussa, posiada tzw. �grube ogony� - zazna-

zone zerwonymi elipsami na rysunku 2.10. Prawdopodobie«stwo

wyst�powania du»y h zmian eny ∆P jest zna znie wi�ksze, ni»

przewidywane przez rozkªad normalny. Rozkªad Gaussa mimo to

jest wygodny do analizy dany h poniewa»:

1. Zgodnie z Centralnym Twierdzeniem Grani znym rozkªad

sumy niezale»ny h zmienny h losowy h, ze sko« zon¡ warian j¡,

d¡»y do rozkªadu Gaussa.

2. Rozkªad Gaussa jest stabilny, poniewa» suma niezale»ny h

zmienny h o rozkªadzie Gaussa ma rozkªad Gaussa.

Fran uski matematyk Paul Lévy udowodniª, »e wyst�puje ro-

dzina zawieraj¡ a wszystkie stabilne rozkªady - rozkªady Lévy'ego.

Symetry zny rozkªad Lévy'ego jest zde�niowany przez funk j� ha-

rakterysty zn¡:

ϕα(z) = exp(

− a | z |α)

, (2.6)


Rysunek 2.10: Rozkªad prawdopodobie«stwa stóp zwrotu (r = ∆P (ti) =P (ti)−P (ti−1)) w skali logarytmi znej - ¹ródªo - G.L. Vas on elos �A Guided

Walk Down Wall Street: an Introdu tion to E onophysi s�, Brazilian Journal

of Physi s 34 (2004) 1039.

gdzie 0 < α ≤ 2 oraz a > 0. Aby otrzyma¢ rozkªad prawdopodo-

bie«stwa nale»y przeprowadzi¢ odwrotn¡ transformat� Fouriera:

ρα(x) =1

2π

∫ ∞

−∞ϕα(z)e

−ixzdz =1

π

∫ ∞

−∞e−azαcos(zx)dz, (2.7)

aªk� t¡ mo»na poli zy¢ anality zne dla 2 warto± i α = 1, 2:

• α = 1 - Rozkªad Lorentza lub Cau hyego,

ρ(x)1 =2a

π

1

x2 + 4a2, (2.8)

• α = 2 - Rozkªad Gaussa,

ρ(x)2 =1

2√πa

e−x2

4a2 . (2.9)


2.4.2 Model bª¡dzenia przypadkowego, rozkªad Gaussa

oraz ru hy Browna w kontek± ie analizy dany h

�nansowy h.

Model Bª¡dzenia Przypadkowego.

Prosty model Bª¡dzenia Przypadkowego. Przeanalizujmy nast�-

puj¡ ¡ pro edur�.

• Umie±¢my na kart e marker w pozy ji 0 (±rodek kartki).

• Rzu¢my monet¡.

• Je±li wypadnie orzeª, marker przesuwamy w prawo na pozy j�

+1.

• Je±li wypadnie reszka, marker przesuwamy w lewo na pozy ja

-1.

Po 5 rzuta h marker mo»e znajdowa¢ sie w pozy ji 1, -1, 3, -3, 5,

-5.

• w pozy ji 1 lub -1 mo»e znale¹¢ si� na 10 sposobów,

• w pozy ji 3 lub -3 na 5 sposobów,

• w pozy ji 5 lub -5 na 1 sposób.

Otrzymali±my rozkªad binominalny - rysunek 2.11 - ogólnie opi-

sany równaniem.

N(n, k) =

(

nk+n2

)

=1

2nn!

(n+k2 )!(n−k

2 )!(2.10)

Gdzie

• N - ilo±¢ przypadków,

• n - ilo±¢ prób,

• k - pozy ja, −n ≤ k ≤ n.


Rysunek 2.11: Rozkªad binominalny.

Dla du»y h n - zgodnie z Centralnym Twierdzeniem Grani znym

- binominalny rozkªad prawdopodobie«stwa ρ(n, k) d¡»y do roz-

kªadu Gaussa. Oba rozkªady prawdopodobie«stwa dla n = 15

oraz k = −15,−13, ...15 zostaªy przedstawione na rysunku 2.12.

• Kolor zerwony - fakty zny (binominalny) rozkªad prawdo-

podobie«stwa.

• Kolor zielony - rozkªad Gaussa ze ±redni¡ równ¡ zero i od-

hyleniem standartowym równym σ =√n.

Model Bª¡dzenia Przypadkowego dla rynku papierów warto± io-

wy h.

Zmian� pozy ji markera okre±laj¡ zmienne losoweZ1, Z2, Z3... równe

1 lub -1 z prawdopodobie«stwem 50%. Zakªadaj¡ Sn =∑n

j=0Zj

i S0 = 0, szereg Sn odzwier iedla bª¡dzenie przypadkowe. War-

to±¢ o zekiwana E[Sn] = E[∑n

j=0Zj ] = 0. Przeanalizujmy war-

to±¢ o zekiwan¡ kwadratu warto± i Sn ozna zon¡ jako E(S2n) lub

〈R2(Sn)〉


Rysunek 2.12: Rozkªad binominalny oraz rozkªad Gaussa.

〈R2(Sn)〉 = E[S2n] = E[

n∑

j=0

Zj]2 = E[

n∑

j=0

Z2j ]+2E[

n∑

i>j

ZiZj ] = n,

(2.11)

pierwiastek ze ±redniego od hylenia kwadratowego po n kroka h

jest propor jonalny do pierwiastka z ilo± i kroków n:√

E[S2n] ∝√

n. Poniewa» zakªadamy, »e ka»dy krok jest wykonywana w jed-

nostkowym zasie, pierwiastek z E[S2n] jest propor jonalny do

pierwiastka z zasu. Rozwa»my jednowymiarowy pro es Bª¡dze-

nia Przypadkowego w którym w zasie ∆t obiekt przemiesz za si�

z równym prawdopodobie«stwem w jedn¡ lub drug¡ stron� o ∆x,

za zynaj¡ od poªo»enia w punk ie zero. Po zasie t obiekt znaj-duje si� w pozy ji x(t), gdzie x(t) = n∆x, (n = ...,−1, 0, 1, ...) a

t = N∆t (N = 0, 1, 2, ....), ponadto kolejne kroki (∆x) nie zale»¡od poprzedni h. Rozkªad g�sto± i prawdopodobie«stwa zmien-

nej X dla odpowiednio du»ego N mo»e by¢ opisany rozkªadem

Gaussa.

ρ(∆x) =1

√

2π(∆x)2Nexp

(

− x2

2N(∆x)2

)

. (2.12)


gdzie

√

E[x2] ∝√N. Przykªad bª¡dzenia przypadkowego mo»na

zoba zy¢ na rysunku 2.13.

Rysunek 2.13: Przykªad Bª¡dzenia Przypadkowego - ¹ródªo Wikipedia.

Podobnie mo»na bada¢ en� papieru warto± iowego P (t) =P (t0 = 0)+∆P (t) = P (0)+n∆P (∆t). Gdzie (n = ...,−1, 0, 1, ...),

t = t0 − tN , (N = 0, 1, 2, ....):

• ∆P (∆t) to zmiana eny w okresie ∆t;

• przy zaªo»eniu ∆t = 1 dzie«, ∆P (∆t) to ±rednia dzienna

zmiana;

• ±rednia kwadratowa �droga przebyta�

√

E[∆P (t)]2 ∝√N,

np:

� przy t = 5 dni

√

E[∆P (t)]2 ∝√5,

� przy t = 21 dni

√

E[∆P (t)]2 ∝√21.

• Rozkªad prawdopodobie«stwa ρ dla odpowiednio du»ego Nmo»e by¢ opisany rozkªadem Gaussa wg równania:


Rysunek 2.14: Ru hy Browna - przykªad w 2D i 3D - ¹ródªo Wikipedia.

ρ(∆p(t)) =1

√

2π(∆p(∆t))2Nexp

(

− (∆p(t))2

2N(∆p(∆t))2

)

. (2.13)

∆p ∼ N (µ, σ2), tj. ze ±redni¡E[∆P ] = µ i waria j¡: E[∆P 2] =

σ2.

Jednowymiarowe ru hy Browna - teoria Einsteina.

Ru hy Browna to losowy ru h z¡stek zawiesiny w ie zy lub gazie

pod wpªywem bombardowania przez szybko poruszaj¡ e si� z¡-

ste zki gazu lub ie zy. Przykªady ru hów Browna przedstawiono

na rysunku 2.14. G�sto±¢ z¡stek Browna w danym punk ie zasu

i przestrzeni ρ(x, t) jest opisana przez równanie dyfuzji:

∂ρ

∂t= D

∂2ρ

∂x2, (2.14)

gdzie D to staªa dyfuzji. Je»eli rozpo zniemy dyfuzj� w punk ie

(x = 0, t = 0) otrzymujemy rozwi¡zanie:

ρ(x, t) =1√4πDt

exp

(

− x2

4Dt

)

(2.15)

• �rednie przemiesz zenie E[X] = 0


Rysunek 2.15: G�sto±¢ z¡stek podlegaj¡ y h ru hom Browna - ¹ródªo Wi-

kipedia.

• �rednia kwadratowa droga przebyta E[X2] = 2Dt.

• Otrzymujemy rozkªad Gaussa z σ2 = 2D - rysunek 2.15.

Przypomnijmy jednowymiarowy pro es Bª¡dzenia Przypadkowego:

• x(t = 0) = 0.

• W zasie ∆t obiekt przemiesz za si� z równym prawdopodo-

bie«stwem o ∆x lub −∆x.

• Kolejne kroki (∆x) nie zale»¡ od poprzedni h.

•√

E[x2] ∝√N.

Ru hy Browna to grani a Bª¡dzenia Przypadkowego w której roz-

patrujemy niesko« zenie wiele niesko« zenie maªy h kroków w na-

st�puj¡ y sposób:

• ∆t → 0,

• ∆x → 0,

• N → ∞,

• t = Nδt oraz x = nδx pozostaj¡ sko« zone,


• (δx)2 = σδt (gdzie σ jest staª¡),

• ρ(x, t) = 1√2πσ2t

exp

(

− x2

2σ2t

)

.

Ru hy Browna w ekonomii.

Zaªó»my, »e stopy zwrotu (zmiany en) ∆P = nδP s¡ niezale»ne.

Jest to powsze hnie stosowane zaªo»enie w ekonometrii. Zasto-

sujmy model Ru hów Browna do modelowania zmiany en ak ji.

• (δP → 0, przy δt → 0).

• (δP )2 = σδt.

Analiza ta zostaªa po raz pierwszy przeprowadzona dla rynków �-

nansowy h w 1900 roku (Ba helier - teorie spekula ji). Otrzymu-

jemy g�sto±¢ prawdopodobie«stwa stóp zwrotu opisan¡ rozkªadem

Gaussa:

ρ(∆P, t) =1√

2πσ2texp

(

− (∆P )2

2σ2t

)

. (2.16)

2.4.3 Ru hy Browna i i h uogólnienia: dyfuzja, subdy-

fuzja i superdyfuzja.

Matematy zny formalizm dla Ru hów Browna zostaª stworzony

w 1923 roku przez Wienera. Od tego zasu Ru hy Browna s¡

zwane pro esem Wienera - sto hasty znym pro esem {W (t), t ≥0}, gdzieW (t) odpowiada trajektorii przebytej pod zas bª¡dzeniaprzypadkowego. Sta jonarny pro es Wienera jest zde�niowany w

nast�puj¡ y sposób:

• W (0) = 0,

• dla t > s ró»ni aW (t)−W (s)ma rozkªad normalnyN (0, (t−s)) (ze ±redni¡ 0 oraz warian j¡ równ¡ (t− s))


• trajektorie W () s¡ i¡gªe, bez skoków.

Wªa± iwo± i:

• E[W (t)] = 0,

• E[W (t)W (s)] = min(t, s).

Mówi¡ ina zej, standardowe Ru hy Browna lub Pro es Wienera

to pro es z E[W (t)] = 0 oraz E[W (t)W (s)] = min(t, s).

• Podzielmy W (t) na n przedziaªów 0 = t0 < t1 < ...tn = t,gdzie ∆t = ti − ti−1 =

tn ,

• zde�niujmy

Qn = Σni=0∆W 2

i , (2.17)

• gdzie ∆Wi = W (ti)−W (ti−1),

• E[Qn] = t,

• E[∆W 2] = ∆t.

Mo»na wywnioskowa¢, »e ∆Wi ma rozkªad Gaussa ze ±redni¡

równ¡ 0 oraz warian j¡ równ¡ ∆t. Jedn¡ z iekawy h wªasno-

± i pro esu Wienera jest samopodobie«stwo.

W (at) = a12W (t), (2.18)

Je±li przeskalujemy o± zasu o a > 0, wielko± i W (at) i a12W (t)

maj¡ takie same rozkªady prawdopodobie«stwa - Ru hy Browna

(lub Pro es Wienera) maj¡ wymiar fraktalny dw = 2. Równania(2.19 - 2.20) pokazuj¡ trudno± i przy próbie wyli zenia ró»ni zki

dW (t)dt

:

dW

dt= lim

∆t→0

∆W

∆t= lim

∆t→0

W (t+∆t)−W (t)

∆t, (2.19)

poniewa» ∆W jest rz�du

√∆t

∆W

∆t∼ 1√

∆t(2.20)

dWdt

= ∞ gdy ∆t → 0.


Rysunek 2.16: Przykªad pro esu Wienera - ¹ródªo G.L. Vas on elos �A Gu-

ided Walk Down Wall Street: an Introdu tion to E onophysi s�, Brazilian

Journal of Physi s 34 (2004) 1039; oraz za howanie indeksu WIG20 za rok

2012.

Caªki It� - zarys.

Przyj»yjmy si� biaªemu szumowi - ξ(t) ≡ dWdt , który w �zy e jest

zde�niowany jako �szybkozmienna� funk ja, speªniaj¡ a: E[ξ(t)] =

0, E[ξ(t)ξ(t′)] = δ(t− t′), poniewa» ξ(t) ∼ 1√dt:

I(t) =

∫ t

0

g(t′)ξ(t′)dt′ =

∫ t

0

g(t′)dW (t′) (2.21)

de�niujemy

In =∞∑

i=1

g(ti−1)∆W (ti) ≡∞∑

i=1

g(ti−1)(W (ti)−W (ti−1)) (2.22)

Ci¡g In jest zbie»ny pod kilkoma warunkami, przede wszystkim

g(ti−1) nie mo»e zale»e¢ od ∆W (ti). Mamy:

E[I(t)] = E

[∫ t

0

g(t′)dW (t′)

]

= 0 (2.23)

E[I(t)2] = E

[

(∫ t

0

g(t′)dW (t′)

)2]

=

∫ t

0

E[g2(t′)dt′] (2.24)


Caªki It� nie li zy si� u»ywaj¡ zwykªego ra hunku aªkowego -

np:

∫ t

0 WdW = 12W (t)2 − 1

2t.Jako przykªad rozpatrzmy pro es opisany równaniem dx =

a(x, t)dt+b(x, t)dW oraz funk j� F (x, t). Do wyli zenia ró»ni zkidF mo»na wykorzysta¢ formuª� It�

dF =

[

∂F

∂t+ a(x, t)

∂F

∂x+

1

2b2(x, t)

∂2F

∂x2

]

dt+ b(x, t)∂F

∂xdW.

(2.25)

Geometry zne ru hy Browna.

Rozwa»my analogi� pomi�dzy ru hami Browna a dynamik¡ zmian

en P (t) papierów warto± iowy h. Naturalnym zaªo»eniem jest

zauwa»enie, »e zmiana eny dP w zasie dt zale»y od ±redniego

dryfu - µ (lub trendu na rynku) oraz zªonu losowego - σdW

odpowiadaj¡ ego za pro es losowy: dP = µdt + σdW, wtedyP (t) = µt+ σW (t) otrzymujemy:

ρ(P, t) =1√

2πσ2texp

(

(P − µt)2

2σ2t

)

(2.26)

Inwestorzy z�sto s¡ bardziej zainteresowani pro entow¡ stop¡

zwrotu ni» en¡ ak ji. Dlatego rozwa»my ru hy Browna z dry-

fem, zast�puj¡ P (t) przez dPP

- wedªug równania:

dP

P= µdt+ σdW. (2.27)

Równanie to mo»na rozwi¡za¢ podstawiaj¡ Z = lnP :

dZ =

(

µ− 1

2σ2

)

dt+ σdW. (2.28)

Zakªadaj¡ warunki po z¡tkowe P (t0) = P0 i Z0 = lnP0, otrzy-

mujemy:

Z = Z0

(

µ− 1

2σ2

)

(t− t0) + σ(W (t)−W (t0)), (2.29)


Rysunek 2.17: Rozkªad lognormalny - P0 = 50, σ = 0, 5, µ = 0, 1, τ = 1.

wra aj¡ do przestrzeni P :

P = P0 exp

(

(

µ− 1

2σ2

)

(t− t0) + σ(W (t)−W (t0))

)

. (2.30)

Z g�sto± i¡ prawdopodobie«stwa:

ρ(P, t, P0, t0) =1

P√2πσ2τ

exp

(

−(

ln( PP0)− (µ− 1

2σ2)τ)2

2σ2τ

)

,

(2.31)

gdzie τ = t− t0. Jest to rozkªad log-normalny (rysunek 2.17) sto-

sowany z�sto do analizy rynków papierów warto± iowy h. Sto-

sowanie logarytmi zny h stóp zwrotu

lnPlnP0

lub

lnPt1

lnPt2ma szerokie

zastosowanie w analizie rynków �nansowy h.

2.4.4 Wy ena op ji: model Bla ka - S holesa i jego wy-

brane uogólnienia.

• Op ja europejska �Call�, to kontrakt daj¡ y prawo posiada-

zowi do zakupu papieru warto± iowego o bie»¡ ej enie PT

po enie K w zasie T .


• Op ja europejska �Put�, to kontrakt daj¡ y prawo posiada-

zowi do sprzeda»y papieru warto± iowego o bie»¡ ej enie

PT po enie K w zasie T .

Warto±¢ op ji C w zasie T wynosi:

Ccall = max (PT −K, 0), (2.32)

Cput = max (K − PT , 0). (2.33)

Omówmy teraz zagadnienie arbitra»u. Arbitra» to mo»liwo±¢

zysku pozbawionego ryzyka bez zaanga»owania wªasny h ±rodków.

Aby przeprowadzi¢ arbitra» dokonuje si� jedno zesny h transak ji

na ró»ny h rynka h (np. krótka sprzeda» i zakup ak ji na ró»ny h

gieªda h).

Przeanalizujmy model binominalny wy eny op ji. Zde�niujmy

portfel V o po z¡tkowej warto± i V0 oraz ko« owej warto± i V1;

gdzie V = Ccall − ΣP , C0, C1 odpowiadaj¡ za po z¡tkow¡ i

ko« ow¡ warto±¢ op ji, P0, P1 za po z¡tkow¡ i ko« ow¡ warto±¢

papieru warto± iowego natomiast Σ za krótk¡ sprzeda» tego pa-

pieru. Zaªó»my, »e po z¡tkowa ena papieru warto± iowego wy-

nosi P0 = 57 zª, i mo»e ona wzrosn¡¢ z prawdopodobie«stwem

50% do P1 = 65 zª, lub spa±¢ z prawdopodobie«stwem 50% do

eny P1 = 53 zª - rysunek 2.18. Wyeliminujmy ryzyko z portfela

(zawieraj¡ ego op j� �Call� oraz krótk¡ sprzeda» papieru warto-

± iowego) zakªadaj¡ :

V u1 = V d

1 (2.34)

Dzi�ki temu mamy:

8− Σ 65 = −Σ 53 (2.35)

Σ =2

3. (2.36)

Poniewa» zysk jest wolny od ryzyka - musi on by¢ równy stopie

wolnej od ryzyka - r.

(1 + r)(C0 − ΣP0) = −ΣP d1 . (2.37)


p = 1/2 V1u

= 8 - 65S

V0 = C0 - 57 S

p = 1/2 V1d

= -53S

Rysunek 2.18: S hemat portfela zawieraj¡ ego op je �Call� oraz krótk¡ sprze-

da». Strzaªka to góry ozna za wzrost warto± i ak ji, natomiast strzaªka w

dóª to spadek warto± i ak ji. V0 to warto±¢ portfela na po z¡tku, natomiast

V1 na ko« u opisywanego okresu.

Zakªadaj¡ r = 0, 006 P0 = 57 P d1 = 53 Σ = 2

3 otrzymano

C0 = 2, 88.

Grani a i¡gªa.

Przeanalizujmy nast�puj¡ ¡ strategi� inwesty yjn¡. Lokujemy ±rodki

na kon ie bankowym B oraz w ak ja h P a i h dynamik� opisu-

jemy przez równania:

dB = rBdt, (2.38)

dP = µPdt+ σPdW. (2.39)

Gdzie

• r - stopa wolna od ryzyka

• µ > 0 - ±redni dryf kursów ak ji,

• σ - zmienno±¢ kursów ak ji,

• dW - pro es Wienera.

Stosujemy nast�puj¡ e zaªo»enia, które wywodz¡ si� z poj� ia

idealnego rynku stosowanego z�sto w modelowaniu rynków �-


nansowy h (zaªo»enia te s¡ z�stego stosowane w nauka h ekono-

mi zny h, mimo, »e nie zawsze wªa± iwie opisuj¡ fakty zny stan

rynku):

• rynek jest wolny od arbitra»u,

• rynek jest dostate znie pªynny dla ak ji oraz instrumentów

po hodny h,

• nie wyst�puj¡ koszty transak ji,

• wyst�puje nieograni zona mo»liwo±¢ krótkiej sprzeda»y (bez

ograni zenia zasowego),

• wyst�puje taka sama stopa pro entowa dla po»y zek i lokat,

• nie rozwa»amy dywidendy.

Analiz� przeprowadzono dla europejskiej op ji �Call�. Warto±¢

op ji jest zale»na od kursu instrumentu podstawowego P , zasu t, eny realiza ji K oraz zasu realiza ji T . Poniewa» 2 ostatnie pa-

rametry s¡ staªa przeanalizujemy C(P, t). Korzystaj¡ z formuªy

It� (równanie 2.25) otrzymujemy:

dC =

[

∂C

∂t+ µP

∂C

∂P+

1

2σ2P 2∂

2C

∂P 2

]

dt+ σP∂C

∂PdW. (2.40)

We¹my samo�nansuj¡ y si� portfel Π(t) zawieraj¡ y dªug¡ pozy-

j� w op ja h C(P, t) oraz krótk¡ pozy j� Σ w ak ja h P .

Π(t) = C(P, t)− ΣP (2.41)

Poniewa» portfel jest samo�nansuj¡ y si� (bez udziaªu ±rodków

�nansowy h):

dΠ = dC − ΣdP. (2.42)

Podstawiaj¡ do (2.39) oraz (2.40):

dΠ =

[

∂C

∂t+ µP

∂C

∂P+

1

2σ2P 2∂

2C

∂P 2− µΣP

]

dt+σP

(

∂C

∂P− Σ

)

dW.

(2.43)


Je±li speªnimy warunek:

Σ =∂C

∂P, (2.44)

wyeliminujemy ryzyko eliminuj¡ zªon sto hasty zny z dW , wtedy

otrzymamy:

dΠ =

[

∂C

∂t+

1

2σ2P 2∂

2C

∂P 2

]

dt. (2.45)

Zwrot z portfela wolnego od ryzyka jest równy:

dΠ = rΠdt (2.46)

Wyprowadzenie równania Bla ka S holesa (BSE).

Porównuj¡ (2.45) i (2.46) oraz podstawiaj¡ (2.44) i (2.41) otrzy-

mujemy równanie Bla ka - S holesa:

∂C

∂t+

1

2σ2S2∂

2C

∂P 2+ rP

∂C

∂P− rC = 0 (2.47)

Z warunkiem brzegowym

C(P, T ) = max (P −K, 0). (2.48)

Alternatywne wyprowadzenie.

Zaªó»my, »e mamy samo�nansuj¡ y si� portfel (którym zast�pu-

jemy op je):

Z ≡ xB + yP = C. (2.49)

Poniewa» portfel jest samo�nansuj¡ y si�:

dZ = xdB + ydP = (rxB + µyP )dt + σyPdW. (2.50)

Zakªadamy, i» portfel zast�puje op je, Z = C i dZ = dC, porów-

nuj¡ (2.40) z (2.50) oraz porównuj¡ wspóª zynniki przy dt i dW

otrzymujemy:

y =∂C

∂P. (2.51)


∂C

∂t− rxB +

1

2σ2P 2∂

2C

∂P 2= 0. (2.52)

Nast�pnie korzystamy z (2.49) i (2.51):

x =1

B

[

C − P∂C

∂P

]

(2.53)

Podstawiamy do (2.52) i tworzymy równanie Bla ka S holesa (BSE):

∂C

∂t+

1

2σ2P 2∂

2C

∂P 2+ rP

∂C

∂P− rC = 0. (2.54)

Stosuj¡ zmian� zmienny h:

τ =T − t

2σ2

, x = ln

(

P

K

)

, (2.55)

u(x, τ) = eαx+β2τ C

K, (2.56)

gdzie

α =1

2

(

2r

σ2− 1

)

β =1

2

(

2r

σ2+ 1

)

, (2.57)

po pewny h przeksztaª enia h otrzymujemy:

∂u

∂τ=

∂2u

∂x2(2.58)

Z warunkami po z¡tkowymi:

u(x, 0) = u0(x) = max (eβx − eαx, 0). (2.59)

Korzystamy nast�pnie z funk ji Greena

G(x, x′) =1√4πτ

e−(x−x′)2

4τ , (2.60)

aby otrzyma¢ rozwi¡zana genery zne:

u(x, τ) =

∫ ∞

−∞u0(x

′)G(x, x′)dx′ =1√4πτ

∫ ∞

−∞u0(x

′)e−(x−x′)2

4τ dx′,

(2.61)


podstawiaj¡ warunki po z¡tkowe:

u(x, 0) = u0(x) = max (eβx − eαx, 0), (2.62)

otrzymujemy:

u(τ, x) =1√4πτ

∫ ∞

0

(

eβx′ − eαx

′

)

e−(x−x′)2

4τ dx′ = I(β)− I(α),

(2.63)

gdzie:

I(a) ≡ 1√4πτ

∫ ∞

0

eax′

e−(x−x′)2

4τ dx′, (2.64)

o daje:

I(a) = eax+a2τN(da), (2.65)

gdzie:

da =x + 2aτ√

2τ, (2.66)

natomiast N(x) to skumulowany znormalizowany rozkªad Gaussa

N (0, 1)

N(x) =1√2π

∫ x

−∞e

−s2

2 ds. (2.67)

Podstawiaj¡ (2.65) do (2.63) oraz wra aj¡ do oryginalny h zmien-

ny h otrzymujemy równanie Bla ka S holesa (BSE) dla europej-

ski h op ji �Call�:

C(P, t) = PN(d1)−Ke−r(T−t)N(d2), (2.68)

gdzie:

d1 =ln( PK ) + (r + σ2

2 )(T − t)

σ√T − t

(2.69)

d2 =ln( PK ) + (r − σ2

2 )(T − t)

σ√T − t

(2.70)

Formuªa Bla ka S holesa jest zde�niowana w wielu programa h

(np. Ex el, Matlab, Maple) oraz kalkulatora h posiadaj¡ y h

funk je �nansowe. Uwa»a si� jednak, »e formuªa ta jest zbyt wy-

idealizowana aby opisa¢ realn¡ sytua j� na rynku poniewa»:


• stopy zwrotu mog¡ nie by¢ opisane rozkªadem Gaussa,

• mog¡ wyst�powa¢ dªugo zasi�gowe autokorela je.

2.4.5 Rozkªady Lévy'ego oraz i h zastosowanie do mo-

delowania kursów ak ji. Funk ja harakterysty zna

oraz stabilno±¢ rozkªadów Lévy'ego. Rozkªad q-

Gaussa.

Rozkªad Lévy'ego.

Rozwa»my rysunek 2.19 na którym przedstawiono stopy zwrotu z

ka»dej transak ji dla banku PBOBP w skali logarytmi znej. Jak

wida¢ rozkªad Gaussa ¹le modeluje skrajne warto± i. Zjawisko

to wyst�puje dla wielu rynków papierów warto± iowy h i jest na-

zywane zjawiskiem �gruby h ogonów". Ma ono du»y wpªyw w

przewidywaniu wyst�powania warto± i ekstremalny h. Aby opisa¢

Rysunek 2.19: Rozkªad prawdopodobie«stwa stóp zwrotu banku PKOBP

(ka»da tranak ja, 27 marze 2013) oraz rozkªad Gaussa w skali logarytmi z-

nej.

lepiej zjawisko �gruby h ogonów� posªu»� si� rozkªadem Lévy'ego.


Funk ja harakterysty zna rozkªadu Lévy'ego.

Nie h X b�dzie zmienn¡ losow¡. Funk ja harakterysty zna ϕ(z)jest transformat¡ Fouriera g�sto± i prawdopodobie«stwa ρ(x).

ϕ(z) =

∫ ∞

−∞ρ(x)eizxdx. (2.71)

We¹my niezale»ne zmienne X1, X2 z g�sto± i¡ prawdopodobie«-

stwa ρ1(x1) i ρ2(x2), oraz i h sum� X = X1 + X2 z g�sto± i¡

prawdopodobie«stwa ρ(x|2). G�sto±¢ prawdopodobie«stwa sumy

zmienny h niezale»ny h jest splotem g�sto± i prawdopodobie«-

stwa zmienny h.

ρ(x) =

∫ ∞

−∞ρ1(s)ρ2(x− s)ds. (2.72)

Natomiast funk ja harakterysty zna sumy zmienny h niezale»-

ny h jest ilo zynem funk ji harakterysty zny h - ϕ(z|2) = ϕ1(z)ϕ2(z),poniewa» transformata Fouriera splotu jest ilo zynem transformat

Fouriera.

• Je»eli X1 oraz X2 maj¡ identy zne rozkªady prawdopodo-

bie«stwa ϕ1(z) = ϕ2(z) = ϕ(z) ϕ(z|2) = [ϕ(z)]2.

• Je±li N zmienny h ma identy zne rozkªady prawdopodobie«-

stwa ϕ(z|N) = [ϕ(z)]N .

De�ni ja stabilno± i rozkªadu.

• Je±li X1, ...Xi, ...XN s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi z

identy znym rozkªadem prawdopodobie«stwa ρ(x).

• Dla ka»dego N ≥ 2 istnieje aN i bN takie, »e X = X1 + ...+XN ∼ aNXi + bN . (∼ to zgodno±¢ pod wzgl�dem rozkªadu

prawdopodobie«stwa).

Alternatywna de�n ja.


• Rozkªad prawdopodobie«stwa jest stabilny, je»eli jego forma

jest niezmienni za pod wzgl�dem dodawania (z dokªadno± i¡

do liniowego przeskalowania).

• je»eli X =∑N

i=1Xi jest sum¡ zmienny h losowy h o iden-

ty znym rozkªadzie ρ(...), jej rozkªad prawdopodobie«stwa

ρ(...|N) zale»y od rozkªadu pojedyn zej zmiennej w sposób

nast�puj¡ y:

ρ(x|N) =1

aNρ

(

x− bNaN

)

. (2.73)

W przypadku rozkªadu GaussaN (0, σ2)mamy ρ(x|N) = 1√Nρ(

x√N

)

.

Stabilno±¢ rozkªadu prawdopodobie«stwa to za howanie rozkªadu

w zasie (mo»emy analizowa¢ stabilno±¢ rozkªadu prawdopodo-

bie«stwa dla kursów ak ji P lub i h zmian (stóp zwrotu) ∆P ).

Dla uprosz zenia b�dziemy bada¢ rozkªady z warto± i¡ modaln¡

µ = 0.Przypomnijmy, symetry zny rozkªad Lévy'ego jest zde�niowany

przez funk j� harakterysty zn¡:

ϕα(z) = exp(

− a | z |α)

, (2.74)

gdzie 0 < α ≤ 2 oraz a > 0. Przypomnijmy równie» odwrotn¡

transformat� Fouriera:

ρα(x) =1

2π

∫ ∞

−∞ϕα(z)e

−ixzdz =1

π

∫ ∞

−∞e−azαcos(zx)dz, (2.75)

któr¡ mo»na poli zy¢ anality zne dla α = 1, 2:

• α = 1 - Rozkªad Lorentza lub Cau hyego,

ρ(x)1 =2a

π

1

x2 + 4a2, (2.76)


• α = 2 - Rozkªad Gaussa,

ρ(x)2 =1

2√πa

e−x2

4a2 . (2.77)

Dla α > 2 rozkªad Lévy'ego nie jest okre±lony, poniewa» funk ja

ρα(x) nie wsz�dzie jest dodatnia. Dla α 6= 2 rozkªad Lévy'ego ma

niesko« zon¡ warian je E(x2) =∫∞−∞ x2ρ(x)dx o powoduje trud-

no± i z jego stosowaniem. Mo»na to pokaza¢ analizuj¡ asympto-

ty zne za howanie funk ji ρα(x):

pα(x) ≈Cα

| x |1+αdla | x |→ ∞, (2.78)

gdzie:

Cα =α

πΓ(1 + α) sin

(απ

2

)

, (2.79)

a funk ja Γ() to funk ja Eulera (uogólniona silnia). Aby rozwi¡-

za¢ problem niesko« zonej warian ji przy analizie dany h �nanso-

wy h, g�sto±¢ prawdopodobie«stwa ρα(x) mo»na pomno»y¢ przez

funk je ograni zaj¡ e warto± i skrajne (�grube� ogony) np.:

• φ(x) = Θ(xc− | x |) (prosta funk ja od inaj¡ a warto± i

skrajne x > xc, Θ to funk ja teta Hevisaida),

• φ(x) = Ae−λ|x|(funk ja ograni zaj¡ a).

Funk je ograni zaj¡ e mo»na zastosowa¢ w sposób nast�puj¡ y:

ρ(x) = ρα(x)φ(x) (2.80)

Skalowanie oraz wyzna zenie wykªadnika α.

Przypomnijmy

ρ(x|N) =1

aNρ

(

x− bNaN

)

. (2.81)


Rozwa»my rozkªad symetry zny (bN = 0), gdzie:

ϕ(z|N) = [ϕ(z)]N , (2.82)

oraz

ϕα(z) = e−a|z|α(2.83)

otrzymujemy aN = N1α .

Wykªadnik α mo»e by¢ wyli zony rozpatruj¡ sum� N zmien-

ny h maj¡ y h symetry zny rozkªad Lévy'ego oraz korzystaj¡ z

wªasno± i skalowania:

ρα(x|N) =ρα(N

−1α x)

N1α

. (2.84)

Rozpatruj¡ rozkªad Gaussa:

ρα=2(x|N) =1√

2πσ2Nexp

(

− x2

2Nσ2

)

, (2.85)

otrzymujemy:

ρα=2(x|N) =ρα=2(N

− 12x)

N12

. (2.86)

Wró¢my do przypadku ogólnego (2.84), zakªadaj¡ x = 0 mo»emy

wyli zy¢:

ρ(x = 0|N) =ρ(0)

N1α

. (2.87)

Przeanalizujmy jako przykªad pro edur� wyzna zenia wykªad-

nika α. Rozwa»my stop� zwrotu z inwesty ji w ak j� ∆PN(t) =

P (t + N) − P (t) gdzie N to przedziaª zasowy który mo»e by¢

równy np. N = 1, 2, 3 dni, N = 1, 2, 3 min itp... a P (t) to kurs

ak ji w zasie t. Wyzna zmy empiry znie rozkªad prawdopodo-

bie«stwa ρ(∆PN |N) oraz przeanalizujmy ρ(∆PN = 0|N), bior¡

ρ(∆PN = 0|N) =ρ(0)

N1α

. (2.88)


Otrzymujemy:

ln(ρ(∆PN = 0|N)) = ln(ρ(0))− 1

αlnN, (2.89)

z zego wynika rela ja propor jonalno± i:

lnN ∝ −α ln(ρ(∆PN = 0|N)). (2.90)

Wykonuj¡ regresj� liniow¡ lnN vs. ln(ρ(x = 0|N)) mo»na wy-

zna zy¢ wykªadnik α.

Przedstawi� teraz jako przykªad wyniki fakty zny h bada« ryn-

ków papierów warto± iowy h. Przeprowadzane badania wskazaªy,

»e prawdopodobie«stwo 15 minutowy h zmian indeksu S&P500(N = 15, 30, 45...min) jest dobrze opisane przez rozkªad Lévy'ego

(ograni zony ekspoten jalnie) o parametrze α = 1, 5. Badania in-deksu Ibovespa (za okres 1986-2000) wykazaªy α = 1, 6− 1, 7 dla

maªy h N < 20 dni, oraz α = 2 dla du»y h N ( o odpowia-

daªo rozkªadowi Gaussa). Dla obli ze« zastosowano zwykª¡ lub

logarytmi zn¡ stop� zwrotu.

Wspomnieli±my o rozkªadzie Lévy'ego, aby pokaza¢, »e model

zakªadaj¡ y rozkªad Gaussa nie opisuje w peªni rynku �nanso-

wego. Nale»y wspomnie¢ jesz ze o modela h ekonomi zny h opar-

ty h o �Loty� Lévy'ego - Bª¡dzenie Przypadkowe w którym dªu-

go±¢ i-tego koku jest opisana rozkªadem Lévy'ego umo»liwiaj¡ ym

stosunkowo z�ste wyst�powanie warto± i ekstremalny h (posia-

daj¡ ym �grube� ogony). Zgodnie z teori¡ �Lotów� Lévy'ego praw-

dopodobie«stwo wyst¡pienia warto± i ekstremalny h (np. ekstre-

malny h spadków na rynku �nansowym) jest relatywnie du»e.

Rozkªad q-Gaussa.

Rozkªad q-Gaussa (rysunek 2.20) jest uogólnieniem rozkªadu Gaussa

zakªadaj¡ ym wyst�powanie dªugozasi�gowy h autokorela ji po-

mi�dzy danymi ( o powoduje, i» Centralne Twierdzenie Grani zne


Rysunek 2.20: Rozkªad q-Gaussa - ¹ródªo Wikipedia (na osi poziomej uj�to

warto±¢ zmiennej natomiast na osi pionowej g�sto±¢ prawdopodobie«stwa).

przestaje obowi¡zywa¢). Parametr q odpowiada za dªugozasi�-

gowe autokorela je, które wyst�puj¡ w przypadku q > 1. G�sto±¢

prawdopodobie«stwa dla rozkªadu q-Gaussa jest opisana wzorem:

ρ(x) =

√β

Cq

(

1− (1− q)βx2)( 1

1−q), (2.91)

gdzie:

• −∞ ≤ q ≤ 3,

• Cq =2√πΓ( 1

1−q)

(3−q)√1−qΓ( 3−q

3(1−q) )dla −∞ < q < 1,

• Cq =√π dla q = 1,

• Cq =√πΓ( 3−q

2(1−q) )√q−1Γ( 1

q−1 )dla 1 < q ≤ 3,

• Γ() to uogólniona silnia.


Rysunek 2.21: Obraz modelu perkola yjnego - ¹ródªo - S.Havlin, D.Ben-

Avraham �Difusion in disordered media�, Advan es in Physi s, Vol. 51 - No.

1, (2002). Porównanie trze h sie i kwadratowy h z ró»nymi prawdopodo-

bie«stwami zaj�to± i w�zªów - p.

2.4.6 Model perkola yjny: przykªad ukªadu, u którego

mo»e wyst�powa¢ zarówno normalna jak i ano-

malna dyfuzja.

Prosty model perkola yjny.

Prosty model perkola yjny jest pokazany na rysunku 2.21, roz-

wa»my sie¢ kwadratow¡:

• w�zeª sie i jest zaj�ty z prawdopodobie«stwem p,

• oraz wolny z prawdopodobie«stwem 1− p,

• wraz ze wzrostem p ro±nie wymiar prze i�tnego �klastera�

zaj�ty h w�zªów,

• poni»ej pc = 0, 592745 istniej¡ tylko sko« zone �klastery�,

• powy»ej pc istnieje niesko« zony �klaster�.

Wªa± iwo± i:


• dla p < pc wyst�puj¡ sko« zone statysty znie samopodobne

�klastery� o wymiarze ξ(t) (±rednie kwadratowe przemiesz-

zenie jest ograni zone przez rozmiar �klastera�),

• dla p = pc wyst�puje niesko« zony �klaster� statysty znie

samopodobny we wszystki h skala h wielko± i,

• dla p > pc wyst�puje niesko« zony �klaster� statysty znie

samopodobny dla R < ξ(t) i jednorodny dla R > ξ(t).

Rozpatrzmy dyfuzj� na opisany h wy»ej �klastera h� (rysunek

2.21). Dla odpowiednio dªugiego zasu dyfuzji - t → ∞ mamy:

• dla p < pc 〈R(t)2〉 ∝ ξ(t)2 - ±rednia droga kwadratowa

ograni zona przez rozmiar klastera,

• dla p = pc 〈R(t)2〉 ∝ t2dw

- anomalna dyfuzja,

• dla p > pc 〈R(t)2〉 ∝ t - normalna dyfuzja.

Jak ju» w ze±niej wspomnieli±my dla t → ∞ mo»emy mie¢ dwie

ró»ne fazy dyfuzji:

• pc = p faza anomalnej dyfuzji,

• pc > p faza normalnej dyfuzji.

Badaj¡ ±rednie kwadratowe od hylenie 〈R2(t)〉 mo»na okre±li¢ w

której fazie dyfuzji si� znajdujemy.

Prosz� si� zastanowi¢, zy obserwuj¡ za howanie (dyfuzje) en

ak ji na GPW mo»na znale¹¢ faz� normalnej dyfuzji oraz faz� ano-

malnej dyfuzji? O zym mo»e ±wiad zy¢ przej± ie z fazy normal-

nej dyfuzji do fazy anomalnej dyfuzji? Odpowied¹ na wspomniane

pytania b�dzie zawarta w kolejny h rozdziaªa h skryptu.


2.4.7 Cz¡stkowe ru hy Browna: wykªadnik (Hursta) dy-

fuzji - H, zale»no±¢ ±redniego kwadratowego od-

hylenia od zasu oraz aspekt samopodobie«stwa.

Przypomnijmy, pro es Wienera to gaussowski pro es sto hasty zny

posiadaj¡ y nast�puj¡ e wªasno± i:

• ±rednia droga przebyta jest równa zero - E(W (t)) = 0,

• kowarian ja - E(W (t)W (s)) = min(t, s),

• kolejne kroki nie zale»¡ od poprzedni h - brak autokorela ji.

Uogólnienie uwzgl�dniaj¡ e autokorela j� pomi�dzy kolejnymi kro-

kami.

Rozpatrzmy sta jonarny pro esWH(t) dla t > 0 z zerow¡ ±redni¡,warian j¡ równ¡:

〈RH(t)2〉 = E[W 2

H(t)] = t2H , (2.92)

oraz kowarian j¡:

E[WH(s)WH(t)] =1

2(s2H + t2H− | t− s |2H), (2.93)

gdzie 0 < H < 1. Cz¡stkowe Ru hy Browna (FBM) maj¡ wªa-

sno±¢ samo podobie«stwa - WH(t) skaluje si� w sensie zgodno± i

rozkªadów prawdopodobie«stwa w nast�puj¡ y sposób:

WH(at) = aHWH(t). (2.94)

Trajektoria FBM jest krzyw¡ fraktaln¡ z wymiarem fraktalnym

dw = 1H . Parametr H jest wykªadnikiem samopodobie«stwa zwa-

nym wykªadnikiem Hursta (lub wykªadnikiem dyfuzji). Wy»ej

opisana niezmienni zo±¢ skalowania byªa po raz pierwszy badana

dla rynków �nansowy h przez Mandelbrota.

Z poni»szego równania:


WH(at) = aHWH(t), (2.95)

mo»emy wywnioskowa¢:

〈R(t)2〉 = t2dw = t2H (2.96)

W przypadku H 6= 12 równania opisuj¡ z¡stkowy biaªy szum

i dªugozakresowe autokorela je, który h istnienie mo»na opisa¢

badaj¡ :

E[W (t+ h),W (t)] ≃ 2H(2H − 1)h2H−2, dla h → ∞. (2.97)

Wnioski:

• dla

12 < H < 1 pro es WH(t) wykazuje autokorela je, gdy»

E[W (t+ h),W (t)] jest dodatnie,

• dla H = 12 pro es WH(t) nie wykazuje autokorela ji,

• dla 0 < H < 12 pro esWH(t) wykazuje ujemne autokorela je,

gdy» E[W (t+ h),W (t)] jest ujemne.

W przypadku H 6= 12 kolejne kroki ∆WH s¡ zale»ne od poprzed-

ni h.

Rozpatrzmy dyfuzj� na trójk¡ ie Sierpi«skiego z wymiarem

fraktalnym dw = 2, 322 oraz wykªadnikiem dyfuzji H = 1dw

=1

2,322 = 0, 431. - rysunek 2.23. Mo»na stwierdzi¢, i» pomi�dzy

kolejnymi krokami wyst�puje ujemna autokorela ja (w przyrodzie

wyst�puje wiele zjawisk anomalnej dyfuzji - z ujemnymi autoko-

rela jami).

W przyrodzie równie» wyst�puj¡ przypadki dyfuzji z dodatnimi

autokorela jami - H > 0, 5. Jako przykªad3 mo»na poda¢ dyfuzj�

pod zas reak ji stopu Cu-Sn z Nb3Sn gdzie H = 0, 55− 0, 77.

3

Quantitative Explanation for Uphill Di�usion of Sn during Rea tive Di�usion between

Cu�Sn Alloys and Nb� - T. Yamashina, M. Kajihara


Rysunek 2.22: Przykªady trajektorii WH dla ró»ny h warto± i wykªadnika

dyfuzji H - ¹ródªo - G.L. Vas on elos �A Guided Walk Down Wall Street: an

Introdu tion to E onophysi s� Brazilian Journal of Physi s 34 (2004) 1039.

Rysunek 2.23: Przykªad kroków pod zas dyfuzji na Trójk¡ ie Sierpi«skiego -

¹ródªo - S.Havlin, D.Ben-Avraham �Difusion in disordered media� Advan es

in Physi s, Vol. 51 - No. 1 (2002).


2.4.8 Lokalna analiza beztrendowa (DFA): wyli zanie

lokalnego wykªadnika dyfuzji (H) u»ywanego do

badania dany h �nansowy h.

Nale»y stwierdzi¢, »e ka»dy ukªad �nansowy jest ukªadem otwar-

tym (oddziaªuj¡ ym z oto zeniem). Metody adekwatne do bada-

nia ukªadów zamkni�ty h (nieoddziaªuj¡ y h z oto zeniem) mog¡

by¢ bardzo wra»liwe na ilo±¢ informa ji u»yty h do badania (ilo±¢

i sposób wyboru badany h dany h). Jest wiele metod obli zania

wykªadnika dyfuzji (H) dla dany h �nansowy h. Ogólnie trzeba

okre±li¢ jak �wielko±¢� �uktua ji (w oknie zasowym o dªugo± i τ)skaluje si� wraz ze zmian¡ dªugo± i okna τ . Omówimy analiz�

beztrendow¡ (DFA) która daje najlepsze wyniki i jest adekwatna

do badania ukªadów otwarty h.

• Badamy liniowy trend wielko± i �nansowej np. en ak ji

Ptend(t, τ) = a ∗ t+ b, w oknie zasowym o dªugo± i τ, (obli- zony z u»y iem regresji liniowej).

• Okre±lamy �wielko±¢� �uktua ji jako ±redni¡ kwadratow¡ ró»-

ni � pomi�dzy kursem ak ji i jej teorety zn¡ warto± i¡ wy-

zna zon¡ przez trend liniowy obli zony w poprzednim kroku.

• W elu wyzna zenia lokalnego wykªadnika dyfuzjiH badamy

jak �wielko±¢� �uktua ji skaluje si� w funk ji zasu τ .

Zastosowanie wykªadnika dyfuzji do badania dany h �nansowy h

ma nast�puj¡ e uzasadnienia wywodz¡ e si� z nauk ekonomi z-

ny h. Duzi spekulan i zna znie z�± iej sprzedaj¡ swoje ak je i re-

alizuj¡ zysk je±li � zuj¡�, »e zbli»a si� zaªamanie rosn¡ ego trendu.

Za howanie to daje sygnaª innym gra zom którzy po pewnym za-

sie za zynaj¡ te» sprzedawa¢ swoje ak je. Mo»e to prowadzi¢ do

zaªamania trendu i je±li rynek jest sz zególnie �nerwowy� do kra-

hu. Przyj�to hipotez�, »e przed zbli»aj¡ ym sie kra hem mo»e


pojawi¢ sie ujemna autokorela ja kursów ak ji. Dlatego obserwu-

j¡ warto±¢ wykªadnika dyfuzji H mo»na od zyta¢ sygnaª �sprze-

da»y� poprzedzaj¡ y kra h.

Analiza beztrendowa - zaªo»enia.

Wybierzmy okno zasowe o dªugo± i τ w którym b�dziemy bada¢

P (t) - eny interesuj¡ ego nas papieru warto± iowego lub warto± i

indeksu. Do obli zenia �wielko± i� �uktua ji eny stosujemy ró»-

ni � pomi�dzy en¡ w danym dniu oraz warto± i¡ teorety zn¡ wy-

zna zon¡ przez trend liniowy. Wyli zmy warian je beztrendow¡

wedªug nast�puj¡ ego s hematu:

• okre±lmy okno zasowe o dªugo± i τ za zynaj¡ e si� gdy t = 0i ko« z¡ e gdy t = τ ,

• wyli zmy dla w/w okna zasowego metod¡ regresji liniowej

(metod¡ najmniejszy h kwadratów) wspóª zynniki trendu li-

niowego (a i b), oraz en� przewidywan¡ przez trend liniowy

Ptrend(t, τ) = a ∗ t+ b,

• dla ka»dego t wyli zmy ró»ni � kwadratow¡ pomi�dzy aktu-

aln¡ en¡ i trendem liniowym∆P (t)2beztrendowe = (Ptrend(t, τ)−P (t))2,

• wyli zmy ±redni¡ ró»ni � kwadratow¡ dla en w oknie zaso-

wym o dªugo± i τ F 2(τ) =∑τ

t=1 ∆P (t)2beztrendowe

τ.

Otrzymujemy ogólny wzór na waria j� beztrendow¡:

F 2(τ) =

∑τt=1(Ptrend(t, τ)− P (t))2

τ. (2.98)

Je»eli rozpatrzymy du»e okno o rozmiarze N , mo»emy podzieli¢

je na k niepokrywaj¡ y h si� okien o dªugo± i τ = Nk ka»de. Na-

st�pnie mo»emy wyli zy¢ F 2j (τ) dla ka»dego z okien, taki h »e


j = 1, 2, ...k. Do wyli zenia ±redniej warto±¢ warian ji beztrendo-

wej dla danego k (lub okna o dªugo± i τ) - 〈F 2(τ)〉 zazwy zaj sto-suje si� ±rednie warto± i, np. u±rednione po wszystki h j okna h

o dªugo± i τ = Nk .

〈F 2(τ)〉 =k∑

j=1

F 2j (τ)

k. (2.99)

Nast�pnie mo»emy wyli zy¢ wykªadnik dyfuzji H korzystaj¡ z

wªa± iwo± i skalowania:

〈F 2(τ)〉 ∝ τ 2H , (2.100)

wyli zenie logarytmu pozwoli nam na badanie rela ji liniowej:

ln〈F 2(τ)〉 = 2H ln(τ) + b. (2.101)

analizuj¡ 〈F 2(τ)〉 w funk ji dªugo± i okna zasowego τ mo»emy

wyzna zy¢ wykªadnik dyfuzji (H). Korzystaj¡ z:

ln〈F 2(N

k

)

〉 = H ln(N

k

)

+ b (2.102)

mo»na wyzna zy¢ wspóª zynnik kierunkowy prostej równy 2H.

Aby wykªadnik dyfuzjiH mógª by¢ u»yty jako wska¹nik, na GPW

jego warto±¢ musi by¢ obli zona na podstawie dany h przeszªy h i

ewentualnie tera¹niejszy h (nie mo»na u»ywa¢ dany h przyszªy h).

Dlatego te» je±li wyli zymy wykªadnik dyfuzji dla okna zasowego

o dªugo± i τ warto±¢ wska¹nika nale»y przyporz¡dkowa¢ ostat-

niemu punktowi z tego okna (je±li okno za zyna si� gdy t = 0i ko« z¡ ego sie gdy t = τ , warto±¢ H nale»y przyporz¡dkowa¢

zasowi t = τ). Nast�pnie przesuwaj¡ okno zasowe o dªugo-

± i τ sesja po sesji mo»na wyli zy¢ warto±¢ wykªadnika dla aªej

historii handlu interesuj¡ ej nas spóªki na GPW. Metoda ta ma

kilka arbitralny h parametrów: wielko± i okna N , rodzaj i z�sto-

tliwo±¢ dany h (np. kursy dzienne, kursy otwar ia, zamkni� ia,


godzinne, minutowe, ka»da transak ja itp.) oraz sposób wyboru

k, np. k = 1, 2, 3... lub k = 1, 2, 4, 8, 16....

Teraz przedstawimy inna metod� obli zania warian ji beztren-

dowej:

• we¹my stopy zwrotu ∆P = P (ti)− P (ti−1),

• okre±lmy badany przedziaª o dªugo± iM , wtedy t = 0, 1...M ,

• okre±lmy skumulowan¡ ±redni¡ x(t) =∑t

t′=1(∆P (t′)−∆P ),

gdzie ∆P =∑M

t′=1 ∆P (t′)M ,

• do zmiennej skumulowanej stosujemy tak¡ sam¡ pro edur�

jak powy»ej (wewn¡trz przedziaªu o dªugo± i M okre±lamy

du»e okno o dªugo± i N a nast�pnie dzielimy je na okna o

dªugo± i τ).

Jako przykªad przedstawiamy dopasowanie linii prostej na wy-

kresie

12ln 〈F 2(t)〉 vs. ln t dla spóªki Agora notowanej na GPW

w Warszawie. Na hylenie prostej jest równe wykªadnikowi Hur-

sta H. Do bada« wzi�to 2 kursy ak ji dziennie (kurs otwar ia

i zamkni� ia) i zaªo»ono N = 500 (250 sesji). Dªugo±¢ mniej-

szy h okien byªa wyzna zana w nast�puj¡ y sposób τ = ⌈Nk ⌉gdzie k = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 oraz ⌈ ⌉ to funk ja �su�tu� -

najmniejsza li zba aªkowita nie mniejsza ni» argument. Ostatnie

okno z�± iowo za hodziªo na poprzednie ale nie wpªywaªo to w

sposób istotny na wynik wyli ze«. Otrzymano wykªadnik dyfuzji

H = 0, 47± 0, 02. Wykªadnik dyfuzji H mo»na wyli zy¢ global-

nie (ustalaj¡ dªugo±¢ okna N dla aªej badanej popula ji) lub

lokalnie (ustalaj¡ np. N = 250 sesji) a potem przesuwaj¡ je

sesja po sesji. Lokalny wykªadnik dyfuzji H mierzy lokalny stan

rynku i dlatego jest mniej wra»liwy na wszelkie zmiany harakteru

dany h w zasie i lepiej nadaje si� do badania ukªadu otwartego,

oraz ukªadu który nie ma stabilnego rozkªadu prawdopodobie«-

stwa (ukªadem takim mo»e by¢ rynek papierów warto± iowy h).


Rysunek 2.24: Dopasowanie linii prostej do wykresu

12ln 〈F 2(t)〉 vs. ln t -

na hylenie linii prostej odpowiada wykªadnikowi Hursta.

Wykªadnik dyfuzji mierzy korela je na rynku �nansowym. Jako

przykªad w literaturze

4

mo»na rozpatrzy¢ wykªadnik dyfuzji (H)

wyli zony dla indeksu Ibovespa Gieªdy w Saõ Paulo. Wykªad-

nik (dla lat 1968 - 1982) wykazywaª bardzo wysokie warto± i

(H > 0, 6), wskazuj¡ e na silne autokorela je harakterysty zne

dla rynków ws hodz¡ y h.

Losowy szereg dany h.

W elu pokazania w jaki sposób wykªadnik H odzwier iedla do-

datnie i ujemne autokorela je badanego szeregu zasowego jak

równie» i h brak zde�niowano nast�puj¡ e losowe szeregi zasowe:

• Losowy szereg zasowy (nie posiadaj¡ y autokorela ji), dla

4

G.L. Vas on elos �A Guided Walk Down Wall Street: an Introdu tion to E onophy-

si s� Brazilian Journal of Physi s 34 (2004) 1039


którego wyli zono wykªadnik H z u»y iem lokalnej DFA -

rysunek 2.25. Szereg ten jest zde�niowany przez pierwszy

element P0 = 50 oraz równanie rekuren yjne:

∆P = Pi − Pi−1 = µ+∆W. (2.103)

Gdzie µ = 0, 05 to ±redni dryf a ∆W to zmienna losowa

odpowiadaj¡ a pro esowi Wienera (o jednorodnym rozkªa-

dzie prawdopodobie«stwa). Na rysunku 2.26 przedstawiono

przykªadow¡ regresj� liniow¡

ln〈F 2(τ)〉2 vs ln τ (dla i = 1000),

otrzymano H = 0, 52.

• Szereg zasowy gdzie kolejne kroki zale»¡ od porzedni h (po-

siadaj¡ y autokorela je) dla który h wyli zono wykªadnik Hprzedstawiono na rysunku 2.27. Szereg ten jest równie» zde-

�niowany przez pierwszy element P0 = 50 oraz równanie

rekuren yjne:

∆P = Pi − Pi−1 = µ+∆W +1

2

(

Pi−1 − Pi−6

5

)

. (2.104)

Gdzie µ = 0, 05 to ±redni dryf, ∆W to li zba losowa od-

powiadaj¡ a pro esowi Wienera (o jednorodnym rozkªadzie

prawdopodobie«stwa) natomiast zªon

12

(

Pi−1−Pi−6

5

)

wpro-

wadza dodatnie autokorela je. Na rysunku 2.28 przedsta-

wiono przykªadow¡ regresj� liniow¡

ln〈F 2(τ)〉2

vs ln τ (dla i =

1000), otrzymano H = 0, 75.

• Szereg zasowy posiadaj¡ y ujemne autokorela je oraz war-

to±¢ wykªadnika H przedstawiono na rysunku 2.29. Szereg

ten jest tak»e zde�niowany przez pierwszy element P0 = 50oraz równanie rekuren yjne:

∆P = Pi − Pi−1 = µ+∆W −(

Pi−1 − Pi−6

5

)

. (2.105)


Rysunek 2.25: Losowy szereg zasowy nie posiadaj¡ y autokorela ji (lewy

panel) wraz z wyli zonym wykªadnikiem H (prawy panel).

Rysunek 2.26: Regresja liniowa

ln〈F 2(τ)〉2

vs ln τ - dla losowego szeregu za-

sowego - rysunek 2.25, otrzymano H = 0, 52.

Gdzie µ = 0, 05 to ±redni dryf, ∆W to zmienna losowa od-

powiadaj¡ a pro esowi Wienera (o jednorodnym rozkªadzie

prawdopodobie«stwa) natomiast zªon −(

Pi−1−Pi−6

5

)

wpro-

wadza ujemne autokorela je. Na rysunku 2.30 przedstawiono

regresj� liniow¡

ln〈F 2(τ)〉2 vs ln τ (dla i = 1000), otrzymano

H = 0, 34.


Rysunek 2.27: Losowy szereg zasowy posiadaj¡ y dodatnie autokorela je

(lewy panel) wraz z wyli zonym wykªadnikiem H > 0, 5 (prawy panel).


ln〈F 2(τ)〉2



Rysunek 2.29: Losowy szereg zasowy posiadaj¡ y ujemne autokorela je

(lewy panel) wraz z wyli zonym wykªadnikiem H < 0, 5 (prawy panel).



ln〈F 2(τ)〉2



2.4.9 Wykorzystanie anomalnej dyfuzji w elu przewi-

dywania zaªama« na rynku oraz zmian trendów.

Przykªadowe zastosowanie wykªadnika H do przewidywania kra-

hów na GPW.

Dzi�ki wykªadnikowi dyfuzji H mo»na analizowa¢ sygnaªy zbli-

»aj¡ y h si� kra hów. Podamy przykªad analizy wykonanej dla

Warszawskiej Gieªdy Papierów Warto± iowy h

5

. Przeanalizowano

3 zaªamania rynku.

• Zaªaminie z 17.03.1994 r. kiedy w i¡gu 41 sesji indeks WIG

spadª o 65%.

• Zaªamanie z 22.07.1998 r. kiedy w i¡gu 30 sesji indeks WIG

spadª o 39%.

• Zaªamanie z 12.05.2006 r. kiedy w i¡gu 24 sesji indeks WIG

spadª o 21%.

Duzi spekulan i zna znie z�± iej sprzedaj¡ swoje ak je i reali-

zuj¡ zysk je±li � zuj¡�, »e zbli»a si� zaªamanie rosn¡ ego trendu.

5

D. Gre h, G.Pamuªa �The Lo al Fra tal Properties of the Finan ial Times Series on

the Polish Sto k Ex hange Market� Physi a A 387 (2008) 4299


Za howanie to daje sygnaª innym gra zom którzy po pewnym za-

sie za zynaj¡ te» sprzedawa¢ swoje ak je. Mo»e to prowadzi¢ do

zaªamania trendu i je±li rynek jest sz zególnie �nerwowy� do kra-

hu - przyj�to hipotez�, »e mog¡ si� wtedy pojawi¢ antykorela-

je kursów ak ji. Dlatego obserwuj¡ warto±¢ wykªadnika dyfu-

zji H(t) mo»na od zyta¢ sygnaª �sprzeda»y� poprzedzaj¡ y kra h

(sygnaª sprzeda»y). De�niuj¡ ±redni¡ kro z¡ ¡ wykªadnika Hz 5 ostatni h sesji (tydzie«) 〈H(t)〉5 oraz 21 ostatni h sesji (mie-

si¡ ) 〈H(t)〉21, zaªo»ono nast�puj¡ e warunki wyst¡pienia sygnaªusprzeda»y.

• H jest w trendzie malej¡ ym i 〈H(t)〉5 < 〈H(t)〉21 (dopusz- za si� maªe �uktua je),

• 〈H(t)〉21 ≤ 0, 5,

• 〈H(t)〉5 ≤ 0, 45,

• Pojawiaj¡ si� minima Hmin(t) ≤ 0, 4.

Badaj¡ za howanie si� wykªadnika H oraz indeksu WIG w okoli-

a h zaªamania rynku zostaª stwierdzony sygnaª �sprzeda»y� (ujem-

nej autokorela ji) przed ka»dym z n/w zaªama«.

• Zaªaminie z 17.03.1994 r. - spadek indeksu WIG o 65%.

• Zaªamanie z 22.07.1998 r. - spadek indeksu WIG o 39%.

• Zaªamanie z 12.05.2006 r. - spadek indeksu WIG o 21%.

Ww. analiza byªa przeprowadzona na dany h za okres do 27 lip a

2007 roku, w ostatnim okresie analizy wykªadnik H spadaª tak,

»e zostaªa wyzna zona malej¡ ¡ lini� trendu. Linia ta prze i�ªa

wielko±¢ 0,4 dnia 11 wrze±nia 2007 roku, o mogªo by¢ sygnaªem

zbli»aj¡ ego si� kra hu. Dnia 29 pa¹dziernika 2007 roku indeks

WIG osi¡gn¡ swoje globalne maksimum i nast¡piª spadek - rysu-

nek 2.31.


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 500 1000 1500 2000

kolejne transakcje

Indeks WIG VI.2006 -VI.2009

29 X 2007 r.

Rysunek 2.31: Fakty zne za howanie indeksu WIG w okresie VI.2006 -

VI.2009.

Wypiszemy teraz prakty zne narz�dzia stosowane przy li zeniu

wykªadnika Hursta:

• Programy komputerowe,

• W programie Python np. biblioteka PyEEG,

• Dost�pne narz�dzia w programie Ex el.

Wykorzystanie wykªadnika Hursta do przewidywania zmian tren-

dów na Warszawskiej GPW - badania wªasne.

Opis bada«

6

.

• Przeprowadzili±my badania kursów ak ji 126 spóªek notowa-

ny h na GPW w Warszawie za okres 1991 - 2008 r.

• Wykorzystali±my lokaln¡ analiz� beztrendow¡ (DFA) do wy-

li zenia wykªadnika dyfuzji (H).

• Celem bada« byªo poszukiwanie ujemny h autokorela ji aby

przewidzie¢ zmiany dªugoterminowy h trendów.

6

K. Domino �The Use of the Hurst Exponent to Predi t Changes in Trends on the

Warsaw Sto k Ex hange� Physi a A 390 (2011) 98�109


• Wykazali±my, »e po sygnale antykorela ji (spadku wykªad-

nika H) prawdopodobna jest zmiana trendu.

Zaªo»enia.

• Zaªo»ono, »e w sytua ji równowagi (staªego trendu) kursy

ak ji poruszaj¡ sie wzdªu» linii trendu z dodatkiem pewnego

statysty znego szumu.

• W przypadku, kiedy stary trend si� zaªamuje i formuje si�

nowy trend, wyst�puje przej± ie fazowe - faza normalnej dy-

fuzji (H = 0, 5) zmienia si� na faz� anomalnej subdyfuzji

(H < 0, 5).

• Podobne przej± ie fazowe (faza normalnej dyfuzji - faza ano-

malnej dyfuzji) bada np. model perkola yjny.

Zaªo»yli±my, »e spadek wykªadnika H poni»ej warto± i progo-

wej Hthreshold jest sygnaªem antykorela ji oraz sygnaªem zmiany

trendu. Wyli zyli±my (w elu porównania) dwa 1000 punktowe

trendy ( o odpowiada 500 dniom zyli ok 2 latom handlu na

GPW). Pierwszy trend ko« z¡ y sie przed, a drugi za zynaj¡ y

si� po sygnale antykorela ji. Nale»y jednak pami�ta¢, »e badane

autokorela je s¡ sªabe - statysty zny szum oraz krótkoterminowe

trendy mog¡ mie¢ wpªyw na warto±¢ wykªadnika H, dlatego za-

stosowli±my metod� �wygªaszania dany h� opisan¡ poni»ej.

• Zastosowali±my warto±¢ progow¡ w elu od zytania sygnaªu

antykorela ji w przedzialeHthreshold = [0, 4, 0, 25], warto±¢ tajest istotnie mniejsza od H = 0, 5.

• Aby od�ltrowa¢ statysty zny szum, zaªo»yli±my, »e istotny

sygnaª antykorela ji wyst�puje gdy spo±ród 6 kolejny h punk-

tów (badany h kursów ak ji) speªniony jest warunek H <Hthreshold przynajmniej dla 3 punktów.


• Zmiana trendu jest z�sto pro esem dynami znym, rozwi-

jaj¡ ym sie w zasie. Dlatego wykªadnik H mo»e spa±¢

(H < Hthreshold) kilka razy, odzwier iedlaj¡ zmian� tego

samego dªugookresowego trendu, lub trendu krótkotermino-

wego. Dlatego zaªo»yli±my, »e badania nie b�d¡ uwzgl�dnia¢

krótkoterminowy h trendów krótszy h ni» 300 punktów (150

dni). W przedziale 300 punktów uwzgl�dniali±my tylko jeden

sygnaª antykorela ji.

Sposób wyzna zania sygnaªów antykorela ji.

• Zadali±my warto±¢ progow¡ w przedzialeHthreshold = [0, 4, 0, 25].

• Analizowali±my punkty bardziej odlegªe od po z¡tku i ko« a

dany h ni» o 1105 punktów aby umo»liwi¢ wykonanie analizy

z trendami.

• Program komputerowy poszukuje punktu dla którego H <Hthreshold.

• Wprzypadku znalezienia takiego punktu sprawdza, zy w±ród

5 nast�pny h wyst�puj¡ przynajmniej 2 punkty dla który h

H < Hthreshold.

• Je»eli tak, program ozna za taki punkt jako istotny sygnaª

antykorela ji.

• Nast�pnie, program przeskakuje o 300 punktów do przodu i

szuka dalej sygnaªu antykorela ji.

Analiza trendów.

• Badali±my 2 trendy o dªugo± i 1000 pkt (500 dni - ok 2 lata)

ka»dy.

• Pierwszy ko« zy si� w punk ie w którym wykryto sygnaª

antykorela ji.


Rysunek 2.32: Zmiana trendu oraz sygnaª antykorela ji H < 0, 4 - KGHM.

• Drugi za zyna si� w punk ie w którym wykryto sygnaª anty-

korela ji.

• Badali±my zmian� kierunku (na hylenia) trendów (rosn¡ y

na malej¡ y lub odwrotnie).

Badali±my znak na hylenia trendu, jest on dodatni je±li trend jest

rosn¡ y oraz ujemny je±li trend jest malej¡ y. Przykªady zmian

na hylenia trendu w punkta h w który h wyst�puje sygnaª anty-

korela ji (dla ró»ny h spóªek) przedstawiono na rysunka h 2.32 -

2.37.

Aby przeprowadzi¢ analiz� zde�niowano nast�puj¡ e wielko± i:

∆1000(Hthreshold) - empiry znie wyzna zone prawdopodobie«stwo

z jakim 1000 punktowy trend zmieni swój znak w punk ie, w któ-

rym wykryto sygnaª antykorela ji; ∆1000(Hrandom) - empiry znie

wyzna zone prawdopodobie«stwo z jakim 1000 punktowy trend

zmieni swój znak w losowo wybranym punk ie. Przypomnijmy,

»e Hthreshold to warto±¢ progowa poni»ej której zostaje zarejestro-

wany sygnaª antykorela ji. Porównanie w/w wielko± i przedsta-

wiono na rysunku 2.38. Z bada« wy i¡gni�to nast�puj¡ e wnioski.

• Warto±¢ ∆1000(Hthreshold) = 0, 52− 0, 62 okazaªa si� wi�ksza


Rysunek 2.33: Zmiana trendu oraz sygnaª antykorela ji H < 0, 4 - Kopex.

Rysunek 2.34: Zmiana trendu oraz sygnaª antykorela ji H < 0, 4 - Lentex.


Rysunek 2.35: Zmiana trendu oraz sygnaª antykorela ji H < 0, 4 - Al hemia.

Rysunek 2.36: Zmiana trendu oraz sygnaª antykorela ji H < 0, 4 - BZWBK.


Rysunek 2.37: Zmiana trendu oraz sygnaª antykorela ji H < 0, 4 - ComAr h.

od warto± i ∆1000(Hrandom) = 0, 46. Ozna za to, »e zmiana

na hylenia trendu (dodatnie na ujemne lub vi e versa) jest

bardziej prawdopodobna w punk ie w którym pojawi sie sy-

gnaª antykorela ji ni» w punk ie wybranym losowo.

• ImmniejszeHthreshold tym wi�ksze prawdopodobie«stwo zmiany

znaku trendu.

• Z drugiej strony immniejszeHthreshold tymmniej przypadków

H < Hthreshold wyli zony h dla analizowany h kursów ak ji

(mniejsza stosowalno±¢ metody).

• DlaHthreshold = 0, 4 znaleziono 240 przypadkówH < Hthreshold,

dla mniejszy h Hthreshold ilo±¢ przypadków H < Hthreshold

byªa zna znie mniejsza.

Aby uzupeªni¢ wyniki przedstawionej wy»ej analizy, zbadano

zmiany stóp zwrotu po sygnale antykorela ji. Przyjeli±my zaªo»e-

nia:

• zaªo»ono warto±¢ progow¡ wykªadnika Hursta równ¡Hthreshold =0, 4,


0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,420,40

0,42

0,44

0,46

0,48

0,50

0,52

0,54

0,56

0,58

0,60

0,62

0,64

0,66

0,68

0,70

1000(Hthreshold

)

1000(Hrandom

)

H threshold

1000

(Hth

resh

old) a

nd

1000

(Hra

ndom

)

Rysunek 2.38: Prawdopodobie«stwo zmiany trendu w punkta h w którym

wykryto sygnaª antykorela ji oraz punkta h wybrany h losowo.

• w tym przypadku sygnaª antykorela ji okazaª si� istotny gdy»

∆1000(Hthreshold)−∆1000(Hrandom) = 0, 055

• stwierdzono 240 sygnaªów antykorela ji dla 126 badany h

spóªek notowany h na GPW w Warszawie.

Sygnaª antykorela ji - metoda wyzna zenia istotnego sygnaªu:

• wykªadnik dyfuzji musi spa±¢ poni»ej warto± i progowej H <Hthreshold = 0, 4,

• w±ród 6 kolejny h warto± i wykªadnika dyfuzji przynajmniej

3 speªniaj¡ w/w warunek,

• w oknie o dªugo± i 300 pkt. (150 dni) mo»e wyst�powa¢ tylko

jeden sygnaª antykorela ji.

Zbadano stopy zwrotu za 6 okresów:

• 500 pkt - 250 dni (rok),

• 600 pkt - 300 dni,

• 700 pkt - 350 dni,


• 800 pkt - 400 dni,

• 900 pkt - 450 dni,

• 1000 pkt - 500 dni (2 lata).

Nale»y tutaj przypomnie¢, »e badano dwa kursy ak ji dziennie -

kurs otwar ia oraz kurs zamkni� ia, dlatego 2 punkty odpowiadaj¡

jednemu dniu. Stopa zwrotu za okres 500 pkt. (1 rok) zostaªa

obli zona w nast�puj¡ y sposób:

• wyzna zamy szereg o dªugo± i 550 pkt. za zynaj¡ y si� w

punk ie τ ,

• przez pierwsze 50 pkt. za ka»dym razem kupujemy 1 ak j�,

• wydajemy:

wydatek = P (τ)+P (τ+1)+P (τ+2)+...+P (τ+49) =τ+49∑

t=τ

P (t),

(2.106)

• za zynamy sprzedawa¢ ak je w punk ie τ + 500,

• sprzedajemy po jednej ak ji a» do punktu τ + 549,

• przy hód ze sprzeda»y okre±la wzór:

przy hód = P (τ+500)+P (τ+501)+...+P (τ+549) =

τ+549∑

t=τ+500

P (t).

(2.107)

Pod zas opisanej w tym rozdziale analizy nie uwzgl�dniono kosz-

tów transak ji o zyni analiz� przybli»on¡. Stop� zwrotu za okres

500 pkt. (zysk lub strat�) okre±la wzór:

zysk = przy hód− wydatek =τ+549∑

t=τ+500

P (t)−τ+49∑

t=τ

P (t). (2.108)


Mo»emy równie» wyzna zy¢ zysk pro entowy:

zysk pro entowy =zysk

wydatek

=przy hód− wydatek

wydatek

=

∑τ+549t=τ+500 P (t)−∑τ+49

t=τ P (t)∑τ+49

t=τ P (t).

Aby umo»liwi¢ porównanie stóp zwrotu z inwesty ji na ró»ne okresy

(500 - 1000 pkt.) de�niujemy ±redni¡ pro entow¡ stop� zwrotu w

odniesieniu do 100 pkt. (50 dni). W przypadku inwesty ji na

okres 500 pkt. (250 dni) de�niujemy:

R500(τ) =zysk pro entowy

5=

∑τ+549t=τ+500 P (t)−∑τ+49

t=τ P (t)

5∑τ+49

t=τ P (t).

(2.109)

Podobnie wprowadzamy ±rednie stopy zwrotu dla inwesty ji na

inne okresy:


6=

∑τ+659t=τ+600 P (t)−∑τ+59

t=τ P (t)

6∑τ+59

t=τ P (t),

(2.110)


7=

∑τ+769t=τ+700 P (t)−∑τ+69

t=τ P (t)

7∑τ+69

t=τ P (t),

(2.111)


8=

∑τ+879t=τ+800 P (t)−∑τ+79

t=τ P (t)

8∑τ+79

t=τ P (t),

(2.112)


9=

∑τ+989t=τ+900 P (t)−∑τ+89

t=τ P (t)

9∑τ+89

t=τ P (t),

(2.113)


10=

∑τ+1099t=τ+1000P (t)−∑τ+99

t=τ P (t)

10∑τ+99

t=τ P (t),

(2.114)


ogólnie:

Rl(τ) =

∑τ+l+ l10−1

t=τ+l P (t)−∑τ+ l10−1

t=τ P (t)(

l100

)∑τ+ l

10−1t=τ P (t)

. (2.115)

Sposób zakupu i sprzeda»y ak ji, omówienie:

• zakup i sprzeda» ak ji odbywa si� w oknie zasowym o dªugo-

± i 50, 60, ...100 dla inwesty ji o dªugo± i l = 500, 600, ...1000,

• ogólnie okno zakupu i sprzeda»y jest równe

l10, gdzie l to

dªugo±¢ okna inwesty ji,

• pozwala to u±redni¢ wyniki wzgl�dem krótkoterminowy h �uk-

tua ji,

• u»y ie ±redniej w odniesieniu do 100 punktów stopy zwrotu

Rl, pozwala na porównanie wielko± iRl dla ró»ny h wielko± i

l.

Nast�pnie wyli zono ró»ni � dwó h kolejny h pro entowy h stóp

zwrotu. Wykonane transak je przedstawia rysunek 2.39 oraz po-

ni»sza pro edura:

• zaªo»my, »e punkt τ = d to pierwszy punkt 6 punktowego

sygnaªu antykorela ji,

• de�niujemy ró»ni � pro entowy h stóp zwrotu:

∆Rl = Rl(d+ 6)−Rl

(

d− l − l

10+ 1

)

. (2.116)

Sporz¡dzono rozkªady g�sto± i prawdopodobie«stwa dla nast�pu-

j¡ y h wielko± i:

• ró»ni a pro entowy h stóp zwrotu ∆Rl(d) - wyzna zona dla

punktów d w który h wykryto sygnaª antykorela ji (H <Hthreshold, ogólnie wykryto 240 sygnaªów antykorela ji,


Rysunek 2.39: Przeprowadzone transak je.

Rysunek 2.40: Dopasowanie rozkªadu Lorentza do dany h R1000.

Rysunek 2.41: Krzywa Lorentza dopasowana do ∆R1000 (lewy panel) oraz

∆R900 (prawy panel).


• ró»ni a pro entowy h stóp zwrotu ∆Rl(τrandom) - wyzna-

zona dla 240 punktów wybrany h losowo.

Do dany h dopasowano rozkªad Lorentza (rysunek 2.40 jako przy-

kªad dopasowania) zgodnie z równaniem:

ρ(∆R) =2A

π

γ

γ2 + 4(∆R−∆R0)2. (2.117)

Wybrano rozkªad Lorentza, gdy» rozkªad Gaussa nie opisuje do-

brze stóp zwrotu i nie uwzgl�dnia wystar zaj¡ o warto± i ekstre-

malny h tak zwany h �gruby h ogonów� (o zym mog¡ ±wiad zy¢

testy statysty zne). Równanie 2.117 mo»na zapisa¢:

ρ(x)1 =2Aa

π

1

x2 + 4a2, (2.118)

gdzie a = γ4 , x = ∆R − ∆R0. Jak wida¢ z rysunków (ry-

sunek 2.41 - 2.43) wielko± i ∆R(τrandom) maj¡ wi�ksze warto± i

modalne odzwier iedlaj¡ e brak zmiany stopy zwrotu oraz mniej-

sze warto± i pozamodalne odzwier iedlaj¡ e zmiany stóp zwrotu

(otrzymano∆R0 ≈ 0). Odwrotna sytua ja za hodzi w przypadku

∆R(d). Dlatego zmiana stopy zwrotu jest bardziej prawdopo-

dobna w punk ie gdzie wykryto sygnaª antykorela ji ni» w punk ie

wybranym losowo. Patrz¡ z innej strony, im wi�ksza warto±¢ γ

tym w rozkªadzie g�sto± i prawdopodobie«stwa wyst�puje mniej

punktów dla ∆R ≈ 0 oraz wi� ej punktów dla |∆R| 6= 0.

Warto± i wspóª zynnika γ otrzymane przez dopasowanie roz-

kªadów Lorentza (rys. 2.40 - 2.43) zostaªy przedstawione na ry-

sunku 2.44. I h analiza potwierdza, i» w rozkªadzie g�sto± i praw-

dopodobie«stwa wielko± i ∆R(d) wyst�puje mniej punktów speª-

niaj¡ y h ∆R ≈ 0 oraz wi� ej punktów speªniaj¡ y h |∆R| 6= 0ni» w rozkªadzie g�sto± i prawdopodobie«stwa wielko± i∆R(τrandom),

o raz jesz ze potwierdza badan¡ hipotez�.

Dyskusja:


Rysunek 2.44: Wspóª zynniki γ z równania 2.177.

• badania przeprowadzone dla GPW w Warszawie wykryªy

sªabe sygnaªy antykorela ji H < Hthreshold, po który h praw-

dopodobna jest zmiana trendu,

• GPW w Warszawie jest rynkiem rozwijaj¡ ym si� - dlatego

mo»na przewidywa¢, »e wyst�puj¡ na niej autokorela je kur-

sów ak ji,

• badania nale»aªoby powtórzy¢ dla rynków rozwini�ty h - np.

gieªda w Nowym Jorku, Londynie itp...,

• pod zas bada« nie uwzgl�dniono kosztów transak ji, o zyni

badania przybli»onymi.

Wykorzystanie wykªadnika dyfuzji do analizy globalnego maksi-

mum indeksu WIG20 z dnia 29 pa¹dziernika 2007r. - badania wªa-

sne.

Metodologia

7

, stresz zenie:

7

K. Domino �The use of the Hurst exponent to investigate the global maximum of the

Warsaw Sto k Ex hange WIG20 index� Physi a A 391 (2012) 156�169


• analogia pomi�dzy rynkiem �nansowym i dynami znym ukªa-

dem zªo»onym,

• badanie niezmienni zo± i skalowania,

• wykªadnik dyfuzji (H) jest powi¡zany z niezmienni zo± i¡

skalowania,

• wyst�powanie log-periody zny h os yla ji przed zaªamaniem

sie rynku,

• lokalny wykªadnik H spada poni»ej warto± i 0, 5 w przy-

padku pojawienia si� log-periody zny h os yla ji.

Indeks WIG20 odzwier iedla 20 najwi�kszy h i najbardziej pªyn-

ny h spóªek notowany h na GPW w Warszawie:

WIG20(t) =M(t)

K(t)M(t = 0)I(t = 0), (2.119)

gdzie:

• M(t) - kapitaliza ja portfela WIG20,

• I(t = 0) = 1000 - bazowa warto±¢ indeksu z dnia 14 kwietnia

1994,

• K(t) - wspóª zynnik koryguj¡ y indeks.

Kapitaliza ja jest równa:

M(t) =

20∑

i=1

P (i, t)Q(i, t), (2.120)

gdzie:

• P - ena i-tego papieru warto± iowego,

• Q - ilo±¢ ak ji i-tego papieru warto± iowego.


Otrzymujemy

WIG20(t) = 1000

∑20i=1 P (i, t)Q(i, t)

K(t)∑20

i=1 P (i, t = 0)Q(i, t = 0). (2.121)

Spóªki skªadaj¡ e sie na indeks WIG20 wyzna za sie na podstawie

ostatniej sesji sty znia, kwietnia, sierpnia i pa¹dziernika, mog¡

jednak wyst¡pi¢ równie» dodatkowe zmiany. W momen ie zmiany

skªadu indeksu zmienia sie wspóª zynnik K. Nowy wspóª zynnik

jest równy:

K(t) =M(t)

M(t′)K(t′), (2.122)

przy zym K(t = 0) = 1. Poniewa» wyra»enie

∑20i=1 P (i, t =

0)Q(i, t = 0) oraz I(t = 0) = 1000 s¡ staªe otrzymujemy:

WIG20(t) = const20∑

i=1

Q(i, t)

K(t)P (i, t) (2.123)

WIG20(t) = const′20∑

i=1

w(i, t)P (i, t) (2.124)

gdzie:

w(i, t) ∝ Q(i, t)

K(t)(2.125)

w(i, t) to udziaª spóªek w indeksie.

20∑

i=1

w(i, t) = 1 (2.126)

w(i, t) ulega zmianie je±li ulegnie zmianie ilo±¢ ak ji danej spóªki

lub skªad indeksu WIG20. Przeanalizujmy za howanie si� indeksu

WIG20 (rysunek 2.45).

• Po z¡tek notowa« 14 kwietnia 1994 roku.


Rysunek 2.45: indeks WIG20, zaªo»ono t = 0 dla 29 pa¹dziernika 2007 r.

• Indeks osi¡gn¡ª globalne maksimum dnia 29 pa¹dziernika

2007 roku (3935,47 pkt. - kurs otwar ia).

• Nast�pnie nast¡piª ostry spadek do warto± i 1324,74 pkt.

osi¡gni�tej dnia 24 lutego 2009 roku (kurs otwar ia).

• W i¡gu 328 dni indeks spadª o 66% - nast¡piª kra h.

Przeprowadzone badania.

Badano sygnaª antykorela ji w pobli»u globalnego maksimum z 29

pa¹dziernika 2007 roku. Do bada« u»yto skªad indeksu WIG20 z

dnia 29 pa¹dziernika 2007 r. okre±lonego w poni»szej tabel e.


i spóªka w(i) i spóªka w(i)

1 PKOBP 15% 11 POLIMEXMS 2,67%

2 PEKAO 13,89% 12 TVN 2,51%

3 PKNORLEN 12,76% 13 PBG 2,20%

4 KGHM 10,98% 14 CEZ 2,11%

5 TPSA 9,09% 15 Cersanit 2,06%

6 BANKBPH 5,26% 16 Lotos 1,84%

7 BZWBK 4,52% 17 Bioton 1,55%

8 GTC 3,43% 18 Agora 1,42%

9 BRE 3,35% 19 Prokom 1,27%

10 PGNIG 3,29% 20 Polnord 0,78%

Dla aªej historii transak ji ka»dej spóªki zostaª wyli zony wy-

kªadnik Hursta stosuj¡ okno zasowe o dªugo± i N . Nast�pnie

warto±¢ wykªadnika Hursta zostaªa ka»dorazowo przypisana do

ostatniego punktu opisanego wy»ej okna zasowego (dzi�ki zemu

wykªadnik Hursta byª wyli zany z wykorzystaniem dany h prze-

szªy h oraz tera¹niejszy h i mógª by¢ rozpatrywany jako wska¹nik

dla przyszªy h dany h). Nast�pnie badamy szereg zasowy wy-

kªadników H w zupeªnie innym oknie zasowym o dªugo± i t.

De�niujemy:

• RHthreshold

N,i (t) - miar� z�stotliwo± i z jak¡ wykªadnik H wy-

li zony dla okna N (okno zasowe u»yte do wyli zenia wy-

kªadnika dyfuzji z kursów ak ji) oraz i-tej spóªki z indeksu

WIG20 spada poni»ej warto± i progowej Hthreshold w oknie

zasowym o dªugo± i t (okno zasowe u»yte do analizy bada-

ny h warto± i wykªadników dyfuzji);

• ±redni sygnaª antykorela ji w oknie zasowym t oraz dla 20spóªek nale»¡ y h do indeksu WIG20

QHthreshold

N (t) =

∑20i=1R

Hthreshold

N,i (t)

20 t; (2.127)


• ±redni sygnaª antykorela ji uwzgl�dniaj¡ y wagi w(i) (udziaª

i-tej spóªki w indeksie WIG20)

QwHthreshold

N (t) =

∑20i=1w(i)R

Hthreshold

N,i (t)

20 t; (2.128)

• t to okno zasowe u»yte do badania wykªadnika dyfuzji H w

pobli»u globalnego maksimum 29 pa¹dziernika 2007 r.

W elu wyli zenia globalnego sygnaªu antykorela ji dla aªego

okresu notowa« badamy wykªadnik dyfuzji w oknie zasowym o

dªugo± i T odpowiadaj¡ ym aªej historii notowa« 20 spóªek na-

le»¡ y h do indeksu WIG20 (skªad indeksu z dnia 29 pa¹dziernika

2007 r.). De�niujemy:

• ±redni sygnaª antykorela ji - ±rednia po oknie zasowym Toraz 20 spóªka h:

QHthreshold

N (T ) =1

20

20∑

i=1

RHthreshold

N,i (T (i))

T (i); (2.129)

• ±redni sygnaª antykorela ji - uwzgl�dniaj¡ y wagi w(i):

QwHthreshold

N (T ) =1

20

20∑

i=1

w(i)RHthreshold

N,i (T (i))

T (i); (2.130)

• gdzie T (i) to aªy okres notowa« posz zególny h spóªek (i).

W elu wyli zenia wzgl�dnego sygnaªu antykorela ji w oknie za-

sowym o dªugo± i t (w okoli a h globalnego maksimum) od sy-

gnaªu antykorela ji w okoli a h globalnego maksimum odejmu-

jemy globalny sygnaª antykorela ji, de�niujemy:

• wzgl�dna miara antykorela ji bez uwzgl�dnienia wag:

∆QHthreshold

N (t) = QHthreshold

N (t)−QHthreshold

N (T ); (2.131)


-200 -100 0 100 2000,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Q0,.42250 (t)

Q0.42250 (T)

Q0.40250 (t)

Q0.40250 (T)

Q0.38250 (t)

Q0.38250 (T)

Q0.36250 (t)

Q0.36250 (T)

QH

thre

shol

d

250

(t), Q

Hth

resh

old

250

(T)

t

-200 -100 0 100 200-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Q0.42500 (t)

Q0.42500 (T)

Q0.40500 (t)

Q0.40500 (T)

Q0.38500 (t)

Q0.38500 (T)

Q0.36500 (t)

Q0.36500 (T)

QH

thre

shol

d

500

(t), Q

Hth

resh

old

500

(T)

t

Rysunek 2.46: Sygnaª antykorela ji - dla N = 250 (lewy panel), 500 (prawy

panel) bez uwzgl�dnienia wag.

-200 -100 0 100 200-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

Q0.421000(t)

Q0.421000(T)

Q0.401000(t)

Q0.401000(T)

Q0.381000(t)

Q0.381000(T)

Q0.361000(t)

Q0.361000(T)

QH

thre

shol

d

1000

(t), Q

Hth

resh

old

1000

(T)

t-200 -100 0 100 200

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60 Qw0.42

1000(t) Qw0.42

1000(T)

Qw0.401000(t)

Qw0.401000(T)

Qw0.381000(t)

Qw0.381000(T)

Qw0.361000(t)

Qw0.361000(T)

Qw

Hth

resh

old

1000

(t), Q

wH

thre

shol

d

1000

(T)

t

Rysunek 2.47: Sygnaª antykorela ji - dla N = 1000 z uwzgl�dnieniem (lewy

panel) oraz bez uwzgl�dnienia wag (prawy panel).


-200 -100 0 100 200-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

Qw

Hth

resh

old

250

(t), Q

wH

thre

shol

d

250

(T)

Qw0.42250 (t)

Qw0.42250 (T)

Qw0.40250 (t)

Qw0.40250 (T)

Qw0.38250 (t)

Qw0.38250 (T)

Qw0.36250 (t)

Qw0.36250 (T)

t-200 -100 0 100 200

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

Qw

Hth

resh

old

500

(t), Q

wH

thre

shol

d

500

(T)

Qw0.42500 (t)

Qw0.42500 (T)

Qw0.40500 (t)

Qw0.40500 (T)

Qw0.38500 (t)

Qw0.38500 (T)

Qw0.36500 (t)

Qw0.36500 (T)

t

Rysunek 2.48: Sygnaª antykorela ji - dla N = 250 (lewy panel), 500 (prawy

panel) z uwzgl�dnieniem wag.

-200 -100 0 100 200-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

QH

thre

shol

d

250

(t)

t

Q0.42250

(t) Q0.40

250(t)

Q0.38250

(t) Q0.36

250(t)

-200 -100 0 100 200-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

QH

thre

shol

d

500

(t)

Q0.42500

(t) Q0.40

500(t)

Q0.38500

(t) Q0.36

500(t)

t

Rysunek 2.49: Wzgl�dny sygnaª antykorela ji - dla N = 250 (lewy panel),

500 (prawy panel) bez uwzgl�dnienia wag.

-200 -100 0 100 200-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

Q0.421000

(t) Q0.40

1000(t)

Q0.381000

(t) Q0.36

1000(t)

QH

thre

shol

d

1000

(t)

t

-200 -100 0 100 200-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

Qw

Hth

resh

old

1000

(t)

Qw0.421000

(t) Qw0.40

1000(t)

Qw0.381000

(t) Qw0.36

1000(t)

t

Rysunek 2.50: Wzgl�dny sygnaª antykorela ji - dla N = 1000 z uwzgl�dnie-

niem (lewy panel) oraz bez uwzgl�dnienia wag (prawy panel).


-200 -100 0 100 200-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Qw0.42250

(t) Qw0.40

250(t)

Qw0.38250

(t) Qw0.36

250(t)

Qw

Hth

resh

old

250

(t)

t-200 -100 0 100 200

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50 Qw0.42

500(t)

Qw0.40500

(t) Qw0.38

500(t)

Qw0.36500

(t)

Qw

Hth

resh

old

500

(t)

t

Rysunek 2.51: Wzgl�dny sygnaª antykorela ji - dla N = 250 (lewy panel),

500 (prawy panel) z uwzgl�dnieniem wag.

• wzgl�dna miara antykorela ji z uwzgl�dnieniem wag:

∆QwHthreshold

N (t) = QwHthreshold

N (t)−QwHthreshold

N (T ). (2.132)

Przypomnijmy t = 0 dla 29 pa¹dziernika 2007 r. Im wi�k-

sze ∆QHthreshold

N (t) oraz ∆QwHthreshold

N (t) tym silniejszy wzgl�dny

sygnaª antykorela ji dla okna zasowego t w pobli»u globalnego

maksimum. Komentuj¡ rysunki (2.46 - 2.51) nale»y zauwa»y¢

twierdzono sygnaª antykorela ji dla nast�puj¡ y h parametrów:

• okna zasowego u»ytego do wyli zenia wykªadnika dyfuzji:

N = 250, 500, 1000,

• drugiego okna zasowego u»ytego do analizy wykªadnika dy-

fuzji w okoli a h globalnego maksimum w przedziale: −50 ≤t ≤ 50; ujemna warto±¢ t ozna za okno zasowe ko« z¡ e

si� w punk ie globalnego maksimum, a dodatnia warto±¢ tto okno zasowe za zynaj¡ e si� w punk ie globalnego mak-

simum (np. dla t = −50 badamy wykªadnik dyfuzji w 50

punktowym oknie zasowym ko« z¡ ym si� w punk ie glo-

balnego maksimum natomiast dla t = 10 badamy wykªadnik

dyfuzji w 10 punktowym oknie zasowym za zynaj¡ ym si�

w punk ie globalnego maksimum);


• warto± i progowej wykªadnika dyfuzji po której rejestrujemy

sygnaª antykorela ji w przedziale 0, 38 ≤ Hthreshold ≤ 0, 42,dodatkowo stwierdzono sªaby sygnaª antykorela ji dlaHthreshold =

0, 36 (rysunki 2.49 - 2.51).

Aby uzupeªni¢ badania, sporz¡dzono znormalizowany skumu-

lowany rozkªad prawdopodobie«stwa warto± i wykªadnika H dla

opisany h ni»ej parametrów (rysunki 2.52 - 2.57).

• U»yto nast�puj¡ y h okien zasowy h do obli zenia wykªad-

nika dyfuzji N = 250, 500, 1000,

• wykªadnik H wyli zono osobno dla ka»dej z 20 spóªek nale-

»¡ y h do indeksu WIG20,

• wykªadnik wyli zono za okres w pobli»u globalnego maksi-

mum z dnia 29 pa¹dziernika 2007 roku, o mo»na opisa¢ przez

t = −50,−10, 10, 50,

• dla porównania wyli zono wykªadnik H za aªy okres handlu

spóªkami opisany jako T .

Wyli zono:

• HN(T ) - wykªadnik Hursta H za aªy okres notowa« wszyst-

ki h spóªek z WIG20 (skªad indeksu z dnia 29 pa¹dziernika

2007 r),

• HN(t) - wykªadnik H dla wszystki h spóªek z WIG20 (za

okres t w pobli»u globalnego maksimum - t = 0 dla 29 pa¹-

dziernika 2007 r),

• HN(T )shuff

- wykªadnikH za aªy okres notowa« wszystki h

spóªek z WIG20, wyli zony z u»y iem sztu znego szeregu en

powstaªego po losowym wymieszaniu stóp zwrotu (pro edura

zostaªa opisana poni»ej),


• HN(t) - wykªadnik H dla wszystki h spóªek z WIG20 (za

okres t), wyli zony z u»y iem sztu znego szeregu en powsta-

ªego po losowym wymieszaniu stóp zwrotu.

Badanie te zostaªy zainspirowane wynikami bada« Gieªdy Papie-

rów Warto± iowy h w Pradze

8

. Stwierdzono tu sygnaª antykorela-

ji zarówno dla dany h przed zbli»aj¡ ym si� kryzysem, jak rów-

nie» dla dany h powstaªy h po losowym wymieszaniu stóp zwrotu.

To drugie spostrze»enie pokazaªo, »e wykªadnik Hursta nie jest

uniwersalnym narz�dziem stosowanym do analizy rynku �nanso-

wego, gdy» wskazuje sygnaªy antykorela ji dla szeregów stworzo-

ny h losowo. Jednak»e nasze badania przedstawione w skryp ie

wskazuj¡ na sygnaª antykorela ji który jest silniejszy dla dany h

pierwotny h ni» dla dany h powstaªy h po losowym wymieszaniu

stóp zwrotu - poniewa» H < Hshuff. Powoªuj¡ si� na analiz�

GPW w Pradze nale»aªoby równie» szuka¢ inny h ni» sygnaª an-

tykorela ji przy zyn spadku wykªadnika Hursta. Tak¡ przy zyn¡

mog¡ by¢ multifraktalne wªa± iwo± i dany h �nansowy h (wªa± i-

wo± i polegaj¡ e na tym, »e dane �nansowe s¡ opisane nie jednym

ale kilkoma wykªadnikami Hursta)

9

. Poni»ej przedstawimy krótki

opis wªa± iwo± i multifraktalny h oraz pro edur� sprawdzenia zy

spadek wykªadnika Hursta jest spowodowany sygnaªem antyko-

rela ji zy innym zjawiskiem (np. wªa± iwo± iami multifraktal-

nymi).

Rozwa»my ukªad zªo»ony w którym:

• konwen jonalne podej± ie skalowania nie mo»e w peªni opi-

sa¢ ukªadu (dla dany h �nansowy h mo»e wyst�powa¢ wiele

ró»ny h wykªadników Hursta),

• niesko« zenie wiele wykªadników hierar hi zny h ζk jest po-

trzebne aby opisa¢ skalowanie si� kolejny h k-ty h momentów

8

L. Kristoufek, �o al S aling Properties and Market Turning Points at Prague Sto k

Ex hange", A ta Physi a Poloni a B, Vol. 41 (2010) No. 6

9

G.L. Vas on elos �A Guided Walk Down Wall Street: an Introdu tion to E onophy-

si s�, Brazilian Journal of Physi s 34 (2004) 1039


rozkªadu prawdopodobie«stwa

∑

α αkρ(α),

• je±li zaªo»ymy, »e L to wymiar liniowy ukªadu a α to inte-

resuj¡ a nas zmienna opisuj¡ a ukªad, to k-ty moment roz-

kªadu prawdopodobie«stwa skaluje si� w nast�puj¡ y sposób

∑

α αkρ(α) ∝ Lζk .

Wgª�biaj¡ si� w analiz� dany h �nansowy h nale»y przeanalizo-

wa¢, zy spadek wykªadnika dyfuzji (H) jest spowodowany sy-

gnaªem ujemnej autokorela ji zy wªasno± iami multifraktalnymi.

We¹my badany zakres kursów ak ji - okno o dªugo± i M (trze-

ie okno zasowe nie zwi¡zane ani z oknem N ani z oknem t).Okre±lmy:

• P0 - ena dla t = 0,

• PM - ena dla t = M ,

• ∆Pi - zmiana eny,

• Pt = P0 +∑t

i=1∆Pi,

• PM = P0 +∑M

i=1∆Pi,

• zestawmy wszystkie warto± i ∆Pi,

• losowo wymieszajmy je, otrzymuj¡ ∆P shuffi ,

• utwórzmy sztu zny szereg en P shufft = P0+

∑ti=1∆P shuff

i ,

• przy zym PM = P shuffM ,

• wyli zmy wykªadnik Hshuffdla P shuff

t oraz porównajmy go

z H wyli zonym w ze±niej,

• mo»emy rozpatrzy¢ warunek antykorela ji H < Hshuff(sil-

niejszy dla fakty zny h dany h ni» dla dany h losowy h).

Analizuj¡ rysunki 2.52 - 2.57, mo»na powiedzie¢, »e dla wszyst-

ki h parametrów przedstawiony h na rysunka h za hodzi:


0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H250

(T)

Hshuf250

(T) H

250(t = 10)

Hshuf250

(t = 10)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H250

(T, t = 10)0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H250

(T)

Hshuf250

(T) H

250(t = -10)

Hshuf250

(t = -10)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H250

(T, t = -10)

Rysunek 2.52: Skumulowany rozkªad prawdopodobie«stwa

HN(T ), HN(t), HshuffN (T ), Hshuff

N (t) dla N = 250, t = 10 (lewy panel),

t = −10 (prawy panel).

0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H250

(T)

Hshuf250

(T) H

250(t = 50)

Hshuf250

(t = 50)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H250

(T, t = 50)0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H250

(T)

Hshuf250

(T) H

250(t =-50)

Hshuf250

(t = -50)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H250

(T, t = -50)






0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H500

(T)

Hshuf500

(T) H

500(t = 10)

Hshuf500

(t = 10)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H500

(T, t = 10)0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H500

(T)

Hshuf500

(T) H

500(t = -10)

Hshuf500

(t = -10)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H500

(T, t = -10)





0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H500

(T)

Hshuf500

(T) H

500(t = 50)

Hshuf500

(t = 50)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H500

(T, t = 50)0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H500

(T)

Hshuf500

(T) H

500(t = -50)

Hshuf500

(t = -50)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H500

(T, t = -50)






0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H1000

(T)

Hshuf1000

(T) H

1000(t = 10)

Hshuf1000

(t = 10)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H1000

(T, t = 10)0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H1000

(T)

Hshuf1000

(T) H

1000(t = -10)

Hshuf1000

(t = -10)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H1000

(T, t = -10)





0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H1000

(T)

Hshuf1000

(T) H

1000(t = 50)

Hshuf1000

(t = 50)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H1000

(T, t = 50)0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H1000

(T)

Hshuf1000

(T) H

1000(t = -50)

Hshuf1000

(t = -50)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H1000

(T, t = -50)






• HN(t) < HN(T ),

• HN(t) < HshuffN (t),

• HN(t) < HshuffN (T ).

Dlatego te» wnioskujemy, »e stwierdzono sygnaª antykorela ji w

okoli a h globalnego maksimum indeksuWIG20. Najbardziej istotny

sygnaª zaobserwowano dla N = 250 lub 500 i t ≤ 50 (rysunki

2.49, 2.51, 2.52 - 2.55). Dalsze badania zostaªy przeprowadzone

dla H250(t = −50) oraz H250(T ) gdy» wtedy dane byªy najbar-

dziej �gªadkie�. DlaH250(T ) sporz¡dzono znormalizowany rozkªad

prawdopodobie«stwa, dopasowano nast�puj¡ e krzywe:

• Gaussa,

• q-Gaussa,

• pseudo-Voighta,

które zostan¡ opisane poni»ej.

Rozkªad Gaussa, dla zmiennej H o warto± i h jest opisany

równaniem:

ρ(h) =A

w√

π2

exp(

− 2(h− h0)

2

w2

)

, (2.133)

jest to to»same z:

ρ(h) =A

σ√2π

exp−(h− h0)2

2σ2, (2.134)

gdzie w = 2σ. Poniewa» rozkªad jest znormalizowany A = 1.

Dopasowuj¡ krzyw¡ Gaussa do dany h H250(T ) (rysunek 2.58)

otrzymano:

• w = 0, 1587± 0, 0009,

• h0 = 0, 479± 0, 006,


0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0

1

2

3

4

5

6

Data: Data1_CModel: Gauss y No weighting

2/DoF = 0.01848R2 = 0.99398 y0 = 0x0 = 0.4786 ± 0.0006w = 0.1587 ± 0.0009A = 1

norm

aliz

ed fr

eque

ncy

H250

(T)0,2 0,4 0,6 0,8 1

1E-3

0,01

0,1

1

10

Data: Data1_CModel: Gauss y No weighting

2/DoF = 0.01848R2 = 0.99398 y0 = 0x0 = 0.4786 ± 0.0006w = 0.1587 ± 0.0009A = 1

H250

(T)

norm

aliz

ed fr

eque

ncy

Rysunek 2.58: Dopasowanie rozkªadu Gaussa.

• wspóª zynnik opisuj¡ y jako±¢ dopasowania R2 = 0, 9940.

rozkªad q-Gaussa, dla zmiennej H o warto± i h jest opisany rów-

naniem:

ρ(h) = A(

1− (1− q)β(h− h0)2)

1q−1

(2.135)

Dopasowuj¡ krzyw¡ q-Gaussa do dany h H250(T ) (rysunek 2.59)

otrzymano:

• q = 1, 07± 0, 03,

• β = 84± 2,

• h0 = 0, 479± 0, 006,


Rozkªad pseudo-Voighta jest wa»on¡ ±rednia rozkªadu Gaussa i

rozkªadu Lorentza, ma on zastosowanie w przybli»aniu rozkªadu

Voight - splotu rozkªadu Gaussa i Lorentza. Rozkªad pseudo Vo-

ighta dla zmiennej H o warto± i h jest opisany równaniem:

ρ(h) = A

(

2µ

π

wL

4(h− h0)2 + w2L

+(1+µ)

√4 ln 2√πwG

exp

(

−(h− h0)2

w2G

)

)

.

(2.136)


0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0

1

2

3

4

5

6

H250

(T)

norm

aliz

ed fr

eque

ncy

Data: Data1_CModel: q-GaussWeighting: y No weighting

DoF = 0.01766R2 = 0.99429 y0 = 0q = 1.07 ± 0.03

= 84 ± 2x0 = 0.4786 ± 0.0006A = 5

0,2 0,4 0,6 0,8 11E-3

0,01

0,1

1

10

Data: Data1_CModel: q-GaussWeighting: y No weighting

DoF = 0.01766R2 = 0.99429 y0 = 0q = 1.07 ± 0.03

= 84 ± 2x0 = 0.4786 ± 0.0006A = 5

H250

(T)

norm

aliz

ed fr

eque

ncy

Rysunek 2.59: Dopasowanie rozkªadu q-Gaussa.

Zastosowano rozkªad pseudo-Voighta poniewa» zarówno rozkªad

Gaussa jak i Lorentza miaª zastosowanie w modelowaniu dany h

�nansowy h. Rozkªad Voighta lub pseudo-Voighta ma zastosowa-

nie w �zy e:

• w wielu gaª�zia h spektroskopii,

• w dyfrak ji.

Dopasowano krzyw¡ pseudo Voighta do dany h H250(T ) (rysunek2.60) (poniewa» rozkªad jest znormalizowany A = 1), otrzymano:

• wG = 0, 193± 0, 001,

• wL = 0, 028± 0, 004,

• µ = 0, 039± 0, 06,

• h0 = 0, 4786± 0, 0004,


Dyskusja:

• Najlepszy wspóª zynnik R2otrzymano dla rozkªadu pseudo

Voighta.


0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0

1

2

3

4

5

6

Data: Data1_CModel: PsdVoigt2Weighting: y No weighting

2/DoF = 0.00805R2 = 0.99741 y0 = 0x0 = 0.4786 ±0.0004A = 1 wG = 0.193 ± 0.001wL = 0.028 ± 0.004

= 0.039 ± 0.006

norm

aliz

ed fr

eque

ncy

H250

(T)0,2 0,4 0,6 0,8 1

1E-3

0,01

0,1

1

10

Data: Data1_CModel: PsdVoigt2Weighting: y No weighting

2/DoF = 0.00805R2 = 0.99741 y0 = 0x0 = 0.4786 ±0.0004A = 1 wG = 0.193 ± 0.001wL = 0.028 ± 0.004

= 0.039 ± 0.006norm

aliz

ed fr

eque

ncy

H250

(T)

Rysunek 2.60: Dopasowanie rozkªadu pseudo Voighta.

• Rozkªad q-Gaussa najlepiej opisuje warto± i ekstremalne, tj.

�grube ogony� (rysunek 2.58 - 2.60 w skali logarytmi znej).

• Najmniejsz¡ warto±¢ R2otrzymano dla rozkªadu Gaussa.

Sporz¡dzono równie» znormalizowany rozkªad prawdopodobie«-

stwa dla H250(T ) oraz H250(t = −50) - rysunek 2.61. Wy i¡gni�to

nast�puj¡ e wnioski:

• rozkªad prawdopodobie«stwa wspóª zynnika H250(t = −50)

(dla 50 pkt. okna ko« z¡ ego si� 29 pa¹dziernika 2007r.) ma

zna znie mniejsz¡ warto±¢ modaln¡ ni» H250(T ),

• warto±¢ wspóª zynnikaH250(t = −50) jest statysty znie mniej-

sza ni» warto±¢ wspóª zynnika H250(T ); pierwszy wspóª zyn-nik osi¡gn¡ warto±¢ modaln¡ dlaH250(t = −50) ≈ 0.38, pod-

zas gdy drugi osi¡gn¡ warto±¢ modaln¡ dla H250(T ) = 0, 5.

Dlatego mo»na potwierdzi¢, i» w 50 pkt. (25 dni) oknie przed

globalnym maksimum indeksu WIG20 stwierdzono sygnaª anty-

korela ji.

2.5. TEORIA CHAOSU: DYNAMIKA W DYSKRETNYM CZASIE. 101

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

H250

(T) H

250(t = -50)

norm

aliz

ed fr

eque

ncy

H250

(T, t = -50)

Rysunek 2.61: Znormalizowany rozkªad prawdopodobie«stwa dla H250(T )oraz H250(t = −50).

2.5 Teoria haosu: dynamika w dyskretnym za-

sie.

2.5.1 Zagadnienia fraktali, wymiaru fraktalnego oraz ano-

malnej dyfuzji na fraktala h.

Literatura

10

.

Bª¡dzenie przypadkowe.

• W jednost e zasu obiekt wykonuje krok w losowo wybranym

kierunku,

• ru h odbywa si� z równym prawdopodobie«stwem w ka»dym

kierunku nale»¡ ym do przestrzeni dyfuzji,

10

S.Havlin, D.Ben-Avraham �Difusion in disordered media� Advan es in Physi s, Vol.

51 - No. 1, (2002)


• w ukªada h zªo»ony h nie aªe najbli»sze oto zenie obiektu

nale»y do przestrzeni dyfuzji.

Podstawowym �zy znym parametrem okre±laj¡ ym bª¡dzenie przy-

padkowe jest ±rednia droga kwadratowa 〈R2(n)〉 = E[x2(n)] pon kroka h lub zasie t = n (za zynamy z punktu x = 0). Przy-

pomnijmy je±li xi xj to kolejne kroki, ±rednia droga kwadratowa

〈R2(n)〉 jest opisana przez równanie:

〈R2(n)〉 = 〈n∑

j=0

x2i 〉+ 2〈

n∑

i>j

xixj〉. (2.137)

Czªon 〈∑ni>j xixj〉 odpowiada za autokorela je. Je±li w ukªa-

dzie nie wyst�puj¡ autokorela je zªon ten ±redniuje si� do zera

〈∑ni>j xixj〉 = 0 oraz otrzymujemy 〈R2(n)〉 ∝ n.

Skalowanie.

Zaªó»my, »e r to droga przebyta pod zas normalnej dyfuzji w

zasie t. Je±li przeskalujemy zas t o warto±¢ λ otrzymujemy na-

st�puj¡ e wªa± iwo± i skalowania:

• t → λt,

• r → λ12r,

• patrz¡ odwrotnie, po przeskalowaniu przestrzeni o λ12ilo±¢

kroków zmieni si� o λ,

• wymiar fraktalny bª¡dzenia przypadkowego wynosi dw = lnλ

lnλ12=

2,

• ogólnie, aby wyzna zy¢ wymiar fraktalny dw skalujemy uogól-

nion¡ �mas�� M (w naszym przypadku odpowiadaj¡ ¡ ilo± i

kroków) z wymiarem liniowym L, otrzymujemy M ∼ Ldw.


Bª¡dzenie przypadkowe na struktura h zªo»ony h, statysty znie

samopodobny h, jest w dalszym i¡gu samopodobne. Jedyna ró»-

ni a jest taka, »e we wzorze:

〈R2(n)〉 ∼ n2dw

lub 〈R2(t)〉 ∼ t2dw

(2.138)

dla fraktali dw 6= 2, gdzie dw to wymiar fraktalny bª¡dzenia przy-

padkowego na fraktalu, którego nie nale»y myli¢ z wymiarem frak-

talnym samego fraktala df .

Fraktale.

Podstawowe wªasno± i fraktali

• samopodobne obiekty matematy zne z wymiarem który nie

jest li zb¡ aªkowit¡,

• fraktale w »adnym punk ie nie s¡ gªadkie.

Przykªady fraktali:

• Krzywa Ko ha zostaªa przedstawiona na rysunku 2.62, jej

wymiar fraktalny obli za si� stosuj¡ nast�puj¡ ¡ pro edur�:

� je±li powi�kszymy wymiar liniowy 3 razy, fraktal wzro-

±nie 4 razy,

� wymiar fraktalny 3df = 4,

� df = ln 4ln 3

= 1, 262.

• Sze± ian Sierpi«skiego zostaª przedstawiony na rysunku 2.63,

jego wymiar fraktalny obli za si� stosuj¡ nast�puj¡ ¡ pro-

edur�:

� je±li powi�kszymy wymiar liniowy 3 razy, fraktal wzro-

±nie 20 razy,

� 3df = 20,

� df = ln 20ln 3

= 2, 727


Rysunek 2.62: Krzywa Ko ha - ¹ródªo Wikipedia.

Rysunek 2.63: Sze± ian Sierpi«skiego - ¹ródªo Wikipedia.


Rysunek 2.64: Trójk¡t Sierpi«skiego w 2D (wraz z konstruk j¡) oraz 3D -

¹ródªo Wikipedia.

Trójk¡t Sierpi«skiego.

Konstruk ja trójk¡ta Sierpi«skiego przedstawiona jest na rysunku

2.64:

• bierzemy trójk¡t równobo zny,

• dzielimy go na 4 równe trójk¡ty,

• usuwamy ±rodkowy trójk¡t,

• pro edur� powtarzamy dla ka»dego z pozostaªy h trójk¡tów,

• pro edur� powtarzamy do niesko« zono± i.

Wymiar fraktalny trójk¡ta Sierpi«skiego obli za si� stosuj¡ po-

ni»sz¡ pro edur�:

• je±li powi�kszymy wymiar liniowy 2 razy, fraktal wzro±nie 3

razy,


• 2df = 3,

• df = ln 3ln 2 = 1, 585,

• wªasno±¢ - sko« zone rozgaª�zienie.

Statysty zne fraktale.

Przedstawili±my przykªady deterministy zny h (matematy znie zde-

�niowany h) fraktali. Istnieje wiele obiektów które maj¡ e hy

samo podobie«stwa harakterysty zne dla fraktali w sensie staty-

sty znym. Dla ty h obiektów wymiar fraktalny obli za si� badaj¡

jak i h �masa� skaluje si� z wymiarem liniowym M ∼ Ldf . Przy-kªady statysty zny h fraktali w przyrodzie:

• wiele polimerów,

• powierz hnia hmur,

• powierz hnia ksi�»y a,

• pªatki sniegu.

Modele �zy zne wykorzystuj¡ e fraktale opisuj¡: agregaty (zlepek

z¡ste zkowy, w którym z¡ste zki s¡ utrzymywane siªami Van

der Waals'a), przebi ia dielektry zne, pro es wzrostu, »elowanie,

porowate o±rodki, polimery.

Anomalna dyfuzja na fraktala h:

Prosz� si� zastanowi¢, zy pod zas dyfuzji kursów ak ji (np. wzdªu»

linii trendu) mog¡ w pewnym momen ie wyst¡pi¢ utrudnienia pu-

ªapki i dziury na wszystki h skala h dªugo± i? Je±li tak, to o

mog¡ one spowodowa¢?

Anomalna dyfuzja sªu»y modelowaniu dyfuzji w zªo»ony h/

nieuporz¡dkowany h o±rodka h. Pomimo, »e sie¢ fraktalna nie

odpowiada budowie ukªadu zªo»onego, dyfuzja na fraktala h ma


podobne wªa± iwo± i jak dyfuzja w ukªada h zªo»ony h. W obu

przypadka h wyst�puj¡ utrudnienia, puªapki i dziury na wszyst-

ki h skala h dªugo± i (jako przykªad �zy zno mo»na poda¢ �szyjki

od butelki� wyst�puj¡ e np. pod zas dyfuzji na klastera h / agre-

gata h z¡stek). Dyfuzj� najlepiej analizuje si� jako dyfuzj� na

sie i fraktalnej sko« zenie rozgaª�zionej, w dalszej z�± i b�dziemy

analizowa¢ dyfuzj� na trójk¡ ie Sierpi«skiego. Wyobra¹my so-

bie bª¡dzenie przypadkowe na trójk¡ ie Sierpi«skiego. Po t kro-

ka h ±rednie kwadratowe od hylenie jest opisane przez równanie

〈R(t)2〉 ∝ t2dw , gdzie dw - wymiar fraktalny trajektorii bª¡dze-

nia przypadkowego. Wymiar fraktalny dw mo»na obli zy¢ metod¡

symula ji wedªug poni»szego s hematu.

• Analizujmy trajektorie bª¡dzenia przypadkowego na trójk¡-

ie Sierpi«skiego za zynaj¡ e sie we wspólnym po z¡tku,

• dla danego t li zymy ±rednie kwadratowe od hylenie 〈R(t)2〉i li zymy ±redni¡ po trajektoria h,

• rysujemy wykres ln〈R(t)2〉12w funk ji ln t

• wyzna zamy dw metod¡ regresji liniowej.

Wymiar dw mo»na równie» obli zy¢ metod¡ renormaliza ji wedªug

poni»szego s hematu zobrazowanego na rysunku 2.65.

• Rozwa»my zas T potrzebny do przeby ia drogi z górnego

wierz hoªka trójk¡ta do jednego z punktów O,

• przeskalujmy trójk¡t o zynnik liniowy ×2,

• zas potrzebny na przeby ie nowego trójk¡ta to T ′ = T +A,

• A - ±redni zas potrzebny do przeby ia dolnej z�± i trójk¡ta.

Poniewa»:

• z punktu A mo»emy i±¢ w 4 strony, 4A = 4T +A+B + T ′,


Rysunek 2.65: Renormaliza ja dla Trójk¡ta Sierpi«skiego - ¹ródªo - S.Havlin,

D.Ben-Avraham �Difusion in disordered media� Advan es in Physi s, Vol. 51

- No. 1, (2002).

• z punktu B mo»na i±¢ w 4 strony, 4B = 4T + 2A.

Otrzymujemy:

T' = T + A

4A = 4T + A + B +T'

4B = 4T + 2A

T' = 5T

A = 4T

B = 3T

Je±li przeskalujemy wymiar liniowy trójk¡ta Sierpi«skiego 2

razy, zas potrzebny to przeby ia trójk¡ta zwi�kszy si� 5 razy.

Dlatego wymiar fraktalny dyfuzji na trójk¡ ie Sierpi«skiego wy-

niesie dw = ln 5ln 2 = 2, 322. Przypomnijmy wymiar fraktalny trój-

k¡ta Sierpi«skiego który wynosi df = ln 3ln 2 = 1, 585.

Dla wielowymiarowego trójk¡ta Sierpi«skiego (rysunek 2.64)

mamy:

df =ln(d+ 1)

ln 2(2.139)


dw =ln(d+ 3)

ln 2(2.140)

2.5.2 Zagadnienia momentów rozkªadów prawdopodo-

bie«stwa, wykªadników hierar hi zny h, multifrak-

tali oraz i h zastosowanie do analizy GPW.

Momenty rozkªadu prawdopodobie«stwa - dygresja matematy zna.

Ch ieliby±my przywoªa¢ w tym miejs u zna zenie 4 pierwszy h

momentów rozkªadów prawdopodobie«stwa.

• 1 moment E(X) - ±rednia X = E(X),

• 2 moment E(X2) - warian ja σ2 = E((X−X)2), je»eli X2 =

0 to σ2 = E(X2),

• 3 moment E(X3) - asymetria γ = E((X−Xσ2 )3),

• 4 moment E(X4) - kurtoza γ2 =E((X−X)4)

σ2 − 3,

• mo»na bada¢ równie» wy»sze momenty.

Sie¢ losowy h oporników.

Rozwa»my klaster perkola yjny dla p = pc = 0, 59, - rysunek 2.66

(p to prawdopodobie«stwo z jakim dany w�zeª w sie i kwadra-

towej jest zapeªniony, natomiast pc = 0, 59, to grani zne praw-

dopodobie«stwo przy którym tworzy si� niesko« zony klaster za-

peªniony h w�zªów, samopodobny na wszystki h skala h dªugo-

± i). Zaªó»my, »e ka»de poª¡ zenie s¡siaduj¡ y h zapeªniony h

w�zªów klastera to jednostkowy opornik oraz podª¡ zamy napi�-

ie do dwó h prze iwlegªy h ko« ów klastera.

• Zde�niujmy Vi jako spadek napi� ia na i-tym poª¡ zeniu,

• rozkªad prawdopodobie«stwa ρ(Vi) ma bardzo grube ogony i

bardzo ró»ni sie od rozkªadu Gaussa.


Rysunek 2.66: Klaster perkola yjny, ¹ródªo - S.Havlin, D.Ben-Avraham �Di-

fusion in disordered media� Advan es in Physi s Vol. 51 - No. 1, (2002).

Zde�niujmy α = Vi

Vmax, gdzie Vmax to najwi�kszy spadek napi�-

ia który wyst�puje na bezpo±rednim poª¡ zeniu. Rozwa»my roz-

kªad g�sto± i prawdopodobie«stwa ρ(α), którego k-ty moment jest

równy: αk ≡ 〈αk〉 = E(αk) =∑

α αkρ(α). Zde�niujmy wykªad-

niki hierar hi zne ζk takie, »e αk ∝ Lζk, gdzie L to wymiar liniowy

klastera perkola yjnego. Kilka wykªadników ζk ma zna zenie �-

zy zne:

• α0 =∑

α ρ(α) ∝ Lζ0- zli za wszystkie poª¡ zenia sie i elek-

try znej,

• α2 =∑

α α2ρ(α) ∝ Lζ2

- jest propor jonalne do oporu kla-

stera,

• α4 =∑

α α4ρ(α) ∝ Lζ4

- opisuje �uktua je aªkowitego

oporu klastera - elektry zny szum,

• α∞ ∝ Lζ∞- bierze pod uwag� tylko bezpo±rednie poª¡ zenie,

• dla losowej sie i oporników otrzymujemy nieko« zenie wiele

wykªadników opisuj¡ y h ró»ne momenty αk.

Multifraktale:


• konwen jonalne podej± ie skalowania nie opisuje w peªni ukªadu,

• niesko« zenie wiele ró»ny h od siebie wykªadników hierar-

hi zny h ζk jest potrzebne aby opisa¢ skalowanie ró»ny h

momentów rozkªadu prawdopodobie«stwa ρ(α) (posiadaj¡-

y h ró»ne wªa± iwo± i �zy zne).

Wykªadnik Hursta wyli zony dla dany h �nansowy h e huje sie

du»¡ zmienno± i¡. Dlatego wskazuje on jedynie rodzaj ±redniego

za howania si� kursów ak ji. Dane �nansowe mog¡ by¢ modelo-

wane lepiej jako pro es multifraktalny.

Pro es multifraktalny.

Rozpatrzmy pro es monofraktalny z¡stkowy h ru hów Browna

- WH(t). Jest on s harakteryzowany przez jeden wykªadnik H

(bada on skalowanie 2 momentu rozkªadu prawdopodobie«stwa):

√

〈RH(t)2〉 =√

E[W 2H(t)] = tH , (2.141)

Rozpatrzmy pro es multifraktalny. Wprowad¹my uogólnione wy-

kªadnik Hursta Hq odpowiadaj¡ e za skalowanie 2q momentów

rozkªadu:

(

E[W 2qH (t)]

)1/2q

= CqtHq , (2.142)

gdzie Cq to staªe. Metoda (DFA) u»ywana do wyli zanie mono-

fraktalnego wykªadnika H mo»e by¢ równie» u»yta do wyli zenia

multifraktalnego wykªadnika Hq,

Fq(τ) =

(∑τt=1(ptrend(t, τ)− p(t))2q

τ

)12q

. (2.143)

Co mo»emy porówna¢ z metod¡ monofraktaln¡:

F (τ) =

(∑τt=1(ptrend(t, τ)− p(t))2

τ

)12

. (2.144)


W pro esie monofraktalnym wszystkie momenty skaluj¡ sie tak

samo - H = Hq = const. W pro esie multifraktalnym wykªadnik

Hq zmienia swoj¡ warto±¢ wraz ze zmian¡ q.

Wskazówka prakty zna - analiza kursów ak ji.

Nale»y przeanalizowa¢, zy spadek wykªadnika dyfuzji (H) jest

spowodowany sygnaªem ujemnej autokorela ji zy wªasno± iami

multifraktalnymi. We¹my badany zakres kursów ak ji - okno o

dªugo± i M , gdzie:

• P0 to ena papieru warto± iowego w momen ie t = 0,

• PM to ena papieru warto± iowego w momen ie t = M ,

• ∆Pi = Pi − Pi−1 to zmiana eny papieru warto± iowego,

• Pt = P0 +∑t

i=1∆Pi,

• PM = P0 +∑M

i=1∆Pi,

• zestawmy wszystkie warto± i ∆Pi,

• losowo wymieszajmy je, otrzymuj¡ ∆P shuffi ,

• utwórzmy sztu zny szereg en P shufft = P0+

∑ti=1∆P shuff

i ,

• przy zym PM = P shuffM

• wyli zmy wykªadnik Hshuffdla P shuff

t oraz porównajmy z

H wyli zonym w ze±niej. Skumulowany rozkªad prawdopo-

dobie«stwa dla obu warto± i przedstawiono na rysunku 2.67.

Warto±¢ wykªadnika dyfuzji H bada si� w elu poszukiwania sy-

gnaªów antykorela ji na rynka h papierów warto± iowy h. Jed-

nak»e, aby wyklu zy¢ spadek wykªadnika H który jest spowodo-

wany nie sygnaªem antykorela ji, a wªasno± iami multifraktalnymi

rozkªadu prawdopodobie«stwa ρ(∆P ) - nale»y uwzgl�dni¢ dodat-

kowy warunek:

H < Hshuff(2.145)


Na rysunku 2.67 przedstawiono skumulowany rozkªad prawdo-

podobie«stwa dla Ht oraz Hshufft (wyli zony h dla kursów ak ji

spóªek z WIG 20):

• H500(t = −50), Hshuff500 (t = −50) wyli zono dla (50 punkto-

wego) 25 dniowego okresu poprzedzaj¡ ego zaªamanie rynku

z 29 wrze±nia 2007 r.

• H500(T ), Hshuff500 (T ) wyli zono dla aªej historii notowa«,

• zauwa»yli±my na rysunku, »e H500(t = −50) < Hshuff500 (t =

−50) o ozna za, i» sygnaª antykorela ji zbli»aj¡ ego si� zaªa-mania jest silniejszy dla fakty zny h dany h �nansowy h, ni»

dla dany h w pewnym sensie losowy h (gdzie stopy zwrotu

zostaªy wymieszana losowo, o nie zmienia i h rozkªadu praw-

dopodobie«stwa natomiast zmienia i h kolejno±¢).

0,2 0,4 0,6 0,8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

H500

(T)

Hshuf500

(T) H

500(t = -50)

Hshuf500

(t = -50)

cum

ulat

ive

frequ

ency

H500

(T, t = -50)

Rysunek 2.67: Skumulowany rozkªad prawdopodobie«stwa dla Ht oraz

Hshufft .


2.6 Przej± ia fazowe.

Literatura

11

; zmiany kursów papierów warto± iowy h zale»¡ od

popytu i poda»y. Je±li popyt przewy»sza poda» (ilo±¢ kupuj¡ y h

jest wi�ksza od ilo± i sprzedaj¡ y h) ena ro±nie, natomiast je±li

poda» przewy»sza popyt (ilo±¢ sprzedaj¡ y h jest wi�ksza od ilo± i

kupuj¡ y h) ena maleje. Silny spadek (zaªamanie rynku) wyst�-

puje, je±li du»a ilo±¢ gra zy jedno ze±nie de yduje si� na sprze-

da». Obserwuj¡ za howania rynków mo»na wywnioskowa¢, i»

zaªamania wyst�puj¡ systematy znie po okresie ekonomi znej eu-

forii, pod zas której tworz¡ si� ba«ki spekula yjne (gra ze kupuj¡

papiery warto± iowe aby je potem odsprzeda¢ po jesz ze wy»szej

enie, nie odzwier iedlaj¡ ej i h nominalnej warto± i).

Zwró¢my uwag� na analogi� pomi�dzy zaªamaniem si� rynku

a przej± iem fazowym. Pro es wrzenia - kondensa ji, topienia

si� - zamarzania, sublima ji - resublima ji, w którym wyst�puj¡

zmiany w obj�to± i i entropii, to przykªad przej± ia fazowego pierw-

szego rodzaju. Wyst�puje tu skokowa zmiana obj�to± i V = (∂G∂P

)Ti entropii S = −(∂G∂T )P - pierwszy h po hodny h funk ji Gibbsa

G:

dG = V dP − SdT −∑

i

Xidxi +∑

j

µjdNj, (2.146)

T to temperatura, xi zewn�trzne zmienne (np. pole magnety zne),

Xi odpowiadaj¡ uogólnione siªy, µj to poten jaª hemi zny, a Nj

ilo±¢ dodany h z¡stek.

• Pod zas przej± ia fazowego pierwszego rodzaju nowa faza

tworzy si� powoli wraz z dostar zeniem lub odbieraniem ener-

gii z ukªadu (w trak ie przej±¢ fazowy h wy»szego rodzaju

entropia i obj�to±¢ pozostaj¡ niezmienione).

11

M.Gligor, M.Ignat �E onophysi s: a New Field for Statisti al Physi s"Interdis iplinary

S ien e Review Vol. 26, Nn. 4 (2001)

2.6. PRZEJ�CIA FAZOWE. 115

Rysunek 2.68: Wykres za howania si� iepªa wªa± iwego

4He w funk ji tem-

peratury - ¹ródªo - M.Gligor, M.Ignat �E onophysi s: a New Field for Stati-

sti al Physi s"Interdis iplinary S ien e Review Vol. 26, Nn. 4. (2001).

• Pod zas przej± ia fazowego drugiego rodzaju iepªo wªa± iwe

C lub inne wspóª zynniki kalory zne (drugie po hodne funk-

ji G) ulegaj¡ skokowej zmianie.

Przykªadem przej± ia fazowego drugiego rodzaju jest przej± ie

ze stanu nadprzewodz¡ ego do stanu normalnego przewodzenia,

bez obe no± i zewn�trznego pola magnety znego. Rozwa»my wy-

kres iepªa wªa± iwego Helu (

4He) w stanie iekªym, przy i±nieniu

0,227 MPa, w funk ji temperatury T (K) (rysunek 2.68). Tem-

peratura kryty zna Tc∼= 2, 2K dzieli wykres na 2 regiony. Po

prawej stronie wyst�puje pªynny Hel a po lewej Hel nadpªynny

(nie posiadaj¡ y lepko± i). Jest to przykªad przej± ia fazowego

które odbywa si� bez skokowej zmiany g�sto± i i bez absorp ji ie-

pªa sie iowego ale z nagª¡ zmian¡ iepªa wªa± iwego. Podobne

za howanie mo»na zaobserwowa¢ na rynka h papierów warto± io-

wy h. Prosz� spojrze¢ na zmian� wykres indeksu WIG20 za okres

02.01.2004 r. - 31.12.2009 r. (rysunek 2.69).

Zakªadaj¡ , »e temperatura (na wykresie

4He) maleje liniowo

z biegiem zasu (na wykresie WIG20) oraz porównuj¡ iepªo wªa-

± iwe

4He z wielko± i¡ indeksu WIG20, mo»na powiedzie¢, »e wy-

kresy te (w przedziale wzrostu a potem spadku indeksu) s¡ do


Rysunek 2.69: Wykres za howania si� indeksu WIG20 w funk ji zasu.

siebie podobne (istotny jest wybór przedziaªu zasowego w któ-

rym obserwujemy indeks WIG20).

2.7 Model Isinga oraz jego zastosowanie.

Model Isinga - omówienie.

Model Isinga jest matematy znym modelem ferromagnetyzmu �-

zyki statysty znej, dwuwymiarowy Model Isinga o kwadratowej

sie i jest jednym z najprostszy h statysty zny h modeli opisuj¡-

y h przej± ie fazowe.

Rozwa»my dyskretne zmienne reprezentuj¡ e magnety zne mo-

menty dipolowe spinów atomowy h (σi = ±1). Spiny te s¡ uªo-

»one w n wymiarowej sie i i oddziaªuj¡ z γ najbli»szymi s¡siadami.

Energia ukªadu opisana jest nast�puj¡ ym równaniem:

E(σ) = −∑

{ij}εijσiσj −

∑

j

hjσj. (2.147)

Pierwszy zªon odpowiada za oddziaªywanie pomi�dzy najbli»-

szymi {ij} spinami, εij jest siª¡ interak ji, drugi zªon odpowiada

za oddziaªywanie spinów z zewn�trznym polem magnety znym hj.

2.7. MODEL ISINGA ORAZ JEGO ZASTOSOWANIE. 117

Prawdopodobie«stwo wyst¡pienia danej kon�gura ji systemu (σ)

(przy staªej temperaturze i obj�to± i) jest opisane rozkªadem Bolt-

zmanna:

Pb(σ) =e−βE(σ)

ZB, (2.148)

gdzie β = 1kbT

natomiast kb to staªa Boltzmanna. Staªa normali-

za yjna

ZB =∑

σ

e−βE(σ), (2.149)

zwana jest funk j¡ rozdziaªu. Je»eli εij > 0 mamy ferromagnetyk,

je»eli εij < 0 antyferromagnetyk natomiast je»eli εij = 0 spiny nieoddziaªywuj¡. Rozpatrzmy równanie (2.149), funk ja rozdziaªu

ZB jest sum¡ zªonów e−βE(σ)które s¡ anality zne. Grani a ter-

modynami zna (niesko« zona ilo±¢ spinów oraz kon�gura ji) mo»e

prowadzi¢ do nieanality zno± i ZB, a o za tym idzie nie i¡gªo-

± i po hodny h energii Helmholtza F = −kT ln(ZB) (np. iepªa

wªa± iwego C ∝ −∂2F∂T 2 ) i przej± ia fazowego. Zbie»no±¢ do grani y

termodynami znej jest szybka i za howania przypominaj¡ e przej-

± ie fazowe pojawiaj¡ si� w obli zenia h przybli»ony h na niezbyt

du»y h sie ia h. Nie i¡gªo± i s¡ jednak wygªadzane przez sko«-

zony rozmiar sie i (zauwa»my, »e na rynka h �nansowy h ilo±¢

gra zy jest sko« zona). W przypadku braku pola zewn�trznego

hj model si� uprasz za:

E(σ) = −∑

{ij}εijσiσj, (2.150)

Je»eli zaªo»ymy, »e wszystkie s¡siednie spiny maj¡ t¡ sam¡ siª�

oddziaªywania εij = ε otrzymujemy:

E(σ) = −ε∑

{ij}σiσj. (2.151)


Model Isinga - zastosowanie do analizy GPW.

Zaªamanie si� rynku ma miejs e, gdy du»a grupa gra zy jedno ze-

±nie sprzedaje papiery warto± iowe. Gra ze i nie znaj¡ si�, nie

umawiaj¡ si� w ze±niej w elu sprzeda»y ani nie kieruj¡ si� pole-

eniami lidera. Przez wi�kszo±¢ zasu maj¡ prze iwne strategie i

skªadaj¡ podobn¡ ilo±¢ zle e« kupna i sprzeda»y dzi�ki zemu kurs

papieru warto± iowego jest w miar� stabilny. Nale»y si� zatem za-

stanowi¢, dla zego w pewnym momen ie gra ze i �organizuj¡ si��

w elu jedno zesnej sprzeda»y powoduj¡ zaªamanie rynku.

Mo»na zasugerowa¢, »e s¡ oni zorganizowani na zasadzie sie i

(rodziny, koledzy, przyja iele itp.) i lokalnie oddziaªuj¡ ze sob¡.

Zaªó»my, »e ka»dy gra z oddziaªuje bezpo±rednio z γ najbli»szymi

s¡siadami. Na jego opini� (sprzedawa¢ zy kupowa¢) wpªywaj¡ 2

zynniki: (a) - opinia jego najbli»szego oto zenia, (b) - indywi-

dualne od zu ia. Zakªadaj¡ , »e gra ze staraj¡ si� sugerowa¢ za-

howaniem inny h, zynnik (a) b�dzie wprowadzaª porz¡dek nato-

miast zynnik (b) nieporz¡dek. Je±li przewa»a nieporz¡dek mamy

�normalne� za howanie si� rynku. Je±li porz¡dek przewa»y oraz

wi�kszo±¢ gra zy de yduje si� sprzedawa¢, mamy zaªamanie si�

rynku. Jest to sprze zne z popularn¡ opini¡, i» pod zas zaªama-

nia, na rynku panuj� nieporz¡dek i haos.

Stwórzmy model mikroskopowy w którym N gra zy tworzy

n wymiarow¡ periody zn¡ sie¢. Przyporz¡dkujmy ka»demu gra-

zowi (w�zªowi sie i) li zb� Si (gdzie i = 1, 2...N) przyjmuj¡ ¡ 2

warto± i: Si = +1 - sprzeda» lub Si = −1 - kupno. Zbiór li zb

Si okre±la kon�gura j� aªego systemu. Sugeruj¡ si� modelem

Isinga stosowanym w �zy e statysty znej de�niujmy energi� aªej

kon�gura ji:

E = −∑

{ij}εijSiSj, (2.152)

gdzie {ij} okre±la pary najbli»szy h spinów, natomiast εij jest i h


energi¡ oddziaªywania (εij > 0). Je»eli ilo±¢ najbli»szy h s¡sia-

dów wynosi γ (staªa na sie i) to suma ma

γN2 zªonów ({ij} {ji}

s¡ nierozró»nialne). Staªo±¢ γ (ilo± i najbli»szy h s¡siadów) na

sie i oraz w zasie, jest du»ym uprosz zeniem, gdy» ka»dy zªo-

wiek ma inn¡ ilo±¢ znajomy h którzy graj¡ na gieªdzie. Ukªad

ma maksymaln¡ energi� przy peªnym nieporz¡dku (SiSj = −1) a

minimaln¡ przy peªnym uporz¡dkowaniu (SiSj = 1). Zakªadaj¡ ,»e wszys y gra ze oddziaªywaj¡ z sob¡ tak samo, εij = ε (jest to

spore uprosz zenie, poniewa» ludzie s¡ w ró»ny sposób podatni na

sugestie), mamy:

E = −ε∑

{ij}SiSj. (2.153)

Rozwi¡zanie - zastosowanie modelu Isinga do badania GPW.

Wró¢my do równania (2.151) i (2.153). Dla przypomnienia ener-

gi� ukªadu E(S) znajduj¡ ego si� w kon�gura ji S mo»na opisa¢

równaniem:

E(S) = −ε∑

{ij}SiSj, (2.154)

gdzie Si = ±1 a suma ma

γN2 skªadników. Ozna zmy ilo±¢ spi-

nów do góry (sprzeda») jako N+ oraz ilo±¢ spinów w dóª (kupno)

jako N−. Ka»da para spinów ma jedn¡ z 3 kon�gura ji (++),

(−−) lub (+−) równowa»n¡ z (−+). I h ilo±¢ wynosi odpowied-

nio N++, N−− oraz N+−. �¡ z¡ ka»dy dodatni spin z najbli»-

szymi s¡siadami otrzymujemy γN+ linii (w tym N++ podwójny h

linii - ª¡ z¡ y h dwa spiny dodatnie oraz N+− pojedy« zy h linii

- ª¡ z¡ y h spiny dodatnie z ujemnymi). Otrzymujemy:

γN+ = 2N++ +N+−, (2.155)

dla spinów ujemny h otrzymujemy analogi znie:

γN− = 2N−− +N+−, (2.156)


mo»emy równie» skorzysta¢ z:

N+ +N− = N, (2.157)

mo»emy rozwi¡za¢ równania (2.155 - 2.157) i podstawi¢ wynik do

równania (2.154).

∑

{ij}SiSj = N++ +N−− −N+− = 4N++ − 2γN+ +

γN

2, (2.158)

dziel¡ równanie przez

γN2 otrzymujemy energi� na jedn¡ kon�gu-

ra j�. Energia ta nie zale»y od N , natomiast zale»y od nast�pu-

j¡ y h warto± i:

• N+

N - warto± i mierz¡ ej uporz¡dkowanie w �du»ej skali� -

udziaª spinów do góry lub gra zy którzy sprzedaj¡ w aª-

kowitej ilo± i spinów / gra zy;

• N++γN2

- warto± i mierz¡ ej uporz¡dkowanie w �maªej skali� -

udziaª kon�gura ji N++ (dwa s¡siednie spiny do góry lub

dwó h s¡siaduj¡ y h gra zy sprzedaj¡ y h) w aªkowej ilo± i

mo»liwy h kon�gura ji.

Okre±lmy parametr porz¡dku w �du»ej skali� L:

N+

N=

L+ 1

2(−1 ≤ L ≤ 1), (2.159)

i w ”maªej skali” σ:

N++

γN2

=σ + 1

2(−1 ≤ σ ≤ 1). (2.160)

Podstawiaj¡ (2.159 i 2.160) do równania (2.158) otrzymujemy:

∑

{ij}SiSj =

γN

2(2σ − 2L+ 1), (2.161)


o umo»liwi wyli zenie energii jednego spinu:

E(L, σ)

N= −

ε∑

{ij} SiSj

N= −εγ

2(2σ − 2L+ 1). (2.162)

Korzystaj¡ z rozkªadu Boltzmanna (2.148) mo»na okre±li¢ praw-

dopodobie«stwa wyst¡pienia m spinów dodatni h w najbli»szym

oto zeniu spinu o kon�gura ji s - P (s,m).

P (+1, m) =Cm

γ

qexp(βε(2m− γ))zn, (2.163)

P (−1, m) =Cm

γ

qexp(βε(γ − 2m))zn, (2.164)

gdzie q jest staª¡ normaliza yjn¡, z to parametr harakterysty zny,

natomiast β = 1kT. Wprowadzenie zmiennej �zy znej - tempera-

tury (T ) - i staªej �zy znej - staªej Boltzmanna (k) - do mo-

delu ekonomi znego jest du»ym uprosz zeniem. Temperatura T

nie jest dobrze okre±lona w modelu ekonomi znym, a w modelu

�zy znym wzrost temperatury powoduje ogólnie wzrost nieupo-

rz¡dkowania, (odwrotnie ni» poto zna �temperatura� na rynku).

Wielko±¢ Cγm to ilo±¢ sposobów na jakie mo»na wybra¢ m spo±ród

γ spinów. Stosuj¡ :

γ∑

m=0

(P (+1, m) + P (−1, m)) = 1, (2.165)

mo»na wyli zy¢ q:

q =(

exp(−βε) + z exp(βε))γ

+(

exp(βε) + z exp(−βε))γ

.

(2.166)

Mo»emy równie» wyli zy¢:

L+ 1

2=

N+

N=

γ∑

m=0

P (+1, m) =1

q

(

exp(βε) + z exp(−βε))γ

,

(2.167)


Rysunek 2.70: Rozwi¡zanie równania (2.162) - wykres dla iepªa wªa± iwego

CNk

w funk ji temperatury T - ¹ródªo - M.Gligor, M.Ignat �E onophysi s: a

New Field for Statisti al Physi s"Interdis iplinary S ien e Review Vol. 26,

Nn. 4.

oraz:

σ + 1

2=

N++

γN2

=1

γ

γ∑

m=0

mP (+1, m) =z

qexp(βε)

(

exp(βε)+z exp(−βε))γ−1

.

(2.168)

Korzystaj¡ z (2.162) mo»emy wyzna zy¢ energi� ukªadu.

Ciepªo wªa± iwe ulega silnej zmianie w funk ji temperatury w

punk ie:

kTc =2ε

ln γγ−2

. (2.169)

Wykres na rysunku 2.70 mo»e wydawa¢ si� podobny do wykresu

Indeks WIG20 na GPW (rysunek 2.69). Jak argumentowano

w ze±niej, zaªamanie na rynku jest zwi¡zane ze spadkiem nieupo-

rz¡dkowania (spadkiem temperatury w sensie �zy znym). Nale»y

jednak pami�ta¢, »e zas i temperatura maj¡ aªkowi ie inne zna-

zenie w �zy e. W naszym przypadku hodzi o znalezienie para-

metru (bez wzgl�du na jego natur�), który mierzy odej± ie ukªadu

od stanu równowagi. Dalsze badania pomog¡ okre±li¢ odpowiedni


parametr - obe nie musimy zaªo»y¢, »e odej± ie od stanu równo-

wagi ro±nie liniowo z zasem (parametr mierz¡ y odej± ie od stanu

równowagi to zas).

Aby mó porówna¢ wykres WIG20 (rysunek 2.69) z wykre-

sem teorety znym (rysunek 2.70 oraz 2.68) nale»aªoby zaªo»y¢, »e

uporz¡dkowanie na rynku ro±nie w taki sposób, »e temperatura

maleje liniowo z zasem. Jest to zaªo»enie, które mo»e by¢ praw-

dziwe przy formowaniu si� baniek spekula yjny h a potem przy

zaªamaniu si� rynku (rosn¡ e uporz¡dkowanie odzwier iedla o-

raz bardziej �zorganizowane� kupowanie a potem jesz ze bardziej

�zorganizowane� sprzedawanie papierów warto± iowy h). Tempe-

ratura kryty zna Tc b�dzie odpowiada¢ zasowi kryty znemu tcpo którym nast�puje zaªamanie.

Niestety porównanie iepªa wªa± iwego do warto± i indeksu lub

kursów ak ji jest du»ym uprosz zeniem i i�»ko tej wielko± i �zy z-

nej przypisa¢ jakie± ekonomi zne zna zenie. W modelu ukryto

jesz ze jedno zaªo»enie - zasad� za howania energii. Nie mo»na

niestety stwierdzi¢, zy podobna zasada obowi¡zuje na rynka h

�nansowy h. Gdyby zasada ta w przybli»eniu obowi¡zywaªa lo-

kalnie pod zas danego yklu (tworzenie sie ba«ki spekula yjnej a

potem zaªamanie si� rynku) mo»na przeprowadzi¢ analiz� takiego

yklu.

Mimo wszystki h uprosz ze« model daje interesuj¡ e wyniki

które mog¡ by¢ u»yte w badaniu tworzenia si� baniek spekula yj-

ny h i zaªamania rynku.

Rozdziaª 3

Podstawy �zy zne

3.1 Literatura

Fragment ekono�zyki prezentowany w niniejszym rozdziale budzi

szerokie zainteresowanie zarówno w±ród �zyków, matematyków

jak i ekonomistów. Poni»ej mozna znale¹¢ list� pozy ji litera-

turowy h stanowi¡ y h inspira j� dla szeregu zagadnienie« oma-

wiany h w tek± ie. Kolejno±¢ odzwier iedla porz¡dek wykªadu.

Odwoªania do do odpowiedni h pozy ji z listy oraz inny h dodat-

kowy h materiaªów pomo ni zy h zytelnik znajdzie w tek± ie w

formie przypisu.

1. R.N. Mantegna, H.E. Stanley, Ekono�zyka - wprowadzenie,

PWN

2. Wei�Bin Zang, Dis rete dynami al systems, bifur ations and

haos in e onomi s, Elsevier

3. H. G. S huster, Chaos deterministy zny, PWN

4. D. A emoglu, Introdu tion to modern growth, Prin eton Univ.

Press

5. A. Lasota, Probabilisti properties of deterministi systems

6. C. Be k, F. S hlógl, Thermodynami s of haoti systems,

Camb. univ. Press

125

126 ROZDZIA� 3. PODSTAWY FIZYCZNE

7. J. Mimkes, Stokes integral of e onomi growth. Cal ulus and

the Solow model, Physi a A 389 (2010) 1665

8. M.L. Mehta, Random matri es, Elsevier A ademi Press

9. J�P Bou haud, M. Potters, arXiv:0910.1205 (2009)

10. J�P Bou haud, M. Potters, Theory of �nan ial risks. From

statisti al physi s to risk managenemt, Cambridge Univ. Press

11. R. Albert, A-L Barabasi, Statisti al me hani s of omplex

networks, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002)

12. A. M. Chmiel et al., Networks of ompanies and bran hes in

Poland, Physi a A 383. 134 (2007)

13. A. M. Chmiel et al, Weighted Networks at the Polish Market,

w 'E onophysi s of Markets and Business Networks', eds.

Arnab Chatterjee, Bikas K. Chakrabarti, Springer

3.2 Dynamika haoty zna

Czas. Nie mo»na zrozumie¢ pro esu przez zatrzymanie go.

Zrozumienie musi pod¡»a¢ z biegiem pro esu, musi przyª¡ zy¢ si�

i pªyn¡¢ razem z nim

1

Zjawiska rynkowe opisywane przez ekono�zyk� przebiegaj¡ w

zasie. To o zywiste. Mniej o zywiste jest jak ten»e zas pªy-

nie. Czy zmiany warto± i instrumentów �nansowy h za hodz¡ w

zasie i¡gªym, zy mo»e tylko pod zas i h notowa«, a wi� w

zasie dyskretnym? Czy ' zas gieªdowy' pªynie, gdy gieªda jest

zamkni�ta, a je±li tak to jak?

W naszy h rozwa»ania h zaªo»ymy, »e zas jest dyskretny. War-

to± i instrumentu �nansowego

x(t), t ∈ N1

Pierwsze Prawo Mentata, F. Herbert 'Diuna'

3.2. DYNAMIKA CHAOTYCZNA 127

tworz¡ przeli zalny zbiór

2

.

Centralny problem wi¡»e si� ze zmian¡ interesuj¡ ej nas wiel-

ko± i:

x(t+ 1)− x(t) =?

w sz zególno± i je±li rozwa»y¢ produkt krajowy brutto (PKB)

mamy

x(t+ 1)− x(t) = gx(t) (3.1)

gdzie g jest parametrem. Zauwa»my, »e zapis

x(t+ 1) = (1 + g)x(t)

jest przepisem stosownym do obli zenia x(t+ 1), gdy znane nam

jest x(t). Fizy y, a wi� i ekono�zy y mówi¡, »e analizuj¡ ukªad

dynami zny. Podkre±lmy, »e o ile ukªady dynami zne wykorzy-

stywa¢ b�dziemy w li zny h modela h rozwa»any h poni»ej, to

jednak naszym elem nie jest i h badania per se. Problem ten

rozwa»any jest w inny h skrypta h bardziej sz zegóªowo.

O zywi± ie powy»sza propozy ja mo»e, i z�sto powinna, by¢

uogólniona do posta i

x(t+ 1)− x(t) = x(t)g(x(t), t) (3.2)

gdzie funk ja g zale»y jawnie od zasu, a wtedy dynamika PKB

mo»e by¢ na prawd� iekawa! Je±li, dla przykªadu

x(t+ 1) = ax(t)(1− x(t)), a > 0

otrzymujemy ±wietnie znan¡ dynamik� logisty zn¡ o niezwykle

bogatym harakterze. Za howa« iekawy h mo»emy spodziewa¢

si� kiedy tylko funk ja g(t) jest nieliniowa.

2

Wei�Bin Zang, Dis rete dynami al systems, bifur ations and haos in e onomi s, El-

sevier


3.2.1 Dynamika liniowa

Dynamika liniowa mo»e przy pierwszym kontak ie wyda¢ si� try-

wialna. Dla zego? Jak mo»na si� spodziewa¢, liniowe ukªady

dynami zne s¡ na tyle proste, »e mo»na pokaza¢ jawn¡ posta¢ i h

rozwi¡za«.

Rozwa»my problem:

x(t+ 1) = f(x(t)) (3.3)

Przy warunku po z¡tkowym x(0) = x0 otrzymujemy kolejne ite-

ra je

x(1) = f(x0), x(2) = f(x(1)) = f(f(x0)) etc.

Itera je te tworz¡ zbiór, zwy zajowo nazywany orbit¡ punktu x0.

O zywi± ie powy»szy przykªad nie jest w peªni ogólny, jako »e

funk ja f() nie zale»y jawnie od zasu. Taki ukªad dynami zny

nazywamy autonomi znym. Naturalnym uogólnieniem jest nieau-

tonomi zny ukªad dynami zny posta i:

x(t+ 1) = g(x(t), t) (3.4)

Teraz zas na sz zególny przypadek:

x(t+ 1) = a(t)x(t), x(t0) = x0, t ≥ t0 ≥ 0

Je±li zaªo»y¢, »e a(t) 6= 0 otrzymujemy:

x(t) = [t−1∏

i=t0

a(i)]x0

Zapisanie warto± i x(t0 + n) dla kilku po z¡tkowy h n pozwoli

uzasadni¢ powy»szy wzór.

Podobnie mo»na pokaza¢, »e rozwi¡zanie ukªadu dynami znego

x(t+ 1) = a(t)x(t) + g(t), x(t0) = x0, t ≥ t0 ≥


dane jest formuª¡

x(t) = [t−1∏

i=t0

a(i)]x0 +t−1∑

r=t0

[t−1∏

i=r+1

a(i)]g(r)

Najprostszy przykªad

Rozwa»my elementarny problem kombinatoryki: na ile sposobów

p(n) mo»na poª¡ zy¢ w pary 2n osób?

Wybierzmy jedn¡ osob�. Mo»na dla niej znale¹¢ jednego spo-

±ród 2n − 1 poten jalny h partnerów. Pozostaªo nam 2n − 2,

który h mo»emy poª¡ zy¢ w pary na p(n− 1) sposobów. A wi�

p(n) = (2n− 1)p(n− 1)

lub

p(n+ 1) = (2n+ 1)p(n)

i o zywi± ie p(1) = 1.

Nie zaskakuje wynik:

p(n) = [

n−1∏

i−1

(2i+ 1)]p(1) =(2n)!

2nn!

uzyskany jednak metodami typowymi dla badania liniowy h ukªa-

dów dynami zny h.

Dynamika en

Nasz kolejny przykªad, jakkolwiek wyidealizowany doty zy nie-

w¡tpliwie problemu ekonomii. Rozwa»my dwa rodzaje aktywów:

pierwszy to depozyt bankowy o staªej stopie r a drugi to, po-

wiedzmy, pewien instrument �nansowy o zmiennej enie, którego

posiada zowi wypªa ana jest dywidenda d(s), s = t, . . . ,∞. Nie h

p(s) ozna za en� instrumentu w okresie s okre±lon¡ przed wy-

pªa eniem dywidendy d(s). Przyszªa ena ak ji jest rze z jasna

nieznana, le z inwestorzy w hwili s przewiduj¡, »e ena wyniesie

pe(s+ 1). Warunek arbitra»u daje

(1 + r)p(t) = d(t) + pe(t+ 1)


Dodatkowo zakªadamy, »e

pe(t+ 1) = ap(t) + (1− a)pe(t)

gdzie 0 ≤ a ≤ 1 wi¡»e si� ze zdolno± i¡ u zenia si� inwestorów.

Dynamik� eny opisuje ukªad

p(t+ 1) = kp(t) + c(t) (3.5)

gdzie

k = (1 + r)(1− a)/(1 + r − a)

za±

c(t) = (d(t+ 1)− (1− a)d(t))/(1− r + a)

Ukªad jest liniowy, wi� znamy jawn¡ posta¢ jego rozwi¡zania:

p(t) = ktp(0) +t−1∑

i=0

kid(t− i)

Spªata dªugu.

Wyobra¹my sobie po»y zk� w0, wzi�t¡ na pro ent r, któr¡ spªa- amy w okresa h t redukuj¡ nasz dªug w(t) o sum� m(t). Ozna-

za to, »e

w(t+ 1) = w(t) + rw(t)−m(t), w(0) = w0 (3.6)

Jest to kolejny przykªad liniowego ukªadu dynami znego. którego

jawne rozwi¡zania znamy:

w(t) = (1 + r)tw0 =t−1∑

k=0

(1 + r)t−k−1m(k)

Na podstawie powy»szego rozwi¡zania mo»emywywnioskowa¢ war-

to±¢ m(t) ≡ N (zakªadamy staª¡ rat�) dla której dªug zostaje

spªa ony po zasie T :

N = (1 + r)T/[(1 + r)T − 1]rw0


3.2.2 Stabilno±¢ puntów sta jonarny h

Problem istnienia poªo»e« sta jonarny h ukªadu dynami znego

x(t) = f((x(t))

redukujemy, dla uprosz zenia, do problemu istnienia rozwi¡za«

równania

f(x∗) = 0

Jak wiadomo z teorii ukªadów dynami zny h, którym po±wi� ony

jest inny skrypt, mo»emy wyró»ni¢ dwa typy poªo»e« równowagi:

• hiperboli zne: A ≡ |f ′(x∗)| 6= 1

• niehiperboli zne: A ≡ |f ′(x∗)| = 1

Rozwa»my na wst�pie przypadek hiperboli zny h poªo»e« rów-

nowagi. Je»eli A < 1 wów zas poªo»enie jest asymptoty znie

stabilne. Ozna za to, mówi¡ w pewnym uprosz zeniu, »e dla

warunku po z¡tkowego znajduj¡ ego si� 'blisko' punktu x∗spo-

dziewamy si�, »e x(∞) = x∗. W prakty e, przez 'blisko' rozu-

miemy, »e warunek po z¡tkowy le»y w obszarze przy i¡gania (ang.

basin of atta tion) poªo»enia równowagi. Je±li natomiast A > 1

wów zas poªo»enie x∗jest niestabilne i mo»e 'odpy ha¢' kolejne

itera je. Poj� ie obszaru przy i¡gania staje si� tym istotniejsze

im wi� ej istnieje poªo»e« równowagi.

Model poda»y i popytu.

Rozwa»my rynek, na którym handluje si� pojedyn zym towa-

rem. Zaªó»my, »e de yzj� o enie towaru w okresie t opisuje funk- ja C(t). Poda» w hwili t+1 jest funk j¡ eny produktu w okresie

poprzedzaj¡ ym, Qs(t+ 1) = S(C(t)), lub równowa»nie

Qs(t) = S(C(t− 1))

Z drugiej strony, popyt ksztaªtuje ena obe na:

Qd = D(C(t))


warunek równowagi poda»y i popytu mo»na sformalizowa¢ w po-

sta i

Qd(t) = Qs(t)

Je±li zaªo»y¢ liniow¡ posta¢ funk ji Qs,d, s1,2 > 0, d1,2 > 0:

Qd(t) = d1 − d2C(t)

Qs(t) = −s1 + s2C(t− 1)

otrzymujemy ukªad dynami zny:

C(t+ 1) = (s1 + d1)/d2 − (s2/d2)C(t) (3.7)

i poªo»enie równowagi

C∗ = (s1 + d1)/(s2 + d2)

oraz

A = |s2/d2|Warunek A < 1 pozwala nam okre±li¢ parametry gwarantuj¡ e

stabilno±¢ modelu.

Sytua ja nie o si� komplikuje, gdy przyjmiemy bardziej reali-

sty zne zaªo»enia modelu. W sz zególno± i naturalne wydaje si�

przyj¡¢, »e poda» produktu zale»y od spodziewanej jego eny:

Qs(t) = −s1 + s2Ce(t)

gdzie nie wst�puje w ze±niej omówione opó¹nienie zasowe. Poja-

wia si� ono dopiero w gª�bszej warstwie modelu:

Ce(t) = C(t− 1) + α(C − C(t− 1))

gdzie C to ' ena spodziewana', obli zana metodami ekonome-

try znymi o ustalonym poziomie ufno± i. Warunek równowagi po-

da»y i popytu prowadzi do nie o bardziej skomplikowanego, ho¢

nadal liniowego, ukªadu dynami znego. Jesz ze iekawiej za zyna

by¢, je±li zaªo»ymy, »e

Ce(t)− Ce(t− 1) = α(C(t− 1)− P e(t− 1)

gdzie α ∈ (0, 1). Zaªo»enie to opisuje zdolno± i adaptatywne na-

szy h przewidywa«.


3.2.3 Niehiperboli zne poªo»enia równowagi

Nie wszystkie poªozenia równowagi s¡ hiperboli zne. W przy-

padku, gdy A = 1 problem stabilno± i poªo»e« równowagi x∗

wymaga analizy po hodny h wy»szego rz�du funk ji f(x∗). W

sz zególno± i w pewny h przypadka h rozwa»a si� tak zwan¡ po-

hodn¡ S hwartza

3

. Nie mo»na jednak unikn¡¢ o zywistej konklu-

zji, »e o ile metody anality zne w przypadku problemów liniowy h

wy zerpuj¡ nasze zainteresowanie dan¡ dynamik¡, o tyle w przy-

padku problemów nielinowy h ju» znalezienie anality znej posta i

rozwi¡zania równania f(x∗) = 0 jest mo»liwe jedynie w przypadku

bardzo sz zególny h lub prosty h funk ji.

3.2.4 Dynamika liniowa wy»szego rz�du

Podobnie jak w przypadku ukªadów dynami zny h w zasie i¡-

gªym opisywany h przez równania ró»ni zkowe zwy zajne wy»-

szego rz�du (równanie Newtona nie h sªu»y za przykªad) w przy-

padku zasu dyskretnego mo»emy rozwa»y¢

x(t+ k) = g(t)−k∑

i=1

pix(t+ k − i) (•) (3.8)

gdzie pi oraz g s¡ rze zywiste oraz pk(t) 6= 0 dla t ≥ t0. Warunek

po z¡tkowy dynamiki dany jest przez

x(t0), . . . , x(t0 + k − 1).

W sz zególnym przypadku:

x(t+ k) = −k∑

i=1

pix(t+ k − i) (••) (3.9)

mamy do zynienia z zagadnieniem jednorodnym.

3

H. G. S huster, Chaos deterministy zny, PWN


Zauwa»my, »e powy»szy problem k�tego rz�du jest nadal pro-

blemem liniowym. Ozna za to, jak mo»emy przypusz za¢, mo»-

liwo±¢ pogª�bionego opisu przy wykorzystaniu narz�dzi anality z-

ny h.

Pierwszym poj� iem konie znym w opisie jest podstawowy

zbiór rozwi¡za« problemu (••). Jest to dowolny zbiór liniowo

niezale»ny h rozwi¡za« naszego równania (••).Maj¡ dany zbiór rozwi¡za« dynamiki (••) xi(t), i = 1, . . . r

konstruujemy

W (t) = detMij,

gdzie Mij = xj(t + i − 1) natomiast i, j = 1, . . . r. Wyzna z-

nik W (t) to o zywi± ie wro«skian

4

, zy ra zej jego dyskretna

wersja zwana asoratianem. Warto zauwa»y¢, »e podobnie jak w

przypadku zasu i¡gªego

5

W (t) = (−1)k(t−t0)(

t−1∏

i=t0

pk(i))W (t0)

o jest tre± i¡ lematu Abdela

6

Zbiór rozwi¡za« problemu (••) jest podstawowy wtedy i tylko

wtedy, gdy odpowiadaj¡ y mu wro«skian nie znika W (t0) 6= 0.O zywi± ie dowolna kombina ja liniowa rozwi¡za« pozostaje roz-

wi¡zaniem. Jest to wªasno±¢ superpozy ji typowa dla problemów

liniowy h. Ogólna superpozy ja elementów podstawowego zbioru

rozwi¡za« (••) to rozwi¡zanie ogólne tego» problemu.

Rozwi¡zanie problemu niejednorodnego (•) wymaga znalezie-

nia, pró z rozwi¡zania ogólnego problemu jednorodnego

xc(t) =

k∑

i=1

aixi(t)

4

R. Rudni ki, Analiza dla �zyków, PWN

5

ibid.

6

W�B Zang, op. it.


gdzie o zywi± ie xi(t) to rozwi¡zania podstawowe równie» roz-

wi¡zania sz zególnego xp(t). Rozwi¡zanie ogólne równania

niejednorodnego otrzymujemy sumuj¡

x(t) = xc(t) + xp(t)

Istnieje szeroka gama u»yte zny h metod znajdowania xp(t) ana-

logi zny h do znany h z teorii równa« ró»ni zkowy h

7

, który h

przykªady s¡ omawiane w literaturze

8

. Poniewa» jednak u»yte z-

no±¢ metod anality zny h w odniesieniu do badania poten jalnie

haoty zny h problemów nieliniowy h jest ra zej niesatysfak jo-

nuj¡ a zaniedbamy tutaj i h omówienia.

Przykªad: przy hód narodowy (Samuelson)

Rozwa»my przy hód narodowy Y (t) zde�niowany jako suma

wydatków C(t), inwesty ji I(t) oraz staªy h wydatków rz¡dowy h

G:

Y (t) = C(t) + I(t) +G

Dodatkowo przyjmijmy, »e konsump ja jest propor jonalna do ze-

szªoro znego przy hodu:

C(t) = αY (t) 0 < α < 1

za±

I(t) = β(C(t)− C(t− 1) β > 0

Otrzymujemy wi�

Y (t+ 2)− α(1 + β)Y (t+ 1) + αβY (t) = 1

Analiz� powy»szego liniowego zagadnienia ograni zymy do znale-

zienia poªo»enia sta jonarnego, które wynosi

Y ∗ = 1/(1− α)

Problem stabilno± i wykorzystuj¡ y te hniki anality zne nie oma-

wiane przez nas mo»na znale¹¢ w literaturze

9

7

R. Rudni ki, op. it.

8

W�B Zang, op. it

9

ibid.


3.2.5 Ekonomi zne ukªady dynami zne: exempla

W tym rozdziale przedstawimy wybrane przykªady obrazuj¡ e

u»yte zno±¢ jednowymiarowy h ukªadów dynami zny h w opisie

zagadnie« szeroko rozumianej ekonomii.

In�a ja i bezrobo ie

Je±li P (t) ozna za en� pewnego dobra to naturaln¡ miar¡ in�a ji

warto± i jest jej stopa:

p(t) = (P (t+ 1)− P (t))/P (t)

Zgodnie z tzw. rela j¡ Phillipsa, istnieje zwi¡zek pomi�dzy in�a j¡

i stop¡ bezrobo ia U(t)

p(t) = a− bU(t) + hπ(t), h ∈ (0, 1], a, b, π > 0

gdzie π(t) to o zekiwana warto±¢ in�a ji. Hipoteza o zekiwa«

adapta yjny h pozwala zaªo»y¢

π(t+ 1)− π(t) = j(p(t)− π(t)), j ∈ (0, 1]

o ozna za, »e je±li stopa in�a ji przekra za o zekiwan¡, wów zas

o zekiwana warto±¢ in�a ji przejawia tenden je wzrostowe. Je±li

przez M(t) ozna zymy warto±¢ nominaln¡ pieni¡dza i odpowied-

ni¡ stop� wzrostu

m(t) = (M(t+ 1)−M(t))/M(t)

wów zas mo»emy wprowadzi¢ sprz�»enie pomi�dzy stop¡ bezro-

bo ia i in�a ji:

U(t+ 1)− U(t) = −k(m− p(t+ 1)), k > 0

gdzie zaªo»yli±my, »e m ≡ m(t) = const. Skªadaj¡ wszystko w

aªo±¢ otrzymujemy

p(t+ 2) = c− a1p(t+ 1)− a2p(t) (3.10)


gdzie

a1 = −(2− j(1− h) + (1− j)kb)/(1 + kb)

a2 = (1− j(1− h))/(1 + kb), c = kbjm/(1 + kb)

Jedno-sektorowy model wzrostu

Modele wzrostu odgrywaj¡ sz zególn¡ rol� w makroekonomii

10

po-

niewa» przy i h u»y iu mo»na modelowa¢ gospodark� w skali zna-

z¡ o wi�kszej ni» lokalna.

Zakªadamy, »e 'osobni y' w popula ji »yj¡ wie znie. I h li zba

przy staªej stopie wzrostu n wynosi

N(t) = (1 + n)N(t− 1)

B¡d¹my ±wiadomi, »e 'osobnik', jednostka gry rynkowej, nie musi

by¢ to»sama z osob¡ ludzk¡. Jakkolwiek w dalszym toku prezen-

ta ji piszemy osobnik, a nie 'osobnik', mamy to jednak na uwadze.

Przy zynkiem ka»dego osobnika w jednost e zasu jest jed-

nostka pra y. Produk ja w okresie t jest skutkiem li zby K(t)

kapitaªu i N(t) pra y. Jej wynikiem jest li zba Y (t) pewnego do-

bra (pewny h dóbr). Funk j� produk ji zakªadamy w posta i typu

Cobba�Douglasa

F (K(t), N(t)) = AKα(t)Nβ(t), α, β > 0, α+ β = 1

Je±li uwzgl�dnimy depre ja j� δkK(t), wów zas rze zywista stopa

r(t) = αF (t)/K(t)− δk = αAk−β(t)− δk

oraz pªa a

w(t) = βF (t)/N(t) = βAkα(t)

dane s¡ powy»szymi wyra»eniami, za± k(t) = K(t)/N(t). Na

bie»¡ y przy hód konsumentów skªada si� wypªata zwi¡zana ze

stop¡ pro entow¡ oraz pra ¡:

Y (t) = r(t)K(t) + w(t)N(t)10

D. A emoglu, Introdu tion to modern growth, Prin eton Univ. Press


Dost�pny przy hód brutto to

Y (t) = Y (t) +K(t),

który mo»e by¢ wykorzystany do konsump ji C lub osz z�dzania

SY (t) = C(t) + S(t)

Preferen je konsumentów mo»na opisa¢ za pomo ¡ funk ji u»y-

te zno± i (Cobba�Douglasa)

U(t) = Cξ(t)Sγ(t), ξ + γ = 1, ξ, γ > 0

Gospodarstwa d¡»¡ do maksymalizowaniaU przy ustalony h ogra-

ni zenia h bud»etowy h. Nie h

C(t) = ξY (t), S(t) = λY (t)

Jednak»e kapitaª w danym okresie jest równy osz z�dno± iom po-

zynionym w okresie poprzednim:

K(t+ 1) = S(t)

Poniewa» jednak zarówno po z¡tkowy kapitaª K0 jak i N(t) s¡

dane, wi� mo»liwym jest rekursywne obli zenie K(t). Innymi

sªowy otrzymujemy ukªad dynami zny: obli zamy K(t) przy da-

nymK(t−1) oraz N(t−1), a nast�pnie obli zamy r(t), w(t), S(t)oraz C(t).

3.2.6 Termodynamika haosu

Liniowe ukªady dynami zne omawiane dot¡d s¡, w sensie zªo»o-

no± i zagadnienia, relatywnie trywialne. Nie s¡ haoty zne. Nasz

skrypt ma za zadanie przedstawi¢ przegl¡d �zy zny h modeli sto-

sowany h do opisu zagadnie« ekonomii. Powy»sze wywody, jak-

kolwiek pobie»ne, miaªy harakter bardziej matematy zny ni» �-

zy zny. Ogólne nieliniowe ukªady dynami zne

x(t+ 1) = f(x(t), t)


(gdzie f jest funk j¡ nieliniow¡) stanowi¡ e naturalne rozszerzenie

omawiany h dot¡d zagadnie«, staj¡ si� ¹ródªem i aren¡ zupeªnie

nowy h zjawisk. Podobnie rze z si� ma z zagadaniami liniowymi

w obe no± i zaburze« losowy h. O zywi± ie zarówno determi-

nisty zne jak i losowe dynami zne ukªady nieliniowe s¡ skute z-

nie badane metodami matematy znymi

11

. My jednak zastosujemy

podej± ie bardziej �zy zne, bazuj¡ e na metoda h termodynamiki

statysty znej

12

. Metody te, jak poka»emy, mog¡ by¢ stosowane

do dowolny h ukªadów dynami zny h, tak deterministy zny h jak

sto hasty zny h, oraz, o istotne, równie» w analizie szeregów za-

sowy h dany h 'z eksperymentu' (notowa« instrumentów �nanso-

wy h et .).

Prawdopodobie«stwo w teorii haosu

Probabilisty zny opis zªo»ony h zjawisk nale»y od najefektywniej-

szy h narz�dzi wspóª zesnej �zyki. Przedyskutujemy teraz me-

tod� t� zastosowan¡ do dynamiki

x(t+ 1) = f(x(t)), f : X → X (3.11)

Zakªadamy równie» (dla unikni� ia matematy zny h puªapek), »e

X jest zwartym

13

podzbioremRn. W sz zególno± i miejmy odt¡d

na uwadze od inek X = [a, b].

Rozwa»my rodzin� warunków po z¡tkowy h {x0}i o zadanym

rozkªadzie prawdopodobie«stwa:

P (A) =

∫

A

ρ0(x)dx

P (A) okre±la prawdopodobie«stwo, znalezienia warunku po z¡t-

kowego w zbiorze A ⊂ X. Po dokonaniu itera ji, uwzgl�dniaj¡

11

A. Lasota, Probabilisti properties of deterministi systems

12

C. Be k, F. S hlógl, Thermodynami s of haoti systems, Camb. univ. Press

13

domkni�tym, z brzegiem, i ograni zonym


'za howanie prawdopodobie«stwa' otrzymujemy

∫

A

ρ1(x)dx =

∫

f−1(A)

ρ0(x)dx (3.12)

gdzie f−1(A) to prze iwobraz zbioru A. Powy»sze równanie wi¡-»¡ e g�sto± i itera ji w dwu kolejny h hwila h zasu nazywamy

równaniem Frobeniusa�Perrona

14

. W przypadku, gdy A = [a, x]otrzymujemy, po ró»ni zkowaniu,

ρ1(x) =d

dx

∫

f−1([a,x])

ρ0(x) ≡ Pρ0(x) (3.13)

gdzie P to operator Frobeniusa�Perrona.

Dynamika symboli zna

Podstaw¡ probabilisty znego opisu dynamiki nieliniowej, który

b�dzie omawiany w dalszej z�± i skryptu jest opis symboli zny

bazuj¡ y na wyborze party ji zbioru X. Party ja X to rodzina

rozª¡ zny h zbiorów {Ai}Ri=1 pokrywaj¡ y h zbiór X =⋃R

i Ai.

Dla okre±lonego warunku po z¡tkowego x0 konstruujemy i¡g sym-

boli

x0 → i0, i1, . . . , in, . . . (3.14)

gdzie in = 1, . . . , R ozna za numer elementu party ji, w którym

znale¹¢ mo»na n-t¡ itera j� x(t = n).W ogólnym przypadku party ja wybierana jest poprzez pokry-

ie X N -wymiarowymi kostkami (N = dimX). O zywi± ie w

przypadku szeregu ukªadów dynami zny h istniej¡ party je o do-

datkowy h wªa± iwo± ia h. Na przykªad party ja jest generuj¡ a,

je±li na podstawie niesko« zonego i¡gu symboli mo»emy jedno-

zna znie odtworzy¢ warunek po z¡tkowy. W sz zególny h przy-

padka h party ja generuj¡ a istnieje, a w jesz ze sz zególniejszy h

jest zaskakuj¡ o prosta. Dla odwzorowania Ulama:

f(x) = 1− 2x2, X = [−1, 1]14

A. Lasota, op. it.


party ja generuj¡ a jest zaledwie dwuelementowa i ma posta¢:

A1 = [−1, 0), A2 = [0, 1]

Dynamika symboli zna pozwala analizowa¢ dynamik� nieliniow¡

poprzez badanie i¡gów symboli 'sªów'. Okazuje si�, »e w przy-

padku wielu ukªadów dynami zny h istnieje swoista 'gramatyka',

wynikaj¡ a z twierdzenia Szarkowskiego, okre±laj¡ a klasy 'sªów

zakazany h', i¡gów symboli, które nigdy nie wyst�puj¡.

Sprz�»enie topologi zne

Zamiana zmienny h w ukªada h dynami zny h prowadzi do kon-

struowania ukªadów o równowa»ny h e ha h. Rozwa»my ukªad

dynami zny x(t + 1) = f(x(t)). Aby znale¹¢ posta¢ dynamiki

y(t+1) = g(y(t)) przy odwra alnej zamianie zmienny h x = φ(y)zauwa»my, »e

x(t+ 1) = φ(y(t+ 1)) = f(x(t)) = f(φ(y(t)), (3.15)

innymi sªowy

g = φ−1 · f · φ.Dla przykªadu zauwa»my, »e mapy

f(x) = ax(1− x), a ∈ [0, 4]

oraz

g(x) = 1− µx2 µ ∈ [0, 2]

s¡ topologi znie sprz�»one dla

φ(y) =

(

y − 1

2

)

1

µ[((1 + 4µ)1/2 + 1]

oraz

a = (1 + 4µ)1/2 + 1


Symboli zne pro esy losowe

W przypadku sko« zony h i¡gów symboli zny h i0, . . . , iN−1 ist-

nie¢ mo»e aªa rodzina warunków po z¡tkowy h generuj¡ a dany

i¡g symboli zny. Nazwiemy j¡N- ylindrem i ozna zymy J [i0, . . . , iN−1].Zauwa»my, »e

⋃

i0,...,iN−1

J [i0, . . . , iN−1] = X

oraz z�±¢ wspólna J [i0, . . . , iN−1] ∩ J [j0, . . . , jN−1] = ∅. Za-

uwa»my, »e dla przyj�tej miary µ (nie h b�dzie to naturalna miara

niezmienni za) istnieje zwi¡zek mi�dzy prawdopodobie«stwem za-

istnienia danego i¡gu symboli znego, a 'wielko± i¡' odpowied-

niego ylindra:

p(i0, . . . , iN) = µ(J [i0, . . . , iN ]) (3.16)

Zmiany w zasie powy»szego prawdopodobie«stwa stanowi pod-

staw� do okre±lenia symboli znego pro esu losowego (sto hasty z-

nego). Je±li znamy odpowiednie prawdopodobie«stwa przej± ia

dane przez prawdopodobie«stwo warunkowe doª¡ zenia symbolu

iN do danego i¡gu i0, . . . , iN−1:

p(i0, . . . , iN−1, iN) = p(iN |i0, . . . , iN−1)p(i0, . . . , iN−1) (3.17)

Powy»sze równanie stanowi u»yte zny punkt wyj± ia dla szeregu

uprasz zaj¡ y h przybli»e«.

Zauwa»my, »e symboli zne pro esy sto hasty zne s¡ równo-

wa»ne dynami e ukªadów spinowy h. Rozwa»my klasy zny model

Pottsa R-tego rz�du

15

. Je±li uto»samimy kolejny symbol i¡gu

symboli znego w hwili t = n z warto± i¡ spinu w n-tym w�¹le

okazuje si�, »e mo»liwa jest efektywna symula ja symboli znej dy-

namiki ( haoty znej) poprzez ukªady spinowe.

15

Model jest uogólnieniem znanego w �zy e klasy znego modelu Isinga na przypadek

( aªkowitej) warto± i spinu na w�¹le sie i o wartos ia h w przedziale [−R,R]


Informa ja i entropia

Rozwa»my zjawisko losowe o sko« zonym zbiorze zdarze« 1, . . . , Roraz danym rozkªadzie prawdopodobie«stwa p = (p1, . . . , pR). In-

forma ja o zjawisku jest zakodowana za pomo ¡ miary informa ji

zaproponowanej przez C. Shannona

16

:

I(p) =

R∑

i=1

pi log pi, (3.18)

gdzie podstawa log to zwykle 2 lub e. Wielko±¢

S(p) = −I(p) (3.19)

ma wszelkie e hy znanej z �zyki statysty znej entropii, wi� jest

entropi¡ Shannona. Zauwa»my, »e dla rozkªadu p, dla którego

zaj±¢ mo»e tylko jedno zdarzenie (pi = δi,j) informa ja jest naj-

wi�ksza. Na prze iwnym biegunie jest, rze z jasna, maksymalizu-

j¡ y entropi� rozkªad jednorodny pi = 1/R, i = 1, . . . , R. Infor-

ma ja Shannona jest jedn¡ z miar informa ji uj�tej w aksjomaty e

Chin zyna, podªug której miar¡ informa ji musi by¢ funk ja I(p)o nast�puj¡ y h e ha h:

1. zale»y jedynie od rozkªadu prawdopodobie«stwa

I(p) = I(p1, . . . , pR),

2. jest maksymalizowana przez rozkªad jednorodny

I(1/R, . . . , 1/R) ≤ I(p),

3. nie zmienia warto± i, je±li rozszerzy¢ zbiór zdarze« o zdarze-

nie niemo»liwe

I(p1, . . . , pR) = I(p1, . . . , pR, 0).

16

H.G. S huster, op. it.


Powy»sze punkty nie wy zerpuj¡ aksjomatyki Chin zyna

17

.

W sz zególno± i dla naszy h potrzeb istotne zna zenie mamiara

informa ji Rényi

Iβ(p)1

1− βlog

r∑

i=1

(pi)β, β ∈ R, pi 6= 0 (3.20)

gdzie sumowanie przebiega po zdarzenia h za hodz¡ y h z nieze-

rowym prawdopodobie«stwem (jest i h r a nie R), a której wpro-

wadzenie wymaga odmiennej rodzinny aksjomatów.

Innego typu miary konstruuje si� dla opisania zysku informa ji.

W przypadku informa ji Kullba ka zmiana rozkªadu prawdopo-

dobie«stwa

(p0i ) −→ (pi)

skutkuje zyskiem informa ji obli zanym wedªug formuªy

K(, p, p0) =r∑

i=1

pi log(pi/p0i )

Temperatura w teorii haosu

W pierwszym kroku wprowadzenie metod termodynamiki staty-

sty znej do badania nieliniowy h ukªadów dynami zny h ( ha-

oty zny h) zde�niujemy poje ie rozkªadów stowarzyszony h

z rozkªadem prawdopodobie«stwa {pi}Ri=1 jako rozkªad {Pi}Ri=1,

przy zym

Pi =pβi

∑rj=1 p

βj

(3.21)

gdzie β ∈ R. Sumowanie w mianowniku przebiega po zbiorze

mo»liwy h zdarze«, zyli taki h, dla który h pi 6= 0. Zakªadamy,

»e jest i h jedynie r ≤ R. Zauwa»my, »e rozkªady stowarzyszone

17

C. Be k, F, S hlógl, op. it.


pozwalaj¡ na efektywne skanowanie bazowego rozkªadu prawdo-

podobie«stwa poprzez odpowiedni dobór parametru β. W sz ze-

gólno± i dla maªy h (du»y h) warto± i β wzgl�dna waga odpo-

wiedniego zdarzenia jest wi�ksza (mniejsza).

Wprowadzenie opisu termodynami znego rozpo zniemy od zde-

�niowania 'li zby bitowej' bi poprzez zwi¡zek pi = exp(−bi). Wów-

zas rozkªady stowarzyszone mo»emy zapisa¢ w posta i

Pi = exp(Ψ− βbi) (3.22)

gdzie

Ψ = − lnZ(β)

oraz

Z(β) =

R∑

i=1

P βi

Analogia formalna z rozkªadem kanoni znym oraz sum¡ staty-

sty zn¡ jest uderzaj¡ a. Kolejny krok jest dla �zyka automa-

ty zny. Wprowadzamy energi� swobodn¡:

F (β) = Ψ(β)/β = − ln(Z(β))/β (3.23)

Widzimy wi� , »e parametr rze zywisty β mo»emy nazwa¢ (uogól-

nion¡) temperatur¡. Zauwa»my równie» dodatkow¡ interpreta je

temperatury poprzez zwi¡zek z informa ja Rényi:

Iβ(p) = −Ψ(β)

β − 1(3.24)

Temperatura multifraktali

Mówi¡ w pewnym uprosz zeniumultifraktal to zbiór fraktalny,

którego wymiar mo»e zmienia¢ si� od miejs a do miejs a. Taki

zbiór staje si� sz zególnie iekawy je±li jest no±nikiem rozkªadu

prawdopodobie«stwa. W sz zególnym przypadku mo»emy mie¢


na uwadze atraktor fraktalny dynamiki haoty znej i prawdopo-

dobie«stwa tra�enia w posz zególne zbiory party ji pokrywaj¡ ej

zbiór. W przypadku braku lepszego pomysªu zakªadamy, »e prze-

strze« fazowa X ukªadu dynami znego pokryta jest kostkami tej

samej wielko± i ε. Wymiar kostki zale»y od wymiaru przestrzeni

X. Je±li z ka»dym elementem party ji zwi¡»emy prawdopodobie«-

stwo pi tra�enia itera ji, wów zas

αi = ln pi/ ln ε = α(ε, x)

nazwiemy wspóª zynnikiem stªo zenia. W grani y

α(x) = limε→0

α(ε, x)

otrzymujemy lokalny wspóª zynnik skalowania, o zywi± ie je±li

powy»sza grani a istnieje.

Zauwa»my, »e li zba bitowa bi jest zwi¡zana z wspóª zynnikiem

stªo zenia:

bi = αi(ε) ln ε

o w o zywisty sposób ustanawia rela j� pomi�dzy wspóª zynni-

kami α i wielko± iami termodynami znymi opisuj¡ ymi rozkªady

stowarzyszone. W sz zególno± i

D(β) = limε→0

Iβ(p)

ln εjest nazywany wymiarem Rényi. Co wi� ej

Z(β) ∼ ε(β−1)D(β)

W sz zególno± i D(1) wi¡»e si� bezpo±rednio z informa j¡ Shan-

nona wobe zego bywa nazywana wymiarem informa yjnym.

Przykªad: mapa Ulama

Rozwa»my odwzorowanie logisty zne dla f(x) = 1−2x2. Jak wia-

domo, odwzorowanie Ulama posiada naturaln¡ g�sto±¢ niezmien-

ni z¡

ρ(x) =1

π√1− x2

(3.25)


Podzielmy przestrze« fazow¡ X = [−1, 1] ma od inki o staªej

dªugo± i ε i numera h i = 1, . . . , R. Prawdopodobie«stw znale-

zienia itera ji w i-tym od inku wynosi

pi =

∫ −1+iε

−1+(i−1)ε

dxρ(x)

Suma statysty zna

Z =

R∑

i=1

pβi ∼ (R − 2)εβ + 2εβ/2 ∼ ε(β−1)D(β)

Je±li wykorzystamy zwi¡zek R ∼ ε−1otrzymamy

(β − 1)D(β) = min(β − 1, β/2)

zyli

D(β) =

{

1 dla β ≤ 2β

2(β−1)dla β > 2

Zauwa»my nieró»ni zkowalno±¢ D(β) dla β = 2.

3.2.7 Entropia Koªmogorowa�Sinaja

Zªo»ono±¢ dynamiki haoty znej przekªada si� bezpo±rednio na

informa j� dost�pn¡ w pro esie ewolu ji. Mo»liwo±¢ haraktery-

zowania stopnia haoty zno± i stanowi istotny przy zynek do zro-

zumienia ryzyka zwi¡zanego ze zmianami warto± i instrumentów

�nansowy h opisywany h konkretnym nielinowym szeregiem za-

sowym. Rozwa»my party je przestrzeni fazowej

{A} = {A1, . . . , AR}

W formalizmie dynamiki symboli znej rozwa»amy i¡gi symbo-

li zne generowane przez dane warunki po z¡tkowe. Prawdopo-

dobie«stwo wyst¡pienia konkretnego i¡gu o sko« zonej dªugo± i


dane jest przez

p(i0, . . . , iN−1) =

∫

J(i0,...,iN−1)

dσ(x)

gdzie σ(x) jest rozkªadem (a wi� i miar¡ na X) zbioru warun-

ków po z¡tkowy h. J to N - ylinder opisany we w ze±niejszy h

rozdziaªa h. W sz zególno± i mo»emy wybra¢ dσ(x) = dxρ(x),gdzie ρ(x) to g�sto±¢ niezmienni za.

Informa ja zawarta w rozkªadzie mo»liwy h i¡gów symboli z-

ny h o dªugo± i N wyra»ona poprzez informa je Shannona wynosi

I(p) =∑

i0,...,iN−1

p(i0, . . . , iN−1) ln p(i0, . . . , iN−1)

a nasza niewiedza przez odpowiadaj¡ ¡ jej entropi� H = −I przy

zym

H = H(σ, {A}, N)

Informa j� o za howaniu asymptoty znym uzyskujemy w drodze

przej± ia grani znego

h(σ, {A}) = limN→∞

H

N

za± niezale»no±¢ od wyboru party ji poprzez odpowiednia opty-

maliza j�:

h(σ) = sup{A}

h(σ, {A}). (3.26)

W wyniku otrzymujemy entropi� Koªmogorowa�Sinaja. En-

tropia ta jest narz�dziem pozwalaj¡ ym zde�niowa¢ haos. Jak

wiadomo poje ie haoty zno± i dynamiki zmienia si� w zale»no± i

od wyboru de�niuj¡ ej harakterystyki. Dla jedny h ukªad dy-

nami zny jest haoty zny je±li wykazuje wra»liwo±¢ na warunki

po z¡tkowe lub parametry, dla inny h warunkiem sine qua non

jest fraktalny (dziwny) atraktor lub mo»e warunki ergody zno-

± i, mieszania zy dokªadno± i. W przypadku wyboru entropii

Koªmogorowa�Sinaja jako miernika haoty zno± i mo»emy powie-

dzie¢


haos ⇐ [h(σ) > 0].

Innymi sªowy, je±li entropia Koªomogowa�Sinaja jest dodatnia

ukªad jest haoty zny. Co wi� ej, im wi�ksza jest warto±¢ entro-

pii Koªomogorowa�Sinaja tym 'bardziej haoty zny' jest badany

ukªad. O zywi± ie pojawia si� prakty zna trudno±¢ obli zeniowa,

je±li zauwa»ymy, ze obli zenie entropii Koªmogorowa�Sinaja wy-

maga obli zenia supremum po wszystki h mo»liwy h party ja h

X. Problem zna z¡ o uprasz za si�, je±li znamy party j� generu-

j¡ ¡ dla danej dynamiki, gdy» wªa±nie ta party ja maksymalizuje

h(σ, {A}).

3.2.8 Dynami zne entropie Rényi

W przypadku dynamiki haoty znej mo»liwy jest opis termodyna-

mi zny, analogi zny do zastosowanego w przypadku termostatyki

multifraktali. Jak wiadomo, w przypadku dynamiki nielinowej ist-

nieje bogata 'gramatyka' i¡gów symboli zny h. W sz zególno± i

w przypadku i¡gów symboli zny h o dªugo± i N istnieje ω(N)i h dozwolony h posta i. Ozna za to, »e

p(N)j = p(i0, . . . , iN−1), j = 1, 2, . . . , ω(N)

zadaje rozkªad prawdopodobie«stwa na zbiorze i¡gów symboli z-

ny h. Z rozkªadem tym mo»emy powi¡za¢ rozkªady stowarzy-

szone:

P(N)j =

(p(N)j )β

∑

k(p(N)k )β

oraz dynami zn¡ sum� statysty zn¡

ZN(β) =ω∑

k

(p(N)k )β

Kolejnym naturalnym krokiem jest u»y ie dynami znej informa ji

Rényi

Iβ(p) =1

β − 1lnZN(β) =

1

β − 1Ψ(β)


otrzymuj¡ dynami zne rozkªady kanoni zne parametryzowane tem-

peratur¡ β. W dalszym kroku de�niujemy dynami zn¡ entropi�

Rényi Hβ = −Iβ, dla której obli zamy grani �

hβ(σ, {A}) = limN→∞

Hβ

N.

Zauwa»my, »e w odró»nieniu do przypadku staty znego nie ba-

damy skalowania ze wzgl�du na rozmiar party ji X. Je±li ograni-

zymy si� do naturalnej miary niezmienni zej σ = µ de�niujemy

entropie Rényi rz�du β

K(β) = sup{A}

hβ(σ, {A}) (3.27)

W prakty zny h obli zenia h supremum osi¡gane jest dla party-

ji generuj¡ ej, lub wobe jej nieznajomo± i z�stokro¢ pomijane.

Zauwa»my, »e K(1) to entropia Koªmogorowa�Sinaja.

3.2.9 Równowa»ne ukªady spinowe

Jak wzmiankowali±my we w ze±niejszy h rozdziaªa h istnieje zwi¡-

zek pomi�dzy dynamik¡ symboli zn¡ a wªasno± iami ukªadów spi-

nowy h. Zwi¡zek ten pozostaje równie» w odniesieniu do wªasno-

± i dynami zny h. Rozwa»my, zupeªnie formalne, wprowadzenie

dynami znej li zny bitowej

p(i0, . . . , iN−1) = exp(−H(i0, . . . , iN−1))

Wów zas rozkªady stowarzyszone mo»na zapisa¢ w posta i

P (i0, . . . , iN−1) = exp(Ψ− βH(i0, . . . , iN−1)) (3.28)

Poniewa» ka»dy ze wska¹ników przebiega sko« zony zbiór warto-

± i i = 1, . . . , R istnieje formalna analogia pomi�dzy rozwa»anym

modelem a modelem Pottsa R-tego rz�du, gdzie H jest analogo-

nem hamiltonianu ukªadu. Zauwa»my, »e przy takiej interpreta ji

3.3. TERMODYNAMIKA EKONOMICZNA 151

energia swobodna Helmholtza obli zana na spin

φ(β) = limN→∞

−1

Nβln

∑

i0,...,iN−1

exp(−βH(i0, . . . , iN−1))

jest bezpo±rednio zwi¡zana z entropi¡ Rényi

φ(β) =β − 1

βK(β)

3.3 Termodynamika ekonomi zna

Je±li istnieje uniwersalna teoria wszystkiego, to jest ni¡ termo-

dynamika. Niew¡tpliwie jest ona uniwersaln¡ teori¡ wszystki h

nauk przyrodni zy h. Ka»da teoria przyrodni za, zarówno istnie-

j¡ a, jak i ta, któr¡ trzeba dopiero odkry¢, po zynaj¡ od kwanto-

wej grawita ji na teorii ewolu ji ko« z¡ , musi by¢ z termodyna-

mik¡ przynajmniej niesprze zna. Od zasów Samuelsona równie»

ekonomi± i nie wyklu zali zwi¡zków i h teorii z termodynamik¡.

Na o zekiwania te ±miaªo dzi± odpowiadaj¡ ekono�zy y. W tym

rozdziale zamierzamy przedstawi¢ u»yte zno±¢ opisu termodyna-

mi znego w zastosowaniu do wybrany h modeli ekonomi zny h.

Wykorzystamy najbardziej ogóln¡ wersj� termodynamiki: termo-

dynamik� fenomenologi zn¡. Nie odwoªuj¡ si� do �zyki staty-

sty znej post¡pimy ina zej ni» w poprzedni h fragmenta h wy-

kªadu zwi¡zany h ze zjawiskami termi znymi w ekonomii. Koszt

jaki poniesiemy jest o zywisty: brak zrozumienia podstaw. Zrów-

nowa»ymy go jednak zyskiem: teorie fenomenologi zne mo»emy

zastosowa¢ równie» w przypadku, gdy podstaw zwy zajnie nie

znamy. A tak»e gdy, zego nie mo»na wyklu zy¢ badaj¡ zjawi-

ska rynkowe, podej± ie reduk jonisty zne jest niewªa± iwe z ra ji

braku jasno sformuªowany h zasad pierwszy h.


3.3.1 Termodynamika fenomenologi zna w piguª e

Rozpo znijmy od wprowadzenia elementarny h poj�¢ termody-

namiki fenomenologi znej. Standardowe podej± ie opiera si� na

sformuªowaniu praw termodynamiki. Zwykle rozpo zyna si� od

prawa zerowego stwierdzaj¡ ego prze hodnio±¢ rela ji równo-

wagi termodynami znej pomi�dzy ukªadami �zy znymi. Ukªady

te opisujemy parametrami, które dzielimy na ekstensywne lub in-

tensywne, zale»nie od tego, zy i h warto±¢ zale»y lub nie za-

le»y od rozmiaru ukªadu. Parametry te okre±laj¡ stan ukªadu.

W klasy znej termodynami e równowagowej badamy bez zasowe

(niesko« zenie wolne) pro esy kwazi�staty zne, b�d¡ e i¡giem

stanów równowagi ukªadu.

Pierwsze prawo

Prawo to jest w zasadzie inn¡ form¡ wyra»enia zasady za howania

energii. W pierwszym kroku postulujemy istnienie funk ji stanu

U(·) zwanej energi¡ wewn�trzn¡. Pierwsze prawo termodyna-

miki stwierdza, »e zmiany energii wewn�trznej ∆U nast�puj¡ na

skutek przepªywu iepªa Q lub wykonanej pra y W :

∆U = Q +W

powy»sza zasada zapisana w posta i ró»ni zkowej przyjmuje po-

sta¢

dU = δQ+ δW

wynikª¡ z zaªo»enia, »e energia wewn�trzna jest funk j¡ stanu a jej

zmiany nie zale»¡ od sposobu przej± ia ze stanu do stanu. Mówi¡

nie o bardziej formalnie: dU jest ró»ni zk¡ zupeªn¡. W przypadku

równowagowym sz zególnym przypadkiem powy»szej zasady jest

znany wzór

dU = δQr − pdV

opisuj¡ y zmian� energii wewn�trznej gazu w pro esie odwra al-

nego (subskrypt r) spr�»enia gazu o i±nieniu p.


Drugie prawo i entropia

Istotna 'warto±¢ dodana' rozwa»a« termodynami zny h ujawnia

si� dopiero, gdy wprowadzi si� poj� ie entropii. Jest to funk ja

stanu, któr¡, w pro esie odwra alnym, de�niuje si� nast�puj¡ o

∆S =

∫ B

A

δQr

T

innymi sªowy ró»ni zka zupeªna S

dS =δQr

T

powstaje poprzez znalezienie zynnika aªkuj¡ ego dla δQ. Sk¡d-

in¡d wiemy, »e zynnikiem tym jest temperatura T . Drugie prawotermodynamiki stwierdza, »e w przypadku ukªadów odizolowa-

ny h entropia nie maleje:

∆S ≥ 0

Fizy y rozumiej¡ zwi¡zek tego prawa ze wzrostem nieporz¡dku w

ukªada h izolowany h ukierunkowanym termodynami zn¡ strzaªk¡

zasu. W przypadku ukªadów otwarty h zmiana entropii

dS = deS + diS

mo»e zosta¢ podzielona na z�±¢ zwi¡zan¡ z wymian¡ energii lub

materii z oto zeniem e oraz nieodwra alnymi pro esami wewn�trz-

nymi i. Wów zas drugie prawo brzmi

diS ≥ 0

Równania stanu

Pomi�dzy poten jaªami termodynami znymi S oraz U istnieje

zwi¡zek

dU = TdS − pdV


zwany rela j¡ Gibbsa. Mo»emy wi� zbudowa¢ rela je fundamen-

talne:

U = U(S, V )

albo, je±li wolimy

S = S(U, V )

Poniewa»

T =∂U

∂S|V , p = −∂U

∂V|S

mo»emy otrzyma¢ zwi¡zki pomi�dzy zmiennymi intensywnymi i

ekstensywnymi

T = T (S, V ), p = p(S, V )

znane jako równania stanu.

Poten jaªy termodynami zne

Energia wewn�trzna U oraz entropia E nie s¡ jedynymi funk jami

stanu (poten jaªami termodynami znymi). Narz�dziem sªu»¡ ym

pomna»aniu taki h funk ji jest przeksztaª enie Legendre'a. A

dziaªa ono tak. Na wej± iu mamy rela j� fundamentaln¡

Y = Y (A1, . . . , Ak, Ak+1, . . . , An)

gdzie Ai to zmienne ekstensywne. W nast�pnym kroku dla zmien-

ny h

Pi :=∂Y

∂Ai, i = 1, . . . , k ≤ n

znajdujemy funk j�

Y [P1, . . . , Pk] = Y −k∑

i=1

PiAi

zmienny h P1, . . . , Pk, Ak+1, . . . , An, gdy»

dY [. . .] = −k∑

i=1

AidPi +n∑

i=k+1

PidAi


Dla przykªadu, je±li rozpo zniemy od U = U(S, V ) oraz T =

∂U/∂S otrzymamy

F := U [T ] = U − ∂U

∂S|V = U − TS

z wi� energi� swobodn¡ Helmholtza. Je±li natomiast skorzy-

stamy ze zwi¡zku p = −∂U/∂V otrzymamy entalpi�:

H := U [p] = U − pV

Warunki ekstremaliza ji poten jaªów termodynami zny h pozwa-

laj¡ na wy i¡gni� ie szeregu interesuj¡ y h wªasno± i stanów sta-

jonarny h ukªadów termodynami zny h. Jak wiadomo, przy usta-

lonym U oraz V ukªad maksymalizuje entropi� S. Jest to tre±¢

drugiego prawa termodynamiki. Z kolei je±li S oraz V s¡ staªe

ukªad d¡»y do minimum energii U . W przypadku staªej tempe-

ratury T oraz V minimalizowana jest energia swobodna F , a dla

staªy h S oraz p entalpia H. Stabilno±¢ poªo»e« równowagi to

rze z jasna oddzielny problem wymagaj¡ y analizy znaków wy»-

szy h po hodny h poten jaªów termodynami zny h.

3.3.2 Termodynamika modelu Solowa

Model Solowa jest jednym z podstawowy h modeli wzrostu

18

W

pra y

19

pokazano, jak wersja nie o uprosz zona powy»szego mo-

delu daje si� wyrazi¢ w rama h formalizmu termodynamiki. Tu-

taj przedstawimy t¡ propozy j�. Rozpo znijmy od wprowadzenia

podstawowy h poj�¢:

1. Ró»ni a pomi�dzy przy hodem Y oraz kosztami konsump ji

C

S = Y − C (3.29)

18

D. A emoglu, Introdu tion to modern e onomi growth, Prin eton Univ. Press (2009)

19

J. Mimkes, Stokes integral of e onomi growth. Cal ulus and the Solow model, Physi a

A 389 (2010) 1665


to nadwy»ka (surplus) przezna zona w aªo± i w rozwa»anej

tutaj zamkni�tej ekonomii na inwesty je S = I.

2. Produk ja

F = F (K,N) (3.30)

to funk ja kapitaªu K oraz wkªadu pra y N , zale»nego od

li zby pra owników, st¡d ozna zenie. Pra a daje przy hód

Y = F (K,N) (3.31)

3. Wmodelu Solowa funk j� produk ji zadajemy w posta i Cobba�

Douglasa

FCD = AKαN1−α, (3.32)

gdzie A jest zynnikiem te hnologii, za± α ∈ (0, 1) to ela-

sty zno±¢. W przypadku ra hunków per apita jako zmienn¡

przyjmujemy

k =K

Na wów zas

f = fCD(k, A)

4. W modelu Solowa dla y = Y/N (per apita) mamy

dy

y=

dfCD

fCD= α

dk

k+

dA

A

W pierwszym kroku konstruk ji modelu termodynami znego dla

modelu Solowa rozpatrzmy ykl produk ji�pªa (P − M). Za-

ªó»my dwu u zestników yklu: gospodarstwa domowe H (pra-

owni y, konsumen i dóbr) oraz produ entów dóbr (fabryki) Ind.Pomi�dzy nimi nast�puje wymiana dóbr produkowany h przez fa-

bryki i kupowany h przez gospodarstwa domowe. W tym samym

zasie na obieg dóbr naªo»ony jest ykl pieni�»ny: pªa e robot-

ników fabryki powra aj¡ do produ enta dóbr w posta i kosztów


konsump ji. Przy zaªo»eniu zamkni�to± i ukªadu

∮

δM = −∮

δP. (•) (3.33)

Zauwa»my, »e nadwy»ka gospodarstw domowy h wynosi

SH =

∮

δM

Powy»sza aªka ma dwa komponenty

∮

δM =

∮ H

Ind

δM +

∮ Ind

H

δM

pozwalaj¡ e wyró»ni¢ przy hód gospodarstw domowy h

YH =

∮ H

Ind

δM

oraz koszty konsump ji

CH = −∮ Ind

H

δM

rze z jasna SH = YH − CH .

Równanie (•) zapisane w posta i ró»ni zkowej

δM = −δP + dK (3.34)

z matematy znego punktu widzenia jest o zywiste gdy»

∮

dK =0. Zauwa»my, »e je±li K zinterpretujemy jako energi� wewn�trzn¡

M jako iepªo kr¡»¡ e w ukªadzie, za± P jako (�zy zn¡) pra �,

wów zas zauwa»amy, »e uzyskali±my naturalny analogon pierw-

szego prawa termodynamiki.

Poszukiwanie odpowiednika drugiego prawa rozpo znijmy od

wskazania zynnika aªkuj¡ ego przeksztaª aj¡ ego δM w funk j�

produk ji F :

dF =δM

λ(3.35)


Interpreta ja zynnika aªkuj¡ ego stanie si� mo»liwa, je±li wyko-

rzystamy formalne podobie«stwo poni»szy h wzorów. Pierwszy to

zale»no±¢ energii i temperatury dla gazu idealnego

dE = αNdT,

a drugi to jego odpowiednik kapitaªowy

dK = αNdλ (3.36)

lub, zapisany per apita,

dk = αdλ.

Widzimy wi� , »e uzasadnione jest przyj� ie interpreta ji λ jako

�redniego kapitaªu na osob� w ukªadzie. Mamy wi� kandydatów

na odpowiedniki entropii i temperatury, a ostate znie

δP = dK − λdF (3.37)

Otrzymane wyniki spróbujmy wykorzysta¢ do konstruk ji odpo-

wiednika yklu Carnota. Rozwa»my pro es obrotu pewnym do-

brem pomi�dzy krajami o ró»nym standardzie »y ia (λ1 < λ2):

1. W pierwszym kroku sprzedaw y pobieraj¡ kwot� Y2 = λ2∆F <

0 od klientów. Zauwa»my, »e w tym kroku (pro es izoter-

mi zny λ2 = const.)

2. Nast�pnie nast�puje transfer kwoty do produ entów w kraju

1 (pro es adiabaty zny, ∆F = 0)

3. Pieni¡dze tra�aj¡ do robotników produkuj¡ y h dobro: Y1 =λ1∆F > 0

4. Ostate znie robotni y w kraju 1 wydaj¡ pieni¡dze na dobra

produkowane w kraju 2. Nast�puje adiabaty zny transfer

pieni¡dza ∆F = 0.

5. i ykl si� za zyna od nowa ...

3.4. MACIERZE LOSOWE W EKONOFIZYCE 159

Zauwa»my, »e nawet w tak uprosz zonym modelu mo»na okre±li¢

sprawno±¢

η =Y2 − Y1

Y1=

λ2 − λ1

λ1,

która pozwala na wy i¡gnie ie wniosków o zale»no± i pomi�dzy

standardem »y ia i wzrostem.

3.4 Ma ierze losowe w ekono�zy e

Ma ierze losowe pojawiªy si� w historii nauki w lata h trzydzie-

sty h XX stule ia. Po z¡tkowo i h zastosowania ograni zone byªy

do szeroko rozumianej statystyki. Pó¹niej, wraz z rozwojem �zyki

kwantowej ludzko±¢ zdarzyªa si� z problemem znajdowania war-

to± i wªasny h (widma) bardzo skomplikowany h ma ierzy repre-

zentuj¡ y h hamiltoniany wieloelektronowy h atomów, taki h jak

uran, zy nawet bardziej skomplikowany h molekuª. W wielu wy-

padka h nie tylko nie potra�ono, wobe braku dzisiejszy h kom-

puterów, rozwi¡za¢ zagadnienia spektralnego, o gorsza, nie byªo

nawet o zywiste jak dany hamiltonian miaªby wygl¡da¢. Jedyne

zym wów zas dysponowano, to oraz doskonalsze pomiary spek-

tralne. Przy nieznajomo± i konkretny h warto± i elementów ma-

ierzowy h hamiltonianów naturalnym byªo modelowanie losowe.

Zaªo»y¢ prze ie» mo»na, »e elementy hamiltonianu to zmienne lo-

sowe o ustalony h wªasno± ia h statysty zny h.

Tu naukow ów (przynajmniej ty h nieobeznany h z im wspóª-

zesn¡ matematyk¡) zekaªa miªa niespodzianka: Je±li rozwa»y¢

N�wymiarow¡ ma ierz symetry zn¡ Hij (ten typ ma ierzy b�-

dzie wa»ny w dalszym toku naszego wykªadu), której elementy to

zmienne losowe o zerowej ±redniej < Hij > i < H2ij > σ2 6= 0, to

dla du»y h N wªasno± i statysty zne jej warto± i wªasny h staj¡

si� niezale»ne od statystyki Hij. W sz zególno± i dla N → ∞n < ∞ spo±ród ni h mog¡ by¢ wydedukowane z n punktowej

funk ji korela yjnej tzw. gaussowskiego zespoªu ortogonalnego


(GOE). Mówi¡ w du»ym uprosz zeniu, istniej¡ odpowiedniki en-

tralny h twierdze« grani zny h dla ma ierzy zmienny h losowy h.

Zauwa»my, »e GOE nie jest jedynym atraktorem przej± ia grani z-

nego N → ∞. Je±li wyj± iowa ma ierz jest hermitowska, wów zas

rozkªad grani zny jest, przy speªnieniu pewny h zaªo»e«, gaussow-

skim zespoªem unitarnym (GUE). Sz zegóªy oraz inne mo»liwo-

± i omówiono w monogra�i

20

. Podkre±lmy szerokie zastosowanie

teorii ma ierzy losowy h w wielu dziedzina h �zyki po zynaj¡

od wspominanej spektroskopii, poprzez teori� kwantowego ha-

osu, a» po jedn¡ z mo»liwy h metod opisu kwantowy h ukªadów

otwarty h.

Tu jednak przedstawimy jedynie drobny wy inek tej teorii za-

stosowanej do ekon�zyki. Rozwa»my notowanie wybranej grupy

N instrumentów �nansowy h znane dla hwil t = 1, . . . , T . Nie h

Xti := rti/√T

ozna za znormalizowane stopy zwrotu i = 1, . . . , N . Naturalnym

kandydatem na estymator korela ji mi�dzy instrumentami jest es-

tymator Pearsona posta i

Eij =1

T

T∑

i=1

rtirtj =: (XTX)ij

Tak dªugo jako N ≪ T estymator ten dobrze odtwarza prawdziwe

korela je. Fakt ten jest znany statystykom. Trudno± i pojawiaj¡

si� jednak, gdy zarówno T ≫ 1 jak i N ≫ 1 przy zym jednak»e

T/G ∼ 1. W tym re»imie, jak poka»emy, narz�dziem u»yte znym

jest teoria ma ierzy losowy h

21

.

20

M.L. Mehta, Random matri es, Elsevier A ademi Press

21

J�P Bou haud, M. Potters, arXiv:0910.1205 (2009)


3.4.1 Analiza portfela

Ma ierz korela yjna E mo»e zosta¢ rozªo»ona na 'skªadniki' (jest

to tre±¢ tzw. prin ipal omponent analysis PCA)

rti =∑

k

√

λkVk,iǫtk

gdzie Vk,i to i skªadnik k-tego wektora wªasnego ma ierzy E. Za-

uwa»my, »e je±li w powy»szym rozkªadzie wyst�puje dominuj¡ a

(du»a) warto±¢ wªasna Λ wów zas

rti ≈√ΛVΛ,iǫ

ti

Wektory wªasne Vα posiadaj¡ niezwykle u»yte zn¡ interpreta-

j� �nansow¡. Je±li rozwa»ymy portfel Πα zbudowany z N in-

strumentów �nansowy h 'upakowany h' do portfela z wag¡ Vα,i

ka»dy, wów zas mo»emy osza owa¢ ryzyko zwi¡zane z takim wy-

borem obli zaj¡

R2α =

1

T

∑

t

(

∑

i

Vα,irti

)2

Zauwa»my, »e warto± i 'wag' mog¡ by¢ zarówno dodatnie jak i

ujemne odpowiadaj¡ pozy ji (odpowiednio: dªuga lub krótka)

zajmowanej przez posiada za portfela wzgl�dem danego instru-

mentu. Zna zenie warto± i wªasnej λα i jej zwi¡zek z ryzykiem

odkrywamy obli zaj¡

R2α =

∑

i,j

Vα,iVα,jEi,j = λα

W ogólniejszej wersji teorii portfela rozwa»amy

rti = siσtξti

gdzie σtto zmienno±¢ zwrotów r, która sama mo»e by¢ zmienn¡

losow¡, ξti to (w ogólno± i skorelowane) zmienne losowe, które od-

t¡d zakªadamy, »e s¡ gaussowskie. Jak przedyskutujemy w dalszej


z�± i wykªadu, warunek gaussowsko± i nie jest klu zowy. Wagi

si, opisuj¡ e dzienn¡ zmienno±¢ instrumentu i, ze wzgl�du na mo»-

liwo±¢ i h normaliza ji nie odgrywaj¡ zna z¡ ej roli.

Przy znajomo± i 'prawdziwej' ma ierzy korela jiC dzienne �uk-

tua je zwrotów portfela wynosz¡

R2 =∑

i,j

wiCi,jwj

Jak wzmiankowali±my, pojawia si� problem skute znej estyma ji

ma ierzy C w przypadku, gdy Q := T/N ∼ 100 − 101 jest rz�dujedno± i. Ryzyko portfela sza owane na podstawie dany h prze-

szªy h

R2E =

∑

i,j

wiEi,jwj

mierzymy za pomo ¡ empiry znej ma ierzy E. W teorii portfela

Markowitza wskazuje si� na podstawowe zagadnienie optymaliza-

yjne, w rama h którego poszukuje si� portfela daj¡ ego maksy-

malne zwroty przy zadanym poziomie ryzyka, lub minimalizuj¡ y

ryzyko przy zadany h warto± ia h zwrotów.

Tak wi� , natra�amy na problem sza owania warto± i wªasny h

ma ierzy o elementa h losowy h.

3.4.2 Naprawd� du»e ma ierze

Poni»ej przedstawiamy uprosz zon¡ w stosunku do monogra� z-

nej

22

wersj� dyskusji. Rozwa»my symetry zn¡ ma ierz kwadra-

tow¡ H. której elementami s¡ iid zmienne losowe (niezale»ne o

identy zny h rozkªada h). Je±li wymiar ma ierzy H wynosi M

mo»emy skonstruowa¢ g�sto±¢ warto± i wªasny h tej ma ierzy

ρ(λ) =1

M

M∑

i=1

δ(λ− λi)

22

J�P Bou haud, M. Potters, Theory of �nan ial risks. From statisti al physi s to risk

managenemt, Cambridge Univ. Press


gdzie λi to warto± i wªasne ma ierzy H, za± δ(·) to funk ja uogól-niona Dira a (delta Dira a).

W teorii spektralnej ma ierzy sko« zony h istotn¡ rol� od-

grywa rezolwenta de�niowana jako

Gij(λ) =

(

1

λI −H

)

ij

jej ±lad

TrG(λ) =

M∑

i=1

1

λ− λi

wyra»a si� poprzez warto± i wªasne ma ierzy H.

Wów zas za±

ρ(λ) = limǫ→0

1

Mπℑ(TrG(λ− iǫ))

gdzie wykorzystali±my znan¡ �zykom równo±¢

1

x− iǫ= P

1

x+ iπδ(x).

Innymi sªowy, aby znale¹¢ ρ(λ) pomo na b�dzie znajomo±¢ rezol-

wenty ma ierzy H.

Teoria ma ierzy losowy h pozwala na znalezienie posta i re-

zolwenty G∞(λ) w grani y du»y h ma ierzy. Posta¢ ta zale»y

rze z jasna od sz zegóªów statystki elementów ma ierzy H. W

przypadku tu rozwa»anym, gdy elementy H s¡ iid zmiennymi lo-

sowymi o warian ji σ otrzymujemy

23

:

G∞(x) =1

2σ2(x−

√

x2 − 4σ2),

a wów zas g�sto±¢ warto± i wªasny h przyjmuje poszukiwan¡ po-

sta¢ (dla |x| ≤ 2σ):

ρ(x) =1

2πσ2

√

4σ2 − x2

oraz ρ(x) = 0 dla |x| > 2σ.23

J�P Bou haud, M. Potters, ibid


3.4.3 Ma ierz korela ji

Teraz nadszedª zas, aby rozwa»y¢ ma ierz korela ji

E = XTX

Powy»sza posta¢ wynika z dodatniej okre±lono± i ma ierzy E. Za-

uwa»my, »e warto± i wªasne ma ierzy E oraz X s¡ powi¡zane

zale»no± i¡ λE = λ2X . Pozwala to jednozna znie powi¡za¢ g�sto-

± ia h warto± i wªasny h

24

Nale»y stanow zo podkre±li¢, »e warunek iid wyst�puj¡ y w po-

wy»szy h rozwa»ania h nie jest klu zowy. Pewnym ograni zeniem

jest jednak wyst�powanie w rozkªada h gruby h ogonów. Teoria

ma ierzy losowy h 'z grubymi ogonami' jest u»ywana i u»yte zna.

Jej omówienie wykra za jednak poza zakres wykªadu.

3.5 Sie i zªo»one

Ukªady zªo»one to odzienno±¢ wielu dziedzin �zyki. Sz zególnym

przykªadem nie h posªu»¡ wielo iaªowe zagadnienia �zyki iaªa

staªego. Wspóª zesna nauka rozwin�ªa szereg doskonaªy h metod

badaw zy h pozwalaj¡ y h na skute zn¡ analiz� taki h ukªadów.

Po o wi� sie i zªo»one? Okazuje si�, »e sytua ja staje si� ie-

kawsza, gdy sposób oddziaªywanie pomi�dzy elementami rozwa-

»anego kompleksu nie bezpo±rednio zale»y od odlegªo± i, a zasem

nawet jest losowy. Dwa komputery nie musz¡ 'wiedzie¢ o sobie'

nawet je±li sta jonuj¡ na jednym biurku. Okazuje si�, »e kom-

pleksy, z który h elementami stykamy si� niemal o dnia stanowi¡

wdzi� zny obiekt badaw zy wspóª zesnej �zyki

25

.

Mówi¡ w uprosz zeniu, sie¢ zªo»ona to zbiór w�zªów (wierz-

hoªków), interpretowany h jako elementy kompleksu, poª¡ zo-

ny h brzegami (kraw�dziami), ustanawiaj¡ ymi rela j� pomi�dzy

24

J�P Bou haud, M. Potters, ibid

25

R. Albert, A-L Barabasi, Statisti al me hani s of omplex networks, Rev. Mod. Phys.

74, 47 (2002)

3.5. SIECI Z�O�ONE 165

elementami kompleksu. Otrzymany obiekt w j�zyku matematyki,

któr¡ omawiamy poni»ej, to graf. Czym sie i zªo»one mog¡ nas

zasko zy¢? Przedstawmy jedynie kilka zjawisk:

1. Je±li rozwa»y¢ dwa w�zªy sie i, to ±rednia odlegªo±¢ pomi�-

dzy nimi, obli zana poprzez zli zenie dziel¡ y h je elementów

kompleksu poª¡ zony h kraw�dziami, jest zaskakuj¡ o maªa.

Tworz¡ si� maªe ±wiaty, znane nam z m¡dro± i ludowej.

2. Teoria sie i zªo»ony h ra jonalizuje tworzenie si� klik i sitw w

sie ia h nie tylko spoªe zny h. My obiekty takie, aby unikn¡¢

pejoratywny h konota ji, nazwiemy /bf klastrami.

3. W ogólnym przypadku ró»ne w�zªy sie i mog¡ by¢ '¹ródªem'

ró»nej li zby wy hodz¡ y h z ni h kraw�dzi. Innymi sªowy,

ró»ne elementy kompleksu tworz¡ ró»n¡ li zb� rela ji. Li zba

ta nazywana b�dzie stopniem w�zªa. Dystrybu ja warto± i

stopnia na sie i e huje si� iekawymi wªasno± iami.

3.5.1 Empiria: ±wiat jest maªy

Wymie«my kilka przykªadów ukªadów, który h opis stanowi na-

turalny poligon dla metod teorii sie i zªo»ony h. Przykªady za-

zerpni�to z pra y

26

Rozpo znijmy od sie i WWW. W�zªem sie i jest obiekt iden-

ty�kowany przez URL. �rednia droga pomi�dzy w�zªami wynosi

zaledwie okoªo 3.1. �redni stopie« w�zªa to 35.21.

Przykªadem obszaru bada« wykorzystuj¡ ym metody sie i zªo-

»ony h s¡ sie i spoªe zne. Jednym z pierwszy h wyników sugeru-

j¡ y h tak¡ u»yte zno±¢ nale»y do S. Milgrama i po hodzi z 1967

roku. Na podstawie bada« sie i znajomy h przeprowadzony h w

Wielkiej Brytanii okazaªo si�, »e typowa odlegªo±¢ w�zªów (osób)

wynosi zaledwie 6.

26

R. Albert, A-L Barabasi, ibid.


Nie o wi� ej pikanterii kryje si� w wynika h bada« przeprowa-

dzony h w Szwe ji, a doty z¡ y h wªasno± i sie i ludzki h (ga-

tunek Homo sapiens) kontaktów seksualny h. Badania miaªy na

elu zrozumienie me hanizmów propaga ji horób przenoszony h

drog¡ pª iow¡. W badania h przeprowadzony h w i¡gu roku

otrzymano ±redni¡ odlegªo±¢ w sie i wynosz¡ ¡ okoªo 3.5 dla ko-

biet (sami Homo sapiens), za± 3.3 dla m�» zyzn (sam ów).

Przykªadom opisuj¡ ym zagadnienia ekonomi zne po±wi� amy

osobny podrozdziaª.

3.5.2 Grafy: harakterystyka

W tym podrozdziale wprowadzimy elementarne poj� ia z zakresu

teorii grafów, b�d¡ y h naturalnymi reprezentantami sie i zªo»o-

ny h.

Graf to para zbiorów G = {P,E}, gdzie P = {P1, . . . , PN} to

zbiór N w�zªów (wierz hoªków), za± E to zbiór kraw�dzi

(od inków) ª¡ z¡ y h pary wierz hoªków.

History znie rze z ujmuj¡ pierwsze kroki w metodzie grafów za-

wdzi� zamy Eulerowi, le z dopiero P. Erdós oraz A. Rényi roz-

win�li wspóª zesn¡ teori�. W i h modelu rozwa»ali oni graf o

N wierz hoªka h losowo poª¡ zony h n kraw�dziami wybranymi

z puli N(N − 1)/2 mo»liwy h poª¡ ze«. W sz zególno± i mo»-

liwe jest zastosowanie podej± ia binomialnego, gdzie N w�zªów

ª¡ zymy w pary z prawdopodobie«stwem p. Caªkowita li zba kra-

w�dzi staje si� wów zas zmienn¡ losow¡ o warto± i o zekiwanej

E(n) = pN(N − 1)/2.

Prawdopodobie«stwo otrzymania grafuG0 oN wierz hoªka h oraz

n kraw�dzia h wynosi wów zas

P (G0) = pn(1− p)(N(N−1)/2−n)


Teoria tak konstruowany h grafów losowy h opisuje wªasno± i gra-

ni zne dla N → ∞. W sz zególno± i okazuje si�, »e ±redni stopie«

wierz hoªka wynosi

< k >= 2n/N

i zale»y od rozmiaru zaganiania. Nale»y odnotowa¢, »e niemal

wszystkie wªasno± i grafów s¡ wido zne ju» dla wzgl�dnie maªy h

N . Wªasno± i te ujawniaj¡ si� dla kryty zny h wªasno± i prawdo-

podobie«stwa p = pc(N). Wªasno± i¡ tak¡ mo»e by¢ formowanie

si� w obr�bie grafu podgrafów ni»szego rz�du.

W omawianym modelu mo»liwe jest okre±lenie prawdopodo-

bie«stwa wyst¡pienia stopnia wierz hoªka o warto± i k:

P (k) = CkN−1p

k(1− p)N−1−k

i odpowiadaj¡ ej mu warto± i o zekiwanej li zby wierz hoªkówXk

o stopniu k:

E(Xk) = NP (k)

Inn¡ harakterystyk¡ sie i zªo»ony h jest ma ierz przylegania grafu

A(G). Jest to ma ierz kwadratowa N -wymiarowa o elementa h

Aij = 1, je±li w�zªy i, j s¡ poª¡ zone kraw�dzi¡, za± Aij = 0 w

prze iwnym wypadku. Badania g�sto± i warto± i wªasny h λi

ρ(x) =1

N

∑

i=1

δ(x− λi)

w grani y N → ∞ umo»liwia wykorzystanie omawianej w ze±niej

teorii ma ierzy losowy h.

3.5.3 Perkola je

Nie tylko matematyka le z równie» �zyka ma o nie o do po-

wiedzenia na temat ukªadów nieuporz¡dkowany h o losowej geo-

metrii. Je±li zaak eptujemy fakt, »e nie wszystkie substan je s¡

krysztaªami do hodzimy do opisu substan ji amor� zny h

27

. W

27

R. Zallen, Fizyka iaª amor� zny h, PWN


rama h tej teorii napotykamy model perkola ji. Problemy ba-

dane w rama h tej teorii wykra zaj¡ zna z¡ o poza �zyk� mate-

riaªów. Dla przykªadu rozwa»my przewodzenie pr¡du w losowej

sie i oporników. Ile z ni h musi przewodzi¢, aby w ukªadzie mógª

pªyn¡¢ pr¡d? Ile w�zªów internetu musi dziaªa¢, aby sie¢ nadal

speªniaªa swe funk je? Okazuje si�, »e istniej¡ warto± i kryty zne

parametrów ukªadów, dla który h mo»liwe jest przej± ie perko-

la yjne, pewien daleki analogon przej± ia fazowego, pozwalaj¡ y

na wyst¡pienie niezerowy h warto± i 'parametru porz¡dku': prze-

pªywu pr¡du (oporniki), informa ji (internet). Mo»na zapyta¢ o

warunki kryty zne wyst�powania ± ie»ek perkola yjny h w ba-

danym kompleksie. Teoria perkola ji pozwala równie» na okre±le-

nie prawdopodobie«stw kryty zny h dla formowania si� klastrów

o okre±lony h rozmiara h. W sz zególno± i je±li posªu»y¢ si� poj�-

iami teorii magnetyzmu mo»emy powi¡za¢ próg perkola yjny dla

wyst¡pienia ± ie»ek perkola yjny h temperatur¡ kryty zn¡ wyst¡-

pienia porz¡dku magnety znego w substan ji, za± próg perkola-

ji, zyli prawdopodobie«stwo przynale»no± i w�zªa do niesko«-

zonego klastra z namagnesowaniem

28

.

3.5.4 Przykªad: sie i na polski h rynka h

Nadszedª zas na przedstawienie nietrywialnego zastosowania teo-

rii sie i zªo»ony h do opisu polskiej ekonomii. Przedstawimy w

skró ie wyniki bada« ekono�zyków z grupy J. A. Hoªysta z Po-

lite hniki Warszawskiej przedstawione w pra a h

29

Autorzy roz-

wa»ali polskie du»e i ±rednie �rmy z puli 50000 zebrany h w bazie

�Baza Kompas Polskie Firmy B2B�. Wzajemne zale»no± i pomi�-

dzy �rmami i bran»ami i h dziaªalno± i zamodelowane zostaªy za

pomo ¡ dwu z�± iowego grafu. W sie i zªo»onej tego typu wyró»-

28

R. Zallen, ibid.

29

A. M. Chmiel et al., Networks of ompanies and bran hes in Poland, Physi a A 383.

134 (2007); A. M. Chmiel et al, Weighted Networks at the Polish Market, w 'E onophysi s

of Markets and Business Networks', eds. Arnab Chatterjee, Bikas K. Chakrabarti, Springer


niamy dwa rodzaje wierz hoªków. Wierz hoªki pierwszego typu

reprezentuj¡ �rmy. Drugiego za± typu bran»e. Kraw�dzie repre-

zentuj¡ przynale»no±¢ �rmy do danej (w ogólno± i wi� ej ni» jed-

nej) bran»y. Zbiór bran»y to A = {1, . . . , Nb = 2150} za± �rm

i = {1, . . . , Nf = 48158}. Je±li przez Z(A) ozna zymy zbiór

�rm nale»¡ y h do bran»y A, wów zas jego li zebno±¢ |Z(A)| de-�niujemy jako pojemno±¢ bran»y. Z przeprowadzony h bada«

wynika, »e maksymalna pojemno±¢ bran»y wynosz¡ ¡ 2486 otrzy-

muje si� w przypadku bran»y konstruk yjnej. Druga w kolejno-

± i to bran»a materiaªów budowlany h o pojemno± i wynosz¡ ej

2334. Je±li przez B(i) ozna zy si� zbiór bran» wªa± iwy h dla

�rmy i, wów zas li zebno±¢ tego zbioru |B(i)| de�niuje ró»no-rodno±¢ �rmy. Warto±¢ ±rednia tej wielko± i

µ =1

Nf

Nf∑

i=1

|B(i)| (3.38)

wynosi µ = 5.99. Podobny sza unek przeprowadzony dla ±redniej

pojemno± i bran»y

ν =1

Nb

Nb∑

A=1

|Z(A)| (3.39)

daje ν = 134.

Kolejne istotne parametry badanego kompleksu uzyskuje si�

studiuj¡ wagi

wAB := |Z(A) ∩ Z(B)|oraz

wij := |B(i) ∩B(j)|W pierwszym przypadku okre±lono prawdopodobie«stwo

p(w) ∼ w−γ(3.40)

przy γ ≈ 2.46, warto± i ±redniej < w >= 4.67 i maksymalnej

wmax = 746. W drugim przypadku p(w) nie jest posta i ekspo-

nen jalnej, za± wmax = 207 jest zde ydowanie mniejsza. Powy»szy


przykªad powinienien przekona¢ zytelnika o istotnej i wa»kiej roli,

jak¡ odgrywaj¡ sie i zªo»one we wspóª zesnej ekono�zy e.

Rozdziaª 4

Epilog

Wybór zagadnie« przedstawiony h w skryp ie nie wy zerpuje tak

szerokiej dziedziny badaw zej jak¡ jest dzi± ekono�zyka. Mamy

jednak nadziej�, »e udaªo si� nam przedstawi¢ najwa»niejsz¡ grup�

modeli �zy zny h u»yte zny h w ekonomii. Ufamy, »e wyniki na-

szej pra y przy zyni¡ si� do dalszego wzrostu popularno± i ekono-

�zyki, jako dziedziny nauki komplementarnej do in»ynierii �nan-

sowej, ekonometrii zy szeroko rozumianej matematyki �nansowej.

Najbli»sze lata, kiedy to skrypt zostanie wdro»ony do nau zania

studentów ekono�zyki, zwery�kuj¡ nasze nadzieje.

171

Spis - Uniwersytet Śląski

Documents

Transcript of Spis - Uniwersytet Śląski