2016‐01‐10

1

Statystyka

Rozkład prawdopodobieństwaTestowanie hipotez

Wykład III (04.01.2016)

Rozkład t-Studenta

Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym;stosuje się go wyznaczenia przedziału ufności dla średniej, wtedy gdy:

1. Populacja, z której pobrano próby ma w przybliżeniu rozkład normalny

2. Rozmiar próby jest mały, tzn. n < 30

3. Odchylenie standardowe dla populacji jest nieznane

2016‐01‐10

2

Rozkład t-Studenta

Rozkład t-Studenta

Zdefiniowany w roku 1908 przez W.S. Gosseta, pracownika browarówGuinnessa w Dublinie. Jest stosowany do badania małych próbek.Rozkład t-Studenta zależy tylko od jednego parametru zwanego liczbąstopnii swobody, lub df (degree of freedom).

Krzywa rozkładu T jest podobna do N(0,1), jest symetryczna, lecz bardziejspłaszczona. Dla dużej liczby stopni swobody jest nierozróżnialna odstandaryzowanego rozkładu normalnego.

Nt

Rozkład t-Studenta

Liczba stopni swobody () określa ile danych ze zbioru można zmienićbez zagrożenia zmianą wyznaczanego parametru.Przy obliczeniu wartości średniej:

Wartość oczekiwana rozkładu T:

a odchylenie standardowe:

Dla n=7:

=7-1=6odchylenie:

)2/()( TV

225.1)26/(6

Rozkład T dla 7 elementowej próby, tzn. przy 6 stopniach swobody vs. N(0,1)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

N(0,1)

t dla = 6

0)( TE

1 n

2016‐01‐10

3

Przedziały ufności dla małej próby

Przedziałem ufności nazywamy taki przedział liczbowy, który z zadanym zgóry prawdopodobieństwem (1-), pokrywa nieznaną wartość parametru tw populacji generalnej. Przedział ufności służy do estymacji(oszacowania) wartości średniej populacji.

gdzie L i P to wartości krytyczne (krańcowe) dla przedziału ufności; to poziom istotności.

Na poziomie ufności (1-) wartość średniej dla populacji zawiera sięw przedziale:

gdzie

Wartość t odczytujemy z tablicy rozkładu T przy stopniach swobodyi przy zadanym poziomie istotności .

xs tx

n

ssx

1)PtL(P

Tabela rozkładu t-Studenta

Tablice zmiennej losowej t-Studenta (T) o stopniach swobody sąopracowane tak, że podają przy założonym poziomie istotności takąwartość krytyczną (t,) zmiennej losowej T dla której zachodzizależność:

)t( ,TP

0

,t

2

2

,t

1

/Powierzchnia pod krzywą rozkładu T

2016‐01‐10

4

Rozkład t-Studenta, przykłady

Przykład:Dla 18 obserwacji wyznacz wartość krytyczną (t,) zmiennej losowej na poziomie ufności 90%.

Poziom ufności: 90% =0.9=(1-)Poziom istotności: = 0.1n = 18, = n – 1 = 17

t0.1,17 1.740

/

Rozkład t-Studenta, przykłady

Przykład:Jaka jest wartość zmiennej losowej t-Studenta o 4 stopniach swobody,która spełnia warunek: ?

Liczba 2.776 spełnia warunek:

/

05.0)t( 4,05.0 TP

05.0)776.2( 4 TP

0

‐2.776 2.776

0.025 0.025

t

2016‐01‐10

5

Rozkład t-Studenta, przykłady

Przykład:Dr Kowalski chciał oszacować średni poziom cholesterolu mieszkańców swojejmiejscowości. Wykonał badanie na próbie 25 osób. Średni poziom cholesteroluw tej grupie wyniósł 186 z odchyleniem standardowym 12. Przy założeniu, żerozkład poziomu cholesterolu mieszkańców miejscowości jest rozkłademnormalnym wyznaczyć 95% przedział ufności średniej zawartości cholesteroludla wszystkich mieszkańców.

Dane: n=25, =186, s=12, (1-)=0.95

= 25-1=24

= 0.05

x

? xs tx

Rozkład t-Studenta, przykłady

Przykład, cd.

Wartość t krytyczne z tablic:t0.05,24 = 2.064

Z 95% zaufaniem można stwierdzić, że średni poziom cholesterolu mieszkańców miejscowości zawiera się w granicach:

[181.05 190.95]

W tym przypadku wartość średnia dla próby jest estymatorem punktowym wartości średniej badanej populacji.

95.41864.2064.2186 x0.05,24 stx

4.225

12

n

ssx

0

‐2.064 2.064

0.025 0.025

t

186x

2016‐01‐10

6

Testowanie hipotez

Testy statystyczne

W przypadku każdego testu statystycznego można popełnić dwa rodzaje błędów:

Błąd pierwszego rodzaju – odrzucenie prawdziwej hipotezyBłąd drugiego rodzaju – przyjęcie hipotezy fałszywej

Trzecia opcja nie istnieje!

Podział testów:Parametryczne – stosowanie ich wymaga przyjęcia założeń o postaci rozkładu testowanej zmiennej losowej oraz znajomości wybranych statystyk

Nieparametryczne – nie wymagają powyższych założeń, ale nie są tak mocne jak testy parametryczne

2016‐01‐10

7

Hipotezy

Weryfikacja hipotezy przebiega według pewnego schematupostępowania zwanego testem statystycznym. Weryfikując hipotezęparametryczną mówimy o teście parametrycznym, w innym przypadkutesty nazywamy nieparametrycznymi.Testy na podstawie wyników z próby losowej pozwalają podjąć decyzjęo przyjęciu bądź odrzuceniu postawionej hipotezy.

Weryfikacja hipotez rozpoczyna się od postawienia i sprawdzenia tzw.hipotezy zerowej, H0.

Następnie formułuje się hipotezę konkurencyjną, którą przyjmuje się wprzypadku odrzucenia hipotezy zerowej. Taką hipotezę nazywamyhipotezą alternatywną, H1.

Hipotezy

PrzykładW zarządzaniu jakością często stawiane jest pytanie:

•czy wartość określonej statystyki uzyskanej z próby losowej(szczególnie gdy próbka ma małą liczebność) pozwala sądzić, żeodpowiada ona wartości wymaganej (spodziewanej)

lub też

•czy poprawa uzyskana w wyniku działań doskanalających jest tylkopozorna (wynika z małej liczby pomiarów sprawdzających), czy jestpoprawą rzeczywistą

Odpowiedzi na tak stawiane pytania uzyskuje się w tzw.testach statystycznych.

2016‐01‐10

8

Wnioskowanie statystyczne

Wnioskowanie statystyczne sprowadza się do weryfikowania hipotezformułowanych na podstawie założonego modelu teoretycznego. Jednymz rodzajów takiego wnioskowania jest wnioskowanie oparte naprzedziałach ufności.

PrzykładInteresuje nas populacja studentów I roku chemii i na podstawiepewnych przesłanek spodziewamy się, że średnia ocen z egzaminóww tej populacji wyniesie 0 = 3.18.

W takim przypadku należy na podstawie wybranej próby sprawdzić czyrzeczywiście wartość średnia populacji jest równa 3.18. Przyjęcie hipotezy zerowejH0: = 3.18 oznacza, że = 3.18

Można sformułować wiele hipotez alternatywnych, ale sens mają tylko trzy:

H1A: <3.18H1B: >3.18H1C: ≠3.18

Wnioskowanie statystyczne

Poziom ufności (1-) jest to prawdopodobieństwo, że nieznana wartośćzmiennej losowej znajduje się wewnątrz przedziału ufności.

Przedział ufności jest to przedział liczbowy, w którym z prawdo-podobieństwem (1- ) znajduje się nieznana wartość zmiennej losowej.

Poziom istotności () jest to prawdopodobieństwo, że nieznana wartośćzmiennej losowej nie znajduje się wewnątrz przedziału ufności.

Wielkość parametru ustala statystyk.Jest to kluczowy parametr w statystyce matematycznej.

2016‐01‐10

9

Wnioskowanie statystyczne

Poziom ufności (1-)(1-)=0.9pole niebieskiej powierzchni wynosi 0.9,czyli stanowi 90% całkowitej powierzchnipod krzywą rozkładu normalnego

0.450.45

x

zPrzedział ufności

1.28‐1.28

Poziom istotności =0.1Suma niebieskich pól wynosi 0.1, czylistanowi 10% całkowitej powierzchni podkrzywą rozkładu normalnego

/2 = 0.05 /2 = 0.05

z0

1.28‐1.28 0

Wnioskowanie statystyczne

Hipoteza typu: < 0, lub > 0 nazywa się hipotezą jednostronną,a test związany z jej weryfikacją - testem jednostronnym.

Analogicznie, testem dwustronnym nazywa się test użyty do weryfikowaniahipotezy dwustronnej, tzn. hipotezy postaci: ≠ 0.Może się zdarzyć, że formułując hipotezę jednostronną test statystycznyda podstawy do jej przyjęcia (bo odrzucona zostanie H0), natomiast niebędzie można przyjąć hipotezy alternatywnej w przypadku hipotezydwustronnej.

Przed przystąpieniem do testowania muszą być sformułowane obiehipotezy: zerowa i alternatywna.

2016‐01‐10

10

Test dwustronny

=3.18

zacieniowany obszar wynosi /2

zacieniowany obszar wynosi /2

C1 C2

Obszarodrzucenia

ObszarodrzuceniaObszar

przyjęcia

wartościkrytyczne

x

Test lewostronny

=3.18

zacieniowany obszar wynosi 

C

Obszarodrzucenia

Obszar przyjęcia

Wartość krytyczna

x

2016‐01‐10

11

Test prawostronny

=3.18

zacieniowany obszar wynosi 

C

Obszar odrzucenia

Obszar przyjęcia

Wartość krytyczna

x

Testy

Test dwustronny

Testlewostronny

Testprawostronny

Znak dla hipotezy zerowej H0

= = lub  ≥ = lub  ≤

Znak dla hipotezy alternatywnej H1

≠ < >

Obszar wykluczenia

Skrajne wartościz obu stron

Skrajne wartości z lewej strony

Skrajne wartości z prawej strony

Podsumowanie zależności między znakiem hipotezy zerowej H0 i alternatywnej H1, a obszarem wykluczenia

2016‐01‐10

12

Testowanie - etapy

Etapy testowania statystycznego:

1.Definicja hipotezy zerowej i alternatywnej

2.Wybór typu rozkładu

3.Wyznaczenie obszarów odrzucenia

4.Obliczenie wartości statystyki testującej

5.Podjęcie decyzji

Testowanie

PrzykładW roku akad. 2007/2008 student poświęcał dziennie średnio 12.44 minuty na sport. W roku2008/2009, na podstawie ankiety przeprowadzonej na grupie 150 osób otrzymano, że średni czasprzeznaczony na zajęcia sportowe wynosił 13.71 a odchylenie standardowe 2.65 min. Napoziomie ufności 95% sprawdzić czy średni czas poświęcony na sport w roku 2008/2009 jestróżny od wartości z roku 2007/2008.

Dane:

Rozmiar próby n=150, średnia z próby min

odchylenie std dla próby s=2.65 min

Etap 1. Definicja hipotezy zerowej i alternatywnej

Hipoteza zerowa H0: = 12.44

tzn. średni czas przeznaczony na sport w roku 2007/2008 i 2008/2009 jest taki sam.

Hipoteza alternatywna H1: ≠ 12.44,

tzn. średni czas przeznaczony na sport w roku 2008/2009 jest różny od 12.44 min.

71.13x

2016‐01‐10

13

Testowanie

Etap 2. Wybór typu rozkładu

Ponieważ rozmiar próby n>30, to można założyć, że rozkład wartości średnich z

próby podlega rozkładowi normalnemu.

Etap 3. Wyznaczenie obszarów odrzucenia

Założony 95% poziom ufności (czyli =0.05) oznacza, że całkowita powierzchnia do

odrzucenia ze standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi 0.05. Wybór hipotezy

alternatywnej (znak ≠) oznacza, że tę powierzchnię dzielimy na dwie części

– z obu stron należy odrzucić powierzchnie o wartości /2 = 0.05/2 = 0.025.

W celu znalezienia wartości krytycznej, rozdzielającej obszar odrzucenia od obszaru

przyjęcia, korzystamy z tablic rozkładu normalnego i odczytujemy wartości z, które

odpowiadają polu powierzchni o wartości 0.025 oraz 0.975 (=1 - 0.025).

x

Testowanie

2016‐01‐10

14

Testowanie

Wartości krytyczne wynoszą 1.96 i -1.96.Jeżeli wartość x leży w przedziale ufności, to należy przyjąć hipotezę zerową H0, winnym przypadku hipoteza ta powinna zostać odrzucona. W tym celu dla wartości. dla próby (wartość obserwowalna) należy obliczyć wartość z, nazywana statystykątestującą. Jeśli statystyka testująca leży w przedziale [-1.96 1.96] to hipotezazerowa H0 nie powinna być odrzucona.

x

Testowanie

Etap 4. Obliczenie statystyki testującej

Dla dużej próby statystyka z dla wartości średniej z próby wyznaczana jest

następująco:

jeżeli jest znane

jeżeli jest nieznane

gdzie i

Wartość z obliczona dla wartości nosi nazwę obserwowalnej wartości z.

Ponieważ nie jest znane, wartość z obliczana jest na podstawie :

Wartość z wyznaczona na podstawie wartości nazywana jest obliczoną wartością

statystyki testującej.

x

x

x

x

-x

z

x

-x

sz

nx / ./ nssx

87.52163.0

44.1271.13

x

-x

sz

2163.0

150

65.2

n

ssx

2016‐01‐10

15

Testowanie

=12.44

/2=0.025/2=0.025

‐1.96 1.96

Obszarodrzucenia H0

Obszarodrzucenia H0Obszar

akceptacji

wartościkrytyczne

x

Poziom istotności=0.05

0.475 0.475

z5.87

Testowanie

Etap 5. Podjęcie decyzji

Ponieważ wartość z przekracza górne granice przedziału [-1.96 1.96], należy więc

odrzucić hipotezę zerową.

Oznacza to, że średni dzienny czas przeznaczony na sport w roku akad. 2008/2009

różni się od 12.44 min.

Z 95% prawdopodobieństwem można stwierdzić, że w roku akad. 2008/2009 studenci

w ciągu dnia nie przeznaczyli średnio na sport 12.44 min.

Z 5% prawdopodobieństwem można stwierdzić, że w roku 2008/2009 studenci

przeznaczyli na sport tyle samo czasu co w roku 2007/2008.