Skrypt do wykładu Z Analizy Matematycznej -...

Skrypt do wykładu z Analizy Matematycznej dla I roku1

studiów zawodowych z matematyki

dr Jarosław Kotowicz

19 maja 2004

1 c©Jarosław Kotowicz 2002, 2003, 2004

Spis treści

Spis rysunków 6

Spis tabel 7

Wstęp 8

1 Zbiory. Relacje. Kresy 10

1.1 Spójniki logiczne i kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Podstawowe pojęcia i działania na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Relacja, jako zbiór. Podstawowe typy relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Zbiory uporządkowane. Kresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Ciała liczbowe. Liczby rzeczywiste 14

2.1 Ciało liczbowe i ciało uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Przedziały liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Funkcje w zbiorze liczb rzeczywistych. Indukcja matematyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Funkcje 21

3.1 Ogólne własności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Monotoniczność i ograniczoność funkcji. Funkcje parzyste i nieparzyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Wypukłość i wklęsłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Działania określone dla funkcji rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Ciągi liczbowe 28

4.1 Granica ciągu. Ciągi zbieżne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Własności ciągów zbieżnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Podciągi. Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Monotoniczność, a zbieżność. Ciągi Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5 Ważne ciągi i ich granice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6 Ciągi rozbieżne do nieskończoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7 Inne twierdzenia o granicach ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.8 Granica górna i dolna ciągu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Szeregi liczbowe 43

5.1 Pojęcie szeregu liczbowego. Zbieżność szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Kryteria zbieżności dowolnych szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Szeregi nieujemne i ich kryteria zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4 Zbieżność bezwględna szeregu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5 Szeregi naprzemienne i warunkowo zbieżne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.6 Iloczyn Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2

Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz 3

6 Elementy topologii – przestrzenie metryczne 54

6.1 Przestrzenie metryczne. Prosta euklidesowa i rozszerzona prosta euklidesowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Zbiory otwarte i domknięte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie metryczne zupełne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4 Zbiory i przestrzenie (ciągowo) zwarte, lokalnie zwarte i spójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.5 Dodatek – przestrzeń topologiczna, przestrzeń topologiczna zwarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Granica i ciągłość funkcji 64

7.1 Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.2 Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.3 Jednostajna ciągłość. Warunek Lipschitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.4 Wahanie funkcji w punkcie, a ciągłość. Funkcje wypukłe i ciągłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.5 Ciągłość i zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.6 Ciągłość i spójność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.7 Nieciągłość. Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.8 Ciągłość elementarnych funkcji rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.9 Granica górna i dolna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej 83

8.1 Różniczkowalność funkcji. Pochodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.2 Działania algebraiczne na funkcjach różniczkowalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.3 Twierdzenia o wartości średniej rachunku różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.4 Monotoniczność, a pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.5 Jednostajna ciągłość, a pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.6 Ekstrema. Ekstrama, a pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.7 Reguła de l’Hospitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.8 Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.9 Wzór Taylora i jego zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.10 Wklęsłość i wypukłość, a pochodna. Punkty przegięcia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9 Całka nieoznaczona 100

9.1 Podstawowe pojęcia i wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.2 Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.3 Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.4 Całkowanie funkcji niewymiernych. Podstawienia Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10 Całki właściwe Riemanna i Riemanna - Stieltjesa 105

10.1 Definicja całki Riemanna i Riemanna - Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

10.2 Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna - Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

10.3 Własności całki Riemanna - Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10.4 Zamiana zmiennych w całce Riemanna - Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10.5 Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna – twierdzenie Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10.6 Całkowanie (całka Riemanna), a różniczkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10.7 Twierdzenia o wartości średniej dla całki Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

10.8 Całka Riemanna - Stieltjesa względem funkcji o wahaniu skończonym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11 Całki niewłaściwa 129

11.1 Całki niewłaściwe Riemmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

11.2 Zbieżność całki w sensie wartości głównej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

11.3 Ważne całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

11.4 Funkcja logarytmiczna (wg Kleina) i wykładnicza – inaczej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4 Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz

12 Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych 142

12.1 Funkcje wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12.2 Długość łuku krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

13 Ciągi i szeregi funkcyjne 146

13.1 Różnego rodzaju zbieżności ciągów funkcyjnych i związek między nimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

13.2 Ciągłość funkcji granicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

13.3 Przestrzeń C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

13.4 Zbieżność szeregów funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

13.5 Całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

13.6 Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

13.7 Istnienie funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

13.8 Twierdzenie Stone’a - Weierstrassa (rzeczywiste) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

13.9 Twierdzenie Stone’a - Weierstrassa (zespolone) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

14 Szeregi potęgowe i funkcje analityczne 169

14.1 Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

14.2 Funkcje analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

15 Całka Lebesgue’a na prostej euklidesowej 177

15.1 Miara nieujemna i jej własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

15.2 Miara zewnętrzna. Przedłużanie miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

15.3 Konstrukcja miary Lebesgue’a na prostej euklidesowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

15.4 Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

15.5 Całka Lebesgue’a na prostej euklidesowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

A Zadania z egzaminów 200

A.1 Egzamin w semestrze zimowym – rok akademicki 2001/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

A.1.1 Termin pierwszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

A.1.2 Termin poprawkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200




A.2.3 Egzamin komisyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

A.3 Egzamin w semestrze letnim – rok akademicki 2002/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202






A.4.3 Egzamin komisyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

B Zagadnienia na egzamin teoretyczy 205

C Zadania utrwalające i rozszerzające materiał wykładu 211

C.1 Zadania do rozdziału I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

C.2 Zadania do rozdziału II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

C.3 Zadania do rozdziału III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

C.4 Zadania do rozdziału IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

C.5 Zadania do rozdziału V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

C.6 Zadania do rozdziału VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

C.7 Zadania do rozdziału VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215


C.8 Zadania do rozdziału VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217C.9 Zadania do rozdziału IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217C.10 Zadania do rozdziału X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217C.11 Zadania do rozdziału XI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218C.12 Zadania do rozdziału XII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218C.13 Zadania do rozdziału XIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219C.14 Zadania do rozdziału XIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219C.15 Zadania do rozdziału XV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Skorowidz 198219

Bibliografia 226

Spis rysunków

7.1 Rysunek pomocniczy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6

Spis tabel

1.1 Spójniki logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Kwantyfikatory logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.1 Własności przestrzeni metrycznych – (Q, dE), E1, E1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.1 Funkcje elementarne i ich pochodne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.2 Funkcje cyklometryczne i ich pochodne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.1 Funkcje elementarne i ich funkcje pierwotne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.2 I Podstawienia Eulera (a > 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3 II Podstawienia Eulera (c > 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.4 III Podstawienia Eulera (ax2 + bx+ c = a(x− λ)(x− µ) oraz λ 6= µ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7

Wstęp

Niniejszy skrypt jest przygotowywany przeze mnie z myślą o studentach studiów zawodowych w Instytucie MatematykiUniwersytetu w Białymstoku. Skrypt ma być pomocny w usystematyzowaniu wiedzy z wykładów. Jest on stale rozwijany iuzupełniany. Przygotowany jest przede wszystkim dla wykładu prowadzonego przeze mnie w roku akademickim 2003/2004na podstawie wykładów prowadzonych przeze mnie w poprzednich latach.

Ponieważ Analiza matematyczna jest przedmiotem klasycznym, więc przygotowując niniejszy skrypt opierałem się oistniejące już podręczniki i tak

rozdział i. Kwantyfikatory, zbiory, relacje są przedmiotem klasycznego wykładu zeWstępu do matematyki. Przygoto-wując je korzystałem z podręcznika H. Rasiowej [14]. Analogiczne fakty o relacjach podane są również w podręczniku K.Maurina [11, 12]. Osobom pragnące przećwiczyć podany materiał polecam zbiór autorstwa W. Marek, J. Onyszkiewicz[19]. Przygotowując ostatni paragraf skorzystałem z książki W. Rudina [15].

rozdział ii. Pojęcia ciała i ciała uporządkowanego jest przedmiotem wykładu z Algebry liniowej i tutaj polecampodręcznik A. Białynickiego - Biruli [2]. Świadomie zrezygnowałem z podawania konstrukcji liczb rzeczywistych, chociażnie prowadzony jest już wykład z Arytmetyki teoretycznej. Osobom zainteresowanym polecam podręcznika W.Rudnia [15] dla konstrukcji Dedekinda oraz do K. Maurina [11, 12] dla konstrukcji Cauchy’ego. Osoby pragnące poznaćkonstrukcje liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych powinny sięgną po podręcznik A. Grzegorczyka [6] lub książkęJ. Słupeckiego, K. Hałkowskiej, K. Piróg-Rzepackiej [7]. Pozostała część materiału tego rozdziału zawarta jest np. w[15, 10, 8, 1]

rozdział iii. Materiał dotyczący pojęcia funkcji i jej klasycznych własności (monotoniczność, ograniczoność, parzystość,itp.) znajduje się w każdym z podręczników [15, 10, 8, 1]. Dokładniejsze omówienie funkcji wypukłych podane jest wpodręczniku A. Birkholca [1] i w ćwiczeniach w podręczniku W. Rudina [15]. Ćwiczenia pozwalające oddzielić pojęciefunkcji od relacji znajdują się w [19].

rozdział iv. Materiał dotyczący ciągów liczbowych został opracowany w duchu podręcznika K. Kuratowskiego [8]. Zrezy-gnowałem z bardziej ogólnego pojęcia ciągu w przestrzeni metrycznej, jak prezentowane jest to w [15] ze względu naprzygotowanie studentów wyniesione ze szkoły średniej. Uważałem, że powinni wpierw opanować sposób dowodzeniatwierdzeń w oparciu o pojęcia ze szkoły średniej. Materiał tego rozdziału znajduje się w podręcznikach [10, 5, 1, 12, 11] ztym, że w [1] pojęcie ciągu zbieżnego jest wprowadzane łącznie z granicą funkcji. Paragraf 4.5 pomimo, że jest klasyczny,to forma jego przedstawienia oparta jest o [15]. Włączyłem do tego rozdziału lemat Toepliza między innymi dlatego,że wykładając rachunek prawdopodobieństwa konieczny jest on do dowodu centralnego twierdzenia granicznego.

rozdział v. Rozdział ten poświęcony szeregom liczbowych został skomponowany w oparciu o podręczniki K. Kuratow-skiego [8] i głównie W. Rudina [15]. Jedyną różnicą w stosunku do [15] jest wyraźne wydzielenie zbieżności szeregównieujemnych. Dowód twierdzenia Riemanna pochodzi z [15]. Materiał tego rozdziału można znaleźć w [10, 5, 1, 12, 11]

rozdział vi. Niestety wykład z Topologii jest na roku drugim. Ponieważ podejście do granicy funkcji w punkcie i ciągłościfunkcji jest bardzo naturalne dla przestrzeni metrycznych i jest moim zdaniem podstawowym zdecydowałem się podaćpodstawowe fakty z tego działu matematyki. Opierałem się tutaj na podręczniku K. Kuratowskiego [9]. Materiałkonieczny znajduje się również w [15, 1, 11, 12]. Pełny wykład z topologi zawiera podręcznik R. Engelkinga [4].

rozdział vii. Podejście do granicy funkcji i ciągłości prezentowane przeze mnie jest najbardziej klasyczne, gdyż pozwalaautomatycznie przenieść omawiane pojęcia na funkcje wielu zmiennych. Inspiracją dla tego rozdziału były podręczniki

8


W. Rudina [15] oraz A. Birkholca [1]. Dwa ostanie paragrafy tego rozdziału powstały w oparciu o podręcznik [1]. Uczącsię należy również korzystać z podręczników [10, 8, 5, 11, 12]

rozdział viii. Definicja pochodnej podawana w skrypcie pochodzi z podręcznika A. Birkholca [1]. Niestety pomimo naj-większej jej ogólności i tak w praktyce definiujemy pochodną dla punków przedziału (sumy przedziałów). W przypadkuprzedziału domkniętego nie przenosi się ona na funkcje wielu zmiennych. W związku z tym opieram się następnie naprzedstawieniu materiału przez W. Rudina [15] i K. Maurin [11, 12] wykorzystując podręcznik A. Birkholca [1], jak ipodręczniki [8, 10, 5]. Dowód twierdzenia de l’Hospitala pochodzi z [1].

rozdział ix. Materiał tego rozdziału można znaleźć w [8, 5, 10, 1]. Dobrym zbiorem zadań do przećwiczenia liczenia całekniewłaściwych jest jest [18].

rozdział x. Materiał tego rozdziału powstał w oparciu o podręcznik W. Rudina [15]. Elementy znajdują się równieżw [8, 5, 10, 12, 11]. Należy podkreślić, że wybór całki Riemanna-Stieltjesa tylko względem funkcji niemalejącychuzasadnione jest rozkładem Jordana funkcji o wahaniu ograniczonym. Takie podejście jest bardziej przejrzyste. Ogólnepojęcie całki Riemanna-Stieltjesa przedstawione w ostatnim paragrafie pochodzi z podręcznika St. Łojasiewicza [13].

rozdział xi. Głównym podręcznikiem dla tego rozdziału jest podręcznik G.M. Fichtenholz [5]. Elementy zawarte są w[8, 15, 10]. Ostatni paragraf zaczerpnięty został z [12, 11].

rozdział xii. Głównym podręcznikiem dla tego rozdziału jest [15]. Krzywe prostowalne są omawiane w [13].

rozdział xiii. Materiał do tego rozdziału powstał głownie na podstawie moich notatek z wykładu dr. W. Lisieckiego,na które uczęszczałem jako student (pojęcie zbieżność lokalnie jednostajnej). Materiał do tego rozdziału znajdujesie w [15, 12, 11]. Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa jest również omówione w [13] i każdym podręczniku z AnalizyFunkcjonalnej.

rozdział xiv. Głównymi podręcznikami są [15, 1, 12]. Pozostała część powstała na podstawie moich notatek z wykładudr. W. Lisieckiego.

rozdział xv. Ponieważ kilkukrotnie wykładałem przedmiot Teoria miary i całki Lebesgue’a rozdział ten powstał napodstawie notatek przygotowanych przeze mnie do tego wykładu. Podręcznikami zawierającymi materiał tego rozdziałusą [15, 3, 13, 17, 16].

Jeżeli ma być podstawą do przygotowania się do egzaminu w roku akademickim 2003/2004, to należy przeczytać nastę-pujące uwagi:To czego nie było na wykładach w roku akademickim zostało zaznaczone kolorem czerwonym, chyba, że jest odnośnik,

że było. Jeżeli kolorem czerwonym został zaznaczony tytuł jakiegoś paragrafu (fragment tytułu), to jest on (paragraf albojego fragment) nieobowiązkowy. Jeżeli kolorem czerwonym została zaznaczona jakaś uwaga, prosta konsekwencja definicjialbo fakt, to należy je znać, gdyż na wykładzie nie były zapisane, lecz były powiedziane. Jeżeli kolorem czerwonym zostałazaznaczona dowód, to należy go znać, gdyż twierdzenie było sformułowane, lecz należało takie twierdzenie dowieść w domu.Zaznaczenie kolorem czerwonym odbywać się będzie sukcesywnie w miarę odbywania się kolejnych wykładów. W wersji z dnia22 kwietnia 2004 roku materiał z dowodami jest łącznie z rozdziałem o całkowaniu funkcji wektorowych funkcji. Pozostałerozdziały są na razie być może z lukami w dowodach.Najważniejsza informacja

Skrypt został tak przygotowany, że nie można go wydrukować wdomu. Należy skorzystać z papierowej wersji znajdującej się w

czytelni Instytutu.Wszystkim studentom życzę miłej lektury.

Rozdział 1

Zbiory. Relacje. Kresy

1.1 Spójniki logiczne i kwantyfikatory

Będziemy posługiwać się następującymi spójnikami logicznymi

nazwa spójnika odpowiednik słowny spójnika symbol spójnika

koniunkcja i ∧alternatywa lub ∨implikacja jeżeli . . . to . . . ⇒równoważność . . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . . ⇔zaprzeczenie nie ¬

Tabela 1.1: Spójniki logiczne

Będziemy używać następujących kwantyfikatorów

nazwa kwantyfikatora odpowiednik słowny kwantyfikatora symbol kwantyfikatora

ogólny dla każdego ∀szczegółowy (egzystencjalny) istnieje ∃

Tabela 1.2: Kwantyfikatory logiczne

1.2 Podstawowe pojęcia i działania na zbiorach

Definicja 1.2.1 Niech A, B będą zbiorami. Wówczas

A ∪B def= {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} (1.1)

A ∩B def= {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} (1.2)

A \B def= {x : x ∈ A ∧ x /∈ B} (1.3)

A×B def= {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B} (1.4)

A ⊂ B ⇔ ∀xx ∈ A⇒ x ∈ B. (1.5)

Niech ponadto X będzie uniwersum - przestrzenią. Wówczas

A′def= X \A (1.6)

Uwaga 1.2.1 Zbiór A ∪B, nazywamy sumą zbiorów A i B.

10


Uwaga 1.2.2 Zbiór A ∩B, nazywamy przekrojem (częścią wspólną lub iloczynem) zbiorów A i B.

Uwaga 1.2.3 Zbiór A \B nazywamy różnicą zbiorów A i B.

Uwaga 1.2.4 Zbiór A×B, nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B.

Uwaga 1.2.5 Jeżeli A ⊂ B, to mówimy, że A jest podzbiorem zbioru B.

Uwaga 1.2.6 Zbiór A′ nazywamy dopełnieniem zbioru A.

Definicja 1.2.2 Zbiorem potęgowym zbioru X nazywamy zbiór wszystkich jego podzbiorów i oznaczamy go 2X .

Definicja 1.2.3 Niech A będzie zbiorem. Mówimy, że x jest elementem zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ A.

Definicja 1.2.4 Jeżeli zbiór nie zawiera żadnego elementu, to mówimy, że jest pusty i oznaczamy go symbolem ∅.

Przykład 1.2.1 Niech A = {a, b, c} i B = {a, c, d}. Wtedy

A ∪B = {a, b, c, d}

A ∩B = {a, c}

A \B = {b}

A×B = {(a, a), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, c), (c, d)}.

Jeżeli dodatkowo X = {a, b, c, d, e}, toA′ = {d, e}.

Definicja 1.2.5 (Suma oraz przekrój dowolnej ilości zbiorów) Niech I będzie niepustym zbiorem (nazywać go będzie-my zbiorem indeksów). Niech {Ai : i ∈ I} będzie rodziną zbiorów indeksowaną elementami zbioru I (tzn. jest to zbiór, któregoelementami są inne zbiory). Mamy wtedy ⋃

i∈I

Aidef= {x : ∃i0∈Ix ∈ Ai0} (1.7)

⋂i∈I

Aidef= {x : ∀i∈Ix ∈ Ai} (1.8)

Uwaga 1.2.7 W literaturze sumę oraz przekrój dowolnej ilości zbiorów nazywa się również sumą uogólnioną i przekrojem(iloczynem) uogólnionym.

Uwaga 1.2.8 W przypadku, gdy I = N piszemy

⋃i∈N

Ai ≡+∞⋃i=1

Ai oraz⋂i∈N

Ai ≡+∞⋂i=1

Ai.

Analogicznie, gdy I = Z piszemy ⋃i∈Z

Ai ≡+∞⋃i=−∞

Ai oraz⋂i∈Z

Ai ≡+∞⋂i=−∞

Ai.

1.3 Relacja, jako zbiór. Podstawowe typy relacji

Definicja 1.3.1 Relacją R określoną w iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy dowolny podzbiór tego iloczynu tzn.

R jest relacją na A×B ⇔ R ⊂ A×B. (1.9)

Będziemy oznaczać xRy ⇔ (x, y) ∈ R.

Definicja 1.3.2 Niech R ⊂ A×B będzie relacją. Dziedziną relacji R nazywamy zbiór

{x ∈ A : ∃y∈Y xRy}. (1.10)

Przeciwdziedziną relacji R nazywamy zbiór{y ∈ B : ∃x∈XxRy}. (1.11)


Uwaga 1.3.1 Zauważmy, że dziedzina nie musi być równa zbiorowi A, a przeciwdziedzina nie musi być równa zbiorowi B.

Definicja 1.3.3 Niech R ⊂ A×B będzie relacją. Relacją odwrotną do R oznaczaną R−1 nazywamy podzbiór iloczynu B×Azadany formułą

∀x∈B∀y∈AxR−1y ⇔ yRx. (1.12)

Definicja 1.3.4 Niech R ⊂ A×B będzie relacją. Relację R nazywamy prawostronnie jednoznaczną wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x∈A∀y1,y2∈BxRy1 ∧ xRy2 ⇒ y1 = y2 (1.13)

Uwaga 1.3.2 Jeżeli R ⊂ A×B, to możemy rozpatrywać relację R na D ×D, gdzie D def= A ∪B.Ograniczymy się więc do relacji określonych na iloczynie kartezjańskim tego samego zbioru.

Definicja 1.3.5 Relację R ⊂ A×A nazywamyzwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x∈A xRx (1.14)

przeciwzwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x∈A¬xRx (1.15)

symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y∈AxRy ⇒ yRx (1.16)

asymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y∈AxRy ⇒ ¬yRx (1.17)

antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y∈AxRy ∧ yRx⇒ x = y (1.18)

przechodnią wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y,z∈AxRy ∧ yRz ⇒ xRz (1.19)

spójną wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y zachodzi dokładnie jedna z możliwości xRy albo yRx albo x = y (1.20)

Uwaga 1.3.3 W literaturze z podstaw matematyki relację spójną określa się w sposób następujący

∀x,yxRy ∨ yRx ∨ x = y. (1.21)

My w naszym wykładzie posługujemy się definicją pochodzącą z podręcznika W. Rudina.

Przykład 1.3.1 Relacja równoległości dla prostych na płaszczyźnie jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.Relacja prostopadłości dla prostych na płaszczyźnie jest przeciwzwrotna, symetryczna.W zbiorze liczb rzeczywistych relacja mniejszości jest przeciwzwrotna, asymetryczna, przechodnia i spójna.W zbiorze liczb rzeczywistych relacja niewiększości (¬) jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.

Definicja 1.3.6 Relację R nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechod-nia.

Definicja 1.3.7 Niech X 6= ∅ oraz niech < będzie relacją określoną na X × X. Mówimy, że para (struktura) (X,<) jestzbiorem uporządkowanym wtedy i tylko wtedy, gdy < jest spójna i przechodnia.Relację < nazywamy porządkiem na zbiorze X.

Definicja 1.3.8 Niech X 6= ∅ oraz niech R będzie relacją określoną na X × X. Mówimy, że relacja R jest porządkiemczęściowym wtedy i tylko wtedy, gdy R jest zwrotna i przechodnia.


1.4 Zbiory uporządkowane. Kresy

Uwaga 1.4.1 Piszemy dla x, y ∈ X, gdzie (X,<) jest zbiorem uporządkowanym

x ¬ y ⇔ x < y albo x = y (1.22)

Definicja 1.4.1 Niech X będzie zbiorem uporządkowanym przez relację <. Niech ponadto ∅ 6= A ⊂ X.Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry (z dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki element β z X, że dla dowolnegoelementu x z A zachodzi x ¬ β (β ¬ x).Zbiór A nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z góry i dołu.

Definicja 1.4.2 Niech X będzie zbiorem uporządkowanym przez relację <. Niech ponadto ∅ 6= A ⊂ X.Mówimy, że element α jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego x ∈ A zachodzix ¬ α (α ¬ x).

Definicja 1.4.3 Niech X będzie zbiorem uporządkowanym przez relację <. Niech ponadto ∅ 6= A ⊂ X będzie podzbioremograniczonym z góry (z dołu).Element α jest kresem górnym (dolnym) zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy(i) α jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru A(ii) dla dowolnego elementu y z X takiego, że y < α (α < y) wynika, że y nie jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru

A

Wniosek 1.4.1 Dla dowolnego niepustego i ograniczonego zbioru A mamy inf A ¬ supA.

Szkic dowodu. Dowód oczywisty, gdyż biorąc dowolny element x zbioru A mamy inf A ¬ x ¬ supA. 2

Definicja 1.4.4 Mówimy, że zbiór uporządkowany X posiada własność kresów dolnych wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdegoniepustego i ograniczonego z dołu zbioru S ⊂ X w X istnieje kres dolny zbioru S.

Uwaga 1.4.2 Z własności kresów można udowodnić następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1.4.1 Niech X będzie zbiorem uporządkowanym posiadającym własność istnienia kresów dolnych. Niech S ⊂ Xbędzie niepustym zbiorem ograniczonym z dołu. Oznaczmy przez L zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru S. Wtedy

α = supL, (1.23)

istnieje i α = inf S. W szczególności inf S istnieje w X.

Szkic dowodu.Ponieważ zbiór S jest ograniczony z dołu, a więc zbiór L jest niepusty, poza tym jest ograniczony z góry przez każdy

element zbioru S. Stąd L ma kres górny. Niech α = supL. Należy pokazać, że

1. α jest ograniczeniem dolnym zbioru S (co jest równoważne temu, że α ∈ L)

2. α jest największym ograniczeniem dolnym zbioru S.

ad. 1 Niech γ będzie dowolne takie, że γ < α. Wtedy γ nie jest ograniczeniem górnym zbioru L (z definicji kresugórnego) i co ważniejsze nie należy do S, gdyż każdy element zbioru S jest ograniczeniem górnym zbioru L. Udowodniliśmyzdanie

∀γγ < α⇒ γ 6∈ S.

Z prawa kontrapozycji jest ono równoważne∀γγ ∈ S ⇒ γ α.

Czyli α ∈ L.ad. 2 Niech β będzie dowolne takie, że β > α. Wtedy β nie należy do L, gdyż gdyby należało, to α nie byłby kresem

górnym. Udowodniliśmy zdanie∀ββ > α⇒ β 6∈ L.

Na podstawie tych dwóch warunków α = inf S. 2

Rozdział 2

Ciała liczbowe. Liczby rzeczywiste

2.1 Ciało liczbowe i ciało uporządkowane

Definicja 2.1.1 Niech F 6= ∅. Strukturę (F,+, 0, ·, 1) nazywamy ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące warunki

0 ∈ F ∧ 1 ∈ F ∧ 0 6= 1 (2.1)

+ : F × F → F ∧ · : F × F → F (2.2)

∀x,y∈Fx+ y = y + x (2.3)

∀x,y,z∈F (x+ y) + z = x+ (y + z) (2.4)

∀x∈Fx+ 0 = x (2.5)

∀x∈F∃−x∈Fx+ (−x) = 0 (2.6)

∀x,y∈Fx · y = y · x (2.7)

∀x,y,z∈F (x · y) · z = x · (y · z) (2.8)

∀x∈Fx · 1 = x (2.9)

∀x∈F\{0}∃x−1∈Fx · x−1 = 1 (2.10)

∀x,y,z∈Fx · (y + z) = x · y + x · z (2.11)

Definicja 2.1.2 Ciało (F,+, 0, ·, 1) nazywamy ciałem uporządkowanym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje porządek < w zbiorzeF spełniający warunki

∀x,y,z∈F y < z ⇒ x+ y < x+ z (2.12)

∀x,y∈Fx > 0 ∧ y > 0⇒ x · y > 0 (2.13)

Oznaczamy je przez (F,+, 0, ·, 1, <)

Twierdzenie 2.1.1 Niech (F,+, 0, ·, 1) będzie ciałem. Wtedy dla dowolnych x, y, z ∈ F zachodzi

x+ y = x+ z ⇒ y = z (2.14)

x+ y = x ⇒ y = 0 (2.15)

x+ y = 0 ⇒ y = −x (2.16)

−(−x) = x (2.17)

x 6= 0 ∧ xy = xz ⇒ y = z (2.18)

x 6= 0 ∧ xy = x ⇒ y = 1 (2.19)

x 6= 0 ∧ xy = 1 ⇒ y = x−1 (2.20)

x 6= 0 ⇒ (x−1)−1 = x (2.21)

0x = 0 (2.22)

x 6= 0 ∧ y 6= 0 ⇒ xy 6= 0 (2.23)

14


(−x)y = −(xy) = x(−y) (2.24)

(−x)(−y) = xy (2.25)

Szkic dowodu.Jest to proste ćwiczenie z algebry. 2

Twierdzenie 2.1.2 Niech (F,+, 0, ·, 1, <) będzie ciałem uporządkowanym. Wtedy dla dowolnych x, y, z ∈ F zachodzi

x > 0 ⇔ −x < 0 (2.26)

x > 0 ∧ y < z ⇒ xy < xz (2.27)

x < 0 ∧ y < z ⇒ xy > xz (2.28)

x 6= 0 ⇒ x2 > 0 (2.29)

1 > 0 (2.30)

0 < x < y ⇒ 0 < y−1 < x−1 (2.31)

Szkic dowodu.Jest to proste ćwiczenie z algebry. 2

Definicja 2.1.3 Niech (F,+, 0, ·, 1) będzie ciałem. Niech ponadto x, y ∈ F . Określamy działania

− : F × F → F x− y def= x+ (−y); (2.32)

/ : F × F → F x/ydef= x · y−1. (2.33)

2.2 Liczby rzeczywiste

Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych tzn. N = {1, 2, 3, . . .} oraz Z będzie zbiorem liczb całkowitych tzn. Z def= N ∪ {0} ∪(−N).

Uwaga 2.2.1 W przeciwieństwie do szkoły średniej liczby naturalne zaczynają się od jedynki.

Definicja 2.2.1 Niech p, q ∈ Z. Liczbą wymierną nazywamy dowolną liczbę postaci pq , gdzie q 6= 0. Zbiór liczb wymiernychoznaczamy Q.

Lemat 2.2.1 Liczba√2 nie jest liczbą wymierną.

Szkic dowodu. (ad absurdum)Niech

√2 = pq , gdzie p, q ∈ N oraz NWD (p, q) = 1. Wtedy 2q2 = p2. Ponieważ lewa strona równości jest podzielna przez

2, więc i prawa musi być podzielana przez 2. Stąd wynika, że 2|p, a więc 2q2 = 4p21 i p1 ∈ N. Analogiczne rozumowaniepokazuje, że 2|q, a więc NWD (p, q) 2, co kończy dowód.

2

Twierdzenie 2.2.1 (Zasada ciągłość Dedekinda) Istnieje ciało uporządkowane R posiadające własność istnienia kresówdolnych. Ciało to zawiera Q, jako podciało.

Szkic dowodu.Dowód znajduje się w podręczniku W. Rudina, ”Podstawy analizy matematycznej”. Osoby chętne zapraszam do jego

przejrzenia. 2

Uwaga 2.2.2 Dla formalności przytoczymy definicje kresów, jakimi będziemy się posługiwać w zbiorze liczb rzeczywistych.

Definicja 2.2.2 Niech zbiór ∅ 6= A ⊂ R będzie ograniczony z dołu. Liczba α jest kresem dolnym zbioru A wtedy i tylko wtedy,gdy

∀x∈Aα ¬ x (2.34)

∀ε>0∃x∈Ax < α+ ε (2.35)


Definicja 2.2.3 Niech zbiór ∅ 6= A ⊂ R będzie ograniczony z góry. Liczba α jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylkowtedy, gdy

∀x∈Ax ¬ α (2.36)

∀ε>0∃x∈Ax > α− ε (2.37)

Przykład 2.2.1 Dla zbioru postaci {x ∈ R : 0 < x < 1} kresem górnym jest liczba 1, a dolnym liczba 0.

Stwierdzenie 2.2.1 Niech A,B ⊂ R będą niepuste. Wówczas(i) jeżeli B są ograniczone z góry i A ⊂ B, to supA ¬ supB(ii) jeżeli B są ograniczone z dołu i A ⊂ B, to inf A inf B(iii) Jeżeli A jest ograniczony z góry i B jest ograniczony z dołu oraz dla dowolnych x ∈ A i y ∈ B zachodzi x ¬ y, to

supA ¬ inf B.

Szkic dowodu.Dowód (i). Z założeń wynika, że zbiór A jest ograniczony z góry. Ponieważ supB jest ograniczeniem górnym zbioru

B, więc jest i ograniczeniem górnym zbioru A. A ponieważ supA jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A stądzachodzi teza.Dowód (ii). Z założeń wynika, że zbiór A jest ograniczony z dołu. Ponieważ inf B jest ograniczeniem dolnym zbioru B,

więc jest i ograniczeniem dolnym zbioru A. A ponieważ inf A jest największym ograniczeniem dolnym zbioru A stąd zachodziteza.Dowód (iii). Z założeń wynika, że zbiór A jest podzbiorem zbioru ograniczeń dolnych (oznaczmy ten zbiór L) zbioru B.

Na mocy twierdzenia 1.4.1 mamy supL = inf B, a z (i) supA ¬ supL. To kończy dowód. 2

Twierdzenie 2.2.2 (Zasada Archimedesa) Jeżeli x, y ∈ R i x > 0, to istnieje taka liczba naturalna n, że nx > y.

Szkic dowodu.(ad absurdum) Niech A = {nx : n ∈ N}. Niech zbiór A będzie ograniczony z góry. Ponieważ zbiór A jest niepusty więc

istnieje kres górny. Niech α = supA. Ponieważ α − x < α więc α − x nie jest ograniczeniem górnym. Istnieje m ∈ N takie,że α− x < mx co jest równoważne temu α < (m+ 1)x, a ponieważ (m+ 1)x ∈ A więc α nie jest kresem górnym. 2

Twierdzenie 2.2.3 (Gęstość Q w R) Jeżeli x, y ∈ R i x < y, to istnieje p ∈ Q takie, że x < p < y.

Szkic dowodu.Niech spełnione będą założenia twierdzenia. Wtedy y − x > 0. Stosując zasadę Archimedesa (twierdzenie 2.2.2) do liczb

y − x i 1 rozważmy n ∈ N takie, że n(y − x) > 1. Stosując zasadę Archimedesa jeszcze dwukrotnie do liczb 1 i nx oraz 1 i−nx otrzymujemy, że istnieją m1,m2 ∈ N takie, że −m2 < nx < m1. Rozważmy taką liczbę m ∈ Z, że1

m− 1 ¬ nx < m.

Wtedy nx < m ¬ nx+ 1 < ny. Ostateczniex <

m

n< y,

co kończy dowód. 2

Twierdzenie 2.2.4 (o istnieniu pierwiastka stopnia n) Dla dowolnej liczby rzeczywistej x > 0 i dowolnej liczby natu-ralnej n istnieje jedna i tylko jedna dodatnia liczba rzeczywista y taka, że yn = x.

Szkic dowodu.Istnienie Niech

E = {t > 0 : tn < x} .

Wtedy dla a = xx+1 i b = x+ 1 mamy 0 < a < 1 i a < x więc an < a < x, czyli a ∈ E, a więc E 6= ∅ oraz b > 1 i b > x więc

bn > b > x, czyli b jest ograniczeniem górnym zbioru E. Tak więc istnieje kres górny zbioru E. Oznaczmy go α. Udowodnimy,że αn = x. Możliwa jest dokładnie jedna z sytuacji

αn < x ∨ αn = x ∨ αn > x.

Udowodnimy, że pierwsza i ostatnia są niemożliwe. Wykorzystamy następującą własność1Jak znamy już cześć całkowitą liczby, to m = [nx] + 1 (jest ona najmniejszą liczbą całkowitą nie mniejszą niż nx).


Lemat 2.2.2 Dla dowolnych liczb dodatnich a i b takich, że a < b zachodzi nierówność

bn − an ¬ n(b− a)bn−1. (2.38)

Załóżmy, że αn < x. Rozważmy dodatnie h takie, że h < min{1, x−αnn(α+1)n−1 }. Podstawiając w lemacie 2.2.2 za a i b

odpowiednio α i α+ h otrzymujemy

(α+ h)n − αn ¬ nh(α+ h)n−1 < nh(α+ 1)n−1 < x− αn.

Stąd (α+ h)n < x, a więc α+ h ∈ E, ale α+ h > α, czyli α nie jest ograniczeniem górnym, a więc nie jest kresem.

Załóżmy, że αn > x.

Rozważmy dodatnie k takie, że k = αn−xnαn−1 . Zauważmy, że k < α. Niech t będzie dowolne takie, że t α−k. Podstawiając

w lemacie 2.2.2 za a i b odpowiednio α i α− k otrzymujemy

αn − tn ¬ αn − (α− k)n < nkαn−1 = αn − x.

Stąd tn > x, czyli t 6∈ E. Mamy więc, że α − k jest ograniczeniem górnym zbioru E, które jest mniejsze niż α, a więc α niejest kresem.

Jednoznaczność (ad absurdum) Niech y1 i y2 będą liczbami dodatnimi takimi, że yn1 = x i yn2 = x oraz y1 6= y2. Bezzmniejszania ogólności można założyć, że y1 < y2. Wtedy yn1 < yn2 co kończy dowód.

2

2.3 Przedziały liczb rzeczywistych

Definicja 2.3.1 Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi. Przyjmujemy następujące definicje odcinków

[a, b] def= {x ∈ R : a ¬ x ¬ b} (2.39)

[a, b[ def= {x ∈ R : a ¬ x < b} (2.40)

]a, b] def= {x ∈ R : a < x ¬ b} (2.41)

]a, b[ def= {x ∈ R : a < x < b} . (2.42)

Pierwszy z odcinków nazywamy domkniętym, zaś ostatni otwartym.

Wniosek 2.3.1 Zachodzą następujące zawierania

]a, b[⊂]a, b] ⊂ [a, b] (2.43)

]a, b[⊂ [a, b[⊂ [a, b]. (2.44)

Szkic dowodu.

Oczywisty na mocy definicji odcinków oraz nierówności. 2

Wniosek 2.3.2 Jeżeli a b , to ]a, b[= [a, b[=]a, b] = ∅.

Szkic dowodu.

Oczywisty. 2

Wniosek 2.3.3 Jeżeli a > b , to [a, b] = ∅.

Szkic dowodu.

Oczywisty. 2

Definicja 2.3.2 Odcinek nazywamy niezdegenerowanym wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest zbiorem pustym i nie redukuje siędo punktu.


Definicja 2.3.3 Niech a będzie liczbą rzeczywistą. Przyjmujemy następujące definicje półprostych

[a,+∞[ def= {x ∈ R : a ¬ x} (2.45)

]a,+∞[ def= {x ∈ R : a < x} (2.46)

]−∞, a] def= {x ∈ R : x ¬ a} (2.47)

]−∞, a[ def= {x ∈ R : x < a} (2.48)

Definicja 2.3.4 Przedziałem nazywamy zbiór liczb rzeczywistych będący odcinkiem, półprostą lub prostą. Przedział nazywamyniezdegenerowanym wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest zbiorem pustym i jednoelementowym.

Wniosek 2.3.4 Przedziałem zdegenerowanym może być tylko odcinek.

Szkic dowodu.Oczywisty. 2

2.4 Funkcje w zbiorze liczb rzeczywistych. Indukcja matematyczna

Definicja 2.4.1 Niech x ∈ R. Wartością bezwzględną liczby x nazywamy liczbę rzeczywistą zdefiniowaną następująco

|x| def={x dla x 0−x dla x < 0

. (2.49)

Uwaga 2.4.1 Wartość bezwzględną można też zdefiniować następująco

|x| def={x dla x > 0−x dla x ¬ 0

.

Lemat 2.4.1 (Własności wartości bezwzględnej) Dla dowolnych x, y ∈ R zachodzi

|x| 0 (2.50)

|x| = | − x| (2.51)

−|x| ¬ x ¬ |x| (2.52)

|xy| = |x||y| (2.53)

|x| = 0 ⇔ x = 0 (2.54)

y 6= 0 ⇒∣∣∣∣xy∣∣∣∣ = |x||y| (2.55)

|x| ¬ y ⇔ −y ¬ x ¬ y (2.56)

|x+ y| ¬ |x|+ |y| (2.57)

|x| − |y| ¬ |x− y| ¬ |x|+ |y| (2.58)

||x| − |y|| ¬ |x− y| (2.59)

||x| − |y|| ¬ |x+ y| (2.60)

Szkic dowodu.Równości (2.50), (2.51), (2.54) oraz nierówności (2.52) i (2.56) wynikają z definicji wartości bezwzględnej.W równości (2.53) należy rozważyć cztery przypadki w zależności od znaków x i y.Równość (2.55) jest wnioskiem z równości (2.53).W nierówności (2.57) należy rozważyć osiem przypadków w zależności od znaku liczb x, y i x+ y.Pierwsza z nierówności (2.58) wynika z nierówności (2.57) i faktu, że x = x− y + y. Natomiast druga jest konsekwencją

nierówności (2.57) i równości (2.51).Ostatnie dwie nierówności wynikają z nierówności (2.56) i (2.58) oraz równości (2.51). 2

Definicja 2.4.2 Częścią całkowitą liczby rzeczywistej x nazywamy liczbę całkowitą oznaczaną [x], która spełnia warunek

[x] ¬ x < [x] + 1. (2.61)


Uwaga 2.4.2 Część całkowita liczby nazywana jest też cechą liczby.

Definicja 2.4.3 Znakiem liczby rzeczywistej x nazywamy liczbę rzeczywistą określoną wzorem

sign(x) ≡ sgn(x) =

1 dla x > 00 dla x = 0−1 dla x < 0

. (2.62)

Wniosek 2.4.1 Dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi

sign(x) ={x|x| dla x 6= 00 dla x = 0

. (2.63)

Definicja 2.4.4 Niech x, y będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Większa (maksimum) z dwóch liczb określona jest na-stępująco

max{x, y} def={x dla x yy dla x < y

(2.64)

Mniejsza (minimum) z dwóch liczb określona jest następująco

min{x, y} def={y dla x yx dla x < y

(2.65)

Wniosek 2.4.2 Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą równości

max{x, y} = x+ y + |x− y|2

∧min{x, y} = x+ y − |x− y|2

(2.66)

Szkic dowodu.Wystarczy rozważyć dwa przypadki x y oraz x < y. 2

Twierdzenie 2.4.1 (Zasada indukcji matematycznej zupełnej) Niech P będzie pewną własnością. Jeżeli dla własno-ści P zachodzą następujące warunki(1) P[1](2) ∀n∈NP[n]⇒ P[n+ 1],

to wówczas ∀n∈NP[n].

Uwaga 2.4.3 Niech n0 ∈ N. Zasadę indukcji matematycznej zupełnej można też sformułować następująco:Jeżeli dla własności P zachodzą następujące warunki(1) P[n0](2) ∀N3nn0P[n]⇒ P[n+ 1],

to wówczas ∀N3nn0P[n].Mówi ona wtedy, że własność P zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych nie mniejszych niż n0.

Definicja 2.4.5 Niech {a1, . . . , an} ⊂ R. Średnią arytmetyczną liczb a1, . . . , an nazywamy liczbę równą

a1 + . . .+ ann

(2.67)

Definicja 2.4.6 Niech {a1, . . . , an} ⊂ R+ ∪ {0}. Średnią geometryczną liczb a1, . . . , an nazywamy liczbę równą

n√a1 · . . . · an (2.68)

Definicja 2.4.7 Jeżeli {a1, . . . , an} ⊂ R\{0} są takie, że 1a1 + . . .1an6= 0, to średnią harmoniczną liczb a1, . . . , an nazywamy

liczbę wyrażoną wzoremn

1a1+ . . . 1an

(2.69)

Twierdzenie 2.4.2 Niech {a1, . . . , an} ⊂ R+. Wtedy

n1a1+ . . . 1an

¬ n√a1 · . . . · an ¬

a1 + . . .+ ann

(2.70)

Szkic dowodu.Dowód indukcyjny. 2


2.5 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

Określimy rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych tzn. liczby rzeczywiste z plus i minus nieskończonościami.

Definicja 2.5.1R def= R ∪ {−∞} ∪ {+∞} (2.71)

Uwaga 2.5.1 Przyjmujemy konwencję∀a∈R −∞ < a ∧ a < +∞ (2.72)

oraz dla obu symboli nieskończonych i dowolnej liczby rzeczywistej a określone są następujące działania

a+ (+∞) def= +∞ (2.73)

a+ (−∞) def= −∞ (2.74)

a− (+∞) def= −∞ (2.75)

a− (−∞) def= +∞ (2.76)1±∞

def= 0 (2.77)

a · (+∞) def=

+∞ dla a > 00 dla a = 0−∞ dla a < 0

(2.78)

a · (−∞) def=

−∞ dla a > 00 dla a = 0+∞ dla a < 0

(2.79)

Uwaga 2.5.2 Dla niepustego zbioru nieograniczonego z góry (dołu) będziemy mówili i pisali, że kres górny (dolny) tegozbioru jest równy +∞ (−∞).

Uwaga 2.5.3 Nieskończoności pozwalają określić kres dolny i górny zbioru pustego, a mianowicie

inf ∅ = +∞∧ sup ∅ = −∞ (2.80)

Rozdział 3

Funkcje

3.1 Ogólne własności funkcji

Niech X i Y będą niepustymi zbiorami.

Definicja 3.1.1 Relację R ⊆ X × Y nazywamy funkcją (odwzorowaniem) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x∈X∃y∈Y xRy (3.1)

∀x∈X∀y,y2∈Y xRy1 ∧ xRy2 ⇒ y1 = y2. (3.2)

Funkcję oznaczamy f : X → Y . X nazywamy zbiorem argumentów (dziedziną), zaś Y przeciwdziedziną.

Uwaga 3.1.1 Należy pamiętać, że funkcja to uporządkowana trójka (f,X, Y ).

Uwaga 3.1.2 Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X w zbiór Y oznaczamy przez Y X .

Niech f :X → Y będzie funkcją.

Definicja 3.1.2 Wykresem funkcji f nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y postaci

{(x, f(x)) : x ∈ X} (3.3)

Definicja 3.1.3 Załóżmy, że A ⊆ X. Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy podzbiór Y określony równością

f(A) def= {f(x) : x ∈ A} ≡ {y ∈ Y : ∃x∈Ay = f(x)} (3.4)

Załóżmy, że B ⊆ Y . Przeciwobrazem zbioru B przy odwzorowaniu f nazywamy podzbiór X określony równością

f−1(B) def= {x ∈ X : f(x) ∈ B} (3.5)

Uwaga 3.1.3 Obraz całego zbioru X nazywamy zbiorem wartości funkcji f. Zauważmy, że zawsze jest f(X) ⊆ Y , lecz niemusi być f(X) = Y .

Przykład 3.1.1 Dla funkcji sin:R→ R mamy sin(R) = [−1, 1].

Definicja 3.1.4 Mówimy, że odwzorowanie f : X → Y jest stałe wtedy i tylko wtedy, gdy

∃y0∈Y f(X) = {y0} (3.6)

Wniosek 3.1.1 Funkcja f jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x1,x2∈Xf(x1) = f(x2).


21


Twierdzenie 3.1.1 Dla dowolnych {A1, A2, Aı : ı ∈ I} ⊆ 2X oraz {B1, B2, Bı : ı ∈ I} ⊆ 2Y zachodzi

f(A1) \ f(A2) ⊆ f(A1 \A2) (3.7)

f(⋃ı∈I

Aı) =⋃ı∈I

f(Aı) (3.8)

f(⋂ı∈I

Aı) ⊆⋂ı∈I

f(Aı) (3.9)

f−1(B1 \B2) = f−1(B1) \ f−1(B2) (3.10)

f−1(⋃ı∈I

Bı) =⋃ı∈I

f−1(Bı) (3.11)

f−1(⋂ı∈I

Bı) =⋂ı∈I

f−1(Bı) (3.12)

Szkic dowodu.W dowodzie wykorzystamy następujący fakt

A1 ⊆ A2 ⇒ f(A1) ⊆ f(A2). (3.13)

Dowód (3.7). Ponieważ A1 ⊆ (A1 \A2) ∪A2, więc f(A1) ⊆ f((A1 \A2) ∪A2). Korzystając z (3.8) i działań na zbiorachotrzymujemy

f(A1) ⊆ f(A1 \A2) ∪ f(A2)⇒ f(A1) \ f(A2) ⊆ f(A1 \A2)

Dowód (3.8). Niech y ∈ Y .

y ∈ f(⋃ı∈I

Aı)⇔ ∃x∈Xx ∈⋃ı∈I

Aı ∧ y = f(x)⇔ ∃x∈X∃ı0∈Ix ∈ Aı0 ∧ y = f(x)⇔ ∃ı0∈Iy ∈ f(Aı0)⇔ y ∈⋃ı∈I

f(Aı)

Dowód (3.9).

∀ı0∈I

⋂ı∈I

Aı ⊂ Aı0 ⇒ ∀ı0∈If(⋂ı∈I

Aı) ⊂ f(Aı0)⇔ f(⋂ı∈I

Aı) ⊂⋂ı∈I

f(Aı)

Dowód (3.10). Niech x ∈ X.

x ∈ f−1(B1 \B2)⇔ f(x) ∈ B1 \B2 ⇔ f(x) ∈ B1 ∧ f(x) 6∈ B2 ⇔ x ∈ f−1(B1) ∧ ¬(f(x) ∈ B2)⇔

x ∈ f−1(B1) ∧ ¬(x ∈ f−1(B2)⇔ x ∈ f−1(B1) ∧ x 6∈ f−1(B2)⇔ x ∈ f−1(B1 \B2)


x ∈ f−1(⋃ı∈I

Bı)⇔ f(x) ∈⋃ı∈I

Bı ⇔ ∃ı0∈If(x) ∈ Bı0 ⇔ ∃ı0∈Ix ∈ f−1(Bı0)⇔ x ∈⋃ı∈I

f−1(Bı)


x ∈ f−1(⋂ı∈I

Bı)⇔ f(x) ∈⋂ı∈I

Bı ⇔ ∀ı∈If(x) ∈ Bı ⇔ ∀ı∈Ix ∈ f−1(Bı)⇔ x ∈⋃ı∈I

f−1(Bı)

2

Definicja 3.1.5 Odwzorowanie f nazywamy injekcją (odwzorowaniem różnowartościowym lub ”1-1”) wtedy i tylko wtedy,gdy

∀x1,x2∈Xf(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2 (3.14)

Uwaga 3.1.4 Warunek (3.14) może być zapisany w postaci

∀x1,x2∈Xx1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) (3.15)

Uwaga 3.1.5 Skorzystaliśmy tutaj z prawa kontrapozycji tzn.

p⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p


Definicja 3.1.6 Odwzorowanie f nazywamy surjekcją (odwzorowaniem ”na”) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀y∈Y ∃x∈Xy = f(x) (3.16)

Wniosek 3.1.2 Funkcja jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jej przeciwdziedzina jest równa zbiorowi wartości.

Szkic dowodu.

Oczywisty. 2

Definicja 3.1.7 Odwzorowanie f nazywamy bijekcją (odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym) wtedy i tylko wtedy, gdyjest surjekcją i injekcją.

Definicja 3.1.8 Permutacją zbioru nazywamy dowolną bijekcję z tego zbioru w ten sam zbiór.

Uwaga 3.1.6 Pojęcie bijekcji pozwala porównywać liczebności zbiorów.

Definicja 3.1.9 Mówimy, że zbiory X i Y są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja ze zbioru X na zbiór Y .

Definicja 3.1.10 Powiemy, że zbiór A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja f ze zbioru A na zbiór N.Mówimy, że zbiór jest co najwyżej przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalny lub skończony.

Definicja 3.1.11 Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Złożeniem (superpozycją) odwzorowań f i g nazywamy odwzorowanieh : X → Z takie, że

∀x∈Xh(x) = g(f(x)). (3.17)

Piszemy wtedy h = g ◦ f .

Definicja 3.1.12 Niech X będzie niepustym zbiorem. Odwzorowaniem identycznościowym na X (oznaczanym IdX nazywa-my) takie odwzorowanie z X w X, że

∀x∈X IdX (x) = x. (3.18)

Definicja 3.1.13 Niech f : X → Y będzie bijekcją. Odwzorowaniem odwrotnym do f nazywamy odwzorowanie g : Y → X

takie, że

f ◦ g =IdY ∧ g ◦ f =IdX . (3.19)

Oznaczamy je g = f−1.

Uwaga 3.1.7 f−1(A) będziemy odczytywać jako przeciwobraz zbioru A funkcji f i jako obraz zbioru A funkcji f−1.

Definicja 3.1.14 Niech dane będą ∅ 6= A ⊂ X i funkcja f :X → Y . Mówimy, że funkcja g:A→ Y jest obcięciem funkcji fdo zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x∈Ag(x) = f(x). (3.20)

Oznaczamy wtedy g = f |A.

3.2 Monotoniczność i ograniczoność funkcji. Funkcje parzyste i nieparzyste

Niech A będzie niepustym zbiorem.

Definicja 3.2.1 Dowolną funkcję f :A → R nazywamy funkcją o wartościach rzeczywistych. Jeżeli B jest podzbiorem liczbrzeczywistych i f :B → A, to funkcję f nazywamy funkcją o dziedzinie rzeczywistej lub funkcją argumentu rzeczywistego.Jeżeli A jest podzbiorem liczb rzeczywistych, to funkcję f :A→ R nazywamy rzeczywistą.

Niech f :A→ R będzie funkcją o wartościach rzeczywistych. Niech B ⊆ A.


Definicja 3.2.2 Mówimy, że funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy

∃M∈R∀x∈Bf(x) ¬M. (3.21)

Mówimy, że funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy

∃m∈R∀x∈Bm ¬ f(x). (3.22)

Mówimy, że funkcja f jest ograniczona na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ograniczona z dołu na zbiorze B i f jestograniczona z góry na zbiorze B.

Uwaga 3.2.1 Jeżeli będziemy pomijać zbiór na którym funkcja jest ograniczona, to oznacza to, iż jest ograniczona na całejswej dziedzinie.

Wniosek 3.2.1 Funkcja f :A→ R jest ograniczona na zbiorze B ⊆ A wtedy i tylko wtedy, gdy

∃M∈R+∀x∈B |f(x)| ¬M. (3.23)

Szkic dowodu.Wystarczy wziąć M = max{|M1|, |M2|}, gdzie M1 jest ograniczeniem dolnym, a M2 jest ograniczeniem górnym. 2

Niech A ⊆ R.

Definicja 3.2.3 Mówimy, że funkcja f jest rosnąca na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x1,x2∈Bx1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). (3.24)

Mówimy, że funkcja f jest niemalejąca na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x1,x2∈Bx1 < x2 ⇒ f(x1) ¬ f(x2). (3.25)

Mówimy, że funkcja f jest malejąca na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x1,x2∈Bx1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). (3.26)

Mówimy, że funkcja f jest nierosnąca na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x1,x2∈Bx1 < x2 ⇒ f(x1) f(x2). (3.27)

Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy jest nierosnąca lub niemalejąca na zbiorzeB. Mówimy, że funkcja f jest ściśle monotoniczna na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy jest rosnąca lub malejąca na zbiorzeB.

Uwaga 3.2.2 Jeżeli będziemy pomijać zbiór na którym funkcja jest monotoniczna, to oznacza to, iż jest monotoniczna nacałej swej dziedzinie.

Definicja 3.2.4 Zbiór A nazywamy symetrycznym względem zera wtedy i tylko wtedy, gdy

∀xx ∈ A⇔ −x ∈ A. (3.28)

Definicja 3.2.5 Niech A będzie zbiorem symetrycznym względem zera i niech dana będzie funkcja f :A→ R.Mówimy, że funkcja f jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x∈Af(−x) = f(x). (3.29)

Mówimy, że funkcja f jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x∈Af(−x) = −f(x). (3.30)

Uwaga 3.2.3 Należy podkreślić, że pojęcie parzystości i nieparzystości dotyczy wyłącznie funkcji, których dziedziny sązbiorami symetrycznymi względem zera.


Uwaga 3.2.4 Pojęcie funkcji parzystej może dotyczyć również funkcji argumentu rzeczywistego.

Uwaga 3.2.5 Funkcja parzysta ma wykres symetryczny względem osi OY . Odpowiada to faktowi, że wraz z punktem (x, f(x))należącym do wykresu należy punkt (x, f(−x)). Funkcja nieparzysta ma środek symetrii w punkcie O. W tym wypadku wrazz punktem (x, f(x)) należy punkt (x,−f(x)).

Uwaga 3.2.6 Istnieje funkcja, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta.

Definicja 3.2.6 Niech A będzie podzbiorem liczb rzeczywistych, a X dowolnym zbiorem. Niech dana będzie funkcja f :A→ X.Jeżeli istnieje taka liczba dodatnia T taka, że

∀x∈Ax+ T ∈ A⇒ f(x+ T ) = f(x), (3.31)

to funkcję f nazywamy okresową, zaś liczbę T nazywamy okresem funkcji f .Jeżeli istnieje najmniejsza liczba dodatnia T o takiej własności, to nazywamy ją okresem podstawowym funkcji.

Uwaga 3.2.7 Istnieją funkcje okresowe nie mające okresu podstawowego.

3.3 Wypukłość i wklęsłość funkcji

Definicja 3.3.1 Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych1. Mówimy, że podzbiór A ⊆ V jestwypukły wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y∈A∀α,β∈R+∪{0}α+ β = 1⇒ αx+ βy ∈ A (3.32)

Uwaga 3.3.1 Warunek (3.32) można zastąpić następującym

∀x,y∈A∀α∈[0,1]αx+ (1− α)y ∈ A (3.33)

Lemat 3.3.1 Zbiór P jest przedziałem wtedy i tylko wtedy, gdy [x, y] ⊆ P dla dowolnych x, y ∈ P .

Szkic dowodu.(Konieczność) Oczywisty z określenia prostej, półprostej i odcinka.(Dostateczność) Jeżeli P = ∅, to oczywiście P jest przedziałem. Niech teraz P 6= ∅. Wtedy możliwa jest jedna z na-

stępujących sytuacji: Zbiór P jest ograniczony lub zbiór P jest nieograniczony. Załóżmy, że zbiór jest ograniczony. Niecha = inf P oraz b = supP . Jeżeli oba kresy należą, to P = [a, b] na mocy założenia. Podobnie jeżeli a 6∈ P oraz b ∈ P , toP =]a, b]. Rozważając dwa pozostałe przypadki otrzymujemy pozostałe odcinki. Jeżeli teraz zbiór jest nieograniczony, tomamy doczynienia z trzema kolejnymi przypadkami:Przypadek I. Nieograniczony z góry i ograniczony z dołu;Przypadek II. Nieograniczony z dołu i ograniczony z góry;Przypadek III. Nieograniczony z dołu i góry;Otrzymujemy w ten sposób wszystkie półproste (dla przypadków pierwszego i drugiego) oraz całą prostą w przypadku

trzecim. 2

Twierdzenie 3.3.1 Dla dowolnego podzbioru A ⊆ R następujące warunki są równoważne(i) A jest wypukły(ii) A jest przedziałem

Szkic dowodu.Wynika z lematu 3.3.1 2

Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem, f :P → R.

Definicja 3.3.2 Funkcję f nazywamy wypukłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y∈P∀α,β∈R+∪{0}α+ β = 1⇒ f(αx+ βy) ¬ αf(x) + βf(y) (3.34)

Funkcję f nazywamy wklęsłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy −f jest wypukła.1Porównaj definicje z Algebry liniowej


Uwaga 3.3.2 Warunek (3.34) w definicji funkcji wypukłej może być zmodyfikowany analogicznie jak w definicji zbioruwypukłego (zobacz definicja 3.3.1).

Uwaga 3.3.3 Funkcja −f jest zdefiniowana w następnym paragrafie.

Wniosek 3.3.1 Funkcja f jest wklęsła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y∈P∀α,β∈R+∪{0}α+ β = 1⇒ f(αx+ βy) αf(x) + βf(y) (3.35)

Szkic dowodu.

Wystarczy posłużyć się definicjami funkcji wypukłej i funkcji przeciwnej. 2

Twierdzenie 3.3.2 Następujące warunki są równoważne

f jest wypukła na P (3.36)

∀n∈N∀x1,...,xn∈P∀α1,...,αn∈R+∪{0}

n∑k=1

αk = 1⇒ f(n∑k=1

αkxk) ¬n∑k=1

αkf(xk) (3.37)

∀x1,x2,x∈Px1 < x < x2 ⇒ f(x) ¬ x2 − xx2 − x1

f(x1) +x− x1x2 − x1

f(x2) (3.38)

∀x1,x2,x∈Px1 < x < x2 ⇒f(x)− f(x1)

x− x1¬ f(x2)− f(x)

x2 − x(3.39)

Szkic dowodu.

(3.36)⇒ (3.37) Jest to dowód indukcyjny. W kroku indukcyjnym podstawiamy za x1, x2, α, β odpowiednion∑k=1

αkxk, xn+1,

1− αn+1, αn+1.(3.37) ⇒ (3.36) Wypukłość jest to szczególny przypadek nierówności (3.37) dla n = 2.(3.36) ⇒ (3.38) Biorąc nieujemne liczby α = x2−x

x2−x1 i β =x−x1x2−x1 widzimy, że α + β = 1, αx1 + βx2 = x. Stąd wynika

teza.

(3.38) ⇒ (3.36) Należy rozważyć trzy przypadki α = 0, α = 1 oraz α ∈]0, 1[. Dowody dwóch pierwszych są natychmia-stowe. W trzecim przypadku biorąc za x αx1 + (1− α)x2 otrzymujemy warunek wypukłości.(3.39) ⇔ (3.38) Należy przekształcić oba wyrażenia. 2

Uwaga 3.3.4 Nierówność (3.37) nazywamy nierównością Jensena.

3.4 Działania określone dla funkcji rzeczywistych

Niech ∅ 6= X i f, g:X → R będą funkcjami argumentu rzeczywistego oraz niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

Definicja 3.4.1 Niech f, g będą funkcjami rzeczywistymi ze zbioru X, zaś a dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas

h = f + g ⇔ ∀x∈Xh(x) = f(x) + g(x) (3.40)

h = f − g ⇔ ∀x∈Xh(x) = f(x)− g(x) (3.41)

h = f · g ⇔ ∀x∈Xh(x) = f(x) · g(x) (3.42)

h =f

g⇔ ∀x∈Xh(x) =

f(x)g(x)

o ile g(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈ X (3.43)

h = max{f, g} ⇔ ∀x∈Xh(x) = max{f(x), g(x)} (3.44)

h = min{f, g} ⇔ ∀x∈Xh(x) = min{f(x), g(x)} (3.45)

h = a · f ⇔ ∀x∈Xh(x) = a · f(x) (3.46)

h = |f | ⇔ ∀x∈Xh(x) = |f(x)| (3.47)

Uwaga 3.4.1 Z wiadomości z algebry liniowej wynika więc, że zbiór funkcji z działaniami dodawania funkcji i mnożeniafunkcji przez stałą rzeczywistą tworzy przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.


Definicja 3.4.2 Niech f będzie dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych. Zdefiniujmy funkcję część nieujemną i niedo-datnią

f+def=

f + |f |2

(3.48)

f−def=−f + |f |2

. (3.49)

Wniosek 3.4.1 Dla dowolnej funkcji f = f+ − f− oraz |f | = f+ + f−.

Szkic dowodu.Wystarczy wykorzystać definicje. 2

Uwaga 3.4.2 Obie funkcje są nieujemne.

Definicja 3.4.3 Niech A będzie niepustym zbiorem symetrycznym względem zera i f :A → R. Zdefiniujmy część parzystą inieparzystą funkcji f .

fP (x) def=f(x) + f(−x)

2(3.50)

fN (x) def=f(x)− f(−x)

2. (3.51)

Wniosek 3.4.2 Niech A będzie niepustym zbiorem symetrycznym względem zera i f :A→ R. Wtedy f = fP + fN .

Szkic dowodu.Wystarczy wykorzystać definicje. 2

Wniosek 3.4.3 Każda funkcja o dziedzinie będącej zbiorem symetrycznym względem zera może być jednoznacznie przedsta-wiona jako suma funkcji parzystej i nieparzystej.

Szkic dowodu.Wynika z wniosku 3.4.2. 2

Rozdział 4

Ciągi liczbowe

4.1 Granica ciągu. Ciągi zbieżne

Zajmiemy się teraz szczególnym przypadkiem funkcji, a mianowicie ciągiem liczbowym.

Definicja 4.1.1 Funkcję rzeczywistą nazywamy ciągiem liczbowym (rzeczywistym) wtedy i tylko wtedy, gdy jej dziedziną jestzbiór liczb naturalnych.

Uwaga 4.1.1 Ciągi oznaczamy (an) ≡ (an)∞n=1. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n nazywamy n - tym wyrazem ciągu ioznaczamy go an.

Definicja 4.1.2 Mówimy, że ciąg (an) ma granicę równą g wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃m∈N∀nm |an − g| < ε (4.1)

Zapisujemy wtedy limn→∞

an = g.

Twierdzenie 4.1.1 Jeżeli ciąg posiada granicę, to tylko jedną.

Szkic dowodu. (ad absurdum)Niech g1 i g2 będą różnymi granicami. Wtedy η = |g1 − g2| > 0. Rozważmy takie liczby naturalne N1, N2 takie, że

∀nN1 |an − g1| <η

2,

∀nN2 |an − g2| <η

2.

Wtedy dla n = max{N1, N2} mamy

η > |an − g1|+ |an − g2| = |an − g1|+ |g2 − an| |an − g1 + g2 − an| = η.

2

Definicja 4.1.3 Mówimy, że ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista będąca granicą ciągu.

Uwaga 4.1.2 Jeżeli ciąg nie jest zbieżny, to nazywamy go rozbieżnym.

4.2 Własności ciągów zbieżnych

Twierdzenie 4.2.1 Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Szkic dowodu.Niech lim

n→∞an = g. Rozważmy liczbę naturalną N taką, że

∀nN |an − g| < 1.

28


Ponieważ |an − g| |an| − |g|, więc mamy∀nN |an| < 1 + |g|.

Niech M = max1¬n<N

|an|. Stąd

∀n∈N|an| ¬ max{1 + |g|,M}.

2

Lemat 4.2.1 Niech limn→∞

an = a oraz a 6= 0. Wtedy

∃N∈N∀nN |an| >|a|2. (4.2)

Szkic dowodu.Ponieważ |a|2 > 0. Więc istnieje taka liczba naturalna N , że

∀nN |an − a| <|a|2.

Biorąc to N i dowolną liczbę naturalną n N oraz korzystając z własności |a| − |an| ¬ |a − an| = |an − a|, otrzymujemy|a| − |an| < |a|

2 , co jest tezą lematu. 2

Twierdzenie 4.2.2 (Działania na granicach ciągów.) Jeżeli limn→∞

an = a i limn→∞

bn = b oraz c jest dowolna liczbą rze-czywistą, to

limn→∞(an + bn) = a+ b; (4.3)

limn→∞(c · an) = c · a; (4.4)

limn→∞(−an) = −a; (4.5)

limn→∞(an − bn) = a− b; (4.6)

limn→∞

c = c; (4.7)

limn→∞(an + c) = a+ c; (4.8)

limn→∞(an · bn) = a · b; (4.9)

b 6= 0⇒ limn→∞

1bn=1b; (4.10)

b 6= 0⇒ limn→∞

anbn=a

b. (4.11)

Szkic dowodu.Dowód (4.3). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczby naturalne N1 i N2 takie, że

∀nN1 |an − a| <ε

2,

∀nN2 |bn − b| <ε

2.

Wtedy biorąc dowolną liczbę naturalną n spełniająca warunek n max{N1, N2} mamy

ε > |an − a|+ |bn − b| |(an + bn)− (a+ b)|.

Dowód(4.4). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczbę naturalną N taką, że

∀nN |an − a| <ε

|c|+ 1.

Wtedy biorąc dowolną liczbę naturalną n spełniająca warunek n N mamy

|c · an − c · a| = |c||an − a| <|c|ε|c|+ 1

< ε.

Dowód (4.5). Jest to wniosek z (4.4).


Dowód (4.6). Wniosek z (4.3) i (4.5).Dowód (4.7). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Wtedy |an − c| = 0 < ε dla dowolnej liczby naturalne n.Dowód (4.8). Wniosek z (4.3) i (4.7).Dowód (4.9). Ponieważ an ma granicę, więc jest zbieżny, a stąd jest ograniczony. Niech M > 0 będzie takie, że

∀n∈N|an| ¬M.

Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy N1 i N2 takie, że

∀nN1 |an − a| <ε

2(|b|+ 1)

∀nN2 |bn − b| <ε

2M.

Wtedy biorąc dowolną liczbę naturalną n spełniająca warunek n max{N1, N2} mamy

|anbn − ab| = |anbn − anb+ anb− ab| ¬ |anbn − anb|+ |anb− ab|

= |an||bn − b|+ |b||an − a| < Mε

2M+ |b| ε

2(|b|+ 1)< ε.

Dowód (4.10). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczby naturalne N1, N2 takie, że

∀nN1 |bn| >|b|2

∀nN2 |bn − b| <b2ε

2.

Wtedy biorąc dowolną liczbę naturalną n spełniająca warunek n max{N1, N2} mamy∣∣∣∣ 1bn − 1b∣∣∣∣ = |b− bn||b · bn|

<b2ε

2|b| · |b|2= ε.

Dowód (4.11). Jest to konsekwencja własności (4.9) i (4.10). 2

Twierdzenie 4.2.3 Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny i zachodzi

∃n∈N∀knak 0,

to limn→∞

an 0.

Szkic dowodu. (ad absurdum)Rozważmy takie N1, że

∀kN1ak 0.

Niech limn→∞

an = a < 0. Z definicji granicy ciągu rozważmy takie N2, że

∀kN2 |ak − a| ¬ −a.

Niech teraz N = max{N1, N2}. Wtedy a < aN − a < −a, co daje aN < 0. Co kończy dowód. 2

Uwaga 4.2.1 Zauważmy, że może być nierówność ostra dla wyrazów ciągu, ale dla granicy nierówność pozostaje tylkonieostra. Wystarczy rozważyć ciąg an = 1n , gdzie an > 0, ale limn→∞

an = 0.

Wniosek 4.2.1 Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne i zachodzi

∃n∈N∀knak ¬ bk,

to limn→∞

an ¬ limn→∞

bn.

Szkic dowodu.Wystarczy rozważyć ciąg (bn − an). 2


Twierdzenie 4.2.4 (o trzech ciągach) Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne i limn→∞

an = limn→∞

bn oraz zachodzi

∃n∈N∀knak ¬ ck ¬ bk,

to ciąg (cn) jest zbieżny oraz limn→∞

an = limn→∞

cn.

Szkic dowodu.

Niech limn→∞

an = a. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczby naturalne N1, N2 i N3 takie, że

∀kN1ak ¬ ck ¬ bk,

∀kN2 |ak − a| ¬ ε

∀kN3 |bk − a| ¬ ε

Weźmy N = max{N1, N2, N3}. Wtedy dla dowolnego n N mamy −ε < ak − a ¬ ck − a ¬ bk − a < ε. Co daje |ck − a| ¬ ε.2

Przykład 4.2.1 Biorąc ciąg, którego n - ty wyraz wyraża się wzorem an =2+(−1)nn widzimy, że

1n¬ an ¬

3n.

Stąd na podstawie twierdzenia 4.2.4 limn→∞

an = 0.

Twierdzenie 4.2.5 Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny, to zbieżny jest ciąg (|an|) oraz zachodzi limn→∞|an| =

∣∣∣ limn→∞

an

∣∣∣Szkic dowodu.

Niech limn→∞

an = a i niech ε > 0. Rozważmy N takie, że

∀nN |an − a| < ε.

Niech N n. Wtedy

||an| − |a|| ¬ |an − a| < ε

2

4.3 Podciągi. Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa

Definicja 4.3.1 Dane są ciągi (an) i (bk). Mówimy, że ciąg (bk) jest podciągiem ciągu (an) wtedy i tylko wtedy, gdy istniejerosnący ciąg liczb naturalnych (nk) taki, że

∀k∈Nank = bk (4.12)

Uwaga 4.3.1 Zauważmy, że jeżeli (bk) jest podciągiem ciągu (an), to nk k.

Twierdzenie 4.3.1 Ciąg (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny i ich granice są równe.

Szkic dowodu.

(Konieczność) Niech (bk) będzie dowolnym podciągiem ciągu (an). Niech ε > 0. Rozważmy takie N , że

∀nN |an − a| < ε.

Niech k N . Wtedy |bk − a| = |ank − a| < ε, gdyż nk nN N .(Dostateczność) A więc w szczególności sam ciąg, jako własny podciąg, jest zbieżny. 2

Twierdzenie 4.3.2 (Bolzano - Weierstrassa) Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.


Szkic dowodu.

Niech (an) będzie ciągiem ograniczonym. Rozważmy takie stałe m ¬M , że

∀n∈Nm ¬ an ¬M.

Niech

Edef= {x ∈ R : x < an dla nieskończenie wielu n} .

Zbiór E jest niepusty (gdyżm ∈ E) oraz ograniczony z góry przezM . Niech g = supE. Z definicji kresu górnego otrzymujemy,że dla dowolnego dodatniego ε istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n dla których

g − ε ¬ an ¬ g + ε.

Konstruujemy podciąg:Krok 1. Bierzemy taką liczbę naturalną n1, aby g − 1 ¬ an1 ¬ g + 1.Krok 2. Bierzemy taką liczbę naturalną n2 by g − 12 ¬ an2 ¬ g +

12 oraz n1 < n2. (Można taki n2 wybrać, gdyż odpowiednia

nierówność zachodzi dla nieskończenie wielu n).Ogólnie w kroku k + 1 bierzemy taki nk+1 by g − 1

k+1 ¬ ank+1 ¬ g + 1k+1 oraz nk < nk+1. Z twierdzenia o trzech ciągach

otrzymujemy, że tak skonstruowany podciąg ma granicę równą g. 2

Przykład 4.3.1 Biorąc ciąg (an), dla którego an = (−1)n widzimy, że jest ciąg ograniczony i można w nim wybrać dwastałe podciągi zbieżne (dla parzystych i nieparzystych wyrazów).

4.4 Monotoniczność, a zbieżność. Ciągi Cauchy’ego

Twierdzenie 4.4.1 (i) Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny.(ii) Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny.

Szkic dowodu.

Dowód (i). Niech ε > 0. Niech (an) będzie ciągiem niemalejącym i ograniczonym z góry i niech

Edef= {an : n 1} .

Zbiór E jest niepusty (np. a1 ∈ E) oraz ograniczonym z góry, gdyż ciąg (an) jest ograniczony z góry. Niech g = supE.Wówczas

∀n∈Nan ¬ g

oraz (na mocy definicji kresu górnego) istnieje takie N , że

g − ε < aN .

Ponieważ ciąg by niemalejący więc nierówność ta jest prawdziwa dla dowolnego n N . To łącznie z pierwszym warunkiemkończy dowód.

Dowód (ii). Jest analogiczny jak (i). 2

Uwaga 4.4.1 W literaturze twierdzenie to formułowane jest również następująco: Każdy ciąg monotoniczny ograni-czony jest zbieżny.

Uwaga 4.4.2 Zauważmy, że jeśli ciąg jest niemalejący (nierosnący), to jest ograniczony z dołu (góry). Tak więc możnazakładać w twierdzeniu, że ciąg jest ograniczony.

Wniosek 4.4.1 Każdy ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Szkic dowodu.

Wniosek wynika natychmiast z definicji ciągów monotonicznych i ciągów ograniczonych. 2


Definicja 4.4.1 Mówimy, że ciąg (an) jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek

∀ε>0∃n∈N∀N3m,kn |am − ak| < ε. (4.13)

Lemat 4.4.1 Ciąg (an) jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek

∀ε>0∃n∈N∀N3mn |am − an| < ε. (4.14)

Szkic dowodu.(Konieczność) Oczywista.(Dostateczność) Niech ε > 0. Rozważmy takie N , że

∀nN |an − aN | <ε

2.

Wtedy dla dowolnych n,m N mamy ε > |an − aN |+ |aN − am| |an − am|. 2

Lemat 4.4.2 Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.

Szkic dowodu.Niech (an) będzie ciągiem Cauchy’ego. Rozważmy takie N , że

∀nN |an − aN | < 1.

Implikuje to, że∀nN |an| < 1 + |aN |.

Niech MN = max{|an| : 1 ¬ n ¬ N − 1}. Biorąc M = max{MN , 1 + |aN |} otrzymujemy tezę lematu.2

Twierdzenie 4.4.2 (Cauchy’ego) Ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego.

Szkic dowodu.Niech dany będzie ciąg (an).

(Konieczność) Załóżmy, że limn→∞

an = a. Niech ε > 0. Rozważmy N takie, że

∀nN |an − a| <ε

2.

Niech teraz n,m N . Wtedy ε > |an − a|+ |am − a| = |an − a|+ |a− am| |an − a+ a− am| = |an − am|.(Dostateczność) Na mocy lematu 4.4.2 ciąg jest ograniczony, a z twierdzenia Bolzano - Weierstrassa istnieje podciąg (ank)zbieżny. Niech lim

k→∞ank = a. Udowodnimy, że limn→∞

an = a. Niech ε > 0. Rozważmy N1, N2 takie, że

∀kN1 |ank − a| <ε

3

∀mN2 |am − aN2 | <ε

3

Niech N = max{N1, N2} i m N . Wtedy ponieważ m ¬ nm mamy (korzystając dwukrotnie z definicji ciągu Cauchy’ego)

|am − a| = |anm − a+ am − aN2 + aN2 − anm | ¬ |anm − a|+ |am − aN2 |+ |aN2 − anm | <ε

3+ε

3+ε

3= ε

2

Uwaga 4.4.3 Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego, a więc głównym wynikiem twierdzenia Cauchy’ego jest implikacjaodwrotna.

Uwaga 4.4.4 Rozpatrując ciągi o wartościach wymiernych i nie mając liczb rzeczywistych (można o nich zapomnieć) okazujesię, że powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe. Wystarczy rozważyć ciąg kolejnych przybliżeń dziesiętnych

√2. Oczywiście

jest to ciąg Cauchy’ego, ale nie jest on zbieżny do liczby wymiernej. Posłużyło to Cantorowi do konstrukcji liczb rzeczywistychw oparciu o klasy równoważności ciągów liczb wymiernych. Jest to alternatywna do Dedekinda konstrukcja liczb rzeczywistych.


4.5 Ważne ciągi i ich granice

Twierdzenie 4.5.1 Ciąg((1 + 1n

)n)jest zbieżny. Jego granicę oznaczamy e.

Szkic dowodu.Niech an =

((1 + 1n

)n). Wtedy z dwumianu Newtona i definicji symbolu Newtona mamy

an =n∑k=0

(n

k

)1nk= 2 +

n∑k=2

(1− 1n

)· . . . ·

(1− k−1n

)k!

an+1 = 2 +n+1∑k=2

(1− 1

n+1

)· . . . ·

(1− k−1n+1

)k!

.

Zauważmy, że w drugiej sumie występuje jeden składnik więcej (jest to liczba dodatnia) oraz każdy ze składników pierwszejsumy (z mianownikiem k!) jest mniejszy niż odpowiadający mu składnik drugiej sumy. Stąd ciąg (an) jest rosnący. Ponadtomamy następujące oszacowania dla 2 ¬ k ¬ n(

1− 1n)· . . . ·

(1− k−1n

)k!

<1k!<12k−1

.

Stąd

an < 2 +12+ . . .+

12n−1

= 1 +1−

(12

)n1− 12

< 1 +11− 12

= 3.

Czyli ciąg jest ograniczony. 2

Twierdzenie 4.5.2 Jeżeli p > 0, to ciąg ( n√p) ma granicę równą 1.

Szkic dowodu.Przypadek I. Jeżeli p = 1, to jest to fakt oczywisty;Przypadek II. Jeżeli 0 < p < 1, to biorąc a = 1p mamy a > 1 i wystarczy rozważyć przypadek p > 1;Przypadek III. Niech p > 1. Niech n

√p = 1 + an, gdzie an > 0. Wtedy z nierówności Bernoulliego mamy

1 + nan ¬ (1 + an)n = p,

a stąd

0 < an ¬p− 1n

.

Twierdzenie o trzech ciągach kończy dowód. 2

Twierdzenie 4.5.3 Ciąg ( n√n) ma granicę równą 1.

Szkic dowodu.Niech n

√n = 1 + an, gdzie an 0. Wtedy z dwumianu Newtona mamy

12n(n− 1)a2n ¬ (1 + an)n = n,

a stąd dla n 2 mamy

0 ¬ an ¬√2

n− 1.

Twierdzenie o trzech ciągach kończy dowód. 2

Twierdzenie 4.5.4 Jeżeli p > 0, to limn→∞

1np = 0.

Szkic dowodu.Niech ε > 0. Bierzemy n0 =

[(1ε

) 1p

]. Wtedy dla dowolnego n n0 mamy n >

(1ε

) 1p , co jest równoważne

∣∣ 1np − 0

∣∣ < ε. 2

Twierdzenie 4.5.5 Jeżeli p > 0 i α jest liczbą wymierną, to limn→∞

nα

(1+p)n = 0.


Szkic dowodu.Niech k > max{1, α+ 1} i niech n > 2k. Wtedy (1 + p)n >

(nk

)pk. Rozpisując symbol Newtona i dzieląc n! przez (n− k)!

otrzymujemy

(1 + p)n >n(n− 1) · . . . · (n− k + 1)

k!pk.

Ponieważ n− l > n2 dla l = 0, 1, . . . , n więc ostatecznie otrzymujemy

(1 + p)n >nkpk

2kk!.

Stąd

0 <nα

(1 + p)n<2kk!

pknk−α

dla n > 2k i teza wynika z twierdzenia o trzech ciągach i twierdzenia 4.5.4. 2

Twierdzenie 4.5.6 Jeżeli |p| < 1, to limn→∞

pn = 0.

Szkic dowodu.Na podstawie twierdzenia 4.5.5 otrzymujemy, że lim

n→∞|p|n = 0 (dla α = 0), a na podstawie twierdzenia 4.2.5 tezę. 2

4.6 Ciągi rozbieżne do nieskończoności

Definicja 4.6.1 Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +∞ (plus nieskończoności)

∀r∈R∃n∈N∀N3knak > r (4.15)

Piszemy wtedy limn→∞

an = +∞.Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do −∞ (minus nieskończoności)

∀r∈R∃n∈N∀N3knak < r (4.16)

Piszemy wtedy limn→∞

an = −∞

Definicja 4.6.2 Mówimy, że ciąg ma granicę niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozbieżny do plus bądź minus nie-skończoności.Mówimy, że ciąg jest zbieżny w szerszym sensie wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny bądź ma granicę niewłaściwą.

Uwaga 4.6.1 Istnieją ciągi, które nie są zbieżne w szerszym sensie. Mogą być zarówno ograniczone jak i nieograniczone.

Przykład 4.6.1 (i) Ciąg, którego wyrazy są określony wzorem an = (−1)n jest ograniczony i nie jest zbieżny ani nie magranicy niewłaściwej.(ii) Ciąg, którego wyrazy są określony wzorem an = (−1)nn jest nieograniczony i nie jest rozbieżny do plus bądź minus

nieskończoności.

Twierdzenie 4.6.1 Każdy ciąg rozbieżny do +∞ (−∞) jest nieograniczony z góry (z dołu).

Szkic dowodu.Udowodnimy twierdzenie dla ciągów rozbieżnych do plus nieskończoności.Niech (an) będzie ciągiem rozbieżnym do plus nieskończoności. Musimy udowodnić, że

∀M∈R∃n∈Nan > M. (4.17)

Niech M ∈ R. Rozważmy takie n0, że∀nn0an > M.

Stąd an0 > M , co kończy dowód. 2

Twierdzenie 4.6.2 Ciąg niemalejący nieograniczony z góry jest rozbieżny do +∞


Szkic dowodu.Niech (an) będzie ciągiem niemalejącym nieograniczonym z góry. NiechM ∈ R. Rozważmy więc n0 ∈ N takie, że an0 > M

gdyż ciąg jest nieograniczony z góry. Niech n n0. Wtedy oczywiście an an0 , a więc an > M . 2

Uwaga 4.6.2 Każdy ciąg rozbieżny do +∞ jest nieograniczony z dołu, ale nie musi być niemalejący.1

Twierdzenie 4.6.3 Ciąg nierosnący nieograniczony z dołu jest rozbieżny do −∞. 2

Szkic dowodu.Dowód jest zupełnie analogiczny, jak dowód twierdzenia 4.6.2. 2

Twierdzenie 4.6.4 Jeżeli ciąg (an) ma granicę niewłaściwą, to ciąg będący jego odwrotnością jest zbieżny i ma granicęrówna zero.

Szkic dowodu.Załóżmy, że lim

n→∞an = +∞.

Niech ε > 0. Rozważmy n0 takie, że

∀nn0an >1ε.

Tak więc dla dowolnego n nie mniejszego niż n0 mamy∣∣∣∣ 1an∣∣∣∣ = 1an < ε.

2

Uwaga 4.6.3 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, o czym przekonuje poniższy przykład.

Przykład 4.6.2 Niech (an) będzie ciągiem, którego wyrazy określone są następująco

∀n∈Nan =1

(−1)nn(4.18)

Twierdzenie 4.6.5 Niech (an) będzie ciągiem o wyrazach dodatnich zbieżnym do zera. Wtedy ciąg odwrotności jest rozbieżnydo plus nieskończoności.

Szkic dowodu.Niech r będzie dowolna liczba dodatnią. Rozważmy n0 takie, że

∀nn01an

<1r,

gdyż ciąg (an) jest zbieżny do zera. Wtedy oczywiście dla n n0 mamy r < an, ponieważ obie liczby są dodatnie. 2

Uwaga 4.6.4 Analogiczny fakt zachodzi dla ciągów zbieżnych do zera o wyrazach ujemnych.

Twierdzenie 4.6.6 (i) Każdy ciąg nieograniczony z góry zawiera podciąg rozbieżny do plus nieskończoności.(ii) Każdy ciąg nieograniczony z dołu zawiera podciąg rozbieżny do minus nieskończoności.

Szkic dowodu.Rozpatrzymy punkt (i), gdyż dowód drugiego jest analogiczny.Niech ciąg (an) spełnia założenia twierdzenia. Określamy podciąg (bk) następująco b1 = a1 i dla k > 1 kładziemy bk = ank ,

gdzie ank spełnia warunki nk > nk−1 oraz bk ≡ ank > ank−1 + k. Gdyby nasza procedura wyboru kończyła się na pewnym k

oznaczało by to, że

∀m>nkank am,

co przeczyłoby nieograniczoności z góry. 2

1a1 = 2, a2 = 1 oraz an = n dla n 3.2Podobna fakt jest prawdziwy jak uwadze 4.6.2


Twierdzenie 4.6.7 Każdy podciąg ciągu mającego granicę niewłaściwą ma tą samą granicę niewłaściwą.

Szkic dowodu.Dowód analogiczny jak dla ciągu zbieżnego. 2

Twierdzenie 4.6.8 Jeżeli każdy podciąg danego ciągu ma tę samą granicę niewłaściwą, to ciąg jest rozbieżnego do nieskoń-czoności.

Szkic dowodu.Dowód analogiczny jak dla ciągu zbieżnego. 2

Twierdzenie 4.6.9 (O dwóch ciągach) Jeżeli spełnione są warunki(1) lim

n→∞an = +∞ (−∞),

(2) istnieje n0 takie, że an ¬ bn (an bn) dla dowolnego n n0,to limn→∞

bn = +∞ (−∞).

Szkic dowodu.Udowodnimy tylko w przypadku plus nieskończoności.Niech r ∈ R. Rozważmy n1 i n2 takie, że

∀nn1an > r

∀nn2an ¬ bn.

Biorąc n0 = max{n1, n2} widzimy, że dla dowolnego n n0 mamy bn > r.2

4.7 Inne twierdzenia o granicach ciągów

Twierdzenie 4.7.1 (Lemat Toepliza) Niech (an) będzie ciągiem liczb nieujemnych. Niech bndef=

n∑k=1

ak oraz bn > 0 dla

wszystkich naturalnych n i ciąg (bn) będzie rozbieżny do +∞. Jeżeli ciąg (xn) jest ciągiem liczbowym zbieżnym takim, że

limn→∞

xn = x, to zbieżny jest ciąg(1bn

n∑k=1

akxk

)oraz

limn→∞

1bn

n∑k=1

akxk = x (4.19)

Szkic dowodu.Niech ε > 0. Rozważy n0 takie, że

∀nn0 |xn − x| <ε

2.

Ponieważ ciąg (bn) jest rozbieżny do +∞ więc rozważmy n1 takie, że

∀nn1bn >2n0∑k=1

ak |xk − x|

ε.

Wtedy biorąc N0 = max{n0 + 1, n1} dla dowolnego n N0 mamy∣∣∣∣∣ 1bnn∑k=1

akxk − x

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ 1bn

n∑k=1

akxk −1bn

n∑k=1

akx

∣∣∣∣∣ = 1bn∣∣∣∣∣n∑k=1

ak(xk − x)

∣∣∣∣∣ ¬ 1bnn∑k=1

ak |xk − x| =

1bn

n0∑k=1

ak |xk − x|+1bn

n∑k=n0+1

ak |xk − x| <ε

2+1bn

n∑k=n0+1

akε

2<ε

2+ε

2= ε

2

Twierdzenie 4.7.2 (Twierdzenie Stolza) Niech ciąg (an) będzie ciągiem rosnącym rozbieżnym do nieskończoności. Jeżeliciąg

(bn−bn−1an−an−1

)jest zbieżny w szerszym sensie i lim

n→∞


)= g, to lim

n→∞

(bnan

)= g.


Szkic dowodu.Przypadek I. Ciąg


)jest zbieżny. Podstawiając w twierdzeniu 4.7.1 za an i xn odpowiednio an − an−1 i bn−bn−1an−an−1

dla n > 1 oraz a1 i b1a1 dla n = 1 otrzymujemy tezę naszego twierdzenia.

Przypadek II. Ciąg(bn−bn−1an−an−1

)ma granicę niewłaściwą.

Przypadek IIA. Załóżmy, że limn→∞


)= +∞. Rozważmy n1, n2 takie, że

∀nn1an > 0

∀nn2bn − bn−1an − an−1

> 1.

Niech N0 = max{n1, n2}. Wtedy bn − bn−1 > an − an−1 dla n N0, a więc można pokazać indukcyjnie, że dla dowolnegok ∈ N ∪ {0} prawdziwa jest nierówność

bN0+k > aN0+k − aN0−1 + bN0−1. (4.20)

Stąd ciąg (bn) jest rozbieżny do +∞, a więc od pewnego miejsca dodatni. Ponadto od N0 jest on rosnący, a więc zgodnie zuwagą 4.7.1 można zastosować Przypadek I naszego twierdzenia do ciągu

(an−an−1bn−bn−1

). Wtedy lim

n→∞

(an−an−1bn−bn−1

)= 0, więc

limn→∞

(anbn

)= 0 i ponieważ od pewnego miejsca iloraz anbn jest dodatni, więc limn→∞

(bnan

)= +∞.

Przypadek IIB. Załóżmy, że limn→∞


)= −∞. Dowód jest analogiczny, jak w wcześniejszym przypadku. 2

Uwaga 4.7.1 Twierdzenie 4.7.2 pozostaje prawdziwe jeżeli założymy ciąg (an) jest rosnący dopiero od pewnego miejsca, gdyżna granicę nie mają wpływu początkowe wyrazy ciągu.

Uwaga 4.7.2 Przypadek I. Można udowodnić nie wykorzystując lematu Toepliza, lecz bezpośrednio.

Twierdzenie 4.7.3 (o granicy średnich arytmetycznych) Niech dany ciąg (an) będzie zbieżny w szerszym sensie. Jeżelilimn→∞

an = g, to limn→∞

a1+...+ann = g.

Szkic dowodu.

W twierdzeniu 4.7.2 podstawiając za an i bn odpowiednio n i a1 + . . .+ an otrzymujemy tezę naszego twierdzenia. 2

Uwaga 4.7.3 Zauważmy, że jest to szczególny przypadek lematu Toepliza i twierdzenia Stolza. Można przeprowadzić równieżdowód bezpośredni nie korzystając z twierdzenia Stolza, czy też lematu Toepliza.

Uwaga 4.7.4 Twierdzenia 4.7.3 nie można odwrócić. Istnieje ciąg, dla którego ciąg średnich arytmetycznych jest zbieżny,ale sam ciąg nie jest zbieżny. Wystarczy rozważyć ciąg, którego n - ty wyraz wyraża się wzorem (−1)n−1+1

2 .

Wniosek 4.7.1 Niech ciąg (an+1 − an) będzie zbieżny. Jeżeli limn→∞(an+1 − an) = g, to lim

n→∞ann = g.

Szkic dowodu.

Podstawiając w twierdzeniu 4.7.3 za ciąg (an) ciąg określony następująco b1 = a1 oraz bn+1 = an+1 − an otrzymujemytezę naszego twierdzenia. 2

Twierdzenie 4.7.4 (o granicy średnich geometrycznych) Niech ciąg (an) będzie ciągiem liczb dodatnich i zbieżnym wszerszym sensie. Jeżeli lim

n→∞an = g, to lim

n→∞n√a1 · . . . · an = g.

Szkic dowodu.

Rozważmy trzy przypadki:Przypadek I. g = 0;Przypadek II. g ∈]0,+∞[;Przypadek III. g = +∞;Ad. I. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczbę n1 taką, że

∀nn1an <ε

(1 + ε)2.


Rozważmy następnie n2, n3 takie, że

∀nn21− ε < n√a1 · . . . · an1 < 1 + ε

∀nn31− ε <n

√(1 + ε)2n1

εn1< 1 + ε.

Istnienie n2, n3 wynika z twierdzenia 4.5.2. Niech n0 = max{n1, n2, n3} i niech n n0 będzie dowolną liczba naturalną.Mamy wtedy

n√a1 · . . . · an = n

√a1 · . . . · an1 · n

√an1+1 · . . . · an < (1 + ε)

(ε

(1 + ε)2

)n−n1n

= (1 + ε)ε

(1 + ε)2n

√(1 + ε)2n1

εn1< ε,

co kończy dowód w tym przypadku.Ad. II. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Bez straty ogólności możemy założyć, że ε < max{1, 6g}. Przyjmijmy,

że ε0 = ε3

(1 + ε

6g

)−2. Zauważmy, że ε0 < ε

3 i ponadto

ε0 + g =(1 +

ε

6g

)−2(ε

3+ g +

ε

3g· g + ε

3· ε

12g

)<

(1 +

ε

6g

)−2(g + ε),

gdyż ε12g < 1.Rozważmy liczbę n1 taką, że

∀nn1g − ε0 < an < g + ε0.

Rozważmy następnie n2, n3, n4 takie, że

∀nn21−ε

6g< n√a1 · . . . · an1 < 1 +

ε

6g

∀nn31−ε

6g< n

√1

(g + ε0)n1< 1 +

ε

6g

∀nn41−ε

6g< n

√1

(g − ε0)n1< 1 +

ε

6g.

Istnienie n2, n3, n4 wynika analogicznie jak w przypadku I. Niech n0 = max{n1, n2, n3, n4} i niech n n0 będzie dowolnąliczba naturalną. Mamy wtedy

n√a1 · . . . · an = n

√a1 · . . . · an1 · n

√an1+1 · . . . · an <

(1 +

ε

6g

)(g + ε0)

n−n1n =

(1 +

ε

6g

)(g + ε0) n

√1

(g + ε0)n1

<

(1 +

ε

6g

)2(1 +

ε

6g

)−2(g + ε) = g + ε.

Podobnie szacując z dołu otrzymujemy

n√a1 · . . . · an > (1− ε

6g)(g − ε0)

n−n1n = (1− ε

6g)(g − ε0) n

√1

(g − ε0)n1> (1− ε

6g)2g

= g − ε

3+ε2

36> g − ε

3> g − ε.

Łącznie oba oszacowania dają| n√a1 · . . . · an − g| < ε.

Ad. III. Zgodnie z twierdzeniem 4.6.4 ciąg bn = 1anjest zbieżny do zera. Na podstawie przypadku i mamy

0 = limn→∞

n√b1 · . . . · bn = lim

n→∞

1n√a1 · . . . · an

.

Ponieważ wyrazy ciągu n√a1 · . . . · an są dodatnie, więc zgodnie z twierdzeniem 4.6.5 ciąg ten jest rozbieżny do plus nieskoń-

czoności. 2

Uwaga 4.7.5 Dowód tego twierdzenia jest znacznie prostszy – natychmiastowy, jeżeli korzystamy z ciągłości funkcji logaryt-micznej i twierdzenia o granicy średnich arytmetycznych.


Przykład 4.7.1 Ponieważ limn→∞

n = +∞ więc limn→∞

n√n! = +∞.

Wniosek 4.7.2 Niech ciąg (an) będzie ciągiem liczb dodatnich. Niech ponadto ciąg(an+1an

)będzie ciągiem zbieżnym. Jeżeli

limn→∞

an+1an= g, to lim

n→∞n√an = g.

Szkic dowodu.W twierdzeniu 4.7.4 należy podstawić za an odpowiednio

an+1andla n > 1 i a1 dla n = 1 i otrzymujemy tezę naszego

twierdzenia. 2

Przykład 4.7.2 Ponieważ limn→∞

nn−1 = 1, więc limn→∞

n√n = 1.

Uwaga 4.7.6 Zauważmy, że jeżeli dowodzimy bezpośrednio z definicji granicy twierdzenia 4.7.4, to przykład 4.7.2 nie mo-że być rozpatrywany, gdyż korzystamy w dowodzie z tej własności. W przypadku, gdy dowód opiera się o ciągłość funkcjilogarytmicznej, to rozważanie tego przykładu ma sens.

4.8 Granica górna i dolna ciągu.

Lemat 4.8.1 Niech (an) będzie ciągiem i niech Edef= {an : n ∈ N}.

(i) Jeżeli ciąg (an) jest niemalejący, to limn→∞

an = supE.

(ii) Jeżeli ciąg (an) jest nierosnący, to limn→∞

an = inf E.

Szkic dowodu.W przypadku, gdy ciąg jest ograniczony lemat wynika z dowodu twierdzenia 4.4.1.Natomiast, gdy ciąg nie jest ograniczony to na podstawie twierdzeń 4.6.2 i 4.6.3 ciąg jest rozbieżny do plus bądź minus

nieskończoności i zbiór E jest nieograniczony z góry bądź dołu, a więc na mocy naszych umów kres górny jest równy plusnieskończoność, a dolny minus nieskończoność. 2

Uwaga 4.8.1 Przy oznaczeniach z lematu 4.8.1 supE będziemy oznaczać supn∈N

an, inf E będziemy oznaczać infn∈N

an.

Definicja 4.8.1 Dany jest ciąg (an).Granica górna ciągu (oznaczamy ją lim sup) jest to liczba rzeczywista bądź nieskończoność (plus bądź minus) w przypadku

ciągu nieograniczonego określona równością

lim supn→∞

an = infn∈N(supkn

ak) = limn→∞(supkn

ak) (4.21)

Granica dolna ciągu (oznaczamy ją lim inf) jest to liczba rzeczywista bądź nieskończoność (plus bądź minus) w przypadkuciągu nieograniczonego określona równością

lim infn→∞

an = supn∈N( infkn

ak) = limn→∞( infkn

ak) (4.22)

Uwaga 4.8.2 Ponieważ ciąg (gn) określony wzorem gn = supkn

ak jest nierosnącym, to jeśli jest ograniczony z dołu, to jest

zbieżny3, a jeżeli nie jest ograniczony z dołu to jest rozbieżny do −∞.Podobnie ciąg (dn) określony wzorem dn = inf

knak jest niemalejący, to jeśli jest ograniczony z góry, to jest zbieżny4, a

jeżeli nie jest ograniczony z góry to jest rozbieżny do +∞.

Uwaga 4.8.3 Zauważmy, że definicja granicy górnej i dolnej zawiera dwie możliwości ich definiowania. Jednak na podstawielematu 4.8.1 są to postacie równoważne.

Przykład 4.8.1 Niech an = (−1)n. Wówczas lim supn→∞

an = 1 oraz lim infn→∞

an = −1.

3Przyjmujemy konwencję, że jeżeli gn = +∞ dla dowolnego naturalnego n, to ciąg jest ograniczony z dołu i ciąg ma granicę równą plusnieskończoność.4Przyjmujemy konwencję, że jeżeli dn = −∞ dla dowolnego naturalnego n, to ciąg jest ograniczony z góry i ciąg ma granicę równą minus

nieskończoność.


Przykład 4.8.2 Niech an = n(−1)n

. Wówczas lim supn→∞

an = +∞ oraz lim infn→∞

an = 0.

Twierdzenie 4.8.1 Niech ciągi (an) i (bn) będą dowolne. Wówczas

lim supn→∞

(−an) = − lim infn→∞

an (4.23)

lim infn→∞

an ¬ lim supn→∞

an. (4.24)

Szkic dowodu.Korzystając z oznaczeń z uwagi 4.8.2 i własności kresów widzimy, że lim

n→∞dn ¬ lim

n→∞gn co dowodzi nierówności 4.24.

Natomiast równość 4.23 jest konsekwencją własności sup(−A) = − inf A oraz inf(−A) = − supA.5 2

Uwaga 4.8.4 Przyjmujemy następującą konwencję, że jeżeli w zbiorze, którego liczymy kres pojawi się plus (minus) nie-skończoność, to będziemy mówili, że kres górny (dolny) jest równy plus (minus) nieskończoność.

Twierdzenie 4.8.2 Niech (an) będzie ciągiem. Wówczas

lim supn→∞

an = sup{γ ∈ R : ∃(nk)ank jest podciągiem zbieżnym w szerszym sensie ∧ lim

k→∞ank = γ

}(4.25)

Ponadto kres jest osiągalny w zbiorze tzn. istnieje podciąg (ank) zbieżny w szerszym sensie taki, że lim supn→∞

an = limk→∞

ank

lim infn→∞

an = inf{γ ∈ R : ∃(nk)ank jest podciągiem zbieżnym w szerszym sensie ∧ lim

k→∞ank = γ

}(4.26)

Ponadto kres jest osiągalny w zbiorze tzn. istnieje podciąg (ank) zbieżny w szerszym sensie taki, że lim infn→∞an = lim

k→∞ank

Szkic dowodu.Dowód przeprowadzimy dla granicy górnej, gdyż dla granicy dolnej jest analogiczny.Będziemy rozważać następujące przypadki:

Przypadek I. Ciąg jest ograniczony.Przypadek II. Ciąg jest nieograniczony z góry.Przypadek III. Ciąg jest ograniczony z góry i nieograniczony z dołu.

Oznaczmy A ={γ ∈ R : ∃(nk)ank jest podciągiem zbieżnym w szerszym sensie ∧ lim

k→∞ank = γ

}, α = lim sup

n→+∞an oraz

gn = supkn

ak.

ad. I Na mocy twierdzenia Bolzano - Weierstrassa (twierdzenie 4.3.2) zbiór A jest niepusty, gdyż zawiera co najmniejjeden podciąg zbieżny. Niech m będzie dowolne, ale ustalone. Wówczas na mocy definicji kresu górnego (łącząc dwa warunkidefinicji i pamiętając po czym brany jest kres górny) możemy napisać

∀ε>0∃kmgm − ε < ak ¬ gm.

Możemy więc skonstruować rosnący ciąg indeksów (nk) o następującej własności

∀k∈Ngk −1k< ank ¬ gk. (4.27)

Na mocy założeń i definicji granicy górnej majoranta i minoranta podciągu (ank) zbiegają do granicy górnej. Stąd naszpodciąg ma granicę równą α. Tak więc na mocy definicji kresu górnego α ¬ supA. Przypuśćmy, że jest α < supA. Stądistnieje taki podciąg zbieżny (bm), gdzie bm = anm o własności g = limm→∞

bm > α, gdyż gdyby tak nie było to α byłoby

mniejszym ograniczeniem górnym zbioru A niż supA. Ponieważ nm m stąd na mocy określenia ciągu (gn) (łącznie zdefinicją kresu dolnego dla równoważnego określenia granicy górnej) mamy

∀ε>0∃m0∈Ngm0 < α− ε,

czyli (ciąg (gn) nierosnący)∀ε>0∃m0∈N∀mm0bm ≡ anm ¬ gm < α− ε. (4.28)

5Definicja zbioru −A znajduje się przy zadaniach do rozdziału drugiego


Dla każdego ustalonego ε > 0 przechodząc z m do nieskończoności otrzymujemy

g = limn→∞

bn ¬ α− ε.

Prawdziwe więc jest zdanie

∀k∈Ng ¬ α−1k. (4.29)

Dokonując przejścia granicznego dla k otrzymujemy sprzeczność.ad. II Na mocy twierdzenia 4.6.6 nasz ciąg zawiera podciąg rozbieżny do plus nieskończoności (a więc zbiór A jest

niepusty). Stąd otrzymujemy tezę w naszym przypadku.ad. III Zbiór A jest niepusty na mocy twierdzenia 4.6.6, gdyż zawiera podciąg rozbieżny do minus nieskończoności.Należy teraz rozważyć dwa przypadki:

Przypadek III (a) Istnieje podciąg o zbieżny.Przypadek III (b) Wszystkie podciągi zbieżne w szerszym sensie mają granicę niewłaściwą.ad. III (a) Niech (ank) będzie podciągiem zbieżnym. Niech M = inf

k1ank . Rozważmy maksymalny

6 podciąg ciągu (an)

(oznaczmy do (Anm)), którego wyrazy są większe niż M −1. Dla tego podciągu można stosować wnioskowanie z przypadkuI. Kończy to dowód, gdyż supA jest równe kresowi górnemu określonemu analogicznie dla ciągu maksymalnego, a ponadtogranica górna ciągu i podciągu maksymalnego są sobie równe.ad. III (b) Zbiór A składa się z jednego elementu −∞, a więc supA = −∞ i ponieważ (gn) jest nierosnącym to α = −∞.

2

Uwaga 4.8.5 Twierdzenie powyższe można wyrazić następująco:Granica górna (dolna) jest granicą podciągu zbieżnego w szerszym sensie danego ciągu i jest to największa(najmniejsza) z granic zbieżnych w szerszym sensie podciągów danego ciągu.

Wniosek 4.8.1 Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny w szerszym sensie, to lim supn→∞

an = lim infn→∞

an.

Szkic dowodu.Dowód oczywisty. 2

Wniosek 4.8.2 Jeżeli dla ciągu (an) zachodzi lim supn→∞

an = lim infn→∞

an, to ciąg jest zbieżny w szerszym sensie i limn→∞

an =

lim infn→∞

an = lim supn→∞

an

Szkic dowodu.Przy oznaczeniach z uwagi 4.8.2 dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą oszacowania

dn ¬ an ¬ gn.

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach oraz definicji granicy górnej i dolnej otrzymujemy tezę. 2

Wniosek 4.8.3 Ciąg ograniczony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy granica górna jest równa granicy dolnej.

Szkic dowodu.Bezpośredni konsekwencja wniosków 4.8.1 i 4.8.2. 2

6Maksymalny oznacza, że każdy wyraz ciągu wyjściowego większy niż M − 1 jest wyrazem tego podciągu.

Rozdział 5

Szeregi liczbowe

5.1 Pojęcie szeregu liczbowego. Zbieżność szeregów

Definicja 5.1.1 Niech (an) będzie ciągiem liczbowym. Ciągiem sum częściowych nazywamy ciąg (sn), którego wyrazy okre-ślone są wzorem

sn =n∑k=1

ak. (5.1)

Definicja 5.1.2 Niech (an) będzie dowolnym ciągiem, zaś (sn) będzie ciągiem jego sum częściowych. Szeregiem liczbowym

nazywamy parę uporządkowaną ((an), (sn)) i oznaczamy go∞∑n=1

an

Definicja 5.1.3 Mówimy, że szereg∞∑n=1

an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jego sum częściowych jest zbieżny.

Sumą szeregu nazywamy granicę sum częściowych tego szeregu.

Definicja 5.1.4 Szereg liczbowy nazywamy rozbieżnym wtedy i tylko wtedy, gdy granica ciągu sum częściowych jest niewła-ściwa lub nie istnieje.

Uwaga 5.1.1 W literaturze sumę szeregu i szereg zwykle oznacza się tak samo.

Przykład 5.1.1 Dla szeregu geometrycznego an = aqn mamy

∞∑n=1

an =

a1−q dla |q| < 1 ∧ a ∈ R(+∞) · sign(a) dla q 1 ∧ a ∈ Rnie istnieje dla q ¬ −1 ∧ a 6= 00 dla q ¬ −1 ∧ a = 0

(5.2)

Ponieważ mamy

sn =n∑k=1

an ={a 1−q

n

1−q dla q 6= 1na dla q = 1

(5.3)

Twierdzenie 5.1.1 (Działania na szeregach zbieżnych) Jeżeli szeregi∞∑n=1

an i∞∑n=1

bn są zbieżne, to

(i) zbieżny jest szereg∞∑n=1(an + bn) oraz

∞∑n=1

(an + bn) =

( ∞∑n=1

an

)+

( ∞∑n=1

bn

)(5.4)

(ii) zbieżny jest szereg∞∑n=1(an − bn) oraz

∞∑n=1

(an − bn) =

( ∞∑n=1

an

)−

( ∞∑n=1

bn

)(5.5)

43


(iii) dla dowolnej liczby rzeczywistej c zbieżny jest szereg∞∑n=1(c · an) oraz

∞∑n=1

(c · an) = c ·

( ∞∑n=1

an

). (5.6)

W szczególności zbieżny jest szereg∞∑n=1(−an) oraz

∞∑n=1

(−an) = −

( ∞∑n=1

an

). (5.7)

Szkic dowodu.Jest to wniosek z twierdzenia 4.2.2. 2

Definicja 5.1.5 Szereg liczbowy nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jego sum częściowych jest ograniczony.

Twierdzenie 5.1.2 Każdy szereg zbieżny jest ograniczony.

Szkic dowodu.Jest to wniosek z twierdzenia 4.2.1. 2

5.2 Kryteria zbieżności dowolnych szeregów

Definicja 5.2.1 Dany jest szereg∞∑n=1

an. n - tą resztą szeregu nazywamy wielkość (szereg)

rn =∞∑

k=n+1

ak (5.8)

Twierdzenie 5.2.1 Jeżeli szereg∞∑n=1

an jest zbieżny, to ciąg n - tych reszt jest zbieżny do zera.

Szkic dowodu.Niech S =

∞∑n=1

an. Wtedy

S − sn = rn.

Przechodząc z granicą do nieskończoności otrzymujemy tezę. 2

Twierdzenie 5.2.2 (Warunek konieczny zbieżności szeregu) Jeżeli szereg∞∑n=1

an jest zbieżny, to limn→∞

an = 0.

Szkic dowodu.Teza wynika z własności an = rn − rn−1. 2

Twierdzenie 5.2.3 (Warunek konieczny i dostateczny zbieżności szeregu) Szereg∞∑n=1

an jest zbieżny wtedy i tylko

wtedy, gdy

∀ε>0∃N3k∀N3nmk

∣∣∣∣∣n∑l=m

al

∣∣∣∣∣ < ε. (5.9)

Szkic dowodu.Jest to warunek Cauchy’ego dla ciągu sum częściowych. Więc twierdzenie jest prawdziwe na podstawie twierdzenia

Cauchy’ego (twierdzenie 4.4.2). 2

Uwaga 5.2.1 Warunek z twierdzenia 5.2.3 można napisać w innej postaci

∀ε>0∃N3k∀N3m

∣∣∣∣∣m∑l=0

ak+l

∣∣∣∣∣ < ε (5.10)

bądź inaczej

∀ε>0∃N3n0∀N3nn0∀k∈N

∣∣∣∣∣k∑l=0

an+l

∣∣∣∣∣ < ε (5.11)


Uwaga 5.2.2 Twierdzenie 5.2.3 nazywane jest też twierdzeniem Cauchy’ego.

Lemat 5.2.1 (Abela o sumowaniu częściowym) Dane są ciągi (an) i (bn). Niech An =n∑k=0

ak oraz A−1 = 0. Wówczas

dla dowolnych p, q takich, że 0 ¬ p ¬ q zachodzi

q∑k=p

akbk = Aqbq −Ap−1bp +q−1∑k=p

Ak(bk − bk+1) (5.12)

Szkic dowodu.

q∑k=p

akbk =q∑k=p

(Ak −Ak−1)bk =q∑k=p

Akbk −q∑k=p

Ak−1bk =

q∑k=p

Akbk −q−1∑k=p−1

Akbk+1 =q−1∑k=p

Ak(bk − bk+1) +Aqbq −Ap−1bp

2

Twierdzenie 5.2.4 (Kryterium Abela - Dirichleta) Dane są ciągi (an) i (bn). Niech An =n∑k=1

ak. Jeżeli

(i) ciąg (An) jest ograniczony,(ii) ciąg (bn) jest nierosnący,(iii) lim

n→∞bn = 0,

to szereg∞∑n=1

anbn jest zbieżny.

Szkic dowodu.

Rozważmy M takie, że

∀n∈N|An| ¬M.

Niech ε > 0. Ponieważ ciąg (bn) jest monotonicznie zbieżny do zera więc, rozważmy n0 takie, że

∀n∈N|bn| <ε

2(M + 1).

Sprawdzamy warunek twierdzenia 5.2.3 korzystając z lematu 5.2.1 oraz tego, że ciąg (bn) jest nieujemny. Mamy dla dowolnychm n n0∣∣∣∣∣

n∑l=m

albl

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣Anbn −Am−1bm +

n−1∑k=m

Ak(bk − bk+1)

∣∣∣∣∣ ¬ |An| bn + |Am−1|bm +n−1∑k=m

|Ak|(bk − bk+1) ¬

¬Mbn +Mbm +n−1∑k=m

M(bk − bk+1) = 2Mbm < ε

2

Wniosek 5.2.1 Twierdzenie 5.2.4 pozostaje słuszne, jeśli warunek (ii) zastąpimy następującym:(ii)′ ciąg (bn) jest niemalejący.

Uwaga 5.2.3 Ciąg spełniający warunki (ii) (albo (ii)′) i (iii) twierdzenia 5.2.4 nazywamy ciągiem monotonicznym zbieżnymdo zera i oznaczamy bn ↘ 0 (odpowiednio bn ↗ 0).

5.3 Szeregi nieujemne i ich kryteria zbieżności


an jest nieujemny (dodatni) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby naturalnej

an 0 (an > 0).


Wniosek 5.3.1 Ciąg sum częściowych szeregu nieujemnego (dodatniego) jest ciągiem nieujemnym (dodatnim) i niemaleją-cym (rosnącym).

Twierdzenie 5.3.1 Szereg nieujemny jest zbieżny, bądź rozbieżny do +∞.

Szkic dowodu.Dowód oczywisty, gdyż ciąg sum częściowych może być ograniczony lub nieograniczony z góry. 2

Twierdzenie 5.3.2 Szereg nieujemny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Szkic dowodu.Konsekwencja wniosku 4.4.1. 2

Twierdzenie 5.3.3 (Kryterium porównawcze zbieżności (Weierstrassa)) Dane są szeregi nieujemne∞∑n=1

an i∞∑n=1

bn.

Jeśli spełnione są warunki

∃k∈N∀N3nkan ¬ bn, (5.13)∞∑n=1

bn- zbieżny, (5.14)

to szereg∞∑n=1

an jest zbieżny

Szkic dowodu.Rozważmy n0 takie, że

∀N3nn00 ¬ an ¬ bn.

Niech n n0. Wtedy oznaczając san =n∑k=n0

ak i sbn =n∑k=n0

bk mamy limn→∞

sbn < +∞ oraz

0 ¬ san ¬ sbn.

Stąd wynika, że ciąg (san) jest ograniczony i jest monotoniczny, więc limn→∞

san < +∞ dodając skończoną wartośćn0−1∑k=1

bk

widzimy, że ciąg sum częściowych szeregu∞∑n=1

an jest zbieżny. 2

Twierdzenie 5.3.4 (Kryterium porównawcze rozbieżności) Dane są szeregi nieujemne∞∑n=1

an i∞∑n=1

bn.


∃k∈N∀N3nkan ¬ bn, (5.15)∞∑n=1

an- rozbieżny, (5.16)

to szereg∞∑n=1

bn jest rozbieżny.

Szkic dowodu.Rozważmy n0 takie, że

∀N3nn0an ¬ bn.

Niech n n0. Wtedy oznaczając san =n∑k=n0

ak i sbn =n∑k=n0

bk mamy limn→∞

san = +∞ oraz

0 ¬ san ¬ sbn.

Stąd wynika, że limn→∞

sbn = +∞. Dodając skończoną wartośćn0−1∑k=1

bk widzimy, że ciąg sum częściowych szeregu∞∑n=1

bn jest

rozbieżny do plus nieskończoności. 2


Twierdzenie 5.3.5 (Kryterium zagęszczania Cauchy’ego) Niech ciąg (an) będzie ciągiem nierosnącym i nieujemnym.

Wówczas szereg∞∑n=1

an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

∞∑k=0

2ka2k (5.17)

jest zbieżny.

Szkic dowodu.

Niech sn =n∑k=1

ak i tk =k∑m=02ma2m . Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna liczba całkowita

nieujemna k taka, że2k−1 ¬ n < 2k.

Niech n ∈ N i k będzie wyznaczone przez ten warunek. Wtedy

0 ¬ sn ¬ a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6 + a7) + . . .+ (a2k + a2k+1 + . . .+ a2k+1−1) ¬ a1 + 2a2 + 4a4 + . . .+ 2ka2k = tk

sn a1 + a2 + (a3 + a4) + . . .+ (a2k−1+1 + . . .+ a2k−1) 12a1 + a2 + 2a4 + . . .+ 2k−2a2k−1 =

12tk−1 0.

Zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach kończy dowód. 2

Wniosek 5.3.2 Szereg∞∑n=1

1np jest zbieżny dla p > 1 i rozbieżny dla p ¬ 1.

Szkic dowodu.Stosując kryterium zagęszczania otrzymujemy szereg geometryczny

∞∑n=0

(1

2(p−1))n. 2

Wniosek 5.3.3 Szereg∞∑n=2

1n lnp n jest zbieżny dla p > 1 i rozbieżny dla p ¬ 1.

Szkic dowodu.Stosując kryterium zagęszczania otrzymujemy szereg

∞∑n=1

1np ln 2 . 2

Twierdzenie 5.3.6 (Kryterium Kummera) Szereg dodatni∞∑n=1

an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg liczb

dodatnich (bn) takich, że

limn→∞

(bn

anan+1

− bn+1)> 0. (5.18)

Szkic dowodu.(Konieczność)

Niech s =∞∑n=1

an podstawmy za bn wyrażenie s−snan . Przekształcając wyrażenie pod granicą otrzymujemy

bnanan+1

− bn+1 =s− snan

anan+1

− s− sn+1an+1

=s− sn − s+ sn+1

an+1= 1→ 1 > 0.

(Dostateczność)Niech istnieje ciąg liczb dodatnich (bn) taki, że zachodzi warunek (5.18). Niech

limn→∞

(bn

anan+1

− bn+1)= 2h > 0.

Na podstawie na lematu 4.2.1 rozważmy takie n0, że

∀nn0bnanan+1

− bn+1 > h.

Wówczas dla dowolnego m ∈ N ∪ {0} mamy nierówność

bn0+man0+m − bn0+m+1an0+m+1 > an0+m+1h.


Dodając stronami m pierwszych nierówności otrzymujemy

h(sn0+m+1 − sn0−1) < bn0an0 − bn0+m+1an0+m+1.

Ponieważ bn0an0 − bn0+m+1an0+m+1 < bn0an0 , więc ostatecznie

0 ¬ sn0+m+1 ¬ sn0−1 +bn0an0h

.

Stąd ciąg sum częściowych jest ograniczony, a ponieważ jest rosnący więc zbieżny, co oznacza zbieżność szeregu. 2

Wniosek 5.3.4 (Kryterium Raabego) Jeśli szereg dodatni∞∑n=1

an spełnia warunek

limn→∞

n

(anan+1

− 1)> 1, (5.19)

to jest zbieżny.

Szkic dowodu.

Należy podstawić w twierdzeniu 5.3.6 za bn = n i przekształcić wyrażenie występujące pod granicą. 2

Twierdzenie 5.3.7 (Kryterium Cauchy’ego) Dany jest szereg nieujemny∞∑n=1

an. Niech α = lim supn→∞

n√an. Wówczas,

jeśli

(i) α < 1, to szereg∞∑n=1

an jest zbieżny;

(ii) α > 1, to szereg∞∑n=1

an jest rozbieżny;

(iii) α = 1, to szereg∞∑n=1

an może być zbieżny lub rozbieżny (nie rozstrzyga).

Szkic dowodu.

Dowód (i) . Rozważmy dowolne β takie, że α < β < 1. Niech gn = supkn

k√ak. Na mocy definicji granicy górnej mamy

limn→∞

gn = α, a na mocy definicji granicy ciągu dla ε = β − α istnieje takie n0, że

∀nn0 |gn − α| < β − α.

Stąd z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy ∀nn0gn < β i ponieważ n√an ¬ gn, a więc ∀nn0 n

√an < β. Ostatecznie

∀nn0an < βn.

Kończy to dowód na podstawie twierdzenia 5.3.3.

Dowód (ii). Rozważmy podciąg (ank) taki, że limk→∞

nk√ank = α > 1. Jeżeli α = +∞, to rozważmy takie k0, że dla k k0

zachodzi nk√ank > 2. Stąd mamy ank > 2

nk , czyli podciąg ank jest rozbieżny do plus nieskończoności i nie spełnia warunkukoniecznego zbieżności szeregu.

Załóżmy, że α < +∞. Na mocy definicji granicy ciągu (dla ε = α−12 ) i własności wartości bezwzględnej otrzymujemy, żeistnieje k0 o własności

∀kk0α−α− 12

< nk√ank .

Ponieważ β ≡ α− α−12 =α+12 > 1 więc ank > βnk > 1. Więc nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.

Dowód (iii) . Dowodzi tego poniższy przykład. 2

Przykład 5.3.1 Dla szeregów∞∑n=1

1ni∞∑n=1

1n2

(5.20)

kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga ich zbieżności.


Twierdzenie 5.3.8 (Kryterium d’Alemberta) Dany jest nieujemny szereg∞∑n=1

an, dla którego tylko skończona ilość wy-

razów an jest zerem. Wówczas, jeśli

(i) lim supn→∞

an+1an

< 1, to szereg∞∑n=1

an jest zbieżny;

(ii) lim infn→∞

an+1an

> 1, to szereg∞∑n=1

an jest rozbieżny.

Szkic dowodu.

Dowód (i). Niech α = lim supn→∞

an+1an

. Analogicznie jak w twierdzeniu 5.3.7 (i) dla dowolnego β takiego, że α < β < 1

rozważamy takie n0, że

∀nn0an+1an

< β.

Indukcyjnie dowodzimy, że

∀k1an+k < βkan0 .

Stąd na podstawie kryterium porównawczego szereg jest zbieżny.

Dowód (ii). Rozważmy podciąg (ank) taki, że limk→∞

ank+1ank= α > 1. Jeżeli α = +∞, to rozważmy takie k0, że dla k k0

zachodziank+1ank

> 1 oraz ank > 0. Stąd mamy ank0+l > ank0 , czyli od pewnego wyrazu ciąg jest rosnący. Stąd nasz podciągnie może mieć granicy równej 0 i nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregu.

Załóżmy, że α < +∞. Na mocy definicji granicy ciągu (dla ε = α−12 ) i własności wartości bezwzględnej otrzymujemy, żeistnieje k0 o własności

∀kk0α−α− 12

<ank+1ank

.

Ponieważ α− α−12 =α+12 > 1, więc ank < ank+1. Więc nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu, gdyż podciąg

jest rosnący od k0 i jego granica nie jest równa zero. 2

Uwaga 5.3.1 Warunek rozbieżności w kryterium d’Alemberta (twierdzenie 5.3.8) można sformułować w następującej postaciistnieje podciąg (ank) dla którego spełniony jest warunek

ank+1ank

1. (5.21)

Przykład 5.3.2 Dany jest ciąg (an) określony następująco

andef={ 12k dla n = 2k − 113k dla n = 2k

. (5.22)

Wówczas

lim infn→∞

an+1an= limn→∞

(23

)n= 0 ∧ lim sup

n→∞

an+1an= limn→∞

12

(32

)n= +∞ (5.23)

lim infn→∞

n√an = lim

n→∞2n

√13n=

√33∧ lim sup

n→∞n√an = lim

n→∞2n

√12n=

√22

(5.24)

Twierdzenie 5.3.9 Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze od kryterium d’Alemberta. (Jeśli kryterium Cauchy’ego nie roz-strzyga, to nie rozstrzyga również kryterium d’Alemberta).

Szkic dowodu.

Wynika z przykładu 5.3.2 oraz nierówności (C.17). 2

5.4 Zbieżność bezwględna szeregu

Definicja 5.4.1 Szereg∞∑n=1

an nazywamy bezwzględnie zbieżnym wtedy i tylko wtedy, gdy szereg∞∑n=1|an| jest zbieżny.

Wniosek 5.4.1 Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.


Szkic dowodu.

Wynika z własności wartości bezwzględnej oraz warunku koniecznego i dostatecznego zbieżności szeregów (twierdzenie5.2.3). 2

Twierdzenie 5.4.1 Szereg nieujemny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezwzględnie zbieżny.

Szkic dowodu.

Wartość bezwzględna liczby nieujemnej jest tą samą liczbą. 2

Twierdzenie 5.4.2 (Kryterium porównawcze zbieżności bezwzględnej) Dane są szeregi∞∑n=1

an i∞∑n=1

bn.


∃k∈N∀N3nk|an| ¬ bn, (5.25)∞∑n=1

bn- zbieżny, (5.26)

to szereg∞∑n=1

an jest bezwzględnie zbieżny.

Szkic dowodu.

Jest to wniosek z twierdzenia 5.3.3. 2

Wniosek 5.4.2 Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia 5.4.2, to szereg∞∑n=1

an jest zbieżny.

Szkic dowodu.

Wynika z wniosku 5.4.1. 2

Twierdzenie 5.4.3 (Kryterium Cauchy’ego) Dany jest szereg∞∑n=1

an. Niech α = lim supn→∞

n√|an|. Wówczas, jeśli

(i) α < 1, to szereg∞∑n=1

an jest zbieżny bezwzględnie;

(ii) α > 1, to szereg∞∑n=1

an jest rozbieżny;

(iii) α = 1, to szereg∞∑n=1

an może być zbieżny bezwzględnie, zbieżny warunkowo1 lub rozbieżny.

Szkic dowodu.

Punkty (i) oraz (iii) są bezpośrednią konsekwencją twierdzenia 5.3.7. Rozumowanie w punkcie (ii) można powtórzyćotrzymując tym razem warunek

|ank | > 1.

2

Twierdzenie 5.4.4 (Kryterium d’Alemberta) Dany jest szereg∞∑n=1

an, dla którego tylko skończona ilość wyrazów an

jest zerem. Wówczas, jeśli

(i) lim supn→∞

∣∣∣an+1an ∣∣∣ < 1, to szereg ∞∑n=1

an jest zbieżny bezwzględnie

(ii) lim infn→∞

∣∣∣an+1an ∣∣∣ > 1, to szereg ∞∑n=1

an jest rozbieżny.

Szkic dowodu.

Jest to wniosek z twierdzenia 5.3.8. 2

1Zobacz definicja 5.5.2


5.5 Szeregi naprzemienne i warunkowo zbieżne

Definicja 5.5.1 Szereg postaci∞∑n=1

(−1)nan, (5.27)

gdzie wyrazy ciągu (an) mają stale jednakowy znak nazywamy szeregiem naprzemiennym.

Twierdzenie 5.5.1 (Kryterium Leibniza) Dany jest ciąg (an). Jeżeli spełnia on warunki:(i) ciąg (an) jest monotoniczny,(ii) lim

n→∞an = 0,

to szereg∞∑n=1(−1)nan jest zbieżny.

Szkic dowodu.Jest to wniosek z kryterium Abela - Dirichleta (twierdzenie 5.2.4). 2


an jest warunkowo zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg∞∑n=1|an| jest rozbieżny i

szereg∞∑n=1

an jest zbieżny.

Przykład 5.5.1 Szereg∞∑n=1

(−1)nn jest warunkowo zbieżny.

Twierdzenie 5.5.2 (Riemanna) Niech szereg∞∑n=1

an będzie zbieżny warunkowo i niech −∞ ¬ α ¬ β ¬ +∞ będą dane.

Wówczas istnieje taka permutacja zbioru liczb naturalnych σ (dowolne przestawienie wyrazów ciągu tworzącego szereg), że

szereg∞∑n=1

aσ(n) o sumach częściowych Sn ma własność

lim infn→∞

Sn = α ∧ lim supn→∞

Sn = β (5.28)

Szkic dowodu.Zdefiniujmy dwa nowe ciągi

pndef=|an|+ an2

, (5.29)

qndef=|an| − an2

. (5.30)

Zauważmy, że naprawdę (an)+ = (pn) oraz (an)− = (qn). Tak naprawdę ciąg (pn) powstaje z ciągu (an) przez zastąpienie

wyrazów ujemnych zerami. Należy pokazać, że szeregi∞∑n=1

pn i∞∑n=1

qn są rozbieżne. Mamy

∞∑n=1

pn +∞∑n=1

qn =∞∑n=1

|an|.

A więc oba jednocześnie nie mogą być zbieżne, zaś gdyby zbieżny był jeden z nich, to z równości

san = spn − sqn

otrzymujemy sprzeczność. Niech (Pn) i (Qn) będą podciągami ciągu (an) zawierającymi odpowiednio wszystkie wyrazy

nieujemne i niedodatnie ciągu (an). Szeregi∞∑n=1

Pn i∞∑n=1

Qn są rozbieżne, gdyż różnią się od szeregów∞∑n=1

pn i∞∑n=1

qn wyrazami

zerowymi. Niech (αk) i (βk) będą ciągami zbieżnymi w szerszym sensie dla których limk→∞

αk = α, limk→∞

βk = β i αn < βn oraz

β1 > 0.Konstruujemy dwa rosnące ciągi liczb naturalnych (nk) i (mk) w sposób następujący:Krok I. n1 i m1 będą najmniejszymi liczbami naturalnymi takimi, aby{

P1 + P2 + . . .+ Pn1 > β1

P1 + P2 + . . .+ Pn1 −Q1 −Q2 − . . .−Qm1 < α1.


Krok II. n2 i m2 będą najmniejszymi liczbami naturalnymi większymi odpowiednio niż n1 i m1 takimi, aby{P1 + . . .+ Pn1 −Q1 − . . .−Qm1 + Pn1+1 + . . .+ Pn2 > β2

P1 + . . .+ Pn1 −Q1 − . . .−Qm1 + Pn1+1 + . . .+ Pn2 −Qm1+1 − . . .−Qm2 < α2.

Krok k + 1. nk+1 i mk+1 będą najmniejszymi liczbami naturalnymi większymi odpowiednio niż nk i mk takimi, abyn1∑i=1

Pi −m1∑i=1

Qi + . . .+nk∑

i=nk−1+1Pi −

mk∑i=mk−1+1

Qi +nk+1∑i=nk+1

Pi > βk+1

n1∑i=1

Pi −m1∑i=1

Qi + . . .+nk∑

i=nk−1+1Pi −

mk∑i=mk−1+1

Qi +nk+1∑i=nk+1

Pi −mk+1∑i=mk+1

Qi < αk+1

.

Procedura nigdy się nie kończy, gdyż oba szeregi są rozbieżne. Skonstruowaliśmy szereg

n1∑i=1

Pi −m1∑i=1

Qi +n2∑

i=n1+1

Pi −m2∑

i=m1+1

Qi + . . .+nk+1∑i=nk+1

Pi −mk+1∑i=mk+1

Qi + . . . (5.31)

Niech sPk i sQk będą sumami szeregu kończącymi się wyrazami Pnk i −Qmk , to wówczas z konstrukcji wynikają nierówności{

−Pnk ¬ 0 < sPk − βk−Qmk ¬ 0 < αk − sQk

. (5.32)

A ponieważ są to najmniejsze liczby o takich własnościach (dla mniejszego od nk i mk nierówności zachodzą w drugą stronę– dokładniej dla nk − 1 i mk − 1), więc dodając do pierwszej Pnk i do drugiej Qmk otrzymamy{

sPk − βk < Pnkαk − sQk < Qmk

. (5.33)

Łącznie te nierówności dają {|sPk − βk| < Pnk|αk − sQk | < Qmk

. (5.34)

Dla skończonych α i β ostatnie nierówności daje tezę, dla α i β nieskończonych poprzednie dają tezę. 2

5.6 Iloczyn Cauchy’ego

Definicja 5.6.1 Iloczynem Cauchy’ego szeregów∞∑n=0

an i∞∑n=0

bn nazywamy taki szereg∞∑n=0

cn, którego wyrazy określone są

następująco

cndef=

n∑k=0

akbn−k (5.35)

Twierdzenie 5.6.1 (Cauchy) Jeżeli

(i) szereg∞∑n=0

an jest bezwzględnie zbieżny i∞∑n=0

an = A,

(ii) szereg∞∑n=0

bn jest zbieżny i∞∑n=0

bn = B,

to szereg∞∑n=0

cn będący iloczynem Cauchy’ego danych szeregów jest zbieżny i∞∑n=0

cn = AB.

Szkic dowodu.Udowodnimy, że ciąg (sans

bn − scn) jest zbieżny do zera.

Niech san =n∑k=1

ak, s|a|n =

n∑k=1|ak|, sbn =

n∑k=1

bk, scn =

n∑k=1

ck. Ponieważ szereg∞∑n=0

bn jest zbieżny, więc ograniczony. Roz-

ważmy stałą M1 taką, że∀n1|sbn| < M1.

Szereg∞∑n=0

an jest bezwzględnie zbieżny, a więc szereg∞∑n=0|an| jest zbieżny, stąd jest ograniczony, a więc rozważmy stałą M2

taką, że∀n1s|a|n < M2.


Niech M = max{M1,M2}.Mamy

scn = a0b0 + (a0b1 + a1b0) + . . .+ (a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0)

= (a0b0 + a0b1 + . . .+ a0bn) + (a1b0 + . . .+ a1bn−1) + . . .+ anb0

= a0sbn + a1sbn−1 + . . .+ ans

b0

oraz

sansbn − scn = (a0sbn + a1s

bn + . . .+ ans

bn)− (a0sbn + a1sbn−1 + . . .+ ansb0)

= a1(sbn − sbn−1) + . . .+ an(sbn − sb0).

Niech ε > 0. Rozważmy n1, n2 takie ,że

∀nmn1 |sbn − sbm| <ε

2M,

∀nmn2 |s|a|n − s|a|m | <ε

4M.

Bierzemy n0 = 2max{n1, n2} (oznaczmy maksimum max{n1, n2} ≡ k). Wtedy dla n n0 mamy n− k k oraz

|sansbn − scn| = |a1(sbn − sbn−1) + . . .+ ak(sbn − sbn−k) + ak+1(sbn − sbn−k−1) + . . .+ an(sbn − sb0)|

¬ |a1(sbn − sbn−1) + . . .+ ak(sbn − sbn−k)|+ |ak+1(sbn − sbn−k−1) + . . .+ an(sbn − sb0)|

¬(|a1||sbn − sbn−1|+ . . .+ |ak||sbn − sbn−k|

)+(|ak+1||sbn − sbn−k−1|+ . . .+ |an||sbn − sb0|

)<(|a1|

ε

2M+ . . .+ |ak|

ε

2M

)+(|ak+1||sbn − sbn−k−1|+ . . .+ |an||sbn − sb0|

)= (|a1|+ . . .+ |ak|)

ε

2M+(|ak+1||sbn − sbn−k−1|+ . . .+ |an||sbn − sb0|

)< M

ε

2M+(|ak+1||sbn − sbn−k−1|+ . . .+ |an||sbn − sb0|

)<ε

2+ (|ak+1|2M + . . .+ |an|2M) =

ε

2+ (|ak+1|+ . . .+ |an|) 2M <

ε

2+

ε

4M2M = ε.

Na podstawie twierdzeń o granicy iloczynu i różnicy otrzymujemy tezę. 2

Założenie, że jeden z szeregów jest bezwzględnie zbieżny jest konieczne.

Przykład 5.6.1 Rozważmy szereg∞∑n=0

(−1)n√n+1. n - ty wyraz iloczynu Cauchy’ego tego szeregu przez siebie wyraża się wzorem

cn = (−1)nn∑k=0

1√(n− k + 1)(k + 1)

i zachodzi następujące oszacowanie

|cn| n∑k=0

2n+ 2

=2(n+ 1)n+ 2

,

gdyż

(n− k + 1)(k + 1) =(n2+ 1)2−(n2− k)2¬(n2+ 1)2.

Nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregu.

Twierdzenie 5.6.2 (Abel) Jeśli szeregi∞∑n=1

an,∞∑n=1

bn,∞∑n=1

cn są zbieżne i maja sumy równe odpowiednio A,B,C i szereg∞∑n=1

cn jest iloczynem Cauchy’ego dwóch pozostałych, to AB=C.

Szkic dowodu.Dowód tego twierdzenia będzie podany przy okazji omawiania własności szeregów potęgowych. 2

Rozdział 6

Elementy topologii – przestrzeniemetryczne

6.1 Przestrzenie metryczne. Prosta euklidesowa i rozszerzona prosta eukli-

desowa

Uwaga 6.1.1 Przypomnijmy, że w zbiorze liczb rzeczywistych R wartość bezwzględna spełnia następujące warunki (międzyinnymi)

∀x,∈R|x| 0, (6.1)

∀x,y∈R|x− y| = 0⇔ x = y, (6.2)

∀x,y∈R|x− y| = |y − x|, (6.3)

∀x,y,z∈R|x− z| ¬ |x− y|+ |y − z|. (6.4)

Możemy więc określić odwzorowanie dE : R× R→ R+ ∪ {0} wzorem

∀x,y∈RdE(x, y) = |x− y|. (6.5)

Uwaga 6.1.2 Z algebry liniowej wiadomo, że dla dowolnej liczby zespolonej z jej moduł określa się następująco

|z| = 2√(<z)2 + (=z)2, (6.6)

gdzie <z jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, zaś =z jest częścią urojoną tej liczby. Spełnia on wówczas następującewarunki (między innymi)

∀x,∈C|x| 0, (6.7)

∀x,y∈C|x− y| = 0⇔ x = y, (6.8)

∀x,y∈C|x− y| = |y − x|, (6.9)

∀x,y,z∈C|x− z| ¬ |x− y|+ |y − z|. (6.10)

Możemy więc określić odwzorowanie dE,C : C× C→ R+ ∪ {0} wzorem

∀x,y∈CdE,C(x, y) = |x− y|. (6.11)

Ogólniej możemy zdefiniować przestrzeń metryczną następująco:

Definicja 6.1.1 Niech X będzie zbiorem niepustym, zaś d odwzorowaniem z X × X w R+ ∪ {0}. Parę (X, d) nazywamyprzestrzenią metryczną wtedy i tylko wtedy, gdy d spełnia następujące warunki

∀x,y∈Xd(x, y) = 0⇔ x = y, (6.12)

∀x,y∈Xd(x, y) = d(y, x), (6.13)

∀x,y,z∈Xd(x, z) ¬ d(x, y) + d(y, z). (6.14)

54


Elementy zbioru X nazywamy punktami przestrzeni.

Definicja 6.1.2 Jednowymiarową przestrzenią euklidesową (prostą euklidesową) E1 nazywamy przestrzeń

E1 def=(R, dE) ≡ (R, | · |) (6.15)

Definicja 6.1.3 Jednowymiarową przestrzenią zespolona (płaszczyzną zespoloną) C1 nazywamy przestrzeń

C1 def=(C, dE,C) ≡ (C, | · |) (6.16)

Uwaga 6.1.3 Jeżeli rozpatrujemy rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R, to można określić w nim metrykę następująco:

∀x,y∈RdR(x, y)def= | arctg x− arctg y|, (6.17)

gdzie przyjmujemy konwencję arctg(+∞) = π2 oraz arctg(−∞) = −π21.

Definicja 6.1.4 Jednowymiarową rozszerzoną przestrzenią euklidesową (rozszerzoną prostą euklidesową) E1 nazywamy prze-strzeń metryczną

E1 def=(R, dR) (6.18)

6.2 Zbiory otwarte i domknięte

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną (dla ułatwienia można cały czas rozważać wyłącznie E1 i E1).

Definicja 6.2.1 Kulą otwartą o środku w punkcie x0 o promieniu r ∈ R nazywamy zbiór określony równością

B(x0, r)def= {x ∈ X : d(x, x0) < r} (6.19)

Kulą domkniętą ośrodku w punkcie x0 o promieniu r ∈ R nazywamy zbiór określony równością

B(x0, r)def= {x ∈ X : d(x, x0) ¬ r} (6.20)

Uwaga 6.2.1 Jeżeli r > 0, to w przypadku:(i) prostej euklidesowej E1 kule, to odcinki o środku w x0 i długości 2r;(ii) rozszerzonej prostej euklidesowej E1 są to odcinki, półproste lub proste.

Uwaga 6.2.2 Jeżeli r < 0, to obie kul są zbiorami pustymi. Podobnie zbiorem pustym jest kula otwarta o promieniu zerowym.W przypadku kuli domkniętej o zerowym promieniu mamy doczynienia ze zbiorem jednopunktowym.

Lemat 6.2.1 Jeżeli 0 < r ¬ s, to B(x, r) ⊆ B(x, s) oraz B(x, r) ⊆ B(x, s).

Szkic dowodu.Prosta konsekwencja definicji kuli. 2

Definicja 6.2.2 Zbiór A ⊂ X w przestrzeni metrycznej nazywamy otwartym w (X,d) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀p∈A∃r>0B(p, r) ⊂ A. (6.21)

Definicja 6.2.3 Zbiór A nazywamy domkniętym w (X,d) wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem otwartym w(X,d).

Wniosek 6.2.1 Zbiory ∅ oraz X są otwarte w (X,d).

Szkic dowodu.Dowolna kula jest podzbiorem X stąd X jest otwarty. Zbiór pusty jest otwarty, gdyż nie zawiera żadnego elementu. 2

Wniosek 6.2.2 Zbiory ∅ oraz X są domknięte w (X,d).1Funkcja arctg (arcus tangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji tangens na przedziale ]− π2 ,

π2 [


Szkic dowodu.Ponieważ zbiory te są otwarte i dopełnieniem jednego z nich jest drugi, więc teza wynika z wniosku 6.2.1. 2

Wniosek 6.2.3 Kula otwarta w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem otwartym w (X,d).

Szkic dowodu.Rozważmy kulę B(p, r), gdzie p ∈ X i r > 0. Niech x ∈ B(p, r). Wtedy d(p, x) < r. Rozważmy kulę B(x, r−d(p,x)2 ). Wtedy

B(x,r − d(p, x)2

) ⊂ B(p, r).

Gdyż dla dowolnego y ∈ B(x, r−d(p,x)2 ) mamy

d(p, y) ¬ d(p, x) + d(x, y) < d(p, x) +r − d(p, x)2

=r + d(p, x)2

<2r2= r.

2

Twierdzenie 6.2.1 Kula domknięta w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem domkniętym w (X,d).

Szkic dowodu.Rozważmy kulę B(p, r), gdzie p ∈ X i r > 0. Udowodnimy, że X \ B(p, r) jest otwarty. Niech x ∈ X \ B(p, r), czyli

d(p, x) > r. Wtedy

B(x,d(p, x)− r2

) ⊂ X \B(p, r),

gdyż dla dowolnego y ∈ B(x, d(p,x)−r2 ) mamy

d(p, x) ¬ d(p, y) + d(x, y) < d(p, y) +d(p, x)− r2

.

Gdyby było d(p, y) ¬ r, to otrzymalibyśmy

d(p, x) < r +d(p, x)− r2

=d(p, x) + r2

⇔ d(p, x) < r.

Otrzymujemy sprzeczność, czyli d(p, y) > r. Stąd teza. 2

Twierdzenie 6.2.2 (i) Dla dowolnej rodziny {Ai : i ∈ I} ⊂ 2X zbiorów otwartych w (X,d) zbiór⋃i∈I

Ai jest otwarty w (X,d).

(ii) Dla dowolnej skończonej rodziny {Ai : 1 ¬ i ¬ n} ⊂ 2X zbiorów otwartych w (X,d) zbiórn⋂i=1

Ai jest otwarty w (X,d).

Szkic dowodu.Dowód (i). Niech x ∈ X. Załóżmy, że x ∈

⋃i∈I

Ai. Wtedy istnieje i0 ∈ I taki, że x ∈ Ai0 . Ponieważ Ai0 jest otwarty, więc

istnieje r > 0 takie, że B(x, r) ⊂ Ai0 . Stąd B(x, r) ⊂⋃i∈I

Ai, co kończy dowód.

Dowód (ii). Niech x ∈ X. Załóżmy, że x ∈n⋂i=1

Ai. Wtedy dla każdego i = 1, 2, . . . , n mamy x ∈ Ai. Ponieważ każdy Aijest otwarty, więc dla każdego i istnieje ri > 0 takie, że B(x, ri) ⊂ Ai. Biorąc r = min{r1, r2, . . . , rn} na podstawie lematu6.2.1 widzimy, że B(x, r) ⊆ B(x, ri) dla dowolnego i = 1, . . . , n. Stąd B(x, r) ⊂

n⋂i=1

Ai, co kończy dowód.2

Wniosek 6.2.4 (i) Dla dowolnej rodziny {Ai : i ∈ I} ⊂ 2X zbiorów domkniętych w (X,d) zbiór⋂i∈I

Ai jest domknięty w

(X,d).

(ii) Dla dowolnej skończonej rodziny {Ai : 1 ¬ i ¬ n} ⊂ 2X zbiorów domkniętych w (X,d) zbiórn⋃i=1

Ai jest domknięty w (X,d).

Szkic dowodu.Na podstawie definicji zbioru domkniętego i twierdzenie 6.2.2. 2

Wniosek 6.2.5 Następujące przedziały są zbiorami otwartymi w E1: ]a, b[ ,]−∞, a[, ]a,+∞[ oraz ]−∞,+∞[= R.



Wniosek 6.2.6 Następujące przedziały są zbiorami domkniętymi w E1: [a, b] ,]−∞, a], [a,+∞[ oraz ]−∞,+∞[= R.


Wniosek 6.2.7 W E1 przedziały otwarte to przedziały otwarte w E1 i zbiory powstałe z tych przedziałów przez dołączeniejednej (odpowiedniej) nieskończoności. Podobnie przedziały domknięte.


Twierdzenie 6.2.3 Dla dowolnych dwóch różnych punktów p i q przestrzeni metrycznej (X,d) istnieją zbiory Op i Oq otwartew (X,d) takie, że

p ∈ Op ∧ q ∈ Oq ∧ Op ∩ Oq = ∅ (6.22)

Szkic dowodu.Niech r = d(p,q)3 . Ponieważ p 6= q, to r > 0. Wtedy B(p, r) i B(q, r) spełniają założenia. 2

Definicja 6.2.4 (i) Otoczeniem punktu p nazywamy dowolny podzbiór Op ⊂ X, dla którego istnieją kula otwarta B(p, r)taka, że B(p, r) ⊂ Op.(ii) Otoczeniem otwartym punktu p nazywamy dowolne otoczenie punktu p będące zbiorem otwartym w (X,d).(iii) Otoczenie Op punktu p bez punktu p nazywamy sąsiedztwem punktu p i oznaczamy przez Sp.(iv) Punkt p nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie otwarte tego punktu

Op zawarte w tym zbiorze.

Uwaga 6.2.3 Przez S+p (S−p ) będziemy oznaczać sąsiedztwo prawostronne (lewostronne) punktu p prostej euklidesowej.

Przykład 6.2.1 Dla punkty 1 zbiór [1, 2] nie jest otoczeniem, zbiór [0, 2] jest otoczeniem, ale nie jest otoczeniem otwartym,zaś ]0, 2[ jest otoczeniem otwartym.

Przykład 6.2.2 Dla zbioru A = [1, 2] punkty wewnętrzne, to punkty z odcinka otwartego ]1, 2[

Wniosek 6.2.8 Każdy punkt zbioru otwartego w (X,d) jest punktem wewnętrznym.


Wniosek 6.2.9 Zbiór jednopunktowy jest zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej.

Szkic dowodu.Niech x ∈ X. Wystarczy udowodnić, że X \{x} jest zbiorem otwartym. Niech p ∈ X i p 6= x. Biorąc B(p, d(p,x)2 ) widzimy,

że B(p, d(p,x)2 ) ⊆ X \ {x}. 2

Definicja 6.2.5 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech A ⊆ X. Przez (A, d) będziemy rozumieli przestrzeńmetryczną z metryką indukowaną (”przeniesioną”) z całej przestrzeni. (A, d) nazywamy podprzestrzenią.Mówimy, że zbiór B ⊂ A jest otwarty (relatywnie otwarty) w przestrzeni (A, d) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór

otwarty O w (X, d) taki, że B = A ∩ O.Mówimy, że zbiór B ⊂ A jest domknięty (relatywnie domknięty) w przestrzeni (A, d) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje

zbiór domknięty D w (X, d) taki, że B = A ∩ D.

Przykład 6.2.3 Na prostej euklidesowej E1 rozważmy zbiór A ≡ [0, 1]∪]2, 3[. Wtedy w przestrzeni metrycznej A = (A, dE)zbiorem otwartym jest [0, 1], gdyż [0, 1] = [0, 1]∩B( 12 ,

34 ). Wynika stąd, że [2, 3] jest domknięty w A. Zauważmy, że [2, 3] jest

też zbiorem otwartym w A. Podobnie [0, 1] jest zbiorem otwartym i jednocześnie domkniętym w A.

Definicja 6.2.6 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Wtedy topologią wyznaczoną przez metrykę d nazywamy rodzinęwszystkich zbiorów otwartych w (X, d) i oznaczamy ją τ .

Uwaga 6.2.4 Ogólną definicję topologii podajemy w paragrafie ”Dodatek – przestrzeń topologiczna, przestrzeńtopologiczna zwarta”.


6.3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie metryczne zupeł-

ne

Uwaga 6.3.1 Pojęcie zbieżności ciągu w R, granicy oraz ciągu Cauchy’ego można przenieść na przestrzenie metryczne.

Definicja 6.3.1 Ciąg (xn) punktów przestrzeni metrycznej (X,d) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

∃x∈X∀ε>0∃n0∈N∀nn0d(x, xn) < ε (6.23)

Zbieżny ciąg (xn) punktów przestrzeni metrycznej (X,d) ma granicę równą x wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃N∈N∀nNd(x, xn) < ε (6.24)

Ciąg punktów (xn) przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃N∈N∀N3n,mNd(xm, xm) < ε. (6.25)

Uwaga 6.3.2 Podobnie jak ciąg liczbowy, ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej ma tylko jedną granicę

Twierdzenie 6.3.1 Niech dany będzie ciąg punktów (pn) przestrzeni metryczne (X,d) zbieżny. Niech ponadto limn→∞

pn = p

oraz limn→∞

pn = q. Wtedy p=q

Szkic dowodu.Dowód zupełnie analogiczny jak twierdzenia o granicy ciągu liczbowego (twierdzenie 4.1.1), tylko zamiast wartości bez-

względnej różnicy n - tego wyrazu i granicy bierzemy odległość między tymi punktami. 2

Definicja 6.3.2 Jeżeli w przestrzeni metrycznej (X,d) każdy ciąg Cauchy’ego ma granicę należącą do X, to przestrzeńmetryczną (X,d) nazywamy zupełną.

Twierdzenie 6.3.2 Prosta euklidesowa E1 jest zupełna.

Szkic dowodu.Jest to twierdzenie Cauchy’ego (twierdzenie 4.4.2) sformułowane w języku przestrzeni metrycznych. 2

Twierdzenie 6.3.3 Zbiór A jest domknięty w (X, d) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbieżnego ciągu punktów tegozbioru jego granica należy do tego zbioru.

Szkic dowodu.(Konieczność) (ad absurdum) Niech (pn) ⊂ A będzie zbieżny w X taki, że lim

n→∞pn = p 6∈ A. Ponieważ X \A jest otwarty

więc istnieje r > 0 takie, że B(p, r) ⊂ X \A. Na mocy definicji granicy istnieje takie n0, że

∀nn0d(p, pn) < r.

A więc pn0 ∈ B(p, r) ⊂ A′.(Dostateczność) (ad absurdum) Niech A′ nie jest zbiorem otwartym. Wtedy istnieje p ∈ A′ taki, że

∀r>0B(p, r) ∩A 6= ∅.

Tak więc istnieje ciąg (an) ⊂ A takie, że∀n∈Nan ∈ B(p,

1n). (6.26)

Ciąg ten jest zbieżny, wszystkie jego wyrazy są ze zbioru A, ale jego granica nie należy do zbioru A. 2

Definicja 6.3.3 Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej. Domknięciem zbioru A nazywamy najmniejszy zbiórdomknięty w (X,d) zawierający zbiór A. Oznaczmy go przez Cl A.

Uwaga 6.3.3 Domknięcie zbioru oznaczamy również przez A.


Wniosek 6.3.1 Domknięcie zbioru domkniętego w (X,d) jest tym samym zbiorem.


Definicja 6.3.4 (i) Punkt p nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy

∀r>0A ∩ (B(p, r) \ {p}) 6= ∅ (6.27)

(ii) Punkt p nazywamy punktem izolowanym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy p nie jest punktem skupienia tego zbiorutzn.

∃r>0A ∩ (B(p, r) \ {p}) = ∅ (6.28)

Uwaga 6.3.4 Warunek (6.27) można zapisać następująco

∀r>0∃x∈Ap 6= x ∧ d(p, x) < r (6.29)

Uwaga 6.3.5 Warunek (6.29), a co za tym (6.27) mówi, że punkt p jest granicą ciągu punktów z A różnych od p, gdyż zar wystarczy brać 1n dla n ∈ N.

Przykład 6.3.1 Dla zbioru A = {0}∪ [1, 2] punkt 0 jest punktem izolowanym, zaś dowolny punkt odcinak [1, 2] jest punktemskupienia.

Twierdzenie 6.3.4 Jeżeli p jest punktem skupienia zbioru A, to dowolne otoczenie punktu p zawiera nieskończenie wielepunktów ze zbioru A.

Szkic dowodu. (ad absurdum)Niech istnieje otocznie Op punktu p zawierające skończoną ilość punktów zbioru A. Rozważmy r > 0 takie, że B(p, r) ⊆

Op. Ono również zawiera tylko skończona ilość punktów zbioru A różnych od p. Niech będą to punkty x1, . . . , xn i niechri = d(p, xi) i niech r = max{r1, . . . , rn} Wtedy kula B(p, r2 ) nie zawiera oprócz punktu p innych punktów zbioru A. 2

Wniosek 6.3.2 Zbiór skończony nie ma punktów skupienia.


Twierdzenie 6.3.5 Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej, zaś A będzie zbiorem jego punktów skupienia. Zbiórprzestrzeni metryczne (X,d) jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊆ A.

Szkic dowodu.Jest to konsekwencja twierdzenia 6.3.3 i uwagi 6.3.5. 2

Przykład 6.3.2 Przestrzeń metryczna (Q, dQ), gdzie ∀x,y∈QdQ(x, y)def= |x− y| nie jest zupełna, gdyż ciąg rozwinięć dziesięt-

nych liczby niewymiernej jest ciągiem Cauchy’ego, ale nie jest zbieżny w tej przestrzeni.

Twierdzenie 6.3.6 E1 jest przestrzenią metryczną zupełną.

Szkic dowodu.Gdyż zamiast przestrzeni E1 wystarczy rozpatrzeć odcinek domknięty [−π2 ,

π2 ] z odległością euklidesową. Każdy ciąg

zbieżny o wyrazach z tego odcinka ma granicę w tym odcinku. 2

Uwaga 6.3.6 Ciągi zbieżne w E1 są to ciągi rzeczywiste zbieżne w szerszym sensie (jak również ciągi zbieżne w szerszymsensie zawierające skończoną ilość wyrazów równych ±∞) oraz ciągi od pewnego miejsca równe +∞ lub −∞.

Wniosek 6.3.3 Podzbiór domknięty przestrzeni metrycznej zupełnej jest przestrzenią zupełną.

Szkic dowodu.Jest to konsekwencja twierdzenia 6.3.3 2


6.4 Zbiory i przestrzenie (ciągowo) zwarte, lokalnie zwarte i spójne

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną.

Definicja 6.4.1 Podzbiór A przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy (ciągowo) zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z każdegociągu punktów z tego zbioru można wybrać podciąg zbieżny, którego granica należy do zbioru.

Wniosek 6.4.1 Niech K będzie zwarty, a A będzie zbiorem domkniętym w (X, d) i A ⊂ K wtedy A jest zwarty.

Szkic dowodu.Wynika z definicji zbioru domkniętego i zwartego. 2

Twierdzenie 6.4.1 (Bolzano - Weierstrassa) Odcinek [a, b], gdzie a ¬ b jest zwarty.

Szkic dowodu.Jest to twierdzenie 4.3.2 sformułowane dla odcinka, gdyż każdy ciąg liczbowy zawarty w odcinku domkniętym jest

ograniczony, a więc zawiera podciąg zbieżny. Z twierdzenia 6.3.3 podciąg ten ma granicę należącą do odcinka domkniętego[a, b]. 2

Definicja 6.4.2 Podzbiór A przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy,

∃x∈A∃r>0∀y∈Ad(x, y) < r. (6.30)

Uwaga 6.4.1 Warunek (6.30) można wyrazić jednym z równoważnych warunków

∀x∈X∃r>0∀y∈Ad(x, y) < r. (6.31)

Twierdzenie 6.4.2 Na prostej euklidesowej E1 następujące warunki są równoważne

K zwarty (6.32)

K domknięty i ograniczony (6.33)

Każdy nieskończony podzbiór K ma punkt skupienia należący do K (6.34)

Szkic dowodu.Niech K ⊂ R(6.32) ⇒ (6.33)Wpierw udowodnimy, że K jest domknięty. Niech będzie dany ciąg zbieżny (xn) ⊂ K. Na mocy definicji 6.4.1 zawiera

podciąg zbieżny i jego granica jest z K. Ponieważ sam ciąg jest zbieżny, więc jego granica i granica podciągu są sobie równe.Przypuśćmy teraz, że K jest nieograniczony. Z definicji 6.4.2 mamy

∀x∈K∀n∈N∃y∈KdE(x, y) n.

Niech x ∈ K będzie dowolny. Wtedy∀n∈N∃y∈KdE(x, y) n.

Rozważmy ciąg punktów (yn) ⊂ K taki, że∀n∈NdE(x, yn) n. (6.35)

Dla dowolnych n,m ∈ N takich, że n 6= m na podstawie warunku (C.19) i wyboru punktów ciągu mamy

1 < |n−m| ¬ |d(x, yn)− d(x, ym)| ¬ d(yn, ym).

Wynika stąd, że dowolny podciąg nie jest ciągiem Cauchy’ego, a więc nie jest zbieżny. Jednak z definicji 6.4.1 istnieje podciągzbieżny. Kończy to dowód.(6.33) ⇒ (6.32)Niech dany będzie dowolny ciąg punktów z K. Na podstawie założeń ciąg jest ograniczony. Z twierdzenia Bolzano -

Weierstrassa dla ciągów (twierdzenie 4.3.2) zawiera podciąg zbieżny, którego granica jest z K na podstawie domkniętości Ki twierdzenia 6.3.3.


(6.32) ⇒ (6.34)Niech A ⊆ K będzie nieskończony. Wtedy istnieje ciąg różnych punktów z A. Ze zwartości zbioru K istnieje jego podciąg

zbieżny i jego granica należy do K, a więc jego granica jest punktem skupienia zbioru A i należy do K.(6.34) ⇒ (6.32)Niech (xn) ⊂ K będzie dowolnym ciągiem. Wtedy zbiór {xn : n 1} jest albo skończony albo nieskończony. W pierwszym

przypadku istnieje p takie, że p = xn dla nieskończenie wielu n i stąd otrzymujemy tezę. W przypadku drugim wykorzystujemyzałożenie i konstruujemy podciąg zbieżny do punktu skupienia i wtedy również otrzymujemy tezę. 2

Wniosek 6.4.2 R nie jest zwarty w E1.

Szkic dowodu.Oczywisty, gdyż np. R nie jest ograniczony. 2

Uwaga 6.4.2 Z dowodu twierdzenia 6.4.2 wynika, że w dowolnej przestrzeni metrycznej zbiór zwarty jest domknięty i ogra-niczony.

Definicja 6.4.3 Mówimy, że (X, d) jest spójna wtedy i tylko wtedy, nie istnieją dwa niepuste zbiory otwarte A i B takie, że

X = A ∪B ∧A ∩B = ∅. (6.36)

Uwaga 6.4.3 Można warunek sformułować przy użyciu zbiorów domkniętych.

Uwaga 6.4.4 Gdy będziemy mówili o zbiorze spójnym przestrzeni topologicznej pojęcie, to można wypowiedzieć przy użyciuzbiorów rozgraniczonych, aby nie odwoływać się do zbiorów otwartych w danym zbiorze.

Definicja 6.4.4 Zbiory A i B przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy oddzielonymi (rozgraniczonymi) wtedy i tylko wtedygdy

(A∩ Cl (B)) ∪ (Cl (A) ∩B) = ∅ (6.37)

Przykład 6.4.1 W jednowymiarowej przestrzeni euklidesowej zbiory [0, 1] i ]1, 2[ nie są oddzielone. Natomiast zbiory ]0, 1[i ]1, 2[ są oddzielone.

Definicja 6.4.5 Zbiór A przestrzeni metrycznej nazywamy spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest sumą dwóch niepustychzbiorów oddzielonych.

Przykład 6.4.2 Na prostej euklidesowej zbiór ]0, 1[∪]1, 2[ nie jest spójny.

Lemat 6.4.1 Podzbiór S prostej euklidesowej jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y,z∈Xx, y ∈ S ∧ x < z < y ⇒ z ∈ S. (6.38)

Szkic dowodu.(Konieczność) (ad absurdum) Niech x, y, z ∈ X będą takie, że x, y ∈ S, x < z < y oraz z 6∈ S. Wtedy zbiory S ∩ (−∞, z)

i S ∩ (z,+∞) są niepuste, otwarte w S, rozłączne i w sumie dają S.(Dostateczność) (ad absurdum) Niech S będzie niespójnym. Wtedy istnieją dwa zbiory niepuste, oddzielone dające w

sumie zbiór S. Rozważmy x ∈ A i y ∈ B i załóżmy, że x < y Niech z = sup(A ∩ [x, y]). Wtedy z ∈Cl A. Stąd z 6∈ B orazx ¬ z < y. Jeżeli z 6∈ A, to z 6∈ S, a więc sprzeczność z założeniem. Jeżeli zaś z ∈ A, to musi być z 6∈Cl B. Wtedy istniejez1 6∈ S takie, że z < z1 < y, a więc i z1 6∈ S. 2

Twierdzenie 6.4.3 Jedynymi zbiorami spójnymi prostej euklidesowej są przedziały.

Szkic dowodu.Jest to wniosek z lematu 6.4.1, gdyż tylko przedziały mają tę własność. 2

Wniosek 6.4.3 Spójność i wypukłość w E1 są pojęciami identycznymi.

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować twierdzenie 3.3.1. 2


Definicja 6.4.6 Przestrzeń metryczną (X, d) nazywamy lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt ma otoczniebędące zbiorem zwartym.

Przykład 6.4.3 Prosta euklidesowa jest przestrzenią lokalnie zwartą.

Przykład 6.4.4 Każdy odcinek otwarty prostej euklidesowej jest przestrzenią lokalnie zwartą.

Uwaga 6.4.5 Pojęcie przestrzeni lokalnie zwartej jest osłabieniem warunku przestrzeni zwartej, gdyż dowolny zbiór otwartyprzestrzeni zwartej jest lokalnie zwarty.

Przestrzeń zupełna zwarta lokalnie zwarta

(Q, dE) nie nie tak

E1 tak nie tak

E1 tak tak tak

Tabela 6.1: Własności przestrzeni metrycznych – (Q, dE), E1, E1

6.5 Dodatek – przestrzeń topologiczna, przestrzeń topologiczna zwarta

Uwaga 6.5.1 Twierdzenie 6.2.2 pozwala uogólnić pojęcie przestrzeni metrycznej na szerszą klasę przestrzeni zwanych prze-strzeniami topologicznymi.

Definicja 6.5.1 Przestrzenią topologiczna nazywamy parę (X, τ), gdzie τ ⊂ 2X spełnia następujące aksjomaty(Ax1) ∅, X ∈ τ(Ax2) {Ai : i ∈ I} ⊂ τ ⇒

⋃i∈I

Ai ∈ τ

(Ax3) {Ai : 1 ¬ i ¬ n} ⊂ τ ⇒n⋂i=1

Ai ∈ τ .

Elementy rodziny τ nazywamy zbiorami otwartymi, zaś samą rodzinę τ nazywamy topologią przestrzeni.

Uwaga 6.5.2 Istnieje najmniejsza rodzina zbiorów spełniająca aksjomaty definicji 6.5.1. Składa się ona ze zbioru pustegoi całego zbioru. Nazywamy ją topologią antydyskretną. Jej przeciwieństwem jest topologia dyskretna, gdzie każdy podzbiórzbioru jest zbiorem otwartym. Topologia dyskretna jest wyznaczona przez metrykę dyskretną określoną następująco

dd(x, y) ={1 dla x 6= y0 dla x = y

. (6.39)

Przestrzeń dyskretną oznaczamy (Xd, dd).

Definicja 6.5.2 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Określmy rodzinę zbiorów T następująco A ∈ T wtedy i tylkowtedy, gdy A jest otwarty w sensie definicji 6.2.2. Wówczas T nazywamy topologią indukowaną przez metrykę d lub topologiązgodną z metryką d i oznaczamy τd

Twierdzenie 6.5.1 Przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną z topologią indukowaną przez metrykę.

Szkic dowodu.Jest to twierdzenie 6.2.2. 2

Uwaga 6.5.3 W ogólnej przestrzeni topologicznej pojęcie zwartości wprowadza się poprzez pokrycia.

Niech (X, τ) będzie przestrzenią topologiczną.

Definicja 6.5.3 Pokryciem zbioru A ⊂ X nazywamy rodzinę zbiorów {Ai : i ∈ I} taką, że

A ⊂⋃i∈I

Ai. (6.40)

Jeżeli każdy ze zbioru pokrycia jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni, to takie pokrycie nazywamy otwartym.


Definicja 6.5.4 Zbiór E nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego jego pokrycia otwartego można wybraćpodpokrycie skończone tzn.

∀{Ai:i∈I} {Ai : i ∈ I} pokrycie zbioru A⇒ ∃i1,...,in∈IE ⊂ Ai1 ∪ . . . ∪Ain . (6.41)

Przykład 6.5.1 Zbiór R nie jest zwarty w jednowymiarowej przestrzeni euklidesowej E1, gdyż dla pokrycia

Rdef= {]n, n+ 1[: n ∈ Z} ∪

{]n+12, n+

32[: n ∈ Z

}nie można wybrać podpokrycia skończonego (jedyne podpokrycie zawierające R jest nim samym).

Twierdzenie 6.5.2 Zbiór w przestrzeni metrycznej jest ciągowo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty.

Szkic dowodu.Niestety dowód tego faktu wykracza znacznie poza wykład, więc nie zamieszczamy go. Można go znaleźć w [9, rozdz.

XVI §5].2

Rozdział 7

Granica i ciągłość funkcji

7.1 Granica funkcji

Niech (Xi, di) będą przestrzeniami metrycznymi z topologiami τi dla i = 1, 2. Niech ∅ 6= A ⊂ X1 oraz f : A→ X2.

Definicja 7.1.1 Niech p będzie punktem skupienia zbioru A. Będziemy mówili, że odwzorowanie f ma granicę w punkcie prówną q (q ∈ X2) wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z warunków

∀ε>0∃δ>0∀x∈A0 < d1(p, x) < δ ⇒ d2(q, f(x)) < ε (7.1)

∀(pn)⊂A\{p} limn→∞ pn = p⇒ limn→∞ f(pn) = q. (7.2)

Zapisujemy wtedy limx→p

f(x) = q lub f(x)→ q dla x→ p.

Uwaga 7.1.1 Warunek (7.1) nazywamy warunkiem Cauchy’ego lub też definicją epsilonowo - deltową. Natomiastwarunek (7.2) nazywamy warunkiem Heinego lub definicją ciągową.

Uwaga 7.1.2 Z określenia punktu skupienia wynika, że punkt p nie musi należeć do zbioru A. A jeżeli nawet należy, to niewynika wcale, że f(p) = lim

x→pf(x).

Uwaga 7.1.3 Tak zdefiniowane pojęcie granicy zawiera w sobie definicje granic w nieskończoności dla (X2, d2) = E1, jak igranic nieskończonych dla (X1, d1) = E1.

Uwaga 7.1.4 Warunek 7.1 może być zapisany

∀ε>0∃δ>0f((B(p, δ) \ {p}) ∩A) ⊆ B(q, ε). (7.3)

Uwaga 7.1.5 Aby móc posługiwać się tą definicją należy udowodnić równoważność obu warunków.

Twierdzenie 7.1.1 Obie warunki definiujące granicę odwzorowania w punkcie są równoważne.

Szkic dowodu.Niech p będzie punktem skupienia zbioru A. Załóżmy, że lim

x→pf(x) = q.

(7.1) ⇒ (7.2)Niech (pn) ⊂ A \ {p} będzie dowolnym ciągiem takim, że lim

n→∞pn = p.

Niech ε > 0. Rozważmy δ > 0 oraz n0 takie, że

∀x∈A0 < d1(p, x) < δ ⇒ d2(q, f(x)) < ε

∀nn0d1(p, pn) < δ.

Wtedy dla dowolnego n n0 mamy d1(p, pn) < δ oraz pn ∈ A i d1(p, pn) > 0, gdyż pn ∈ A \ {p}. Stąd d2(q, f(pn)) < ε, cokończy dowód.

64


(7.2) ⇒ (7.1) (ad absurdum) Załóżmy, że spełniony jest warunek (7.2) i nie zachodzi warunek (7.1). Rozważmy więctakie ε > 0, że

∀δ>0∃x∈A0 < d1(p, x) < δ ∧ d2(q, f(x)) ε.

Stąd mamy

∀n∈N∃xn∈A0 < d1(p, xn) <1n∧ d2(q, f(xn)) ε. (7.4)

Rozważmy ciąg punktów (xn) spełniający warunek (7.4). Jest on więc zbieżny do p, wszystkie wyrazy tego ciągu są różneod p, ale ciąg wartości nie jest zbieżny do q 2

Wniosek 7.1.1 Jeżeli f ma granicę w punkcie p, to tylko jedną.

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować twierdzenie o jednoznaczności granicy ciągu (twierdzenie 6.3.1) i warunek Heinego granicy funkcji

(warunek (7.2)). 2

Uwaga 7.1.6 Od tej chwili mówiąc o funkcjach o dziedzinie rzeczywiste, wartościach rzeczywistych albo funk-cji rzeczywistej zakładamy, że mamy doczynienia z przestrzenią E1 albo E1. Jeżeli będzie inaczej wyraźnie będzieto zaznaczane.

Twierdzenie 7.1.2 . Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,d), p będzie punktem skupienia zbioruA, zaś f, g:A→ R. Niech lim

x→pf(x) = α i lim

x→pg(x) = β. Wówczas

limx→p(f + g)(x) = α+ β (7.5)

limx→p(fg)(x) = αβ (7.6)

limx→p(f

g)(x) =

α

βo ile β 6= 0 (7.7)

limx→p(af)(x) = aα (7.8)

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować twierdzenie o jednoznaczności granicy ciągu (twierdzenie 6.3.1) i definicję ciągową granicy funkcji

(warunek (7.2)). 2

Uwaga 7.1.7 Gdy E1 = (X1, d1) = (X2, d2) oraz p ∈ R, to otrzymujemy definicję (warunek Cauchy’ego) granicy (skończo-nej) funkcji w punkcie. Funkcja f ma granicę równą q w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃δ>0∀x∈R0 < |p− x| < δ ⇒ |f(x)− q| < ε (7.9)

Gdy E1 = (X1, d1) oraz E1 = (X2, d2) oraz p = +∞, to otrzymujemy definicję (warunek Cauchy’ego) granicy (skończonej)funkcji w nieskończoności. Funkcja f ma granicę równą q w plus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃δ∈R∀x∈Rδ < x⇒ |f(x)− q| < ε (7.10)

Analogicznie można otrzymać granice nieskończone w punkcie, jak i granice nieskończone w nieskończoności.

Dla funkcji rzeczywistych można zdefiniować granice jednostronne skończone.

Definicja 7.1.2 Niech funkcja f będzie określona na odcinku ]a, b[. Niech p będzie dowolnym punktem takim, że a ¬ p < b.Mówimy, że granicą prawostronną funkcji f w punkcie p jest liczba q wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków

∀ε>0∃δ>0∀x∈A0 < x− p < δ ⇒ |f(x)− q| < ε (7.11)

∀(xn)⊂]p,b[ limn→∞xn = p⇒ limn→∞ f(xn) = q. (7.12)

Oznaczamy ją q = limx→p+

f(x) ≡ f(p+).

Analogicznie można podać definicje granic jednostronnych nieskończonych.


Definicja 7.1.3 Niech funkcja f będzie określona na odcinku ]a, b[. Niech p będzie dowolnym punktem takim, że a ¬ p < b.Mówimy, że granicą prawostronną funkcji f w punkcie p jest plus nieskończoność wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jestjeden z warunków

∀ε>0∃δ>0∀x∈A0 < x− p < δ ⇒ f(x) > ε (7.13)

∀(xn)⊂]p,b[ limn→∞xn = p⇒ limn→∞ f(xn) = +∞. (7.14)

Piszemy wtedy limx→p+

f(x) ≡ f(p+) = +∞.

Twierdzenie 7.1.3 Niech funkcja f będzie określona na odcinku ]a, b[. Niech x ∈]a, b[. Wówczas granica funkcji f w punkciex istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne w tym punkcie i są sobie równe.

Szkic dowodu.Warunek konieczny wynika w prosty sposób przez zastosowanie warunku Heinego granicy w punkcie, natomiast warunek

dostateczny najłatwiej sprawdza się z użyciem warunku Cauchy’ego. 2

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną ∅ 6= A ⊂ X. Niech p będzie punktem skupienia zbioru A.

Twierdzenie 7.1.4 (O trzech granicach) Niech f, g, h:A→ R. Wtedy jeżeli(1) lim

x→pf(x) = lim

x→pg(x)

(2) istnieje sąsiedztwo S punktu p takie, że f(x) ¬ h(x) ¬ g(x) dla dowolnych x ∈ S ∩A,to limx→p

h(x) = limx→p

f(x).

Szkic dowodu.Wynika z twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenie 4.2.4) i warunku Heinego granicy funkcji w punkcie. 2

Uwaga 7.1.8 W przypadku prostej euklidesowej twierdzenie to można formułować dla granic jednostronnych.

Twierdzenie 7.1.5 (O dwóch granicach) Niech f, g:A→ R. Wtedy jeżeli(1) lim

x→pf(x) = +∞(−∞)

(2) istnieje sąsiedztwo S punktu p takie, że f(x) ¬ g(x) (f(x) g(x)) dla dowolnych x ∈ S ∩A,to limx→p

g(x) = +∞(−∞).

Szkic dowodu.Dowód analogiczny do poprzedniego (w oparciu o twierdzenie 4.6.9). 2

Twierdzenie 7.1.6 Jeżeli funkcje f, g:A→ R w pewnym otoczeniu Op punktu p spełniające warunek

∀x∈Op∩Af(x) ¬ g(x),

posiadają granicę w punkcie p, tolimx→p

f(x) ¬ limx→p

g(x).

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować warunek Heinego (warunek w(7.2)) oraz wniosek 4.2.1. 2

Twierdzenie 7.1.7 Niech funkcja f będzie określona na przedziale [a, b[, gdzie b ∈ R oraz a < b. Jeżeli funkcja f jest natym przedziale niemalejąca i ograniczona z góry albo nierosnąca i ograniczona z dołu, to posiada ona w punkcie b granicęskończoną.

Szkic dowodu.Analogicznie, jak poprzednio, jest to konsekwencja twierdzenia 4.4.1 i warunku Heinego granicy funkcji w punkcie. 2

Uwaga 7.1.9 Twierdzenie pozostaje prawdziwe, gdy rozważamy przedział ]a, b]


Uwaga 7.1.10 Mamy również twierdzenie odwrotne.

Twierdzenie 7.1.8 Niech funkcja f będzie określona na przedziale [a, b[, gdzie b ∈ R oraz a < b. Jeżeli funkcja f jest natym przedziale niemalejąca (nierosnąca) i posiada granicę skończoną w punkcie b, to jest ograniczona z góry (dołu).

Szkic dowodu.Analogicznie, jak poprzednio, jest to konsekwencja wniosku 4.4.1 i warunku Heinego granicy funkcji w punkcie. 2

Twierdzenie 7.1.9 (Kryterium Bolzano-Cauchy’ego) 1 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, A ⊂ X, p ∈ Xbędzie punktem skupienia zbioru A, funkcja f :A→ R. Funkcja ma w punkcie p skończona granicę wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃δ>0∀x,y∈A0 < d(x, p) < δ ∧ 0 < d(y, p) < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε. (7.15)

Szkic dowodu.(Konieczność)Niech lim

x→pf(x) = g. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy δ takie, że

∀x∈A0 < d(x, p) < δ ⇒ |f(x)− g| < ε

2.

Niech x, y ∈ A będą takie, że 0 < d(x, p) < δ oraz 0 < d(y, p) < δ. Mamy wtedy

|f(x)− f(y)| ¬ |f(x)− g|+ |g − f(y)| < ε

2+ε

2= ε.

(Dostateczność)Udowodnimy korzystając z warunku Heinego (warunek (7.2)) Niech (xn) będzie dowolnym ciągiem punktów z A \ {p}.

Załóżmy, że limn→∞

xn = p. Zauważmy, że założenie implikuje, iż ciąg (f(xn)) jest ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla dowolnej liczbydodatniej ε istnieje liczba dodatnia δ taka, że

∀k,m∈N0 < d(xk, p) < δ ∧ 0 < d(xm, p) < δ ⇒ |f(xk)− f(xm)| < ε.

Ponieważ istnieje takie n0 ∈ N, że∀k,m∈N0 < d(xk, p) < δ ∧ 0 < d(xm, p) < δ,

gdyż ciąg (xn) jest zbieżny do p, więc ostatecznie mamy

∀k,mn0 |f(xk)− f(xm)| < ε.

Na mocy odpowiednika twierdzenia Cauchy’ego dla ciągów liczbowych (twierdzenie 4.4.2) jest on zbieżny. Niech limn→∞

f(xn) =

g ∈ R. Wtedy na mocy warunku Heinego mamy limx→p

f(x) = g. 2

7.2 Ciągłość funkcji

Niech (Xi, di) będą przestrzeniami metrycznymi z topologiami τi generowanymi przez metrykę di dla i = 1, 2. Niech f :X1 →X2.

Definicja 7.2.1 (Otoczeniowa) Mówimy, że odwzorowanie f jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy

∀O2∈τ2f−1(O2) ∈ τ1 (7.16)

Niech p ∈ X1. Mówimy, że odwzorowanie f jest ciągłe w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego otoczenia O2punktu f(p) zbiór f−1(O2) jest otoczeniem punktu p.

Uwaga 7.2.1 Z definicji tej wynika, że aby odwzorowanie było ciągłe w punkcie musi być określone w tym punkcie.

Wniosek 7.2.1 Odwzorowanie jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru domkniętego w (X2, τ2) jego prze-ciwobraz jest domknięty w (X1, τ1)

1Podane na wykładzie w dniu 30.03.2004


Szkic dowodu.

(Konieczność) Niech A ⊂ X2 będzie zbiorem domkniętym w (X2, τ2). Wtedy X \ A jest otwartym w (X2, τ2) orazf−1(X2 \A) ∈ τ1. Ale f−1(X2 \A) = f−1(X2) \ f−1(A) = X1 \ f−1(A). Więc f−1(A) jest domkniętym w (X1, τ1).(Dostateczność) Całe rozumowanie daje sie powtórzyć zamieniając zbiory otwarte na domknięte i odwrotnie. 2

Wniosek 7.2.2 Następujące warunki są równoważne:(i) f jest ciągłe w punkcie p(ii) dla dowolnego otoczenia Of(p) punktu f(p) istnieje otoczenie Op punktu p takie, że f(Op) ⊂ Of(p)(iii) (Warunek Cauchy’ego)

∀ε>0∃δ>0∀x∈X1d1(p, x) < δ ⇒ d2(f(p), f(x)) < ε (7.17)

(iv) (Warunek Heinego)

∀(pn)⊂X1 limn→∞ pn = p⇒ limn→∞ f(pn) = f(p) (7.18)

Szkic dowodu.

Dowód (i) ⇒ (ii). Niech Of(p) będzie dowolnym otoczeniem punktu f(p). Wtedy f−1(Of(p)) ≡ Op jest otoczeniempunktu p. Ale f(Op) = f(f−1(Of(p))) ⊂ Of(p) na mocy wzoru (C.10).Dowód (ii) ⇒ (i). Niech Of(p) będzie dowolnym otoczeniem punktu f(p). Rozważmy otoczenie Op punktu p takie, że

f(Op) ⊂ Of(p). Wtedy f−1(f(Op)) ⊂ f−1(Of(p)) na podstawie wzoru (C.7) oraz Op ⊂ f−1(f(Op)) na podstawie własności(C.9). Stąd otrzymujemy tezę.Dowód (ii) ⇒ (iii). Wykorzystując (7.20) będącą równoważną postacią (7.17) oraz fakt, że kula otwarta o dodatnim

promieniu i środku w punkcie p jest otoczeniem punktu p widzimy, że (iii) jest szczególnym przypadkiem (ii).Dowód (iii) ⇒ (ii). Wystarczy zauważyć, że każde otoczenie punktu p zawiera pewną kulę otwartą o środku w punkcie

p i dodatnim promieniu.

Dowód (iii) ⇔ (iv). Dowód analogiczny jak twierdzenia 7.1.1.2

Uwaga 7.2.2 Warunek (7.17) może być zapisany

∀ε>0∃δ>0∀x∈X1x ∈ B(p, δ)⇒ f(x) ∈ B(f(p), ε) (7.19)

albo

∀ε>0∃δ>0f(B(p, δ)) ⊆ B(f(p), ε). (7.20)

Wniosek 7.2.3 Odwzorowanie jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągłe w każdym punkcie.

Szkic dowodu.

Niech f :X1 → X2.

(Konieczność) Niech p będzie dowolnym punktem z X1. Niech Of(p) będzie dowolny otoczeniem punktu f(p). Rozważmyr ∈ R+ takie, że B(f(p), r) ⊂ Of(p). Wtedy f−1(B(f(p), r)) ∈ τ1 (czyli jest zbiorem otwartym) i zawiera punkt p na mocydefinicji przeciwobrazu. Więc istnieje takie rp > 0, że B(p, rp) ⊂ f−1(B(f(p), r)). Stąd f(B(p, rp)) ⊂ f(f−1(B(f(p), r))), aponieważ f(f−1(B(f(p), r))) ⊂ B(f(p), r) (z własności (C.10)), więc otrzymujemy tezę.(Dostateczność) Niech O ⊂ X2 będzie dowolnym zbiorem otwartym w (X2, d2). Rozważmy przypadki:

Przypadek I. Dla dowolnego y ∈ O mamy y 6∈ f(X1);Przypadek II. Istnieje y ∈ O taki, że y ∈ f(X1).ad. I Wtedy f−1(O) = ∅, a więc zachodzi teza.ad. II Niech V = f−1(O) = {x ∈ X1 : f(x) ∈ O}. Niech p ∈ V będzie dowolny. Wtedy f(p) ∈ O, więc istnieje r ∈ R+

takie, że B(f(p), r) ⊂ O, gdyż O jest otwarty. Ponadto z warunku (7.20), który jest równoważny ciągłości w punkcie, wynikaistnienie rp ∈ R+ takiego, że f(B(p, rp)) ⊂ B(f(p), r). Z definicji przeciwobrazu B(p, rp) ⊂ V , co kończy dowód, gdyż oznaczato, że zbiór V jest otwarty. 2

Uwaga 7.2.3 Rozważanie dwóch przypadków w warunku dostatecznym wniosku 7.2.3 nie jest konieczne. Wystarczy rozważyćtylko przypadek drugi.


Uwaga 7.2.4 Jeżeli A ⊂ X1 oraz f :A→ X2, to analogicznie można mówić (albo można byłoby mówić) o ciągłości takiegoodwzorowania na zbiorze A. Ale ponieważ dopełnienia zbioru A nie odgrywają roli w definicji, będziemy, o ile to nie będziekonieczne, rozważać odwzorowania z X1. Ponadto A wyposażone w metrykę przeniesioną z X1 jest już przestrzenią metryczną.

Wniosek 7.2.4 Jeżeli punkt p jest punktem izolowanym podzbioru A przestrzeni metrycznej (X1, d1), to odwzorowanief :A→ X2 jest zawsze ciągłe w tym punkcie.

Szkic dowodu.Z warunku (6.28) definicji 6.3.4 wynika istnienie r ∈ R+ takiego, że A ∩ (B(p, r) \ {p}) = ∅. Jeżeli teraz (pn) jest

dowolnym ciągiem punktów z A takim, że limn→∞

pn = p, więc od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu są równe p, a stąd

limn→∞

f(pn) = f(p).2

Przykład 7.2.1 Na podstawie wniosku 7.2.4 otrzymujemy, że każdy ciąg rzeczywisty jest funkcją ciągłą na N.

Uwaga 7.2.5 Jeszcze raz należy podkreślić, że ciągłość jest związana z metryką przestrzeni (topologią tej przestrzeni). Dlatego samego zbioru, lecz innych metryk określonych w tym zbiorze, to samo odwzorowanie może być raz ciągłe, a raz nieciągłe.

Przykład 7.2.2 Rozważmy metrykę dyskretną w zbiorze liczb rzeczywistych (przestrzeń Rd) i prostą euklidesową E1. Wów-czas odwzorowanie identycznościowe z E1 w Rd nie jest ciągłe, gdyż ]0, 1] jest otwarty w Rd, ale nie jest otwarty w E1.

Wniosek 7.2.5 Odwzorowanie identycznościowe z przestrzeni metryczną w nią samą jest ciągłe.

Szkic dowodu.Wystarczy zauważyć, że f−1(O) = O. 2

Wniosek 7.2.6 Odwzorowanie stałe jest ciągłe, bez względu na rodzaj metryk zadanych w dziedzinie i obrazie.

Szkic dowodu.Niech f :X1 → X2 oraz f(X1) = {q} Mamy wtedy

f−1(O) ={∅ gdy g 6∈ OX1 gdy g ∈ O

.

2

Twierdzenie 7.2.1 Niech ∅ 6= A ⊂ X1 i p punktem ze zbioru A będącym jednocześnie punktem skupienia zbioru A. Niechf :A→ X2. Wtedy f jest ciągłe w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy(i) istnieje granica odwzorowania f w punkcie p,(ii) granica odwzorowania f w punkcie p jest równa wartości w tym punkcie.

Szkic dowodu.Oczywisty na mocy definicji granicy funkcji w punkcie i ciągłości funkcji w punkcie. 2

Twierdzenie 7.2.2 Złożenie odwzorowań ciągłych jest odwzorowaniem ciągłym tzn. Niech (X, dX), (Y, dY ), (Z, dZ) będąprzestrzeniami metrycznymi, f :X → Y , g:Y → Z będą ciągłe. Wtedy g ◦ f :X → Z jest ciągłe.

Szkic dowodu.Niech τX , τY , τZ będą topologiami indukowanymi przez odpowiednie metryki. Wtedy dla dowolnego O ∈ τZ mamy

g−1(O) ∈ τY oraz f−1(g−1(O)) ∈ τX . 2

Twierdzenie 7.2.3 Niech f i g będą funkcjami o wartościach rzeczywistych ciągłymi, dziedziną których jest przestrzeń me-tryczna (X,d). Wówczas ciągłe są funkcje f + g, f · g, a · f oraz funkcja fg o ile dla dowolnego punktu x z X zachodzig(x) 6= 0.

Szkic dowodu.Na podstawie wniosku 7.2.3 wystarczy udowodnić to twierdzenie dla jednego punktu. Ale wtedy jest to konsekwencja

twierdzeń 7.2.1 i 7.1.2. 2


7.3 Jednostajna ciągłość. Warunek Lipschitza

Niech (Xi, di) będą przestrzeniami metrycznymi z topologiami τi generowanymi przez metrykę di dla i = 1, 2. Niech f :X1 →X2. Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X1, d1).

Definicja 7.3.1 Mówimy, że odwzorowanie f jest jednostajnie ciągłe na zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃δ>0∀x,y∈Ad1(x, y) < δ ⇒ d2(f(x), f(y)) < ε (7.21)

Uwaga 7.3.1 Jeżeli (X1, d1) = (X2, d2) = E1, to warunek (7.21) ma postać

∀ε>0∃δ>0∀x,y∈A|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε (7.22)

Twierdzenie 7.3.1 Jeżeli odwzorowanie f jest jednostajnie ciągłe na zbiorze A, to jest ciągłe na tym zbiorze.

Szkic dowodu.

Wystarczy zauważyć, że jeśli istnieje jedna δ dla wszystkich p, to stąd wynika, że dla każdego p istnieje jakaś δ. 2

Przykład 7.3.1 Funkcja f(x) = x2 jest ciągła, ale nie jednostajnie ciągła na R. W tym celu rozważmy ε = 1. Niech δ > 0będzie dowolne. Rozważmy x = 4−δ

2

4δ i y = x+δ2 . Wtedy |x−y| =

δ2 < δ oraz |f(x)−f(y)| = x2+xδ+ δ

2

4 −x2 = xδ+ δ

2

4 = 1.

Definicja 7.3.2 Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X1, d1), zaś f :A→ X2, gdzie (X2, d2) jest przestrzeniąmetryczną. Mówimy, że odwzorowanie f spełnia warunek Lipschitza ze stałą L 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y∈Ad2(f(x), f(y)) ¬ Ld1(x, y) (7.23)

Uwaga 7.3.2 Warunek Lipschitza można rozważać na podzbiorze dziedziny funkcji.

Twierdzenie 7.3.2 Jeżeli funkcja spełnia warunek Lipschitza z pewną stała, to jest jednostajnie ciągła, w więc ciągła.

Szkic dowodu.

Dla dowolnego ε > 0 wystarczy rozważyć δ = εL+1 , gdzie L jest stałą Lipschitza. 2

7.4 Wahanie funkcji w punkcie, a ciągłość. Funkcje wypukłe i ciągłość

Będziemy rozważać funkcje z przestrzeni metrycznej E1 w E1. Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem, p punktemz tego przedziału oraz f :P → R.

Definicja 7.4.1 Niech f będzie funkcją ograniczoną. Wahaniem funkcji f w punkcie p nazywamy liczbę

W (f, p) def= limδ→0+

(sup

x∈[p−δ,p+δ]∩Pf(x)− inf

x∈[p−δ,p+δ]∩Pf(x)

). (7.24)

Lemat 7.4.1 Niech p ∈ P i funkcja f jest ciągła w p. Wtedy istnieje otoczenie Op punktu p (otoczenie w przedziale P )takie, że funkcja jest ograniczona na tym otoczeniu.

Szkic dowodu.

Korzystając z warunku Cauchy’ego ciągłości funkcji w punkcie (warunek (7.17)) rozważmy δ > 0 takie, że

∀x∈P |x− p| < δ ⇒ |f(x)− f(p)| < 1.

Biorąc [p− δ, p+ δ] ∩ P za otoczenie punktu p i korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy

∀x∈[p−δ,p+δ]∩P |f(x)| < 1 + |f(p)|.

Kończy to dowód. 2


Lemat 7.4.2 Niech p ∈ P i funkcja f jest ciągła w p. Wtedy zachodzą równości

limδ→0+

supx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x) = f(p) (7.25)

limδ→0+

infx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x) = f(p) (7.26)

Szkic dowodu.Dowiedziemy tylko równości (7.25), gdyż dowód równości (7.26) jest analogiczny.Rozważmy r > 0 taki, że na zbiorze [p− r, p+ r] ∩ P funkcja f jest ograniczona.Niech

R+ ∪ {0} 3 ξ 7→ S(ξ) = supx∈[p−ξ,p+ξ]∩P

f(x).

Należy pokazać∀ε>0∃δ>0∀ξ∈R+∪{0}0 < ξ − 0 < δ ⇒ |S(ξ)− f(p)| < ε.

Niech ε > 0 będzie dowolne. Z ciągłości funkcji w punkcie p na podstawie warunku Cauchy’ego rozważmy δ0 > 0 takie, że

∀x∈P |x− p| < δ0 ⇒ |f(x)− f(p)| <ε

2. (7.27)

Niech δ = min{δ02 , r

}. Wówczas warunek (7.27) pociąga następujący

∀x∈[p−δ,p+δ]∩P |f(x)− f(p)| <ε

2. (7.28)

Niech ξ ∈ R+ ∪{0} spełnia warunek 0 < ξ < δ. Z określenia funkcji S oraz definicji kresu górnego i obrazu funkcji rozważmyx0 ∈ [p− δ, p+ δ] ∩ P taki, że

S(ξ)− ε

2< f(x0) ¬ S(ξ).

Wtedy oczywiście |S(ξ)− f(x0)| = S(ξ)− f(x0) < ε2 . Mamy więc

|S(ξ)− f(p)| = |S(ξ)− f(x0) + f(x0)− f(p)| ¬ |S(ξ)− f(x0)|+ |f(x0)− f(p)| <ε

2+ε

2= ε

2

Twierdzenie 7.4.1 Niech f :P → R będzie funkcją ograniczoną. Wtedy f jest ciągła w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdyW (f, p) = 0.

Szkic dowodu.Niech

R+ ∪ {0} 3 ξ 7→ F (ξ) = supx∈[p−ξ,p+ξ]∩P

f(x)− infx∈[p−ξ,p+ξ]∩P

f(x).

(Konieczność) Wynika z lematu 7.4.2 oraz działań na granicach (twierdzenie 7.1.2).(Dostateczność) Niech ε > 0. Rozważmy δ0 > 0 takie, że

∀ξ∈R+∪{0}0 < ξ < δ0 ⇒ |F (ξ)− 0| < ε.

Weźmy δ = δ02 . Wtedy F (δ) < ε. Niech x ∈ P będzie takie, że |x− p| < δ. Wtedy x ∈ [p− δ, p+ δ] ∩ P . Mamy ponadto

∀x∈[p−δ,p+δ]∩P infx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x) ¬ f(x) ¬ supx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x).

Stąd

−F (δ) = infx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x)− supx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x) ¬ infx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x)− f(p) ¬ f(x)− f(p) ¬

¬ supx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x)− f(p) ¬ supx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x)− infx∈[p−δ,p+δ]∩P

f(x) = F (δ).

Jest to równoważne|f(x)− f(p)| ¬ F (δ) < ε.

2


Twierdzenie 7.4.2 Funkcja wypukła na niezdegenerowanym przedziale otwartym jest funkcją ciągłą.

Szkic dowodu.

Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem otwartym, p dowolnym punktem tego przedziału i f :P → R. Udowod-nimy, że granica prawostronna w punkcie p jest równa f(p).

Rozważmy punkty s i t tego przedziału spełniające warunek

s < p < t.

Takie punkty istnieją, gdyż punkt p jest punktem wewnętrznym przedziału P (jest to konsekwencją faktów, że przedział Pjest otwarty i p ∈ P ). Niech q ∈ P będzie dowolny i taki, że p < q < t. Rozważmy dwie funkcje liniowe

y1(x) =x− pt− p

(f(t)− f(p)) + f(p)

y2(x) =x− sp− s

(f(p)− f(s)) + f(s)

Lub inaczej zapisane

y1(x) =x− pt− p

f(t) +t− xt− p

f(p) (7.29)

y2(x) =x− sp− s

f(p) +p− xp− s

f(s) (7.30)

Są one ciągłe w każdym punkcie i mamy y1(p) = f(p), y1(t) = f(t) oraz y2(s) = f(s) i y2(p) = f(p). Ponadto z warunku(3.38) dla funkcji f i określenia funkcji y1 mamy

f(q) ¬ q − pt− p

f(t) +t− qt− p

f(p) = y1(q).

Pokażemy, że f(q) y2(q). Załóżmy, że jest przeciwnie tzn. f(q) < y2(q). Ponieważ dla s < p < q jest na podstawie warunku(3.38)

f(p) ¬ q − pq − s

f(s) +p− sq − s

f(q),

więc mamy wtedy

f(q) <q − sp− s

f(p) +p− qp− s

f(s) ¬(q − pp− s

f(s) + f(q))+p− qp− s

f(s) = f(q)

Więc otrzymaliśmy sprzeczność. Stąd ostatecznie

∀q∈P p < q < t⇒ y2(q) ¬ f(q) ¬ y1(q).

A ponieważ granice (prawostronne) funkcji y1 i y2 istnieją w punkcie p i są równe wartości w tym punkcie tzn. f(p) więclimx→p+

f(x) = f(p).

Analogicznie dowodzimy, że funkcja f ma granicę lewostronną w punkcie p równą f(p).

2

Uwaga 7.4.1 Założenie otwartości przedziału jest istotne, gdyż istnieją funkcje wypukłe na przedziale, który nie jest zbioremotwartym i nie są ciągłe.

Wniosek 7.4.1 Funkcja wklęsła na niezdegenerowanym przedziale otwartym jest funkcją ciągłą.

Szkic dowodu.

Oczywisty, gdyż funkcja wklęsła jest iloczynem funkcji przeciwnej i liczby −1. 2


7.5 Ciągłość i zwartość

Niech (Xi, di) będą przestrzeniami metrycznymi dla i = 1, 2.

Uwaga 7.5.1 Pojęcie rzeczywistej funkcji ograniczonej można wyrazić warunkiem że f(X) ⊆ B(0,M) dla pewnego dodat-niego M . Pozwala, to uogólnić pojęcie odwzorowania ograniczonego określonego na przestrzeniach metrycznych.

Definicja 7.5.1 Odwzorowanie f z przestrzeni metrycznej (X1, d1) w przestrzeń metryczną (X2, d2) nazywamy ograniczonymwtedy i tylko wtedy, gdy

∃x0∈X2∃r>0f(X1) ⊆ B(x0, r) (7.31)

Twierdzenie 7.5.1 Niech f będzie odwzorowaniem ciągłym zwartej przestrzeni metrycznej (X1, d1) w przestrzeń metryczną(X2, d2). Wówczas f(X1) jest zwarty.

Szkic dowodu.

Niech (yn) ⊂ f(X1) ⊆ X2. Z definicji obrazu funkcji (definicja 3.1.3) rozważmy ciąg (xn) ⊂ X1 taki, że yn = f(xn).Ponieważ X1 jest zwarty, więc istnieje podciąg (xnk) ciągu (xn) zbieżny. Niech lim

k→∞xnk = x0 ∈ X1. Z ciągłości funkcji,

dokładniej z warunku Heinego (warunek (7.18)) limk→∞

ynk = limk→∞

f(xnk) = f(x0) ∈ f(X1). 2

Wniosek 7.5.1 Jeżeli f jest odwzorowaniem ciągłym zwartej przestrzeni metrycznej (X1, d1) w E1, to zbiór f(X1) jestdomknięty i ograniczony. A więc odwzorowanie f jest ograniczone.

Szkic dowodu.

Wystarczy zastosować twierdzenie 6.4.2. 2

Twierdzenie 7.5.2 (Weierstrassa) Niech f będzie ciągłą funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zwartej prze-strzeni metrycznej (X,d) i niech

M = supx∈X

f(x) ∧m = infx∈X

f(x). (7.32)

Wówczas istnieją punkty p, q ∈ X takie, że f(p)=M i f(q)=m.

Szkic dowodu.

Udowodnimy twierdzenie dla kresu górnego, gdyż dowód dla kresu dolnego jest analogiczny.

Z wniosku 7.5.1 wynika, że f(X) ⊂ R jest domknięty i ograniczony, ponadto jest niepusty, więc posiada kresy górny.Niech M = sup

x∈Xf(x). Wtedy

∀ε>0∃y∈f(X)M − ε < y ¬M.

Stąd mamy

∀n∈N∃xn∈XM −1n< f(xn) ¬M. (7.33)

Rozważmy ciąg (xn) spełniający warunek (7.33). Oczywiście limn→∞

f(xn) = M , a ponadto istnieje podciąg (xnk) ⊂ (xn)zbieżny do pewnego p ∈ X, gdyż (X, d) jest zwarta. Stąd wynika, że f(p) = lim

k→∞f(xnk) =M . Co kończy dowód 2

Uwaga 7.5.2 W dowodzie twierdzenia 7.5.2 wykorzystaliśmy analog twierdzenia 4.3.1 dla ciągów w przestrzeniach metrycz-nych.

Uwaga 7.5.3 Twierdzenie 7.5.2 można wyrazić następująco: Funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy.

Twierdzenie 7.5.3 Niech f będzie odwzorowaniem ciągłym zwartej przestrzeni metrycznej (X1, d1) w przestrzeń metryczną(X2, d2). Wówczas f jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym.

Szkic dowodu. (ad absurdum)Rozważmy więc takie ε > 0, że prawdziwe jest zdanie

∀δ>0∃x,y∈Xd1(x, y) < δ ∧ d2(f(x), f(y)) ε.


Wynika z niego

∀n∈N∃xn,yn∈Xd1(xn, yn) <1n∧ d2(f(xn), f(yn)) ε. (7.34)

Rozważmy dwa ciągi (xn) i (yn) z X1 i spełniające warunek (7.34). Ponieważ (X1, d1) jest zwarta, więc istnieje podciągi(xnk) zbieżny tzn. lim

k→∞xnk = x0. Wtedy

∀k∈N0 ¬ d1(ynk , x0) ¬ d1(xnk , ynk) + d1(x0, xnk) <1nk+ d1(x0, xnk).

Na podstawie twierdzenia o trzech ciągach mamy więc limk→∞

ynk = x0. Ponieważ odwzorowanie f jest ciągłe więc

limk→∞

f(xnk) = f(x0) = limk→∞

f(ynk).

Rozważmy k1 i k2 takie, że

∀kk1d2(f(xnk), f(x0)) <ε

2

∀kk2d2(f(ynk), f(x0)) <ε

2.

Wtedy dla k = max{k1, k2} mamy

ε ¬ d2(f(xnk), f(ynk)) ¬ d2(f(xnk), f(x0)) + d2(f(ynk), f(x0)) <ε

2+ε

2= ε.

Co kończy dowód. 2

Twierdzenie 7.5.4 Niech (X1, d1) będzie przestrzenią metryczną zwartą, zaś (X2, d2) przestrzenią metryczną oraz f :X1 →X2 ciągłą bijekcją. Wtedy f−1 jest ciągłe.

Szkic dowodu.Niech y0 ∈ X2 będzie dowolnym punktem. Niech (yn) ⊂ X2 będzie dowolnym ciągiem takim, że lim

n→∞yn = y0. Ponieważ

odwzorowanie f jest bijekcją więc istnieje dokładnie jeden ciąg (xn) ⊂ X1 i punkt x0 ∈ X1 takie, że f(xn) = yn orazf(x0) = y0. Należy pokazać, że

limn→∞

xn = x0.

Pokażemy wpierw, że ciąg (xn) jest zbieżny. Załóżmy, że nie jest zbieżny. Rozważmy dwa zbieżne podciągi (xnk) i (xnl) takie,że

limk→∞

xnk = p1

liml→∞

xnl = p2

p2 6= p1.

Z ciągłości odwzorowania f oraz zwartości (X1, d1) mamy p1, p2 ∈ X i

f(p2) = liml→∞

f(xnl) = liml→∞

ynl = y0 = limk→∞

ynk = limk→∞

f(xnk) = f(p1).

Ponieważ funkcja jest bijekcją więc jest różnowartościowa, a stąd p1 = p2. A więc ciąg (xn) jest zbieżny. Gdyby limn→∞

xn =A 6= x0, to znowu z ciągłości

f(x0) = y0 = limn→∞

yn = limn→∞

f(xn) = f(A).

A więc x0 = A. Ostatecznie mamylimn→∞

f−1(yn) = limn→∞

xn = x0 = f−1(y0).

2

Twierdzenie 7.5.5 Niech A ⊂ X1 będzie podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (X1, d1), f :A → X2 będzie ciągłe iróżnowartościowe. Wtedy f−1: f(X1)→ X2 jest ciągłe.

Szkic dowodu.Niech K ⊂ A będzie podzbiorem domkniętym w (A, d1). Wtedy K jest zwartym w (A, d1), a więc z twierdzenia 7.5.1

f(K) jest zwartym w (X2, d2), a więc i domkniętym. Stąd (f−1)−1(K) = f(K), czyli przeciwobraz zbioru domkniętego jestzbiorem domkniętym, kończy to dowód na podstawie wniosku 7.2.1 2


7.6 Ciągłość i spójność

Niech (Xi, di) będą przestrzeniami metrycznymi dla i = 1, 2.

Twierdzenie 7.6.1 Jeżeli f jest odwzorowaniem ciągłym spójnej przestrzeni metrycznej (X1, d1) w przestrzeń metryczną(X1, d2), to zbiór f(X1) jest spójny.

Szkic dowodu. (ad absurdum)Niech f(X1) nie będzie spójny. Wtedy istnieją dwa niepuste, rozłączne zbiory Y1, Y2 w f(X1) otwarte w (f(X1), d2) takie,

że Y1 ∪ Y2 = f(X1). Wówczas z definicji ciągłości funkcji i przeciwobrazu mamy, że zbiory f−1(Y1) i f−1(Y2) są niepuste,otwarte w (X1, d1) i rozłączne oraz

X1 = f−1(f(X1)) = f−1(Y1 ∪ Y2) = f−1(Y1) ∪ f−1(Y2).

Otrzymaliśmy sprzeczność ze spójnością X. 2

Wniosek 7.6.1 Ciągły obraz przedziału jest przedziałem.

Szkic dowodu.Przedział jest zbiorem spójnym. 2

Definicja 7.6.1 Niech P będzie niepustym przedziałem prostej euklidesowej E1, f :P → R. Mówimy, że f ma własnośćDarboux wtedy i tylko wtedy, gdy

∀a,b∈P∀c∈Ra < b ∧ (f(a) < c < f(b) ∨ f(a) > c > f(b))⇒ ∃x∈]a,b[f(x) = c (7.35)

Twierdzenie 7.6.2 (Darboux) Niech P będzie niepustym przedziałem i niech f :P → R będzie ciągłą funkcją rzeczywistą.Wtedy posiada ona własność Darboux.

Szkic dowodu.Niech a, b ∈ P , c ∈ R. Załóżmy, że a < b oraz f(a) < c < f(b) (dowód dla f(a) > c > f(b) jest analogiczny).

Ponieważ [a, b] jest przedziałem i f jest funkcją ciągłą więc f([a, b]) jest przedziałem, do którego należą f(a) i f(b). Stądc ∈ [f(a), f(b)] ⊆ f([a, b]). Więc istnieje x ∈ [a, b] taki, że f(x) = c. Ponieważ f(a) < c < f(b), więc nie może być, iż x = aalbo x = b. 2

Twierdzenie 7.6.3 Niech A będzie przedziałem prostej euklidesowej E1, f ciągłą i różnowartościową funkcją rzeczywistą odziedzinie A. Wówczas f jest ściśle monotoniczna.

Szkic dowodu.Udowodnimy, że na dowolnym odcinku funkcja jest ściśle monotoniczna. Niech a, b ∈ A. Załóżmy, że a < b. Z różnowar-

tościowości mamy, że f(a) 6= f(b). Możliwe są następujące sytuacje:Przypadek I. f(a) < f(b) – dowodzimy wtedy, że funkcja f jest rosnąca;Przypadek II. f(a) > f(b) – dowodzimy wtedy, że funkcja f jest malejąca;Udowodnimy tylko przypadek I, gdyż drugi jest analogicznyNiech x1, x2 ∈ [a, b] będą dowolne i takie, że x1 < x2.Mamy wtedy doczynienia z następującymi przypadkami:

Przypadek A. a = x1 < x2 = b;Przypadek B. a = x1 < x2 < b;Przypadek C. a < x1 < x2 = b;Przypadek D. a < x1 < x2 < b;Ad A. Teza wynika, z założeń.Ad B. Niech f(x2) < f(x1) ≡ f(a). Korzystając z faktu, że funkcja ma własność Darboux na przedziale [x2, b] istnieje

c ∈]x2, b[ takie, że f(c) = f(a), czyli sprzeczność. Stąd musi być f(x2) > f(x1).Ad C. Niech f(b) ≡ f(x2) < f(x1). Korzystając z faktu, że funkcja ma własność Darboux na przedziale [a, x1] istnieje

c ∈]a, x1[ takie, że f(c) = f(b), czyli sprzeczność. Stąd musi być f(x2) > f(x1).


Ad D. Udowodnimy wpierw, że f(a) < f(x1) i f(x2) < f(b)Przypuśćmy, że f(a) > f(x1). Korzystając z faktu, że funkcja ma własność Darboux na przedziale [x1, b] istnieje c ∈]x1, b[

takie, że f(c) = f(a), czyli sprzeczność.Przypuśćmy, że f(x2) > f(b). Korzystając z faktu, że funkcja ma własność Darboux na przedziale [a, x2] istnieje c ∈]a, x2[

takie, że f(c) = f(b), czyli sprzeczność.Niech f(x1) > f(x2). Korzystając z faktu, że funkcja ma własność Darboux na przedziale [a, x1] istnieje c ∈]a, x1[ takie,

że f(c) = f(x2), czyli sprzeczność. Stąd musi być f(x1) < f(x2). 2

Uwaga 7.6.1 Założenie, że A jest przedziałem (czyli jest podzbiorem spójnym) w twierdzeniu 7.6.3 jest istotne, gdyż wystar-czy rozpatrzeć funkcję f(x) = 1x .

Twierdzenie 7.6.4 Niech ∅ 6= A ⊂ R, f :A → R będzie funkcją monotoniczną i taką, że zbiór wartości jest przedziałem.Wtedy f jest funkcją ciągłą.

Szkic dowodu.Załóżmy, że funkcja f jest niemalejąca (dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny). Niech p ∈ A i y0 = f(p). Wtedy

możliwe są przypadki:Przypadek I. y0 jest punktem wewnętrznym;Przypadek II. y0 nie jest punktem wewnętrznym;Ad. I. Niech O będzie dowolnym otoczeniem punktu y0. Istnieją wtedy y1i y2 takie, że y1 < y0 < y2 oraz [y1, y2] ⊂

O ∩ f(A). Niech x1, x2 ∈ A będą takie, że f(x1) = y1 i f(x2) = y2. Ponieważ f jest niemalejąca, to musi być x1 < x0

oraz x0 < x2, czyli [x1, x2] jest otoczeniem (w R) punktu x0. Natomiast zbiór [x1, x2] ∩ A jest otoczeniem punktu x0 w A.Wystarczy obecnie pokazać, że f([x1, x2] ∩A) ⊂ O (na podstawie wniosku 7.2.2). Niech x ∈ [x1, x2] ∩A wtedy x1 ¬ x ¬ x2i y1 = f(x1) ¬ f(x) ¬ f(x2) = y2, a więc f(x) ∈ [y1, y2] ⊂ O.Ad. II. Cała modyfikacja w tym przypadku polega na wzięciu jednego z odcinków [y0, y2] bądź [y1, y0] i rozważeniu

przypadków, gdy x0 jest lub nie jest punktem wewnętrznym. 2

Twierdzenie 7.6.5 Niech A będzie przedziałem prostej euklidesowej E1, f ciągłą i różnowartościową funkcją rzeczywistą odziedzinie A. Wówczas f−1: f(A)→ R jest ciągłą.

Szkic dowodu.Na podstawie twierdzenia 7.6.3 funkcja f jest ściśle monotoniczna, a więc funkcja f−1 jest ściśle monotoniczna ponadto

jej zbiór wartości jest przedziałem (jest nim A), więc tezę otrzymujemy z twierdzenia 7.6.4. 2

Twierdzenie 7.6.6 Niech A będzie niezdegenerowanym przedziałem prostej euklidesowej, p punktem wewnętrznym tego prze-działu i niech f :A → R. Wtedy, jeżeli f(p) 6= 0 oraz funkcja f jest ciągła na przedziale A, to istnieje dodatnia liczba rze-czywista r taka, że B(p, r) ⊆ A oraz dla wszystkich punktów kuli B(p, r) funkcja f ma stały znak (dodatni lub ujemny wzależności od znaku f(p)).

Szkic dowodu. (ad absurdum)Udowodnimy najpierw, że istnieje kula zawarta w A, że dla dowolnego punktu tej kuli wartość funkcji jest niezerowa.

Przypuśćmy, ze tak nie jest. Wtedy istnieje ciąg punktów (xn) o własności

f(xn) = 0 ∧ xn ∈ B(p,1

n+ k0),

gdzie k0 ∈ N takie, że B(p, 1n+k0) ⊂ A dla dowolnego naturalnego n. Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy

limn→∞

xn = p,

a stąd na podstawie twierdzenia 7.2.10 = lim

n→∞f(xn) = f(p).

Niech r > 0 będzie takie, że B(p, r) ⊂ A i dla dowolnego punktu x z tej kuli f(x) 6= 0. Niech teraz f(p) > 0. Załóżmy,że istnieje punkt x ∈ B(p, r), że f(x) < 0. Wtedy p 6= x oraz na przedziale [min{p, x},max{p, x}] spełnione są założeniatwierdzenia Darboux (twierdzenie 7.6.2), a ponieważ f(x) ·f(p) < 0, więc istnieje c ∈]min{p, x},max{p, x}[ taki, że f(c) = 0,co jest niemożliwe, gdyż c ∈ B(p, r). 2


Wniosek 7.6.2 Niech A będzie niezdegenerowanym przedziałem prostej euklidesowej, p punktem wewnętrznym tego prze-działu i niech f :A→ R. Wtedy, jeżeli f(p) 6= 0 oraz f jest ciągła w punkcie p, to istnieje dodatnia liczba rzeczywista r taka,że B(p, r) ⊆ A oraz dla wszystkich punktów kuli B(p, r) funkcja f przyjmuje niezerowe wartości.

Szkic dowodu.

Wynika z pierwszej części dowodu twierdzenia 7.6.6. 2

7.7 Nieciągłość. Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji rzeczywistych

Rozważać będziemy wyłącznie funkcje rzeczywiste. Dla uproszczenia zakładać będziemy, że dziedziną jest przedział ]a, b[,bądź w dziedzinie jest ten przedział zawarty.

Definicja 7.7.1 Niech funkcja f będzie określona na odcinku ]a, b[. Jeżeli funkcja f jest nieciągła w punkcie x ∈]a, b[ orazistnieją skończone granice jednostronne w tym punkcie, to mówimy, że w punkcie x funkcja ma nieciągłość pierwszego rodzaju.W przeciwnym wypadku mówimy, że ma w tym punkcie nieciągłość drugiego rodzaju.W przypadku nieciągłości pierwszego rodzaju, jeżeli granice jednostronne są sobie równe, to taką nieciągłość nazywamy

luką, w przeciwnym wypadku skokiem.

Przykład 7.7.1 Funkcja Dirichleta zadana wzorem

f(x) ={1 dla x ∈ Q0 dla x ∈ R \Q

(7.36)

ma w każdym punkcie nieciągłość drugiego rodzaju (granice jednostronne nie istnieją).

Przykład 7.7.2 Funkcja

f(x) ={1x dla x 6= 00 dla x = 0

ma w punkcie p = 0 nieciągłość drugiego rodzaju (granice jednostronne są niewłaściwe).

Przykład 7.7.3 Funkcja f(x) = sign(x) ma w zerze nieciągłość pierwszego rodzaju (skok). Natomiast funkcja g(x) = |f(x)|ma lukę.

Twierdzenie 7.7.1 Jeżeli f jest funkcją monotoniczną na przedziale ]a, b[. Wówczas dla dowolnego punktu x ∈]a, b[ granicejednostronne istnieją.Jeżeli f jest niemalejąca, to

supt∈]a,x[

f(t) = f(x−) ¬ f(x) ¬ f(x+) = inft∈]x,b[

f(t) (7.37)

i ponadto jeżeli a < x < y < b, to

f(x+) ¬ f(y−). (7.38)

Dla funkcji nierosnących nierówność (7.37) ma postać

inft∈]a,x[

f(t) = f(x−) f(x) f(x+) = supt∈]x,b[

f(t) (7.39)

oraz

f(x+) f(y−)

dla a < x < y < b.

Szkic dowodu.

Udowodnimy w przypadku, gdy funkcja f jest niemalejąca. Niech A def= {f(t) : t ∈]a, x[}. Wtedy zbiór A jest niepusty iograniczony z górny (np. przez f(x), gdyż funkcja jest niemalejąca). Niech α = supA ≡ sup

t∈]a,x[f(t). Z definicji kresu górnego

mamy

∀ε>0∃δ>0a < x− δ < x ∧ α− ε < f(x− δ).


Mamy wtedy∀ε>0∃δ>0∀t∈]x−δ,x[α− ε < f(x− δ) ¬ f(t) ¬ α < α+ ε,

co można zapisać∀ε>0∃δ>0∀t∈]a,b[0 < x− t < δ ⇒ |f(t)− α| < ε.

Stąd α = f(x−), a ponieważ dla dowolnego t < x mamy f(t) ¬ f(x), więc ostatecznie mamy supt∈]a,x[

f(t) = f(x−) ¬ f(x).

Niech teraz B def= {f(t) : t ∈]x, b[}. Wtedy zbiór B jest niepusty i ograniczony z dołu (np. przez f(x), gdyż funkcja jestniemalejąca). Niech β = supB ≡ inf

t∈]x,b[f(t). Z definicji kresu dolnego mamy

∀ε>0∃δ>0x < x+ δ < b,∧f(x+ δ) < β + ε.

Mamy wtedy∀ε>0∃δ>0∀t∈]x,x+δ[β − ε < β ¬ f(t) ¬ f(x+ δ) < β + ε,

co można zapisać∀ε>0∃δ>0∀t∈]a,b[0 < t− x < δ ⇒ |f(t)− β| < ε.

Stąd β = f(x+), a ponieważ dla dowolnego x < t mamy f(x) ¬ f(t), więc ostatecznie mamy f(x) ¬ f(x+) = inft∈]x,b[

f(t).

Pozostało pokazać nierówność (7.38). Niech z będzie takie, że x < z < y wtedy mamy

f(x+) = inft∈]x,z[

f(t) ¬ supt∈]x,z[

f(t) = f(z−) ¬ f(z) ¬ f(z+) = inft∈]z,y[

f(t) ¬ supt∈]z,y[

f(t) = f(y−)

Dowód twierdzenia nierówności (7.38) dla funkcji nierosnących wynika z faktów: funkcja przeciwna do nierosnącej jestniemalejąca, nierówności (7.37) oraz własności kresów.

2

Wniosek 7.7.1 Funkcja monotoniczna nie ma nieciągłości drugiego rodzaju.


Twierdzenie 7.7.2 Niech f będzie funkcją monotoniczną na przedziale ]a, b[, gdzie a < b. Wówczas zbiór punktów przedziału]a, b[ w których funkcja f jest nieciągła jest co najwyżej przeliczalny.

Szkic dowodu.Dowiedziemy dla funkcji niemalejącej. Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.Niech A będzie zbiorem punktów nieciągłości funkcji f . Niech x ∈ A. Wtedy f(x−) < f(x) albo f(x) < f(x+), więc

f(x−) < f(x+). Ponieważ liczby wymierne są gęste w liczbach rzeczywistych (twierdzenie 2.2.3), więc rozważmy liczbwymierną qx taką, że qx ∈]f(x−), f(x+)[. Otrzymujemy w ten sposób odwzorowanie φ:A → Q różnowartościowe, a więcliczba elementów A jest nie większa niż liczba elementów Q, których jest przeliczalnie wiele. 2

Wniosek 7.7.2 Jeżeli f : R→ R jest funkcją monotoniczną, to zbiór punktów nieciągłości jest co najwyżej przeliczalny.

Szkic dowodu.Wystarczy skorzystać z twierdzenia 7.7.2 i faktu, iż R przedstawia się jako przeliczalna ilość przedziałów otwartych, bądź

też powtórzyć całe rozumowanie z twierdzenia 7.7.2. 2

Twierdzenie 7.7.3 Dla dowolnego zbioru przeliczalnego A (co najwyżej przeliczalnego) istnieje monotoniczna funkcja rze-czywista, której jedynymi punktami nieciągłości są punkty ze zbioru A.

Szkic dowodu.Niech (an) ciągiem liczb dodatnich taki, że

∞∑n=1

an jest zbieżny. Ponieważ A jest przeliczalny więc A = {xn : n 1}, gdzie

xn są parami różne. Funkcja zadana wzorem

f(x) def=

{ ∑n:xn<x

an gdy {n : xn < x} 6= ∅

0 gdy {n : xn < x} = ∅(7.40)

spełnia warunki twierdzenia. 2


7.8 Ciągłość elementarnych funkcji rzeczywistych

Stwierdzenie 7.8.1 Funkcja f(x) = |x| jest ciągła w swojej dziedzinie naturalnej, czyli R.

Szkic dowodu.Ponieważ

f(x) ={x dla x 0−x dla x < 0

,

więc wystarczy zbadać tylko ciągłość w zerze. Jednak funkcja ma granicę w zerze (wynosi ona 0) i jest równa jej wartości wzerze. 2

Lemat 7.8.1 Zachodzi następująca nierówność∀x∈R| sinx| ¬ |x| (7.41)

Szkic dowodu.

C

x

O A B

Rysunek 7.1: Rysunek pomocniczy

Jeżeli x π2 , to | sinx| ¬ 1 <π2 ¬ x = |x|. Niech x ∈]0, π2 [. Rozważmy okrąg o promieniu 1 i łuku x = CB (rysunek

7.1). Niech będą dwa promienie OB i OC. Niech A będzie rzutem prostopadłym punktu C na promień OC. Wtedy | sinx| =sinx = |AC| < |CB| = x = |x|. Jeżeli x = 0, to nierówność jest oczywista. Natomiast, jeżeli x < 0, to parzystości obu funkcjii udowodnionej nierówności dla nieujemnych x nierówność jest prawdziwa. 2

Lemat 7.8.2 Funkcja f(x) = sinx w swej naturalnej dziedzinie spełnia warunek Lipschitza ze stała 1.

Szkic dowodu.Dla dowolnego x, y ∈ R mamy

| sinx− sin y| = 2| sin x− y2cos

x+ y2| ¬ 2| sin x− y

2| ¬ 2|x− y

2| = |x− y|.

2

Lemat 7.8.3 Funkcja f(x) = cosx w swej naturalnej dziedzinie spełnia warunek Lipschitza ze stała 1.

Szkic dowodu.Dla dowolnego x, y ∈ R mamy

| cosx− cos y| = 2| sin x− y2sin

x+ y2| ¬ 2| sin x− y

2| ¬ 2|x− y

2| = |x− y|.

2

Twierdzenie 7.8.1 Funkcje sinus i cosinus są jednostajnie ciągłe, a więc ciągłe w swojej naturalnej dziedzinie.

Szkic dowodu.Jest to wniosek z lematów 7.8.2 i 7.8.3 oraz twierdzeń 7.3.1 i 7.3.2 2


Stwierdzenie 7.8.2 Funkcja f(x) = 1x w swojej naturalnej dziedzinie (R \ {0}) jest ciągła

Szkic dowodu.Ponieważ obrazem każdego ze zbiorów ]−∞, 0[ i ]0,+∞[ jest przedział oraz funkcji na każdym z tych zbiorów jest ściśle

monotoniczna, więc teza wynika z twierdzenia 7.6.4. 2

Stwierdzenie 7.8.3 Funkcja potęgowa o wykładniku naturalnym w swojej naturalnej dziedzinie jest ciągła.

Szkic dowodu.Jest to iloczyn funkcji identycznościowych, które są ciągłe. 2

Wniosek 7.8.1 Pierwiastek stopnia n, gdzie n ∈ N jest funkcją ciągłą.

Szkic dowodu.Jest to funkcja odwrotna do funkcji potęgowej, która jest ciągła i różnowartościowa (gdy n jest liczbą parzystą to

różnowartościowa na [0,+∞[), więc teza wynika z twierdzenia 7.6.5. 2

Wniosek 7.8.2 Funkcja potęgowa o wykładniku wymiernym w swojej naturalnej dziedzinie jest ciągła.

Szkic dowodu.Jest to złożenie funkcji potęgowej i pierwiastka. 2

Definicja 7.8.1 Zdefiniujmy funkcję wykładniczą i logarytmiczną o podstawie e (stała ta pojawiła się jako granica ciągu(1 + 1n

)n).

x 7→ exdef=

∞∑k=0

xk

k!(7.42)

nazywamy funkcją wykładniczą. Jest ona różnowartościowa. Funkcję odwrotną do niej oznaczaną lnx nazywamy funkcjąlogarytmiczną o podstawie e.

Twierdzenie 7.8.2 Funkcja wykładnicza jest funkcją ciągłą.

Uwaga 7.8.1 Dowód tego twierdzenia podamy później, gdy poznamy szeregi funkcyjne.

Wniosek 7.8.3 Funkcja logarytmiczna jest ciągła.

Szkic dowodu.Trzeba wiedzieć, że zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest przedział ]0,+∞[ oraz, że jest to funkcja różnowartościowa,

a wtedy zastosować twierdzenia 7.8.2, 7.6.3, 7.6.4, 7.6.5.2

Definicja 7.8.2 Funkcję wykładniczą o dowolnej dodatniej podstawie a definiujemy następująco

x 7→ axdef= ex ln a. (7.43)

Natomiast funkcję logarytmiczną o podstawie dodatniej i różnej od zera określamy następująco

x 7→ loga xdef=lnxln a

. (7.44)

Wniosek 7.8.4 Funkcje zdefiniowane w definicji 7.8.2 są ciągłe.

Szkic dowodu.Są złożeniami funkcji ciągłych. 2

Uwaga 7.8.2 Funkcje sinus i cosinus można również zdefiniować następująco

sinx def=∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!(7.45)

cosx def=∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!(7.46)


7.9 Granica górna i dolna funkcji

Niech A będzie podzbiorem prostej euklidesowej, p ∈ R będzie punktem skupienia zbioru A. Oznaczmy przez Sp rodzinąwszystkich sąsiedztw punktu p.

Uwaga 7.9.1 W przypadku, gdy p = +∞ albo p = −∞, to przez sąsiedztwo w R będziemy rozumieć zbiór zawierającypółprostą, gdyż sąsiedztwem w E1 są zbiory zawierające półproste.

Niech dana będzie funkcja f :A→ R.

Definicja 7.9.1 Granicą górną funkcji f w punkcie p nazywamy

infS∈Sp{sup f(S ∩A)}. (7.47)

Oznaczamy ją lim supx→p

f(x). Granicą dolna funkcji f w punkcie p nazywamy

supS∈Sp

{inf f(S ∩A)}. (7.48)

Oznaczamy ją lim infx→p

f(x).

Uwaga 7.9.2 W przypadku funkcji o wartościach w rozszerzonej prostej euklidesowej definicja granicy górnej i dolnej funkcjif :A → R w punkcie p ∈ R będącym punktem skupienia zbioru A, gdzie A jest podzbiorem rozszerzonej prostej euklidesowejnie zmienia się.

Twierdzenie 7.9.1 Niech A będzie podzbiorem prostej euklidesowej, zaś funkcja f :A → R. Niech ponadto p ∈ R będziepunktem skupienia zbioru A. Wówczas(i) lim inf

x→pf(x) ¬ lim sup

x→pf(x);

(ii) jeżeli c ∈ R oraz f ¬ c (lub c ¬ f) na pewnym sąsiedztwie punktu p, to lim supx→p

f(x) ¬ c (odpowiednio lim infx→p

f(x) c).

(iii) Na to, aby granica (skończona lub niewłaściwa) funkcji f w punkcie p była równa α potrzeba i wystarcza, aby

lim infx→p

f(x) = α = lim supx→p

f(x).

Szkic dowodu.Dowód (i). Niech S1, S2 ∈ Sp. Oznaczmy przez S = S1 ∩ S2. Wtedy z własności kresów mamy

inf f(S1 ∩A) ¬ inf f(S ∩A) ¬ sup f(S ∩A) ¬ sup f(S2 ∩A).

Stąd∀S1,S2∈Sp inf f(S1 ∩A) ¬ sup f(S2 ∩A),

a więc

∀S2∈Sp supS1∈Sp

{inf f(S1 ∩A)} ¬ sup f(S2 ∩A),

supS1∈Sp

{inf f(S1 ∩A)} ¬ infS2∈Sp

{sup f(S2 ∩A)}.

Dowód (ii). Niech S0 będzie sąsiedztwem takim, że ∀x∈S0∩Af(x) ¬ c. Wtedy

lim supx→p

f(x) = infS∈Sp{sup f(S ∩A)} ¬ sup f(S0 ∩A) ¬ c.

Analogicznie dowodzimy dla granicy dolnej.Dowód (iii).(Konieczność)Niech r > 0 będzie dowolne i niech dana będzie kula otwarta B(α, r). Ponieważ funkcja ma granicę (równą α) w punkcie

p, to istnieje δ > 0 taka, że f((B(p, δ) \ {p}) ∩A) ⊆ B(α, r). Wtedy mamy z punktów (i), (ii)

α− r ¬ lim infx→p

f(x) ¬ lim supx→p

f(x) ¬ α+ r.


Ponieważ r było dowolna stałą dodatnią, więc otrzymujemy żądaną równość.Należy podkreślić, że w zależności od tego, czy α oraz p są skończone lub nieskończone kule występujące w dowodzie są

albo kulami w E1, czyli zwykłymi odcinkami albo są półprostymi w E1, co odpowiada kulom w E1.(Dostateczność)Niech α będzie skończone. Niech ε > 0 i rozważmy kulę otwartą B(α, ε). Z definicji granicy górnej i dolnej (definicja kresu

dolnego i górnego) wynika, że istnieją sąsiedztwa S1 i S2 takie, że

α− ε < inf f(S1 ∩A) ∧ sup f(S2 ∩A) < α+ ε. (7.49)

Wtedy dla S = S1 ∩ S2 i dowolnemu x ∈ S ∩A mamy

α− ε < f(x) < α+ ε.

Biorąc δ > 0 takie, że B(p, δ) \ {p} ⊂ S, równoważne jest to warunkowi

∃δ>0∀x∈A0 < |x− p| < δ ⇒ |f(x)− α| < ε.

W przypadku, gdy α jest plus (minus) nieskończonością warunek 7.49

+∞ ¬ inf f(S1 ∩A)(odpowiednio sup f(S1 ∩A) ¬ −∞). (7.50)

2

Rozdział 8

Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej

8.1 Różniczkowalność funkcji. Pochodne

Niech A będzie niepustym podzbiorem prostej euklidesowej E1, zaś p będzie punktem skupienia zbioru A i niech p ∈ A. Niechf :A→ R.

Definicja 8.1.1 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica

limh→0

f(p+ h)− f(p)h

. (8.1)

Granicę tą, o ile istnieje, nazywamy pochodną funkcji f w punkcie p i oznaczamy f ′(p) lub dfdx |x=p.

Uwaga 8.1.1 W praktyce mamy doczynienia ze zbiorem A, który jest przedziałem niezdegenerowanym lub suma przedziałówniezdegenerowanych.

Uwaga 8.1.2 Wyrażenie w równości (8.1) musi mieć sens tzn. f(p+ h) musi być określone, czyli p+ h ∈ A.

Uwaga 8.1.3 Iloraz w (8.1) nazywamy ilorazem różnicowym.

Uwaga 8.1.4 W przypadku, gdy A = [a, b] dla a < b i jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a (odpowiednio wpunkcie b), to pochodną w punkcie a (odpowiednio w punkcie b) nazywamy pochodną prawostronną (odpowiednio pochodnąlewostronną) i oznaczamy ją f ′+(a) (odpowiednio f

′−(b)).

Można też mówić o pochodnych jednostronnych w dowolnym punkcie wewnętrznym zbioru.

Wniosek 8.1.1 Funkcja ma pochodną w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodne jednostronne i są one sobie równe.

Szkic dowodu.

Wynika z faktu, że granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne i są sobierówne. 2

Wniosek 8.1.2 Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie p, to ma tylko jedną.

Szkic dowodu.

Wynika z jednoznaczności granicy. 2

Stwierdzenie 8.1.1 Funkcja stała określona na prostej euklidesowej ma pochodną w dowolnym punkcie równą zeru.

Szkic dowodu.

Wynika to z faktu, że licznik ilorazu różnicowego jest równy zeru. 2

Stwierdzenie 8.1.2 Funkcja identycznościowa określona na prostej euklidesowej ma pochodną w dowolnym punkcie równąjeden.

83


Szkic dowodu.Wynika to z faktu, że licznik i mianownik ilorazu różnicowego są sobie równe. 2

Uwaga 8.1.5 Jeżeli nie będzie inaczej zaznaczone od tego momentu rozważamy funkcje określone na przedziale, do któregonależy punkt p.

Twierdzenie 8.1.1 Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje a ∈ R takie, że funkcjar(p, ·) określona warunkiem

{h: p+ h ∈ A} 3 h 7→ r(p, h) def= f(p+ h)− f(p)− ah (8.2)

spełnia warunek

limh→0

r(p, h)h= 0.

Szkic dowodu.(Konieczność)Niech a = f ′(p). Wtedy oczywiście dla 0 6= h mamy

limh→0

r(p, h)h= limh→0

f(p+ h)− f(p)− ahh

= limh→0

(f(p+ h)− f(p)

h− a).

Granica ostatniego wyrażenia istnieje i jest równa zero, gdyż funkcja jest różniczkowalna.(Dostateczność)Rozważmy a ∈ R. Wtedy iloraz różnicowy przedstawia się następująco

f(p+ h)− f(p)h

= a+r(p, h)h

.

Z założenia wynika, że istnieje granica prawej strony równości i jest ona równa a, a więc funkcja jest różniczkowalna wpunkcie p. 2

Wniosek 8.1.3 Funkcja r(p, ·) zdefiniowane w twierdzeniu 8.1.1 jest funkcją ciągłą w zerze, o ile funkcja f jest różniczko-walna w punkcie p.

Szkic dowodu.Wynika z dowodu twierdzenia 8.1.1 oraz definicji ciągłości funkcji w punkcie. 2

Uwaga 8.1.6 Zauważmy, że liczba rzeczywista a występujące w twierdzeniu 8.1.1, to po prostu pochodna funkcji f w punkciep.

Definicja 8.1.2 Różniczką funkcji w punkcie p odpowiadającą przyrostowi h nazywamy część liniową funkcji f , czyli zgodniez twierdzeniem 8.1.1 wyrażenie

ah ≡ a(x− p),

gdzie x = p+ h i oznaczamy ją df(p, h) ≡ df(p, x− p).

Uwaga 8.1.7 Prosta o h 7→ f(p) + ah nazywa się styczną do wykresu funkcji f w punkcie p.

Twierdzenie 8.1.2 Funkcja różniczkowana w punkcie p jest ciągłą w p.

Szkic dowodu.Mamy dla h 6= 0

f(p+ h) = f(p) + ah+ r(p, h) = f(p) + ah+ h · r(p, h)h

,

a więc

limh→0

f(p+ h) = limh→0(f(p) + ah+ h · r(p, h)

h) = f(p)

na podstawie twierdzeń 7.1.2, 8.1.1. 2

Przykład 8.1.1 Funkcja f(x) = |x| jest ciągła, ale nie jest różniczkowalna w zerze.


Wystarczy zauważyć, że

limh→0+

f(0 + h)− f(0)h

= limh→0+

h

h= 1,

limh→0−

f(0 + h)− f(0)h

= limh→0−

−hh= −1.

Definicja 8.1.3 Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalna w każdympunkcie tego przedziału.

Definicja 8.1.4 Niech f będzie funkcją różniczkowalną na przedziale A. Odwzorowanie

A 3 x 7→ f ′(x) ∈ R (8.3)

nazywamy pochodną funkcji f i oznaczamy f ′

8.2 Działania algebraiczne na funkcjach różniczkowalnych

Niech A będzie niezdegenerowanym przedziałem prostej euklidesowej.

Uwaga 8.2.1 Zbiór wszystkich rzeczywistych funkcji określonych i ciągłych na przedziale A oznaczamy przez C(A), zaśokreślonych i różniczkowalnych na przedziale A oznaczamy przez D1(A). Natomiast zbiór wszystkich rzeczywistych funkcjiokreślonych i różniczkowalnych na przedziale A, których pochodne są funkcjami ciągłymi oznaczamy przez C1(A).Zauważmy, że zachodzą następujące (właściwe) zawierania

C1(A) ⊂ D1(A) ⊂ C(A).

Przykład 8.2.1 Niech A = R. Funkcja f(x) = |x|. Wówczas f ∈ C(A) oraz f /∈ D1(A).

Twierdzenie 8.2.1 Niech p ∈ A oraz f, g:A→ R będą funkcjami różniczkowalnymi w p. Niech α, β ∈ R. Wówczas:(i) αf + βg jest różniczkowalna w p oraz (αf + βg)′(p) = αf ′(p) + βg′(p);(ii) f · g jest różniczkowalna w p oraz (f · g)′(p) = f ′(p) · g(p) + f(p) · g′(p);(iii) jeżeli g(p) 6= 0, to fg jest różniczkowalna w p oraz (

fg )′(p) = f

′(p)·g(p)−f(p)·g′(p)g2(p)

Szkic dowodu.Dowód (i).

limh→0

(αf + βg)(p+ h)− (αf + βg)(p)h

= limh→0

(αf(p+ h)− f(p)

h+ β

g(p+ h)− g(p)h

)= αf ′(p) + βg′(p)

Wykorzystaliśmy twierdzenie 7.1.2Dowód (ii).

limh→0

(f · g)(p+ h)− (f · g)(p)h

= limh→0

(f · g)(p+ h)− f(p)g(p+ h) + f(p)g(p+ h)− (f · g)(p)h

= limh→0

(g(p+ h)

f(p+ h)− f(p)h

+ f(p)g(p+ h)− g(p)

h

)= g(p)f ′(p) + f(p)g′(p)

Wykorzystaliśmy twierdzenie 7.1.2 oraz wniosek 8.1.1 i twierdzenie 7.2.1.Dowód (iii).

limh→0

( fg )(p+ h)− (fg )(p)

h= limh→0

f(p+ h)g(p)− f(p)g(p+ h)h

· 1g(p)g(p+ h)

= limh→0

f(p+ h)g(p)− f(p)g(p) + f(p)g(p)− f(p)g(p+ h)h

· 1g(p)g(p+ h)

limh→0

(g(p)

f(p+ h)− f(p)h

− f(p)g(p+ h)− g(p)h

)· 1g(p)g(p+ h)

=f ′(p) · g(p)− f(p) · g′(p)

g2(p)

Wykorzystaliśmy twierdzenie 7.1.2 oraz wniosek 8.1.1 i twierdzenie 7.2.1. 2

Niech B będzie niezdegenerowanym przedziałem prostej euklidesowej.


Twierdzenie 8.2.2 Niech p ∈ A oraz f(p) ∈ B. Niech f :A → R, g:B → R. Jeżeli f jest różniczkowalna w p oraz g jestróżniczkowalna w f(p), to g ◦ f jest różniczkowalna w p oraz (g ◦ f)′(p) = (g′ ◦ f)(p) · f ′(p).

Szkic dowodu.Zauważmy, że warunek (8.2) można zapisać następująco

f(p+ h)− f(p) = h(f ′(p) +R(p, h)),

gdzie funkcja R(p, ·) określona następująco

R(p, h) def={r(p,h)h dla h 6= 00 dla h = 0

jest ciągła w zerze. Wtedy

g(f(p+ h))− g(f(p)) = g(f(p) + (f(p+ h)− f(p)))− g(f(p))

= (f(p+ h)− f(p))(g′(f(p)) +Rg(f(p), f(p+ h)− f(p)))

= h(f ′(p) +Rf (p, h))(g′(f(p)) +Rg(f(p), f(p+ h)− f(p))).

Dla h 6= 0 mamy

limh→0

g(f(p+ h))− g(f(p))h

= limh→0(f ′(p) +Rf (p, h))(g′(f(p)) +Rg(f(p), f(p+ h)− f(p))) = g′(f(p))f ′(p),

gdyż limh→0

Rf (p, h) = 0, limh→0(f(p+ h)− f(p)) = 0, a więc i lim

h→0Rg(f(p), f(p+ h)− f(p)) = 0. 2

f(x) f ′(x) Założenia

xα αxα−1 x ∈ R+ex ex

ax ax ln a a ∈ R+ \ {1}lnx 1

x x ∈ R+loga x

1x ln a x ∈ R+ ∧ a ∈ R+ \ {1}

sinx cosxcosx − sinxtg x 1

cos2 x x 6= π2 + kπ ∧ k ∈ Zctg x − 1

sin2 x x 6= kπ ∧ k ∈ Z

Tabela 8.1: Funkcje elementarne i ich pochodne.

f(x) f ′(x) Założenia

arc sinx 1√1−x2 Df = [−1, 1] ∧Df ′ =]− 1, 1[

arc cosx − 1√1−x2 Df = [−1, 1] ∧Df ′ =]− 1, 1[

arctg x 11+x2

arcctg x − 11+x2

Tabela 8.2: Funkcje cyklometryczne i ich pochodne.

Uwaga 8.2.2 Przez Df oznaczamy dziedzinę funkcji f .

Twierdzenie 8.2.3 Niech p ∈ A i niech f :A → R będzie funkcją różnowartościową i różniczkowalną w punkcie p orazf ′(p) 6= 0. Wówczas o ile funkcja f−1 jest ciągła w punkcie q = f(p), to jest ona różniczkowalna w tym punkcie oraz(

f−1)′(q) =

1f ′(p)

(8.4)


Szkic dowodu.

Ponieważ f jest różnowartościowa, więc i funkcja odwrotna f−1 jest różnowartościowa. Dla h 6= 0 i x takiego, że f(x) =q + h mamy h→ 0⇒ x→ p, gdyż lim

x→px = lim

h→0f−1(q + h) = f−1(q) = p. Ponadto

f−1(q + h)− f−1(q)h

=(

q + h− qf−1(q + h)− f−1(q)

)−1=(f(x)− f(p)

x− p

)−1→ 1

f ′(p)o ile h→ 0.

2

Wniosek 8.2.1 Niech p ∈ A. Jeżeli funkcja f :A→ R jest ściśle monotoniczna oraz różniczkowalna w punkcie p i f ′(p) 6= 0,to funkcja odwrotna f−1 jest różniczkowalna w punkcie q = f(p) oraz zachodzi wzór (8.4).

Szkic dowodu.

Funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa, a jeżeli jest różniczkowalna w punkcie p, to jest w tym punkcie ciągła(twierdzenie 8.1.2). Możemy więc zastosować twierdzenie 7.6.5 w odniesieniu do punktu q. Tak więc funkcja f−1 jest ciągław punkcie q i dowód jest zakończony na podstawie twierdzenia 8.2.3. 2

8.3 Twierdzenia o wartości średniej rachunku różniczkowego

Rozważać będziemy funkcje rzeczywiste na prostej euklidesowej.

Lemat 8.3.1 Niech A będzie niepustym zbiorem, f :A → R. Jeżeli f jest ograniczona oraz supx∈A

f(x) = infx∈A

f(x), to f jest

funkcją stałą.

Szkic dowodu.

Biorąc dowolny punkt p ∈ A mamyinfx∈A

f(x) ¬ f(p) ¬ supx∈A

f(x).

2

Twierdzenie 8.3.1 (Rolle’a) Niech a < b oraz f : [a, b] → R. Jeżeli f ∈ C([a, b]) ∩D1(]a, b[) oraz f(a) = f(b), to istniejepunkt c ∈]a, b[ taki, że f ′(c) = 0.

Szkic dowodu.

NiechM = supx∈[a,b]

f(x) i m = infx∈[a,b]

f(x). Z twierdzenia Weierstrassa (twierdzenie 7.5.2) istnieją p i q takie, że p, q ∈ [a, b],

f(p) =M oraz f(q) = m. Rozważmy dwa przypadki.Przypadek I. m =M .Przypadek II. m < M .

Ad. I Na podstawie lematu 8.3.1 funkcja f jest stała, a więc ze stwierdzenia 8.1.1 biorąc dowolny punkt wewnętrznyodcinka [a, b] pochodna w tym punkcie równa jest zeru.

Ad. II Wtedy p ∈]a, b[ lub q ∈]a, b[, gdyż wartości na końcach odcinka są równe. Załóżmy, że p ∈]a, b[ (dowód w drugimprzypadku jest analogiczny). Wtedy dla h 6= 0 mamy

f(p+ h)− f(p)h

{ 0 dla h < 0¬ 0 dla h > 0

, (8.5)

gdyż licznik cały czas jest niedodatni. Ponieważ funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, więc istnieją pochodne jed-nostronne i są sobie równe (wniosek 8.1.1). Z twierdzenia 4.2.3 i nierówności (8.5) wynika, że pochodna lewostronna jestnieujemna, a pochodna prawostronna jest niedodatnia, a więc muszą być równe zeru. 2

Twierdzenie 8.3.2 (Cauchy’ego o wartości średniej) Niech będzie a < b oraz f, g: [a, b] → R. Jeżeli f, g ∈ C([a, b]) ∩D1(]a, b[), to istnieje punkt c ∈]a, b[ taki, że

g′(c)((f(b)− f(a)) = f ′(c)(g(b)− g(a)). (8.6)


Szkic dowodu.Rozważmy funkcję pomocniczą

[a, b] 3 x 7→ h(x) = (g(b)− g(a)) · f(x)− (f(b)− f(a)) · g(x).

Wtedy h ∈ C([a, b]) ∩ D1(]a, b[) oraz h(a) = f(a)g(b) − f(b)g(a) = g(b). Z twierdzenia Rolle’a (twierdzenie 8.3.1) istniejec ∈]a, b[ taki, że h′(c) = 0. Kończy to dowód. 2

Wniosek 8.3.1 Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia 8.3.2 i ponadto pochodna funkcji g nie zeruje się w przedziale ]a, b[,to

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(c)g′(c)

(8.7)

Szkic dowodu.Wystarczy pokazać, że g(b) 6= g(a). Ale gdyby tak nie było, to z twierdzenia Rolle’a (twierdzenie 8.3.1) istnieje c ∈]a, b[

taki, że g′(c) = 0, co przeczy założeniu. 2

Twierdzenie 8.3.3 (Lagrange’a o wartości średniej) Niech a < b oraz f : [a, b]→ R. Jeżeli f ∈ C([a, b])∩D1(]a, b[), toistnieje punkt c ∈]a, b[ taki, że

f(b)− f(a)b− a

= f ′(c) (8.8)

Szkic dowodu.Wystarczy w twierdzeniu Cauchy’ego (twierdzenie 8.3.2) podstawić za funkcje g =Id. 2

Uwaga 8.3.1 Przyjmijmy, że b = a+h dla h > 0. Wtedy tezę twierdzenia Lagrange’a (twierdzenie 8.3.3) można sformułowaćnastępująco

∃Θ∈]0,1[f(a+ h)− f(a) = hf ′(a+Θh) (8.9)

8.4 Monotoniczność, a pochodna

Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem prostej euklidesowej. Niech f :P → R.

Twierdzenie 8.4.1 Niech f ∈ D1(P ).(i) Jeżeli f ′(x) = 0 dla x ∈ P , to f jest stała na P .(ii) Jeżeli f ′(x) > 0 dla x ∈ P , to f jest rosnąca na P .(iii) Jeżeli f ′(x) 0 dla x ∈ P , to f jest niemalejąca na P .(iv) Jeżeli f ′(x) < 0 dla x ∈ P , to f jest malejąca na P .(v) Jeżeli f ′(x) ¬ 0 dla x ∈ P , to f jest nierosnąca na P .

Szkic dowodu.Niech x1, x2 będą dowolnymi, ale różnymi punktami przedziału P . Bez straty ogólności możemy założyć, że x1 < x2.

Wtedy [x1, x2] ⊆ P oraz f ∈ C([x1, x2])∩D1(]x1, x2[). Spełnione są więc założenia twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej(twierdzenie 8.3.3). Istnieje więc punkt c ∈]x1, x2[ taki, że

f(x2)− f(x1) = f ′(c)(x2 − x1).

Wtedy w zależności o wartości pochodnej otrzymujemy

f(x2)− f(x1)

= 0 dla f ′(c) = 0> 0 dla f ′(c) > 0< 0 dla f ′(c) < 0 0 dla f ′(c) 0¬ 0 dla f ′(c) ¬ 0

.

To kończy dowód. 2

Uwaga 8.4.1 Istotnym założeniem jest spójność przedziału P


Przykład 8.4.1 Funkcja f : ]0, 1[∪]2, 3[→ R określona wzorem

f(x) ={1 dla x ∈]0, 1[5 dla x ∈]2, 3[

(8.10)

ma pochodną równą zeru w swojej dziedzinie, ale nie jest stała.

Przykład 8.4.2 Funkcja f :R \ {0} → R określona wzorem f(x) = 1x ma pochodną cały czas ujemną, ale nie jest malejąca.

Twierdzenie 8.4.2 Niech f ∈ D1(P ).(i) Jeżeli f jest stała na P , to f ′(x) = 0 dla x ∈ P .(ii) Jeżeli f jest niemalejąca na P , to f ′(x) 0 dla x ∈ P .(ii) Jeżeli f jest nierosnąca na P , to f ′(x) ¬ 0 dla x ∈ P .

Szkic dowodu.

Punkt (i), to po prostu stwierdzenie 8.1.1.

Dowód (ii).

Niech teraz f będzie niemalejąca. Niech p ∈ P . Wtedy dla dowolnego dodatniego h mamy f(p+h)−f(p)h 0, a więc

f ′(p) = f ′+(p) = limh→0+

f(p+ h)− f(p)h

0.

Dowód (iii) jest analogiczny. 2

Uwaga 8.4.2 Twierdzenia 8.4.1 nie daje się odwrócić w w drugim i trzecim przypadku.

Przykład 8.4.3 Funkcja f :R→ R zadana wzorem f(x) = x3 jest rosnąca, ale f ′(0) = 0.

Podobnie dla malejącej funkcji f(x) = −x3 mamy f ′(0) = 0.

8.5 Jednostajna ciągłość, a pochodna

Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem prostej euklidesowej. Niech f :P → R.

Twierdzenie 8.5.1 Niech f ∈ D1(P ). Wtedy jeżeli f ′ jest ograniczona przez stałą M > 0, to f spełnia warunek Lipschitzaze stałą M .

Szkic dowodu.

Niech x1, x2 będą dowolnymi, ale różnymi punktami przedziału P . Bez straty ogólności możemy założyć, że x1 < x2.Wtedy [x1, x2] ⊆ P oraz f ∈ C([x1, x2])∩D1(]x1, x2[). Spełnione są więc założenia twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej(twierdzenie 8.3.3). Istnieje więc punkt c ∈]x1, x2[ taki, że f(x2)− f(x1) = f ′(c)(x2 − x1), a wiec

|f(x2)− f(x1)| = |f ′(c)||x2 − x1| ¬M |x2 − x1|.

2

Wniosek 8.5.1 Niech f ∈ D1(P ). Wtedy jeżeli f ′ jest ograniczona przez stałą M > 0, to funkcja f jest jednostajnie ciągłana P .

Szkic dowodu.


8.6 Ekstrema. Ekstrama, a pochodna

Niech A ⊂ R oraz f :A→ R. Niech p ∈ A.


Definicja 8.6.1 Mówimy, że funkcja f ma w punkcie p maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie Oppunktu p takie, że Op ⊂ A oraz dla dowolnego punktu x ∈ Op jest f(x) ¬ f(p).Mówimy, że funkcja f ma w punkcie p minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie Op punktu p takie, że

Op ⊂ A oraz dla dowolnego punktu x ∈ Op jest f(x) f(p).Mówimy, że funkcja f ma w punkcie p maksimum lokalne właściwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sąsiedztwo Sp punktu

p takie, że Sp ⊂ A oraz dla dowolnego punktu x ∈ Sp jest f(x) < f(p).Mówimy, że funkcja f ma w punkcie p minimum lokalne właściwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sąsiedztwo Sp punktu

p takie, że Sp ⊂ A oraz dla dowolnego punktu x ∈ Sp jest f(x) > f(p).Mówimy, że funkcja f ma w punkcie p ekstremum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy ma w punkcie p minimum lokalne bądź

maksimum lokalne.Mówimy, że funkcja f ma w punkcie p ekstremum lokalne właściwe wtedy i tylko wtedy, gdy ma w punkcie p minimum

lokalne właściwe bądź maksimum lokalne właściwe.

Uwaga 8.6.1 Minimum (maksimum) lokalne nazywane też jest minimum (maksimum) lokalnym niewłaściwym.

Uwaga 8.6.2 Przez otoczenie punktu p dla uproszczenia najczęściej będziemy rozumieć kulę B(p, r) dla pewnego r > 0.

Przykład 8.6.1 Funkcja f(x) = x2 ma w x = 0 minimum lokalne właściwe, zaś funkcja f(x) = −x2 ma w x = 0 maksimumlokalne właściwe.

Przykład 8.6.2 Funkcja f(x) = 1 ma w każdym punkcie minimum oraz maksimum lokalne.

Twierdzenie 8.6.1 (Fermata – Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego) Jeżeli funkcja f jest określonaw otoczeniu punktu p i różniczkowalna w punkcie p oraz ma w punkcie p ekstremum lokalne, to f ′(p) = 0.

Szkic dowodu.Niech funkcja f ma w punkcie p maksimum lokalne (dla minimum lokalnego dowód jest analogiczny). Rozważmy kulę

otwarta B(p, δ), gdzie δ > 0 taką, że∀x∈B(p,δ)f(x) ¬ f(p).

Wtedy dla dowolnego x ∈]p, p + δ[ mamy f(x)−f(p)x−p ¬ 0, a więc f ′+(p) ¬ 0 oraz x ∈]p − δ, p[ mamyf(x)−f(p)x−p 0, a więc

f ′−(p) 0. Tak więc f ′(p) = 0, gdyż pochodne jednostronne są równe. 2

Twierdzenie 8.6.2 (I warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego) Jeżeli funkcja f jest określona w pew-nej kuli B(p, ε) o dodatnim promieniu ε punktu p, jest różniczkowalna w B(p, ε) \ {p} i jest ciągła w punkcie p, to jeśli(i) f ′(x) > 0 dla x ∈]p− ε, p[ i f ′(x) < 0 dla x ∈]p, p+ ε[, to funkcja f ma w p maksimum lokalne właściwe.(ii) f ′(x) < 0 dla x ∈]p− ε, p[ i f ′(x) > 0 dla x ∈]p, p+ ε[, to funkcja f ma w p minimum lokalne właściwe.

Szkic dowodu.Udowodnimy (i), gdyż dowód drugiej części jest analogiczny.Na podstawie twierdzenie 8.4.1 mamy, że funkcja f jest rosnąca na odcinku ]p− ε, p[ i malejąca na odcinku ]p, p+ ε[.Niech x, δ będą dowolne i takie, że x, p− δ ∈]p− ε, p[ oraz x < p− δ. Wtedy f(x) < f(p− δ), a więc istnieje r > 0 (np.

r = f(p−δ)−f(x)2 ) takie, żef(x) < f(x) + r < f(p− δ).

Zbiegając z δ do zera z prawej strony otrzymujemy

f(x) < f(x) + r ¬ limδ→0+

f(p− δ) = f(p).

Niech teraz x, δ będą dowolne i takie, że x, p+ δ ∈]p, p+ ε[ oraz p+ δ < x. Wtedy f(x) < f(p+ δ), a więc istnieje r > 0(np. r = f(p+δ)−f(x)2 ) takie, że

f(x) < f(x) + r < f(p+ δ).

Zbiegając z δ do zera z prawej strony otrzymujemy

f(x) < f(x) + r ¬ limδ→0+

f(p+ δ) = f(p).

Tak więc z obu punktów otrzymujemy w punkcie p maksimum lokalne właściwe. 2


Przykład 8.6.3 Niech f(x) = x + 3x23 . Wówczas f ′(x) = 1 + x−

13 oraz Df = R i Df ′ = R \ {0}. Funkcja ma w x = −1

maksimum właściwe oraz w x = 0 minimum właściwe.

Twierdzenie 8.6.3 Niech f będzie określona na B(p, ε), gdzie ε > 0, f będzie klasy C1(B(p, ε)) oraz f ′(p) 6= 0. Wtedyistnieje kula B(p, δ) ⊆ B(p, ε) (δ > 0) taka, że f |B(p,δ) jest odwracalna i f−1 ∈ C1(f(B(p, δ))).

Szkic dowodu.

Załóżmy, że f ′(p) > 0. Z twierdzenia 7.6.6 rozważmy r > 0 takie, że B(p, r) ⊂ B(p, ε) oraz

∀x∈B(p,r)f ′(x) > 0.

Na podstawie twierdzenia 8.4.1 funkcja f jest rosnąca na B(p, r), a więc odwracalna na zbiorze B(p, r). Z twierdzeniao pochodnej funkcji odwrotnej (wniosek 8.2.1) w dowolnym punkcie kuli B(p, r) funkcja f−1 jest różniczkowalna (tzn.f−1 ∈ D1(f(B(p, r)))) oraz

∀x∈B(p,r)(f−1)′(f(x)) =1

f ′(x).

Należy udowodnić, że funkcją (f−1)′ jest funkcją ciągłą na obrazie kuli B(p, r).

Niech y ∈ f(B(p, r)) i niech (yn) ⊂ f(B(p, r)) będzie dowolnym ciągiem punktów zbieżnym do y. Rozważmy ciąg (xn) taki,że f(xn) = yn. Ciąg ten jest wyznaczony jednoznacznie (funkcja f na tym zbiorze jest różnowartościowa). Dla x ∈ B(p, r)takiego, że f(x) = y mamy wtedy z założeń naszego twierdzenia

limn→∞(f−1)′(yn) = lim

n→∞

1f ′(xn)

=1

f ′(x)= (f−1)′(y).

Kończy to dowód na podstawie twierdzenia 7.2.1. 2

8.7 Reguła de l’Hospitala

Twierdzenie 8.7.1 Niech a > 0, f, g: ]0, a[→ R i f, g ∈ D1(]0, a[). Niech ponadto istnieje granica prawostronna ilorazu f′(x)g′(x)

w punkcie 0 oraz g′(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈]0, a[. Wtedy, jeżeli spełniony jest jeden z warunków(i) limx→0+

f(x) = 0 = limx→0+

g(x)

(ii) limx→0+

g(x) = ±∞,

to istnieje granica prawostronna ilorazu f(x)g(x) w punkcie 0 i jest równa granicy prawostronnej ilorazuf ′(x)g′(x) w punkcie 0.

Szkic dowodu.

Niech

limx→0

f ′(x)g′(x)

= α ∈ R.

Rozważmy dowolną kulę o środku w punkcie α i dodatnim promieniu r (zamiast kuli można rozważać dowolne otoczeniepunktu α). Aby udowodnić tezę wystarczy, na podstawie uwagi 7.1.4, udowodnić, że istnieje kula o dodatnim promieniu δtaka, że fg ((B(0, δ) \ {0})∩]0, a[) ⊂ B(α, r). W naszym przypadku należy pokazać

f

g(]0,min{δ, a}[) ⊂ B(α, r).

Niech δ będzie dodatnia i takie, żef ′

g′(]0,min{δ, a}[) ⊂ B(α, r).

Bez zmniejszania ogólności załóżmy, że min{δ, a} = δ i niech x ∈]0, δ[ będzie dowolny.Przypadek I

Załóżmy, że limx→0+

f(x) = 0 = limx→0+

g(x). Rozszerzamy nasze funkcje f i g do funkcji określonych na przedziale [0, a[ biorąc

f(0) = 0 = g(0). Otrzymujemy w ten sposób funkcje klasy C([0, a[). Zauważmy, że g(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈]0, a[. Gdybytak nie było, tzn. istniałby punkt x ∈]0, a[ taki, że g(x) = 0. Wtedy na podstawie twierdzenia Rolle’a (twierdzenie 8.3.1)istniałby punkt c ∈]0, x[ taki, że g′(c) = 0, co przeczy założeniu.


Zastosujmy teraz twierdzenie Cauchy’ego o wartości średniej (twierdzenie 8.3.2) do przedziału [0, x] i rozszerzonych funkcjif i g. Otrzymujemy wtedy

(g(x)− g(0))f ′(c) = (f(x)− f(0))g′(c)

dla pewnego c ∈]0, x[. Ostatecznie otrzymujemy

f(x)g(x)

=f ′(c)g′(c)

∈ B(α, r),

gdyż f(0) = 0 = g(0) oraz f′(c)g′(c) ∈ B(α, r)

Przypadek IIZałóżmy, że lim

x→0+g(x) = ±∞. Wtedy lim

x→0+|g(x)| = +∞. Załóżmy ponadto, że g(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈]0, a[, gdyż

funkcja g jest ciągła na ]0, a[, jako różniczkowalna na tym przedziale, i ponadto granica w zerze jest nieskończonością.Rozważmy przypadki:Przypadek II A. α = 0.Przypadek II B. α ∈ R.Przypadek II C. α = +∞.Przypadek II D. α = −∞.Ad. II A. Niech δ będzie takie, że δ ∈]0, a[ oraz dla dowolnego x ∈]0, δ[ z warunku Cauchy’ego (warunek (7.1)) zachodzi∣∣∣∣f ′(x)g′(x)

∣∣∣∣ < r

3.

Zauważmy, że g(x) 6= g(δ), gdyż gdyby tak nie było, to z twierdzenia Rolle’a zastosowanego do przedział [x, δ] i funkcji gmielibyśmy g′(c) = 0 dla pewnego c ∈]x, δ[, co przeczy założeniu.Ponadto dla dowolnego x ∈]0, δ[ mamy

f(x)g(x)

=f(δ)− f(x)g(δ)− g(x)

(1− g(δ)

g(x)

)+f(δ)g(x)

. (8.11)

Na podstawie twierdzenia Cauchy’ego do funkcji f, g i przedziału [x, δ] istnieje c ∈]x, δ[ taka, że

f(x)g(x)

=f ′(c)g′(c)

(1− g(δ)

g(x)

)+f(δ)g(x)

, (8.12)

a wtedy dla dowolnego x ∈]0, δ[ mamy ∣∣∣∣f(x)g(x)

∣∣∣∣ ¬ r

3

(1 +

∣∣∣∣ g(δ)g(x)

∣∣∣∣)+ ∣∣∣∣f(δ)g(x)

∣∣∣∣ . (8.13)

Ponieważ limx→0+

|g(x)| = +∞, więc limx→0+

g(δ)g(x) = 0 oraz lim

x→0+f(δ)g(x) = 0. Istnieją więc δ1, δ2 ∈]0, δ[ takie, że

∀x∈]0,δ1[∣∣∣∣ g(δ)g(x)

∣∣∣∣ < 1 oraz ∀x∈]0,δ2[ ∣∣∣∣f(δ)g(x)

∣∣∣∣ < r

3.

Niech δ0 = min{δ1, δ2}. Ponieważ ]0, δ0[= (B(0, δ0)\{0})∩]0, a[, więc dla dowolnego x ∈]0, δ0[ mamy kontynuując nierówność(8.13) ∣∣∣∣f(x)g(x)

∣∣∣∣ ¬ r

3

(1 +

∣∣∣∣ g(δ)g(x)

∣∣∣∣)+ ∣∣∣∣f(δ)g(x)

∣∣∣∣ < r

3(1 + 1) +

r

3= r,

a stąd wynika, żef((B(0, δ0) \ {0})∩]0, a[) ⊂ B(0, r),

co kończy dowód.Ad. II B. Jeżeli lim

x→0+f ′(x)g′(x) = α, to 0 = lim

x→0+f ′(x)−αg′(x)g′(x) = lim

x→0+(f(x)−αg(x))′

g′(x) . Na podstawie punktu II A otrzymujemy

limx→0+

f(x)−αg(x)g(x) = 0, co jest równoważne tezie.

Ad. II C. W tym przypadku kula bez środka B(+∞, r) \ {+∞} w E1 jest na prostej euklidesowej E1 pewną półprostą]M,+∞[. Rozważmy δ ∈]0, a[ takie, że dla dowolnego x ∈]0, δ[ mamy

f ′(x)g′(x)

> 2(M + 1).


Podobnie jak w punkcie II A istnieją δ1, δ2 ∈]0, δ[ takie, że

∀x∈]0,δ1[∣∣∣∣ g(δ)g(x)

∣∣∣∣ < 12 oraz ∀x∈]0,δ2[∣∣∣∣f(δ)g(x)

∣∣∣∣ < 1.Niech δ0 = min{δ1, δ2}. Wtedy dla dowolnego x ∈]0, δ0[ z równości (8.11) analogicznie jak w punkcie II A otrzymujemyrówność (8.12), którą kontynuujemy następująco

f(x)g(x)

> 2(M + 1)(1− 12)− 1 =M.

Oznacza to, że f(x)g(x) ∈]M,+∞[ dla dowolnego x ∈]0, δ0[.Ad. II D. Niech F = −f . Wtedy F ′ = −f ′ oraz lim

x→0F ′(x)g′(x) = − limx→0

f ′(x)g′(x) = +∞. Wtedy na podstawie punktu II C

otrzymujemy tezę. 2

Twierdzenie 8.7.2 (Reguła de l’Hospitala – I) Niech −∞ ¬ a < b ¬ +∞ oraz f, g: ]a, b[→ R i f, g ∈ D1(]a, b[). Niechponadto istnieje granica ilorazu f

′(x)g′(x) w punkcie a oraz g

′(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈]a, b[. Wtedy, jeżeli spełniony jest jeden zwarunków(i) limx→a

f(x) = 0 = limx→a

g(x)

(ii) limx→a

g(x) = ±∞,

to istnieje granica ilorazu f(x)g(x) w punkcie a i jest równa granicy ilorazuf ′(x)g′(x) w punkcie a.

Twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli rozważamy granicę w punkcie b.

Szkic dowodu.Zauważmy, że można ograniczyć sie do rozpatrywania przypadku a skończonego, a dokładniej sprowadzimy do do przy-

padku a = 0. Gdyby a = −∞, to wprowadzając funkcje pomocnicze φ(t) = f(− 1t)i ψ(t) = g(− 1t ) widzimy,

limx→−∞

f ′(x)g′(x)

= limt→0+

φ′(t)ψ′(t)

.

Jeżeli a jest skończone, to wprowadzając funkcje pomocnicze ξ(t) = f(t+ a) i ρ(t) = g(t+ a) widzimy,

limx→a+

f ′(x)g′(x)

= limt→0+

ξ′(t)ρ′(t)

.

W przypadku granicy w punkcie b analogiczne przekształcenia dadzą ten sam wynik. 2

Uwaga 8.7.1 Z reguły de l’Hospitala korzystamy licząc granice następujących wyrażeń (symboli) nieoznaczonych 00 ,∞∞ , 0·∞,

∞−∞,1 00, ∞0, 1∞.

Uwaga 8.7.2 Wyrażenia nieoznaczone 00 ,∞∞ liczymy bezpośrednio z twierdzenia 8.7.2.

Uwaga 8.7.3 Wyrażenie nieoznaczone 0 ·∞ odpowiadające iloczynowi dwóch funkcji przekształcamy do ilorazu jednej funkcjii odwrotności drugiej.

Uwaga 8.7.4 Wyrażenie nieoznaczone ∞−∞ odpowiadające wyrażeniu

f(x)− g(x)

przekształcamy do postaci1g(x) −

1f(x)

1f(x)g(x)

,

która odpowiada symbolowi nieoznaczonemu 00 .

Uwaga 8.7.5 Symbole nieoznaczone 00, ∞0, 1∞ odpowiadające wyrażeniu

(f(x))g(x)

przekształcamy do postacieg(x) ln f(x). (8.14)

Korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej należy policzyć granicę symbolu nieoznaczonego 0 · ∞, a następnie wstawićobliczoną wartość w miejsce wykładnika w wyrażaniu (8.14).1Obie nieskończoności muszą mieć ten sam znak.


8.8 Pochodne wyższych rzędów

Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem prostej euklidesowej i niech A będzie niepustym zbiorem (przedziałem, sumąprzedziałów bądź zbiorem otwartym). Niech ponadto f :P → R albo f :A→ R.

Definicja 8.8.1 (Definicja rekurencyjna) Niech p ∈ P . Mówimy, że funkcja f jest n - krotnie różniczkowalna w punkciep wtedy i tylko wtedy, gdy f jest n− 1 - krotnie różniczkowalna w punkcie p oraz f (n−1) jest różniczkowalna w punkcie p.Mówimy, że funkcja f określona na zbiorze A jest n - krotnie różniczkowalna na zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy w

każdym punkcie tego zbioru jest n - krotnie różniczkowalna. Oznaczamy zbiór funkcji n - krotnie różniczkowalnych przezDn(A).Mówimy, że funkcja f określona na zbiorze A jest n - krotnie różniczkowalna w sposób ciągły na zbiorze A wtedy i tylko

wtedy, gdy jest n - krotnie różniczkowalna na zbiorze A oraz jej n - ta pochodna jest funkcją ciągłą. Oznaczamy zbiór funkcjin - krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły przez Cn(A).

Uwaga 8.8.1 Zachodzą następujące inkluzje Cn+1(A) ⊂ Dn+1(A) ⊂ Dn(A) ⊂ Cn−1(A) oraz Cn+1(A) ⊂ Cn(A). Przy czymsą to zawierania właściwe.

Przykład 8.8.1 Niech n ∈ N. Wtedy funkcja określona wzorem

R 3 x 7→ f(x) = sign(x) · xn

n!(8.15)

spełnia warunki f ∈ Cn−1(R) oraz f 6∈ Dn(R).

Przykład 8.8.2 Dla funkcji zadanej wzorem

f(x) ={0 dla x = 0x2 sin 1x dla x 6= 0

(8.16)

istnieje pierwsza pochodna postaci

f ′(x) ={0 dla x = 02x sin 1x − cos

1x dla x 6= 0

, (8.17)

która nie jest funkcją ciągłą.I ogólniej funkcja dla dowolnego n ∈ N zadana wzorem

f(x) ={0 dla x = 0x2n sin 1x dla x 6= 0

(8.18)

jest klasy Dn(R) oraz nie jest klasy Cn(R).

Definicja 8.8.2

D∞(A) def=∞⋂n=1

Dn(A) (8.19)

C∞(A) def=∞⋂n=1

Cn(A) (8.20)

Wniosek 8.8.1 D∞(A) = C∞(A)

Szkic dowodu.Wynika to z uwagi 8.8.1. 2

Twierdzenie 8.8.1 (Wzór Leibniza) Niech funkcje f i g będą n - krotnie różniczkowalne w punkcie p. Wówczas

(f · g)(n)(p) =n∑k=0

(n

k

)f (k)(p) · g(n−k)(p). (8.21)

Przyjmujemy, że f (0)(p) ozn= f(p).


Szkic dowodu. Dowód indukcyjnyDla n = 1 jest to twierdzenie 8.2.1.W kroku indukcyjnym mamy

(f · g)(n+1)(p) =((f · g)(n)(p)

)′=

(n∑k=0

(n

k

)f (k)(p) · g(n−k)(p)

)′

=n∑k=0

(n

k

)(f (k+1)(p) · g(n−k)(p) + f (k)(p) · g(n−k+1)(p)

)=

n∑k=0

(n

k

)f (k+1)(p) · g(n−k)(p) +

n∑k=0

(n

k

)f (k)(p) · g(n−k+1)(p)

=n∑k=0

(n

k

)f (k+1)(p) · g((n+1)−(k+1))(p) +

n∑k=1

(n

k

)f (k)(p) · g(n+1−k)(p) + f (0)(p) · g(n+1)(p)

=n+1∑l=1

(n

l − 1

)f (l)(p) · g(n+1−l)(p) +

n∑k=1

(n

k

)f (k)(p) · g(n+1−k)(p) + f (0)(p) · g(n+1)(p)

= f (n+1)(p) · g(0)(p) +n∑l=1

(n

l − 1

)f (l)(p) · g(n+1−l)(p) +

n∑k=1

(n

k

)f (k)(p) · g(n+1−k)(p) + f (0)(p) · g(n+1)(p)

= f (0)(p) · g(n+1)(p) +n∑k=1

((n

k − 1

)+(n

k

))f (k)(p) · g(n+1−k)(p) + f (n+1)(p) · g(0)(p)

= f (0)(p) · g(n+1)(p) +n∑k=1

(n+ 1k

)f (k)(p) · g(n+1−k)(p) + f (n+1)(p) · g(0)(p)

=n+1∑k=0

(n+ 1k

)f (k)(p) · g(n+1−k)(p).

2

8.9 Wzór Taylora i jego zastosowania

Niech A będzie niepustym zbiorem (przedziałem, sumą przedziałów bądź zbiorem otwartym) i niech f :A→ R.

Twierdzenie 8.9.1 (Taylora) Niech A ⊂ R, x ∈ A oraz f ∈ Dn+1(A). Załóżmy, że dla pewnego dodatniego h odcinek[x, x+ h] ⊂ A. Wówczas istnieje liczba Θ ∈]0, 1[ taka, że

f(x+ h) = f(x) +11!f ′(x)h+

11!f (2)(x)h2 + . . .+

1n!f (n)(x)hn +

1(n+ 1)!

f (n+1)(x+Θh)hn+1 (8.22)

Szkic dowodu.Rozważmy dwie funkcje pomocnicze

[0, 1] 3 t 7→ F (t) def= f(x+ th)−(f(x) +

11!f ′(x)th+ . . .+

1n!f ′(x)hntn

)[0, 1] 3 t 7→ G(t) def= hn+1tn+1

Funkcja G ∈ C∞([0, 1]) jako wielomian. Natomiast dla funkcji F mamy F ∈ Dn+1([0, 1]) ponieważ składnik f(x + th)zawierający t można różniczkować dokładnie n+ 1 - razy. Zauważmy ponadto, że dla k = 1, 2, . . . , n mamy

F (k)(t) = f (k)(x+ th)hk −(

1(k − k)!

f (k)(x)hk + . . .+1

(n− k)!f ′(x)hntn−k

),

G(k)(t) =(n+ 1)!(n+ 1− k)!

hn+1tn+1−k.

Tak więc

F (0) = F ′(0) = . . . = F (n)(0) = 0 oraz G(0) = G′(0) = . . . = G(n)(0) = 0.


Dla funkcji F i G spełnione są założenia twierdzenia Cauchy’ego o wartości średniej (twierdzenie 8.3.2) na przedziale [0, 1].Rozważmy wtedy Θ1 ∈]0, 1[ takie, że

F (1)G(1)

=F (1)− F (0)G(1)−G(0)

=F ′(Θ1)G′(Θ1)

,

aleF ′(Θ1)G′(Θ1)

=F ′(Θ1)− F ′(0)G′(Θ1)−G′(0)

.

Biorąc teraz przedział [0,Θ1] ponownie stosujemy twierdzenie 8.3.2. Kontynuując tę procedura n + 1 razy otrzymamy ciąg1 > Θ1 > Θ2 > . . .Θn+1 > 0 taki, że

F (1)G(1)

=F ′(Θ1)G′(Θ1)

=F (2)(Θ2)G(2)(Θ2)

= . . . =F (n+1)(Θn+1)G(n+1)(Θn+1)

=f (n+1)(x+Θn+1h)hn+1

hn+1.

Co po uproszeniu daje wzór Taylora. 2

Uwaga 8.9.1 Z dowodu wynika, że twierdzenie Taylora pozostaje prawdziwe, jeśli zamiast dodatniego h weźmiemy h ujemne,a zamiast przedziału [x, x + h] będziemy rozważać przedział [x + h, x]. W konsekwencji można je formułować dla odcinka[x− h1, x+ h2], gdzie h1, h2 ∈ R+.

Uwaga 8.9.2 Dla n = 0 otrzymujemy twierdzenie Lagrange’a (twierdzenie 8.3.3).

Uwaga 8.9.3 Ostatni składnik sumy we wzorze Taylora tj. wyraz 1(n+1)!f

(n+1)(x+Θh)hn+1 nazywamy n-tą resztą w postaciLagrange’a.

Wniosek 8.9.1 (Maclaurina) Niech A ⊂ R, 0 ∈ A oraz f ∈ Dn+1(A). Załóżmy, że dla pewnego dodatniego x odcinek[0, x] ⊂ A. Wówczas istnieje liczba Θ ∈]0, 1[ taka, że

f(x) = f(0) +11!f ′(0)x+

11!f (2)(0)x2 + . . .+

1n!f (n)(0)xn +

1(n+ 1)!

f (n+1)(Θx)xn+1 (8.23)

Szkic dowodu.

Wystarczy zastosować twierdzenie 8.9.1 dla punktu 0. 2

Twierdzenie 8.9.2 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego – II) Niech A ⊂ R, p ∈ A oraz f :A →R. Niech ponadto istnieje R 3 h > 0 takie, że K(p, h) ⊂ A, f ∈ Cn(K(p, h)) oraz f ′(p) = f (2)(p) = . . . = f (n−1)(p) = 0 if (n)(p) 6= 0. Wówczas(i) jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja nie posiada w punkcie p ekstremum lokalnego;(ii) jeśli n jest liczba parzystą, to w funkcja f w punkcie p ma ekstremum lokalne. Ponadto jeśli f (n)(p) > 0, to w punkcie

p funkcja f ma minimum lokalne, a gdy f (n)(p) < 0, to maksimum lokalne.

Szkic dowodu.

Ponieważ f (n)(p) 6= 0 oraz f (n) jest funkcją ciągłą na ]p − h, p + h[ więc istnieje kula otwarta o dodatnim promieniu εi środku w punkcie p taka, że f (n) na tej kuli przyjmuje wartości niezerowe i identyczne ze znakiem f (n)(p) (na podstawietwierdzenia 7.6.6). Załóżmy, że f (n)(p) > 0. Wtedy na tej kuli funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Niech δ ∈]− ε, ε[.Ze wzoru Taylora mamy

f(p+ δ)− f(p) = 1n!f (n)(p+Θδ)δn. (8.24)

Jeżeli teraz n jest parzyste, to δn nie zależy od znaku δ. I prawa strona we wzorze (8.24) jest nieujemna, więc w punkcief(p) jest minimum lokalne.

Gdy f (n)(p) < 0 to powyższe rozumowanie daje w punkcie p dla funkcji f maksimum lokalne.

Niech teraz n będzie nieparzyste i f (n)(p) > 0. Wtedy dla prawej strony we wzorze (8.24) mamy

1n!f (n)(p+Θδ)δn

{> 0 dla δ > 0< 0 dla δ < 0

.

Nie ma więc ekstremum lokalnego w punkcie p. 2


Twierdzenie 8.9.3 (Reguła de l’Hospitala – II) Niech h > 0 oraz f, g ∈ Cn(]p−h, p+h[). Załóżmy, że istnieją k, l ∈ N,k ¬ n i l ¬ n takie, że(i) f(p) = f ′(p) = . . . = f (k−1)(p) = 0 i f (k)(p) 6= 0,(ii) g(p) = g′(p) = . . . = g(l−1)(p) = 0 i g(l)(p) 6= 0.Wówczas

limx→p

f(x)g(x)

=

0 dla k > lf(k)(p)g(k)(p) dla k = l∞ dla k < l oraz l − k ∈ 2Nnie istnieje dla k < l oraz l − k /∈ 2N

. (8.25)

Szkic dowodu.

Niech x ∈]p− h, p+ h[. Wtedy istnieją Θ1,Θ2 ∈]0, 1[ takie, że

f(x) =1k!f (k)(p+Θ1(x− p))(x− p)k,

g(x) =1l!g(l)(p+Θ2(x− p))(x− p)l.

Mamy więc

limx→p

f(x)g(x)

= limx→p

1k!f(k)(p+Θ1(x− p))

1l!g(l)(p+Θ2(x− p))

· (x− p)k−l.

Zauważmy, że granica pierwszego czynnika istnieje i jest równa z dokładnością do stałej f(k)(p)g(k)(p) . Tak więc granica skończona

iloczynu będzie istniała w dwóch przypadkach: k = l oraz k > l. Granica nieskończona istnieje, gdy wykładnik k − l jestmniejszy od zera i jest liczbą parzystą. 2

8.10 Wklęsłość i wypukłość, a pochodna. Punkty przegięcia.

Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem prostej euklidesowej. Niech f :P → RSformułujemy wpierw odpowiednik twierdzenia o zachowywaniu znaku granic (wniosek 4.2.1).

Lemat 8.10.1 Niech p będzie punktem skupienia zbioru A, f, g:A → R. Jeżeli funkcje f i g posiadają w punkcie granicęoraz istnieje sąsiedztwo Sp punktu p takie, że f(x) g(x) dla dowolnego x ∈ A ∩ Sp, to lim

x→pf(x) lim

x→pg(x).

Szkic dowodu.

Wynika bezpośrednio z wniosku 4.2.1 oraz warunku Heinego granicy funkcji w punkcie (warunek 7.2). 2

Twierdzenie 8.10.1 Niech f ∈ D1(P ). Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy f ′ jest niemalejącana przedziale P .

Szkic dowodu.

(Konieczność) Niech x1, x2 ∈ P będą dowolnymi punkami przedziału P . Załóżmy, że x1 < x2. Rozważmy funkcję fograniczoną do przedziału [x1, x2]. Z wypukłości funkcji f mamy nierówność (3.39)

∀xx1 < x < x2 ⇒f(x)− f(x1)

x− x1¬ f(x2)− f(x)

x2 − x,

a z niej na podstawie lematu 8.10.1 nierówności

f ′(x1) = limx→x+1

f(x)− f(x1)x− x1

¬ limx→x+1

f(x2)− f(x)x2 − x

=f(x2)− f(x1)

x2 − x1,

f ′(x2) = limx→x−2

f(x2)− f(x)x2 − x

limx→x+2

f(x)− f(x1)x− x1

=f(x2)− f(x1)

x2 − x1.

Stąd

f ′(x1) ¬ f ′(x2).


(Dostateczność) Niech x1, x2, x ∈ P będą dowolnymi punktami. Załóżmy, że x1 < x < x2. Dla funkcji f spełnione sązałożenia twierdzenia Lagrange’a (twierdzenie 8.3.3) na odcinkach [x1, x] oraz [x, x2]. Istnieją więc ξ1 ∈]x1, x[ oraz ξ2 ∈]x, x2[takie, że

f(x)− f(x1)x− x1

= f ′(ξ1), (8.26)

f(x2)− f(x)x2 − x

= f ′(ξ2). (8.27)

Ponieważ ξ1, ξ2, więc z monotoniczności pochodnej mamy f ′(ξ1) ¬ f ′(ξ2). Co łącznie z równościami (8.26) i (8.27) napodstawie twierdzenia 3.3.2 kończy dowód. 2

Wniosek 8.10.1 Niech f ∈ D2(P ). Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy f (2)(x) 0 dla dowolnegopunktu x z przedziału P.

Szkic dowodu.

Wystarczy zastosować twierdzenia 8.4.1, 8.4.2 oraz twierdzenie 8.10.1. 2

Definicja 8.10.1 Niech punkt p będzie punktem wewnętrznym przedziału P. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie p punktprzegięcia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje δ > 0 taka, że(i) K(p, δ) ⊆ P(ii) funkcjami wypukłymi są funkcje f na ]p− δ, p[ i −f na ]p, p+ δ[, bądź funkcje f na ]p, p+ δ[ i −f na ]p− δ, p[.

Uwaga 8.10.1 Zauważmy, że zgodnie z definicją punktu przegięcia, funkcja nie musi być ciągła w punkcie przegięcia.

Twierdzenie 8.10.2 (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Niech p ∈ P , f ∈ D1(K(p, δ)) dla pewnegododatniego δ takiego, że K(p, δ) ⊂ P . Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie p i punkt p jest punktemprzegięcia funkcji f , to wtedy f (2)(p) = 0.

Szkic dowodu. Niech ξ > 0 będzie taki, że K(p, ξ) ⊆ P oraz funkcjami wypukłymi są funkcje f na ]p − ξ, p[ i −f na]p, p+ ξ[, bądź funkcje f na ]p, p+ ξ[ i −f na ]p− ξ, p[.Niech h = min{δ, ξ}. Załóżmy, że funkcja f jest wypukła na odcinku ]p − h, p[, a funkcja −f jest wypukła na odcinku

]p, p+h[. Wtedy z twierdzenia 8.10.1 mamy, że f ′ jest niemalejąca na ]p−h, p[ oraz f ′ jest nierosnąca na ]p, p+h[ (bo (−f)′

jest na tym odcinku niemalejąca). Mamy wtedy

f ′(p+ h)− f ′(p)h

{¬ 0 dla h > 0 0 dla h < 0

.

Ponieważ granicy przy h zbiegającym do zera istnieje, gdyż funkcja posiada druga pochodna w punkcie p, więc musi być onarówna zeru. Gdy f jest wypukła na ]p, p+ h[ i −f jest wypukła na ]p− h, p[ dowodzimy analogicznie. 2

Twierdzenie 8.10.3 (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia – I) Niech dany będzie punkt p ∈ P . Jeżeliistnieje δ > 0 takie, że K(p, δ) ⊂ P i f ∈ D2(K(p, δ) \ {p}) oraz spełniony jest jeden warunków(i) f (2)(x) > 0 dla x ∈]p− δ, p[ i f (2)(x) < 0 dla x ∈]p, p+ δ[(ii) f (2)(x) < 0 dla x ∈]p− δ, p[ i f (2)(x) > 0 dla x ∈]p, p+ δ[,to funkcja f ma w p punkt przegięcia.

Szkic dowodu.

Rozważmy przypadek (i) (dowód w drugim przypadku jest identyczny). Wtedy na podstawie wniosku 8.10.1 mamy, żefunkcja f jest wypukła na ]p− δ, p[, a funkcja −f na ]p, p+ δ[. Ponieważ K(p, δ) ⊂ P , a więc spełnione są warunki definicjipunktu przegięcia. 2

Twierdzenie 8.10.4 (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia – II) Niech p ∈ P . Niech ponadto istniejeR 3 h > 0 takie, że K(p, h) ⊂ P , f ∈ Cn(K(p, h)), gdzie n 3 oraz f ′(p) = f (2)(p) = . . . = f (n−1)(p) = 0 i f (n)(p) 6= 0.Wówczas jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja posiada w punkcie p punkt przegięcia.


Szkic dowodu.Ponieważ f (n)(p) 6= 0 oraz f (n) jest funkcją ciągłą na ]p − h, p + h[ więc istnieje kula otwarta o dodatnim promieniu ε

i środku w punkcie p taka, że f (n) na tej kuli przyjmuje wartości niezerowe i identyczne ze znakiem f (n)(p) (na podstawietwierdzenia 7.6.6). Załóżmy, że f (n)(p) > 0. Wtedy na tej kuli funkcja f (n) przyjmuje wartości dodatnie. Niech δ ∈]− ε, ε[.Zastosujmy wzór Taylora dla drugiej pochodnej. Mamy

f (2)(p+ δ) = f (2)(p+ δ)− f (2)(p) = 1(n− 2)!

f (n)(p+Θδ)δn−2. (8.28)

Jeżeli teraz n jest nieparzyste, to δn−2 zależy od znaku δ. I prawa strona we wzorze (8.28) jest ujemna dla δ ujemnej idodatnia dla δ dodatniej. Stąd na podstawie twierdzenia 8.10.3 funkcja f ma w punkcie p punkt przegięcia. 2

Rozdział 9

Całka nieoznaczona

9.1 Podstawowe pojęcia i wzory

Niech P będzie przedziałem niezdegenerowanym tzn. nie redukującym się do punktu. Niech F,G, f :P → R oraz F,G ∈ D1(P )i f ∈ C(P ).

Definicja 9.1.1 Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnegox ∈ P zachodzi równość F ′(x) = f(x).

Twierdzenie 9.1.1 Niech F i G będą funkcjami pierwotnymi funkcji f na przedziale P . Wtedy istnieje C ∈ R taka, że dladowolnego x ∈ P zachodzi równość F (x)−G(x) = C.

Szkic dowodu.Mamy F ′ = f i G′ = f , więc (F −G)′ = 0 na przedziale P . Stosując twierdzenie 8.4.1 otrzymujemy tezę. 2

Definicja 9.1.2 Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale P nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych na przedzialeP funkcji f . Piszemy wówczas ∫

f(x)dx = F (x) + C, gdzie C ∈ R ∧ ∀x∈PF ′(x) = f(x) (9.1)

∫f(x)dx Założenia∫xαdx = 1

α+1αxα+1 + C α 6= −1 ∧ x ∈ R+∫ 1

xdx = lnx+ C x ∈ R+∫exdx = ex + C∫axdx = ax

ln a + C a ∈ R+ \ {1}∫sinxdx = − cosx+ C∫cosxdx = sinx+ C∫ 1cos2 xdx = tg x+ C x 6= π2 + kπ ∧ k ∈ Z∫ 1sin2 xdx = − ctg x+ C x 6= kπ ∧ k ∈ Z∫ 1√1−x2 dx = arc sinx+ C Df =]− 1, 1[∫ 1√1−x2 dx = − arc cosx+ C Df =]− 1, 1[∫ 11+x2 dx = arctg x+ C∫ 11+x2 dx = − arcctg x+ C

Tabela 9.1: Funkcje elementarne i ich funkcje pierwotne.

Twierdzenie 9.1.2 Niech f, g ∈ C(P ) oraz α, β ∈ R. Wówczas∫(αf(x) + βg(x))dx = α

∫f(x)dx+ β

∫g(x)dx (9.2)

100


Szkic dowodu.

Wystarczy zastosować twierdzenie 8.2.1(i). 2

Twierdzenie 9.1.3 (Całkowanie przez części) Niech f, g ∈ C1(P ). Wówczas∫f(x) · g′(x)dx = f(x) · g(x)−

∫f ′(x) · g(x)dx. (9.3)

Szkic dowodu.

Wystarczy zastosować twierdzenie 8.2.1(ii). 2

Twierdzenie 9.1.4 (Całkowanie przez podstawianie) Niech A będzie niezdegenerowanym przedziałem φ:A→ P taką,że φ ∈ C1(A) i dla dowolnego t ∈ A zachodzi φ′(t) 6= 0. Niech ponadto f ∈ C(P ). Wówczas∫

f(x)dx =∫f(φ(t)) · φ′(t)dt (9.4)

(równość zachodzi na przedziale A).

Szkic dowodu.


Przykład 9.1.1 Mamy∫xexdx =

∫(ex)′xdx = exx−

∫ex(x)′dx = xex −

∫exdx = xex − ex + c.

Przykład 9.1.2 Mamy∫xex

2dx = 12

∫(ex

2)′dx = 12e

x2 + c.

9.2 Całkowanie funkcji wymiernych

Na początku tego paragrafu przypomnimy twierdzenia o wielomianach z algebry liniowej.

Twierdzenie 9.2.1 (Zasadnicze twierdzenie algebry) Niech Wn(x) = a0 + a1x + . . . + anxn będzie wielomianem owspółczynnikach rzeczywistych wtedy wielomian W (x) można jednoznacznie przedstawić w postaci

Wn(x) = an(x−A1)k1 · . . . · (x−Am)km ·[(x−B1)2 + C1

]l1 · . . . · [(x−Br)2 + Cr]lr , (9.5)

gdzie k1 + . . . + km + 2 · (l1 + . . . + lr) = n, k1, . . . , km, l1, . . . , lr są liczbami naturalnymi, At, Bs ∈ R oraz Cs są dodatnimiliczbami rzeczywistymi dla s = 1, . . . , r i t = 1, . . . ,m.

Szkic dowodu.

Dowód tego twierdzenia jest podawany na wykładzie z Algebry liniowej. 2

Twierdzenie 9.2.2 Niech dana będzie funkcja wymierna

f(x) =Vm(x)Wn(x)

,

gdzie wielomian Wn(x) ma rozkład (9.5). Wtedy f(x) rozkłada się na ułamki proste postaci

f(x) =1an

[α11

x−A1+ . . .+

α1k1(x−A1)k1

+ . . .+αm1

x−Am+ . . .+

αmk1(x−Am)km

+ (9.6)

+β11x+ γ11(x−B1)2 + C1

+ . . .+β1l1x+ γ1l1

((x−B1)2 + C1)l1+ . . .+

βr1x+ γr1(x−Br)2 + Cr

+ . . .+βrlrx+ γrlr

((x−Br)2 + Cr)lr

]Szkic dowodu.

Dowód tego twierdzenia jest podawany na wykładzie z Algebry liniowej. 2


Przykład 9.2.1 Niechx2 + 2x+ 6

(x− 1)(x− 2)(x− 4).

Wtedy na mocy twierdzenie 9.2.2 mamy

x2 + 2x+ 6(x− 1)(x− 2)(x− 4)

=A

x− 1+

B

x− 2+

C

x− 4.

Sprowadzając do wspólnego mianownika i porównując liczniki otrzymujemy

x2 + 2x+ 6 ≡ A(x− 2)(x− 4) +B(x− 1)(x− 4) + C(x− 1)(x− 2).

Wstawiając pierwiastki mianownika dostajemy rozwiązanieA = 3B = −7C = 5

.

Przykład 9.2.2 Niechx2 + 2x+ 6(x− 1)3(x− 2)

.


x2 + 2x+ 6(x− 1)3(x− 2)

=A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

(x− 1)3+

D

x− 2.

Analogicznie jak poprzednio otrzymujemy

x2 + 2x+ 6 ≡ A(x− 1)2(x− 2) +B(x− 1)(x− 2) + C(x− 2) +D(x− 1)3.

Wstawiając pierwiastki mianownika 1 i 2 dostajemy rozwiązanie{C = −9D = 14

.

Porównując współczynniki przy x3 i wyrazy wolne mamy{A+D = 0−2A+ 2B − 2C −D = 6

i ostatecznie {A = −14B = −13

.

Przykład 9.2.3 Niechx2 + 2x+ 6(x2 + 1)(x+ 2)

.


x2 + 2x+ 6(x2 + 1)(x+ 2)

=Ax+Bx2 + 1

+C

x+ 2.

Sprowadzając do wspólnego mianownika i porównując liczniki otrzymujemy

x2 + 2x+ 6 ≡ (Ax+B)(x+ 2) + C(x2 + 1).

Wstawiając wpierw pierwiastek rzeczywisty mianownika dostajemy rozwiązanie C = 65 . Wstawiają pierwiastek zespolony i,po porównaniu części rzeczywistej i urojonej otrzymujemy układ{

2A+B = 2−A+ 2B = 5

,

rozwiązaniem którego jest para liczb {A = − 15B = 125

.


Uwaga 9.2.1 Podobnie rozkładamy funkcję wymierną, kiedy w mianowniku występuje potęga nierozkładalnego trójmianukwadratowego.

Przykład 9.2.4 Niech k ∈ N oraz a 6= 0.∫1

(ax+ b)kdx =

{1|a| ln |ax+ b|+ c dla k = 11

|a|(1−k)1

(ax+b)k−1 + c dla k > 1.

Obliczając całkę dokonaliśmy podstawienia t = ax+ b.

Przykład 9.2.5 Niech k ∈ N. ∫1

x2 + 1dx = arctg x+ c.

Niech teraz k > 1

Ikdef=∫

1(x2 + 1)k

dx.

całkując przez części iloczyn funkcji 1 i 1(x2+1)k otrzymujemy zależność

Ik =x

(x2 + 1)2+ 2k(Ik − Ik+1),

a stąd

Ik+1 =12k

x

(x2 + 1)2− 2k − 12k

Ik.

9.3 Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Definicja 9.3.1 Funkcją wymierna R(x1, . . . , xn) zmiennych x1, . . . , xn nazywamy funkcję będącą ilorazem dwóch wielomia-nów zmiennych x1, . . . , xn.

Będziemy przez R oznaczać funkcję wymierną.

Lemat 9.3.1 Niech R(cosx, sinx, tg x). Wtedy podstawienie t = tg x2 przeprowadza do funkcji wymiernej zmiennej t. Mamyponadto wtedy

cosx = 1−t2

1+t2

sinx = 2t1+t2

tg x = 2t1−t2

dx = 21+t2 dt

(9.7)

Szkic dowodu.

Trzeba wykorzystać jedynkę trygonometryczną i wzory na funkcje trygonometryczne katów połówkowych. Dla cosxmamybowiem

cosx = cos(2x

2

)= cos2

x

2− sin2 x

2=cos2 x2 − sin

2 x2

1=cos2 x2 − sin

2 x2

cos2 x2 + sin2 x2

=1− tg2 x21 + tg2 x2

.

Podobnie otrzymujemy wzory na inne funkcje. 2

Lemat 9.3.2 Niech R(cos2 x, sin2 x, sinx cosx). Wtedy podstawienie t = tg x przeprowadza do funkcji wymiernej zmiennejt. Mamy ponadto wtedy

cos2 x = 11+t2

sin2 x = t2

1+t2

sinx cosx = t1+t2

dx = 11+t2 dt

(9.8)

Szkic dowodu.

Trzeba wykorzystać jedynkę trygonometryczną. 2


9.4 Całkowanie funkcji niewymiernych. Podstawienia Eulera

W paragrafie tym zajmiemy się całkowanie szczególnego typu funkcji niewymiernej, a mianowicie zawierającą jako niewy-mierność pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego.

Przykład 9.4.1 ∫1√1− x2

dx = arc sinx+ c.

Przykład 9.4.2 (Metoda współczynników nieoznaczonych) Niech Wn(x) będzie wielomianem stopnia n. Wtedy∫Wn(x)√

ax2 + bx+ c= Vn−1(x)

√ax2 + bx+ c+ λ

∫1√

ax2 + bx+ c,

gdzie λ i współczynniki wielomian Vn−1 są nieznane. Obliczamy je z zależności

Wn(x) = V ′n−1(x)(ax2 + bx+ c) + Vn−1(x)(ax+

b

2) + λ.

Rozważmy obecnie funkcję wymierną R(x,√ax2 + bx+ c), gdzie R jest funkcja wymierną dwóch zmiennych. Podamy dla

niej ogólne podstawienia Eulera.

Podstawienie Pozostałe dane√ax2 + bx+ c = t−

√ax x = t2−c

2√at+b√

ax2 + bx+ c =√at2+bt+

√ac

2√at+b

dx = 2√at2+bt+

√ac

(2√at+b)2 dt

Tabela 9.2: I Podstawienia Eulera (a > 0).

Można również stosować podstawienie√ax2 + bx+ c = t+

√ax.

Podstawienie Pozostałe dane√ax2 + bx+ c = xt+

√c x = 2

√at2−ba−t2√

ax2 + bx+ c =√ct2−bt+

√ca

a−t2

dx = 2√ct2−bt+

√ca

(a−t2)2 dt

Tabela 9.3: II Podstawienia Eulera (c > 0).

Można również stosować podstawienie√ax2 + bx+ c = xt−

√c.

Podstawienie Pozostałe dane√ax2 + bx+ c = t(x− λ) x = −aµ+λt

2

t2−a√ax2 + bx+ c = a(λ−µ)tt2−adx = 2a(µ−λ)t(t2−a)2 dt

Tabela 9.4: III Podstawienia Eulera (ax2 + bx+ c = a(x− λ)(x− µ) oraz λ 6= µ).

Rozdział 10

Całki właściwe Riemanna iRiemanna - Stieltjesa

10.1 Definicja całki Riemanna i Riemanna - Stieltjesa

Rozważać będziemy odcinek domknięty [a, b], gdzie a < b.

Definicja 10.1.1 Podziałem P odcinka [a, b] nazywamy skończony zbiór punktów x0, x1, . . . , xn uporządkowany przez relacjęniemniejszości i o własności

a = x0 ¬ x1 ¬ . . . ¬ xn = b. (10.1)

Zbiór wszystkich podziałów przedziału [a, b] będziemy oznaczać P([a, b]).

Definicja 10.1.2 Niech P = {x0, . . . , xn} ∈ P([a, b]). Wtedy

∆(P ) def= max1¬i¬n

∆xi, (10.2)

gdzie ∆xi = xi − xi−1, nazywamy średnicą podziału P .

Definicja 10.1.3 Niech P1, P2 ∈ P([a, b]). Mówimy, że podział P2 jest drobniejszy niż podział P1 wtedy i tylko wtedy, gdyP1 ⊆ P2 oraz dla dowolnych dwóch punktów xi i xj podziału P1 takich, że i 6= j oraz xi = xj istnieją dwa punkty x′s i x

′t

podziału P2 takie, że s 6= t i xi = x′s i xj = x′t.Piszemy wtedy

P1 v P2.

Uwaga 10.1.1 Warunek drugi ostatniej definicja można wysłowić następująco:Każdy punkt przedziału pojawiający się w podziale P1 k-krotnie musi pojawić się w podziale P2 co najmniej

k-krotnie.

Uwaga 10.1.2 Relacja ”podział drobniejszy niż” jest zwrotna i przechodnia. Jest więc porządkiem częściowym.

Lemat 10.1.1 Dla każdych dwóch podziałów istnieje podział drobniejszy od każdego z nich.

Szkic dowodu.Wystarczy rozważyć sumę dwóch podziałów tj. zbiór do którego wzięto każdy punkt tych dwóch podziałów, a następnie

wszystkie te punkty zostały uporządkowane. 2

Uwaga 10.1.3 Podział P odpowiadający sumie dwóch podziałów P1 i P2 po wcześniejszym uporządkowaniu punktów ozna-czamy P ozn= P1 t P2.

Rozważać będziemy ograniczoną funkcję f : [a, b] → R. Niech P = {x0, . . . , xn} ∈ P([a, b]) będzie ustalonym podziałem.Niech ponadto M def= sup

x∈[a,b]f(x), m def= inf

x∈[a,b]f(x) oraz Mi

def= supx∈[xi−1,xi]

f(x), midef= infx∈[xi−1,xi]

f(x) dla i = 1, . . . , n.

105


Definicja 10.1.4 Suma górna (Darboux) funkcji f odpowiadającą podziałowi P nazywamy liczbę U(f, P ) równąn∑i=1

Mi∆xi.

Suma dolną (Darboux) funkcji f odpowiadającą podziałowi P nazywamy liczbę L(f, P ) równąn∑i=1

mi∆xi.

Definicja 10.1.5 Całką górna Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy liczbę oznaczaną

b∫a

f(x)dx def= infP∈P([a,b])

U(f, P ). (10.3)

Całką dolną Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy liczbę oznaczaną

b∫a

f(x)dx def= supP∈P([a,b])

L(f, P ). (10.4)

Jeżeli całka górna i dolna Riemanna są sobie równe, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna naprzedziale [a, b] i piszemy f ∈ R([a, b]). Wspólną wartość tych całek oznaczamy∫ b

a

f(x)dx.

Niech dodatkowo α: [a, b]→ R będzie funkcja niemalejącą. Zdefiniujmy następujące pojęcia

∆αidef= α(xi)− α(xi−1) (10.5)

U(f, P, α) def=n∑i=1

Mi∆αi (10.6)

L(f, P, α) def=n∑i=1

mi∆αi, (10.7)

b∫a

fdα ≡b∫a

f(x)dα(x) def= infP∈P([a,b])

U(f, P, α) (10.8)

b∫a

fdα ≡b∫a

f(x)dα(x) def= supP∈P([a,b])

L(f, P, α). (10.9)

Obie całki nazywamy odpowiednio całką górną i dolną Riemanna - Stieltjesa funkcji f względem funkcji α na przedziale[a, b]. Jeżeli są one równe, to ich wspólną wartość nazywamy całką Riemanna - Stieltjesa (ewentualnie Stieltjesa) funkcji fwzględem funkcji α na przedziale [a, b] (piszemy f ∈ R(α, [a, b])) i oznaczamy ją∫ b

a

fdα.

Zauważmy, że całka Riemanna jest szczególnym przypadkiem całki Riemanna - Stieltjesa dla funkcji α =Id co zapisujemyR(Id, [a, b]) = R([a, b])

Lemat 10.1.2 Dla dowolnego podziału P zachodzą następujące nierówności

m(α(b)− α(a)) ¬ L(f, P, α) ¬ U(f, P, α) ¬M(α(b)− α(a)). (10.10)

Szkic dowodu.

Niech P = {x0, x1, . . . , xn}. Ponieważ m ¬ mi ¬ Mi ¬ M i ∆αi 0, więc m∆αi ¬ mi∆αi ¬ Mi∆αi ¬ M∆αi dla

i = 1, . . . n. Sumując względem i otrzymujemy tezę lematu, gdyżn∑i=1∆αi = α(b)− α(a). 2

Uwaga 10.1.4 Jeżeli P będzie dowolnym podziałam i x dowolnym punktem odcinka [a, b], to przez P t{x} będziemy oznaczaćpodział otrzymany poprzez dołączenie punktu x.


Twierdzenie 10.1.1 Jeżeli podział P2 jest drobniejszy niż podział P1, to

L(f, P1, α) ¬ L(f, P2, α) ¬ U(f, P2, α) ¬ U(f, P1, α). (10.11)

Szkic dowodu.

Niech P2 = P1 t {x}. Zakładając, że P1 = {x0, x1, . . . , xn} dla pewnego i mamy

P2 = {x0, x1, . . . , xi−1, x, xi, . . . , xn}.

Niech ponadto W1def= supx∈[xi−1,x

f(x), W2def= supx∈[x,xi]

f(x), w1def= infx∈[xi−1,x]

f(x), w2def= infx∈[x,xi]

f(x). Wtedy z własności kresów

mamy

L(f, P2, α)− L(f, P1, α) = (w1 −mi) [α(x)− α(xi−1)] + (w2 −mi) [α(xi)− α(x)] 0

oraz

U(f, P1, α)− U(f, P2, α) = (Mi −W1) [α(x)− α(xi−1)] + (Mi −W2) [α(xi)− α(x)] 0.

Kończy to dowód w tym przypadku.

Jeżeli mamy teraz dowolny podział P2 drobniejszy niż P1, to istnieje takie k naturalne i istnieją skończone ciągi punktówxl tego odcinaka i podziałów P l (l = 1, . . . , k) taki, że

P1, P1 = P1 t {x1}, P 2 = P 1 t {x2}, . . . , P k = P k−1 t {xk} = P2.

Stosując do każdych dwóch kolejnych podziałów to samo rozumowanie otrzymujemy tezę naszego twierdzenia. 2

Twierdzenie 10.1.2 Niech P1, P2 będą dowolnymi podziałami. Wtedy

L(f, P1, α) ¬ U(f, P2, α). (10.12)

Szkic dowodu.

Wystarczy zastosować twierdzenie 10.1.1 do podziału P1 t P2, który jest jednocześnie drobniejszego niż P1 i P2. 2

Wniosek 10.1.1 Zachodzi następująca nierówność

b∫a

fdα ¬b∫a

fdα. (10.13)

Szkic dowodu.

Wystarczy skorzystać z określenia całki Riemanna - Stieltjesa, nierówności (10.12) i własności kresów. 2

Twierdzenie 10.1.3 (Warunek konieczny i dostateczny całkowalności) f ∈ R(α, [a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy dladowolnego ε > 0 istnieje P ∈ P([a, b]) taki, że

U(f, P, α)− L(f, P, α) < ε. (10.14)

Szkic dowodu.

(Konieczność) Niech ε > 0. Istnieją takie podziały P1 i P2, że

U(f, P1, α)−b∫a

fdα <ε

2,

b∫a

fdα− L(f, P2, α) <ε

2.

Biorąc dowolny podział drobniejszy niż P1 i P2 np. P1 t P2, otrzymujemy dla niego te same nierówność, a ponieważ całkadolna i górna są sobie równe, to dodając stronami nierówności otrzymujemy tezę.


(Dostateczność) Z definicji całki Riemanna - Stieltjesa (własności kresów) mamy

∀P∈P([a,b])L((f, P, α) ¬b∫a

fdα ¬b∫a

fdα ¬ U(f, P, α).

Stąd dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej ε, jeżeli U(P, f, α)− L(P, f, α) < ε, to tym bardziej 0 ¬b∫a

fdα−b∫a

fdα < ε.

Przechodząc w granicy z ε do zera otrzymujemy tezę. 2

Twierdzenie 10.1.4 (i) Jeżeli nierówność (10.14) zachodzi dla ustalonej liczby dodatniej ε i pewnego podziału P , to zachodzidla podziału drobniejszego z tym samym ε.(ii) Jeżeli nierówność (10.14) zachodzi dla ustalonej liczby dodatniej ε i podziału P = {x0, x1, . . . , xn} oraz punkty si, ti

są dowolnymi punktami z odcinka [xi−1, xi] dla i = 1, . . . , n, to

n∑i=1

|f(si)− f(ti)|∆αi < ε.

(iii) Jeżeli f ∈ R(α, [a, b]) oraz nierówność (10.14) zachodzi dla liczby dodatniej ε i podziału P = {x0, x1, . . . , xn}, apunkty ti są dowolnymi punktami z odcinka [xi−1, xi] dla i = 1, . . . , n tego podziału, to∣∣∣∣∣∣

n∑i=1

f(ti)∆αi −b∫a

fdα

∣∣∣∣∣∣ < ε.

Szkic dowodu.Dowód (i). Wynika z nierówności (10.11).Dowód (ii). Wynika z faktu, że |f(si)− f(ti)| ¬Mi −mi, a więc mamy

n∑i=1

|f(si)− f(ti)|∆αi ¬ U(f, P, α)− L(U, f, α) < ε.

Dowód (iii). Ponieważ

L(f, P, α) ¬n∑i=1

f(ti)∆αi ¬ U(f, P, α),

L(f, P, α) ¬∫ ba

fdα ¬ U(f, P, α),

więc ∣∣∣∣∣∣n∑i=1

f(ti)∆αi −b∫a

fdα

∣∣∣∣∣∣ ¬ U(f, P, α)− L(U, f, α) < ε.

2

10.2 Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna - Stieltjesa

Niech dany będzie odcinek domknięty [a, b], gdzie a < b oraz ograniczona funkcja f : [a, b] → R i niemalejąca funkcjaα: [a, b]→ R.

Twierdzenie 10.2.1 Jeżeli f jest funkcją ciągła na odcinku [a, b], to f ∈ R(α, [a, b]).

Szkic dowodu.Mamy

1. f jest jednostajnie ciągła (twierdzenie 7.5.3), czyli ∀ε>0∃δ>0∀x,y∈[a,b]|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε;

2. α jest ograniczona (wniosek 7.5.1), więc spełniony jest również warunek ∀ε>0∃η>0 [α(b)− α(a)] η < ε.


Niech ε > 0. Rozważmy η > 0 o własnościach [α(b)− α(a)] η < ε. Rozważmy również δ > 0 takie, że ∀x,y∈[a,b]|x− y| < δ ⇒|f(x)− f(y)| < η. Bierzemy podział taki, że ∆xi < δ np. postaci xi = a+ i b−an , gdzie n =

[b−aδ

]+1 oraz i = 0, . . . , n. Wtedy

mamy n > b−aδ , więc i δ >

b−an = ∆xi. Wtedy Mi −mi < η dla i = 1, . . . , n. Stąd

U(f, P, α)− L(f, P, α) =n∑i=1

(Mi −mi)∆αi < ηn∑i=1

∆αi = η(α(b)− α(a)) < ε.

2

Wniosek 10.2.1 Funkcja stała jest całkowalna w sensie Riemanna - Stieltjesa na dowolnym odcinku domkniętym.

Szkic dowodu.Funkcja stała jest ciągła. 2

Twierdzenie 10.2.2 Jeżeli f jest monotoniczna na przedziale [a, b] i α jest ciągła, to f ∈ R(α, [a, b]).

Szkic dowodu.Mamy

1. α ma własność Darboux (twierdzenie 7.6.2), więc ∀n∈N∃P∈P∆αi = α(b)−α(a)n (dzielimy zbiór wartości funkcji α na n0równych części);

2. Niech f = |f(b)− f(a)|+ 1, α = α(b)− α(a) + 1.

Niech ε > 0. Niech n0 liczbę naturalną taką, że n0 =[αfε

]+ 1. Rozważmy dla tej liczby n0 podział P o własnościach

∆αi =α(b)−α(a)n0

dla i = 1, . . . , n0. Stąd mamy

U(f, P, α)− L(f, P, α) =n0∑i=1

(Mi −mi)∆αi =α(b)− α(a)

n0

n0∑i=1

(Mi −mi) =α(b)− α(a)

n0(M −m)

=α(b)− α(a)

n0|f(b)− f(a)| < (α(b)− α(a))ε

αf|f(b)− f(a)| < ε.

2

Twierdzenie 10.2.3 Niech f będzie funkcją ograniczoną i mającą tylko skończoną ilość punktów nieciągłości na przedziale[a, b] i niech α będzie ciągła w każdym z punktów, w których nieciągła jest funkcja f . Wtedy f ∈ R(α, [a, b]).

Szkic dowodu.Niech ε > 0. Niech E zbiorem punktów nieciągłości funkcji f . Jeżeli E = ∅, to teza wynika z twierdzenia 10.2.1. Niech

teraz E 6= ∅ i niech n = cardE. Załóżmy, że zbiór E został uporządkowany przez relacje niewiększy niż. Oznaczmy przezTozn= supx∈[a,b]

|f(x)| i α ozn= α(b)− α(a) + 1. Dla każdego xi ∈ E (i = 1, . . . , n) wybieramy punkty vi, wi o własnościach

1. vi < xi < wi;

2. α(wi)− α(xi) < ε8Tn i α(xi)− α(vi) <

ε8Tn (z ciągłości);

3. wi < vi+1 dla i = 1, . . . , n− 1.

Wtedy

n∑i=1

[α(wi)− α(vi)] <ε

4T,

∀1¬i<j¬n[vi, wi] ∩ [vj , wj ] = ∅.

Niech K = [a, b]−n⋃i=1]vi, wi[. K jest zwarty i funkcja f na K jest ciągła, a więc jednostajnie ciągła (twierdzenie 7.5.3). Stąd

weźmy δ > 0 takie, że∀x,y∈K |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε

2α.

Rozważmy podział P = {x0, x1, . . . , xm} o własnościach


1. vi, wi ∈ P dla 1 ¬ i ¬ n;

2. x ∈ P , to dla 1 ¬ i ¬ n mamy x 6∈]vi, wi[;

3. xl−1 6= vi ⇒ ∆xl < δ dla 1 ¬ l ¬ m i 1 ¬ i ¬ n (z własności Darboux).

Dla tego podziału mamy

1. Ml −ml ¬ 2T dla l = 1, . . . ,m;

2. Ml −ml ¬ ε2α o ile xl−1 6= vi dla i = 1, . . . , n i l = 1, . . . ,m.

Wtedy

U(f, P, α)− L(f, p, α) =

∑l:xl−1 6=vi

+∑

l:xl−1=vi

(Mi −mi)∆αi < ε

2α

∑l:xl−1 6=vi

∆αi + 2T∑

l:xl−1=vi

∆αi

<ε

2α

∑1¬l¬m

∆αi + 2Tε

4T<

ε

2α[α(b)− α(a)] + ε

2< ε.

2

Uwaga 10.2.1 Zwrócimy uwagę, że pozbycie się warunku na monotoniczność powoduje zmniejszenie się liczby punktównieciągłości, ponieważ funkcja monotoniczna ma co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości.

Twierdzenie 10.2.4 Niech f ∈ R(α, [a, b]) oraz niech dla dowolnego x ∈ [a, b] zachodzą oszacowania m ¬ f(x) ¬M . Niechponadto φ będzie funkcją ciągła na przedziale [m,M ] oraz niech h def= φ ◦ f na przedziale [a, b]. Wtedy h ∈ R(α, [a, b]).

Szkic dowodu.Niech ε > 0. Funkcja φ jest jednostajnie ciągła na odcinku [m,M ] (twierdzenie 7.5.3), więc rozważmy dodatnią liczbę δ

taką, że∀s,t∈[m,M ]|s− t| < δ ⇒ |φ(t)− φ(s)| < ε

α(b)− α(a) + 2K + 1, (10.15)

gdzie K def= supt∈[m,M ]

|φ(t)|. Zauważmy, że δ może być tak wybrana, aby było mniejsze niż εα(b)−α(a)+2K+1 . Rozważmy, na

podstawie twierdzenia 10.1.3, podział {x0, x1, . . . , xn} = P ∈ P([a, b]) taki, że

U(f, P, α)− L(f, P, α) < δ2.

Niech mi = infx∈[xi−1,xi]

f(x),Mi = supx∈[xi−1,xi]

f(x) oraz m?i = infx∈[xi−1,xi]

h(x),M?i = supx∈[xi−1,xi]

h(x). Niech {1, . . . , n} = A ∪

({1, . . . , n} \A), gdzie k ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy Mk −mk < δ. Jeżeli i ∈ A, to z warunku (10.15) mamy

M?i −m?i <ε

α(b)− α(a) + 2K + 1.

Niech B ozn= {1, . . . , n} \A. Jeżeli i ∈ B, to M?i −m?i ¬ 2K. Ponadto mamy

δ∑i∈B∆αi ¬

∑i∈B(Mi −mi)∆αi ¬

n∑i=1

(Mi −mi)∆αi < δ2.

Stąd∑i∈B∆αi < δ. Ostatecznie mamy

U(h, P, α)− L(h, P, α) =∑i∈A(M?i −m?i )∆αi +

∑i∈B(M?i −m?i )∆αi ¬

∑i∈A

ε

α(b)− α(a) + 2K + 1∆αi +

∑i∈B2K∆αi

¬ ε

α(b)− α(a) + 2K + 1

n∑i=1

∆αi + 2Kδ

<ε

α(b)− α(a) + 2K + 1(α(b)− α(a)) + 2K ε

α(b)− α(a) + 2K + 1< ε.

Kończy to dowód na podstawie twierdzenia 10.14. 2


Uwaga 10.2.2 Założenie o ciągłości funkcji φ jest istotne, co pokazuje następujący przykład.

Przykład 10.2.1 Rozważmy funkcje Riemanna zdefiniowaną wzorem

R(x) ={0 dla x 6∈ Q ∨ x = 01m dla x ∈ Q \ {0} ∧ x = n

m∧ NWD (n,m) = 1. (10.16)

Funkcja Riemanna jest ciągła w zbiorze liczb niewymiernych i zerze. Rozważmy funkcję g zadaną wzorem

g(x) ={1 dla x > 00 dla x = 0

.

Wówczas złożenie funkcji Riemanna i funkcji g jest funkcją Dirichleta. Udowodnimy później, że funkcja Riemanna jestfunkcją całkowalną w sensie Riemanna na każdym odcinku domkniętym.

10.3 Własności całki Riemanna - Stieltjesa

Niech dany będzie przedział domknięty [a, b], gdzie a < b oraz ograniczone funkcje f, f1, f2: [a, b] → R i niemalejące funkcjeα, α1, α2: [a, b]→ R.

Twierdzenie 10.3.1 (Własności całki Riemanna - Stieltjesa) Niech f, f1, f2 ∈ R(α, [a, b]), c ∈ R. Wtedy

c · f ∈ R(α, [a, b]) ∧∫ ba

c · fdα = c ·∫ ba

fdα (10.17)

f1 + f2 ∈ R(α, [a, b]) ∧∫ ba

(f1 + f2)dα =∫ ba

f1dα+∫ ba

f2dα (10.18)

∀x∈[a,b]f1(x) ¬ f2(x)⇒∫ ba

f1dα ¬∫ ba

f2dα (10.19)

c ∈]a, b[⇒ f ∈ R(α, [a, c]) ∧ f ∈ R(α, [c, b]) ∧∫ ba

fdα =∫ ca

fdα+∫ bc

fdα (10.20)

∃M∈R∀x∈[a,b]|f(x)| ¬M ⇒

∣∣∣∣∣∫ ba

fdα

∣∣∣∣∣ ¬M(α(b)− α(a)) (10.21)

f ∈ R(α1, [a, b]) ∧ f ∈ R(α2, [a, b])⇒ f ∈ R(α1 + α2, [a, b]) ∧∫ ba

fd(α1 + α2) =∫ ba

fdα1 +∫ ba

fdα2 (10.22)

c ∈ R+ ⇒ f ∈ R(c · α, [a, b]) ∧∫ ba

fd(c · α) = c ·∫ ba

fdα (10.23)

Szkic dowodu.Dowód (10.17).Będziemy dowodzili, że spełniony jest warunek konieczny i dostateczny istnienia całki Riemanna-Stieltjesa.Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Załóżmy, że c > 0. Ponieważ f ∈ R(α, [a, b]), więc z twierdzenia 10.1.3 rozważy

taki podział P = {x0, . . . , xn} ∈ P([a, b]), że

U(f, P, α)− L(f, P, α) < ε

c.

Ponieważ supx∈[xi−1,xi]

(c · f)(x) = c supx∈[xi−1,xi]

f(x) oraz infx∈[xi−1,xi]

(c · f)(x) = c infx∈[xi−1,xi]

f(x) dla i = 1, . . . , n, więc

U(c · f, P, α)− L(c · f, P, α) = c(U(f, P, α)− L(f, P, α)) < cε

c= ε.

Jeżeli teraz c < 0, to supx∈[xi−1,xi]

(c · f)(x) = c infx∈[xi−1,xi]

f(x) oraz infx∈[xi−1,xi]

(c · f)(x) = c supx∈[xi−1,xi]

f(x). Mamy wtedy

U(c · f, P, α)− L(c · f, P, α) = −c(U(f, P, α)− L(f, P, α)) < −c ε−c= ε,

gdzie P jest takim podziałem, żeU(f, P, α)− L(f, P, α) < ε

−c.


W przypadku, gdy c = 0, to c · f jest funkcją stałą i z wniosku 10.2.1 jest ona całkowalna w sensie Riemanna-Stieltjesa.Ponadto sup

x∈[xi−1,xi](c · f)(x) = 0 i inf

x∈[xi−1,xi](c · f)(x) = 0. Kończy to dowód.

Dowód (10.18).Niech ε > 0. Niech Pj dla j = 1, 2 będą takimi podziałami, że

U(fj , Pj , α)− L(fj , Pj , α) <ε

2. (10.24)

Korzystając z własności

supx∈[xi−1,xi]

(f1(x) + f2(x)) ¬ ( supx∈[xi−1,xi]

f1(x)) + supx∈[xi−1,xi]

f2(x)),

infx∈[xi−1,xi]

(f1(x) + f2(x)) ( infx∈[xi−1,xi]

f1(x)) + infx∈[xi−1,xi]

f2(x)).

Wówczas dla P = P1 t P2 na podstawie twierdzeń 10.1.4(i), 10.1.1 oraz oszacowania (10.24) mamy

L(f1, P, α) + L(f2, P, α) ¬ L(f1 + f2, P, α) ¬ U(f1 + f2, P, α) ¬ U(f1, P, α) + U(f2, P, α),

co oznacza, że

U(f1 + f2, P, α)− L(f1 + f2, P, α) ¬ (U(f1, P, α)− L(f1, P, α)) + (U(f2, P, α)− L(f2, P, α)) <ε

2+ε

2= ε.

Tak więc f1 + f2 ∈ R(α, [a, b]).Niech δ będzie dowolną liczbą dodatnią i niech P 1j dla j = 1, 2 będą takimi podziałami, że

U(fj , P 1j , α) ¬b∫a

fjdα+δ

2,

gdzie oszacowania wynikają z definicji kresu dolnego i całkowalności funkcji fj w sensie Riemanna - Stieltjesa. Wówczas dlaP = P 11 t P 12 mamy

b∫a

(f1 + f2)dα ¬ U(f1 + f2, P, α) ¬ U(f1, P, α) + U(f2, P, α) ¬ U(f1, P 11 , α) + U(f2, P 12 , α)

¬b∫a

f1dα+δ

2+

b∫a

f2dα+δ

2=

b∫a

f1dα+

b∫a

f2dα+ δ.

Z dowolności δ wynika, żeb∫a

(f1 + f2)dα ¬b∫a

f1dα+

b∫a

f2dα. (10.25)

Wstawiając w nierówności (10.25) w miejsce funkcji fj funkcje −fj dla j = 1, 2 i wykorzystując udowodniony warunek(10.17) otrzymujemy nierówność

b∫a

(f1 + f2)dα b∫a

f1dα+

b∫a

f2dα,

która kończy dowód.Dowód (10.19).Z założeń wynika, że

supx∈[xi−1,xi]

f1(x) ¬ supx∈[xi−1,xi]

f2(x),

a stąd dla dowolnego podziału P mamy

b∫a

f1dα ¬ U(f1, P, α) ¬ U(f2, P, α).


Biorąc kres dolny po wszystkich podziałach odcinka [a, b] otrzymujemy tezę.Dowód (10.20).Niech

Pcdef= {P ∈ P([a, b]) : c ∈ P}.

Na podstawie stwierdzenia 2.2.1 mamy

infP∈Pc

U(f, P, α) infP∈P([a,b])

U(f, P, α) =

b∫a

fdα,

supP∈Pc

L(f, P, α) ¬ supP∈P([a,b])

L(f, P, α) =

b∫a

fdα,

a stąd na podstawie wniosku 1.4.1 mamy

infP∈Pc

U(f, P, α) = infP∈P([a,b])

U(f, P, α)

supP∈Pc

L(f, P, α) = supP∈P([a,b])

L(f, P, α).

Zauważmy, że każdy podział p ∈ Pc indukuje podziały P1 i P2 odcinków [a, c] i [c, b] takie, że P = P1 ∪ P2.Niech teraz ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy taki podział P ∈ P([a, b]) dla którego

U(f, P, α)− L(f, P, α) < ε. (10.26)

Możemy założyć, że P ∈ Pc, bo gdyby tak nie było, to biorąc podział P t{c}, na podstawie twierdzenia 10.1.4(i), spełnionebyłoby oszacowanie (10.26).Niech teraz P1 ∈ P([a, c]) i P2 ∈ P([c, b]) będą takie, że P = P1 ∪ P2. Wtedy

U(f, P, α) = U(f, P1, α) + U(f, P2, α), (10.27)

L(f, P, α) = L(f, P1, α) + L(f, P2, α). (10.28)

Wtedy z (10.26) mamy

0 ¬ (U(f, P1, α)− L(f, P1, α)) + (U(f, P2, α)− L(f, P2, α)) = U(f, P, α)− L(f, P, α)) < ε.

Ponieważ każdy, ze składników sumy jest liczbą nieujemną (twierdzenie 10.1.1) więc ostatecznie otrzymujemy

U(f, P1, α)− L(f, P1, α) < ε,

U(f, P2, α)− L(f, P2, α) < ε.

Co jest równoważne temuf ∈ R(α, [a, c]) ∧ f ∈ R(α, [c, b]).

Biorąc teraz w równości (10.27) (albo w (10.28)) najpierw kres dolny (odpowiednio górny) po P1 ∈ P([a, c]), a następniepo P2 ∈ P([c, b]) otrzymujemy

infP2infP1U(f, P, α) = inf

P1U(f, P1, α) + inf

P2U(f, P2, α). (10.29)

Ponieważ

infP2infP1U(f, P, α) = inf

P∈PcU(f, P, α) =

b∫a

fdα,

infP2U(f, P2, α) =

b∫c

fdα,

infP1U(f, P1, α) =

c∫a

fdα.


więc z (10.29)) otrzymujemy tezę.Dowód (10.21).Ponieważ z założeń mamy

−M ¬ f(x) ¬M,

dla dowolnego x ∈ [a, b]. Więc nierówność wynika z (10.19) i wniosku 10.2.1.Dowód (10.22).Ponieważ ∆(α1 + α2) = ∆α1 +∆α2, więc dla dowolnego podziału P ∈ P([a, b]) mamy

U(f, P, α1 + α2) = U(f, P, α1) + U(f, P, α2), (10.30)

L(f, P, α1 + α2) = L(f, P, α1) + L(f, P, α2). (10.31)

Niech teraz ε będzie dowolną liczbą dodatnia. Rozważmy podziały P1, P2 ∈ P([a, b]) takie, że

U(f, Pj , αj)− L(f, Pj , αj) <ε

2.

Wtedy dla P = P1 t P2 z równości (10.30), (10.31) mamy

U(f, P, α1 + α2)− L(f, P, α1 + α2) < ε.

Niech j = 1, 2. Ponieważ

b∫a

fdαj =b∫a

fdαj =

b∫a

fdαj ,

b∫a

fd(α1 + α2) =b∫a

fd(α1 + α2) =

b∫a

fd(α1 + α2),

więc dla dowolnego podziału P ∈ P([a, b]), z własności kresów mamy

L(f, P, αj) ¬b∫a

fdαj ¬ U(f, P, αj).

Stąd

L(f, P, α1) + L(f, P, α2) ¬b∫a

fdα1 +

b∫a

fdα2 ¬ L(f, P, α1) + L(f, P, α2).

Uwzględniając równości (10.30), (10.31) otrzymujemy

L(f, P, α1 + α2) ¬b∫a

fdα1 +

b∫a

fdα2 ¬ U(f, P, α1 + α2). (10.32)

Biorąc kres górny dla pierwszej z nierówności (10.32), a dla drugiej kres dolny i uwzględniając definicję całki Riemanna -Stieltjesa otrzymujemy ∫ b

a

fd(α1 + α2) ¬b∫a

fdα1 +

b∫a

fdα2 ¬∫ ba

fd(α1 + α2).

Kończy to dowód.Dowód (10.23).Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy podział P odcinka [a, b] taki, że

U(f, P, α)− L(f, P, α) < ε

c.

Ponieważ ∆(cα)i = c(∆αi). Więc

U(f, P, cα)− L(f, P, cα) = c(U(f, P, α)− L(f, P, α)) < cε

c= ε.


Podobnie mamy

b∫a

fd(c · α) = infP∈P([a,b])

U(f, P, cα) = infP∈P([a,b])

c · U(f, P, α) = c infP∈P([a,b])

U(f, P, α) = c

b∫a

fdα,


Wniosek 10.3.1 Jeżeli f1, f2 ∈ R(α, [a, b]), to f1 − f2 ∈ R(α, [a, b]) oraz∫ ba

(f1 − f2)dα =∫ ba

f1dα−∫ ba

f2dα.

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować własności (10.17) i (10.18). 2

Twierdzenie 10.3.2 Niech f, g ∈ R(α, [a, b]). Wtedy

f · g ∈ R(α, [a, b]) (10.33)

Szkic dowodu.Ponieważ funkcja φ(t) = t2 jest funkcją ciągłą, a więc dla dowolnej funkcji h ∈ R(α, [a, b]) mamy h2 ∈ R(α, [a, b]) (z

twierdzenia 10.2.4, gdyż h2 = φ ◦ h). Mamy ponadto

f · g = 14

((f + g)2 − (f − g)2

).

Teza wynika więc z wniosku 10.3.1 oraz własności (10.18) i (10.17). 2

Twierdzenie 10.3.3 Niech f ∈ R(α, [a, b]). Wtedy

|f | ∈ R(α, [a, b]) ∧

∣∣∣∣∣∫ ba

fdα

∣∣∣∣∣ ¬∫ ba

|f |dα. (10.34)

Szkic dowodu.Ponieważ funkcja φ(t) = |t| jest funkcją ciągłą, a więc mamy |f | ∈ R(α, [a, b]) (z twierdzenia 10.2.4, gdyż |f | = φ ◦ f).

Niech c = ±1 będzie tak wybrane, aby cb∫a

fdα 0. Ponieważ cf ¬ |f |. Więc z własności (10.17), (10.19) mamy

∣∣∣∣∣∫ ba

fdα

∣∣∣∣∣ = cb∫a

fdα =

b∫a

cfdα ¬∫ ba

|f |dα.

2

Definicja 10.3.1 Jednostkową funkcją schodkowa (funkcja Heaviside’a) nazywamy funkcje postaci

H(x) def={0 dla x ¬ 01 dla x > 0

. (10.35)

Twierdzenie 10.3.4 Nich s ∈]a, b[, f : [a, b]→ R będzie ograniczoną oraz ciągła w s i α(x) = H(x− s). Wtedy∫ ba

fdα = f(s). (10.36)

Szkic dowodu.Niech Pl = {x0 = a < x1 = s < x2 = s+ b−s2l < x3 = b} ∈ P([a, b]). Wtedy

U(f, Pl, α) = supx∈[s,s+ b−s2l ]

f(x),

L(f, Pl, α) = infx∈[s,s+ b−s2l ]

f(x).

Ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie s, to analogicznie jak w lemacie 7.4.2 otrzymujemy liml→∞

supx∈[s,s+ b−s2l ]

f(x) = f(s) i

liml→∞

infx∈[s,s+ b−s2l ]

f(x) = f(s). A ponieważ całka Riemanna - Stieltjesa istnieje, więc musi być ona równa f(s). 2


Twierdzenie 10.3.5 Niech dany będzie ciąg {an ∈ R+ : n 1} taki, że∞∑n=1

an jest zbieżny. Niech ponadto dany jest ciąg

{sn : n 1} ⊂]a, b[ punktów parami różnych i niech

α(x) def=∞∑n=1

anH(x− sn). (10.37)

Niech f będzie funkcją ciągłą na [a, b]. Wtedyb∫a

fdα =∞∑n=1

anf(sn). (10.38)

Szkic dowodu.

Udowodnimy, że

limm→∞

m∑n=1

anf(sn) =

b∫a

fdα.

Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią i niech M = supx∈[a,b]

|f(x)|. Ponieważ funkcja f jest ciągła, więc M jest nieujemną

liczbą rzeczywistą. Niech M0ozn= M + 1. Szereg funkcyjny α(x) na mocy kryterium Weierstrassa (twierdzenie 13.4.3) jest

jednostajnie zbieżny. Ponadto funkcja α jest funkcją monotoniczną oraz α(a) = 0 i α(b) =∞∑n=1

an.

Ponieważ szereg liczbowy∞∑n=1

an jest zbieżny, więc zgodnie z twierdzeniem 5.2.1 rozważmy liczbę naturalną n0 taką, że

∀kn0∞∑n=k

an <ε

M0.

Niech k będzie dowolną, ale ustaloną liczbą naturalną taką, że k n0 i niech

α1(x)def=

k∑n=1

anH(x− sn), α2(x)def=

∞∑n=k+1

anH(x− sn).

Zgodnie z twierdzeniami 10.3.4 i 10.3.1 (warunek (10.22)) mamyb∫a

fdα1 =k∑n=1

anf(sn). Wtedy

∣∣∣∣∣∣b∫a

fdα−k∑n=1

anf(sn)

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣b∫a

fd(α1 + α2)−k∑n=1

anf(sn)

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣b∫a

fdα2

∣∣∣∣∣∣ ¬b∫a

|f |dα2 < M0

b∫a

dα2

= M0(α2(b)− α2(a)) =M0α2(b) =M0∞∑

n=k+1

an < M0 ·ε

M0= ε.

2

Twierdzenie 10.3.6 Niech α będzie funkcją niemalejąca taką, że α ∈ D1([a, b]) i jej pochodna α′ ∈ R([a, b]). Niech f : [a, b]→R będzie funkcją ograniczoną. Wtedy następujące warunki są równoważne(i) f ∈ R(α, [a, b]),

(ii)f · α′ ∈ R([a, b]).

W tym przypadku zachodzi równość ∫ ba

fdα =∫ ba

f(x)α′(x)dx. (10.39)

Szkic dowodu.

Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią i niech M = supx∈[a,b]

|f(x)|. Niech P = {x0, x1, . . . , xn} będzie podziałem odcinka

[a, b] o różnych punktach i takim, że

U(α′, P )− L(α′, P ) < ε

M + 1. (10.40)


Do każdego z odcinków [xi−1, xi] dla i = 1, . . . , n stosując twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej otrzymujemy, że istniejąpunkty ti ∈]xi−1, xi[ takie, że

α′(ti) =α(xi)− α(xi−1)

xi − xi−1.

Możemy to zapisać ∆αi = α′(ti)∆xi. Ponadto z twierdzenia 10.1.4(ii) mamy, że dla dowolnych punktów si ∈ [xi−1, xi] dlai = 1, . . . , n jest prawdziwe oszacowanie

n∑i=1

|α′(si)− α′(ti)∆xi| <ε

M + 1,

a więc∣∣∣∣∣n∑i=1

f(si)∆αi −n∑i=1

f(si)α′(si)∆xi

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣n∑i=1

f(si)α′(ti)∆xi −n∑i=1

f(si)α′(si)∆xi

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣n∑i=1

f(si)∆xi(α′(ti)− α′(si))

∣∣∣∣∣¬n∑i=1

|f(si)|∆xi|(α′(ti)− α′(si))| ¬Mn∑i=1

∆xi|(α′(ti)− α′(si))| < Mε

M + 1< ε.

Ponieważ nierówność ta zachodzi dla dowolnych punktów si ∈ [xi−1, xi], więc mamy stąd

n∑i=1

f(si)∆αi <n∑i=1

f(si)α′(si)∆xi + ε ¬ U(f · α′, P ) + ε.

Rozważając skrajne wyraz nierówność widzimy, że prawdziwe również jest oszacowanie (wystarczy rozważyć kres górny f(si)po wszystkich takich si)

U(f, P, α) ¬ U(f · α′, P ) + ε.

Podobnie otrzymujemy (zmieniając znaki składników występujących w wartości bezwzględnej)

U(f · α′, P ) ¬ U(f, P, α) + ε.

Podobnie

L(f, P, α) ¬n∑i=1

f(si)∆αi <n∑i=1

f(si)α′(si)∆xi + ε.

Analogiczne do poprzedniego rozumowanie daje

L(f, P, α) ¬ L(f · α′, P ) + ε,

L(f · α′, P ) ¬ L(f, P, α) + ε.

To z kolei implikuje ∣∣∣∣∣∣∣b∫a

fdα−b∫a

fα′dx

∣∣∣∣∣∣∣ ¬ ε oraz

∣∣∣∣∣∣∣b∫a

fdα−b∫a

fα′dx

∣∣∣∣∣∣∣ ¬ ε.Na podstawie ostatnich oszacowań mamy tezę naszego twierdzenia. 2

10.4 Zamiana zmiennych w całce Riemanna - Stieltjesa

Twierdzenie 10.4.1 (o zamianie zmiennych) Niech φ: [A,B] → [a, b] będzie surjekcją rosnącą. Niech α będzie funkcjaniemalejącą na [a, b] i niech f ∈ R(α, [a, b]). Określamy funkcje β, g: [A,B]→ R wzorami

β = α ◦ φ ∧ g = f ◦ φ. (10.41)

Wtedy g ∈ R(β, [A,B]) oraz ∫ BA

gdβ =∫ ba

fdα. (10.42)


Szkic dowodu.Zauważmy, że φ jest bijekcją, gdyż jako funkcja rosnąca jest injekcją. Więc każdemu podziałowi P = {x0, x1, . . . , xn}

odcinka [a, b] odpowiada podział Q = {y0, y1, . . . , yn} odcinka [A,B] taki, że φ(yi) = xi dla dowolnego i = 0, . . . , n iodwrotnie. Oznaczmy wtedy P = φ(Q). Mamy wtedy Q = φ−1(P ). Z (10.41) widzimy, że

U(g,Q, β) ≡ U(g, φ−1(P ), β) = U(f, P, α),

L(g,Q, β) ≡ L(g, φ−1(P ), β) = L(f, P, α),

gdyż

supx∈[xi−1,xi]

f(x) = supφ−1(x)∈[φ−1(xi−1),φ−1(xi)]

f(φ−1(x)) oraz infx∈[xi−1,xi]

f(x) = infφ−1(x)∈[φ−1(xi−1),φ−1(xi)]

f(φ−1(x)).

Ponieważ f ∈ R(α, [a, b]), to możemy rozważyć dla ustalonej dodatniej liczby ε podziały P ∈ P([a, b]) takie, że

U(f, P, α)− L(f, P, α) < ε.

Biorąc odpowiadający podziałowi P podział Q = φ−1(P ) odcinka [A,B], wykorzystując równość odpowiednich sum dolnychi górnych, a następnie dodając tak przekształcone nierówności otrzymujemy

U(g,Q, β)− L(g,Q, β) < ε,

co daje g ∈ R(β, [A,B]). Ponadto ponieważ

infQ∈P([A,B])

U(g,Q, β) = infP∈P([a,b])

U(g, φ−1(P ), β) = infP∈P([a,b])

U(f, P, α),

więc równość (10.42) jest udowodniona. 2

Uwaga 10.4.1 Biorąc α =Id otrzymujemy twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Riemanna.

Wniosek 10.4.1 Niech φ: [A,B] → [a, b] będzie surjekcją rosnącą taką, że φ ∈ D1([A,B]) i φ′ ∈ R([A,B]) oraz niechf ∈ R([a, b]). Wtedy ∫ b

a

f(x)dx =∫ BA

f(φ(t))φ′(t)dt. (10.43)

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować do twierdzenia 10.4.1 twierdzenie 10.3.6. Otrzymamy wtedy

b∫a

f(x)dx =

b∫a

fd(Id) =

B∫A

(f ◦ φ)d(Id ◦φ) =B∫A

(f ◦ φ)d(φ) =B∫A

f(φ(t))φ′(t)dt.

2

10.5 Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna – twierdzenie Lebes-

gue’a

Uwaga 10.5.1 Jeżeli I będzie odcinkiem, to jego długość będziemy oznaczać |I|.

Definicja 10.5.1 Mówimy, że zbiór A ⊆ R jest zbiorem miary zero względem miary Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy, gdy dladowolnego dodatniego ε istnieje pokrycie {In : n 1} odcinkami zbioru A tzn. A ⊆ {In : n 1} takie, że

∞∑n=1

|In| < ε.

Lemat 10.5.1 (Własności zbiorów miary zero) (i) Dowolny podzbiór zbiór miary zero jest zbiorem miary zero.(ii) Przeliczalna suma zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero.


Szkic dowodu.

Dowód (i). Jest oczywisty.Dowód (ii). Niech dana będzie przeliczalna rodzina {An : n 1} zbiorów miary zero. Niech ε będzie dowolną liczbą

dodatnią. Dla każdego zbioru An rozważmy jego pokrycie {Ink : k 1} odcinkami takie, że

∞∑k=1

|Ink | <ε

2n.

Wówczas rodzina odcinków {Ink : k 1 ∧ n 1} jest pokryciem (przeliczalnym) zbioru∞⋃n=1

An oraz spełnia warunek

∞∑n=1

∞∑k=1

|Ink | < ε.

2

Przykład 10.5.1 Zbiór jednopunktowy jest zbiorem miary zero, gdyż wystarczy rozważyć kulę o środku w tym punkcie ipromieniu mniejszym niż połowa ustalonej dodatniej liczby ε.

Przykład 10.5.2 Zbiór przeliczalny jest zbiorem miary zero. W szczególności zbiór liczb wymiernych Q jest zbiorem miaryzero.

Definicja 10.5.2 (Konstrukcja zbioru Cantora) Niech I0 = [0, 1]. Określamy indukcyjnie dla n ∈ N zbiory In następu-jąco

In =13In−1 ∪

(23+13In−1

). (10.44)

Niech

C def=∞⋂n=0

In. (10.45)

Zbiór C nazywamy zbiorem Cantora. Jest on nieprzeliczalny.1 Można bowiem elementy tego zbioru utożsamić z ciągaminieskończonymi, których wyrazy są przyjmują wartości zero lub dwa. Związane to jest z przedstawieniem liczby rzeczywistejw systemie trójkowym.

Przykład 10.5.3 Zbiór Cantora jest zbiorem miary zero.

Przykład 10.5.4 Przedział zawierający co najmniej dwa punkty nie jest zbiorem miary zero.

Definicja 10.5.3 Mówimy, że własność zachodzi w zbiorze liczb rzeczywistych prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiórpunktów w których własność ta nie zachodzi jest zbiorem miary zero.

Twierdzenie 10.5.1 (Lebesgue’a) Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ograniczoną. Wtedy następujące warunki są równo-ważne(i) f ∈ R([a, b]),(ii) f jest prawie wszędzie ciągła na [a, b].

Szkic dowodu.

Niech

Edef= {x ∈ [a, b] :W (f, x) 6= 0} ≡ {x ∈ [a, b] : funkcja f nie jest ciągła w punkcie x} .

(Konieczność)Dla każdej liczby naturalnej n rozważmy zbiory

Endef={x ∈ [a, b] :W (f, x) 1

n

}.

1Porównaj wykłady ze Wstępu do matematyki


Wtedy oczywiście E =∞⋃n=1

En. Wystarczy udowodnić, że każdy ze zbiorów En jest zbiorem miary zero. Niech ε będzie

dowolną liczbą dodatnią i n będzie dowolną liczbą naturalną. Rozważmy podział P = {x0, x1, . . . , xn} odcinka [a, b] taki, że

U(f, P )− L(f, P ) < ε

n.

Niech A będzie maksymalnym podzbiorem zbioru {1, . . . , n} dla którego [xj−1, xj ]∩En 6= ∅. Zauważmy, że dla x ∈ [xj−1, xj ]∩En mamy W (f, x) 1n , a więc dla j ∈ A mamy

supx∈[xj−1,xj ]

f(x)− infx∈[xj−1,xj ]

f(x) 1n.

Mamy wtedy

En ⊂⋃j∈A[xj−1, xj ],

1n

∑j∈A|[xj−1, xj ]| ¬

∑j∈A( supx∈[xj−1,xj ]

f(x)− infx∈[xj−1,xj ]

)|[xj−1, xj ]| ¬ U(f, P )− L(f, P ) <ε

n.

Co kończy dowód, gdyż wystarczy rozważyć skrajne wyrazy nierówności i pomnożyć je przez n.(Dostateczność)Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy przeliczalną rodzinę odcinków {In : n 1} taką, że

E ⊂∞⋃n=1

In oraz

∞∑n=1

|In| <ε

2(M −m+ 1), (10.46)

gdzie M = supx∈[a,b]

f(x) i m = infx∈[a,b]

f(x) Niech p 6∈ E wtedy z twierdzenia 7.4.1 funkcja f jest ciągła w punkcie p. Z lematu

7.4.1 rozważmy dodatnią liczbę δp taką, że w [p− δp, p+ δp] ∩ [a, b]ozn= Ip funkcja f spełnia warunek

∀x∈Ip |f(x)| ¬ε

4(b− a),

gdyż jest ograniczona. Wtedy

supx∈Ip

f(x)− infx∈Ip

f(x) ¬ ε

2(b− a). (10.47)

Wówczas mamy

[a, b] ⊂∞⋃n=1

In ∪⋃

p∈[a,b]\E

Ip.

Ze zwartości odcinka [a, b] można wybrać skończoną ilość odcinków In1 , . . . , Ink (dla pokrycia zbioru E) i Ip1 , . . . , Ipm takich,że

[a, b] ⊂k⋃i=1

Ini ∪m⋃l=1

Ipm . (10.48)

Niech I ′ni = Ini ∩ [a, b]. Wtedy, jeżeli w (10.48) w miejsce odcinków Ini wstawimy I′ni , to otrzymamy równość zbio-

rów. Niech P = {x0, x1, . . . , xr} będzie podziałem odcinka [a, b], którego punktami podziału są wszystkie końce odcinkówI ′n1 , . . . , I

′nk, Ip1 , . . . , Ipm . Ponieważ odcinki te mogą na siebie nachodzić i zachodzą oszacowania (10.46) i (10.47), to mamy

następujący ciąg oszacowań

U(f, P )− L(f, P ) =r∑l=1

(Ml −ml)∆xl ¬k∑l=1

( supx∈I′nl

f(x)− infx∈I′nl

f(x))|I ′nl |+m∑l=1

( supx∈Ipl

f(x)− infx∈Ipl

f(x))|Ipl |

¬k∑l=1

(M −m)|I ′nl |+m∑l=1

ε

2(b− a)|Ipl | < (M −m)

ε

2(M −m+ 1)+

ε

2(b− a)(b− a) < ε.



Wniosek 10.5.1 Niech f, g ∈ R([a, b]). Wtedy o ile prawie wszędzie funkcje f i g są równe, to ich całki są równe.

Szkic dowodu.

Ponieważ funkcja f − g jest prawie wszędzie równa zeru, co na podstawie twierdzenia 10.5.1 implikuje

b∫a

(f − g)dα = 0.


Uwaga 10.5.2 Można ten wniosek zapisać również w następującej postaci.

Wniosek 10.5.2 Niech f ∈ R([a, b]) oraz g: [a, b]→ R. Wtedy o ile prawie wszędzie funkcje f i g są równe, to g ∈ R([a, b])oraz obie całki są równe.

Szkic dowodu.

Dowód jest analogiczny do poprzedniego. Należy jednak pokazać, że g ∈ R([a, b]). Zauważmy jednak, że funkcja g−f jestprawie wszędzie równa zeru, a więc jest całkowalna i ma całkę równa zeru. Wtedy funkcję g można przedstawić w postacisumy dwóch funkcji całkowalnych tj. (g − f) + f , co kończy dowód na mocy twierdzenia 10.3.1. 2

10.6 Całkowanie (całka Riemanna), a różniczkowanie

Niech a < b, f : [a, b]→ R taka, że f ∈ R([a, b]).

Definicja 10.6.1 Określamy funkcję Ff : [a, b]→ R następująco

∀t∈[a,b]Ff (t)def=∫ ta

f(x)dx. (10.49)

Przyjmujemy jednocześniea∫a

f(x)dx = 0.

Lemat 10.6.1 Mamyb∫a

1dt = (b− a). (10.50)

Szkic dowodu.

Wystarczy zauważyć, że dla dowolnego odcinka I zawartego w [a, b] mamy supx∈I1 = 1 = inf

x∈I1. 2

Twierdzenie 10.6.1 Funkcja Ff jest jednostajnie ciągła na [a, b].

Szkic dowodu.

Niech M = supx∈[a,b]

|f(x)|. Niech x, y będą dowolnymi punktami przedziału [a, b]. Wtedy mamy

|Ff (y)− Ff (x)| =

∣∣∣∣∣∣y∫a

f(t)dt−∫ xa

f(t)dt

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣max{x,y}∫min{x,y}

f(t)dt

∣∣∣∣∣∣∣ ¬max{x,y}∫min{x,y}

|f(t)|dt ¬max{x,y}∫min{x,y}

Mdt =M |y − x|.

Funkcja Ff spełnia warunek Lipschitza, a więc na mocy twierdzenia 7.3.2 jest jednostajnie ciągła na odcinku [a, b]. 2

Twierdzenie 10.6.2 (Zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego) Niech funkcja f będzie ciągław punkcie p ∈ [a, b], to Ff jest różniczkowalna w p oraz F ′f (p) = f(p).


Szkic dowodu.Udowodnimy z definicji, że granica ilorazu różniczkowego funkcji F w punkcie p wynosi f(p). Wykorzystamy w tym celu

warunek Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie (warunek (7.1)). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Ponieważ funkcjaf jest ciągła w punkcie p, więc z warunku Cauchy’ego (warunek (7.17)) rozważmy taką dodatnią liczbę δ, że

∀x∈[a,b]|p− x| < δ ⇒ |f(x)− f(p)| < ε.

Niech teraz t będzie dowolnym punktem odcinka [a, b] spełniającym warunek 0 < |p−t| < δ. Mamy wtedy, zgodnie z lematem10.6.1

∣∣∣∣F (t)− F (p)t− p− f(p)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1

t− p

max{p,t}∫min{p,t}

f(x)dx− 1t− p

max{p,t}∫min{p,t}

f(p)dx

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1

t− p

max{p,t}∫min{p,t}

(f(x)− f(p)) dx

∣∣∣∣∣∣∣¬ 1|t− p|

max{p,t}∫min{p,t}

|f(x)− f(p)| dx < 1|t− p|

max{p,t}∫min{p,t}

εdx = ε.

Z definicji granicy wynika, że

limt→p

F (t)− F (p)t− p

= f(p).

Korzystając z definicji pochodnej mamy tezę naszego twierdzenia. 2

Wniosek 10.6.1 Jeżeli f ∈ C(]α, β[), gdzie −∞ ¬ α < β ¬ +∞ oraz a ∈]α, β[ i Fa(t) =∫ taf(x)dx, to wtedy dla dowolnego

b ∈]a, β[ i funkcja Fa ∈ C1([a, b]) oraz F ′a = f .

Szkic dowodu.Jest oczywisty. 2

Twierdzenie 10.6.3 (Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego/ Newtona - Leibniza) Niech f ∈ R([a, b]). Je-żeli istnieje F ∈ D1([a, b]) taka, że F ′ = f , to

b∫a

f(x)dx = F (b)− F (a). (10.51)

Szkic dowodu.Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy podział P = {x0, x1, . . . , xn} odcinka [a, b] parami różnych i takich,

żeU(f, P )− L(f, P ) < ε.

Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej (twierdzenie 8.3.3) zastosowanego do funkcji F i każdego z przedziałów [xi−1, xi]istnieją punkty ti ∈]xi−1, xi[ takie, że

F (xi)− F (xi−1) = F ′(ti)∆xi = f(ti)∆xi,

a więc

F (b)− F (a) =n∑i=1

F (xi)− F (xi−1) =n∑i=1

f(ti)∆xi.

stąd zgodnie z twierdzeniem 10.1.4(iii) mamy∣∣∣∣∣∣F (b)− F (a)−b∫a

fdx

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣n∑i=1

f(ti)∆xi −b∫a

fdx

∣∣∣∣∣∣ < ε.

Z dowolności ε wynika teza twierdzenia. 2

Uwaga 10.6.1 Twierdzenie to można przy pomocy funkcji pierwotnej wypowiedzieć:Jeżeli funkcja f całkowalna w sensie Riemanna posiada funkcje pierwotną na przedziale [a, b], to spełnionyjest warunek (10.51).


Twierdzenie 10.6.4 (Całkowanie przez części) Niech F,G ∈ D1([a, b]) i niech F ′ ∈ R([a, b]) oraz G′ ∈ R([a, b]). Wtedy∫ ba

F (x)G′(x)dx = F (b)G(b)− F (a)G(a)−∫ ba

F ′(x)G(x)dx. (10.52)

Szkic dowodu.Ponieważ funkcje F i G są ciągłe, a więc ich iloczyn jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna (twierdzenie 10.2.1).

Stosując twierdzenie o pochodnej iloczynu funkcji oraz twierdzenie 10.6.3 do iloczynu funkcji F i G otrzymujemy tezę. 2

10.7 Twierdzenia o wartości średniej dla całki Riemanna

Twierdzenie 10.7.1 (I twierdzenie o wartości średniej dla całki Riemanna) Niech a < b i f, g: [a, b] → R, gdzie fjest funkcją nierosnącą i nieujemną, a g ∈ R([a, b]). wtedy

∃ξ∈[a,b]

b∫a

f(x)g(x)dx = f(a)

ξ∫a

g(x)dx. (10.53)

Szkic dowodu.Funkcja f jest monotoniczna, więc zgodnie z twierdzeniem 10.2.2 jest całkowalna w sensie Riemanna. Stąd f ·g ∈ R([a, b])

zgodnie z twierdzeniem 10.3.2.Dla dowolnego podziału P = {x0, x1, . . . , xn} odcinka [a, b] mamy

b∫a

f(x)g(x)dx =n−1∑i=0

xi+1∫xi

f(x)g(x)dx =n−1∑i=0

f(xi)

xi+1∫xi

g(x)dx+n−1∑i=0

xi+1∫xi

(f(x)− f(xi))g(x)dx. (10.54)

Niech IP1 będzie pierwszym składnikiem sumy, zaś IP2 drugim. Udowodnimy, że

∀ε>0∃P∈P([a,b])|IP2 | < ε.

Niech M = supx∈[a,b]

|g(x)|. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Istnieje (na podstawie twierdzenia 10.1.3) podział P

takie, żeU(f, P )− L(f, P ) < ε

M + 1.

Rozważmy taki podział P i niech Mfi i mfi mają standardowe oznaczenia. Mamy wtedy

|IP2 | ¬n−1∑i=0

xi+1∫xi

|f(x)− f(xi)||g(x)|dx ¬Mn−1∑i=0

xi+1∫xi

(Mfi −mfi )dx =M

n−1∑i=0

(Mfi −mfi )∆xi < M

ε

M + 1< ε.

Stąd przekształcając równość (10.54) otrzymujemy

∀ε>0∃P∈P([a,b])

∣∣∣∣∣∣b∫a

f(x)g(x)dx− Ip1

∣∣∣∣∣∣ < ε. (10.55)

Stądb∫a

f(x)g(x)dx = limcard(P )→∞

IP1 , gdy ∆(P )→ 0. Inaczej mówiąc całkab∫a

f(x)g(x)dx zachowuje się tak samo, jak IP1 .

Oszacujemy IP1 . Mamy

Ip1 =n−1∑i=0

f(xi)(Fg(xi+1)− Fg(xi)) = Fg(b)f(xn−1) +n−1∑i=1

Fg(xi)(f(xi−1)− f(xi))

Funkcja Fg jest funkcją ciągłą (twierdzenie 10.6.1), a więc przyjmuje wartość największą Mg i najmniejszą mg (twierdzenie7.5.2). Ponadto czynniki będące różnicami są nieujemne, gdyż funkcja jest nierosnąca. Otrzymujemy oszacowanie

mgf(a) = mg

(f(xn−1) +

n−1∑i=1

(f(xi−1)− f(xi))

)¬ IP1 ¬Mg

(f(xn−1) +

n−1∑i=1

(f(xi−1)− f(xi))

)=Mgf(a).


Stąd i granica jest zawarta w tym przedziale. Oznacza to, że

b∫a

f(x)g(x)dx = µf(a)

dla pewnego µ ∈ [mg,Mg]. Ponieważ funkcja Fg jest ciągła, więc zgodnie z twierdzeniem Darboux (twierdzenie 7.6.2) istniejeξ ∈ [a, b] takie, że µ = Fg(ξ). Kończy to dowód. 2

Uwaga 10.7.1 Wzór (10.53) nasi nazwę wzoru Bonneta.

Twierdzenie 10.7.2 (II twierdzenie o wartości średniej dla całki Riemanna) Niech a < b i f, g: [a, b]→ R, gdzie fjest funkcją monotoniczną, a g ∈ R([a, b]). Wtedy

∃ξ∈[a,b]

b∫a

f(x)g(x)dx = f(a)

ξ∫a

g(x)dx+ f(b)

b∫ξ

g(x)dx. (10.56)

Szkic dowodu.Załóżmy, że funkcja f jest nierosnąca. Wtedy funkcja F = f − f(b) jest nierosnąca i nieujemna. Można więc do niej i do

g zastosować twierdzenie 10.7.1. Otrzymujemy dla pewnego ξ ∈ [a, b]

b∫a

f(x)g(x)dx− f(b)b∫a

g(x)dx =

b∫a

F (x)g(x)dx = F (a)

ξ∫a

g(x)dx = f(a)

ξ∫a

g(x)dx− f(b)ξ∫a

g(x)dx

= f(a)

ξ∫a

g(x)dx− f(b)

b∫a

−b∫ξ

g(x)dx

= f(a)

ξ∫a

g(x)dx+ f(b)

b∫ξ

g(x)dx− f(b)b∫a

g(x)dx.

Ponieważ całkab∫a

g(x)dx jest skończona, więc po uproszczeniu otrzymujemy tezę lematu.

Gdy funkcja jest niemalejąca należy zastosować odpowiednik twierdzenia 10.7.1 podany w zadaniu C.10.8. 2

10.8 Całka Riemanna - Stieltjesa względem funkcji o wahaniu skończonym

Przedstawimy w tym paragrafie ogólniejsze podejście do całki Riemanna - Stieltjesa. Zakładać będziemy, o funkcji α, że jestfunkcja o wahaniu skończonym.Niech a < b i niech f : [a, b]→ R.

Definicja 10.8.1 Wahaniem funkcji f na odcinku [a, b] nazywamy wielkość

[0,+∞] 3W ba(f)def= supP∈P([a,b])

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)|. (10.57)

Mówimy, że funkcja f ma wahanie skończone na wtedy i tylko wtedy, gdy W ba(f) < +∞.

Uwaga 10.8.1 Praktycznie rozważamy podziały o różnych elementach.

Definicja 10.8.2 Oscylacją funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy wielkość

[0,+∞] 3 osc[a,b](f) def= sup

a¬x¬y¬b|f(y)− f(x)|. (10.58)

Twierdzenie 10.8.1 Niech φ: [α, β]→ [a, b] będzie surjekcją, ciągłą i rosnącą. Wtedy

W ba(f) =Wβα (f ◦ φ). (10.59)


Szkic dowodu.Funkcja φ jest bijekcją, gdyż jest różnowartościowa. Oznacza to, że każdemu podziałowi odcinka [α, β] odpowiada do-

kładnie jeden podział odcinak odcinka [a, b] (analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 10.4.1). Stąd kresy

supQ∈P([α,β])

n∑i=1

|f(φ(ti))− f(φ(ti−1))| oraz supP∈P([a,b])

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)|,

gdzie P = φ(Q), są równe. 2

Wniosek 10.8.1 Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia 10.8.1, to funkcja f oraz funkcja f ◦φ są jednocześnie funkcjamio wahaniu skończonym odpowiednio na przedziałach [a, b] oraz [α, β].

Szkic dowodu.Oczywisty na mocy definicji. 2

Twierdzenie 10.8.2 Funkcja f monotoniczna na przedziale [a, b] ma wahanie skończone. Zachodzi ponadto równość

W ba(f) = |f(b)− f(a)|.

Szkic dowodu.Załóżmy, że funkcja f jest niemalejąca. Wtedy dla dowolnego podziału P = {x0, x1, . . . , xn} ∈ P([a, b]) mamy

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| =n∑i=1

f(xi)− f(xi−1) = f(b)− f(a).

Oznacza to, żeW ba(f) = f(b)− f(a).

W przypadku, gdy f jest nierosnącą analogicznie otrzymujemy W ba(f) = f(a)− f(b). 2

Uwaga 10.8.2 Z twierdzenia 10.8.2 wynika, że funkcja o wahaniu skończonym może być nieciągła, gdyż funkcja monoto-niczna może być nieciągła (twierdzenie 7.7.2).

Przykład 10.8.1 Funkcja

[0, 1] 3 x 7→ f(x) ={x2 cos πx2 dla x 6= 00 dla x = 0

jest funkcją klasy D1([0, 1], ale ma wahanie nieskończone.

Twierdzenie 10.8.3 Funkcja spełniająca warunek Lipschitza ze stałą L na przedziale [a, b] ma wahanie skończone.

Szkic dowodu.Niech P = {x0, x1, . . . , xn} ∈ P([a, b]) mamy

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| ¬n∑i=1

L|xi − xi−1| = Ln∑i=1

(xi − xi−1) = L(b− a).

Stąd W ba(f) ¬ L(b− a). 2

Twierdzenie 10.8.4 Dla dowolnego c ∈ [a, b] mamy

W ba(f) =Wca(f) +W

bc (f). (10.60)

Szkic dowodu.Niech Pc będzie miał takie oznaczenie jak w dowodzie własności (10.20).Rozważmy dowolny podział P = {x0, x1, . . . , xn} ∈ Pc. Niech i0 ∈ {1, . . . , n− 1} będzie taki, że xi = c. Wtedy

i0∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)|+n∑i=i0

|f(xi)− f(xi−1)| =n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| ¬W ba(f).


Biorąc kres górny po P([a, c]) i P([c, b]) otrzymujemy

W ca(f) +Wbc (f) ¬W ba(f).

Niech teraz P = {x0, x1, . . . , xn} ∈ P([a, b]) będzie dowolny. Rozważmy i0 ∈ {1, . . . , n − 1} taki, że xi0−1 ¬ c ¬ xi0 . Mamywtedy

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| ¬ |f(x1)− f(x0)|+ . . . |f(c)− f(xi0−1)|+ |f(xi0 − f(c)|+ . . .+ |f(xn)− f(xn−1|

¬ W ca(f) +Wbc (f),

gdyż {x0, . . . xi0−1, c} ∈ P([a, c]) i {c, xi0 , . . . xn} ∈ P([c, b]). Biorąc kres górny po P ∈ P([a, b]) otrzymujemy W ba(f) ¬W ca(f) +W

bc (f). 2

Wniosek 10.8.2 Funkcja f o wahaniu skończonym na przedziałach [a, b] i [b, c] jest funkcją o wahaniu skończonym naprzedziale [a, c].Funkcja o wahaniu skończonym na przedziale [a, b] jest funkcją o wahaniu skończonym na dowolnym [c, d] ⊆ [a, b].

Szkic dowodu.Oczywisty na mocy równości (10.60). 2

Wniosek 10.8.3 Odwzorowanie x 3 [a, b] 7→W xa (f) ∈ [0,+∞] jest niemalejące.

Szkic dowodu.Niech x, y ∈ [a, b] będą takie, że x < y. Wtedy jeżeli W ya (f) = +∞, to teza jest spełniona, gdyż W xa (f) ¬ +∞ =W ya (f).

Jeżeli W ya (f) < +∞, to

W ya (f) =Wxa (f) +W

yx (f) W xa (f),

gdyż również W yx (f) jest skończone. 2

Wniosek 10.8.4 Wahanie funkcji spełnia warunek

∀c,da ¬ c ¬ d ¬ b⇒W dc (f) ¬W ba(f). (10.61)

Szkic dowodu.Wystarczy pokazać dla skończonego W ba(f). Mamy

W ba(f) =Wca(f) +W

dc (f) +W

bd (f) W dc (f).

2

Lemat 10.8.1 Spełnione jest oszacowanie

|f(b)− f(a)| ¬ osc[a,b](f) ¬W ba(f). (10.62)

Szkic dowodu.Wystarczy rozważyć podział P = {x0 = a, x1 = b}. 2

Twierdzenie 10.8.5 Funkcja o wahaniu skończonym na przedziale [a, b] jest na tym przedziale ograniczona.

Szkic dowodu.Mamy dla dowolnego x ∈ [a, b]

|f(x)| − |f(a)| ¬ |f(x)− f(a)| ¬ osc[a,b](f) ¬W ba(f).

Ostatecznie|f(x)| ¬ |f(a)|+W ba(f) < +∞.

2


Definicja 10.8.3 Niech A1, A2 będą dwoma niepustymi podzbiorami prostej euklidesowej. Mówimy, że funkcja F :A1×A2 →R spełnia warunek Lipschitza ze stała M na A1 ×A2 wtedy i tylko wtedy, gdy

∀(x1,x2),(y1,y2)∈A1×A2 |F (x1, x2)− F (y1, y2)| ¬M(|x1 − y1|+ |x2 − y2|). (10.63)

Lemat 10.8.2 Niech funkcje f : [a, b] → A1 ⊂ R i g: [a, b] → A2 ⊂ R będą funkcjami o wahaniu skończonym. Niech funkcjaF :A1 × A2 → R spełnia warunek Lipschitza ze stała M na A1 × A2. Wtedy funkcja [a, b] 3 x 7→ φ(x) def= F (f(x), g(x)) ∈ Rspełnia warunek

W ba(φ) ¬M(WBa (f) +W ba(g)). (10.64)

Szkic dowodu.Niech P = {x0, x1, . . . , xn} ∈ P([a, b]) będzie dowolny. Mamy wówczas

n∑i=1

|φ(xi)− φ(xi−1)| ¬M

(n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)|+n∑i=1

|g(xi)− g(xi−1)|

)¬M(WBa (f) +W ba(g)).

Biorąc kres górny po wszystkich podziałach P otrzymujemy tezę. 2

Twierdzenie 10.8.6 (i) Kombinacja liniowa funkcji o wahaniu skończonym jest funkcją o wahaniu skończonym.(ii) Iloczyn funkcji o wahaniu skończonym jest funkcją o wahaniu skończonym.(iii) Iloraz funkcji o wahaniu skończonym jest funkcją o wahaniu skończonym, o ile moduł dzielnika jest ograniczony z dołuprzez stałą dodatnią.

Szkic dowodu.Niech f, g: [a, b]→ R będą funkcjami o wahaniu skończonym oraz niech

mdef= max{ sup

x∈[a,b]|f(x)|, sup

x∈[a,b]|g(x)|}.

Dowód(i) Wystarczy w lemacie 10.8.2 funkcję F określić następująco

[−m,m]× [−m,m] 3 (u, v) 7→ F (u, v) = αu+ βv,

gdzie M def= max{|α|, |β|}.Dowód(ii) Wystarczy w lemacie 10.8.2 funkcję F określić następująco

[−m,m]× [−m,m] 3 (u, v) 7→ F (u, v) = u · v,

gdzie M ≡ m.Dowód(iii) Niech α > 0 będzie takie, że inf

x∈[a,b]|g(x)| α. Wystarczy w lemacie 10.8.2 funkcję F określić następująco

[−m,m]× (]−∞,−α] ∪ [α,+∞[) 3 (u, v) 7→ F (u, v) =u

v,

gdzie M def= max{ 1α ,mα2 }. M wyznaczone zostało w sposób następujący∣∣∣∣x1x2 − y1y2

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣x1y2 − x2y1x2y2

∣∣∣∣ ¬ |y2||x1 − y1|+ |y1||y2 − x2||x2y2|=1|x2||x1 − y1|+

|y1||x2y2|

|y2 − x2|.

2

Twierdzenie 10.8.7 (Rozkład kanoniczny Jordana) Każdą funkcję f o wahaniu skończonym na przedziale [a, b] możnaprzedstawić jednoznacznie w postaci różnicy dwóch funkcji najsłabiej niemalejących:

f = φ− ψ, (10.65)

gdzie φ(x) = Wxa (f)+f(x)2 i ψ(x) = Wxa (f)−f(x)

2 . Rozkład tej jest jednoznaczny w tym sensie, że dla każdych innych funkcjiniemalejących φ1, ψ1 takich, że f = φ1 − ψ1 dla dowolnych x, y ∈ [a, b] i takich, że x < y mamy

φ(y)− φ(x) ¬ φ1(y)− φ1(x)

ψ(y)− ψ(x) ¬ ψ1(y)− ψ1(x).


Szkic dowodu.Niech x, y ∈ [a, b] będą takie, że x < y. Wtedy

φ(y)− φ(x) = 12[W yx (f) + f(y)− f(x)]

ψ(y)− ψ(x) = 12[W yx (f)− (f(y)− f(x))].

Zgodnie z oszacowaniem (10.62) mamy

W yx (f) f(y)− f(x) oraz W yx (f) −(f(y)− f(x)),

a stąd φ(y)−φ(x) 0 i ψ(y)−ψ(x) 0. Zamyka to część pierwszą dowodu. Niech teraz f = φ1−ψ1 i φ1, ψ1 będą funkcjaminiemalejącymi. Wówczas dla dowolnych x, y ∈ [a, b] takich, że mamy zgodnie z dowodem punktu (i) twierdzenia 10.8.6

W yx (f) ¬W yx (φ1) +W yx (ψ1) = φ1(y)− φ1(x) + ψ1(y)− ψ1(x).

Mamy więc

φ(y)− φ(x) = 12(W yx (f) + f(y)− f(x)) =

12(W yx (f) + φ1(y)− φ1(x)− (ψ1(y)− ψ1(x)))

¬ 12(φ1(y)− φ1(x)) ¬ φ1(y)− φ1(x).

Analogicznie otrzymujemyψ(y)− ψ(x) ¬ ψ1(y)− ψ1(x).

2

Twierdzenie 10.8.8 Każda funkcja o wahaniu skończonym na przedziale [a, b] ma co najwyżej przeliczalną ilość punktównieciągłości. Ponadto wszystkie nieciągłości są nieciągłościami pierwszego rodzaju.

Szkic dowodu.Wynika to z twierdzeń 10.8.7 i 7.7.2 oraz wniosku 7.7.1. 2

Niech teraz α będzie funkcją o wahaniu skończonym i niech φ i ψ będą funkcjami niemalejącymi z kanonicznego rozkładuJordana, zaś funkcja f funkcją ograniczoną.

Definicja 10.8.4 Mówimy, że funkcją f jest całkowalna w sensie Riemanna - Stieltjesa na odcinku [a, b] względem funkcjiα o wahaniu skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ R(φ, [a, b]) ∩R(ψ, [a, b]). Wyraża się ona wtedy wzorem

b∫a

fdα =

b∫a

fdφ−b∫a

fdψ. (10.66)

Uwaga 10.8.3 Podejście zaprezentowane w tym skrypcie różni się od podejścia w ostatniej pozycji cytowanej w bibliografii.Jednak oba są równoważne na podstawie twierdzenia 2 str. 31, twierdzenia 3 str. 32, twierdzenia 5 str. 34. Ponadto całkaRiemanna-Stieltjesa względem funkcji niemalejącej opisuje się jako punkt wyjścia do ogólniejszych rozważań.

Rozdział 11

Całki niewłaściwa

11.1 Całki niewłaściwe Riemmana

Uwaga 11.1.1 Ze względów poglądowych przedstawimy oddzielnie definicję całki niewłaściwej na przedziale nieograniczonym,a dokładniej na półprostych.

Definicja 11.1.1 Niech f : [a,+∞[→ R. Załóżmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej b takiej, że b > a funkcja f jest

całkowalna w sensie Riemanna na odcinku [a, b] (tzn. f ∈ R([a, b]). Mówimy, że całka niewłaściwa+∞∫a

f(x)dx jest zbieżna

(funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na półprostej [a,+∞[) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica

limb→+∞

b∫a

f(x)dx. Piszemy wtedy

+∞∫a

f(x)dx = limb→+∞

b∫a

f(x)dx.

W przypadku, gdy granica limb→+∞

b∫a

f(x)dx nie istnieje lub istnieje, ale jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa

+∞∫a

f(x)dx jest rozbieżna.

Definicja 11.1.2 Niech f : ] − ∞, b] → R. Załóżmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a takiej, że b > a funkcja f jest

całkowalna w sensie Riemanna na odcinku [a, b] (tzn. f ∈ R([a, b]). Mówimy, że całka niewłaściwab∫−∞


(funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na półprostej [−∞, b[) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica

lima→−∞

b∫a


b∫−∞

f(x)dx = lima→−∞

b∫a

f(x)dx.

W przypadku, gdy granica lima→−∞

b∫a


b∫−∞


Uwaga 11.1.2 Dwie poniższe definicje są uogólnieniem poprzednich i zawierają w sobie możliwość nieograniczonego prze-działu (półproste), jak również dopuszczają nieograniczoność funkcji.Należy wtedy jedynie poprawnie interpretować granice jednostronne. W przypadku, gdy B = +∞ i A = −∞ należy je

rozumieć jako granice w nieskończonościach.

Definicja 11.1.3 Niech a < B ¬ +∞ i niech f : [a,B[→ R. Załóżmy, że dla dowolnego b takiego, że a < b < B funkcja f

jest całkowalna w sensie Riemanna na odcinku [a, b] (tzn. f ∈ R([a, b]). Mówimy, że całka niewłaściwaB∫a


129


(funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a,B[) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica

limb→B−

b∫a


B∫a

f(x)dx = limb→B−

b∫a

f(x)dx.

W przypadku, gdy granica limb→B−

b∫a


B∫a


Definicja 11.1.4 Niech −∞ ¬ A < b i niech f : ]A, b] → R. Załóżmy, że dla dowolnego a takiego, że A < a < b funkcja f

jest całkowalna w sensie Riemanna na odcinku [a, b] (tzn. f ∈ R([a, b]). Mówimy, że całka niewłaściwab∫A


(f jest całkowalna) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica lima→A+

b∫a


b∫A

f(x)dx = lima→A+

b∫a

f(x)dx.

W przypadku, gdy granica lima→A+

b∫a


b∫A


Przykład 11.1.1 Całka+∞∫1

1xα dx jest zbieżna dla α > 1 i rozbieżna dla α ¬ 1.

Mamy bowiem dla dowolnego b > 1

b∫1

1xαdx =

{ ln b dla α = 111−α

(1bα−1 − 1

)dla α 6= 1

limb→+∞

ln b = +∞

limb→+∞

1bα−1

={+∞ dla α < 10 dla α > 1

.

Przykład 11.1.2 Całka1∫0

1xα dx jest zbieżna dla α < 1 i rozbieżna dla α 1.

W tym przypadku dla 0 < b < 1 mamy

1∫b

1xαdx =

{− ln b dla α = 111−α

(1− 1

bα−1

)dla α 6= 1

limb→0+

ln b = −∞

limb→0+

1bα−1

={+∞ dla α > 10 dla α < 1

.

Twierdzenie 11.1.1 Jeżeli f ∈ R([a,B]), to całka niewłaściwa istnieje i jest równa całce Riemanna po przedziale [a,B].

Szkic dowodu.Zgodnie z twierdzeniem 10.6.1 funkcja Ff (t) =

∫ taf(x)dx jest jednostajnie ciągła na [a,B], a więc ciągła (twierdzenie

7.3.1) w tym przedziale. Oznacza to, żelimt→B+

Ff (t) = Ff (B),


Wszystkie twierdzenia będziemy formułować tylko dla przypadku przedziału [a, ω[, gdzie albo ω ¬ +∞. Będziemy zakła-dać, że dla dowolnego b takiego, że b ∈]a, ω[ mamy f ∈ R([a, b]).


Twierdzenia dla przedziału ]ω,b], gdzie ω −∞ są analogiczne.Niech f1, f2, f : [a, ω[→ R i niech α, β, γ ∈ R.

Twierdzenie 11.1.2 (Własności całek niewłaściwych) Załóżmy, że funkcje f1, f2, f są całkowalne w sensie Riemannana przedziale [a, ω[.(i) Wtedy

ω∫a

(αf1(x) + βf2(x))dx jest zbieżna oraz

ω∫a

(αf1(x) + βf2(x))dx = α

ω∫a

f1(x)dx+ β

ω∫a

f2(x)dx (11.1)

∀c∈]a,ω[

ω∫c

f(x)dx jest zbieżna oraz

ω∫a

f(x)dx =

c∫a

f(x)dx+

ω∫c

f(x)dx (11.2)

(ii) Jeżeli spełnione są warunki φ: [α, γ[→ [a, ω[, jest surjekcją rosnącą taką, że φ ∈ D1([α, γ[) i φ′ ∈ R([α, β]) dla dowolnegoβ z przedziału ]α, γ[, to wtedy

γ∫α

(f ◦ φ)(t)φ′(t)dt jest zbieżna orazγ∫α

(f ◦ φ)(t)φ′(t)dt =ω∫a

f(x)dx. (11.3)

(iii) Niech F,G: [a, ω[→ R takie, że F,G ∈ D1([a, ω[) oraz funkcje f ≡ F ′, g ≡ G′ ∈ R([a, b]) dla dowolnego a < b < ω i

istnieje skończona granica limb→ω−

F (b)G(b). To wtedy całka niewłaściwaω∫a

F (x)g(x)dx jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy

całka niewłaściwaω∫a

f(x)G(x)dx jest zbieżna. Zachodzi ponadto równość

ω∫a

F (x)g(x)dx = limb→ω−

F (b)G(b)− F (a)G(a)−ω∫a

f(x)G(x)dx. (11.4)

Szkic dowodu.Dowód(i). Własność (11.1) jest konsekwencją własności (10.17) i (10.18) i definicji całki niewłaściwej. Natomiast wła-

sność (11.2) jest konsekwencją własności (10.20).Dowód(ii). Wynika z wniosku 10.4.1.Dowód(iii). Wynika z twierdzenia 10.6.4. 2

Lemat 11.1.1 Jeżeli funkcja jest f jest nieujemna, to Ff jest niemalejąca.

Szkic dowodu.Niech b1, b2 ∈ [a, ω[. Załóżmy, że b1 < b2. Wtedy

Ff (b2) =

b2∫a

f(x)dx =

b1∫a

f(x)dx+

b2∫b1

f(x)dx = Ff (b1) +

b2∫b1

f(x)dx Ff (b1),

zgodnie z własnością (10.19) i lematem 10.6.1. 2

Twierdzenie 11.1.3 Funkcja nieujemna f jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, ω[ wtedy i tylko wtedy, gdyFf jest ograniczona na [a, ω[.

Szkic dowodu.(Konieczność) Z lematu 11.1.1 mamy, że funkcja Ff jest niemalejącą, a ponieważ całka niewłaściwa jest zbieżna, więc

funkcja Ff jest ograniczona z góry (twierdzenie 7.1.8). Ponadto Ff jest nieujemna, a więc jest ograniczona.(Dostateczność) Analogicznie jak w części (i) otrzymujemy tezę korzystając z twierdzenia 7.1.7. 2

Twierdzenie 11.1.4 (Kryterium porównawcze) Niech 0 ¬ f ¬ g na przedziale [a, ω[. Wtedy

(i) jeżeli całka niewłaściwaω∫a

g(x)dx jest zbieżna, to całka niewłaściwaω∫a

f(x)dx jest zbieżna.

(ii) jeżeli całka niewłaściwaω∫a

f(x)dx jest rozbieżna, to całka niewłaściwaω∫a

g(x)dx jest rozbieżna.


Szkic dowodu.Mamy

0 ¬ Ff ¬ Fg.

Tezy naszego twierdzenia otrzymujemy z lematu 11.1.1 oraz odpowiednio z twierdzeń 7.1.4 i 7.1.5 2

Przykład 11.1.3 Całka+∞∫1e−x

2dx jest zbieżna, bo zbieżna jest całka

+∞∫1e−xdx oraz 0 < e−x

2 ¬ e−xdx na przedziale

[1,+∞[.


√x√1+x4

dx jest zbieżna, bo zbieżna jest całka+∞∫1x−

32 dx.

Twierdzenie 11.1.5 Niech f, g: [a, ω[→ R będą funkcjami nieujemnymi. Załóżmy, że istnieje (skończona lub niewłaściwa)granica

limx→ω−

f(x)g(x)

= A.

Przy czym jeżeli A = 0, to obie funkcje są dodatnie na pewnym przedziale [α, ω[ dla α ∈ [a, ω[. Wtedy

(i) jeżeli A < +∞, to ze zbieżności całki niewłaściwejb∫a

g(x)dx wynika zbieżność całki niewłaściwej z funkcjib∫a

f(x)dx.

(ii) jeżeli A > 0, to z rozbieżności całki niewłaściwej z funkcjib∫a

g(x)dx wynika rozbieżność całki niewłaściwejb∫a

f(x)dx.

Szkic dowodu.Dowód(i).Rozważmy następujące przypadki:

Przypadek I. A > 0.Przypadek II. A = 0.Ad. I Rozważmy dodatnią liczbę δ taką, że

∀x∈[a,ω[0 < d(ω, x) < δ ⇒∣∣∣∣f(x)g(x)

−A∣∣∣∣ < A

2,

gdzie d jest metryką na prostej euklidesowej, jeżeli ω ∈ R i d jest metryką na prostej rozszerzonej jeżeli ω = +∞. NiechEδdef= {x ∈ [a, ω[: d(ω, x) = δ2}. Zauważmy, że zbiór Eδ zawiera co najwyżej jeden punkt. Niech

b ={a dla Eδ = ∅xδ dla xδ ∈ Eδ

.

Na podstawie warunku (11.2) twierdzenia 11.1.2 wystarczy, że udowodnimy twierdzenie dla przedziału [b, ω[. Dla dowolnegox ∈ [b, ω[ mamy

0 <A

2<f(x)g(x)

<3A2.

Stąd ze względu na nieujemność funkcji f i g otrzymujemy, że dla x ∈ [b, ω[ obie funkcje są dodatnie oraz

0 <A

2g(x) < f(x) <

3A2g(x). (11.5)

Oszacowanie z góry funkcji f kończy dowód w tym przypadku na mocy twierdzenia 11.1.4.Ad. II. Rozważmy dodatnią liczbę δ taką, że

∀x∈[a,ω[0 < d(ω, x) < δ ⇒∣∣∣∣f(x)g(x)

∣∣∣∣ < 1,gdzie d ma to samo znaczenie, jak poprzednio. Analogicznie określamy zbiór Eδ. Niech

b ={max{a, α} dla Eδ = ∅max{xδ, α} dla xδ ∈ Eδ

.

Dla dowolnego x ∈ [b, ω[ obie funkcje są dodatnie i zachodzi oszacowanie

0 < f(x) < g(x).


Co tak, jak poprzednio kończy dowód.Dowód(ii). Jeżeli A 6= +∞, to twierdzenie wynika z oszacowania (z dołu funkcji f) (11.5) i twierdzenia 11.1.4.Dla A = +∞ rozważmy dodatnią liczbę δ taką, że

∀x∈[a,ω[0 < d(ω, x) < δ ⇒ f(x)g(x)

> 1,

gdzie d ma to samo znaczenie jak poprzednio. Zauważmy, że następnik tej implikacji został już przekształcony z metryki dlaprostej euklidesowej rozszerzonej na wartości rzeczywiste – dE1(p,+∞) jest pewną półprostą na R. Powtarzając poprzednierozumowanie dla zbioru Eδ i punktu b otrzymujemy tezę. 2

Wniosek 11.1.1 Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia 11.1.5, to dla A skończonego i niezerowego całki niewłaściweb∫a

g(x)dx ib∫a

f(x)dx są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Szkic dowodu.Wystarczy zauważyć, że dla A niezerowego i skończonego można rozważać dwa ilorazy fg i

gf . Obie granice w punkcie ω

−

są wtedy skończone i niezerowe. 2

Twierdzenie 11.1.6 (Całkowe kryterium zbieżności szeregu) Niech funkcja f : [1,+∞[→ R będzie nieujemna i niero-snąca oraz dla dowolnego b ∈ [1,+∞[ spełniony jest warunek f ∈ R([1, b]). Wtedy następujące warunki są równoważne

(i)∞∑n=1

f(n) jest zbieżny.

(ii)+∞∫1f(x)dx jest zbieżna.

Szkic dowodu.

Mamy Ff (N) =N∫1f(x)dx. Dla N > 1 określmy

SNdef=N−1∑i=1

f(i), SNdef=

N∑i=2

f(i).

Mamy wtedy SN ¬ Ff (N) ¬ SN oraz SN = SN+1 − f(1). Daje to

0 ¬ SN+1 − f(1) ¬ Ff (N) ¬ SN . (11.6)

Ponieważ limn→∞

SN =∞∑n=1

f(n), więc oszacowanie (11.6) dowodzi równoważności obu warunków. 2

Definicja 11.1.5 Całkę niewłaściwąω∫a

f(x)dx nazywamy bezwzględnie zbieżną wtedy i tylko wtedy, gdy całka niewłaściwa

ω∫a

|f(x)|dx jest zbieżna.

Twierdzenie 11.1.7 Całka niewłaściwa bezwzględnie zbieżna jest zbieżna.

Szkic dowodu.Ponieważ 0 ¬ f± ¬ |f | oraz f = f+ − f−, |f | = f+ + f− i

ω∫a

|f(x)|dx jest zbieżna, więc stosując twierdzenie 11.1.4

dostajemy zbieżność całek niewłaściwychω∫a

f±(x)dx. Ich różnica jest zbieżna na mocy twierdzenia 11.1.2. Stąd otrzymujemy

zbieżność całkiω∫a

f(x)dx. 2

Twierdzenie 11.1.8 (Kryterium porównawcze zbieżności bezwzględnej) Niech |f | ¬ g na przedziale [a, ω[. Wtedy,

jeżeli całka niewłaściwaω∫a

g(x)dx jest zbieżna, to całka niewłaściwaω∫a

f(x)dx jest zbieżna, a nawet bezwzględnie zbieżna.

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować twierdzenie 11.1.4 i twierdzenie 11.1.7. 2



sin xx dx jest zbieżna, lecz nie jest bezwzględnie zbieżna.

Zauważmy, że ∫sinxx

dx = −cosxx+∫cosxx2

dx.

Ponieważ

limx→+∞

cosxx= 0

i całka+∞∫1

cos xx2 dx jest bezwzględnie zbieżna, więc całka

+∞∫1

sin xx dx jest zbieżna. Natomiast dla x ∈ [0, 1] mamy 0 ¬ sin xx ¬ 1.

Stąd zbieżna jest całka1∫0

sin xx dx i ostatecznie otrzymujemy zbieżność rozważanej całki.

Mamy też

nπ∫0

| sinx|x

dx =n−1∑k=0

(k+1)π∫kπ

| sinx|x

dx n−1∑k=0

1(k + 1)π

(k+1)π∫kπ

| sinx|dx = 2π

n−1∑k=0

1(k + 1)

=2π

n∑k=1

1k−→ +∞,

co dowodzi, że nasza całka nie jest bezwzględnie zbieżna.

Twierdzenie 11.1.9 Całka niewłaściwaω∫a

f(x)dx jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃a0∈]a,+∞[∀A,B∈Ra0 < A ¬ B ⇒

∣∣∣∣∣∣B∫A

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε dla ω = +∞; (11.7)

∀ε>0∃δ>0∀A,B∈R0 < ω −A < δ ∧ 0 < ω −B < δ ∧ a ¬ A ¬ B ⇒

∣∣∣∣∣∣B∫A

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε dla ω skończonego. (11.8)

Szkic dowodu.Ponieważ zbieżność całki jest równoważne istnieniu skończonej granicy lim

x→ω−Ff (x), to na podstawie twierdzenia 7.1.9

mamy ∣∣∣∣∣∣B∫A

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣B∫a

f(x)dx−A∫a

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε,

dla dowolnego ε i pewnego a0 takiego, że a0 < A ¬ B i ω = +∞ lub pewnego dodatniego δ takiego, że 0 < ω − A < δ,0 < ω −B < δ i a ¬ A ¬ B w przypadku, gdy ω jest skończone. 2

Twierdzenie 11.1.10 (Kryterium Dirichleta) Jeżeli funkcje f, g: [a, ω[→ R spełniają założenia

(i) [a, ω[3 b 7→ Ff (b) =b∫a

f(x)dx jest ograniczona;

(ii) g jest monotoniczna i limt→ω−

g(t) = 0;

to całkaω∫a

f(x)g(x)dx jest zbieżna.

Szkic dowodu.Udowodnimy tylko w przypadku, gdy ω = +∞. Dowód dla skończonego ω jest identyczny.Niech M = sup

x∈[a,ω[|Ff (x)|. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy takie a0, że

∀xa0 |g(x)| <ε

4M + 1.

Z II twierdzenia o wartości średniej (twierdzenie 10.7.2) mamy, że dla dowolnych A,B takich, że a < A ¬ B

B∫A

f(x)g(x)dx = g(A)

ξ∫A

f(x)dx+ g(B)

B∫ξ

f(x)dx


dla pewnego ξ ∈ [A,B]. Niech A,B będą dowolne i takie, że B A > a0. Wtedy rozważmy takie ξ ∈]A,B[, że∣∣∣∣∣∣B∫A

f(x)g(x)

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣g(A)

ξ∫A

f(x)dx+ g(B)

B∫ξ

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣∣ ¬ |g(A)|∣∣∣∣∣∣ξ∫A

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣+ |g(B)|∣∣∣∣∣∣∣B∫ξ

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣∣ < 4M ·ε

4M + 1= ε,

gdyż ∣∣∣∣∣∣ξ∫A

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ = |Ff (A)− Ff (ξ)| ¬ |Ff (A)|+ |Ff (ξ)| ¬ 2Mi analogicznie dla

∣∣∣∣∣B∫ξ f(x)dx∣∣∣∣∣ ¬ 2M . Kończy do dowód na mocy twierdzenia 11.1.9. 2

Twierdzenie 11.1.11 (Kryterium Abela) Jeżeli funkcje f, g: [a, ω[→ R spełniają założenia

(i) całkaω∫a

f(x)dx jest zbieżna;

(ii) g jest monotoniczna i ograniczona,

to całkaω∫a

f(x)g(x)dx jest zbieżna.

Szkic dowodu.Udowodnimy tak jak poprzednio tylko w przypadku, gdy ω = +∞. Dowód dla skończonego ω jest identyczny.Niech M = sup

x∈[a,ω[|g(x)|. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy takie a0 > a, że

∀A,B,ξa0 < A ¬ ξ ¬ B ⇒

∣∣∣∣∣∣ξ∫A

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε

2M + 1, oraz

∣∣∣∣∣∣∣B∫ξ

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣∣ <ε

2M + 1.

Wykorzystaliśmy tutaj twierdzenie 11.1.9.Z II twierdzenia o wartości średniej (twierdzenie 10.7.2) mamy, że dla dowolnych A,B takich, że a < A ¬ B

B∫A

f(x)g(x)dx = g(A)

ξ∫A

f(x)dx+ g(B)

B∫ξ

f(x)dx

dla pewnego ξ ∈ [A,B]. Niech A,B będą dowolne i takie, że B A > a0. Wtedy rozważmy takie ξ ∈]A,B[, że∣∣∣∣∣∣B∫A

f(x)g(x)

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣g(A)

ξ∫A

f(x)dx+ g(B)

B∫ξ

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣∣ ¬ |g(A)|∣∣∣∣∣∣ξ∫A

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣+ |g(B)|∣∣∣∣∣∣∣B∫ξ

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣∣ < 2M ·ε

2M + 1= ε.

Kończy do dowód na mocy twierdzenia 11.1.9. 2

Przykład 11.1.6 Całka+∞∫a

sin xxα dx, gdzie a > 0, jest bezwzględnie zbieżna dla α > 1 oraz zbieżna dla 0 < α ¬ 1.

Zbieżność bezwzględna dla α > 1 i x > 0 wynika z oszacowania∣∣∣∣ sinxxα

∣∣∣∣ ¬ 1xαi przykładu 11.1.1 i twierdzenia 11.1.4.Zbieżność dla α = 1 już udowodniliśmy w przykładzie 11.1.5.Natomiast dla α ∈]0, 1[ zbieżność otrzymujemy stosując kryterium Dirichleta.

Przykład 11.1.7 Całka+∞∫0sin(x3)dx jest zbieżna.

Ponieważ∫x2 sinx3dx = 13 sinx

3 + c oraz

∣∣∣∣∣ b∫a sinxdx∣∣∣∣∣ ¬ 2, więc∣∣∣∣∣∣

b∫a

x2 sinx3dx

∣∣∣∣∣∣ ¬ 23 .Zbieżność wynika więc z kryterium Dirichleta.


11.2 Zbieżność całki w sensie wartości głównej

Definicja 11.2.1 Niech f :R→ R oraz dla dowolnych a < b mamy f ∈ R([a, b]). Mówimy, że całka niewłaściwa+∞∫−∞

f(x)dx

jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego c ∈ R całkic∫−∞

f(x)dx i+∞∫c

f(x)dx niewłaściwe są zbieżne. Piszemy wtedy

+∞∫−∞

f(x)dx def=

c∫−∞

f(x)dx+

+∞∫c

f(x)dx. (11.9)

Uwaga 11.2.1 Należy podkreślić, że trzeba udowodnić, że definicja nie zależy od wyboru punktu c.Udowodnimy to teraz. Niech c0 6= c. Bez straty ogólności możemy założyć, że c0 > c. Ponieważ mamy

c0∫−∞

f(x)dx =

c∫−∞

f(x)dx+

c0∫c

f(x)dx oraz

+∞∫c

f(x)dx =

c0∫c

+

+∞∫c0

f(x)dx,

więcc0∫−∞

f(x)dx+

+∞∫c0

f(x)dx =

c∫−∞

f(x)dx+

c0∫c

f(x)dx+

+∞∫c0

f(x)dx−c0∫c

f(x)dx =

c∫−∞

f(x)dx+

+∞∫c

f(x)dx.

Definicja 11.2.2 Niech f :R → R oraz dla dowolnych a < b niech f ∈ R([a, b]). Mówimy, że całka niewłaściwa+∞∫−∞

f(x)dx

jest zbieżna w sensie wartości głównej Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica

limR→+∞

R∫−R

f(x)dx. (11.10)

Oznaczamy jej wartość przez V.P.+∞∫−∞

f(x)dx.

Przykład 11.2.1 Rozważmy funkcję f :R→ R określoną wzorem

f(x) ={1 dla x 0−1 dla x < 0

.

Wtedy dla dowolnego R > 0 mamyR∫0f(x)dx = R oraz

0∫−R

f(x)dx = −R, a więc obie całki niewłaściwe są rozbieżne, ale

R∫−R

f(x)dx = 0 i stąd V.P.+∞∫−∞

f(x)dx = 0.

Lemat 11.2.1 Jeżeli f ∈ R([a, b]), to fP , fN ∈ R([a, b]).

Szkic dowodu.Ponieważ fP = f+(f◦(−Id))2 oraz fN = f−(f◦(−Id))2 , więc teza wynika z twierdzenia 10.3.1. 2

Lemat 11.2.2 Niech R > 0 Jeżeli f ∈ R([−R,R]), toR∫−R

fP (x)dx = 2

R∫0

fP (x)dx oraz

R∫−R

fN (x)dx = 0. (11.11)

Szkic dowodu.Mamy

R∫−R

fP (x)dx =

0∫−R

fP (x)dx+

R∫0

fP (x)dx.

Dokonując w pierwszej całce po prawej stronie równości podstawienia −t = x i korzystając z parzystości funkcji fP widzimy,że jest ona równa drugiej. W przypadku funkcji fN dokonując tych samych przekształceń otrzymujemy dwie całki różniącesie tylko znakiem. 2


Twierdzenie 11.2.1 Niech f :R → R oraz dla dowolnych a < b mamy f ∈ R([a, b]). Całka niewłaściwa+∞∫−∞

f(x)dx jest

zbieżna w sensie wartości głównej Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżna całka niewłaściwa+∞∫0fP (x)dx.

Ponadto wtedy mamy

V.P.

+∞∫−∞

f(x)dx = 2

+∞∫0

fP (x)dx. (11.12)

Szkic dowodu.Mamy

R∫−R

f(x)dx =

R∫−R

(fP (x) + fN (x))dx =

R∫−R

fP (x)dx+

R∫−R

fN (x)dx = 2

R∫0

fP (x)dx,

co dowodzi równoważności obu warunków. 2

Definicja 11.2.3 Niech f : [a, c[∪]c, b] → R, gdzie a < c < b. Niech dla dowolnych a1, b1 takich, że a < a1 < c < b1 < b

mamy f ∈ R([a, a1])∩R([b1, b]). Mówimy, że całkab∫a

f(x)dx jest zbieżna w sensie wartości głównej wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje skończona granica

limδ→0+

c−δ∫a

f(x)dx+

b∫c+δ

f(x)dx

(11.13)

Oznaczamy wtedy jej wartość przez V.P.b∫a

f(x)dx.

Przykład 11.2.2 Niech a < 0 < b. Wtedy V.P.b∫a

1xdx = ln

b|a| , chociaż nie istnieją całki

0∫a

1xdx i

b∫0

1xdx.

Zauważmy bowiem że dla dodatniego δ takiego, że a < −δ i δ < b mamy

−δ∫a

1xdx+

b∫δ

1xdx = ln |x|

]δa + ln |x|

]bδ = ln δ − ln |a|+ ln b− ln δ = ln

b

|a|

limδ→0+

−δ∫a

1xdx = −∞∧ lim

δ→0+

b∫δ

1xdx = +∞

11.3 Ważne całki niewłaściwe

Definicja 11.3.1 Całką Eulera II rodzaju lub funkcją gamma nazywamy funkcje

]0,+∞[7→ Γ(x) def=+∞∫0

tx−1e−tdt. (11.14)

Dowód poprawności definicjiRozważmy całki

I1 ≡1∫0

tx−1e−tdt ∧ I2 ≡+∞∫1

tx−1e−tdt.

Udowodnimy, że obie są zbieżne. Dla t ∈]0, 1[ mamy 0 < tx−1e−t ¬ tx−1, a ponieważ x ∈]0,+∞[, więc 1− x < 1 i stąd

I1 ¬1∫0

tx−1dt =

1∫0

1t1−x

dt,

która jest zbieżna zgodnie z przykładem 11.1.2.


Natomiast, gdy t ∈ [1,+∞[ mamy

tx−1e−t =tx+1

et· 1t2.

Funkcja g(t) = tx+1

et jest ograniczona dla t 1 (ma maksimum w punkcie t = x + 1 wynoszące (x + 1)x+1e−x−1) i stądsupt1

g(t) ¬ max{(x + 1)x+1e−x−1, e−1}. Można więc skorzystać z kryterium Abela (twierdzenie 11.1.11) dla funkcji g i

f(t) = 1t2 , aby otrzymać zbieżność całki I2. Należy zauważyć, że wcześniej należy przedział [1,+∞[ rozbić na dwa [1, x+ 1]

i [x+ 1,+∞[ i tak naprawdę kryterium Abela stosujemy do drugiego przedziału. 2

Uzasadnienie Dla funkcji [1,+∞[3 t 7→ f(t) = tx+1

et mamy

f ′(t) =tx(x+ 1− t)

et, f ′′(t) =

tx−1(t2 − t(2x+ 1) + x2 + x− 1)et

.

Wynika stąd, że

f ′(t) = 0⇔ t = x+ 1, ∧ f ′′(x+ 1) = − 1ex+1

.

2

Uwaga 11.3.1 Mamy tutaj doczynienia z nieskończonym przedziałem całkowania oraz osobliwością w zerze (wartość funkcjidąży do nieskończoności).

Definicja 11.3.2 Całką Eulera I rodzaju lub funkcją beta nazywamy funkcje

(p, q) 3]0,+∞[×]0,+∞[7→ β(p, q) def=

1∫0

xp−1(1− x)q−1dx (11.15)

Dowód poprawności definicji

Jeżeli p 1 oraz q 1, to wtedy mamy doczynienia z funkcją podcałkową, która jest ciągła na [0, 1], a więc jest całkowalnaw sensie Riemanna (twierdzenie 10.2.1). Niech teraz p ∈]0, 1[ lub q ∈]0, 1[. Przedstawmy całkę w postaci sumy dwóch całek

I1 =

12∫0

xp−1(1− x)q−1dx ∧ I2 =1∫12

xp−1(1− x)q−1dx.

Zauważmy, że w całce I1 mamy nieograniczoność dla p ∈]0, 1[ w punkcie x = 0, a w całce I2 mamy nieograniczonośćdla q ∈]0, 1[ w punkcie x = 1. Dla całki I1 określając funkcje nieujemne f(x) = xp−1(1 − x)q−1 i g(x) = xp−1 widzimy, że

limx→0+

f(x)g(x) = 1 oraz całka

12∫0xp−1dx =

12∫0

1x1−p dx jest zbieżna (przykład 11.1.2). Z twierdzenia 11.1.5 całka I1 jest więc zbieżna.

Podobnie dla całki I2 mamy f(x) = xp−1(1− x)q−1 i g(x) = (1− x)q−1 widzimy, że limx→1−

f(x)g(x) = 1 oraz całka

1∫12

(1− x)q−1dx =1∫12

1(1− x)1−q

dx

jest zbieżna, gdyż można ją sprowadzić do całki12∫0

1x1−q dx. 2

Definicja 11.3.3 Całką Fresnela nazywamy całkę

+∞∫0

sin(x2)dx. (11.16)

Lemat 11.3.1 Całka Fresnela jest zbieżna.


Szkic dowodu.Dokonując podstawienia x2 = t i rozkładając na sumę dwóch całek mamy

+∞∫0

sin(x2)dx =12

1∫0

sin t√tdt+

+∞∫1

sin t√tdt.

.

Zgodnie z przykładem 11.1.6, druga z całek jest zbieżna. Natomiast pierwsza całka, ze względu na oszacowanie∣∣∣∣ sin t√t∣∣∣∣ ¬ 1√t

i przykład 11.1.2, jest bezwzględnie zbieżna. 2

11.4 Funkcja logarytmiczna (wg Kleina) i wykładnicza – inaczej

Przedstawimy inna definicję funkcji logarytmicznej i wykładniczej.Niech a < b i f : [a, b]→ R będzie funkcją ograniczoną oraz niech f ∈ R([a, b]).Przyjmujemy następującą definicję.

a∫b

f(x)dx def= −b∫a

f(x)dx. (11.17)

Definicja 11.4.1 Funkcję

]0,+∞[3 x 7→ lnx def=x∫1

1tdt (11.18)

nazywamy logarytmem naturalnym.

Twierdzenie 11.4.1 (Własności logarytmu) (i) Funkcja określona na ]0,+∞[;(ii) ln 1 = 0;(iii) logarytm naturalny jest funkcją rosnącą;(iv) ln(xy) = lnx+ ln y;(iv)′ lnxn = n lnx;

(iv)′′ ln(n∏l=1

xl

)=n∑l=1lnxl;

(v) ln 1x = − lnx;(vi) ln(]0,+∞[) = R.

Szkic dowodu.Własności (i) – (iii) wynikają bezpośrednio z określenia funkcji logarytmicznej.Dowód (iv). Niech x będzie zmienną, a y parametrem. Mamy wtedy ddx (ln(xy)) =

1xy · y =

1x . Stąd ln(xy) = lnx+ c, a

z własności (ii) dla x = 1 mamy ln y = c, co kończy dowód.Własności (iv)′ i (iv)′′ są prostą konsekwencją (iv).Dowód (v). Dla dowolnego dodatniego x zgodnie z własnościami (ii) – (iv) mamy

0 = ln 1 = ln(1x· x) = ln 1

x+ lnx.

Dowód (vi). Zgodnie z twierdzeniem 10.6.1 funkcja logarytmiczna jest jednostajnie ciągła (na każdym odcinku do-mkniętym), a więc ciągła jest funkcją ciągłą, a ponieważ ]0,+∞[ jest przedziałem, więc z wniosku 7.6.1 obraz tej półprostejjest też przedziałem. Własność (iv)′ (łącznie z własnością (iii)) gwarantuje, że granica w plus nieskończoności jest plusnieskończonością, natomiast własność (v) daje nam granicę prawostronną w zerze równą minus nieskończoności. 2

Definicja 11.4.2 Funkcję odwrotną do logarytmu naturalnego tzn.

exp(x) def=(lnx)−1 (11.19)

nazywamy funkcją wykładniczą.


Twierdzenie 11.4.2 (Własności funkcji wykładniczej) (i) exp:R→]0,+∞[;(ii) (expx)′ = expx;(iii) exp 0 = 1;(iv) exp(x+ y) = expx · exp y;(iv)′ exp(nx) = (expx)n;

(iv)′′ exp(n∑l=1

xl

)=n∏l=1expxl;

(v) exp(−x) = 1exp x .

Szkic dowodu.Własność (i) wynika z definicji funkcji wykładniczej, jak funkcji odwrotnej.Dowód (ii). Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej (twierdzenie 8.2.3) mamy

d

dx(expx) =

1(ddy ln y

)|y=exp x

=11exp x

= expx.

Własność (iii) wynika z twierdzenia 11.4.1(ii).Dowód (iv). Niech x = ln ξ i y = ln η. Mamy wtedy

exp(x+ y) = exp(ln ξ + ln η) = exp(ln(ξ · η)) = (ξ · η) = expx · exp y.

Własności (iv)′ i (iv)′′ są prostą konsekwencją (iv).Dowód (v). Mamy

1 = exp 0 = exp(x− x) = exp(x) · exp(−x),


Definicja 11.4.3 Wprowadźmy liczbę e następująco

edef= exp(1). (11.20)

Twierdzenie 11.4.3 Mamy następującą równośće = e, (11.21)

gdzie e = limn→∞

(1 + 1n

)n.

Szkic dowodu.Niech x będzie dowolną liczba dodatnią. Mamy wtedy

1x=

d

dx(lnx) = lim

h→0

ln(x+ h)− lnxh

= limh→0

ln(x+hx )h

= limh→0

ln(1 + 1xh)h

= limh→0ln(1 +

1xh)1h = ln

(limh→0(1 +

1xh)1h

).

Ponadtoexp(1x) = lim

h→0(1 +

1xh)1h ,

czylie = exp(1) = lim

h→0(1 + h)

1h .

Biorąc h = 1n otrzymujemy naszą tezę. 2

Uwaga 11.4.1 Udowodnimy w następnym twierdzeniu znacznie więcej. Mianowicie, że poprzednie definicje funkcji logaryt-micznej i wykładniczej (za pomocą szeregu) są identyczne z obecnymi (za pomocą całki).

Twierdzenie 11.4.4 Niech f ∈ D1(R) spełnia warunki f ′(x) = f(x) i f(0) = 1. Wtedy f(x) = exp(x).

Szkic dowodu.Niech g(·) = f(·)

exp(·) . Wtedy dla dowolnej liczby rzeczywistej x mamy

g′(x) =f ′(x)(expx)− f(x)(expx)′

(expx)2=f(x)(expx)− f(x)(expx)

(expx)2= 0.

Oznacza to, że funkcja g jest stała, ale g(1) = 1 stąd mamy tezę. 2


Uwaga 11.4.2 Jeżeli wiemy,1 że (ex)′ = ex, to powyższe twierdzenie orzeka, że funkcja wykładnicza wprowadzona w tym

paragrafie jest tym samym co definicja ex przy pomocy szeregu potęgowego tj. postaci ex =∞∑n=1

xk

k! .

Definicja 11.4.4 Funkcją wykładniczą o podstawie a > 0 nazywamy funkcje

R 3 x 7→ axdef= exp(x · ln a) (11.22)

Definicja 11.4.5 Funkcją potęgową nazywamy funkcje

]0,+∞[3 x 7→ xαdef= exp(α · lnx), (11.23)

gdzie α ∈ R.

Definicja 11.4.6 Niech a > 0 i a 6= 1 funkcją odwrotną do potęgi ogólnej nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie atzn.

loga xdef=(ax)−1. (11.24)

Twierdzenie 11.4.5 (Własności funkcji wykładniczej o podstawie a) (i) a0 = 1;(ii) (ax)′ = ax ln a.

Szkic dowodu.Własność (i) wynika z twierdzenia 11.4.2(iii). Natomiast druga z własności wynika z twierdzenia o pochodnej funkcji

złożonej. 2

Twierdzenie 11.4.6 (Własności funkcji potęgowej) (i) xα+β = xα · xβ;(ii) x0 = 1;(iii) x−α = 1

xα ;(iv) (xα)′ = αxα−1.

Szkic dowodu.Własności (i), (ii) wynikają z twierdzenia 11.4.2(iii),(v). Natomiast trzecia wynika z twierdzenia o pochodnej funkcji

złożonej. 2

1O tym przekonamy się już niedługo.

Rozdział 12

Całkowanie funkcji o wartościachwektorowych

12.1 Funkcje wektorowe

Rozważamy Rd, gdzie d 1. Elementy zbioru Rd wektorami.Niech ~x, ~y ∈ Rn wtedy iloczyn skalarny dwóch wektorów oraz długość wektora określamy następująco

~x ◦ ~y def=d∑n=1

xiyi (12.1)

‖~x‖ def=√(~x ◦ ~x) ≡

√√√√ d∑n=1

x2i . (12.2)

Niech A:Rd1 → Rd2 będzie odwzorowaniem liniowym (reprezentuje je macierz A = [aij ]1¬i¬d2,1¬j¬d1) i niech ~x ∈ Rd1 .Wtedy A · ~x jest wektorem z Rd2 , którego współrzędne zdefiniowane są równościami

(A · ~x)jdef=

d1∑n=1

ajnxn

dla j = 1, . . . , d2.

Twierdzenie 12.1.1 Niech dane będą wektory ~x i ~y. Wówczas spełniona jest nierówność Schwarza

|~x ◦ ~y| ¬ ‖~x‖ · ‖~y‖. (12.3)

Szkic dowodu.Jeżeli ~x = Θ lub ~y = Θ, to lewa i prawa strona nierówności (12.3) są zerami, więc teza jest prawdziwa. Niech teraz ~x 6= Θ

i ~y 6= Θ. Ponieważ mamy wtedy∀1¬i¬d∀t∈R(xit+ yi)2 0,

więc oznacza to, że funkcja kwadratowa

f(t) =

(d∑i=1

x2i

)t2 + 2

(d∑i=1

xiyi

)t+

d∑i=1

y2i = ‖~x‖2t2 + 2(~x ◦ ~y)t+ ‖~y‖2

przyjmuje tylko wartości nieujemne. Dla jej wyróżnika oznacza jego niedodatniość. Mamy wtedy

0 ∆ = 4(~x ◦ ~y)2 − 4‖~x‖2 · ‖~y‖2.


Definicja 12.1.1 Funkcją wektorową ~f nazywamy odwzorowanie ~f : [a, b]→ Rd, gdzie

~f(t) = (f1(t), . . . , fd(t)) (12.4)

oraz dla dowolnego i = 1, . . . , d funkcje fi są funkcjami z [a, b] w R.

142


12.2 Długość łuku krzywej

Uwaga 12.2.1 Pisząc, że funkcja wektorowa należy do pewnej klasy (np. jest ciągła, różniczkowalna, całkowalna w sensieRiemanna) mamy na myśli, że wszystkie jej składowe są z tej klasy.

Definicja 12.2.1 Niech ~f ∈ R([a, b],Rd). Wtedy

b∫a

~f(t)dt def=(

b∫a

f1(t)dt, . . .

b∫a

fd(t)dt). (12.5)

Niech ~f ∈ D1([a, b]). Wtedy~f ′(t) def=(f ′1(t), . . . f

′d(t)). (12.6)

Twierdzenie 12.2.1 (Newtona - Leibniza) Jeżeli ~f ∈ R([a, b],Rd) i istnieje funkcja ~F ∈ D1([a, b]) taka, że ~F ′ = ~f , to

b∫a

~f(t) = ~F (b)− ~F (a). (12.7)

Szkic dowodu.Wynika z twierdzenia 10.6.3. 2

Twierdzenie 12.2.2 Jeżeli ~f ∈ R([a, b],Rd), to(i) ‖~f‖ ∈ R([a, b]),

(ii) ‖b∫a

~f(t)dt‖ ¬b∫a

‖~f(t)‖dt.

Szkic dowodu.Dowód (i). Dla dowolnego i = 1, . . . , d mamy fi ∈ R([a, b]). Z twierdzenia 10.3.2 wynika, że f2i ∈ R([a, b]), zaś z

własności 10.18 mamy f21 + f22 + . . . + f

2d ∈ R([a, b]). Ponieważ funkcja pierwiastek kwadratowy jest funkcją ciągłą, więc

zgodnie z twierdzeniem 10.2.4, funkcja ‖~f‖ =√f21 + f

22 + . . .+ f

2d ∈ R([a, b]), jako złożenie funkcji całkowalnej z ciągłą.

Dowód (ii). Niech ~x =b∫a

~f(t)dt. Jeżeli ~x = Θ, to nierówność jest oczywista. Jeżeli ~x 6= Θ, to zgodnie z nierównością

Schwarza (nierówność 12.3) mamy

~x ◦ ~f(t) ¬ |~x ◦ ~f(t)| ¬ ‖~x‖ · ‖~f(t)‖

oraz

‖~x‖2 = ~x ◦ ~x = ~x ◦b∫a

~f(t)dt =

b∫a

(~x ◦ ~f(t))dt ¬b∫a

‖~x‖ · ‖~f(t)‖dt = ‖~x‖ ·b∫a

‖~f(t)‖dt

Porównując wyraz skrajne i dzieląc je przez ‖x‖, który jest niezerowy na mocy założenia otrzymujemy nierówność

‖~x‖ ¬b∫a

‖~f(t)‖dt,

która jest tezą. 2

Definicja 12.2.2 Krzywą w Rd nazywamy dowolną funkcję wektorową ~f : [a, b] → Rd. Krzywe oznaczać będziemy literamialfabetu greckiego.Niech γ będzie krzywą w Rd. Wielkość

supP={t0,t1,...,tn}∈P([a,b])

n∑i=1

‖γ(ti)− γ(ti−1)‖ ∈ [0,+∞], (12.8)

nazywamy długością krzywej i oznaczamy L(γ).Krzywą γ nazywamy prostowalną wtedy i tylko wtedy, gdy L(γ) < +∞.


Twierdzenie 12.2.3 Niech γ: [a, b]→ Rd będzie krzywą klasy C1([a, b]). Wtedy krzywa γ jest prostowalna oraz

L(γ) =

b∫a

‖γ′(t)‖dt, (12.9)

gdzie ‖γ′(t)‖ =√(γ′1(t))2 + . . .+ (γ

′d(t))

2.

Szkic dowodu.Niech P = {x0, x1, . . . , xn} ∈ P([a, b]) będzie dowolnym podziałem. Mamy wtedy, zgodnie z twierdzeniami 12.2.1,

12.2.2(ii) następujące oszacowanie

‖γ(xi)− γ(xi−1)‖ = ‖xi∫

xi−1

γ′(t)dt‖ ¬xi∫

xi−1

‖γ′(t)‖dt.

Mamy więc

n∑i=1

‖γ(xi)− γ(xi−1)‖ ¬n∑i=1

xi∫xi−1

‖γ′(t)‖dt =xn∫x0

‖γ′(t)‖dt =b∫a

‖γ′(t)‖dt.

Ponieważ prawdziwe jest to dla dowolnego podziału, więc oszacowanie zachodzi dla kresu górnego, czyli

L(γ) ¬b∫a

‖γ′(t)‖dt < +∞.

Stąd krzywa γ jest prostowalna. Udowodnimy nierówność przeciwną. W tym celu udowodnimy oszacowanie

∀ε>0L(γ) b∫a

‖γ′(t)‖dt+ ε.

Niech ε będzie dowolną liczba dodatnią. Ponieważ odcinek [a, b] jest zbiorem zwartym, a funkcja γ′ jest funkcją ciągłą, awięc zgodnie z twierdzeniem 7.5.3 jest ona jednostajnie ciągłą, więc rozważmy dodatnią liczbę δ taką, że

∀s,t∈[a,b]|s− t| < δ ⇒ ‖γ′(s)− γ′(t)‖ < ε

2(b− a).

Rozważmy podział P = {x0, x1, . . . , xn} taki, że n =[1δ

]+ 1 oraz xi = x0 + i b−an dla i = 0, 1, . . . n. Niech ε0 =

ε2(b−a) . Dla

tego podziału mamy ∆xi = b−an < δ oraz

∀i=1,...n∀t∈[xi−1,xi]‖γ′(t)‖ − ‖γ′(xi)‖ ¬ ‖γ′(t)− γ′(xi)‖ < ε0,

zgodnie z własnościami z zadania C.12.1, a więc

∀i=1,...n∀t∈[xi−1,xi]‖γ′(t)‖ < ε0 + ‖γ′(xi)‖.

Stądxi∫

xi−1

‖γ′(t)‖dt < (ε0 + ‖γ′(xi)‖)∆xi = ‖γ′(xi) ·∆xi‖+ ε0∆xi = ‖xi∫

xi−1

γ′(xi)dt‖+ ε0∆xi

= ‖xi∫

xi−1

(γ′(t) + γ′(xi)− γ′(t))dt‖+ ε0∆xi ¬ ‖xi∫

xi−1

γ′(t)‖+ ‖xi∫

xi−1

(γ′(xi)− γ′(t))dt‖+ ε0∆xi

= ‖γ(xi)− γ(xi−1)‖+ ‖xi∫

xi−1

(γ′(xi)− γ′(t))dt‖+ ε0∆xi

¬ ‖γ(xi)− γ(xi−1)‖+xi∫

xi−1

‖γ′(xi)− γ′(t)‖dt+ ε0∆xi

< ‖γ(xi)− γ(xi−1)‖+xi∫

xi−1

ε0dt+ ε0∆xi < ‖γ(xi)− γ(xi−1)‖+ 2ε0∆xi.


Ostatecznie

b∫a

‖γ′(t)‖dt =n∑i=1

xi∫xi−1

‖γ′(t)‖dt <n∑i=1

(‖γ(xi)− γ(xi−1)‖+ 2ε0∆xi) =n∑i=1

‖γ(xi)− γ(xi−1)‖+ ε ¬ L(γ) + ε.

Z dowolność ε (bierzemy ε→ 0+) wynika nierówność

L(γ) b∫a

‖γ′(t)‖dt.

Kończy to dowód tego twierdzenia. 2

Rozdział 13

Ciągi i szeregi funkcyjne

13.1 Różnego rodzaju zbieżności ciągów funkcyjnych i związek między nimi

NiechX 6= ∅ i (X, d) będzie przestrzenią metryczną z topologią τ indukowaną przez tę metrykę oraz niech {fn:X → R : n 1}będzie ciągiem funkcji (ciągiem funkcyjnym).

Definicja 13.1.1 Mówimy, że ciąg {fn : n 1} jest zbieżny punktowo do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x∈X limn→+∞

fn(x) = f(x), (13.1)

czyli

∀x∈X∀ε>0∃n0∈N∀nn0 |fn(x)− f(x)| < ε. (13.2)

Piszemy wtedy fn → f .

Definicja 13.1.2 Mówimy, że ciąg {fn : n 1} jest zbieżny jednostajnie na zbiorze X do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃n0∈N∀nn0∀x∈X |fn(x)− f(x)| < ε. (13.3)

Piszemy wtedy fn ⇒ f .

Definicja 13.1.3 Mówimy, że ciąg funkcyjny {fn : n 1} jest zbieżny lokalnie jednostajnie na zbiorze X do funkcji f wtedyi tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu x ∈ X istnieje jego otocznie Ox ⊂ X, że ciąg funkcyjny na tym otoczeniu zbiegajednostajnie tzn.

∀x∈X∃Ox∀ε>0∃n0∈N∀nn0∀t∈Ox |fn(t)− f(t)| < ε. (13.4)

Piszemy wtedy fnL⇒ f .

Definicja 13.1.4 Mówimy, że ciąg funkcyjny {fn : n 1} jest zbieżny niemal jednostajnie na zbiorze X do funkcji f wtedyi tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X ciąg funkcyjny na tym zbiorze zbiega jednostajnie tzn.

∀K⊆X, zwartego∀ε>0∃n0∈N∀nn0∀t∈K |fn(t)− f(t)| < ε. (13.5)

Piszemy wtedy fnN⇒ f .

Uwaga 13.1.1 Zauważmy, że zbieżność lokalnie jednostajna można wyrazić następująco

fnL⇒ f ⇔ ∀x∈X∃Oxfn|Ox ⇒ f |Ox .

Podobnie zbieżność niemal jednostajną

fnN⇒ f ⇔ ∀K⊆X, zwartegofn|K ⇒ f |K .

146


Wniosek 13.1.1 Następujące warunki są równoważne

fn ⇒ f (13.6)

limn→∞

supx∈X|fn(x)− f(x)| = 0 (13.7)

Szkic dowodu.(Konieczność) Dowodzimy z definicji granicy ciągu. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy taką liczbę

naturalną n0, że∀nn0∀x∈X |fn(x)− f(x)| <

ε

2.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną nie mniejszą niż n0. Wtedy z definicji kresu górnego mamy

supx∈X|fn(x)− f(x)| ¬

ε

2< ε.

Oznacza to, że ∣∣∣∣supx∈X|fn(x)− f(x)| − 0

∣∣∣∣ < ε,

co kończy dowód.(Dostateczność) Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy taką liczbę naturalną n0, że dla dowolnej n n0

mamysupx∈X|fn(x)− f(x)| < ε.

Ponieważ∀x∈X |fn(x)− f(x)| ¬ sup

x∈X|fn(x)− f(x)|,

więc dowód jest zakończony. 2

Wniosek 13.1.2 Na podstawie wniosku 13.1.1 warunki (13.4) i (13.5) można zapisać w postaci równoważnej

∀x∈X∃Ox limn→∞ supx∈Ox|fn(x)− f(x)| = 0, (13.8)

∀K⊆X, zwartego limn→∞

supx∈K|fn(x)− f(x)| = 0. (13.9)


Twierdzenie 13.1.1 Jeżeli ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie, to jest zbieżny lokalnie jednostajnie.

Szkic dowodu.Dla dowolnego punktu x za jego otoczenie wystarczy wziąć całą przestrzeń X. 2

Twierdzenie 13.1.2 Jeżeli ciąg funkcyjny jest zbieżny lokalnie jednostajnie, to jest zbieżny niemal jednostajnie.

Szkic dowodu.Niech K ⊂ X będzie dowolnym zbiorem zwartym. Niech x ∈ K dowolnym punktem. Wtedy istnieje otoczenie Ox punktu

x takie, że mamy na nim zbieżność jednostajną. Rozważmy dla dowolnego x z K takie jego otoczenie. Mamy wtedy⋃x∈KOx ⊃ K.

Ponieważ K jest zwarty więc istnieje skończona ilość punktów x1, . . . , xn ∈ K takich, że

O def=n⋃k=1

Oxk ⊃ K.

Z własności kresu górnego mamy

0 ¬ supx∈K|fn(x)− f(x)| ¬ sup

x∈O|fn(x)− f(x)| ¬ max

1¬k¬nsupx∈Oxk

|fn(x)− f(x)| ¬n∑k=1

supx∈Oxk

|fn(x)− f(x)| → 0.

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy tezę. 2


Wniosek 13.1.3 Jeżeli ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie, to jest zbieżny niemal jednostajnie.

Szkic dowodu.Jest to konsekwencja twierdzeń 13.1.1 i 13.1.2. 2

Twierdzenie 13.1.3 Jeżeli ciąg funkcyjny jest zbieżny niemal jednostajnie, to jest zbieżny punktowo.

Szkic dowodu.Niech x ∈ X. Wtedy {x} jest zwarty w przestrzeni metrycznej (X, d). Stąd z definicji zbieżności niemal jednostajnej

wynika zbieżność punktowa. 2

Wniosek 13.1.4 Jeżeli ciąg funkcyjny jest zbieżny lokalnie jednostajnie, to jest zbieżny punktowo.

Szkic dowodu.Jest to konsekwencja twierdzeń 13.1.2 i 13.1.3. 2

Wniosek 13.1.5 Jeżeli ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie, to jest zbieżny punktowo.

Szkic dowodu.Jest to konsekwencja twierdzeń 13.1.1, 13.1.2, 13.1.3. 2

Przykład 13.1.1 Niech (X, d) = ([0, 1], dE) oraz fn(x) = xn. Wtedy ciąg funkcyjny (fn) zbiega punktowo do funkcji

f(x) ={0 dla x ∈ [0, 1[1 dla x = 1

.

Nie jest zbieżny ani jednostajnie, ani niemal jednostajnie, ani lokalnie jednostajnie.

Przykład 13.1.2 Niech (X, d) = E1 oraz fn(x) = nx1+n2x2 . Wtedy ciąg funkcyjny (fn) zbiega punktowo do funkcji f ≡ 0.

Podobnie nie zbiega on ani jednostajnie, ani niemal jednostajnie, ani lokalnie jednostajnie.Obliczając punkty podejrzane ekstrema dla funkcji fn mamy

f ′n(x) =n− n3x2

(1 + n2x2)2,

a więc f ′n(x) = 0⇔ x = ± 1n . Ponadto fn(±1n ) = ±

12 . Stąd

supx∈X|fn(x)− f(x)| =

126→ 0.

Biorąc teraz dowolne otoczenie punktu 0, odpowiednio zbiór zwarty zawierający ten punkt, widzimy, że nie mamy zbieżnościlokalnie jednostajnej i niemal jednostajnej.

Przykład 13.1.3 Niech (X, d) = E1 oraz fn(x) = x1+n2x2 . Wtedy ciąg funkcyjny (fn) zbiega punktowo do funkcji f ≡ 0.

Zbiega on jednostajnie, a więc i niemal jednostajnie oraz lokalnie jednostajnie.Postępując analogicznie jak w przykładzie 13.1.2 otrzymujemy

f ′n(x) =1− n2x2

(1 + n2x2)2,

a więc f ′n(x) = 0⇔ x = ± 1n . Ponadto fn(±1n ) = ±

12n . Stąd

supx∈X|fn(x)− f(x)| =

12n→ 0.

Przykład 13.1.4 Niech (X, d) = E1 oraz fn(x) = e−(x−n)2. Wtedy ciąg funkcyjny (fn) zbiega punktowo do funkcji f ≡ 0,

nie zbiega on jednostajnie, ale zbiega niemal jednostajnie oraz lokalnie jednostajnie.Tutaj mamy f ′n(x) = −2(x− n)e−(x−n)

2oraz f ′n(x) = 0⇔ x = n i fn(n) = 1. Stąd

supx∈X|fn(x)− f(x)| = 1 6→ 0.


Nie ma więc zbieżności jednostajnej.Zauważmy, że funkcje fn są malejące na każdym z przedziałów ] −∞, n] i [n,+∞[. Niech x będzie dowolną liczbą rze-

czywistą. Rozważmy otoczenie K(x, 1) Jeżeli x jest ujemny, to ponieważ funkcje fn maja ekstrema wyłącznie dla dodatnichargumentów, więc największa wartość funkcji |fn − f | = |fn| = fn jest w punkcie p = x+ 1 i wynosi e−(x+1−n)

2 → 0. Jeżelix jest nieujemne to dla n > [x]+1 wszystkie fn nie maja już ekstremum należącego do K(x, 1), a ciąg największych wartościfunkcji fn na tym przedziale zbiega do zera.Podobnie dla dowolnego zbioru zwartego kresu górny wartości funkcji fn na tym zbiorze zwartym zbiega do zera.Oba te fakty wynikają z tego, że ciąg ekstremów ciągu funkcji fn zbiega do nieskończoności.

Twierdzenie 13.1.4 Jeżeli (X, d) jest przestrzenią zwartą, to zbieżność jednostajna jest równoważna zbieżności niemaljednostajnej.

Szkic dowodu.

Zgodnie z wnioskiem 13.1.3 wystarczy dowieść tylko, że ze zbieżności niemal jednostajnej wynika zbieżność jednostajna.Ponieważ jednak cała przestrzeń jest zwarta, więc teza jest spełniona. 2

Wniosek 13.1.6 Jeżeli (X, d) jest przestrzenią metryczną zwartą, to zbieżność jednostajna jest równoważna zbieżności lo-kalnie jednostajnej.

Szkic dowodu.

Wystarczy do ostatniego twierdzenia zastosować twierdzenia 13.1.1 i 13.1.2. 2

Twierdzenie 13.1.5 Jeżeli (X, d) jest przestrzenią lokalnie zwartą, to zbieżność niemal jednostajna jest równoważna zbież-ności lokalnie jednostajnej.

Szkic dowodu.

Zgodnie z twierdzeniem 13.1.1 wystarczy udowodnić, że ze zbieżności niemal jednostajnej wynika zbieżność lokalniejednostajna. Wystarczy jednak zauważyć, że w przestrzeni lokalnie zwartej każdy punkt posiada otoczenie zwarte. 2

Wniosek 13.1.7 Dla prostej euklidesowej zbieżność niemal jednostajna i lokalnie jednostajnej są równoważne.

Szkic dowodu.

Gdyż prosta euklidesowa jest lokalnie zwarta. 2

Definicja 13.1.5 Ciąg funkcyjny {fn : n 1} spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃n0∈N∀n,mn0∀x∈X |fn(x)− fm(x)| < ε. (13.10)

Lemat 13.1.1 Jeżeli ciąg funkcyjny spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, to istnieje funkcja do której jest on zbieżnypunktowo.

Szkic dowodu.

Niech x będzie dowolnym punktem przestrzeni metrycznej (X, d). Wtedy z warunku (13.10) mamy

∀ε>0∃n0∈N∀n,mn0 |fn(x)− fm(x)| < ε.

Oznacza to, że ciąg {fn(x) : n 1} jest ciągiem Cauchy’ego liczb rzeczywistych, a więc na mocy twierdzenia Cauchy’ego(twierdzenie 4.4.2) jest on zbieżny. Poszukiwaną funkcję f :X → R określamy wzorem

f(x) = limn→∞

fn(x).

2

Twierdzenie 13.1.6 Ciąg funkcyjny {fn : n 1} jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia jednostajnywarunek Cauchy’ego.


Szkic dowodu.(Konieczność) Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczbę naturalną n0 taką, że

∀nn0∀x∈X |fn(x)− f(x)| <ε

2.

Niech N 3 n,m n0 i x ∈ X będą dowolne. Mamy wtedy

|fn(x)− fm(x)| = |fn(x)− f(x) + f(x)− fm(x)| ¬ |fn(x)− f(x)|+ |f(x)− fm(x)| <ε

2+ε

2= ε.

(Dostateczność) Zgodnie z lematem 13.1.1 rozważmy funkcję f będącą granicą punktową ciągu {fn : n 1}. Niech εbędzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczby naturalne n1, n2 takie, że

∀n,mn1∀x∈X |fn(x)− fm(x)| <ε

2

∀mn2∀x∈X |fm(x)− f(x)| <ε

2.

Bierzemy n0 = max{n1, n2}. Niech N 3 n n0 i x ∈ X będą dowolne. Mamy wtedy

|fn(x)− f(x)| ¬ |fn(x)− fn0(x)|+ |fn0(x)− f(x)| <ε

2+ε

2= ε.

2

13.2 Ciągłość funkcji granicznej

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną oraz {fn : n 1} ciągiem funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na tejprzestrzeni.

Twierdzenie 13.2.1 Ciąg funkcyjny {fn : n 1} jest zbieżny lokalnie jednostajnie do funkcji f oraz wszystkie wyrazy tegociągu są funkcjami ciągłymi w punkcie p ∈ X, to f jest funkcją ciągłą w punkcie p.

Szkic dowodu.Mamy udowodnić

∀ε>0∃δ>0∀x∈Xd(x, p) < δ ⇒ |f(x)− f(p)| < ε.

Rozważmy otoczenie Op punktu p w którym ciąg jest zbieżny jednostajnie. Dla otoczenie Op rozważmy dodatnią δ1 taką, żeK(p, δ1) ⊂ Op.Niech ε będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Weźmy n0 taką, że

∀nn0∀x∈Op |fn(x)− f(x)| <ε

3.

Ponieważ funkcja fn0 jest ciągła w punkcie p, więc rozważmy takie δ2, że

∀x∈Xd(x, p) < δ2 ⇒ |fn0(x)− fn0(p)| <ε

3.

Niech δ = min{δ1, δ2} i niech x ∈ X będzie dowolnym punktem, dla którego spełniony jest warunek d(x, p) < δ. Oznacza to,że x ∈ K(p, δ) ⊂ Op. Mamy wtedy

|f(x)− f(p)| = |f(x)− fn0(x) + fn0(x)− fn0(p) + fn0(p)− f(p)|

¬ |f(x)− fn0(x)|+ |fn0(x)− fn0(p)|+ |fn0(p)− f(p)| <ε

3+ε

3+ε

3= ε,

gdzie korzystaliśmy z lokalnie jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego dla wyrazów skrajnych i ciągłości w punkcie pfunkcji fn0 dla wyrazu środkowego. 2

Wniosek 13.2.1 Ciąg funkcyjny {fn : n 1} jest zbieżny lokalnie jednostajnie do funkcji f oraz wszystkie wyrazy tegociągu są funkcjami ciągłymi, to f jest funkcją ciągłą.

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować twierdzenie 13.2.1 do dowolnego punktu przestrzeni (X, d). 2


Uwaga 13.2.1 Istnieje ciąg funkcyjny funkcji ciągłych zbieżny punktowo do funkcji ciągłej, który nie jest zbieżny lokalniejednostajnie.

Przykład 13.2.1 Niech X = [−1, 1] oraz niech fn = n2x(1− x2)n. Wtedy fn → f ≡ 0 i wszystkie funkcje są ciągłe. Jednakzbieżność nie jest lokalnie jednostajna (dla punktu x=0 nie istnieje otoczenie, gdzie byłaby zbieżność jednostajna), gdyż dla

p = 1√1+2n

mamy fn(p) = n2√1+2n

(1− 1

1+2n

)n→ +∞, gdy n→ +∞.

Wniosek 13.2.2 Ciąg funkcyjny {fn : n 1} jest zbieżny jednostajnie do funkcji f oraz wszystkie wyrazy tego ciągu sąfunkcjami ciągłymi, to f jest funkcją ciągłą.

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować twierdzenie 13.1.1 oraz wniosek 13.2.1. 2

Uwaga 13.2.2 Poniższe twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia 13.2.1.

Twierdzenie 13.2.2 Niech punkt p ∈ X będzie punktem skupienia zbioru E ⊆ X oraz niech {fn:E → R|n 1} będzieciągiem zbieżnym jednostajnie na zbiorze E. Wtedy ciąg liczbowy (An), gdzie An = lim

x→pfn(x), jest zbieżny oraz

limn→∞

An ≡ limn→∞

limx→p

fn(x) = limx→plimn→∞

fn(x). (13.11)

Szkic dowodu.Udowodnimy wpierw, że ciąg (An) jest ciągiem Cauchy’ego. Z twierdzenia 13.1.6 wynika, że ciąg {fn : n 1} spełnia

jednostajny warunek Cauchy’ego. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy n0 będącą liczbą naturalna taką, że

∀n,mn0∀t∈E |fn(t)− fm(t)| <ε

2.

Mamy wtedy∀n,mn0 |An −Am| ¬

ε

2< ε.

Ciąg (An) na mocy twierdzenia 4.4.2 jest zbieżny. Niech A będzie jego granicą.Przejdziemy do zasadniczej części dowodu twierdzenia. Z wniosku 13.1.5 ciąg funkcyjny jest zbieżny punktowo. Niech f

będzie właśnie granicą punktowa tego ciągu. Należy udowodnić

limx→p

f(x) = A.

Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnego punktu x z E mamy

|f(x)−A| = |f(x)− fn(x) + fn(x)−An +An −A| ¬ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)−An|+ |An −A|. (13.12)

Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy n1 będącą liczbą naturalna taką, że

∀nn1∀x∈E |fn(x)− f(x)| <ε

3.

Rozważmy również n2 takie, że∀nn2 |An −A| <

ε

3.

Niech n0 = max{n1, n2}. Dla n0 rozważmy taką dodatnia liczbę δ, że

∀x∈E0 < d(x, p) < δ ⇒ |fn0(x)−An0 | <ε

3.

Weźmy δ i niech x będzie dowolnym punktem E spełniającym warunek 0 < d(x, p) < δ. Wtedy zgodnie z oszacowaniem(13.12) dla naturalnego n0 i x ∈ E takich, że 0 < d(x, p) < δ mamy

|f(x)−A| < ε.

Kończy to dowód twierdzenia zgodnie z definicją granicy funkcji w punkcie (warunek Cauchy’ego). 2

Uwaga 13.2.3 Przy dodatkowych założeniach otrzymujemy twierdzenie odwrotne do twierdzenia 13.2.1.


Twierdzenie 13.2.3 (Diniego) Niech (X, d) będzie przestrzenią lokalnie zwartą. Niech ciąg funkcyjny {fn : n 1} funkcjiciągłych będzie monotonicznie zbieżny do funkcji ciągłej f . Wtedy ciąg tej jest lokalnie jednostajnie zbieżny.

Szkic dowodu.Bez straty ogólności można założyć, że f ≡ 0, jeżeli by tak nie było, to rozważając ciąg (fn − f) sprowadzimy go do

rozważanej sytuacji. Ponadto zgodnie z twierdzeniem 13.1.5 teza twierdzenia jest równoważna zbieżności niemal jednostaj-nej. Dowodzić będziemy również dla ciągu funkcyjnego nierosnącego. Wtedy funkcje fn są nieujemne. Dowód przy takichzałożeniach przeprowadzimy nie wprost.(ad absurdum) Rozważmy taki zbiór zwarty K i dodatnią liczbę ε, że

∀n0∈N∃nn0∃xn∈Kfn(xn) ε.

Istnieje więc ciąg rosnący liczb naturalnych (nk) taki, że

xnk ∈ K

fnk(xnk) ε.

Ponieważ K jest zwarty, więc istnieje jego podciąg (xnki ) zbieżny do punktu x0 ∈ K. Niech m będzie dowolną liczbąnaturalną, zaś i0 taką liczbą naturalną, że nki0 m. Wówczas dla dowolnej naturalnej i i0, na podstawie monotonicznościciągu funkcyjnego, mamy

ε ¬ fnki (xnki ) ¬ fm(xnki ).

Ponieważ funkcję są ciągłe (spełniony jest warunek Heinego), więc

ε ¬ limi→∞

fm(xnki ) = fm(x0).

Oznacza to, że w punkcie x0 jest 0 = limm→∞

f(x0) > 0. 2

Twierdzenie 13.2.4 Ciąg funkcyjny {fn : n 1} jest zbieżny jednostajnie do funkcji f oraz wszystkie wyrazy tego ciągu sąfunkcjami jednostajnie ciągłymi, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą.

Szkic dowodu.Niech ε będzie dowolna liczbą dodatnią. Korzystając z jednostajnej zbieżności ciągu (fn) rozważmy takie n0, że

∀x∈X |fn0(x)− f(x)| <ε

3.

Ponieważ funkcja fn0 jest jednostajnie ciągła, więc rozważmy dodatnią liczbę δ taką, że

∀x,y∈Xd(x, y) < δ ⇒ |fn0(x)− fn0(y)| <ε

3.

Wówczas dla dowolnych x, y ∈ X takich, że d(x, y) < δ mamy

|f(x)− f(y)| = |f(x)− fn0(x) + fn0(x)− fn0(y) + fn0(y)− f(y)|

¬ |f(x)− fn0(x)|+ |fn0(x)− fn0(y)|+ |fn0(y)− f(y)|

<ε

3+ε

3+ε

3= ε.

2

Uwaga 13.2.4 Zauważmy, że ostatnie twierdzenie pokazuje, kiedy tak naprawdę zbieżność jednostajna ma znaczenie.

13.3 Przestrzeń C(X)

Definicja 13.3.1 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Zbiór wszystkich funkcji ciągłych i ograniczonych na X ozna-czamy przez C(X). Odwzorowanie

C(X) 3 f 7→ ‖f‖ def= supx∈X|f(x)| (13.13)

nazywamy normą supremum.


Lemat 13.3.1 Norma supremum spełnia następujące warunki

∀x∈C(X)‖f‖ = 0⇔ f ≡ 0; (13.14)

∀f,g∈C(X)‖f + g‖ ¬ ‖f‖+ ‖g‖; (13.15)

∀a∈R∀f∈C(X)‖af‖ = |a|+ ‖f‖. (13.16)

Szkic dowodu.Własność (13.14) wynika z faktu

supx∈X|f(x)| = 0⇔ ∀x∈X0 ¬ |f(x)| ¬ sup

x∈X|f(x)| = 0.

Natomiast własność (13.15) z

∀x∈X |f(x) + g(x)| ¬ |f(x)|+ |g(x)| ¬ supx∈X|f(x)|+ sup

x∈X|g(x)|.

Z kolei własność (13.16) jest prostą konsekwencją własności wartości bezwzględnej. 2

Twierdzenie 13.3.1 Odwzorowanie

C(X)× C(X) 3 (f, g) 7→ dsup(f, g)def= ‖f − g‖ (13.17)

jest metryką w C(X). Nazywamy ją metryką supremum.

Szkic dowodu.Wystarczy skorzystać z lematu 13.3.1 i faktu

supx∈X|f(x)− g(x)| = sup

x∈X|g(x)− f(x)|.

2

Wniosek 13.3.1 Ciąg funkcyjny {fn:X → R : n 1} jest zbieżny do funkcji f w sensie metryki supremum wtedy i tylkowtedy, gdy fn ⇒ f .

Szkic dowodu.Wystarczy wykorzystać wniosek 13.1.1 i definicję metryki supremum. 2

Uwaga 13.3.1 Możemy zapisaćfn ⇒ f ⇔ ‖fn − f‖ → 0⇔ dsup(fn, f)→ 0. (13.18)

Twierdzenie 13.3.2 Przestrzeń metryczna (C(X), dsup) jest zupełna.

Szkic dowodu.Niech ciąg (fn) ⊂ C(X) będzie ciągiem Cauchy’ego w (C(X), dsup). Zauważmy, że oznacza to

∀ε>0∃n0∈N∀n,mn0‖fn − fm‖ < ε.

Oznacza to, że ten ciąg spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego. Zgodnie z twierdzeniem 13.1.6 fn jest zbieżny jednostajniedo pewnej funkcji f . Funkcja f jest ciągła zgodnie z wnioskiem 13.2.1. Rozważmy liczbę naturalną n0 taką, że

∀x∈X |fn0(x)− f(x)| < 1.

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy

∀x∈X |f(x)| < 1 + |fn0(x)| ¬ 1 + ‖fn0‖.

Oznacza to, że funkcja jest ograniczona, czyli f ∈ C(X). Zgodnie z wnioskiem 13.3.1 mamy limn→∞‖fn − f‖ = 0. 2

Uwaga 13.3.2 Jeżeli X jest zwarta, to obraz każdej funkcji ciągłej jest zwarty, a więc domknięty i ograniczony. Wynikastąd, że w tym przypadku za definicję zbioru C(X) możemy przyjąć wyłącznie warunek ciągłości funkcji.


13.4 Zbieżność szeregów funkcyjnych

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną oraz niech {fn:X → R : n 1} będzie ciągiem funkcji oraz Sn =n∑k=1

fk będzie

ciągiem sum częściowych.

Uwaga 13.4.1 Można zamiast przestrzeni metrycznej (X, d) rozpatrywać prostą euklidesową.


fn jest zbieżny punktowo (odpowiednio jednostajnie, lokalnie jednostajnie, niemal

jednostajnie) wtedy i tylko wtedy, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny punktowo (odpowiednio jednostajnie, lokalniejednostajnie, niemal jednostajnie).


fn jest zbieżny bezwzględnie wtedy i tylko wtedy, gdy∞∑n=1|fn| jest zbieżny punktowo.

Uwaga 13.4.2 Przez zbiór punktów zbieżności (zbieżności bezwzględnej) będziemy rozumieć zbiór tych wszystkich punktów

x ∈ X dla których szereg liczbowy∞∑n=1

fn(x) (odpowiednio szereg∞∑n=1|fn(x)|) jest zbieżny punktowo. Natomiast przez obszar

zbieżności będziemy rozumieć wnętrze zbioru punktów zbieżności, czyli największy zbiór otwarty zawarty w zbiorze punktówzbieżności.Należy podkreślić, że zbiór punktów zbieżności może być niepusty podczas, gdy obszar zbieżności może być pusty.

Twierdzenie 13.4.1 Szereg∞∑n=1

fn jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∃n0∈N∀nn0∀k∈N∀x∈X

∣∣∣∣∣k∑m=0

fn+m(x)

∣∣∣∣∣ < ε. (13.19)

Szkic dowodu.Zgodnie z twierdzeniem 13.1.6 zbieżność jednostajna jest równoważna ze spełnianiem jednostajnego warunku Cauchy’ego.

W przypadku szeregu funkcyjnego oznacza to, że ciąg jego sum częściowych spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego. Po-nieważ suma występująca w wartości bezwzględnej w warunku (13.19) jest różnicą dwóch wyrazów ciągu sum częściowych,więc teza spełniona jest na mocy twierdzenia 13.1.6. 2

Twierdzenie 13.4.2 Niech dany będzie ciąg {fn : n 1} funkcji ciągłych, jeżeli szereg jest zbieżny lokalnie jednostajnie, tofunkcja x 7→

∞∑n=1

fn(x) jest funkcją ciągłą.

Szkic dowodu.Ponieważ suma skończonej ilości funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą (twierdzenie 7.2.3), więc tezę otrzymujemy na pod-

stawie twierdzenia 13.2.1. 2

Twierdzenie 13.4.3 (Kryterium Weierstrassa) Jeżeli istnieje ciąg liczbowy (an), dla którego spełnione są warunki

∀n∈N∀x∈X |fn(x)| ¬ an (13.20)∞∑n=1

an < +∞, (13.21)

to szereg∞∑n=1

fn jest zbieżny jednostajnie.

Szkic dowodu.Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Zgodnie z twierdzeniem 5.2.3 oraz uwagą 5.2.1 rozważmy liczbę naturalną n0

taką, że

∀nn0∀k∈N

∣∣∣∣∣k∑l=0

an+l

∣∣∣∣∣ < ε.

Wtedy dla dowolnych n n0, k ∈ N i x ∈ X mamy∣∣∣∣∣k∑m=0

fn+m(x)

∣∣∣∣∣ ¬k∑m=0

|fn+m(x)| ¬k∑m=0

am =

∣∣∣∣∣k∑m=0

am

∣∣∣∣∣ < ε.

Ostatnia z równości wynika z nieujemności ciągu (an). 2


Twierdzenie 13.4.4 (Kryterium Dirichleta) Dane są dwa ciągi funkcyjne {fn : n 1} i {gn : n 1}. Jeżeli spełnionesą warunki(i) Ciąg sum częściowych ciągu {fn : n 1} jest jednostajnie ograniczony;(ii) Ciąg {gn : n 1} jest monotonicznym;(iii) Ciąg {gn : n 1} jest jednostajnie zbieżny do funkcji tożsamościowo równej zeru,to szereg

∞∑n=1

fngn jest jednostajnie zbieżny.

Szkic dowodu.

Niech ciąg (gn) będzie ciągiem nierosnącym. Dowód dla ciągu niemalejącego jest analogiczny. Przy takim założeniu mamy,że funkcje gn oraz gn − gn+1 są też nieujemne dla n 1. Niech Fn oznaczają ciągi sum częściowych szeregu funkcyjnego∞∑n=1

fn. Z jednostajnej ograniczoności rozważmy taką liczbą dodatnią M , że

∀n∈N∀x∈X |Fn(x)| ¬M.

Zgodnie z lematem Abela o sumowaniu częściowym (lemat 5.2.1) dla dowolnego punktu x i dowolnych liczb naturalnychn,m takich, że m ¬ n mamy∣∣∣∣∣

n∑k=m

fk(x)gk(x)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣Fn(x)gn(x)− Fm−1(x)gm(x) +

n−1∑k=m

Fk(x)(gk(x)− gk+1(x))

∣∣∣∣∣¬ |Fn(x)|gn(x) + |Fm−1(x)|gm(x) +

n−1∑k=m

|Fk(x)|(gk(x)− gk+1(x)) ¬ 2Mgm(x).

Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Z wniosku 13.3.1 rozważmy n0 takie, że

∀kn0∀x∈X |gk(x)| <ε

2M.

Niech n,m n0 będą dowolne. Bez straty ogólności można założyć, że n m. Wtedy dla dowolnego punktu x mamy∣∣∣∣∣n∑k=m

fk(x)gk(x)

∣∣∣∣∣ ¬ 2Mgm(x) < 2Mε

2M= ε,

co zgodnie z twierdzeniem 13.4.1 oznacza zbieżność jednostajna szeregu∞∑n=1

fngn. 2

Twierdzenie 13.4.5 (Kryterium Abela) Dane są dwa ciągi funkcyjne {fn : n 1} i {gn : n 1}. Jeżeli spełnione sąwarunki(i) Szereg

∞∑n=1

fn jest jednostajnie zbieżny;

(ii) Ciąg {gn : n 1} jest monotoniczny;(iii) Ciąg {gn : n 1} jest jednostajnie ograniczony,to szereg

∞∑n=1

fngn jest jednostajnie zbieżny.

Szkic dowodu.

Dowód przeprowadzimy dla ciągu {gn : n 1}, który jest nierosnącego. W przypadku ciągu niemalejącego wystarczyrozważyć ciąg {−gn : n 1}. Wykorzystamy w tym celu twierdzenie 13.4.1.Rozważmy dodatnią liczbę rzeczywistą M taką, że

∀n∈N∀x∈X |gn(x)| ¬M.

Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Zgodnie z założeniem i warunkiem (13.19) rozważmy liczbę naturalną n0 taką, że

∀nn0∀k∈N∀x∈X

∣∣∣∣∣k∑m=0

fn+m(x)

∣∣∣∣∣ < ε

4M.


Niech n n0, k ∈ N i x ∈ X będą dowolne. Korzystając z lematu Abela (lemat 5.2.1), wprowadzając oznaczenia Fl =l∑i=n

fl,mamy ∣∣∣∣∣

k∑m=0

fn+m(x)gn+m(x)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣Fn+k(x)gn+k(x)− Fn−1(x)gn(x) +

k−1∑m=0

Fn+m(x)(gn+m(x)− gn+m+1(x))

∣∣∣∣∣¬ |Fn+k(x)||gn+k(x)|+ |Fn−1(x)||gn(x)|+

k−1∑m=0

|Fn+m(x)||gn+m(x)− gn+m+1(x)|

¬ ε

4M

(|gn+k(x)|+ |gn(x)|+

k−1∑m=0

|gn+m(x)− gn+m+1(x)|

)

Zauważmy, że ze względu na założenie o ciągu (gn) moduły różnic w sumie w ostatnim wierszu mają zawsze ten sam znak(w naszym przypadku nieujemny). Tak więc suma w ostatnim wyrażeniu wynosi |gn(x) − gn+k(x)|. Kontynuując ten ciągoszacowań otrzymujemy

=ε

4M(|gn+k(x)|+ |gn(x)|+ |gn(x)− gn+k(x)|) ¬

ε

4M2 (|gn+k(x)|+ |gn(x)|) ¬

ε

2M2M = ε.

2

Przykład 13.4.1 Niech

fn(x) =

0 dla x < 1

n+1

sin2 πx dla 1n+1 ¬ x ¬

1n

0 dla 1n < x

. (13.22)

Wówczas∞∑n=1

fn jest zbieżny punktowo do funkcji ciągłej. Nie jest zbieżny jednostajnie oraz jest w każdym punkcie zbieżny

bezwzględnie.

UzasadnieniePonieważ mamy doczynienia z ciągiem nieujemnym, więc jeśli pokażemy zbieżność punktową, to będziemy mieli zbieżność

bezwzględną. Zauważmy w tym celu, że dla dowolnej liczby rzeczywistej szereg∞∑n=1

fn(x) zawiera co najwyżej jeden niezerowywyraz.To, że nie jest on zbieżny jednostajnie wynika z faktu∣∣∣∣∣

k∑m=0

fn0+m(x)

∣∣∣∣∣ = 1dla dowolnych liczb naturalnych n0 i k. Gdyż jeżeli x ∈ [ 1n0+1 ,

1n0], to πx ∈ [n0π, (n0 + 1)π]. 2

Przykład 13.4.2 Szereg∞∑n=1(−1)n x

2+nn2 jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale ograniczonym, lecz nie jest w żadnym

punkcie zbieżny bezwzględnie.

13.5 Całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych

Przykład 13.5.1 Rozważmy ciąg funkcyjny fn: [0, π]→ R określony następująco

fn(x)def={n sin(nx) dla 0 ¬ x ¬ πn0 dla πn < x ¬ π .

Wtedy fn → f ≡ 0. Ponieważ dla x = 0 mamy fn(x) = 0 dla dowolnej liczby naturalnej n. Natomiast, gdy x ∈]0, π], to dlan n0 =

[πx

]+ 1 mamy fn(x) = 0. Ponadto

π∫0

fn(x)dx =

πn∫0

n sin(nx)dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣nx = tndx = dt0 7→ 0πn 7→ π

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =π∫0

sin tdt = 2→ 2 6= 0 =π∫0

f(x)dx.


Niech a < b, niech dany będzie ciąg funkcyjny {fn: [a, b]→ R : n 1} oraz niech f : [a, b]→ R.

Twierdzenie 13.5.1 Jeżeli dla dowolnego n ∈ N mamy fn ∈ R([a, b]) oraz fn ⇒ f , to wtedy(i) f ∈ R([a, b])

(ii)b∫a

fn(x)dx→b∫a

f(x)dx.

Szkic dowodu.Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Określmy

∀n∈N εndef= ‖fn − f‖.

Zgodnie z wnioskiem 13.3.1 mamy limn→∞‖fn − f‖ = lim

n→∞εn = 0. Rozważmy więc liczbę naturalną n0

∀n n0 εn <ε

2(b− a).

Niech n będzie dowolną liczbę naturalną nie mniejszą niż n0. Mamy wówczas

∀x∈[a,b] − εn + fn(x) ¬ f(x) ¬ −εn + fn(x).

Wtedy

b∫a

(fn(x)− εn)dx =b∫a

(fn(x)− εn)dx ¬b∫a

f(x)dx ¬b∫a

f(x)dx ¬b∫a

(fn(x) + εn)dx =

b∫a

(fn(x) + εn)dx

Stąd

0 ¬b∫a

f(x)dx−b∫a

f(x)dx ¬b∫a

(fn(x) + εn)dx−b∫a

(fn(x)− εn)dx = 2εn(b− a) < ε. (13.23)

Zbiegając teraz z ε do zera od strony liczb większych mamy równość całek górnej i dolnej.Stąd analogicznie dla n n0 mamy ∣∣∣∣∣∣

b∫a

f(x)dx−b∫a

fn(x)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε,

czyli

limn→∞

b∫a

fn(x)dx =

b∫a

f(x)dx.

2

Uwaga 13.5.1 Warunek (ii) twierdzenia 13.5.1 mówi o zmianie kolejności całkowania i liczenia granicy i może być zapisany

limn→∞

b∫a

fn(x)dx =

b∫a

( limn→∞

fn(x))dx.

Wniosek 13.5.1 Jeżeli fn ∈ R([a, b]) dla dowolnej liczby naturalnej n oraz szereg∞∑n=1

fn jest zbieżny jednostajnie, to

(i) funkcja [a, b] 3 x 7→∞∑n=1

fn(x) jest całkowalna w sensie Riemanna oraz

(ii)b∫a

( ∞∑n=1

fn(x))dx =

∞∑n=1

b∫a

fn(x)dx.

Szkic dowodu.

Wystarczy zastosować twierdzenie 13.5.1, definicję 13.4.1 oraz faktn∑k=1

b∫a

fk(x)dx =b∫a

(n∑k=1

fk(x))dx. 2

Niech teraz dane będą a, b ∈ R takie, że a < b. Niech ponadto p ∈]a, b[ będzie dowolne oraz f, fn: ]a, b[→ R dla n 1.


Twierdzenie 13.5.2 Niech fn ∈ C(]a, b[) dla dowolnej liczby naturalnej n oraz fn zbiega lokalnie jednostajnie do f . Wtedy

Fn(x)def=x∫p

fn(t)dt zbiega lokalnie jednostajnie do funkcji F (x)def=x∫p

f(t)dt.

Szkic dowodu.Wykorzystamy fakt, że zbieżność lokalnie jednostajna jest równoważna w tym przypadku zbieżności niemal jednostajnej.Niech x będzie dowolnym punktem z przedziału ]a, b[. Istnieje wówczas odcinek domknięty [α, β] ⊂]a, b[ zawierający

w swoim wnętrzu punkty x i p. Dla dowolnych punktów s, t ∈ [α, β] mamy |s − t| ¬ 2M , gdzie M jest stałą dodatnią niemniejszą niż |α| i |β|. Na odcinku [α, β] mamy już zbieżność jednostajną ciągu (fn) (ingeruje tu zbieżność niemal jednostajna),a ponadto funkcje fn są na tym odcinku jednostajnie ciągłe zgodnie z twierdzeniem 7.5.3. Za otoczeniu punktu x weźmiemyodcinek ]α, β[, na którym jest również zbieżność jednostajna i wszystkie funkcje fn są również jednostajnie ciągłe.Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczbę naturalną n0 taką, że dla dowolnej liczby naturalnej n nie

mniejszej niż n0 mamy∀t∈]α,β[ |fn(t)− f(t)| <

ε

2MNiech y ∈]α, β[ będzie dowolny. Mamy wtedy

|F (y)− Fn(y)| =

∣∣∣∣∣∣y∫p

f(t)dt−y∫p

fn(t)dt

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣y∫p

(f(t)− fn(t))dt

∣∣∣∣∣∣ ¬y∫p

|f(t)− fn(t)| dt <y∫p

ε

2Mdt = |y − p| ε

2M¬ ε.

2

Wniosek 13.5.2 Niech dla dowolnej liczby naturalne n funkcje fn są ciągłe na ]a, b[ oraz szereg∞∑n=1

fn jest zbieżny lokalnie

jednostajnie do f . Niech Fn(x) =x∫p

fn(t)dt. Wtedy

(i) Szereg∞∑n=1

Fn jest lokalnie jednostajnie zbieżny na ]a, b[

(ii)x∫p

( ∞∑n=1

fn(t))dt =

∞∑n=1

x∫p

fn(t)dt.

Szkic dowodu.Wystarczy zastosować twierdzenie 13.5.2 oraz definicję 13.4.1. 2

Przykład 13.5.2 Policzymy następującą całkę

ln 3∫ln 2

( ∞∑n=0

ne−nx

)dx.

Mamy |ne−nx| ¬ ne−n ln 2 = n(12

)ndla dowolnego x ∈ [ln 2, ln 3]. Zgodnie z kryterium Cauchy’ego (twierdzenie 5.3.7) szereg

∞∑n=1

n(12

)njest zbieżny, wiec z kryterium Weierstrassa szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny na [ln 2, ln 3] i można zmienić

kolejność całkowania i sumowania. Otrzymujemy wtedy

ln 3∫ln 2

( ∞∑n=0

ne−nx

)dx =

∞∑n=0

(∫ ln 3ln 2

ne−nxdx

)=∞∑n=0

[−e−nx

∣∣ln 3ln 2 =

∞∑n=0

(12n− 13n

)=12.

Przykład 13.5.3 Policzymy sumę szeregu∞∑n=0

(n+ 1)xn.

Szereg jest lokalnie jednostajnie zbieżny na ]− 1, 1[, a więcx∫0

( ∞∑n=0

(n+ 1)tn)dt =

∞∑n=0

x∫0

(n+ 1)tndt

= ∞∑n=0

xn+1 =x

1− x.

Tak więc różniczkując obie strony równości otrzymujemy∞∑n=0

(n+ 1)xn =1

(1− x)2.


13.6 Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych

Przykład 13.6.1 Niech dany będzie ciąg funkcji {fn: [−1, 1] → R : n 1} dla których fn(x) = |x|n+1n . Mamy wtedy

fn ∈ C1([−1, 1]) i fn ⇒ f , gdzie f(x) = |x|, gdyż funkcja fn − f jest parzysta, zeruje się w zerze i jedynce oraz

supx∈[−1,1]

|fn(x)− f(x)| = supx∈]0,1[

|xn+1n − x| =

∣∣∣∣fn( n√ n

n+ 1)− f( n

√n

n+ 1)∣∣∣∣ = n

√n

n+ 1

∣∣∣∣ n2√ n

n+ 1− 1∣∣∣∣→ 0.

Zauważmy ponadto, że

f ′+(0) = limh→0+

f(h)− f(0)h

= limh→0+

h1+1n

h= limh→0+

n√h = 0,

f ′−(0) = limh→0−

f(h)− f(0)h

= limh→0−

(−h)1+ 1nh

= limh→0−(− n√−h) = 0,

więc

f ′n(x) =

1+nn |x|

1n dla x > 0

0 dla x = 0− 1+nn |x|

1n dla x < 0

.

Ponadto f 6∈ D1([−1, 1]).

Niech −∞ ¬ a < b ¬ +∞ oraz niech dany będzie ciąg funkcyjny {fn: ]a, b[→ R : n 1} i niech f : ]a, b[→ R.

Lemat 13.6.1 Niech dany będzie zbieżny ciąg liczbowy (an). Jeżeli limn→∞

an = a oraz dane są funkcje ]a, b[3 x 7→ fn(x) = ani ]a, b[3 x 7→ f(x) = a, to wtedy fn ⇒ f .

Szkic dowodu.

Ponieważ

supx∈]a,b[

|fn(x)− f(x)| = |an − a| → 0.

Więc teza wynika z wniosku 13.1.1. 2

Twierdzenie 13.6.1 Niech fn ∈ C1(]a, b[) oraz niech istnieje taki punkt p ∈]a, b[, że ciąg liczbowy (fn(p)) jest zbieżny i

f ′nL⇒ g. Wtedy istnieje funkcja f ∈ C1(]a, b[) taka, że

(i) fnL⇒ f

(ii) g = f ′.

Szkic dowodu.

Niech y0def= limn→∞

fn(p) oraz

Fn(x)def=

x∫p

f ′n(t)dt ∧ G(x) def=

x∫p

g(t)dt,

]a, b[3 x 7→ hn(x)def= fn(p) ∧ ]a, b[3 x 7→ h(x) def= y0.

Zgodnie z twierdzeniem 13.5.2 mamy Fn(x)L⇒G(x). Natomiast z lematu 13.6.1 mamy hn

L⇒h. Ponadto ponieważ fn =

fn(p) + Fn więc fnL⇒ y0 +G. Biorąc f = y0 +G zgodnie z wnioskiem 10.6.1 mamy f ∈ C1(]a, b[) i f ′ = g. 2

Wniosek 13.6.1 Niech fn ∈ C1(]a, b[). Jeżeli istnieje punkt p ∈]a, b[ taki, że szereg∞∑n=1

fn(p) jest zbieżny oraz∞∑n=1

f ′n jest

lokalnie jednostajnie zbieżny, to wtedy szereg∞∑n=1

fn jest lokalnie jednostajnie zbieżny i jego suma jest funkcja klasy C1(]a, b[)oraz ( ∞∑

n=1

fn(x)

)′=∞∑n=1

f ′n(x).


Szkic dowodu.Wystarczy zastosować twierdzenie 13.6.1 oraz definicję 13.4.1. 2

Uwaga 13.6.1 Ograniczając się do odcinka domkniętego i pozbywając się założenia o ciągłości pochodnych funkcji ciągu{fn : n 1} otrzymujemy następujący rezultat.

Twierdzenie 13.6.2 Niech dany będzie ciąg {fn: [a, b] → R} spełniający warunki fn ∈ D1([a, b]) oraz niech istnieje takipunkt p ∈ [a, b], że ciąg liczbowy (fn(p)) jest zbieżny i f ′n ⇒ g. Wtedy istnieje funkcja f ∈ D1(]a, b[) taka, że(i) fn ⇒ f

(ii) g = f ′.

Szkic dowodu.Ponieważ ciąg (fn(p)) jest zbieżny, więc jest ciągiem Cauchy’ego, czyli spełnia warunek

∀ε>0∃n0∀n,mn0 |fn(p)− fm(p)| < ε.

Zauważmy, że ciąg (f ′n) spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego.Udowodnimy, że ciąg (fn) spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, co zgodnie z twierdzeniem 13.1.6 dowodzi pierwszą

część tezy.Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy n1 i n2 takie, że

∀n,mn1 |fn(p)− fm(p)| <ε

2,

∀n,mn2∀x∈[a,b]|f ′n(x)− f ′m(x)| <ε

2(b− a).

Niech n0 = max{n1, n2}. Niech n n0 będzie dowolną liczbą naturalną. Niech x ∈ [a, b]. Mamy wtedy

|fn(x)− fm(x)| = |fn(x)− fm(x)− fn(p) + fm(p) + fn(p)− fm(p)|

¬ |fn(x)− fm(x)− fn(p) + fm(p)|+ |fn(p)− fm(p)|

< |fn(x)− fm(x)− (fn(p)− fm(p))|+ε

2.

Stosując twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej (twierdzenie 8.3.3) do funkcji fn − fm możemy dalej kontynuowaćszacowanie

= |(fn − fm)′(s)||x− p|+ε

2(dla pewnego s ∈]min{x, p},max{x, p}[⊂ [a, b])

< |x− p| ε

2(b− a)+ε

2< ε.

Niech f będzie granicą punktową ciągu (fn). Oczywiście mamy fn ⇒ f i f jest szukaną funkcją. Należy jeszcze dowieść, żejest to funkcja różniczkowalna i spełniony jest warunek (ii).Niech x ∈ [a, b] będzie dowolnym, ale ustalonym punktem. Udowodnimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x

oraz f ′(x) = g(x). Określmy funkcje

[a, b] \ {x} 3 t 7→ φn(t)def=

fn(t)− fn(x)t− x

dla dowolnej liczby naturalnej n

[a, b] \ {x} 3 t 7→ φ(t) def=f(t)− f(x)

t− x.

Są one ilorazami różniczkowymi. Mamy więc limt→x

φn(t) = f ′n(x) dla dowolnej liczby naturalnej n. Udowodnimy, że ciąg (φn)

spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego na [a, b] \ {x}.Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Niech M ozn= max{1, b− a}. Rozważmy n0 takie, że

∀n,mn0∀x∈[a,b]|f ′n(x)− f ′m(x)| <ε

M.

Niech n,m n0 oraz t ∈ [a, b] \ {x} będą dowolne. Wtedy

|φn(t)− φm(t)| =∣∣∣∣fn(t)− fn(x)t− x

− fm(t)− fm(x)t− x

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (fn(t)− fm(t))− (fn(x)− fm(x))t− x

∣∣∣∣ = |f ′n(s)− f ′m(s)| < ε

M¬ ε,


gdzie s jest punktem z przedziału o końcach x i t i ponownie zastosowaliśmy twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej.Ponieważ ciąg (fn) był zbieżny punktowo do funkcji f , więc mamy również następującą zbieżność punktową

limn→∞

φn(t) = φ(t),

a co za tym idzie zbieżność jednostajną φn do φ na zbiorze [a, b] \ {x}. Zgodnie z twierdzeniem 13.2.2 mamy, że limn→∞

f ′n(x)jest skończona oraz

limn→∞

f ′n(x) = limn→∞

limt→x

φn(t) = limt→xlimn→∞

φn(t) = limt→x

φ(t) = f ′(t).

Oznacza to, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, a ze zbieżności jednostajnej ciągu (f ′n) do g mamy, że g = f′. 2

Uwaga 13.6.2 Analogicznie jak wniosek 13.6.1 otrzymujemy następujące stwierdzenie dla szeregów funkcyjnych.

Wniosek 13.6.2 Niech fn ∈ D1(]a, b[). Jeżeli istnieje punkt p ∈]a, b[ taki, że szereg∞∑n=1

fn(p) jest zbieżny oraz∞∑n=1

f ′n jest

lokalnie jednostajnie zbieżny, to wtedy szereg∞∑n=1

fn jest lokalnie jednostajnie zbieżny i jego suma jest funkcja klasy D1(]a, b[)oraz ( ∞∑

n=1

fn(x)

)′=∞∑n=1

f ′n(x).

13.7 Istnienie funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej

Przykład 13.7.1 Niech [−1, 1] 3 x 7→ φ(x) = |x|. Rozszerzmy funkcję φ do funkcji określonej na całym R warunkiemφ(x) = φ(x mod 2)). Określamy funkcję f :R→ [0, 1] warunkiem

f(x) def=∞∑n=0

(34

)nφ(4nx). (13.24)

Funkcja jest ciągła. Ponadto w żadnym punkcie nie posiada pochodnej.

Dowód własności danej funkcjiFunkcja φ jest ciągła na R, gdyż φ(−1) = φ(1) i moduł jest funkcją ciągłą. Zauważmy, że można było zdefiniować funkcję

φ na przedziale [0, 2] wzorem φ(x) = 1−|x− 1| i ja rozszerzać. Pozwala to zamiennie używać przedziałów postaci [2k, 2k+2]i [2k − 1, 2k + 1] dla k ∈ Z. Zauważmy, że |φ(x)− φ(t)| ¬ |x− t| dla dowolnych x, t ∈ [−1, 1] lub ewentualnie [0, 2], gdyż dlax, t ∈ [−1, 1] mamy |φ(x) − φ(t)| = ||x| − |y|| ¬ |x − t| i podobnie w przedziale [0, 2]. Wynika stąd, że dla dowolnych liczbrzeczywistych x, t mamy

|φ(x)− φ(t)| ¬ |x− t|,

gdyż jeżeli x, t ∈ [2k − 1, 2k + 1] lub x, t ∈ [2k, 2k + 2] , gdzie k ∈ Z, to nierówność wynika z oszacowania dla funkcji φ wpodstawowym przedziale, a jeżeli x i t nie należą do żadnego z takich przedziałów, to

|x− t| 2 > 1 |φ(x mod 2)− φ(t mod 2)| = |φ(x)− φ(t)|.

Określmy funkcje

φn(x) =(34

)nφ(4nx).

Mamy wtedy |φn(x)| ¬(34

)n. Oznacza to, zgodnie z kryterium Weierstrassa (twierdzenie 13.4.3), zbieżność jednostajną

szeregu funkcyjnego określonego równaniem (13.24). Zgodnie więc z twierdzeniem 13.4.2 funkcja f jest funkcją ciągłą.Niech teraz x będzie dowolną liczbą rzeczywistą, a m dowolna liczbą naturalną. Określamy liczbę |δm| = 1

24−m, gdzie

znak liczby δm jest tak wybrany, aby w przedziale otwartym o końcach 4mx i 4m(x+ δm) nie było liczby całkowitej. Niech

∀n∈Nγndef=

φ(4n(x+ δm))− φ(4nx)δm

.

Jeżeli teraz n > m, to 4n(x+ δm) = 4nx+ 2l, dla pewnego l ∈ N, czyli γn = 0. Jeżeli natomiast n = 0, 1, . . . ,m− 1, to

|γn| ¬|(4n(x+ δm)− 4nx|

δm=4n|δm||δm|

= 4n


oraz |γm| = 4m, gdyż liczby 4n(x+ δm) i 4nx znajdują się w jednym z odcinków [k, k + 1] (k ∈ Z) ze względu na na wybórznaku δm i tam φ jest funkcja liniową. Mamy więc

∣∣∣∣f(x+ δm)− f(x)δm

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∞∑n=0

(34

)nφ(4nx+ δm)−

∞∑n=0

(34

)nφ(4nx)

δm

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∞∑n=0

(34

)n(φ(4nx+ δm)− φ(4nx))

δm

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣m∑n=0

(34

)n(φ(4nx+ δm)− φ(4nx))

δm

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣m∑n=0

(34

)nγn

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣3m + sign(γm)m−1∑n=0

3nγn4n

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣3m − sign(−γm)

m−1∑n=0

3nγn4n

∣∣∣∣∣ 3m −

∣∣∣∣∣m−1∑n=0

3nγn4n

∣∣∣∣∣ 3m −m−1∑n=0

3n = 3m − 3m − 13− 1

=12(3m + 1).

Zauważmy, że limm→∞

δm = 0. Oznacza to, że jeśli funkcja f miałaby pochodną w punkcie x, to limm→∞

f(x+δm)−f(x)δm

musiałaby

być skończona, ale limm→∞

12 (3m + 1) = +∞. 2

Uwaga 13.7.1 Otrzymaliśmy następujący rezultat:

Twierdzenie 13.7.1 Istnieje funkcja rzeczywista określona na prostej rzeczywistej, która jest ciągła, lecz w żadnym punkcienie posiada pochodnej.

13.8 Twierdzenie Stone’a - Weierstrassa (rzeczywiste)

Celem niniejszego paragrafu jest sformułowanie jednego z najważniejszych twierdzeń analizy matematycznej, a jednocześnieanalizy funkcjonalnej, a mianowicie twierdzenia o gęstości algebr o określonych własnościach w zbiorze funkcji ciągłych owartościach rzeczywistych określonych na przestrzeni metrycznej zwartej.

Twierdzenie 13.8.1 (Weierstrassa) Niech f będzie funkcją ciągłą określoną na odcinku [a, b] (a < b). Wtedy istnieje ciągwielomianów {Pn: [a, b]→ R : n 1} zbieżny jednostajnie do funkcji f .

Szkic dowodu.Krok I.Załóżmy, że [a, b] = [0, 1] i f(0) = f(1) = 0. Ponieważ funkcja jest ciągła na odcinku domkniętym, który jest zbiorem

zwartym, więc jest na nim jednostajnie ciągła. Rozszerzając ją poza ten odcinek wzorem f(x) = 0 nie utracimy jednostajnejciągłości.Dla dowolnej liczby naturalnej n określmy wielomiany Qn wzorem

Qn(x)def= cn(1− x2)n,

gdzie stała cn jest tak dobrana, aby1∫−1

Qn(x)dx = 1.

Mamy wtedy korzystając z nierówności Bernoulliego1

1cn=

1∫−1

(1− x2)ndx = 21∫0

(1− x2)ndx 2

1√n∫0

(1− x2)ndx 2

1√n∫0

(1− nx2)dx = 43√n>1√n

mamy cn <√n. Stąd

∀0<δ<1∀|x|∈[δ,1]Qn(x) <√n(1− δ2)n.

1Nierówność Bernoulliego ma postać: (1 + a)n 1 + na dla dowolnego naturalnego n i dowolnej liczby rzeczywistej a −1.


Ponieważ limn→∞

√n(1 − δ2)n = 0 dla δ ∈]0, 1[, bo granica lim

x→+∞

√xax = 0 dla a > 1, więc Qn zbiega jednostajnie do funkcji

zerowej na zbiorze {x : |x| ∈ [δ, 1]}. Dla dowolnej liczby naturalnej n określmy funkcję

[0, 1] 3 x 7→ Pn(x) =

1∫−1

f(x+ t)Qn(t)dt.

Ponieważ funkcja f zeruje się poza przedziałem [0, 1], stąd f jest niezerowa dla t ∈ [−x, 1− x] i mamy więc

Pn(x) =

1−x∫−x

f(x+ t)Qn(t)dt =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x+ t = sdt = ds−x 7→ 01− x 7→ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1∫0

f(s)Qn(s− x)ds.

Ponieważ zmienna x występuje tylko w wielomianie Qn, to nasza całka, a więc i funkcja Pn, jest wielomianem zmiennej x.Udowodnimy zbieżność jednostajną ciągu wielomianów Pn tzn.

∀ε>0∃n0∈N∀nn0∀x∈[0,1]|Pn(x)− f(x)| < ε.

Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Z jednostajnej ciągłości funkcji f rozważmy dodatnią liczbę δ taką, że

∀x,y∈[0,1]|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε

2.

Bez straty ogólności możemy założyć, że δ < 3. Niech M = supx∈[0,1]

|f(x)|. Rozważmy taką liczbę naturalną n0, że

∀nn0√n

(1− (δ3)2)n

<ε

8(M + 1).

Niech n n0 będzie dowolną liczbą naturalną. Qn jest nieujemny na odcinku [0, 1] i jest parzysty w swojej dziedzinie. Niechx będzie dowolnym punktem odcinka [0, 1]. Mamy wtedy

|Pn(x)− f(x)| =

∣∣∣∣∣∣1∫−1

f(x+ t)Qn(t)dt−1∫−1

f(x)Qn(t)dt

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1∫−1

(f(x+ t)− f(x))Qn(t)dt

∣∣∣∣∣∣¬

1∫−1

|f(x+ t)− f(x)|Qn(t)dt =

−δ3∫

−1

+

δ3∫

− δ3

+

1∫δ3

|f(x+ t)− f(x)|Qn(t)dtPierwszą i ostatnią całkę, korzystając z ograniczoności funkcji f , parzystości funkcji Qn i oszacowania Qn na przedziale[δ, 1] oraz własności wartości bezwzględnej można oszacować przez 2M

√n(1 − ( δ3 )

2)n(1 − δ3 ) lub mniej dokładnie przez2M√n(1− ( δ3 )

2)n. Natomiast środkową przez ε2 , gdyż |x+ t− x| =2δ3 < δ. Mamy wtedy

|Pn(x)− f(x)| ¬ 4M√n(1− (δ

3)2)n +

ε

2<ε

2+ε

2= ε.

Krok II.Jeżeli f(0) 6= f(1), to rozważając funkcję

[0, 1] 3 x 7→ g(x) def= f(x)− f(0)− x[f(1)− f(0)]

Widzimy, że spełnia ona założenia kroku I. Ponadto f(x) − g(x) = f(0) + x[f(1) − f(0)] jest wielomianem. Stąd ciągwielomianów (P gn + f(0) + x[f(1)− f(0)]) spełnia żądane własności.Krok III.Dowolny przedział [a, b]. Biorąc przekształcenie

[0, 1] 3 x 7→ φ(x) def=(b− a)x+ a

widzimy, że przekształca ono przedział [0, 1] na [a, b]. Rozważając funkcję

[0, 1] 3 x 7→ g(x) def= f(φ(x))

stosujemy do niej krok II. 2


Wniosek 13.8.1 Dla dowolnego odcinka [−a, a], gdzie a > 0, istnieje ciąg wielomianów {Pn: [−a, a] → R : n 1} taki, żePn(0) = 0 i lim

n→∞Pn(x) = |x| jednostajnie na [−a, a].

Szkic dowodu.Z twierdzenia 13.8.1 rozważmy ciąg wielomianów (Pn) jednostajnie zbieżny do funkcji f(x) = |x| na przedziale [−a, a].

Oczywiście limn→∞

Pn(0) = 0. Biorąc wielomiany

Rn(x)def= Pn(x)− Pn(0).

Widzimy, że Rn(0) = 0 oraz zgodnie z lematem 13.6.1 ciąg ten jednostajnie zbieżny do | · |, gdyż limn→∞

Pn(0) = 0. 2

Niech X 6= ∅ będzie dowolnym zbiorem oraz niech A ⊂ RX będzie zbiorem funkcji.

Definicja 13.8.1 Zbiór funkcji A nazywamy algebrą wtedy i tylko wtedy, gdy

∀f,g∈Af + g ∈ A (13.25)

∀f,g∈Af · g ∈ A (13.26)

∀c∈R∀f∈Ac · f ∈ A. (13.27)

Definicja 13.8.2 Powiemy, że zbiór funkcji A rozdziela punkty zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x,y∈Xx 6= y∃f∈Af(x) 6= f(y). (13.28)

Definicja 13.8.3 Powiemy, że zbiór funkcji A nie znika w żadnym punkcie X wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x∈X∃f∈Af(x) 6= 0. (13.29)

Przykład 13.8.1 Zbiór wielomianów jest algebrą rozdzielającą punkty R i nie znikającą w żadnym punkcie R.

Przykład 13.8.2 Zbiór wielomianów stopnia parzystego tj. wielomianów zawierających tylko potęgi parzyste jest algebrą,która nie rozdziela punktów R. Ponadto jest zbiorem funkcji nie znikającym w żadnym punkcie R.

Przykład 13.8.3 Zbiór wielomianów stopnia nieparzystego nie jest algebrą (x · x = x2). Rozdziela punkty R i jest zbioremnie znikajacym w żadnym punkcie R.

Twierdzenie 13.8.2 Niech A będzie algebrą wszystkich funkcji rozdzielającą punkty zbioru X i nie znikającą w żadnympunkcie zbioru X. Niech x, y ∈ X będą dowolnymi dwoma różnymi punktami zbioru X, a α i β dowolnymi stałymi. Istniejewtedy funkcja f ∈ A taka, że f(x) = α i f(y) = β.

Szkic dowodu.Niech x, y będą dwoma równymi punktami zbioru X. Ponieważ algebra A rozdziela punkty zbioru X i nie znika w żadnym

punkcie zbioru, więc rozważmy funkcje f, g, h z tej algebry takie, że

f(x) 6= f(y), g(x) 6= 0, h(y) 6= 0.

Określmy funkcje

u(t) def= f(t)h(t)− f(x)h(t), v(t) def= f(t)g(t)− f(y)g(t).

Funkcję te są z algebry. Ponadto u(x) = 0 i u(y) = h(y)(f(x) − f(y)) 6= 0 oraz v(y) = 0 i v(x) = g(x)(f(x) − f(y)) 6= 0.Funkcja zdefiniowana wzorem

F (t) def= βu(t)u(y)+ α

v(t)v(x)

spełnia żądane warunki. 2

Niech dodatkowo (X, d) będzie przestrzenią metryczną.

Definicja 13.8.4 Zbiór funkcji A nazywamy jednostajnie domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy

∀{fn∈A:n1}fn ⇒ f ⇒ f ∈ A. (13.30)


Definicja 13.8.5 ZbiórBA

def={f :X → R : ∃{fn∈A:n1}fn ⇒ f

}(13.31)

nazywamy jednostajnym domknięciem zbioru A.

Twierdzenie 13.8.3 Niech BA będzie jednostajnym domknięciem algebry A, której elementami są funkcje ograniczone.Wtedy BAjest algebra jednostajnie domknięta.

Szkic dowodu.Należy udowodnić, że BA jest algebrą.Krok I. Jeżeli f ∈ BA i α ∈ R, to α · f ∈ BA.Rozważmy ciąg (fn) ⊂ A taki, że fn ⇒ f . Wtedy dla ciągu (αfn) mamy

supx∈X|cfn(x)− cf(x)| = |c| sup

x∈X|fn(x)− f(x)| → 0 o ile n→∞.

Krok II. Jeżeli f, g ∈ BA, to f + g ∈ BA.Rozważmy ciągi (fn), (gn) ⊂ A takie, że fn ⇒ f i gn ⇒ g. Wtedy dla ciągu (fn + gn) ⊂ A mamy

supx∈X|(fn + gn)(x)− (f + g)(x)| ¬ sup

x∈X|fn(x)− f(x)|+ sup

x∈X|gn(x)− g(x)| → 0 o ile n→∞.

Krok III. Jeżeli f, g ∈ BA, to f · g ∈ BA.Rozważmy ciągi (fn), (gn) ⊂ A takie, że fn ⇒ f i gn ⇒ g. Zauważmy, że funkcja g jest ograniczona, gdyż istnieje n0

takie, że

∀nn0∀x∈X |gn(x)− g(x)| < 1.

Ponieważ funkcja gn jest ograniczona przez dodatnią stałą Mn, więc zgodnie z własnościami wartości bezwzględnej mamy

∀x∈X |g(x)| < 1 + |gn0(x)| < Mn0 + 1,

czyli funkcja g jest ograniczona przez Mg = Mn0 + 1. Podobnie otrzymujemy, że funkcja f jest ograniczona przez pewnądodatnia stałą Mf . Mamy też

∀n∈N∀x∈X |fn(x)| ¬ |fn(x)− f(x)|+ |f(x)| ¬ |fn(x)− f(x)|+Mf

Rozważmy liczbę naturalną n1 taką, że

∀nn1∀x∈X |fn(x)− f(x)| < 1.

Widzimy, że

∀nn1∀x∈X |fn(x)| < 1 +Mf

Wtedy dla ciągu (fn · gn) ⊂ A i dowolnego n n1 mamy

supx∈X|(fngn)(x)− (fg)(x)| = sup

x∈X|fn(x)gn(x)− fn(x)g(x) + fn(x)g(x)− f(x)g(x)|

¬ supx∈X|fn(x)gn(x)− fn(x)g(x)|+ sup

x∈X|fn(x)g(x)− f(x)g(x)|

= supx∈X|fn(x)||gn(x)− g(x)|+ sup

x∈X|g(x)||fn(x)− f(x)|

¬ (1 +Mf ) supx∈X|gn(x)− g(x)|+Mg sup

x∈X|fn(x)− f(x)| → 0.

Zauważmy, że zbiór BA jest to zbiór A powiększony o punkty skupienia (ze względu na zbieżność jednostajną) zbioru A.Zgodnie z twierdzeniem 6.3.5 jest on więc domknięty. 2

Twierdzenie 13.8.4 (Stone’a - Weierstrassa) Niech A będzie algebrą funkcji o wartościach rzeczywistych, ciągłych, okre-ślonych na przestrzeni metryczne zwartej (K, d). Jeżeli A rozdziela punkty zbioru K i nie znika w żadnym punkcie zbioru K,to BA jednostajne domknięcie algebry A zawiera wszystkie ciągłe funkcje o wartościach rzeczywistych.


Szkic dowodu.Udowodnimy twierdzenie w oparciu o następujące lematy

Lemat 13.8.1 Jeżeli f ∈ BA, to |f | ∈ BA.

Lemat 13.8.2 Jeżeli f, g ∈ BA, to max{f, g},min{f, g} ∈ BA. Co więcej, jeżeli f1, . . . fn ∈ BA, to max{f1, . . . , fn} orazmin{f1, . . . , fn} należą do BA.

Lemat 13.8.3 Dla każdej funkcji ciągłej f :K → R, każdego punktu p ∈ K, dowolnej dodatniej liczby ε istnieje funkcjagp ∈ BA taka, że

gp(p) = f(p),

∀t∈Kgp(t) > f(t)− ε.

Lemat 13.8.4 Dla każdej funkcji ciągłej f :K → R, dowolnej dodatniej liczby ε istnieje funkcja g ∈ BA taka, że

∀t∈K |g(t)− f(t)| < ε. (13.32)

Zauważmy, że ostatniego z lematów wynika teza naszego twierdzenia, gdyż algebra BA jest jednostajnie domknięta. 2

Dowód lematu 13.8.1Niech a = sup

x∈K|f(x)|. Ponieważ funkcja jest ciągła, a K jest zwarty, więc a jest liczbą rzeczywistą. Z wniosku 13.8.1 dla

dowolnej liczby rzeczywistej y z przedziału [−a, a] i dowolnej liczby dodatniej ε istnieje liczba naturalna n i liczby rzeczywistec1, . . . , cn takie, że ∣∣∣∣∣

n∑i=1

ciyi − |y|

∣∣∣∣∣ < ε.

Rozważając funkcje g =n∑i=1

cifi, która jest elementem algebry BA, gdyż skończona kombinacja liniowa i skończony iloczyn

elementów z BA jet elementem z tej algebry. Dla y = f(x) mamy

∀ε>0∃g∈BA∀x∈K |g(x)− |f(x)|| =

∣∣∣∣∣n∑i=1

ci(f(x))i − |f(x)|

∣∣∣∣∣ < ε.

Ponieważ BA jest jednostajnie domknięta, to oznacza, że |f | ∈ BA. 2

Dowód lematu 13.8.2Ponieważ max{f, g} = f+g+|f−g|2 i min{f, g} = f+g−|f−g|2 , więc pierwsza część lematu wynika z lematu 13.8.1 i twierdze-

nia 13.8.3. Natomiast druga część, to prosta konsekwencja pierwszej. 2

Dowód lematu 13.8.3Niech f :K → R będzie funkcją ciągłą, punktu p ∈ K będzie dowolny, ε będzie dowolną dodatnią liczbę.Algebra A spełnia założenia twierdzenia 13.8.2, więc i BA spełnia je. Dla dowolnego punktu y ∈ K (y 6= p) istnieje

funkcja hy ∈ BA taka, żehy(p) = f(p), hy(y) = f(y).

Funkcja hy jest ciągła, a więc funkcja hy − f jest ciągła w punkcie y. Z warunku Cauchy’ego rozważmy δ > 0 takie, że

∀t∈Kd(t, y) < δ ⇒ |hy(t)− f(t)− (hy(y)− f(y))| < ε.

Istnieje zbiór otwarty K(y, δ) ≡ Oy 3 y taki, że

∀t∈Oyhy(t) > f(t)− ε.

Ponieważ K jest zwarty, więc istnieje skończony zbiór punktów y1, y2, . . . , yn takich, że

K ⊂n⋃i=1

Oyi .

Funkcja gpdef= max{hy1 , . . . , hyn} spełnia tezę lematu. 2


Dowód lematu 13.8.4

Niech x ∈ K i niech ε będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Rozważmy funkcje gx ∈ BA spełniającą tezę lematu13.8.3. Ponieważ funkcje gx są ciągłe, więc istnieją zbiory otwarte Vx 3 x takie, że

∀t∈Vxgx(t) < f(t) + ε.

Analogicznie jak w lemacie 13.8.3 istnieje skończona liczba punktów x1, . . . , xm takich, że

K ⊂m⋃i=1

Vxi .

Niech h def= min{gx1 , . . . , gxm}. Wtedy h ∈ BA oraz

∀t∈Kh(t) < f(t) + ε.

Ostatnie oszacowanie otrzymaliśmy podobnie, jak w dowodzie lematu 13.8.3. Ponieważ wszystkie gxi spełniają tezę lematu13.8.3, to mamy wtedy

∀t∈Kf(t)− ε < h(t) < f(t) + ε.

2

Uwaga 13.8.1 Twierdzenie Stone’a - Weierstrassa można sformułować następująco:Algebra funkcji rzeczywistych, ciągłych, określonych na zbiorze zwartym K rozdzielająca punkty zbioru K i nie znikająca wżadnym punkcie zbioru K jest podzbiorem gęstym w przestrzeni metrycznej funkcji rzeczywistych ciągłych na K z metrykąsupremum.

13.9 Twierdzenie Stone’a - Weierstrassa (zespolone)

Przypomnijmy pewne fakty dla liczb zespolonych.

Każdą liczbę zespoloną z można jednoznacznie przedstawić w postaci

z = a+ i · b, (13.33)

gdzie a, b ∈ R. Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą (oznaczamy ją <z), zaś liczbę b nazywamy częścią urojoną i oznaczamy=z. i jest jednostką urojoną tzn. i2 = −1.Każdej liczbie zespolonej można przyporządkować jej sprzężenie zadane wzorem

z = <z − i=z. (13.34)

Analogicznie do liczb zespolonych każdą funkcje o wartościach zespolonych f można przedstawić w postaci

f = <f + i=f, (13.35)

gdzie <f i =f są już funkcjami o wartościach rzeczywistych. Analogicznie określa się funkcję sprzężoną f .

Uwaga 13.9.1 Należy zauważyć, że ciągłość funkcji zespolonej określa się zupełnie analogicznie do ciągłości funkcji rzeczy-wistych, przyjmując, że w zbiorze liczb zespolonych określona jest odległość wzorem (6.11).

Definicja 13.9.1 Algebrę funkcji o wartościach zespolonych A nazywamy samosprzężoną wtedy i tylko wtedy, gdy

∀f∈Af ∈ A. (13.36)

Twierdzenie 13.9.1 (Stone’a - Weierstrassa) Niech A będzie samosprzężoną algebrą funkcji ciągłych na zbiorze zwartymK. Jeżeli algebra A rozdziela punkty zbioru K i nie znika w żadnym punkcie zbioru K, to BA jednostajne domknięcie algebryA, zawiera wszystkie zespolone funkcje ciągłe na K.


Szkic dowodu.Niech AR ⊂ A zbiorem wszystkich funkcji rzeczywistych tej algebry. Dowiedziemy, że AR spełnia założenia twierdzenia

13.8.4.Niech x i y będą dwoma różnymi punktami K. Zgodnie z twierdzeniem 13.8.2 istnieje funkcja f ∈ A taka, że f(x) = 0 i

f(y) = 1. Wynika z tego, <f(x) = 0 i <f(y) = 1 i <f ∈ AR. Mamy stąd, że algebra AR rozdziela punkty.Niech x będzie dowolnym punktem K. Istnieje funkcja f ∈ A taka, że f(x) 6= 0. Istnieje więc liczba zespolona z taka,

że zf(x) jest dodatnią liczbą rzeczywista. Wtedy dla <(zf) mamy (<(zf))(x) > 0. Wynika stąd, że algebra AR nie znika wżadnym punkcie K.Wynika z tego, że BA zawiera wszystkie rzeczywiste funkcje ciągłe na K, gdyż jednostajne domknięcie AR je zawiera, a

samo jest zawarte w BA.Niech f będzie funkcją ciągłą. Wtedy <f,=f ∈ BA Ponieważ BA jest algebrą, więc f = <f + i=f jest elementem tej

algebry. Kończy to dowód. 2

Rozdział 14

Szeregi potęgowe i funkcje analityczne

14.1 Szeregi potęgowe

Definicja 14.1.1 Niech ciąg liczbowy (an) oraz liczba p ∈ R są ustalone. Niech ponadto x przyjmuje dowolne wartościrzeczywiste. Wyrażenie

∞∑n=1

an(x− p)n (14.1)

nazywamy formalnym szeregiem potęgowym, liczby an nazywamy współczynnikami tego szeregu.

Uwaga 14.1.1 Szereg formalny jest już funkcją rzeczywistą określoną następująco

R ⊃ A 3 x 7→∞∑n=1

an(x− p)n ∈ R, (14.2)

gdzie A jest zbiorem tych x dla których szereg liczbowy∞∑n=1

an(x − x0)n jest zbieżny. Zauważmy, że zbiór A jest niepusty,

gdyż należy do niego co najmniej punkt p.Przez szereg potęgowy będziemy wtedy rozumieć funkcję rzeczywistą tak określoną.

Uwaga 14.1.2 Sumowanie w szeregu formalnym może się zaczynać również od zera lub też dowolnej liczby naturalnej różnejod 1.

Twierdzenie 14.1.1 (Cauchy’ego - Hadamarda) Niech dany będzie szereg potęgowy∞∑n=1

an(x− p)n. Niech

α = lim supn→∞

n√|an| ∧ R =

1α dla α 6= 00 dla α = +∞∞ dla α = 0

. (14.3)

Wówczas szereg jest zbieżny dla {x ∈ R : |x− p| < R} i rozbieżny dla {x ∈ R : |x− p| > R}.

Szkic dowodu.Niech x będzie dowolną, ale ustalona liczbą rzeczywistą. Wówczas szereg potęgowy staje się zwykłym szeregiem liczbowym

i możemy stosować kryterium Cauchy’ego zbieżności bezwzględnej szeregów (twierdzenie 5.4.3). Mamy wtedy

lim supn→∞

n√|an||x− p|p = |x− p|α.

Tak więc szereg będzie zbieżny, jeżeli |x − p|α < 1. Oznacza to, że jeżeli α = 0, to szereg jest zbieżny dla dowolnej liczbyrzeczywistej. Natomiast, gdy α jest niezerowe i skończone, to warunek ten będzie spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy |x−p| < 1

α

i nie będzie spełniony dla |x− p| > 1α . W ostatnim przypadku tzn. α = +∞, tylko dla x = p mamy skończoną granicę. 2

Uwaga 14.1.3 Badanie, czy formalny szereg potęgowy jest funkcją dla |x − p| = 1α , o ile α jest skończone i niezerowe,

wykonywane jest oddzielnie.

169


Uwaga 14.1.4 Liczbę R występującą w twierdzeniu Cauchy’ego - Hadamarda nazywamy promieniem zbieżności szeregupotęgowego. Zbiór {x ∈ R : |x−p| < R} nazywamy kołem zbieżności szeregu potęgowego i oznaczamy go przez KR. Zauważmy,że KR jest zbiorem pustym, gdy R = 0.

Przykład 14.1.1 Szereg∞∑n=1

(−1)nn xn ma promień zbieżności równy 1 oraz jest rozbieżny dla x = −1 i zbieżny dla x = 1.

Wynika to z faktu, że lim supn→∞

n

√∣∣∣ (−1)nn ∣∣∣ = 1 oraz∞∑n=1

(−1)n

n1n =

∞∑n=1

(−1)n

n,

∞∑n=1

(−1)n

n(−1)n =

∞∑n=1

1n.

Otrzymaliśmy tutaj szereg naprzemienny i szereg harmoniczny rzędu pierwszego.

Przykład 14.1.2 Szereg∞∑n=12nx2n ma promień zbieżności równy 1√

2, gdyż

lim supn→∞

2n√2n =

√2,

lub inaczej

lim supn→∞

n√2n|x|2n = 2|x|2 < 1⇔ |x| < 1√

2.

Uwaga 14.1.5 Zauważmy, że w dowodzie twierdzenia 14.1.1 pokazaliśmy nie tylko zbieżność, ale zbieżność bezwzględną.Sformułujemy ten fakt jako oddzielne twierdzenie.

Twierdzenie 14.1.2 Szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny w swoim kole zbieżności KR.

Wniosek 14.1.1 Jeżeli oznaczymy przez β def= limn→∞

∣∣∣an+1an ∣∣∣ (o ile ten ciąg jest zbieżny w szerszym sensie), to promień zbież-ności szeregu potęgowego wyraża się wzorem

R =

1β dla β 6= 00 dla β = +∞+∞ dla β = 0

. (14.4)

Szkic dowodu.Wynika to nierówności (C.17) z zadania C.4.10, gdyż

β = lim infn→∞

an+1an¬ lim infn→∞

n√an ¬ lim sup

n→∞n√an ¬ lim sup

n→∞

an+1an= β.

2

Twierdzenie 14.1.3 (Abela I) Szereg potęgowy∞∑n=1

an(x− p)n o niezerowym promieniu zbieżności R jest lokalnie jedno-

stajnie zbieżny w kole zbieżności.

Szkic dowodu.Niech x będzie dowolnym punktem koła zbieżności KR. Wtedy istnieje dodatnia liczba rzeczywista r taka, że r < R oraz

x ∈]p− r, p+ r[. Udowodnimy, że na odcinku ]p− r, p+ r[ będącym otoczeniem punktu x zbieżność jest jednostajna. Niechr1 będzie dowolną liczbą dodatnią spełniającą warunek r < r1 < R. Ponieważ punkt p + r1 jest z wnętrza koła zbieżnościszeregu, to szereg liczbowy

∞∑n=0

anrn1 jest zbieżny. Stąd ciąg tworzący szereg jest zbieżny do zera (spełniony jest warunek

konieczny zbieżności szeregu), a więc ciąg (anrn1 ) jest ograniczony. Rozważmy dodatnią liczbę rzeczywistą M taką, że

∀n∈N|anrn1 | ¬M.

Udowodnimy teraz, że na odcinku domkniętym [p−r, p+r] spełnione jest kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej.Niech n będzie dowolna liczba naturalną i t dowolną liczbą z przedziału [p− r, p+ r]. Mamy

|an(t− p)n| =∣∣∣∣anrn1 ( t− pr1

)n∣∣∣∣ = |anrn1 | ∣∣∣∣( t− pr1

)n∣∣∣∣ ¬M (|t− p|r1

)n¬M

(r

r1

)n.


Ponieważ rr1 < 1, więc szereg liczbowy∞∑n=0

M(rr1

)njest zbieżny. Stąd mamy z twierdzenia Weierstrassa zbieżność jednostajną

na [p− r, p+ r]. Tym bardziej mamy zbieżność jednostajna na ]p− r, p+ r[, co kończy dowód. 2

Uwaga 14.1.6 Zauważmy, że koło zbieżności KR jest zbiorem otwartym na prostej euklidesowej. W związku z tym zbieżnośćniemal jednostajna i lokalnie jednostajna są sobie równoważne. Twierdzenie 14.1.3 można więc sformułować następująco:Szereg potęgowy o niezerowym promieniu zbieżności jest niemal jednostajnie zbieżny w kole zbieżności.

Wniosek 14.1.2 Szereg potęgowy o niezerowym promieniu zbieżności jest funkcją ciągłą na kole zbieżności.

Szkic dowodu.Ciąg sum częściowych szeregu potęgowego jest wielomianem, a więc funkcją ciągłą. Stąd zgodnie z twierdzeniami 13.4.2

i 14.1.3 otrzymujemy tezę naszego twierdzenia. 2

Uwaga 14.1.7 Wniosek ten pozostaje prawdziwy dla zerowego promienia zbieżności. Mamy wtedy doczynienia z funkcją ojednoelementowej dziedzinie i nie trzeba wtedy odwoływać się do tak wyszukanych metod.

Uwaga 14.1.8 Ponieważ pierwotnie funkcje wykładniczą o podstawie e zdefiniowaliśmy jako sumę pewnego szeregu1, więc zwniosku otrzymujemy twierdzenie.

Twierdzenie 14.1.4 Funkcja wykładnicza jest funkcją ciągłą na prostej euklidesowej.2

Twierdzenie 14.1.5 (Abela II) Szereg potęgowy∞∑n=1

an(x−p)n o promieniu zbieżności R ∈]0,+∞[ jest zbieżny w punkcie

p+R, to jest jednostajnie zbieżny w [p, p+R].

Szkic dowodu.Niech x będzie dowolnym, ale ustalonym punktem przedział [p, p+R]. Mamy wtedy

an(x− p)n = anRn(x− pR

)n.

Stosujemy kryterium Abela (twierdzenie 13.4.5) do ciągów funkcyjnych, których wyraz zadane są następująco fn(x) = anRn

i gn(x) =(x−pR)n. Szereg funkcyjny

∞∑n=0

fn(x) jest jednostajnie zbieżny na podstawie kryterium Weierstrassa (twierdzenie

13.4.3) i założeń twierdzenia. Ciąg funkcyjny (gn) jest jednostajnie ograniczony przez liczbę 1. Ponadto, ponieważ wartośćfunkcji potęgowej nie rosną przy ustalonej podstawie i wzroście wykładnika tzn.(

x− pR

)n(x− pR

)n+1,

więc ciąg funkcyjny (gn) jest nierosnący. Spełnione są zatem założenia kryterium Abela i prawdziwa jest jego teza. To kończydowód naszego twierdzenia. 2

Uwaga 14.1.9 Analogiczny fakt zachodzi dla przedziału [p−R, p] o ile szereg potęgowy jest zbieżny w punkcie p−R, gdyżdla dowolnego x ∈ [p−R, p] mamy

an(x− p)n = (−1)nanRn(p− xR

)n.

Stąd identyczne rozumowanie, jak w twierdzeniu 14.1.5 daje żądany wynik.

Wniosek 14.1.3 Szereg potęgowy∞∑n=1

an(x−p)n o promieniu zbieżności R jest lokalnie jednostajnie zbieżny na całym zbiorze

punktów zbieżności i jego suma tam jest funkcją ciągłą.

Szkic dowodu.Jeżeli promień zbieżności jest nieskończony, to obszar zbieżności i zbiór punktów zbieżności pokrywają się, więc teza

wynika z twierdzenia 14.1.3.

1Zobacz definicja 7.8.12Jest to twierdzenie 7.8.2.


Jeżeli promień R jest skończony i niezerowy, to musimy rozpatrzeć tylko końce koła zbieżności. Dla p +R teza wynikaz twierdzeń 14.1.3, 14.1.5, oczywiście, o ile spełnione są założenia twierdzenia 14.1.5. Dla p − R zgodnie z uwagą 14.1.9,mamy na odcinku [p − R, p] zbieżność jednostajną, o ile oczywiście szereg

∞∑n=1(−1)nanRn jest zbieżny. Analogicznie jak w

punkcie p+R otrzymujemy zbieżność lokalnie jednostajną i ciągłość.Jeżeli R = 0, to wniosek jest prawdziwy zgodnie z uwagą 14.1.7 2

Uwaga 14.1.10 Sformułujemy szczególny przypadek twierdzenia 14.1.5.

Lemat 14.1.1 Niech szereg liczbowy∞∑n=1

an będzie zbieżny. I niech dla |x| < 1 będzie f(x) =∞∑n=1

anxn. Wtedy

limx→1−

f(x) =∞∑n=1

an. (14.5)

Szkic dowodu.Z warunku koniecznego zbieżności szeregów otrzymujemy, że ciąg (an) jest zbieżny (do zera), a więc jest ograniczony.

Stąd lim supn→∞

n√|an| ¬ 1 oraz R 1. W taki wypadku lemat ten jest szczególnym przypadkiem twierdzenia 14.1.5. 2

Uwaga 14.1.11 Udowodnimy na tej podstawie twierdzenie Abela dla iloczynu Cauchy’ego szeregów liczbowych (twierdzenie5.6.2). Przypomnijmy je

Twierdzenie 14.1.6 (Abela (twierdzenie 5.6.2)) Jeśli szeregi∞∑n=0

an,∞∑n=0

bn,∞∑n=0

cn są zbieżne do A,B,C i szereg∞∑n=0

cn

jest iloczynem Cauchy’ego dwóch pozostałych, to AB=C.

Szkic dowodu.Rozważmy szeregi potęgowe

f(x) =∞∑n=0

anxn, g(x) =

∞∑n=0

bnxn, h(x) =

∞∑n=0

cnxn.

Wówczas f(x) · g(x) = h(x). Oznacza to, że istnieje iloczyn Cauchy’ego szeregów liczbowych. Zastosowanie lematu 14.1.1łącznie z twierdzeniem o działaniach na granicach funkcji daje tezę naszego twierdzenia. 2

Twierdzenie 14.1.7 (O różniczkowaniu szeregów potęgowych) Niech szereg potęgowy∞∑n=1

an(x−p)n ma dodatni pro-

mień zbieżności R. Wtedy szereg∞∑n=1

nan(x− p)n−1 ma również promień zbieżności R oraz

∞∑n=1

nan(x− p)n−1 =

( ∞∑n=1

an(x− p)n)′

na zbiorze KR.

Szkic dowodu.Ponieważ lim sup

n→∞n√n = 1, więc

lim supn→∞

n√|nan| = lim sup

n→∞n√n n√|an| = lim sup

n→∞

n√|an|.

Stąd promienie zbieżności obu szeregów są równe. Ponieważ szereg∞∑n=1

nan(x − p)n−1 jest szeregiem potęgowym niemal

jednostajnie zbieżny na kole zbieżności (twierdzenie 14.1.3) oraz szereg∞∑n=1

an(x−p)n jest zbieżny w dowolnym punkcie koła

zbieżności, więc zgodnie z wnioskiem 13.6.1 otrzymujemy tezę. 2

Uwaga 14.1.12 Możemy wreszcie udowodnić twierdzenie o pochodnej funkcji wykładniczej.

Wniosek 14.1.4 Zachodzi następująca zależność(ex)′ = ex. (14.6)


Szkic dowodu.Wystarczy zauważyć, że

∞∑n=0

nxn−1

n!=∞∑n=1

nxn−1

n!=∞∑n=1

xn−1

(n− 1)!=∞∑n=0

xn

n!

i skorzystać z twierdzenia 14.1.7. 2

Wniosek 14.1.5 Niech dana będzie funkcja f(x) =∞∑n=1

an(x− p)n w zbiorze KR. Wtedy

(i) f ∈ C∞(KR)(ii) f (k)(x) =

∞∑n=k

n(n− 1) . . . (n− k + 1)an(x− p)n−k

(iii) an =f(n)(p)n! .

Szkic dowodu.Stosując twierdzenie 14.1.7 widzimy, że funkcję f można różniczkować nieskończenie wiele razy otrzymując cały czas

szereg potęgowy o tym samym promieniu zbieżności.Ponadto

f (k)(x) = k!ak +∞∑

n=k+1

(n

k

)k!an(x− p)n−k.

To kończy dowód. 2

Wniosek 14.1.6 Funkcja wykładnicza ex jest klasy C∞(R).


Twierdzenie 14.1.8 Niech (aij)∞i,j=1 będzie ciągiem podwójnym takim, że szereg∞∑i=1

bi jest zbieżny, gdzie bi =∞∑j=1|aij |.

Wtedy∞∑i=1

∞∑j=1

aij =∞∑j=1

∞∑i=1

aij . (14.7)

Szkic dowodu.Rozważmy ciąg różnych liczb rzeczywistych C = {p, x1, x2, . . .} takich, że lim

n→nxn = p oraz przestrzeń metryczną (C, dE).

Określmy funkcje

∀i∈Nfi(p) =∞∑j=1

aij , ∀n,i∈N∀xn∈Cfi(xn) =n∑j=1

aij , ∀x∈C g(x) =∞∑i=1

fi(x).

Z określenia funkcji fi wynika, że każda z funkcji fi jest ciągła w punkcie p. Ponadto, ze względu na zbieżność szeregu∞∑i=1

bi i

oszacowanie |fi(x)| ¬ bi szereg funkcyjny∞∑i=1

fi jest jednostajnie zbieżny (twierdzenie 13.4.3 – kryterium Weierstrassa). Stąd

na mocy na mocy twierdzenia 13.2.1 funkcja g jest ciągła w punkcie p. Mamy wtedy∞∑i=1

∞∑j=1

aij =∞∑i=1

fi(p) = g(p) = limn→∞

g(xn) = limn→∞

∞∑i=1

fi(xn) = limn→∞

∞∑i=1

n∑j=1

aij = limn→∞

n∑j=1

∞∑i=1

aij =∞∑j=1

∞∑i=1

aij ,

gdzie zmiana kolejności sumowania w przedostatniej równości wynika ze zbieżności bezwzględnej szeregu∞∑i=1

bi. 2

Twierdzenie 14.1.9 (Taylora) Niech szereg potęgowy∞∑n=0

anxn ma dodatni promień zbieżności R. W kole zbieżności KR

tego szeregu definiujemy funkcję f(x) =∞∑n=0

anxn. Jeżeli |a| < R, to funkcję f można rozwinąć w punkcie x = a w szereg

potęgowy zbieżny w kole zbieżności3 o promieniu R− |a|, przy czym to rozwinięcie jest postaci

f(x) =∞∑n=0

f (n)(a)n!(x− a)n. (14.8)

3Koło zbieżności jest zbiorem {x ∈ R : |x− a| < R− |a|}.


Szkic dowodu.Dla dowolnego x takiego, że |x− a| < R− |a| mamy

f(x) =∞∑n=0

an((x− a) + a)n =∞∑n=0

an

n∑k=0

(n

k

)(x− a)kan−k =

∞∑k=0

[ ∞∑n=k

(n

k

)ana

n−k

](x− a)k.

Należy uzasadnić ostatnie przejście. Wykorzystamy w tym celu twierdzenie 14.1.9. Wystarczy wykazać zbieżność szeregu

∞∑n=0

n∑k=0

∣∣∣∣an(nk)(x− a)kan−k

∣∣∣∣ .Można go przedstawić

∞∑n=0

|an|(|x− a|+ |a|)n.

Z założeń mamy |x− a|+ |a| < R, co jest równoważne zbieżności szeregu. 2

Uwaga 14.1.13 Rozwinięcie w powyższym twierdzeniu nazywamy szeregiem Taylora.

Twierdzenie 14.1.10 Niech szeregi potęgowe∞∑n=1

anxn i

∞∑n=1

bnxn będą zbieżne na kole zbieżności KR o dodatnim promieniu

zbieżności R. Niech X będzie zbiorem wszystkich punktów z KR, dla których

∞∑n=1

anxn =

∞∑n=1

bnxn. (14.9)

Wtedy jeżeli zbiór X posiada punkt skupienia będący elementem KR, to równość (14.9) zachodzi w każdym punkcie kołazbieżności.

Szkic dowodu.Niech cn

def= an − bn. Rozważmy szereg potęgowy

f(x) def=∞∑n=0

cnxn.

Na zbiorze X jest ona równa zeru. Niech

Adef= {x ∈ KR : x jest punktem skupienia zbioru X}.

Udowodnimy, że KR \A jest otwarty. Niech x ∈ KR \A będzie dowolnym punktem. Wtedy x ∈ KR oraz x 6∈ A. Oznaczato, że istnieje r > 0 takie, że K(x, r) ∩ X ⊆ {x}. r może być tak wybrane, że K(x, r) ⊂ KR. Gdyby był punkt y taki, żey ∈ K(x, r) ∩ A, kula otwarta K(y,min{ r−d(x,y)2 , d(x,y)2 }) zawarta by była w K(x, r) oraz zawierałaby nieskończenie wielepunktów ze zbioru X na mocy definicji punktu skupienia.Udowodnimy teraz, że zbiór A jest otwarty. Niech p ∈ A. Z twierdzenia 14.1.9 mamy

f(x) =∞∑n=0

dn(x− p)n dla dowolnego x takiego, że |x− p| < R− |p|.

Udowodnimy, że dn = 0 dla dowolnej liczby naturalnej. Jeżeli tak by nie było, to niech k będzie najmniejszą liczbą naturalnadla której dk 6= 0. Wtedy dla dowolnych x takich, że |x− p| < R− |p|

f(x) = (x− p)k( ∞∑m=0

dk+m(x− p)m)

Szereg g(x) ≡∞∑m=0

dk+m(x − p)m jest ciągły w p oraz g(p) = dk 6= 0. Z warunku Cauchy’ego (warunek (7.17)) twierdzenia

7.2.2 istnieje dodatnia δ taka, że mamy

∀t∈{x:|x−p|<R−|p|}|t− p| < δ ⇒ g(t) 6= 0.


Wynika z tego, że dla dowolnego t takiego, że 0 < |t−p| < δ mamy f(t) 6= 0, a to przeczy, że punkt p jest punktem skupieniazbioru X.Ponieważ KR ≡]−R,R[= A∪ (]−R,R[\A) i oba zbiory są otwarte oraz ]−R,R[ jest spójny, więc jeden z nich musi być

pusty. Ponieważ A jest niepusty, stąd KR = A. Ponieważ funkcja f ciągła na KR, więc A ⊂ X, gdyż dla dowolnego x ∈ Aistnieje ciąg (xn) ⊂ X i dla niego mamy

f(x) = limn→∞

f(xn) = 0.

Stąd X = KR. 2

14.2 Funkcje analityczne

Niech O ⊆ R będzie zbiorem otwartym, zaś f :O → R funkcją.

Uwaga 14.2.1 W naszych rozważaniach najczęściej zbiór O jest po prostu przedziałem otwartym prostej euklidesowej.

Definicja 14.2.1 Mówimy, że funkcję f analityczna w punkcie p ∈ O wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje szereg potęgowy∞∑n=1

an(x− p)n o niezerowym promieniu zbieżności R taki, że

f(x) =∞∑n=1

an(x− p)n

dla x ze zbioru {x ∈ R : |x− p| < R} ⊂ O.Jeżeli f jest analityczna na O wtedy i tylko wtedy, gdy jest analityczna w każdym punkcie tego zbioru.

Zbiór wszystkich funkcji analitycznych na zbiorze O oznaczamy Cω(O).

Uwaga 14.2.2 Istnieje funkcja nieskończenie wiele razy różniczkowalna, lecz nie analityczna. Pokazuje to następujący przy-kład.

Przykład 14.2.1

f(x) ={e−

1x2 dla x > 0

0 x ¬ 0.(14.10)

Wiadomo, że wszystkie pochodne w zerze są równe zeru stąd szereg Maclaurina funkcji f jest równy zeru.

Twierdzenie 14.2.1 Niech szereg potęgowy∞∑n=1

an(x − p)n ma niezerowy promień zbieżności R. Wtedy funkcja f(x) =∞∑n=1

an(x− p)n jest funkcją analityczną w kole zbieżności.

Szkic dowodu.Wynika to z twierdzenia 14.1.9. 2

Twierdzenie 14.2.2 Niech f ∈ C∞(]p−R, p+R[), gdzie R jest liczba dodatnią. Wówczas f ∈ Cω(]p−R, p+R[) wtedy itylko wtedy, gdy lim

n→∞rn(p, h) = 0 dla h ∈]−R,R[, gdzie rn(p, h) jest n - tą resztą w rozwinięciu Taylora funkcji f w punkcie

p.

Szkic dowodu.(Konieczność) Ponieważ f ∈ Cω(]p−R, p+R[), więc dla dowolnego x takiego, że x ∈]p−R, p+R[ mamy

f(x) =∞∑n=0

an(x− p)n.

Wtedy zgodnie z wnioskiem 14.1.5 oraz twierdzeniem Taylora (twierdzenie 8.9.1) mamy

rn(p, x− p) =∞∑

k=n+1

ak(x− p)k.


Ponieważ ten szereg potęgowy jest zbieżny w dowolnym punkcie kuli K(p,R), więc jego n-ta reszta zbiega do zera.(Dostateczność) Dla dowolnego x ∈]p−R, p+R[ mamy

f(x) =n∑k=0

1k!f (k)(p)(x− p)k + rn(p, x− p)

Biorą granicę przy n zbiegającym do nieskończoności otrzymujemy tezę korzystając po drodze z jednoznaczności przedsta-wienia szeregu potęgowego. 2

Twierdzenie 14.2.3 Niech f ∈ C∞(]p − R, p + R[), gdzie R jest liczba dodatnią, będzie taką funkcją, że ciąg pochodnychjest jednostajnie ograniczony na ]p−R, p+R[. Wtedy f jest funkcją analityczną.

Szkic dowodu.Niech rn(p, h) będzie n-tą resztą w rozwinięciu Taylora funkcji f w punkcie p. Rozważmy dodatnią liczbę M taką, że

∀ξ∈]p−R,p+R[∀n∈N|f (n)(ξ)| ¬M.

Mamy wtedy

|rn(p, x− p)| =∣∣∣∣ 1(n+ 1)!

f (n+1)(ξ)(x− p)n+1∣∣∣∣ ¬ MRn+1

(n+ 1)!.

Ponadto limn→∞

MRn+1

(n+1)! = 0, gdyż

MRn+2

(n+ 2)!· (n+ 1)!MRn+1

=R

n+ 2→ 0 gdy n→∞

i można stosować zadanie C.4.1. Widzimy, że n-ta reszta we wzorze Taylora zbiega do zera, co zgodnie z twierdzeniem 14.2.2kończy dowód. 2

Przykład 14.2.2 Funkcja ex =∞∑k=0

xk

k! jest funkcją analityczną.

Przykład 14.2.3 Funkcje sinx i cosx są funkcjami analitycznymi. Wyrażają się one wzorami

sinx =∞∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!(14.11)

cosx =∞∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!(14.12)

Uwaga 14.2.3 Wzory na sinus i cosinus można otrzymać również jako wniosek z przedstawienia Eulera liczby zespolonejoraz wzoru na funkcję wykładniczą. Mamy bowiem

eix =∞∑k=0

(ix)k

k!=

∞∑k=0

x4k

(4k)!+∞∑k=0

−x4k+2

(4k + 2)!+ i

∞∑k=0

x4k+1

(4k + 1)!+ i

∞∑k=0

−x4k+3

(4k + 3)!

=∞∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!+ i

∞∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!

Rozdział 15

Całka Lebesgue’a na prostej euklidesowej

15.1 Miara nieujemna i jej własności

Niech X będzie niepustym zbiorem. Niech ponadto H ⊂ 2X .

Definicja 15.1.1 Niepustą rodzinę zbiorów H nazywamy półpierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy

∀A,B∈HA ∩B ∈ H (15.1)

∀A,B∈H∃n∃C1,...,Cn⊂H (∀1¬i<j¬nCi ∩ Cj = ∅) ⇒ A \B =n⋃i=1

Ci (15.2)

Definicja 15.1.2 Niepustą rodzinę zbiorów H nazywamy pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy

∀A,B∈HA ∪B ∈ H (15.3)

∀A,B∈HA \B ∈ H (15.4)

Definicja 15.1.3 Rodzinę zbiorów H nazywamy ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona pierścieniem oraz X ∈ H.

Definicja 15.1.4 Rodzinę zbiorów H nazywamy σ - ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy

X ∈ H

∀{An:n∈N}⊂H

∞⋃i=1

Ai ∈ H

∀A,B∈HA \B ∈ H.

Lemat 15.1.1 Jeżeli H jest półpierścieniem, to ∅ ∈ H.

Szkic dowodu.Ponieważ H jest niepusta, więc rozważmy A ∈ H. Wtedy zgodnie z warunkiem (15.2) zbiór pusty, jako różnica zbiorów

A i A jest sumą mnogościową zbiorów z półpierścienia. Stąd teza. 2

Lemat 15.1.2 Jeżeli H jest pierścieniem, to H jest półpierścieniem.

Szkic dowodu.Wystarczy dowieść tylko warunek (15.1), gdyż warunek drugi jest spełniony automatycznie. Niech A,B ∈ H. Mamy

A ∩B = (A ∪B) \ ((A \B) ∪ (B \A))

i zbiory A ∪B,A \B,B \A są z H. 2

Lemat 15.1.3 Niech H będzie pierścieniem. Wtedy

∅ ∈ H (15.5)

∀A,B∈HA ∩B ∈ H (15.6)

∀{A1,...,An}⊂H ⇒n⋃i=1

Ai ∈ H ∧n⋂i=1

Ai ∈ H (15.7)

177


Szkic dowodu.

Warunki (15.5), (15.6) wynikają bezpośrednio z lematów 15.1.1,15.1.2) oraz definicji półpierścienia. Natomiast warunek(15.7) jest konsekwencją (15.6) oraz definicji półpierścienia. 2

Lemat 15.1.4 Niech H będzie ciałem, wtedy dla dowolnego A ∈ H zachodzi A′ ∈ H.

Szkic dowodu.

Ponieważ X ∈ H, więc dla dowolnego A ∈ H, zgodnie z warunkiem (15.4), mamy X \A ∈ H. 2

Definicja 15.1.5 Niech H będzie półpierścieniem Każdą funkcję µ:H → [0,+∞] spełniającą warunek

∀{An:n1}⊂H∞⋃n=1

An ∈ H ∧ (∀i,j∈N∧i 6=jAi ∩Aj = ∅)⇒ µ(∞⋃n=1

An) =∞∑n=1

µ(An) (15.8)

nazywamy miarą nieujemną.

Uwaga 15.1.1 Będziemy zakładać, że µ 6≡ +∞.

Uwaga 15.1.2 Jeżeli H jest σ-ciałem, to warunek (15.8) można zapisać w postaci

∀{An:n1}⊂H (∀i,j∈N∧i 6=jAi ∩Aj = ∅)⇒ µ(∞⋃n=1

An) =∞∑n=1

µ(An). (15.9)

Definicja 15.1.6 Niech H będzie σ-ciałem. Wtedy parę (X,H) nazywamy przestrzenią mierzalną.Jeżeli dodatkowo na H określona jest miara nieujemna µ, to trójkę (X,H, µ) nazywamy przestrzenią z miarą nieujemną.

Twierdzenie 15.1.1 Niech miara nieujemna będzie określona na σ-ciele H. Wówczas spełnia ona warunki

µ(∅) = 0 (15.10)

∀n∈N∀{A1,...,An}⊂H (∀1¬i<j¬nAi ∩Aj = ∅)⇒ µ(n⋃k=1

Ak) =n∑k=1

µ(Ak) (15.11)

∀{A,B}⊂HA ⊂ B ⇒ µ(A) ¬ µ(B) (15.12)

∀{A,B}⊂HA ⊂ B ∧ µ(A) < +∞⇒ µ(A \B) = µ(A)− µ(B) (15.13)

∀{A,B}⊂H(µ(A) < +∞∨ µ(B) < +∞)⇒ µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)− µ(A ∩B) (15.14)

∀{An:n1}⊂Hµ(∞⋃n=1

An) ¬∞∑n=1

µ(An) (15.15)

∀{A1,...,An}⊂Hµ(n⋃k=1

Ak) ¬n∑k=1

µ(Ak) (15.16)

∀{An:n1}⊂HA1 ⊂ A2 ⊂ . . .⇒ µ(∞⋃n=1

An) = limn→∞

µ(An) (15.17)

∀{An:n1}⊂Hµ(A1) < +∞∧A1 ⊃ A2 ⊃ . . .⇒ µ(∞⋂n=1

An) = limn→∞

µ(An). (15.18)

Szkic dowodu.

Dowód (15.10) (ad absurdum) Przypuśćmy, że µ(∅) 6= 0. Wtedy µ(∅) = r > 0. Ale ∅ =∞⋃n=1∅ więc

r = µ(∅) =∞∑n=1

µ(∅) = +∞.

Wtedy ponieważ A = A ∪∞⋃n=1∅ dla dowolnego A ∈ H i zbiory występujące po prawej stronie równości są parami rozłączne,

to zgodnie z definicją mamy µ(A) = µ(A) +∞∑n=1

µ(∅) = +∞, co przeczy założeniu, że µ 6≡ +∞.


Dowód (15.11) Niech n ∈ N oraz zbiory {A1, . . . , An} ⊂ H będą dowolne i parami rozłączne. Wtedyn⋃k=1

Ak ∪∞⋃

k=n+1∅

są również parami rozłączne. Zgodnie z (15.10) mamy wtedy

µ(n⋃k=1

Ak) = µ(n⋃k=1

Ak ∪∞⋃

k=n+1

∅) =n∑k=1

µ(Ak) +∞∑

k=n+1

µ(∅) =n∑k=1

µ(Ak) + 0 =n∑k=1

µ(Ak)

Dowód (15.12) Niech A,B ∈ H będą takie, że A ⊂ B. Wtedy B = (B \ A) ∪ A i zgodnie z (15.11) i nieujemnością µmamy

µ(B) = µ(B \A) + µ(A) µ(A).

Dowód (15.13) Niech A,B ∈ H będą takie, że A ⊂ B i µ(A) < +∞. Wtedy µ(B) = µ(B \A) + µ(A), a ponieważ µ(A)jest skończone, więc otrzymujemy tezę.Dowód (15.14) Niech A,B ∈ H będą takie, µ(A) < +∞ lub µ(B) < +∞. Ponieważ A ∩ B ⊂ A i A ∩ B ⊂ B, więc

zgodnie z (15.12) mamy µ(A ∩B) ¬ min{µ(A), µ(B)} < +∞. Ponadto A ∪B = A ∪ (B \A) = A ∪ (B \ (A ∩B)), a stąd napodstawie (15.11) i (15.13) mamy

µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B \ (A ∩B)) = µ(A) + µ(B)− µ(A ∩B).

Dowód (15.15) Niech {An : n 1} ⊂ H. Określmy ciąg zbiorów B1 = A1 oraz Bn+1 = An+1 \n⋃k=1

Ak dla n 1. Wtedy

zbiory Bn są parami rozłączne, zgodnie z (15.12) µ(Bn) ¬ µ(An) dla dowolnego n 1 oraz∞⋃n=1

An =∞⋃n=1

Bn. Mamy więc

µ(∞⋃n=1

An) = µ(∞⋃n=1

Bn) =∞∑n=1

µ(Bn) ¬∞∑n=1

µ(An).

Dowód (15.16) Ponieważn⋃k=1

Ak =n⋃k=1

Ak ∪∞⋃

k=n+1∅ dla dowolnych {A1, . . . , An} ⊂ H. Teza wynika więc z własności

(15.10) i (15.15).Dowód (15.17) Niech {An : n 1} ⊂ H. Określmy ciąg zbiorów B1 = A1 oraz Bn+1 = An+1 \ An dla n 1. Wtedy

zbiory Bn są parami rozłączne, zgodnie z (15.13) µ(Bn+1) = µ(An+1)− µ(An) dla dowolnego n 1 oraz∞⋃n=1

An =∞⋃n=1

Bn i

n⋂k=1

Bk = An. Mamy więc

µ(∞⋃n=1

An) = µ(∞⋃n=1

Bn) =∞∑n=1

µ(Bn) = limn→∞

n∑k=1

µ(Bk) = limn→∞

µ(n⋃k=1

Bk) = limn→∞

µ(An).

Dowód (15.18) Niech {An : n 1} ⊂ H będzie ciągiem zstępującym zbiorów takim, że µ(A1) < +∞. Zgodnie z (15.12)mamy µ(An) < +∞ dla dowolnego n 1. Wtedy ciąg zbiorów Bn = A1 \An jest ciągiem wstępującym ponadto

∞⋂n=1

An =∞⋃n=1

Bn.

Mamy więc

µ(∞⋃n=1

Bn) = µ(∞⋃n=1

(A1 \An)) = µ(A1 \∞⋂n=1

An) = µ(A1)− µ(∞⋂n=1

An)

µ(∞⋂n=1

An) = limn→∞

µ(Bn) = limn→∞(µ(A1)− µ(An)) = µ(A1)− lim

n→∞µ(An).

Porównując dwie równości otrzymujemy tezę. 2

Uwaga 15.1.3 Jeżeli miara µ nie jest określona na σ-ciele, a np. na półpierścieniu to w twierdzeniu 15.1.1 należy dodaćzałożenia, że odpowiednie zbiory są z półpierścienia.

Uwaga 15.1.4 Warunek (15.8) nazywamy σ-addytywnością, (15.11) addytywnością, (15.12) monotonicznością, (15.15) σ-subaddytywnością, (15.16) subaddytywnością, (15.17) i (15.18) ciągłością odpowiednio z dołu i góry.


15.2 Miara zewnętrzna. Przedłużanie miary

Niech X będzie niepustym zbiorem.

Definicja 15.2.1 Funkcję µ? : 2X → [0,+∞] nazywamy miarą zewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy

µ?(∅) = 0 (15.19)

∀{An:n1}⊂2X∀A∈2XA ⊂∞⋃n=1

An ⇒ µ?(A) ¬∞∑n=1

µ?(An) (15.20)

Wniosek 15.2.1 Zauważmy, że miara zewnętrzna jest monotoniczna, subaddytywna i σ-subaddytywna.

Definicja 15.2.2 Niech µ? będzie miarą zewnętrzną i niech A ⊂ X. Mówimy, że A jest zbiorem µ? - mierzalnym lub krócejmierzalnym wtedy i tylko wtedy, gdy

∀B⊂Xµ?(B) = µ?(B ∩A) + µ?(B \A) (15.21)

Uwaga 15.2.1 Zauważmy, że warunek definicji zbioru mierzalnego może być zapisany następująco

∀B⊂Xµ?(B) µ?(B ∩A) + µ?(B \A) (15.22)

ze względu na warunek (15.20).

Uwaga 15.2.2 Będziemy również wykorzystywać następująca tożsamość rachunku zbiorów B \A = B ∩A′.

Lemat 15.2.1 Jeżeli F jest mierzalny, to F ′ jest również mierzalny.

Szkic dowodu.Niech B ⊂ X będzie dowolny. Wtedy zgodnie z uwagą 15.2.2 mamy

µ?(B) = µ?(B ∩ F ) + µ?(B \ F ) = µ?(B \ F ′) + µ?(B ∩ F ′).

2

Lemat 15.2.2 Mierzalne są zbiory ∅ oraz X.

Szkic dowodu.Wystarczy udowodnić tylko, że ∅ jest mierzalny, gdyż zgodnie z lematem 15.2.1 zbiór X jako dopełnienie zbioru pustego

jest mierzalny. Zauważmy, że dla dowolnego B ⊂ X jest B ∩ ∅ = ∅, B \ ∅ = B oraz zgodnie z definicja miary zewnętrznejmamy µ?(∅) = 0. 2

Lemat 15.2.3 Dla dowolnych zbiorów mierzalnych F,G mierzalne są zbiory F ∪G, F ∩G oraz F \G.

Szkic dowodu.Niech B ⊂ X będzie dowolny. Wtedy mamy

µ?(B) = µ?(B ∩ F ) + µ?(B ∩ F ′) bo F mierzalny

= µ?(B ∩ F ) + µ?(B ∩ F ′ ∩G) + µ?(B ∩ F ′ ∩G′) bo G mierzalny

= µ?(B ∩ F ) + µ?(B ∩ F ′ ∩G) + µ?(B ∩ (F ∪G)′)

= µ?(B ∩ (F ∪G) ∩ F ) + µ?(B ∩ (F ∪G) ∩ F ′) + µ?(B ∩ (F ∪G)′)

= µ?(B ∩ (F ∪G)) + µ?(B ∩ (F ∪G)′) bo F mierzalny .

Ponieważ F ∩G = (F ′ ∪G′)′ (prawa de Morgana), więc teza wynika z pierwszej części lematu.Ostatnia część tezy otrzymujemy z zależności F \G = F ∩G′. 2

Lemat 15.2.4 Dla dowolnych mierzalnych zbiorów A1, . . . , An ich suma oraz przekrój jest zbiorem mierzalnym.

Szkic dowodu.Dowód jest typowym dowodem indukcyjnym, gdzie pierwszym krok indukcyjny jest pierwsza część lematu 15.2.3. 2


Lemat 15.2.5 Dla dowolnych mierzalnych zbiorów A1, A2 rozłącznych i dowolnego zbioru B zachodzi równość

µ?(B ∩ (A1 ∪A2)) = µ?(B ∩A1) + µ?(B ∩A2).

Szkic dowodu.Mamy

µ?(B ∩ (A1 ∪A2)) = µ?(B ∩ (A1 ∪A2) ∩A1) + µ?(B ∩ (A1 ∪A2) ∩A′1) bo A1 mierzalny

= µ?(B ∩A1) + µ?(B ∩A2).

2

Lemat 15.2.6 Dla dowolnych mierzalnych zbiorów A1, . . . , An parami rozłącznych i dowolnego zbioru B zachodzi równość

µ?(B ∩n⋃k=1

Ak) =n∑k=1

µ?(B ∩Ak).

Szkic dowodu.Dowód jest dowodem indukcyjnym, gdzie pierwszym krok indukcyjny jest to lemat 15.2.5. 2

Lemat 15.2.7 Dla dowolnych mierzalnych zbiorów {An : n 1} parami rozłącznych mamy∞⋃n=1

An jest mierzalny (15.23)

µ?(∞⋃n=1

An) =∞∑n=1

µ?(An). (15.24)

Szkic dowodu.Niech B będzie dowolnym zbiorem. Wówczas mamy

∀n∈Nµ?(B) = µ?(B ∩

n⋃k=1

Ak) + µ?(B ∩ (n⋃k=1

Ak)′) bo mierzalnyn⋃k=1

Ak

=n∑k=1

µ?(B ∩Ak) + µ?(B ∩ (n⋃k=1

Ak)′) lemat 15.2.6

n∑k=1

µ?(B ∩Ak) + µ?(B ∩ (∞⋃k=1

Ak)′) warunek (15.20) dla (∞⋃k=1

Ak)′, (n⋃k=1

Ak)′.

Stąd biorąc n→∞ mamy

µ?(B) ∞∑k=1

µ?(B ∩Ak) + µ?(B ∩ (∞⋃k=1

Ak)′) monotoniczność

µ?(∞⋃k=1

(B ∩Ak)) + µ?(B ∩ (∞⋃k=1

Ak)′) warunek (15.20)

= µ?(B ∩∞⋃k=1

Ak) + µ?(B ∩ (∞⋃k=1

Ak)′).

Kończy to dowód pierwszej części lematu zgodnie z uwagą 15.2.1. Aby otrzymać warunek (15.24) wystarczy w definicji

zbioru mierzalnego podstawić za zbiór B zbiór∞⋃k=1

Ak i wykorzystać własności działań na zbiorach. 2

Lemat 15.2.8 Rodzina zbiorów mierzalnych jest σ-ciałem.

Szkic dowodu.Zgodnie z lematami 15.2.3, 15.2.2 wystarczy udowodnić tylko, że przeliczalna suma zbiorów mierzalnych jest zbiorem

mierzalnym.Niech {An : n 1} będą zbiorami mierzalnymi. Określmy przeliczalną rodzinę zbiorów {Bn : n 1}, gdzie B1

def= A1

oraz Bndef= An \

n−1⋃k=1

Ak dla n > 1. Zbiory Bn są parami rozłączne. Zgodnie z lematami 15.2.3, 15.2.4 są one mierzalne oraz

∞⋃n=1

An =∞⋃n=1

Bn. Teza więc wynika z własności (15.23). 2


Lemat 15.2.9 Jeżeli A ⊂ X jest zbiorem takim, że µ?(A) = 0, to A jest zbiorem mierzalnym.

Szkic dowodu.

Niech B będzie dowolny. Wtedy A ∩ B ⊂ A oraz µ?(A ∩ B) ¬ µ?(A) = 0, więc i µ?(A ∩ B) = 0. Mamy wtedy teżµ?(B \A) ¬ µ?(B) bo B \A ⊂ B. Stąd µ?(B) µ?(B \A) = µ?(B \A) + µ?(A ∩B), co kończy dowód. 2

Twierdzenie 15.2.1 (Caratheodory’ego) Niech µ? będzie miarą zewnętrzną na 2X i niech S będzie rodziną zbiorów µ? -mierzalnych. Wówczas rodzina S jest σ - ciałem oraz µ? obcięta do S jest miarą nieujemną. Ponadto spełnia on warunek

∀A∈S∀C⊂Aµ?(A) = 0⇒ C ∈ S. (15.25)

Szkic dowodu.

Pierwsza część twierdzenia, to warunek (15.24) oraz lemat 15.2.8.

Niech A będzie zbiorem mierzalnym o mierze zerowej. Niech C będzie dowolnym jego podzbiorem i B dowolnym zbiorem.Ponieważ B ⊃ B ∩ C ′ ⊃ B ∩A′ oraz 0 ¬ µ?(B ∩A) ¬ µ?(A) = 0, więc z monotoniczności miary (własność (15.12)) mamy

µ?(B) µ?(B ∩ C ′) µ?(B ∩A′) = µ?(B ∩A) + µ?(B ∩A′) = µ?(B).

Stąd µ?(B) = µ?(B ∩ C ′) oraz 0 ¬ µ?(B ∩ C) ¬ µ?(B ∩A) = 0, co daje 0 = µ?(B ∩ C) i łącznie

µ?(B) = µ?(B ∩ C ′) = µ?(B ∩ C ′) + µ?(B ∩ C).

Kończy to dowód twierdzenia. 2

Lemat 15.2.10 Niech H będzie półpierścieniem. Wtedy rodzina zbiorów

p(H) def=

{E ⊂ X : ∃n∈N∃A1,...,An∈HE =

n⋃k=1

Ak

}(15.26)

jest pierścieniem.

Szkic dowodu.

Niech A,B ∈ p(H). Wtedy dla pewnych liczb naturalnych n,m A =n⋃k=1

Ak, B =m⋃i=1

Bi, gdzie wszystkie zbiory Ak i Bi

są z H. Stąd oczywiście A ∪B ∈ p(H), gdyż wystarczy wziąć zbiory A1, . . . , An, B1, . . . , Bm. Ponieważ

A \B =n⋃k=1

m⋂i=1

(Ak \Bi),

więc na podstawie części pierwszej należy udowodnić, żem⋂i=1(Ak \ Bi) jest z p(H) dla k = 1, . . . , n. Zgodnie z definicją

półpierścienia mamy

m⋂i=1

(Ak \Bi) =m⋂i=1

r(i,k)⋃j(i,k)=1

Ci,kj(i,k)

gdzie r(i,k)⋃j(i,k)=1

Ci,kj(i,k) = Ak \Bi i Ci,kj(i,k) ∈ H

=

r(1,k)⋃j(1,k)=1

· · ·r(m,k)⋃j(m,k)=1

[m⋂i=1

Ci,kj(i,k)

].

Stąd teza wynika z warunków definicji 15.1.1 i określenia p(H). 2

Lemat 15.2.11 Niech H będzie półpierścieniem i niech A ∈ p(H). Wtedy dla pewnej liczby naturalnej n istnieją paramirozłączne zbiory A1, . . . , An z H takie, że A =

n⋃k=1

Ak.

Szkic dowodu.


Niech A ∈ p(H). Rozważmy A1, . . . , An ∈ H takie, że A =n⋃k=1

Ak. Biorąc zbiory B1 = A1 oraz Bk = Ak \k−1⋃l=1

Al dla

k = 2, . . . , n widzimy, że są one parami rozłączne i A =n⋃k=1

Bk. Wystarczy więc pokazać, że każdy ze zbiorów Bk są sumą

zbiorów parami rozłącznych z H. Dla k = 1 jest to oczywiste. Ponieważ dla k > 1 Bk =k−1⋂l=1(Ak \Al) oraz

Ak \Al =r(l,k)⋃j(l,k)=1

Cl,kj(l,k) dla l = 1, . . . , k − 1

i zbiory {Cl,kj(l,k) : j(l, k) = 1, . . . , r(l, k)} są parami rozłączne. Otrzymujemy wtedy

Bk =k−1⋂l=1

(Ak \Al) =k−1⋂l=1

r(l,k)⋃j(l,k)=1

Cl,kj(l,k) =r(1,k)⋃j(1,k)=1

· · ·r(k−1,k)⋃j(k−1,k)=1

[k−1⋂l=1

Cl,kj(l,k)

].

Zbioryk−1⋂l=1

Cl,kj(l,k) są z H na mocy definicji półpierścienia i są parami rozłączne. 2

Twierdzenie 15.2.2 Niech będzie dana miara nieujemna µ na półpierścieniu H. Wtedy funkcja zadana wzorem

p(H) 3 A 7→ µ(A) def=n∑i=1

µ(Ai), (15.27)

gdzie {A1, . . . , An} ⊂ H są parami rozłączne i dają w sumie zbiór A, jest miarą nieujemną na pierścieniu p(H).

Szkic dowodu.

Udowodnimy wpierw, że wartości funkcji µ nie zależą od przedstawienia zbioru A z p(H) czyli, że definicja jest poprawna.Niech A = A1∪. . .∪An i A = B1∪. . .∪Bm, gdzie Ai, Bk ∈ H i = 1, . . . , n, k = 1, . . . ,m oraz {A1, . . . , An} i {B1, . . . , Bm}

są parami rozłączne. Mamy

Ai =m⋃k=1

(Ai ∩Bk) dla i = 1, . . . n oraz Bk =n⋃i=1

(Ai ∩Bk) dla k = 1, . . .m;

Ai ∩Bk ∈ H dla i = 1, . . . n; k = 1, . . .m; oraz A =n⋃i=1

m⋃j=1

Ai ∩Bk;

(Ai1 ∩Bk1) ∩ (Ai2 ∩Bk2) = ∅ o ile (i1, k1) 6= (i2, k2).

Stąd

n∑i=1

µ(Ai) =n∑i=1

µ(m⋃k=1

(Ai ∩Bk)) =n∑i=1

m∑k=1

µ(Ai ∩Bk) własność (15.11)

=m∑k=1

n∑i=1

µ(Ai ∩Bk) =m∑k=1

µ(n⋃i=1

(Ai ∩Bk)) ( własność (15.11)) =m∑k=1

µ(Bk).

Lemat 15.2.12 Dla dowolnych rozłącznych zbiór A i B z p(H) mamy µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B).

Szkic dowodu.

Niech A = A1 ∪ . . . ∪ An i B = B1 ∪ . . . ∪ Bm, gdzie Ai, Bk ∈ H dla i = 1, . . . , n, k = 1, . . . ,m oraz {A1, . . . , An} i{B1, . . . , Bm} są parami rozłączne. Oczywiście {A1, . . . , An, B1, . . . , Bm} są parami rozłączne, gdyż zbiory A i B są rozłączne.Wtedy A ∪B = A1 ∪ . . . ∪An ∪B1 ∪ . . . ∪Bm oraz

µ(A ∪B) =n∑i=1

µ(Ai) +m∑i=1

µ(Bi) = µ(A) + µ(B).

2

Stąd funkcja µ jest addytywna tzn. spełnia warunek (15.11) i ponadto dla A ∈ H jest µ(A) = µ(A).


Niech {An : n 1} ⊂ p(H) będzie ciągiem zbiorów parami rozłącznych i takim, że∞⋃n=1

An ∈ p(H). Oznaczmy tę sumę

przez A. Wtedy A =m⋃k=1

Bk i Bk ∈ H oraz są parami rozłączne. Podobnie dla dowolnego n mamy An =rn⋃i=1

Cn,i.

µ(A) =m∑k=1

µ(Bk) =m∑k=1

µ(Bk ∩A) =m∑k=1

µ(Bk ∩∞⋃n=1

rn⋃i=1

Cn,i)

=m∑k=1

µ(∞⋃n=1

rn⋃i=1

(Bk ∩ Cn,i)) =m∑k=1

∞∑n=1

rn∑i=1

µ(Bk ∩ Cn,i) definicja miary

=∞∑n=1

µ(m⋃k=1

rn⋃i=1

(Bk ∩ Cn,i)) (własność (15.11) ) =∞∑n=1

µ(A ∩An) =∞∑n=1

µ(An) =∞∑n=1

µ(An).

2

Uwaga 15.2.3 Miarę nieujemną na półpierścieniu H i i otrzymaną miarę na pierścieniu p(H) w twierdzeniu 15.2.2 oznaczaćbędziemy tym samym symbolem µ.

Twierdzenie 15.2.3 Niech H będzie pierścieniem, zaś µ miarą nieujemną zadaną na tym pierścieniu. Dla dowolnego pod-zbioru A określmy rodzinę wszystkich pokryć elementami z H

P(A) ozn= {{An : n 1} ⊂ H : A ⊂∞⋃n=1

An}.

Wtedy funkcja

2X 3 A 7→ µ?(A) def=

inf{ ∞∑n=1

µ(An) : {An : n 1} ∈ P(A)}jeżeli P(A) 6= ∅

+∞ jeżeli P(A) = ∅(15.28)

jest miarą zewnętrzną na X.

Szkic dowodu.

Zauważmy, że zbiór pusty można pokryć przeliczalną sumą zbiorów pustych, która jest elementem P(∅). Dla niej mamy∞∑n=1

µ(∅) = 0, a ponieważ kres dolny dla takich pokryć jest liczbą nieujemną, więc µ?(∅) = 0. Udowodnimy obecnie warunek

(15.20) dla dowolnych {Bn : n 1} ⊂ 2X , A ⊂ X takich, że A ⊂∞⋃n=1

Bk. Jeżeli istnieje takie n0, że m?(Bn0) = +∞, to

warunek (15.20) jest automatycznie spełniony, ponieważ µ?(A) ¬ +∞. Niech teraz dla dowolnej liczby naturalnej n będzieµ?(Bn) < +∞. Wówczas na mocy definicji kresu dolnego mamy

∀n∈N∀ε>0∃{Cnj:j1}∈P(An)

∞∑j=1

µ(Cnj ) <ε

2n+ µ?(Bn).

Niech ε będzie dowolna liczba dodatnią, a n liczbą naturalną. Rozważmy pokrycia zbiorów {Cnj : j 1} ∈ P(Bn) spełniające

warunek∞∑j=1

µ(Cnj ) <ε2n + µ

?(Bn). Dla nich mamy

∞⋃n=1

∞⋃j=1

Cnj ⊃∞⋃n=1

Bn ⊃ A

∞⋃n=1

∞⋃j=1

Cnj jest pokryciem zbioru A

.

Stąd

µ?(A) ¬∞∑n,j=1

µ(Cnj ) (szereg o wyrazach nieujemnych) =∞∑n=1

∞∑j=1

µ(Cnj )

< ∞∑n=1

[ ε2n+ µ?(Bn)

]=∞∑n=1

µ?(Bn) + ε.

Ponieważ ε było dowolne, więc otrzymujemy tezę. 2


15.3 Konstrukcja miary Lebesgue’a na prostej euklidesowej

Lemat 15.3.1 Jeżeli w R określimy rodzinę następująco

PLdef= {[a, b[: a, b ∈ R},

to jest ona półpierścieniem.

Szkic dowodu.Dowód czysto rachunkowy. 2

Lemat 15.3.2 Funkcja mL na PL zadana wzorem

PL 3 [a, b[7→ mL([a, b[) ={0 dla a bb− a dla a < b

(15.29)

jest miarą. Nazywamy ją długością odcinka.


Uwaga 15.3.1 Wykonując całą procedurę łącznie z twierdzeniem Caratheodory’ego opisaną w §15.2 otrzymamy σ-ciało SLzbiorów mierzalnych oraz miarą na tym σ-ciele. Miarę tę nazywamy miarą Lebesgue’a na prostej euklidesowej oznaczamy jąm, a SL nazywamy σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a.

15.4 Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a

Niech dana będzie (R,SL,m) oraz niech A ∈ SL i f :A → R będzie funkcją rzeczywistą (ewentualnie o wartościach wrozszerzanym zbiorze liczb rzeczywistych).

Definicja 15.4.1 Mówimy, że funkcja f jest mierzalna sensie Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy, gdy

∀a∈Rf−1(]−∞, a[) = {x ∈ A : f(x) < a} ∈ SL (15.30)

Twierdzenie 15.4.1 Następujące warunki są równoważne

f jest mierzalna (15.31)

∀a∈Rf−1(]−∞, a]) = {x ∈ A : f(x) ¬ a} ∈ SL (15.32)

∀a∈Rf−1(]a,−∞, [) = {x ∈ A : f(x) > a} ∈ SL (15.33)

∀a∈Rf−1([a,−∞, [) = {x ∈ A : f(x) a} ∈ SL (15.34)

Szkic dowodu.Niech a ∈ R będzie dowolne. Mamy

f−1(]−∞, a]) = f−1(∞⋂n=1

]−∞, a+ 1n[) =

∞⋂n=1

f−1(]−∞, a+ 1n[)

f−1(]a,+∞, [) = A \ f−1(]−∞, a])

f−1([a,+∞[) = f−1(∞⋂n=1

]a− 1n,+∞[) =

∞⋂n=1

f−1(]a− 1n,+∞[)

f−1(]−∞, a[) = A \ f−1([a,+∞[),

co na mocy definicji σ-ciała oznacza równoważność warunków. 2

Wniosek 15.4.1 Niech funkcja f będzie mierzalna. Wówczas

∀a∈Rf−1({a}) ∈ SL. (15.35)


Szkic dowodu.Niech a ∈ R. Ponieważ f−1({a}) = f−1([a,−∞, [) ∩ f−1(]−∞, a]), więc teza wynika z własności σ-ciała. 2

Lemat 15.4.1 Jeżeli funkcje f, g są mierzalne, to zbiory {x ∈ A : f(x) < g(x)}, {x ∈ A : f(x) ¬ g(x)}, {x ∈ A : f(x) =g(x)} są mierzalne.

Szkic dowodu.Mamy

{x ∈ A : f(x) < g(x)} =⋃q∈Q({x ∈ A : f(x) < q} ∩ {x ∈ A : q < g(x)})

{x ∈ A : f(x) ¬ g(x)} = A \ {x ∈ A : f(x) > g(x)}

{x ∈ A : f(x) = g(x)} = {x ∈ A : f(x) ¬ g(x)} ∩ {x ∈ A : f(x) g(x)},

co dowodzi tezy. 2

Lemat 15.4.2 Jeżeli funkcja f mierzalna oraz α jest liczbą rzeczywistą, to mierzalne są funkcje f + α, α · f .

Szkic dowodu.Niech a ∈ R. Mamy

(f + α)−1(]−∞, a[) = f−1(]−∞, a− α[)

(α · f)−1(]−∞, a[) =

f−1(]−∞, aα [) dla α > 0f−1(] aα ,+∞[) dla α < 0∅ dla α = 0 i a ¬ 0A dla α = 0 i a > 0

,

co dowodzi tezy. 2

Lemat 15.4.3 Jeżeli funkcja f jest mierzalna, to mierzalne są funkcje |f |, f2 i 1f (o ile f(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈ A).

Szkic dowodu.Niech a ∈ R. Mamy

(|f |)−1(]−∞, a[) ={f−1(]−∞, a[) ∩ f−1(]− a,+∞[) dla a > 0∅ dla a ¬ 0

(f2)−1(]−∞, a[) ={(|f |)−1(]−∞,

√a[) dla a > 0

∅ dla a ¬ 0(1f

)−1(]−∞, a[) =

((a · f)−1(]1,+∞[) ∩ f−1(]0,+∞[

)∪((a · f)−1(]−∞, 1[) ∩ f−1(]−∞, 0[

)co dowodzi tezy. 2

Lemat 15.4.4 Jeżeli funkcje f, g są mierzalne, to mierzalne są funkcje f + g oraz f − g.

Szkic dowodu.Niech a ∈ R. Wtedy na mocy lematu 15.4.2 mierzalne są funkcje h1 ≡ a+ g i h2 ≡ a− g. Mamy wtedy

(f + g)−1(]−∞, a[ = {x ∈ A : f(x) < h1(x)}

(f − g)−1(]−∞, a[ = {x ∈ A : f(x) < h2(x)}.

Zbiory występujące w prawych stronach równości są mierzalne na mocy lematu 15.4.1. 2

Lemat 15.4.5 Jeżeli funkcje f, g są mierzalne, to mierzalne są funkcje f · g.

Szkic dowodu.Mamy

f · g = 14

((f + g)2 − (f − g)2

).


Lemat 15.4.6 Jeżeli funkcje f, g są mierzalne, to mierzalne są funkcje max{f, g},min{f, g}.

Szkic dowodu.

Korzystając z wniosku 2.4.2 mamy

max{f, g} = f + g + |f − g|2

, min{f, g} = f + g − |f − g|2

.

Wystarczy skorzystać teraz z lematów 15.4.2, 15.4.3, 15.4.4. 2

Lemat 15.4.7 Funkcja stała jest mierzalna.

Szkic dowodu.

Niech f(x) = α dla każdego x ∈ A. Niech a ∈ R. Wtedy

f−1(]−∞, a[) ={∅ dla a ¬ αA dla a > α

.

2

Wniosek 15.4.2 Niech będzie mierzalna funkcja rzeczywista f . Wówczas mierzalne są następujące odwzorowania f+, f−.

Wniosek 15.4.3 Każda mierzalna funkcja może być przedstawiona jednoznacznie w postaci różnicy dwóch funkcji nieujem-nych i mierzalnych.

Szkic dowodu.

Oczywisty. 2

Twierdzenie 15.4.2 Niech dany będzie ciąg {fn:A→ R : n ∈ N} odwzorowań mierzalnych. Wówczas mierzalne są funkcje

supn∈N

fn(x) i infn∈N

fn(x).

Szkic dowodu.

Dla dowolnego a ∈ R mamy

{x ∈ A : supn∈N

fn(x) > a} =∞⋃n=1

{x ∈ A : fn(x) > a} oraz {x ∈ A : infn∈N

fn(x) < a} =∞⋃n=1

{x ∈ A : fn(x) < a}.

2

Uwaga 15.4.1 Zauważmy, że funkcje supn∈N

fn(x) i infn∈N

fn(x) mogą być już funkcjami o wartościach w R.

Lemat 15.4.8 Niech f :A→ R. Wtedy mierzalne są zbiory {x ∈ A : f(x) = +∞} i {x ∈ A : f(x) = −∞}.

Szkic dowodu.

Mamy

{x ∈ A : f(x) = +∞} =∞⋂n=1

{x ∈ A : f(x) n} oraz {x ∈ A : f(x) = −∞} =∞⋂n=1

{x ∈ A : f(x) ¬ −n}.

2

Wniosek 15.4.4 Niech dany będzie ciąg {fn:A→ R : n ∈ N} odwzorowań mierzalnych. Wówczas mierzalne są funkcje

lim supn→∞

fn(x) i lim infn→∞

fn(x) oraz limn→∞

fn(x) (o ile istnieje).

Ponadto mierzalnym jest zbiór

{x ∈ A: ciąg {fn:n 1} jest zbieżny w R}


Szkic dowodu.Mierzalność funkcji wynika z definicji granicy górnej, granicy dolnej i granicy tzn.

lim supn→∞

fn(x) = infn∈N(supkn

fk(x)),

lim infn→∞

fn(x) = supn∈N( infkn

fk(x)),

limn→∞

fn(x) = lim supn→∞

fn(x)

oraz twierdzenia 15.4.2.Niech A def= {x ∈ A: ciąg {fn:n 1} jest zbieżny w R} . Wtedy

A = {x ∈ A : lim supn→∞

fn(x) = lim infn→∞

fn(x)} ∩ (A \ {x ∈ A : | lim supn→∞

fn(x)| = +∞}).

Stąd teza wynika z lematów 15.4.8, 15.4.3 i pierwszej części tego wniosku. 2

Definicja 15.4.2 Funkcję f :A→ R nazywamy prostą wtedy i tylko wtedy, gdy

card f(A) < ℵ0. (15.36)

Inaczej to można zapisać

∃n∈N∃{A1,...,An}⊂2R∃{a1,...,an}⊂R (∀1¬i<j¬nAi ∩Aj = ∅) ∧ (∀1¬i<j¬nai 6= aj) ∧n⋃k=1

Ak = A⇒ f =n∑k=1

akIAk . (15.37)

Twierdzenie 15.4.3 Niech zbiory {Ak : 1 ¬ k ¬ n} ⊂ 2R będą parami rozłączne, zaś liczby {ak : 1 ¬ k ¬ n} ⊂ R parami

różne. Wtedy funkcja prosta f =n∑k=1

akIAk jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory {Ak : 1 ¬ k ¬ n} są mierzalne.

Szkic dowodu.(Konieczność) Niech k = 1, . . . , n. Bez straty ogólności możemy założyć, że a1 < a2 < . . . < an. Dla dowolnego a ∈ R

mamy wtedy

f−1(]−∞, a[) =

∅ dla a ¬ a1A1 dla a1 < a ¬ a2A1 ∪A2 dla a2 < a ¬ a3. . .n⋃i=1

Ai dla a > an

.

Ponieważ wszystkie te zbiory są mierzalne, gdyż funkcja f jest mierzalna oraz Ak =k⋃i=1

Ai \k−1⋃i=1

Ai dla k = 2, . . . , n stąd teza

z własności σ-ciała.(Dostateczność) Dla dowolnego k = 1, . . . , n funkcja akIAk jest stała i mierzalna na mocy lematu 15.4.7. Więc teza wynika

z lematu 15.4.4. 2

Twierdzenie 15.4.4 (o aproksymacji funkcjami prostymi) Niech funkcja f będzie funkcją nieujemną mogącą przyjmo-wać wartość plus nieskończoność. Wówczas f jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niemalejący ciąg nieujemnychfunkcji prostych mierzalnych zbieżnych punktowo do funkcji f .Ponadto jeżeli funkcja f jest ograniczona, to ciąg funkcji prostych jest zbieżny jednostajnie.

Szkic dowodu.(Konieczność) Dla dowolnego n 1 oraz k = 0, 1, . . . , n2n − 1 zdefiniujmy zbiory

Akndef= {x ∈ A : k

2n¬ f(x) < k + 1

2n}

Bndef= {x ∈ A : f(x) n}.

Zbiory te są parami rozłączne oraz mierzalne. Ponadto ich suma daje zbiór A. Zdefiniujmy funkcje proste

∀n∈Ngndef=n2n−1∑k=0

k

2nIAkn + nIBn .


Jest to szukany ciąg. Funkcje gn są funkcjami prostymi i mierzalnymi zgodnie z twierdzeniem 15.4.3. Pozostaje udowodnić,że jest to ciąg niemalejący i zbieżny punktowo do funkcji f .Niech n będzie dowolną liczba naturalną, zaś x dowolnym elementem z A. Wtedy albo istnieje k ∈ {0, 1, . . . , n2n− 1}, że

x ∈ Akn albo x ∈ Bn. Jeżeli x ∈ Akn, to x ∈ A2kn+1 ∪A2k+1n+1 oraz

gn(x) =k

2ni gn+1(x) =

{2k2n+1 dla x ∈ A2kn+12k+12n+1 dla x ∈ A2k+1n+1

,

a stąd gn(x) ¬ gn+1(x). Jeżeli teraz x ∈ Bn, to x ∈(n+1)2n+1−1⋃k=n2n+1

Akn+1 ∪Bn+1. Ponadto

gn(x) = n i gn+1(x) ={

k2n+1 dla x ∈ A

kn+1 i k = n2

n+1, . . . , (n+ 1)2n+1 − 1n dla x ∈ Bn+1

,

a stąd również gn(x) ¬ gn+1(x).Niech x ∈ A będzie dowolny. Jeżeli f(x) = +∞, to x ∈ Bn dla dowolnego n i stąd gn(x) = n→ +∞, o ile n→∞. Jeżeli

f(x) < +∞, to istnieje liczba naturalna n0 taka, że x ∈n2n−1⋃k=0

Akn dla dowolnego n n0, a stąd

|f(x)− gn(x)| <12n→ 0 o ile n n0 i n→∞. (15.38)

Daje to w obu wypadkach zbieżność punktową ciągu (gn).(Dostateczność) Wynika z wniosku 15.4.4.Zauważmy, że jeżeli funkcja f jest ograniczona, to istnieje takie n, że dla Bn = ∅, a stąd dla m n również zbiory Bm

są puste. Zbieżność jednostajna ciągu funkcji prostych wynika więc z oszacowania (15.38). 2

Uwaga 15.4.2 Zbiór wszystkich mierzalnych funkcji prostych będziemy oznaczać SF, natomiast zbiór wszystkich nieujem-nych i mierzalnych funkcji prostych symbolem SF+.

15.5 Całka Lebesgue’a na prostej euklidesowej

Niech (R,SL,m) będzie prostą euklidesową z miarą Lebesgue’a, A zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a. Niech f, g:R→ Rbędą funkcjami mierzalnymi (ewentualnie funkcjami mierzalnymi o wartościach rzeczywistych).

Uwaga 15.5.1 Dosyć często w tym paragrafie będzie również myśleć o funkcjach z dziedziną ograniczoną do zbioru A.

Uwaga 15.5.2 Przed zdefiniowaniem całki Lebesgue’a wprowadźmy oznaczenie

K(f) ozn= {p ∈ SF+ : p ¬ f} ,

gdzie f jest dowolną nieujemną funkcją mierzalną.

Definicja 15.5.1

(Część I) Niech f będzie nieujemną, mierzalną funkcją prostą (tzn. f =n∑k=1

akIAk). Całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze

A względem miary Lebesgue’a nazywamy wielkość∫A

fdmdef=

n∑k=1

akm(Ak ∩A). (15.39)

(Część II) Niech f będzie nieujemną funkcją mierzalną. Całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze A względem miary Lebesgue’anazywamy wielkość ∫

A

fdmdef= supp∈K(f)

∫A

pdm. (15.40)

(Część III) Niech f będzie funkcją mierzalną. Jeżeli przynajmniej jedna z całek∫A

f−dm,

∫A

f+dm (15.41)


jest skończona, to całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze A względem miary Lebesgue’a nazywamy wielkość∫A

fdmdef=∫A

f+dm−∫A

f−dm. (15.42)

Jeżeli obie całki w (15.41) są skończone, to funkcje f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue’a po zbiorze A.

Uwaga 15.5.3 Zbiór wszystkich mierzalnych funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na zbiorze A względem miary Lebes-gue’a oznaczamy przez L(A).

Wniosek 15.5.1 Jeżeli f jest nieujemną funkcja mierzalną, to∫A

fdm ∈ [0,+∞].

Wniosek 15.5.2 Jeżeli f ∈ L(A), to f+, f− ∈ L(A).

Lemat 15.5.1 Jeżeli m(A) = 0, to∫A

fdm = 0.

Szkic dowodu.krok i. Niech f =

n∑k=1

akIAk . Wtedy m(A ∩Ak) = ∅ i stąd teza wynika z definicji całki Lebesgue’a (część I).

krok ii. Niech f 0 Wtedy dla dowolnej funkcji p ∈ K(f) na mocy kroku i mamy∫A

pdm = 0, a więc supp∈K(f)

∫A

pdm = 0.

krok iii. Niech f będzie dowolna. Wtedy f = f+ − f−. Na mocy kroku i mamy∫A

f±dm = 0, a stąd tezę na mocy

części III definicji całki Lebesgue’a otrzymujemy tezę. 2

Wniosek 15.5.3∫∅fdm = 0.

Lemat 15.5.2 Jeżeli f(x) = α dla wszystkich x ∈ A i pewnego α ∈ R, to∫A

fdm = αm(A).

Jeżeli dodatkowo m(A) < +∞, to f ∈ L(A).

Szkic dowodu.Wystarczy zauważyć, że f = αIA. Wtedy, jeśli α 0, to wykorzystując część I definicji 15.5.1 otrzymujemy tezę lematu.

Jeżeli teraz α < 0, to f+ = 0 · IA oraz f− = (−α)IA. A ponieważ∫A

f+dm = 0 ·m(A) = 0 i∫A

f−dm = (−α) ·m(A) oraz

∫A

fdm = 0− (−α)m(A) = αm(A)

na mocy część III definicji 15.5.1.Jeżeli teraz m(A) < +∞, to całki z funkcji f± są skończone więc f ∈ L(A). 2

Lemat 15.5.3 Jeżeli 0 ¬ f(x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ A, to∫A

fdm ¬∫A

gdm.

Jeżeli dodatkowo g ∈ L(A), to f ∈ L(A).

Szkic dowodu.Jeżeli f i g są dowolnymi funkcjami nieujemnymi spełniającymi założenia lematu. Wtedy K(f) ⊂ K(g), a więc{∫

A

pdm : p ∈ K(f)}⊂{∫A

pdm : p ∈ K(f)}.

Na mocy własności kresu górnego (stwierdzenie 2.2.1(i)) i definicji 15.5.1 mamy∫A

fdm = supp∈K(f)

∫A

pdm ¬ supp∈K(g)

∫A

pdm =∫A

gdm. (15.43)

Ostatnia część tezy wynika z oszacowania (15.43) i wniosku 15.5.1. 2


Uwaga 15.5.4 Ze względu na dydaktyczny charakter sformułujemy i udowodnimy oddzielnie lemat 15.5.3 w wypadku funkcjiprostych.

Lemat 15.5.4 Niech f, g będą nieujemnymi funkcjami prostymi. Jeżeli 0 ¬ f(x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ A, to∫A

fdm ¬∫A

gdm.

Szkic dowodu.Niech f =

n∑k=1

akIAk , g =m∑i=1

biIBi i niech I = {1, . . . , n} × {1, . . . ,m}. Wtedy ak = f(x) ¬ g(x) = bi dla dowolnych

k = 1, . . . , n, i = 1, . . . ,m o ile x ∈ A ∩Ak ∩Bi lub inaczej Ak ∩A ∩Bi 6= ∅, więc

∀(k,i)∈Iakm(Ak ∩A ∩Bi) ¬ bim(Ak ∩A ∩Bi)

oraz ∫A

fdm =n∑k=1

akm(Ak ∩A) =n∑k=1

akm(Ak ∩ (A ∪m⋃i=1

Bi)) =n∑k=1

akm(m⋃i=1

(Ak ∩A ∩Bi))

=n∑k=1

m∑i=1

akm(Ak ∩A ∩Bi) =∑(k,i)∈I

akm(Ak ∩A ∩Bi) ¬∑(k,i)∈I

bkm(Ak ∩A ∩Bi)

=n∑k=1

m∑i=1

bim(Ak ∩A ∩Bi) =m∑i=1

bim(n⋃k=1

(Ak ∩A ∩Bi))

=m∑i=1

bim(A ∩Bi) =∫A

gdm

2

Lemat 15.5.5 Jeżeli f(x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ A i g ∈ L(A), to f+ ∈ L(A) oraz∫A

fdm ¬∫A

gdm.

Szkic dowodu.Mamy

0 ¬ f+(x) ¬ g+(x) oraz 0 ¬ g−(x) ¬ f−(x) dla dowolnego x ∈ A.

Ponadto g+ ∈ g ∈ L(A), więc zgodnie z wnioskiem 15.5.3mamy f+ ∈ L(A), czyli∫A

f+dm < +∞. Jeżeli teraz∫A

f−dm = +∞,

to

−∞ =∫A

fdm <

∫A

gdm.

Jeżeli teraz∫A

f−dm < +∞, to stosując lemat 15.5.3 do części nieujemnych i niedodatnich otrzymujemy

∫A

fdm =∫A

f+dm−∫A

f−dm ¬∫A

g+dm−∫A

g−dm =∫A

gdm.

2

Lemat 15.5.6 Jeżeli A 6= ∅ i m(A) < +∞ oraz f jest ograniczona na A, to f ∈ L(A) oraz

m(A) infx∈A{f(x)} ¬

∫A

fdm ¬ m(A) supx∈A{f(x)}.

Szkic dowodu.Niech l = inf

x∈A{f(x)} oraz L = sup

x∈A{f(x)}. Wtedy

l ¬ f(x) ¬ L dla dowolnego x ∈ A.

Krok I. Załóżmy, że f 0. Wtedy l 0 i teza wynika z lematów 15.5.3, 15.5.2.


Krok II. Załóżmy, że f ¬ 0. Wtedy f = −f−, L ¬ 0 oraz (−L) ¬ f− ¬ (−l). Stosując krok i do funkcji f− otrzymujemym(A) · (−L) ¬

∫A

f−dm ¬ m(A) · (−l). Mnożąc nierówność przez −1 i stosując cześć III definicji 15.5.1 otrzymujemy tezę.

Krok III. Niech f przyjmuje wartości ujemne i dodatnie. Wtedy l < 0 oraz L > 0. Niech T = max{|l|, |L|}. Wtedy f− ¬ Ti f+ ¬ T oraz

∫A

f±dm ¬ T ·m(A) < +∞, a więc f ∈ L(A). Ponadto 0 ¬∫A

f+dm ¬ L ·m(A), 0 ¬∫A

f−dm ¬ (−l) ·m(A)

jak również

−∫A

f−dm ¬∫A

f+dm−∫A

f−dm ¬∫A

f+dm.

Daje to tezę w tym przypadku. 2

Lemat 15.5.7 Jeżeli f ∈ L(A) i α ∈ R, to α · f ∈ L(A) oraz∫A

(α · f)dm = α∫A

fdm.

Szkic dowodu.

Krok I. Załóżmy, że α = 0. Wtedy α · f = 0IR i zgodnie z lematem 15.5.2 mamy∫A

(αf)dm = 0 = α ·∫A

fdm.

Krok II. Załóżmy, że α > 0 i funkcja f jest nieujemna. Wtedy

∀p∈SF+p ∈ K(α · f)⇔p

α∈ K(f) oraz ∀q∈SF+q ∈ K(f)⇔ α · q ∈ K(α · f).

Mamy wtedy

∀p∈K(α·f)∫A

pdm = α ·∫A

p

αdm ¬ α ·

∫A

fdm,

∀q∈K(f)∫A

qdm =1α·∫A

α · qdm ¬ 1α·∫A

α · fdm,

a stąd ∫A

(α · f)dm ¬ α ·∫A

fdm oraz∫A

fdm ¬ 1α

∫A

(α · f)dm.

Krok III. Załóżmy, że α > 0 i funkcja f jest dowolna. Wtedy f = f+ − f− i (α · f)+ = α · f+ oraz (α · f)− = α · f− . Stąd∫A

(α · f)dm =∫A

(α · f)+dm−∫A

(α · f)−dm =∫A

α · f+dm−∫A

α · f−dm = α∫A

f+dm− α∫A

f−dm (krok ii)

= α

∫A

f+dm−∫A

f−dm

= α · ∫A

fdm.

Krok IV. Załóżmy, że α < 0 i funkcja f jest dowolna. Wtedy f = f+− f− i (α · f)+ = (−α) · f− oraz (α · f)− = (−α) · f+.Stąd ∫

A

(α · f)dm =∫A

(α · f)+dm−∫A

(α · f)−dm =∫A

(−α) · f−dm−∫A

(−α) · f+dm

= (−α)∫A

f−dm− (−α)∫A

f+dm (krok ii) = α

∫A

f+dm−∫A

f−dm

= α · ∫A

fdm.

2

Lemat 15.5.8 Jeżeli SL 3 B ⊂ A i f jest nieujemna na A, to∫B

fdm ¬∫A

fdm. Jeżeli dodatkowo f ∈ L(A), to f ∈ L(B).

Szkic dowodu.

Niech SL 3 B ⊂ A i f będzie funkcją nieujemną na A.


Krok I. Załóżmy, że f jest funkcją prostą i niech f =n∑k=1

akIAk . Wtedy

∫B

fdm =n∑k=1

akm(Ak ∩B) ¬n∑k=1

akm(Ak ∩A)(własność (15.12)) =∫A

fdm

Krok II. Załóżmy, że f dowolną funkcją nieujemną.

∀p∈K(f)∫B

pdm ¬∫A

pdm ¬∫A

fdm,

a stąd wynika teza. 2

Wniosek 15.5.4 Jeżeli f ∈ L(A) i SL 3 B ⊂ A, to f ∈ L(B).

Szkic dowodu.Niech f ∈ L(A) i SL 3 B ⊂ A. Wtedy f+, f− ∈ L(A), a stąd f+, f− ∈ L(B) (zgodnie z lematem 15.5.8), więc i również

f ∈ L(B). 2

Lemat 15.5.9 Dla dowolnej mierzalnej i nieujemnej funkcji prostej p odwzorowanie

SL 3 A 7→ mp(A)def=∫A

pdm (15.44)

jest miara nieujemną.

Szkic dowodu.Niech {An : n 1} ⊂ SL będzie ciągiem zbiorów parami rozłącznych. Oznaczmy A =

∞⋃n=1

An i niech p =n∑k=1

akIBk będzie

funkcją mierzalną i nieujemną. Mamy

mp(A) =∫A

pdm =n∑k=1

akm(Bk ∩A) =n∑k=1

akm(∞⋃n=1

(Bk ∩An)) =n∑k=1

ak

∞∑n=1

m(Bk ∩An)

=∞∑n=1

n∑k=1

akm(Bk ∩An) (szereg o wyrazach nieujemnych) =∞∑n=1

∫An

pdm =∞∑n=1

mp(An).

2

Twierdzenie 15.5.1 Niech f będzie funkcją nieujemną i mierzalną. Wówczas funkcja

SL 3 A 7→ mf (A)def=∫A

fdm (15.45)

jest miarą nieujemną.

Szkic dowodu.Niech {An : n 1} ⊂ SL będzie ciągiem zbiorów parami rozłącznych. Oznaczmy A =

∞⋃n=1

An.

Przypadek I. Istnieje takie n ∈ N, że mf (An) = +∞. Wtedy∞∑n=1

mf (An) = +∞ i zgodnie z lematem 15.5.8 zachodzi

teza (bo mf (An) ¬ mf (A)).Przypadek II. Dla dowolnego n ∈ N jest mf (An) < +∞. Mamy

∀p∈K(f)∫A

pdm =∞∑n=1

∫An

pdm ¬∞∑n=1

∫An

fdm =∞∑n=1

mf (An),

a stąd

mf (A) ¬∞∑n=1

mf (An).


Udowodnimy teraz nierówność przeciwną. Wpierw udowodnimy, że∫A1∪A2

fdm ∫A1

fdm+∫A2

fdm dla dowolnych mierzalnych zbiorów rozłącznych A1 i A2.

Niech ε będzie dowolna liczbą dodatnią. Istnieje wtedy funkcja prosta p ∈ K(f) na A1 ∪ A2 (zgodnie z definicjami całkiLebesgue’a i kresu górnego) taka, że ∫

Ai

pdm+ε

2>

∫Ai

fdm dla i = 1, 2.

(Można rozważyć funkcje proste pi oddzielnie na każdym zbiorze Ai kładąc zero poza zbiorem Ai i dodać je, rozważającoddzielnie całki na każdym ze zbiorów. Tak skonstruowana funkcja jest z K(f).) Otrzymujemy wówczas∫

A1

fdm+∫A2

fdm < ε+∫A1

pdm+∫A2

pdm = ε+∫

A1∪A2

pdm bo mp jest miarą nieujemną

¬ ε+∫

A1∪A2

fdm.

Ponieważ ε było dowolne, więc zachodzi oszacowanie∫A1fdm+

∫A2fdm ¬

∫A1∪A2 fdm. Indukcyjnie dowodzimy, że

∀n∈N

n∑k=1

∫Ak

fdm ¬∫n⋃k=1

Ak

fdm,

o ile zbiory A1, . . . , An są parami rozłączne. Ponieważn⋃k=1

Ak ⊂ A, więc zgodnie z z lematem 15.5.8 mamy

∀n∈N

n∑k=1

mf (Ak) =n∑k=1

∫Ak

fdm ¬∫n⋃k=1

Ak

fdm ¬∫A

fdm = mf (A).

Przechodząc z n w granicy do nieskończoności otrzymujemy żądaną nierówność. 2

Wniosek 15.5.5 Niech f ∈ L(R) wtedy funkcja mf jest σ - addytywna.

Szkic dowodu.Ponieważ

∫A

fdm =∫A

f+dm−∫A

f−dm, więc teza wynika z udowodnionego twierdzenia 15.5.1. 2

Wniosek 15.5.6 Niech f ∈ L(R) oraz {A,B} ⊂ SL będą takie, że A ∩B = ∅. Wtedy∫A∪B

fdm =∫A

fdm+∫B

fdm.

Szkic dowodu.Wystarczy rozważyć ciąg {An : n 1}, gdzie A1 = A,A2 = B oraz An = ∅ dla n > 2 i wykorzystać wnioski 15.5.5,

15.5.3. 2

Lemat 15.5.10 Całka Lebesgue’a nie zależy od wartości całkowanej funkcji na zbiorze miary zero tzn.

∀f :A→R∀B∈SLf ∈ L(A) ∧m(B) = 0⇒∫A

fdm =∫A\B

fdm.

Szkic dowodu.Niech będzie dana funkcja f :A→ R, zbiór mierzalny B takie, że f ∈ L(A) i m(B) = 0. Ponieważ A = (A∩B)∪ (A \B),

A \B = A \ (A∩B) oraz A∩B ⊂ A, A∩B ⊂ B i (A∩B)∩ (A \B) = ∅, więc teza wynika z wniosku 15.5.6 i lematu 15.5.1oraz twierdzenia 15.2.1. 2

Wniosek 15.5.7 Jeżeli f ∈ L(A) oraz funkcja g jest prawie wszędzie równa funkcji f (na zbiorze A), to g ∈ L(A) oraz∫A

fdm =∫A

gdm.


Szkic dowodu.Niech B = {x ∈ A : f(x) 6= g(x)}. Wtedy m(B) = 0 oraz∫

A

fdm =∫A\B

fdm+∫B

fdm =∫A\B

gdm+ 0 =∫A\B

gdm+∫B

gdm =∫A

gdm.

2

Lemat 15.5.11 Dla dowolnej funkcji mierzalnej f mamy f ∈ L(A) wtedy i tylko wtedy, gdy |f | ∈ L(A).

Szkic dowodu.(Konieczność) Załóżmy, że f ∈ L(A). Wtedy zgodnie z wnioskiem 15.5.2 mamy f± ∈ L(A). Niech

A−ozn= {x ∈ A : f(x) < 0} oraz A+

ozn= {x ∈ A : f(x) 0}.

Wtedy A− ∪A+ = A, zbiory są rozłączne i mierzalne.∫A

|f |dm =∫A−

|f |dm+∫A+

|f |dm =∫A−

f−dm+∫A+

f+dm ¬∫A

f−dm+∫A

f+dm < +∞.

(Dostateczność) Ponieważ 0 ¬ f± ¬ |f |, więc∫A

f±dm < +∞ na mocy lematu 15.5.3. Zgodnie z definicją całki Lebesgue’a

kończy to dowód. 2

Lemat 15.5.12 Niech f ∈ L(A) oraz dla dowolnego x ∈ A zachodzi |g(x)| ¬ f(x). Wtedy g ∈ L(A).

Szkic dowodu.Z lematu 15.5.3 mamy |g| ∈ L(A), więc teza wynika z lematu 15.5.11. 2

Lemat 15.5.13 Niech f ∈ L(A). Wtedy ∣∣∣∣∫A

fdm

∣∣∣∣ ¬ ∫A

|f |dm. (15.46)

Szkic dowodu.Ponieważ −|f | ¬ f ¬ |f |, więc zgodnie z lematem 15.5.5 daje

−∫A

|f |dm ¬∫A

fdm ¬∫A

|f |dm.

2

Twierdzenie 15.5.2 (Lebesgue’a - Beppo Leviego/Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech A ∈ SL orazniech

{fn:A→ R : n 1

}będzie ciągiem funkcji mierzalnych taki, że

∀n1∀x∈A0 ¬ fn(x) ¬ fn+1(x).

Wówczaslimn→∞

∫A

fndm =∫A

( limn→∞

fn)dm (15.47)

Szkic dowodu.Niech funkcja f :A→ R będzie granicą punktową ciągu funkcyjnego (fn) tzn.

∀x∈A limn→∞

fn(x) = f(x).

Ponieważ dla dowolnego x ∈ A ciąg (fn(x)) jest niemalejący, więc zgodnie z twierdzeniami 4.6.2, 4.4.1 jest on zbieżny dogranicy skończonej lub niewłaściwej (+∞). Funkcja f jest mierzalna zgodnie z wnioskiem 15.4.4. Ponadto 0 ¬ fn(x) ¬ f(x)dla dowolnego x ∈ A i dowolnej liczby naturalnej n. Mamy więc Ponieważ∫

A

fndm ¬∫A

fdm. (15.48)


Przypadek I. Istnieje liczba naturalna k taka, że∫A

fkdm = +∞. Wtedy dla dowolnego n k, zgodnie z lematem 15.5.3,

mamy∫A

fndm = +∞, a więc limn→∞

∫A

fndm = +∞ i∫A

fdm = +∞.

Przypadek II. Dla dowolnego n jest∫A

fndm < +∞. Niech

αdef= limn→∞n

∫A

fndm dla n 1.

Mamy wtedy α ∈ [0,+∞].Przypadek A. α = +∞. Przechodząc z n do +∞ w nierówności (15.48) otrzymujemy tezę.Przypadek B. α < +∞.Na podstawie nierówności (15.48) mamy α ¬

∫A

fdm. Stąd wystarczy udowodnić nierówność przeciwną.

Niech p ∈ K(f) i c ∈]0, 1[ będą dowolne. Określmy zbiory

Andef= {x ∈ A : fn(x) cp(x)} dla dowolnego n 1.

Są one mierzalne (zgodnie z lematem 15.4.1) i ponieważ ciąg (fn) jest niemalejący, więc ciąg (An) jest wstępujący oraz sumawszystkich zbiorów An daje zbiór A. Mamy wtedy

c

∫An

pdm =∫An

c · pdm ¬∫An

fndm ¬∫A

fndm.

Stąd α c∫A

pdm. Ponieważ p była dowolna więc nierówność ta jest prawdziwa dla kresu górnego względem p z K(f), co

daje α c∫A

fdm. Biorąc granicę przy c→ 1− otrzymujemy α ∫A

fdm. 2

Twierdzenie 15.5.3 (Lemat Fatou) Niech ciąg{fn:A→ R : n ∈ N

}będzie ciągiem funkcji mierzalnych i nieujemnych

na zbiorze A ∈ SL. Wówczas ∫A

lim infn→∞

fndm ¬ lim infn→∞

∫A

fndm (15.49)

Szkic dowodu.

Określmy funkcje

gn = infkn

fk dla n 1.

Funkcje gn są mierzalne zgodnie z twierdzeniem 15.4.2, ponadto tworzą one ciąg niemalejący funkcji nieujemnych, limn→∞

gn =lim infn→∞

fn oraz fn gn. Mamy wtedy

lim infn→∞

∫A

fndm lim infn→∞

∫A

gndm = limn→∞

∫A

gndm

=∫A

limn→∞

gndm =∫A

lim infn→∞

fndm.

2

Twierdzenie 15.5.4 Jeżeli {f, g} ⊂ L(A), to f + g ∈ L(A) oraz∫A

(f + g)dm =∫A

fdm+∫A

gdm (15.50)

Szkic dowodu.

Przypadek I. f, g są funkcjami prostymi. Niech f =n∑k=1

akIAk i g =m∑i=1

biIBi i zbiory (Ak) i (Bi) są parami rozłączne i

dają cały zbiór A. Wtedy zbiory Ck,i = Ak ∩Bi są parami rozłączne i w sumie dają zbiór A i dla dowolnego x ∈ Ck,i mamy


f(x) + g(x) = ak + bi. Ponadto f + g =n∑k=1

m∑i=1(ak + bi)ICk,j , więc f + g może być przedstawiona jednoznacznie w postaci

l∑j=1

cjIDj , gdzie cj jest sumą pewnych ak i bi, zaś Dj jest sumą zbiorów Ck,i dla których dj = ak + bi.

∫A

fdm+∫A

gdm =n∑k=1

akm(Ak ∩A) +m∑i=1

bim(Bi ∩A) =n∑k=1

m∑i=1

akm(Ak ∩Bi) +n∑k=1

m∑i=1

bim(Ak ∩Bi)

=n∑k=1

m∑i=1

(ak + bi)m(Ck,i) =l∑j=1

djm(Dj ∩A) =∫A

(f + g)dm.

Przypadek II. f, g są funkcjami nieujemnymi. Rozważmy wówczas niemalejące ciągi nieujemnych i mierzalnych funkcjiprostych (pn) i (qn) zbieżne odpowiednio do funkcji f i g. Istnienie tych ciągów zagwarantowane jest twierdzeniem o aprok-symacji funkcjami prostymi (twierdzenie 15.4.4). Oczywiście ciąg (pn + qn) jest ciągiem niemalejącym funkcji nieujemnych imierzalnych zbieżnym do funkcji f + g. Na mocy przypadku i otrzymujemy

∀n∈N

∫A

(pn + qn)dm =∫A

pndm+∫A

qndm.

Wykorzystując teraz twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej i własności działań na ciągach liczbowych otrzymu-jemy tezę w tym przypadku.Przypadek III. f jest funkcją nieujemną i g jest funkcją niedodatnią. Niech

A+ozn= {x ∈ A : f(x) + g(x) 0} oraz A− ozn= {x ∈ A : f(x) + g(x) < 0}.

Są one zbiorami mierzalnymi, rozłącznymi i sumują się do zbioru A. Zgodnie z wnioskiem 15.5.4 mamy f, g ∈ L(A+)∩ ∈L(A−). Na zbiorze A+ nieujemne są funkcje f, f + g,−g, zaś na zbiorze A− funkcje f,−(f + g),−g. Mamy wtedy∫

A+

fdm =∫A+

((f + g) + (−g))dm =∫A+

(f + g)dm+∫A+

(−g)dm =∫A+

(f + g)dm−∫A+

gdm;

∫A−

(−g)dm =∫A−

(−(f + g) + f)dm =∫A−

(−(f + g))dm+∫A−

fdm = −∫A−

(f + g)dm+∫A−

fdm,

Wykorzystaliśmy przypadek ii oraz lemat 15.5.7. Ostatecznie∫A

fdm+∫A

gdm =

∫A+

fdm+∫A+

gdm

+∫A−

fdm+∫A−

gdm

=

∫A+

(f + g)dm−∫A+

gdm+∫A+

gdm

+∫A−

fdm+∫A−

(f + g)dm−∫A−

fdm

=

∫A+

(f + g)dm+∫A−

(f + g)dm =∫A

(f + g)dm

Przypadek IV. f, g są dowolne. Rozbijmy zbiór A na sumę zbiorów rozłącznych

A = {x ∈ A : f(x) 0 ∧ g(x) 0} ∪ {x ∈ A : f(x) 0 ∧ g(x) < 0}

∪{x ∈ A : f(x) < 0 ∧ g(x) 0} ∪ {x ∈ A : f(x) < 0 ∧ g(x) < 0}.

Równość całek na pierwszym ze zbiorów wynika z przypadku ii, zaś dla zbiorów drugiego i trzeciego z przypadku iii.Natomiast dla zbioru czwartego wystarczy rozważyć funkcje−f i−g, które są nieujemne. Dla nich wykorzystać przypadek ii.Równość dla funkcji f, g otrzymamy z tego na podstawie lematu 15.5.7. 2

Twierdzenie 15.5.5 (Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej) Niech A ∈ SL oraz niech{fn:A→ R : n 1

}będzie

ciągiem funkcji mierzalnych taki, że(i) fn → f prawie wszędzie na A(ii) istnieje g ∈ L(A) taka, że |fn(x)| ¬ g(x) dla dowolnych n ∈ N oraz x ∈ A.


Wówczas f jest funkcją mierzalną i {f, fn:n ∈ N} ⊂ L(A) oraz

limn→∞

∫A

fndm =∫A

fdm. (15.51)

Szkic dowodu.Zauważmy, że w punktach, gdzie granica lim

n→∞fn nie istnieje funkcję f można zadać przez dowolną wartość np. przez

zero. Funkcja f jest mierzalna zgodnie z wnioskiem 15.4.4.Na mocy lematu 15.5.12 mamy fn ∈ L(A), jak również f jest całkowalna na A, gdyż i dla niej zachodzi oszacowanie

|f(x)| ¬ g(x).Mamy ponadto na mocy założenia (ii)

g + fn 0 oraz g − fn 0 dla dowolnego n 1.

Do ciągów tych zastosujemy lemat Fatou. Mamy

∫A

gdm+ lim infn→∞

∫A

fndm = lim infn→∞

∫A

gdm+∫A

fndm

= lim infn→∞

∫A

(g + fn)dm

∫A

lim infn→∞

(g + fn)dm =∫A

limn→∞(g + fn)dm =

∫A

(g + limn→∞

fn)dm

=∫A

gdm+∫A

fdm

oraz ∫A

gdm− lim supn→∞

∫A

fndm =∫A

gdm+ lim infn→∞

(−∫A

fndm) = lim infn→∞

∫A

gdm−∫A

fndm

= lim inf

n→∞

∫A

(g − fn)dm ∫A

lim infn→∞

(g − fn)dm =∫A

limn→∞(g − fn)dm

=∫A

(g − limn→∞

fn)dm =∫A

gdm−∫A

fdm.

Ponieważ 0 ¬∫A

gdm < +∞, więc w obu oszacowaniach (po zostawieniu tylko wyrazów skrajnych) można uprościć∫A

gdm.

Otrzymamy wtedy

lim supn→∞

∫A

fndm ¬∫A

fdm ¬ lim infn→∞

∫A

fndm ¬ lim supn→∞

∫A

fndm,

co zgodnie z wnioskiem 4.8.2 daje tezę. 2

Lemat 15.5.14 Niech f będzie nieujemna {An:n ∈ N} ⊂ SL będzie ciągiem wstępującym lub zstępującym, zaś A odpowiednijego sumą lub przekrojem. Wtedy

∫A

fdm = limn→∞

∫An

fdm.

Szkic dowodu.Jeżeli f jest nieujemna, to mf jest miarą nieujemną zgodnie z twierdzeniem 15.5.1 i tezę otrzymujemy na podstawie

własności (15.17), (15.18) twierdzenia 15.1.1.2

Wniosek 15.5.8 Jeżeli f ∈ L(R) oraz ciąg {An:n ∈ N} spełnia założenia lematu 15.5.14, to zachodzi teza tego lematu.

Szkic dowodu.Wystarczy rozważyć oddzielnie funkcje f±. 2

Lemat 15.5.15 Jeżeli f ∈ L(A), to f jest prawie wszędzie skończona na A.


Szkic dowodu.(ad absurdum) Niech B± ozn= {x ∈ A : f(x) = ±∞}. Wtedy co najmniej jeden ze zbiorów ma miarę niezerową. Przypuśćmy,

że jest to zbiór B+. Ponieważ f+ ∈ L(A), więc mamy

+∞ =∫B+

f+dm ¬∫A

f+dm < +∞.

Analogicznie otrzymujemy sprzeczność, gdy B− ma miarę niezerową. 2

Lemat 15.5.16 Niech f ∈ L(A) oraz f jest nieujemna na A i∫A

fdm = 0. Wtedy f = 0 prawie wszędzie na A.

Szkic dowodu.Niech An

ozn= {x ∈ A : f(x) > 1n} dla dowolnego n 1. Są one zbiorami mierzalnymi. Mamy ponadto

0 =∫A

fdm ∫An

fdm 1nm(An).

Stąd m(An) = 0, a ponieważ {x ∈ A : f(x) > 0} ⊂∞⋃n=1

An, więc teza wynika z σ-subaddytywności miary nieujemnej. 2

Wniosek 15.5.9 Niech f ∈ R oraz∫A

fdm = 0 dla dowolnego zbioru mierzalnego A. Wtedy f = 0 prawie wszędzie na R.

Szkic dowodu.Niech B− def= {x ∈ R : f(x) ¬ 0} i B+ def= {x ∈ R : f(x) 0}. Zbiory B± są mierzalne oraz f = f+ na B+ i f = −f− na

B−. Na mocy lematu 15.5.16 otrzymujemy f± = 0 na B± prawie wszędzie, a stąd f jest prawie wszędzie równa zeru. 2

Twierdzenie 15.5.6 Niech f będzie funkcją ograniczoną na [a, b], gdzie a < b i niech f ∈ R([a, b]). Wtedy istnieje całkaLebesgue’a z funkcji f na odcinku [a, b] i jest równa całce Riemanna.

Szkic dowodu.Niech f spełnia założenia twierdzenia i niech a < b. Rozważmy ciąg podziałów {Pn : n 1} ⊂ P([a, b]) odcinka [a, b]

taki, że Pn+1 jest zagęszczeniem podziału Pn oraz ∆Pn < 1n dla dowolnego n oraz

limn→∞

U(f, Pn) =∫ ba

f(x)dx = limn→∞

L(f, Pn).

Niech n będzie dowolną liczba naturalna i niech Pn = {xn0 , xn1 , . . . xnk(n)}, a mni i M

ni dla i = 1, . . . k(n) mają standardowe

oznaczenia jak w całce Riemanna. Definiujemy funkcje

[a, b] 3 x 7→ φn(x)def={f(a) dla x = amni dla x ∈]xni−1, xni ] i i = 1, . . . k(n)

,

[a, b] 3 x 7→ ψn(x)def={f(a) dla x = aMni dla x ∈]xni−1, xni ] i i = 1, . . . k(n)

.

Ciąg (φn) jest niemalejący, zaś ciąg (ψn) jest nierosnący funkcji mierzalnych (ze względu na ciąg (Pn)). Ponadto

∀n∈Nφn ¬ f ¬ ψn. (15.52)

Stąd i z ograniczoności funkcji f funkcje φ i ψ będące granicami punktowymi tych ciągów istnieją w każdym punkcie odcinka[a, b] i są skończone w tych punktach. Ze względu monotoniczność tych ciągów i oszacowanie (15.52) mamy φ ¬ f ¬ ψ ifunkcje są mierzalne. Ostatecznie na podstawie twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej, gdzie majorantą jestfunkcja sup |f(x)|I[a,b] całkowalna zgodnie z lematem 15.5.6, otrzymujemy∫ b

a

f(x)dx = limn→∞

L(f, Pn) = limn→∞

∫[a,b]

φndm =∫[a,b]

φdm ¬∫[a,b]

fdm ¬∫[a,b]

ψdm

= limn→∞

∫[a,b]

ψndm = limn→∞

U(f, Pn) =∫ ba

f(x)dx

2

Dodatek A

Zadania z egzaminów

A.1 Egzamin w semestrze zimowym – rok akademicki 2001/2002

A.1.1 Termin pierwszy

1. (5pkt/40pkt) Niech funkcje f i g będą n - krotnie różniczkowalne w punkcie p. Udowodnić, że (f · g)(n)(p) =n∑k=0

(nk

)f (k)(p) · g(n−k)(p). Przyjmujemy, że f (0)(p) ozn= f(p).

2. (5pkt/40pkt) Obliczyć granicę ciągu an = 3n−√9n2 + 6n− 5.

3. (5pkt/40pkt) Zbadać zbieżność i obliczyć, w przypadku, gdy istnieje, granicę ciągu określonego indukcyjnie a1 =√6,

an+1 =√6 + an dla n 1.

4. (5pkt/40pkt) Niech a > 0. Zbadać zbieżność szeregu∞∑n=0

11+an .

5. (5pkt/40pkt) Z definicji Cauchy’ego pokazać, że limx→1

x−1x2−1 =

12 .

6. (5pkt/40pkt) Udowodnić, że funkcja f(x) = x+ sinx jest jednostajnie ciągła w R.

7. (5pkt/40pkt) Zbadać ciągłość funkcji f ◦ g w R, gdzie f(x) = signx, zaś g(x) = x3 − 4x.

8. (5pkt/40pkt) Udowodnić, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to f ′(p) = limh→0

f(p+h)−f(p−h)2h . Czy

zachodzi następujące twierdzenie: Jeżeli granica limh→0

f(p+h)−f(p−h)2h istnieje, to funkcja jest różniczkowalna w punkcie

p.

A.1.2 Termin poprawkowy

1. (5pkt/30pkt) Niech a, b będą ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Ciąg liczbowy (an) określamy indukcyjnie a1 = a,a2 = b oraz an =

an−1+an−22 dla n 3. Zbadać zbieżność i wyznaczyć w przypadku, gdy istnieje, granicę tego ciągu.

2. (5pkt/30pkt) Zbadać zbieżność szeregu∞∑n=1

n5

2n+3n .

3. (5pkt/30pkt) Policzyć pochodną funkcji f(x) = xxx−1xx+1 .

4. (5pkt/30pkt) Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n, która jest nie mniejszej niż 2 liczba 10 dzieli liczbę22n − 6.

5. (5pkt/30pkt) Policzyć z definicji kresy zbioru A ={(−1)n+1 + (−1)

n

n : n 1}.

6. (5pkt/30pkt) Niech dana będzie funkcja f :R→ R. Udowodnić, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, tof ′(p) = lim

h→0f(p+h)−f(p−h)

2h .

200




1. (4pkt+4pkt+4pkt/40pkt) Policzyć granice

a) limn→∞

n∑k=1

1√n2+k

b) limn→∞

n√1 + 2(−1)n c) lim

x→+∞

(√x+

√x+√x−√x

)

2. (4pkt+4pkt/40pkt) Zbadać zbieżność szeregów a)∞∑n=1

n2

2n+3n b)∞∑n=1

n(2+(−1)n)n4n .

3. (4pkt/40pkt) Udowodnić, że jeżeli zbieżne są szeregi∞∑n=1

an i∞∑n=1

bn oraz dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi

nierówność an ¬ cn ¬ bn, to również szereg∞∑n=1

cn jest zbieżny.

4. (4pkt/40pkt) Wyznaczyć wzór funkcji f(x) jeżeli f(x+ 1) = x2 − 3x+ 2.

5. (4pkt/40pkt) Niech funkcja f :R → R będzie ciągła oraz niech c ∈ R+. Udowodnić, że funkcja R 3 x 7→ fc(x) =c dla f(x) > c

f(x) dla |f(x)| ¬ c−c dla f(x) < −c

jest ciągła.

6. (4pkt/40pkt) Zbadać ciągłość funkcji f :R → R i sklasyfikować punkty nieciągłości jeżeli określona jest wzorem

f(x) =

1x dla x < 02√x dla 0 ¬ x ¬ 1

4− 2x dla 1 < x < 2, 52x− 7 dla x 2, 5

.

7. (4pkt/40pkt) Udowodnić jednostajną ciągłość funkcji f :R→ R zadaną wzorem f(x) = x3 na przedziale [0, 3].


1. (4pkt+4pkt+4pkt/40pkt) Policzyć granice a) limn→+∞

n sinn!n2+1 b) lim

n→+∞

(3n+13n−1

)2nc) limx→1

x3−x2+x−1x3+x2−x−1


n+22n3−1 b)

∞∑n=1

2+(−1)nn2 .

3. (4pkt/40pkt) Niech |x| 2. Wyznaczyć wzór funkcji f(x) jeżeli f(x+ 1x ) = x2 + 1

x2 .

4. (4pkt/40pkt) Zbadać ciągłość funkcji f :R→ R określonej wzorem f(x) ={ √

1+x−xx dla x 6= 0

0 dla x = 0. Jeżeli funkcja jest

nieciągła w jakimś punkcie, to sklasyfikować punkt nieciągłości.

5. (4pkt/40pkt) Czy można dobrać parametr a, tak aby funkcja zadana wzorem f(x) ={arctg 1x dla x 6= 0a dla x = 0

była ciągła

w punkcie 0 ?

6. (4pkt/40pkt) Udowodnić jednostajną ciągłość funkcji zadaną wzorem f(x) =√x na przedziale [1,+∞[.

7. (4pkt/40pkt) Niech fn(x) = (f ◦ f ◦ . . . ◦ f︸︷︷︸n

)(x). Wyznaczyć fn(x) jeżeli f(x) = x√1+x2.

A.2.3 Egzamin komisyjny

1. (5pkt/40pkt) Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierównośćn∑k=1

1k2 ¬ 2−

1n .

2. (5pkt+5pkt/40pkt) Policzyć granice a) limn→∞

n√en + 3n + πn + sinn b) lim

x→0

√x+4−2sin 5x


2n(−1)nn! b)

∞∑n=1

(−1)n1+ 1n

.


4. (5pkt/40pkt) Wyznaczyć wzór funkcji f(x) jeżeli f( 1x ) = x+√1 + x2.

5. (5pkt/40pkt) Czy można dobrać parametry a i b tak, aby funkcja zadana wzorem f(x) =

(x− 1)3 dla x ¬ 0ax+ b dla 0 < x < 1√x dla x 0

była ciągła w swojej dziedzinie?

6. (5pkt/40pkt) Udowodnić z definicji jednostajną ciągłość funkcji zadaną wzorem f(x) = x2 na przedziale ]0, 2[.

A.3 Egzamin w semestrze letnim – rok akademicki 2002/2003


1. (4pkt/44pkt) Wyznaczyć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji f(x) = (2x− 1) 3√(x− 3)2.

2. (4pkt/44pkt) Udowodnić, że dla x 1 zachodzi nierówność ex e · x.

3. (4pkt/44pkt) Policzyć granicę limx→0+

(1x

)sin x.

4. (4pkt(+4pkt)/44pkt) Udowodnić, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to limh→0

f(p+h)−f(p−h)h = f ′(p).

Dodatkowo: Czy twierdzenie Jeżeli istnieje skończona granica limh→0

f(p+h)−f(p−h)h , to funkcja jest różniczkowalna w

punkcie p jest prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij.

5. (4pkt/44pkt) Policzyć całkę∫x+2x2−1dx.

6. (4pkt/44pkt) Policzyć całkę∫ 11+sin x+cos xdx.

7. (4pkt/44pkt) Niech funkcja f , określona na przedziale [−1, 1], będzie ciągła. Udowodnić, że zachodziπ∫0xf(sinx)dx =

π2

π∫0f(sinx)dx.

8. (4pkt/44pkt) Policzyć granicę limn→∞

1+ 3√2+ 3√3+... 3

√n

3√n4

.

9. (8pkt/44pkt) Wyznaczyć obszar zbieżności, funkcję graniczną oraz określić rodzaje zbieżności dla ciągu funkcyjnego(fn), którego wyrazy zadane są następująco fn(x) = 2n2x2e−n

2x4 .

10. (4pkt(+4pkt)/44pkt) Niech dany będzie szereg potęgowy∞∑n=1

2n(3n+1)6n (x + 10)3n. Wyznaczyć promień zbieżności i

przedział zbieżności szeregu. Dodatkowo: Wyznaczyć sumę szeregu.


1. (5pkt/45pkt) Wyznaczyć dziedzinę oraz ekstrema funkcji f(x) = x1x .

2. (5pkt/45pkt) Policzyć granicę limx→0+

(tg x)tg x.

3. (5pkt/45pkt) Obliczyć całkę∫ 4x−52x2−5x+3dx.

4. (5pkt/45pkt) Obliczyć całkę∫x3 ln2 xdx.

5. (5pkt/45pkt) Niech funkcja f będzie ciągła na odcinku [0,max{a, an+1}], gdzie a ∈ R+ i n ∈ N są ustalonymi

liczbami. Wykazać, żea∫0x2n+1f(xn+1)dx = 1

n+1

an+1∫0

xf(x)dx.

6. (5pkt/45pkt) Dla szeregu potęgowego∞∑n=1

√2n

(2n)25n (x + 1)n wyznaczyć promień zbieżności, przedział zbieżności oraz

zbadać zbieżność na końcach przedziału zbieżności.

7. (5pkt/45pkt) Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu liczbowego∞∑n=2

1n lnn .


8. (5pkt/45pkt) Wyznaczyć granicę limn→+∞

(10+n +

11+n + . . .+

1(n−1)+n

).

9. (5pkt/45pkt)Wyznaczyć granicę i określić rodzaje zbieżności dla ciągu funkcyjnego {fn : n 1}, gdzie fn = x+ e−nx

n .



1. (10pkt+10pkt+10pkt/130pkt) Obliczyć następujące granicę

A) limx→+∞

[x]x+1 B) limn→+∞

n3−2n2 cos(n!)3n3+1 C) lim

x→0tg x−sin xx3

2. (10pkt+10pkt+10pkt/130pkt) Zbadać zbieżności szeregów. W przypadku szeregów zbieżnych określić rodzaj zbież-ności.

A)∞∑n=1

1n sin

(2n+1)π2 B)

∞∑n=2

1√n(n−1)

C)∞∑n=1

(n!)2

(5n)!

3. (10pkt/130pkt) Z definicji policzyć kres górny zbioru A = {√n+ 1−

√n : n ∈ N ∪ {0}}.

4. (10pkt/130pkt) Zbadać zbieżność ciągu, którego n-ty wyraz zadany jest wzorem an = cos nπ4 . W przypadku, gdyciąg nie jest zbieżny wyznaczyć jego granicę górną i dolną.

5. (10pkt/130pkt) Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że dla dowolnych punktów p, q, r z X praw-dziwa jest nierówność |d(p, q)− d(q, r)| ¬ d(p, r).

6. (10pkt/130pkt) Zbadać ciągłość funkcji f(x) ={x2 dla x ∈ Q−x2 dla x ∈ R \Q

.

7. (10pkt/130pkt) Udowodnić, że równanie ex = 1x ma rozwiązanie w przedziale ]12 , 1[.

8. (10pkt/130pkt) Wykazać, że każda okresowa funkcja ciągłą jest jednostajnie ciągła.

9. (10pkt/130pkt – na ocenę 5.0) Niech rzeczywista funkcja ciągła spełniająca warunek f(x + y) = f(x) + f(y) dladowolnych liczb rzeczywistych x, y. Udowodnić, że jest wtedy postaci f(x) = ax.



A) limx→64

3√x−48−√xB) limn→+∞

(11·3 +

13·5 + . . .

1(2n−1)(2n+1)

)C) limx→+∞

(sin√x+ 1− sin

√x)

2. (10pkt+10pkt+10pkt/110pkt) Zbadać zbieżności szeregów

A)∞∑n=1

2n√n

nn B)∞∑n=2

(n!)2

2n2C)

∞∑n=1

n5

2n+3n

3. (10pkt/110pkt) Z definicji policzyć kres górny zbioru A = { n2−510−n2 : n ∈ N}.

4. (10pkt/110pkt) Zbadać zbieżność ciągu (an), gdzie an = n−1n+1 cos

2nπ3 . W przypadku, gdy ciąg nie jest zbieżny

wyznaczyć jego granicę górną i dolną.

5. (10pkt/110pkt) Udowodnić stosując zasadę indukcji matematyczne, że dla dowolnej liczby naturalnej n prawdziwa

jest nierównośćn∑k=1

1k! ¬ 2−

1n .

6. (10pkt/110pkt) Dla funkcji f(x) =

√|x+ 2| dla x < 0

b dla x = 0tg xax dla x > 0

dobrać parametry a i b tak, aby była ona ciągła w zerze .

7. (10pkt/110pkt) Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f(x) = 1√xna zbiorze [1,+∞[.


A.4.3 Egzamin komisyjny


A) limn→+∞

(2n+1n

)nB) limn→+∞

(1n+1 +

1n+2 + . . .+

1n+n

)C) limx→0

√1−cos x21−cos x

2. (10pkt+10pkt+10pkt/110pkt) Zbadać zbieżności szeregów

A)∞∑n=1

n(2+(−1)n)n4n B)

∞∑n=1

cos(n−1)π1+√n

C)∞∑n=1

(nn+1

)n22n

3. (10pkt/110pkt) Zbadać zbieżność ciągu (an), gdzie an = cosn 2nπ3 . W przypadku, gdy ciąg nie jest zbieżny wyznaczyćjego granicę górną i dolną.

4. (10pkt/110pkt) Udowodnić, że jeżeli ciąg (an) liczb dodatnich jest zbieżny do zera, to ciąg(1an

)jest rozbieżny do

plus nieskończoności.

5. (10pkt/110pkt) Niech f(x) ={x+ 1 dla x ∈ [0, 1]−x+ 3 dla x ∈]1, 3]

, g(x) ={−2x+ 3 dla x ∈ [0, 1[− 12x+

32 dla x ∈ [1, 3]

. Wyznaczyć funkcję f ◦ g

(podać wzór).

6. (10pkt/110pkt) Dla funkcji R 3 x 7→ f(x) = limn→∞

11+|x|n ∈ R. Wyznaczyć wzór funkcji, a następnie zbadać jej

ciągłość. W przypadku, gdy są punkty nieciągłości określić ich rodzaj.

7. (10pkt/110pkt) Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f(x) = x|x|+1 na zbiorze [0,+∞[.

Dodatek B

Zagadnienia na egzamin teoretyczy

1. Relacje. Ciała liczbowe i uporządkowane. Kresy.

(a) Relacje i ich typy.

(b) Zbiory uporządkowane i kresy.

(c) Ciało liczbowe i jego własności.

(d) Ciało uporządkowane i jego własności.

2. Liczby rzeczywiste

(a) Zasada ciągłości Dedekinda.

(b) Kresy w liczbach rzeczywistych i ich własności.

(c) Zasada Archimedesa.

(d) Gęstość liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych.

(e) Twierdzenie o istnieniu pierwiastka stopnia n.

(f) Przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych

(g) Wartość bezwzględna i jej własności.

(h) Inne funkcje określone w zbiorze liczb rzeczywistych i ich własności.

(i) Średnie arytmetyczna, geometryczna i harmoniczna i związek między nimi.

(j) Indukcja matematyczna zupełna.

(k) Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – działania w nim określone. Kresy zbiorów pustych.

3. Funkcje

(a) Pojęcie funkcji. Obraz i przeciwobraz i ich własności. Wykres funkcji.

(b) Injekcja, surjekcja, bijekcja. Zbiory równoliczne.

(c) Funkcje monotoniczne i ograniczone.

(d) Funkcje parzyste i nieparzyste

(e) Funkcje wypukłe i wklęsłe.

(f) Część nieujemna, niedodatnia, parzysta i nieparzysta funkcji.

4. Ciągi liczbowe.

(a) Granica ciągu. Ciągi zbieżne. Twierdzenie o jednoznaczności granicy.

(b) Ciągi ograniczone i ich związek z ciągami zbieżnymi.

(c) Działania na granicach ciągów zbieżnych.

205


(d) Ciągi zbieżne nieujemne, a wartość granicy.

(e) Twierdzenie o trzech ciągach.

(f) Podciągi. Zbieżność ciągu, a zbieżność jego podciągów.

(g) Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa.

(h) Związek między ciągami monotonicznymi ograniczonymi, a zbieżnymi.

(i) Ciągi Cauchy’ego. Warunki równoważne definicji. Ciągi Cauchy’ego, a ograniczoność.

(j) Ciągi Cauchy’ego, a ciągi zbieżne.

(k) Liczba e jako granica ciągu.

(l) Inne ważne ciągi i ich granice.

(m) Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Ciągi zbieżne w szerszym sensie.

(n) Ciągi monotoniczne, a ciągi rozbieżne do nieskończoności.

(o) Ciągi nieograniczone, a ciągi rozbieżne do nieskończoności.

(p) Lemat Toepliza i wnioski z niego.

(q) Twierdzenie Stolza i wnioski z niego.

(r) Twierdzenia o granicy średnich arytmetycznych i geometrycznych.

(s) Pojęcie granicy górnej i dolnej ciągu liczbowego.

(t) Własności granicy górnej i dolnej ciągu liczbowego.

(u) Warunek równoważny definicji granicy górnej i dolnej.

(v) Granica górna i dolna ciągu liczbowego, a granica ciągu.

5. Szeregi liczbowe.

(a) Szereg liczbowy. Szereg liczbowy zbieżny i rozbieżny. Szereg geometryczny.

(b) Działania na szeregach zbieżnych. Szereg liczbowy zbieżny, a szereg liczbowy ograniczony.

(c) n-ta reszta szeregu. Warunek konieczny zbieżności szeregów.

(d) Warunek konieczny i dostateczny zbieżności szeregów.

(e) Lemat Abela. Kryterium Abela - Dirichleta.

(f) Szeregi nieujemne. Zbieżność i rozbieżność szeregów nieujemnych.

(g) Szeregi nieujemne. Kryterium Weierstrassa zbieżności i rozbieżności.

(h) Szeregi nieujemne. Kryterium zagęszczania Cauchy’ego.

(i) Szeregi nieujemne. Kryterium Kummera i Raabego.

(j) Szeregi nieujemne. Kryterium Cauchy’ego.

(k) Szeregi nieujemne. Kryterium d’Alemberta.

(l) Szeregi bezwzględnie zbieżne. Zbieżność bezwzględna, a zbieżność szeregu.

(m) Szeregi bezwzględnie zbieżne, a szeregi nieujemne.

(n) Kryterium porównawcze i d’Alemberta bezwzględnej zbieżności.

(o) Kryterium porównawcze i Cauchy’ego bezwzględnej zbieżności.

(p) Szeregi naprzemienne. Kryterium Leibniza.

(q) Szeregi warunkowo zbieżne. Twierdzenie Riemanna.

(r) Iloczyn Cauchy’ego szeregów. Twierdzenie Cauchy’ego.

(s) Iloczyn Cauchy’ego szeregów. Twierdzenie Abela.

6. Elementy topologii


(a) Przestrzeń metryczna. Prosta euklidesowa. Rozszerzona prosta euklidesowa.

(b) Kule w przestrzeniach metrycznych i ich własności.

(c) Zbiory otwarte w przestrzeni metrycznej i ich własności.

(d) Zbiory domknięte w przestrzeni metryczne i ich własności.

(e) Otoczenie, sąsiedztwo, punkty wewnętrzne.

(f) Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej. Ciągi Cauchy’ego. Przestrzeń metryczna zupełna. Zupełność prostejeuklidesowej.

(g) Topologia przestrzeni metrycznej.

(h) Zbiór domknięty, a ciągi punktów tego zbioru.

(i) Domknięcie zbioru, punkty skupienia i izolowane zbioru.

(j) Punkty skupienia, a domknietość zbioru.

(k) Zupełność rozszerzonej prostej euklidesowej.

(l) Zbiory ciągowo zwarte w przestrzeni metrycznej.

(m) Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa o zwartości odcinka domkniętego na prostej euklidesowej.

(n) Warunki równoważne ciągowej zwartości prostej euklidesowej.

(o) Przestrzeń lokalnie zwarta.

(p) Zbiory i przestrzenie spójne. Zbiory oddzielone.

(q) Zbiory spójne na prostej euklidesowej.

7. Funkcje w przestrzeniach metrycznych (funkcje rzeczywiste).

(a) Warunek Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji w punkcie (przestrzeni metrycznej) i ich równoważność.

(b) Jednoznaczność granicy funkcji w punkcie i działania na granicach.

(c) Definicje granic skończonych i nieskończonych w punkcie i nieskończoności funkcji rzeczywistych. Granice jedno-stronne.

(d) Funkcje ciągłe w przestrzeni metrycznej. Warunki równoważne.

(e) Funkcje ciągłe w punkcie – warunki równoważne.

(f) Ciągłość funkcji, a ciągłość w punkcie.

(g) Ciągłość w punkcie, a granica w punkcie.

(h) Działania na funkcjach ciągłych.

(i) Jednostajna ciągłość, a ciągłość.

(j) Warunek Lipschitza, a jednostajna ciągłość.

(k) Wahanie funkcji w punkcie, a ciągłość funkcji w punkcie.

(l) Twierdzenie o ciągłym obrazie przestrzeni metrycznej zwartej i wnioski z niego.

(m) Twierdzenie Weierstrassa o ciągłej funkcji o wartościach rzeczywistych określonej na zwartej przestrzeni metrycz-nej.

(n) Jednostajna ciągłość, a ciągłość odwzorowania na zwartej przestrzeni metrycznej.

(o) Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej do ciągłej bijekcji określonej na zbiorze zwartym.

(p) Twierdzenie o ciągłym przekształceniu przestrzeni (zbioru) spójnego.

(q) Twierdzenie i własność Darboux.

(r) Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej do funkcji ciągłej, której zbiór wartości jest przedziałem.

(s) Twierdzenie o zgodności znaku funkcji ciągłej w pewnym otoczeniu punktu p.

(t) Granice jednostronne. Nieciągłość. Klasyfikacji punktów nieciągłości.


(u) Granice jednostronne funkcji monotonicznej, odpowiednie kresy wartości funkcji.

(v) Punkty nieciągłości funkcji monotonicznej.

(w) Twierdzenie o istnieniu monotonicznej funkcji, która jest nieciągła w zadanym zbiorze przeliczalnym.

(x) Ciągłość funkcji sinus i cosinus.

(y) Ciągłość funkcji potęgowej o wykładniku naturalnym i wymiernym. Ciągłość funkcji pierwiastek stopnia n.

(z) Ciągłość funkcji logarytmiczne i wykładniczej.

8. Różniczkowalność i pochodne funkcji.

(a) Różniczkowalności funkcji w punkcie. Pochodna funkcji w punkcie.

(b) Warunek równoważny różniczkowalności funkcji w punkcie.

(c) Różniczka funkcji w punkcie.

(d) Ciągłość, a różniczkowalność.

(e) Działania algebraiczne na funkcjach różniczkowalnych.

(f) Pochodna funkcji złożonej.

(g) Pochodna funkcji odwrotnej.

(h) Pochodne funkcji elementarnych i ich wyprowadzenia.

(i) Twierdzenie Rolle’a.

(j) Twierdzenia Cauchy’ego o wartości średniej.

(k) Twierdzenia Lagrange’a wartości średniej.

(l) Pochodna, a monotoniczność.

(m) Ograniczoność pochodnej funkcji, a warunek Lipschitza dla funkcji i jednostajna ciągłość

(n) Ekstrema - warunek konieczny i I warunek dostateczny istnienia ekstremum.

(o) Twierdzenie o lokalnej klasie funkcji odwrotnej.

(p) Reguła de l’Hospitala

(q) Pojęcie pochodnych wyższych rzędów. Zbiory Cn, Dn, C∞, D∞ i ich powiązania. Wzór Leibniza.

(r) Twierdzenie Taylora i Maclaurina.

(s) Zastosowanie twierdzenia Taylora - II warunek dostateczny istnienia ekstremum oraz wariant reguły de l’Hospitala

(t) Wklęsłość i wypukłość, a pochodna.

(u) Warunek konieczny i warunki dostateczne istnienia punktu przegięcia.

9. Całka nieoznaczona

(a) Pojęcie całki nieoznaczonej i podstawowe wzory.

(b) Klasyczne twierdzenia o całkowaniu dla całki nieoznaczonej.

(c) Całkowanie funkcji wymiernych, trygonometrycznych, niewymiernych. Podstawienia Eulera.

10. Całka Riemanna i Riemanna-Stieltjesa.

(a) Definicja całki Riemanna i Riemanna - Stieltjesa.

(b) Związki między sumami dolnymi i górnymi oraz całką dolną, górną.

(c) Warunek konieczny i dostateczny całkowalności i wniosek z niego.

(d) Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna - Stieltjesa - funkcje ciągłe i monotoniczne.

(e) Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna - Stieltjesa - funkcje ograniczone i twierdzenie o złożeniu.

(f) Twierdzenie o własności całki Riemanna - Stieltjesa.


(g) Twierdzenie całkowaniu iloczynu funkcji i wartości bezwzględnej funkcji.

(h) Całka Riemanna-Stieltjesa, a szeregi liczbowe.

(i) Wyrażenie całki Riemanna - Stieltjesa przez całkę Riemanna.

(j) Twierdzenie o zamianie zmiennych i wnioski z niego.

(k) Zbiory miary zero i zbiór Cantora.

(l) Twierdzenie Lebesgue’a i wnioski z niego.

(m) Zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego.

(n) Twierdzenie Newtona - Leibniza i twierdzenie o całkowaniu przez części.

(o) Twierdzenia o wartości średniej dla całki Riemanna.

11. Całki niewłaściwe Riemanna.

(a) Określenie całki niewłaściwej.

(b) Całka niewłaściwa z funkcji całkowalnej w sensie Riemanna.

(c) Własności całek niewłaściwych.

(d) Kryterium porównawcze zbieżności całek niewłaściwych.

(e) Kryterium całkowe zbieżności szeregu.

(f) Kryterium Abela - Dirichleta zbieżności całek niewłaściwych

(g) Kryterium zbieżności bezwzględnej całek niewłaściwych.

(h) Inne kryteria zbieżności całek niewłaściwych.

(i) Ważne całki niewłaściwe (całki Eulera).

(j) Pojęcie całki zbieżnej w sensie wartości głównej.

(k) Związek między zbieżnością w sensie wartości głównej na prostej, a zbieżnością całki niewłaściwej.

12. Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych

(a) Wektory w Rd i funkcje wektorowe.

(b) Własności całki Riemanna z funkcji wektorowych.

(c) Długość łuku krzywej prostowalnej i jej związek z całką.

13. Ciągi i szeregi funkcyjne.

(a) Rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych. Równoważne warunki definicji.

(b) Zależności między różnego rodzajem zbieżnościami ciągów funkcyjnych (oczywiste implikacje).

(c) Zależności między zbieżnością jednostajną, a niemal jednostajną ciągu funkcyjnego.

(d) Zależności między zbieżnością niemal jednostajną, a zbieżnością lokalnie jednostajną.

(e) Jednostajny warunek Cauchy’ego, a zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.

(f) Ciągłość funkcji granicznej.

(g) Twierdzenie o zmianie kolejności granic.

(h) Twierdzenie Diniego

(i) Jednostajna ciągłość funkcji granicznej.

(j) Przestrzeń C(X).

(k) Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych.

(l) Warunek konieczny i dostateczny zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych.

(m) Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu.


(n) Kryteria Abela i Dirichleta zbieżności jednostajnej szeregu.

(o) Całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych.

(p) Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych.

(q) Istnienie funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej.

(r) Twierdzenie Weierstrassa.

(s) Algebry funkcji i zbiory funkcji rozdzielające punkty i nie znikające w żadnym punkcie. Przykłady.

(t) Zbiór funkcji jednostajnie domknięta i będący jednostajnym domknięciem zbioru funkcji. Przykłady.

(u) Twierdzenie Stone’a.

14. Szeregi potęgowe i funkcje analityczne.

(a) Szeregi potęgowe. Twierdzenie Cauchy’ego - Hadamarda.

(b) Pojęcie szeregu potęgowego,jego promienia zbieżności i koła zbieżności.

(c) Twierdzenia Abela (I i II) i wnioski z nich.

(d) Różniczkowanie szeregu potęgowego.

(e) Twierdzenia Abela o iloczynie Cauchy’ego szeregów liczbowych (dowód).

(f) Twierdzenie Taylora.

(g) Twierdzenie o równości szeregów potęgowych.

(h) Pojęcie funkcji analitycznej.

(i) Twierdzenia o tym kiedy funkcja gładka jest analityczna.

(j) Funkcja wykładnicza oraz funkcje sinus i cosinus.

15. Miara i całka Lebesgue’a na prostej.

(a) Rodziny podzbiorów zbioru i ich własności.

(b) Miara nieujemna i jej własności

(c) Miara zewnętrzna.

(d) Zbiory mierzalne względem miary zewnętrznej i ich własności.

(e) Twierdzenie Caratheodory’ego.

(f) Od miary nieujemnej na półpierścieniu do miary zewnętrznej.

(g) Miara Lebesgue’a na prostej.

(h) Funkcje mierzalne i ich własności.

(i) Funkcje proste i twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi.

(j) Określenie całki Lebesgue’a.

(k) Podstawowe własności całki Lebesgue’a.

(l) Całka z funkcji nieujemnej jako miara nieujemna.

(m) Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej.

(n) Lemat Fatou.

(o) Addytywność całki względem funkcji całkowalnych.

(p) Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.

(q) Całka Riemanna, a całka Lebesgue’a.

Dodatek C

Zadania utrwalające i rozszerzającemateriał wykładu

C.1 Zadania do rozdziału I

Zadanie C.1.1 Udowodnić następujące zawieranie dla zbiorów

A ⊆ B ⇒ A \ C ⊆ B \ C (C.1)

A \B ⊆ A. (C.2)

C.2 Zadania do rozdziału II

Definicja C.2.1 Niech A ⊆ R, B ⊆ R, t ∈ R.

A⊕B def= {a+ b : a ∈ A ∧ b ∈ B} (C.3)

A�B def= {a · b : a ∈ A ∧ b ∈ B} (C.4)

t ◦A def= {ta : a ∈ A} (C.5)

−A def= (−1) ◦A (C.6)

Zadanie C.2.1 Udowodnić, że jeżeli zbiór niepusty A jest ograniczony z góry (dołu) i t > 0, to zbiór t ◦A jest ograniczonyz góry (dołu).

Zadanie C.2.2 Udowodnić, że jeżeli zbiór niepusty A jest ograniczony z góry i t < 0, to zbiór t ◦A jest ograniczony z dołu.

Zadanie C.2.3 Udowodnić, że jeżeli zbiór niepusty A jest ograniczony z dołu i t < 0, to zbiór t ◦A jest ograniczony z góry.

Zadanie C.2.4 Udowodnić, że jeżeli zbiory niepuste A i B są ograniczone z góry (dołu), to zbiór A⊕B jest ograniczony zgóry (dołu).

Zadanie C.2.5 Udowodnić, że jeżeli niepuste zbiory liczb nieujemnych A i B są ograniczone z góry, to zbiór A � B jestograniczony z góry.

Zadanie C.2.6 Udowodnić, że jeżeli niepuste zbiory liczb niedodatnich A i B są ograniczone z dołu, to zbiór A � B jestograniczony z góry.

Zadanie C.2.7 Udowodnić, że jeżeli niepuste zbiory A i B są ograniczone, to zbiór A�B jest ograniczony.

Zadanie C.2.8 Udowodnić, że jeżeli zbiory A i B są niepuste i ograniczone, to

• sup(A⊕B) = supA+ supB

• inf(A⊕B) = inf A+ inf B

211


• sup(A�B) = supA · supB,A ⊆ R+, B ⊆ R+

• inf(A�B) = inf A · inf B,A ⊆ R+, B ⊆ R+

• Jeżeli t > 0, to sup(t ◦A) = t · supA

• Jeżeli t > 0, to inf(t ◦A) = t · inf A.

Zadanie C.2.9 Udowodnić, że jeżeli zbiory A i B są niepuste i ograniczone, to

• sup(A�B) = max{supA · supB, inf A · supB, supA · inf B, inf A · inf B},

• inf(A�B) = min{supA · supB, inf A · supB, supA · inf B, inf A · inf B},

• Jeżeli t < 0, to sup(t ◦A) = t · inf A

• Jeżeli t < 0, to inf(t ◦A) = t · supA

Zadanie C.2.10 Udowodnić, że max{a, 0} = min{−a, 0}.

C.3 Zadania do rozdziału III

Zadanie C.3.1 Niech X,Y będą niepustymi zbiorami oraz T :X → Y . Niech ponadto A,B ⊂ Y oraz C,D ⊂ X. Udowodnić,że

A ⊂ B ⇒ T−1(A) ⊂ T−1(B) (C.7)

C ⊂ D ⇒ T (C) ⊂ T (D) (C.8)

C ⊂ T−1(T (C)) (C.9)

T (T−1(A)) ⊂ A (C.10)

A ⊂ T (X)⇒ T (T−1(A)) = A (C.11)

Zadanie C.3.2 Udowodnić, że funkcja rzeczywista ściśle monotoniczna jest różnowartościowa.

Zadanie C.3.3 Udowodnić, że f+ = max{f, 0} oraz f− = max{−f, 0}.

Zadanie C.3.4 Udowodnić, że fp jest funkcją parzysta, a fN jest funkcją nieparzystą.

Zadanie C.3.5 Czy istnieje funkcja stała mająca okres podstawowy ? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie C.3.6 Udowodnić, że relacja równoliczności zbiorów jest relacją równoważności.

Zadanie C.3.7 Udowodnić, że następujące zbiory są równoliczne

• N i Z;

• N i Q;

Zadanie C.3.8 Kiedy już można określić funkcję odwrotną ?

Zadanie C.3.9 Udowodnić, że każda funkcja rosnąca na pewnym zbiorze jest funkcją niemalejąca na tym zbiorze.

Zadanie C.3.10 Udowodnić, że każda funkcja malejąca na pewnym zbiorze jest funkcją nierosnącą na tym zbiorze.

Zadanie C.3.11 Udowodnić, że skończona kombinacja liniowa o współczynnikach nieujemnych funkcji wypukłych jest funk-cją wypukłą.


C.4 Zadania do rozdziału IV

Zadanie C.4.1 Niech ciąg (an) będzie ciągiem o wyrazach dodatnich (można tylko założyć, że wszystkie wyrazy ciągu opróczskończonej ilości są różne od zera). Udowodnić, że jeśli lim

n→∞

∣∣∣an+1an ∣∣∣ = q < 1, to limn→∞ an = 0.Zadanie C.4.2 Udowodnić, że jeśli lim

n→∞n√|an| = q < 1, to lim

n→∞an = 0.

Zadanie C.4.3 (Charakteryzacja kresu przez granice ciągu I) Niech A ⊂ R będzie ograniczony z góry (dołu) orazniech α = supA(= inf A). Wtedy istnieje ciąg (an) ⊆ A taki, że lim

n→∞an = α.

Zadanie C.4.4 (Charakteryzacja kresu przez granice ciągu II) Niech A ⊆ R będzie niepustym zbiorem ograniczonymz góry (dołu). Udowodnić, że jeśli ciąg (an) ⊆ A jest zbieżnym taki, że lim

n→∞an = α, to α = supA(= inf A) wtedy i tylko

wtedy, gdy α jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru A.

Zadanie C.4.5 Udowodnić, że jeżeli ciąg jest niemalejący (odpowiednio nierosnącym) i ograniczonym z góry (dołu), to jegogranica jest nie mniejsza (nie większa) niż dowolny jego wyraz.

Zadanie C.4.6 Udowodnić, że jeżeli ciąg (an) jest zbieżny i ma granicę równą zero oraz spełnia jeden z warunków

∃n∈N∀knak > 0 (C.12)

∃n∈N∀knak < 0, (C.13)

to ciąg będący modułem jego odwrotności jest rozbieżny do plus nieskończoności

Zadanie C.4.7 Udowodnić twierdzenie 4.6.4 dla ciągów rozbieżnych do −∞.

Zadanie C.4.8 Niech ciągi (an) i (bn) będą dowolne. Udowodnić zależności

lim supn→∞

(an + bn) ¬ lim supn→∞

an + lim supn→∞

bn (C.14)

∀n∈Nan ¬ bn ⇒ lim infn→∞

an ¬ lim infn→∞

bn (C.15)

∀n∈Nan ¬ bn ⇒ lim supn→∞

an ¬ lim supn→∞

bn, (C.16)

gdzie nierówność (C.14) określona jest dla takich ciągów, dla których lewa strona nie jest postaci ∞−∞.

Zadanie C.4.9 Udowodnić, że istnieją takie ciągi, że w (C.14) nierówność jest ostra.

Zadanie C.4.10 Udowodnić, że dla dowolnego ciągu (an) liczb dodatnich prawdziwe są nierówności

lim infn→∞

an+1an¬ lim infn→∞

n√an ¬ lim sup

n→∞n√an ¬ lim sup

n→∞

an+1an

(C.17)

Zadanie C.4.11 Udowodnić, że jeżeli ciąg (an) jest rozbieżny do +∞ oraz ciąg (bn) jest ograniczony z dołu, to ciąg (an+bn)jest rozbieżny do +∞.

Zadanie C.4.12 Udowodnić, że jeżeli ciąg (an) jest rozbieżny do −∞ oraz ciąg (bn) jest ograniczony z góry, to ciąg (an+bn)jest rozbieżny do −∞.

Zadanie C.4.13 Udowodnić, że jeżeli ciąg (an) jest rozbieżny do +∞ oraz ciąg (bn) od pewnego miejsca jest dodatni, tociąg (an · bn) jest rozbieżny do +∞.

Zadanie C.4.14 Udowodnić, że jeżeli ciąg (an) jest rozbieżny do +∞ oraz ciąg (bn) od pewnego miejsca jest ujemny, tociąg (an · bn) jest rozbieżny do −∞.

Zadanie C.4.15 Udowodnić, że jeżeli ciąg (an) jest rozbieżny do +∞ oraz ciąg (bn) jest taki, że od pewnego miejsca zachodzinierówność an ¬ bn, to ciąg (bn) jest rozbieżny do +∞.

Zadanie C.4.16 Udowodnić, że jeśli ciąg (an) jest zbieżny i limn→∞

an = 0, a ciąg (bn) jest ograniczony, to ciąg (an · bn) jestzbieżny i ma granicę równą zero.


Zadanie C.4.17 (i) Niech limn→∞

an · bn = 0 Czy można stąd wnioskować, że limn→∞

an = 0 lub limn→∞

bn = 0?

(ii) Ciągi an i bn są rozbieżne. Co można powiedzieć o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu tych ciągów?(iii) Ciąg anjest zbieżny, a ciąg bn rozbieżny. Co można powiedzieć o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu tych

ciągów?

Zadanie C.4.18 Udowodnić twierdzenie Stolza (twierdzenie 4.7.2) bezpośrednio z definicji ciągu zbieżnego.

Zadanie C.4.19 Udowodnić twierdzenie o średnich arytmetycznych (twierdzenie 4.7.3) bezpośrednio z definicji ciągu zbież-nego i ciągu mającego granicę niewłaściwą.

C.5 Zadania do rozdziału V

Zadanie C.5.1 Udowodnić, że

1 +∞∑n=1

1n!= limn→∞

(1 +1n

)n(C.18)

Zadanie C.5.2 Podać przykład szeregu zbieżnego o wyrazach dodatnich, dla którego ciąg(an+1an

)nie jest zbieżny.

Zadanie C.5.3 Niech szereg∞∑n=1

an będzie o wyrazach nieujemnych. Udowodnić, że z jego zbieżności wynika zbieżność szeregu∞∑n=1

a2n

Zadanie C.5.4 Niech (an) będzie ciągiem liczb dodatnich, zaś (sn) będzie ciągiem jego sum częściowych. Niech ponadto

szereg∞∑n=1

an będzie rozbieżny.

(i) Udowodnić, że szereg∞∑n=1

anan+1

jest rozbieżny.

(ii) Udowodnić, żeaN+1sN+1

+ . . .+aN+ksN+k

1− sNsN+k

i wywnioskować stąd, że szereg∞∑n=1

ansnjest rozbieżny.

(iii) Udowodnić, żeans2n¬ 1sn−1

− 1sn


ans2njest zbieżny.

Zadanie C.5.5 Niech (an) będzie ciągiem liczb dodatnich, zaś szereg∞∑n=1

an będzie zbieżny. Połóżmy rn ≡∞∑m=n

am.

(i) Udowodnić, że dla m < namrm+ . . .+

anrn

> 1− rnrm


anrnjest rozbieżny.

(ii) Udowodnić, żean√rn

< 2(√rn −√rn+1

)i wywnioskować stąd, że szereg

∞∑n=1

an√rnjest zbieżny.

Zadanie C.5.6 Niech będą dane dwa szeregi o wyrazach nieujemnych∞∑n=1

an i∞∑n=1

bn. Załóżmy, że ciąg(anbn

)jest zbieżny w

szerszym sensie orazlimn→∞

anbn= K.

Wówczas jeśli K < +∞, to ze zbieżności szeregu∞∑n=1

bn wynika zbieżność szeregu∞∑n=1

an, a gdy K > 0, to rozbieżności szeregu∞∑n=1

an wynika rozbieżność szeregu∞∑n=1

bn.


Zadanie C.5.7 Korzystając z charakteryzacji - definicji liczby e przez szereg udowodnić, że jest to liczba niewymierna.

Zadanie C.5.8 Udowodnić, że zbieżność szeregu∞∑n=1

an pociąga zbieżność szeregu∞∑n=1

√ann o ile an 0.

Zadanie C.5.9 Wykazać, że jeśli szeregi∞∑n=1

a2n i∞∑n=1

b2n są zbieżne, to szereg∞∑n=1

anbn jest zbieżny, an, bn 0 dla dowolnych

n ∈ N.

Zadanie C.5.10 Udowodnić, że wartość bezwzględna sumy szeregu bezwzględnie zbieżnego jest nie większa niż suma szereguwartości bezwzględnych.

C.6 Zadania do rozdziału VI

Zadanie C.6.1 Skonstruować ograniczony zbiór liczb rzeczywistych posiadający dokładnie trzy punkty skupienia.

Zadanie C.6.2 Wyznaczyć wszystkie punkty skupienia zbioru liczb całkowitych i naturalnych w E1.

Zadanie C.6.3 Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że

∀p,q,r∈X |d(p, q)− d(q, r)| ¬ d(p, r) (C.19)

Zadanie C.6.4 Udowodnić, że podzbiór A przestrzeni euklidesowej E1 jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek

∀x,y∈A∀z∈Rx < z < y ⇒ z ∈ A. (C.20)

Warunek ten oznacza, że zbiór spójny musi być przedziałem.

C.7 Zadania do rozdziału VII

Zadanie C.7.1 Sformułować wyłącznie przy użyciu wartości bezwzględnej wszystkie definicje granic właściwych i niewłaści-wych w punkcie i nieskończonościach.

Zadanie C.7.2 Sformułować pozostałe definicje granic jednostronnych.

Zadanie C.7.3 Udowodnić, że funkcja f(x) = x2 jest jednostajnie ciągła na każdym odcinku skończonym (ograniczonym).

Zadanie C.7.4 Niech f będzie jednostajnie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni metrycznej (X, dX) w przestrzeń metryczną(Y, dY ). Pokazać, że dla dowolnego ciągu Cauchy’ego (xn) ⊂ X ciąg (f(xn)) jest ciągiem Cauchy’ego.

Zadanie C.7.5 Udowodnić, że złożenie funkcji jednostajnie ciągłych jest funkcją jednostajnie ciągłą.

Zadanie C.7.6 Wykazać, że jeżeli funkcja f : R→ R jest jednostajnie ciągłą w E1, to istnieją takie liczby a, b ∈ R, że

∀x∈R|f(x)| ¬ a|x|+ b. (C.21)

Zadanie C.7.7 Wykazać, że jeśli P ⊂ R jest przedziałem, f : P → R funkcją ciągłą mającą skończone granice na końcachprzedziału P, to jest jednostajnie ciągła na P.

Zadanie C.7.8 Wykazać, że każda funkcja okresowa ciągła jest jednostajnie ciągła.

Zadanie C.7.9 Udowodnić, że iloczyn dwóch funkcji jednostajnie ciągłych i ograniczonych na R jest funkcją jednostajnieciągłą.Udowodnić, że warunek ograniczoności obu funkcji jest istotny tzn. iż twierdzenie nie jest prawdziwe bez tego założenia.

Rozpatrzyć przykład funkcji f(x) = x sinx.

Zadanie C.7.10 Udowodnić, że zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony.


Zadanie C.7.11 Niech rzeczywista funkcja spełnia warunek

∀x,y∈Rf(x+ y) = f(x) + f(y), (C.22)

Udowodnić, że jeżeli jest ona ciągła w pewnym punkcie, to jest ciągła w każdym punkcie osi liczbowej.

Zadanie C.7.12 Udowodnić, że jeżeli rzeczywista funkcja ciągłą i spełnia warunek

∀x,y∈Rf(x+ y) = f(x) + f(y), (C.23)

to jest postaci f(x)=ax.

Zadanie C.7.13 Wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe f : R→ R spełniające warunek

∀x,y∈Rf(x+ y) = f(x)f(y). (C.24)

Zadanie C.7.14 Wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe f : R→ R spełniające warunek

∀x,y∈Rf(xy) = f(x) + f(y). (C.25)

Zadanie C.7.15 Dla funkcji rzeczywistych f i g określamy funkcję h(x) = max{f(x), g(x)}. Udowodnić, że jeżeli f i g sąciągłe, to również jest ciągła funkcja h.

Zadanie C.7.16 Zbudować funkcję rzeczywistą, która jest nieciągła w każdym punkcie, zaś jej kwadrat jest ciągły w każdym.

Zadanie C.7.17 Niech I = [0, 1]. Udowodnić, że jeżeli f : I → I jest ciągła, to istnieje punkt x ∈ I taki, że f(x)=x

Zadanie C.7.18 Niech funkcja f będzie ciągłą na przedziale [a, b]. Definiujmy na przedziale [a, b] funkcję

F (x) def= supt∈[a,x]

f(t). (C.26)

Udowodnić że funkcja F jest ciągła na przedziale [a, b].

Zadanie C.7.19 Udowodnić, że jeżeli f : A → R jest funkcją monotoniczną i jej zbiór wartości jest przedziałem, to f jestfunkcją ciągłą.

Zadanie C.7.20 Udowodnić, że jeżeli P ⊆ R jest przedziałem oraz funkcja f :P → R jest ściśle monotoniczna, to funkcjaodwrotna f−1: f(P )→ P jest ciągła.

Zadanie C.7.21 Udowodnić, że funkcja

f(x) ={x dla x ∈ Q0 dla x ∈ R \Q

(C.27)

ma w każdym punkcie zbioru R \ {0} nieciągłość drugiego rodzaju, zaś w 0 jest ciągła.

Zadanie C.7.22 Podać przykład funkcji określonej na R, która nie jest ciągła w żadnym punkcie, a jej kwadrat jest ciągływ każdym.

Zadanie C.7.23 Korzystają z określenia funkcji wykładniczej o podstawie e udowodnić, że ex · ey = ex+y. Skorzystać zdefinicji iloczynu Cauchy’ego szeregów.

Zadanie C.7.24 Korzystając z tożsamości Eulera eit = cos t+ i sin t i definicji funkcji ex wyrazić funkcje sinus i cosinus zapomocą szeregów.

Zadanie C.7.25 Udowodnić, że funkcja Riemanna jest ciągła w zbiorze liczb niewymiernych i zerze.

Zadanie C.7.26 Podać przykład funkcji wypukłej określonej na przedziale niezdegenerowanym, która nie jest ciągła na tymprzedziale.


C.8 Zadania do rozdziału VIII

Zadanie C.8.1 Pokazać, że zawieranie C1(A) ⊂ D1(A) jest właściwe.

Zadanie C.8.2 Udowodnić wszystkie wzory występujące w tabeli: Funkcje elementarne i ich pochodne.

Zadanie C.8.3 Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem. Udowodnić, że jeśli f ∈ D1(P ), to f ′ ma własność Darboux.

Zadanie C.8.4 Udowodnić, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to

f ′(p) = limh→0

f(p+ h)− f(p− h)2h

(C.28)

Zadanie C.8.5 Podać przykład funkcji dla której istnieje granica limh→0

f(p+h)−f(p−h)2h , ale funkcja nie jest w punkcie p róż-

niczkowalna.Powyższą granicę nazywamy pochodną uogólnioną funkcji f w punkcie p.

Zadanie C.8.6 Podać przykład funkcji nieciągłej w punkcie posiadającą pochodną uogólnioną w tym punkcie.

Zadanie C.8.7 Udowodnić, że funkcja z przykładu 8.4.3 jest rosnąca.

Zadanie C.8.8 Udowodnić, że funkcja z przykładu 8.6.3 ma w punkcie x = −1 maksimum lokalne właściwe.

Zadanie C.8.9 Niech f :R→ R będzie funkcją określoną następująco

f(x) ={exp

{− 1x2

}dla x 6= 0

0 dla x = 0. (C.29)

Udowodnić, że wówczas f ∈ C∞(R) oraz w zerze istnieje pochodna dowolnego rzędu i jest równa ona zeru.

Zadanie C.8.10 Niech f ∈ D1(P ). Udowodnić, że f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x0,x∈P f(x) f ′(x0)(x− x0) + f(x0). (C.30)

C.9 Zadania do rozdziału IX

Zadanie C.9.1 Pokazać, że∫ 1√

1+x2dx = ln |x+

√1 + x2|+ c.

Zadanie C.9.2 Pokazać, że∫ 1√

x2−1dx = ln |x+√x2 − 1|+ c.

C.10 Zadania do rozdziału X

Zadanie C.10.1 Niech f : [−a, a] → R, gdzie a > 0 będzie funkcja nieparzystą taką, że f ∈ R([−a, a]). Udowodnić, żea∫−a

f(x)dx = 0.

Zadanie C.10.2 Niech f : [−a, a] → R, gdzie a > 0 będzie funkcja parzystą taką, że f ∈ R([−a, a]). Udowodnić, żea∫−a

f(x)dx = 2a∫0f(x)dx.

Zadanie C.10.3 Policzyć z definicji całkę Riemanna - Stieltjesa z funkcji stałej.

Zadanie C.10.4 Udowodnić, że |In| =(23

)n, gdzie zbiór In pochodzi z konstrukcji zbioru Cantora.

Zadanie C.10.5 (Twierdzenie o wartości średniej rachunku całkowego) Niech a < b oraz f ∈ C([a, b]). Udowodnić,że wtedy

∃c∈[a,b]f(c) =1

b− a

b∫a

f(x)dx. (C.31)


Zadanie C.10.6 (Twierdzenie o wartości średniej I dla całki Riemanna - Stieltjesa) Niech a < b, α: [a, b] → Rbędzie funkcją niemalejącą oraz f : [a, b]→ R taką funkcją ograniczoną, że f ∈ R(α, [a, b]). Udowodnić, że wtedy

∃µ∈[ infx∈[a,b]

{f(x)}, supx∈[a,b]

{f(x)}]

b∫a

fdα = (b− a)µ. (C.32)

Zadanie C.10.7 (Twierdzenie o wartości średniej II dla całki Riemanna - Stieltjesa) Niech a < b, α: [a, b] → Rbędzie funkcją niemalejącą oraz f, g: [a, b]→ R takimi funkcjami ograniczonymi, że f, g ∈ R(α, [a, b]) oraz funkcja g ma staleten sam znak. Udowodnić, że wtedy

∃µ∈[ infx∈[a,b]

g(x), supx∈[a,b]

g(x)]

b∫a

fgdα = µ

b∫a

fdα. (C.33)

Zadanie C.10.8 (Twierdzenie o wartości średniej IB dla całki Riemanna) Niech a < b i f, g: [a, b] → R, gdzie fjest funkcją niemalejąca i nieujemną, a g ∈ R([a, b]). Udowodnić, że wtedy

∃ξ∈[a,b]

b∫a

f(x)g(x)dx = f(b)

b∫ξ

g(x)dx. (C.34)

Uwaga C.10.1 Wzór (C.34) nasi nazwę wzoru Bonneta.

C.11 Zadania do rozdziału XI

Zadanie C.11.1 Niech x > 0. Udowodnić, że

Γ(x+ 1) = xΓ(x) (C.35)

Γ(1) = 1 (C.36)

Γ(n+ 1) = n! dla n ∈ N (C.37)

Zadanie C.11.2 Niech p, q > 0. Udowodnić, że

β(p, q) = β(q, p) (C.38)

β(p, q) =q − 1

p+ q − 1β(p, q − 1) (C.39)

β(p, 1) =1p

(C.40)

β(p, n) =n− 1

p+ n− 1β(p, n− 1) = (n− 1)!

(p+ n− 1) · . . . · (p+ 1)β(p, 1) (C.41)

β(m,n) =(n− 1)!(m− 1)!(m+ n− 1)!

=Γ(n)Γ(m)Γ(m+ n)

(C.42)

C.12 Zadania do rozdziału XII

Zadanie C.12.1 Udowodnić, że jeżeli ~x, ~y ∈ Rd oraz a ∈ R, to

‖a · ~x‖ = |a| · ‖~x‖ (C.43)

‖~x+ ~y‖ ¬ ‖~x‖+ ‖~y‖ (C.44)

‖~x− ~y‖ ¬ ‖~x‖+ ‖~y‖ (C.45)

‖~x‖ − ‖~y‖ ¬ ‖~x+ ~y‖ (C.46)

‖~x‖ − ‖~y‖ ¬ ‖~x− ~y‖ (C.47)

|‖~x‖ − ‖~y‖| ¬ ‖~x− ~y‖ (C.48)

Zadanie C.12.2 Określmy funkcję dE:Rd × Rd → R+ ∪ {0} wzorem

dE(~x, ~y) = ‖~x− ~y‖. (C.49)

Pokazać, że spełnia ona warunki definicji odległości, a więc (Rd, dE) jest przestrzenią metryczną.


C.13 Zadania do rozdziału XIII

Zadanie C.13.1 Pokazać bezpośrednio z definicji, że ciąg funkcyjny z przykładu 13.1.1 nie jest jednostajnie, lokalnie jedno-stajnie i niemal jednostajnie zbieżny.

Zadanie C.13.2 Rozważamy normę supremum nie tylko w zbiorze C(X). Oznacza to, że może przyjmować ona warto-ści nieskończone (+∞). Wzorując się na warunku koniecznym i dostatecznym zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnegoudowodnić następujące twierdzenie:Szereg funkcyjny

∑nfn jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg liczbowy

∑n‖fn‖ jest zbieżny.

Zadanie C.13.3 Udowodnić, że jeśli ciąg funkcyjny {fn:X → R : n 1} jest monotoniczny i jednostajnie ograniczony, tojest jednostajnie zbieżny.

Zadanie C.13.4 Niech dany będzie ciąg funkcyjny {fn:X → R : n 1} i funkcja g:X → R ograniczona. Udowodnić, że

jeśli szereg∞∑n=1

fn jest jednostajnie zbieżny, to szereg∞∑n=1

fng też jest jednostajnie zbieżny.

Zadanie C.13.5 Udowodnić, że suma dwóch ciągów funkcyjnych jednostajnie zbieżnych jest ciągiem jednostajnie zbieżnym.

Zadanie C.13.6 Uzasadnić, że w twierdzeniu 13.5.1 można zastąpić zbieżność jednostajną zbieżnością lokalnie jednostajnąbądź niemal jednostajną.

Zadanie C.13.7 Udowodnić odpowiednik twierdzenia 13.5.1 dla całki Riemanna - Stieltjesa.

Zadanie C.13.8 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech dane są ciągi funkcyjne {fn:X → R : n 1} i {gn:X →

R : n 1} lokalnie jednostajnie zbieżne do funkcji f i g odpowiednio. Udowodnić, że fn ± gnL⇒ f ± g oraz fn · gn

L⇒ f · g.

C.14 Zadania do rozdziału XIV

Zadanie C.14.1 Udowodnić, że dla nieujemnego ciągu podwójnego (aij) zachodzi równość (14.7). Nie wykluczamy przypadkunieskończonego.

Zadanie C.14.2 Niech ciąg podwójny określony jest następująco

aij =

0 dla i < j

−1 dla i = j2j−i dla i > j

. (C.50)

Udowodnić, że∞∑i=1

∞∑j=1

aij = −2 oraz∞∑j=1

∞∑i=1

aij = 0.

Zadanie C.14.3 Wyprowadzić wzory na sinus i cosinus jako szeregi nieskończone za pomocą twierdzenia Taylora.

Zadanie C.14.4 Udowodnić, że każdy wielomian jest funkcją analityczną.

Zadanie C.14.5 Udowodnić indukcyjnie, że funkcja z przykładu 14.2.1 jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w punk-cie zero.

C.15 Zadania do rozdziału XV

Zadanie C.15.1 Udowodnić, że niepusta rodzina H jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy

∀A,B∈HA ∪B ∈ H (C.51)

∀A∈HA′ ∈ H (C.52)

Zadanie C.15.2 Udowodnić, że warunek (C.51) można zastąpić przez

∀A,B∈HA ∩B ∈ H.

Zadanie C.15.3 Udowodnić, że jeżeli H jest σ - ciałem, to dla dowolnego {An : n ∈ N} ⊂ H zachodzi∞⋂i=1

Ai ∈ H.

Zadanie C.15.4 Udowodnić, że σ - ciało jest ciałem.

Skorowidz

+∞, 20−∞, 20C(A), 85C1(A), 85C∞(A), 94Cω, 175Cn(A), 94D1(A), 85D∞(A), 94Dn(A), 94=, 167⇔, 10<, 167⇒, 10∩, 10∪, 10∅, 11∃, 10∀, 10L⇒, 146N, 15Q, 15R, 15Z, 15C1, 55E1, 55L(A), 190R([a, b]), 106R(α, [a, b]), 106max, 19min, 19¬, 10N⇒, 146R, 20E1, 55→, 146⇒, 146\, 10t, 105⊂, 10×, 10∨, 10∧, 10

addytywność miary nieujemnej, 179algebra funkcji, 164samosprzężonych, 167

alternatywa, 10

bijekcja, zob. funkcja, wzajemnie jednoznaczna

całkaEulera I rodzaju, zob. funkcja, betaEulera II rodzaju, zob. funkcja, gammaFresnela, 138

całka Lebesgue’a, 189–190całka nieoznaczona, 100metoda współczynników nieoznaczonych, 104podstawienia Eulera, 104

całka Riemanna, 106całkowanie przez części, 123dolna, 106górna, 106niewłaściwa, 129–130bezwzględnie zbieżna, 133

całka Riemanna - Stieltjesa, 106dolna, 106górna, 106zamiana zmiennych, 117

cecha liczby, zob. część, całkowita liczby rzeczywistejciąg funkcyjny, 146ciąg liczbowy, 28Cauchy’ego, 33rozbieżny, 28rozbieżny do nieskończoności, 35zbieżny, 28zbieżny w szerszym sensie, 35

ciąg sum częściowych, 43ciąg w przestrzeni metrycznejCauchy’ego, 58zbieżny, 58

ciągłość miary nieujemnej, 179ciało, 14uporządkowane, 14zbiorów, 177

częśćcałkowita liczby rzeczywistej, 18niedodatnia funkcji, 27

220


nieparzysta funkcji, 27nieujemna funkcji, 27parzysta funkcji, 27rzeczywistafunkcji zespolonej, 167urojonafunkcji zespolonej, 167wspólna zbiorów, zob. przekrój zbiorów

długośćkrzywej, 143

długość wektora, 142domknięcie zbioru, 58dopełnienie zbioru, 10, 11działaniadla funkcji rzeczywistych, 26na zbiorach, 10

dziedzinafunkcji, 21relacji, 11

ekstremum lokalne, 90właściwe, 90

funkcja, 21analityczna, 175argumentu rzeczywistego, zob. funkcja, o dziedzinie rze-czywistej

beta, 138całkowalna w sensie Riemanna, 106ciągła, 67ciągła w punkcie, 67Dirichleta, 77gładka i nie analityczna, 217gamma, 137Heaviside’a, 115identycznościowa, 23jednostajnie ciągła, 70logarytmiczna, 80, 139o podstawie a, 141malejąca, 24mierzalna w sensie Lebesgue’a, 185monotoniczna, 24n - krotnie różniczkowalna, 94w sposób ciągły, 94na, 23niemalejąca, 24nieparzysta, 24nierosnąca, 24o dziedzinie rzeczywistej, 23o wahaniu skończonym, 124o wartościach rzeczywistych, 23

o wartościach zespolonych, 167odwrotna, 23ograniczona, 24z dołu, 24z góry, 24okresowa, 25parzysta, 24pierwotna, 100potęgowa, 141prosta, 188różniczkowalnana przedziale, 85w punkcie, 83różnowartościowa, 22Riemanna, 111rosnąca, 24rzeczywista, 23schodkowa, zob. funkcja Heaviside’astała, 21ściśle monotoniczna, 24wektorowa, 142wklęsła, 25wykładnicza, 80, 139o podstawie a, 141wymierna wielu zmiennych, 103wypukła, 25wzajemnie jednoznaczna, 23zespolona, zob. funkcja o wartościach zespolonychsprzężona, 167

granica ciągu liczbowego, 28dolna, 40górna, 40niewłaściwa, 35

granica funkcjiciągowa, zob. warunek Heinegodolna, 81górna, 81otoczeniowa, zob. warunek Cauchy’egowarunek Cauchy’ego, 64warunek Heinego, 64

iloczynCauchy’ego szeregów, 52kartezjański zbiorów, 11skalarny, 142zbiorów, zob. przekrój, zbiorów

iloraz różnicowy, 83implikacja, 10indukcja matematyczna, 19injekcja, zob. funkcja, różnowartościowa


jednostajne domknięcie zbioru funkcji, 165

koło zbieżności szeregu potęgowego, 170koniunkcja, 10kres zbiorudolny, 13górny, 13pustego, 20

kryteriumrozbieżności całki niewłaściwejporównawcze, 131rozbieżności szeregu liczbowegoporównawcze, 46zbieżności bezwzględnej całki niewłaściwejporównawcze, 133zbieżności bezwzględnej szeregu liczbowegoCauchy’ego, 50d’Alemberta, 50porównawcze, 50zbieżności całki niewłaściwejAbela, 135Dirichleta, 134porównawcze, 131zbieżności szeregu funkcyjnegoAbela, 155Dirichleta, 155Weierstrassa, 154zbieżności szeregu liczbowegoAbela - Dirichleta, 45całkowe, 133Cauchy’ego, 48d’Alemberta, 49Kummera, 47Leibniza, 51porównawcze, 46Raabego, 48Weierstrassa, zob. porównawczezagęszczania Cauchy’ego, 47

krzywaRd, 143

krzywa prostowalna, 143kuladomknięta, 55otwarta, 55

kwantyfikatorogólny, 10szczegółowy, 10

lematAbela o sumowaniu częściowym, 45Fatou, 196

Toepliza, 37liczba zespolona, 167częśćrzeczywista, 167urojona, 167sprzężona, 167

liczbycałkowite, 15naturalne, 15rzeczywiste, 15wymierne, 15

logarytm naturalny, 139luka, zob. punkt nieciągłości pierwszego rodzaju

maksimumlokalne, 90właściwe, 90z dwóch liczb, 19

metryka, 54dyskretna, 62euklidesowa, 54indukowana, 57supremum, 153w Rd, 218w C(X), zob. metryka, supremumw rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, 55w zbiorze liczb zespolonych, 54

miaraLebesgue’a, 185

miara nieujemna, 178miara zewnętrzna, 180minimumlokalne, 90właściwe, 90z dwóch liczb, 19

modułliczby rzeczywistej, zob. wartość, bezwzględnaliczby zespolonej, 54

monotoniczność miary nieujemnej, 179

nierównośćBernoulliego, 162Jensena (dla funkcji wypukłych), 26Schwarza, 142

normasupremum, 152

obcięcie funkcji do zbioru, 23obraz zbioru, 21odcinek, 17domknięty, 17niezdegenerowany, 17


otwarty, 17odwzorowanie, zob. funkcjaograniczeniedolne zbioru, 13górne zbioru, 13

okresfunkcji, 25podstawowy, 25

otoczenie punktu, 57otwarte, 57

półpierścień zbiorów, 177półprosta, 18permutacja, 23pierścień zbiorów, 177pochodna funkcjijednostronna, 83lewostronna, 83prawostronna, 83w punkcie, 83wykładniczej, 172

pochodna funkcji w punkcieuogólniona, 217

podciąg, 31podprzestrzeń, 57podzbiór, 11podział odcinka, 105średnica, 105drobniejszy, 105

pokrycie zbioru, 62otwarte, 62

porządek, 12prawie wszędzie, 119prawokontrapozycji, 22

promień zbieżności szeregu potęgowego, 170prosta euklidesowa, zob. przestrzeń metryczna euklidesowaprosta euklidesowa rozszerzona, zob. przestrzeń metryczna eu-

klidesowa rozszerzonaprzeciwdziedzinafunkcji, 21relacji, 11

przeciwobraz zbioru, 21przedział, 18niezdegenerowany, 18

przekrójdowolnej ilości zbiorów, 11uogólniony, zob. przekrój, dowolnej ilości zbiorówzbiorów, 11

przestrzeńeuklidesowa, zob. przestrzeń metryczna euklidesowa

lokalnie zwarta, 62mierzalna, 178spójna, 61topologiczna, 62dyskretna, 62wektorowa, 25z miarą nieujemną, 178

przestrzeń metryczna, 54euklidesowa (jednowymiarowa), 55rozszerzona, 55liczb wymiernych, 59zespolona (jednowymiarowa), 55zupełna, 58

punktizolowany zbioru, 59nieciągłości funkcjidrugiego rodzaju, 77pierwszego rodzaju, 77przegięcia wykresu funkcji, 98skupienia zbioru, 59wewnętrzny zbioru, 57

różnica zbiorów, 11różniczka funkcji w punkcie, 84równoważność, 10regułade l’Hospitala (I), zob. twierdzenie, de l’Hospitala (I)de l’Hospitala (II), zob. twierdzenie, de l’Hospitala (II)

relacja, 11antysymetryczna, 12asymetryczna, 12odwrotna, 12porządku częściowego, 12porządkująca, zob. porządekprawostronnie jednoznaczna, 12przechodnia, 12przeciwzwrotna, 12równoważności, 12spójna, 12symetryczna, 12zwrotna, 12

reszta w postaci Lagrange’a, 96rozkład kanoniczy Jordana, 127

sąsiedztwo punktu, 57σ-ciało zbiorów, 177σ-addytywność miary nieujemnej, 179σ-subaddytywność miary nieujemnej, 179skok, zob. punkt nieciągłości pierwszego rodzajuspójniki logiczne, 10styczna do wykresu, 84


subaddytywność miary nieujemnej, 179sumaDarbouxdolna, 106górna, 106dowolnej ilości zbiorów, 11szeregu liczbowego, 43uogólniona, zob. suma, dowolnej ilości zbiorówzbiorów, 10

superpozycja funkcji, zob. złożenie funkcjisurjekcja, zob. funkcja, naszereg funkcyjnyobszar zbieżności, 154obszar zbieżności bezwzględnej, 154

szereg liczbowy, 43n - ta reszta, 44bezwzględnie zbieżny, 49dodatni, 45geometryczny, 43naprzemienny, 51nieujemny, 45ograniczony, 44rozbieżny, 43warunkowo zbieżny, 51zbieżny, 43

szereg potęgowy, 169średniaarytmetyczna, 19geometryczna, 19harmoniczna, 19

topologia, 62antydyskretna, 62dyskretna, 62indukowana przez metrykę, 62

twierdzenieAbela II dla szeregów potęgowych, 171Abela I dla szeregów potęgowych, 170Abela o iloczynie Cauchy’ego szeregów, 53, 172Bolzano-Cauchy’ego, 67Bolzano - Weierstrassa, 31Bolzano - Weierstrassa (dla odcinka), 60Caratheodory’ego, 182Cauchy’ego dla ciągów, 33Cauchy’ego o iloczynie szeregów, 52Cauchy’ego o wartości średniej, 87Cauchy’ego - Hadamarda, 169Darboux, 75de l’Hospitala (I), 93de l’Hospitala (II), 97Diniego, 152

Fermata, 90

Lagrange’a o wartości średniej, 88

Lebesgue’a, 119

o zbieżności monotonicznej, 195

o zbieżności zmajoryzowanej, 197

Lebesgue’a - Beppo Leviego, zob. twierdzenie Lebesgue’ao zbieżności monotonicznej

Leibniza, 94

Maclaurina, 96

Newtona - Leibniza dla funkcji wektorowych, 143

Newtona - Leibnizazob. twierdzeniezasadnicze rachunku całkowego 122

o aproksymacji funkcjami prostymi, 188

o całkowaniu przez części, 101

o całkowaniu przez podstawianie, 101

o dwóch ciągach, 37

o dwóch granicach, 66

o działaniach na granicach funkcji, 65

o granicy średnich arytmetycznych ciągu, 38

o granicy średnich geometrycznych ciągu, 38

o istnieniu funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej, 162

o różniczkowaniu szeregów potęgowych, 172

o równoważność warunków Cauchy’ego i Heinego, 64

o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste, 101

o trzech ciągach, 31

o trzech granicach, 66

o własności zbiorów domkniętych, 56

o własności zbiorów otwartych, 56

o własnościach całek niewłaściwych, 131

o wartości średniej dla całki Riemanna IA, 123

o wartości średniej dla całki Riemanna IB, 218

o wartości średniej dla całki Riemanna II, 124

o wartości średniej dla całki Riemanna - Stieltjesa II, 218

o wartości średniej dla całki Riemanna - Stieltjesa I, 218

o wartości średniej rachunku całkowego, 217

Riemanna

o szeregu warunkowo zbieżnym, 51

Rolle’a, 87

Stolza (dla ciągów), 37

Stone’a - Weierstrassa

rzeczywiste, 165

zespolone, 167

Taylora, 95

dla szeregów potęgowych, 173

Weierstrassa

o aproksymacji wielomianami, 162

o osiąganiu kresów, 73

zasadnicze algebry, 101

zasadnicze rachunku całkowego, 122

zasadnicze rachunku różniczkowego i całkowego, 121


własnośćDarboux, 75

wahanie funkcjina odcinku, 124w punkcie, 70

wartośćbezwzględna, 18główna Cauchy’ego całki, 136

warunek ciągłości funkcjiCauchy’ego, 68Heinego, 68

warunek dostatecznyistnienia ekstremum lokalnego (I), 90istnienia ekstremum lokalnego (II), 96istnienia punktu przegięcia (I), 98istnienia punktu przegięcia (II), 98

warunek koniecznyistnienia ekstremum lokalnego, zob. twierdzenie, Fermataistnienia punktu przegięcia, 98zbieżności szeregu, 44

warunek konieczny i dostatecznyistnienia całki Riemanna - Stieltjesa, 107zbieżności szeregu, 44

wykres funkcji, 21wzórBonneta, 123Leibinza, zob. twierdzenie, LeibnizaMaclaurina, zob. twierdzenie, MaclaurinaTaylora, zob. twierdzenie, Taylora

złożenie funkcji, 23zaprzeczenie, 10zasadaArchimedesa, 16ciągłości Dedekinda, 15

zbiórCantora, 119ciągowo zwarty, 60co najwyżej przeliczalny, 23domknięty, 55indeksów, 11miary (Lebesgue’a) zero, 118mierzalny, 180w sensie Lebesgue’a, 185ograniczony, 13z dołu, 13z góry, 13otwarty, 55potęgowy, 11przeliczalny, 23pusty, 11

relatywnie domknięty, 57relatywnie otwarty, 57rozszerzony liczb rzeczywistych, 20spójny, 61symetryczny względem zera, 24uporządkowany, 12wartości funkcji, 21wypukły, 25wypukły w R, 25zwarty, 63

zbiór argumentów, zob. dziedzina funkcjizbiór funkcjijednostajnie domknięty, 164nie znikający w żadnym punkcie zbioru, 164rozdzielający punkty zbioru, 164

zbieżność ciągu funkcyjnegojednostajna, 146jednostajny warunek Cauchy’ego, 149lokalnie jednostajna, 146niemal jednostajna, 146punktowa, 146

zbieżność szeregu funkcyjnegobezwzględna, 154jednostajna, 154lokalnie jednostajna, 154niemal jednostajna, 154punktowa, 154

zbioryoddzielone, 61równoliczne, 23rozgraniczone, zob. zbiory, oddzielone

znak liczby rzeczywistych, 19

Bibliografia

[1] A. Birkholc. Analiza matematyczna dla nauczycieli. PWN, Warszawa, wyd. 2, 1980.

[2] A. Białynicki Birula. Algebra liniowa z geometrią, Biblioteka Matematyczna 48. PWN, Warszawa, wyd. 1, 1976.

[3] A. Dorogowcew. Elementy teorii miary i całki. Państwowe Wyd. Wyż. Szk., Kijów, 1989. ros.

[4] R. Engelking. Topologia ogólna, Biblioteka Matematyczna 47. PWN, Warszawa, wyd. 2 popr. i uzup., 1989.

[5] G.M. Fichtenholz. Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN, Warszawa, wyd. 9, 1985.

[6] A. Grzegorczyk. Zarys arytmetyki teoretycznej, Biblioteka Matematyczna 39. PWN, Warszawa, wyd. 2, 1983.

[7] K. Piróg-Rzepacka J. Słupecki, K. Hałkowska. Elementy arytmetyki teoretycznej, Bibliotekczka Matematyczna 38. PWN,Warszawa, wyd. 1, 1980.

[8] K. Kuratowski. Rachunek różniczkowy i całkowy, Biblioteka Matematyczna 22. PWN, Warszawa, wyd. 9, 1979.

[9] K. Kuratowski. Wstęp do teorii mnogości i topologii, Biblioteka Matematyczna 9. PWN, Warszawa, wyd. 8, 1980.

[10] F. Leja. Rachunek różniczkowy i całkowy, Biblioteka Matematyczna 2. PWN, Warszawa, wyd. 13, 1976.

[11] K. Maurin. Analiza. Elementy, Biblioteka Matematyczna 38. PWN, Warszawa, wyd. 3, 1973.

[12] K. Maurin. Analiza. Elementy, Biblioteka Matematyczna 69. PWN, Warszawa, wyd. 5 zmienione, 1991.

[13] St. Łojasiewicz. Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, Biblioteka Matematyczna 46. PWN, Warszawa, wyd. 1, 1973.

[14] H. Rasiowa. Wstęp do matematyki współczesnej, Biblioteka Matematyczna 30. PWN, Warszawa, wyd. 8, 1984.

[15] W. Rudin. Podstawy analizy matematycznej. PWN, Warszawa, wyd. 3 zmienione, 1982.

[16] W. Rudin. Analiza rzeczywista i zespolona. PWN, Warszawa, wyd. 2, 1998.

[17] J. Mikusiński S. Hartman. Teoria miary i całki Lebesgue’a. PWN, Warszawa, 1957.

[18] L. Włodarski W. Krysicki. Analiza matematyczna w zadaniach. PWN, Warszawa, wyd. 15, 1983.

[19] J. Onyszkiewicz W. Marek. Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. PWN, Warszawa, wyd. 2 poprawione, 1975.

226

Skrypt do wykładu Z Analizy Matematycznej -...

Documents

Transcript of Skrypt do wykładu Z Analizy Matematycznej -...