SKRYPT DLA NAUCZYCIELA MATEMATYKA, FIZYKA,...

Projekt wspfinansowany z Europejskiego Funduszu Spoecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapita Ludzki

SKRYPT DLA NAUCZYCIELA

MATEMATYKA, FIZYKA, CHEMIA

Skrypt dla nauczyciela


2

SPIS TRECI

SZUKAMY EINSTEINA ....................................................................................................................... 4

MATEMATYKA ........................................................................................................ 8

PARADOKSY RACHUNKU PRAWDOPODOBIESTWA ....................................................................... 9

SKRZYNKA Z NARZDZIAMI MODEGO KOMBINATORYKA ............................................................ 13

KOMPLETNY CHAOS JEST NIEMOLIWY ........................................................................................ 17

SZCZCIE, CAKA I NIESKOCZONO ......................................................................................... 21

LICZBY WOK NAS ....................................................................................................................... 26

KRZYWIZNA NA PASZCZYNIE I W PRZESTRZENI ......................................................................... 29

KOLOROWANIE JAKO NARZDZIE UNIKANIA KONFILKTW........................................................... 36

INWERSJA NA PASZCZYZNIE ......................................................................................................... 39

GEOMETRIA JEST PROSTA .............................................................................................................. 45

PIERWSZE KROKI W WIECIE FRAKTALI ......................................................................................... 49

FIZYKA .................................................................................................................. 54

OD UCZYWA DO LASERA .............................................................................................................. 55

FIZYKA ARYTMII CZYLI JAK FIZYCY WSPPRACUJ Z KARDIOLOGAMI, KTRA GODZINA JEST NA

BIEGUNIE I JAK UCZESA JEA? ..................................................................................................... 61

OD KWARKW DO GROMAD GALAKTYK BUDOWA I DZIEJE WSZECHWIATA............................ 68

WIATOWODY .............................................................................................................................. 78

HOLOGRAFIA? JAKIE TO PROSTE .................................................................................................... 88

OGNIWA I AKUMULATORY OD BATERII Z BAGDADU DO SAMOCHODU NA WODR. ................ 96

FOTOWOLTAIKA, CZYLI JAK FIZYK KORZYSTA ZE SOCA ............................................................ 105

LHC - CZYLI BIG BANG W LABORATORIUM .................................................................................. 108

NANOTECHNOLOGIE FIZYKA W SKALI NANO, NANOSTRUKTURY I ICH ZASTOSOWANIA ......... 112

OPTYCZNE PODSTAWY NIEWIDZIALNOCI ................................................................................. 117

CHEMIA .............................................................................................................. 122

NIE WICI GARNKI LEPI... ...................................................................................................... 123

CHEMIA DLA OPORNYCH IGRANIE Z OGNIEM .......................................................................... 129

W POSZUKIWANIU NICI ARIADNY ............................................................................................ 135

JAK ODRNI pH OD PECHA? .................................................................................................... 138



3

NIECH MOC BDZIE Z WAMI PROBLEMY ENERGETYCZNE ........................................................ 142

CO W KOMRCE PISZCZY - RZECZ O MINIATUROWYCH BATERIACH LITOWYCH I LITOWO-

JONOWYCH .................................................................................................................................. 146

RZECZ O PRZEAMYWANIU BARIER ............................................................................................. 150

CZY MONA POLUBI CHEMI ORGANICZN? ............................................................................ 157

WIESZ CO JESZ CHEMIA SPOYWCZA ....................................................................................... 164

HISTORIA MYCIA, PRANIA I UPIKSZANIA ................................................................................... 171



4

SZUKAMY EINSTEINA

Jak to zrobi?

Rozpoczynamy walk o przyszo Polski! Ta walka rozegra si na

midzynarodowych rynkach, ale zacznie si w instytutach, laboratoriach

i w fabrykach. Mog j wygra nie wodzowie i bohaterscy onierze, a odkrywcy,

wynalazcy i inynierowie. Dzi licz si wiate umysy. O sukcesie narodw decyduje

wyksztacenie.

Poszukujemy zatem Einsteinw, Edisonw, Kopernikw, Czochralskich

Skodowskich-Curie. Prawdopodobnie yj wrd nas. Wielu z nich zasiada dzi

w szkolnych awkach. Jak ich wyowi z tysicy uczniw? Co pobudzi ich ciekawo

i pasj poznawcz? Jak nie zniechci ich do nauki? Jak skoni chopcw

i dziewczta do studiowania na kierunkach cisych i technicznych? Bez armii dobrze

wyksztaconych inynierw, matematykw, chemikw i biologw nie mamy szans na

sukces w dzisiejszym, tak szybko rozwijajcym si, wiecie.

Materiay filmowe, ktre przedstawiamy Pastwu w prezentowanej publikacji

to efekt dziaa podjtych w ramach projektu Szukajc Einsteina - Akademia

Umysw cisych, realizowanego przez Kuratorium Owiaty w Warszawie

w Partnerstwie z Politechnik Warszawsk.

Nagrane wykady nie maj zastpi lekcji szkolnych. Z pewnoci jednak s

doskonaym materiaem uzupeniajcym zarwno dla nauczyciela, jak i dla ucznia.

Najlepsi wykadowcy z uczelni przygotowali atrakcyjne wykady, ktre zostay

profesjonalnie zarejestrowane. Naukowcy z Politechniki Warszawskiej i nauczyciele

dydaktycy wybrali najciekawsze tematy, ktre dzi, w pocztkach XXI wieku budz

najwiksze zainteresowanie. Dotycz one wielu dziedzin wiedzy - od matematyki a

po inynieri materiaow. Kademu z wykadw powicony zosta jeden rozdzia

w specjalnie przygotowanym Podrczniku dla nauczyciela. Zawiera on nie tylko

przypomnienie treci wykadu, ale take pozwala nauczycielowi poszerzy swoj

wiedz na prezentowany temat. Dziki temu nauczyciel moe lepiej peni rol

przewodnika swoich uczniw.

Jak korzysta z tak przygotowanych materiaw?

Najprostsze jest odtworzenie caego wykadu na zajciach fakultatywnych

w szkole. Tych wykadw jest wiele. Mog one wzbogaci zajcia w ramach k

zainteresowa lub dodatkowe zajcia poszerzajce wiedz. Taki seans daje

moliwo obcowania z wykadowcami Politechniki Warszawskiej, do ktrej

w przyszoci by moe trafi cz uczniw. Liczymy na to, e po takim spektaklu

cz widzw sama zajrzy do Internetu, encyklopedii lub signie po odpowiedni

podrcznik, by dowiedzie si nieco wicej na przedstawiony temat. Dla niektrych

wykad bdzie inspiracj do wasnych poszukiwa, pomoe take w wyborze drogi



5

yciowej. Dziki niemu modzi ludzie lepiej zorientuj si w ofercie jednej

z najwikszych uczelni technicznych w kraju.

Oczywicie, byoby znakomicie, gdyby nauczyciel wykorzysta wykad do

rozmowy z uczniami. Moe to by dyskusja o obejrzanych dowiadczeniach,

poznanych materiaach, perspektywach ich zastosowa. Warto rwnie zachci

uczniw, by sami postarali si poszuka w swoim otoczeniu, tego co przygotowuj

producenci lub naukowcy.

Jeli w szkole istnieje laboratorium fizyczne czy pracownia chemiczna warto

pokusi si o odtworzenie niektrych z prezentowanych dowiadcze. Czy

uzyskiwane wyniki s podobne? Czy atwo jest powtrzy obejrzane eksperymenty?

Oczywicie, sfilmowane materiay daj nauczycielowi znacznie wicej

moliwoci. Wymaga to nieco wicej pracy, ale te efekty mog by znakomite.

Poczenie nagranych fragmentw wykadu z komentarzem nauczyciela, a take

z pokazem zostanie lepiej zapamitane przez uczniw.

W niektrych klasach mona pokusi si take o realizacj inscenizacji

wybranego tematu. Mog to by np. scenki ilustrujce odkrycie niezwykych

waciwoci materii. Warto by zawieray one na przykad powtrzenie dowiadcze

widzianych podczas wykadu. Uczniowie przeprowadzajcy te eksperymenty

z pewnoci lepiej je zapamitaj. Mona sprbowa take realizacji scenek

pokazujcych drog prowadzc do odkry prezentowanych przez wykadowc. Ich

przygotowanie uatwi na przykad ksika Uczeni w Anegdocie Andrzeja Kajetana

Wrblewskiego lub inne publikacje z historii nauki.

W przypadku inscenizacji nie chodzi o wielkie i dugie dramaty. Powinny to by

krtkie teksty, atwe do opanowania przez uczniw, a zajmujce nie wicej ni 10 -15

minut. Przykady takich scenek, ktre pomog w zrozumieniu mylenia

i wnioskowania dawnych uczonych mona znale np. w poradniku Jak

uatrakcyjnia lekcje fizyki ? Marii Fijakowskiej.

W wielu przypadkach warto popuci wodze fantazji i zastanowi si, jaki

bdzie wiat za 20 lat, gdy obecni uczniowie po ukoczeniu studiw trafi do pracy.

W jakich kierunkach bd prowadzili badania, gdzie zastosuj poznane prawa

i zjawiska? To przecie bdzie ich wiat. Dziki mdremu wsparciu nauczyciela mog

otrzyma na drog dobry kompas wskazujcy drog.

Materia filmowy zapisany na pycie mona przenie do pamici komputera.

Warto skorzysta z jednego z bezpatnych programw do obrbki materiaw

filmowych. Moe to by program VLC, NeroVision lub MovieMaker. Przed zajciami

nauczyciel moe podzieli cay wykad na mniejsze, jedno tematyczne czci. Do

kadej z tych czci warto przygotowa sobie wasny komentarz zawierajcy np.

histori odkrycia danego zjawiska czy materiau, anegdoty o uczonych, ktrzy

pracowali w tej dziedzinie, prbki lub przedmioty zawierajce omawiane rozwizanie

(nazwijmy je rekwizytami) lub prawo fizyki, itd.



6

Podzielony materia filmowy wstawiamy do prezentacji PowerPoint (lub

podobnej) i uzupeniamy o slajdy, ktre wprowadz komentarze przygotowane przez

nauczyciela. W prezentacji mog si take znale fotografie, wykresy, a nawet

reklamy towarw, jeli zawieraj one np. nowy materia kompozytowy, o ktrym

mowa na wykadzie.

Oczywicie, w tym przypadku wykad 45 minutowy, uzupeniony przez

nauczyciela, moe trwa znacznie duej. W sytuacji, gdy nie dysponujemy

nadmiarem czasu mona zastanowi si nad usuniciem niektrych wtkw.

Dla chtnych nauczycieli istnieje take moliwo wykorzystania w prezentacji

tylko najciekawszych lub najtrudniejszych pokazw i eksperymentw. Warto

wykorzysta to, czego nie da si pokaza w warunkach szkolnych. Pozostae

elementy wykadu nauczyciel bdzie realizowa sam, na ywo, przed uczniami.

Wykad naukowca z Politechniki Warszawskiej bdzie wwczas inspiracj oraz

rdem materiaw filmowych. Nawet jeli niektre dowiadczenia lub pokazy

wypadn nieco gorzej, to z pewnoci zostan lepiej zapamitane przez uczniw.

Oczywicie byoby ideaem, gdyby sami uczniowie mogli w trakcie takiej prezentacji

bra udzia w eksperymentach lub zabawach.

W przypadku wyjtkowo duego zainteresowania uczniw dan dziedzin

wiedzy warto po obejrzeniu wykadu lub zrealizowaniu prezentacji z wykorzystaniem

fragmentw materiau filmowego wybra si z wycieczk na uczelni lub do

ciekawego zakadu produkcyjnego.

Uczniowie, przygotowani wczeniej przez nauczyciela, z pewnoci chtnie

wybior si do Centrum Nauki Kopernik. Warto jednak pamita o tym, e pojemno

Centrum jest ograniczona. Mona zatem skorzysta z podobnych, cho znacznie

skromniejszych placwek w Trjmiecie lub wybra si na wystaw Science Center

Spectrum do Berlina (http://www.sdtb.de/Spectrum.4.0.html). Przy dobrej

organizacji taka wycieczka zajmuje dob, ale daje ogromne moliwoci edukacyjne.

Podobnie atrakcyjnym miejscem jest Experimentarium w Kopenhadze

(http://www.experimentarium.dk), ktre rwnie oferuje wiele pokazw i dowiadcze

przygotowanych z myl o uczniach.

Liczne szkoy organizuj wyjazdy autokarowe do orodka CERN pod Genew

(http://public.web.cern.ch/public/), gdzie znajduje si najwikszy na wiecie

przyspieszacz protonw i wiele innych urzdze naukowych. Po drodze mona

zwiedzi take GSI Darmstadt (www.gsi.de). Dla uczniw s przygotowane

specjalne programy (http://www.gsi.de/informationen/education/schuelerlabor/

index_e.html). Taka wycieczka pozwala pozna nie tylko problemy zwizane

z budow materii i histori Wszechwiata, ale take nowe materiay (np.

nadprzewodniki) oraz tematyk wspczesnych bada naukowych.

Uzupenieniem niektrych wykadw mog by filmy z serii Ministerstwo

Nauki i Szkolnictwa Wyszego przedstawia:. Umoliwiaj one zajrzenie do

laboratoriw i instytutw naukowych w celu poznania prowadzonych tam prac oraz

http://www.sdtb.de/Spectrum.4.0.html



7

osigni polskich naukowcw. W poczeniu z wykadami filmy te stwarzaj

moliwo przeprowadzenia serii ciekawych, niebanalnych zaj pozalekcyjnych.

Oczywicie, zaproponowane powyej sposoby wykorzystania wykadw

i pomocy naukowych z cyklu Szukajc Einsteina to tylko pocztek.

Najprawdopodobniej zdolni i zaangaowani nauczyciele sami wymyl wiele innych

zastosowa nagranych materiaw- od konkursw do rozwijajcych si kek

zainteresowa.

Mamy nadziej, e dziki ciekawszym, pobudzajcym wyobrani lekcjom za

kilka, kilkanacie lat doczekamy si modych inynierw i naukowcw, ktrzy osign

sukcesy w wiecie. Wspczesnych Einsteinw.

Oby!



8

MATEMATYKA



9

PARADOKSY RACHUNKU PRAWDOPODOBIESTWA

dr Krzysztof Bry

Celem wykadu jest pokazanie, e w przypadku modelowania zjawisk losowych,

do oceny szans zajcia okrelonego zdarzenia losowego nie wystarcza intelekt

i intuicja.

Z pomoc przychodzi jednak nauka, a konkretnie stosunkowo moda ga

matematyki zwana rachunkiem prawdopodobiestwa, zajmujca si budowaniem

modeli matematycznych zjawisk losowych. Czsto zdarza si, e ucze, ktry nie ma

problemw z rozwizywaniem trudnych zada z pozostaych dziaw matematyki, nie

radzi sobie rachunkiem prawdopodobiestwa. Wrd przyczyn takiego stanu rzeczy

mona wymieni zbytni wiar uczniw (ale nie tylko uczniw) we wasn intuicj

i inteligencj. Tymczasem nierzadko zdarza si rwnie, e ucze niezbyt radzcy

sobie z matematyk, doskonale radzi sobie z zadaniami z rachunku

prawdopodobiestwa. Ten dzia matematyki daje takie moliwoci ze wzgldu na to,

e do rozwizania tych zada potrzebna jest jedynie umiejtno prawidowego

posugiwania si narzdziami, do ktrych opanowania praktycznie nie jest potrzebna

wiedza zdobyta na poprzednich etapach edukacji. Znane s przypadki sawnych

matematykw, takich jak np. dAlembert, ktrzy w zetkniciu z niektrymi

zagadnieniami z rachunku prawdopodobiestwa wskazywali niepoprawne

rozwizania uzasadniajc ich poprawno swoj wiedz i dowiadczeniem. Ten

wykad ma na celu pokazanie, e ta ga matematyki nie ma wcale nic wsplnego

z magi.

Nawet w przypadku prawidowych wynikw, z ktrymi nasza intuicja nie godzi

si i stanowczo protestuje, mona znale precyzyjne uzasadnienie. Podczas tego

wykadu wprowadzone zostaj wszystkie narzdzia niezbdne do precyzyjnego

wyjanienia synnego paradoksu Monty Halla. Wyjanienia sprzecznego z tym co

podpowiada intuicja, ale opartego na twardym rozumowaniu matematycznym

i wykorzystujcego bardzo proste a zarazem bardzo silne narzdzie, jakim jest wzr

Bayesa.

Warto przypomnie w tym miejscu na czym polega synny paradoks Monty

Halla (dokadnie opisany podczas wykadu). Gracz ma do wyboru trzy bramki: A, B,

C. Za jedn z nich jest nagroda (samochd). Gracz wybiera jedn z bramek,

powiedzmy A. Prowadzcy odsania jedn z dwch pozostaych, ale tak, za ktr

nie ma nagrody, a nastpnie pyta gracza, czy chce zmieni swj pierwotny wybr. Co

powinien zrobi gracz? Zostay dwie bramki ta ktr wybra na pocztku i druga

dotd nieodkryta. Czyli intuicja podpowiada, e mona nie zmienia pocztkowo



10

wybranej bramki na inn, bo szanse, e nagroda jest za kad z nich s takie same.

Ale intuicja nie ma racji. Swoj saw paradoks Monty Halla zawdzicza midzy

innymi temu, ze niepoprawn odpowied podao wielu znanych matematykw. Nawet

przeciwko formalnemu dowodowi potwierdzajcemu rozwizanie sprzeczne z intuicj

protestowa synny wgierski matematyk Paul Erdos.

W trakcie Pikniku Naukowego przeprowadzilimy wraz ze studentami PW,

eksperyment. Paradoks Monty Halla ukrylimy za bajk o zym smoku i ksiniczce

wizionej w jednej z trzech wie. Stoisko odwiedzali ludzie w wieku od lat 3 do 103

i wikszo nie wiedziaa, e poprawna strategia polega na zmianie pierwotnego

wyboru. Niektrzy odkryli podobiestwo pomidzy t zagadk a synnym

paradoksem i przytaczali poprawn odpowied. Nikt jednak nie potrafi tego

paradoksu wyjani, mimo e z pozoru proste uzasadnienie istnieje. Ot zakadajc,

e nagroda jest z jednakowym prawdopodobiestwem ukrywana za kad z bramek,

mamy trzy jednakowo prawdopodobne sytuacje. Jak wida z poniszej tabeli

w dwch z trzech przypadkw (gdy nagroda jest za ktr z bramek niewybranych

pierwotnie przez gracza) zmiana decyzji spowoduje wybranie bramki z nagrod

(druga, ta bez nagrody, z pierwotnie niewybranych bramek zostanie otwarta przez

prowadzcego, zatem zmiana bdzie zmian wyboru na bramk z nagrod). Tylko

w jednym przypadku (gdy nagroda jest za bramk pierwotnie wybran) zmiana

decyzji bdzie bdn decyzj. Zatem zmiana wybranej bramki na drug pozosta

daje dwa razy wiksze szanse na zdobycie nagrody ni pozostanie przy pierwotnie

wybranej. Takie proste wyjanienie tego paradoksu przytaczane przez nas spotykao

si najczciej z reakcj musz to sobie jeszcze w domu przemyle.

Bramka A

(pierwotnie

wybrana)

Bramka B Bramka C

Pozostanie

przy wybranej

bramce

Zmiana

wybranej bramki

Nagroda DOBRZE LE

Nagroda Otwarta LE DOBRZE

Otwarta Nagroda LE DOBRZE

Zachodzi zatem pytanie, czy do walki z intuicj nie naley wytoczy dziaa

mocniejszego. Takim dziaem jest niewtpliwie wzr Bayesa. Opanowanie sztuki

posugiwania si nim z pewnoci nie okae si dla ucznia niepotrzebne. Nawet jeli

proste uzasadnienie paradoksu Monty Halla okazuje si dla ucznia wystarczajce, to

nabyte umiejtnoci pozwol przyszemu sdziemu, policjantowi, lekarzowi,

nauczycielowi, fizykowi, chemikowi czy przedsibiorcy unikn puapek czyhajcych

na osoby, ktre nie potrafi poprawnie analizowa zwizkw przyczynowo-

skutkowych.

Wykad rozpoczyna si od opisania sytuacji, z ktr ma do czynienia gracz

w paradoksie Monty Halla i zadania pytania, jak decyzj powinien podj. Nastpnie



11

wprowadzone zostaj elementarne pojcia rachunku prawdopodobiestwa, takie jak

dowiadczenie losowe czy zdarzenie losowe. Pozwala to na przyswojenie treci

wykadu przez osoby, ktre nigdy wczeniej nie zetkny si z tym dziaem

matematyki. Ucze, ktry mia ju z tym do czynienia moe t cz wykadu omin,

cho moe rwnie wykorzysta okazj na powtrzenie sobie przyswojonego

wczeniej materiau. Po wprowadzeniu klasycznej definicji prawdopodobiestwa

pojawiaj si przykady pokazujce, kiedy wolno z niej korzysta i jak naley robi

to poprawnie. Po przerwie, w drugiej czci wykadu pojawia si

prawdopodobiestwo warunkowe oraz przykady pokazujce, e posiadanie

informacji o zajciu pewnego zdarzenia moe prowadzi do diametralnej zmiany

prawdopodobiestwa interesujcego nas zdarzenia. Nastpnie wprowadzone zostaje

pojcie zupenego ukadu zdarze, jako zbioru potencjalnych przyczyn zajcia

danego zjawiska. Zwizek przyczynowo-skutkowy moe z powodzeniem by

ilustrowany graficznie za pomoc drzewka. Jak pokazuj przykady pojawiajce si

w trakcie wykadu, stworzenie takiego modelu znacznie uatwia zrozumienie wzoru

na prawdopodobiestwo cakowite i wzoru Bayesa, ktre pojawiaj si w dalszej

czci wykadu. Nastpnie podano przykad, ktry pokazuje, jak za pomoc tego

ostatniego wzoru mona obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia, e okrelona

przyczyna spowodowaa dany skutek. Na zakoczenie, to samo narzdzie zostaje

uyte do wyjanienia paradoksu Monty Halla. Okazuje si, e prawdopodobiestwo

tego, e to nagroda za bramk A, czyli bramk wskazan pierwotnie przez gracza

wywoaa okrelone zachowanie prowadzcego, czyli odkrycie bramki powiedzmy B

wynosi tylko 1/3. Prawdopodobiestwo, e zachowanie to zostao wywoane faktem,

e nagroda jest za bramk C wynosi 2/3.

Wykorzystanie wzoru Bayesa prowadzi do wielu zdumiewajcych wynikw.

W Zeszycie wicze dla ucznia mona znale rozwizania starszych (w sensie

historycznym) wersji paradoksu Monty Halla, czyli paradoks winia i paradoks

Bertranda. Oprcz tego pojawiaj si tam rwnie przykady zada, ktre mog

znale zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i w yciu codziennym. Okazuje si,

e niepoprawna analiza zwizku przyczynowo-skutkowego a w szczeglnoci brak

umiejtnoci prawidowego korzystania z wzoru Bayesa, moe mie powane skutki.

Z oblicze, ktre mona znale w Zeszycie wicze, wynika przykadowo, e nie

powinien popada w depresj pacjent dowiadujc si od lekarza o tym, e test, ktry

u 99% chorych osb wykrywa pewn rzadk chorob, da u niego wynik pozytywny.

Wzr Bayesa pokazuje, e prawdopodobiestwo wystpowania tej choroby u niego

nie wynosi wcale 0.99 lecz moe by nawet rzdu 0.01. Nie trzeba chyba dodawa,

e to przede wszystkim lekarz powinien umie wyjani prawidowo znaczenie

wyniku testu. Z drugiej strony wiedza taka moe przyda si kademu, by nie by

zdanym na wiedz lub niewiedz lekarza czy sdziego. Z kolei policjant prowadzc

ledztwo nawet jeli wie, e osoby wykonujce pewn rzadk profesj z duym

prawdopodobiestwem (np. okoo 0.9) mogyby by sprawcami okrelonego



12

przestpstwa, to jednak prawdopodobiestwo, e osoba wykonujca ten zawd

dopucia si tego czynu, jeli wiadomo, e przestpstwo miao miejsce, jest bardzo

mae (np. okoo 0,1). Rwnie pozytywny wynik testu DNA nie musi oznacza

pewnoci, e sprawca zosta wykryty. Wiele przykadw zastosowa wzoru Bayesa

w yciu codziennym mona znale w literaturze.

Sownik poj kluczowych

dowiadczenie losowe dowiadczenie, ktrego wynik nie jest znany, ale dla

potrzeb budowy modelu matematycznego zakada si, e znamy zbir wszystkich

potencjalnych wynikw;

zdarzenie losowe wynik dowiadczenia losowego;

zdarzenie elementarne niepodzielny, rozczny z pozostaymi wynik

dowiadczenia losowego;

prawdopodobiestwo miara szans zajcia zdarzenia losowego;

prawdopodobiestwo warunkowe prawdopodobiestwo zajcia danego

zdarzenia A pod warunkiem, e zaszo inne zdarzenie B (ocena szans zajcia

zdarzenia A w sytuacji, gdy posiadamy dodatkow wiedz o zajciu zdarzenia B);

zupeny ukad zdarze rodzina parami rozcznych zdarze losowych taka, e

kade zdarzenie elementarne naley do dokadnie jednego zdarzenia z tej rodziny

(tzn. w wyniku dowiadczenia losowego zachodzi dokadnie jedno ze zdarze z tej

rodziny).



13

SKRZYNKA Z NARZDZIAMI MODEGO KOMBINATORYKA

Pawe Naroski

Wykad Skrzynka z narzdziami modego kombinatoryka" skada si z trzech

niezalenych czci. Omwione s w nich narzdzia kombinatoryczne takie jak

zasada szufladkowa Dirichleta, zasada dwoistoci oraz zasada wcze i wycze.

Kade z nich mimo swej prostoty i oczywistoci" jest wysoce skutecznym rodkiem

przy rozwizywaniu problemw natury kombinatorycznej, czyli skoczonej.

Cz pierwsza powicona jest zasadzie szufladkowej Dirichleta, ktra gosi,

e jeli n + 1 par skarpetek zostanie umieszczonych w n szufladkach, to bdzie

istnie szufladka zawierajca co najmniej dwie pary skarpetek.

Zasada szufladkowa jest omwiona na przykadzie dwch problemw.

Pierwszym z nich jest twierdzenie z teorii liczb, ktre mwi, i w kadym zbiorze

n +1 liczb naturalnych, z ktrych kada naley do zbioru {1,... , 2n}, znajduj si

dwie takie, e jedna z nich dzieli drug. Drugi to synne twierdzenie Erdsa-

Szekeresa goszce, i w kadym rnowartociowym cigu (tzn. takim, ktrego

adne dwa wyrazy nie s rwne) dugoci n2 + 1 znajduje si cile monotoniczny

podcig dugoci co najmniej n .

Nastpnie zasada szufladkowa jest wykorzystana do udowodnienia szcze-

glnego przypadku innego twierdzenia Erdsa-Szekeresa mwicego, e dla kadej

liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna M (n) taka, e w kadym zbiorze punktw

paszczyzny majcym M (n) elementw, z ktrych adne trzy nie s wspliniowe,

istnieje n punktw, ktre tworz n -kt wypuky. W oglnoci to twierdzenie naley

do teorii Ramseya, ktrej pierwszym zarodkiem jest zasada szufladkowa Dirichleta.

Uczniom zainteresowanych t tematyk mona zaproponowa wykad prof.

Jarosawa Grytczuka nagrany rwnie w ramach projektu Szukajc Einsteina -

akademia umysw cisych", ktry omawia te zagadnienia dokadniej. Tutaj

prezentujemy jedynie przypadek n = 4, ktry jest adnym przykadem zastosowania

zasady szufladkowej w geometrii.

Wszystkie pojcia wystpujce w wykadzie s raczej powszechnie znane,

niemniej w celu uniknicia nieporozumie zdefiniujemy te najwaniejsze.

Podcig. Niech L = (a1,... ,an) bdzie cigiem. Podcigiem cigu L

nazywamy kady cig (ai1,... ,aik), gdzie i1 < ... < ik.

Podzielno. Mwimy, e liczba naturalna d dzieli liczb naturaln n, jeli

istnieje liczba naturalna l taka, e n = l d.

cisa monotoniczno. Cig (a1,... , an) nazywamy cile rosncym, jeli

aiaj dla i < j.

Cig cile rosncy lub cile malejcy nazywamy cigiem cile monotonicznym.



14

Wypuko. Wielokt nazwiemy wypukym, jeli odcinek czcy kade dwa

punkty tego wielokta jest w nim zawarty.

W ramach pracy z wykadem mona omwi uoglnion zasad szufladkow,

ktra gosi, e jeli n par skarpetek rozmiecimy w m szufladkach, to bdzie istnie

szufladka zawierajca co najmniej n/m par skarpetek oraz bdzie istnie szufladka

zawierajca co najwyej n/m par skarpetek. Pierwszym ciekawym zadaniem moe

by wykazanie prawdziwoci tego twierdzenia. Inne mona znale w zeszycie

wicze przygotowanym do tego wykadu.

Naley zwrci uwag, eby ucze za kadym razem wiadomie korzysta

z zasady szufladkowej. Narzdzie to jest tak intuicyjnie oczywiste", e stosowane

jest na zasadzie argumentu zdroworozsdkowego, co do pewnego stopnia

zaawansowania jest akceptowalne, ale od pewnego miejsca, gdzie poziom abstrakcji

przekracza codzienn intuicj, prowadzi zazwyczaj do bdw. Zwracanie uwagi

przez ucznia na powody, dziki ktrym kady krok rozumowania jest poprawny,

przygotowuje go do wkraczania na kolejne poziomy abstrakcji, co jest bardzo

podane dla kandydata do studiowania nauk cisych (nie tylko matematyki, ale

take informatyki, fizyki, chemii itp.).

Druga, najkrtsza, cz wykadu powicona jest zasadzie dwoistoci, ktra

jest niczym innym jak szczeglnymi sformuowaniami prawa wyczonego rodka.

Na pocztku opisane s trudnoci wystpujce przy dowodzeniu nieistnienia

obiektw o danych wasnociach. Zrobione jest to na przykadzie twierdzenia

mwicego, e n nie jest liczb algebraiczn. Nastpnie zaprezentowane s dwa

problemy pokrywania szachownicy kostkami domina.

Zasada dwoistoci moe by punktem wyjcia do zapoznania uczniw z innymi

prawami logiki klasycznej.

Trzecia i ostatnia cz wykadu traktuje o zasadzie wcze i wycze, czyli

wzorze podajcym liczno sumy mnogociowej danej rodziny zbiorw w jzyku

licznoci przeci (czci wsplnych) tyche zbiorw. (Czasem wzr ten nazywa si

wzorem Sylvestera, a zasad wcze i wycze nazywa si analogiczny wzr na

liczb elementw zadanej przestrzeni lecych poza sum danych zbiorw.)

Na pocztku pokazany jest przykad zagadnienia, w ktrym potrzeba narzdzia

takiego jak zasada wcze i wycze ujawnia si w sposb naturalny, a mianowicie

problem roztargnionej sekretarki. Mamy n listw skierowanych do n rnych ludzi.

Roztargniona sekretarka wkada listy zupenie losowo do zaadresowanych wczeniej

kopert. Jakie jest prawdopodobiestwo zdarzenia, i aden adresat nie dostanie

waciwego listu?

Nastpnie omawiane s proste przykady ukazujce trudno lec

w problemie ustalania liczby elementw sumy zbiorw oraz prezentowane jest jego

rozwizanie dla n = 2, 3, 4. W dalszej kolejnoci rozwizane jest przy uyciu zasady

wcze i wycze zadanie polegajce na zbadaniu ile liczb naturalnych mniejszych

od 1000 nie dzieli si ani przez 2, ani przez 3, ani przez 11.



15

W kocu podane jest rozwizanie problemu roztargnionej sekretarki z dyskusj

rozwizania.

Prawdopodobiestwo. Chodzi o klasyczn definicj prawdopodobiestwa,

tzn. jeli jest zbiorem zdarze elementarnych, a A , to prawdopodobiestwo

zdarzenia A wynosi P(A) = |A|/||.

Podoga. Podog liczby rzeczywistej x nazywamy najwiksz liczb cakowit

nie wiksz ni x, czyli zaokrglenie x w d", funkcj podogi oznaczamy symbolem

[x].

Na problem roztargnionej sekretarki mona spojrze zarwno jak na problem

kombinatoryczny, jak i probabilistyczny. Moe to sta si przyczynkiem do

wprowadzenia uczniw w bardziej zaawansowane tajniki rachunku praw-

dopodobiestwa. Pomoc w tym moe by wykad dra Krzysztofa Brysia nagrany

rwnie w ramach projektu Szukajc Einsteina - akademia umysw cisych".

Wykad dotyczy podstawowych, wrcz fundamentalnych, narzdzi

matematycznych. W zwizku z tym ich stosowanie nie ogranicza si jedynie do

rozwizywania problemw matematycznych, ale wystpuje w wielu rozumowaniach,

dedukcjach, ktre kady z nas przeprowadza kadego dnia w yciu codziennym.

W wikszoci przypadkw stosowane s one bezwiednie. Podanym jest jednak,

aby ucze, ktry ma w przyszoci studiowa nauki cise, zaczyna powoli stosowa

wiadomie narzdzia matematyczne zarwno w poznawaniu nauk cisych w szkole,

jak i we wszelkich rozumowaniach, ktre przeprowadza.

Jeli chodzi o zastosowania zaprezentowanych w wykadzie narzdzi, to jako

ju si rzeko, s one powszechnie wykorzystywane we wszelakich rozumowaniach

kombinatorycznych i wszdzie tam, gdzie kombinatoryka znajduje zastosowanie, tam

mona mwi o zastosowaniach zasady szufladkowej Dirichleta, zasady dwoistoci

czy zasady wcze i wycze. A kombinatoryka znajduje zastosowanie przede

wszystkim w informatyce w jej rozmaitych przejawach jak teoria automatw i oblicze

(gdzie np. zasada szufladkowa wykorzystana jest w dowodzie jednego

z podstawowych wynikw tej dziedziny, tzw. lematu o pompowaniu), teoria kodw

(gdzie poza kombinatoryk stosuje si w jeszcze wikszym stopniu algebr i teori

liczb, a ten temat stanowi przedmiot wykadu dr Barbary Roszkowskiej-Lech, ktry

rwnie zosta nagrany w ramach projektu Szukajc Einsteina - akademia umysw

cisych") czy w kocu przy projektowaniu i analizie algorytmw. Jednym

z niedawnych sukcesw tej ostatniej dziedziny jest szybki algorytm (w stosunku do

algorytmw konkurencyjnych) kolorowania wierzchokowego grafw, ktrego zasada

dziaania opiera si na zasadzie wcze i wycze. (Kolorowanie wierzchokowe

polega na przypisaniu wierzchokom danego grafu pewnych etykiet (kolorw) w taki

sposb, aby ssiednie wierzchoki otrzymay rne etykiety. Wicej szczegw

mona znale w ksice Wilsona, ktrej dane podane s niej.) Problemy

kolorowania pojawiaj si w wielu aspektach przemysu, jak problemy przydziau

zada czy projektowanie planw.



16

Pomocna przy pracy z wykadem oraz przy wielu innych okazjach pracy

z uczniami moe by rwnie ponisza literatura.

1. Aigner, Ziegler, Dowody z Ksigi, PWN, 2004

2. Piegat, Zadania Hugona Steinhausa, GiS, 2005

3. Ross, Wright, Matematyka dyskretna, PWN, 1996

4. Palka, Ruciski, Wykady z kombinatoryki, WNT, 1998

5. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafw, PWN, 1985



17

KOMPLETNY CHAOS JEST NIEMOLIWY

Jarosaw Grytczuk

1. Streszczenie wykadu

Wykad obejmuje kilka wybranych zagadnie Teorii Ramseya, oraz zestaw

nieco luniej powizanych z t dziedzin ciekawostek matematycznych. Teoria

Ramseya to bujnie rozwijajca si obecnie dyscyplina w obrbie Matematyki

Dyskretnej, pena ciekawych twierdze i intrygujcych problemw otwartych, cile

powizana z geometri, teori liczb i rachunkiem prawdopodobiestwa. Dziedzina ta

nadaje si wybornie do popularyzacji dziki swej elementarnoci i atrakcyjnoci

problemw. Typowe twierdzenie tej teorii orzeka o wystpowaniu zaskakujcych

regularnoci w dowolnych, odpowiednio duych strukturach kombinatorycznych. Oto

gwne zagadnienia poruszane w trakcie wykadu.

1) Gra HEX

Reguy gry zostay opisane szczegowo w trakcie wykadu. Wspomniane

zostao twierdzenie o niemoliwoci remisu, ktre ma charakter ramseyowski.

Twierdzenie 1 W dowolnym kolorowaniu planszy do gry w HEX istnieje cieka

czerwona czca czerwone brzegi planszy, lub cieka niebieska czca niebieskie

brzegi planszy. Ponadto, obie takie cieki nie mog wystpi jednoczenie.

Dowd tego twierdzenia nie jest atwy, wymaga zaawansowanej topologii.

2) Cigi arytmetyczne

a) Twierdzenie van der Waerdena

Twierdzenie 2: W dowolnym kolorowaniu liczb naturalnych skoczon liczb

kolorw pojawiaj si dowolnie dugie, jednobarwne cigi arytmetyczne.

Dowd tego twierdzenia jest do trudny. Twierdzenie to posiada take wersj

skoczon, ktra prowadzi do definicji liczb van der Waerdena.

Definicja 1: Liczba van der Waerdena W(k) to najmniejsza liczba naturalna

taka, e w dowolnym 2-kolorowaniu elementw zbioru {1,2,...,W(k)} dwoma kolorami

wystpi jednobarwny cig arytmetyczny dugoci k.

b) Twierdzenie Szemerediego

Twierdzenie 4: Kady podzbir liczb naturalnych o dodatniej gstoci zawiera

dowolnie dugie cigi arytmetyczne.

Definicja 2: Podzbir A liczb naturalnych ma dodatni gsto, jeeli istnieje

staa c > 0 i rosncy cig liczb naturalnych a1 < a2 < a3 ... taki, e stosunek liczby

elementw zbioru A w kadym zbiorze {1,2,..., ai} do liczby elementw tego zbioru

wynosi co najmniej c.



18

Twierdzenie Szemerediego jest znacznie silniejsze od twierdzenia van der

Waerdena. W istocie, w dowolnym podziale liczb naturalnych na skoczon liczb

podzbiorw, ktry podzbir musi mie dodatni gsto.

c) Twierdzenie Greena-Tao

Twierdzenie 5: Zbir liczb pierwszych zawiera dowolnie dugie cigi

arytmetyczne.

d) Hipoteza Erdosa

Hipoteza: Kady zbir liczb naturalnych, ktrych suma odwrotnoci jest

nieskoczona zawiera dowolnie dugie cigi arytmetyczne.

Ta hipoteza pociga twierdzenie Greena-Tao. W istocie, jak udowodni Euler,

suma odwrotnoci liczb pierwszych jest nieskoczona.

3) Teoria Ramseya na grafach

a) Twierdzenie Ramseya

Twierdzenie 6: Dla kadego n istnieje R(n) takie, e w dowolny 2-kolorowaniu

krawdzi kliki na R(n) wierzchokach pojawia si jednobarwna kopia kliki na

n wierzchokach.

Najmniejsze liczby R(n) speniajce to twierdzenie nazywamy liczbami

Ramseya.

b) Twierdzenie Grahama

Twierdzenie 7: Istnieje skoczona liczba N taka, e w dowolnym 2-kolorowaniu

krawdzi kliki rozpitej na wierzchokach N-wymiarowego szecianu pojawi si

jednobarwna kopia kliki na czterech wierzchokach zawartych w pewnej paszczynie.

Oszacowania na liczb N z tego twierdzenia nosi nazw liczby Grahama

i stanowi wiatowy rekord wielkoci staych jakie kiedykolwiek pojawiy si

w naukowych publikacjach. Do zapisu tej liczby potrzeba specjalnej notacji

strzakowej, wprowadzonej przez Donalda Knutha.

4) Dziwne cigi liczbowe

a) Cig Norgarda

0, 1, -1, 2, 1, 0, -2, 3, -1, 2, 0, 1, 2, -1, -3, 4, 1, 0, -2, 3, 0, 1, -1, 2, -2, 3,...

To jest cig wprowadzony przez duskiego kompozytora Pera Norgarda

i stosowany przez niego w kompozycjach muzycznych. Cig posiada liczne

chaotyczne wasnoci, pomimo regularnej reguy, ktra go generuje (opisanej na

wykadzie). Cig skada si z dwch kopii samego siebie przesunitej

i odwrconej. Mona go zdefiniowa wzorem rekurencyjnym:

N(0) = 0

N(2k) = N(k) + 1

N(2k+1) = -N(k).



19

b) Cig Thuego

0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1,...

To jest cig, ktry otrzymujemy poprzez redukcj cigu Norgarda modulo 2.

Posiada on ciekawe wasnoci kombinatoryczne.

Twierdzenie: W cigu Thuego nie znajdziemy trzech identycznych blokw jeden

za drugim.

c) Cig Kolakoskiego

1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1,...

Cig Kolakoskiego jest kolejnym przykadem cigu samo-definiujcego:

dugo n-tego bloku skadajcego si z jednakowych cyfr jest rwna n-temu

wyrazowi cigu. Ma podobne wasnoci do cigu Thuego, ale jest dalece bardziej

tajemniczy pod wieloma wzgldami.

d) Cig Sloana

10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999,

277777788888899

Do zdefiniowania tego cigu trzeba najpierw zdefiniowa pojcie wytrwaoci

liczby naturalnej. Niech f(n) oznacza liczb bdc iloczynem cyfr liczby n. Na

przykad, f(77) = 7x7 = 49. Wytrwaoci liczby n nazywamy liczb iteracji funkcji f po

jakiej otrzymamy liczb jednocyfrow. Na przykad, wytrwao liczby 77 wynosi

4 poniewa f(77) = 49, f(49) = 36, f(36) = 18, f(18) = 8. Cig Sloana jest okrelony

tak, e jego n-tym wyrazem jest najmniejsza liczba naturalna o wytrwaoci n. Do dzi

nie wiadomo czy istnieje choby jeszcze jedna liczba w tym cigu, to znaczy nie

wiadomo, czy istnieje liczba o wytrwaoci 12.

e) Cig Conwaya

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2592, 24547284284866560000000000

Podobnie jak w przypadku cigu Sloana, liczby te okrela operacja na zapisie

cyfrowym zwana pocigiem potgowym (ang. powertrain). Polega ona na

wysuniciu co drugiej cyfry w liczbie tak aby uzyska iloczyn potg. Na przykad,

p(2592) = 25 x 92 = 25 x 81 = 2592. Przyjmujemy przy tym niekonwencjonalnie, e

00 = 1. Liczby wystpujce w cigu Conwaya to jedyne znane liczby naturalne

speniajce rwnanie p(n) = n. Przypuszcza si, e innych liczb o tej wasnoci nie

ma.

f) Cig EKG

1, 2, 4, 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15, 18, 14, 7, 21, 24, 16, 20,...

Definicja tego cigu wykorzystuje pojcie najwikszego wsplnego dzielnika

dwch liczb. Po dwch pierwszych wyrazach ustalonych na 1 i 2, kada nastpna

liczba jest najmniejsz liczb jakiej jeszcze nie ma w cigu i tak, ktra ma

z poprzedni liczb wsplny dzielnik wikszy od 1. Mona wykaza, e kada liczba

naturalna pojawia si prdzej czy pniej w tym cigu. Niedawno udowodniono te

hipotez, e tu przed liczb pierwsz p pojawia si w tym cigu zawsze liczba 2p.



20

2. Powizania z innymi dziedzinami i zastosowania w yciu

codziennym

Teoria Ramseya do dziedzina matematyki teoretycznej, posiadajca jednak

liczne zastosowania, gwnie w informatyce. Istnieje wiele zagadnie

obliczeniowych, w ktrych wykorzystuje si teori Ramseya. Na przykad sortowanie,

kody korygujce, zoono obwodw boolowskich, pojemno Shanonna, obliczenia

kwantowe, itp. S to jednak zagadnienia do zaawansowane, ktrych dokadniejsze

zrozumienie wymaga podstaw wyszej matematyki. Problemy teorii Ramseya bywaj

te czsto wykorzystywane w zadaniach olimpijskich.

3. Literatura

1. Tomasz Bartnicki, Najwiksza liczba na wiecie, Delta, maj 2008.

2. Filip Murlak, Gra HEX i punkty stae, Delta, maj 2006.

3. Sawomir Nowak, Kilka sw o wymiarze, Delta, lipiec 2011.

4. Marcin Pilipczuk, Cig EKG, czyli zaskakujca zabawa z teori liczb, Delta,

maj 2011.

5. Jakub Radoszewski, Jak wyznacza wyrazy cigu EKG?, Delta, maj 2011.

6. Vera Rosta, Ramsey Theory Applications, Electronic Journal of

Combinatorics, http://www.combinatorics.org/Surveys/ds13.pdf

7. Andrzej Ruciski, Teoria Ramseya, (skrypt) http://www.staff.amu.edu.pl/

~rucinski/tra510/wyklady.pdf

8. Neil Sloan, OEIS, http://oeis.org/

9. Neil Sloan, Eight hateful sequences, http://www2.research.att.com/~njas/

doc/g4g8.pdf

(Artykuy z Delty s dostpne na stronie http://www.deltami.edu.pl/ )

http://www.combinatorics.org/Surveys/ds13.pdfhttp://www.staff.amu.edu.pl/%20~rucinski/tra510/wyklady.pdfhttp://www.staff.amu.edu.pl/%20~rucinski/tra510/wyklady.pdfhttp://oeis.org/



21

SZCZCIE, CAKA I NIESKOCZONO

prof. Tadeusz Rzeuchowski

Wykad zawiera elementy wychodzce poza program szkolny, wiczenia

rwnie. Narzdzia, ktrych trzeba uywa pochodz ju z programu szkolnego

i warto podkrela ich rol.

Gwny nacisk pooony jest na prowadzenie rozumowania, dyskutowanie

wasnoci poj, zwracanie uwagi na konieczno precyzyjnego formuowania sdw

i krytycznego mylenia.

Najtrudniejszym pojciem, ktre si pojawia, jest pojcie granicy cigu. Celem

jest doprowadzenie do rozumienia jego istoty oraz umiejtnoci prowadzenia

rozumowania, dyskusji na jego temat. Natomiast nie chodzi o nabycie biegoci

technicznej w znajdowaniu granic, czy prowadzenia operacji na cigach zbienych.

1. Caka na wykadzie zostaa okrelona w sposb opisowy, jako graniczna warto przyblie przy coraz drobniejszych podziaach przedziau cakowania. W tym zadaniu chodzi o bardziej cise wprowadzenia pojcia granicy, na najprostszym przykadzie granicy cigu. Na przykadzie cigu a n = 1/n mona wprowadzi precyzyjne pojcie granicy. a) i. Rysujemy coraz krtsze przedziay o rodku w g , wyrazy cigu

poczwszy od pewnego wskanika wszystkie znajduj si w takim przedziale. Dla cigu a n = 1 /n mona wskaza od ktrego konkretnie wyrazu. Mona wzi kilka przykadowych wartoci liczby i wskaza ten indeks, poczwszy od ktrego wyrazy cigu bd w przedziale. Mona to zadanie rozszerzy i rozway kilka innych cigw.

ii. Przypomnienie czym jest funkcja i jej wykres. Sposb interpretowania cigu jako funkcji, charakter wykresu tej funkcji. Rysowanie pasma o gruboci 2 wok prostej poziomej o rwnaniu y = g , interpretacja zbienoci cigu do liczby g .

b) Warto zacz od zastanowienia si jak wyglda zaprzeczenie warunku

z definicji granicy.

Jeli uczniowie znaj zapis kwantyfikatorowy, to jest to okazja do wiczenie

pisania zaprzeczenia zdania z kwantyfikatorami.

Okazja do zastanowienia si jak wyglda zaprzeczenie rnych zda

zoonych.

c) Przy tumaczeniu na czym polega granica cigu istnieje niebezpieczestwo

mylnej interpretacji, e jeli jaki wyraz cigu znajdzie si w przedziale

o promieniu , to nastpne te ju musz si w nim znajdowa.

Tu warto, eby uczniowie sami wymylili przykad, e tak nie jest. Trudnoci

moe by konieczno oderwania si od mylenia o cigach opisywanych



22

wycznie przy pomocy jakiego jednego wzoru - dla takich cigw na og

ten efekt nie wystpuje.

Zupenie wystarczajce jest, eby ucze rcznie zepsu" jaki porzdny"

cig. Jeli uda si znale opis cigu przy pomocy wzoru lub wzorw, tym

lepiej. Najprostszy przykad, to

d) Tu kryje si puapka i naley wyjani, czy cig, o ktrym mowa jest w ogle

zbieny, czy nie. W zalenoci od tego odpowiedzi bd rne.

Sformuowanie zadania nie zawiera stwierdzenia, e cig jest zbieny, ale

mona odnie wraenie, e taka sugestia jest w nim zawarta.

To jest okazja do pokazania jak wana jest wnikliwa analiza tekstu

i nieuleganie pierwszym wraeniom.

e) To jest okazja do gbszego zrozumienia definicji zbienoci cigu.

Trzeba zacz od analizy tego, co chcemy udowodni, a pniej prbowa

wykorzysta posiadane informacje. Precyzyjne rozrnienie tych dwch

rzeczy jest tu kluczowe.

f) Mechaniczne traktowanie twierdzenia o granicy sumy powoduje, e uczniowie

czsto nie zdaj sobie sprawy z tego, e twierdzenie odwrotne nie jest

prawdziwe.

Najprostszym rozwizaniem problemu jest wzicie dowolnego cigu, ktry

nie jest zbieny (nie trzeba go nawet okrela wzorem, jeli wiemy, e takie

cigi istniej) i cigu o wyrazach przeciwnych.

Prawdopodobnie na pocztku uczniowie bd mozolnie szukali konkretnych

przykadw i tak jest dobrze, ale warto na koniec sprowadzi spraw do

uwagi z poprzedniego zdania.

2. Mona zacz od tego czym zastpi przedzia wok skoczonej liczby -

bdzie to pprosta. Jednak nie dla wszystkich ten sposb bdzie naturalny.

Warto rozway przykad cigu

i przeprowadzi dyskusj czy jest on zbieny do + i dlaczego nie jest.

a) Tu trzeba precyzyjnie zapisa definicj zbienoci do + (z uyciem kwantyfikatorw lub bez) i przedyskutowa jak wyglda zaprzeczenie tego

zdania.

b) Warto przypomnie tu zasady zachowania si nierwnoci przy dzieleniu

obydwch stron przez jaki wyraz. Dobrze jest zwrci uwag, e cho cig



23

jest zbieny do +, to skoczenie wiele jego wyrazw moe jednak by

ujemnych, wic nierwno przy dzieleniu obydwch stron przez wyraz jest

okrelona poczwszy dopiero od pewnego indeksu. Moe si te zdarzy, e

niektre wyrazy s rwne 0 i w ogle nie mona dzieli przez nie.

c) Ucze moe zasugerowa si poprzednimi zadaniami i nie zauway, e

moe by nieskoczenie wiele wyrazw dodatnich w tym cigu

i nieskoczenie wiele ujemnych.

d) Warto rozwin zadanie i uzasadni, e cho dla samego cigu odpowied

jest negatywna, to cig wartoci bezwzgldnych odwrotnoci bdzie zbieny

do +. 3. Warto na pocztku nawiza do sumy cigu geometrycznego i dyskusji co to

waciwie znaczy, e wyraa si ona znanym wzorem - wiadomo e nie umiemy

w arytmetyce dodawa nieskoczenie wielu liczb.

a) Bezporednie wykorzystanie definicji sumy szeregu.

b) Tu warto zwrci uwag, e dodawane skadniki s zbiene do zera. Mona

poszukiwa innych przykadw cigw zbienych do 0 i takich, e szereg ma

sum nieskoczon. Prosty przykad to wzicie dowolnego cigu zbienego

do 0 (o wyrazach dodatnich) i powtarzanie kadego wyrazu tyle razy, eby

suma tych powtrzonych wyrazw bya wiksza od 1. Ten przykad jest

prostszy od szeregu odwrotnoci kolejnych liczb naturalnych, ale oczywicie

szereg harmoniczny (odwrotnoci liczb naturalnych) jest wany jeszcze

z innych wzgldw.

c) Nawizanie do sumy wyrazw cigu geometrycznego.

Zwrci uwag, e granica lewostronna funkcji f w punkcie 1 jest rwna.

To jest okazja, eby wyjani co to znaczy, e funkcja ma granic w punkcie

0, rwnie pojcie granic jednostronnych.

Zwrci uwag na warto uzyskan ze wzoru dla x = -1.

d) Warto zwrci uwag, e rozwizujc w sugerowany sposb ten problem

korzysta si z moliwoci rozbijania wyrazw szeregu na czci i dowolnego

grupowania tych czci. Nie jest to wasno oczywista, dokadne

uzasadnienie tej moliwoci i podanie granic jej stosowalnoci wykracza

poza ramy tych zaj.

4. W tym przykadzie najprociej jest pokaza, e mona dobiera takie

aproksymujce cak sumy z coraz krtszymi przedziaami, na ktre dzieli si

[a, b], e s one zawsze rwne 0 oraz inne, ktre zawsze s rwne

b - a.

Na tej podstawie mona przeprowadzi dyskusj, e caka nie moe istnie.

5. Rozwizujc to zadanie warto przypomnie definicj i podstawowe pojcia

zwizane z funkcjami.

Wasno rnowartociowoci funkcji i suriektywnoci (odwzorowanie na ca

przeciwdziedzin) powinny by przedyskutowane, rne przykady funkcji



24

speniajcych tylko jedn z tych wasnoci (albo adnej).

Warto tu sprbowa pokaza rwnoliczno dwch dowolnych przedziaw,

rwnoliczno otwartego przedziau z ca prost (uywajc funkcji tangens).

6. Na pocztku mona ten problem rozwiza uywajc czenia w pary. Potem

warto doprowadzi do zdefiniowania pojcia zoenia funkcji.

Oddzielnie przeprowadzi dyskusj rnowartociowoci zoenia funkcji

rnowartociowych i suriektywnoci zoenia funkcji suriektywnych.

Nastpnie doprowadzi do zdefiniowania pojcia funkcji odwrotnej i dyskusji

warunkw, jakie funkcja musi spenia, eby istniaa odwrotna.

Wyszuka przykady, w ktrych funkcje skadajce si na zoenie nie speniaj

niektrych wasnoci i przedyskutowa jaki to ma wpyw na zoenie. Na

przykad czy zoenie funkcji, z ktrych jedna nie jest suriektywna moe by

funkcj suriektywn? Podobny problem dla rnowartociowoci. Odrni

w tych przykadach rol funkcji wewntrznej i zewntrznej.

7. Przypomnie co to jest suma mnogociowa dwch zbiorw. Nastpnie

rozszerzy to na skoczon liczb zbiorw.

Przeprowadzi dyskusj jak powinno si definiowa sum cigu zbiorw.

Nastpnie sprbowa (o ile uczestnicy to zaakceptuj) zdefiniowa sum

dowolnej rodziny zbiorw.

Poda przykady na wszystkie te sytuacje.

Przykad na sum rodziny indeksowanej liczbami rzeczywistymi:

Przedstawi graficznie sum mnogociow

W razie zainteresowania uczniw mona podobne rozwaania przeprowadzi

dla czci wsplnej skoczonej, przeliczalnej lub dowolnej rodziny zbiorw.

Suma nieskoczonej rodziny zbiorw niepustych moe zawiera skoczenie

wiele elementw - o ile te zbiory zawieraj elementy ze wsplnego,

skoczonego zbioru. Tu trzeba poda kilka konkretnych przykadw, choby

nieskoczenie wiele zbiorw jednopunktowych, a ten punkt jest wsplny.

8. Na pocztku warto powrci do pojcia rwnolicznoci zbiorw, do obrazowego

pokazania, e dwa odcinki dowolnej dugoci zawieraj tyle samo punktw.

Rwnoliczno kwadratu i boku jest ju wasnoci zaskakujc.

Rwnoliczno szecianu i krawdzi te, ale znajc przypadek kwadratu atwiej

w to uwierzy. Dowd jest bardzo podobny, trzeba tylko z rozwinicia



25

dziesitnego liczby na odcinku [0,1] bra co trzeci cyfr i w analogiczny

sposb utworzy trzy liczby, ktre bd wsprzdnymi punktu w szecianie.

Przeprowadzi dyskusj dlaczego w ten sposb utworzone odwzorowanie jest

wzajemnie jednoznaczne.



26

LICZBY WOK NAS

dr Barbara Roszkowska-Lech

Streszczenie wykadu

Celem wykadu byo zainteresowanie uczniw teori liczb jako dziedzin majc

rozliczne intrygujce zastosowania, a z drugiej strony dziedzin w ktrej mamy wiele

otwartych problemw. W nauczaniu szkolnym uczniowie czsto mog odnie

wraenie, ze w matematyce wszystko zostao ju dawno zrobione i nie ma tu

otwartych, fascynujcych problemw. Teoria liczb charakteryzuje si tym, e

stosunkowo atwo moemy sformuowa w sposb zrozumiay dla ucznia takie

otwarte problemy. W trakcie wykadu niektre takie problemy zostay sformuowane.

Poprzez wieki pojcie liczby rozwijao si stopniowo w zwizku z liczeniem

i mierzeniem, fascynujc i zadziwiajc nie tylko matematykw.

Wykad rozpoczyna si od krtkich rozwaa na temat filozoficznych pogldw

szkoy pitagorejskiej liczby rzdz wiatem. Pominito cis (aksjomatyczn)

definicj liczby naturalnej opierajc si na intuicji.

Podstawowy przykad liczb sucych do opisu zjawisk przyrodniczych to liczby

Fibonacciego. Na wykadzie omawiamy klasyczny przykad zastosowania tych liczb

do idealistycznego modelowania populacji krlikw oraz kilka zastosowa

przyrodniczych. Temat ten zosta w trakcie wykadu przedstawiony bardzo skrtowo.

Niektre wasnoci liczb Fibonacciego proponuj uczniom w zadaniach.

Nastpnie przypomniane s znane z programu szkolnego: relacja podzielnoci

w zbiorze liczb cakowitych oraz twierdzenie o dzieleniu z reszt. Twierdzenie

o dzieleniu z reszt udowodnione jest graficznie na osi liczbowej.

Kolejny temat to liczby pierwsze i podstawowe twierdzenie arytmetyki

o rozkadzie liczb cakowitych na iloczyn liczb pierwszych. Liczbom pierwszym, ktre

porwna moemy do atomw z ktrych zbudowane s czsteczki powicona jest

spora cze wykadu. Mottem, czci powiconej liczbom pierwszym jest wiersz

Helen Spalding (cytowany za Martin Gardner, Ostatnie Rozrywki, wyd. Prszyski

i s-ka). Omawiamy nastpujce zagadnienia zwizane z liczbami pierwszymi:

nieskoczono zbioru liczb pierwszych, algorytmy badajce czy liczba jest

pierwsza, fascynujce zagadnienie rozmieszczenia liczb pierwszych na osi liczbowej.

Nieskoczono zbioru liczb pierwszych zostaje przywoana trzykrotnie:

przedstawiamy klasyczny dowd Euklidesa, twierdzenie o rozbienoci szeregu

odwrotnoci liczb pierwszych w kontekcie nieskoczonego sumowania oraz dowd

oparty na wzajemnej pierwszoci liczb Fermata.

Sporo czasu w czasie wykadu powiecono problemowi rozmieszczenia liczb

pierwszych (twierdzenie Gaussa). Na wykadzie pokazano dowolnie dugi cig



27

kolejnych liczb zoonych.

Kolejnym omawianym zagadnieniem s liczby pierwsze w cigach

arytmetycznych. (twierdzenie Dirrichleta i twierdzenie Greena - Tao)

Omawiane s ciekawe cigi liczb cakowitych (cigi Mersenna i Fermata)

w kontekcie badania pierwszoci i poszukiwania formuy na liczby pierwsze.

Na koniec formuujemy kilka otwartych problemw z teorii liczb.

Wykad zakoczyo zastosowanie kryptograficzne duych liczb pierwszych:

elektroniczna koperta

Komentarze i uzupenienia materiau z wykadu

1. Wtek liczb Fibonacciego warto rozwin w kontekcie zwizkw z przyrod,

fizyk, sztuk.... Wicej miejsca warto powici zotej liczbie i rnym

zastosowaniom cigu Fibonacciego. Mona uczniom zaproponowa projekt

zwizany z poszukiwaniem liczb Fibonacciego w przyrodzie i sztuce.

W zadaniach dla uczniw mona znale zadania zwizane z tym tematem

(http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/).

2. Warto zwrci uwag uczniw na to, e w twierdzeniu o dzieleniu z reszt

moemy dopuci ujemn reszt, ale wtedy iloraz i reszta nie s

jednoznacznie wyznaczone. Takie przedstawienie reszty bywa jednak bardzo

korzystne w zastosowaniach, szczeglnie gdy mamy do czynienia z duymi

liczbami. Dla uproszczenia oblicze warto mwi o reszcie najmniejszej co do

wartoci bezwzgldnej.

3. Temat dotyczcy podzielnoci mona rozszerzy omawiajc cechy

podzielnoci (zad 9 w materiaach dla ucznia). Relacj podzielnoci warto

rozwin na warsztatach mwic o najwikszym wsplnym dzielniku NWD

dwch liczb naturalnych oraz o algorytmie Euklidesa znajdowania tego

najwikszego wsplnego podzielnika. Na wykadzie zabrako na to czasu.

4. Na wykadzie, rwnie z braku czasu, pominito relacj kongruencji. Warto j

zdefiniowa i udowodni wasnoci. Ze wzgldu na zastosowania

kryptograficzne wane jest Mae twierdzenie Fermata.

5. Zwracam uwag na to, e Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki o rozkadzie

liczby na iloczyn liczb pierwszych nie mwi jak taki rozkad uzyska. Problem

rozkadu jest trudny. (Mnoenie jest atwiejsze ni dzielnie) Zagadnienie

trudnoci rozkadu na iloczyn liczb pierwszych trzeba podkreli w kontekcie

zastosowa kryptograficznych.

6. Omawiajc wzr redukcyjny

xn yn = (x-y)(xn-1 +xn-2y + +xyn-2 +yn-1)

warto zastosowa go do udowodnienia, e jeli liczba 2n -1 jest pierwsza to n

musi by liczba pierwsz ( jeli n=kl, to podstawiajc w powyszym wzorze

x= 2k, y=1 a n =l otrzymujemy rozkad naszej liczby). Liczby postaci 2p -1, to

omawiane na wykadzie liczby Mersenna.



28

7. Proponuje zaproponowa uczniom zabaw w szyfrowanie. Wczeniej trzeba

wprowadzi kongruencje:

a wtedy i tylko wtedy gdy n dzieli a-b.

Uywamy alfabetu aciskiego (26 liter). Kadej literze przyporzdkowujemy

liczb {0,1, 25} i wszystkie rachunki wykonujemy modulo 26. Oczywicie

moemy alfabet rozszerzy o polskie litery i znaki przystankowe. Wiadomo

szyfrowana M (element zbioru {0,1, 25}), funkcja szyfrujca E, funkcja

deszyfrujca D. (Zoenie DE musi by identycznoci).

Kryptosystem Cezara z kluczem k, 0



29

KRZYWIZNA NA PASZCZYNIE I W PRZESTRZENI

dr Mariusz Zajc

Wykad przedstawia podstawowe fakty zwizane z krzywizn krzywych paskich

i przestrzennych oraz miarami krzywizny powierzchni w przestrzeni trj-wymiarowej.

Krzywizna

Krzywizna k jest odwrotnoci promienia krzywizny R i moe by

zdefiniowana trojako.

1. Definicja geometryczna: rozwamy krzyw (pask lub przestrzenn) i do-

wolne trzy punkty na niej lece: A, B i O. Na og punkty te nie le na

jednej prostej, wic mona przez nie przeprowadzi dokadnie jeden okrg.

Jeli teraz ustalimy punkt O , a punkty A i B bd si do niego zblia, to

w granicy A,B O zarwno wsprzdne rodka okrgu opisanego na

trjkcie ABO, jak i jego promie bd zwykle dy do pewnych wartoci,

zwanych wsprzdnymi rodka krzywizny i promieniem krzywizny,

a okrg o tym rodku i promieniu nazywany jest okrgiem krzywiznowym.

Na przykad dla paraboli y = x2 i punktu O = (0, 0) rodkiem krzywizny jest

punkt (0,1/2), a promie krzywizny wynosi 1/2.



30

Precyzyjne sformuowanie tej definicji i wyprowadzenie oglnych wzorw

pozostaje poza zakresem niniejszego wykadu, mona jednak doda, e

krzywizna krzywej zadanej we wsprzdnych kartezjaskich jako

(t) = (x(t) , y(t)) wyraa si rwnoci

2. Definicja kinematyczna: jeli ciao porusza si po krzywej, to kierunek ruchu (a

wic kierunek stycznej do tej krzywej) zmienia si.

redni krzywizn uku AB jest stosunek kta do dugoci tego uku

a krzywizn chwilow odpowiednia pochodna



31

3. Definicja dynamiczna: aby ciao poruszao si po okrgu o promieniu R (a wic

krzywinie 1/R), ze sta co do wartoci prdkoci v, musi na nie dziaa

przyspieszenie dorodkowe

gdzie a i v to odpowiednio chwilowe przyspieszenie i prdko, a wic wielkoci

dajce si zmierzy fizycznie.

Mona wic okreli krzywizn (chwilow) oglnej krzywej wzorem

Powierzchnie o dodatniej i ujemnej krzywinie

Jeli umiecimy powierzchni tak, by jej paszczyzna styczna w ustalonym

punkcie O bya pozioma, to mamy dwie podstawowe moliwoci:

1. Wszystkie przekroje powierzchni pionowymi paszczyznami przechodzcymi

przez O s zakrzywione w t sam stron, np. w d:

wtedy mwimy, e krzywizna powierzchni jest dodatnia.

2. Niektre z owych przekrojw s zakrzywione w d, a inne w gr:

- to przykad powierzchni o ujemnej krzywinie.



32

Aby okreli to pojcie bardziej precyzyjnie, naley wprowadzi zorientowan

krzywizn krzywej paskiej, umawiajc si przykadowo, e krzywa wypuka (mwic

potocznie - wygita do gry) ma krzywizn dodatni, a wklsa - ujemn. Wtedy

wrd wszystkich liczb wyraajcych zorientowane krzywizny przekrojw powierzchni

paszczyznami prostopadymi do paszczyzny stycznej mona wyrni najmniejsz

kmin i najwiksz kmax.

Krzywizn Gaussa nazywamy liczb

W przypadku 1. kmin i kmax maj ten sam znak, wic K > 0, za w przypadku 2.

znaki kmin i kmax s przeciwne, wic K < 0. Porednie stanowisko zajmuj

powierzchnie, dla ktrych K = 0, np. powierzchnie boczne walca i stoka.

Geodezyjne

Geodezyjna to (przynajmniej w pewnym otoczeniu okrelonego punktu

powierzchni) najkrtsza krzywa czca lece na niej punkty. Na przykad na kuli

ziemskiej poudniki s geodezyjnymi, a rwnoleniki (oprcz rwnika) nie:

Widzimy, e najkrtsza droga czca punkty lece na tym samym rwno-

leniku jest nieco wygita w stron bieguna (o czym mona si te przekona

dowiadczalnie przy uyciu globusa i nici).

Defekt

Poniewa geodezyjne na powierzchniach s na og zakrzywione, to nie ma

powodu przypuszcza, e suma ktw wewntrznych w utworzonym przez nie

trjkcie musi wynosi 180. Istotnie, gdy zdefiniuje si defekt trjkta ABC jako

d =



33

to nietrudno dostrzec, e im wikszy taki trjkt geodezyjny, tym bardziej jego ksztat

odbiega od paskiego trjkta, a wic i jego defekt moe by wikszy. Oto przykad

geodezyjnego trjkta sferycznego o trzech ktach prostych:

Przytoczmy bez dowodu kilka wasnoci defektu.

1. Dla powierzchni o staej krzywinie (np. sfery) defekt trjkta jest wprost

proporcjonalny do jego pola.

2. Na powierzchniach o ujemnej krzywinie Gaussa (np. przedstawiana wyej

powierzchnia przypominajca siodo) defekt jest rwnie ujemny, tzn. suma

ktw trjkta krzywoliniowego jest mniejsza od 180.

3. Na powierzchniach o zerowej krzywinie Gaussa (np. boczna powierzchnia

walca lub stoka) defekt rwna si zeru, a wic suma ktw kadego trjkta

geodezyjnego rwna si 180 mimo jego zakrzywienia. Przyczyna tego faktu

jest prosta: boczn powierzchni walca lub stoka, jak wiadomo, mona

rozprostowa, uzyskujc paski arkusz. Wtedy geodezyjne stan si

odcinkami prostych, a trjkt geodezyjny - zwykym paskim trjktem.

Theorema egregium Gaussa

Powyszy punkt 3. stanowi przykad o wiele oglniejszego zjawiska. C.F. Gauss

udowodni, e jedn powierzchni mona przeksztaci w drug bez rozcigania

i ciskania tylko wtedy, gdy maj one t sam miar krzywizny, zwan dzi krzywizn

Gaussa.

Co za tym idzie adna paska mapa (K = 0) nie moe bez znieksztace

przedstawia zakrzywionej powierzchni kuli ziemskiej (K > 0). Oczywicie dla niezbyt

wielkich obszarw (np. terytorium Polski) znieksztacenia te s nieistotne

w codziennych zastosowaniach, ale by poprawnie odpowiedzie na pytanie w jakim

kierunku naley wylecie z Warszawy do Nowego Jorku lub Pekinu, by dotrze tam

moliwie najszybciej", znacznie lepiej spojrze na globus ni na map (odpowied:

w kierunku odpowiednio pnocno-zachodnim i pnocno- wschodnim, cho oba te



34

miasta le znacznie bliej rwnika, a wic pozornie bardziej na poudnie, ni

Warszawa).

Przegld zastosowa

Mechanika - jak pokazano wyej, krzywizna jest zwizana zarwno ze

zjawiskami kinematycznymi (zmiana kierunku ruchu, jeli nie odbywa si on po linii

prostej), jak i dynamicznymi (siy, ktre powoduj zakrzywianie trajektorii ciaa oraz

siy bezwadnoci).

Optyka - soczewki scharakteryzowane s przez ogniskow, ktrej odwrotnoci

jest wyraana w dioptriach zdolno skupiajca (lub rozpraszajca). Przy ustalonym

wspczynniku zaamania szka zdolno ta jest proporcjonalna do sumy krzywizn

obu powierzchni soczewki.

Elektrodynamika - dziaajc polem elektrycznym lub magnetycznym na

naadowan czstk moemy nie tylko przyspieszy j lub spowolni, ale take

zakrzywi jej tor i skierowa w podanym kierunku. Na tej zasadzie dziaaj np.

wychodzce powoli z uycia w telewizorach lampy kineskopowe, a z wikszych

urzdze - akceleratory.

Teoria wzgldnoci - odczuwajc podczas jazdy wagonem kolejowym bez okien

si bezwadnoci nie moemy by pewni, czy pocig skrca (zakrzywienie toru

w przestrzeni), przyspiesza lub hamuje (wykres x(t) ruchu jednostajnego jest lini

prost, a zmiana wartoci prdkoci powoduje jego zakrzywienie), czy te (wariant

na szczcie mao realistyczny) do Ziemi zbliyo si nieoczekiwanie jakie ciao

niebieskie, ktre dziaa na nas swoj grawitacj. Geniusz Einsteina pozwoli poczy

te zjawiska i wyjani grawitacj przez stwierdzenie, e kade ciao (a w istocie

kada forma energii) zaburza geometri czasoprzestrzeni w ten sposb, e linie

geodezyjne przestaj by proste, a co za tym idzie ciaa przyspieszaj, zwalniaj

i skrcaj w polu grawitacyjnym - jabka spadaj na Ziemi, planety obiegaj Soce

itd. Zakrzywieniu w polu grawitacyjnym masywnych obiektw kosmicznych podlegaj

take promienie wietlne, co z powodu saboci tego efektu jedynie z wielkim trudem

da si zaobserwowa w Ukadzie Sonecznym, ale przy badaniu odlegych galaktyk

zaobserwowano obiekty silnie zakrzywiajce wiato i dajce efekt tzw.

soczewkowania grawitacyjnego.

Doda naley, e teoria grawitacji Newtona, z ktrej wynika, e takie ciaa, jak

planety, komety lub satelity, poruszaj si po krzywych stokowych (elipsach,

parabolach i hiperbolach), rwnie pozwala obliczy ktowe odchylenie toru ciaa

poruszajcego si z okrelon prdkoci (np. 300000 km/s) w pobliu Soca.

Przewidywania teorii Newtona i Einsteina co do wielkoci owego odchylenia rni

si jednak - kt wynikajcy z teorii wzgldnoci jest dwukrotnie wikszy. Jednym

z pierwszych powanych potwierdze teorii Einsteina byy pomiary dokonane

podczas zamienia Soca w 1919 r. - okazao si, e dowiadczenie potwierdza

przewidywania Einsteina, a nie Newtona.



35

Geografia i geodezja - niemoliwo precyzyjnego oddania powierzchni kuli na

paszczynie spowodowaa opracowanie rnego rodzaju odwzorowa stosowanych

przy sporzdzaniu map. Jedne z nich zachowuj kty pomidzy liniami, inne stosunki

pl, w jeszcze innych geodezyjne s liniami prostymi na mapie. Aby poda przykad

odwzorowania kartograficznego o tej ostatniej wasnoci wyobramy sobie

przezroczysty globus, w ktrego rodku znajduje si arwka. Powstajce na paskiej

cianie cienie utworz map obszaru nieco mniejszego ni poowa powierzchnia kuli

ziemskiej.



36

KOLOROWANIE JAKO NARZDZIE UNIKANIA KONFILKTW

dr Konstanty Junosza Szaniawski

Celem wykadu jest przedstawienie zastosowania teorii grafw do modelowania

praktycznych problemw, W szczeglnoci wykad opisuje jak wykorzysta

kolorowanie grafu do unikania sytuacji konfliktowych. Pierwsza cz wykadu

dotyczy jednego z najsawniejszych problemw matematyki - Problemu czterech

kolorw - czyli na odpowiedzi na pytanie czy kad map polityczn mona

pokolorowa przy uyciu co najwyej czterech kolorw. Na przykadzie tego

problemu przedstawione jest pojcie grafu i kolorowania jego wierzchokw, pojcie

grafw planarnych i ich wasnoci, W drugiej czci przedstawiony zosta problem

maeski Halla - czyli problem skojarzenia maestw tak, aby kada panna wysza

za kawalera, ktrego lubi. Na przykadzie tego problemu przedstawione jest

zagadnienie skojarzenia w grafie oraz kolorowania krawdzi grafu wraz

z zastosowaniem do rozwizywania sudoku.

Zastosowania

Przy pomocy teorii grafw mona modelowa bardzo wiele zjawisk, poniewa

grafy w naturalny sposb opisuj relacje midzy elementami zbioru.

Jeli krawdzi poczymy elementy, ktre s ze sob w konflikcie to kolo-

rowanie grafu odpowiada podziaowi danego zbioru na podzbiory bez konfliktw,

Przykadem takiego konfliktu mog by niepodane reakcje chemiczne. Jak

wiadomo niektre substancje chemiczne nie powinny by magazynowane razem,

poniewa mog ze sob reagowa w nieodpowiedni sposb. Zbudujmy graf,

w ktrym wierzchoki bd odpowiada poszczeglnym substancjom chemicznym,

a krawdzie niech pocz te substancje, ktre nie mog by przechowywane razem.

Kolorowanie takiego grafu to nic innego jak przypisane substancjom numerw

(kolorw) w taki sposb, aby adne dwie, ktre nie mog by razem, nie otrzymay

tego samego koloru. To oznacza, e substancje, ktrym przypisano ten sam kolor,

mog by skadowane w jednym magazynie

Oczywicie staramy si zminimalizowa liczb magazynw. Najmniejsz liczb

magazynw potrzebn do przechowywania rozwaanych substancji okrela liczba

chromatyczna skonstruowanego grafu. Innym zbiorem, przy ktrym mona

zastosowa t metod, s zakcajce si stacje radiowe. Radiostacje, ktre s

w swoim zasigu nie mog nadawa jednoczenie, bo wtedy nie obior wiadomoci

od siebie nawzajem. Rwnie radiostacje, ktre nie s w swoim bezporednim

zasigu, ale maj wsplnego ssiada, tzn. radiostacj we wsplnym zasigu, nie



37

mog nadawa jednoczenie poniewa bd si nawzajem zagusza i ta trzecia

stacja nie odbierze waciwego sygnau od adnej z nadajcych stacji. Stacje

radiowe moemy reprezentowa jako punkty na paszczynie. Niech punkty

reprezentujce radiostacje na paszczynie bd wierzchokami grafu. Dwa

wierzchoki bd poczone krawdzi, jeli odpowiadajce im radiostacje s we

nawzajem w swoich zasigach lub istnieje trzecia radiostacja bdca w ich wsplnym

zasigu. Liczba chromatyczna takiego grafu oznacza najmniejsz liczb potrzebnych

czstotliwoci, aby transmisja nastpowaa bez wzajemnych zakce.

Ustawienie elementw zadanego zbioru w pary odpowiada z kolei skojarzeniu

w grafie. Mona je wykorzysta do przydziau kawalerw pannom, ale rwnie prac

pracownikom, zada procesorom itp. Innym zagadnieniem jest kolorowanie krawdzi

grafu - pomocne gdy do wykonania zada potrzebujemy dwch elementw np.,

pracownika i narzdzie, procesor i zasb pamici.

Streszczenie wykadu

Cz I - Problem czterech kolorw.

Wprowadzenie i rys historyczny problemu czterech kolorw.

Przetumaczenie problemu na jzyk teorii grafw, wprowadzenie poj grafu,

kolorowania wierzchokw grafu, liczby chromatycznej, grafu planarnego.

Zastosowania kolorowania grafw.

Formua Eulera, czyli zaleno midzy liczb wierzchokw, krawdzi i cian

w grafie planarnym.

Wyprowadzenie z Formuy Eulera ograniczenia na liczb krawdzi oraz

minimalny stopie grafu planarnego.

Przedstawienie algorytmu zachannego do kolorowania grafu oraz faktu, e

dziki ograniczeniu na minimalny stopie, mona zagwarantowa uycie

maksymalnie szeciu kolorw.

Twierdzenie o piciu kolorach wraz z idei dowodu.

Cz II - Problem maeski Halla.

Przedstawienie problemu maeskiego.

Algorytm przydzielajcy maestwa oparty "na przyjciu" przedstawienie

dziaania na przykadzie.

Wyjanienie zwizku warunku wystarczajcego Halla z warunkiem

zakoczenia pracy algorytmu.

Zastosowania skojarze w grafach.

Zastosowanie twierdzenia Halla dla grafw regularnych.

Zwizek kwadratw aciskich z problemem maeskim.

Problem kolorowania krawdzi grafw.

Definicja indeksu chromatycznego i jego zwizek z maksymalnym stopniem.



38

Zastosowania kolorowania krawdzi grafu.

Kolorowanie grafw penych.

Kolorowanie grafw regularnych.

Kolorowanie krawdzi grafu z dodatkowym warunkiem: rnica liczb krawdzi

w poszczeglnych kolorach moe wynosi co najwyej jeden.

Sowniczek

Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie: V - skoczony zbir, E zbir

dwuelementowych podzbiorw V.

Kolorowaniem grafu nazywamy funkcj c: V N tak, e dla kadej krawdzi

{x, y} zachodzi c(x) c(y).

Najmniejsz liczb kolorw potrzebn do pokolorowania grafu nazywamy liczb

chromatyczn grafu i oznaczamy (G).

Graf peny to graf, ktrego kade dwa wierzchoki s poczone krawdzi, graf

peny o n wierzchokach oznaczamy przez Kn.

ciek nazywamy graf

({v1, v2, . . . vk}, {v1v2, v2v3, . . . , vk1vk}), a cyklem

({v1, v2, . . . vk}, {v1v2, v2v3, . . . , vk1vk, vkv1}).

Mwimy, e graf jest spjny jeli dla kadej pary jego wierzchokw istnieje cieka czca te wierzchoki.

Stopniem wierzchoka v w grafie nazywamy liczb krawdzi, ktre zawieraj

dany wierzchoek (oznaczenie deg v). Najwikszy stopie w grafie G oznaczmy

przez (G), a najmniejszy przez (G). Graf nazywamy regularnym, jeli wszystkie

jego wierzchoki maj rwne stopnie.

Graf planarny to taki, ktry mona narysowa tak, aby krawdzie nie przecinay

si poza wierzchokami.

cian grafu planarnego nazywamy obszar ograniczony przez cykl, nie

zawierajcy adnej krawdzi. Obszar na zewntrz grafu nazywamy cian

zewntrzn.

Grafem dwudzielnym nazywamy graf, ktrego zbir wierzchokw mona

podzieli na dwa podzbiory takie, e kada krawd w grafie ma dokadnie po

jednym kocu w kadym z tych podzbiorw.

Skojarzeniem w grafie nazywamy zbir rozcznych krawdzi. Skojarzeniem

doskonaym w grafie nazywamy takie skojarzenie, e kady wierzchoek grafu jest

kocem pewnej krawdzi ze skojarzenia.

Kolorowaniem krawdzi grafu G = (V, E) nazywamy funkcj c: E N

tak, e kade dwie krawdzie o wsplnym kocu maj rne kolory, czyli

Najmniejsz liczb kolorw potrzebn do pokolorowania krawdzi grafu

nazywamy indeksem chromatycznym i oznaczamy przez '(G).



39

INWERSJA NA PASZCZYZNIE

Andrzej Fryszkowski

Wydzia Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska

Zacznijmy od nastpujcego problemu postawionego przez Steinera:

Problem Steinera: Dane s dwa okrgi rozczne. W piercie pomidzy dane

okrgi wpisujemy okrgi do nich styczne. Czy jeli zdarzy si cho raz, ze okrgi

wpisane zamkn si stycznie, to taka sytuacja bdzie zachodzi zawsze?

rysunek 1

Dlaczego problem jest wany? W chemii i fizyce, gdzie badamy struktur

substancji dwa okrgi rozczne reprezentuj np. dwa elektrony, czy dwie czsteczki.

Pomidzy nie chcemy zmieci moliwie wiele innych czsteczek. Powstaje pytanie,

czy jeli uda si upakowa cile cho raz to da si to zrobi zawsze (czyli, e

operacja jest powtarzalna). Pozytywna odpowiedz oznacza, ze opracowana przez

nas technologia bd reakcja, bd zachodzi zawsze. A wiec struktura otrzymanej

substancji, bdzie miaa taka wasno, jak chcielimy osign.

Odpowiedz w problemie Steinera jest pozytywna, cho do cisego wykazania

tego potrzebny jest odpowiedni (w miar elementarny) aparat. Zanim go omwimy

rozpatrzmy szczeglny przypadek, gdy okrgi s wsprodkowe

rysunek 2



40

Zauwamy, ze jeli da siej wpisa wypeni taki piercie okrgami stycznymi

raz, to da si to zrobi zawsze (patrz rysunek 1), bo kada inna sytuacja to obrt tej

wyrnionej wok wsplnego rodka.

Okazuje si, e oglnie postawiony problem Steinera mona sprowadzi do tej

szczeglnej sytuacji, tzn. do takiej, ze okrgi s wsprodkowe. Co to znaczy

sprowadzi? Tzn. istnieje takie przeksztacenie paszczyzny w siebie, ktre dane dwa

okrgi rozczne przeksztaca na dwa okrgi wsprodkowe. Powinnimy te umie

si cofn od nowej sytuacji do pierwotnej, zachowujc jednoczenie uzyskane,

bd podane efekty.

Co jest takim przeksztaceniem? Nazywa si ono inwersja i zostao odkryte

przez Ludwiga Immanuela Magnusa w 1831.

Definicja: Dany jest okrg O(S, r). Inwersja paszczyzny wzgldem tego okrgu

nazywamy przeksztacenie, ktre kademu punktowi A S przyporzdkowuje taki

punkt A' lecy na prostej lSA, e

Okrg O (S, r) nazywa si okrgiem inwersyjnym, S - rodkiem inwersji,

a punkt A' - obrazem inwersyjnym punktu A

Punkt A' jest wyznaczony zawsze jednoznacznie. Zauwamy tez, ze zachodzi

wana zaleno

Ponadto mamy nastpujce wasnoci:

a) jeli |SA| < r to |SA'| > r, czyli punkty wewntrz okrgu inwersyjnego

przechodz na zewntrze, a punkty zewntrzne na wewntrzne;

b) jeli |SA| = r to |SA'| = r, czyli kady punkt okrgu inwersyjnego przechodzi

na siebie.

Uwaga: Punktowi S nie jest przyporzdkowany aden punkt paszczyzny.

W bardziej zaawansowanej teorii wygodnie jest przyporzdkowa punktowi S.

Wtedy prosta rozumie si jako okrg o promieniu .

Konstrukcja obrazw inwersyjnych przy pomocy cyrkla i linijki

Omwimy teraz konstrukcyjne znajdowanie obrazw inwersyjnych punktw

i zbiorw. Bdziemy wykorzystywa nastpujc wasno trjkta prostoktnego

ABC z ktem prostym C i wysokoci CH:

|AH| |AB| = |CA|2

Wynika ona z podobiestwa trjktw AHC oraz ACB.

a) punkt A ley na zewntrz okrgu O(S; r). Rysujemy okrg o rednicy |SA|.

Przecina on okrg inwersyjny O(S; r) w punktach B i B: Prosta czca te punkty



41

przecina pprost lSA w punkcie A. Jest to obraz inwersyjny punktu A, gdy z uwagi

na (1) mamy

|SA| |SA | = |SB|2 = r2.

b) punkt A ley we wntrzu okrgu O(S, r). Prosta przechodzca przez punkt

A i prostopada do lSA przecina okrg O(S, r) w punktach B i B'. Styczna do okrgu

O(S, r) w punkcie B przecina pprosta lSA w punkcie A', ktry jest szukanym

obrazem inwersyjnym.

Obrazy inwersyjne mona rwnie konstruowa tylko samym cyrklem, ale jest

to moliwe, tylko gdy

Robimy to w dwch krokach.

1) Rysujemy okrg o rodku w punkcie A i promieniu |SA| . Przecina on okrg

O(S, r) w dwch punktach, jednym z nich jest B.

2) Rysujemy okrg o rodku w punkcie B i promieniu r. Przecina on pprost

lSA w punkcie A'. Jest to obraz inwersyjny punktu A, gdy trjkty

rwnoramienne SAB i SBA' s podobne (maj te same kty). Zatem

Std

|SA| |SA | = |SB| |BA | = r2

Obrazy inwersyjne prostych i okrgw

Zbadamy teraz obrazy inwersyjne prostych i okrgw wzgldem ustalonego

okrgu O (S, r). Oprzemy sie na nastpujcej obserwacji:

Twierdzenie 1: Niech A' i B' bd obrazami inwersyjnymi, odpowiednio,

punktw A i B wzgldem okrgu O(S, r). Wtedy ASB i B'SA' s podobne.

Dowd: Zauwamy, ze kt ASB = kt B'SA', jako kt wsplny. Ponadto,

z definicji inwersji, mamy |SA| |SA | = r2 = |SB| |SB |. Std

co daje dane podobiestwo.

I. Obrazem inwersyjnym prostej l, nie zawierajcym punktu S, jest okrg

przechodzcy przez S, bez punktu S, przy czym prosta zawierajca rednic jest

prostopada do l.

Aby to uzasadni naley rozpatrzy rne pooenia prostej l wzgldem okrgu

O (S, r).

1) Prosta l jest rozczna z okrgiem O (S, r).



42

Niech prosta k prostopada do l i przechodzca przez S przecina l w punkcie A.

Oznaczmy przez A' obraz inwersyjny punktu A (A' ley wewntrz koa). Wtedy

obrazem inwersyjnym prostej l jest okrg O o rednicy SA'. Wemy dowolny

punkt P l i niech P' bdzie punktem przecicia prostej lSP z okrgiem O.

Wtedy trjkty prostoktne ASP i P'SA' s podobne (maja wsplny kt).

Zatem z Twierdzenia 1 wynika, i obrazem inwersyjnym punktu P jest punkt P'.

2) Prosta l jest styczna do okrgu O(S, r) w punkcie A.

Niech prosta k prostopada do l i przechodzca przez S przecina l w punkcie A.

Wtedy A' = A. Niech O bdzie okrgiem o rednicy SA'. Wtedy trjkty

prostoktne ASP i P'SA s podobne (maj wsplny kt). Zatem

z Twierdzenia 1 wynika, i obrazem inwersyjnym punktu P jest punkt P'.

3) Prosta l przecina okrg O(S, r) w dwch punktach. Niech k bdzie

prosta prostopada do l i przechodzca przez S, za A punktem przecicia k i l.

Wtedy A lecym wewntrz okrgu, a jego obraz inwersyjny A' na zewntrz.

Rozwamy okrg O o rednicy SA'. Niech P l i P' bdzie punktem przecicia

prostej lSP z okrgiem O. Obrazem inwersyjnym prostej l jest okrg O o rednicy

SA'. Uzasadnienie jest podobne jak w przypadku 1.

II. Obrazem inwersyjnym okrgu O przechodzcego przez S, nie zawierajcym

punktu S jest prosta l prostopada do rednicy okrgu O.

Poniewa dowolny punkt P l przechodzi na punkt P' O, to obrazem

inwersyjnym punktu P' jest punkt P.

III. Obrazem inwersyjnym (wzgldem okrgu O(S, r)) okrgu O nie

zawierajcego S jest okrg O' nie zawierajcy punktu S.

Uzasadnienie opiera si na pojciu (wprowadzonym przez Steinera) potgi

punktu S wzgldem okrgu O (A, R). Zakadamy, ze pojcie to i jego wasnoci s

znane uczniom.

Krtkie przypomnienie: Niech prosta l przechodzca przez S przecina okrg

O = O (A, R) w punktach P i Q. Wtedy z twierdzenia Euklidesa wynika, ze iloczyn

|PS| |SQ| nie zaley od wyboru prostej i rwna si |ST|2, gdzie T jest punktem

stycznoci prostej stycznej do okrgu. Potg punktu S wzgldem okrgu O

nazywamy liczb

Przechodzc do zbadania obrazu inwersyjnego okrgu O = O (A, R)

rozpatrzymy tylko sytuacj , gdy rodek inwersji S ley na zewntrz O (w przypadku,

gdy S ley wewntrz lub na okrgu rozumuje si analogicznie). Rozwamy

jednokadno o rodku S i skali r2/p, gdzie p jest potg punktu S wzgldem

okrgu O. Wtedy obrazem okrgu O jest okrg O' = O (A', R'). Ustalmy punkt



43

P O (A, R). Prosta lSP przecina okrg O w punktach P i Q, a okrg O' w punktach

Q' i P', gdzie PA || Q'A' (tzn. ASP przechodzi na A'SQ', a ASQ na A'SP').

Wtedy mamy

W takim razie

A wic P' jest obrazem inwersyjnym punktu P, a Q' obrazem Q. W takim razie

obrazem inwersyjnym okrgu O (A, R) jest okrg O (A', R').

Rozwizanie problemu Steinera

Przejdziemy teraz do rozwizania problemu Steinera. Udowodnimy najpierw

Twierdzenie 2: Kade dwa rozczne okrgi mona przeksztaci inwersyjnie na

okrgi wsprodkowe.

Dowd

Oznaczmy dane okrgi rozczne przez O1 = O(S1, R1) i O2 = O(S2, R2). Niech C

bdzie takim punktem na prostej lS1S2, ktry ma t sam potg wzgldem O1 i O2.

Taki punkt musi istnie. Niech bowiem A i B bd punktami stycznoci prostych

przechodzcych przez dowolny, ale ustalony punkt C lS1S2 i stycznych,

odpowiednio, do O2 i O1. Wtedy potgi punktu C wzgldem O2 i O1 wynosz ,

odpowiednio,

Gdy C zblia sie do S1 to p1 dy do 0. Podobnie, gdy C zblia sie do S2 to P2

dy do 0. Musi wiec istnie taki punkt C, ze p1 = p2 = p. W takim razie

Rozwamy teraz okrg O3 = O (C, p) o rodku C i promieniu p. Przecina on

prost ls1s2 w dwch punktach. Oznaczmy przez S ten z nich, ktry ley wewntrz O2.

Rozwamy inwersje wzgldem okrgu O = O (S, r) (r moe by dowolne).

Udowodnimy, e w tej inwersji okrgi O1 i O2 przechodz na wsprodkowe okrgi

O1 i O2. Mamy bowiem:

okrg O3 przechodzi na prost l prostopad do ls1s2,

okrgi O1 i O2 przechodz na okrgi O' i O2, ktrych rodki le na ls1s2

i jednoczenie na l, gdy B' i A' le na l (kt S1BC = kt S2AC = 90).

W takim razie oba okrgi O1 i O2 maja wsplny rodek bdcy punktem

przecicia lS1S2 i l.

Rozwizanie: Przypumy, e w piercie pomidzy okrgami O1 i O2 udao sie

wpisa okrgi styczne C1,.

SKRYPT DLA NAUCZYCIELA MATEMATYKA, FIZYKA,...

Documents

Transcript of SKRYPT DLA NAUCZYCIELA MATEMATYKA, FIZYKA,...