Siruri si serii in R
38
9 Tema 2. Şiruri şi serii numerice. Aplicaţii Modul I. Şiruri numerice convergente în R. Serii numerice convergente Vom studia noţiunea fundamentală de “limită a unui şir numeric”, folosind rezultatele cunoscute din liceu (f ăr ă demonstraţii) şi unele completări importante. Definiţia 1. 1. Se numeste şir de numere reale orice func ţie f : N → R cu f(n) notat x n ∈ R , unde n este rangul sau locul termenului în şir şi x n este termenul general al şirului; notăm şirul prin ( x n ). 2. Pentru orice şir strict crescător spre (+∞) de numere naturale: n 0 <n 1 <...<n k <... şirul 1 k notat n k x y = k ∈N se numeşte subşir al şirului ( x n ). 3. Nu se confundă şirul ( x n ) care este o funcţie, cu mulţimea termenilor săi { x 0 , x 1 , ..., x n , ...} ⊂ R ; pentru un subşir avem: { 0 1 , ,..., k n n n x x x , ...} ⊂ { x 0 , x 1 , ..., x n , ...}⊂R . Un şir ( x n ) se numeşte şir constant dacă x n = x 0 , ∀n ≥ 0. Un şir ( x n ) se numeşte şir periodic dacă există k ∈N a.î. x n+k = x n , ∀n∈N (⇔ f(n+k) = f(n), ∀n∈N). 4. Un şir ( x n ) se numeşte şir staţionar dacă există n 0 cu n 0 ∈N a.î. x n = x n0 , ∀n ≥ n 0 (⇔ f(n) = f(n 0 )), ∀n ≥ n 0 . Exemple 1. x n = ( ) n 1 n − , n≥1 are elementele –1, 2 1 , 3 1 − , 4 1 ,... 2. 0 1 2 3 4 , , , , , 5 3 , 5 n x x x x x n x n < = ≥ are elemente: x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , 3, 3, ..., 3, ... este un şir staţionar (are n 0 = 5, deci x n =3 pentru ∀n ≥ 5). 3. ( x n ) dat prin: 1, 0, 2, 3, 1, 0, 2, 3, ... este şir periodic. 4. x n = a∈ R , ∀n ∈ N este şir constant. 5. x n = ( ) 2 1 2 1 n − + cu elementele: 0, 1, 0, 1, ... este un şir periodic. 6. x n = n 2 1 , ∀n ≥ 0 are subşirul 2 1 1 2 k n k x + = cu mulţimea elementelor ⊂ + K K K K , 2 1 , , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 1 , 2 1 , , 2 1 , 2 1 , 2 1 n 3 2 1 n 2 5 3 deci ( y k ) k ≥0 =( k n x ) k ≥0 = 0 k 1 k 2 2 1 ≥ + .
-
Upload
razvangutu -
Category
Documents
-
view
236 -
download
0