Bontas-cap7-Serii (1)

7/24/2019 Bontas-cap7-Serii (1)

1/26

q

a

p

I

u

Ep

'e

u

u

uT

1

'

I

'

ne

J

o

IS

q

e

'5

a

nps

S

a

s

ps

oup

B

inps

a

p

n

e

u

*

u

&

u

J

ao

1

e

'u

Ee

'P

-ey

u

se

a

S

o

R

c

s

,

y

u

I

'u

s

s

a

y

s

3

I

'

1

T

p

S

lu

e

S

p

Eo

'D+

m

e

7

Z

f

.

tog,

],

putem

determina rangul

N(,)

:

[,"*r

1l

*

t

L

_EJ

Prin

urmare

seria

este convergent5,.

Operalii

cu

serii

numerice

Dacd,

seriil"

I

u,

qi

E

y,,

sunt

convergente

avdnd

sumele

s

qi

respectiv t,

/ 1\n

'

orr

, [1

(-1l

f

z

:l,l ) :

'L3n

b)

)-r

(,-

4)

'

n"t

n)2\/

")

IGfrn'

. r rr*1

e)

)

In_.

n

n2\

Solu{i,e. Determin5,m in fiecare

ca,z

girul

sumelor

parliale.

. 1 /)\2" I

/'')1

2n+1

a)

sz,,

:

fr.

(;)

+

0qi s2rr+1

:

-F

=.

(;)

-+

0,

deciiinrs,:

Q.

Seria

este

convergentd

qi

are

suroa

0.

n)0

d)

Y,t't"+z-21;+t+vii);

n)l


5/26

:u

Eo

n

O

pda

pps

Z

,n

r

*-

+

-

a

q

(

'U

-

ue

t+++

'U

U

+

-

:

u

-

*

e

anuz

nep

iT

-

'1

-

Y

-

3

S

u

'

a

u

:

_

_

I

'

(

u

,

'

Z

-

s

(

--

Z

-

:

P

+

Z

-

t

U

u

Z

V

a

u

Z

?

'

+q

-

l

1

L

-

aoe

6


6/26

170

Capitolul

VII

Ir

-e-\*1-1#

olugi,e. a)

t,;n z,:

lr{i

l(t*

=

) I

:

s-2a

+0,

(V)o,

IR, deci

nzrl\

n+a/

J

seria este divergentS.

b)

1Tn

rn

:

rrytsin

n2

nu

exist5, deci

f

sin n2 divergent5.

n)7

tuL

c) limrn: Iim

+

a:a10,

(v)

ae

(o,f),

a""i

Iz"t*$

divergent;,.

'

n n

z"

'-

-\-'2)'

7_,

"2n

d)

limr,:

rimr

(,

-

*)"

:

hrim

L(,

-

*)

"l

'

:

ro

e-t

--1

10,

deci

I,

k

(,

-

1)

divergentd,.

n)2\/

e) Se observS, c5,

ln(n.

*

1)

2.

:Ln

In-l In-lI


9/26

.CS

n

EA

u

'4

.

?

R

O

b

u

b

a

,

+

"

+

?

o

a

u

U

b

'

>

uu

s

T

N.

Atunci

(1)

I

gh?

convergentd

*

D"*

convergentdl

(2)

I

r,

divergente

*

I

y,,

divergent5.

nlL

n,2

I

nZl

n)1

Demonstra[ie.

Elimind,nd

primii

N

terrneni

din cele

doud

serii,

putem

presupune

c6, rn

I

y-, (V)

n

)

L.

$irurile

sumelor

parliale

corespunz6toare

au

termenii

generaii

in aceeaqi

relatie

sn:

fiL

+

"''

-J-

rn

l

tn:

At

*

"'

*

A".

Afirmaliile din

enun

rezultS,

imediat

aplicA,nd

criteriul

monotoniei'

Observa{ia

3.1

in celelalte

variante

de combinalii

criteriul

nu

dE

niciun

rSspuns"

Deci, dac6

LO.

este

divergent5,

atunci nu putem

preciza

nirnic

despre

natura

lui

nz-l

L*..

Analog,

dac5,

f

r?? este

convergentS,,

nu

putem

cunoa,qte

natura

seriei

n)l

Lo"'

nZ]-

Observatia

3.2

Aplicarea criteriului

de comparalie

presupune

cunoaqterea

unor

STP

care

sH serveasc6

drept

etaloane

de comparalie,

de exemplu

seria armonicS,,

seria

Riemann,

seria

geometricH.

Exernplul

3.1 Fie

)- +.

AplicS,m criteriul

de

comparalie

cu

inegalit5li:

-"r,

t/n3

+

n

nll

I

I

t/n3

+

n

-

grl'

11

la9

v

n"

TLz

Seria

U,

:

L{

".t"

seria armonicd

generalizatE,

cu

a

">-t

n)l

fr2

este

convergentS.

Rezult5,

"e

E

r,

este convergent5.

nll

-3-r

2'

-'

prin

urmare


11/26

r

E

l

1),

deci

Ir*

este convergentS.

'

,T-,

1

1

r-.

1

b)

Avem

Ji

Z

#

'eu

>

Eo

oq

(

,

.

7

I

:

L?

d

+

o

leu

r

-

:

L

u

u

+

e

i

#

r

t

igu

c

W

:

lS%

(

t

,

zD

t

,

.

'#

,

(o

u

e

,

,+

:

p

I

p

e

I

'eu

=

?

I

z

.VU

x

'a

o

'

=

t

L

I

r

eD

u

?

I


18/26

LJZ

Capitolul

VII

,.

n.2

_n

:

e"#t

75-zn+,

:

71,

deci seria

este divergentrS.

/

'

\

71

f I

n-l

5.l

::-i-r'Ir

h\

(.:n^(n+o\'':

r,*

l/,

*

-"-b\-ul"-" - r'F#o :

eo-b;

d.acd,

L)L-"i;'\n+b)

:LLtt

L\r-n+b)

I

-

a

4

b, atunci

Y"*

este convergent6,

iar

dac5.

a

2

b,

atunci

seria

este divergentE.

nlL

i) ,:161i6,arcsro;

:

1'0:0

(

1,

deci

seria este

convergentS,.

3"4

AplicA,nd

criteriul

raportului

(ai lui D'Alambert),

s5, se

studieze

natura

Sotu{ie.

Not5,m

L

: lirr-@'

qi

avem:

,nrn

a)

t:

U:";i;

-

Q

(

i, deci

D**

convergent5,.

'

n

n+L

n)I

+nfir*J-11

b)

(.

:

rrp"'F

-

ol,pry

# +:

Z

DacE a

(

2,

atunci

D**

"

tg-

,sz"

a

a

n)r

este

convergentH.

i t^ ,

,

2, uff:;

Dr.este

divergentx,.

Dacx

a

:

2,atunci

nzr

1

1

ts-

seria

devine

Dr"tf

*,

""

rrp*n:

Irp

+

:

I

+

0,

deci

este

divergentfi.

n)1

2rr

r

-.

\n

..

'i

c) {:lim2i--

I

:rim

:-


19/26

f

C

iu

I

D

R

ep

s

(

#

-

:

I

d

s

u

s

mnep

D

o

g

lgi

seriaeste

conv-ergentd,

iar

dacd

a

]

gi

seria

este

divergentx.

Dacd

o:

:,atunci

seria

devin"

f

f

1)'""o

?.\r/

seria

armonicS,

deci

divergentd.

rr)l

s-

O,

-)

?

a*n

TL2 L

Capitolutr

VII

1)

*,

cdreia

ii

t

a,0

:

1,

criteriul

1

e

,atuncil


21/26

I

'u

"

'

o

o

+

+

T

oA

n

p

n

a

so

"

eu

.

>

d+

+

ld+

+

r1

a

s

s

s

'0

0

s3:

s1

-

(rr-

13)

(

s1

Caprtolul

VII

Defini{ia

4.2

A

sert.onl,,,r'qentri,

carz

?}1r

r:stc

rtbsohtt

canuergenta

senu?nqte

sem,ironuergerttii.

Observalia

4,1

Seriile

r;u

telr.eiri pozitivi

suut absoiut

convergente,

prin

ur-

rnarr:

pentru

studiui

naturii sr-.riilor

absolut

coilvcrgente

putent

apiica

toate

criteriile

de

la serii

cu

bermeni

pozitivi.

Exemplul

4.tr- F'ie seria

cle rlurner*.e

,cale

'

'"9:"1'.

Fentru a studia

absoiut

7;,

?L'

-.

".,*

,.2 |

conl,ergenta

ei, considerS,m

seria

modulelor

) ,l:-::+1.

Acea,sta

este

o serie

cu

7''

17-

l

terrneni

pozitivi.

prin

urmare putem aplica

unui dintre

cr:iteriile de

la

STP.

Avem

icosrr2 I

t

s-.\

"---.-

1

rn:

t+l

1

|

l"ie

(nr,)r,>1

uri

qir

cu

termeni

pozitivi"

L-refinitia

4.3

Seri,a

[{-t;"*t

rrt:

n7

*

xz

*

r:\

-

x)4-f

"

se nurn'egte

serie

alternatd,.

n?,

Criteriul

lui

Leibniz.

Fie

E{-rl"

'-'ri;n

o

serie

alternai,S.

Dac5,

(r,)r>1 este

tt71

un

qir

descrescS,tor

qi

lim rr.

:

[]'

atunci

sei:ir*, :llternati

este cor\rergenta'

Demonstralie"

in

ipotezele

r,late.

clefinim subgiruriie:

s2rt:

s2t,._2i

(rzn-t-

rm)

)

52n-2

52n+1

-

s2n-l

-

(,rrr-

run+l)

(

s2rr--1

Prin urmale

(szr)

este

monoton

crescd,tor,

iar

(s2,r11)

este

rnonoton descrescS,tor.

Pe de

a1t5,

parte,

s2rr:111-

-uZ*u3-u4+ "'-

1tr2n:ut-

(uZ-

rr)

-

(ue-us) u2n

/-u1,

deoarece

toate

parantezeie

sunt

pozitive,

prin

urmare

subgirul

(s2r,)

este

mS,rginit

superior.


23/26

'e

ueu

E

t

a

e

uu

an

^

,d

;

3

:

u

o

P

P

aq

r

'eu

s

f

pu

t

o

4

l

9

-u

1

a

e

8

e

'

s

s

u

e

6

6

n

E

u

'6

{

0

1

-T

*

I -

e8

V

c

e

?

r

Eu

'g

u

S

es

I

ln

I

B

E

noe

I

-Dp

I

d

7

d

'm

s

J

I

s

s

'1

p

g

p

p

e

u

E

J

l

n

u

g

E

a

E

.

1

#

#

-

>

>

>

uo

1

nu

?

'eu

s

?

"

,

0

p

Eu

1

-

u

'+uaJ

'

l

s

in

e

(

q

u

-

aD

,

/


24/26

188

Capitolul

VII

I sin

cm

I

|

.sin anl l.

1

a)

lr,,l

:

l--*---,

r-'^::i-:-t-;-

L).

prin

urnra:'e

n21 n)L

f

l""l

este convergentS,,

cle

,"i

f

2,,

este absolut convergeutS,.

rt}i

n,)>\

L\

r-

r

lcos3"n

i I

ccs

3"nl

-

|

:

u"qi

tu,

:

)-

1

"ur"

este

coir-,,er_

)

lr,,l:l

3,

l:--s"-=S

nZt

n)l

gentX (seria

geometric5

cu

q

:1

u

(-r,1)),

prin

urmare

f

lr,,l

cste convergentir,

'1

nZl

deci

r,

este

absolut

com,ergent5.

n)l

4.2 AplicAnd criteriul

lui

Leibniz, sd, se studieze natura seriilor:

")

I(-1)"--ll-:

h)

E(-i)"*,

n)2 t,))

, \-

-,7i

ltrl

c) ) sm(

'2tt*I)--..-

-r

LJ*""r-'"

',.2

Ji

n)1

Saluli,e.

&)

fir,:

=

"

.

*

I

+0,

rleci seria este riivergentS.

2n*i-

2'uj*

lnnb)

,r, : a,

(V)n

> 2.

{rr,)

este

rnonoton

descrescS,tor

(deoarece

functia

rL

:

l2.x)

-+

tR,

/(r)

:

l-jD

este monoton de-screscdtoarel

qi

lirncro

:

0,

cleci seria

este

con,eigenid,.

r

'n

. 7r

l-

c)

sin(2n

+

i);

:

(-1)",

(V)"

2

1, deci

studiem seria alteiiratb

)-

(-i

Y' 3

2

?,

v',?,

Analog

("")

l.

qi

lrp

rn: A, deci seria este convergentS.

4.3

Folosind

teoria

seriilor: numerice. s[ se

studieze

conrrgenla

qirului

avanri

termenul

general

111

.1

o*:f.B-

"g

t

g.3,

-

""r-(-i)"-';fu'

(v)n

>

i'

Soluli,e. Studiul

naturii

qirului

(a,,)

se

::educe,

confblm defiuitiei convergentr:i

unei

serii,

la studiul naturii

seriei

f(-1)"*'*,deoarece

(a,.)

r'eprczintri

chiar

n3'"'

nll

qirul

sumelor

parliale pentru

seria consideratS,.

I

?,,L1 iz * I

Avem

rn:-:-;1.,

(V)

n

)

1.

Cum

"rt+L

- 3'"'

-

>

1, rezuitd ca

rr.,11

).i'r.- 1t.3n'\ / - :f,n

n

(V)

"

>

1,

deci

este

monoton

descrescdtor

gi

ii;n.1,

:0,

prin

urnlare, conform

criteriuiui

lui

Leibniz,

seria este convergenti, rieci

qirrri

(or,)

este convergent.


25/26

.uJu

asEE

u

s

en

"

r

o

&

nne

8

,

#

ran

g

'eu

as

F

e

s

en

u

t

i

--

_

u

.

:-

fS

-

I

d

s

T

I

u

-

u

r

|_

ran

'E

r

o

s

u

puu

s

E

u

t

-

u

i5

o

ua

L

m

am

d

a

e

1p

ao

tZ

-

t

'

u

I

,

'

/

I

:

a

-u

a

o

J

ps

E

97

z

'g

r

z

u

s

l3

"

a

\

z

r

a

u

"

.

o

Eu

o

I

I

z

e

u

s

+3

e

+

:

e

s

En

ln

w

an

z

'puu

"

l

a

p

k

/

*

.

"G

/

'=

6

D

L


26/26

190

Capitolul VII

Pentru

studiiil

con\r'i

i,lti,i

seriei

aLfernate,

aplic5m

criteriul

teil:niz:

/ z

\

-:\2 -

l)

,

(V)n'

)

i,

ir,,)

\,

qi

l1yt

r,,:0,

deci

seria rlat5

este

convergentE.

c)

Seria

modulelor

---.-i

onr oi?.

)]

lt-rl :r *ti:L,;

n)l

:

n)l'

esterlivergentS,

conformcrii,r-:riuiuiraportuiui:

limr +l:lim,

f-i

-)

:2>l.

n

rtt.

n

\.n-l

7/

Pentru

studiul

convergenlei

seriei

alternatc

date,

aplicdrn

criteriul

iui Leibniz:

,.

:

#,

(V)

,

>

1,

cu lim

,,,

:

lr{.,#

y

A:

*

#

0,

deci

gi

seria

datX

este

divergentS.

d)

Seria

modulelor

I

io,,

[i

r

1) i

:

)] tor

(r* 1)''

?tl

\

/l3r'*'

\-' /

este

STP;

conform

criteriului

r5d6cinii

lirn

i7jfi:

l,fl (,

n*)

:

pentru

a

(

1

seria

modulelor

este

conver6ientE,

deci

seria

dati

este

absolui

convergenta

Bontas-cap7-Serii (1)

Documents

Transcript of Bontas-cap7-Serii (1)