2016/11/24

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

表現２： cos と sin の和

sin

cos

時間 ｔ

0

cos と sin を足すと、どういう波形になるか？

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

sin

cos

時間 ｔ

0

cos+sin

cos と sin を足すと、同じ周波数の一つの正弦波

表現２： cos と sin の和

cos と sin を足すと、どういう波形になるか？

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

b ａ

b ａ

b ａ

cos と sin の配合比率

cos と sin の配合比率ａ、ｂ を変えると正弦波の位相と振幅が変化

ａ･cos + b･sin

正弦波の３つの表現

表現１： A･sin( ωt + θ )

表現２： a cos( ωt ) + b sin( ωt )

Ａ･sinθ Ａ･cosθ

表現３： Ｆ･ｅ ｊωｔ ＋ Ｆ*･ｅ - ｊωｔ

ｔ

複素正弦波 ｅ ｊωｔ の定義

ｅ ｊωｔ ＝ ｃｏｓ(ωｔ) ＋ ｊ ｓｉｎ(ωｔ)

虚数単位 （数学では ｉ）

実数部 虚数部

オイラーの公式

複素平面上の ｅ ｊωｔ

１－１

－ｊ

ωｔR（実数）

ｊ

ｅｊωｔ

0

I （虚数）

ｓｉｎωｔ

ｃｏｓωｔ

単位円原点からの距離が１

角度が ωｔ

実数部が ｃｏｓ（ωｔ）虚数部が ｓｉｎ（ωｔ）

2016/11/24

2

ｅ ｊωｔ の複素共役 ｅ －ｊωｔ

ｅ ｊωｔ ＝ ｃｏｓ(ωｔ) ＋ ｊ ｓｉｎ(ωｔ)

オイラーの公式

ｅ -ｊωｔ ＝ ｃｏｓ(ωｔ) － ｊ ｓｉｎ(ωｔ)

ｃｏｓ・ｓｉｎ と 複素正弦波

tjtj eet 2

1)cos(

tjtj eej

t 2

1)sin(

j2 でも良い

ｃｏｓ・ｓｉｎ と 複素正弦波

ｃｏｓ・ｓｉｎ は，ｅ ｊωｔ によって作られる

tjtj eet 2

1)cos(

tjtj eej

t 2

1)sin(

＋

＋

＋

＋

「周波数分析」

ｔ時間

ｆ周波数

周波数分析

（時間波形） （周波数スペクトル）

小 大

低 高

＝

全ての信号は

正弦波の和により

合成されるその配合比率

WaveSpectra周波数分析ソフト（free）

周波数分析の例

すべての 周期信号 ｆ (t) は、

基本 (角) 周波数 ω0 = 2πf0および、

その2倍、3倍･･･（2ω0 、3ω0 ･･･ ）の周波数の

正弦波の和として表すことができる。

（ 表したもの → フーリエ級数 ）

前回の復習 （１）： フーリエ級数

)3sin2sinsin(

)3cos2coscos()(

030201

0302010

tbtbtb

tatataatf

周期

10 f

2016/11/24

3

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

正弦波の「表現２」が使われている

表現２周波数 ｆ0 の正弦波

周波数 2･ｆ0 の正弦波

周波数 3･ｆ0 の正弦波＋ ＋

周期信号

すべての周期信号は、正弦波の和として合成できる

→ フーリエ級数

のこぎり波

方形波

＋

＋

＋

＋

方形波は正弦波の和として合成できる

ｘ(t) ＝ ｓｉｎ(ωt) ＋1/3･ｓｉｎ(3ωt)

＋1/5･ｓｉｎ(5ωt) ＋1/7･ｓｉｎ(7ωt)＋ ・・・・・

＋

＋

＋

＋

信号の加算

時間ｔ

0

sin( 2πｆ ｔ)

ｃｏｓ( 2πｆ ｔ)

ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) ＋sin( 2πｆ ｔ)

-1

0

1

２つの正弦波の和

ｆ ＝ 100 Hz （基本波）

ｆ ＝ 300 Hz （３倍波）1/3

時間

振幅

-1

0

1

２つの正弦波の和

ｆ ＝ 100 Hz （基本波）

ｆ ＝ 300 Hz （３倍波）1/3

時間

振幅

2016/11/24

4

-1

0

1ｆ ＝ 100 Hz

ｆ ＝ 300 Hz

時間

２つの正弦波の和

青＋緑 → 赤

1/3

振幅

１，３，５倍周波数の正弦波の和

0

-1

0

1

時間

100 Hz＋300Hz

500 Hz

1/5

振幅

１，３，５倍周波数の正弦波の和

0

-1

0

1

時間

100 Hz＋300Hz

500 Hz

青＋緑 → 赤

1/5

振幅

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

sin t

t3sin3

1

tt 3sin3

1sin

t5sin5

1

tt 3sin3

1sin

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tsin

t7sin7

1

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin

ω0 ＝１

方形波 の合成

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tsin tsin

tt 2sin2

1sin

t2sin2

1

t3sin3

1tt 2sin

2

1sin

ttt 3sin3

12sin

2

1sin

t4sin4

1ttt 3sin

3

12sin

2

1sin

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin

ω0 ＝１

2016/11/24

5

信号の 「（パワー）スペクトル」 とは

横軸は、信号に含まれる正弦波の周波数縦軸は、その正弦波の大きさ（パワー）を表す図

周波数ｆ

パワー

その信号に、どういう周波数の信号が、どの位の大きさで含まれているか？ を表す図

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

sin t

t3sin3

1

tt 3sin3

1sin

t5sin5

1

tt 3sin3

1sin

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tsin

t7sin7

1

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin 1

方形波

2ω0

方形波のパワースペクトル

周波数ω

ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0

1

(1/3)2

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin 1

含まれている正弦波の大きさを表すグラフ

(1/5)2(1/7)2

・・・・・

2

22

2パワー

のこぎり波 の合成

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tsin tsin

tt 2sin2

1sin

t2sin2

1

t3sin3

1tt 2sin

2

1sin

ttt 3sin3

12sin

2

1sin

t4sin4

1

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin 1

のこぎり波

2ω0

のこぎり波のパワースペクトル

周波数ω

ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0

含まれている正弦波の大きさを表すグラフ

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin 1

(1/3)2(1/2)2

(1/4)2

・・・・・

2

2

2

12

パワー

2016/11/24

6

信号の「分析」と「合成」

信号 正弦波

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

分析（分解）

合成

mm ba ,)(tf

すべての信号は、正弦波の和で出来ている

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

先週の演習問(4) の解法

ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)

フーリエ級数と対比する100Hz 200Hz

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

先週の演習問(4) の解法

ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)

フーリエ級数と対比する100Hz 200Hz

1・sin(2π100 ｔ)

2・cos(2π200 ｔ)0 0 00 0

0,,2,1,100 210 ii baabf その他の

2/22nn ba

パワーは、

パワースペクトルは、

100

パワー

2

周波数 ｆ (Hz)200

0.5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3

-2

-1

0

1

2

3

信号 ｆ(t)

時間

分析

成分

分析の方法は？

実際に利用できるのは、数式ではなくこの波形 ｆ(t) だけ

信号 ｆ(t)： 録音した音、受信した電波ただし、ディジタル信号として記録されている （携帯の音楽と同じ）

「フーリエ係数」 a0, a1 , ･･･，ｂ1 , ｂ2 , ･･･ は、

同じ周波数の正弦波 sin nω0 ｔ をかけて積分すれば得られる。

ａn、ｂn の求め方 （＝分析方法）

T

n dttntfT

b0 0sin

2

)3sin2sinsin(

)3cos2coscos()(

030201

0302010

tbtbtb

tatataatf

1)1002sin(2

0

Tdtttf

T 2)2002cos(

20

T

dtttfT

100Hz の sin の大きさ（成分） 200Hz の cos の大きさ（成分）

実は、実際の計算はコンピュータがやってくれる

前回： 複素正弦波を用いたフーリエ級数

任意の周期信号 ｆ(t) は、複素正弦波 ｅｊω0ｔ の和として、次式で表される。

n

tjnn

tjtjtj

tjtjtj

eF

eFeFeF

eFeFeFFtf

0

000

000

33

221

33

2210)(

表現がシンプル

2016/11/24

7

フーリエ係数 Ｆn の求め方

ｅ ｊｎω0ｔ の係数 Ｆn を求めるには、

この ｆ(t) に、 複素共役 ｅ - ｊｎω0ｔ を乗じて積分

tjtjtj

tjtjtj

eFeFeF

eFeFeFFtf000

000

33

221

33

2210)(

dtetfT

FT tjn

n 0

0)(1

正弦波の3つの表現とフーリエ級数

tjtj eFeF

tbta

tA

*

)sin()cos(

sin表現１：

表現２：

表現３：

)3sin2sinsin(

)3cos2coscos()(

030201

0302010

tbtbtb

tatataatf

表現２

表現３

tjtjtj

tjtjtj

eFeFeF

eFeFeFFtf000

000

33

221

33

2210)(

表現１は？

tjtj eFeF

tbta

tA

*

)sin()cos(

sin表現１：

表現２：

表現３：

303

2021010

3sin

2sinsin)(

tA

tAtAAtf

表現１

【 問題点 】 ａ，ｂ や、Ｆ と違って、パラメータ Ａ，θを求める式が無い、ので、使われない

書くことは出来るが

正弦波の3つの表現とフーリエ級数

tjtj eFeF

tbta

tA

*

)sin()cos(

sin表現１：

表現２：

表現３：

)3sin2sinsin(

)3cos2coscos()(

030201

0302010

tbtbtb

tatataatf

表現２

表現３

tjtjtj

tjtjtj

eFeFeF

eFeFeFFtf000

000

33

221

33

2210)(

正弦波の3つの表現とフーリエ級数

tjtj eFeF

tbta

tA

*

)sin()cos(

sin表現１：

表現２：

表現３：

)3sin2sinsin(

)3cos2coscos()(

030201

0302010

tbtbtb

tatataatf

n

tjnn eFtf 0)(

表現２

表現３

信号とスペクトル

信号とは，

)(tf時間

ｔ

量の時間的変化の様子（電圧や音圧）

大きい

01秒0.5

小さい

大きい 大きい

小さい 小さい

初等関数では表せないので（文字式）

2016/11/24

8

フーリエの理論

信号 正弦波 （成分）

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

分析（分解） mm ba ,)(tf

すべての信号は、正弦波の和で出来ている

＋

＋

＋

ｆ（ｔ）＝ 1･sin(2π500 ｔ ) ＋0.5･ｓｉｎ(2π1000 ｔ )＋ 0.3･sin(2π1500 ｔ ) ＋ 0.25･sin(2π2000 t)

と表される．

T

n dttntfT

a0 0cos

2

「スペクトル」は、成分のグラフ化

ｆ

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

mm ba ,

0 500 1000 1500 2000

周波数 （Hz）

1

0.50.3

0.25

大きさ（振幅）

正弦波 （成分）

ｆ（ｔ）＝ 1･sin(2π500 ｔ ) ＋0.5･ｓｉｎ(2π1000 ｔ )＋ 0.3･sin(2π1500 ｔ ) ＋ 0.25･sin(2π2000 t)

スペクトル

パワースペクトル

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

mm ba , 2/22

nn ba

パワー　

ｆ0 500 1000 1500 2000

周波数 （Hz）

(1)2/2

パワー

(0.5)2/2

(0.3)2/2(0.25)2/2

ｆ（ｔ）＝ 1･sin(2π500 ｔ ) ＋0.5･ｓｉｎ(2π1000 ｔ )＋ 0.3･sin(2π1500 ｔ ) ＋ 0.25･sin(2π2000 t)

正弦波 （成分）

時間信号（波形） → 周波数スペクトル

信号：ｆ (t)

スペクトル：F(ω)

dtetf tj)(

フーリエ変換

時間 ｔ

周波数 ｆ

式では表せない！

計算はコンピュータがしてくれる

フーリエ変換の重要性 （用途例）

雑音

音声＋雑音

baknLPN.wav

音声

LP250noise.wav

波形（音圧・電圧）では、わからない

Gold-wavebakuon0.wav

周波数領域で見るとよくわかる

周波数

低周波雑音 音声＋雑音低周波成分をカットすれば良い！

フィルタ

各周波数成分の大きさ・パワ｜

2016/11/24

9

スペクトル

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

周波数

振幅

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

周波数

振幅

フーリエ級数の係数ｂ1

ｂ2ｂ3 ｂ4

ａj=0

ｂn+1ｂn+2

ｂn+3略

1周期

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

周波数

振幅

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

周波数

振幅

スペクトル

略

Ｆ（ｆ） または （Ｆ（ω））

ｆ, ω

ｆ

すべての周波数で成分を持つ

ｂn+1ｂn+2

ｂn+3

フーリエ変換の結果

略

前々回の復習 (フーリエ変換対)

フーリエ変換対

（時間信号）

1 ωt0

ゲート関数（方形パルス）

標本化関数（sinc 関数）

0

（周波数スペクトル）

)(F)(tf

dteFtf

dtetfF

tj

tj

)()(

)()(フーリエ変換：

フーリエ逆変換：

前回の復習

2.1.2 フーリエ変換の性質

(b) 対称性

ｆ(t) Ｆ（ω） なら

F(t) 2πｆ（-ω）

前回の復習

フーリエ変換対

1 t

（時間信号）

ゲート関数標本化関数

X(ω)ｘ(t)

ω0 ωc-ωc

1 ωt0

ゲート関数（方形パルス）

標本化関数（sinc 関数）

0

（周波数スペクトル）

対称性

前回の復習

2.1.2 フーリエ変換の性質

(ｃ) 線形性

ｆ(t) Ｆ（ω）

g(t) G（ω）

ならば、

c･ｆ(t) c･Ｆ（ω）

ｆ(t) + g(t) Ｆ（ω）＋G(ω)

2016/11/24

10

前回の復習 （デルタ関数）

10

edtet tj

0t

δ(t)

ω

1

ある関数にかけて積分すればその関数の ｔ＝0 の値が取り出せる

δ(t)： 変数が 0 の時のみ、無限大の値を持つ

先週の復習 （デルタ関数）

0t

δ(t)

ω

1

対称性

ｔ

1

0ω

2πδ(ω)ｆ(t)＝1 （直流）

周波数 0

F(ω)＝1

　　　 )()( 00 Fetf tj

周波数推移

　　　 )(21 00 tje

　　　 )(21

先週の復習 （ のフーリエ変換）tje 0

)()( Ftf 　　　

１ のフーリエ変換

先週の復習 （ｅｊω0ｔ のフーリエ変換）

　　　 )(21 00 tje

0ω

2πδ(ω-ω0)

tje 0

ω0

0ω

-ω0

tje 0 2πδ(ω+ω0)

微分（差分）の効果： 音声

◇ 原音

◇ １回微分

◇ ２回微分

◇ ３回微分

)( Fjtfdt

d　　　　

積分（平均化）の効果： 音声

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

)(1

Fj

dft

　　　

)(F

tf

2016/11/24

11

正弦波の微分・積分 を考えてみる

2sincossin

tttdt

d

2

sin1

cos1

sin

ttdtt

「 微分 」

◇ 振幅が ω 倍されて、位相が π/2 進む。→ 周波数スペクトルが 「 ｊ ω 倍 」

「 積分 」

◇ 振幅が 1/ω 倍されて、位相が π/2 遅れる。→ 周波数スペクトルが 「 1/ ｊ ω 倍 」

位相が π/2 進む

tj

tjjtjtj

ej

eeee

2/2/

位相がπ/2進む

複素正弦波がｊ 倍される

周波数と微分

ｔ

ｔ

低い周波数

高い周波数

傾き＝微分 小

傾き＝微分 大

位相が90°ずれるのもわかる

インパルス応答 ｈ（ｔ）

線形システム

入力

ｘ(t)=δ(ｔ） ｈ(t) 出

力

Ｈ(ω)

デルタ関数 δ（ｔ） （インパルス） を入力したときの出力

インパルス応答ｈ（ｔ）

伝達関数Ｈ（ω）

インパルス応答のフーリエ変換は伝達関数

インパルス応答と伝達関数（周波数特性）の測定例

スピーカ マイク

2 .65 2 .7 2 .7

x 104

スピーカのインパルス応答

スピーカの伝達関数（周波数特性）ｈ(t)

|Ｈ(f)|

フーリエ変換

インパルス応答測定1k 10k

10

20

30

40

50

60

70

80

周波数[Hz]

相対

音響

出力

[dB

]

0°

90°

1000