上智大学理工学部物理学科大槻東巳 - Sophia …tomi/kougi_note/elemag.pdfx(x,y),v...

基礎物理コース II

上智大学理工学部物理学科　大槻東巳

2006 年 1 月 24 日

i

目次

第 1章ベクトル解析の基礎 3

1.1 内積・外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 全微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 ナブラ記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 ガウス (Gauss)の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1 ガウスの定理の系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.2 グリーン (Green)の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 ストークス (Stokes)の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

第 2章静電場と静電ポテンシャル 11

2.1 クーロンの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 静電ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 連続的な分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 円柱座標と極座標における勾配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 円柱座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.2 極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.3 一様に帯電した無限大の平面が作る電場 . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.4 一様に帯電した線が作る電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

第 3章ガウスの法則 19

3.1 立体角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 ガウスの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 例 1：一様な直線電荷の作る電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 例 2：電荷密度が一様な球の作る電場 . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 アーンショー (Earnshaw)の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 導体とガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 静電エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ii

第 4章境界値問題 26

4.1 解の一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.1 空洞をもつ導体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 映像電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 電気容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4 ラプラス方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4.1 無限に広い金属板 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.2 円柱対称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.3 球対称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 より一般的なラプラス方程式の解 (以降の節は電磁気学 Iで再び扱うのでとばす。) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5.1 フーリエ展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5.2 導体平面内部のポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.6 ルジャンドル展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.6.1 一様な電場中の金属球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

第 5章電気双極子と誘電体 43

5.1 電気双極子ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 電気双極子による電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 誘電体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4 誘電体中のガウスの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4.1 一様な電場中の誘電体球 (以降の節は電磁気学 Iで再び扱うのでとばす。) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

第 6章電流と磁場 50

6.1 連続の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2 オームの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3 キルヒホッフの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4 ローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.5 ビオ-サバールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.6 アンペールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6.1 ソレノイド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.7 ベクトルポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.8 円電流の磁気モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.9 磁性体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.9.1 境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.9.2 磁場と電場の対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

iii

第 7章時間変化する電磁場 60

7.1 ファラデーの電磁誘導の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2 変位電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3 自己誘導と相互誘導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.4 磁場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.5 複数の回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

第 8章マクスウェルの方程式と電磁波 68

8.1 ゲージ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.2 電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.2.1 1次元方向に進む波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3 一般的な平面波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.4 反射と屈折の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.5 ポインティングベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

第 9章まとめと公式集 76

9.1 第 1章: ベクトル解析の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.2 第 2章: 静電場と静電ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.3 第 3章: ガウスの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.4 第 4章: 境界値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.5 第 5章: 電気双極子と誘電体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.6 第 6章: 電流と磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.7 第 7章: 時間変化する電磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.8 第 8章: マクスウェルの方程式と電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

付録A 付録：単位系について 88

付録B 試験問題と解答 91

1

はじめに自然界に存在する力は四つある。重力、電磁気力、弱い力、強い力である。重力に

ついては基礎物理コース Iで習っているので説明は要らないであろう。重力はマクロな天体の運動や物体の落下現象を説明する。強い力は原子核の中のような 10−15m程度の世界で重要となる力で、もちろんこれが

なければ原子核は存在しないのであるが、その効果は原子核が存在するということをなぜと思わなければ、多くの物理現象を理解するのには必要はない。弱い力はベータ崩壊など、ミクロの世界で起こる特異な現象を説明するのにもちだされる。電磁気学はこのミクロとマクロ、両方の世界できわめて重要である。いうなればミ

クロな世界、マクロの世界を理解するうえで電磁気学は欠かせないのである。たとえば身近な化学現象を考えてみよう。これは重力がかかわってくるか？Noである。スペースシャトルの映像を見てもわかるように，人間は無重力でも基本的には同じ食べ物をたべて同じ生活している。弱い力、強い力は化学現象がおこる舞台が 10−10m程度からなので無視してよい。よって、日常の化学現象はすべて電磁気力が支配しているのである。机にノートがのっているとき、力が机からノートに働いている。でないと机にもぐってしまう。ではこのような抗力はなんだろう？これも電磁気力なのである。このように電磁気力はいたるところに現れるのである。理由は簡単。素電荷に働くクーロン力のほうがたとえば陽子間の重力に比べて桁違いに大きいから。ただ、重力はいつでも足しあわせなのに、電磁気力はプラスとマイナスの電荷があるんで打消しが起こってしまうことがある。こういう状況では重力が主な力の原因となる。力学の理論は Newtonほとんど一人によって発展していったのに比べて、電磁気学

はクーロン (Coulomb)、アンペール（Ampere）、ガウス (Gauss)、キャベンディッシュ（Cavendish）、ファラデー (Faraday)らの複数の物理学者によって完成させられていった。最終的にマクスウェル（Maxwell）は電磁場は以下の微分方程式に従うことを発見した。

� �divD = ρ

divB = 0

rotE = −∂B

∂t

rotH = J +∂D

∂t� �

この方程式で電磁場が決まり、その電磁場中の荷電粒子は� �

F (r, t) = q[E(r, t) + v × B(r, t)]� �

2

というローレンツ (Lorentz)力に従って運動することを理解することで物理現象の理解が驚くほど深まる。

参考書として以下の著書を挙げる。

書名著者出版社電磁気学 I,II－新しい視点にたって V.D. バーガー, M.G. オルソン培風館一般物理学 (下) 太田信義丸善電磁気学砂川重信岩波電磁気学演習砂川重信岩波理論電磁気学砂川重信岩波

最後のはより進んだ内容を含んでいるので，この授業が終わってから読むとよい。

3

第1章ベクトル解析の基礎

本章では今後、物理を学ぶ上で必要な数学を学ぼう。

1.1 内積・外積まず内積は以下のように定義される。

a · b =n∑

i=1

aibi = |a| |b| cos θ (1.1)

θは a,bのなす角度である。線形代数学（数学）でやるようにこれは一般の次元で定義されるが、物理の場合は 2,3次元の応用が主である。この値はスカラー (scalar)で座標の回転しても不変である。つぎに外積を考えよう。これは三次元ベクトル (vector)で定義される。

a = (a1, a2, a3)

b = (b1, b2, b3)

a × b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) (1.2)

向き：aからbの方向へ右ねじをまわしたときに進む方向大きさ：|a||b| sin θθ：�a,�bのなす角この成分表示が、a, bと垂直であることは、

(a × b,a) = (a × b, b) = 0

であることからわかる。また大きさが |a||b| sin θとなるのは、|a × b|2 + |(a, b)|2 = |a|2|b|2

から示される。

内積の表式のより難しい説明球座標をつかうと

a = a(sin θ1 cos φ1, sin θ1 sinφ1, cos θ1), b = b(sin θ2 cosφ2, sin θ2 sinφ2, cos θ2)


xy

z

θ

φ

a

となる。これより、

axbx + ayby + azbz = |a||b|(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos(φ1 − φ2))

となる。この cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos(φ1 −φ2) は余弦定理から cos θとなることがわかる。外積の性質は上の定義から次のようになる。

1.

a × b = −b × a (1.3)

2.

a × (b + c) = a × b + a × c

(a + b) × c = a × c + b × c (1.4)

3.

(ka) × b = k(a × b) = a × (kb) (1.5)

4.

a × a = 0 (1.6)

Problem 1.1 以下の式を成分表示で証明せよ。

a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) (1.7)


a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) (1.8)

[(a × b) × c] · d = (a × b) · (c × d) (1.9)

= (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c) (1.10)

1.2 偏微分今まで習ってきた関数は主に１変数関数であったと思う。しかし大学では多変数関

数を考えることが多い。例えば、山の高さは h(x, y)という緯度と経度の関数だし、川の流れは (vx(x, y), vy(x, y))で表される。そこでこうした関数の微分を考える。偏微分とは、ある変数に関して微分して、残りの関数は定数とみなすものである。２

変数の場合の定義は∂f

∂x

def= lim

Δx→0

f(x+ Δx, y)− f(x, y)

Δx(1.11)

である。ここで偏微分に関する重要な性質を証明しておく。

Theorem 1.1∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x(1.12)

証明）

∂2f

∂x∂y=

∂

∂xlim

Δy→0

f(x, y + Δy) − f(x, y)

Δy

= limΔx→0

limΔy→0

1

Δx

[f(x+ Δx, y + Δy)− f(x+ Δx, y)

Δy− f(x, y + Δy)− f(x, y)

Δy

]

= limΔy→0

limΔx→0

1

Δy

[f(x+ Δx, y + Δy)− f(x, y + Δy)

Δx− f(x+ Δx, y)− f(x, y)

Δx

]

=∂2f

∂y∂x


1.3 全微分たとえば、x, yが時間の関数で同時に変化していたとする。このとき、関数 f(x, y)

の変化は

Δf = f(x+ Δx, y + Δy)− f(x, y)

= f(x+ Δx, y + Δy)− f(x+ Δx, y) + f(x+ Δx, y)− f(x, y)

= Δy∂

∂yf(x+ Δx, y) + Δx

∂f(x, y)

∂x

≈ Δy∂f(x, y)

∂y+ Δx

∂f(x, y)

∂x

こうして、変化が無限小として

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy (1.13)

をうる。逆にdf = gdx+ hdy (1.14)

とかけていれば、(1.12)より∂g

∂y=∂h

∂x(1.15)

となっていることが、dfが全微分であるための条件となる。つまりある微分形がこの条件を満たしていれば、x, yの値だけで決まる関数 f(x, y)が存在するということである。

1.4 ナブラ記号これから議論するのは３次元空間での粒子の振る舞いであるので、偏微分∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z

が頻繁に出てくる。しかもこれらは対称な形で出てくるので、いっぺんにまとめて書いた方がよい。そこでベクトル、

∇ def= (

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z) (1.16)

を考える。たとえばこれが関数 f(x, y, z)に作用すると

∇f = (∂

∂xf,

∂

∂yf,

∂

∂zf) (1.17)

となる。これは勾配 (gradient)を表しているので

∇f = gradf (1.18)


とも書く。こんどはこれがベクトル v = (vx, vy, vz)に作用したとする。内積は a · b = axbx +

ayby + azbzであったことを思い出して、

∇ · v def= divv =

∂vx

∂x+∂vy

∂y+∂vz

∂z(1.19)

と定義する。これを divと書くのは、流れのわき出し (divergence)に関係しているからである。さて、内積が出てきたら次は外積である。これは

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) (1.20)

で定義されていたことを思い出すと、

∇× vdef= rotv = (

∂vz

∂y− ∂vy

∂z,∂vx

∂z− ∂vz

∂x,∂vy

∂x− ∂vx

∂y) (1.21)

なぜこれを rotと書くかというと、これは流れの回転 (rotation) に関係しているからである。ここで gradと divと rotに関して重要な性質をあげておく。

rot(gradf) = ∇× (∇f) ≡ 0 (1.22)

div(rotv) = ∇ · (∇× v) ≡ 0 (1.23)

Problem 1.2 (1.22),(1.23)を証明せよ。

Problem 1.3 以下の恒等式を証明せよ。

∇× (∇× v) = ∇(∇ · v) −∇2v (1.24)

∇ · (v × u) = (∇× v) · u − v · (∇× u) (1.25)

1.5 ガウス (Gauss)の定理ベクトル vを微小体積の立方体の面上で積分することを考える。このとき、vの面

に関して垂直な成分を積分するとすると、結局流れ出す量を計算したことになる。x方向に垂直な面に対してこの積分をまず行おう。面は小さいとしてこの面上ではベ

クトルの値は一定だとする。するとこの流量は

[vx(x+ Δx, y, z)− vx(x, y, z)]ΔyΔz ≈ ∂vx

∂xΔxΔyΔz


となる。同様に y, z方向の流量は∂vy

∂yΔxΔyΔz ,

∂vz

∂zΔxΔyΔz

となるので、これらを合計すると、この立方体から流れ出す量は

divvΔxΔyΔz

となる。こうした微小体積の立方体を組み合わせれば、結局任意の形状を作ることができる

ので、結局以下の定理が導かれる。

Theorem 1.2 (ガウスの定理) 閉じた立体を考え、それに垂直で外側を向いた単位ベクトルn(x, y, z)を考える。このとき∫

(v · n)dS =

∫dV divv (1.26)

これは体積積分と面積積分を結びつける便利な定理であり、今後、特に電磁気学でよく出てくる。

1.5.1 ガウスの定理の系

定数ベクトル cを使って，v → c × vと置き換えると∫([c × v] · n)dS =

∫dV div(c × v) (1.27)

となる。div(c × v) = −c · rotvなので∫([c × v] · n)dS = −

∫dV c · (rotv) (1.28)

となる。(c × v) · n = −(n × v) · c (1.29)

なので， ∫dS(n × v) =

∫dV rotv (1.30)

をうる。また，v = cΦとするとガウスの定理は∫

(cΦ) · ndS =

∫dV div(cΦ) (1.31)

となる。div(cΦ) = c · gradΦ，(cΦ) ·n = c · Φnなので∫gradΦdV =

∫ΦndS (1.32)

をうる。これも一種のガウスの定理である。


1.5.2 グリーン (Green)の定理

ガウスの定理 (1.26)式から以下の公式が導かれる。v = φ gradψとおいて

div(φgradψ) = φ∇2ψ + ∇ψ · ∇φ (1.33)

を代入する。ここで

∇ψ · n def=∂ψ

∂n(1.34)

という定義を用いると，∫φ∂ψ

∂ndS =

∫dV (φ∇2ψ + ∇ψ · ∇φ) (1.35)

となる。これをグリーンの第一恒等式とよぶ。φ, ψを入れ替えて，引き算を行うことでグリーンの定理が導かれる。

Theorem 1.3 ∫ [φ∂ψ

∂n− ψ

∂φ

∂n

]dS =

∫dV (φ∇2ψ − ψ∇2φ) (1.36)

1.6 ストークス (Stokes)の定理ガウスの定理は体積積分と表面積分を結びつける公式であった。ストークスの定理

は面積分を線積分に結びつける公式である。ある微小な長方形を左回りで一周した積分を考える。このとき、∫

v · dr = vx(x+ Δx/2, y, z)Δx+ vy(x+ Δx, y + Δy/2, z)Δy

+ vx(x+ Δx/2, y + Δy, z)(−Δx) + vy(x, y + Δy/2, z)(−Δy)

≈ −Δx

[∂

∂yvx

(x+

Δx

2, y, z

)Δy

]+ Δy

[∂

∂xvy

(x, y +

Δy

2, z

)Δx

]

≈ ΔxΔy

[∂vy

∂x− ∂vx

∂y

]= (∇× v)zΔxΔy

=

∫dSn · (∇× v)

これは x− y平面にある長方形の周りについて証明したのだが、これを次々と適用すれば、任意の閉曲線に関してこれが成り立つことがわかる。さらにこの閉曲線が x− y平面になくても成立し、結局以下の定理が成り立つ。


Theorem 1.4 (ストークスの定理) 任意の閉曲線について、これに沿った方向の積分を考える。この閉曲面に垂直な単位ベクトルをnとすると∫

v · dr =

∫rotv · ndS (1.37)

が成立する。この閉曲面の選び方は任意である。

Problem 1.4 この閉曲面の選び方が任意であることを証明せよ。

Problem 1.5 (0,0),(2,0),(2,1),(0,1)を角に持つ長方形を考える。これについて v =

(−y, x, 0)を積分して、ストークスの定理を確かめよ。

11

第2章静電場と静電ポテンシャル

電荷の運動はローレンツ力を受けている質点を力学の法則で解析すればよい。であるのでローレンツ力がわかれば前期で学んだ基礎物理コース Iの知識で電荷の運動は理解できる。問題はローレンツ力をどう求めるかである。ローレンツ力は

F (r, t) = q[E(r, t) + v × B(r, t)]

なので、とにかくある時空の一点 (r, t)での電場Eと磁場Bを求めればよい。本章では一番簡単な（しかし応用範囲は非常に広い）時間に依存しない電場の求め方を学ぶ。これは静電気学と呼ばれている。

2.1 クーロンの法則Coulombは真空中に電荷 q, q1があるとき、これらの電荷に働く力が

F q =1

4πε0

qq1R3

1

R1 =1

4πε0

qq1R2

1

R1

F q1 = − 1

4πε0

qq1R3

1

R1 = − 1

4πε0

qq1R2

1

R1

(2.1)

であることを示した。F qは qに働く力、F q1は q1に働く力である。また、

R1 = r − r1, R1 =R1

R1(2.2)

である。MKSA単位系では

ε0 = 8.854 × 10−12C2/N ·m2 (2.3)

である。

Problem 2.1 1/4πε0 = 8.988 × 109N · m2/C2 を確かめよ。これが高校時代に習ったクーロン定数 kである。


q

q

r

r

1

1

R1

Fq

q1

F

O

このクーロン力は電荷 q1がつくる電場

E =1

4πε0

q1R2

1

R1 (2.4)

に電荷 qがおかれ、磁場がないときのローレンツ力 qEが働いているとも考えられる。このように電磁気学では力を求める前に電場を求めておき、その電場に電荷をかけて力を導く。力で見た場合、二つの電荷の間だけに電気力が存在しているような記述になる。一方、電場を最初に求めると空間のあらゆる場所に電場が存在しており、たまたま電荷があったところに力が働くという記述になる。後者のような “場”による記述が現代物理学の発展において重要な役割を果たした。電荷がたくさんあった場合、電場は個々の電荷のつくる電場の重ね合わせとなる。

よって

E =1

4πε0

q1R2

1

R1 +1

4πε0

q2R2

2

R2 + · · · =∑

i

1

4πε0

qi

R2i

Ri (2.5)

となる。これがクーロンの法則である。

2.2 静電ポテンシャルでは (2.5)を用いて簡単に電場は求められるのかというと、困難だといわざるを得な

い。なぜかというとこの式はベクトルの足し算であるからである。もっとうまいやり方はないだろうか？力学の場合、力から仕事、運動エネルギー、位置エネルギーに移行して考えると非

常に簡単な記述が得られた。そこでここでも位置エネルギーにあたるものを導入しよ


う。クーロン力に逆らって仕事をすると位置エネルギーがたまる。この位置エネルギーを静電ポテンシャルと定義するのである。静電ポテンシャルは

Φ(r) =∑

i

1

4πε0

qi

Ri(2.6)

で定義される。電場はE = −grad Φ(r) (2.7)

となる。

Problem 2.2 (2.7)に (2.6)を代入してクーロンの法則を導け。

2.3 連続的な分布電子は点電荷であり、その大きさは−1.602 × 10−19Cである。陽子の電荷は 1.602 ×

10−19Cであり、大きさは厳密に等しく符号が逆になっている。そういうわけで、電荷の分布は厳密にはすべて離散的で、(2.5) が正しい。しかしながら実用上はこのような和をとるわけには行かない。帯電した物質では電子の電荷は 10−10m間隔で分布しているので、これらを遠く (� 10−10mのスケール)から見る限り、連続分布と思ってよい。黒板の字を見てほしい。チョークの濃淡は連続的に変わっているように見えるが、目を近づけてみれば粉のあるところとないところで、不連続に変わっているはずである。このチョークの粉の間隔よりも十分離れてみればチョークの濃淡は連続的に変化して見えるのと同じことを電荷の分布に利用するわけである。連続的な電荷密度が与えられたときのポテンシャルを求める公式を導く。位置 riに

おける体積ΔVi中の電荷がΔqiだとする。この場所の電荷密度は ρi = Δqi/ΔViである。

Φ(r) =1

4πε0

∑i

Δqi

|r − ri| =1

4πε0

∑i

ρiΔVi

|r − ri| (2.8)

である。体積を無限小にもって行くことで（これは近似である）

Φ(r) =1

4πε0

∫dq(r′)|r − r′| =

1

4πε0

∫ρ(r′)dV ′

|r − r′| (2.9)

となる。ここで電荷密度を考えたが、表面電荷密度

dq(r′) = σ(r′)dS ′ (2.10)

や線電荷密度dq(r′) = λ(r′)dr′ (2.11)


を考えるほうが便利な場合は、

Φ(r) =1

4πε0

∫dq(r′)|r − r′| =

1

4πε0

∫σ(r′)dS ′

|r − r′| (2.12)

Φ(r) =1

4πε0

∫dq(r′)|r − r′| =

1

4πε0

∫λ(r′)dr′

|r − r′| (2.13)

を考えるとよい。電場を求めるにはこれらの勾配を求めればよい (式 (2.7)を使う)。r − r′ = Rとする

と、電場は

∇ 1

R= − R

R2(2.14)

から、式 (2.7)と組み合わせて

E(r) =1

4πε0

∫R

R2ρ(r′)dV ′ (2.15)

となる。表面電荷密度が与えられている場合は

E(r) =1

4πε0

∫R

R2σ(r′)dS ′, (2.16)

線電荷密度が与えられている場合は

E(r) =1

4πε0

∫R

R2λ(r′)dr′, (2.17)

となる。ポテンシャルに比べて電場は，はるかに計算しづらい表式になっていることに注意せよ。

Problem 2.3

∇(

1

Rn

)= − nR

Rn+1(2.18)

を示せ。

2.4 円柱座標と極座標における勾配電荷の分布が対称な場合、その対称性を保った方向での勾配を考えるのが便利であ

る。デカルト座標ばかりで計算を行っていると、もとからあった対称性が見えなくなり見通しが悪くなるし、物理がわからなくなる。そこでポテンシャルに対称性がある場合に便利な勾配の公式を導出しておく。


2.4.1 円柱座標

円柱座標とはx = r cosφ , y = r sin φ , z = z (2.19)

というように (x, y, z)を (r, φ, z)の組であらわしたものである。このとき、方向は円柱の軸に平行な方向を単位ベクトル z、動径方向を単位ベクトル r、動径方向と垂直な方向を単位ベクトル φと定義する。デカルト座標で表したときのポテンシャルの微小変化は

dΦ = dr · ∇Φ (2.20)

である。dr = rdr + φrdφ + zdz (2.21)

であるので、dΦ = (r · ∇Φ)dr + (φ · ∇Φ)rdφ+ (z · ∇Φ)dz (2.22)

となる。一方、dΦを (r, φ, z)の関数とみなして偏微分すると、

dΦ =∂Φ

∂rdr +

∂Φ

∂φdφ+

∂Φ

∂zdz (2.23)

となる。これら二つの式が等しくなるためには

r · ∇ =∂

∂r, φ · ∇ =

1

r

∂

∂φ(2.24)

となっている必要がある。よって

∇ = r∂

∂r+ φ

1

r

∂

∂φ+ z

∂

∂z(2.25)

となる。

2.4.2 極座標

極座標とは

x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sinφ , z = r cos θ (2.26)

というように (x, y, z)を (r, θ, φ)の組であらわしたものである。このとき、動径方向を単位ベクトル rで、動径方向と垂直な方向で θにそって増大する方向を単位ベクトルθと、r, θと垂直な方向を φと定義する。

φ = r × θ (2.27)


である。デカルト座標で表したときのポテンシャルの微小変化は

dΦ = dr · ∇Φ (2.28)

である。dr = rdr + θrdθ + φr sin θdφ (2.29)

であるので、dΦ = (r · ∇Φ)dr + (θ · ∇Φ)rdθ + (φ · ∇Φ)r sin θdφ (2.30)

となる。一方、dΦを (r, θ, φ)の関数とみなして偏微分すると、

dΦ =∂Φ

∂rdr +

∂Φ

∂θdθ +

∂Φ

∂φdφ (2.31)

となる。これら二つの式が等しくなるためには

r · ∇ =∂

∂r, θ · ∇ =

1

r

∂

∂θ, φ · ∇ =

1

r sin θ

∂

∂φ(2.32)

となっている必要がある。よって

∇ = r∂

∂r+ θ

1

r

∂

∂θ+ φ

1

r sin θ

∂

∂φ(2.33)

となる。以後、これらの式の応用例を考える。

2.4.3 一様に帯電した無限大の平面が作る電場

一様な表面電荷密度 σをもつ平面が作る電場を求めよう。電場を求めようとする位置の真下に原点を取って、この垂線を z軸にとる。このとき、ポテンシャルは (2.12)

より

Φ(r) =σ

4πε0

∫dS ′

|r − r′| =σ

4πε0

∫r′dr′dφ′√r′2 + z2

(2.34)

となる。φ′に関する積分は 2πがでてくるだけである。r′に関する積分は 0からΛまでの積分だと思うと、∫ Λ

0

r′dr′√r′2 + z2

=√r′2 + z2

∣∣∣Λ0

=√

Λ2 + z2 − |z| (2.35)

となる。


Φは r, φを含まないので (2.25)を使って円柱座標で勾配を求めると、z成分だけしか電場にはないことがわかる。Ezは、Λを無限大にもっていき、

Ez = − σ

2ε0

(∂

∂z

√Λ2 + z2 − ∂|z|

∂z

)=

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

σ

2ε0z > 0

− σ

2ε0z < 0

(2.36)

である。∂√

Λ2 + z2/∂z = z/√

Λ2 + z2なのでΛ → ∞で0になることをここでは使った。

2.4.4 一様に帯電した線が作る電場

次に一様な線面電荷密度 λをもつ線が作る電場を求めよう。この帯電した線を z軸にとる。このとき、ポテンシャルは (2.13)より

Φ(r) =λ

4πε0

∫ ∞

−∞

dz′

|r − r′| =λ

2πε0

∫ ∞

0

dz′√r2 + z′2

(2.37)

となる。z′に関する積分は発散してしまうので、その上限をΛとおき、

z′ = r sinh θ , sinh Θ = Λ/r (2.38)

とおく。こうすると、被積分関数の分母と分子が打ち消しあい、

Φ(r) =λ

2πε0Θ (2.39)

となる。ΘはΘ = ln(Λ +

√Λ2 + r2) − ln r (2.40)

である。Φは z, φを含まないので (2.25)を使って円柱座標で勾配を求めると、r成分だけしか

電場にはないことがわかる。Erは、Λを無限大にもっていき、

Er = −∂Φ

∂r=

λ

2πε0r(2.41)

である。

Problem 2.4 線が−∞から 0までしか帯電していない場合のポテンシャルと電場を求めよ。

Problem 2.5 これら二つの例をポテンシャルでなく電場でやってみよ。ポテンシャルと比べて格段に計算が面倒となる。しかし、発散の問題が出てこないという長所もある。


ポテンシャル、電場は電荷密度が与えられればそれがどのように複雑な形でもせいぜい 3重積分で求められる。そのため、コンピュータで数値積分を行えばクーロンの法則で静電場は完全に決定できるのである。

Problem 2.6 水素原子内の電子と陽子の間に働く重力と電気力を求めて比較せよ。陽子の質量Mp = 1.7 × 10−27kg, 電子の質量 me = 9.1 × 10−31kg, 万有引力定数はG = 6.7 × 10−11N ·m2/kg2 である。

19

第3章ガウスの法則

電荷 qの点電荷を考える。この周りの電場はクーロンの法則 (2.5)で簡単に計算できる。この点電荷を中心とした半径 rの球を考えよう。この球面上の電場は q/4πε0r

2なので、球面積をかけると q/ε0となる。これは半径に依存しない。では球面でない場合はどうだろう？これを説明する前に立体角という概念を説明する。

3.1 立体角ある場所からものを眺めたとき、それがどれくらいの視野を占めるかを定量的にあ

らわしたものが立体角である。この立体角に対応するのがラジアンである。ラジアンは円弧の長さで定義された。立体角は

dω =cos θdS

r2(3.1)

と定義される。dSは微小面積である。θは面の法線ベクトルと視線の方向の角度をあらわす。どんなに大きな面積でも見る方向に沿っておかれてはあまり視野を妨げないことをあらわす。cos θはどんなひねくれた方向を向いた面でも球面に射影することを意味し、r2でわることは単位球に変換することを意味しているので立体角を積分すると 4πになる。これはどんな曲面でも閉じた曲面の中にある点の周りなら成り立つ。

3.2 ガウスの法則点電荷の周りの任意の曲面を考え、その面での電場を考える。面と電場は一般には

垂直でない。ここでその垂直成分、Enを考える。これを全面について積分した値、∫EndS =

∫E · ndS =

∫q

4πε0

cos θ

r2dS (3.2)

は、cos θ/r2dSが立体角 dωなので∫EndS =

q

4πε0

∫dω (3.3)


になる。∫

dω = 4πなので、結局 ∫EndS =

q

ε0(3.4)

が導かれる。今、点電荷一つを考えたが、電荷が複数あっても重ね合わせの原理から同じことが

言える。結局、 ∫EndS =

Q

ε0, Q =

∑i

qi (3.5)

となる。これがガウスの法則である。点電荷の集まりでなく、連続的な電荷分布の場合はどうなるであろうか？この場合、

電荷密度 ρを使って ∫EndS =

∫ρ

ε0dV (3.6)

となる。ところで数学の定理（ガウスの定理）から∫EndS =

∫divEdV (3.7)

である。よって、divE =

ρ

ε0(3.8)

が成り立つ。ガウスの法則がいかに役に立つか、例題で見てみよう。

3.2.1 例1：一様な直線電荷の作る電場

線密度 λで一様に帯電した電線を考える。空間の対称性から電場は放射状にできる。直線からの距離を rとして、この直線を軸とする円柱を考えるとその側面に対する積分はガウスの法則から円柱内の電荷である。円柱の高さを hとすると、

2πrhE =hλ

ε0(3.9)

なので

E =λ

2πε0r(3.10)

となる。


3.2.2 例2：電荷密度が一様な球の作る電場

電荷密度 ρで一様に帯電した半径 aの球を考える。中心から r離れた電場を求めよう。この場合、r > a, r < aで別々に考察する。

1. r > aの場合、

4πr2E =Q

ε0=

4πa3ρ

3ε0(3.11)

より

E =Q

4πε0r2(3.12)

となる。

2. r < aの場合、

4πε0r2E =

4πr3ρ

3(3.13)

より、

E =Q

4πε0a3r (3.14)

である。

この関数依存性は地球の外部、内部の重力の大きさと同じ振る舞いである。重力も電磁気力も逆二乗の法則に従うので当然である。

3.3 アーンショー (Earnshaw)の定理ここで静電気学における重要な定理を示しておく。

Theorem 3.1 電荷をどのように配置しても，電荷のない空間 (真空)に試験電荷が安定になる場所は存在しない。

試験電荷 (test charge)とは，電場を調べるために置く非常に小さい (はじめにあった電場に影響を与えない)電荷である。ある意味でこれは困った事情を表している。電荷を空中に閉じこめることは不可能ということである。これは背理法で証明できる。もし安定な平衡点であったらその周りで，電場がその

領域に向かっていなければならない。するとガウスの定理より，平衡点を囲んで面積分を行うと，この値が有限になってしまう。するとこの領域に電荷が含まれていることになる。これは真空と言うことに矛盾する。言い換えると，電荷がない領域ではポテンシャルは極大にも極小にもならないということである。例えば，(a, 0, 0), (−a, 0, 0), (0, a, 0), (0,−a, 0)に正電荷をおくと一見，原点から x, y

方向に電荷を動かすと復元力を受けるような気がする。だが，z方向には復元力は働かず，ずるずると原点から遠ざかってしまうのである。


3.4 導体とガウスの定理導体に電荷を与えるとどのように分布するであろうか？導体内では電場は 0である。

よって divE = 0 = ρ/ε0より導体内部では電荷は存在しない。よって電荷が分布するのは表面である。またこのことから導体は等電位になっていることが分かる。（導体内部のある点から

∫E · dlを行っても 0なので。）以上より，導体面では電場は導体に垂

直の向きだということが分かる。導体表面も等電位面なので，空洞が導体に囲まれている場合，その中には電場が存

在できない。電場があれば空洞に電位の極大か極小の位置が存在してしまうからである。これはアーンショーの定理に反する。

3.5 静電エネルギークーロン相互作用している粒子系の静電エネルギーU はΦiを i番目の粒子の位置で

のポテンシャル，qiをその電荷として，

U =1

2

N∑i

qiΦi (3.15)

で与えられる。(2.6)式と組み合わせると，

U =1

2

N∑j=1

N∑i=1,i�=j

qiqj

4πε0Rij(3.16)

が得られる。

Problem 3.1 N 個の+eの電荷とN 個の−eの電荷が，aだけ離れて交互に直線上に配置されている。N が十分大きいとき，静電エネルギーは

U = − e2

4πε0a×N × 2 ln 2

となることを示せ。

次に，粒子が点電荷でなく，連続的な電荷分布をもっている場合を考えよう。(3.15)

式は，

U =1

2

∫ρ(r)Φ(r)dV (3.17)

となる。なお，ポテンシャルは (2.9)式で与えられる。


ガウスの法則より，ρΦ = ε0Φdiv E

である。これを変形し，ρΦ = ε0[−E · ∇Φ + div(ΦE)]

とすると，静電エネルギーは

U =1

2ε0

∫dV (E2 + div · (ΦE)) (3.18)

となる。積分範囲を十分遠くまでとると，第 2項は 0となる。よって

U =1

2ε0

∫dV E2 (3.19)

である。

Problem 3.2 3.2.2節で求めた一様に帯電した球の静電エネルギーが

3

5

Q2

4πε0a


答えを何通りかでやってみよう。ガウスの法則より

E =

⎧⎪⎨⎪⎩

Q

4πε0

r

a3r < a

Q

4πε0

1

r2r > a

(3.20)

である (3.14)。ポテンシャルはこれを積分して，

V =

⎧⎪⎨⎪⎩

Q

4πε0a3

(−r2

2

)+ C r < a

Q

4πε0rr > a

(3.21)

となる。r = aでポテンシャルは連続的なので (これは後に証明される)

V =

⎧⎪⎨⎪⎩

Q

4πε0a3

(−r2

2+

3a2

2

)r < a

Q

4πε0rr > a

(3.22)


である。静電エネルギー U は

U =1

2

∫ a

0

dr4πr2ρV (r) (3.23)

=1

2

∫ a

0

dr4πr2ρQ

4πε0a3

(−r2

2+

3a2

2

)

=Q2

4πε0a3

3

2a3

∫ a

0

dr

(−r

4

2+

3a2r2

2

)

=Q2

4πε0a

3

5

一方， ∫dV

ε0E2

2=

ε02

(Q

4πε0

)2 [∫ a

0

drr2

a64πr2 +

∫ ∞

a

dr1

r44πr2

](3.24)

=Q2

4πε0a

3

5

である。また，

U =1

2

1

4πε0

∫dV ρ

∫dV ′ρ

1

|r − r′| (3.25)

=1

2

1

4πε0ρ2

∫ a

0

dr4πr2

∫ a

0

dr′2πr′2∫ π

0

sin θdθ√r2 + r′2 − 2rr′ cos θ

=1

2

1

4πε08π2ρ2

∫ a

0

r2dr

∫ a

0

r′2dr′∫ 1

−1

dt√r2 + r′2 − 2rr′t

=1

2

1

4πε08π2ρ2

∫ a

0

r2dr

[∫ r

0

dr′2r′2

r+

∫ a

r

dr′2r′]

=1

2

1

4πε08π2ρ2

∫ a

0

dr

(a2r2 − r4

3

)

=Q2

4πε0a

3

5

ここで， ∫ 1

−1

dt√r2 + r′2 − 2rr′t

=

{2r

r′ < r2r′ r′ > r

(3.26)

を用いた。いずれにせよ，結果は同じである。

Problem 3.3 原点 (0, 0, 0)と点 (0, 0, a)にそれぞれ電荷，q1, q2の点電荷がおかれている。前者が作る電場をE1，後者が作る電場をE2とする。

1. E1を求めよ。（ベクトルで書くように！）


2. E2を求めよ。（ベクトルで書くように！）

3. 電場のエネルギーは

ε0(E1 + E2)2

2=ε0E

21

2+ε0E

22

2+ ε0E1 ·E2

である。右辺の最初の 2項は，点電荷が独立にもっている電場のエネルギー，最後の項が電荷の相互作用によって生じた項である。

この相互作用のエネルギー ∫dV ε0E1 · E2

を求めよ。

ヒント；極座標を用いよ。rについての積分を行い，その後，cos θ = tとして t

に関する積分を行う。なお，不定積分，∫dr

r − A√r2 + a2 − 2rA

3 =−1√

r2 + a2 − 2rA+ C

である。

26

第4章境界値問題

4.1 解の一意性ある場所に点電荷があったとしよう。これだけで電場が決まるだろうか？答えはNO

である。この電荷が真空中にあるか，導体がそばにあるかで電場は全く異なる。点電荷があることで，導体の表面に電荷ができる。この表面の電荷がわかれば，電場

はクーロンの法則から求められるのだが，この表面の電荷が簡単にはわからない。こうした導体などと真空などの境を境界とよび，境界面上の条件と境界以外での電荷分布を与えて，電場を求める問題を境界値問題とよぶ。ではどのような境界を与えれば問題が解けるのだろうか？これは以下の 3通りである。

1. 境界上でポテンシャルが与えられたとき

2. 境界上で境界に垂直な方向の電場が与えられている

3. 導体の場合，境界面上で全電荷が与えられている

これを証明する。境界内部で divE1 = ρ/ε0をみたす電場があったとする。1divE2 = ρ/ε0も成り立っ

ているとしよう。この方程式を満たすEは無限にある。（真空中でもいろいろな電場が可能なことを思い出せばいいだろう。）これらの電場にはポテンシャルΦ1,Φ2が対応している。E1 = −∇Φ1 , E2 = −∇Φ2である。二つの差がなくなる条件を求めるのだから，差をとってみる。E = E1 − E2,Φ =

Φ1 − Φ2である。

div(ΦE) = ΦdivE + (∇Φ) · E = 0 − E · E = −E2 (4.1)

である。両辺を境界にそって積分すると，∫V

div(ΦE)dV =

∫(ΦE) · ndS (4.2)

である。もし表面積分が一致すれば，

0 =

∫V

div(ΦE)dV = −∫

V

E2dV (4.3)

1境界内部という言い方は誤解を招くかもしれない。要するに導体の外部。


なので，E = 0が至るところで成立している必要がある。こうして表面積分が一致していればよいことになる。上の 1，2の条件はΦ = 0,E · n = 0を意味するので，確かに一意的に電場が決まる。

3番目の条件はこうやって導く。∫(ΦE) · ndS =

∑i

Vi

∫Si

(E1 −E2) · dS =1

ε0

∑i

Vi(Qi1 −Qi

2) (4.4)

こうして，導体の全電荷（表面電荷でないことに注意！）が与えられれば，電場は一意的に決まる。以上の条件を単一解の定理とよぶ。

4.1.1 空洞をもつ導体

空洞をもつ導体中では，外の電荷がどんな値をとっていようと電場は 0である。導体内部の空洞壁は等ポテンシャル面で，この値を V0とすると，空洞内全体で V = V0

は空洞中でdivgradV = 0を満たし，境界で値が与えられているから単一解の定理よりこれが解になっていることがわかる。よって空洞全体でポテンシャルは一定で，電場は 0ということがわかる。空洞内部に電荷があった場合はどうなるか？この場合，空洞内部の電場は

1. 導体の外側の電荷とこれによって導体表面上に誘起された電荷とが作る電場

2. 空洞中の電荷とこれによって導体表面上に誘起された電荷とが作る電場

の重ね合わせである。前者は空洞中で常に 0であるので，外にどんな電荷があろうと，空洞内の電場は影響を受けない。これを静電遮蔽とよぶ。

4.2 映像電荷静電気学の多くの問題は導体のポテンシャルと導体外の電荷分布を与えて，電場を

求めるものである。そこで導体を取り去ってしまって，導体のあった場所で導体と同じポテンシャルを与える，仮想的な電荷考えるのが映像電荷である。なぜ，映像電荷(mirror charge)というかは以下の例を見ればよい。点電荷 qが接地した（ポテンシャルが 0の）無限に大きな導体平面から dだけ離れて

いるとする。この平面上でポテンシャルを 0にするには，無限に大きな導体平面の代わりに−dだけちょうど鏡の像の位置に−q電荷の電荷をおいてやればよい。この仮想的な電荷が映像電荷である。


このとき，ポテンシャルは

r+ =√

((z − d)2 + r2) , r− =√

((z + d)2 + r2) , Φ(r) =q

4πε0

(1

r+− 1

r−

)(4.5)

で与えられる。導体表面上の電場は

E = (0, 0,− qd

2πε0R3) , R =

√r2 + d2 (4.6)

となる。表面電荷はガウスの法則より，

σ = ε0Ez = − qd

2πR3(4.7)

となる。

Problem 4.1 境界面上で σを積分し，これが−q，すなわち映像電荷に等しいことを示せ。

導体球の外部に電荷がおかれた場合は以下のように考える。原点に半径 aの導体球がおいてあり，電荷 qの点電荷が rq においてあるとする。はじめ，球が接地されているとする。このとき球の表面で電位は 0になる。試しに

中心と点電荷を結んだ直線上 (z軸にとる), (0, 0, rI) に電荷，qIをおく2。このとき，球の表面でポテンシャルが 0になる条件は

0 = 4πε0Φ(r) =q√

a2 + r2q − 2arq cos θ

+qI√

a2 + r2I − 2arI cos θ

(4.8)

である。これよりqIrI

= −qa,rq

a=a

rI(4.9)

ととればよい。よって映像電荷の大きさは

qI = −(a

rq

)q (4.10)

で位置は

rI =a2

rq

(4.11)

である。接地されていない場合は，球のポテンシャルがΦ0となっている。このときは球の中

心にもう一つの映像電荷をおいてやって，ポテンシャルを調節すればよい。2この軸上におくのは対称性からである。


Problem 4.2 電荷Qの電荷をもった接地されていない球と，外部電荷 qのつくるポテンシャルを求めよ。とくに球の表面上のポテンシャルが

Φ =Q− qI4πε0a


4.3 電気容量高校時代にさんざん，コンデンサの問題をやっていると思うが，それは平行平板コ

ンデンサが主であった。ここでは平行平板コンデンサでなく，一般の形の多数の導体からなる系での電気容量を議論する。N 個の導体が空間である配置を取っていたとする。電荷が存在するのは導体表面だ

けだとする。導体 iに与えられた電荷はQiとする。電荷が与えられているのでポテンシャルは一意的に決まる。（もちろん定数だけずら

す任意性があるので，無限遠や適当な境界を 0ととっておく。）この系の静電ポテンシャルΦ(r)を導体の電荷で書くと

Φ(r) = F (r;Q1, Q2, · · · , QN) (4.12)

で表される。F は導体の配置で決まる関数である。別の電荷分布，{Q′i}が与えられると

Φ′(r) = F (r;Q′1, Q

′2, · · · , Q′

N) (4.13)

となる。では，{Q′′i } = {Qi +Q′

i}が与えられたときのポテンシャルはどうなるであろうか？すなわち

Φ′′(r) = F (r;Q′′1, Q

′′2, · · · , Q′′

N ) (4.14)

はどうなるか？そこで f(r) = Φ(r) +Φ′(r)とする。divgradΦ = divgradΦ′ = 0なので divgradf = 0

である。また，f は導体 i上で一定の値を取る。なぜならΦ,Φ′がそれぞれ一定であるから。このとき，

ε0

∫Vi

dVi divE = −ε0∫

Si

dSi gradf · ni = −ε0∫

Si

dSi(gradΦ + gradΦ′) · ni = Qi +Q′i

(4.15)

なので f は電荷Qi +Q′iが与えられたときの解になっている。解の一意性により，

Φ′′(r) = F (r;Q1 +Q′1, Q2 +Q′

2, · · · , QN +Q′N) (4.16)

= F (r;Q1, Q2, · · · , QN) + F (r;Q′1, Q

′2, · · · , Q′

N)


j

Q1Q2

Qj

Qi

が成立している。これが重ね合わせの原理である。重ね合わせの原理が成り立っている場合，

Φi =

n∑j=1

pijQj (4.17)

でなければならない。まず，すべての導体で Qi = 0ならポテンシャルは 0である。(x = 2xとなるから。) 2次関数以上だとだめになるのは代入してみればよい。

(4.17)を逆に解いて，

Qi =n∑

j=1

CijΦj (4.18)

をうる。Ciiは静電容量係数，Cijは静電誘導係数とよばれている。Cijの物理的な意味は，接地した複数の導体を考え，そのうち一つだけ，接地せずに 1Vの電位を与えたときに誘起される電荷である。ここで Cij の対称性について述べておく。Vj = 1でその他は接地されている場合の

電荷密度を σj(r)とする。このとき，

Cij = Qi =

∫Si

dSσj(r) (4.19)

である。つぎに Vi = 1とした状況を考える。このとき，Φi(r) = 1が導体 i上で成り立っている。他の導体上ではΦi(r) = 0である。よって

Cij = Qi =∑

k

∫Sk

dSkΦi(r)σj(r) (4.20)

である。積分はすべての導体表面上で行うので∑がついている。(0をかける，1をか

けるのでこれが許される。) ここで

Φi(r) =1

4πε0

n∑k′

∫dS ′

k′σi(r

0)|r − r′| (4.21)


d

RQ1

V1

Q2

V2

を用いると，これらより，

Cij =1

4πε0

n∑k,k′

∫ ∫dSkdS

′k′σj(r)σi(r

0)|r − r′| (4.22)

となる。この式の右辺は i, jを入れ替えても不変なので，Cijは対称である。CとP は逆行列の関係にあるので，Pij も対称である。Cijの符号は以下のようにして決まる。正の電位を iに与えれば，そこから電場が出

てくる。その周りでガウスの法則を適用すればQiが正なことがわかる。よってCiiは正である。iからでた電場は jに入るので導体 jの周りでガウスの法則を適用すれば，導体 jの電荷Qj は負だとわかる。よってCij ≤ 0 , (i = j)である。電場は無限に逃げてしまうものもあるので，正の電荷の周りにあった電気力線が必ずしも負の電荷に吸い込まれるわけではないので，

∑iQi ≥ 0が成立する。

一個の孤立した電荷の場合はQ = CV (4.23)

である。例えば半径Rの導体球の電位は V =Q

4πε0Rなので

C = 4πε0R (4.24)

である。球からずれていてもだいたいこれくらいの大きさになっているのを知っておくとよい。導体が 2個あるときが高校時代にやったコンデンサーである。二つの導体の大きさ

はR程度で，その距離は dとする。この場合，(Q1

Q2

)=

(C11 C12

C21 C22

)(V1

V2

)=

(C11V1 + C12V2

C21V1 + C22V2

)(4.25)


となる。導体 2を接地し，導体 1のポテンシャルを一定として，二つを近づけると，二つの間の電位差が一定なので電場が大きくなる。この状況にガウスの法則を適用すると，二つの距離を近づけるとQ1, Q2が大きくなることがわかる。よって，dが小さくなるとC11, C21が大きくなる。同様にC12, C22も大きくなる。もしポテンシャルが同じなら二つを近づけてもQ1, Q2はほとんど変わらないだろうから，C11 ≈ −C12, C22 ≈ −C21

である。対称性からC12 = C21なので

C11 ≈ C22 ≈ −C12 = −C21 (4.26)

となる。こうして近似的に

Q1 = −Q2 = C(V1 − V2) , C =Q1

V1 − V2

(4.27)

となる。高校時代に習った平行平板コンデンサは非常に特殊な例である。

Problem 4.3 平行平板コンデンサの場合，C =ε0A

dであることを示せ。A = d2とし

て，d = 0.1μmのときのCを求めよ。また，e2

2Cはどの程度か？

4.4 ラプラス方程式

divE =ρ(r)

ε0をポテンシャルで書き直すと，

ΔΦ(r) = −ρ(r)

ε0(4.28)

となる。

divgrad =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(4.29)

をラプラシアンという。特に電荷がない真空中では

ΔΦ(r) = 0 (4.30)

前者をポアッソン (Poisson)方程式，後者をラプラス (Laplace)方程式とよぶ。r → ∞のとき，Φ(r) → 0ではポアッソン方程式の解は

Φ(r) =1

4πε0

∫ρ(r′)dV ′

|r − r′| (4.31)

となる。


ここで物理でこれからよく出てくるデルタ (δ)関数を導入しておく。

Δ1

r= 0(r = 0) (4.32)

で，しかしガウスの定理より∫−Δ

1

rdV =

∫div( r

r3

)dV = 4π (4.33)

である。つまり，原点に無限大のポテンシャルがあり，0×∞ =有限となっていなければいけない。これをデルタ関数とよび δ(x)と書く。

δ(x) =

{0 x = 0

∞ x = 0,

∫ η

−η

δ(x)dx = 1 , for all η > 0 (4.34)

である。これから

−Δ1

r= 4πδ(x)δ(y)δ(z)

def= 4πδ(r) (4.35)

がわかる。また，δ関数の変数が 0になる瞬間だけ意味をもつので∫f(x)δ(x− a) = f(a) (4.36)

である。ただし積分範囲は aをまたぐようにとる。δ関数を使えば，(4.31)が確かにポアッソン方程式の解になっていることがわかる。解が球対称，円柱対称の場合などは，ラプラシアンが作用するのは f(r) = f(x, y, z)

でなく，f(r)であり，簡単になる。

Problem 4.4 系が円柱対称のとき，ポテンシャルは f(r, z) と書ける。f(x, y, z) =

f(r, z)のとき，ラプラシアンは

Δf(r, z) =1

r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+∂2f

∂z2(4.37)


Problem 4.5 系が球対称のとき，ポテンシャルは f(r)と書ける。f(x, y, z) = f(r)のとき，ラプラシアンは

Δf(r) =1

r2

∂

∂r

(r2∂f

∂r

)(4.38)



4.4.1 無限に広い金属板

無限に広い金属板の場合，ポテンシャルは平面に垂直な方向のみに依存する。平面に平行な方向はどこも同等だから，どこかにその方向を向いた電場があるのは ‘不公平”だからである。このとき，ラプラス方程式は

d2Φ(z)

dz2= 0 (4.39)

である。よって解はΦ(z) = a+ bz (4.40)

となる。電場はこれを微分するので一定となる。

4.4.2 円柱対称

無限に長い導線の周りのポテンシャルは円柱対称となる。このとき，

∂

∂r

(r∂f

∂r

)= 0 (4.41)

から，Φ(r) = a+ b log r (4.42)

である。

4.4.3 球対称

同心円の二つの導体球 (半径 a, b, b > a) の作るポテンシャルは球対称である。この場合，

∂

∂r

(r2∂f

∂r

)= 0 (4.43)

なので，

r2 dΦ

dr= C1 , Φ(r) = −C1

r+ C2 (4.44)

となる。外側の電位を Vb，内側を Vaとすると

Va = −C1

a+ C2 , Vb = −C1

b+ C2 (4.45)

となる。これから

C1 = (Vb − Va)ab

b− a, C2 =

Vbb− Vaa

b− a(4.46)

となる。


Problem 4.6 内側の球の電荷は

qa = −4πε0

(Vb − Va

b− a

)ab (4.47)


球の外側の電位は，無限遠でΦ = 0，r = bでΦ = Vbより，Φ = bVb/rとなり，電場はE = bVb/r

2となる。これより，２つの球の外側でガウスの法則を適用すると

qa + qb

ε0= 4πbVb (4.48)

となり，

qb = 4πε0

(bVb − aVa

b− a

)b (4.49)

となる。こうして，

(qa

qb

)=

⎛⎜⎝

4πε0ab

b− a−4πε0ab

b− a

−4πε0ab

b− a

4πε0b2

b− a

⎞⎟⎠(Va

Vb

)(4.50)

となる。こうして，同心球の電気容量 (正確には相互容量係数)は (4.47)式から

Cab = Cba = −4πε0ab

b− a(4.51)

となる。

4.5 より一般的なラプラス方程式の解 (以降の節は電磁気学 Iで再び扱うのでとばす。)

ラプラス方程式の形は実は量子力学で非常に頻繁に出てくる形である。そこで，1年生には少し難しいかもしれないが，そのいろいろなとき方をここに記しておく。

4.5.1 フーリエ展開

まずは極座標でなく，直交座標で考える。ポテンシャルは x, yのみに依存してるとする。するとラプラス方程式は(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)Φ(x, y) = 0 (4.52)


となる。ここで変数分離解を仮定する。(この仮定がうまく行ったら解の一意性から解が求められたことになるし，うまく行かなかったら別の方法を考えることにする。) 変数分離解とは，

Φ(x, y) = X(x) × Y (y) (4.53)

となっているものである。これを上のラプラス方程式に代入すると，

Y (y)d2X(x)

dx2+X(x)

d2Y (y)

dy2= 0 (4.54)

となる。両辺をX(x)Y (y)で割り算すると，

1

X(x)

d2X(x)

dx2+

1

Y (y)

d2Y (y)

dy2= 0 (4.55)

となる。この方程式の左辺第 1項はxだけの関数，第 2項は yだけの関数なので，この方程式の右辺が任意の x, yに対して 0であるためには

1

X(x)

d2X(x)

dx2= − 1

Y (y)

d2Y (y)

dy2= C (4.56)

である。Cは定数である。仮にこれが負だとする (正の場合はX, Y を入れ換えれば同じ議論ができる) 3。C = k2とおいて

d2X(x)

dx2= −k2X ,

d2Y (y)

dy2= k2Y (4.57)

となる。この式はよく見たことのある式で，特に最初の式は単振動の方程式である。

X(x) = Ak cos kx+Bk sin kx (4.58)

Y (y) = Ck exp(−ky) +Dk exp(ky) (4.59)

(4.60)

これは任意の kについて成り立つのでΦ(x, y)は

Φ(x, y) =∑

k

(Ak cos kx+Bk sin kx)(Ck exp(−ky) +Dk exp(ky)) (4.61)

である。話は少し横道にそれるが，−a ≤ x ≤ aで定義された任意の関数 f(x)は正弦波と余

弦波の重ね合わせで書ける。つまり

f(x) =∞∑

n=0

(An cos

nπx

a+Bn sin

nπx

a

)(4.62)

30の場合，X = a + bx, Y = c + dyである。


となる。これをフーリエ級数展開，またはフーリエ展開とよぶ。∫ a

−a

dx sinmπx

asin

nπx

a= aδmn (mn = 0) (4.63a)

∫ a

−a

dx cosmπx

acos

nπx

a= aδmn (mn = 0) (4.63b)

∫ a

−a

dx sinmπx

acos

nπx

a= 0 (4.63c)

である。これらの式を使うと，

A0 =1

2a

∫ a

−a

dxf(x) (4.64)

An =1

a

∫ a

−a

dxf(x) cosnπx

a(n = 0)

Bn =1

2a

∫ a

−a

dxf(x) sinnπx

a(4.65)

となる。フーリエ級数の意味はあらゆる関数は異なる波長をもった波の重ね合わせにすぎな

いことを意味している。

4.5.2 導体平面内部のポテンシャル

実例として図のような導体面で囲まれた領域の内部のポテンシャルを求めよう。y方向に伸びる平面は接地されていて V = 0である。x方向の面は V0の電位をもつ。変数分離解を仮定する。x = 0, aで Φ = 0となるのは exp型の関数では不可能であ

るから，x方向が三角関数型である。よって

Φ(x, y) =∑

k

(Ak cos kx+Bk sin kx)(Ck exp(−ky) +Dk exp(ky)) (4.66)

が解の候補である。y → ∞でポテンシャルが発散しないためにはDn = 0。x = 0, aで V0であるために

はAk = 0で k =nπ

aである。よって

Φ(x, y) =

∞∑n=0

Cn sinnπ

aexp(−nπy/a) (4.67)

という形まで絞り込める。


0 a

Φ=0 Φ=0

Φ=V0

y = 0でΦ = V0とするので

V0 =∑

n

Cn sinnπ

a(4.68)

である。∞∑

n=1

dxCn

∫ a

0

sinmπ

asin

nπ

a= V0

∫ a

0

dx sinmπ

a(4.69)

からCnを (4.66)を使って求めると，

Cn =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

4V0

nπn = 1, 2, 3, 4, ...

0 n = 2, 4, 6, 8, ....

(4.70)

となる。こうして

Φ(x, y) =4V0

π

∞∑l=1

1

2l − 1sin

(2l − 1)πx

ae−(2l−1)πy/a (4.71)

となる。


4.6 ルジャンドル展開ラプラス方程式を極座標で書くと

0 = ΔΦ =1

r2

∂

∂r

(r2∂Φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2Φ

∂φ2(4.72)

となる。右辺は量子力学でよく出てくる形である。静電磁気学の場合，軸対称解，すなわちΦ(r, θ, φ) = Φ(r, θ)となっており，∂Φ/∂φ = 0

の場合が重要である。このとき，ラプラス方程式は

0 = ΔΦ =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂Φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Φ

∂θ

)(4.73)

である。これを解くため，変数分離解を仮定する。

Φ(r, θ) = R(r)Θ(θ) (4.74)

これより，1

R(r)

d

dr

(r2 dR(r)

dr

)= − 1

Θ

d

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)(4.75)

これが任意の r, θで成立するためには

d

dr

(r2 dR(r)

dr

)= CR(r) (4.76)

およびd

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)= −CΘ(θ) (4.77)

が成立している必要がある。Rは 1階微分して r2をかけて 1階微分すると元に戻る。これはべき関数だと当たり

をつけ，R(r) = Anr

n +Bnr−n−1 , C = n(n + 1) (4.78)

とわかる。θ成分解は

μ = cos θ (4.79)

とおいてd

dθ= − sin θ

d

dμ= −

√1 − μ2

d

dμ(4.80)

となるので，ルジャンドル方程式

d

dμ

[√1 − μ2

dΘ

dμ+ n(n+ 1)θ = 0

](4.81)


をえる。こうして軸対称の解は

Φ(r, θ) =∑

n

Rn(r)Pn(μ) =∑

n

(Anrn +Bnr

−n−1)Pn(cos θ) (4.82)

となる。ルジャンドル方程式の解は

P0 = 1 , P1 = μ , P2 =1

2(3μ2 − 1) , P3 =

1

2(5μ3 − 3μ) · · · (4.83)

である。実は1√

1 + r2 − 2rμ=

∞∑n=0

rnPn(μ) (4.84)

となっている。なぜかというと，(0, 0, 1)に q = 4πε0 の電荷がある場合の解は Φ =

1/√

1 + r2 − 2rμであるが、これはルジャンドル展開を使ってもかけ、∑∞

n=0 rnPn(μ)

となるからである。

Problem 4.71√

1 + r2 − 2rμを r = 0の回りでテイラー展開してP0, P1, P2を求めよ。

ルジャンドル多項式で重要なのは以下の関係式である。∫ 1

−1

dμPn(μ)Pm(μ) =2

2n + 1δmn (4.85)

である。これは

1√1 + r2 − 2rμ

1√1 + s2 − 2sμ

=∞∑

n,m=0

rnsmPn(μ)Pm(μ) (4.86)

を [-1,1]の領域で μについて積分して

∞∑n,m=0

∫ 1

−1

dμrnsmPn(μ)Pm(μ) =

∫ 1

−1

dμ√(1 + r2 − 2rμ)(1 + s2 − 2sμ)

(4.87)

=1√rs

ln1 +

√rs

1 −√rs

= 2∞∑

n=0

(rs)n

2n+ 1

から導ける。


球対称の質量が作る重力ポテンシャルは，あたかも全質量が中心に集中しているとみなしてよいことを習った。これをルジャンドルの多項式を使って説明する。半径 aの薄い球殻 (面密度 σ)が r > aに作るポテンシャルは∫ π

0

2πa2σ sin θdθ1√

a2 + r2 − 2ra cos θ(4.88)

であるので，∫ 1

−1

2πa2σdμ1

r√

1 + (a/r)2 − 2(a/r)μ=

2πa2σ

r

∫ 1

−1

dμ∞∑

n=0

(ar

)n

Pn(μ) × P0 (4.89)

となる。直交関係からこの積分は n = 0のみ残り、そのときに 2をあたえるので、∫ 1

−1

2πa2σdμ1

r√

1 + (a/r)2 − 2(a/r)μ=

4πa2σ

r(4.90)

となり、aによらない。

4.6.1 一様な電場中の金属球

ルジャンドル展開の応用として大きさ E0の一様な電場中の導体球のつくるポテンシャルを求めよう。この解は (4.82)式から

Φ(r, θ) =

(A0 +

B0

r

)P0(μ) +

(A1r +

B1

r2

)P1(μ) +

(A2r

2 +B0

r3

)P2(μ) + · · · (4.91)

導体球が接地されているとすると，r = aでΦ = 0なので，

An = − Bn

a2n+1(4.92)

となる。rが十分大きいとき，E = E0zなのでΦ = −E0r cos θ となるはずである。

A1 = E0 , An = 0 (n = 1) (4.93)

となる。こうして

Φ(r, θ) = E0

(−r +

a3

r2

)cos θ (4.94)

がわかる。球が接地されていなく，電荷Qが与えられている場合，

Φ(r, θ) =

(A0 +

B0

r

)+ E0

(−r +

a3

r2

)cos θ (4.95)


である。A0 +B0/a = V である。V は球の電位である。ガウスの法則から表面電荷は

σ = ε0Er = −ε0 ∂Φ

∂r

∣∣∣∣a

(4.96)

となるので，

σ =ε0B0

a2+ 3ε0E0 cos θ (4.97)

Q =

∫ 1

−1

σ2πa2dμ = 4πε0B0 (4.98)

となる。これよりB0を消去でき，

Φ(r, θ) = V − Q

4πε0a+

Q

4πε0r− E0r cos θ +

E0a3

r2cos θ (4.99)

となる。最初の 3項は孤立した球の電荷，第 4項は外からかけた電場で，最後の項が電場によって球面上の電荷の分布が変化した項である。

43

第5章電気双極子と誘電体

原子や分子は中性である。では，これらは電磁相互作用をしないのかというと，実はかなり強い相互作用をする。それはなぜか？

5.1 電気双極子ポテンシャル原子や分子の内部の電荷密度を ρ(r)とする。この作る電場は (2.9)のように

Φ(r) =1

4πε0

∫ρ(r′)dV ′

|r − r′| (5.1)

となる。ここで r � r′のとき，

1

|r − r′| =1

r

(1 − 2r · r′

r2+r′2

r2

)−1/2

(5.2)

≈ =1

r

[1 − 1

2

(−2r · r′

r2+r′2

r2

)+

3

8

(−2r · r′

r2+r′2

r2

)2

+ · · ·]

と書ける。ここで 1/rの次数でまとめて，

1

|r − r′| =1

r+

r · r′

r3+

1

2

[3(r · r′) − r2r′2

r5

]+ · · · (5.3)

となるので，結局

Φ(r) =1

4πε0

{1

r

∫ρ(r′)dV ′ +

1

r3

∫r · r′ρ(r′)dV ′ (5.4)

+1

r5

∫ [3(r · r′)2 − r2r′2

2

]ρ(r′)dV ′

}

このように十分遠いところから電荷密度を眺めたときの展開を (つまり 1/rに関する展開を)多重極展開とよぶ。それぞれの展開を個別に書くと，

1. 電気単極子モーメント:

q =

∫ρ(r′)dV ′ (5.5)


この項は見慣れた q/rを与える。遠くから見れば第一近似としては点電荷と見なしていいと言うことを意味している。

2. 電気双極子モーメント:

p =

∫r′ρ(r′)dV ′ (5.6)

これはp · rr3

(5.7)

の項を与える。これは電荷の偏り (重心のずれ)に対応している。

3. 電気 4重極子モーメント:

Qij =

∫(3x′ix

′j − δijr

′2)ρ(r′)dV ′ (5.8)

これは電荷分布のゆがみを与える。

こうしてポテンシャルは

Φ(r) =q

4πε0r+

p · r4πε0r3

+∑i,j

Qijxixj

8πε0r5+ · · · (5.9)

と書ける。電荷 q,−qがそれぞれ (0, 0, d/2), (0, 0,−d/2)にある場合，単極子は 0である。双極子

は p =∫

r′ρ(r′)dV ′ = qdz なので，

Φ(r) =qdz

4πε0r3=

p · r4πε0r3

(5.10)

となる。

Problem 5.1 (5.10)式を r± =√x2 + y2 + (z ∓ d/2)2として，

Φ(r) =q

4πε0

(1

r+− 1

r−

)(5.11)

から導け。

磁気単極子は存在しない。磁性は必ず双極子以上から始まる。磁場がいろいろなところで顔を出すと言うことは，双極子が無視できない寄与をすることの表れである。


θ

p

r

θ

z

5.2 電気双極子による電場電気双極子による電場はポテンシャルの勾配をとれば求められる。

E(r) = −∇Φ(r) =1

4πε0

[3(r · p)r − r2p

r5

](5.12)

p = pzというように pの方向に z軸をとると，

Φ(r) =p cos θ

4πε0r2(5.13)

である。電場は

Er =p

4πε0

2 cos θ

r3, Eθ =

p

4πε0

sin θ

r3, Eφ = 0 (5.14)

である。ここでz = r cos θ − θ sin θ (5.15)

を用いた。一様な電場E中の電気双極子のエネルギーは，これを 2個の点電荷からなると考え

れば，U = −qdE cos θ = −p · E (5.16)

となる。このエネルギーを下げようとして，双極子に電場をかけると，この電場の向きに双極子はそろいたがる。


5.3 誘電体高校時代の復習から始めよう。電位差一定のもとで，平行平板コンデンサに誘電体

を挟むと，キャパシタンスは κ倍になることを学んだ。これをミクロな立場から説明するとこうなる。まず，金属板間の電場は電位差が一定で金属板間の距離も一定なので，一定である。

一方，電荷は κ倍になっている。誘電体を挟む前，Q0の電荷がたまっているとすると挟んだ後は κQ0の電荷がたまっている。金属板にガウスの法則を適用すると，金属板付近にたまっている電荷が求められる。電場が不変なので，この電荷はQ0でないといけない。よって，誘電体表面に−(κ− 1)Q0，金属板表面に κQ0の電荷がたまっていることになる。これは電場がかかったため，誘電体中の双極子が電場方向にそろって，表面に電荷が生じたと考えられる。κ− 1は電場をかけたとき，どれくらい分極が起こるかを表しているので，電気感受

率とよばれる。より正確には電気感受率 χは

χ = (κ− 1)ε0 (5.17)

である。誘電率 εはε = ε0 + χ (5.18)

である。もとからあった金属板の電荷を自由電荷，分極で生じた電荷を分極電荷とよぶ1。分

極電荷は分極からどのように生じるか，述べておこう。位置 r′に微小体積要素 dV ′を考え，そこの分極電荷 dp(r′)があったとする。この分極電荷は考えている微小体積用に比例するから，その比例係数をP と書くと，ポテンシャルはR = r − r′として

Φ(r) =1

4πε0

∫dV ′P · R

R3=

1

4πε0

∫dV ′P · ∇

(1

R

)(5.19)

となる。A · ∇B = div(AB) − BdivA (5.20)

より

Φ(r) =1

4πε0

∫dV ′div

(P

R

)+

1

4πε0

∫dV ′−divP

R(5.21)

である。ガウスの定理を右辺第 1項に適用して，

Φ(r) =1

4πε0

∫dS ′

(P · nR

)+

1

4πε0

∫dV ′−divP

R(5.22)

1自由電荷でなく，真電荷とよぶ教科書もあるが，にせの電荷というと鏡像電荷のようなので，ここでは自由に動けるので，自由電荷とよぶ。


はじめの項は表面からくる寄与なので，分極によって表面に電荷密度 σPが現れ，これは

σP = P · n (5.23)

となることを意味する。第 2項は分極電荷密度 ρPが

ρP = −divP (5.24)

となることを意味する。

5.4 誘電体中のガウスの法則誘電体中でのガウスの法則は

divE =ρ

ε0=ρf + ρP

ε0=ρf − divP

ε0(5.25)

となるので，

div

(ε0E + P

ε0

)=ρf

ε0(5.26)

となる。ここで電束密度Dを

D = ε0E + P = εE (5.27)

と定義すると，誘電体中のガウスの法則，

divD = ρf (5.28)

が導かれる。これを積分形にすると，∫D · dS = Qf (5.29)

となる。Qfは積分領域 S中の自由電荷である。この積分形を面と垂直な非常に小さい円柱に対して適用すると，

(D1 − D2) · n = σf (5.30)

が得られる。これがDの法線方向の条件式である。また，界面に沿った方向に長い小さな長方形に沿って

∫E · drを考えると，ポテンシャルは一周回って元に戻るので，0

となる。よって(E2 − E1) · t = 0 (5.31)

が得られる。tは界面に沿った方向のベクトルである。要するに，界面に沿った方向の電場成分は保存されると言うことである。


Problem 5.2 dだけ離れた平行平板コンデンサに厚さ，d0の誘電体を差し込むとキャパシタンスが

C =S

(d − d0)/ε0 + d0/ε(5.32)

となることを示せ。(ヒント；電束密度は一定であることを使うと簡単。)

Problem 5.3 誘電体中に点電荷 qがあったときの電束密度はガウスの法則から

D =q

4πr3r (5.33)

であり，電場はE =

q

4πεr3r (5.34)

分極密度はP = D − ε0E であるので

P =(ε− ε0)q

4πεr3r (5.35)

である。このとき，ある球面内の全電荷Q = q + qPは

Q =q

κ(5.36)

となっていることを示せ。

水の分子はO2−と H+が 0.96×10−10離れており，H-O-Hのなす角度は 104.5◦である。水の双極子モーメントが 0.62× 10−29Cmである。このことから電荷は分子全体に広がっていることがわかる。

5.4.1 一様な電場中の誘電体球 (以降の節は電磁気学 Iで再び扱うのでとばす。)

前節では一様な電場中の金属球について考えたが，今度は z方向を向いた大きさE0

の一様な電場中の導体球について考える。ラプラス方程式の解は (4.82)式から

Φ(r, θ) =

(A0 +

B0

r

)P0(μ) +

(A1r +

B1

r2

)P1(μ) +

(A2r

2 +B0

r3

)P2(μ) + · · · (5.37)

であるが，無限遠で−E0r cos θ となることから，

Φ(r, θ) =

(A0 +

B0

r

)+

(A1r +

B1

r2

)cos θ (5.38)

である。そこで誘電体の外では

Φout(r, θ) =B0

r+

(−E0r +

B1

r2

)cos θ (5.39)


である。誘電体球の中では (5.38)式で

Φin(r, θ) = A0 + A1r cos θ (5.40)

である。接続の条件 (5.30), (5.31)式から

ε0∂Φout

∂r

∣∣∣∣r=a

= ε∂Φin

∂r

∣∣∣∣r=a

,∂Φout

∂θ

∣∣∣∣r=a

=∂Φin

∂θ

∣∣∣∣r=a

(5.41)

をうるので，

B0 = 0, εA1 = −(E0 +

2B1

a3

)ε0, A1 = −E0 +

B1

a3(5.42)

となる。これより

Φout =

(−E0r +

(ε− ε0)E0a3

(ε+ 2ε0)r2

)cos θ (5.43)

Φin = − 3ε0(ε+ 2ε0)

E0r cos θ (5.44)

球内の電場は

Ein = −∇Φin ==3ε0

(ε+ 2ε0)∇(E0 · r) =

3ε0(ε+ 2ε0)

E0 (5.45)

なので，面白いことに半径 aによらない。分極によって生じた電場E′は

E′ = Ein − E0 = − ε− ε0(ε+ 2ε0)

E0 = − χ

(ε+ 2ε0)E0 (5.46)

で，これは球の半径によらず，電場をかけるとそれを打ち消すような分極によって生じることを示している。分極率P はP = χEin で与えられるので，

E′ = − P

3ε0(5.47)

の関係がある。平行平板コンデンサのときは，極板間の Eとすると，分極により生じる電場 E ′は

−χE/ε0 となる。分極率は P = χEとなるので

E′ = −P

ε0(5.48)

で球のときよりも 3倍大きい。

50

第6章電流と磁場

電子が移動すると電流が生じる。電流 I の定義はある断面を単位時間あたりに通る電荷の大きさで，その単位は C/sである。電流密度 jはこの断面を単位面積にとったものである。

Problem 6.1 電子の数密度を n，その速度を vとすると，電流密度は

j = −nev (6.1)


6.1 連続の式電流がみたす一般的な性質について考察しよう。電流が流れている領域である閉じ

た面 Sを考え，その面から垂直に出て行く電流∫

Sj(x) ·n(x)dSを勘定する。n(x)は

面に垂直な方向の単位ベクトルである。面から出て行く電流と面に入る電流は等しいので (そうでないと閉じた面の中に無限に電荷がたまってしまうか，無限に出て行ってしまう)，この積分は任意の断面について 0 である。これから∫

S

j(x) · n(x)dS = 0 (6.2)

ガウスの定理から左辺の積分を変形して∫divj(x)dV = 0 (6.3)

をうる。これが任意の断面で囲まれた体積で成り立つので，

divj(x) = 0 (6.4)

である。定常電流でない場合，

∫S

j(x) ·n(x)dSはある断面から単位時間に出て行ってしまう電荷を表すので， ∫

S

j(x) · n(x)dS = −∂Q∂t

= − ∂

∂t

∫ρ(x)dV (6.5)


である。よって

divj +∂ρ

∂t= 0 (6.6)

が成立している。これは連続の式とよばれ，いろいろなところに顔を出す。

6.2 オームの法則抵抗を受けているときの電子の運動方程式は

mdv

dt= −eE − mv

τ(6.7)

である。τ は電子の平均自由行程である。定常状態では vは一定なので

mv

τ= −eE (6.8)

となり、j = n(−e)vよりj = σE, σ =

ne2τ

m(6.9)

σを電気伝導度とよぶ。この逆数が抵抗率である。抵抗Rと抵抗率 ρの関係は，lを系の長さ，Sを系の断面として，

R = ρl

S(6.10)

である。

6.3 キルヒホッフの法則電流が流れる通路を回路とよぶ。電流は放っておくと散乱によって 0になってしまうの

で，起電力が必要である。この回路での電流と起電力はキルヒホッフの法則 (Kirchhoff)

に従う。

1. 回路の任意の分岐点に流れ込む電流の和は 0である。

2. 任意の閉回路での起電力の和は，抵抗による電圧降下の和に等しい。

最初の法則は電流密度の保存則から導かれる。2番目の法則は電位が位置の一意関数だと言っているだけである。

Problem 6.2 ホイートストーン (Wheatstone)ブリッジについて調べ，これがどのような役に立つかを述べよ。


6.4 ローレンツ力磁場中の電荷には力は働かない。しかし，磁場中の電流には力が働く。この力はロー

レンツ力とよばれる。これは物理の基本法則の一つである。ローレンツ力とは以下のように表される。電場と磁束密度が存在している場合，電

荷 qにF = q(E + v ×B) (6.11)

が働く。なぜ電場も一緒に書いておくのか，不思議に思うかもしれない。これはこのような事情からである。例えば，速さ vで動いている人から見ると，この電荷は止まって見える。すると力が働いていないように見える。しかし静止系では電荷に確かに力が働いているのである。実は動いている系では磁場が電場に変換されて見え，結局同じ力が働いているのである。このようにローレンツ力における電場と磁場は切っても切れない関係にある。

6.5 ビオ-サバールの法則電荷間にクーロン力が働く。これは一つ目の電荷が電場を作り，その電場がもう一つ

の電荷に力を及ぼすことで説明された。同様に電流間に力が働く。これは一つの電流が磁場を作り，その磁場がローレンツ力をもう一方の電流に及ぼすと考えられる。この電流が作る磁場を与えるのが，ビオーサバールの法則である。ビオーサバールの法則とは電流 Iの線要素 dsがつくる磁束密度 dBが

dB =μ0

4π

Ids × r

r3(6.12)

と主張するものである。μ0は真空の透磁率とよばれ，

μ0 = 4π × 10−7[N ·A−2] (6.13)

である。例えば，直線電流が作る磁場は

B =μ0I

4π

∫dr′ × R

R2(6.14)

である。R2 = r2 + z2 , dr′ = zdz′ , dr′ × R = φ

r

Rdz′ (6.15)

とすると，

B(r) =μ0I

4πφ

∫ ∞

−∞

rdz′

(r2 + z′2)3/2=μ0I

4πφ

z′

r(r2 + z′2)1/2

∣∣∣∣z′=∞

z′=−∞(6.16)


よって

B(r) =μ0I

2πrφ (6.17)

となる。この電流と平行に I ′が走っている場合，ローレンツ力は qvB = I ′B/(nS)である。

nSは単位長さあたりの電子の数である。よって単位長さあたりに働く力は

qvB(nS) = I ′B =μ0II

′

2πr(6.18)

である。これが二つの平行に走る電流に働く力である。

6.6 アンペールの法則クーロンの法則に対応するのがビオーサバールの法則である。クーロンの法則から

電場を計算するよりも，ガウスの法則を使う方が便利であり，一般的であった。よってビオーサバールの法則に対応する法則を見つけよう。ビオーサバールの法則により，回路C’を流れる電流が場所 rにつくる磁場は

B =μ0

4π

∫C′

Idr′ × (r − r0)|r − r0|3 (6.19)

で与えられる。この磁束密度を別の閉曲線Cについて積分すると，∫C

B · dr =μ0

4π

∫C

∫C′

I [dr0 × (r − r′)] · dr

|r − r0|3 (6.20)

である。[dr′×(r−r′)] ·dr = (dr×dr′)·(r−r′)を使う。ここで，この積分をr−r′ = r′′

を変数としてみると，この積分はCが徐々に−r′ずれていくことで，作られる面に関する積分であることがわかる。その積分は∫

C

B · dr =μ0I

4π

∫C′

∫C′′

I(dr′′ × dr′) · r′′

r′′3(6.21)

dr′′ × dr′は，その絶対値が面積を表し，方向がその面の法線になっているベクトル，r′′r′′3 は r′′方向を向き，大きさが 1/r′′2のベクトルである。二つのなす角度を cos θとすると，この積分は ∫

C

B · dr =μ0I

4π

∫ ∫cos θdS

r′′2(6.22)

この積分は立体角 4πを与え，結局，∫C

B · dr = μ0I (6.23)


が得られる。これがアンペールの法則である。(6.23)式の右辺は

μ0

∫S

j · ndS

左辺はストークスの定理より， ∫S

rotB · ndS

となるので，rotB = μ0j (6.24)

である。これがガウスの法則の微分形に対応する。

Problem 6.3 半径 a，大きさ Iの円電流が軸上に作る磁場が

Bz =μ0Ia

2

2(a2 + z2)3/2(6.25)


Problem 6.4 式 (6.25)において，∫∞−∞Bzdzを行え。結果をアンペールの法則で解釈

せよ。

6.6.1 ソレノイド

導線を螺旋状に巻き付けたのがソレノイドである。前問の結果を使うと，z′における半径 aの円電流が zに作る磁場は

Bz =μ0Ia

2

2[a2 + (z′ − z)2]3/2(6.26)

である。巻き数N，長さ Lのソレノイドの場合，dz′にある円電流はNdz′/Lなので

dBz =μ0NIa

2dz′

2L[a2 + (z′ − z)2]3/2(6.27)

となる。これを−L/2から L/2まで積分すると，

Bz =μ0NIa

2

2L

∫ L/2

−L/2

dz′

[a2 + (z′ − z)2]3/2(6.28)

=μ0NI

2L

z′ − z

[a2 + (z′ − z)2]1/2

∣∣∣∣L/2

−L/2


-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2

0.4

0.6

0.8

図 6.1: ソレノイド中の磁場。縦軸はBz/μ0nI，横軸は z/aである。この場合，L/a = 8

と取ってある。

となるので，

Bz =μ0NI

2L

{L/2 − z

[a2 + (L/2 − z)2]1/2+

L/2 + z

[a2 + (L/2 + z)2]1/2

}(6.29)

をうる。L� a, |z|の場合，ソレノイド中の磁場は

Bz =μ0NI

L= μ0nI (6.30)

となる。n = N/Lは単位長さあたりの巻き数である。

Problem 6.5 ソレノイド中の磁場をアンペールの法則から導け。

今求めたのは，軸上の磁場であるが，アンペールの法則を使うと，これが軸から離れてもほぼ一様だということがわかる。

Problem 6.6 半径 aのまっすぐにのびた導線の中に直線電流 I が流れているとする。r > aを今までは考えてきたが，r < aではどうなるか？

Problem 6.7 半径 aの薄い導線の中に直線電流 I が流れているとする。中は空である。この場合，電流の r依存性はどうなるか？

Problem 6.8 アンペールの法則の微分形 rotB = μ0jが，6.6で満たされていることを示せ。

Problem 6.9 内径 a，外径 bの同軸ケーブル中の磁場は

B =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 (r < a)μ0I

2πrφ (a < r < b)

0 (r > b)

(6.31)

である。φは軸の周りの方向である。これを示せ。


6.7 ベクトルポテンシャル電場はポテンシャルを導入すると計算が簡単になり，物理的な意味もはっきりした。

磁場にもこのようなものを探す。電荷に対応するのが電流である。電流が閉曲線を作っているとしてビオーサバールの法則

B =μ0

4π

∫C

Idr′ × (r − r′)|r − r′|3 (6.32)

を再現するようにポテンシャルを見つけよう。r/r3は−∇(1/r)であるので，

A(r) =μ0I

4π

∫C

dr′

|r − r′| (6.33)

を考える。ここで rotAをとってみる。例えば x成分は

[rotA]x =μ0I

4π

∫C

(∂

∂y

dz′

|r′ − r| −∂

∂z

dy′

|r′ − r|)

(6.34)

=μ0I

4π

∫C

[−dz′(y − y′) + dy′(z − z′)|r′ − r|3

]

となる。これはビオーサバールの法則の x成分そのものである。こうして，

B = rotA (6.35)

が導かれる。これはE = −grad Φに対応する。(6.33)式は

A(r) =μ0

4π

∫C

dr′3j(r′)|r − r′| (6.36)

ともかける。div rot = 0なので

divB = 0 (6.37)

である。divE = ρ/ε0と比べると，磁場は “磁荷”に当たるものがないことがわかる。

6.8 円電流の磁気モーメントx−y平面内に半径aの円状電流が原点を中心として存在するとする。r′ = (a cos θ, a sin θ, 0)

として，

A(r) =μ0Ia

4π

∫ 2π

0

(d cos θ, d sin θ, 0)

|r − r′| (6.38)


である。これは積分できないが，r � r′とすると

1

|r − r′| =1

r+

r · r′

r3+ · · · (6.39)

となる。右辺第 1項を代入して積分すると 0，第 2項は

Ax =μ0Ia

4π

∫ 2π

0

−(ax cos θ + ay sin θ) sin θdθ

r3= −μ0Iπa

2y

4πr3(6.40)

である1。また，同様にして

Ay =μ0Iπa

2x

4πr3(6.41)

である。よって nを z軸の単位ベクトルとして，

A =μ0IS(n × r)

4πr3(6.42)

である。S = πa2である。rotAから磁束密度を求めると，

Bx =3μ0ISxz

4πr5(6.43)

By =3μ0ISyz

4πr5

Bz =μ0IS(−x2 − y2 + 2z2)

4πr5

でまとめと書くと，

B =μ0

4π

[3(r · m)r − r2m

r5

](6.44)

となる。これは (5.12)と同じ形である。ただし，

m = ISn (6.45)

である。

1三角関数の 2乗をある範囲にわたって積分することが物理では非常に多く見られる。この場合，∫ a+T

a

dx sin2 kx =∫ a+T

a

dx cos2 kx =T

2

を使うとよい。ただし，T は T = π × n, (n :整数)を満たすとする。


6.9 磁性体鉄，ニッケル，コバルトなどの磁石は磁場を発生する。これはこれらの物質中に微

小な円形電流が流れているためだと考えられる。この微小な円形電流は，内部では互いに打ち消しあって，表面だけに現れる。分極電荷と同じである。こうした微小電流が物質に存在することを磁化とよぶ。外部から磁場をかけないで

も磁化をもつ物質を強磁性体，外から磁場をかけると弱く磁化するものを常磁性体，外から磁場をかけるとその磁場を打ち消すような磁場を発生する物質を反磁性体とよぶ。この微小電流を jmとすると，それが作る磁束密度M は

rotM = μ0jm (6.46)

を満たす。この場合，アンペールの法則は

rotB = μ0(j + jm) (6.47)

となる。この物質の構成要素 (分子，原子)が作る磁束密度Mを磁化とよぶ。これから

rot(B − M) = μ0j (6.48)

となる。ここで

Hdef=

1

μ0(B − M) (6.49)

という，磁場の強さを定義する。定義から

rotH = j (6.50)

である。多くの磁性体では

M = χH (6.51)

である。χは帯磁率とよばれている。H の定義から，

B = (μ0 + χ)H = μH , μ = μ0 + χ (6.52)

である。

6.9.1 境界条件

(6.50)式から ∫C

H · dr =

∫C

j · dr (6.53)


となる。二つの磁性体や磁性体と真空が接しているとき，これは

H2,‖ −H1,‖ = j‖ (6.54)

である。j = 0の場合，H2,‖ = H1,‖ (6.55)

となる。磁束密度は divB = 0を満たす。これを境界面に適用すると，

B2,⊥ = B1,⊥ (6.56)

B2B1 H2H1

図 6.2: 境界面での磁場の連続性。

6.9.2 磁場と電場の対応

電場と磁束密度がローレンツ力を決めるので，これらが対応しており，物質を考えたとき，でてくるのがD,Hである。このような対応をE − B対応という。以上のように電場と磁場は対応している。これを対応表としてまとめておく。

電気磁気もとになるもの電荷 q, ρdV 電流 I, jdV

力 F =qq′

4πε0r2F = −μ0II

′

2πrポテンシャルスカラー, E = −grad Φ ベクトル, B = rotA

ポテンシャルの求め方 Φ =1

4πε0

∫ ρ

RdV ′ A =

μ0

4π

∫ j

RdV ′

発散 divE = ρ/ε0 divB = 0

接続条件 E1,‖ = E2,‖, D1,⊥ = D2,⊥ H1,‖ = H2,‖, B1,⊥ = B2,⊥

60

第7章時間変化する電磁場

ここまで学んだ磁場，電場は時間依存していなかった。これらが満たす方程式は (5.28)

式,(6.37)式, (6.50)式，

divD = ρf , divB = 0 , rotH = j

である。(rotEの式が足りないのに注意。) 電場，磁場が時間変化するときこれらの方程式がどのように変わるか，この章では議論する。

7.1 ファラデーの電磁誘導の法則電流と電流には力が働き，導線は動くだろう。同じように電流 (導線)が運動すれば，

電流ができると考えるが自然である。ファラデーは実験的に以下の事実を見つけた。

1. 近くにおいた電流回路のスイッチを閉じたり開いたりする瞬間に別の回路にも電流が流れる。

2. 近くにおいた回路に電流を流して動かすと，別の回路に電流が流れる。

3. 永久磁石を回路に近づけたり遠ざけたりすると，電流が流れる。

最初の二つは最後の事実を考慮すると，近くの回路に電流を流して磁場ができ，スイッチのオンオフや回路を動かすことで磁場が変化することを考えると，最後の事実と同じことを言っている。つまり，磁場が変化すると電流が流れるのである。電流が流れるのはすなわち，起電力が生じることを意味する。結局，回路に起こる起電力 Eind，回路を貫く磁束をΦとすると

Eind = −dΦ

dt(7.1)

となる。−は起電力によって発生する電流の方向は，磁束の変化を妨げる方向であることに対応する1。

1電場を E としたり，誘導起電力を Eind としたりするのはまぎらわしいが，電磁気学にはいろいろな量が出てくるので，どうしてもある程度，だぶりが出てくる。ポテンシャルが Φ だったり，磁束が Φだったりするのも，同じ理由である。その都度，気をつけてほしい。


(7.1)式を微分形で書こう。

Eind =

∫C

E · dx =

∫S

rotE ·ndS (7.2)

である。∫

C,∫

Sはそれぞれ回路に沿った線積分と回路を縁とする面積分を意味する。n

は面の垂直なベクトルである。一方，Φ =

∫S

B · ndSである。よってファラデーの電磁誘導の法則は

rotE = −∂B

∂t(7.3)

となる。

7.2 変位電流ここまででわかった法則は

divD = ρf , rotE = −∂B

∂t

divB = 0 , rotH = j

である。マクスウェル (Maxwell)はこれに矛盾があることに気がついた。rotH = jの両辺に divを作用させる。

div rotH = divj (7.4)

左辺は div rot = 0の恒等式より，常に 0，右辺は (6.6)より，−∂ρ/∂t となり等しくない。そこで j → j +

∂D

∂tという置き換えをする。これなら新しく加わった項が，

div∂D

∂t=∂divD

∂t=∂ρ

∂t(7.5)

を与え，−∂ρ/∂tと打ち消しあって，右辺が恒等的に 0になり，左辺と一致する。こうして，アンペールの法則の微分形は

rotH = j +∂D

∂t(7.6)

となる。この新しく導入された ∂D/∂tをマクスウェルの変位電流とよぶ。これは電流密度と同じ次元をもっている。変位電流が入った方程式は，アンペールの法則はアンペール-マクスウェルの法則とよばれる。変位電流はどのようなときに現れるかというと，簡単な例ではコンデンサを放電す

るときに現れる。このとき，回路には放電のため，電流が流れる。しかし，コンデン


サの間では電流は流れない。その分，電場もしくは電束密度が変化して，変位電流が流れるのである。このように電場が時間変化すると磁場が生じ (アンペール-マクスウェルの法則)，磁

場が時間変化すると電場が生じる (ファラデーの電磁誘導)。電場と磁場の対称性が復活するのである。変位電流は理論的な要請から見つかったもので，あまり大きくない。例えば，交流

電源によって電場 E = E sinωtとかけると，オームの法則から j = σEとなり，変位電流 jDは

jD =∂D

∂t= εωE0 cosωt (7.7)

である。よって jD/jの大きさは，ωε/σである。金属の電気伝導率は 108Ω−1m−1，εは10−10A2 · s/N ·m2程度なので，ω < 1018s−1では変位電流は無視できるのである。しかし，電流がないときは別である。電流が流れていない場合，比べるものがないのだから，この変位電流を小さいとはいえないのである。

7.3 自己誘導と相互誘導閉じた導線に電流が流れるとそれを貫く磁場ができる。するとこの変化を妨げるよ

うに誘導起電力が生じる。これを式で書くと，

V = −LdI

dt(7.8)

である。Lは自己インダクタンスとよばれる。二つの回路A,Bがあるとき，一方の回路Aで電流の変化があると，もう一方に誘導

起電力が生じる。式で表すと

VB = −M dIA

dt(7.9)

である。これは相互インダクタンスとよばれる。例としてソレノイドを考えよう。(6.30)式より，磁束は

Φ = S × μ0nI (7.10)

である。ソレノイドの半径を aとする。単位長さあたりの磁束はこれに nをかけて，

Φ = πa2 × μ0n2I = LI , L = πa2μ0n

2 (7.11)

となる。これは単位長さあたりのインダクタンスである。

Problem 7.1 上で求めたLを n = 104m−1，a = 1cmとして，評価せよ。これを大きくするにはどうすればよいか？


CL

I

Q

-Q

図 7.1: LC回路

相互インダクタンスの例として，巻き数NBのソレノイド中に電流 IAが流れる，巻き数密度 nA，半径 aのソレノイドが入っている状況を考えよう。このとき，磁束は

Φ = NB × πa2μ0nAIA (7.12)

となるので，M = μ0nANBπa

2 (7.13)

となる。

7.4 磁場のエネルギー(3.19)式で見たように，電場のエネルギーは ε0E

2/2 である。誘電体では，εE2/2，D = εEなので，

U =E · D

2(7.14)

となる。同じように磁場のエネルギーを求めてみよう。そのためにはキャパシタンスCのコ

ンデンサと自己インダクタンス Lのコイルからなる直列回路を考える。

dQ

dt= I , L

dI

dt+Q

C= 0 (7.15)


から，

Ld2Q

dt2= −Q

C(7.16)

となるので，電荷は角振動数 ω0 = 1/√LCの単振動の式に従う。t = 0でQ0の電荷が

たまっていたとすると，

Q(t) = Q0 cosωt , I = Q(t) = −Q0ω sinωt (7.17)

である。バネのエネルギーと質点の運動エネルギーの和は保存していた。この保存則に対応

するのが，Q2

2C+LI2

2=Q2

0

2C(7.18)

である。左辺第 2項が磁場のエネルギーに対応している。ソレノイドの場合，B = μ0nI, L = (πa2l)μ0n

2 であった。ただし，前で求めた (7.11)

式は単位長さあたりなので，これにソレノイドの長さをかけている。すると

LI2

2=V μ0n

2I2

2=V B2

2μ0(7.19)

となる。V = πa2lはソレノイドの体積である。こうして，単位体積あたりの磁場のエネルギーは

U =B2

2μ0(7.20)

となる。真空以外にも使えるようにすると，

U =H · B

2(7.21)

である。

Problem 7.2 直流電圧V0がかかっているCR回路におけるコンデンサーの電気量Q(t)

を求めよ。。t = 0でコンデンサーには電気は溜まっていなかったとする。解答）Q = CV0(1 − exp(−t/RC))

Problem 7.3 直流電圧 V0がかかっているLR回路の解を求めよ。t = 0で電流は流れていなかったとする。解答）I = V0

R(1 − exp(−Rt/L))

Problem 7.4 LC回路でなく，LCR回路に交流電圧 V がかかった場合，電流の満たす微分方程式は

Ld2Q

dt2+Q

C+R

dQ

dt= V (t) = V0 cosωt (7.22)


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.5 1 1.5 2

Q /CV ω0

0ω /ω

ωτ = 0.05

0

図 7.2: LCR回路における共鳴。電荷，電流は角振動数 ω で振動している。L,Cの値を変えると ω0が変わり，ω0 ≈ ωで急に電流，電荷の振動の振幅が大きくなる。

となる。この方程式をといて共振現象を調べよ。

解答 (私の基礎物理コース Iの講義ノートの 5.2と数学的には同じ)

Q = ReQ0eiωtとする。これより

Re

(1

C− Lω2 + iωR

)Q0e

iωt = ReV0eiωt

よって

Q0 =CV0

1 − ω2/ω20 + iωτ

ここで ω0 = 1/√LC, τ = RC。Q0 = |Q0|eiφとすると

Q = |Q0| cos(ωt+ φ)

となる。電流は I = −|Q0|ω sin(ωt+ φ)である。IをCV0ωでスケールすると図のようになる。

7.5 複数の回路導体が複数あったときのキャパシタンスは行列で表された。同じように，回路が複

数ある場合を考える。


i番目の回路に入る磁束Φiは

Φi =n∑

j=1

LijIj (7.23)

である。Lijは自己インダクタンス，相互インダクタンスを一般化したもので，誘導係数とよばれている。これより，回路 iに生じる誘導起電力は

Eiind = −

n∑j=1

LijdIj

dt(7.24)

である。この回路についてのキルヒホッフの法則は

Ei =n∑

j=1

LijdIj

dt+RiIi (7.25)

である。Eiは回路 iの電源の電圧である。この複数の回路からなる系の単位時間に電源がする仕事は

n∑i=1

EiIi =n∑

i,j=1

IiLijdIj

dt+

n∑i=1

RiI2i (7.26)

である。Lijの表式を求めよう。j番目の回路が i番目の回路に作る磁束は

Φij =

∫Ci

Aj(ri) · dri (7.27)

である。j番目の回路が i番目の回路につくるベクトルポテンシャルAj(ri)は (6.33)式より，

Aj(ri) =μ0Ij

4π

∫Cj

drj

|rj − ri| (7.28)

なので，Φi

j = LijIj (7.29)

で，

Lij =μ0

4π

∫Ci

∫Cj

drj · dri

|rj − ri| (7.30)

となる。この積分は i, jを交換しても変わらない。よって，

Lij = Lji (7.31)

が導かれる。一種の相反定理である。


相反定理を使うと，(7.26)式は結局，

n∑i=1

EiIi =

n∑i,j=1

d

dt

(LijIiIj

2

)+

n∑i=1

RiI2i (7.32)

となり，磁場によるエネルギーは

U =n∑

i,j=1

d

dt

(LijIiIj

2

)(7.33)

であることがわかる。

68

第8章マクスウェルの方程式と電磁波

ここまでで導いた方程式をまとめると，電磁場は

� �

divD = ρ (8.1a)

divB = 0 (8.1b)

rotE = −∂B

∂t(8.1c)

rotH = j +∂D

∂t(8.1d)

� �に従う。これがマクスウェルの方程式である。ただし，D = εE,B = μHである。ところでこの方程式の未知数はE,Bでこれらは 3次元ベクトルなので合計 6個であ

る。一方，方程式の数は最初の二つはスカラーの方程式なので 2個，3番目と 4番目の方程式 (ファラデーの電磁誘導の法則とアンペール-マクスウェルの方程式)はベクトルなので 6個，合計 8個である。つまり方程式の数が多すぎる。実際はアンペール-マクスウェルの方程式に divを作用させ，div rot = 0を使うと，

−∂ρ∂t

= divj (8.2)

となる。連続の方程式 (6.6)からこれは

∂

∂t(divD − ρ) = 0 (8.3)

となるので，最初の式と重複している。同じようにファラデーの法則に divを作用すると，

∂

∂tdivB = 0 (8.4)

となる。時間に関して微分して 0ということはこれが時間に関して定数だと主張している。この定数を決めるのが最初の二つの方程式ということで，方程式として重要なのはファラデーの電磁誘導の法則とアンペールーマクスウェルの方程式であり，これは 6成分を 6個の方程式で決めるというわけである。


マクスウェルの方程式をベクトルポテンシャルで書き直してみよう。(6.35)式より

rotA = B

だったので，電磁誘導の法則は

rot

(E +

∂A

∂t

)= 0 (8.5)

である。rot grad = 0なので，

E +∂A

∂t= −grad φ (8.6)

である。結局，

E = −∂A

∂t− grad φ (8.7)

となる。A, φを求めれば，電場，磁場が決まるのである。まず，マクスウェルの方程式の最初の方程式は

Δφ+∂divA

∂t= −ρ

ε(8.8)

となる。また，アンペールーマクスウェルの方程式は(Δ − εμ

∂2

∂t2

)A − grad

(divA + εμ

∂φ

∂t

)= −μj (8.9)

となる。これはマクスウェルの方程式の別の書き方である。φ,Aは 4成分あり，これらをまとめて電磁ポテンシャルとよぶ。方程式も 4個でちょうどよい。

(8.8)式，(8.9)式を少し簡単化しよう。

8.1 ゲージ変換もし，φ,Aが解だとする。このとき，

φ′ = φ− ∂χ

∂t, A′ = A + ∇χ (8.10)

も全く同じ電場と磁場を与える。もちろん，φ′,A′もマクスウェルの方程式を満たす。

Problem 8.1 φ′,A′もマクスウェルの方程式を満たすことを示せ。


ここで χをうまく取り，

divA + εμ∂φ

∂t= 0 (8.11)

となるようにとると，(8.8)式は(Δ − εμ

∂2

∂t2

)φ = −ρ

ε(8.12)

となり，(8.9)式は (Δ − εμ

∂2

∂t2

)A = −μj (8.13)

となる。このようにある関数をとってきて，φ,Aを計算するのをゲージを固定するという。また，今のようなゲージの取り方をローレンツ・ゲージとよぶ1。ちなみに φ,Aはローレンツ・ゲージをとった後も，(

Δ − εμ∂2

∂t2

)χ′ = 0 (8.14)

という関数 χ′の自由度は残っている。

Problem 8.2 A = (0, Bx, 0)と A = (−By, 0, 0)は同じ磁場B = (0, 0, B) を与える。これらを関係づけるゲージ変換を求めよ。

8.2 電磁波マクスウェルの方程式を真空中で解いてみよう。真空中のマクスウェルの方程式は

divE = 0 (8.15a)

divB = 0 (8.15b)

rotE = −∂B

∂t(8.15c)

rotB = ε0μ0∂E

∂t(8.15d)

である。ファラデーの電磁誘導の法則を表す 3番目の式の rotをとると，

rot rotv = grad divv − Δv (8.16)

より，

grad divE −ΔE = − ∂

∂trotB (8.17)

1divA = 0はクーロン・ゲージとよばれ，これもよく使われる。


である。第 1式と第 4式から (Δ − ε0μ0

∂2

∂t2

)E = 0 (8.18)

となる。これは波動方程式の形をしており，速さ，

c =1√ε0μ0

(8.19)

で進む波を表している。これをもう少し，具体的に見てみよう。

8.2.1 1次元方向に進む波

波が x方向にのみ進む場合，divE = 0, divB = 0は

∂Ex

∂x=∂Bx

∂x= 0 (8.20)

で，∂Ex

∂t=∂Bx

∂t= 0 (8.21)

∂Ez

∂x=∂By

∂t,

∂Ey

∂x= −∂Bz

∂t(8.22)

−∂Bz

∂x= ε0μ0

∂Ey

∂t,

∂By

∂x= ε0μ0

∂Ez

∂t(8.23)

となる。Ex, Bxは x, tによらないので，0ととる。未来永劫，無限大で有限の電磁場などないので。このとき，Bzを消去すると，(

∂2

∂x2− ε0μ0

∂2

∂t2

)Ey = 0 (8.24)

である。ここでEy = f+(x− ct) + f−(x+ ct) (8.25)

とおくと，

Bz =1

c[f+(x− ct) − f−(x+ ct)] (8.26)

である。この解は電場と磁場が直交しながら，速さ cで伝わる波を表している。Ez, Byが有限な解も同じように作れる。これは今求めたものと独立な解である。cの大きさを計算すると，

c = 2.9979 · · · × 108m/s (8.27)


となる。光速である。つまり可視光で決定された光速はマクスウェルの方程式と同じ速さで進むことがわかった。また，二つの独立な解の存在は，これらが変更に対応していることを示唆している。これらより，光は電場と磁場の波，電磁波であると推測される。

8.3 一般的な平面波真空中を 1次元的に伝搬する電磁波は，速さ cでE ⊥ B，進行方向とE,Bは垂直で

あった。これを一般化しよう。そのために，複素形式を使う。この場合，電場，磁場を

E(r, t) = E0eik·r−ωt , B(r, t) = B0e

ik·r−ωt , (8.28)

と書く。この解は平面波とよぶ。物理的な電磁場ベクトルはこの解の実数部分をとることで得られる。E0,B0は複素ベクトルである。このとき，マクスウェルの方程式は

k · E0 = 0

k · B0 = 0

k × E0 = ωB0

k × B0 = − ω

c2E0

(8.29)

となる。3番目の式を 4番目に代入して

k × (k × E0) = − ω

c2E0 (8.30)

となる。A × (B ×C) = B(A · C) − C(A ·B) (1.8)

を使うと，ω = ck (8.31)

となる。また，k ⊥ E,k ⊥ Bが 1番目，2番目の式からわかる。さらに

B(r, t) =1

ωk ×E(r, t) (8.32)

となり，E ⊥ Bがわかる。こうして真空中の平面波は

1. 光速で進み，

2. 電場，磁場の方向は進行方向と垂直で，

3. 電場と磁場は直交する

ことがわかる。


f1 f1’

f2

θ1 θ1’

θ2

図 8.1: 反射，屈折の法則

8.4 反射と屈折の法則異なる屈折率をもつ物質間の界面では，同一平面で反射，屈折が起こり，反射角は

入射角に等しく，屈折角はスネルの法則で決まった。これをマクスウェルの方程式から導こう。電場，磁場の境界条件は

E1‖ = E2‖ , D1⊥ = D2⊥ (8.33)

H1‖ = H2‖ , B1⊥ = B2⊥ (8.34)

である。ここでE,D,B,Hはみな，f = A cos(ωt− k ·x) の形をしているので，f1を入射波，

f2を屈折波，f1′を反射波とする。このとき，

f1 = A cos(ωt− k · x) (8.35)

f1′ = B cos(ω′t− k′ · x)

f2 = C cos(ω′′t− k′′ · x) (8.36)

である。境界条件は z = 0として，

f1(z = 0, x, y, t) + f1′(z = 0, x, y, t) = f2(z = 0, x, y, t) (8.37)

となり，

A cos(ωt− kxx− kyy) +B cos(ωt− k′xx− k′yy) = C cos(ωt− k′′xx− k′′yy) (8.38)


となる。これが任意の t, x, yで成立するので，

A +B = C , ω = ω′ = ω′′ (8.39)

kx = k′x = k′′x , ky = k′y = k′′y (8.40)

である。こうして，k,k′,k′′は同じ平面にあることがわかる。この平面を図のようにとり，k = ω/vを使うと kx = k′x = k′′xは

ω

v1sin θ1 =

ω

v1′sin θ1′ =

ω

v2sin θ2 (8.41)

となるので，θ1 = θ1′ (8.42)

となり，反射角と入射角は等しい。また，

sin θ1

sin θ2=v1

v2(8.43)

である。物質中の光の速さは v = 1/√εμである。多くの物質 (非磁性体)ではμ ≈ μ0で

あるので，物質中の光の速さは誘電率で決まっていると思ってよい。物質の屈折率は

n =√εμ ≈ √

εμ0 (8.44)

で与えられ，v = c/nである。こうして，

sin θ1

sin θ2=n2

n1(8.45)

となる。

Problem 8.3 臨界角 (全反射が起こる角度)は，水で 48◦，ガラスで 40◦，ダイヤモンドで 24◦である。これらの屈折率と誘電率を求めよ。ダイヤモンドがよく光るのはこの全反射が起こりやすいことに対応する。

8.5 ポインティングベクトル単位体積あたりの電場と磁場のエネルギーは (3.19)式，(7.21)式より，

U =1

2

∫dV (E · D + H · B) (8.46)

である。エネルギーといえば，エネルギー保存則である。


マクスウェルの方程式の 3番目と 4番目にH ,Bをかける (内積として)。すると

H ·(

rotE +∂B

∂t

)= 0 (8.47)

E ·(

rotH − ∂D

∂t

)= E · j

となる。両辺の差をとると，

−E · D − H · B + E · (rotH) − H · (rotE) = E · j (8.48)

一方，ベクトル解析の公式，

div(A × B) = (rotA) · B − A · (rotB) (1.25)

から，結局，

− ∂

∂t

(1

2D · E +

1

2B · H

)= E · j + div(E × H) (8.49)

となる。よって，左辺の電磁場のエネルギーの現象は，右辺のジュール熱と，div(E×H)

になったことがわかる。∫dV div(E × H) =

∫(E × H) · ndS (8.50)

なので，この項はエネルギーE ×Hが単位面から出て行っていることがわかる。このベクトル，

S = E × H (8.51)

をポインティングベクトルとよぶ。電磁場のエネルギー保存則は

−∂U∂t

= E · j + divS (8.52)

とかける。

76

第9章まとめと公式集

この章では講義ノートのまとめと公式集を与える。

9.1 第1章: ベクトル解析の基礎ここではベクトル解析に付いて学んだ。

1. 内積は

a · b =n∑

i=1

aibi = |a| |b| cos θ (1.1)

で定義される。外積は三次元ベクトルで定義される (式 (1.2))。

a = (a1, a2, a3)

b = (b1, b2, b3)

a × b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)

向き：aからbの方向へ右ねじをまわしたときに進む方向大きさ：|a||b| sin θθ：�a,�bのなす角

内積，外積には以下の公式が成り立つ。

a × b = −b × a (9.1)

a × (b + c) = a × b + a × c

(a + b) × c = a × c + b × c (9.2)

(ka) × b = k(a × b) = a × (kb) (9.3)

a × a = 0 (1.6)

a · (b× c) = b · (c × a) = c · (a × b) (1.7)

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) (1.8)


2. 偏微分とは、ある変数に関して微分して、残りの関数は定数とみなすものである。２変数の場合の定義は

∂f

∂xdef= lim

Δx→0

f(x+ Δx, y)− f(x, y)

Δx

である。偏微分に関しては、(1.12)が成り立つ。

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x

3. ナブラ記号は

∇ def= (

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z) (1.16)

で定義される。これがスカラーU(r)に作用したのが勾配であり、∇U(r) = gradU(r)

と表す。ベクトルに作用する場合 (1.19)のように、

∇ · v def= divv =

∂vx

∂x+∂vy

∂y+∂vz

∂z

内積のように作用する場合と、(1.21)のように

∇× vdef= rotv = (

∂vz

∂y− ∂vy

∂z,∂vx

∂z− ∂vz

∂x,∂vy

∂x− ∂vx

∂y)

外積として作用する場合がある。

rot(gradf) = ∇× (∇f) ≡ 0 (1.22)

div(rotv) = ∇ · (∇× v) ≡ 0 (1.23)

である。

以下の恒等式は有用である。

∇× (∇× v) = ∇(∇ · v) −∇2v (1.24)

∇ · (v × u) = (∇× v) · u − v · (∇× u) (1.25)


4. ∫(v · n)dS =

∫dV divv

がガウスの定理 (1.26)で、これは表面積分と体積積分を結び付ける。これにより、divvが流れの湧きだしだと解釈できる。

ガウスの定理の系として ∫grad ΦdV =

∫ΦndS (1.32)

∫ [φ∂ψ

∂n− ψ

∂φ

∂n

]dS =

∫dV (φ∇2ψ − ψ∇2φ) (1.36)

はグリーンの定理である。

∫v · dr =

∫rotv · ndS

がストークスの定理 (1.37)で、これは表面積分と体積積分を結び付ける。これにより、rotvが流れの回転だと解釈できる。

9.2 第2章: 静電場と静電ポテンシャルこの章では静電場と静電ポテンシャルについて学んだ。

1. 真空の誘電率はε0 = 8.854 × 10−12C2/N ·m2 (2.3)

であり，電場は

E =1

4πε0

q1R2

1

R1 +1

4πε0

q2R2

2

R2 + · · · =∑

i

1

4πε0

qi

R2i

Ri (2.5)

となる。素電荷は電子の電荷の絶対値，または陽子の電荷で定義され，1.602 ×10−19Cの値である。

2. 電場を求めるにはポテンシャルを導入するとよい。ポテンシャルΦは以下のようにして求められる。

Φ(r) =∑

i

1

4πε0

qi

Ri(2.6)

電場はE = −gradΦ(r) (2.7)

である。


3. 連続的な電荷分布の場合，電荷密度 ρ(r)を使い，

Φ(r) =1

4πε0

∫dq(r′)|r − r′| =

1

4πε0

∫ρ(r′)dV ′

|r − r′| (2.9)

4. 電場を求めるには系の対称性を利用するとよい。このときポテンシャルの微分もデカルト座標でなく，円柱座標，球座標で行った方がよい場合がある。

円柱座標での勾配は

∇ = r∂

∂r+ φ

1

r

∂

∂φ+ z

∂

∂z(2.25)

である。球座標の勾配は

∇ = r∂

∂r+ θ

1

r

∂

∂θ+ φ

1

r sin θ

∂

∂φ(2.33)

となる。

となる。

9.3 第3章: ガウスの法則この章では電場が満たすガウスの法則を導き，議論した。

1. ガウスの法則は ∫EndS =

Q

ε0, Q =

∑i

qi (3.5)

で与えられる。

2. 連続的分布をしている電荷に対しては∫EndS =

∫ρdV (3.6)

となる。

3. ガウスの法則の微分形はdivE =

ρ

ε0(3.8)

である。

4. 静電場のみでは，真空中で電荷が安定な位置を作れない。これはアーンショーの定理である。


5. 複数の点電荷からなる系の静電エネルギーは

U =1

2

N∑j=1

N∑i=1,i�=j

qiqj

4πε0Rij(3.16)

となる。エネルギーを電場が担っていると考えると，

U =1

2ε0

∫dV E2 (3.19)

となる。

9.4 第4章: 境界値問題この章では導体があるときの電場の決定問題を考えた。

1. 1) 境界上でポテンシャルが与えられる，2) 境界上で境界に垂直方向の 3) 電場が与えられる，導体の全電荷が与えられる，のどれかが与えられたら電場が決定される。

2. 導体中には電場は存在しない。導体の中に空洞をくりぬいても電場は存在しない。空洞中に電荷があれば，電場は存在する。このとき，電場の性質は導体外の電荷に影響を受けない (静電遮蔽)。

3. 導体の境界面を考える代わりに，それと同じポテンシャルを境界面でつくる映像電荷を考えると，問題が簡単に解ける場合がある。

4. 電荷Qiをもつ複数の導体からなる系での，各導体のポテンシャル Φiは

Φi =n∑

j=1

pijQj (4.17)

で与えられる。逆に

Qi =n∑

j=1

CijΦj (4.18)

である。Cij は高校のとき習ったキャパシタンスを複数の導体からなる系に拡張したものである。

5. Cij = Cji, p = C−1である。

6. 半径Rの導体球のキャパシタンスは

C = 4πε0R (4.24)


7. ポテンシャルはポアッソン方程式，

ΔΦ(r) = −ρ(r)

ε04.28

を満たす。真空中ではポテンシャルはラプラス方程式

ΔΦ(r) = 0 (4.30)

を満たす。

8. δ関数とは点電荷を表すときなど，大きさは無限小だが，積分すると有限の値をもつようなものを考えるのに役立つ。この定義は (4.34)式，

δ(x) =

{0 x = 0

∞ x = 0,

∫ η

−η

δ(x)dx = 1 , for all η > 0


9. 以下の等式がガウスの法則とガウスの定理から導かれる。

−Δ1

r= 4πδ(x)δ(y)δ(z)

def= 4πδ(r) (4.35)

10. ラプラシアンの定義は

div grad =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(4.29)

である。

11. ポテンシャルが z軸対称のとき，ラプラシアンは

Δf(r, z) =1

r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+∂2f

∂z2(4.37)

12. ポテンシャルが球対称のとき，ラプラシアンは

Δf(r) =1

r2

∂

∂r

(r2∂f

∂r

)(4.38)

となる。

13. ラプラス方程式は，多くの場合，変数分離法で解ける。変数分離法とは，微分方程式の解 F (x, y)を f(x)f(y)と仮定して解く方法である。


14. フーリエ展開とは−a ≤ x ≤ aで定義された任意の関数 f(x)を正弦波と余弦波の重ね合わせで書くものである。

f(x) =

∞∑n=0

(An cos

nπx

a+Bn sin

nπx

a

)(4.62)

15. ラプラス方程式を極座標で書くと

0 = ΔΦ =1

r2

∂

∂r

(r2∂Φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2Φ

∂φ2(4.72)

となる。軸対称の解は

0 = ΔΦ =1

r2

∂

∂r

(r2∂Φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Φ

∂θ

)(4.73)

となる。この解はルジャンドル多項式で表される。

9.5 第5章: 電気双極子と誘電体この章では双極子と誘電体について学んだ。

1. 双極子の定義は

p =

∫r′ρ(r′)dV ′ (5.6)

である。d離れた±qの二つの点電荷のつくる双極子モーメントの大きさは p = qd

である。方向は−qの電荷から qの電荷に向かう方向である。

2. 双極子がつくる静電ポテンシャルは

Φ(r) =qdz

4πε0r3=

p · r4πε0r3

(5.10)

となる。

3. 双極子がつくる電場は

E(r) = −∇Φ(r) =1

4πε0

[3(r · p)r − r2p

r5

](5.12)

4. 電場中の双極子のエネルギーは

U = −qdE cos θ = −p · E (5.16)

である。


5. 双極子モーメントをもった分子からなる物質を考える。この場合，自由に動ける電荷の密度 ρfと分極によって生じた分極電荷密度 ρPを考える必要がある。

ρP = −divP (5.24)

で，分極によって表れる表面電荷密度 σPは

σP = P · n (5.23)

である。

6. 誘電体がある場合，ガウスの法則は

divD = ρf (5.28)

である。Dは電束密度でD = ε0E + P = εE (5.27)


7. 異なる物質の界面では，(D1 − D2) · n = ρf (5.30)

および，(E2 −E1) · t = 0 (5.31)

が成立している。n, tはそれぞれ界面に垂直，平行なベクトルである。

9.6 第6章: 電流と磁場この章では電流とそれが作る磁場について学んだ。

1. 電流と電荷密度は連続の式 (電荷の保存則)，

divj +∂ρ

∂t= 0 (6.6)

を満たす。

2. オームの法則は電流密度 jと電場Eの関係式，

j = σE, σ =ne2τ

m(6.9)

を与える。


3. キルヒホッフの法則

(a) 回路の任意の分岐点に流れ込む電流の和は 0である。

(b) 任意の閉回路での起電力の和は，抵抗による電圧降下の和に等しい。

4. ローレンツ力はF = q(E + v × B) (6.11)


5. ビオーサバールの法則: 電流 I の線要素 dsがつくる磁束密度 dBが

dB =μ0

4π

Ids × r

r3(6.12)

である。μ0は真空の透磁率とよばれ，

μ0 = 4π × 10−7[N ·A−2]

である。

6. 二つの平行に走る電流間に単位長さあたりに働く力は

qvB(nS) = I ′B =μ0II

′

2πr(6.18)

である。

7. アンペールの法則は ∫C

B · dr = μ0I (6.23)

である。その微分形はrotB = μ0j (6.24)

である。

8. ソレノイド中の磁場は

Bz =μ0NI

L= μ0nI (6.30)

である。

9. 静電場を考えるのに静電ポテンシャルがより本質的であり，また便利であった。同様に磁場はベクトルポテンシャルを考えるのがよい。

B = rotA (6.35)

A(r) =μ0

4π

∫C

dr′3j(r′)|r − r′| (6.36)

である。


10. 双極子モーメントに対応して磁気モーメントが考えられる。

B =μ0

4π

[3(r · m)r − r2m

r5

](6.44)

である。

11. 円電流の磁気モーメントはm = ISn (6.45)

である。

12. 物質中の電場はEの他に，Dを考えた。同様に物質中の磁場を考えるのに，物質内の微小電流密度，jmを考え，それによる磁束密度をM とおく。

rotM = μ0jm (6.46)

Hdef=

1

μ0(B − M) (6.49)

を定義すると，rotH = j (6.50)

となる。

13. 多くの磁性体ではM = χH (6.51)

である。χは帯磁率である。

B = (μ0 + χ)H = μH , μ = μ0 + χ (6.52)

である。

14. 異なる磁性体や磁性体と真空の間では境界条件，

H2,‖ −H1,‖ = j‖ (6.54)

とB2,⊥ = B1,⊥ (6.56)

が成り立つ。

15. 電場と磁場の対応を表にまとめる。


電気磁気もとになるもの電荷 q, ρdV 電流 I, jdV

力 F =qq′

4πε0r2F =

μ0II′

2πrポテンシャルスカラー, E = −grad Φ ベクトル, B = rotA

ポテンシャルの求め方 Φ =1

4πε0

∫ ρ

RdV ′ A =

μ0

4π

∫ j

RdV ′

発散 divE = ρ/ε0 divB = 0

接続条件 E1,‖ = E2,‖, D1,⊥ = D2,⊥ H1,‖ = H2,‖, B1,⊥ = B2,⊥

9.7 第7章: 時間変化する電磁場この章では誘導起電力について学んだ。

1. ファラデーの電磁誘導の法則は

Eind = −dΦ

dt(7.1)

その微分形は

rotE = −∂B

∂t(7.3)

である。

2. rotH = jは，電場が時間依存性をもっている場合，

rotH = j +∂D

∂t(7.6)

となる。

3. 磁場のエネルギーは

U =H · B

2(7.21)

である。

4. 電流が変化すると誘導起電力が生じる。複数の回路からなる系では

Eiind = −

n∑j=1

LijdIj

dt(7.24)

となる。Lij = Ljiはインダクタンスとよばれる。Liiは自己インダクタンスである。n = 2のとき，L12 = M は相互インダクタンスとよばれる。


9.8 第8章: マクスウェルの方程式と電磁波電磁気の法則をまとめたのがマクスウェルの方程式である。

1. マクスウェルの方程式は以下の 4つの式である。

divD = ρ (8.1a)

divB = 0 (8.1b)

rotE = −∂B

∂t(8.1c)

rotH = j +∂D

∂t(8.1d)

2. ポテンシャル，ベクトルポテンシャルには任意性がある。

φ′ = φ− ∂χ

∂t, A′ = A + ∇χ (8.10)

は，任意の関数χに対して同じ電場，磁場を与える。これをゲージ変換とよぶ。

3. うまくゲージを取ると，マクスウェルの方程式は(Δ − εμ

∂2

∂t2

)φ = −ρ

ε(8.12)

と (Δ − εμ

∂2

∂t2

)A = −μj (8.13)

となる。

4. 真空中のマクスウェルの方程式の解は速さ c = 1/√ε0μ0の波を与える。cは光速

である。この波は

(a) 光速で進み，

(b) 電場，磁場の方向は進行方向と垂直で，

(c) 電場と磁場は直交する

5. 異なる物質の界面での電場，磁場の接続条件よりスネルの法則が導かれる。

6. 電磁場はエネルギーの流れ，S = E × H (8.51)

をもつ。これは単位面積から単位時間に流れ出る電磁場のエネルギーを表し，ポインティングベクトルとよばれる。

88

付録A 付録：単位系について

この講義ノートは電磁気学を SI単位系 (international system of units, 国際単位系)というもので記述した。これが最もよく使われているものであるからであるが，実は電磁気学には複数の単位系がある。ここでは単位系について，一般的に解説して，より単位に関する理解を深める。初めに認めることは，すでに力学を議論する際に，1[kg], 1[m], 1[s]は定義されてお

り，それ故，力も定義されていると言うことである。次に，連続の方程式，

divj +∂ρ

∂t= 0 (6.6)

が成り立つように，電流と電荷は決定されているとする。まず，力

F1 = k1qq′

r2(A.1)

は力学から測定できる。これはクーロンの法則である。クーロンの法則は逆 2乗則で，その比例係数は曖昧である。つまり，力が決まっても，電荷の単位が決まってないので，k1は qの決め方による。たとえば素電荷を 1[C]とよんでしまうと，k1は非常に小さいものとなる。電場は F = q′Eとなるように

E = k1q

r2(A.2)

と定める。つぎに単位長さあたりの平行電流間に働く力は

F2

L= 2k2

II ′

d(A.3)

である。電流と電荷は互いに切っても切れない関係にある。つまり，k1と k2は独立ではない。この値は測定から決まっており，

k1

k2

= c2 (A.4)

である。cは光速である。


磁束密度は，直線電流から d離れた場所での磁場が

B = 2k2αI

d(A.5)

となることから定義する。別に k2αを一つの記号で書いてもよいのだが，この因子はk2に比例していることは確実なので (平行電流間の力はローレンツ力から決まっていた)，この表式にした。ファラデーの法則は

rotE = −k2∂B

∂t(A.6)

となる。回路の面積が変わるとき，導線の運動から生じるローレンツ力による起電力を考えても，ファラデーの法則と同じように磁束の変化から起電力を考えても，答えは同じであった。このことから，ローレンツ力は

E + k3v × B (A.7)

となる。以上より，マクスウェルの方程式は

div E = 4πk1ρ (A.8a)

div B = 0 (A.8b)

rot B = 4πk2αj +k2α

k1

∂E

∂t(A.8c)

rot E + k2∂B

∂t= 0 (A.8d)

となる。真空中では，

∇2B = k3k2α

k1

∂2B

∂t2= 0 (A.9)

となる。これから電磁波の速度は

c =

√k1

k3k2α(A.10)

となる。(A.4)式から

k3 =1

α(A.11)

となる。(A.4),(A.11)式から結局，k1, αを決めれば，単位系が決まることがわかる。以下，様々

な単位系を表にしておく。


単位系 k1 k2 k3 α ローレンツ力

SI1

4πε0= 10−7c2

μ0

4π= 10−7 1 1 E + v × B

cgs esu 1 c−2 1 1 E + v × B

cgs emu c2 1 1 1 E + v × B

cgs ガウス系 1 c−2 c c−1 E +1

cv × B

cgs Heaviside1

4π

1

4πc2c c−1 E +

1

cv × B

表 A.1: 様々な単位系による，k1, k2, k3, αの選び方

91

付録B 試験問題と解答

基礎物理コース II　試験問題

2003年 11月 11日

1 以下を示せ。（ベクトルはベクトルらしく表記しないと間違いとします。）

1. rot(gradf) ≡ 0

2. div(rotf ) ≡ 0

3. v = (−y√x2 + y2

,x√

x2 + y2, 0)に対して

∫v · dr を計算する。

(a) 半径 aの円に沿って，ちょうど半円の弧，(0, a, 0) → (0,−a, 0)だけ積分せよ。(右向きの半円。)

(b) 同じ積分をストークスの定理で求めよ。

4. V (r) =1

rnのとき，−gradV を求めよ。(r =

√x2 + y2 + z2である。)

5. E = −gradV (r) = (xy2, x2y − y, z)のとき，V (r)を求めよ。ただし，原点でV = 0とする。

21. 半径 a，中が空洞で表面だけ一様に帯電した電荷Qをもつ電荷の作る電場，ポテンシャルを，球の中心からの距離 rの関数として計算し，図示せよ。

2. 半径 aで一様に帯電した電荷Qをもつ電荷の作る電場，ポテンシャルを，球の中心からの距離 rの関数として計算し，図示せよ。

ただし，ポテンシャルを求める際は，無限遠でポテンシャルが 0になるように定数をあわせる。球の外側と内側で振るまいが変わることに注意せよ。

3 原点 (0, 0, 0)と点 (0, 0, a)にそれぞれ電荷，q1, q2の点電荷がおかれている。前者が作る電場をE1，後者が作る電場をE2とする。


1. E1(r)を求めよ。

2. E2(r)を求めよ。

3. 電場のエネルギーは

ε0(E1 + E2)2

2=ε0E

21

2+ε0E

22

2+ ε0E1 ·E2

である。右辺の最初の 2項は，点電荷が独立にもっている電場のエネルギー，最後の項が電荷の相互作用によって生じた項である。

この相互作用のエネルギー ∫dV ε0E1 ·E2

を求めよ。

ヒント；極座標を用いよ。rについての積分を行い，その後，cos θ = tとして tに関する積分を行う。なお，不定積分，∫

drr − A√

r2 + a2 − 2rA3 =

−1√r2 + a2 − 2rA

+ C

である。

時間があったら，授業の感想と，今後の要望を書いてください。


基礎物理コース II　試験解答

2003年 11月 11日

1

1. 授業でやったので省略。


3. (a) x = a sin θ, y = a cos θとすると，v = (− cos θ, sin θ, 0), dr = (a cos θ,−a sin θ, 0)dθ。よって ∫

C1

v · dr =

∫ π

0

−adθ = −πa

(b) ∫C1

v · dr +

∫C2

v · dr =

∫rotv · ndS

∫C2

v · drは，経路C2上では，v ⊥ drとなっているので 0。よって∫C1

v · dr =

∫rotv ·ndS =

∫(0, 0,

1

r) · (0, 0 − 1)dS = −

∫1

rrdrdθ = −πa


5.

V (r) = −∫

E · dr = −∫ (x,0,0)

(0,0,0)

E · dr −∫ (x,y,0)

(x,0,0)

E · dr −∫ (x,y,z)

(x,y,0)

E · dr

から，V (r) = −x2y2

2+y2

2− z2

2

2 これは授業でやりましたね。

1.

Er =

⎧⎨⎩

0 (r ≤ a)Q

4πε0r2(r > a)

V (r) =

⎧⎪⎨⎪⎩

Q

4πε0a(r ≤ a)

Q

4πε0r(r > a)

2.

Er =

⎧⎪⎨⎪⎩

Qr

4πε0a3(r ≤ a)

Q

4πε0r2(r > a)

V (r) =

⎧⎪⎨⎪⎩

Q

4πε0a

(3

2− r2

2a2

)(r ≤ a)

Q

4πε0r(r > a)


3

1. E1 =q1

4πε0

r

r3

2. a = (0, 0, a)として，E2 =q2

4πε0

r − a

|r − a|33.

ε0

∫dVE1 · E2 =

ε0q1q2(4πε0)2

∫0

π2π sin θdθ

∫ ∞

0

drr2 r2 − ra cos θ

r2√r2 + a2 − 2ra cos θ

3

=q1q2

(4π)2ε02π

∫ 1

−1

dt

∫0

∞drr − at√

r2 + a2 − 2rat3

=q1q24πε0

1

a

当たり前の結果になる。



2003年 12月 6日

1 v = (−y, x, 0)というベクトルを，原点Oから (a, b, 0)(a, b > 0)にある点 Pまで線積分する。

1. rotvを計算せよ。

2. 上の答えが�0でないことから，積分，∫ P

O

v · dr (B.1)

は経路に依存することがわかる。そこでこの積分を

(a) 経路 (0, 0, 0) → (a, 0, 0) → (a, b, 0)

(b) 経路 (0, 0, 0) → (a, b, 0)

に沿って計算せよ。(ヒント；後者では x = at, y = bt, 0 < t < 1とパラメータ表示する。)

3. 二つの積分の違いをストークスの定理で解釈せよ。

2 授業では同心の二つの球殻の問題を考えたが，今度は半径が b，中に半径 a(a < b)の球形の空洞 (同心とする)がある導体球を考える。(a < r < bは導体がつまっている。)

球の中心 (空洞領域)には電荷 qの点電荷が存在する。ポアッソン方程式から，導体でない部分では，ポテンシャルは

V (r) = C ′ +C

r(B.2)

となる。

1. まず導体が接地されている場合を考える。r > bの場合，V (b) = V (∞) = 0である。よって，導体の外側でポアッソン方程式を満たすようにするには，C =〔１〕，C ′ =〔２〕である。これより，球の外に電場は存在しないことがわかる。

a < r < bでは導体内なので電場は存在しない。この領域にガウスの法則を適用する。電場は 0なので半径 rの球面を考えると，その内部の電荷は 0である。よって，空洞と導体との表面に〔３〕の電荷が，中心の点電荷を打ち消すように存在してなければならない。

r < aでは，ガウスの法則を使って，電場は〔４〕となる。


2. 次に導体が接地されていない場合を考える。導体は全体では中性であるとする。r < a，a < r < bでは，ガウスの法則が前問と同じように適用できる。r > bではどうなるかというと，今度は導体が中性のため，内側にできた電荷 (〔３〕の答え)と逆の電荷が導体外側表面に誘起される。よって，外側にガウスの法則を適用すると，外側の電場は〔５〕となる。外側でのポテンシャルは〔６〕である。

3 雷のモデルを考える。雷雲は逆符号の電荷が雲の上と下にたまることで起きる。このとき，地表に電荷が誘起される。これを以下のようにモデル化する。導体平面から高さ hにQ(> 0)の点電荷が，h′(h′ < h)に−Qの点電荷が存在すると

する。二つの点電荷が平面におろした垂線は一致している。ここで言う導体とは地面のことである。よって導体のポテンシャルは 0とする。

1. 鏡像電荷を考えることにより，ポテンシャルを求めよ。

2. 鏡像電荷を考えることにより，地表面での電場を求めよ。

3. ガウスの法則により，地表に誘起される表面電荷密度を求めよ。

4. Q = 50C, h = 6km, h′ = 3kmとしたとき，これらの点電荷の真下での電場を求めよ。

4 δ関数について，以下の積分を求めよ。

1.∫ a

−adxδ(x), a > 0

2.∫ −a

adxδ(x), a > 0

3.∫ a

0dxδ(x− b), a > b > 0

4.∫ a

0dxδ(x− b), 0 < a < b

5 双極子 pが電場Eの中にあると，U = −p ·Eというエネルギーをもつ。このU の表式を数学的に求めてみよう。電荷がポテンシャルΦ中にあった場合，静電エネルギーはU =

∫dV ′ρ(r′)Φ(r′)であ

る。双極子のおかれている位置を rとして，ポテンシャルをこの周りで展開する。すなわちΦ(r′) ≈ Φ(r) + (r′ − r) · gradΦ(r) を代入すると，

U ≈∫

dV ′[Φ(r) + (r′ − r) · gradΦ(r)]ρ(r′)


である。よって，

U ≈ Φ(r)

∫dV ′ρ(r′) + gradΦ(r) ·

∫dV ′r′ρ(r′) − gradΦ(r) · r

∫dV ′ρ(r′)

である。電荷の中性から右辺，第 1,3項は〔１〕となる。第２項は gradΦ(r) =〔２〕，∫dV ′r′ρ(r′) =〔３〕から，〔４〕となる。こうして，U = −p · Eが示される。

講義の内容について感想とか、改善点を書いてください。点数には関係ありません。


基礎物理コース II　試験解答

2003年 12月 6日

1 この問題は授業でやりましたね。

1. rotv = (0, 0, 2)

2. (a)∫ (a,0,0)

(0,0,0)vxdx+

∫ (a,b,0)

(a,0,0)vydy =

∫ a

0vxdx+

∫ b

0ady = ab

(b) v = (−bt, at, 0), dx = (adt, bdt, 0)。よってこの経路上ではv · dx = 0。→積分は 0。

3. 経路 (a)の積分-(経路 (b)の積分)=∫

Cv ·dr 経路 (a)で (a, b, 0)に行き，経路 (b)を

逆にたどって原点に戻ってくる積分=経路 (a)の積分-(経路 (b)の積分) =∫

Cv·dr。

これは∫

rotr · ndS =∫

2dS = ab。

2〔1〕0, 〔2〕0, 〔3〕−q, 〔4〕

q r

4πε0r3, 〔5〕

q r

4πε0r3, 〔6〕

q

4πε0r

3

1.

Φ(r) =1

4πε0

(Q√

x2 + y2 + (z − h)2− Q√

x2 + y2 + (z + h)2

− Q√x2 + y2 + (z − h′)2

+Q√

x2 + y2 + (z + h′)2

)

第 1項は電荷Qのポテンシャルで第 2項がその映像ポテンシャル，第 3項は電荷−Qのポテンシャルで第 4項がその映像ポテンシャル。

2. 上式の gradをとって，マイナスをつける。

E(r) =Q

4πε0

((x, y, z − h)√

x2 + y2 + (z − h)23 − (x, y, z + h)√

x2 + y2 + (z + h)23

− (x, y, z − h′)√x2 + y2 + (z − h′)2

3 +(x, y, z + h′)√

x2 + y2 + (z + h′)23

)


3. 上式は地表 z = 0では

E(x, y, 0) =Q

4πε0

((0, 0,−2h)√x2 + y2 + h2

3 +(0, 0, 2h′)√x2 + y2 + h′2

3

)

また，地表面に垂直で面積 Sの円を上下にもつ円柱を考え，ガウスの法則を適用すると，表面電荷 σは σS/ε0 = ESとなる。よって

σ =Q

2π

(−h√

x2 + y2 + h23 +

h′√x2 + y2 + h′2

3

)

4. これらの点電荷の真下では (x, y, z) = (0, 0, 0)なので電場は，

Ez(0, 0, 0) =Q

4πε0

(−2

h2+

2

h′2

)

数値を代入して，7.5×104V/m。50Cが数 kmも離れたところから作用しただけで，このように大きな電場が生まれます。

4

1. デルタ関数の定義から∫ a

−adxδ(x) = 1, a > 0

2. 積分範囲を逆転させるので∫ −a

adxδ(x) = −1, a > 0

3. x− b = yとすると∫ a−b

−bdyδ(y), a > b > 0なのでこれは原点にまたがっている。

よって 1。

4. x− b = yとすると∫ a−b

−bdyδ(y), 0 < a < bなのでこれは原点をまたいでいない。

よって積分範囲いたるところで被積分関数の δ(y)は 0。よって 0。

5 電場中の双極子のエネルギーを数学的に導いてみた。授業でやったものよりもより一般的である。〔1〕0, 〔2〕−E, 〔3〕p, 〔4〕−p · E

土曜日に試験で不満があると思いますが，それだけ電磁気学は大切なものだと思って下さい。



2004年 1月 23日

1 Maxwellの方程式は以下の通りである。

divD = ρ (B.3a)

divB = 0 (B.3b)

rotE = −∂B

∂t(B.3c)

rotH = j +∂D

∂t(B.3d)

1. E,D,B,Hは何か？また，その単位は何か？

2. アンペールの法則に対応するのは，何番目か。

3. ファラディの法則に対応するのは，何番目か。

4. 以下は真空中でのMaxwellの方程式である。空欄を埋めよ。

divE =〔１〕 (B.4a)

divB = 0 (B.4b)

rotE = −∂B

∂t(B.4c)

rotB =〔２〕∂E

∂t(B.4d)

5. この真空中のMaxwellの方程式から，真空中の電磁波の速さを出そう。(B.4c)式の両辺の rotととると，一般に rot rotv = grad divv − Δvが成立するので，

grad divE −Δ〔３〕= −∂rotB

∂t(B.5)

である。Δはラプラシアン，∂2/∂x2 +∂2/∂y2 +∂2/∂z2 である。真空中のMaxwell

の方程式の (B.4a)式から (B.5)の左辺第一項は〔４〕，また，(B.4d)式から (B.5)

の右辺は〔５〕となる。よって，(Δ − ε0μ0

∂2

∂t2

)E = 0

となる。これは速さ〔６〕で進む波の波動方程式を表している。実際にこの速さを計算すると〔７〕となり，光速が得られる。


2 大きさ I，半径 aの円電流が，その中心軸上に作る磁場をBiot-Savartの法則，

B(r) =μ0

4πI

∫dr′ × (r − r′)

|r − r′|3

から求めよう。中心軸をz軸とする。中心軸上ではr = (0, 0, z)である。また，円電流の位置r′はr′ = (a cos θ, a sin θ, 0)と表される。それゆえdr′ =〔１〕×dθ，dr′×(r−r′) =〔２〕× dθとなる。また，|r − r′| =〔３〕である。よって，(0,0,z)における磁束密度B

は，B = (〔４〕,〔５〕，〔６〕)となる。ただし，〔１〕，〔２〕にはベクトルが入る。

3 直線電流が作る磁場を，アンペールの法則を用いて求めよ。

4 LC回路を考える。コイルとコンデンサは図のように直列につながれている。コイルの自己インダクタンスは Lで，コンデンサの容量はCである。キルヒホッフの法則から

LdI

dt+Q

C= 0

である。

1.dQ

dt= I を用いて，上式をQのみの微分方程式に変形せよ。

2. この微分方程式が単振動の微分方程式になっていることから，この振動の周期を求めよ。

3. t = 0で電流は流れておらず，電荷はQ0たまっていた。このとき，Q(t), I(t)を求めよ。

4. 単振動の場合，バネのエネルギーと質点の運動エネルギーの和は保存していた。同じように，コイルのエネルギーとコンデンサのエネルギーの和は保存している。これを示せ。

CL

I

Q

-Q


基礎物理コース II　試験問題解答2004年 1月 23日

1

1. 電場，電束密度，磁束密度，磁場である。単位はそれぞれ，V/m, C/m2，T(テスラ)，A/m

2. 4番目

3. 3番目

4. 〔１〕0 〔２〕ε0μ0

5. 〔３〕E 〔４〕0 〔５〕−ε0μ0∂2E

∂t2〔６〕

1√ε0μ0

〔７〕2.998× 108m/s

2 〔１〕(−a sin θ, a cos θ, 0) 〔２〕(az cos θ, az sin θ, a2) 〔３〕√a2 + z2 〔４〕0

〔５〕0 〔６〕μ0Ia

2

2√a2 + z2

3

3 アンペールの法則は ∫B · dr = μ0I

である。電流を軸とする半径 rの円を考えると，左辺は 2πrBとなる。よって

B =μ0I

2πr

である。

4

1. Ld2Q

dt2+Q

C= 0

2. T = 2π√LC

3. Q(t) = Q0 cosωt, I(t) = Q(t) = −Q0ω sinωt

4. コンデンサのエネルギーはQ2/2C，コイルのエネルギーはLI2/2。この和に上式を代入すると

Q2

2C+LI2

2=Q2

0 cos2 ωt

2C+LQ2

0ω2 sin2 ωt

2=Q2

0

2C(cos2 ωt+ sin2 ωt) =

Q20

2C

これは時間によらない。



2004年 11月 9日

1 以下を示せ。（ベクトルはベクトルらしく表記しないと間違いとします。）1., 2.はおまけです。直前の授業でやってます。

1. rot(gradf) ≡ 0

2. div(rotf ) ≡ 0

3. rot(rotf) ≡ grad(divf) − Δf

4. gradf(r) = rr

dfdr

5. E = (x√

x2 + y2 + z23 ,

y√x2 + y2 + z2

3 ,z√

x2 + y2 + z23 )に対して− ∫ E · dr を

計算する。

(a) (x1, y1, z1)から x軸に沿って (x2, y1, z1)へ積分した値を求めよ。

(b) (x2, y1, z1)から y軸に沿って (x2, y2, z1)へ積分した値を求めよ。

(c) (x1, y1, z1)から (x2, y2, z2)へ積分せよ。（経路によらないことをまず示し，一番計算の簡単な経路で積分せよ。）

2 半径 aの一様に帯電した球を考える。球全体の電荷はQである。(1.はおまけ。直前の授業でやってる。)

1. 電場，ポテンシャルを，球の中心からの距離 rの関数として計算し，図示せよ。ただし，ポテンシャルを求める際は，無限遠でポテンシャルが 0になるように定数をあわせる。球の外側と内側で振るまいが変わることに注意せよ。

2. この系の静電エネルギーを求めよ。

3 ポテンシャル

V (r) =q

4πε0

exp(−αr)r

(B.6)

で与えられる電場を考える。(α > 0)

1. 電場を求めよ。

2. 半径 rの球の内側に含まれている電荷を求めよ。


3. 半径 rが小さい極限と大きい極限で，その内側にある電荷を計算せよ。

4. 半径 rでの電荷密度を求めよ。

5. いったいどの様な状況にこれがなっているか，考察せよ。

4 中が空洞の導体球を考える。電荷は与えていない。これに一様な電場をかけると，球のまわり，内側でどのような電場ができるであろうか？電荷の保存則，導体での電場の性質に注意して図示せよ。


******************************************************************************

簡単な解説

11. 授業でやってます。


3. Δ �f = (∂2fx

∂x2 ,∂2fy

∂y2∂2fz

∂z2 )と勘違いしている人が多かったですが，正しくは Δ �f =

(( ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 )fx, (∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 )fy, (∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 )fz) です。

4. 授業でやってますね。

5. 線積分の意味を考えましょう。定積分なのに不定積分のように書いている人が多かったです。(x1を xと書いたりしている。)

(a) 1√x22+y2

1+z21

− 1√x21+y2

1+z21

(b) 1√x22+y2

2+z21

− 1√x22+y2

1+z21

(c) 1√x22+y2

2+z22

− 1√x21+y2

1+z21

2 この問題は講義でさんざんやりましたね。みんなできてました。

3 このポテンシャルは湯川ポテンシャルです。物理に色々な問題に現れます。


1. E = −gradV (r)を使います。マイナスを忘れないように。E = q4πε0

1+αrr3 r exp(−αr)

尚，αは長さの逆数の次元をもってます。(αrが指数関数の引数なので。)次元が狂っている人が多かったです。

2. このポテンシャルは球対称です。ガウスの法則から Qε0

= 4πr2Er, Erは動径方向の成分です。これより，Q = q(1 + αr) exp(−αr)。

3. r → +0で上の答えは q, r → ∞で 0。

4. 1/4πr2 dQ/dr = ρより，ρ(r) = − q4π

α2

rexp(−αr)となる。これは球対称の場合の

み，成り立つ関係式。一般には divE = ρ/ε0を用いる。もしくはポテンシャルにラプラシアンを作用させてもよい。電荷密度が一様だと仮定して答えて学生が多かったが，これは間違い。

5. 3．より中心には大きさ qの点電荷が存在する。また，無限遠では中性になっているから，原点以外では電荷 qと反対符号の電荷が存在してることになる。4．より中心から離れるほど，原点の点電荷を打ち消す反対符号の電荷の電荷密度は小さくなっていく。

4 十分離れたところでは一様，導体中では 0，導体に垂直な電場を描けばよい。


基礎物理コース II　試験問題2004年 12月 14日

1 無限に長い半径 aの円柱を考える。円柱は一様に電荷密度 ρで帯電しているとする。この円柱から r離れた点での電場をガウスの法則を用いて決定する。

1. r > aのとき，電場の大きさと方向を求めよ。

2. r < aのとき，電場の大きさと方向を求めよ。

2 原点に中心をもつ半径 aの接地された導体球を考える。中心を通るある軸を xとする。電荷−q,+qがそれぞれ x軸上，R,−Rの位置に置かれているとする。この問題を解くには鏡像電荷を 2個おけばよい。

1. 2個の鏡像電荷の大きさと位置を求めよ。

ここでR→ ∞, q → ∞, q/R2 = 2πε0Eという極限をとる。

2. 導体付近にできる電場の大きさ，方向を求めよ。

3. 原点付近にできる映像電荷の双極子モーメントをEを使って表せ。

4. 導体表面での電場を求めよ。

3 導体 2個からなる系を考える。導体 1を接地し，導体 2に電圧 V (> 0)をかけたところ，導体 1,2にはそれぞれQ, qの電荷が誘起された。また，導体 2を接地し，導体 1に電圧 V (> 0)をかけたところ，導体 1,2にはそれぞれQ′, q′の電荷が誘起された。

1. 電気容量を行列の形で表せ。

2. Q,Q′, q, q′の符号を答えよ。

3. Q,Q′, q, q′の間にはなにか関係式があるか？ある場合，その関係式を答えよ。ない場合，ないと答えよ。

4 δ関数について，以下の積分を求めよ。ただし f(x)はなめらかな関数とする。

1.∫ a

−adxδ(x), a > 0

2.∫ a

0dxδ(x− b), 0 < a < b

3.∫ a

0dxδ(x− b), 0 < b < a

4.∫∞−∞ dxf(x)δ(x− b) .


51. 双極子 pがつくる電場の様子をかけ。

2. 双極子 pが電場Eの中にあるとする。そのエネルギーを見積もろう。双極子を d

だけ離れた電荷 q,−qで近似する。これらの中心がちょうど原点にあるとする。

(a) これらの電荷の中心軸が電場の方向と等しい場合を考える。このとき電場と双極子が平行な場合と反平行な場合とのエネルギー差を求めよ。

(b) 電場に対して一般の方向を双極子が向いているとき，双極子のエネルギーの表式を求めよ。ただし，電荷の中心軸が電場と垂直の場合をエネルギーの原点とする。

6 塩化水素 (HCl)ではH原子とCl原子が結合距離 1.27オングストロームの位置にある。H原子側に+0.17e，Cl原子側に-0.17eの電荷の偏りがあるとしてHCl原子の分極を計算せよ。（eは素電荷。）なお，単位をきちんと書くこと。


******************************************************************************

簡単な解説

1 円柱のまわりに半径 r，高さ hの仮想的な円柱を考える。対称性から電場は円柱の動径方向に向かう。

1.

Er2πrh =Q

ε0=πa2ρh

ε0→ Er =

a2ρ

2ε0r

2.

Er2πrh =Q

ε0=πr2ρh

ε0→ Er =

rρ

2ε0

21. 電荷の大きさは q′ = ±aq/R，位置は−∓ a2/R。

2. q/4πε0R2 × 2 = E。方向は x方向。


3.2a2

R× aq

R= 4πε0Ea

3

4.

E =3(p · r)r − r2p

4πε0r5

に代入 (5.12)。r = aとする。これにさらに外からかかった電場を加える。

E =3Ex

a2r ,

ただし rは球上。見て分かるように rに比例している。ということで球面と垂直。

3 1. (Q1

Q2

)=

(Q′/V Q/V

q′/V q/V

)(V

V

)

よって，

(Q′/V Q/V

q′/V q/V

)

2. Q′, q > 0。q′, Q < 0。

3. 電気容量行列は対称行列なのでQ = q′。

4 1. 1

2. 0

3. 1

4. f(b)

5 1. 略。授業中黒板で書いたそのもの。磁石の作る磁力線と同じ。

2. 2qd|E|3. −p · E

61.27 × 10−10 × 0.17 × 1.6 × 10−19 = 3.5 × 10−30[C · m]



2005年 1月 25日

1 1. 真空中の電場E，磁束密度Bの満たすMaxwellの方程式を書き下せ。

2. 素電荷 e，真空の誘電率 ε0，真空の透磁率 μ0 それぞれの値をのべよ。

3. 上記の量を適当に使って光速を表せ。使わないものがあってもよい。

4. 光速の値はいくつか？（上の問題ができなかった人も光速を覚えていれば正解とします。）

2 半径 aの無限に長い導線が直線上に張られている。そこに電流 Iを流した。電流は導線断面を一様に流れているとする。

1. 電流密度の大きさを求めよ。

2. 導線のまわりには，導線からの距離を rに依存した磁場ができる。rの関数として磁束密度を求めよ。r > a, r < aで場合分けすること。

3 巻き数N , 長さ Lのコイルを考える。これに電流 Iを流す。コイルの中の磁場は一定だとするとき，磁場の大きさを求めよ。

41. ベクトルポテンシャルA1 = B0(0, x, 0),A2 = B0(−y, 0, 0),A3 = B0(−y/2, x/2, 0)を考える。それぞれのポテンシャルの作る磁束密度B1,B2,B3 を求めよ。

2. あるベクトルポテンシャルAを考える。任意のスカラー関数 f の勾配をこれに加えてA′を定義する。

A′ = A + gradf

このとき，A,A′は同じ磁束密度を与えることを示せ。

3. A1とA3を結びつけるスカラー関数 f を求めよ。

5 コイルと抵抗が電源に直列につながれている回路を考える。コイルの自己インダクタンスは Lで，抵抗の値はR，電源の電圧は V である。このとき回路を流れる電流 Iは以下の方程式を満たす。

LdI

dt+RI = V

時刻 t < 0ではスイッチは入っていない。t = 0にスイッチを入れた。


1. 電流 Iが流れているときのコイルのエネルギーを答えよ。

2. 十分長い時間が経ったとき，電流の値はいくらになるか？

3. スイッチを入れた後の電流の時間依存性を，上記の微分方程式を解くことにより求めよ。

4. これの方程式を力学の落下運動にたとえると，I, L,R, V は何と見なせるか？


簡単な解説

1 知識を問う問題なので講義ノートそのものです。真空中のMaxwellの方程式は 8．2

に書いてあります。光速は基本知識として覚えておきましょう。

1. 略

2. e = 1.6 × 10−19[C], ε0 = 8.854 × 10−12[C2/N · m2], μ0 = 4π × 10−7[N · A−2]

3. c = 1/√ε0μ0

4. c = 2.9979 · · · × 108[m/s]

2 1. j = I/πa2

2. アンペールの法則を用いる。直線電流のまわりに半径 rの円を考える。磁場はその円周に沿ってできる。そのとき，磁束密度を円周に沿って積分した値が円周内を流れる電流に比例する。

2πrB =

{μ0I r > a

μ0Ir2

a2 r ≤ aB =

{μ0I

12πr

r > a

μ0Ir

2πa2 r ≤ a

3 6.6.1のソレノイドのところ。コイルを巻いている電線に垂直な長方形の断面を考え，それにアンペールの法則を適用する。ソレノイド内の磁場はB，外は 0である。よってソレノイド軸に沿った長方形の辺を hとするとBh = μ0(N/L)hIとなり，B = μ0(N/L)I

が得られる。

4 B = rotAを用いる。

1. B1 = B2 = B3 = (0, 0, B0)

2. rotgradf = 0を用いれば明らか。

3. gradf = (−y/2,−x/2, 0)ならA3 = A1 + gradf となる。よって f = −B0xy

2

5

1. LI2/2。

2. 十分時間が経つと定常状態に達し dI/dt = 0となるので I = V/R

3. I =V

R(1 − exp(−Rt/L))


4. I ;速さ，L; 質量，R; 粘性抵抗，V ; 重力


2005年 11月 11日

1 以下を示せ。（ベクトルはベクトルらしく表記しないと間違いとします。）間違っているのに「よって題意は示された」と書いた人は 0点よりも低い点になります。

1. rot(gradf) ≡ 0

2. div(rotf ) ≡ 0

3. E = (y2, 2xy, 0)に対して線積分∫

E · dr を計算する。

(a) (0, 0, 0)から x軸に沿って (x, 0, 0)へ積分した値を求めよ。

(b) (x, 0, 0)から y軸に沿って (x, y, 0)へ積分した値を求めよ。

(c) (x, y, 0)から z軸に沿って (x, y, z)へ積分した値を求めよ。

(d) E = gradf(x, y, z)となるような f(x, y, z)を求めよ。

2 半径 aの一様に帯電した球殻を考える。球の表面全体の電荷はQである。

1. 電場，ポテンシャルを，球の中心からの距離 rの関数として計算し，図示せよ。ただし，ポテンシャルを求める際は，無限遠でポテンシャルが 0になるように定数をあわせる。球の外側と内側で振るまいが変わることに注意せよ。

2. この系の静電エネルギーを求めよ。

3 ガウスの法則を使って以下の問いに答えよ。

1. 面密度 σで一様に帯電している無限の平面のまわりにできる電場の強さを求めよ。面のまわりにどのような電場が出来るか図示せよ。

2. 線密度 λで一様に帯電している無限に長い電線のまわりに出来る電場の強さを求めよ。また，線のまわりにどのような電場が出来るか図示せよ。

4 電気量 qをもった点電荷が，接地された金属の平板な壁から dだけ離れておかれている。壁は無限に広くあついとする。

1. 壁から受ける引力の大きさを鏡像法により求めよ。

2. 点電荷側の壁に誘起される電荷の面密度を求めよ。


3. この面密度を全平面で積分するとどうなるか？（計算が出来ない人は勘で答えても部分点をあげます。）


******************************************************************************

簡単な解説



3. 線積分の場合，かならずその経路上で被積分関数がどのような値をとっているかに注意しなければなりません。(a) 0, (b) xy2, (c) 0, (d)f(x, y, z) = xy2 +定数


2.Q2

8πε0a。系の静電エネルギーなのに rに依存して答えを書いている人が多かった

です。

3 授業でさんざんやっています。

4 授業でやりましたね。面の反対側に鏡像電荷−qをおけばよい。

1. 距離 2d離れたところに映像電荷がおかれるので，q2

16πε0d2。

2. 面に垂直におろした点からの距離をRとおく。そこでの電場は Ez = − qd

2πε0R3。

σ = ε0Ez = − qd

2πR3。

3. 積分して−q。



2005年 12月 6日

1 原点に中心をもつ半径 aの接地された導体球を考える。中心を通るある軸を xとする。電気量 qの電荷が x軸上，Rの位置に置かれているとする。

1. 鏡像電荷の大きさ qIと位置 rIを求めよ。

導体球から電荷を取り去り帯電していない状態にして，接地をやめる。この場合，前問で求めた鏡像電荷の他に，新たに原点に鏡像電荷をおけばよい。

2. 新たにおいた鏡像電荷の大きさ q′Iを求めよ。

3. 球の表面上のポテンシャルを求めよ。

2 これは毎年出しているサービス問題。δ関数について，以下の積分を求めよ。ただしf(x)はなめらかな関数とする。

1.∫ −a

adx δ(x), a > 0

2.∫ a

−adx δ(2x), a > 0

3.∫ a

−adx δ(−3x), a > 0

4.∫∞−∞ dx f(x)δ(x− b) .

3 円対称でかつ z方向に一様な系では，ラプラス方程式は

ΔΨ(r) =1

r

∂

∂r

(r∂Ψ

∂r

)= 0

となる。

1. この解がC1 + C2 log rとなることを示せ。

2. このとき，電場はどのようになるか？。

半径 aの導線のまわりを半径 bの薄い導線で囲んだとする（同軸ケーブル）。内側は電圧 Va，外側は接地し電圧を 0に保つ。

3. C1, C2を求めよ。


4. 中空の領域 a < r < bの電場の r依存性を求めよ。

5. 内側の導線に溜まっている電荷の線電荷密度を求めよ。

4

1. 電荷がポテンシャル Φ中にあった場合，静電エネルギーは U =∫

dV ′ρ(r′)Φ(r′)である。双極子のおかれている位置を rとして，ポテンシャルをこの周りで展開する。すなわちΦ(r′) ≈ Φ(r) + (r′ − r) · gradΦ(r) を代入すると，

U ≈∫

dV ′[Φ(r) + (r′ − r) · gradΦ(r)]ρ(r′)

である。よって，

U ≈ Φ(r)

∫dV ′ρ(r′) + gradΦ(r) ·

∫dV ′r′ρ(r′) − gradΦ(r) · r

∫dV ′ρ(r′)

である。電荷の中性から右辺，第 1,3項は〔１〕となる。第２項は gradΦ(r) =〔２〕，

∫dV ′r′ρ(r′) =〔３〕から，〔４〕となる。こうして，U = −p ·Eが示される。

2. 双極子 pが y方向を向いていたとする。このとき双極子が作る電界を xy平面で描け。概略でよい。



******************************************************************************

簡単な解説

1 1. 授業でやったように qI = −qa/R, rI = a2/R

2. 球は帯電していないので，球の中の鏡像電荷の和は 0。よって q′I = qa/R。

3. Rにおいた電荷 q と rI においた鏡像電荷 qI はちょうど電位 0 になるように調整してある。よって新たに置いた電荷 q′I が球表面に作る電位を求めればよい。Φ = q′I/4πεa = q/4πεR。

2 1. -1

2. 1/2

3. 1/3

4. f(b)

3 1. 微分して 0なので r ∂f∂r

=一定 = C2。rで割って積分する。

2. Er = −dΨ/dr = −C2/r。

3. C1 + C2 ln a = Va, , C1 + C2 ln b = Vb。これを解いて，

C1 =Va ln b

ln(b/a), C2 = − Va

ln(b/a), Φ = −Va ln(r/b)

ln(b/a)

4. E = Va

ln(b/a)1r

5. 2πrE = λ内側/ε0より，

λ内側 = 2πε0Va

ln(b/a)

4 1. 〔1〕0, 〔2〕−E, 〔3〕p, 〔4〕−p · E2. 略。授業中黒板で書いたそのもの。磁石の作る磁力線と同じ。



2006年 1月 24日

1

1. 以下は真空中でのMaxwellの方程式である。

divE = 0 (B.7a)

divB = 0 (B.7b)

rotE = −∂B

∂t(B.7c)

rotB = ε0μ0∂E

∂t(B.7d)

この真空中のMaxwellの方程式から，真空中の電磁波の速さを出そう。3番目の式の両辺の rotととると，一般に rot rotv = grad divv − Δvが成立するので，

grad divE − Δ〔1〕= −∂rotB

∂t(B.8)

である。Δはラプラシアン，∂2/∂x2 +∂2/∂y2 +∂2/∂z2 である。真空中のMaxwell

の方程式の1番目の式から (B.8)の左辺第一項は〔2〕，また，4番目の式から (B.8)

の右辺は〔3〕となる。よって，(Δ − ε0μ0

∂2

∂t2

)E = 0

となる。

2. E = (A sin(kz − ωt), 0, 0)を仮定して代入し，kと ωの関係を求めよ。

3. v = λf = ω/kより光速を求めよ。

4. 光速はいくつか？ε0 = 8.854 × 10−12C2/N · m2, μ0 = 4π × 10−7[N · A−2]を用いよ。光速の値を覚えている人は，その値を書いてもいくらか点をあげます。

5. 可視光の波長はどれくらいか。携帯電話から出るマイクロ波（ヒント：携帯電話が出す電波の振動数は 3GHzとせよ）の波長はどれくらいか？可視光と紫外線，どちらが波長が長いか，それぞれ答えよ。

2 半径 aの導線に大きさ I の電流が流れているとする。このまわりには磁場が出来る。この直線電流が中心軸から rだけ離れたところに作る磁場を，アンペールの法則を用いて求める。


1. r > aのとき，磁束密度B(r)を求めよ。

2. r < aのとき，磁束密度B(r)を求めよ。

3 単位長さあたりの巻き数 n, 長さ lのコイルに電流 Iを流した。コイルの中の磁場は一定だとする。

1. コイルの中の磁場の大きさを，アンペールの法則から求めよ。

2. 容量Cのコンデンサに電気量Qが溜まっているとき，そのエネルギーはQ2/2C

であった。これは ε0E2/2を体積積分した値に等しかった。同様にして，このコ

イルがもっているエネルギー U がコイルの体積を V として，ソレノイドの自己インダクタンス L = V μ0n

2を使って U = LI2/2と書いても，U = B2/2μ0V と書いても同じであることを示せ。

4 LCR回路を考える。抵抗とコイルとコンデンサは直列につながれている。抵抗の抵抗値はR，コイルの自己インダクタンスは Lで，コンデンサの容量はCである。キルヒホッフの法則から

RI + LdI

dt+Q

C= 0

である。

1.dQ

dt= I を用いて，上式をQのみの微分方程式に変形せよ。

2. t = 0で電流は流れておらず，電荷はQ0たまっていた。力学の減衰振動と照らし合わせて，このときQ(t)が直感的にどうなるか，考察せよ。


******************************************************************************

簡単な解説

1 知識を問う問題なので講義ノートそのものです。真空中のMaxwellの方程式は 8．2

に書いてあります。光速は基本知識として覚えておきましょう。

1. 〔1〕E ,〔2〕0 , 〔3〕−ε0μ0∂2E

∂t2

2. k =√ε0μ0ω。

3. v = 1/√ε0μ0

4. v = 1/√ε0μ0を計算して 2.9979 · · · × 108[m/s]

5. 可視光の波長は 0.4− 0.8μm，携帯電話が出すマイクロ波は f = 3× 1091/s , v =

3 × 108m/sより 0.1m = 10cm。可視光の方が紫外線よりも波長が長い。

2 アンペールの法則を用いる。直線電流のまわりに半径 rの円を考える。磁場はその円周に沿ってできる。そのとき，磁束密度を円周に沿って積分した値が円周内を流れる電流に比例する。

2πrB =

{μ0I r > a

μ0Ir2

a2 r ≤ aB =

{μ0I

12πr

r > a

μ0Ir

2πa2 r ≤ a

3

1. B = μ0nI

2. LI2/2 = V μ0n2I2/2，一方，V B2/2μ0 = V μ0n

2I2/2。よってどちらでやっても等しい。

4

1.d2Q

dt2+R

L

dQ

dt+

Q

CL= 0


2.d2x

dt2+ 2γ

dx

dt+ ω2

0x = 0

が，粘性がある媒質中でバネにつながれた質点が振動する様子を記述する方程式。この方程式は γ < ω0なら減衰振動，γ > ω0なら振動しないで減衰する。

この類推から，時刻 t = 0で溜まっていた電荷は，抵抗があまり大きくなければ振動しながら減っていき（減衰振動），抵抗が大きいと振動しないで 0になる (過減衰)。なお，その境はR

√C/L = 2。

上智大学理工学部物理学科大槻東巳 - Sophia …tomi/kougi_note/elemag.pdfx(x,y),v...

Documents

Transcript of 上智大学理工学部物理学科大槻東巳 - Sophia …tomi/kougi_note/elemag.pdfx(x,y),v...

上智大学理工学部物理学科 大槻東巳 - Sophia …tomi/kougi_note/elemag.pdfx(x,y),v...

Documents

Transcript of 上智大学理工学部物理学科 大槻東巳 - Sophia …tomi/kougi_note/elemag.pdfx(x,y),v...

上智大学理工学部物理学科大槻東巳 - Sophia …tomi/kougi_note/elemag.pdfx(x,y),v...

Transcript of 上智大学理工学部物理学科大槻東巳 - Sophia …tomi/kougi_note/elemag.pdfx(x,y),v...