Marcin Studniarskihttp://math.uni.lodz.pl/�marstud/

marstud@math.uni.lodz.pl

Ryzyko inwestycji �nansowych(semestr zimowy 2012/13)

1 Koncepcje i rodzaje ryzyka

1.1 Dwie koncepcje ryzyka

1. Negatywna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro·zenie; mo·zliwoscstraty, szkody, nieosi ¾agni¾ecia zamierzonego celu dzia÷ania.

2. Neutralna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro·zenie, ale jednoczesnieszansa; mo·zliwosc uzyskania efektu ró·zni ¾acego si¾e od zamierzonego celu(efekt ten mo·ze byc gorszy lub lepszy od oczekiwanego).

1.2 Rodzaje ryzyka

1. Ryzyko rynkowe - wynika ze zmian cen na rynkach �nansowych i to-warowych (koncepcja neutralna).

2. Ryzyko kredytowe - wynika z mo·zliwosci niedotrzymania warunkówkontraktu przez osob¾e lub instytucj¾e, której udzielono kredytu.

3. Ryzyko operacyjne - ryzyko straty wynikaj ¾acej z nieprawid÷owo dzia÷a-j ¾acych procesów wewn¾etrznych, ludzi i systemów informatycznych (kon-cepcja negatywna).

4. Ryzyko p÷ynnosci - ryzyko nieoczekiwanego spadku p÷ynnosci �nan-sowej podmiotu gospodarczego (p÷ynnosc oznacza zdolnosc podmiotudo regulowania zobowi ¾azan w terminie) (koncepcja neutralna lub negaty-wna).

5. Ryzyko prawne - ryzyko uchwalenia nowych aktów prawnych maj ¾a-cych wp÷yw na sytuacj¾e danego podmiotu gospodarczego (koncepcja neu-tralna).

6. Ryzyko biznesu - ryzyko spowodowane zmianami warunków ekonomicz-nych prowadzenia dzia÷alnosci gospodarczej przez podmiot (koncepcja neu-tralna lub negatywna).

7. Ryzyko wydarzen - ryzyko wyst ¾apienia wydarzen losowych maj ¾acychwp÷yw na sytuacj¾e podmiotu gospodarczego (np. powódz, po·zar, napadna bank) (koncepcja negatywna).

1

1.3 Podzia÷ryzyka rynkowego

1. Ryzyko kursu walutowego

2. Ryzyko stopy procentowej

3. Ryzyko cen akcji

4. Ryzyko cen towarów (tak·ze nieruchomosci)

1.4 Podzia÷ryzyka kredytowego

1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez drug ¾astron¾e p÷atnosci wynikaj ¾acych z kontraktu (koncepcja negatywna).

2. Ryzyko wiarygodnosci kredytowej - mo·zliwosc zmiany wiarygodnoscikredytowej drugiej strony (koncepcja neutralna).

2 De�nicja papieru wartosciowego

Papier wartosciowy (security) jest to dokument (instrument �nansowy) po-twierdzaj ¾acy jedn ¾a z trzech sytuacji:

� nabycie prawa do wspó÷w÷asnosci �rmy,

� udzielenie kredytu rz ¾adowi, �rmie lub instytucji,

� uzyskanie prawa do otrzymania w przysz÷osci pewnej wartosci (najcz¾esciejw postaci innego papieru wartosciowego).

3 Rodzaje papierów wartosciowych

3.1 Akcje

Akcja (stock, share) jest to dokument swiadcz ¾acy o udziale jego w÷asciciela wkapitale spó÷ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia:

� prawo do dywidend,

� prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy,

� prawo do udzia÷u w maj ¾atku spó÷ki w przypadku jej likwidacji.

Akcje dziel ¾a si¾e na zwyk÷e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo·zedotyczyc:

� g÷osu na zebraniach akcjonariuszy,

� pierwszenstwa w wyp÷acaniu dywidendy,

� pierwszenstwa w podziale maj ¾atku spó÷ki w przypadku jej likwidacji.

2

3.2 Obligacje

Obligacja (bond) jest to papier wartosciowy potwierdzaj ¾acy nabycie przezjego posiadacza prawa do otrzymania w okreslonym terminie sumy pieni¾edzyokreslonej w obligacji oraz ewentualnie odsetekObligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery

wartosciowe danego emitenta w przysz÷osci i na z góry okreslonych warunkach.Podzia÷obligacji ze wzgl¾edu na okres do wykupu:

� krótkoterminowe (1-5 lat),

� srednioterminowe (5-12 lat),

� d÷ugoterminowe (powy·zej 12 lat).

Podzia÷obligacji ze wzgl¾edu na oprocentowanie:

� o sta÷ym oprocentowaniu,

� o zmiennym oprocentowaniu (mo·ze byc ustalane na pocz ¾atku lub na koncuokresu oprocentowania),

� zerokuponowe (bezodsetkowe) �brak odsetek jest rekompensowany sprze-da·z ¾a obligacji po cenie ni·zszej od wartosci nominalnej.

4 Stopa zysku z inwestycji

Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawow ¾a miar ¾a okreslaj ¾ac ¾aefektywnosc inwestycji. Okreslamy j ¾a wzorem

R :=Kk �Kp

Kp; (1)

gdzie:Kp > 0 �kapita÷pocz ¾atkowy (zainwestowany na pocz ¾atku procesu in-

westycji),Kk �kapita÷koncowy (posiadany na koncu inwestycji).Stop¾e zysku R podaje si¾e zwykle w procentach.Przekszta÷caj ¾ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita÷koncowy:

Kk = Kp(1 +R): (2)

Stwierdzenie 1. Dany jest skonczony ci ¾ag inwestycji �nansowych w przedzi-a÷ach czasowych [ti�1; ti], i = 1; ::; n, gdzie t0 < t1 < ::: < tn. Za÷ó·zmy, ·ze kapi-ta÷koncowy dla poprzedniego okresu jest kapita÷em pocz ¾atkowym dla nast ¾epnegookresu. Je·zeli Ri jest stop ¾a zysku dla okresu [ti�1; ti], to stopa zysku dla okresu[t0; tn] wynosi

R =nYi=1

(1 +Ri)� 1: (3)

3

Dowód. Oznaczmy przezKi kapita÷posiadany w momencie ti, i = 0; 1; :::; n.Zgodnie z (2)

Ki = Ki�1(1 +Ri), i = 1; :::; n:

Zatem

K1 = K0(1 +R1);

K2 = K1(1 +R2) = K0(1 +R1)(1 +R2);

:::

Kn = K0

nYi=1

(1 +Ri): (4)

Poniewa·z Kn jest kapita÷em koncowym dla ca÷ego procesu inwestycji, wi¾ec musispe÷niac warunek (2), czyli

Kn = K0(1 +R): (5)

Porównuj ¾ac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3). �Przy za÷o·zeniach Stwierdzenia 1 za÷ó·zmy dodatkowo, ·ze 1 +Ri > 0. Liczb¾e

�R := n

vuut nYi=1

(1 +Ri)� 1 (6)

nazywamy sredni ¾a geometryczn ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji n-okresowej o stopach zysku Ri, i = 1; :::; n.Sens liczby �R jest nast¾epuj ¾acy: jest ona taka, ·ze inwestycja n-okresowa o

równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynosz ¾acych �R, daje stop¾ezysku R okreslon ¾a wzorem (3). Istotnie, stosuj ¾ac Stwierdzenie 1 do powy·zszejsytuacji, otrzymamy

R =nYi=1

(1 + �R)� 1 = (1 + �R)n � 1 =nYi=1

(1 +Ri)� 1:

Stwierdzenie 2. Przy za÷o·zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + Ri > 0zachodzi nierównosc

�R � 1

n

nXi=1

Ri; (7)

tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznejstóp zysku z poszczególnych okresów.Dowód. Stosujemy znan ¾a nierównosc pomi¾edzy sredni ¾a geometryczn ¾a i

arytmetyczn ¾a liczb dodatnich a1; :::; an:

n

vuut nYi=1

ai �1

n

nXi=1

ai

4

(równosc zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby ai s ¾a równe).Niech ai := 1 +Ri, wówczas

�R = n

vuut nYi=1

(1 +Ri)� 1 �1

n

nXi=1

(1 +Ri)� 1

=1

n

n+

nXi=1

Ri

!� 1 = 1

n

nXi=1

Ri: �

5 Zasada obliczania procentu sk÷adanego

Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk÷ada-nego. Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta÷astopa procentowa, a odsetki s ¾a kapitalizowane po up÷ywie ka·zdego roku:

Kn = K0(1 +R)n; (8)

gdzie:R �stopa procentowa (b¾ed ¾aca jednoczesnie stop ¾a zysku dla ka·zdego roku),K0 �kapita÷pocz ¾atkowy,Kn �kapita÷po n latach (wartosc przysz÷a sumy K0 po n latach).W przypadku, gdy odsetki s ¾a dodawane do kapita÷u m razy w ci ¾agu roku

(przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast¾epuj ¾acy wzór nawartosc przysz÷¾a sumy K0 po n latach:

Kn = K0

�1 +

R

m

�mn: (9)

Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale·znosci od cz¾estosci kapitalizacjiodsetek:kwartalna: Kn = K0

�1 + R

4

�4nmiesi¾eczna: Kn = K0

�1 + R

12

�12ndzienna: Kn = K0

�1 + R

365

�365nci ¾ag÷a:

Kn = K0 limm!1

�1 +

R

m

�mn= K0 lim

m!1

"�1 +

1

m=R

�m=R#Rn

= K0 limx!1

��1 +

1

x

�x�Rn= K0e

Rn; (10)

gdzie e � 2; 7183 �podstawa logarytmu naturalnego.Uwaga: wzrost cz¾estosci kapitalizacji odsetek ma niewielki wp÷yw na wzrost

wartosci przysz÷ej kapita÷u.

5

6 Zasada dyskonta

Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk÷adanego przedstawiona w odwrot-nej postaci. Przekszta÷caj ¾ac wzór (8), otrzymujemy

K0 =Kn

(1 +R)n; (11)

gdzie K0 nazywamy wartosci ¾a bie·z ¾ac ¾a sumy pieni¾edzy Kn uzyskiwanej wprzysz÷osci (inaczej: wartosci ¾a zdyskontowan ¾a na okres bie·z ¾acy). Stop¾eprocentow ¾a R nazywamy tu stop ¾a dyskontow ¾a.Interpretacja: wartosc bie·z ¾aca K0 wskazuje, jak ¾a sum¾e nale·zy zainwest-

owac na n lat, przy za÷o·zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacjiodsetek, aby otrzymac sum¾e równ ¾a Kn.

7 Efektywna stopa procentowa

W celu wyrównania efektu sródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ci ¾aguroku) nale·zy powi¾ekszyc stop¾e procentow ¾a R wyst¾epuj ¾ac ¾a w (9) do wartoscizwanej efektywn ¾a stop ¾a procentow ¾a, oznaczanej Ref . Zatem efektywnastopa procentowa spe÷nia równanie

K0(1 +Ref )n = K0

�1 +

R

m

�mn:

St ¾ad wynika, ·ze

Ref =

�1 +

R

m

�m� 1: (12)

8 Okreslanie wartosci papierów wartosciowych

Za÷ó·zmy najpierw, ·ze inwestor zatrzyma papier wartosciowy przez rok.Oznaczmy:P �wartosc papieru wartosciowego w momencie zakupu, czyli kap-

ita÷(pocz ¾atkowy) zainwestowany w zakup.C � wp÷ywy gotówkowe z tytu÷u posiadania papieru wartosciowego (za-

k÷adamy dla uproszczenia, ·ze uzyskiwane s ¾a dok÷adnie po up÷ywie roku),R �stopa zysku papieru wartosciowego.Ze wzoru (2) wynika, ·ze C = P (1 +R), czyli

P =C

1 +R: (13)

Interpretacja: wartosc papieru wartosciowego jest to zdyskontowany przy-chód z tytu÷u posiadania papieru wartosciowego, przy czym stop ¾a dyskontow ¾ajest stopa zysku.

6

Uogólnienie. Rozwa·zamy papier wartosciowy, z tytu÷u którego otrzymu-jemy wp÷ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniaj ¾ac wzór (13), otrzymujemy

P =nXi=1

Ci(1 +R)i

; (14)

gdzie:P �wartosc papieru wartosciowego,Ci �dochód z tytu÷u posiadania papieru wartosciowego, uzyskany w i-tym

okresie,R �stopa dyskontowa, b ¾ed ¾aca jednoczesnie stop ¾a zysku osi ¾aganego w po-

jedynczym okresie.De�nicja. Wartosc papieru wartosciowego jest to suma zdyskon-

towanych na okres bie·z ¾acy wp÷ywów uzyskiwanych z tytu÷u posiadania tego pa-pieru wartosciowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku.Sposoby korzystania ze wzoru (14):1. Jesli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartos-

ciowych podobnego typu), to mo·zna porównac wartosc P z cen ¾a rynkow ¾a pa-pieru wartosciowego w celu podj¾ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op÷acalny,jesli cena nie przekracza P ).2. Mo·zna przyj ¾ac jako P cen¾e rynkow ¾a papieru wartosciowego i rozwi ¾azac

równanie (14) wzgl¾edemR w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowa-nia metod przybli·zonych. Znaj ¾ac R, mo·zna podj ¾ac decyzj¾e o zakupie (np.porównuj ¾ac R ze stop ¾a zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych).

9 Okreslanie wartosci obligacji o sta÷ym opro-centowaniu

Rozwa·zmy obligacj¾e z n-letnim terminem wykupu, o wartosci nominalnej M .Za÷ó·zmy, ·ze odsetki p÷acone po up÷ywie ka·zdego roku wynosz ¾a C. Zatem opro-centowanie obligacji wynosi C=M . Stosuj ¾ac (14), otrzymujemy wzór na wartoscobligacji:

P =

nXi=1

C

(1 +R)i+

M

(1 +R)n; (15)

gdziePni=1

C(1+R)i �zdyskontowany przychód z odsetek,

M(1+R)n �zdyskontowany przychód z wykupu obligacji.W (15) wyst¾epuj ¾a dwie ró·zne stopy procentowe:

1. C=M �stopa procentowa okreslaj ¾aca oprocentowanie odsetek od obligacji(jest sta÷a i znana w momencie zakupu).

2. R �stopa dyskontowa b¾ed ¾aca jednoczesnie stop ¾a zysku obligacji (zwanatak·ze stop ¾a rentownosci).

7

Wartosc R jest zmienna w czasie, gdy·z zale·zy od ceny rynkowej. W praktyceP jest cen ¾a rynkow ¾a i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R.

10 Okreslanie wartosci akcji zwyk÷ych

Zysk z tytu÷u posiadania akcji pochodzi z dwóch zróde÷:

1. z dywidendy p÷aconej w danym okresie,

2. z przyrostu kapita÷u w danym okresie (wynikaj ¾acego z przyrostu cenyakcji).

Za÷ó·zmy najpierw, ·ze posiadacz akcji sprzeda j ¾a po up÷ywie n lat. Wówczasz (14) otrzymujemy

P =nXi=1

Di(1 +R)i

+Pn

(1 +R)n; (16)

gdzieP �wartosc akcji w chwili obecnej,Pn �wartosc akcji po n latach,Di �dywidenda wyp÷acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak÷adamy, ·ze

jest wyp÷acana z koncem roku),R �stopa zysku akcji, b ¾ed ¾aca stop ¾a dyskontow ¾a,Pn

i=1Di

(1+R)i �zdyskontowany przychód z dywidend,Pn

(1+R)n �zdyskontowany przychód ze sprzeda·zy akcji.Za÷ó·zmy teraz, ·ze nabywca akcji b ¾edzie j ¾a zawsze posiada÷. Wówczas znika

ostatni sk÷adnik po prawej stronie (16), a zamiast skonczonej sumy rozwa·zamyjej wartosc graniczn ¾a (o ile istnieje):

P = limn!1

nXi=1

Di(1 +R)i

=1Xi=1

Di(1 +R)i

: (17)

Wzór (17) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend.Uwagi. 1) Zbie·znosc szeregu w (17) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje

taka sta÷a A > 0, ·ze Di � D1Ai�1, i = 2; 3; ::: oraz A1+R < 1. Wówczas

limn!1

nXi=1

Di(1 +R)i

� limn!1

D1

nXi=1

Ai�1

(1 +R)i= D1

1Xi=1

Ai�1

(1 +R)i;

gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie A1+R 2

(0; 1), a wi¾ec zbie·znym.2)We wzorze (17) wyd÷u·zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskonc-

zonosci (co jest oczywiscie jedynie przybli·zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje,·ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita÷u z powodu zmian cen akcji. Nie ma onznaczenia, gdy nieplanuje si¾e sprzeda·zy akcji. Jedynym zród÷em dochodu z akcjistaje si¾e dywidenda.

8

11 Okreslanie wartosci przedsi ¾ebiorstwa

Wartosc przedsi ¾ebiorstwa (np. spó÷ki, banku, zak÷adu ubezpieczen) jest towartosc obecna (bie·z ¾aca) przysz÷ych przep÷ywów pieni¾e·znych do przedsi¾ebiorstwa.Wyra·za j ¾a wzór podobny do (17):

P =1Xi=1

Ci(1 +R)i

; (18)

gdzieP �wartosc przedsi¾ebiorstwa,Ci �przep÷yw pieni¾e·zny w okresie i,R �stopa dyskontowa.Sumowanie nieskonczone wynika z za÷o·zenia, ·ze przedsi¾ebiorstwo b¾edzie fun-

kcjonowa÷o stale (przez czas nieokreslony).

12 Zale·znosc stopy zysku od sposobu kapitaliza-cji

Przedstawimy teraz trzy ró·zne wzory na stop¾e zysku z inwestycji trwaj ¾acej nokresów jednostkowych (najcz¾esciej s ¾a to lata). Ró·znice wynikaj ¾a z odmiennychsposobów kapitalizacji odsetek. Uwaga: n nie musi byc liczb ¾a naturaln ¾a.

12.1 Prosta stopa zysku

Prosta stopa zysku odpowiada kapitalizacji okresowej, tzn. odsetki s ¾akapitalizowane jeden raz na zakonczenie ca÷ego procesu inwestycji. Sytuacj¾e t¾eopisuje szczególny przypadek wzoru (9), gdy m = 1=n:

Kn = K0(1 + nR): (19)

Wyznaczaj ¾ac st ¾ad R, otrzymujemy wzór na prost ¾a stop¾e zysku:

R =1

n

�Kn

K0� 1�: (20)

12.2 Efektywna stopa zysku

Efektywna stopa zysku odpowiada kapitalizacji rocznej, któr ¾a opisujewzór (8). St ¾ad otrzymujemy wzór na efektywn ¾a stop¾e zysku:

R =

�Kn

K0

�1=n� 1: (21)

9

12.3 Logarytmiczna stopa zysku

Logarytmiczna stopa zysku odpowiada kapitalizacji ci ¾ag÷ej. Logarytmuj ¾acstronami wzór (10), otrzymujemy

lnKn = lnK0 +Rn:

St ¾ad dostajemy wzór na logarytmiczn ¾a stop¾e zysku:

R =1

n(lnKn � lnK0) =

1

nlnKn

K0: (22)

13 Przestrzen probabilistyczna

Niech b¾edzie dowolnym zbiorem zdarzen elementarnych. Prawdopodobien-stwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale·z ¾acym do tzw. klasy zdarzen F ,gdzie F � 2. Zak÷adamy, ·ze F jest �-cia÷em podzbiorów , tzn. spe÷nianast¾epuj ¾ace warunki:S1. F 6= ;.S2. Je·zeli A 2 F , to nA 2 F .S3. Je·zeli Ai 2 F dla i = 1; 2; :::, to

S1i=1Ai 2 F .

Z powy·zszych warunków wynika, ·ze do F nale·z ¾a zdarzenia: (zdarzeniepewne) i ; (zdarzenie niemo·zliwe).Najmniejsze �-cia÷o zawieraj ¾ace wszystkie zbiory otwarte w Rn nazywamy

�-cia÷em zbiorów borelowskich w Rn i oznaczamy B(Rn).Prawdopodobienstwem nazywamy dowoln ¾a funkcj¾e P : F ! R spe÷nia-

j ¾ac ¾a warunki:A1. P (A) � 0 dla ka·zdego A 2 F ,A2. P () = 1,A3. Je·zeli Ai 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz Ai \Aj = ; dla i 6= j, to

P

1[i=1

Ai

!=1Xi=1

P (Ai): (23)

Przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a nazywamy trójk¾e (;F ; P ), gdzie jestdowolnym zbiorem, F jest �-cia÷em podzbiorów , a P jest prawdopodobienst-wem okreslonym na F .W÷asnosci prawdopodobienstwa. Je·zeli (;F ; P ) jest przestrzeni ¾a prob-

abilistyczn ¾a i zbiory A; B; A1; :::; An nale·z ¾a do F , to spe÷nione s ¾a poni·zszewarunki:W1. P (;) = 0.W2. Je·zeli Ai \Aj = ; dla i 6= j, to P (

Sni=1Ai) =

Pni=1 P (Ai).

W3. P (nA) = 1� P (A).W4. Je·zeli A � B, to P (BnA) = P (B)� P (A).W5. Je·zeli A � B, to P (A) � P (B).W6. P (A) � 1.W7. P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B).

10

Uwaga. Jesli jest zbiorem skonczonym i F = 2, to z równosci

=[!2

f!g

oraz z warunków A2 i W2 wynika, ·ze

X!2

P (f!g) = P [!2

f!g!= P () = 1: (24)

14 Zmienne losowe

Niech (;F ; P ) b¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Zmienn ¾a losow ¾a (wek-torem losowym) o wartosciach w Rn nazywamy odwzorowanie X : ! Rntakie, ·ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w Rn zbiór X�1(A) nale·zy doF .Mo·zna wykazac, ·ze X jest zmienn ¾a losow ¾a wtedy i tylko wtedy, gdy dla

ka·zdego uk÷adu liczb �1; :::; �n 2 R mamy

X�1((�1; �1]� :::� (�1; �n]) 2 F :

Uwaga. Jesli jest zbiorem skonczonym i F = 2, to ka·zda funkcjaX : ! Rn jest zmienn ¾a losow ¾a.Rozk÷adem prawdopodobienstwa zmiennej losowejX : ! Rn nazy-

wamy funkcj¾e PX : B(Rn)! R dan ¾a wzorem

PX(B) := P (X�1(B)) dla B 2 B(Rn): (25)

Mówimy, ·ze zmienna losowa X ma rozk÷ad dyskretny, je·zeli istnieje taki zbiórprzeliczalny S � Rn, ·ze PX(S) = 1.Uwaga. Jesli jest zbiorem skonczonym i F = 2, to mo·zna przyj ¾ac

S := X() (zbiór skonczony) i wtedy

PX(S) = PX(X()) = P (X�1(X())) = P () = 1:

Zatem ka·zda zmienna losowa okreslona na skonczonym zbiorze zdarzen elemen-tarnych ma rozk÷ad dyskretny.

14.1 Wartosc oczekiwana zmiennej losowej o rozk÷adziedyskretnym

Wartosci ¾a oczekiwan ¾a (lub sredni ¾a) zmiennej losowejX : ! R o rozk÷adziedyskretnym, przyjmuj ¾acej skonczenie wiele wartosci, nazywamy liczb¾e

EX :=Xi2I

xiP (X = xi); (26)

11

gdzie X() = fxigi2I , I �skonczony zbiór indeksów, a P (X = xi) jest skró-conym zapisem wyra·zenia P (f! 2 : X(!) = xig).Wartosci ¾a oczekiwan ¾a wektora losowego X = (X1; :::; Xn) : ! Rn, gdzie

wszystkie zmienne losowe Xi przyjmuj ¾a skonczenie wiele wartosci, nazywamywektor

EX := (EX1; :::; EXn): (27)

14.2 Wartosc oczekiwana zmiennej losowej w przypadkuogólnym

W przypadku dowolnej zmiennej losowej X : ! R mówimy, ·ze ma onawartosc oczekiwan ¾a, je·zeli jest ca÷kowalna, tzn.Z

jXj dP <1:

Wówczas wartosci ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X nazywamy liczb¾e

EX :=

Z

XdP: (28)

De�nicja (28) jest uogólnieniem de�nicji (26). W ogólnym przypadku do zde�n-iowania wartosci oczekiwanej wektora losowego u·zywamy wzoru (27) przy za-÷o·zeniu, ·ze wszystkie wspó÷rz¾edne maj ¾a wartosc oczekiwan ¾a.Ze wzoru (27) i z podstawowych w÷asnosci ca÷ki wynika nast¾epuj ¾ace twierdze-

nie.Twierdzenie 1. Niech X i Y b ¾ed ¾a zmiennymi losowymi na o wartosciach

w R. Za÷ó·zmy, ·ze istniej ¾a wartosci oczekiwane EX i EY . Wówczas:(a) Jesli X � 0, to EX � 0.(b) jEXj � E jXj.(c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje wartosc oczekiwana aX + bY i

E(aX + bY ) = aEX + bEY . (29)

15 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji

15.1 Metoda 1 �na podstawie danych z przesz÷osci

W metodzie tej wykorzystuje si¾e dane z pewnej ilosci okresów poprzedzaj ¾acychokres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest okreslonawzorem

Ri =Pi � Pi�1 +Di

Pi�1; (30)

gdzie Pi, Pi�1 oznaczaj ¾a wartosci akcji odpowiednio w okresach i, i� 1, a Di �dywidend¾e wyp÷acan ¾a w okresie i.Wzór (30) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapi-

ta÷pocz ¾atkowy Kp przyjmujemy jako równy Pi�1, a kapita÷koncowy Kk �jako

12

równy Pi+Di. Jesli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prog-nozowania stopy zysku w nadchodz ¾acym okresie (o tej samej d÷ugosci) mo·zemyu·zyc sredniej arytmetycznej

R =1

n

nXi=1

Ri (31)

albo sredniej geometrycznej okreslonej wzorem (6).

15.2 Metoda 2 �wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku

Korzystaj ¾ac z analiz ekspertów dotycz ¾acych sytuacji danej �rmy oraz ca÷ejgospodarki, mo·zna próbowac ocenic mo·zliwe stopy zysku w ró·znych sytuac-jach oraz prawdopodobienstwa ich wyst ¾apienia. Wówczas do prognozowaniaprzysz÷ej stopy zysku u·zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod¾e t¾e nazywamyprognozowaniem ekspertowym.Oczekiwan ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb¾e

ER :=nXi=1

piRi; (32)

gdzie Ri �stopa zysku wyst¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, pi �prawdopodobienstwowyst ¾apienia i-tej sytuacji, n �liczba mo·zliwych ró·znych scenariuszy rozwoju.

16 Wariancja i odchylenie standardowe zmien-nej losowej

Niech X : ! R b¾edzie zmienn ¾a losow ¾a. Jesli E�(X � EX)2

�<1, to t¾e liczb ¾e

nazywamy wariancj ¾a zmiennej losowej X i oznaczamy

VarX = D2X := E�(X � EX)2

�: (33)

Wariancj¾e mo·zna inaczej zapisac nast¾epuj ¾aco:

VarX = E(X2)� (EX)2: (34)

Dowód (34). VarX := E [(X � EX)2] = E [X2 � 2XEX + (EX)2] = E(X2) �(EX)2. �Ze wzorów (33) i (26) wynika, ·ze jesli X przyjmuje skonczon ¾a ilosc wartosci

xi, i 2 I, toVarX =

Xi2I

P (X = xi)(xi � EX)2: (35)

W÷asnosci wariancji. Jesli X jest zmienn ¾a losow ¾a, dla której E(X2) <1, toistnieje VarX i spe÷nia warunki(a) VarX � 0.(b) Var(�X) = �2VarX (� 2 R).

13

(c) Var(X + �) = Var(X) (� 2 R).(d) VarX = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta÷a z

prawdopodobienstwem 1.Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek

z wariancji:�X = DX =

pVarX: (36)

17 Ryzyko papieru wartosciowego (koncepcja ne-utralna)

Ryzyko inwestycji �nansowej oznacza niepewnosc wyst ¾apienia oczekiwanejsytuacji w procesie inwestowania. Okresla ono tak·ze skal¾e zró·znicowania (rozpro-szenia) prognozy lub danych historycznych.Miarami ryzyka zwi ¾azanego z inwestowaniem w papiery wartosciowe s ¾a

wariancja i odchylenie standardowe papieru wartosciowego.

17.1 Prognozowanie ekspertowe

Wprzypadku prognozowania ekspertowegowariancj ¾e papieru wartosciowegode�niujemy nast¾epuj ¾aco:

V :=nXi=1

pi(Ri � ER)2; (37)

gdzie Ri �stopa zysku wyst¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, pi �prawdopodobienstwowyst ¾apienia i-tej sytuacji, ER � oczekiwana stopa zysku z inwestycji, danawzorem (32).Im mniejsza wartosc V , tym mniejsze ryzyko osi ¾agni¾ecia oczekiwanej stopy

zysku. Najmniejsz ¾a mo·zliw ¾a do osi ¾agni¾ecia wartosci ¾a jest 0. Wyst¾epuje onawtedy, gdy wszystkie mo·zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuj ¾a si¾e jednakow ¾astop ¾a zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta÷ym oprocentowaniu.

17.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartosci histo-rycznych stóp zysku

Zak÷ada si¾e, ·ze rozk÷ad przysz÷ych stóp zysku b¾edzie si¾e charakteryzowa÷takimsamym ryzykiem, jakie wyst¾epowa÷o w dotychczasowych notowaniach. Wari-ancj¾e dotychczasowych stóp zysku oblicza si¾e wed÷ug wzoru

V :=1

n

nXi=1

(Ri �R)2; (38)

gdzie n �liczba okresów, z których pochodz ¾a dane, Ri �stopy zysku uzyskanew kolejnych okresach, R �srednia historyczna stopa zysku, dana wzorem (31).Poniewa·z nie s ¾a okreslone prawdopodobienstwa wyst ¾apienia poszczególnych stóp

14

zysku Ri, przyjmuje si¾e, ·ze s ¾a one jednakowe i wynosz ¾a 1=n. Wówczas ER = Rzgodnie z wzorem (32), a zatem (38) jest szczególnym przypadkiem (37), gdziepi = 1=n dla i = 1; :::;m.W przypadku ma÷ej liczby danych (n � 30) do prognozowania wariancji

stopy zysku stosuje si¾e wyra·zenie

V :=1

n� 1

nXi=1

(Ri �R)2: (39)

Sens u·zycia tego wzoru wynika z faktu, ·ze V jest tzw. estymatorem nieob-ci ¾a·zonym wariancji, co wyjasnimy dok÷adniej na wyk÷adzie z analizy portfelowej(w semestrze letnim).W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy

pierwiastek z odpowiedniego wyra·zenia, tzn.pV lub

pV .

18 Ryzyko papieru wartosciowego (koncepcja ne-gatywna)

Jesli ryzyko rozwa·zane jest w kategoriach zagro·zenia, to pod uwag¾e bierze si¾etylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zysku. Wówczas zamiast wari-ancji rozwa·za si¾e semiwariancj ¾e stopy zysku okreslon ¾a nast¾epuj ¾aco:

SV :=nXi=1

pid2i ; (40)

gdzie

di :=

�Ri � ER; gdy Ri � ER < 0;0; gdy Ri � ER � 0:

(41)

Odpowiednikiem odchylenia standardowego jest semiodchylenie standard-owe stopy zysku:

s� :=pSV : (42)

19 Wp÷yw zmiany kursu walutowego na stop ¾ezysku

Ryzyko kursu walutowego wyst¾epuje wtedy, gdy podmiot ma aktywa lubzobowi ¾azania wyra·zone w walucie obcej. Rozwa·zamy ogóln ¾a sytuacj¾e, gdy wczasie mo·ze si¾e zmieniac zarówno wartosc kapita÷u (aktywów, zobowi ¾azan) wwalucie obcej, jak i kurs tej waluty. Interesuje nas wp÷yw obu tych zmianna wartosc kapita÷u wyra·zon ¾a w walucie krajowej. Dla uproszczenia b¾edziemyrozwa·zac euro i z÷ote. B¾edziemy korzystac z ogólnego wzoru (2) na kapita÷koncowy przy inwestycji jednookresowej. Wprowadzmy nast¾epuj ¾ace oznaczenia:Kp;e �kapita÷pocz ¾atkowy wyra·zony w euro,

15

Kp;z �kapita÷pocz ¾atkowy wyra·zony w z÷otych,Kk;e �kapita÷koncowy wyra·zony w euro,Kk;z �kapita÷koncowy wyra·zony w z÷otych,cp �kurs euro (tj. wartosc 1 euro wyra·zona w z÷otych) w momencie pocz ¾atko-

wym,ck �kurs euro w momencie koncowym,Re �procentowa zmiana wartosci kapita÷u wyra·zonego w euro (stopa zysku),Rz � procentowa zmiana wartosci kapita÷u wyra·zonego w z÷otych (stopa

zysku),Rc �procentowa zmiana kursu euro.Stwierdzenie 3. Przy powy·zszych za÷o·zeniach stopa zysku w z÷otych wyra·za

si ¾e wzoremRz = Re +Rc +ReRc: (43)

Dowód. Z (2) i z de�nicji kursu walutowego wynikaj ¾a nast¾epuj ¾ace za-le·znosci:

Kk;z = Kp;z(1 +Rz); (44)

Kk;e = Kp;e(1 +Re); (45)

Kp;z = Kp;ecp; (46)

Kk;z = Kk;eck: (47)

Ponadto z de�nicji Rc mamy

ck = cp(1 +Rc): (48)

Stosuj ¾ac kolejno wzory (44), (47), (45), (48) i (46), otrzymujemy

Kp;z(1 +Rz) = Kk;z = Kk;eck

= Kp;e(1 +Re)cp(1 +Rc) = Kp;z(1 +Re)(1 +Rc): (49)

Dziel ¾ac (49) stronami przez Kp;z, dostajemy

1 +Rz = (1 +Re)(1 +Rc) = 1 +Re +Rc +ReRc;

sk ¾ad wynika (43). �

20 Niezale·znosc zmiennych losowych

Zmienne losowe X1; :::; Xn o wartosciach w R, okreslone na zbiorze , gdzie(;F ; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, nazywamy niezale·znymi, je·zelidla dowolnych zbiorów B1; :::; Bn 2 B(R) zachodzi równosc

P (X1 2 B1; :::; Xn 2 Bn) = P (X1 2 B1) � ::: � P (Xn 2 Bn): (50)

W powy·zszym wzorze wyra·zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra·zenia

Pf! 2 : X1(!) 2 B1 ^ ::: ^Xn(!) 2 Bng;

16

podobna uwaga dotyczy wyra·zen po prawej stronie.Twierdzenie 2. Je·zeli zmienne losowe X1; :::; Xn s ¾a niezale·zne i maj ¾a

wartosc oczekiwan ¾a, to istnieje wartosc oczekiwana iloczynuQni=1Xi i zachodzi

równosc

E

nYi=1

Xi

!=

nYi=1

EXi: (51)

Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Yprzyjmuj ¾acych skonczenie wiele wartosci. Za÷ó·zmy, ·ze X() = fxigi2I , Y () =fyjgj2J , gdzie I, J �skonczone zbiory indeksów. Poniewa·z zbiory jednoelemen-towe fxig i fyjg s ¾a borelowskie, wi¾ec z (50) otrzymujemy

P (X = xi; Y = yj) = P (X = xi)P (Y = yj) (i 2 I, j 2 J).

St ¾ad na podstawie (26)

E(XY ) =Xi2I

Xj2J

xiyjP (X = xi; Y = yj)

=Xi2I

Xj2J

xiyjP (X = xi)P (Y = yj)

=

Xi2I

xiP (X = xi)

!0@Xj2J

yjP (Y = yj)

1A = EX � EY . �

Twierdzenie 3. Przy za÷o·zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równosc

Var

nXi=1

Xi

!=

nXi=1

VarXi: (52)

Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystaj ¾ac kolejno zewzorów (34), (29), (51) i ponownie z (34), otrzymujemy

Var(X + Y ) = Eh(X + Y )

2i� [E (X + Y )]

2

= E�X2 + 2XY + Y 2

�� [EX + EY ]2

= E(X2) + 2E (XY ) + E(Y 2)� (EX)2 � 2EX � EY � (EY )2

= E(X2)� (EX)2 + E(Y 2)� (EY )2 = VarX +VarY . �

21 Kowariancja i wspó÷czynnik korelacji zmien-nych losowych

Kowariancj ¾a ca÷kowalnych zmiennych losowych X i Y , spe÷niaj ¾acych warunekE jXY j <1, nazywamy liczb¾e

Cov(X;Y ) := E [(X � EX) (Y � EY )] : (53)

17

Z powy·zszej de�nicji i z Twierdzenia 1(c) otrzymujemy

Cov(X;Y ) = E [XY � (EX)Y �X(EY ) + EX � EY ]= E(XY )� 2EX � EY + E(EX � EY )= E(XY )� EX � EY; (54)

gdzie ostatnia równosc wynika z faktu, ·ze wartosc oczekiwana zmiennej losowejo sta÷ej wartosci jest równa tej sta÷ej.Jesli Cov(X;Y ) = 0, to zmienne losoweX i Y nazywamy nieskorelowanymi;

w przeciwnym przypadku �skorelowanymi.Korzystaj ¾ac z nierównosci Schwarza dla ca÷ek, mo·zna wykazac nast¾epuj ¾ac ¾a

nierównosc:jCov(X;Y )j �

pVarX �VarY ; (55)

przy czym równosc zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobienstwem 1zmienne losowe X i Y zwi ¾azane s ¾a zale·znosci ¾a liniow ¾a, tzn. istniej ¾a takie liczbya, b 2 R, ·ze

P fY = aX + bg = 1: (56)

Wspó÷czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich od-chyleniach standardowych nazywamy liczb¾e

�(X;Y ) :=Cov(X;Y )

�X�Y=

Cov(X;Y )pVarX �VarY

: (57)

Z nierównosci (55) wynika, ·ze j�(X;Y )j � 1, a równosc zachodzi tylko w przy-padku liniowej zale·znosci mi¾edzy zmiennymi X i Y .Z Twierdzenia 2 i z równosci (54) wynika, ·ze jesli zmienne losowe X i Y s ¾a

niezale·zne i maj ¾a wartosc oczekiwan ¾a, to s ¾a nieskorelowane.Za÷ó·zmy teraz, ·ze zmienne losowe X i Y przyjmuj ¾a skonczenie wiele wartosci

i ·ze dany jest rozk÷ad prawdopodobienstwa pary zmiennych losowych(X;Y ), tzn. dane s ¾a skonczone ci ¾agi liczbowe x1; :::; xn i y1; :::; yn oraz ci ¾ag liczbdodatnich p1; :::; pn takie, ·ze

nXi=1

pi = 1 oraz P (X = xi; Y = yi) = pi, i = 1; :::; n: (58)

Wówczas, korzystaj ¾ac z wzoru (26) na wartosc oczekiwan ¾a, mo·zemy zapisacwzór (53) w postaci

Cov(X;Y ) =nXi=1

pi (xi � EX) (yi � EY ) : (59)

22 Korelacja papierów wartosciowych

Rozwa·zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y s ¾a odpowiedniostopy zysku RA i RB akcji A i B. Niech �A i �B oznaczaj ¾a odpowiednio

18

odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za÷o·zenieich dodatniosci jest na ogó÷spe÷nione.W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru

(59), otrzymujemy nast¾epuj ¾ac ¾a de�nicj¾e:Kowariancj ¾a akcji (ogólniej: inwestycji �nansowych) A i B nazywamy

liczb¾e

Cov(RA; RB) :=nXi=1

pi (RA;i � ERA) (RB;i � ERB) ; (60)

gdzie:RA;i �stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B),pi �prawdopodobienstwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji,n �ilosc mo·zliwych sytuacji.Wspó÷czynnikiem korelacji akcji (ogólniej: inwestycji �nansowych)

A i B nazywamy liczb¾e

�A;B : =Cov(RA; RB)

�A�B

=

Pni=1 pi (RA;i � ERA) (RB;i � ERB)pPn

i=1 pi(RA;i � ERA)2pPn

i=1 pi(RB;i � ERB)2; (61)

gdzie:RA;i �stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B),pi �prawdopodobienstwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji,n �ilosc mo·zliwych sytuacji.Jesli korelacj¾e okresla si¾e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku

(RA;i; RB;i), i = 1; :::; n, to wzory okreslaj ¾ace kowariancj¾e i wspó÷czynnik ko-relacji przyjmuj ¾a postac

Cov(RA; RB) :=1

n

nXi=1

�RA;i � ~RA

��RB;i � ~RB

�; (62)

gdzie ~RA, ~RB � srednie arytmetyczne odpowiednio wielkosci RA;i, RB;i (i =1; :::; n),

�A;B : =Cov(RA; RB)

�A�B

=

Pni=1

�RA;i � ~RA

��RB;i � ~RB

�qPn

i=1(RA;i � ~RA)2qPn

i=1(RB;i � ~RB)2: (63)

W przypadku ma÷ej liczby danych, wspó÷czynnik 1=n wyst¾epuj ¾acy w (62) i (nie-jawnie) w (63) mo·ze byc zast ¾apiony przez 1=(n�1), podobnie jak przy obliczaniuwariancji akcji.Mówimy, ·ze akcje (inwestycje �nansowe) A i B s ¾a(a) dodatnio skorelowane, jesli �A;B > 0,

19

(b) ujemnie skorelowane, jesli �A;B < 0,(c) nieskorelowane, jesli �A;B = 0,(d) doskonale (dok÷adnie) dodatnio skorelowane, jesli �A;B = 1,(e) doskonale (dok÷adnie) ujemnie skorelowane, jesli �A;B = �1.Uwaga. Wspó÷czynnik korelacji jest miar ¾a zale·znosci liniowej (por. wzór

(56)), tj. miar ¾a skupiania si¾e punktów (RA;i; RB;i) (w uk÷adzie wspó÷rz¾ednychna p÷aszczyznie) wokó÷linii prostej.

23 Wariancja sumy zmiennych losowych

Dotychczas podalismy wzór na wariancj¾e sumy zmiennych losowych jedynie wprzypadku zmiennych losowych niezale·znych (wzór (52)). Obecnie podamy wzórdla przypadku ogólnego.Twierdzenie 4. Je·zeli zmienne losowe X1; :::; Xn maj ¾a wariancj ¾e, to ist-

nieje te·z wariancja sumyPn

i=1Xi i zachodzi równosc

Var

nXi=1

Xi

!=

nXi=1

VarXi + 2X

1�i<j�nCov(Xi; Xj): (64)

Dowód. Korzystaj ¾ac kolejno z (34), (29), ponownie z (34) oraz z (54),otrzymujemy

Var

nXi=1

Xi

!= E

24 nXi=1

Xi

!235� nXi=1

EXi

!2

=nXi=1

�E(X2

i )� (EXi)2�+ 2

X1�i<j�n

[E(XiXj)� EXi � EXj ]

=nXi=1

VarXi + 2X

1�i<j�nCov(Xi; Xj). �

Wniosek. Je·zeli zmienne losowe X1; :::; Xn maj ¾a wariancj ¾e i s ¾a paraminieskorelowane, to zachodzi równosc (52).

24 Portfel wielu akcji

Oznaczmy:m �liczba �rm, których akcje s ¾a w portfelu (ponumerowanych od 1 do m),nj �ilosc j-tych akcji znajduj ¾acych si¾e w portfelu.Zak÷adamy, ·ze nj (j = 1; :::;m) s ¾a liczbami nieujemnymi. Aby portfel by÷

niepusty, trzeba za÷o·zyc, ·ze nj > 0 dla pewnego j. Liczby nj wyznaczaj ¾ask÷ad ilosciowy portfela. Nas interesuje sk÷ad procentowy (wartosciowy)portfela, tzn. jaki jest stosunek wartosci j-tych akcji w portfelu do ÷¾acznejwartosci wszystkich akcji znajduj ¾acych si¾e w tym portfelu.

20

W celu wyznaczenia sk÷adu procentowego oznaczmy:pj �cena rynkowa j-tej akcji (pj > 0).Wówczas udzia÷procentowy (w sensie wartosci) j-tej akcji w portfelu okresla

liczbauj :=

njpjPmi=1 nipi

, j = 1; :::;m: (65)

Uwaga. ×atwo sprawdzic, ·ze

uj � 0; j = 1; :::;m;mXj=1

uj = 1 (66)

(tzw. równanie bud·zetowe).Zbiór

Pm :=

8<:u = (u1; :::; um) 2 Rm : ui � 0, i = 1; :::;m,mXj=1

uj = 1

9=; (67)

nazywamy zbiorem portfeli m-sk÷adnikowych. Wspó÷rz¾edna uj wektorau oznacza udzia÷j-tych papierów wartosciowych w portfelu u. Zbiór Pm jestsympleksem m-wymiarowym o wierzcho÷kach (0; ::; 0; 1i; 0; :::; 0), i = 1; :::;m,gdzie 1i oznacza jedynk¾e na i-tym miejscu.Dla dowolnego portfela u 2 Pm przyjmujemy nast¾epuj ¾ace oznaczenia:Rj �stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartosciowe,R = (R1; :::; Rm) �wektor (losowy) stóp zysku,� = (�1; :::; �m) � wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie �i := E(Ri)

(i = 1; :::;m),Kp �kapita÷pocz ¾atkowy inwestora,Kp;j := ujKp �cz¾esc kapita÷u pocz ¾atkowego zainwestowana w j-te papiery

wartosciowe,Kk �kapita÷koncowy inwestora,Kk;j �kapita÷koncowy w j-tych papierach wartosciowych.Ze wzoru (2) otrzymujemy Kk;j = Kp;j(1 +Rj), j = 1; :::;m.Stop ¾e zysku portfela u de�niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienn ¾a

losow ¾a o wartosciach rzeczywistych:

R(u) :=Kk �Kp

Kp: (68)

W dalszym ci ¾agu symbolem hx; yi b¾edziemy oznaczac iloczyn skalarny w przestrzeniRm:

hx; yi :=mXi=1

xiyi dla x = (x1; :::; xm), y = (y1; :::; ym): (69)

Stwierdzenie 4. Zachodzi równosc

R(u) = hu;Ri : (70)

21

Dowód.

R(u) =Kk �Kp

Kp=

Pmj=1Kk;j �

Pmj=1Kp;jPm

j=1Kp;j

=

Pmj=1Kp;j(1 +Rj)�

Pmj=1Kp;jPm

j=1Kp;j=

Pmj=1Kp;jRjPmj=1Kp;j

=Kp

Pmj=1 ujRj

Kp

Pmj=1 uj

=mXj=1

ujRj = hu;Ri . �

Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem

ER(u) = E

0@ mXj=1

ujRj

1A =

mXj=1

uj�j = hu; �i : (71)

25 Macierz kowariancji wektora losowego

Niech X : ! Rm b¾edzie wektorem losowym. Jesli istniej ¾a wariancje VarXj ,j = 1; :::;m, to macierz

C := [cij ]mi;j=1, gdzie cij = Cov(Xi; Xj); (72)

nazywamy macierz ¾a kowariancji wektora losowego X = (X1; :::; Xm). Ist-nienie kowariancji Cov(Xi; Xj) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyj¾etego za-÷o·zenia i ze wzoru (55).Stwierdzenie 5. Macierz kowariancji ma nast ¾epuj ¾ace w÷asnosci:(a) jest symetryczna, tzn. cij = cji dla dowolnej pary (i; j),(b) jest nieujemnie okreslona, tzn.

uCuT =mX

i;j=1

uiujcij � 0 dla ka·zdego u 2 Rm: (73)

Dowód. (a) wynika ze wzoru (53).(b) Rozwa·zmy zmienn ¾a losow ¾a Y :=

Pmi=1 uiXi. Jesli EXi = �i (i =

1; :::;m), to EY =Pm

i=1 ui�i oraz

0 � VarY = E�(Y � EY )2

�= E

24 mXi=1

ui(Xi � �i)!235

= E

24 mXi;j=1

uiuj(Xi � �i)(Xj � �j)

35 = mXi;j=1

uiujE�(Xi � �i)(Xj � �j)

�=

mXi;j=1

uiuj Cov(Xi; Xj) = uCuT . � (74)

22

Stosuj ¾ac cz¾esc (b) powy·zszego dowodu do zmiennej losowej R(u) okreslonejwzorem (70) (gdzie u 2 Rm+ ), otrzymujemyWniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 Pm jest dana wzorem

VarR(u) = uCuT ; (75)

gdzie C jest macierz ¾a kowariancji wektora stóp zysku R = (R1; :::; Rm).Ryzyko portfela u jest okreslone jako odchylenie standardowe

�(u) =pVarR(u): (76)

Mówimy, ·ze macierz C jest dodatnio okreslona, je·zeli

uCuT > 0 dla ka·zdego u 2 Rmnf0g: (77)

Uwaga. Cz¾esto w literaturze macierz nieujemnie okreslon ¾a nazywa si¾emacierz ¾a dodatnio okreslon ¾a. Wówczas macierz spe÷niaj ¾ac ¾a warunek (77) nazywasi¾e macierz ¾a scisle dodatnio okreslon ¾a.Stwierdzenie 6. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodat-

nio okreslona wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾a takie liczby u1; :::; um nie wszys-tkie równe zeru, ·ze zmienna losowa

Pmi=1 uiXi jest sta÷a z prawdopodobienstwem

jeden.Dowód. Zaprzeczenie warunku (77) oznacza, ·ze istnieje taki wektor u 6= 0,

·ze uCuT = 0. Na mocy (74) jest to równowa·zne warunkowi

E

24 mXi=1

uiXi �mXi=1

ui�i

!235 = 0: (78)

Wiadomo, ·ze wartosc oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeruwtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobienst-wem 1. Zatem warunek (78) oznacza, ·ze

Pmi=1 uiXi jest z prawdopodobienstwem

1 równa sta÷ejPm

i=1 ui�i. �Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okreslona wtedy i tylko

wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych Xi zale·zy (z prawdopodobienstwem je-den) w sposób liniowy od pozosta÷ych zmiennych losowych.Dowód. Na mocy Stwierdzenia 6 macierz C nie jest dodatnio okreslona ,

9u 6= 0,Pm

i=1 uiXi = � z prawdopodobienstwem 1, gdzie � jest pewn ¾a sta÷¾a.Wybieraj ¾ac sposród liczb ui jedn ¾a ró·zn ¾a od zera (oznaczmy j ¾a us), otrzymamyrównowa·zny warunek (tak·ze z prawdopodobienstwem 1)

Xs =1

us

0@�Xi 6=s

uiXi + �

1A . �Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela

u 2 Pm sytuacja opisana w powy·zszym wniosku oznacza, ·ze jeden z papierówwartosciowych znajduj ¾acych si¾e w portfelu mo·zna usun ¾ac, zast¾epuj ¾ac go kom-binacj ¾a pozosta÷ych papierów wartosciowych.

23

26 Inny wzór na wariancj¾e portfela

Rozwa·zamy portfel m papierów wartosciowych. Niech �i :=pVarRi oznacza

odchylenie standardowe i-tego papieru (i = 1; :::;m). Dotychczas wspó÷czynnikkorelacji i-tego i j-tego papieru by÷okreslony tylko wtedy, gdy oba odchyleniastandardowe by÷y ró·zne od zera. Obecnie przyjmujemy

�ij :=

� cij�i�j

gdy �i 6= 0 6= �j ;0 w przeciwnym przypadku.

(79)

gdzie cij = Cov(Ri; Rj).Stwierdzenie 7. Dla dowolnego portfela u 2 Pm

VarR(u) =mXi=1

�2iu2i + 2

m�1Xi=1

mXj=i+1

�ij�i�juiuj : (80)

Dowód. Korzystaj ¾ac z wzorów (75), (73) oraz z symetrii macierzy kowari-ancji, otrzymujemy

VarR(u) =

mXi;j=1

uiujcij =

mXi=1

ciiu2i + 2

m�1Xi=1

mXj=i+1

uiujcij : (81)

Dla i 6= j mamy ma podstawie (79) i (55) cij = �ij�i�j , natomiast dla i = jmamy

cii = Cov(Ri; Ri) = Eh(Ri � �i)

2i= VarRi = �

2i :

Podstawiaj ¾ac te równosci do (81), otrzymujemy (80). �

27 Ryzyko inwestowania w obligacje

Ryzyko inwestowania w obligacje jest na ogó÷mniejsze ni·z ryzyko inwest-owania w akcje, ale mimo to nie nale·zy go zaniedbywac. Ryzyko to pochodziz kilku zróde÷i dlatego mo·zemy mowic o kilku rodzajch ryzyka, które terazkolejno omówimy.

27.1 Ryzyko niedotrzymania warunków

Ryzyko niedotrzymania warunków (inaczej: ryzyko kredytowe) wys-t¾epuje wtedy, gdy emitent obligacji nie dotrzymuje warunków umowy, tzn. niewyp÷aca odsetek lub nie wykupuje obligacji w terminie. Przyczyn ¾a mo·ze bycnp. upad÷osc �rmy. Jest to szczególny przypadek ryzyka kredytowego, któreb¾edzie omawiane w dalszej cz¾esci wyk÷adu.

24

27.2 Ryzyko stopy procentowej

Ryzyko stopy procentowej (inaczej: ryzyko zmiany ceny, ryzyko okresuposiadania lub ryzyko rynkowe) wyst¾epuje wtedy, gdy posiadacz obligacjizamierza j ¾a sprzedac przed terminem wykupu. Cena typowej obligacji zmieniasi¾e przeciwnie do zmian stóp procentowych (rynkowych). Kiedy stopy te rosn ¾a,to cena obligacji spada i na odwrót. Jesli inwestor jest zmuszony sprzedacobligacj¾e przed dat ¾a wykupu, wzrost stóp spowoduje strat¾e kapita÷ow ¾a, gdy·zsprzeda on obligacje po cenie ni·zszej od ceny nabycia. Wra·zliwosc ceny obligacjina zmiany stóp rynkowych zale·zy od okresu do wykupu (im d÷u·zszy, tym wi¾ekszawra·zliwosc) i oprocentowania (im wy·zsze, tym mniejsza wra·zliwosc).

27.3 Ryzyko reinwestowania

Stopa zysku z obligacji R (patrz wzór (15)) obliczana jest przy za÷o·zeniu, ·zeotrzymane odsetki s ¾a reinwestowane przy stopie procentowej równej R. Do-datkowy dochód z reinwestycji odsetek zale·zy zarówno od poziomu stóp pro-centowych, jak i obranej przez inwestora strategii. Zmiennosc stopy reinwesty-cji powodowana �uktuacjami rynkowych stóp procentowych zwana jest w÷asnieryzykiem reinwestowania. Ryzyko jest tym wy·zsze, im d÷u·zszy jest okresposiadania obligacji.

27.4 Ryzyko przedterminowego wykupu

Ten rodzaj ryzyka wyst¾epuje w przypadku obligacji z opcj ¾a wykupu na·z ¾adanie, które daj ¾a emitentowi prawo ·z ¾adania wykupu przed ustalonym ter-minem. Emitent wykupuje obligacje z regu÷y wtedy, gdy spadn ¾a stopy procen-towe (bo b¾edzie móg÷po·zyczyc taniej pieni ¾adze gdzie indziej), wi¾ec inwestornara·za si¾e na ryzyko reinwestycji, czyli b ¾edzie musia÷uzyskane pieni ¾adze zain-westowac przy ni·zszych stopach.

27.5 Ryzyko in�acji

W przypadku wzrostu stopy in�acji wartosc posiadanej obligacji mo·ze znaczniespasc. Takie ryzyko istnieje przy obligacjach o sta÷ym oprocentowaniu �elimin-uje je indeksowanie (dostosowanie) obligacji do in�acji b ¾adz rynkowych stópprocentowych, które rosn ¾a wraz z podwy·zszaniem si¾e in�acji.

27.6 Ryzyko kursu walutowego

Ryzyko to wyst¾epuje w przypadku obligacji nominowanych w walutach obcych.Odsetki i kapita÷otrzymane z takich obligacji s ¾a obarczone du·z ¾a niepewnos-ci ¾a, gdy·z ich wartosc zale·zy od kursu walutowego, obowi ¾azuj ¾acego w momenciedokonywania p÷atnosci.

25

27.7 Ryzyko p÷ynnosci

Ryzyko p÷ynnosci okresla stopien trudnosci, z jak ¾a mo·zemy sprzedac posiadaneobligacje bez utraty wartosci w stosunku do bie·z ¾acej ceny rynkowej. Podsta-wow ¾a miar ¾a tego ryzyka jest rozpi¾etosc (spread) mi¾edzy oferowanymi na rynkucenami kupna i sprzeda·zy papierów wartosciowych. Im wi¾eksza rozpi¾etosc, tymwi¾eksze ryzyko p÷ynnosci. Ryzyko p÷ynnosci nie wyst¾epuje w przypadku inwest-orów, którzy trzymaj ¾a obligacje do momentu wykupu.

27.8 Ryzyko zmiennosci

Ryzyko zmiennosci oznacza stopien, w jakim zmiana zakresu wahan stópprocentowych mo·ze miec niekorzystny wp÷yw na cen¾e obligacji. Dotyczy tog÷ównie obligacji z wbudowanymi opcjami dodatkowymi (im wy·zsza oczekiwanazmiennosc stóp, tym wi¾eksza wartosc tych opcji). W przypadku obligacji zopcj ¾a wykupu na ·z ¾adanie, wzrost zmiennosci skutkuje spadkiem ceny obligacji,gdy·z powoduje on wzrost wartosci prawa do wykupu, które zosta÷o przekazaneemitentowi przez inwestora.

28 Dystrybuanta zmiennej losowej

Dystrybuant ¾a zmiennej losowej X : ! R nazywamy funkcj¾e F : R ![0; 1] okreslon ¾a wzorem

F (t) := P (X � t): (82)

Stwierdzenie 8. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma nast ¾epuj ¾ace w÷as-nosci:(a) F jest niemalej ¾aca.(b) F jest prawostronnie ci ¾ag÷a.(c) limt!�1 F (t) = 0, limt!+1 F (t) = 1.Stwierdzenie 9. Je·zeli funkcja F : R ! [0; 1] spe÷nia warunki (a)�(c)

Stwierdzenia 8, to jest dystrybuant ¾a pewnej zmiennej losowej; jej rozk÷ad jestwyznaczony jednoznacznie.Stwierdzenie 10. Je·zeli F jest dystrybuant ¾a zmiennej losowej X, to dla

ka·zdego t 2 R,P (X < t) = F (t�) := lim

s!t�F (s): (83)

Dowód. Istnienie granicy lewostronnej F (t�) wynika z monotonicznoscifunkcji F . Korzystaj ¾ac ze znanej w÷asnosci, ·ze prawdopodobienstwo sumywst¾epuj ¾acego ci ¾agu zdarzen jest równe granicy ich prawdopodobienstw, otrzy-mujemy

P (X < t) = P

1[n=1

�X � t� 1

n

�!= lim

n!1P

�X � t� 1

n

�= lim

n!1F

�t� 1

n

�= F (t�): � (84)

26

NiechX = (X1; :::; Xn) : ! Rn b¾edzie zmienn ¾a losow ¾a n-wymiarow ¾a (wek-torem losowym). Rozk÷ad prawdopodobienstwa zmiennej losowej X jest zde�n-iowany ogólnie wzorem (25). Rozk÷ad ten nazywamy rozk÷adem ÷¾acznymwektora losowego X. Gdy znamy rozk÷ad ÷¾aczny, to znamy tak·ze rozk÷ad ka·zdejwspó÷rz¾ednej:

P (Xj 2 B) = P (X1 2 R; :::; Xj�1 2 R; Xj 2 B;Xj+1 2 R; :::; Xn 2 R): (85)

Rozk÷ady (85) nazywamy rozk÷adami brzegowymi wektora losowego X.Dystrybuant ¾a wektora losowego X nazywamy funkcj¾e F : Rn ! [0; 1]

okreslon ¾a wzorem

F (t1; :::; tn) := P (X1 � t1; :::; Xn � tn): (86)

Dystrybuantami brzegowymi F1; :::; Fn nazywamy dystrybuanty odpowied-nio zmiennych losowych X1; :::; Xn.

29 Transformata dystrybuantowa i jej w÷asnosci

Niech (;F ; P ) b¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, X : ! R � zmienn ¾alosow ¾a o dystrybuancie F , zas V : ! (0; 1) �zmienn ¾a losow ¾a o rozk÷adziejednostajnym (V s U(0; 1)), niezale·zn ¾a od X. De�niujemy zmody�kowan ¾adystrybuant¾e F : R2 ! R wzorem

F (x; �) := P (X < x) + �P (X = x): (87)

De�niujemy tak·ze (uogólnion ¾a) transformat¾e dystrybuantow ¾a U : ! R,b ¾ed ¾ac ¾a now ¾a zmienn ¾a losow ¾a, nast¾epuj ¾aco:

U := F (X;V ): (88)

Mo·zna wykazac, ·ze jesli dystrybuanta F jest ci ¾ag÷a, to F (x; �) � F (x) orazU = F (X) s U(0; 1). Ta ostatnia w÷asnosc zachodzi te·z w ogólnym przypadkudla zmiennej losowej U okreslonej wzorem (88).Stwierdzenie 11.

U = F (X�) + V (F (X)� F (X�)): (89)

Dowód. Korzystaj ¾ac z (88) i (87), a nast¾epnie z (83), otrzymujemy dladowolnego ! 2 ,

U(!) = F (X(!); V (!)) = P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!))

= F (X(!)�) + V (!)[P (X � X(!))� P (X < X(!))]

= F (X(!)�) + V (!)[F (X(!))� F (X(!)�)]: �

Uogólnion ¾a funkcj ¾e odwrotn ¾a do dystrybuanty F de�niujemy nast¾epuj ¾aco:

F (u) := inf fx 2 R : F (x) � ug ; u 2 (0; 1): (90)

27

Dla � 2 (0; 1) niech q�� (X) oznacza dolny �-kwantyl zmiennej losowej X,tzn.

q�� (X) := sup fx : P (X � x) < �g : (91)

Stwierdzenie 12. Je·zeli P (X = q�� (X)) = 0, to P (X � q�� (X)) = �.Dowód. Z za÷o·zenia i z (83) mamy

0 = P (X = q�� (X)) = P (X � q�� (X))� P (X < q�� (X))

= F (q�� (X))� F (q�� (X)�); (92)

zatem dystrybuanta F jest lewostronnie ci ¾ag÷a w punkcie q�� (X). Z wzorów(82) i (91) wynika, ·ze

q�� (X) = sup fx : F (x) < �g : (93)

St ¾ad dla dowolnego t > q�� (X)mamy F (t) � �, a zatem, na podstawie Stwierdzenia8(b),

F (q�� (X)) = F (q�� (X)+) � �: (94)

Ponadto z de�nicji kresu górnego i ze Stwierdzenia 8(a) wynika, ·ze F (s) < �dla dowolnego s < q�� (X). St ¾ad i z lewostronnej ci ¾ag÷osci F w punkcie q�� (X)wynika, ·ze F (q�� (X)) � �, co w po÷¾aczeniu z (94) daje tez¾e Stwierdzenia 12. �Twierdzenie 5. Niech U b ¾edzie transformat ¾a dystrybuantow ¾a okreslon ¾a

wzorem (88). Wówczas(a) U s U(0; 1),(b) X = F (U) z prawdopodobienstwem 1.Dowód (a). Wyka·zemy, ·ze F (X;V ) � � wtedy i tylko wtedy gdy

(X;V ) 2 f(x; �) : P (X < x) + �P (X = x) � �g : (95)

Istotnie, dla dowolnego ! 2 , nierównosc F (X(!); V (!)) � � jest równowa·znana mocy (87) nierównosci

P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!)) � �; (96)

co oznacza, ·ze para (X(!); V (!)) nale·zy do zbioru po prawej stronie (95).Rozwa·zmy teraz dwa przypadki:(a.1) � := P (X = q�� (X)) > 0.Oznaczmy q := P (X < q�� (X)). Zde�niujmy nast¾epuj ¾ace zbiory:

A :=nF (X;V ) � �

o= f! 2 : P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!)) � �g ; (97)

B1 :=�X < q�� (X)

; (98)

B2 :=�X = q�� (X), q + V � � �

; (99)

B3 :=�X > q�� (X), F (X) = F (q

�� (X))

; (100)

B4 :=�X > q�� (X), F (X) > F (q

�� (X))

: (101)

28

Poni·zej wyka·zemy, ·ze

P (A) = P (B1) + P (B2): (102)

Z równosci (102), z de�nicji zbiorów B1 i B2, z niezale·znosci zmiennychlosowych X i V oraz z jednostajnosci rozk÷adu V wynika, ·ze

P (U � �) = P (A) = q + �P�V � �� q

�

�= q + �

�� q�

= �; (103)

co dowodzi, ·ze zmienna losowa U ma rozk÷ad jednostajny na (0; 1).Równosc (102) wynika z roz÷¾acznosci zbiorów Bi oraz z nast¾epuj ¾acych trzech

warunków, które po kolei udowodnimy:

A � B1 [B2 [B3; (104)

P (B3) = 0; (105)

B1 [B2 � A: (106)

Dowód (104). Niech ! 2 A: Jesli X(!) < q�� (X), to ! 2 B1. Jesli X(!) =q�� (X), to z (97) otrzymujemy q + V (!)� � �, a wi¾ec ! 2 B2. Za÷ó·zmy teraz,·ze X(!) > q�� (X). Poniewa·z F jest niemalej ¾aca, wi¾ec F (X(!)) � F (q�� (X)),zatem ! 2 B3 [ B4. Aby zakonczyc dowód (104), nale·zy wykazac, ·ze ! =2 B4.Przypuscmy przeciwnie, ·ze ! 2 A \B4, i rozwa·zmy dwa przypadki:(a.1.1) P (X = X(!)) > 0.Poniewa·z X(!) > q�� (X), wi¾ec fX < X(!)g � fX � q�� (X)g. St ¾ad i z

prawostronnej ci ¾ag÷osci F otrzymujemy

P (X < X(!)) � P (X � q�� (X)) = F (q�� (X)) = F (q�� (X)+) � �; (107)

gdzie ostatnia nierównosc wynika z (93) (bo F (t) � � dla ka·zdego t > q�� (X)).Natomiast z za÷o·zenia (a.1.1) i z warunków V (!) > 0 oraz ! 2 A wynikaj ¾anierównosci

P (X < X(!)) < P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!)) � �: (108)

Warunki (107) i (108) s ¾a sprzeczne.(a.1.2) P (X = X(!)) = 0.Podobnie jak w poprzednim przypadku, mamy F (q�� (X)) � �. St ¾ad, z

warunku ! 2 A \B4 i z za÷o·zenia (a.1.2) otrzymujemy sprzecznosc:

� � F (q�� (X)) < F (X(!)) = P (X � X(!)) = P (X < X(!))

= P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!)) � �:

Dowód (105). Oznaczmy := supft : F (t) = F (q�� (X))g. Wówczasdla ka·zdego t 2 (q�� (X); ) (o ile ten przedzia÷jest niepusty) mamy F (t) =F (q�� (X)), a zatem

P (X 2 (q�� (X); t]) = F (t)� F (q�� (X)) = 0:

29

St ¾ad dla dowolnego ci ¾agu rosn ¾acego tn ! �

P�X 2 (q�� (X); )

�= P

1[n=1

�X 2 (q�� (X); tn]

!= lim

n!1P (X 2 (q�� (X); tn]) = 0: (109)

W przypadku, gdy F ( ) > F (q�� (X)), mamy na podstawie (109)

P (B3) = P�X > q�� (X), F (X) = F (q

�� (X))

�= P

�X 2 (q�� (X); )

�= 0;

natomiast w przypadku, gdy F ( ) = F (q�� (X)), otrzymujemy z (109), (82) i(83)

P (B3) = P�X > q�� (X), F (X) = F (q

�� (X))

�= P

�X 2 (q�� (X); ]

�= P

�X 2 (q�� (X); )

�+ P (X = ) = F ( )� F ( �) = 0:

Dowód (106). Niech ! 2 B1, wówczasX(!) < q�� (X) = sup ft : F (t) < �g.St ¾ad i z faktu, ·ze F jest niemalej ¾aca, wynika, ·ze F (X(!)) < �. Zatem

P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!)) � P (X < X(!)) + P (X = X(!))

= P (X � X(!)) = F (X(!)) < �;

co implikuje warunek ! 2 A.Niech teraz ! 2 B2, czyli X(!) = q�� (X) i q+ V (!)� � �. Podstawiaj ¾ac do

ostatniej nierównosci zde�niowane wczesniej wartosci q i �, otrzymujemy

P (X < q�� (X)) + V (!)P (X = q�� (X)) � �:

St ¾ad, uwzgl¾edniaj ¾ac równosc X(!) = q�� (X), otrzymujemy

P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!)) � �;

co oznacza, ·ze ! 2 A.(a.2) � = 0. Wówczas P (B2) � P (X = q�� (X)) = 0. Post¾epuj ¾ac analog-

icznie jak w przypadku (a.1), mo·zemy udowodnic równosc P (A) = P (B1), co wpo÷¾aczeniu ze Stwierdzeniem 12 daje

P (U � �) = P (A) = P (B1) = P (X < q�� (X)) = P (X � q�� (X)) = �:

Dowód (b). Wyka·zemy najpierw, ·ze

F (X�) � U � F (X): (110)

Istotnie, poniewa·z V przyjmuje wartosci z przedzia÷u (0; 1) oraz F (X)�F (X�) �0 (bo F jest niemalej ¾aca), wi¾ec zachodz ¾a nierównosci

F (X�) � F (X�)+V (F (X)�F (X�)) � F (X�)+(F (X)�F (X�)) = F (X):

30

Uwzgl¾edniaj ¾ac (89), otrzymujemy st ¾ad (110).Wyka·zemy teraz, ·ze

F (u) = x; 8u 2 (F (x�); F (x)]: (111)

Przypuscmy przeciwnie, ·ze F (u) 6= x. Jesli F (u) < x, to z (90) wynika,·ze F (s) � u dla pewnego s > x. St ¾ad, poniewa·z F jest niemalej ¾aca, otrzymu-jemy F (x�) � u, co zaprzecza warunkowi u 2 (F (x�); F (x)]. Jesli natomiastF (u) > x, to dla ka·zdego y 2 (x; F (u)) mamy na podstawie (90) F (y) < u,zatem F (x) = F (x+) < u (z prawostronnej ci ¾ag÷osci i monotonicznosci F ), cojest sprzeczne z warunkiem u 2 (F (x�); F (x)].Niech D b¾edzie sum ¾a wszystkich przedzia÷ów otwartych zawartych w R, na

których dystrybuanta F jest sta÷a. Z prawostronnej ci ¾ag÷osci F wynika, ·ze ka·zdytaki przedzia÷ma jedn ¾a z nast¾epuj ¾acych postaci:

(�1; a); (a; b); (a;+1);

gdzie a; b 2 R; a < b. Dla tych przedzia÷ów mamy odpowiednio, uwzgl¾edniaj ¾acStwierdzenia 8(c) i 10, a tak·ze fakt, ·ze F jest sta÷a na danym przedziale,

P (X 2 (�1; a)) = P (X < a) = F (a�) = 0;P (X 2 (a; b)) = P (X < b)� P (X < a) = F (b�)� F (a�) = 0;

P (X 2 (a;+1)) = 1� P (X � a) = 1� F (a) = 1� F (a+) = 1� 1 = 0:

Uwzgl¾edniaj ¾ac powy·zsze i fakt, ·ze takich przedzia÷ów mo·ze byc tylko przeliczalnailosc, otrzymujemy

P (X 2 D) = 0: (112)

Wyka·zemy teraz równowa·znosc

[F (X�) = F (X)], [U = F (X)]: (113)

Istotnie, jesli F (X�) = F (X), to na mocy (89) U = F (X�) = F (X). Jeslinatomiast U = F (X), to podstawiaj ¾ac t¾e równosc do (89), otrzymujemy

F (X) = F (X�) + V (F (X)� F (X�));

a st ¾ad(V � 1)(F (X)� F (X�)) = 0:

Poniewa·z V przyjmuje wartosci z przedzia÷u (0; 1), wi¾ec powy·zsza równosc dajeF (X) = F (X�).Aby udowodnic tez¾e punktu (b) nale·zy sprawdzic, ·ze

P (X = F (U)) = 1: (114)

Zde�niujmy nast¾epuj ¾ace prawdopodobienstwa:

p1 : = P (F (X�) = F (X); X = F (U)) ; (115)

p2 : = P (F (X�) < F (X); X = F (U)) ; (116)

p3 : = P (F (X�) = F (X); X < F (U)) ; (117)

p4 : = P (F (X�) = F (X); X > F (U)) : (118)

31

Z warunku (113) wynika, ·ze

p3 = P (U = F (X); X < F (U)) � P (X < F (F (X))) = 0; (119)

gdzie nierównosc wynika z zawierania si¾e odpowiednich zdarzen, a ostatniarównosc �st ¾ad, ·ze zdarzenie fX < F (F (X))g jest niemo·zliwe: przypuscmy,·ze X(!) < F (F (X(!))) dla pewnego ! 2 , wówczas

X(!) < inf ft 2 R : F (t) � F (X(!))g ;

czyli X(!) nie nale·zy do zbioru, którego kres dolny jest rozwa·zany, zatemX(!) < X(!) �sprzecznosc.Podobnie jak w przypadku (119) dowodzimy, ·ze

p4 = P (U = F (X); X > F (U)) � P (X > F (F (X))): (120)

Wyka·zemy teraz, ·ze

fX > F (F (X))g � fX 2 Dg: (121)

Istotnie, przypuscmy, ·ze

X(!) > F (F (X(!))) = l := inf ft 2 R : F (t) � F (X(!))g : (122)

Rozwa·zmy najpierw przypadek, gdy l = �1. Poniewa·z limt!�1 F (t) = 0,wi¾ec ten przypadek mo·ze miec miejsce tylko wtedy, gdy F (X(!)) = 0. ZatemX(!) nale·zy do przedzia÷u sta÷osci F postaci (�1; a), który zawiera si¾e w D.Przypuscmy teraz, ·ze l 2 R. Wówczas z de�nicji l i z prawostronnej ci ¾ag÷oscidystrybuanty wynika, ·ze F (l) � F (X(!)). Natomiast z pierwszej nierównosci w(122) i z monotonicznosci F wynika, ·ze F (l) � F (X(!)). Wykazalismy zatemrównosc F (l) = F (X(!)), która oznacza, ·ze X(!) nale·zy do przedzia÷u sta÷osciF postaci (a; b) lub (a;+1), który zawiera si¾e w D. To konczy dowód inkluzji(121). Z warunków (120), (121) i (112) wynika, ·ze

p4 � P (X 2 D) = 0: (123)

Zauwa·zmy teraz, ·ze jesli F (X�) < F (X), to na mocy (89) U 2 (F (X�); F (X)),a st ¾ad na mocy (111) X = F (U). Zatem z zawierania si¾e odpowiednichzdarzen wynika nierównosc

p2 � P (F (X�) < F (X)) : (124)

Uwzgl¾edniaj ¾ac warunki (115), (116), (119), (123)

P (X = F (U)) = p1 + p2

� P (F (X�) = F (X))� p3 � p4 + P (F (X�) < F (X))= P (F (X�) = F (X)) + P (F (X�) < F (X)) = 1;

co konczy dowód warunku (114). �

32

30 Kopu÷y i twierdzenie Sklara

Funkcj¾e C : [0; 1]n ! [0; 1] nazywamy kopu÷¾a, je·zeli jest ona dystrybuant ¾apewnego wektora losowego U = (U1; :::; Un) : ! [0; 1]n takiego, ze zmiennelosowe Ui (i = 1; :::; n) maj ¾a rozk÷ad jednostajny. Kopu÷a spe÷nia zatem warunek

C(u1; :::; un) = P (U1 � u1; :::; Un � un): (125)

Mo·zna wykazac, ·ze funkcja C : [0; 1]n ! [0; 1] jest kopu÷¾a wtedy i tylkowtedy, gdy posiada nast¾epuj ¾ace w÷asnosci:1) C(u1; :::; un) jest niemalej ¾aca wzgl¾edem ka·zdej zmiennej ui;2) C(1; :::; 1; ui; 1; :::; 1) = ui dla wszystkich i 2 f1; :::; ng, ui 2 [0; 1];3) Dla wszystkich (a1; :::; an); (b1; :::; bn) 2 [0; 1]n takich, ·ze ai � bi (i =

1; :::; n), zachodzi nierównosc

2Xi1=1

� � �2X

in=1

(�1)i1+:::+inC(u1;i1 ; :::; un;in) � 0; (126)

gdzie uj;1 = aj , uj;2 = bj dla j 2 f1; :::; ng.Warunek (126) dla n = 2 mo·zna zapisac w postaci

C(b1; b2)� C(b1; a2)� C(a1; b2) + C(a1; a2) � 0: (127)

Warunek ten oznacza, ·ze prawdopodobienstwo P (Ui 2 [ai; bi], i = 1; 2) jestzawsze nieujemne, tzn. kopu÷a nie mo·ze przypisywac ujemnej wartosci praw-dopodobienstwa zdarzeniu, ·ze wartosci wektora losowego U le·z ¾a w danym pros-tok ¾acie o bokach równoleg÷ych do osi wspó÷rz¾ednych. Istotnie, mamy

P (a1 � U1 � b1; a2 � U2 � b2)= P (U1 � b1; U2 � b2)� P (U1 � b1; U2 � a2)

�P (U1 � a1; U2 � b2) + P (U1 � a1; U2 � a2)= C(b1; b2)� C(b1; a2)� C(a1; b2) + C(a1; a2);

przy czym z ci ¾ag÷osci dystrybuanty rozk÷adu jednostajnego wynika, ·ze mo·zemywsz¾edzie pisac nierównosci ���.Twierdzenie 6 (Sklara). Niech F : Rn ! [0; 1] b ¾edzie dystrybuant ¾a n-

wymiarow ¾a o dystrybuantach brzegowych F1; :::; Fn. Wówczas istnieje kopu÷aC : [0; 1]n ! [0; 1] taka, ·ze

F (x) = C(F1(x1); :::; Fn(xn)); 8x = (x1; :::; xn) 2 Rn: (128)

Dowód. Niech X = (X1; :::; Xn) : ! Rn b¾edzie wektorem losowym o dys-trybuancie F , zas V : ! (0; 1) �zmienn ¾a losow ¾a o rozk÷adzie jednostajnym(V s U(0; 1)), niezale·zn ¾a od X. Oznaczmy przez Ui := Fi(Xi; V ), i = 1; :::; n,transformaty dystrybuantowe okreslone dla poszczególnych wspó÷rz¾ednych wek-tora X (por. wzory (87) i (88)). Na mocy Twierdzenia 5 mamy Ui s U(0; 1)oraz Xi = F i (Ui) z prawdopodobienstwem 1, dla ka·zdego i 2 f1; :::; ng. St ¾ad

F (x) = P (X � x) = P (F i (Ui) � xi; i = 1; :::; n): (129)

33

Wyka·zemy teraz, ·ze

P (F i (Ui) � xi; i = 1; :::; n) = P (Ui � Fi(xi); i = 1; :::; n): (130)

Istotnie, dla ustalonych i 2 f1; :::; ng oraz ! 2 za÷ó·zmy, ·ze F i (Ui(!)) � xi.St ¾ad i z de�nicji F i (por. wzór (90)) losow ¾a

inf ft 2 R : Fi(t) � Ui(!)g � xi: (131)

Z warunku (131) wynika, ·ze dla ka·zdego y > xi istnieje takie z 2 [xi; y), ·zeFi(z) � Ui(!). St ¾ad i z prawostronnej ci ¾ag÷osci dystrybuanty otrzymujemy

Fi(xi) = Fi(xi+) � Ui(!):

Z drugiej strony, jesli Ui(!) � Fi(xi), to xi jest elementem zbioru, któregokres dolny jest rozwa·zany w (131). Zatem zachodzi nierównosc (131), czyliF i (Ui(!)) � xi, co konczy dowód równosci (130).Oznaczmy przez C dystrybuant¾e wektora losowego U = (U1; :::; Un). Pod-

stawiaj ¾ac ui = Fi(xi) do (125), otrzymujemy

C(F1(x1); :::; Fn(xn)) = P (Ui � Fi(xi); i = 1; :::; n): (132)

Z równosci (129), (130) i (132) wynika (128). �Uwaga. Wa·zn ¾a w÷asnosci ¾a kopu÷y jest jej niezmienniczosc wzgl¾edem dowol-

nego przekszta÷cenia T : R! R, które jest scisle rosn ¾ace, tzn. spe÷nia warunek

(x < y)) (T (x) < T (y)): (133)

Niezmienniczosc oznacza, ·ze kopu÷a jest ta sama niezale·znie od tego, czy rozpa-trujemy zmienne losowe X1; :::; Xn, czy te·z T (X1); :::; T (Xn). W szczególnoscikopu÷a nie zmieni si¾e, je·zeli zamiast zmiennych losowych Xi b¾edziemy rozpatry-wac ich standaryzowane wersje

Zi =Xi � E(Xi)VarXi

: (134)

Ilustracj ¾a tego faktu b¾edzie przyk÷ad kopu÷y Gaussa przedstawiony poni·zej.

30.1 Kopu÷a Gaussa

W zastosowaniach �nansowych cz¾esto zak÷ada si¾e, ·ze zmienne losowe tworz ¾acepewien wektor losowy posiadaj ¾a rozk÷ady normalne. Wówczas ÷¾aczny rozk÷adprawdopodobienstwa wektora losowego nazywamywielowymiarowym rozk÷a-dem normalnym. Scis÷a de�nicja jest nast¾epuj ¾aca: rozk÷ad prawdopodobienstwawektora losowego X = (X1; :::; Xn) nazywa si¾e wielowymiarowym rozk÷ademnormalnym, je·zeli dla dowolnych liczb rzeczywistych a1; :::; an kombinacja lin-iowa a1X1 + :::+ anXn jest zmienn ¾a losow ¾a o rozk÷adzie normalnym.

34

Za÷ó·zmy, ·ze macierz kowariancji � wektora losowego X jest nieosobliwa.Wówczas funkcja g¾estosci wielowymiarowego rozk÷adu normalnego wektora Xjest dana wzorem

fX(x1; :::; xn) =1p

j�j (2�)ne�

12 (x��)�

�1(x��)T ; (135)

gdzie j�j jest wyznacznikiem macierzy �, a � = (�1; :::; �n) jest wektoremwartosci oczekiwanych wektora losowego X. Fakt, ·ze X ma wielowymiarowyrozk÷ad normalny o parametrach � i �, zapisujemy nast¾epuj ¾aco:

X � N(�;�): (136)

Kopu÷¾a Gaussa nazywamy kopu÷¾e zde�niowan ¾a poprzez w nast¾epuj ¾acysposób. Niech

Y = (Y1; :::; Yn) � N(�;�) (137)

b¾edzie wektorem losowym o wielowymiarowym rozk÷adzie normalnym, gdzie �oznacza wektor wartosci oczekiwanych, a � macierz kowariancji wspó÷rz¾ednychwektora Y . Ponadto, niech

X = (X1; :::; Xn) � N(0;�) (138)

b¾edzie tak·ze wektorem losowym o wielowymiarowym rozk÷adzie normalnym,ale o zerowej wartosci oczekiwanej, gdzie � oznacza macierz korelacji wektoraY . Wówczas, poniewa·z ka·zda wspó÷rz¾edna wektora X jest standaryzowan ¾atransformacj ¾a odpowiedniej wspó÷rz¾ednej wektora Y , tzn.

Xi = T (Yi) =Yi � E(Yi)VarYi

; (139)

wi¾ec kopu÷y dla zmiennych losowych X i Y pokrywaj ¾a si¾e. Zatem kopu÷¾e Gaussamo·zna zde�niowac nast¾epuj ¾aco:

CN� (u1; :::; un) = P (�(X1) � u1; :::;�(Xn) � un)= P (X1 � ��1(u1); :::; Xn � ��1(un))= ��(�

�1(u1); :::;��1(un))

= F (F�11 (u1); :::; F�1n (un))

= P (F1(Y1) � u1; :::; Fn(Yn) � un); (140)

gdzie Fi oznacza dystrybuant¾e (rozk÷adu normalnego) zmiennej losowej Yi, a� oznacza ka·zd ¾a z jednakowych dystrybuant (standaryzowanego rozk÷adu nor-malnego) zmiennej losowej Xi. Symbol �� oznacza ÷¾aczn ¾a dystrybuant¾e wek-tora losowego X (czyli dystrybuant¾e rozk÷adu N(0;�)). Ci ¾ag równosci (140)pokazuje, ·ze CN� jest kopu÷¾a zarówno dla N(�;�), jak i N(0;�).

35

31 Ryzyko kredytowe

Ryzyko kredytowe b¾edziemy rozpatrywac w ramach koncepcji negatywnej, tzn.jako ryzyko niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorc¾e (osob¾e lubinstytucj¾e). Dla banku udzielaj ¾acego wielu kredytów istotna jest tak·ze ocenaryzyka jednoczesnego wyst ¾apienia wielu przypadków niewyp÷acalnosci klientóworaz badanie zale·znosci mi¾edzy tymi zdarzeniami losowymi.

31.1 Przypadek pojedynczego kredytobiorcy

Podstawow ¾a zmienn ¾a losow ¾a, któr ¾a tutaj rozwa·zamy, jest strata, oznaczanaprzez L (od ang. loss). Jest ona dana wzorem

L := EAD � SEV � Y; (141)

gdzieEAD (exposure at default) �maksymalna wartosc, jaka mo·ze byc utracona

w przypadku niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorc¾e. Jest towartosc ustalona, a wi¾ec nie jest zmienn ¾a losow ¾a.SEV (severity) �zmienna losowa o wartosciach w przedziale [0; 1]; podaje

ona, jaki procent wartosci EAD jest faktycznie tracony przy zajsciu zdarzenianiedotrzymania warunków;Y �zmienna losowa o wartosciach w zbiorze f0; 1g; przyjmuje wartosc 0, gdy

kredytobiorca dotrzyma warunków, a 1 w przeciwnym przypadku. Zmienn ¾a Ynazywamy wskaznikiem niedotrzymania warunków.Ponadto de�niujemy:LGD (loss given default) �strata (jako procent wartosci EAD) w przypadku

niedotrzymania warunków. Jest to parametr modelu, który zwykle wyznaczasi¾e z wzoru

LGD = E(SEV ): (142)

PD (probability of default) �prawdopodobienstwo niedotrzymania warunków.Wówczas wartosc oczekiwana wskaznika niedotrzymania warunków wyra·za

si¾e wzoremEY = 1 � PD + 0 � (1� PD) = PD: (143)

Za÷ó·zmy, ·ze bank udzieli÷kredytu w wysokosci K jednostek pieni¾edzy na okres1 roku, a stopa oprocentowania tego kredytu wynosi R. W przypadku dotrzy-mania warunków umowy bank otrzyma po roku kwot¾e

EAD = K(1 +R): (144)

Jest to jednoczesnie maksymalna kwota, jak ¾a bank mo·ze stracic w przypadkuniedotrzymania warunków. W praktyce w wi¾ekszosci przypadków bankowiudaje si¾e odzyskac cz¾esc tej kwoty. Wysokosc tej odzyskanej kwoty przyjmu-jemy jako EAD(1 � LGD). Wartosc oczekiwana kwoty uzyskanej przez bankpo roku wynosi zatem

K(1 +R)(1� PD) +K(1 +R)(1� LGD)PD= K(1 +R)[(1� PD) + (1� LGD)PD]: (145)

36

Przyjmuje si¾e, ·ze wartosc ta powinna byc równa kwocie kredytu wolnej odryzyka, tj. obliczonej dla tzw. stopy procentowej wolnej od ryzyka (risk-freerate), oznaczanej Rf :

K(1 +R)[(1� PD) + (1� LGD)PD] = K(1 +Rf ): (146)

Z równosci (146) mo·zna otrzymac dwa inne wzory:1) Wzór na implikowane prawdopodobienstwo niedotrzymania (im-

plied default probability) �jest to prawdopodobienstwo niedotrzymania warunkówumowy wynikaj ¾ace z przyj¾etego modelu:

PD =1� 1+Rf

1+R

LGD: (147)

2) Wzór na spread kredytowy (credit spread), czyli ró·znic¾e mi¾edzy stop ¾aprocentow ¾a uwzgl¾edniaj ¾ac ¾a ryzyko a stop ¾a woln ¾a od ryzyka:

R�Rf = (1 +Rf )LGD � PD

1� LGD � PD: (148)

Oczekiwan ¾a strat ¾a (expected loss) nazywamy wartosc oczekiwan ¾a straty(141). Zak÷adaj ¾ac niezale·znosc zmiennych losowych SEV i Y , otrzymujemy namocy Twierdzenia 2 oraz (142) i (143)

EL = E(EAD � SEV � Y ) = EAD � E(SEV ) � E(Y )= EAD � LGD � PD: (149)

Nieoczekiwan ¾a strat ¾a (unexpected loss) nazywamy odchylenie standard-owe straty (141)

�L =pVarL =

pVar(EAD � SEV � Y ) = EAD

pVar(SEV � Y ): (150)

Dla uzyskania bardziej przydatnego w praktyce wzoru na �L skorzystamy zponi·zszego stwierdzenia.Stwierdzenie 13. Niech X i Y b ¾ed ¾a zmiennymi losowymi o wartosciach

rzeczywistych, o dystrybuantach odpowiednio FX i FY . Wówczas:(a) X i Y s ¾a niezale·zne wtedy i tylko wtedy, gdy

F(X;Y )(s; t) = FX(s)FY (t); 8s; t 2 R; (151)

gdzie F(X;Y ) oznacza dystrybuant ¾e wektora losowego (X;Y ).(b) Je·zeli X i Y s ¾a niezale·zne, to X2 i Y 2 s ¾a te·z niezale·zne.Dowód (b). Sprawdzimy, ·ze X2 i Y 2 spe÷niaj ¾a warunek (151). Dla dowol-

nych s; t � 0 mamy

F(X2;Y 2)(s; t) = P�X2 � s; Y 2 � t

�= P

�X 2

��ps;ps�; Y 2

h�pt;pti�:

(152)

37

Poniewa·z przedzia÷y [�ps;ps] i

��pt;pt�s ¾a zbiorami borelowskimi, wi¾ec z

niezale·znosci X i Y (por. wzór (50)) otrzymujemy

P�X 2

��ps;ps�; Y 2

h�pt;pti�

= P�X 2

��ps;ps��P�Y 2

h�pt;pti�

= P�X2 � s

�P�Y 2 � t

�= FX2(s)FY 2(t): (153)

Z (152) i (153) wynika (151) dla nieujemnych s; t. Jesli przynajmniej jedna zliczb s; t jest ujemna, to po obu stronach równosci (151) mamy zera. �Stwierdzenie 14. Je·zeli zmienne losowe SEV i Y s ¾a niezale·zne, to

�L = EADpVar(SEV )PD + LGD2PD(1� PD): (154)

Dowód. Obliczymy najpierw wariancj¾e iloczynu SEV � Y . Korzystaj ¾ackolejno ze wzorów (34) i (51), otrzymujemy

Var (SEV � Y ) = E�(SEV � Y )2

�� (E(SEV � Y ))2

= E�SEV 2 � Y 2

�� (E(SEV ) � EY )2 : (155)

Teraz do pierwszego sk÷adnika zastosujemy wzór (51) (mo·ze on byc u·zyty, bona mocy Stwierdzenia 13(b) SEV 2 i Y 2 s ¾a niezale·zne), a do drugiego sk÷adnika�wzory (142) i (143):

E�SEV 2 � Y 2

�� (E(SEV ) � EY )2 = E

�SEV 2

�� E�Y 2�� LGD2PD2: (156)

Poniewa·z Y 2 � Y , wi¾ec E�Y 2�= EY = PD. Zatem praw ¾a stron¾e (156) mo·zemy

przekszta÷cic nast¾epuj ¾aco:

E�SEV 2

�� E�Y 2�� LGD2PD2 = E

�SEV 2

�PD � LGD2PD2

= E�SEV 2

�PD � LGD2PD + LGD2PD � LGD2PD2

=�E�SEV 2

�� LGD2

�PD + LGD2PD(1� PD)

=�E�SEV 2

�� (E(SEV ))2

�PD + LGD2PD(1� PD)

= Var(SEV )PD + LGD2PD(1� PD): (157)

Z równosci (150) i (155)�(157) wynika (154). �

31.2 Portfel wielu kredytów

B¾edziemy teraz rozwa·zac ryzyko portfela P z÷o·zonego z m kredytów. Podsta-wow ¾a zmienn ¾a ryzyka w tym przypadku jest strata z portfela LP okreslonawzorem

LP :=

mXi=1

Li =

mXi=1

EADi � SEVi � Yi; (158)

38

gdzie wszystkie zmienne z dolnym indeksem i dotycz ¾a i-tego kredytu. Oczeki-wana strata z portfela P jest równa, zgodnie z (149),

E(LP ) =mXi=1

E(Li) =mXi=1

EADi � LGDi � PDi; (159)

przy za÷o·zeniu, ·ze dla ka·zdego i zmienne losowe SEVi i Yi s ¾a niezale·zne. Nieoczeki-wan ¾a strat ¾a z portfela P nazywamy odchylenie standardowe �(LP ) straty zportfela.Stwierdzenie 15.

�(LP ) =

vuut mXi;j=1

EADi � EADj � Cov (SEVi � Yi; SEVj � Yj): (160)

Dowód. Wykonuj ¾ac analogiczne przekszta÷cenia jak w (74), otrzymamy

Var(LP ) = Var

mXi=1

EADi � SEVi � Yi

!

=mX

i;j=1

EADi � EADj � Cov (SEVi � Yi; SEVj � Yj) : (161)

St ¾ad i z (36) wynika (160). �Stwierdzenie 16. Za÷ó·zmy, ·ze poziom straty w przypadku niedotrzymania

warunków jest sta÷y i jest taki sam dla wszystkich sk÷adników portfela:

SEVi � LGDi = LGD; 8i 2 f1; :::;mg: (162)

Wówczas

�(LP ) =

vuut mXi;j=1

EADi � EADj � LGD2�ij

qPDi(1� PDi)PDj(1� PDj);

(163)gdzie

�ij := � (SEVi � Yi; SEVj � Yj) = �(Yi; Yj): (164)

Dowód. Dla ka·zdego i mamy na mocy po÷¾aczonych równosci (155) i (156)oraz za÷o·zenia (162)

Var (SEVi � Yi) = E�SEV 2i

�� E�Y 2i�� LGD2PD2

i

= E�LGD2

�PDi � LGD2PD2

i

= LGD2PDi � LGD2PD2i

= LGD2PDi(1� PDi): (165)

39

Z równosci (57) i (165) wynika, ·ze

Cov (SEVi � Yi; SEVj � Yj) = �ij

qVar (SEVi � Yi) �Var (SEVj � Yj)

= LGD2�ij

qPDi(1� PDi)PDj(1� PDj):

St ¾ad i z (160) wynika (163). �

32 Modele portfeli kredytowych

Rozwa·zmy portfel z÷o·zony z m kredytów dla ustalonego horyzontu czasowegoT . Niech S = (S1; :::; Sm) b¾edzie wektorem losowym takim, ·ze wspó÷rz¾ednaSi przyjmuje wartosci ze zbioru f0; 1; :::; Ng. Wartosci te reprezentuj ¾a stanyzwi ¾azane z ocen ¾a danego kredytobiorcy przez bank, przy czym 0 oznacza niewyp÷a-calnosc (niedotrzymanie warunków umowy), a liczby dodatnie s ¾a rosn ¾acymiklasami wiarygodnosci kredytowej. Zak÷ada si¾e, ·ze w momencie pocz ¾atkowymt = 0 ka·zdy d÷u·znik jest w jakims stanie ró·znym od zera.W przypadku, gdy interesuje nas tylko dotrzymanie lub niedotrzymanie

warunków, rozwa·zamy wektor losowy Y = (Y1; :::; Ym), gdzie Yi jest wskaznikiemniedotrzymania warunków dla i-tego d÷u·znika. Zwi ¾azek pomi¾edzy zmiennymilosowymi Yi i Si jest nast¾epuj ¾acy:

Yi =

�1; jesli Si = 0;0; jesli Si > 0:

(166)

Ilosc niewyp÷acalnych d÷u·zników w momencie t = T jest dana jako zmiennalosowa

M :=mXi=1

Yi: (167)

32.1 Modele ukrytej zmiennej

Niech X = (X1; :::; Xm) b¾edzie wektorem losowym o ci ¾ag÷ych dystrybuantachbrzegowych Fi(x) = P (Xi � x). Dla i 2 f1; :::;mg niech

�1 = Di�1 < D

i0 < ::: < D

in =1 (168)

b¾edzie ci ¾agiem tzw. poziomów odci ¾ecia. Przyjmijmy, ·ze

Si = j , Xi 2 (Dij�1; D

ij ]; j 2 f0; :::; ng; i 2 f1; :::;mg: (169)

Wówczas model�Xi;

�Dij

��1�j�n

�1�i�m

nazywamy modelem ukrytej zmi-

ennej dla wektora stanów S.Xi i Di

0 mo·zna interpretowac jako wartosci odpowiednio aktywów i zobow-i ¾azan d÷u·znika i w czasie T . Niewyp÷acalnosc nast¾epuje, gdy pierwsza z tychwartosci spada poni·zej drugiej.

40

Okazuje si¾e, ·ze ró·zne modele ukrytej zmiennej mog ¾a prowadzic do tegosamego rozk÷adu wektora losowego S. To sugeruje nast¾epuj ¾ac ¾a de�nicj¾e równowa-·znosci modeli:Niech �

Xi;�Dij

��1�j�n

�1�i�m

i�~Xi;�~Dij

��1�j�n

�1�i�m

(170)

b¾ed ¾a modelami ukrytej zmiennej dla wektorów stanów odpowiednio S i ~S. Mod-ele te nazywamy równowa·znymi, je·zeli S � ~S (tzn. S i ~S maj ¾a te samerozk÷ady prawdopodobienstwa).Stwierdzenie 17. Niech (170) b ¾edzie par ¾a modeli ukrytej zmiennej, dla

wektorów stanów odpowiednio S i ~S, spe÷niaj ¾acych warunki:(a) Dystrybuanty brzegowe wektorów losowych S i ~S pokrywaj ¾a si ¾e, tzn.

P�Xi � Di

j

�= P

�~Xi � ~Di

j

�; j 2 f0; :::; ng; i 2 f1; :::;mg: (171)

(b) Wektory losowe X i ~X maj ¾a t ¾e sam ¾a kopu÷¾e C.Wówczas modele (170) s ¾a równowa·zne.

32.2 Modele wymienne

Wektor losowy S : ! Rm nazywamy wymiennym, je·zeli

(S1; :::; Sm) � (S�(1); :::; S�(m)) (172)

dla dowolnej permutacji (�(1); :::;�(m)) liczb (1; :::;m). Model portfela kredytównazywamy wymiennym, je·zeli jego wektor stanów S jest wymienny.Dla modelu wymiennego, dla dowolnego k 2 f1; :::;m�1g, wszystkie mo·zliwe

k-wymiarowe dystrybuanty brzegowe, których jest�mk

�, s ¾a identyczne. Mo·zna

wi¾ec wprowadzic nast¾epuj ¾ace uproszczone oznaczenia dla prawdopodobienstwniedotrzymania i ÷¾acznych prawdopodobienstw niedotrzymania:

�k := P (Yi1 = 1; ::; Yik = 1); fi1; :::; ikg � f1; :::;mg; k 2 f1; :::;mg; (173)

� := �1 = P (Yi = 1); i 2 f1; :::;mg: (174)

Stwierdzenie 18. Dla modelu wymiennego portfela kredytów zachodz ¾anast ¾epuj ¾ace równosci:(a) E(Yi) = E(Y 2i ) = P (Yi = 1) = � dla dowolnego i.(b) E(YiYj) = P (Yi = 1; Yj = 1) = �2 dla i 6= j.(c) Cov(Yi; Yj) = �2 � �2 dla i 6= j.(d) �(Yi; Yj) = �2��2

���2 dla i 6= j.(e) Dla dowolnego k 2 f1; :::;mg,

P (M = k) =

�m

k

�P (Y1 = 1; :::; Yk = 1; Yk+1 = 0; :::; Ym = 0)

=m�kXi=0

(�1)i m!

i!k!(m� k � i)!�k+i: (175)

41

33 Miary ryzyka

Niech (;F ; P ) b¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a i niech X oznacza przestrzenliniow ¾a wszystkich zmiennych losowych X : ! R. W zastosowaniach mo·ze byc ustalonym zbiorem scenariuszy rozwoju, a X �wartosci ¾a portfela in-westycyjnego w zale·znosci od zrealizowanego scenariusza (rozwa·zamy wartoscizdyskontowane na okres bie·z ¾acy). Celem jest okreslenie liczby �(X) b¾ed ¾acejmiar ¾a ryzyka w sensie zabezpieczenia kapita÷owego, tzn. �(X) jest minimaln ¾awielkosci ¾a kapita÷u, która, jesli j ¾a dodamy do wartosci portfela i zainwestujemyw sposób pozbawiony ryzyka, czyni inwestycj¾e akceptowaln ¾a.Rozwa·zamy ró·zne miary ryzyka w zale·znosci od spe÷nienia ni·zej wymienionych

warunków.Odwzorowanie � : X !R [ f+1g nazywamy pieni ¾e·zn ¾a miar ¾a ryzyka

(monetary risk measure), je·zeli �(0) 2 R oraz � spe÷nia nast¾epuj ¾ace dwa warunkidla dowolnych X;Y 2 X .(a) monotonicznosc:

je·zeli X � Y , to �(X) � �(Y ): (176)

(b) niezmienniczosc wzgl ¾edem gotówki (cash invariance):

je·zeli m 2 R, to �(X +m) = �(X)�m: (177)

Znaczenie �nansowe monotonicznosci jest nast¾epuj ¾ace: jesli portfel Y mawi¾eksz ¾a wartosc od portfela X dla wszystkich mo·zliwych scenariuszy, to ryzykoportfela X jest wi¾eksze ni·z ryzyko portfela Y .Niezmienniczosc wzgl¾edem gotówki ma nast¾epuj ¾ac ¾a interpretacj¾e, jesli �(X)

jest kapita÷em ekonomicznym wymaganym w banku dla zabezpieczenia nieo-czekiwanych strat w przypadku ryzyka kredytowego: jesli pozbawiona ryzykasuma pieni¾edzym zostanie dodana do inwestycjiX lub do kapita÷u ekonomicznego,to wymagany kapita÷�(X) mo·zna pomniejszyc o m. W szczególnosci, z wzoru(177) wynika, ·ze

�(X + �(X)) = �(X)� �(X) = 0: (178)

Pieni¾e·zn ¾a miar¾e ryzyka � nazywamy wypuk÷¾a miar ¾a ryzyka (convex riskmeasure), jesli spe÷nia warunek

�(�X + (1� �)Y ) � ��(X) + (1� �)�(Y ), 8X;Y 2 X , � 2 [0; 1]: (179)

Znaczenie praktyczne warunku wypuk÷osci jest takie, ·ze dywersy�kacja in-westycji �nansowej nie powoduje wzrostu ryzyka. Jesli np. X i Y s ¾a wartosciamidwóch pojedynczych akcji, to �X + (1 � �)Y jest wartosci ¾a portfela z÷o·zonegoz tych akcji o udzia÷ach odpowiednio � i (1 � �). Wówczas ryzyko portfela�(�X+(1��)Y ) nie mo·ze byc wi¾eksze ni·z odpowiednia kombinacja ryzyk �(X)i �(Y ).Warunkiem s÷abszym od wypuk÷osci jest quasi-wypuk÷osc (quasi-convexity):

�(�X + (1� �)Y ) � maxf�(X); �(Y )g, 8X;Y 2 X , � 2 [0; 1]; (180)

42

która zapewnia jedynie, ·ze ryzyko portfela z÷o·zonego np. z dwóch akcji nieprzekroczy wi¾ekszego sposród ryzyk tych akcji.Wypuk÷¾a miar¾e ryzyka � nazywamy spójn ¾a miar ¾a ryzyka (coherent risk

measure), je·zeli spe÷nia warunek dodatniej jednorodnosci:

je·zeli � � 0, to �(�X) = ��(X): (181)

Przy za÷o·zeniu dodatniej jednorodnosci wypuk÷osc pieni¾e·znej miary ryzykajest równowa·zna subaddytywnosci:

�(X + Y ) � �(X) + �(Y ): (182)

Subaddytywnosc jest w÷asnosci ¾a, która umo·zliwia decentralizacj¾e zarz ¾adzaniaryzykiem: np. jesli poszczególne sk÷adniki portfela inwestycyjnego s ¾a zarz ¾adzaneprzez ró·zne oddzia÷y tego samego banku, to mamy gwarancj¾e, ·ze ryzyko ca÷egoportfela nie przekroczy sumy ryzyk poszczególnych sk÷adników.

34 Wartosc zagro·zona

Dla zmiennej losowej X : ! R na przestrzeni probabilistycznej (;F ; P )de�niujemy wartosc zagro·zon ¾a (value at risk) na poziomie � 2 (0; 1) nast¾epu-j ¾aco:

VaR�(X) := inffm 2 R : P (X +m < 0) � �g: (183)

Interpretacja tego wzoru jest nast¾epuj ¾aca: je·zeli X jest wartosci ¾a portfela in-westycyjnego, a � ma÷¾a liczb ¾a, to VaR�(X) jest najmniejsz ¾a wielkosci ¾a do-datkowego kapita÷u, jaki musimy przyj ¾ac jako zabezpieczenie tego portfela, abymiec zagwarantowane z prawdopodobienstwem 1 � �, ·ze pozostaniemy z nieu-jemnym kapita÷em (tzn. strata z portfela, równa �X, nie przekroczym). Liczb¾e� nazywamy poziomem tolerancji, a liczb ¾e 1� � poziomem ufnosci.Inaczej mówi ¾ac, VaR� jest to najmniejsza strata wartosci taka, ·ze praw-

dopodobienstwo jej przekroczenia w danym okresie jest nie wi¾eksze ni·z zadanypoziom tolerancji �.Przyk÷ad 1. (przybli·zone wyznaczanie VaR na podstawie danych histo-

rycznych). Za÷ó·zmy, ·ze inwestor posiada 20 000 $ zainwestowane w funduszindeksu S&P 500, zatem jego zyski b ¾ed ¾a zyskami tego funduszu. Potrzebnejest oszacowanie VaR dla okresu 24 godzin i poziomu ufnosci 95% (tzn. dla� = 0; 05). Do oszacowania VaR u·zyto 1000 codziennych notowan stopy zyskuindeksu S&P 500 dla okresu koncz ¾acego si¾e 4.03.2003 r. Poniewa·z 5% z liczby1000 wynosi 50, wi¾ec do przybli·zenia liczby VaR0;05 mo·ze pos÷u·zyc 50-ta oddo÷u dzienna stopa zysku, która wynosi �0; 0227. Inaczej mówi ¾ac, dziennastopa zysku �0; 0227 lub mniejsza wyst ¾api÷a w 5% przypadków w danych his-torycznych, zatem mo·zemy oszacowac, ·ze jest szansa 5% na zysk tej wielkoscilub mniejszy w ci ¾agu nast¾epnej doby. Zysk o stopie �0; 0227 z kapita÷u 20 000$ daje ujemny dochód �454 $, zatem oszacowana wartosc zagro·zona wynosiVaR0;05 = 454 $.

43

Ogólnie, VaR� przybli·za si¾e poprzez dolny �-kwantyl z próby danych histo-rycznych. Za÷ó·zmy, ·ze próba ta sk÷ada si¾e z n notowan stóp zysku R1; :::; Rn.Niech k b¾edzie liczb ¾a n� zaokr ¾aglon ¾a do najbli·zszej liczby naturalnej. Uporz ¾ad-kujmy liczby R1; :::; Rn w kolejnosci rosn ¾acej:

R1:n � R2:n � ::: � Rn:n: (184)

Wówczas dolnym �-kwantylem z próby (R1; :::; Rn) nazywamy k-ty najm-niejszy zysk, czyli Rk:n. Liczb¾e t¾e nazywamy tak·ze statystyk ¾a porz ¾adkow ¾ak-tego rz¾edu z próby (R1; :::; Rn) i oznaczamy R(k). Wówczas, jesli S jestzainwestowanym kapita÷em pocz ¾atkowym, to

VaR� = �S �R(k): (185)

Stwierdzenie 19. VaR� jest pieni¾e·zn ¾a miar ¾a ryzyka na X , która jestdodatnio jednorodna.Dowód. Warunki (176), (177) i (181) wynikaj ¾a bezposrednio z de�nicji

(183). �Uwaga. VaR� nie jest jednak subaddytywna, a zatem nie jest spójn ¾a miar ¾a

ryzyka, co pokazuje poni·zszy przyk÷ad.Przyk÷ad 2. Dwie korporacje C1 i C2 sprzedaj ¾a obligacje. Dla ka·zdej z

tych korporacji prawdopodobienstwo jej bankructwa w rozpatrywanym okre-sie wynosi 0; 04. Bankructwo jednej korporacji jest niezale·zne od bankructwadrugiej. Stopa zysku z inwestycji w obligacje korporacji Ci wynosi

Ri =

�0; gdy Ci nie zbankrutuje,�1; gdy Ci zbankrutuje.

W drugim przypadku tracimy ca÷¾a zainwestowan ¾a kwot¾e (jest to model up-roszczony, nie uwzgl¾edniaj ¾acy dochodu z odsetek z obligacji). Niech Y b¾edziezmienn ¾a losow ¾a, której wartosci ¾a jest ilosc korporacji, które zbankrutowa÷y wrozwa·zanym okresie. Dla wyznaczenia rozk÷adu tej zmiennej pos÷u·zymy si¾eschematem Bernoulliego przy n = 2 (liczba prób) z prawdopodobienstwami�sukcesu�(bankructwo) p = 0; 04 i �pora·zki�(brak bankructwa) q = 0; 96:

P (Y = 0) =

�2

0

�(0; 04)0(0; 96)2 = 0; 9216;

P (Y = 1) =

�2

1

�(0; 04)1(0; 96)1 = 0; 0768;

P (Y = 2) =

�2

2

�(0; 04)2(0; 96)0 = 0; 0016:

Niech Pi b¾edzie portfelem obligacji korporacji Ci o wartosci pocz ¾atkowej 1000 $(i = 1; 2). Za÷ó·zmy, ·ze wymagany poziom tolerancji wynosi � = 0; 05. Wówczas

VaR�(P1 + P2) = 1000; (186)

44

poniewa·z prawdopodobienstwo bankructwa obu korporacji jest mniejsze od �,ale prawdopodobienstwo bankructwa przynajmniej jednej z nich wynosi

P (Y = 1) + P (Y = 2) = 0; 0768 + 0; 0016 = 0; 0784

i jest wi¾eksze od �. Natomiast

VaR�(Pi) = 0, i = 1; 2; (187)

poniewa·z prawdopodobienstwo bankructwa pojedynczej korporacji jest mniejszeod �. Z równosci (186) i (187) otrzymujemy

VaR�(P1 + P2) > VaR�(P1) +VaR�(P2);

co dowodzi, ze funkcja VaR� nie jest subaddytywna.

35 Warunkowa wartosc oczekiwana

Niech (;F ; P ) b¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Dla dowolnego A 2 Ftakiego, ·ze P (A) > 0, zde�niujmy funkcj¾e PA : F ! R wzorem

PA(B) := P (Bj A) =P (B \A)P (A)

: (188)

Mo·zna ÷atwo wykazac, ·ze PA jest rozk÷adem prawdopodobienstwa na , tzn.spe÷nia aksjomaty (A1)�(A3) de�nicji prawdopodobienstwa.Dla dowolnej zmiennej losowej X : ! R posiadaj ¾acej wartosc oczekiwan ¾a

de�niujemy jej warunkow ¾a wartosc oczekiwan ¾a pod warunkiem zajsciazdarzenia A nast¾epuj ¾aco:

E (Xj A) :=Z

XdPA: (189)

Wzór podany w poni·zszym twierdzeniu oznacza, ·ze E (Xj A) jest sredni ¾awartosci ¾a zmiennej losowej X na zbiorze A.Twierdzenie 7. Je·zeli P (A) > 0 i X jest zmienn ¾a losow ¾a o skonczonej

wartosci oczekiwanej, to

E (Xj A) = 1

P (A)

ZA

XdP: (190)

Zde�niujemy teraz warunkow ¾a wartosc oczekiwan ¾a wzgl¾edem �-cia÷a gen-erowanego przez co najwy·zej przeliczaln ¾a liczb ¾e zdarzen. Do tego potrzebnenam b¾edzie nast¾epuj ¾ace oznaczenie: dla dowolnego zdarzenia A 2 F , symbol1A oznacza zmienn ¾a losow ¾a okreslon ¾a nast¾epuj ¾aco:

1A(!) :=

�1 dla ! 2 A;0 dla ! 2 nA: (191)

45

Niech =Si2I Ai, gdzie I jest zbiorem skonczonym lub przeliczalnym, zas

zdarzenia Ai o dodatnim prawdopodobienstwie stanowi ¾a rozbicie przestrzeni .Niech G = �(Ai; i 2 I) b¾edzie najmniejszym �-cia÷em zawieraj ¾acym zbiory Ai.Dla dowolnej zmiennej losowej X : ! R posiadaj ¾acej wartosc oczekiwan ¾ade�niujemy jej warunkow ¾a wartosc oczekiwan ¾a pod warunkiem �-cia÷aG jako zmienn ¾a losow ¾a E (Xj G) : ! R zde�niowan ¾a wzorem

E (Xj G) (!) :=Xi2I

E (Xj Ai)1Ai(!); ! 2 : (192)

Twierdzenie 8. Warunkowa wartosc oczekiwana E (Xj G) posiada nast ¾epu-j ¾ace w÷asnosci:(a) E (Xj G) jest mierzalna wzgl ¾edem �-cia÷a G.(b) Je·zeli B 2 G, to Z

B

XdP =

ZB

E (Xj G) dP: (193)

Powy·zsze twierdzenie umo·zliwia uogólnienie de�nicji warunkowej wartoscioczekiwanej na przypadek dowolnego �-cia÷a G. Warunkow ¾a wartosci ¾a oczeki-wan ¾a zmiennej losowej X pod warunkiem �-cia÷a G nazywamy dowoln ¾azmienn ¾a losow ¾a E (Xj G) spe÷niaj ¾ac ¾a warunki (a) i (b) Twierdzenia 8.Twierdzenie 9. Niech G b ¾edzie dowolnym �-cia÷em zawartym w F i niech

X : ! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a posiadaj ¾ac ¾a wartosc oczekiwan ¾a. Wówczas:(a) Istnieje warunkowa wartosc oczekiwana dla X pod warunkiem G i jest

ona wyznaczona jednoznacznie z dok÷adnosci ¾a do zdarzen o prawdopodobienstwiezero: je·zeli Y1 i Y2 s ¾a takimi wartosciami oczekiwanymi dla X, to P (Y1 6= Y2) =0.(b) Zachodzi równosc

EX = E(E (Xj G)): (194)

Je·zeli X : ! R jest zmienn ¾a losow ¾a posiadaj ¾ac ¾a wartosc oczekiwan ¾a, aY : ! Rn �dowolnym wektorem losowym, to mo·zemy zde�niowac warunk-ow ¾a wartosc oczekiwan ¾a zmiennej losowej X przy warunku zmiennejlosowej Y :

E (Xj Y ) := E (Xj �(Y )) ; (195)

gdzie �(Y ) oznacza najmniejsze �-cia÷o, przy którym zmienna losowa Y jestmierzalna. Wówczas z wzoru (194) otrzymujemy

EX = E(E (Xj Y )): (196)

Dla dowolnego zdarzenia B 2 F i dowolnego �-cia÷a G � F , prawdopodo-bienstwem warunkowym B wzgl ¾edem G nazywamy zmienn ¾a losow ¾a P (Bj G)okreslon ¾a wzorem

P (Bj G) := E (1B j G) : (197)

Analogicznie do (195), okreslamy prawdopodobienstwo warunkowe zda-rzenia B wzgl ¾edem zmiennej losowej Y :

P (Bj Y ) := P (Bj �(Y )) = E (1B j �(Y )) : (198)

46

Funkcj¾e h : Rn ! Rm nazywamy borelowsk ¾a, je·zeli h�1(B) 2 B(Rn) dlaka·zdego B 2 B(Rm).Twierdzenie 10. Je·zeli X : ! R jest zmienn ¾a losow ¾a posiadaj ¾ac ¾a

wartosc oczekiwan ¾a, a Y : ! Rn �dowolnym wektorem losowym, to istniejefunkcja borelowska h : Rn ! R taka, ·ze

E (Xj Y ) = h(Y ): (199)

36 Kwantyle

Niech X : ! R b¾edzie zmienn ¾a losow ¾a i niech � 2 (0; 1). Liczb¾e q 2 Rnazywamy �-kwantylem zmiennej losowej X je·zeli

P (X < q) � � � P (X � q): (200)

Przy pomocy dystrybuanty F zmiennej losowej X warunek (200) mo·zna zapisacnast¾epuj ¾aco:

F (q�) � � � F (q): (201)

Dolnym i górnym �-kwantylem zmiennej losowejX nazywamy odpowied-nio liczby q�� (X) i q

+� (X) okreslone wzorami:

q�� (X) := inf fx 2 R : P (X � x) � �g = sup fx 2 R : P (X � x) < �g ; (202)q+� (X) := inf fx 2 R : P (X � x) > �g = sup fx 2 R : P (X � x) � �g : (203)

W dalszym ci ¾agu b¾edziemy pomijac (X) przy symbolach kwantyli, jesli nieb ¾edzie w ¾atpliwosci, o jak ¾a zmienn ¾a losow ¾a chodzi.Uwagi. (a) Drugie równosci we wzorach (202) i (203) wynikaj ¾a z faktu, ·ze

oba rozwa·zane zbiory s ¾a niepuste i w sumie daj ¾a zbiór R.(b) Z wzorów (90) i (202) wynika równosc

F (�) := inf fx 2 R : F (x) � �g = q�� (X); 8� 2 (0; 1): (204)

Stwierdzenie 20. (a) Dla ustalonej liczby � 2 (0; 1), zbiór wszystkich �-kwantyli zmiennej losowej X jest przedzia÷em domkni ¾etym [q�� ; q

+� ]. Przedzia÷

ten sk÷ada si ¾e z jednego punktu dla wszystkich liczb � poza zbiorem co najwy·zejprzeliczalnym.(b) Równosc q�� = q

+� zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy P (X � x) = � dla

co najwy·zej jednej wartosci x. W przypadku, gdy q�� < q+� , mamy

fx : P (X � x) = �g =�[q�� ; q

+� ); gdy P (X = q+� ) > 0;

[q�� ; q+� ]; gdy P (X = q+� ) = 0:

(205)

Stwierdzenie 21. Dla dowolnej zmiennej losowej X i liczby � 2 (0; 1)zachodzi równosc

VaR�(X) = q�1��(�X): (206)

47

Dowód. Z de�nicji VaR� (wzór (183)) otrzymujemy

VaR�(X) = inffm 2 R : P (X +m < 0) � �g= inffm 2 R : 1� P (X +m < 0) � 1� �g= inffm 2 R : P (X +m � 0) � 1� �g= inffm 2 R : P (�X � m) � 1� �g = q�1��(�X): �

Uwaga. Niektórzy autorzy jako de�nicj¾e wartosci zagro·zonej przyjmuj ¾a

VaR0�(X) : = �q+� (X) = � sup fx 2 R : P (X � x) � �g= inf f�x 2 R : P (X � x) � �g= inf fm 2 R : P (X +m � 0) � �g : (207)

37 Konstrukcja spójnej miary ryzyka

Dla dowolnej zmiennej losowej X : ! R o skonczonej wartosci oczekiwaneji dowolnej liczby � 2 (0; 1), de�niujemy doln ¾a i górn ¾a ogonow ¾a wartoscoczekiwan ¾a (lower and upper tail conditional expectation) na poziomie � odpo-wiednio wzorami

TCE�� (X) : = �E (Xj X � q���; (208)

TCE+� (X) : = �E (Xj X � q+��: (209)

Uwagi. (a) Znak minus wyst¾epuj ¾acy w powy·zszych wzorach wynika zfaktu, ·ze w zastosowaniach ogonowa wartosc oczekiwana jest miar ¾a straty, któraprzyjmuje wartosc dodatni ¾a, gdy wartosc portfela X jest ujemna.(b) Mo·zna wykazac, ·ze ·zadna z wielkosci �q�� , �q+� , TCE�� , TCE+� nie

de�niuje w ogólnym przypadku subaddytywnej miary ryzyka.Zajmiemy si¾e teraz konstrukcj ¾a spójnej miary ryzyka, spe÷niaj ¾acej w szczegól-

nosci warunek subaddytywnosci. Zauwa·zmy, ·ze je·zeli � = A% 2 (0; 1), tomiara VaR� odpowiada na pytanie, jaka jest minimalna strata ponoszona wA% najgorszych przypadków. Bardziej sensowne by÷oby zadanie pytania, jakajest oczekiwana strata ponoszona w tych A% przypadków. Dla uzyskania przy-bli·zonej odpowiedzi rozwa·zmy, dla dostatecznie du·zej liczby n, wektor (X1; ::; Xn)z÷o·zony z n realizacji zmiennej losowej X. Podobnie jak w przyk÷adzie 1, sortu-jemy wartosci Xi w kolejnosci rosn ¾acej

X1:n � X2:n � ::: � Xn:n; (210)

po czym przybli·zamy ilosc najgorszych wartosci (stanowi ¾ac ¾a A% wszystkichwartosci) za pomoc ¾a liczby

k := maxfl : l � n�, l 2 Ng (211)

(mo·zna te·z u·zyc innego sposobu zaokr ¾aglenia n� do liczby naturalnej). Nat-uralnym estymatorem oczekiwanej straty w A% najgorszych przypadków jest

48

srednia arytmetyczna strat ponoszonych w tych przypadkach:

ESn�(X) := �1

k

kXi=1

Xi:n: (212)

Liczb¾e (212) nazywamy oczekiwanym niedoborem (expected shortfall) zpróby (X1; ::; Xn). Poni·zsze stwierdzenie pokazuje, ·ze funkcja ESn� jest sub-addytywna.Stwierdzenie 21. Dla dowolnych liczb n 2 N i � 2 (0; 1) oraz zmiennych

losowych X;Y zachodzi nierównosc

ESn�(X + Y ) � ESn�(X) + ESn�(Y ): (213)

Dowód. Dla ka·zdego i 2 f1; :::; ng zachodzi równosc

(X + Y )i = Xi + Yi: (214)

(zauwa·zmy, ·ze analogiczna równosc nie zachodzi dla (X + Y )i:n). Z de�nicji(X+Y )i:n i z (214) wynika, ·ze istnieje taki zbiór indeksów fi1; :::; ikg � f1; :::; ng,dla którego

kXi=1

(X + Y )i:n =kXj=1

(X + Y )ij =kXj=1

(Xij + Yij ): (215)

Zauwa·zmy, ·ze zbiór fX1:n; :::; Xk:ng sk÷ada si¾e z k najmniejszych liczb wybranychze zbioru fX1; :::; Xng, podczas gdy zbiór fXi1 ; :::; Xikg sk÷ada si¾e z pewnychk liczb wybranych z fX1; :::; Xng. St ¾ad i z analogicznej uwagi dla zmiennejlosowej Y wynika nierównosc

kXj=1

(Xij + Yij ) �kXj=1

(Xj:n + Yj:n): (216)

Uwzgl¾edniaj ¾ac warunki (215)�(216) oraz de�nicj¾e ESn�, otrzymujemy

ESn�(X + Y ) = �1k

kXi=1

(X + Y )i:n

� �1k

kXi=1

(Xi:n + Yi:n) = ESn�(X) + ES

n�(Y ): �

Dla dowolnego wyra·zenia logicznego p wprowadzmy oznaczenie

[p] :=

�1; jesli p jest prawdziwe,0; jesli p jest fa÷szywe.

(217)

49

Wówczas wzór (212) mo·zemy przekszta÷cic nast¾epuj ¾aco:

ESn�(X) = �1

k

kXi=1

Xi:n = �1

k

nXi=1

Xi:n [i � k]

= �1k

nXi=1

Xi:n [Xi:n � Xk:n]�nXi=1

Xi:n ([Xi:n � Xk:n]� [i � k])!: (218)

Zauwa·zmy, ·ze

[Xi:n � Xk:n]� [i � k] =�1; jesli i > k i Xi:n = Xk:n;0; w przeciwnym przypadku.

St ¾ad i z (218) otrzymujemy

ESn�(X) = �1

k

nXi=1

Xi [Xi � Xk:n]�Xk:nnXi=1

([Xi:n � Xk:n]� [i � k])!

= �nk

1

n

nXi=1

Xi [Xi � Xk:n]�Xk:n

1

n

nXi=1

[Xi � Xk:n]!� k

n

!: (219)

Ostatnie przedstawienie ESn� sugeruje nast¾epuj ¾ac ¾a de�nicj¾e. Oczekiwanymniedoborem na poziomie � 2 (0; 1) nazywamy liczb¾e

ES�(X) := �1

�

�E�X�X � q+�

��� q+�

�P�X � q+�

�� �

��: (220)

Uzasadnienie tej de�nicji jest takie, ·ze jesli zachodzi zbie·znosc

Xk:n �!n!1

q+� z prawdopodobienstwem 1, (221)

to mo·zna si¾e spodziewac, ·ze tak·ze

ESn�(X) �!n!1

ES�(X) z prawdopodobienstwem 1. (222)

Niestety warunek (221) nie jest spe÷niony w ogólnym przypadku. Pomimo tomo·zna wykazac nast¾epuj ¾ace stwierdzenie.Stwierdzenie 22. (a) ES� jest spójn ¾a miar ¾a ryzyka.(b) Je·zeli zmienna losowa X ma ci ¾ag÷¾a dystrybuant ¾e, to

ES�(X) = TCE+� (X): (223)

(c)

ES�(X) = �1

�

Z �

0

F (u)du: (224)

Dowód. Udowodnimy tylko cz¾esc (b). Jesli dystrybuanta F zmiennejlosowej X jest ci ¾ag÷a, to na mocy warunku (201) mamy P (X � q) = F (q) = �dla ka·zdego �-kwantyla q. W szczególnosci q+� jest �-kwantylem na mocy

50

Stwierdzenia 20(a), zatem P (X � q+� ) = �. Uwzgl¾edniaj ¾ac t¾e równosc, anast¾epnie Twierdzenie 7, otrzymujemy

ES�(X) = �1

�E�X�X � q+�

��= � 1

�

ZfX�q+� g

XdP

= � 1

P�X � q+�

� ZfX�q+� g

XdP = �E (Xj X � q+��= TCE+� (X): �

Stwierdzenie 23. Niech X : ! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a posiadaj ¾ac ¾awartosc oczekiwan ¾a. Wówczas

ES�(X) = �1

�(E (X [X � q]) + q (�� P (X � q))) ; 8q 2 [q�� ; q+� ]: (225)

W szczególnosci wynika st ¾ad, ·ze nie ma potrzeby de�niowania dolnego igórnego oczekiwanego niedoboru, poniewa·z wielkosci te i tak by÷yby równe.

38 Modele mieszaniny dla portfeli kredytów

Zmienn ¾a losow ¾a Bernoulliego z parametrem p 2 [0; 1] nazywamy zmienn ¾alosow ¾a X : ! f0; 1g o rozk÷adzie

P (X = x) = px(1� p)1�x; x 2 f0; 1g: (226)

Podobnie jak w § 32, rozwa·zamy portfel m kredytów dla ustalonego hory-zontu czasowego T . W modelu mieszaniny (mixture model) zak÷ada si¾e, ·zeprawdopodobienstwo niedotrzymania warunków przez pojedynczego d÷u·znikazale·zy od pewnego skonczonego zbioru (zwykle ma÷o licznego) czynników eko-nomicznych. Przy ustalonych wartosciach tych czynników prawdopodobienstwaniedotrzymania dla ró·znych d÷u·zników s ¾a niezale·zne.Za÷ó·zmy, ·ze dana jest liczba naturalna r < m oraz wektory losowe: = (1; :::;r) �wektor czynników ekonomicznych,Y = (Y1; :::; Ym) �wektor wskazników niedotrzymania dla poszczególnych

d÷u·zników.Powy·zszy model nazywamy modelem mieszaniny Bernoulliego, je·zeli

istniej ¾a takie funkcje borelowskie Qi : Rr ! [0; 1], i = 1; :::;m, ·ze przy warunku wektor losowy Y jest wektorem niezale·znych zmiennych losowych Bernoulliegoz parametrami

P (Yi = 1j) = Qi () : (227)

Z warunków (226) i (227) wynika, ·ze

P (Yi = yij) = Qi ()yi (1�Qi ())1�yi ; yi 2 f0; 1g; i = 1; :::;m: (228)

Dla dowolnego wektora y = (y1; :::; ym) 2 f0; 1gm, wyra·zenie P (Y = yj)obliczamy zgodnie z (198) i (195):

P (Y = yj) = E�1fY=yg

�� �()) = E �1fY=yg�� ) : (229)

51

Na mocy Twierdzenia 10 istnieje funkcja borelowska h : Rr ! R taka, ·zeE�1fY=yg

�� ) = h(). Funkcj¾e h mo·zna wyznaczyc efektywnie, korzystaj ¾acz równosci (228). Istotnie, poniewa·z zmienne losowe Yi s ¾a niezale·zne przywarunku , wi¾ec

h() = P (Y = yj) =mYi=1

P (Yi = yij) =mYi=1

Qi ()yi (1�Qi ())1�yi :

(230)

38.1 Wymienne modele mieszaniny

Model mieszaniny Bernoulliego nazywamywymiennym, je·zeli wszystkie funkcjeQi s ¾a identyczne. Wówczas wektor losowy Y jest wymienny. Dla analizy takiegomodelu wygodnie jest wprowadzic zmienn ¾a losow ¾a Z := Q1(). Wzór (230)mo·zna wtedy uproscic do postaci

P (Y = yj) = ZPm

i=1 yi(1� Z)m�Pm

i=1 yi =: g(Z); (231)

gdzie funkcja g : R! R spe÷nia warunek h = g �Q1.Z punktu widzenia zastosowan wa·zne jest wyznaczenie rozk÷adu prawdopodo-

bienstwa zmiennej losowejM okreslaj ¾acej ilosc d÷u·zników, którzy nie dotrzymaliwarunków. Do tego celu potrzebny nam b¾edzie wzór na prawdopodobienstwobezwarunkowe P (Y = y). Korzystaj ¾ac z wzorów (196), (229) i (231), otrzymu-jemy

P (Y = y) = E�1fY=yg

�= E

�E�1fY=yg

�� )� = E (P (Y = yj)) = E (g(Z)) :(232)

Dalej skorzystamy z nast¾epuj ¾acego twierdzenia:Twierdzenie 11. Niech X : ! Rn b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a, a ' : Rn ! R

�funkcj ¾a borelowsk ¾a. Wówczas

E ('(X)) =ZRn'(x)PX(dx); (233)

gdzie PX : B(Rn)! R jest rozk÷adem prawdopodobienstwa zmiennej losowej Xokreslonym wzorem (25). Równosc (233) nale·zy rozumiec tak, ·ze je·zeli ca÷ka pojednej stronie istnieje, to istnieje tak·ze ca÷ka po drugiej stronie i s ¾a one równe.Z powy·zszego twierdzenia i z wzorów (232) i (231) otrzymujemy

P (Y = y) = E (g(Z)) =Z 1

0

g(u)PZ(du) =

Z 1

0

uPm

i=1 yi(1� u)m�Pm

i=1 yiPZ(du):

(234)Stwierdzenie 24. Rozk÷ad prawdopodobienstwa ilosci niewyp÷acalnych d÷u·z-

ników w wymiennym modelu mieszaniny Bernoulliego wyra·za si ¾e wzorem

P (M = k) =

�m

k

�Z 1

0

uk(1� u)m�kPZ(du): (235)

52

Dowód. Skorzystamy najpierw z pierwszej cz¾esci wzoru (175):

P (M = k) =

�m

k

�P (Y1 = 1; :::; Yk = 1; Yk+1 = 0; :::; Ym = 0): (236)

Nast¾epnie, podstawiaj ¾ac y = (11; :::; 1k; 0k+1; :::; 0m) (gdzie dolny indeks oz-nacza pozycj¾e cyfry) do wzoru (234), otrzymujemy

P (Y1 = 1; :::; Yk = 1; Yk+1 = 0; :::; Ym = 0) =

Z 1

0

uk(1� u)m�kPZ(du): (237)

Z równosci (236) i (237) wynika (235). �

38.2 Model CreditRisk+

Za÷ó·zmy, ·ze dana jest liczba naturalna r < m oraz wektory losowe: = (1; :::;r) �wektor czynników ekonomicznych,~Y = (~Y1; :::; ~Ym) �wektorwskazników stanu dla poszczególnych d÷u·zników.

Wskaznik stanu ~Yi 2 f0; 1; 2; :::g podaje liczb ¾e zdarzen niedotrzymania umowydla i-tego d÷u·znika. Dopuszczamy tutaj mo·zliwosc wyst ¾apienia takiego zdarzeniawiecej ni·z raz, chocia·z jest to na ogó÷ma÷o prawdopodobne.Powy·zszy model nazywamy modelem mieszaniny Poissona, je·zeli ist-

niej ¾a takie funkcje �i : Rr ! (0;1), i = 1; :::;m, ·ze przy warunku wektorlosowy ~Y jest wektorem niezale·znych zmiennych losowych o rozk÷adzie Poissonaz parametrami �i(), tzn.

P ( ~Yi = kj) =(�i())

k

k!e��i(), i = 1; :::;m: (238)

ModelCreditRisk+ jest szczególnym przypadkiem modelu mieszaniny Pois-sona, w którym zak÷ada si¾e, ·ze

�i() = wiT , i = 1; :::;m; (239)

gdzie jest wektorem losowym niezale·znych czynników ryzyka o rozk÷adziegamma, zas wi = (wi;1; :::; wi;r) jest wektorem nieujemnych wag poszczególnychczynników dla i-tego d÷u·znika. Dla wyskalowania modelu dzieli si¾e d÷u·znikówna klasy ratingowe, dla których zak÷ada si¾e, ·ze wartosc oczekiwana parametru�i() jest sta÷a:

E(�i()) = cg(i);gdzie cg(i) jest sta÷¾a liczb ¾a dla ca÷ej grupy g(i), do której nale·zy d÷u·znik i.

39 Pytania na egzamin

1. Omówic zale·znosc stopy zysku od sposobu kapitalizacji odsetek.

2. Zde�niowac ryzyko papieru wartosciowego w koncepcji neutralnej oraz wkoncepcji negatywnej.

53

3. Wyprowadzic wzór na stop¾e zysku z kapita÷u wyra·zonego w walucie obcejuwzgledniaj ¾acy mo·zliwosc zmiany kursu walutowego.

4. Zde�niowac dystrybuant¾e zmiennej losowej i podac jej w÷asnosci. Jedn ¾aw÷asnosc udowodnic.

5. Zde�niowac uogólnion ¾a transformat¾e dystrybuantow ¾a i podac jej w÷as-nosci. Jedn ¾a w÷asnosc udowodnic.

6. Zde�niowac kopu÷¾e i omowic jej w÷asnosci.

7. Podac i udowowdnic twierdzenie Sklara (bez dowodzenia w÷asnosci trans-formaty dystrybuantowej).

8. Zde�niowac wielowymiarowy rozk÷ad normalny.

9. Opisac kopu÷¾e Gaussa.

10. Wyprowadzic wzory na spread kredytowy, oczekiwan ¾a strat¾e i nieoczeki-wan ¾a strat¾e (ostatni wzór w przypadku ogólnym) dla pojedynczego kredytu.

11. Wyprowadzic wzór na nieoczekiwan ¾a strat¾e dla pojedynczego kredytu wprzypadku, gdy zmienne losowe SEV i Y s ¾a niezale·zne.

12. Wyprowadzic wzory na oczekiwan ¾a strat¾e i nieoczekiwan ¾a strat¾e (drugiwzór w przypadku ogólnym) dla portfela wielu kredytów.

13. Wyprowadzic wzór na nieoczekiwan ¾a strat¾e dla portfela wielu kredytów wprzypadku, gdy poziom straty przy niedotrzymaniu warunków jest sta÷y ijest taki sam dla wszystkich sk÷adników portfela.

14. Zde�niowac model ukrytej zmiennej i udowodnic stwierdzenie o równowa·znoscitakich modeli.

15. Zde�niowac model wymienny, podac jego w÷asnosci, jedn ¾a z nich udowod-nic.

16. Zde�niowac pieni¾e·zn ¾a miar¾e ryzyka, wypuk÷¾a miar¾e ryzyka i spójn ¾a miar¾eryzyka. Wykazac, ·ze przy za÷ozeniu dodatniej jednorodnosci wypuk÷oscpieni¾e·znej miary ryzyka jest równowa·zna subaddytywnosci.

17. Zde�niowac wartosc zagro·zon ¾a i wykazac, ·ze nie jest ona subaddytywna.

18. Zde�niowac wartosc oczekiwan ¾a zmiennej losowej pod warunkiem dowol-nego �-cia÷a oraz przy warunku innej zmiennej losowej. Zde�niowac tak·zeodpowiednie prawdopodobienstwa warunkowe.

19. Zde�niowac kwantyle i podac ich w÷asnosci. Udowodnic zwi ¾azek mi¾edzywartosci ¾a zagro·zon ¾a a kwantylem.

20. Zde�niowac oczekiwany niedobór z próby oraz wykazac jego subaddyty-wnosc.

54

21. Zde�niowac oczekiwany niedobór zmiennej losowej i udowodnic jego zwi ¾azekz górn ¾a ogonow ¾a wartosci ¾a oczekiwan ¾a.

22. Zde�niowac model mieszaniny i model mieszaniny Bernoulliego. Wyprowadzicwzór na prawdopodobienstwo warunkowe P (Y = yj).

23. Zde�niowac wymienny model mieszaniny. Wyprowadzic wzór na rozk÷adprawdopodobienstwa ilosci niewyp÷acalnych d÷u·zników w tym modelu.

24. Omówic model CreditRisk+.

55