Bdy identyfikacji modeli parametrycznych

12

Warszawa, 2.06.2000

SEMINARIUM

Komitet Metrologii Polskiej Akademii Nauk

Sekcja Aparatury i Systemw Pomiarowych

ANALIZA BDW ORAZ OPTYMALIZACJA PARAMETRYCZNA SYSTEMW POMIAROWYCH METODAMI BADA MODELOWYCH.

Janusz GAJDA

Zakad Metrologii, Akademia Grniczo - Hutnicza

SPIS TRECI

1. Wstp

2. Proces identyfikacji rozumiany jako pomiar

3. Bdy identyfikacji modeli parametrycznych

4. Badania symulacyjne systemw pomiarowych

4.1 Etapy bada symulacyjnych

4.2 Realizacja bada symulacyjnych

4.3 Kompletno modelowania i bada symulacyjnych

4.4 Porwnanie jzykw symulacyjnych z jzykami oglnego przeznaczenia

5. Parametryczna optymalizacja systemw pomiarowych

6. Analiza bdw i parametryczna optymalizacja przykadowego systemu pomiarowego

7. Literatura

1. WSTP.

Pojcie system pomiarowy jest okreleniem bardzo szerokim obejmujcym wiele rnych rozwiza konstrukcyjnych, stosowanych w zadaniach pomiarowych o rnorodnym charakterze i zrnicowanym stopniu zoonoci. Istniej jednak grupy szczeglnych cech umoliwiajcych przeprowadzenie klasyfikacji systemw pomiarowych w zalenoci od ich zastosowania. Tak specyficzn grup stanowi rwnie systemy pomiarowe stosowane w procesie identyfikacji. Pod pojciem identyfikacja obiektu rozumie si na og wyznaczenie modelu parametrycznego bd nieparametrycznego opisujcego identyfikowany obiekt, na podstawie wynikw bada eksperymentalnych tego obiektu.

Referat dotyczy zagadnienia analizy bdw systemw pomiarowych stosowanych w procesie identyfikacji. Konieczno przyjcia okrelonych miar tych bdw powoduje, e niezbdne jest okrelenie obszaru stosowania analizowanych systemw. W tym przypadku skupimy si na analizie bdw systemw stosowanych w tzw. identyfikacji parametrycznej.

Cechami charakterystycznymi takiego systemu pomiarowego, odrniajcego go od innych zastosowa s:

nwystpowanie w strukturze systemu pomiarowego rwnie obiektu identyfikacji, stanowicego jego integraln cz. Uwzgldnienie obiektu identyfikacji oraz jego waciwoci jest konieczne szczeglnie w trakcie projektowania systemu pomiarowego oraz w trakcie analizy jego waciwoci metrologicznych. Konieczno ta jest uzasadniona istotnym wpywem cech obiektu identyfikacji na wypadkowe, metrologiczne waciwoci systemu pomiarowego wsppracujcego z tym obiektem scharakteryzowane przez bdy estymacji parametrw obiektu.

nwystpowanie w strukturze systemu pomiarowego ukadu generowania wymusze pobudzajcych identyfikowany obiekt. Konieczno uwzgldnienia tego elementu jest uzasadniona istotnym wpywem postaci stosowanych wymusze oraz ich parametrw na dokadno wyznaczanego modelu, a tym samym na podstawowe waciwoci metrologiczne systemu pomiarowego stosowanego w procesie identyfikacji.

ndua moc obliczeniowa zainstalowana w systemie niezbdna do efektywnej realizacji algorytmu identyfikacji.

Schemat blokowy takiego systemu pomiarowego przedstawiono na rysunku 1.

Wyznaczenie parametrycznego modelu opisujcego badany obiekt oznacza okrelenie klasy modelu oraz wybr konkretnego modelu z tej klasy. Okrelenie klasy modelu sprowadza si do okrelenia wyraenia matematycznego opisujcego badany obiekt z dokadnoci do wspczynnikw. Wyboru modelu z przyjtej klasy dokonuje si wyznaczajc liczbowe wartoci tych wspczynnikw. W rozwizaniu tak rozumianego zadania identyfikacji wykorzystuje si zarwno wiedz posiadan apriori nt. identyfikowanego obiektu, jak rwnie wiedz pomiarow zdobyt w trakcie przeprowadzonych eksperymentw.

Wiedza posiadana apriori pozwala na og na okrelenie klasy modelu. Wartoci wspczynnikw tego modelu wyznacza si w wyniku realizacji wybranego algorytmu identyfikacji, ktry okrela jak powinny by przetwarzane wyniki pomiarw aby wyznaczy wartoci wspczynnikw modelu. Struktur procesu identyfikacji parametrycznej, ilustrujc udzia wiedzy apriori i wiedzy eksperymentalnej nazywanej rwnie wiedz aposteriori, w budowaniu parametrycznego modelu identyfikowanego obiektu przedstawia rysunek 2 [12].

Podstaw przedstawianej metody analizy bdw systemw pomiarowych i ich parametrycznej optymalizacji jest modelowanie tych systemw oraz badania symulacyjne prowadzone na zbudowanych modelach. Zarwno budowane modele jak rwnie prowadzone na nich badania symulacyjne obejmuj cay system identyfikacji, do ktrego zalicza si w szczeglnoci:

nobiekt identyfikacji,

nwymuszenia pobudzajce identyfikowany obiekt,

nsprzt pomiarowy,

nalgorytmy przetwarzania danych pomiarowych w tym rwnie algorytm identyfikacji,

nsprzt sterujco obliczeniowy sterujcy prac systemu pomiarowego, generatora sygnaw pobudzajcych obiekt w celu jego identyfikacji i przetwarzajcy dane pomiarowe cznie z realizacj algorytmu identyfikacji.

Prezentowana metoda umoliwia rwnie minimalizacj wpywu tych parametrw poprzez minimalizacj bdw wyznaczanego modelu w wielowymiarowej przestrzeni technicznych parametrw systemu identyfikacji. Takie dziaanie nazywamy parametryczn optymalizacj systemu identyfikacji.

Przedstawiona metoda analizy bdw i parametrycznej optymalizacji systemw pomiarowych stosowanych w procesie parametrycznej identyfikacji zostaa zilustrowana wynikami eksperymentw symulacyjnych przeprowadzonych na modelu przykadowego systemu identyfikacji.

o

b

i

e

k

t

p

o

m

i

a

r

w

.

.

.

.

.

.

g

e

n

e

r

a

t

o

r

w

y

m

u

s

z

e

:

:

P

w

p

a

r

a

m

e

t

r

y

w

y

m

u

s

z

e

+

+

Z

z

p

a

r

a

m

e

t

r

y

z

a

k

c

e

u

k

a

d

p

o

m

i

a

r

o

w

y

1

u

k

a

d

p

o

m

i

a

r

o

w

y

n

s

e

p

a

r

a

t

o

r

s

e

p

a

r

a

t

o

r

s

e

p

a

r

a

t

o

r

M

U

X

a

n

a

l

o

g

o

w

y

u

k

a

d

S

&

H

P

U

P

P

S

P

M

P

S

H

a

l

g

o

r

y

t

m

i

d

e

n

t

y

f

i

k

a

c

j

i

o

p

r

o

g

r

a

m

o

w

a

n

i

e

s

t

e

r

u

j

c

e

A

/

C

k

o

m

p

u

t

e

r

p

a

r

a

m

e

t

r

y

s

p

r

z

t

u

P

A

C

P

I

P

O

p

a

r

a

m

e

t

r

y

a

l

g

o

r

y

t

m

u

i

d

e

n

t

y

f

i

k

i

k

a

c

j

i

p

a

r

a

m

e

t

r

y

s

t

e

r

o

w

a

n

i

a

z

m

i

e

n

n

e

o

b

i

e

k

t

u

w

y

n

i

k

p

o

m

i

a

r

u

m

o

d

e

l

u

Rys. 1. Schemat blokowy systemu pomiarowego stosowanego w procesie identyfikacji.

O

B

I

E

K

T

x

(

t

)

p

o

m

i

a

r

d

a

n

e

p

o

m

i

a

r

o

w

e

b

d

y

p

o

m

i

a

r

u

w

s

t

p

n

e

p

r

z

e

t

w

a

r

z

a

n

i

e

d

a

n

y

c

h

d

a

n

e

p

r

z

e

-

t

w

o

r

z

o

n

e

b

d

y

p

r

z

e

t

w

a

r

z

a

n

i

a

a

l

g

o

r

y

t

m

i

d

e

n

t

y

f

i

k

a

c

j

i

b

d

y

e

s

t

y

m

a

c

j

i

"

p

o

m

i

a

r

o

w

a

"

(

a

'

p

o

s

t

e

r

i

o

r

i

)

w

i

e

d

z

a

o

o

b

i

e

k

c

i

e

w

i

e

d

z

a

o

g

l

n

a

(

a

'

p

r

i

o

r

i

)

o

o

b

i

e

k

c

i

e

w

s

p

-

c

z

y

n

n

i

k

i

m

o

d

e

l

u

M

O

D

E

L

k

l

a

s

a

m

o

d

e

l

u

p

r

a

w

a

f

i

z

y

k

i

b

d

y

m

o

d

e

l

o

w

a

n

i

a

c

z

s

t

k

o

w

e

n

i

e

l

i

n

i

o

w

e

r

w

n

a

n

i

a

r

n

i

c

z

k

o

w

e

l

i

n

e

a

r

y

z

a

c

j

a

b

d

y

l

i

n

e

a

r

y

z

a

c

j

i

c

z

s

t

k

o

w

e

l

i

n

i

o

w

e

r

w

n

a

n

i

a

r

n

i

c

z

k

o

w

e

r

e

d

u

k

c

j

a

u

p

r

o

s

z

c

z

e

n

i

a

b

d

y

u

p

r

o

s

z

c

z

e

z

w

y

c

z

a

j

n

e

r

w

n

a

n

i

a

r

n

i

c

z

k

o

w

e

Rys. 2. Schemat blokowy procesu identyfikacji.

2. PROCES IDENTYFIKACJI ROZUMIANY JAKO POMIAR

Celem identyfikacji parametrycznej jest wyznaczenie modelu matematycznego opisujcego identyfikowany obiekt, tj. okrelenie klasy modelu oraz wyznaczenie wartoci liczbowych jego wspczynnikw. Podstaw wyznaczenia wspczynnikw modelu s wyniki pomiaru mierzonych bezporednio zmiennych identyfikowanego obiektu tj. jego sygnaw wejciowych i wyjciowych. Tak rozumiane pojcie procesu identyfikacji jest identyczne ze znanym w metrologii pojciem pomiaru poredniego. W obydwu wymienionych procesach, ktre s procesami poznawczymi podstawow rol odgrywa dokadno. Zarwno proces identyfikacji jak rwnie proces pomiarowy polegaj na wydobywaniu informacji o badanym obiekcie, zawartej w mierzonych bezporednio sygnaach wejciowych i wyjciowych. O dokadnoci wyznaczonego modelu decyduj waciwoci wszystkich elementw skadajcych si na proces identyfikacji. A wic s to: waciwoci sygnaw pobudzajcych obiekt, waciwoci obiektu, stosowanych metod i narzdzi pomiarowych, algorytmw przetwarzania danych, a rwnie informacji apriori posiadana o identyfikowanym obiekcie (rysunek 2).

Proces identyfikacji i pomiar mog by opisane za pomoc wyrae posiadajcych jednakow form (1).

Proces identyfikacjiPomiar poredni

p

=Y(

u

,

y

)

m

m

m

Y

=F(

X

)

m

m

(1)

gdzie:

p

m

- wektor poszukiwanych wspczynnikw modelu,

- algorytm identyfikacji opisujcy zwizek pomidzy wynikami pomiaru zmiennych obiektu, a poszukiwanymi wspczynnikami modelu,

u

,

y

m

m

- wektory zawierajce wyniki pomiaru zmiennych obiektu,

Y

m

- wektor wynikw pomiaru poredniego,

F - algorytm przetwarzania wynikw pomiarw bezporednich, opisujcy ich zwizek z wynikiem pomiaru poredniego,

X

m

- wektor wynikw pomiarw bezporednich.

Proces identyfikacji jest procesem poznawczym ukierunkowanym na ilociowe i jakociowe poznanie rzeczywistoci. Podstaw tego procesu jest dziaalno eksperymentalna, ktrej nieodcznym elementem jest ograniczona dokadno. Na dokadno procesu identyfikacji wpywa wiele czynnikw jak np.:

- dokadno pomiaru mierzonych bezporednio zmiennych obiektu,

-oddziaywanie zewntrznych czynnikw zakcajcych (temperatura, obce pola magnetyczne, wibracja),

- dobr sygnau pobudzajcego obiekt, ze wzgldu na jego zdolno do identyfikacji,

- waciwoci algorytmu identyfikacji,

- klasa przyjtego modelu.

Prawidowo przeprowadzona ocena dokadnoci wynikw pomiaru (wyznaczonego modelu) powinna uwzgldnia wszystkie te czynniki, a jednoczenie powinna by zgodna z zaleceniami publikowanymi w tym zakresie przez midzynarodowe organizacje metrologiczne [13, 14, 15].

Publikowane zalecenia opieraj si na nastpujcych przesankach:

i) wszystkie wykryte bdy systematyczne wielkoci mierzonych bezporednio naley wyeliminowa przez wprowadzenie poprawek,

ii) po usuniciu bdw systematycznych pozostaje niepewno ich oceny,

iii) naley stosowa jednolite zasady analizy niepewnoci bez wprowadzania podziau na bdy systematyczne i przypadkowe,

iv) niepewnoci pochodzce od pomiarw, poprawek i wielkoci wpywowych (np. temperatury, obcych p magnetycznych itd.) naley traktowa w jednakowy sposb,

v) naley uwzgldni korelacje wystpujce pomidzy wynikami pomiarw bezporednich.

Miar niepewnoci wyniku pomiarowego jest jego wariancja. Wariancj wyniku pomiaru poredniego

s

Y

2

m

opisuje zaleno (2).

s

=

F

X

F

X

s

Y

j

m

j,k=

N

k

m

jk

m

2

1

(2)

gdzie:

X

j

m

- j-ta skadowa wektora

X

m

s

jk

- kowariancja zmiennych losowych

X

X

j

m

k

m

i

,

s

s

jj

j

=

2

- wariancja zmiennej losowej

X

j

m

W celu ilustracji zastosowania powyszych zalece w praktyce rozwamy przykad.

Przykad 1.

Celem pomiaru jest estymacja wartoci redniej w oparciu o N wynikw pomiaru :

Y

=F(

X

)=

N

X

m

m

j

m

j=

N

1

1

Zamy, e wyniki pomiarw bezporednich

X

j

m

, j=1,2,...N s obcione bdem systematycznym o wartoci (

-

a

) oraz charakteryzuj si losow zmiennoci o odchyleniu standardowym sx. Zgodnie z powyszymi zaleceniami bdy systematyczne zostaj wyeliminowane przez wprowadzenie tzw. poprawki. A wic zamiast zmierzonych wartoci

X

j

m

mamy wartoci poprawione

Y

j

m

okrelone zalenoci:

Y

=X

+a

j

m

j

m

Poszukiwana warto rednia jest teraz okrelona zalenoci:

Y

=F(Y

, Y

,...Y

)=

N

Y

m

m

m

N

m

j

m

j=

N

1

2

1

1

Pochodne czstkowe wystpujce w zalenoci (2) s postaci

F

Y

=

N

j

m

1

dla j=1,2,...N. Wariancja poszczeglnych zmiennych

Y

j

m

jest natomiast rwna

var

(Y

)=s

+s

j

m

x

a

2

2

(

s

a

2

- niepewno oceny bdu systematycznego (

-

a

)).

Dodatkowym efektem wystpowania niepewnoci

s

a

2

jest skorelowanie zmiennych

Y

Y

j

m

k

m

i

. Przy zaoeniu braku korelacji pomidzy zmiennymi

X

i X

j

m

k

m

kowariancja zmiennych

Y

i Y

j

m

k

m

opisana jest zalenoci:

[

]

(

)

[

]

cov

(Y

, Y

)=E

a-E

a

=s

j

m

k

m

a

2

2

gdzie:

[

]

E

- warto oczekiwana.

Ostatecznie bd oceny wartoci redniej

Y

m

przyjmuje posta:

s

=

N

s

+s

Y

m

x

a

2

2

2

1

Z przedstawionego przykadu wynikaj nastpujce wnioski:

- bd

s

Y

m

2

zawiera dwa skadniki. Pierwszy jest spowodowany losow zmiennoci wynikw pomiaru wielkoci mierzonych bezporednio. Skadnik ten jest odwrotnie proporcjonalny do liczby pomiarw. Drugi skadnik jest stay i wywoany bdem systematycznym,

- sumowane s kwadraty obydwu skadnikw niepewnoci,

- nie ma potrzeby oddzielnego analizowania obu skadnikw niepewnoci jeeli tylko prawidowo uwzgldni si wariancje i kowariancje wystpujce pomidzy wynikami pomiarw bezporednich.

Podzia bdw pomiaru na systematyczne i przypadkowe wynika z rnych przyczyn wywoujcych te bdy i w konsekwencji z rnych statystycznych waciwoci. W teorii estymacji oraz w zagadnieniach zwizanych z identyfikacj obiektu wystpuje pojcie tzw. bdu obcienia. Jest on zdefiniowany zalenoci (3).

[

]

j

-

F

=

E

b

(3)

gdzie:

[

]

E

- warto oczekiwana,

$

F

- estymator parametru

j

,

j

- estymowany parametr.

Zgodnie z zalenoci (3) definiujc bd obcienia jest on wielkoci zdeterminowan, a wic o takim samym charakterze jak bd systematyczny. Na tym jednak kocz si podobiestwa pomidzy obydwoma bdami.

Definicja (3) ma znaczenie czysto teoretyczne, gdy przy braku znajomoci rozkadu prawdopodobiestwa estymatora

F

nie jest znana rwnie jego warto oczekiwana. W praktyce oznacza to, e wyznaczenie bdu obcienia wymaga estymacji wartoci oczekiwanej

[

]

F

E

co prowadzi do estymatora bdu obcienia (4).

(

)

j

-

F

m

=

b

(4)

gdzie:

b

- estymator bdu obcienia,

(

)

F

m

- estymator wartoci oczekiwanej estymatora

F

,

(

)

=

j

=

F

m

N

i

i

N

1

1

,

i

j

- i-ta realizacja estymatora

F

,

N

- liczno prby sucej do oceny wartoci oczekiwanej

(

)

F

m

.

W odrnieniu od zalenoci definicyjnej (3) bd (4) jest wielkoci losow, posiadajc swj rozkad prawdopodobiestwa i okrelone parametry tego rozkadu.

Druga istotna rnica pomidzy bdami systematycznym i obcienia ley w przyczynach wywoujcych obydwa bdy. Mianowicie bd obcienia moe by rwnie wywoany czynnikami losowymi. Klasycznym przykadem ilustrujcym taki przypadek jest estymator najmniejszych kwadratw, ktry pod pewnymi zaoeniami jest estymatorem nieobcionym. Jedno z tych zaoe mwi, e tzw. macierz wej zawierajca wyniki pomiaru wymusze pobudzajcych identyfikowany obiekt, jest zdeterminowana. Pojawienie si skadnika przypadkowego w wynikach tych pomiarw wywouje bd obcienia estymatora.

Niektrzy autorzy rozumiej pod pojciem bdu systematycznego rwnie warto oczekiwan bdu przypadkowego. Przy takim rozszerzeniu tego okrelenia bd obcienia moe by utosamiany z bdem systematycznym pomiaru.

Podsumowujc powysze rozwaania naley wic stwierdzi, e analiza bdw systemw pomiarowych stosowanych w procesie identyfikacji powinna uwzgldnia zarwno bdy obcienia jak rwnie losow zmienno wynikw identyfikacji, powodujc niepewno tych wynikw.

Podobiestwo pomidzy obydwoma procesami tj. pomiarem, a zwaszcza pomiarem porednim i identyfikacj uzasadnia prb ujednolicenia podejcia do oceny i analizy bdw wystpujcych w obu procesach, z dodatkowym uwzgldnieniem wspomnianych ju zalece formuowanych przez midzynarodowe organizacje metrologiczne.

Metoda, ktra zostaa przedstawiona w niniejszym opracowaniu pozwala na jednorodn analiz wpywu obydwu rodzajw bdw na wynik identyfikacji. Przyjte kryteria jakoci wyznaczanego modelu uwzgldniaj obydwa skadniki bdu identyfikacji.

3. BDY IDENTYFIKACJI MODELI PARAMETRYCZNYCH

Modele parametryczne czsto speniaj rol modeli poznawczych. Ma to miejsce wtedy, gdy celem identyfikacji jest ilociowe poznanie zjawisk zachodzcych w identyfikowanym obiekcie. Cel ten moe by osignity tylko wwczas, gdy wspczynniki modelu bd posiaday swoj interpretacj fizyczn, a ich wartoci wyznaczone zgodnie ze stosowanym algorytmem identyfikacji bd traktowane jako oceny nieznanych parametrw zjawisk zachodzcych w identyfikowanym obiekcie. Model posiadajcy takie cechy nazywany jest modelem poznawczym.

W takim przypadku proces identyfikacji moe by rozumiany jako proces estymacji nieznanych parametrw obiektu. Algorytm identyfikacji jest natomiast estymatorem tych parametrw.

Ocena dokadnoci tak rozumianego modelu poznawczego nie moe ogranicza si do wyznaczenia odlegoci pomidzy odpowiedziami modelu i obiektu pobudzonymi tym samym sygnaem wejciowym. Znacznie bardziej istotne z punktu widzenia przeznaczenia modelu jest okrelenie bdw wyznaczenia wartoci jego wspczynnikw, rozumianych wanie jako oceny nieznanych parametrw obiektu.

Losowy charakter procesu identyfikacji, spowodowany losow zmiennoci wynikw pomiaru zmiennych identyfikowanego obiektu, powoduje konieczno posugiwania si w ocenie bdw identyfikacji miarami statystycznymi. Powszechnie stosowane s trzy miary bdw estymacji, a rwnie bdw identyfikacji parametrycznej prowadzonej w warunkach losowych. S to:

nwspomniany wczeniej bd obcienia (3) rozumiany jako rnica pomidzy wartoci oczekiwan (redni) estymatora a rzeczywist wartoci estymowanego parametru.

Estymatory, dla ktrych bd obcienia jest rny od zera nazywane s estymatorami obcionymi. Bdu tego nie mona wyeliminowa ani metod uredniania wynikw uzyskanych w kolejnych powtrzeniach procesu identyfikacji ani poprzez wyduenie cigw danych pomiarowych, na ktrych dziaa estymator algorytm identyfikacji.

rdem bdw obcienia wynikw identyfikacji moe by sam algorytm identyfikacji ale rwnie zakcenia zawarte w danych pomiarowych oraz bdna struktura przyjtego modelu.

Przykadow zaleno ocen wspczynnika modelu od liczby wynikw pomiarowych N, w przypadku estymatora obcionego przedstawia rysunek 3.

0

4

0

0

8

0

0

1

2

0

0

1

6

0

0

l

i

c

z

b

a

w

y

n

i

k

w

p

o

m

i

a

r

u

0

.

0

0

2

0

.

0

0

4

0

.

0

0

6

0

.

0

0

8

0

.

0

0

1

0

0

.

0

0

r

e

a

z

y

s

t

a

n

c

j

a

[

o

h

m

]

Rys. 3. Zaleno ocen wspczynnika modelu od liczby wynikw pomiarowych

N

dla estymatora obcionego.

nwariancja estymatora bdca miar losowego rozrzutu ocen wyznaczanych w kolejnych powtrzeniach procesu identyfikacji.

[

]

(

)

[

]

2

2

F

-

F

=

s

E

E

(5)

Algorytmy identyfikacji o maej wariancji nazywane s efektywnymi. Oceny generowane przez takie algorytmy w kolejnych powtrzeniach procesu identyfikacji posiadaj may rozrzut losowy. Gdyby wyobrazi sobie czysto teoretyczny przypadek procesu identyfikacji, z ktrego cakowicie wyeliminowano skadnik losowy to wwczas oceny wyznaczane w kolejnych powtrzeniach procesu identyfikacji byyby jednakowe, a wariancja (5) przyjaby warto zero.

nbd redniokwadratowy bdcy czn miar bdu identyfikacji, uwzgldniajcy obydwa bdy (3) i (5):

(

)

[

]

2

2

2

2

s

+

=

j

-

F

=

d

b

E

(6)

W praktyce w procesie identyfikacji s wyznaczane modele wielowymiarowe co oznacza, e przedmiotem estymacji moe by wiele parametrw obiektu. Bdy (3), (5) i (6) przyjmuj wtedy posta wektorw.

Problem oceny bdw identyfikacji oraz kryteriw stosowanych do tej oceny mona dyskutowa w odniesieniu do dwch zagadnie. S nimi:

i) ocena bdw rzeczywistego eksperymentu identyfikacyjnego,

ii)ocena bdw projektowanego procesu identyfikacji lub procesu zrealizowanego w rzeczywistoci, prowadzona na podstawie jego bada symulacyjnych.

Obydwa zagadnienia rni si stopniem znajomoci obiektu bdcego przedmiotem identyfikacji co determinuje wybr kryteriw stosowanych do oceny tych bdw.

W zagadnieniu (i) nie s znane rzeczywiste parametry identyfikowanego obiektu, dla ktrych wartoci wspczynnikw modelu wyznaczone w procesie identyfikacji s statystycznymi ocenami.

Std ocena bdw identyfikacji obejmuje tylko jedn skadow bdu (6) tj. wariancj estymatora. Uwzgldniajc wielowymiarowo wyznaczanego modelu kryterium bdu ma posta macierzy

C

, nazywanej macierz kowariancji:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

=

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

=

K

K

K

K

K

K

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

C

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

L

M

(7)

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

F

F

-

F

=

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

1

1

1

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

L

M

M

M

M

L

L

gdzie:

i

F

- estymator i-tego parametru obiektu dla

K

i

,...

2

,

1

=

,

K

- cakowita liczba estymowanych parametrw obiektu rwna liczbie wspczynnikw modelu.

Macierz (7) jest macierz kwadratow i symetryczn o wymiarze rwnym liczbie wspczynnikw modelu. Elementy diagonalne macierzy (7)

[

]

[

]

2

2

i

i

i

i

ii

E

E

E

c

s

=

F

F

-

F

=

(8)

s rwne unormowanej wariancji estymatorw

i

F

.

Elementy pozadiagonalne

[

]

[

]

[

]

[

]

(

)

k

i

k

k

k

i

i

i

ik

E

E

E

E

E

c

F

F

=

F

F

-

F

F

F

-

F

=

,

cov

(9)

s rwne unormowanym wspczynnikom kowariancji odpowiednich par estymatorw.

Jako skalarne miary bdw identyfikacji wykorzystywane s funkcjonay okrelone na macierzy kowariancji

C

. S to:

(

)

C

max

1

l

=

c

- maksymalna warto wasna(10a)

(

)

C

det

2

=

c

- wyznacznik(10b)

(

)

C

tr

3

=

c

- lad macierzy(10c)

Bdom tym mona nada interpretacj geometryczn, wykorzystujc w tym celu elipsoid zdefiniowan w wielowymiarowej przestrzeni wspczynnikw modelu jako:

a

=

j

d

j

d

-

C

T

C

C

1

(11)

gdzie:

C

j

d

- wektor bdw estymacji parametrw obiektu w odniesieniu do wartoci oczekiwanej estymatora,

[

]

[

]

[

]

[

]

F

F

-

j

F

F

-

j

=

j

d

K

K

K

i

i

i

C

E

E

E

E

M

(

)

[

]

(

)

1

1

-

=

-

F

j

=

dj

i

C

i

i

i

C

x

E

- i ta skadowa wektora

C

j

d

,

(

)

i

C

x

- wzgldne wartoci wsprzdnych w przestrzeni wspczynnikw modelu dla

K

i

,...

2

,

1

=

,

a

- stay parametr.

rodek elipsoidy (11) jest umiejscowiony w punkcie

(

)

1

...

,

1

,

1

w ukadzie wsprzdnych

(

)

(

)

(

)

(

)

K

c

c

c

x

x

x

...

,

,

2

1

. W ukadzie wsprzdnych bezwzgldnych rodek elipsy (11) jest zlokalizowany w punkcie okrelonym przez wartoci oczekiwane estymatorw poszczeglnych parametrw obiektu.

Dla normalnego rozkadu poszczeglnych estymatorw

i

F

(dla

K

i

,...

2

,

1

=

) elipsoida (11) okrela obszar w wielowymiarowej przestrzeni wspczynnikw modelu, w ktrym jest skupiony okrelony, zaleny od parametru

a

, zbir ocen parametrw obiektu uzyskiwanych w kolejnych powtrzeniach procesu identyfikacji. Dla

1

=

a

jest to 68% wszystkich ocen. Std (11) jest nazywana elipsoid rozrzutu ocen i tym samym moe by traktowana jako geometryczny obraz niepewnoci wynikw identyfikacji.

Wyznacznik macierzy kowariancji (kryterium (10b)) okrela objto elipsoidy (11). Wyeliminowanie czynnika losowego z procesu identyfikacji powoduje redukcj elipsoidy (11) do punktu, a kryterium (10b) przyjmuje wtedy warto zero.

Maksymalna warto wasna macierzy kowariancji (kryterium(10a)) okrela dugo najduszej osi elipsoidy (11). W przypadku braku czynnika losowego rwnie to kryterium przyjmuje warto zero.

Naley podkreli, e ani w macierzy kowariancji ani w kryteriach (10) nie ma adnej informacji dotyczcej ewentualnych bdw obcienia estymatorw

i

F

.

Odmiennie przedstawia si problem okrelenia jakoci systemu identyfikacji w przypadku bada symulacyjnych systemu projektowanego lub rzeczywicie istniejcego. W takim przypadku dysponujemy modelem odniesienia reprezentujcym w przeprowadzanych eksperymentach symulacyjnych obiekt identyfikacji i generujcym symulowane sygnay pomiarowe. Ustalone dla potrzeb symulacji wartoci wspczynnikw modelu odniesienia s traktowane przy analizie bdw symulowanego systemu identyfikacji jako rzeczywiste wartoci estymowanych parametrw obiektu identyfikacji. Pozwala to na uwzgldnienie w tej analizie rwnie bdw obcienia rozumianych zgodnie z definicj (3).

Macierz bdw modelu uwzgldniajca obydwie skadowe bdw estymacji parametrw obiektu (w tym przypadku wspczynnikw modelu odniesienia) nazywana jest macierz mierzalnoci [16] i przyjmuje posta (12).

=

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

=

K

K

K

K

K

K

E

M

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

K

M

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

j

j

-

F

=

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

1

1

1

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

E

E

E

E

E

E

E

E

E

L

M

M

M

M

L

L

(12)

gdzie:

K

i

,...

2

,

1

,

1

=

j

- i-ty parametr identyfikowanego obiektu lub i-ty wspczynnik modelu odniesienia.

Macierz (12) jest rwnie macierz kwadratow i symetryczn o takim samym wymiarze jak macierz kowariancji

C

. Inna jest natomiast interpretacja poszczeglnych elementw tej macierzy.

Elementy diagonalne macierzy mierzalnoci

M

2

2

i

i

i

i

ii

E

m

d

=

j

j

-

F

=

(13)

s rwne wzgldnym bdom redniokwadratowym poszczeglnych estymatorw

i

F

, ktre zgodnie z zalenoci (6) uwzgldniaj obydwie skadowe bdu identyfikacji.

Elementom pozadiagonalnym

j

j

-

F

j

j

-

F

=

k

k

k

i

i

i

ik

E

m

(14)

nie mona w oglnym przypadku nada interpretacji opartej na bdach (3), (5) i (6). W przypadku braku korelacji pomidzy estymatorami

i

F

i

k

F

elementy te s rwne iloczynom wzgldnych bdw obcienia tych estymatorw.

Jako skalarne miary bdw identyfikacji zbudowane na macierzy mierzalnoci

M

wykorzystuje si te samo funkcjonay jak w przypadku macierzy kowariancji:

(

)

M

max

1

l

=

h

(15a)

b

(15b)

(

)

M

tr

3

=

h

(15c)

Proponowanymi kryteriami mierzalnoci s lad, wyznacznik oraz maksymalna warto wasna macierzy M.

Przedstawmy waciwoci ladu macierzy M jako kryterium niepewnoci wyznaczonego modelu. Wydaje si bowiem, e to wanie kryterium spenia przytoczone wyej zalecenia dotyczce wyraania niepewnoci wynikw pomiarw porednich.

Biorc pod uwag zaleno (13), lad macierzy mierzalnoci moe by przedstawiony w postaci (16).

tr(M)

=

m

=

(

+

b

)

ii

i

2

i

2

i

=

1

K

i

=

1

K

s

(16)

Jest on rwny sumie wzgldnych bdw redniokwadratowych wszystkich poszukiwanych wspczynnikw wyznaczanego modelu. A zatem kryterium to:

- uwzgldnia obie skadowe bdu estymacji tj. wariancj i bd obcienia,

- pozwala odej od podziau bdu na dwie skadowe i traktowa je cznie w jednolity sposb,

- obydwie skadowe bdu sumuj si kwadratowo,

- wprowadzona macierz mierzalnoci pozwala na uwzgldnienie kowariancji wystpujcych pomidzy poszczeglnymi estymatorami.

0

.

0

0

1

.

0

0

2

.

0

0

3

.

0

0

4

.

0

0

0

.

0

0

1

.

0

0

2

.

0

0

3

.

0

0

4

.

0

0

1

1

Rys. 4. Obszar nieokrelonoci wspczynnikw wyznaczanego modelu.

Geometryczn ilustracj macierzy mierzalnoci

M

jest rwnie elipsoida opisana zalenoci (17).

a

=

j

d

j

d

M

T

M

M

(17)

gdzie:

M

j

d

- wektor bdw estymacji parametrw obiektu w odniesieniu do rzeczywistych wartoci tych parametrw,

j

j

-

j

j

j

-

j

j

j

-

j

=

j

d

K

K

K

M

2

2

2

1

1

1

M

,

1

1

-

=

-

j

j

=

dj

i

M

i

i

i

M

x

- i-ta skadowa wektora

M

j

d

,

i

M

x

dla

K

i

,...

2

,

1

=

- wzgldne wartoci wsprzdnych w przestrzeni wspczynnikw modelu.

Elipsoid (17) przedstawiono na rysunku 4. Wsprzdne rodka elipsoidy (17) w ukadzie wsprzdnych

(

)

(

)

(

)

(

)

K

M

M

M

x

x

x

...

,

,

2

1

s rwne

(

)

1

...

,

1

,

1

.

Pomidzy elipsoidami (11) i (17) wystpuj istotne rnice. Do najwaniejszych naley zaliczy nastpujce:

-elipsoida (17) nie posiada tej interpretacji statystycznej zwizanej z rozrzutem ocen generowanych w kolejnych powtrzeniach procesu identyfikacji, jak posiadaa elipsoida (11),

-rodki obu elipsoid posiadaj rne pooenie w wielowymiarowej przestrzeni wspczynnikw modelu i parametrw obiektu,

-parametry elipsoidy

M

oraz wartoci funkcjonaw na niej okrelonych zale nie tylko od losowej skadowej bdu identyfikacji ale rwnie od bdw obcienia uywanych estymatorw, i tak:

-- lad macierzy mierzalnoci jest sum wzgldnych bdw redniokwadratowych poszczeglnych estymatorw

i

F

,

-- wyznacznik macierzy mierzalnoci okrela objto elipsoidy (17). Rwnie w tym przypadku wyeliminowanie z procesu identyfikacji czynnika losowego powoduje, e kryterium (15b) przyjmuje warto zero. Elipsoida (17) redukuje si jednak nie do punktu jak ma to miejsce w przypadku (11) lecz do odcinka, ktrego dugo i pooenie w wielowymiarowej przestrzeni wspczynnikw modelu zaley od bdw obcienia estymatorw

i

F

,

-- maksymalna warto wasna macierzy

M

okrela dugo najduszej osi elipsoidy (17). Kryterium to podobnie jak kryterium (15a) przyjmuje warto zero tylko w przypadku cakowitego wyeliminowania bdw identyfikacji, zarwno losowych jak i obcienia.

Rzuty obszaru (17) na poszczeglne osie ukadu wsprzdnych s okrelone zalenoci (18).

l

=

2

+

b

i

i

2

i

2

s

(18)

gdzie:

li - rzut obszaru (17) na o ukadu wsprzdnych, odpowiadajc i-temu wspczynnikowi wyznaczanego modelu.

Dugo odcinka (18) jest rwna podwojonej wartoci wzgldnych bdw skutecznych estymacji odpowiednich wspczynnikw modelu. Zgodnie z cytowanymi ju zaleceniami taka charakterystyka okrela czn niepewno procesu identyfikacji.

Tak wic obserwacja elipsoidy pozwala na uzyskanie penej informacji dotyczcej cznych bdw estymacji poszczeglnych parametrw obiektu oraz udziau w tych bdach skadnika losowego.

Porwnanie dwu elipsoid (17) odpowiadajcych rnym systemom identyfikacji pozwala na sformuowanie wnioskw odnonie wzajemnych relacji pomidzy cznymi bdami tych systemw.

Na rysunku 5 przedstawiono dla przypadku modelu dwuwymiarowego (dwa wspczynniki) elipsy (17) odpowiadajce systemom identyfikacji rnicym si jednym parametrem wymuszenia stosowanego w procesie identyfikacji. Zmiana ta odbia si w sposb zdecydowany na bdach estymacji obu poszukiwanych parametrw.

Na rysunkach 6 i 7 dla tych samych przypadkw przedstawiono elipsy mierzalnoci i elipsy kowariancji. Wyranie wida na nich, e wyniki analizy bdw systemu identyfikacji prowadzone w oparciu o macierz kowariancji wskazywayby jako lepszy ten system, w ktrym

ms

T

W

10

=

. Wnioski sformuowane na podstawie macierzy mierzalnoci, dziki uwzgldnieniu w tej analizie rwnie bdw obcienia, s przeciwne.

Analizujc rysunki 6 i 7 naley pamita, e okrelenie pooenia elips kowariancji w przyjtym ukadzie wsprzdnych byo moliwe tylko dziki znajomoci bdw obcienia. Zwykle w przypadkach, w ktrych do oceny bdw systemu identyfikacji wykorzystywana jest macierz kowariancji informacja ta nie jest dostpna.

0

.

9

8

0

0

.

9

9

0

1

.

0

0

0

1

.

0

1

0

0

.

9

9

1

.

0

0

1

.

0

1

1

2

Rys. 5. Elipsy mierzalnoci modelu dwuwymiarowego w zalenoci od staej czasowej

W

T

narastania wymuszenia, 1 -

ms

T

W

10

=

, 2 -

ms

T

W

60

=

.

0

.

9

8

0

0

.

9

9

0

1

.

0

0

0

1

.

0

1

0

0

.

9

9

1

.

0

0

1

.

0

1

e

l

i

p

s

a

m

i

e

r

z

a

l

n

o

c

i

e

l

i

p

s

a

k

o

w

a

r

i

a

n

c

j

i

r

e

a

l

i

z

a

c

j

e

Rys. 6. Elipsy mierzalnoci i kowariancji modelu dwuwymiarowego oraz estymaty jego wspczynnikw dla staej czasowej narastania wymuszenia

ms

T

W

10

=

.

0

.

9

8

0

0

.

9

9

0

1

.

0

0

0

1

.

0

1

0

0

.

9

9

1

.

0

0

1

.

0

1

e

l

i

p

s

a

m

i

e

r

z

a

l

n

o

c

i

e

l

i

p

s

a

k

o

w

a

r

i

a

n

c

j

i

r

e

a

l

i

z

a

c

j

e

Rys. 7. Elipsy mierzalnoci i kowariancji modelu dwuwymiarowego oraz estymaty jego wspczynnikw dla staej czasowej narastania wymuszenia

ms

T

W

60

=

.

4. BADANIA SYMULACYJNE SYSTEMW POMIAROWYCH

W poprzednich rozdziaach stwierdzilimy, e zarwno identyfikacja, jak kady pomiar wykonywany w innym celu ni identyfikacja, s procesami poznawczymi, ukierunkowanymi na jakociowe i ilociowe poznanie fragmentu rzeczywistoci bdcego przedmiotem bada. Jedn z podstawowych cech tych procesw, ktra ma decydujce znaczenie z punktu widzenia zastosowa uzyskanych wynikw jest ich dokadno. O dokadnoci procesu pomiarowego i uzyskiwanych wynikw pomiarowych decyduj zasadniczo dwa czynniki. S to mianowicie:

nwiedza posiadana a'priori o obiekcie pomiarw,

nwaciwoci uytych metod, narzdzi pomiarowych, algorytmw przetwarzania danych pomiarowych oraz obiektu pomiarw.

Wstpna wiedza o obiekcie pomiarw, a wic wszelkie informacje jakie posiada eksperymentator na jego temat jeszcze przed przystpieniem do zasadniczego eksperymentu pomiarowego, umoliwia dobr takich metod i narzdzi pomiarowych, ktre pozwol osign zamierzony cel pomiaru zarwno co do jego przedmiotu, jak rwnie dokadnoci. Zupeny brak tych informacji lub posiadanie zbyt ubogiej informacji ogranicza na og dokadno wynikw pomiarowych, a niekiedy wrcz uniemoliwia osignicie celu pomiarw.

Wstpna informacja o obiekcie pomiarw jest podstaw tworzenia w wiadomoci eksperymentatora pewnego wyobraenia o przedmiocie pomiarw, ktre to wyobraenie rzutuje pniej na podejmowane decyzje natury technicznej. Skpe lub bdne wyobraenie o przedmiocie pomiarw skutkuje na og bdnymi decyzjami technicznymi i w konsekwencji wpywa na przebieg caego procesu pomiarowego oraz jego wyniki.

o

b

i

e

k

t

p

o

m

i

a

r

w

j

a

k

o

c

i

o

w

a

a

n

a

l

i

z

a

z

j

a

w

i

s

k

m

o

d

e

l

e

z

j

a

w

i

s

k

b

a

d

a

n

i

a

l

i

t

e

r

a

t

u

r

o

w

e

-

u

p

r

o

s

z

c

z

e

n

i

a

m

o

d

e

l

o

d

n

i

e

s

i

e

n

i

a

s

t

r

u

k

t

u

r

a

m

o

d

e

l

u

w

a

r

t

o

c

i

w

s

p

c

z

y

n

-

n

i

k

w

w

s

t

p

n

e

e

k

s

p

e

r

y

m

e

n

t

y

p

o

m

i

a

r

o

w

e

E

K

S

P

E

R

Y

M

E

N

T

P

O

M

I

A

R

O

W

Y

w

y

m

u

s

z

e

n

i

a

s

p

r

z

t

p

o

m

i

a

r

o

w

y

o

p

r

o

g

r

a

m

o

w

a

n

i

e

s

t

e

r

u

j

c

e

o

p

r

o

g

r

a

m

o

w

a

n

i

e

p

r

z

e

t

w

a

r

z

a

n

i

a

d

a

n

y

c

h

p

o

m

i

a

r

o

w

y

c

h

p

r

o

j

e

k

t

o

w

a

n

i

e

s

y

s

t

e

m

u

p

o

m

i

a

r

o

w

e

g

o

w

y

n

i

k

i

p

o

m

i

a

r

w

Rys. 8. Struktura eksperymentu pomiarowego.

Sformuowane przez eksperymentatora wyobraenie o obiekcie pomiarw moe mie mniej lub bardziej formalny charakter. W przypadku sformalizowania posiadanej informacji o obiekcie wyobraenie to przyjmuje posta modelu. Model ten jest nazwany modelem odniesienia i pojcie to bdzie odgrywa istotn rol w proponowanej metodzie bada symulacyjnych systemw pomiarowych stosowanych w procesie identyfikacji.

Wstpna informacja o obiekcie pomiarw, ujta w formaln posta modelu odniesienia, wspdziaa z informacj dotyczc obiektu pomiarw, zdobyt w trakcie przeprowadzonych eksperymentw pomiarowych. Obydwa rodzaje informacji maj swj wpyw na ostateczny wynik pomiarw. To wspdziaanie ilustruje rysunek 8. Proces identyfikacji jest procesem iteracyjnym i przebiega etapowo. Pocztkowo przyjty model odniesienia moe zawiera wiele uproszcze. W kolejnych etapach wiedza eksperymentatora na temat badanego obiektu pogbia si. Po jej zweryfikowaniu umoliwia ona rozbudow modelu odniesienia. W efekcie moe to powodowa potrzeb korekcji rwnie systemu pomiarowego.

W celu poznania i analizy wybranego fragmentu otaczajcej nas rzeczywistoci (systemu lub procesu) czsto przyjmujemy szereg zaoe nt. jego dziaania. Te zaoenia, ktre zwykle maj posta matematycznych lub logicznych zalenoci, tworz model, ktry jest wykorzystywany w celu zrozumienia, jak zachowuje si opisany przez niego system.

Jeeli zalenoci tworzce model s wystarczajco proste, moliwe jest wykorzystanie metod matematycznych do otrzymania odpowiedzi na interesujce nas pytania. Takie podejcie nazywane jest rozwizaniem analitycznym. Jednak wikszo rzeczywistych obiektw jest zbyt zoona, aby moliwe byo uzyskanie analitycznych rozwiza ich modeli i takie modele musz by analizowane za pomoc ich symulacji. W trakcie symulacji wykorzystujemy komputer w celu numerycznego rozwizania rwna opisujcych model, a uzyskane dane s wykorzystywane do estymacji charakterystyk tego modelu. Wnioski dotyczce zachowa i waciwoci obiektu s formuowane na podstawie wyznaczonych w trakcie symulacji estymat charakterystyk modelu. Uyteczno tych wnioskw jest wic uwarunkowana maymi bdami modelowania i maymi bdami numerycznego rozwizania modelu, estymacji jego charakterystyk oraz, co naley szczeglnie podkreli, wiarygodnoci samego modelu. Podstaw uwiarygodnienia modelu jest jego weryfikacja.

Obszary zastosowa bada symulacyjnych s liczne i bardzo rnorodne. Poniej przedstawimy za [4] list kilku szczeglnych problemw, w ktrych symulacja okazaa si uytecznym i efektywnym narzdziem:

nprojektowanie i analiza systemw wytwrczych,

nocena sprztowych i programowych wymaga dla systemu komputerowego,

nokrelenie zasad zaopatrzenia dla systemu inwentarzowego,

nprojektowanie systemw komunikacji i protokow przesyu danych dla tych systemw,

nprojektowanie i sterowanie elementami systemw transportowych, takich jak autostrady, porty lotnicze, metro, porty,

nbadania i ocena jakoci usug, np. w szpitalach, na poczcie, w restauracjach szybkiej obsugi,

nanaliza systemw finansowych lub ekonomicznych.

Celem bada symulacyjnych systemw pomiarowych jest ocena waciwoci systemu istniejcego lub projektowanego do realizacji. Szczeglnie istotne s ich waciwoci metrologiczne, a wic jak ju wspomniano:

ncharakterystyki statyczne (zakres pomiarowy, bdy nieliniowoci, czuo, rozdzielczo),

ncharakterystyki dynamiczne (bdy dynamiczne, pasmo przenoszenia, nierwnomierno charakterystyk, szybko przetwarzania),

nwraliwo obu rodzajw charakterystyk na zmiany parametrw technicznych poszczeglnych elementw systemu,

nwraliwo obu rodzajw charakterystyk na zewntrzne czynniki zakcajce.

Std te bezporednim celem eksperymentw symulacyjnych prowadzonych na modelach systemw pomiarowych jest wyznaczenie wynikw symulowanego pomiaru. W efekcie ich porwnania z wynikami pochodzcymi z modelu definicyjnego opisujcego badany system, moliwe jest wyznaczenie ww. charakterystyk.

Model definicyjny jest modelem identycznociowym. W przypadku systemw pomiarowych stosowanych w procesie identyfikacji wynikiem dziaania definicyjnego modelu systemu pomiarowego jest przyjty model odniesienia identyfikowanego obiektu wraz z wartociami jego wspczynnikw.

4.1. Etapy bada symulacyjnych

W procesie bada symulacyjnych mona wyrni pewne typowe etapy, ktre zostay przedstawione na rysunku 9.

S

f

o

r

m

u

o

w

a

n

i

e

p

r

o

b

l

e

m

u

i

z

a

p

l

a

n

o

w

a

n

i

e

b

a

d

a

Z

b

i

e

r

a

n

i

e

d

a

n

y

c

h

i

d

e

f

i

n

i

o

w

a

n

i

e

m

o

d

e

l

i

P

O

P

R

A

W

N

Y

?

Z

b

u

d

o

w

a

n

i

e

p

r

o

g

r

a

m

u

k

o

m

p

u

t

e

r

o

w

e

g

o

i

j

e

g

o

w

e

r

y

f

i

k

a

c

j

a

P

r

b

n

e

w

y

k

o

n

a

n

i

e

p

r

o

g

r

a

m

u

P

O

P

R

A

W

N

Y

?

E

k

s

p

e

r

y

m

e

n

t

y

b

a

d

a

w

c

z

e

R

e

a

l

i

z

a

c

j

a

p

r

o

g

r

a

m

u

A

n

a

l

i

z

a

w

y

n

i

k

w

D

o

k

u

m

e

n

t

a

c

j

a

i

z

e

s

t

a

w

i

e

n

i

e

w

y

n

i

k

w

t

a

k

t

a

k

n

i

e

n

i

e

Rys. 9. Etapy bada symulacyjnych.

Nie w kadym przypadku badania symulacyjne bd zawiera wszystkie etapy wystpujce w kolejnoci przedstawionej na rysunku 9. Niektre badania mog natomiast zawiera etapy, ktre nie zostay wymienione w przedstawionym diagramie. Co wicej, badania symulacyjne nie s prostym, sekwencyjnym procesem. Po pierwszych eksperymentach, gdy obiekt bada zostanie lepiej poznany, czsto jest niezbdny powrt do jednego z wczeniejszych etapw. Niezbdne moe by np. przeformuowanie problemu, ktry jest rozwizywany.

Obecnie pokrtce omwimy zadania wystpujce na kolejnych etapach bada symulacyjnych [4].

1. Sformuowanie problemu i zaplanowanie bada

Badania musz zacz si od jasnego okrelenia przedmiotu bada oraz celu jakiemu maj one suy. Powinny rwnie zosta zakrelone alternatywne programy bada obiektu, bdcego przedmiotem zainteresowa (jeeli jest to moliwe), oraz naley poda kryteria suce do oceny ich efektywnoci. W planowaniu bada naley wzi pod uwag liczb zatrudnionych przy nich osb, koszty i czas potrzebny na realizacj kadego aspektu bada.

2. Zbieranie danych i definiowanie modelu

Dostpna informacja i dane pomiarowe dotyczce badanego obiektu (jeeli istnieje), powinny by zebrane i wykorzystane do okrelenia realizowanych operacji i rozkadw zmiennych losowych wystpujcych w budowanym modelu. Np. podczas budowy modelu moe by zbierana informacja na temat czasu trwania poszczeglnych operacji i przerw czasowych, ktre wystpuj pomidzy nimi. Tego typu dane dotyczce modelowanego obiektu mog zosta wykorzystane w trakcie weryfikacji zbudowanego modelu.

Konstrukcja matematycznego i logicznego modelu, opisujcego wybrany fragment rzeczywistoci, jest w takim samym stopniu sztuk, co i nauk. Jakkolwiek istnieje kilka podstawowych zasad modelowania procesw, to niewtpliwie wikszo autorw jest zgodnych co do jednego: jest dobrym zwyczajem zaczyna od modelu mniej szczegowego, ktry pniej zostanie bardziej rozbudowany, jeeli bdzie to konieczne. Model powinien zawiera tylko tyle szczegw, aby opisa te waciwoci systemu, ktre s istotne z punktu widzenia celu, dla ktrego model jest budowany. Nie jest konieczne osignicie stanu, w ktrym kademu elementowi modelowanego obiektu odpowiada okrelony element modelu. Zbyt szczegowy model moe by zbyt drogi ze wzgldu na koszty jego przetumaczenia na program i realizacj tego programu.

3. Poprawny?

Wprawdzie weryfikacja modelu powinna by przeprowadzana w trakcie caego toku bada symulacyjnych, to jednak istniej szczeglne momenty podczas bada, w ktrych przeprowadzenie weryfikacji jest specjalnie zalecane. Podczas budowy modelu niezwykle poyteczne jest wcignicie w ten proces osb, ktre s dobrze zaznajomione z dziaaniem modelowanego obiektu lub procesu. Dobrze jest rwnie, aby budujcy model komunikowa si na tym etapie z przyszym uytkownikiem modelu. Przyczyni si to do poprawy wiarygodnoci modelu oraz wzrostu zaufania ze strony uytkownika modelu.

4. Zbudowanie modelu komputerowego i jego weryfikacja

Na tym etapie naley podj decyzj o wyborze narzdzia programowania; czy bdzie to jzyk oglnego zastosowania, czy jzyk symulacyjny. Jzyk oglnego zastosowania jest ju prawdopodobnie znany uytkownikowi i dostpny na jego komputerze. Jego uycie moe rwnie zapewni skrcenie czasu wykonania programu. Z drugiej strony, jzyk symulacyjny dziki posiadaniu wielu cech przydatnych podczas opracowywania programu moe spowodowa znaczne skrcenie czasu programowania. Zagadnienie to zostao szerzej rozwinite w dalszej czci rozdziau.

Prawie wszystkie jzyki symulacyjne wykorzystuj jedno z dwch podstawowych podej do symulacyjnego modelowania zdarze dyskretnych. Te podejcia s rwnie wykorzystywane przez uytkownikw jzykw oglnego przeznaczenia.

W podejciu opartym o list zdarze obiekt jest modelowany poprzez okrelenie jego charakterystycznych zdarze, a nastpnie napisanie zbioru procedur, opisujcych te zdarzenia i zawierajcych szczegowy opis zmian stanu nastpujcych w trakcie kadego zdarzenia. Symulacja rozwija si w czasie poprzez realizacj poszczeglnych zdarze w kolejnoci narastajcego czasu ich wystpowania. Podstawow waciwoci procedur opisujcych poszczeglne zdarzenia jest to, e symulowany czas nie biegnie w trakcie ich wykonywania.

W podejciu traktujcym modelowany system jak proces, model ma posta uporzdkowanej w czasie sekwencji wzajemnie powizanych zdarze, ktre opisuj system, rozdzielonych przedziaami czasu. Symulacja wykorzystujca drugie podejcie, rwnie rozwija si w czasie poprzez realizacj zdarze w kolejnoci zgodnej z upywem czasu. Zewntrznie obydwa podejcia do symulacji s bardzo podobne, tj. wykorzystuj zegar czasu symulacji, list zdarze, procedury odmierzajce czas itd. Podstawowe rnice s zawarte w konstrukcji jzyka.

Podejcie traktujce modelowany obiekt jako proces jest bardziej oglne i pozwala na bezporedni translacj poszczeglnych sytuacji wystpujcych w obiekcie do modelu symulacyjnego. Podejcie to posiada wiele zalet w porwnaniu z podejciem opartym o list zdarze. Dla wielu obiektw symulacji jest to podejcie bardziej naturalne.

5. Prbne wykonanie programu

Tego typu eksperyment obliczeniowy jest wykonywany w celu wykorzystania jego wynikw do dalszej weryfikacji zbudowanego modelu, prowadzonej w etapie 6.

6. Weryfikacja modelu

Prbne (pilotowe) wykonanie programu moe by wykorzystane do testowania wraliwoci sygnaw wyjciowych modelu na mae zmiany wielkoci wejciowych, odpowiadajce np. prognozowanej niepewnoci pomiaru. Jeeli ta wraliwo jest zbyt dua, to naley poszukiwa lepszych estymat wielkoci wyjciowych.

Jeeli istnieje rzeczywisty system podobny do tego, ktry jest przedmiotem modelowania, to wyniki eksperymentu pilotowego mog by porwnane z wynikami pomiarw pochodzcymi z tego systemu. Jeeli zostanie uzyskana dobra zgodno, to weryfikowany model jest modyfikowany w taki sposb, aby reprezentowa on system bdcy przedmiotem zainteresowa. Mamy przy tym nadziej, e ta modyfikacja nie jest zbyt daleko idca.

7. Eksperymenty badawcze

Na tym etapie naley podj decyzj, jakie badania symulacyjne zostan przeprowadzone, poniewa na og w praktyce istnieje wiele moliwoci. Ponadto, opierajc si na wynikach przeprowadzonych eksperymentw, naley wybra dodatkowe obiekty, ktre rwnie powinny zosta poddane badaniom symulacyjnym. Dla wszystkich bada symulacyjnych niezbdne jest ponadto okrelenie: warunkw pocztkowych dla poszczeglnych realizacji programu, czasu symulacji oraz liczby powtrze eksperymentw symulacyjnych dla kadego alternatywnego programu bada.

8. Realizacja programu

Celem tego etapu jest dostarczenie wynikw dziaania zbudowanego modelu symulacyjnego w rnych warunkach, okrelonych przez przyjty program bada symulacyjnych.

9. Analiza wynikw

Na og do analizy wynikw uzyskanych z eksperymentw symulacyjnych wykorzystywane s metody statystyczne. Typowym celem tej analizy jest konstrukcja przedziaw ufnoci dla przyjtej miary jakoci badanego systemu lub podjcie decyzji, ktry z symulowanych systemw jest najlepszy ze wzgldu na wyrnione kryterium jakoci.

W badaniach symulacyjnych systemw pomiarowych efektem eksperymentw symulacyjnych jest na og zbir wynikw uzyskiwanych w symulowanym pomiarze. Analiza uzyskanych wynikw polega w tym przypadku na wyznaczeniu wartoci przyjtych kryteriw jakoci systemu, okrelonych na tym zbiorze wynikw. Najczciej stosowanymi kryteriami w ocenie jakoci systemw pomiarowych s bdy wynikw pochodzcych z modelu symulacyjnego wzgldem wynikw pochodzcych z modelu definicyjnego badanego systemu. S to bdy statyczne lub dynamiczne, funkcjonay okrelone na tych bdach, wraliwoci wynikw na zmiany parametrw systemu oraz jego zmiennych, wraliwoci bdw na te zmiany lub kryteria czne, biorce pod uwag zarwno bdy, jak rwnie wraliwoci wynikw. Kryterium takim moe by rwnie przyjta miara niepewnoci tych wynikw.

10. Dokumentacja i zastosowanie wynikw

Poniewa modele symulacyjne s czsto wykorzystywane w wikszej liczbie aplikacji, wan rzecz jest udokumentowanie wszelkich zaoe, przyjtych zarwno podczas konstrukcji modelu, jak rwnie programu. Naley podkreli, e wyniki bada osignite na podstawie bardzo wiarygodnego modelu s na og chtniej wykorzystywane. Wyniki bada, ktre nigdy nie byy wykorzystane oznaczaj niepowodzenie bada symulacyjnych.

4.2. Realizacja bada symulacyjnych

Podstaw bada symulacyjnych s modele obiektu pomiarw oraz modele sprztu pomiarowego, algorytmw sterowania sprztem i algorytmw przetwarzania danych pomiarowych. Model obiektu jest wanie tym wspomnianym wczeniej modelem odniesienia, ktry w sposb formalny ujmuje ca wiedz o badanym obiekcie posiadan przez eksperymentatora. W badaniach symulacyjnych ten model odniesienia zastpuje rzeczywisty obiekt pomiarw. Jest on pobudzany symulowanymi sygnaami, a generowane przez niego zmienne s przedmiotem symulowanego eksperymentu pomiarowego oraz symulowanych algorytmw przetwarzania danych pomiarowych. Tak wic symulowany eksperyment pomiarowy obejmuje symulacj generowania sygnaw pobudzajcych, symulacj dziaania obiektu pomiarw (ktra polega na wyliczeniu odpowiedzi modelu odniesienia na symulowane wymuszenie), symulacj dziaania sprztu pomiarowego oraz procedur sterujcych tym sprztem (efektem jest wyliczony zbir wynikw porednich) i wreszcie symulacj algorytmw przetwarzania danych pomiarowych (czego efektem jest poszukiwany wynik pomiaru). Przebieg symulowanego eksperymentu pomiarowego ilustruje rysunek 10.

w

s

p

c

z

y

n

n

i

k

i

m

o

d

e

l

i

w

y

m

u

s

z

e

w

s

p

c

z

y

n

n

i

k

i

m

o

d

e

l

i

s

p

r

z

t

u

w

s

p

c

z

y

n

n

i

k

i

m

o

d

e

l

i

s

t

e

r

o

w

a

n

i

a

w

s

p

c

z

y

n

n

i

k

i

m

o

d

e

l

i

p

r

z

e

t

w

a

r

z

a

n

i

a

m

o

d

e

l

e

w

y

m

u

s

z

e

m

o

d

e

l

e

s

p

r

z

t

u

p

o

m

i

a

r

o

w

e

g

o

m

o

d

e

l

e

a

l

g

o

r

y

t

m

w

s

t

e

r

o

w

a

n

i

a

s

p

r

z

t

e

m

m

o

d

e

l

e

a

l

g

o

r

y

t

m

w

p

r

z

e

t

w

a

r

z

a

n

i

a

d

a

n

y

c

h

p

o

m

.

m

o

d

e

l

s

y

s

t

e

m

u

p

o

m

i

a

r

o

w

e

g

o

m

o

d

e

l

o

d

n

i

e

s

i

e

n

i

a

d

e

f

i

n

i

c

y

j

n

y

m

o

d

e

l

s

y

s

t

e

m

u

p

o

m

i

a

r

o

w

e

g

o

k

r

y

t

e

r

i

u

m

j

a

k

o

c

i

s

y

s

t

e

m

u

w

y

n

i

k

i

p

o

m

i

a

r

w

w

y

m

u

s

z

e

n

i

a

b

d

s

y

s

t

e

m

u

.

.

.

o

d

p

o

w

i

e

d

z

i

s

t

e

r

o

w

a

n

i

e

s

p

r

z

t

e

m

w

y

n

i

k

i

d

z

i

a

a

n

i

a

s

p

r

z

t

u

.

Rys. 10. Schemat blokowy ilustrujcy przebieg symulacji eksperymentu pomiarowego.

Integraln czci skadow eksperymentu pomiarowego jest ocena dokadnoci uzyskanych wynikw. Gwnym celem symulacyjnych bada systemw pomiarowych jest ocena wpywu waciwoci wszystkich elementw skadowych procesu pomiarowego na t dokadno, poczynajc od obiektu bada, a na algorytmach przetwarzania danych pomiarowych koczc. Istnieje wic potrzeba wskazania w przedstawionej metodyce bada symulacyjnych systemw pomiarowych, metodyki oceny dokadnoci badanych systemw pomiarowych. Proponowany sposb rozwizania tego problemu opiera si na nastpujcych zaoeniach:

nw symulowanym procesie pomiarowym dostpny jest model odniesienia, reprezentujcy obiekt pomiarw, a generowane przez niego zmienne s przedmiotem pomiarw,

nmodel odniesienia opisuje obiekt pomiarw z wystarczajc dokadnoci i wszystkie wyniki bada symulacyjnych oraz sformuowane na ich podstawie wnioski w takim stopniu dotycz rzeczywistoci, w jakim model odniesienia jest adekwatny do rzeczywistego obiektu pomiarw,

ndostpne s wartoci odniesienia, z ktrymi moe by porwnany wynik symulowanego procesu pomiarowego. Tymi wartociami odniesienia w zalenoci od celu pomiaru s:

I.wyniki przetwarzania zmiennych modelu odniesienia zgodnie z definicyjnym modelem systemu pomiarowego, tj. wg algorytmu opisujcego definicje mierzonych wielkoci,

II.wspczynniki modelu odniesienia, w przypadku gdy ma on posta parametryczn, a celem analizowanego pomiaru jest parametryczna identyfikacja badanego obiektu,

III.charakterystyki modelu odniesienia, statyczne lub dynamiczne, gdy celem analizowanego procesu pomiarowego jest identyfikacja nieparametrycznego modelu badanego obiektu.

Przy powyszych zaoeniach ocena dokadnoci (jakoci) badanego systemu pomiarowego polega na porwnaniu wynikw symulowanego procesu pomiarowego z ww. wartociami odniesienia. Miar tej jakoci jest funkcjona zdefiniowany na rnicy pomidzy wynikami symulacji oraz przyjtymi wartociami odniesienia.

Uzmienniajc wybrany parametr modelu szeroko rozumianego systemu pomiarowego (sprzt + oprogramowanie), sygnaw pobudzajcych badany obiekt, modelu odniesienia - mona wyznaczy wpyw waciwoci sprztu pomiarowego, oprogramowania, sygnaw pobudzajcych iwaciwoci obiektu pomiarw na jako analizowanego systemu pomiarowego. Wyniki takich bada maj posta charakterystyk, ilustrujcych zaleno okrelonego funkcjonau jakoci systemu pomiarowego od wybranych parametrw systemu, obiektu pomiarw bd stosowanych wymusze.

Z przedstawionego dotychczas opisu proponowanej metodyki bada symulacyjnych systemw pomiarowych wynika konieczno modelowania i budowania modeli symulacyjnych wszystkich elementw systemw pomiarowych, cznie z modelami wymusze (sygnaw), obiektw pomiarw narzdzi pomiarowych i algorytmw przetwarzania danych pomiarowych. Takie kompleksowe ujcie zagadnienia modelowania systemw pomiarowych stwarza z jednej strony moliwo uwzgldnienia wszechstronnego wpywu rnych czynnikw decydujcych o jakoci analizowanego systemu, ale rwnoczenie powoduje, e przedmiotem bada s modele zoone, wielowymiarowe, ktrych efektywna symulacja wymaga zaangaowania znacznych mocy obliczeniowych. Pamitajc rwnoczenie o podstawowym wymaganiu takiego modelowania, warunkujcym praktyczn uyteczno bada symulacyjnych i uzyskanych na ich podstawie wynikw, tj. zapewnienie dokadnoci modelowania porwnywalnej z dokadnoci analizowanych systemw - uzyskuje si wyobraenie o zoonoci zagadnienia.

4.3. Kompletno modelowania i bada symulacyjnych

Istniej rne definicje pojcia systemu pomiarowego. Na og zwraca si w nich uwag na dwa elementy skadowe, ktrymi s sprzt pomiarowy oraz oprogramowanie sterujce tym sprztem. Rzadziej do systemu pomiarowego zaliczane jest oprogramowanie uywane do przetwarzania danych pomiarowych. Mwic jednak o modelowaniu i badaniach symulacyjnych systemw pomiarowych, naley, jak sygnalizowalimy ju wczeniej, uwzgldni rwnie model obiektu pomiarw. W poprzednim rozdziale przedstawiono to zagadnienie z punktu widzenia roli, jak w badaniach symulacyjnych systemw pomiarowych peni model odniesienia jako reprezentant obiektu pomiarw. Obecnie chciabym podkreli inn rol modelu odniesienia w tych badaniach, a mianowicie t, ktra wynika z faktu, e waciwoci obiektu pomiarw maj decydujcy wpyw na wynik oceny jakoci systemu pomiarowego stosowanego lub projektowanego do pomiarw prowadzonych na tym obiekcie. Istnienie tego wpywu jest zrozumiae: jednakowe obiekty o istotnie rnych parametrach musz by na og obsugiwane przez rne systemy pomiarowe.

Problem ten komplikuje si jednak, jeeli spojrze na niego z punktu widzenia bada symulacyjnych systemw pomiarowych. Wystpujcy w tych badaniach model odniesienia, tylko w przyblieniu opisuje obiekt pomiarw. Przyblienie to polega na wprowadzeniu uproszcze poprzez pominicie wielu zjawisk wystpujcych w obiekcie i/lub rnicy w opisie ilociowym tych zjawisk. Przyczyn tych uproszcze jest posiadanie tylko ograniczonej wiedzy na temat obiektu identyfikacji. W efekcie wyniki bada symulacyjnych i wycignite na ich podstawie wnioski dotycz raczej jakoci wsppracy systemu pomiarowego z modelem odniesienia, ni z obiektem pomiarw. Problem ten ilustruje poniszy przykad.

Przykad 2.

Celem bada symulacyjnych jest ocena waciwoci systemu pomiarowego, stosowanego do pomiaru statycznych i dynamicznych waciwoci obiektu opisanego modelem odniesienia w postaci transmitancji:

G

s

K

T

s

o

o

o

(

)

=

+

1

gdzie:

K

o

=

1

- wspczynnik wzmocnienia statycznego,

T

s

o

=

1

- staa czasowa.

Celem pomiaru jest wic wyznaczenie wartoci wspczynnikw

K

T

o

o

,

, ktrych wyniki pomiaru oznaczmy odpowiednio przez

K

m

i T

m

. Struktur uywanego systemu pomiarowego ilustruje rysunek 11.

w

s

p

c

z

y

n

n

i

k

w

p

o

s

z

u

k

i

w

a

n

y

c

h

w

a

r

t

o

c

i

m

u

x

U

1

1

(

s

)

(

s

)

Y

Y

(

s

)

(

s

)

U

U

(

s

)

o

G

(

s

)

y

G

(

s

)

u

G

3

2

1

1

2

3

G

u

(

s

)

G

y

(

s

)

G

o

(

s

)

U

U

(

s

)

(

s

)

Y

Y

(

s

)

(

s

)

1

1

U

m

u

x

w

a

r

t

o

c

i

p

o

s

z

u

k

i

w

a

n

y

c

h

w

s

p

c

z

y

n

n

i

k

w

Rys. 11. Schemat blokowy systemu pomiarowego.

G

s

s

u

(

),

(

)

G

y

- transmitancje torw analogowego przetwarzania sygnaw pomiarowych U(s), Y(s), 1 - multiplekser, 2 - przetwornik analogowo-cyfrowy, 3 - mikrokomputer.

Dla celw bada symulacyjnych przyjto nastpujce modele poszczeglnych elementw przedstawionego schematu blokowego:

ntransmitancji analogowych torw przetwarzania sygnaw pomiarowych:

G

s

K

s

T

s

K

s

T

u

u

u

y

y

(

)

;

(

)

=

+

=

+

1

1

G

y

gdzie:

K

K

u

y

=

=

1

- wspczynniki wzmocnienia statycznego,

T

s

u

=

0

1

.

- staa czasowa,

T

s

y

(

.

.

)

0

075

0

15

- staa czasowa, ktrej warto bya zmieniana w przeprowadzonych eksperymentach symulacyjnych.

nmultipleksera:

U

t

U

t

R

R

R

mux

i

ki

i

I

r

ki

i

I

(

)

(

)

=

+

=

=

1

1

1

1

gdzie:

I=2 - liczba wej multipleksera,

U

t

i

(

)

- zmienny w czasie sygna na i-tym wejciu,

R

r

- rezystancja rwnolega, z ktrej jest zbierany sygna

U

t

mux

(

)

,

R

ki

- dwustanowe, przeczane rezystancje kluczy.

nprzetwornika analogowo-cyfrowego:

U

t

Ent

U

t

sign

U

t

c

mux

mux

(

)

(

)

(

(

))

=

+

D

D

D

2

gdzie:

- bd kwantowania,

Ent[] - funkcja entier.

Poszukiwane wspczynniki wyliczane s zgodnie z algorytmem, wynikajcym z metody najmniejszej sumy kwadratw.

Wyniki dwch przykadowych eksperymentw symulacyjnych przedstawiono kolejno na rysunkach 12 i 13.

Rysunek 12 przedstawia wpyw staej czasowej

T

y

na bd wyznaczenia wspczynnikw modelu

K

T

m

m

,

w zalenoci od waciwoci dynamicznych badanego obiektu. Jako kryterium oceny bdu wyznaczonego modelu, przyjto wzgldny bd redniokwadratowy w postaci:

[

]

[

]

d

2

2

2

2

2

=

-

+

-

E

K

K

K

E

T

T

T

m

o

o

m

o

o

[

]

[

]

gdzie:

E[ ] - warto oczekiwana.

Rysunek 13 ilustruje wpyw tego samego parametru systemu pomiarowego

T

y

w zalenoci od dynamiki sygnau pobudzajcego obiekt pomiarw. Jako pobudzenie stosowany by liniowo narastajcy sygna o staej amplitudzie ale zmiennej prdkoci narastania.

bd modelu

2

1

1

.

0

0

E

-

1

1

.

0

0

E

-

2

1

.

0

0

E

-

3

s

t

a

a

c

z

a

s

o

w

a

T

y

[

s

]

0

.

1

4

0

0

.

1

3

0

0

.

1

2

0

0

.

1

1

0

0

.

1

0

0

0

.

0

9

0

bd modelu

0

.

0

9

0

0

.

1

0

0

0

.

1

1

0

0

.

1

2

0

0

.

1

3

0

0

.

1

4

0

s

t

a

a

c

z

a

s

o

w

a

T

y

[

s

]

1

.

0

0

E

-

3

1

.

0

0

E

-

2

1

.

0

0

E

-

1

1

2

Rys. 12. Wpyw staej czasowej

T

y

na bd wyznaczonego modelu dla rnych staych czasowych obiektu pomiarw. 1 -

T

s

o

=

1

, 2 -

T

s

o

=

0

5

.

.

bd modelu

2

1

1

.

0

0

E

-

1

1

.

0

0

E

-

2

1

.

0

0

E

-

3

s

t

a

a

c

z

a

s

o

w

a

T

y

[

s

]

0

.

1

4

0

0

.

1

3

0

0

.

1

2

0

0

.

1

1

0

0

.

1

0

0

0

.

0

9

0

bd modelu

0

.

0

9

0

0

.

1

0

0

0

.

1

1

0

0

.

1

2

0

0

.

1

3

0

0

.

1

4

0

s

t

a

a

c

z

a

s

o

w

a

T

y

[

s

]

1

.

0

0

E

-

3

1

.

0

0

E

-

2

1

.

0

0

E

-

1

1

2

Rys. 13. Wpyw staej czasowej

T

y

na bd wyznaczonego modelu. 1 - czas narastania sygnau pobudzajcego 0.5s; 2 - czas narastania sygnau pobudzajcego 1s.

Przedstawiony przykad zwraca rwnie uwag na fakt, e o jakoci systemu pomiarowego, poza wszystkimi dotychczas wymienionymi czynnikami, decyduj rwnie przyjte modele wymusze pobudzajcych obiekt pomiarw.

4.4. Porwnanie jzykw symulacyjnych z jzykami oglnego przeznaczenia

Jedn z podstawowych decyzji majcych wpyw na przebieg procesu bada symulacyjnych jest wybr narzdzia sucego do tych bada oraz sprztu, na ktrym zostan wykonane eksperymenty symulacyjne. Problem ten sprowadza si jednak raczej do wyboru jzyka symulacji ni sprztu obliczeniowego, gdy czynniki techniczne przewanie w znacznym stopniu ograniczaj moliwoci wyboru sprztu.

Dokonujc wyboru jzyka symulacji, w pierwszym rzdzie naley wybra pomidzy jzykami oglnego przeznaczenia, a specjalizowanymi jzykami ukierunkowanymi na badania symulacyjne. Korzyci wynikajce z wyboru jzykw specjalizowanych s nastpujce [4]:

nJzyki symulacyjne, dziki swoim waciwociom przydatnym w procesie budowania modeli symulacyjnych, umoliwiaj znaczne ograniczenie czasu programowania (np. interfejs graficzny, biblioteka submodeli, biblioteczne procedury analizy sygnaw itp.).

nModele symulacyjne mog by znacznie atwiej zmieniane (przebudowywane), gdy s one zbudowane w jzyku symulacyjnym.

nWikszo jzykw symulacyjnych oferuje dynamiczn alokacj pamici podczas wykonywania programu.

nJzyki symulacyjne oferuj lepsz detekcj bdw, gdy wiele potencjalnych rodzajw bdw jest sprawdzanych i wykrywanych automatycznie. Poniewa wykorzystanie jzyka symulacyjnego skutkuje na og zmniejszeniem liczby linii kodu programu, szansa na popenienie bdu jest mniejsza. Naley jednak podkreli, e wykrycie bdw przez uytkownika nowej wersji jzyka symulacyjnego moe by trudne.

Z drugiej strony wiele modeli symulacyjnych jest cigle pisanych w jzykach oglnego przeznaczenia. Niektre z korzyci wynikajce z takiego podejcia s nastpujce:

nWikszo programistw zna jzyki oglnego przeznaczenia, saba jest natomiast znajomo jzykw symulacyjnych.

nJzyki uniwersalne s dostpne na wikszoci komputerw. Jzyki symulacyjne instalowane s na og tylko na wybranych komputerach.

nProgram napisany efektywnie w Fortranie lub C moe wymaga krtszego czasu egzekucji, ni odpowiadajcy mu program napisany w jzyku symulacyjnym. Jest to spowodowane tym, e jzyk symulacyjny jest przeznaczony do modelowania szerokiej klasy rnorodnych obiektw przy wykorzystaniu jednego zbioru podmodeli, podczas gdy program napisany np. w Fortranie moe by dostosowany do jednego, szczeglnego przypadku. Ten aspekt staje si mniej istotny w sytuacji, gdy s dostpne mikrokomputery lub stacje robocze o duej szybkoci.

nJzyki uniwersalne pozwalaj zwykle na wiksz elastyczno programowania ni jzyki symulacyjne.

nKoszt oprogramowania moe by mniejszy (ale niekoniecznie koszt bada symulacyjnych).

Oprogramowanie przeznaczone do bada symulacyjnych mona podzieli na dwie klasy. S to: jzyki symulacyjne oraz symulatory.

Jzyk symulacyjny jest standardowym pakietem, ktry posiada jednak pewne specjalne waciwoci przydatne w specjalnych typach zastosowa. W jzyku symulacyjnym model jest budowany poprzez pisanie programu zgodnie ze struktur oprogramowania. Podstawow zalet wikszoci jzykw jest ich zdolno do modelowania prawie kadego rodzaju systemu cznie z procedurami sterowania systemem i sterowania logicznego. Moliwymi konsekwencjami stosowania jzykw symulacyjnych jest konieczno zatrudnienia wykwalifikowanego programisty oraz dugi czas kompilacji (w porwnaniu z symulatorami) zwizany z modelowaniem zoonych systemw.

Symulator jest pakietem, ktry umoliwia jedynie symulacj wskiej klasy systemw bez koniecznoci programowania lub co najwyej z bardzo ograniczonym programowaniem. Dla przykadu dostpne s symulatory specyficznych typw procesw wytwrczych, systemw komputerowych oraz komunikacyjnych. Szczeglny system bdcy przedmiotem zainteresowania jest wybierany z menu metod graficzn bez koniecznoci programowania. Podstawow korzyci wynikajc z uycia symulatora jest to, e czas budowy programu moe by istotnie krtszy ni ten potrzebny w przypadku jzyka symulacyjnego. Symulatory s atwe w uyciu. Osoby bez dowiadczenia w programowaniu, lub takie, ktre posuguj si symulacj tylko okazjonalnie, preferuj uywanie symulatorw. Podstawow wad symulatorw jest to, e ograniczaj one moliwoci modelowania jedynie do takich systemw i ich konfiguracji, na ktre pozwalaj standardowe waciwoci symulatora. To ograniczenie mona czciowo obej, jeeli symulator jest wyposaony w komendy programowe do modelowania zoonych decyzji logicznych. Takie moliwoci mog by dostpne w samym symulatorze lub w postaci zewntrznych procedur wywoywanych przez symulator.

Wspczenie symulatory s wykorzystywane do zgrubnej analizy systemu (ang. high-level analysis), gdzie system jest modelowany na poziomie agregatw bez uwzgldnienia szczegw sterowania logicznego.

W Polsce rozpowszechnienie jzykw symulacyjnych, a szczeglnie symulatorw, jest stosunkowo mae. Jest to spowodowane dwoma czynnikami. Pierwszym z nich jest wysoka cena takiego oprogramowania. Z drugiej strony, badania symulacyjne s stosunkowo sabo rozwinite w naszym kraju.

Jednymi z bardziej rozpowszechnionych symulatorw s MICRO-CAP [9] oraz SPICE [2, 6, 8] przeznaczone do symulacji ukadw elektronicznych. Jzyki symulacyjne s natomiast na og pisane przez ich pniejszych uytkownikw oraz wsk grup wsppracownikw, znajdujc tylko ograniczon rzesz odbiorcw. Przykadami takich jzykw jest GODYS [3], przeznaczony do symulacji systemw pomiarowych oraz AMIL [10, 11], przeznaczony do modelowania obiektw dynamicznych.

Podejmowane s rwnie prby budowy specjalistycznych bibliotek podmodeli, uatwiajcych wykorzystanie jzykw oglnego przeznaczenia do budowy modeli symulacyjnych wybranej klasy obiektw. Przykadem takiego dziaania jest biblioteka MISS [W12 - W15], zawierajca modele elementw systemw pomiarowych. Biblioteka jest przeznaczona do wsppracy z jzykiem MATLAB [5].

Podsumowujc przedstawion powyej dyskusj, mona sformuowa nastpujce wnioski dotyczce metodyki bada symulacyjnych systemw pomiarowych:

nModel bdcy podstaw prowadzonych bada symulacyjnych powinien w kompleksowy sposb opisywa cay, szeroko rozumiany proces pomiarowy, a wic uwzgldnia modele sygnaw pobudzajcych badany obiekt, obiektu pomiarw, stosowanych narzdzi pomiarowych oraz algorytmw sterowania sprztem, jak rwnie przetwarzania danych pomiarowych. Tylko takie podejcie pozwala na wielostronn ocen waciwoci badanego systemu pomiarowego w kontekcie zastosowania go w okrelonym procesie pomiarowym.

nEksperymenty symulacyjne powinny by prowadzone przy wykorzystaniu rnych modeli odniesienia, rnicych si gbokoci modelowania obiektu pomiarw. Takie postpowanie pozwoli na ocen wpywu uproszcze modelu odniesienia na wyniki oceny waciwoci badanego systemu pomiarowego.

nW prowadzonych eksperymentach symulacyjnych niezbdne jest uzmiennienie wspczynnikw modelu odniesienia w celu oceny wpywu ich zmiennoci (wywoanej np. niestacjonarnoci obiektu pomiarw lub niepewnoci modelowania) na wyniki oceny waciwoci systemu pomiarowego.

5. PARAMETRYCZNA OPTYMALZIACJA SYSTEMW POMIAROWYCH

Efektywne projektowanie systemw pomiarowych stosowanych w procesie identyfikacji obiektw wymaga przede wszystkim:

nokrelenia wpywu parametrw projektowanego systemu na bdy wyznaczanego modelu.

ndobrania takich parametrw systemu, ktre zapewniaj osignicie dopuszczalnych bd minimalnych bdw modelu wyznaczanego.

Dobr parametrw systemu pomiarowego, przy ustalonej strukturze tego systemu, minimalizujcych bdy wyznaczanego modelu nazywa si parametryczn optymalizacj systemu pomiarowego. Optymalizacja ta polega na minimalizacji jednego z kryteriw mierzalnoci (15), bdcego miar bdw modelu w zbiorze technicznych parametrw poszczeglnych elementw systemu pomiarowego, wczajc w to rwnie parametry stosowanych wymusze pobudzajcych identyfikowany obiekt oraz parametry algorytmu identyfikacji.

Zoona posta wyznaczanych modeli oraz modeli systemw pomiarowych wyklucza minimalizacj wybranego kryterium mierzalnoci drog przeksztace analitycznych. W tym celu niezbdne jest wykorzystanie specjalizowanych podprogramw umoliwiajcych minimalizacj funkcji wielu zmiennych przy uwzgldnieniu ogranicze ich zmiennoci. Zastosowanie metod numerycznych umoliwia znalezienie minimum nawet wtedy, gdy z powodu zoonoci modeli nie jest moliwe okrelenie analitycznego zwizku pomidzy minimalizowanym kryterium a optymalizowanymi parametrami. Wykorzystanie bibliotecznej procedury optymalizacyjnej ogranicza zadanie projektanta systemu do przygotowania podprogramu obliczajcego warto kryterium optymalnoci dla zadanych wartoci parametrw technicznych projektowanego systemu. Procedura optymalizacyjna odwouje si do tego podprogramu w kadej iteracji, sprawdzajc wpyw dokonanych zmian wartoci optymalizowanych parametrw na minimalizowane kryterium.

Przedstawiona metoda ma jednak pewne ograniczenia. Dotyc